V tomto článku sa dozviete, ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú čiarami pomocou integrálnych výpočtov. Prvýkrát sa s formuláciou takéhoto problému stretávame na strednej škole, keď sme práve ukončili štúdium určitých integrálov a je čas začať s geometrickým výkladom získaných poznatkov v praxi.

Čo je teda potrebné na úspešné vyriešenie problému nájdenia oblasti obrázku pomocou integrálov:

• Schopnosť robiť kompetentné výkresy;
• Schopnosť riešiť určitý integrál pomocou známeho Newtonovho-Leibnizovho vzorca;
• Schopnosť „vidieť“ výnosnejšiu možnosť riešenia – t.j. pochopiť, ako bude pohodlnejšie vykonať integráciu v jednom alebo druhom prípade? Pozdĺž osi x (OX) alebo osi y (OY)?
• Kde by sme boli bez správnych výpočtov?) To zahŕňa pochopenie toho, ako vyriešiť tento iný typ integrálov a správne numerické výpočty.

Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy obrazca ohraničeného čiarami:

1. Vytvárame výkres. Je vhodné to urobiť na kockovanom papieri vo veľkom meradle. Názov tejto funkcie podpíšeme ceruzkou nad každým grafom. Podpisovanie grafov sa vykonáva výlučne pre pohodlie ďalších výpočtov. Po získaní grafu požadovaného čísla bude vo väčšine prípadov okamžite jasné, ktoré limity integrácie sa použijú. Úlohu teda riešime graficky. Stáva sa však, že hodnoty limitov sú zlomkové alebo iracionálne. Preto môžete vykonať ďalšie výpočty, prejdite na druhý krok.

2. Ak nie sú hranice integrácie explicitne špecifikované, nájdeme priesečníky grafov medzi sebou a uvidíme, či sa naše grafické riešenie zhoduje s analytickým.

3. Ďalej musíte analyzovať výkres. V závislosti od toho, ako sú grafy funkcií usporiadané, existujú rôzne prístupy k nájdeniu oblasti obrázku. Pozrime sa na rôzne príklady hľadania oblasti obrazca pomocou integrálov.

3.1. Najklasickejšia a najjednoduchšia verzia problému je, keď potrebujete nájsť oblasť zakriveného lichobežníka. Čo je to zakrivený lichobežník? Toto je plochý údaj ohraničený osou x (y = 0), rovný x = a, x = b a ľubovoľná krivka súvislá na intervale od a predtým b. Navyše tento údaj nie je záporný a nenachádza sa pod osou x. V tomto prípade sa plocha krivočiareho lichobežníka numericky rovná určitému integrálu, vypočítanému pomocou vzorca Newton-Leibniz:

Príklad 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Akými čiarami je obrazec ohraničený? Máme parabolu y = x2 – 3x + 3, ktorá sa nachádza nad osou OH, je nezáporné, pretože všetky body tejto paraboly majú kladné hodnoty. Ďalej, dané rovné čiary x = 1 A x = 3, ktoré prebiehajú rovnobežne s osou OU, sú hraničné čiary obrázku vľavo a vpravo. Dobre y = 0, je to aj os x, ktorá obmedzuje obrázok zdola. Výsledný obrázok je vytieňovaný, ako je možné vidieť na obrázku vľavo. V takom prípade môžete problém okamžite začať riešiť. Pred nami je jednoduchý príklad zakriveného lichobežníka, ktorý potom vyriešime pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

3.2. V predchádzajúcom odseku 3.1 sme skúmali prípad, keď sa nad osou x nachádza zakrivený lichobežník. Teraz zvážte prípad, keď sú podmienky problému rovnaké, okrem toho, že funkcia leží pod osou x. K štandardnému Newton-Leibnizovmu vzorcu sa pridáva mínus. Ako vyriešiť takýto problém, zvážime nižšie.

