Teória pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť udalosti, náhodné udalosti (teória pravdepodobnosti)

Ak udalosti H 1, H 2, ..., H n tvoria úplnú skupinu, potom na výpočet pravdepodobnosti ľubovoľnej udalosti môžete použiť vzorec celkovej pravdepodobnosti:

P(A) = P(A/H1) P(H1)+P(A/H2) P(H2)

Podľa ktorého možno pravdepodobnosť výskytu javu A znázorniť ako súčet súčinov podmienených pravdepodobností udalosti A pri výskyte udalostí H i nepodmienených pravdepodobností týchto udalostí H i. Tieto udalosti H i sa nazývajú hypotézy.

Zo vzorca celkovej pravdepodobnosti vyplýva Bayesov vzorec:

Pravdepodobnosti P(H i) hypotéz H i sa nazývajú apriórne pravdepodobnosti - pravdepodobnosti pred vykonaním experimentov.
Pravdepodobnosti P(A/H i) sa nazývajú posteriórne pravdepodobnosti – pravdepodobnosti hypotéz H i, spresnené na základe skúseností.

Účel služby. Online kalkulačka je určená na výpočet celkovej pravdepodobnosti s celým procesom riešenia napísaným vo formáte Word (pozri príklady riešenia problémov).

Príklad č.1. Predajňa dostáva žiarovky z dvoch tovární, pričom podiel prvej továrne je 25 %. Je známe, že percento chýb v týchto továrňach sa rovná 5 % a 10 % všetkých vyrobených výrobkov. Predajca náhodne odoberá jednu žiarovku. Aká je pravdepodobnosť, že bude vadný?
Riešenie: Označme A udalosť - „žiarovka sa ukáže ako chybná“. Možné sú nasledujúce hypotézy o pôvode tejto žiarovky: H 1- "žiarovka pochádza z prvej továrne." H 2- "žiarovka pochádza z druhej rastliny." Keďže podiel prvej rastliny je 25 %, pravdepodobnosti týchto hypotéz sú rovnaké, resp ; .
Podmienená pravdepodobnosť, že chybnú žiarovku vyrobil prvý závod, je , druhá rastlina - p(A/H 2)=pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti zistíme požadovanú pravdepodobnosť, že predávajúci odobral chybnú žiarovku
0,25 · 0,05 + 0,75 · 0,10 = 0,0125 + 0,075 = 0,0875
odpoveď: p(A)= 0,0875.

Príklad č.2. Obchod dostal dve rovnaké množstvá produktu s rovnakým názvom. Je známe, že 25 % prvej šarže a 40 % druhej šarže tvorí prvotriedny tovar. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybraná jednotka tovaru nebude prvej triedy?
Riešenie:
Označme A udalosť - „produkt bude prvotriedny“. Nasledujúce hypotézy o pôvode tohto produktu sú možné: H 1- „produkt z prvej šarže“. H 2- „produkt z druhej šarže“. Keďže podiel prvej várky je 25 %, pravdepodobnosti týchto hypotéz sú rovnaké, resp. ; .
Podmienená pravdepodobnosť, že produkt z prvej šarže je , z druhej várky - požadovaná pravdepodobnosť, že náhodne vybraná jednotka tovaru bude prvej triedy
p(A) = P(H1) p(A/H1)+P(H2) (A/H2)= 0,25 · 0,5 + 0,4 · 0,5 = 0,125 + 0,2 = 0,325
Potom sa pravdepodobnosť, že náhodne vybraná jednotka tovaru nebude prvej triedy, bude rovnať: 1- 0,325 = 0,675
odpoveď: .

Príklad č.3. Je známe, že 5 % mužov a 1 % žien je farboslepých. Ukázalo sa, že náhodne vybraná osoba nie je farboslepá. Aká je pravdepodobnosť, že ide o muža (predpokladajme, že je rovnaký počet mužov a žien).
Riešenie.
Udalosť A – náhodne vybraná osoba nie je farboslepá.
Poďme zistiť pravdepodobnosť, že táto udalosť nastane.
P(A) = P(A|H=muž) + P(A|H=žena) = 0,95*0,5 + 0,99*0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
Potom je pravdepodobnosť, že ide o muža: p = P(A|H=muž) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897

Príklad č.4. Športovej olympiády sa zúčastňujú 4 žiaci prvého ročníka, 6 žiakov druhého ročníka a 5 žiakov tretieho ročníka Pravdepodobnosť víťazstva žiaka prvého, druhého a tretieho ročníka je 0,9; 0,7 a 0,8.
a) Nájdite pravdepodobnosť výhry náhodne vybraného účastníka.
b) V podmienkach tejto úlohy vyhral olympiádu jeden žiak. Do ktorej skupiny s najväčšou pravdepodobnosťou patrí?
Riešenie.
Udalosť A – víťazstvo náhodne vybraného účastníka.
Tu P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333 x 0,8 = 0,787
b) Riešenie je možné získať pomocou tejto kalkulačky.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Z p1, p2, p3 vyberte maximum.

