V kurzoch stredných a vysokých škôl sa študenti zaoberali témou „Zlomky“. Tento pojem je však oveľa širší ako to, čo je dané v procese učenia. Dnes sa s pojmom zlomok stretávame pomerne často a nie každý vie vypočítať akýkoľvek výraz, napríklad násobenie zlomkov.
čo je zlomok?
Historicky zlomkové čísla vznikli z potreby merania. Ako ukazuje prax, často existujú príklady určovania dĺžky segmentu a objemu obdĺžnikového obdĺžnika.
Na začiatku sa študenti zoznámia s pojmom podiel. Ak napríklad rozdelíte melón na 8 častí, potom každý dostane jednu osminu melónu. Táto jedna časť z ôsmich sa nazýva podiel.
Podiel rovný ½ akejkoľvek hodnoty sa nazýva polovica; ⅓ - tretina; ¼ - štvrtina. Záznamy v tvare 5/8, 4/5, 2/4 sa nazývajú obyčajné zlomky. Spoločný zlomok sa delí na čitateľa a menovateľa. Medzi nimi je zlomková čiara alebo zlomková čiara. Čiara zlomkov môže byť nakreslená ako horizontálna alebo šikmá čiara. V tomto prípade označuje znak delenia.
Menovateľ predstavuje, na koľko rovnakých častí je množstvo alebo objekt rozdelený; a v čitateli je počet rovnakých podielov. Čitateľ sa píše nad zlomkovú čiaru, menovateľ sa píše pod ňu.
Najvhodnejšie je zobraziť obyčajné zlomky na súradnicovom lúči. Ak je jeden segment rozdelený na 4 rovnaké časti, každá časť je označená latinským písmenom, výsledkom môže byť vynikajúca vizuálna pomôcka. Takže bod A ukazuje podiel rovný 1/4 celého segmentu jednotky a bod B označuje 2/8 daného segmentu.
Druhy zlomkov
Zlomky môžu byť obyčajné, desatinné a zmiešané čísla. Okrem toho možno zlomky rozdeliť na správne a nesprávne. Táto klasifikácia je vhodnejšia pre obyčajné zlomky.
Vlastný zlomok je číslo, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ. Nevlastný zlomok je teda číslo, ktorého čitateľ je väčší ako jeho menovateľ. Druhý typ sa zvyčajne píše ako zmiešané číslo. Tento výraz sa skladá z celého čísla a zlomkovej časti. Napríklad 1½. 1 je celá časť, ½ je zlomková časť. Ak však potrebujete vykonať nejaké manipulácie s výrazom (delenie alebo násobenie zlomkov, ich zníženie alebo konverziu), zmiešané číslo sa prevedie na nesprávny zlomok.
Správny zlomkový výraz je vždy menší ako jedna a nesprávny je vždy väčší alebo rovný 1.
Čo sa týka tohto výrazu, máme na mysli záznam, v ktorom je zastúpené ľubovoľné číslo, ktorého menovateľ zlomkového výrazu môže byť vyjadrený jednotkou s niekoľkými nulami. Ak je zlomok správny, potom sa celá časť v desiatkovom zápise bude rovnať nule.
Ak chcete napísať desatinný zlomok, musíte najskôr napísať celú časť, oddeliť ju od zlomku čiarkou a potom napísať výraz zlomku. Treba pamätať na to, že za desatinnou čiarkou musí čitateľ obsahovať rovnaký počet číslicových znakov, koľko núl je v menovateli.
Príklad. Vyjadrite zlomok 7 21 / 1000 v desiatkovej sústave.
Algoritmus na prevod nevlastného zlomku na zmiešané číslo a naopak
Je nesprávne napísať nesprávny zlomok v odpovedi na problém, takže je potrebné ho previesť na zmiešané číslo:
- vydeľte čitateľa existujúcim menovateľom;
- v špecifickom príklade je neúplný kvocient celok;
- a zvyšok je čitateľ zlomkovej časti, pričom menovateľ zostáva nezmenený.
Príklad. Preveďte nesprávny zlomok na zmiešané číslo: 47/5.
Riešenie. 47: 5. Čiastočný kvocient je 9, zvyšok = 2. Takže 47 / 5 = 9 2 / 5.
Niekedy je potrebné reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok. Potom musíte použiť nasledujúci algoritmus:
- celočíselná časť sa vynásobí menovateľom zlomkového výrazu;
- výsledný produkt sa pridá do čitateľa;
- výsledok sa zapíše do čitateľa, menovateľ zostáva nezmenený.
Príklad. Uveďte číslo v zmiešanom tvare ako nesprávny zlomok: 9 8 / 10.
Riešenie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je čitateľ.
Odpoveď: 98 / 10.
Násobenie zlomkov
S obyčajnými zlomkami možno vykonávať rôzne algebraické operácie. Ak chcete vynásobiť dve čísla, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Navyše, násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi sa nelíši od násobenia zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Stáva sa, že po zistení výsledku musíte zlomok znížiť. Je nevyhnutné čo najviac zjednodušiť výsledný výraz. Samozrejme, nemožno povedať, že nesprávny zlomok v odpovedi je chyba, ale je tiež ťažké nazvať to správnou odpoveďou.
Príklad. Nájdite súčin dvoch obyčajných zlomkov: ½ a 20/18.
Ako je zrejmé z príkladu, po nájdení produktu sa získa redukovateľný zlomkový zápis. Čitateľ aj menovateľ sú v tomto prípade delené 4 a výsledkom je odpoveď 5/9.
Násobenie desatinných zlomkov
Súčin desatinných zlomkov je vo svojom princípe celkom odlišný od súčinu obyčajných zlomkov. Takže násobenie zlomkov je nasledovné:
- dva desatinné zlomky musia byť napísané pod sebou tak, aby boli číslice úplne vpravo jedna pod druhou;
- musíte vynásobiť zapísané čísla napriek čiarkam, teda ako prirodzené čísla;
- spočítajte počet číslic za desatinnou čiarkou v každom čísle;
- vo výsledku získanom po vynásobení je potrebné spočítať sprava toľko digitálnych symbolov, koľko je obsiahnutých v súčte oboch faktorov za desatinnou čiarkou, a dať oddeľovacie znamienko;
- ak je v súčine menej čísel, musíte pred ne napísať toľko núl, aby ste toto číslo pokryli, vložte čiarku a pridajte celú časť rovnú nule.