Príklad 2 . Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

V tomto príklade máme parabolu y = x2 + 6x + 2, ktorý vychádza z os OH, rovný x = -4, x = -1, y = 0. Tu y = 0 obmedzuje požadovanú hodnotu zhora. Priamy x = -4 A x = -1 toto sú hranice, v rámci ktorých sa bude počítať určitý integrál. Princíp riešenia problému nájdenia oblasti obrazca sa takmer úplne zhoduje s príkladom číslo 1. Jediný rozdiel je v tom, že daná funkcia nie je kladná a je tiež spojitá na intervale [-4; -1] . Čo tým myslíš nie pozitívne? Ako vidno z obrázku, obrazec, ktorý leží v rámci daného x, má výlučne „záporné“ súradnice, čo musíme vidieť a zapamätať si pri riešení úlohy. Hľadáme oblasť obrázku pomocou vzorca Newton-Leibniz, iba so znamienkom mínus na začiatku.

Článok nie je dokončený.

Poďme ďalej zvážiť aplikácie integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typickú a najbežnejšiu úlohu výpočet plochy rovinného útvaru pomocou určitého integrálu. Napokon, nech ho nájdu všetci tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike. Nikdy nevieš. V reálnom živote budete musieť aproximovať dacha pomocou elementárnych funkcií a nájsť jej plochu pomocou určitého integrálu.

Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:

1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na strednej úrovni. Preto by si figuríny mali lekciu najskôr prečítať nie.

2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. S určitými integrálmi na stránke môžete nadviazať vrúcne priateľské vzťahy Určitý integrál. Príklady riešení. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa vytvorenie výkresu, takže relevantnou otázkou budú aj vaše znalosti a zručnosti v kreslení. Minimálne musíte byť schopní zostrojiť priamku, parabolu a hyperbolu.

Začnime so zakriveným lichobežníkom. Zakrivený lichobežník je plochý útvar ohraničený grafom nejakej funkcie r = f(X), os VÔL a linky X = a; X = b.

Plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu

Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. Na lekcii Určitý integrál. Príklady riešení povedali sme, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA. teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche určitého útvaru. Zvážte určitý integrál

Integrand

definuje krivku v rovine (v prípade potreby ju možno nakresliť) a samotný určitý integrál sa numericky rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

, , , .

Toto je typický príkaz na zadanie. Najdôležitejším bodom pri rozhodovaní je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť výkres vytvorený SPRÁVNY.

Pri konštrukcii výkresu odporúčam nasledovné poradie: najprv je lepšie zostrojiť všetky priame čiary (ak existujú) a len Potom– paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Techniku ​​výstavby bod po bode nájdete v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Nájdete tam aj veľmi užitočný materiál pre našu lekciu - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.

Urobme kresbu (všimnite si, že rovnica r= 0 určuje os VÔL):

Zakrivený lichobežník nezatienime, tu je zrejmé, o akú oblasť ide. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente [-2; 1] funkčný graf r = X 2 + 2 sa nachádza nad osouVÔL, Preto:

odpoveď: .

Kto má problémy s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newton-Leibnizovho vzorca

,

odkazovať na prednášku Určitý integrál. Príklady riešení. Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade počítame počet buniek na výkrese „okom“ - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami xy = 4, X = 2, X= 4 a os VÔL.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod nápravouVÔL?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami r = e-x, X= 1 a súradnicové osi.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak zakrivený lichobežník úplne umiestnené pod osou VÔL , potom jeho oblasť možno nájsť pomocou vzorca:

V tomto prípade:

.

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa obrazca najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami r = 2X – X 2 , r = -X.

Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly r = 2X – X 2 a rovno r = -X. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická. Riešime rovnicu:

To znamená, že spodná hranica integrácie a= 0, horná hranica integrácie b= 3. Často je ziskovejšie a rýchlejšie konštruovať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). Vráťme sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme výkres:

Zopakujme, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie určujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec:

Ak na segmente [ a; b] nejaká nepretržitá funkcia f(X) väčšie alebo rovné nejaká nepretržitá funkcia g(X), potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť pomocou vzorca:

Tu už nemusíte premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, ale záleží, ktorý graf je VYŠŠIE(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je DOLE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto od 2. X – X 2 treba odpočítať – X.

Hotové riešenie môže vyzerať takto:

Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou r = 2X – X 2 hore a rovno r = -X nižšie.