Príklad č.5. Spoločnosť má tri stroje rovnakého typu. Jeden z nich poskytuje 20% celkovej produkcie, druhý - 30%, tretí - 50%. V tomto prípade prvý stroj produkuje 5% chýb, druhý 4%, tretí - 2%. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybraný chybný výrobok vyrobí prvý stroj.

Pravdepodobnosť udalosť je pomer počtu elementárnych výsledkov priaznivých pre danú udalosť k počtu všetkých rovnako možných výsledkov skúsenosti, v ktorej sa táto udalosť môže objaviť. Pravdepodobnosť udalosti A označujeme P(A) (tu P je prvé písmeno francúzskeho slova probabilite - pravdepodobnosť). Podľa definície
(1.2.1)
kde je počet základných výsledkov priaznivých pre udalosť A; - počet všetkých rovnako možných elementárnych výstupov experimentu, tvoriacich ucelenú skupinu dejov.
Táto definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasická. Vznikla v počiatočnom štádiu vývoja teórie pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť udalosti má nasledujúce vlastnosti:
1. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej. Spoľahlivú udalosť označme písmenom . Na určitú udalosť teda
(1.2.2)
2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová. Nemožnú udalosť označme písmenom . Na nemožnú udalosť teda
(1.2.3)
3. Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je vyjadrená ako kladné číslo menšie ako jedna. Keďže pre náhodnú udalosť sú splnené nerovnosti , alebo
(1.2.4)
4. Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti spĺňa nerovnosti
(1.2.5)
Vyplýva to zo vzťahov (1.2.2) - (1.2.4).

Príklad 1 Urna obsahuje 10 loptičiek rovnakej veľkosti a hmotnosti, z ktorých sú 4 červené a 6 modrých. Z urny sa vytiahne jedna loptička. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahnutá loptička bude modrá?

Riešenie. Udalosť „vytiahnutá loptička sa ukázala ako modrá“ označujeme písmenom A. Tento test má 10 rovnako možných elementárnych výsledkov, z ktorých 6 uprednostňuje udalosť A. Podľa vzorca (1.2.1) dostaneme

Príklad 2 Všetky prirodzené čísla od 1 do 30 sú napísané na rovnakých kartičkách a vložené do urny. Po dôkladnom zamiešaní kariet sa z urny vyberie jedna karta. Aká je pravdepodobnosť, že číslo na odobranej karte je násobkom 5?

Riešenie. Označme A udalosť „číslo na prevzatej karte je násobkom 5“. V tomto teste existuje 30 rovnako možných základných výsledkov, z ktorých je udalosť A uprednostňovaná 6 výsledkami (čísla 5, 10, 15, 20, 25, 30). teda

Príklad 3 Hodia sa dve kocky a vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Nájdite pravdepodobnosť udalosti B takú, že horné strany kociek majú spolu 9 bodov.

Riešenie. V tomto teste je len 6 2 = 36 rovnako možných elementárnych výsledkov. Udalosť B uprednostňujú 4 výsledky: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), preto

Príklad 4. Náhodne sa vyberie prirodzené číslo nie väčšie ako 10. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je prvočíslo?

Riešenie. Označme písmenom C udalosť „zvolené číslo je prvočíslo“. V tomto prípade n = 10, m = 4 (prvočísla 2, 3, 5, 7). Preto požadovaná pravdepodobnosť

Príklad 5. Hodia sa dve symetrické mince. Aká je pravdepodobnosť, že na horných stranách oboch mincí sú čísla?

Riešenie. Označme písmenom D udalosť „na vrchnej strane každej mince je číslo“. V tomto teste sú 4 rovnako možné základné výsledky: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Zápis (G, C) znamená, že na prvej minci je erb, na druhej je číslo). Udalosť D je zvýhodnená jedným základným výsledkom (C, C). Pretože m = 1, n = 4, potom

Príklad 6. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybrané dvojciferné číslo má rovnaké číslice?

Riešenie. Dvojciferné čísla sú čísla od 10 do 99; Takýchto čísel je celkovo 90. 9 čísel má rovnaké číslice (sú to čísla 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Pretože v tomto prípade m = 9, n = 90, potom
,
kde A je udalosť „číslo s rovnakými číslicami“.