Príklad. Vypočítajte súčin dvoch desatinných zlomkov: 2,25 a 3,6.
Riešenie.
Násobenie zmiešaných zlomkov
Ak chcete vypočítať súčin dvoch zmiešaných frakcií, musíte použiť pravidlo na násobenie frakcií:
- previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky;
- nájsť súčin čitateľov;
- nájsť súčin menovateľov;
- zapíšte výsledok;
- čo najviac zjednodušiť výraz.
Príklad. Nájdite súčin 4½ a 6 2/5.
Násobenie čísla zlomkom (zlomky číslom)
Okrem hľadania súčinu dvoch zlomkov a zmiešaných čísel existujú úlohy, pri ktorých je potrebné násobiť zlomkom.
Ak chcete nájsť súčin desatinného zlomku a prirodzeného čísla, potrebujete:
- napíš číslo pod zlomok tak, aby číslice úplne vpravo boli nad sebou;
- nájsť produkt napriek čiarke;
- vo výslednom výsledku oddeľte časť celého čísla od zlomkovej časti pomocou čiarky a počítajte sprava počet číslic, ktoré sa nachádzajú za desatinnou čiarkou v zlomku.
Ak chcete vynásobiť bežný zlomok číslom, musíte nájsť súčin čitateľa a prirodzeného faktora. Ak odpoveď poskytne zlomok, ktorý možno zmenšiť, mal by sa previesť.
Príklad. Vypočítajte súčin 5/8 a 12.
Riešenie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Odpoveď: 7 1 / 2.
Ako môžete vidieť z predchádzajúceho príkladu, bolo potrebné výsledný výsledok zmenšiť a previesť nesprávny zlomkový výraz na zmiešané číslo.
Násobenie zlomkov sa týka aj nájdenia súčinu čísla v zmiešanej forme a prirodzeného faktora. Ak chcete vynásobiť tieto dve čísla, mali by ste vynásobiť celú časť zmiešaného faktora číslom, vynásobiť čitateľa rovnakou hodnotou a ponechať menovateľa nezmenený. Ak je to potrebné, musíte výsledný výsledok čo najviac zjednodušiť.
Príklad. Nájdite súčin 9 5 / 6 a 9.
Riešenie. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Odpoveď: 88 1 / 2.
Násobenie faktormi 10, 100, 1000 alebo 0,1; 0,01; 0,001
Z predchádzajúceho odseku vyplýva nasledovné pravidlo. Ak chcete vynásobiť desatinný zlomok 10, 100, 1 000, 10 000 atď., musíte posunúť desatinnú čiarku doprava o toľko číslic, koľko núl je vo faktore za jednotkou.
Príklad 1. Nájdite súčin 0,065 a 1000.
Riešenie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Odpoveď: 65.
Príklad 2. Nájdite súčin 3,9 a 1000.
Riešenie. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.
Odpoveď: 3900.
Ak potrebujete vynásobiť prirodzené číslo a 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 atď., mali by ste posunúť čiarku vo výslednom produkte doľava o toľko číslic, koľko je nuly pred jednotkou. V prípade potreby sa pred prirodzené číslo napíše dostatočný počet núl.
Príklad 1. Nájdite súčin 56 a 0,01.
Riešenie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Odpoveď: 0,56.
Príklad 2. Nájdite súčin 4 a 0,001.
Riešenie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Odpoveď: 0,004.
Takže nájdenie produktu rôznych zlomkov by nemalo spôsobiť žiadne ťažkosti, snáď okrem výpočtu výsledku; v tomto prípade sa bez kalkulačky jednoducho nezaobídete.
Minule sme sa naučili sčítať a odčítať zlomky (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie zlomkov“). Najťažšou časťou týchto akcií bolo priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi.
Teraz je čas zaoberať sa násobením a delením. Dobrou správou je, že tieto operácie sú ešte jednoduchšie ako sčítanie a odčítanie. Najprv uvažujme o najjednoduchšom prípade, keď existujú dva kladné zlomky bez oddelenej celočíselnej časti.
Ak chcete vynásobiť dva zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov oddelene. Prvé číslo bude čitateľom nového zlomku a druhé bude menovateľom.
Ak chcete rozdeliť dva zlomky, musíte vynásobiť prvý zlomok „obráteným“ druhým zlomkom.
Označenie:
Z definície vyplýva, že delenie zlomkov redukuje na násobenie. Ak chcete zlomok „prevrátiť“, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Preto počas celej hodiny budeme uvažovať hlavne o násobení.
Následkom násobenia môže vzniknúť (a často aj vzniká) redukovateľný zlomok – ten sa, samozrejme, musí redukovať. Ak sa po všetkých zníženiach zlomok ukáže ako nesprávny, mala by sa zvýrazniť celá časť. Čo sa však pri násobení určite nestane, je redukcia na spoločného menovateľa: žiadne krížové metódy, najväčšie faktory a najmenšie spoločné násobky.
Podľa definície máme:
Násobenie zlomkov s celými časťami a zápornými zlomkami
Ak zlomky obsahujú celé číslo, musia sa previesť na nesprávne - a až potom vynásobiť podľa schém uvedených vyššie.
Ak je v čitateli zlomku, v menovateli alebo pred ním mínus, možno ho z násobenia vyňať alebo úplne odstrániť podľa nasledujúcich pravidiel:
- Plus mínus dáva mínus;
- Dva zápory potvrdzujú.
Doteraz sme sa s týmito pravidlami stretávali len pri sčítavaní a odčítaní záporných zlomkov, kedy bolo potrebné zbaviť sa celej časti. Pre prácu ich možno zovšeobecniť, aby „spálili“ niekoľko nevýhod naraz:
- Negatívy vo dvojiciach škrtáme, až kým úplne nezmiznú. V extrémnych prípadoch môže prežiť jeden mínus - ten, pre ktorý nebol partner;
- Ak nezostali žiadne mínusy, operácia je dokončená - môžete začať násobiť. Ak posledné mínus nie je prečiarknuté, pretože k nemu nebol pár, berieme ho za hranice násobenia. Výsledkom je záporný zlomok.