V segmente 2 X – X 2 ≥ -X. Podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď: .

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca

.

Pretože os VÔL daný rovnicou r= 0 a graf funkcie g(X) umiestnený pod osou VÔL, To

.

A teraz pár príkladov pre vlastné riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami

Pri riešení problémov s výpočtom plochy pomocou určitého integrálu sa niekedy stane vtipná príhoda. Kresba bola urobená správne, výpočty boli správne, ale kvôli neopatrnosti... Bola nájdená oblasť nesprávnej postavy.

Príklad 7

Najprv urobme kresbu:

Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však ľudia kvôli nepozornosti často rozhodnú, že musia nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!

Tento príklad je tiež užitočný, pretože vypočítava plochu obrazca pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente [-1; 1] nad osou VÔL graf je umiestnený rovno r = X+1;

2) Na segmente nad osou VÔL nachádza sa graf hyperboly r = (2/X).

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Príklad 8

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami

Uveďme rovnice v „školskej“ forme

a urobte bod po bode nákres:

Z nákresu je zrejmé, že naša horná hranica je „dobrá“: b = 1.

Ale aká je spodná hranica?! Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo to je?

Možno, a= (-1/3)? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať a= (-1/4). Čo ak sme graf zostavili nesprávne?

V takýchto prípadoch musíte stráviť viac času a analyticky si ujasniť hranice integrácie.

Poďme nájsť priesečníky grafov

Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:

.

teda a=(-1/3).

Ďalšie riešenie je triviálne. Hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znakoch. Výpočty tu nie sú najjednoduchšie. Na segmente

, ,

podľa príslušného vzorca:

odpoveď:

Na záver lekcie sa pozrime na dve náročnejšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami

Riešenie: Znázornime tento obrázok na výkrese.

Na zostavenie bodového výkresu potrebujete poznať vzhľad sínusoidy. Vo všeobecnosti je užitočné poznať grafy všetkých elementárnych funkcií, ako aj niektoré sínusové hodnoty. Nájdete ich v tabuľke hodnôt goniometrické funkcie. V niektorých prípadoch (napríklad v tomto prípade) je možné zostaviť schematický výkres, na ktorom by mali byť grafy a limity integrácie zásadne správne zobrazené.

Tu nie sú žiadne problémy s limitmi integrácie, vyplývajú priamo z podmienky:

– „x“ sa zmení z nuly na „pi“. Urobme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente, grafe funkcie r= hriech 3 X umiestnený nad osou VÔL, Preto:

(1) V lekcii môžete vidieť, ako sú sínusy a kosínusy integrované do nepárnych mocnín Integrály goniometrických funkcií. Odštípneme jeden sínus.

(2) Vo formulári používame hlavnú goniometrickú identitu

(3) Zmeňme premennú t=cos X, potom: sa nachádza nad osou, preto:

.

.

Poznámka: všimnite si, ako sa berie integrál tangensovej kocky; tu je použitý dôsledok základnej goniometrickej identity

.

V skutočnosti, aby ste našli oblasť obrazca, nepotrebujete toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa vytvorenie výkresu, takže vaše znalosti a zručnosti v kreslení budú oveľa naliehavejším problémom. V tomto smere je užitočné osviežiť si pamäť grafov základných elementárnych funkcií a minimálne vedieť zostrojiť priamku a hyperbolu.

Zakrivený lichobežník je plochý útvar ohraničený osou, rovnými čiarami a grafom funkcie súvislej na segmente, ktorý na tomto intervale nemení znamienko. Nechajte tento obrázok nájsť nie menej os x:

Potom plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu. Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam.

Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche určitého útvaru. Uvažujme napríklad určitý integrál. Integrand definuje krivku v rovine umiestnenej nad osou (tí, ktorí si to želajú, môžu kresliť) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typický príkaz na zadanie. Prvým a najdôležitejším bodom rozhodnutia je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť výkres vytvorený SPRÁVNY.