Príklad 7. Z písmen slova diferenciál Jedno písmeno sa vyberie náhodne. Aká je pravdepodobnosť, že toto písmeno bude: a) samohláska, b) spoluhláska, c) písmeno h?

Riešenie. Slovo diferenciál má 12 písmen, z toho 5 samohlások a 7 spoluhlások. Listy h v tomto slove nie je žiadne. Označme udalosti: A - „písmeno samohlásky“, B - „písmeno spoluhlásky“, C - „písmeno h". Počet priaznivých elementárnych výsledkov: - pre udalosť A, - pre udalosť B, - pre udalosť C. Keďže n = 12, potom
, A .

Príklad 8. Hodia sa dve kocky a zaznamená sa počet bodov na vrchu každej kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že obe kocky ukazujú rovnaký počet bodov.

Riešenie. Označme túto udalosť písmenom A. Udalosť A uprednostňuje 6 základných výsledkov: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Celkový počet rovnako možných elementárnych výsledkov, ktoré tvoria kompletnú skupinu udalostí, v tomto prípade n=6 2 =36. To znamená, že požadovaná pravdepodobnosť

Príklad 9. Kniha má 300 strán. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne otvorená stránka bude mať sériové číslo deliteľné 5?

Riešenie. Z podmienok úlohy vyplýva, že všetky rovnako možné elementárne výsledky, ktoré tvoria ucelenú skupinu udalostí, budú n = 300. Z nich m = 60 uprednostňuje výskyt špecifikovanej udalosti. V skutočnosti číslo, ktoré je násobkom 5, má tvar 5k, kde k je prirodzené číslo a , odkiaľ . teda
, kde A - udalosť „stránka“ má poradové číslo, ktoré je násobkom 5“.

Príklad 10. Hodia sa dve kocky a vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Čo je pravdepodobnejšie - získať celkovo 7 alebo 8?

Riešenie. Označme udalosti: A - „Hodí sa 7 bodov“, B – „Hodí sa 8 bodov“. Udalosť A je uprednostnená na základe 6 základných výsledkov: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) a uprednostňuje sa udalosť B o 5 výsledkov: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Všetky rovnako možné elementárne výsledky sú n = 6 2 = 36. A .

Takže, P(A)>P(B), to znamená, že získanie celkového počtu 7 bodov je pravdepodobnejšia udalosť ako získanie celkového počtu 8 bodov.

Úlohy

1. Náhodne sa vyberie prirodzené číslo nepresahujúce 30. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je násobkom 3?
2. V urne ačervená a b modré gule rovnakej veľkosti a hmotnosti. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vytiahnutá loptička z tejto urny bude modrá?
3. Náhodne sa vyberie číslo nepresahujúce 30. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je deliteľom 30?
4. V urne A modrá a bčervené gule rovnakej veľkosti a hmotnosti. Z tejto urny sa vyberie jedna loptička a odloží sa. Táto guľa sa ukázala ako červená. Potom sa z urny vytiahne ďalšia loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že druhá guľa je tiež červená.
5. Náhodne sa vyberie národné číslo nepresahujúce 50. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je prvočíslo?
6. Hodia sa tri kocky a vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Čo je pravdepodobnejšie - získať spolu 9 alebo 10 bodov?
7. Hodia sa tri kocky a vypočíta sa súčet hodených bodov. Čo je pravdepodobnejšie – získať spolu 11 (udalosť A) alebo 12 bodov (udalosť B)?

Odpovede

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - pravdepodobnosť získania celkovo 9 bodov; p 2 = 27/216 - pravdepodobnosť získania celkovo 10 bodov; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Otázky

1. Ako sa nazýva pravdepodobnosť udalosti?
2. Aká je pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti?
3. Aká je pravdepodobnosť nemožnej udalosti?
4. Aké sú hranice pravdepodobnosti náhodnej udalosti?
5. Aké sú hranice pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti?
6. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasická?

Nemyslime dlho na vznešené veci – začnime hneď s definíciou.

Bernoulliho schéma je, keď sa vykoná n nezávislých experimentov rovnakého typu, v každom z nich sa nám zaujímavá udalosť môže javiť ako A a pravdepodobnosť tejto udalosti je známa P (A) = p. Musíme určiť pravdepodobnosť, že po n pokusoch nastane udalosť A presne k-krát.

Problémy, ktoré možno vyriešiť pomocou Bernoulliho schémy, sú mimoriadne rozmanité: od jednoduchých (ako napríklad „nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne 1 z 10“), až po veľmi závažné (napríklad problémy s percentami alebo hracími kartami) . V skutočnosti sa táto schéma často používa na riešenie problémov súvisiacich s monitorovaním kvality výrobkov a spoľahlivosti rôznych mechanizmov, ktorých všetky vlastnosti musia byť známe pred začatím práce.