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Všetky zlomky prevedieme na nesprávne a potom z násobenia odstránime mínusky. To, čo zostalo, rozmnožíme podľa zaužívaných pravidiel. Dostaneme:
Ešte raz pripomeniem, že mínus, ktoré sa zobrazuje pred zlomkom so zvýraznenou celou časťou, sa vzťahuje konkrétne na celý zlomok, a nie len na jeho celú časť (to platí pre posledné dva príklady).
Dávajte pozor aj na záporné čísla: pri násobení sú uvedené v zátvorkách. Robí sa to preto, aby sa oddelili mínusy od znamienok násobenia a spresnil sa celý zápis.
Znižovanie frakcií za chodu
Násobenie je veľmi náročná operácia. Čísla sú tu dosť veľké a na zjednodušenie problému sa môžete pokúsiť zlomok ďalej zmenšiť pred násobením. Čitatelia a menovatelia zlomkov sú v podstate bežné faktory, a preto ich možno redukovať pomocou základnej vlastnosti zlomku. Pozrite si príklady:
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Podľa definície máme:
Vo všetkých príkladoch sú čísla, ktoré boli znížené, a to, čo z nich zostalo, označené červenou farbou.
Poznámka: v prvom prípade boli multiplikátory úplne znížené. Na ich mieste zostávajú jednotky, ktoré sa vo všeobecnosti nemusia písať. V druhom príklade nebolo možné dosiahnuť úplné zníženie, ale celkové množstvo výpočtov sa stále znížilo.
Túto techniku však nikdy nepoužívajte pri sčítavaní a odčítaní zlomkov! Áno, niekedy sa vyskytnú podobné čísla, ktoré chcete len znížiť. Tu, pozri:
To nemôžeš!
Chyba nastane, pretože pri sčítaní čitateľ zlomku vytvorí súčet, nie súčin čísel. V dôsledku toho nie je možné použiť základnú vlastnosť zlomku, pretože táto vlastnosť sa zaoberá špecificky násobením čísel.
Jednoducho neexistujú žiadne iné dôvody na zníženie zlomkov, takže správne riešenie predchádzajúceho problému vyzerá takto:
Správne riešenie:
Ako vidíte, správna odpoveď nebola taká krásna. Vo všeobecnosti buďte opatrní.
Obsah lekcieSčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi
Existujú dva typy pridávania frakcií:
- Sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi
- Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Najprv sa naučme sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:
Príklad 2 Pridajte zlomky a .
Odpoveď sa ukázala ako nesprávny zlomok. Keď príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nevhodnej frakcie, musíte vybrať celú jej časť. V našom prípade je celá časť ľahko izolovaná - dve delené dvoma sa rovnajú jednej:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate jednu celú pizzu:
Príklad 3. Pridajte zlomky a .
Opäť spočítame čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:
Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu 
Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:
Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak pridáte pizzu na pizzu a pridáte viac pizze, získate 1 celú pizzu a viac pizze.
Ako vidíte, na sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:
- Ak chcete pridať zlomky s rovnakým menovateľom, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený;
Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítavaní zlomkov musia byť menovatelia zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.
Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.
Zlomky však nemožno sčítať hneď, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.
Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes sa pozrieme len na jeden z nich, keďže ostatné spôsoby sa môžu začiatočníkovi zdať komplikované.
Podstatou tejto metódy je, že najprv sa hľadá LCM menovateľov oboch zlomkov. LCM sa potom vydelí menovateľom prvej frakcie, čím sa získa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhou frakciou - LCM sa vydelí menovateľom druhej frakcie a získa sa druhý dodatočný faktor.
Čitatelia a menovatelia zlomkov sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.
Príklad 1. Pridajme zlomky a
V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6
LCM (2 a 3) = 6
Teraz sa vráťme k zlomkom a . Najprv vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku a získajte prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.
Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným násobiteľom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobte malú šikmú čiaru nad zlomkom a zapíšte ďalší faktor, ktorý sa nachádza nad ním:
To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.
Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným multiplikátorom. Zapisujeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru cez druhý zlomok a zapíšeme ďalší faktor, ktorý sa nachádza nad ním:
Teraz máme všetko pripravené na doplnenie. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:
Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Vezmime si tento príklad do konca:
Týmto je príklad dokončený. Ukazuje sa pridať .
Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:
Redukovanie zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Redukovaním zlomkov a na spoločného menovateľa sme dostali zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými kúskami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).
Prvý výkres predstavuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý výkres predstavuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Pridaním týchto kusov dostaneme (sedem kusov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme zvýraznili jeho celú časť. V dôsledku toho sme dostali (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).
Upozorňujeme, že tento príklad sme opísali príliš podrobne. Vo vzdelávacích inštitúciách nie je zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo vynásobiť nájdené dodatočné faktory vašimi čitateľmi a menovateľmi. Keby sme boli v škole, museli by sme tento príklad napísať takto:
Ale je tu aj druhá strana mince. Ak si v prvých fázach štúdia matematiky nerobíte podrobné poznámky, začnú sa objavovať otázky tohto druhu. "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.
Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:
- Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
- Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte dodatočný faktor pre každý zlomok;
- Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
- Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
- Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 
.
Využime pokyny uvedené vyššie.
Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov
Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4
Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší faktor pre každý zlomok
Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho nad prvý zlomok:
Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Dostaneme druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho nad druhý zlomok:
Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Dostaneme tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho nad tretí zlomok:
Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi
Čitateľov a menovateľov vynásobíme ich ďalšími faktormi:
Krok 4. Pridajte zlomky s rovnakými menovateľmi
Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva len sčítať tieto zlomky. Pridajte to:
Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, preto sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, presunie sa na ďalší riadok a na koniec prvého riadku a na začiatok nového riadku je potrebné vložiť znamienko rovnosti (=). Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.
Krok 5. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť
Naša odpoveď sa ukázala ako nesprávny zlomok. Musíme vyzdvihnúť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:
Dostali sme odpoveď
Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
Existujú dva typy odčítania zlomkov:
- Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
- Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s podobnými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku, no menovateľ ponechajte rovnaký.
Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Ak chcete vyriešiť tento príklad, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený. Poďme to spraviť:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.
Opäť, od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku a menovateľ ponechajte nezmenený:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:
Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu 
Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zostávajúcich zlomkov:
Ako vidíte, na odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:
- Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
- Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte zvýrazniť celú jeho časť.
Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Môžete napríklad odčítať zlomok od zlomku, pretože zlomky majú rovnakých menovateľov. Nemôžete však odčítať zlomok od zlomku, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.
Spoločný menovateľ sa nachádza pomocou rovnakého princípu, ktorý sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý je napísaný nad prvým zlomkom. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý je napísaný nad druhým zlomkom.
Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, premenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.
Príklad 1 Nájdite význam výrazu:
Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, preto ich musíte zredukovať na rovnakého (spoločného) menovateľa.
Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12
LCM (3 a 4) = 12
Teraz sa vráťme k zlomkom a
Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Za týmto účelom vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Napíšte štvorku nad prvý zlomok:
To isté robíme s druhým zlomkom. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Napíšte trojku nad druhý zlomok:
Teraz sme pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:
Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Vezmime si tento príklad do konca:
Dostali sme odpoveď
Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak odrežete pizzu z pizze, dostanete pizzu
Toto je podrobná verzia riešenia. Keby sme boli v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:
Redukciu zlomkov na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Redukovaním týchto zlomkov na spoločného menovateľa sme dostali zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké časti (redukované na rovnakého menovateľa):
Na prvom obrázku je zlomok (osem dielikov z dvanástich) a na druhom obrázku je zlomok (tri dieliky z dvanástich). Vyrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 
Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, preto ich najprv musíte zredukovať na rovnakého (spoločného) menovateľa.
Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.
Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30
LCM(10,3,5) = 30
Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Ak to chcete urobiť, vydeľte LCM menovateľom každého zlomku.
Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho nad prvý zlomok:
Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho nad druhý zlomok:
Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Ak vydelíme 30 číslom 5, dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho nad tretí zlomok:
Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:
Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.
Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:
Odpoveď sa ukázala ako obyčajný zlomok a zdá sa, že všetko nám vyhovuje, ale je príliš ťažkopádne a škaredé. Mali by sme to zjednodušiť. Čo sa dá robiť? Tento zlomok môžete skrátiť.
Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa (GCD) čísel 20 a 30.
Nájdeme teda gcd čísel 20 a 30:
Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným gcd, to znamená 10
Dostali sme odpoveď
Násobenie zlomku číslom
Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom a ponechať menovateľa rovnakého.
Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.
Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1
Nahrávku možno chápať tak, že zaberie polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu raz, dostanete pizzu
Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene multiplikandu a faktora, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:
Tento zápis možno chápať ako prevzatie polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:
Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu
Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4
Odpoveď bol nesprávny zlomok. Vyzdvihnime celú jeho časť:
Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete 4 pizze, dostanete dve celé pizze
A ak zameníme multiplikand a multiplikátor, dostaneme výraz . Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:
Násobenie zlomkov
Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte zvýrazniť celú jeho časť.
Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.
Dostali sme odpoveď. Je vhodné tento podiel znížiť. Zlomok môže byť znížený o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu formu:
Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:
Ako ubrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:
A vezmite si dva z týchto troch kusov:
Urobíme pizzu. Pamätajte si, ako pizza vyzerá, keď je rozdelená na tri časti:
Jeden kus tejto pizze a dva kusy, ktoré sme si vzali, budú mať rovnaké rozmery:
Inými slovami, hovoríme o rovnakej veľkosti pizze. Preto hodnota výrazu je
Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu
Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:
Odpoveď bol nesprávny zlomok. Vyzdvihnime celú jeho časť:
Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu
Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:
Odpoveď sa ukázala ako obyčajný zlomok, ale bolo by dobré, keby sa skrátil. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločným deliteľom (GCD) čísel 105 a 450.
Takže nájdime gcd čísel 105 a 450:
Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede hodnotou gcd, ktorú sme teraz našli, teda 15
Predstavuje celé číslo ako zlomok
Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . To nezmení význam päť, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako vieme, sa rovná piatim:
Recipročné čísla
Teraz sa zoznámime s veľmi zaujímavou témou z matematiky. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.
Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jeden.
Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:
Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jeden.
Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že je to možné. Predstavme si päťku ako zlomok:
Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, iba hore nohami:
Čo sa stane v dôsledku toho? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:
To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo , pretože keď vynásobíte 5 číslom, dostanete jednotku.
Prevrátenú hodnotu čísla možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.
Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu akéhokoľvek iného zlomku. Ak to chcete urobiť, jednoducho ho otočte.
Delenie zlomku číslom
Povedzme, že máme polovicu pizze:
Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?
Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.
Delenie zlomkov sa robí pomocou reciprokých. Recipročné čísla umožňujú nahradiť delenie násobením.
Ak chcete zlomok vydeliť číslom, musíte zlomok vynásobiť inverznou hodnotou k deliteľovi.
Pomocou tohto pravidla si zapíšeme rozdelenie našej polovice pizze na dve časti.
Preto musíte zlomok vydeliť číslom 2. Tu je dividenda zlomkom a deliteľom je číslo 2.
Ak chcete rozdeliť zlomok číslom 2, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa 2. Prevrátená hodnota deliteľa 2 je zlomok. Takže musíte násobiť
Násobenie a delenie zlomkov.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Táto operácia je oveľa krajšia ako sčítanie-odčítanie! Pretože je to jednoduchšie. Pripomíname, že ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ). To je:
Napríklad:
Všetko je mimoriadne jednoduché. A prosím, nehľadajte spoločného menovateľa! Tu ho netreba...
Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte obrátiť druhý(to je dôležité!) zlomok a vynásobte ich, t.j.:
Napríklad:
Ak narazíte na násobenie alebo delenie celými číslami a zlomkami, je to v poriadku. Rovnako ako pri sčítaní, aj tu vytvoríme zlomok z celého čísla s jednotkou v menovateli – a do toho! Napríklad:
Na strednej škole sa často musíte zaoberať trojposchodovými (alebo aj štvorposchodovými!) zlomkami. Napríklad:
Ako môžem, aby tento zlomok vyzeral slušne? Áno, veľmi jednoduché! Použite dvojbodové delenie:
Ale nezabudnite na poradie delenia! Na rozdiel od násobenia je to tu veľmi dôležité! Samozrejme, nebudeme si mýliť 4:2 alebo 2:4. Ale je ľahké urobiť chybu v trojposchodovej časti. Všimnite si napríklad:
V prvom prípade (výraz vľavo):
V druhom (výraz vpravo):
Cítiš ten rozdiel? 4 a 1/9!
Čo určuje poradie delenia? Buď so zátvorkami, alebo (ako tu) s dĺžkou vodorovných čiar. Rozvíjajte svoje oko. A ak neexistujú žiadne zátvorky alebo pomlčky, napríklad:
potom deliť a násobiť v poradí, zľava doprava!
A ďalšia veľmi jednoduchá a dôležitá technika. V akciách s titulmi vám to bude tak užitočné! Vydeľme jeden zlomkom, napríklad 13/15:
Strela sa obrátila! A toto sa stáva vždy. Pri delení 1 ľubovoľným zlomkom je výsledkom rovnaký zlomok, len hore nohami.
To je všetko pre operácie so zlomkami. Vec je celkom jednoduchá, no chýb dáva viac než dosť. Berte do úvahy praktické rady a bude ich (chýb) menej!
Praktické rady:
1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť! Toto nie sú všeobecné slová, nie dobré priania! Toto je priam nevyhnutnosť! Urobte všetky výpočty na jednotnej štátnej skúške ako plnohodnotnú úlohu, sústredenú a prehľadnú. Je lepšie napísať do návrhu dva riadky navyše, ako sa pokaziť pri mentálnych výpočtoch.
2. V príkladoch s rôznymi druhmi zlomkov prejdeme k obyčajným zlomkom.
3. Všetky frakcie redukujeme, až kým sa nezastavia.
4. Viacúrovňové zlomkové výrazy redukujeme na obyčajné pomocou delenia cez dva body (dodržiavame poradie delenia!).
5. Vydeľte jednotku zlomkom v hlave tak, že zlomok jednoducho otočíte.
Tu sú úlohy, ktoré určite musíte splniť. Odpovede sú uvedené po všetkých úlohách. Použite materiály na túto tému a praktické tipy. Odhadnite, koľko príkladov ste dokázali správne vyriešiť. Prvý krát! Bez kalkulačky! A vyvodiť správne závery...
Pamätajte - správna odpoveď je prijaté od druhého (najmä tretieho) času sa nepočíta! Taký je krutý život.
takže, riešiť v skúšobnom režime ! Mimochodom, toto je už príprava na jednotnú štátnu skúšku. Príklad vyriešime, skontrolujeme, vyriešime ďalší. O všetkom sme rozhodli - znova skontrolovali od prvého do posledného. Ale len Potom pozri si odpovede.
Vypočítať:
Rozhodol si sa?
Hľadáme odpovede, ktoré zodpovedajú vašim. Schválne som ich zapísal neporiadne, takpovediac ďaleko od pokušenia... Tu sú odpovede písané bodkočiarkami.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Teraz vyvodíme závery. Ak sa všetko podarilo, som za vás šťastný! Základné výpočty so zlomkami nie sú váš problém! Môžete robiť aj vážnejšie veci. Ak nie...
Takže máte jeden z dvoch problémov. Alebo oboje naraz.) Nedostatok vedomostí a (alebo) nepozornosť. Ale toto riešiteľný Problémy.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
PREKONAJTE UŽ TIETO HRABLE! 🙂
Násobenie a delenie zlomkov.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi. »
A pre tých, ktorí „veľmi veľmi. ")
Táto operácia je oveľa príjemnejšia ako sčítanie a odčítanie! Pretože je to jednoduchšie. Pripomíname, že ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ). To je:
Všetko je mimoriadne jednoduché. A prosím, nehľadajte spoločného menovateľa! Tu ho netreba...
Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte obrátiť druhý(to je dôležité!) zlomok a vynásobte ich, t.j.:
Ak narazíte na násobenie alebo delenie celými číslami a zlomkami, je to v poriadku. Rovnako ako pri sčítaní, aj tu vytvoríme zlomok z celého čísla s jednotkou v menovateli – a do toho! Napríklad:
Na strednej škole sa často musíte zaoberať trojposchodovými (alebo aj štvorposchodovými!) zlomkami. Napríklad:
Ako môžem, aby tento zlomok vyzeral slušne? Áno, veľmi jednoduché! Použite dvojbodové delenie:
Ale nezabudnite na poradie delenia! Na rozdiel od násobenia je to tu veľmi dôležité! Samozrejme, nebudeme si mýliť 4:2 alebo 2:4. Ale je ľahké urobiť chybu v trojposchodovej časti. Všimnite si napríklad:
V prvom prípade (výraz vľavo):
V druhom (výraz vpravo):
Cítiš ten rozdiel? 4 a 1/9!
Čo určuje poradie delenia? Buď so zátvorkami, alebo (ako tu) s dĺžkou vodorovných čiar. Rozvíjajte svoje oko. A ak neexistujú žiadne zátvorky alebo pomlčky, napríklad:
potom deliť a násobiť v poradí, zľava doprava!
A ďalšia veľmi jednoduchá a dôležitá technika. V akciách s titulmi vám to bude tak užitočné! Vydeľme jeden zlomkom, napríklad 13/15:
Strela sa obrátila! A toto sa stáva vždy. Pri delení 1 ľubovoľným zlomkom je výsledkom rovnaký zlomok, len hore nohami.
To je všetko pre operácie so zlomkami. Vec je celkom jednoduchá, no chýb dáva viac než dosť. Berte do úvahy praktické rady a bude ich (chýb) menej!
1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť! Toto nie sú všeobecné slová, nie dobré priania! Toto je priam nevyhnutnosť! Urobte všetky výpočty na jednotnej štátnej skúške ako plnohodnotnú úlohu, sústredenú a prehľadnú. Je lepšie napísať do návrhu dva riadky navyše, ako sa pokaziť pri mentálnych výpočtoch.