Pri konštrukcii výkresu odporúčam nasledovné poradie: najprv je lepšie zostrojiť všetky priame čiary (ak existujú) a len Potom- paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Je výhodnejšie vytvárať grafy funkcií bod po bode.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Nakreslíme výkres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Na segmente sa nachádza graf funkcie nad osou, Preto:

odpoveď:

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek na výkrese - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak je umiestnený zakrivený lichobežník pod nápravou(alebo nakoniec nie vyššie danú os), potom jeho plochu možno nájsť pomocou vzorca:

V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa obrazca najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami , .

Riešenie: Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická. Riešime rovnicu:

To znamená, že dolná hranica integrácie je , horná hranica integrácie je .

Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať..

Je oveľa výnosnejšie a rýchlejšie stavať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.

Vráťme sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme výkres:

A teraz pracovný vzorec: Ak je na segmente nejaká súvislá funkcia väčšie alebo rovné nejaká spojitá funkcia, potom oblasť obrázku ohraničená grafmi týchto funkcií a čiarami, možno nájsť pomocou vzorca:

Tu už nemusíte premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, záleží, ktorý graf je VYŠŠIE(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je DOLE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Hotové riešenie môže vyzerať takto:

Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou nad a priamkou pod ňou.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Príklad 4

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

Riešenie: Najprv si urobme kresbu:

Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že vypočítava plochu obrazca pomocou dvoch určitých integrálov.

Naozaj:

1) Na segmente nad osou je graf priamky;

2) Na segmente nad osou je graf hyperboly.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

Problém 1(o výpočte plochy zakriveného lichobežníka).

V karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme xOy je daný údaj (pozri obrázok) ohraničený osou x, priamkami x = a, x = b (a krivočiarym lichobežníkom. Je potrebné vypočítať plochu krivočiary lichobežník.
Riešenie. Geometria nám dáva recepty na výpočet plôch mnohouholníkov a niektorých častí kruhu (sektor, segment). Pomocou geometrických úvah môžeme nájsť len približnú hodnotu požadovanej plochy, pričom uvažujme takto.

Rozdeľme segment [a; b] (základňa zakriveného lichobežníka) na n rovnakých častí; toto rozdelenie sa vykonáva pomocou bodov x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Nakreslite priame čiary cez tieto body rovnobežné s osou y. Potom sa daný krivočiary lichobežník rozdelí na n častí, na n úzkych stĺpikov. Plocha celého lichobežníka sa rovná súčtu plôch stĺpcov.

Uvažujme samostatne k-tý stĺpec, t.j. zakrivený lichobežník, ktorého základňou je segment. Nahradíme ho obdĺžnikom s rovnakou základňou a výškou rovnou f(x k) (pozri obrázok). Plocha obdĺžnika sa rovná \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kde \(\Delta x_k \) je dĺžka segmentu; Je prirodzené považovať výsledný produkt za približnú hodnotu plochy k-tého stĺpca.

Ak teraz urobíme to isté so všetkými ostatnými stĺpcami, dospejeme k nasledujúcemu výsledku: plocha S daného krivočiareho lichobežníka sa približne rovná ploche S n stupňovitého útvaru zloženého z n obdĺžnikov (pozri obrázok):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \bodky + f(x_k)\Delta x_k + \bodky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tu z dôvodu jednotnosti zápisu predpokladáme, že a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - dĺžka segmentu, \(\Delta x_1 \) - dĺžka segmentu atď.; v tomto prípade, ako sme sa dohodli vyššie, \(\Delta x_0 = \bodky = \Delta x_(n-1) \)