Vráťme sa k definícii. Keďže hovoríme o nezávislých štúdiách a v každej štúdii je pravdepodobnosť udalosti A rovnaká, sú možné len dva výsledky:

1. A je výskyt udalosti A s pravdepodobnosťou p;
2. „nie A“ - udalosť A nenastala, čo nastáva s pravdepodobnosťou q = 1 − p.

Najdôležitejšou podmienkou, bez ktorej Bernoulliho schéma stráca zmysel, je stálosť. Bez ohľadu na to, koľko experimentov vykonáme, zaujíma nás tá istá udalosť A, ktorá nastane s rovnakou pravdepodobnosťou p.

Mimochodom, nie všetky problémy v teórii pravdepodobnosti sú redukované na konštantné podmienky. Povie vám to každý kompetentný učiteľ vyššieho matematiky. Ani niečo také jednoduché ako vyberanie farebných loptičiek z krabice nie je zážitkom s konštantnými podmienkami. Vytiahli ďalšiu guľu - pomer farieb v krabici sa zmenil. V dôsledku toho sa zmenili aj pravdepodobnosti.

Ak sú podmienky konštantné, môžeme presne určiť pravdepodobnosť, že udalosť A nastane presne k krát z n možných. Sformulujme túto skutočnosť vo forme vety:

Bernoulliho veta. Nech je pravdepodobnosť výskytu javu A v každom experimente konštantná a rovná sa p. Potom sa pravdepodobnosť, že udalosť A objaví presne k-krát v n nezávislých pokusoch, vypočíta podľa vzorca:

kde C n k je počet kombinácií, q = 1 − p.

Tento vzorec sa nazýva Bernoulliho vzorec. Je zaujímavé poznamenať, že nižšie uvedené problémy možno úplne vyriešiť bez použitia tohto vzorca. Môžete napríklad použiť vzorce na sčítanie pravdepodobností. Množstvo výpočtov však bude jednoducho nereálne.

Úloha. Pravdepodobnosť výroby chybného produktu na stroji je 0,2. Určte pravdepodobnosť, že v sérii desiatich dielov vyrobených na tomto stroji bude presne k dielov bez chýb. Vyriešte úlohu pre k = 0, 1, 10.

Podľa podmienky nás zaujíma udalosť A uvoľnenia produktov bez defektov, ktorá nastáva zakaždým s pravdepodobnosťou p = 1 − 0,2 = 0,8. Musíme určiť pravdepodobnosť, že táto udalosť nastane k-krát. Udalosť A je v kontraste s udalosťou „nie A“, t.j. uvoľnenie chybného výrobku.

Máme teda: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Nájdeme teda pravdepodobnosť, že všetky diely v dávke sú chybné (k = 0), že existuje iba jeden diel bez chýb (k = 1) a že neexistujú žiadne chybné diely (k = 10):

Úloha. Minca sa hodí 6-krát. Rovnako pravdepodobné je pristátie erbu a hláv. Nájdite pravdepodobnosť, že:

1. erb sa objaví trikrát;
2. erb sa objaví raz;
3. erb sa objaví najmenej dvakrát.

Nás teda zaujíma udalosť A, keď vypadne erb. Pravdepodobnosť tejto udalosti je p = 0,5. Udalosť A je v kontraste s udalosťou „nie A“, keď výsledkom sú hlavy, čo sa deje s pravdepodobnosťou q = 1 − 0,5 = 0,5. Potrebujeme určiť pravdepodobnosť, že sa erb objaví k-krát.

Máme teda: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Určme pravdepodobnosť, že erb bude vykreslený trikrát, t.j. k = 3:

Teraz určme pravdepodobnosť, že sa erb objavil iba raz, t.j. k = 1:

Zostáva určiť, s akou pravdepodobnosťou sa erb objaví aspoň dvakrát. Hlavný háčik je vo fráze „nie menej“. Ukazuje sa, že sa uspokojíme s ľubovoľným k okrem 0 a 1, t.j. musíme nájsť hodnotu súčtu X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Všimnite si, že aj tento súčet sa rovná (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), t.j. Zo všetkých možných možností stačí „vystrihnúť“ tie, keď erb vypadol 1-krát (k = 1) alebo sa neobjavil vôbec (k = 0). Keďže už poznáme P 6 (1), zostáva nájsť P 6 (0):

Úloha. Pravdepodobnosť, že televízor má skryté chyby, je 0,2. Do skladu prišlo 20 televízorov. Ktorá udalosť je pravdepodobnejšia: že v tejto sérii sú dva televízory so skrytými chybami alebo tri?