2. V príkladoch s rôznymi druhmi zlomkov prejdeme k obyčajným zlomkom.
3. Všetky frakcie redukujeme, až kým sa nezastavia.
4. Viacúrovňové zlomkové výrazy redukujeme na obyčajné pomocou delenia cez dva body (dodržiavame poradie delenia!).
Tu sú úlohy, ktoré určite musíte splniť. Odpovede sú uvedené po všetkých úlohách. Použite materiály na túto tému a praktické tipy. Odhadnite, koľko príkladov ste dokázali správne vyriešiť. Prvý krát! Bez kalkulačky! A vyvodiť správne závery.
Pamätajte - správna odpoveď je prijaté od druhého (najmä tretieho) času sa nepočíta! Taký je krutý život.
takže, riešiť v skúšobnom režime ! Mimochodom, toto je už príprava na jednotnú štátnu skúšku. Príklad vyriešime, skontrolujeme, vyriešime ďalší. O všetkom sme rozhodli - znova skontrolovali od prvého do posledného. Ale len Potom pozri si odpovede.
Hľadáme odpovede, ktoré zodpovedajú vašim. Schválne som ich napísal neporiadne, takpovediac ďaleko od pokušenia. Tu sú odpovede oddelené bodkočiarkou.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Teraz vyvodíme závery. Ak sa všetko podarilo, som za vás šťastný! Základné výpočty so zlomkami nie sú váš problém! Môžete robiť aj vážnejšie veci. Ak nie.
Takže máte jeden z dvoch problémov. Alebo oboje naraz.) Nedostatok vedomostí a (alebo) nepozornosť. Ale. Toto riešiteľný Problémy.
Všetky tieto (a ďalšie!) príklady sú uvedené v špeciálnej sekcii 555 „Zlomky“. S podrobným vysvetlením čo, prečo a ako. Táto analýza veľmi pomáha pri nedostatku vedomostí a zručností!
Áno, a je tu niečo o druhom probléme.) Celkom praktická rada, ako sa stať pozornejším. Áno áno! Rady, ktoré možno uplatniť každý.
Úspech si okrem vedomostí a pozornosti vyžaduje istú automatiku. Kde to môžem získať? Počujem ťažký vzdych... Áno, len v praxi, nikde inde.
Na školenie môžete prejsť na webovú stránku 321start.ru. Vo voľbe „Vyskúšať“ je 10 príkladov pre každého. S okamžitým overením. Pre registrovaných užívateľov - 34 príkladov od jednoduchých po ťažké. Toto je len v zlomkoch.
Ak sa vám táto stránka páči.
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Tu si môžete precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
A tu sa môžete zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Pravidlo 1.
Ak chcete vynásobiť zlomok prirodzeným číslom, musíte vynásobiť jeho čitateľa týmto číslom a ponechať menovateľa nezmenený.
Pravidlo 2.
Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom:
1. nájdite súčin čitateľov a súčin menovateľov týchto zlomkov
2. Napíšte prvý súčin ako čitateľ a druhý ako menovateľ.
Pravidlo 3.
Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich napísať ako nesprávne zlomky a potom použiť pravidlo na násobenie zlomkov.
Pravidlo 4.
Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, musíte dividendu vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.
Príklad 1
Vypočítajte
Príklad 2
Vypočítajte
Príklad 3
Vypočítajte
Príklad 4.
Vypočítajte
Matematika. Iné materiály
Zvýšenie čísla na racionálnu silu. (
Zvýšenie čísla na prirodzenú silu. (
Zovšeobecnená intervalová metóda na riešenie algebraických nerovníc (Autor A.V. Kolchanov)
Metóda nahradenia faktorov pri riešení algebraických nerovností (Autor Kolchanov A.V.)
Známky deliteľnosti (Lungu Alena)
Otestujte sa na tému „Násobenie a delenie obyčajných zlomkov“
Násobenie zlomkov
Násobenie obyčajných zlomkov zvážime v niekoľkých možných možnostiach.
Násobenie bežného zlomku zlomkom
Toto je najjednoduchší prípad, v ktorom musíte použiť nasledujúce pravidlá pre násobenie zlomkov.
Komu násobte zlomok po zlomku, potrebné:
Pred násobením čitateľov a menovateľov skontrolujte, či je možné zlomky zmenšiť. Zníženie zlomkov vo výpočtoch vám výrazne uľahčí výpočty.
Násobenie zlomku prirodzeným číslom
Urobiť zlomok vynásobte prirodzeným číslomČitateľ zlomku musíte vynásobiť týmto číslom a menovateľ zlomku ponechať nezmenený.
Ak je výsledkom násobenia nesprávny zlomok, nezabudnite ho premeniť na zmiešané číslo, to znamená zvýrazniť celú časť.
Násobenie zmiešaných čísel
Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr premeniť na nesprávne zlomky a potom násobiť podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov.
Ďalší spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom
Niekedy je pri výpočtoch vhodnejšie použiť iný spôsob vynásobenia spoločného zlomku číslom.
Ak chcete vynásobiť zlomok prirodzeným číslom, musíte vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a čitateľa ponechať rovnaký.
Ako vidno z príkladu, túto verziu pravidla je vhodnejšie použiť, ak je menovateľ zlomku bezo zvyšku deliteľný prirodzeným číslom.
Delenie zlomku číslom
Aký je najrýchlejší spôsob delenia zlomku číslom? Poďme analyzovať teóriu, vyvodiť záver a použiť príklady, aby sme videli, ako je možné deliť zlomok číslom pomocou nového krátkeho pravidla.
Delenie zlomku číslom sa zvyčajne riadi pravidlom delenia zlomkov. Prvé číslo (zlomok) vynásobíme prevrátenou hodnotou druhého. Keďže druhé číslo je celé číslo, jeho inverzná je zlomok, ktorého čitateľ sa rovná jednej a menovateľ sa rovná danému číslu. Schematicky delenie zlomku prirodzeným číslom vyzerá takto:
Z toho usudzujeme:
Ak chcete rozdeliť zlomok číslom, musíte vynásobiť menovateľa týmto číslom a ponechať čitateľa rovnaký. Pravidlo možno sformulovať ešte stručnejšie:
Pri delení zlomku číslom ide číslo do menovateľa.