Takže, \(S \približne S_n \), a táto približná rovnosť je presnejšia, čím väčšie n.
Podľa definície sa predpokladá, že požadovaná plocha krivočiareho lichobežníka sa rovná limitu sekvencie (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problém 2(o posunutí bodu)
Hmotný bod sa pohybuje po priamke. Závislosť rýchlosti od času vyjadruje vzorec v = v(t). Nájdite pohyb bodu za určité časové obdobie [a; b].
Riešenie. Ak by bol pohyb rovnomerný, potom by sa problém vyriešil veľmi jednoducho: s = vt, t.j. s = v(b-a). Pri nerovnomernom pohybe musíte použiť rovnaké nápady, na ktorých bolo založené riešenie predchádzajúceho problému.
1) Rozdeľte časový interval [a; b] na n rovnakých častí.
2) Uvažujme časový úsek a predpokladajme, že počas tohto časového úseku bola rýchlosť konštantná, rovnaká ako v čase t k. Takže predpokladáme, že v = v(t k).
3) Nájdite približnú hodnotu pohybu bodu za určité časové obdobie; túto približnú hodnotu označíme ako s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Nájdite približnú hodnotu posunutia s:
\(s \približne S_n \) kde
\(S_n = s_0 + \bodky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \bodky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Požadované posunutie sa rovná limitu postupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Poďme si to zhrnúť. Riešenia rôznych problémov boli zredukované na rovnaký matematický model. Mnohé problémy z rôznych oblastí vedy a techniky vedú v procese riešenia k rovnakému modelu. To znamená, že tento matematický model musí byť špeciálne študovaný.

Pojem určitého integrálu

Uveďme matematický popis modelu, ktorý bol zostavený v troch uvažovaných úlohách pre funkciu y = f(x), spojitý (ale nie nevyhnutne nezáporný, ako sa predpokladalo v uvažovaných úlohách) na intervale [a; b]:
1) rozdeliť segment [a; b] na n rovnakých častí;
2) vytvorte súčet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

V priebehu matematickej analýzy bolo dokázané, že táto limita existuje v prípade spojitej (alebo po častiach spojitej) funkcie. Volá sa určitý integrál funkcie y = f(x) cez segment [a; b] a označené takto:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Čísla a a b sa nazývajú hranice integrácie (dolné a horné).

Vráťme sa k vyššie uvedeným úlohám. Definícia oblasti uvedená v úlohe 1 môže byť teraz prepísaná takto:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tu S je oblasť zakriveného lichobežníka znázorneného na obrázku vyššie. Toto je geometrický význam určitého integrálu.

Definíciu posunutia s bodu, ktorý sa pohybuje v priamom smere rýchlosťou v = v(t) za časový úsek od t = a do t = b, uvedenú v úlohe 2, možno prepísať takto:

Newtonov-Leibnizov vzorec

Najprv si odpovedzme na otázku: aká je súvislosť medzi určitým integrálom a primitívnou deriváciou?

Odpoveď možno nájsť v úlohe 2. Na jednej strane, posunutie s bodu pohybujúceho sa priamočiaro rýchlosťou v = v(t) za časové obdobie od t = a do t = b sa vypočíta podľa vzorec
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Na druhej strane súradnica pohybujúceho sa bodu je primitívom pre rýchlosť - označme ju s(t); to znamená, že posunutie s je vyjadrené vzorcom s = s(b) - s(a). V dôsledku toho dostaneme:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kde s(t) je primitívna derivácia v(t).

Nasledujúca veta bola dokázaná v priebehu matematickej analýzy.
Veta. Ak je funkcia y = f(x) spojitá na intervale [a; b], potom platí vzorec
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kde F(x) je primitívna derivácia f(x).

Daný vzorec sa zvyčajne nazýva Newtonov-Leibnizov vzorec na počesť anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a nemeckého filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), ktorí ho dostali nezávisle od seba a takmer súčasne.

V praxi namiesto písania F(b) - F(a) používajú zápis \(\left. F(x)\right|_a^b \) (niekedy je tzv. dvojitá substitúcia) a podľa toho prepíšte Newtonov-Leibnizov vzorec do tohto tvaru:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \vľavo. F(x)\vpravo|_a^b \)

Pri výpočte určitého integrálu najprv nájdite primitívnu deriváciu a potom vykonajte dvojitú substitúciu.

Na základe Newtonovho-Leibnizovho vzorca môžeme získať dve vlastnosti určitého integrálu.