Udalosť záujmu A je prítomnosť latentného defektu. Celkovo je n = 20 televízorov, pravdepodobnosť skrytej chyby je p = 0,2. Pravdepodobnosť príjmu televízora bez skrytej chyby je teda q = 1 − 0,2 = 0,8.

Získame východiskové podmienky pre Bernoulliho schému: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Nájdite pravdepodobnosť získania dvoch „chybných“ televízorov (k = 2) a troch (k = 3):

\[\begin(pole)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Je zrejmé, že P20(3) > P20(2), t.j. pravdepodobnosť príjmu troch televízorov so skrytými chybami je väčšia ako pravdepodobnosť príjmu iba dvoch takýchto televízorov. Navyše rozdiel nie je slabý.

Rýchla poznámka o faktoriáli. Mnoho ľudí pociťuje neurčitý pocit nepohodlia, keď uvidia záznam „0!“ (čítaj „nulový faktoriál“). Takže 0! = 1 podľa definície.

P. S. A najväčšia pravdepodobnosť v poslednej úlohe je získať štyri televízory so skrytými chybami. Spočítajte si a presvedčte sa sami.

Či sa nám to páči alebo nie, náš život je plný všelijakých nehôd, príjemných aj nie práve príjemných. Preto by nebolo na škodu každému z nás vedieť nájsť pravdepodobnosť konkrétnej udalosti. Pomôže vám to robiť správne rozhodnutia za akýchkoľvek okolností, ktoré zahŕňajú neistotu. Takéto znalosti budú napríklad veľmi užitočné pri výbere investičných možností, posudzovaní možnosti vyhrať akciu alebo lotériu, určovaní reálnosti dosiahnutia osobných cieľov atď., atď.

Vzorec teórie pravdepodobnosti

Štúdium tejto témy v zásade nezaberie príliš veľa času. Aby ste dostali odpoveď na otázku: „Ako nájsť pravdepodobnosť javu?“, musíte pochopiť kľúčové pojmy a pamätať si základné princípy, na ktorých je výpočet založený. Takže podľa štatistík sú skúmané udalosti označené A1, A2,..., An. Každý z nich má priaznivé výsledky (m) aj celkový počet základných výsledkov. Napríklad nás zaujíma, ako zistiť pravdepodobnosť, že na hornej strane kocky bude párny počet bodov. Potom A je hod m - vyvalenie 2, 4 alebo 6 bodov (tri priaznivé možnosti) a n je všetkých šesť možných možností.

Samotný vzorec výpočtu je nasledujúci:

S jedným výsledkom je všetko veľmi jednoduché. Ale ako zistiť pravdepodobnosť, ak sa udalosti dejú jedna po druhej? Zvážte tento príklad: jedna karta je zobrazená z balíčka kariet (36 kusov), potom je skrytá späť do balíčka a po zamiešaní sa vytiahne ďalšia. Ako zistiť pravdepodobnosť, že aspoň v jednom prípade bola vyžrebovaná piková dáma? Platí nasledujúce pravidlo: ak sa uvažuje o komplexnej udalosti, ktorú možno rozdeliť na niekoľko nekompatibilných jednoduchých udalostí, môžete najskôr vypočítať výsledok pre každú z nich a potom ich spočítať. V našom prípade to bude vyzerať takto: 1/36 + 1/36 = 1/18. Čo sa však stane, keď sa vyskytne niekoľko súčasne? Potom výsledky znásobíme! Napríklad pravdepodobnosť, že keď sa naraz hodia dve mince, objavia sa dve hlavy, sa bude rovnať: ½ * ½ = 0,25.

Teraz si vezmime ešte zložitejší príklad. Predpokladajme, že sme vstúpili do knižnej lotérie, v ktorej vyhráva desať z tridsiatich tiketov. Musíte určiť:

1. Pravdepodobnosť, že obaja budú víťazmi.
2. Aspoň jeden z nich prinesie cenu.
3. Obaja budú porazení.

Pozrime sa teda na prvý prípad. Dá sa rozdeliť na dve udalosti: prvý lístok bude mať šťastie a druhý bude tiež šťastný. Zoberme si, že udalosti sú závislé, pretože po každom vytiahnutí sa celkový počet možností znižuje. Dostaneme:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

V druhom prípade budete musieť určiť pravdepodobnosť straty lístka a vziať do úvahy, že môže byť prvý alebo druhý: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.

Nakoniec, tretí prípad, keď nebudete môcť získať ani jednu knihu z lotérie: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.

„Nehody nie sú náhodné“... Znie to ako niečo, čo povedal filozof, ale v skutočnosti je štúdium náhodnosti osudom veľkej vedy matematiky. V matematike sa náhodou zaoberá teória pravdepodobnosti. V článku budú uvedené vzorce a príklady úloh, ako aj hlavné definície tejto vedy.