Vydeľte zlomok číslom:
Ak chcete zlomok rozdeliť číslom, prepíšeme čitateľa nezmenený a vynásobíme menovateľa týmto číslom. Znížime 6 a 3 o 3.
Pri delení zlomku číslom prepíšeme čitateľa a týmto číslom vynásobíme menovateľa. Zmenšíme 16 a 24 o 8.
Pri delení zlomku číslom ide číslo do menovateľa, takže čitateľa necháme rovnaký a menovateľa vynásobíme deliteľom. Znížime 21 a 35 o 7.
Násobenie a delenie zlomkov
Minule sme sa naučili sčítať a odčítať zlomky (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie zlomkov“). Najťažšou časťou týchto akcií bolo priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi.
Teraz je čas zaoberať sa násobením a delením. Dobrou správou je, že tieto operácie sú ešte jednoduchšie ako sčítanie a odčítanie. Najprv uvažujme o najjednoduchšom prípade, keď existujú dva kladné zlomky bez oddelenej celočíselnej časti.
Ak chcete vynásobiť dva zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov oddelene. Prvé číslo bude čitateľom nového zlomku a druhé bude menovateľom.
Ak chcete rozdeliť dva zlomky, musíte vynásobiť prvý zlomok „obráteným“ druhým zlomkom.
Z definície vyplýva, že delenie zlomkov redukuje na násobenie. Ak chcete zlomok „prevrátiť“, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Preto počas celej hodiny budeme uvažovať hlavne o násobení.
Následkom násobenia môže vzniknúť (a často aj vzniká) redukovateľný zlomok – ten sa, samozrejme, musí redukovať. Ak sa po všetkých zníženiach zlomok ukáže ako nesprávny, mala by sa zvýrazniť celá časť. Čo sa však pri násobení určite nestane, je redukcia na spoločného menovateľa: žiadne krížové metódy, najväčšie faktory a najmenšie spoločné násobky.
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Podľa definície máme:
Násobenie zlomkov s celými časťami a zápornými zlomkami
Ak zlomky obsahujú celé číslo, musia sa previesť na nesprávne - a až potom vynásobiť podľa schém uvedených vyššie.
Ak je v čitateli zlomku, v menovateli alebo pred ním mínus, možno ho z násobenia vyňať alebo úplne odstrániť podľa nasledujúcich pravidiel:
- Plus mínus dáva mínus;
- Dva zápory potvrdzujú.
- Negatívy vo dvojiciach škrtáme, až kým úplne nezmiznú. V extrémnych prípadoch môže prežiť jeden mínus - ten, pre ktorý nebol partner;
- Ak nezostali žiadne mínusy, operácia je dokončená - môžete začať násobiť. Ak posledné mínus nie je prečiarknuté, pretože k nemu nebol pár, berieme ho za hranice násobenia. Výsledkom je záporný zlomok.
Doteraz sme sa s týmito pravidlami stretávali len pri sčítavaní a odčítaní záporných zlomkov, kedy bolo potrebné zbaviť sa celej časti. Pre prácu ich možno zovšeobecniť, aby „spálili“ niekoľko nevýhod naraz:
Všetky zlomky prevedieme na nesprávne a potom z násobenia odstránime mínusky. To, čo zostalo, rozmnožíme podľa zaužívaných pravidiel. Dostaneme:
Ešte raz pripomeniem, že mínus, ktoré sa zobrazuje pred zlomkom so zvýraznenou celou časťou, sa vzťahuje konkrétne na celý zlomok, a nie len na jeho celú časť (to platí pre posledné dva príklady).
Dávajte pozor aj na záporné čísla: pri násobení sú uvedené v zátvorkách. Robí sa to preto, aby sa oddelili mínusy od znamienok násobenia a spresnil sa celý zápis.
Znižovanie frakcií za chodu
Násobenie je veľmi náročná operácia. Čísla sú tu dosť veľké a na zjednodušenie problému sa môžete pokúsiť zlomok ďalej zmenšiť pred násobením. Čitatelia a menovatelia zlomkov sú v podstate bežné faktory, a preto ich možno redukovať pomocou základnej vlastnosti zlomku. Pozrite si príklady:
Vo všetkých príkladoch sú čísla, ktoré boli znížené, a to, čo z nich zostalo, označené červenou farbou.
Poznámka: v prvom prípade boli multiplikátory úplne znížené. Na ich mieste zostávajú jednotky, ktoré sa vo všeobecnosti nemusia písať. V druhom príklade nebolo možné dosiahnuť úplné zníženie, ale celkové množstvo výpočtov sa stále znížilo.
Túto techniku však nikdy nepoužívajte pri sčítavaní a odčítaní zlomkov! Áno, niekedy sa vyskytnú podobné čísla, ktoré chcete len znížiť. Tu, pozri:
To nemôžeš!
Chyba nastane, pretože pri sčítaní čitateľ zlomku vytvorí súčet, nie súčin čísel. V dôsledku toho nie je možné použiť základnú vlastnosť zlomku, pretože táto vlastnosť sa zaoberá špecificky násobením čísel.
Jednoducho neexistujú žiadne iné dôvody na zníženie zlomkov, takže správne riešenie predchádzajúceho problému vyzerá takto:
Ako vidíte, správna odpoveď nebola taká krásna. Vo všeobecnosti buďte opatrní.
Delenie zlomkov.
Delenie zlomku prirodzeným číslom.
Príklady delenia zlomku prirodzeným číslom
Delenie prirodzeného čísla zlomkom.
Príklady delenia prirodzeného čísla zlomkom
Delenie obyčajných zlomkov.
Príklady delenia obyčajných zlomkov
Delenie zmiešaných čísel.
- Ak chcete rozdeliť jedno zmiešané číslo druhým, musíte:
- previesť zmiešané frakcie na nesprávne frakcie;
- vynásobte prvý zlomok prevráteným zlomkom druhého;
- znížiť výslednú frakciu;
- Ak získate nesprávny zlomok, preveďte nesprávny zlomok na zmiešaný zlomok.