Nehnuteľnosť 1. Integrál súčtu funkcií sa rovná súčtu integrálov:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať z integrálneho znamienka:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou určitého integrálu

Pomocou integrálu môžete vypočítať plochy nielen zakrivených lichobežníkov, ale aj rovinných útvarov zložitejšieho typu, napríklad toho, ktorý je znázornený na obrázku. Obrazec P je ohraničený priamkami x = a, x = b a grafmi spojitých funkcií y = f(x), y = g(x) a na úsečke [a; b] platí nerovnosť \(g(x) \leq f(x) \). Na výpočet plochy S takéhoto obrázku budeme postupovať takto:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Plocha S obrazca ohraničená priamkami x = a, x = b a grafmi funkcií y = f(x), y = g(x), súvislá na segmente a taká, že pre ľubovoľné x zo segmentu [a; b] je splnená nerovnosť \(g(x) \leq f(x) \), vypočítaná podľa vzorca
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabuľka neurčitých integrálov (antiderivátov) niektorých funkcií

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x + C $$

Úloha č. 3. Nakreslite a vypočítajte plochu figúry ohraničenú čiarami

Aplikácia integrálu na riešenie aplikovaných úloh

Výpočet plochy

Určitý integrál spojitej nezápornej funkcie f(x) sa numericky rovná oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného krivkou y = f(x), osou O x a priamkami x = a a x = b. V súlade s tým je vzorec oblasti napísaný takto:

Pozrime sa na niekoľko príkladov výpočtu plôch rovinných útvarov.

Úloha č.1. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Riešenie. Zostrojme obrazec, ktorého plochu budeme musieť vypočítať.

y = x 2 + 1 je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor a parabola je oproti osi O y posunutá nahor o jednu jednotku (obrázok 1).

Obrázok 1. Graf funkcie y = x 2 + 1

Úloha č.2. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 – 1, y = 0 v rozsahu od 0 do 1.

Riešenie. Graf tejto funkcie je parabola vetiev, ktoré sú nasmerované nahor a parabola je posunutá vzhľadom na os O y nadol o jednu jednotku (obrázok 2).

Obrázok 2. Graf funkcie y = x 2 – 1

Úloha č. 3. Nakreslite a vypočítajte plochu figúry ohraničenú čiarami

y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4.

Riešenie. Prvá z týchto dvoch čiar je parabola s vetvami smerujúcimi nadol, pretože koeficient x 2 je záporný, a druhá čiara je priamka pretínajúca obe súradnicové osi.

Na zostrojenie paraboly nájdeme súradnice jej vrcholu: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – úsečka vrcholu; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je jeho ordináta, N(1;9) je vrchol.

Teraz nájdime priesečníky paraboly a priamky riešením sústavy rovníc:

Vyrovnanie pravých strán rovnice, ktorej ľavé strany sú rovnaké.

Dostaneme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 alebo x 2 – 12 = 0, odkiaľ .

Body sú teda priesečníky paraboly a priamky (obrázok 1).

Obrázok 3 Grafy funkcií y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4

Zostrojme priamku y = 2x – 4. Prechádza bodmi (0;-4), (2;0) na súradnicových osiach.

Na zostrojenie paraboly môžete použiť aj jej priesečníky s osou 0x, teda korene rovnice 8 + 2x – x 2 = 0 alebo x 2 – 2x – 8 = 0. Pomocou Vietovej vety je jednoduché nájsť jeho korene: x 1 = 2, x 2 = 4.

Obrázok 3 zobrazuje obrazec (parabolický segment M1N M2) ohraničený týmito čiarami.

Druhou časťou problému je nájsť oblasť tohto obrázku. Jeho obsah možno nájsť pomocou určitého integrálu podľa vzorca .

Vo vzťahu k tejto podmienke dostaneme integrál:

2 Výpočet objemu rotačného telesa

Objem telesa získaný z rotácie krivky y = f(x) okolo osi O x sa vypočíta podľa vzorca:

Pri otáčaní okolo osi Oy vzorec vyzerá takto:

Úloha č.4. Určte objem telesa získaného rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného priamkami x = 0 x = 3 a krivkou y = okolo osi O x.

Riešenie. Nakreslíme obrázok (obrázok 4).

Obrázok 4. Graf funkcie y =

Požadovaný objem je

Úloha č.5. Vypočítajte objem telesa získaný rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného krivkou y = x 2 a priamkami y = 0 a y = 4 okolo osi O y.

Riešenie. Máme:

Kontrolné otázky