Čo je teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktorá študuje náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, uveďme malý príklad: ak hodíte mincu, môže pristáť na hlavách alebo chvostoch. Kým je minca vo vzduchu, obe tieto pravdepodobnosti sú možné. To znamená, že pravdepodobnosť možných následkov je 1:1. Ak je jedna vytiahnutá z balíčka 36 kariet, pravdepodobnosť bude označená ako 1:36. Zdalo by sa, že tu nie je čo skúmať a predpovedať, najmä pomocou matematických vzorcov. Ak však určitú akciu zopakujete mnohokrát, môžete identifikovať určitý vzorec a na základe neho predpovedať výsledok udalostí v iných podmienkach.

Aby sme zhrnuli všetky vyššie uvedené skutočnosti, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v číselnej hodnote.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili v ďalekom stredoveku, keď sa prvýkrát objavili pokusy predpovedať výsledok kartových hier.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. Bolo to odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktoré bolo možné reprodukovať v praxi. Prvé práce v tejto oblasti ako matematickej disciplíne sa objavili v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. Dlho študovali hazard a videli určité vzorce, o ktorých sa rozhodli povedať verejnosti.

Rovnakú techniku ​​vynašiel Christiaan Huygens, aj keď nepoznal výsledky výskumu Pascala a Fermata. Zaviedol pojem „teória pravdepodobnosti“, vzorce a príklady, ktoré sa považujú za prvé v histórii disciplíny.

Nemalý význam majú aj diela Jacoba Bernoulliho, Laplaceove a Poissonove vety. Z teórie pravdepodobnosti urobili skôr matematickú disciplínu. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady základných úloh dostali súčasnú podobu vďaka Kolmogorovovým axiómam. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jedným z matematických odvetví.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Diania

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „udalosť“. Existujú tri typy udalostí:

• Spoľahlivý. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
• nemožné. Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nestanú (minca zostane visieť vo vzduchu).
• Náhodný. Tie, ktoré sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom existujú náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jej tvar, pôvodná poloha, sila hodu atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými latinskými písmenami, s výnimkou P, ktoré má inú úlohu. Napríklad:

• A = „študenti prišli prednášať“.
• Ā = „študenti neprišli na prednášku“.

V praktických úlohách sa udalosti zvyčajne zapisujú slovami.

Jednou z najdôležitejších charakteristík udalostí je ich rovnaká možnosť. To znamená, že ak si hodíte mincou, sú možné všetky varianty počiatočného pádu, kým nepadne. Ale udalosti tiež nie sú rovnako možné. Stáva sa to vtedy, keď niekto úmyselne ovplyvňuje výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, v ktorých je posunuté ťažisko.

Udalosti môžu byť tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti nevylučujú vzájomný výskyt. Napríklad:

• A = „študent prišiel na prednášku“.
• B = „študent prišiel na prednášku“.

Tieto udalosti sú na sebe nezávislé a výskyt jednej z nich neovplyvňuje výskyt druhej. Nezlučiteľné udalosti sú definované skutočnosťou, že výskyt jedného vylučuje výskyt iného. Ak hovoríme o tej istej minci, potom strata „chvostov“ znemožňuje objavenie sa „hláv“ v tom istom experimente.

Akcie na udalostiach

Udalosti je možné násobiť a pridávať, podľa toho sú v disciplíne zavedené logické spojky „AND“ a „ALEBO“.

Množstvo je určené skutočnosťou, že buď udalosť A alebo B, alebo dve, môžu nastať súčasne. Ak nie sú kompatibilné, posledná možnosť nie je možná, hodí sa buď A alebo B.

Násobenie udalostí spočíva v objavení sa A a B súčasne.

Teraz môžeme uviesť niekoľko príkladov, aby sme si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešenia problémov nižšie.

Cvičenie 1: Spoločnosť sa zúčastňuje súťaže o zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

• A = „firma dostane prvú zmluvu“.
• A 1 = „firma nedostane prvú zákazku“.
• B = „firma dostane druhú zmluvu“.
• B 1 = „firma nedostane druhú zákazku“
• C = „firma dostane tretiu zmluvu“.
• C 1 = „firma nedostane tretiu zákazku“.

Pomocou akcií na udalostiach sa pokúsime vyjadriť nasledujúce situácie:

• K = „spoločnosť dostane všetky zmluvy“.

V matematickom tvare bude mať rovnica nasledujúci tvar: K = ABC.

• M = „spoločnosť nedostane ani jednu zmluvu“.

M = A1B1C1.