- previesť zmiešané frakcie na nesprávne frakcie;
- násobenie čitateľov a menovateľov zlomkov;
- znížiť frakciu;
- Ak dostanete nesprávny zlomok, potom prevedieme nesprávny zlomok na zmiešaný zlomok.
- Pod- a pod- Prepracovaná pieseň „Jarné tango“ (Prichádza čas – vtáky prilietajú z juhu) – hudba. Valery Milyaev Nepočul som dosť, nerozumel som, nerozumel som tomu, v tom zmysle, že som neuhádol, napísal som všetky slovesá s neoddeliteľne, nevedel som o predpone nedo. To sa stáva, […]
- Stránka nenájdená V treťom záverečnom čítaní bol prijatý balík vládnych dokumentov o vytvorení osobitných správnych regiónov (SAR). V dôsledku odchodu z Európskej únie nebude Spojené kráľovstvo zahrnuté do európskeho priestoru DPH a […]
- Spoločný vyšetrovací výbor sa objaví na jeseň Spoločný vyšetrovací výbor sa objaví na jeseň Vyšetrovanie všetkých orgánov činných v trestnom konaní sa na štvrtý pokus dostane pod jednu strechu Už na jeseň 2014 sa podľa Izvestija prezident Vladimir Putin [ …]
- Patent na algoritmus Ako vyzerá patent na algoritmus Ako sa pripravuje patent na algoritmus Príprava technických popisov metód na ukladanie, spracovanie a prenos signálov a/alebo dát špeciálne na účely patentovania zvyčajne nepredstavuje žiadne zvláštne ťažkosti, a […]
- ČO JE DÔLEŽITÉ VEDIEŤ O NOVOM NÁVRHU O DÔCHODOCH 12. decembra 1993 ÚSTAVA RUSKEJ FEDERÁCIE (berúc do úvahy zmeny a doplnenia zákonov Ruskej federácie o zmenách a doplneniach Ústavy Ruskej federácie z 30. decembra 2008 N 6- FKZ, zo dňa 30. decembra 2008 N 7-FKZ, […]
- Vtipné hlášky o ženskom dôchodku pre hrdinu dňa, muži pre hrdinu dňa, muži - v zbore pre hrdinu dňa, ženy - venovanie dôchodcom, ženy, vtipné. Zaujímavé budú súťaže pre dôchodcov. Moderátor : Drahí priatelia! Len chvílu! Senzácia! Iba […]
Príklady delenia zmiešaných čísel
1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16
2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7
Akékoľvek obscénne komentáre budú vymazané a ich autori budú uvedení na čiernu listinu!
Vitajte v OnlineMSchool.
Volám sa Dovzhik Michail Viktorovič. Som vlastníkom a autorom tejto stránky, napísal som všetok teoretický materiál a tiež som vyvinul online cvičenia a kalkulačky, ktoré môžete použiť pri štúdiu matematiky.
Zlomky. Násobenie a delenie zlomkov.
Násobenie bežného zlomku zlomkom.
Na vynásobenie obyčajných zlomkov je potrebné vynásobiť čitateľa čitateľom (dostaneme čitateľa súčinu) a menovateľa menovateľom (dostaneme menovateľa súčinu).
Vzorec na násobenie zlomkov:
Skôr ako začnete násobiť čitateľov a menovateľov, musíte skontrolovať, či je možné zlomok zmenšiť. Ak dokážete zlomok zmenšiť, bude pre vás jednoduchšie robiť ďalšie výpočty.
Poznámka! Netreba tu hľadať spoločného menovateľa!!
Delenie bežného zlomku zlomkom.
Delenie obyčajného zlomku zlomkom prebieha takto: otočíte druhý zlomok (t. j. zmeníte čitateľa a menovateľa) a potom sa zlomky vynásobia.
Vzorec na delenie obyčajných zlomkov:
Násobenie zlomku prirodzeným číslom.
Poznámka! Pri násobení zlomku prirodzeným číslom sa čitateľ zlomku vynásobí naším prirodzeným číslom a menovateľ zlomku zostane rovnaký. Ak je výsledkom produktu nesprávna frakcia, potom nezabudnite zvýrazniť celú časť a premeniť nevhodnú frakciu na zmiešanú frakciu.
Delenie zlomkov zahŕňajúcich prirodzené čísla.
Nie je to také strašidelné, ako sa zdá. Rovnako ako pri sčítaní prevedieme celé číslo na zlomok s jednotkou v menovateli. Napríklad:
Násobenie zmiešaných zlomkov.
Pravidlá pre násobenie zlomkov (zmiešané):
Poznámka! Ak chcete vynásobiť zmiešaný zlomok iným zmiešaným zlomkom, musíte ich najskôr previesť do tvaru nesprávnych zlomkov a potom vynásobiť podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov.
Druhý spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom.
Môže byť vhodnejšie použiť druhú metódu násobenia spoločného zlomku číslom.
Poznámka! Ak chcete vynásobiť zlomok prirodzeným číslom, musíte vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a ponechať čitateľa nezmenený.
Z vyššie uvedeného príkladu je zrejmé, že túto možnosť je vhodnejšie použiť, keď je menovateľ zlomku delený bezo zvyšku prirodzeným číslom.
Viacpríbehové zlomky.
Na strednej škole sa často stretávame s trojposchodovými (alebo viac) zlomkami. Príklad:
Ak chcete dostať takýto zlomok do jeho bežnej podoby, použite delenie cez 2 body:
Poznámka! Pri delení zlomkov je veľmi dôležité poradie delenia. Buďte opatrní, tu sa dá ľahko zmiasť.
Poznámka, Napríklad:
Pri delení jedného zlomkom bude výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený:
Praktické tipy na násobenie a delenie zlomkov:
1. Najdôležitejšou vecou pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť. Všetky výpočty robte opatrne a presne, sústredene a jasne. Je lepšie napísať do návrhu pár riadkov navyše, ako sa stratiť v mentálnych výpočtoch.
2. V úlohách s rôznymi druhmi zlomkov prejdite na typ obyčajných zlomkov.
3. Všetky zlomky redukujeme, až kým to už nie je možné.
4. Viacúrovňové zlomkové výrazy transformujeme na obyčajné pomocou delenia cez 2 body.