Skomplikujme si úlohu: H = „spoločnosť dostane jednu zákazku“. Keďže nie je známe, akú zákazku spoločnosť dostane (prvú, druhú alebo tretiu), je potrebné evidovať celý rozsah možných udalostí:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je séria udalostí, kde firma nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale dostane druhú. Ďalšie možné udalosti boli zaznamenané pomocou vhodnej metódy. Symbol υ v disciplíne označuje spojku „ALEBO“. Ak uvedený príklad preložíme do ľudskej reči, firma dostane buď tretiu zmluvu, alebo druhú, alebo prvú. Podobným spôsobom si môžete zapísať ďalšie podmienky v disciplíne „Teória pravdepodobnosti“. Vzorce a príklady riešenia problémov uvedené vyššie vám pomôžu urobiť to sami.

Vlastne pravdepodobnosť

Možno je v tejto matematickej disciplíne ústredným pojmom pravdepodobnosť udalosti. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

• klasický;
• štatistické;
• geometrický.

Každý má svoje miesto v štúdiu pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (9. ročník) používajú hlavne klasickú definíciu, ktorá znie takto:

• Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P(A)=m/n.

A je vlastne udalosť. Ak sa objaví prípad opačný ako A, možno ho zapísať ako Ā alebo A 1 .

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A = „vytiahnite kartu farby srdca“. V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sŕdc. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P(A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho bude pravdepodobnosť, že sa z balíčka vyberie karta srdcovej farby, 0,25.

Smerom k vyššej matematike

Teraz je už trochu známe, čo je to teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ktoré sa vyskytujú v školských osnovách. Teóriu pravdepodobnosti však nájdeme aj vo vyššej matematike, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie pracujú s geometrickými a štatistickými definíciami teórie a zložitými vzorcami.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Je lepšie začať študovať vzorce a príklady (vyššia matematika) v malom - so štatistickou (alebo frekvenčnou) definíciou pravdepodobnosti.

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasickým, ale mierne ho rozširuje. Ak bolo v prvom prípade potrebné určiť, s akou pravdepodobnosťou dôjde k udalosti, potom je potrebné pri tejto metóde uviesť, ako často sa bude vyskytovať. Tu sa zavádza nový pojem „relatívnej frekvencie“, ktorý možno označiť ako W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak sa na predikciu počíta klasický vzorec, potom sa podľa výsledkov experimentu vypočíta štatistický. Zoberme si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Spomedzi 100 produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Ako zistiť frekvenčnú pravdepodobnosť kvalitného produktu?

A = „vzhľad kvalitného produktu“.

Wn(A)=97/100=0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Odkiaľ máš 97? Zo 100 kontrolovaných produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Odpočítame 3 od 100 a dostaneme 97, to je množstvo kvalitného tovaru.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jeho základným princípom je, že ak sa určitá voľba A dá urobiť m rôznymi spôsobmi a voľba B sa dá urobiť n rôznymi spôsobmi, potom sa voľba A a B dá urobiť násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C vedú 4 cesty. Koľkými spôsobmi sa môžete dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4=20, čiže dvadsiatimi rôznymi spôsobmi sa môžete dostať z bodu A do bodu C.

Skomplikujme si úlohu. Koľko spôsobov je možné rozložiť karty v solitaire? V balíčku je 36 kariet - to je východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, musíte „odčítať“ jednu kartu naraz od počiatočného bodu a vynásobiť.

To znamená, že 36x35x34x33x32...x2x1= výsledok sa nezmestí na obrazovku kalkulačky, takže ho možno jednoducho označiť ako 36!. Podpíšte "!" vedľa čísla znamená, že celý rad čísel je vynásobený.

V kombinatorike existujú také pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Usporiadaná množina prvkov množiny sa nazýva usporiadanie. Umiestnenia sa môžu opakovať, to znamená, že jeden prvok možno použiť niekoľkokrát. A to bez opakovania, keď sa prvky neopakujú. n sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sa podieľajú na umiestnení. Vzorec pre umiestnenie bez opakovania bude vyzerať takto:

A n m = n!/(n-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike to vyzerá takto: P n = n!

Kombinácie n prvkov z m sú tie zlúčeniny, pri ktorých je dôležité, o aké prvky išlo a aký je ich celkový počet. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n!/m! (n-m)!

Bernoulliho vzorec

V teórii pravdepodobnosti, ako v každej disciplíne, existujú práce vynikajúcich výskumníkov vo svojom odbore, ktorí ju posunuli na novú úroveň. Jednou z týchto prác je Bernoulliho vzorec, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že výskyt A v experimente nezávisí od výskytu alebo neprítomnosti rovnakej udalosti v skorších alebo nasledujúcich pokusoch.

Bernoulliho rovnica:

Pn (m) = Cnm xpm xqn-m.

Pravdepodobnosť (p) výskytu udalosti (A) je konštantná pre každý pokus. Pravdepodobnosť, že situácia nastane presne m-krát v n počte experimentov, sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca. V súlade s tým vzniká otázka, ako zistiť číslo q.

Ak sa udalosť A vyskytne p toľkokrát, nemusí nastať. Jednotka je číslo, ktoré sa používa na označenie všetkých výsledkov situácie v disciplíne. Preto q je číslo, ktoré označuje možnosť, že udalosť nenastane.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teóriu pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov (prvá úroveň) zvážime nižšie.

Úloha 2: Návštevník obchodu uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. Do predajne samostatne vstúpilo 6 návštevníkov. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník uskutoční nákup?

Riešenie: Keďže nie je známe, koľko návštevníkov by malo uskutočniť nákup, jeden alebo všetkých šesť, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A = „návštevník uskutoční nákup.“

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (keďže v predajni je 6 zákazníkov). Číslo m sa bude meniť od 0 (ani jeden zákazník nenakúpi) do 6 (všetci návštevníci obchodu niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P6 (0) = Co6 xp0 xq6 = q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky, kam sa podeli C a r. Vo vzťahu k p sa číslo s mocninou 0 rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! /m!(n-m)!

Keďže v prvom príklade m = 0, C = 1, čo v zásade neovplyvňuje výsledok. Pomocou nového vzorca sa pokúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je až taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet náhodných situácií s nízkou pravdepodobnosťou.

Základný vzorec:

Pn(m)=Am/m! x e (-λ).

V tomto prípade λ = n x p. Tu je jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Nižšie zvážime príklady riešenia problémov.

Úloha 3: Továreň vyrobila 100 000 dielov. Výskyt chybnej časti = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobná udalosť, a preto sa na výpočet používa Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh tohto druhu sa nelíšia od iných úloh v disciplíne, potrebné údaje dosadíme do daného vzorca:

A = “náhodne vybraný diel bude chybný.”

p = 0,0001 (podľa podmienok úlohy).

n = 100 000 (počet častí).

m = 5 (chybné časti). Údaje dosadíme do vzorca a získame:

R 100 000 (5) = 105/5! Xe-io = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, ktoré sú napísané vyššie, má Poissonova rovnica neznáme e. V skutočnosti ju možno nájsť podľa vzorca:

e-λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

De Moivre-Laplaceova veta

Ak je počet pokusov v Bernoulliho schéme dostatočne veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti A vo všetkých schémach je rovnaká, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti A v určitom počte opakovaní v sérii testov možno nájsť pomocou Laplaceov vzorec:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ (X m).

Xm = m-np/√npq.

Aby ste si lepšie zapamätali Laplaceov vzorec (teória pravdepodobnosti), nižšie sú uvedené príklady problémov.

Najprv nájdime X m, dosadíme údaje (všetky sú uvedené vyššie) do vzorca a dostaneme 0,025. Pomocou tabuliek nájdeme číslo ϕ(0,025), ktorého hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje do vzorca:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Pravdepodobnosť, že leták bude fungovať presne 267-krát, je teda 0,03.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia problémov, pomocou ktorých budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá popisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ňou mohli byť spojené. Základný vzorec je nasledujúci:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A a B sú určité udalosti.

P(A|B) je podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

P (B|A) - podmienená pravdepodobnosť udalosti B.

Takže poslednou časťou krátkeho kurzu „Teória pravdepodobnosti“ je Bayesov vzorec, príklady riešení problémov, s ktorými sú uvedené nižšie.

Úloha 5: Do skladu boli privezené telefóny od troch firiem. Zároveň je podiel telefónov vyrobených v prvom závode 25%, v druhom - 60%, v treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvom závode je 2%, v druhom - 4% a v treťom - 1%. Musíte nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón bude chybný.

A = „náhodne vybraný telefón“.

B 1 - telefón, ktorý vyrobila prvá továreň. Podľa toho sa objavia úvodné B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu továreň).

V dôsledku toho dostaneme:

P(B1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - teda sme zistili pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienené pravdepodobnosti požadovanej udalosti, to znamená pravdepodobnosť chybných produktov v spoločnostiach:

P (A/B1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B3) = 0,01.

Teraz nahraďme údaje do Bayesovho vzorca a získame:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ale toto je len špička ľadovca obrovskej disciplíny. A po všetkom, čo bolo napísané, bude logické položiť si otázku, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. Pre bežného človeka je ťažké odpovedať; je lepšie opýtať sa niekoho, kto to použil na výhru jackpotu viac ako raz.