N.Nikitin เรขาคณิต. สัญญาณของความขนานของเส้นสองเส้น

คำจำกัดความ 1

เส้นตรง $c$ เรียกว่า แบ่งสำหรับเส้น $a$ และ $b$ ถ้ามันตัดกันที่จุดสองจุด

พิจารณาสองบรรทัด $a$ และ $b$ และบรรทัดตัด $c$

เมื่อมันตัดกัน มุมต่างๆ จะปรากฏขึ้น ซึ่งเราแสดงด้วยตัวเลขตั้งแต่ $1$ ถึง $8$

แต่ละมุมมีชื่อที่มักใช้ในทางคณิตศาสตร์:

• คู่ของมุม $3$ และ $5$, $4$ และ $6$ เรียกว่า นอนขวาง;
• คู่ของมุม $1$ กับ $5$, $4$ กับ $8$, $2$ กับ $6$, $3$ กับ $7$ เรียกว่า ที่เกี่ยวข้อง;
• คู่ของมุม $4$ และ $5$, $5$ และ $6$ เรียกว่า ฝ่ายเดียว.

สัญญาณของเส้นขนาน

ทฤษฎีบท 1

ความเท่าเทียมกันของมุมวางขวางคู่สำหรับเส้น $a$ และ $b$ และเส้นแบ่ง $c$ บอกว่าเส้น $a$ และ $b$ ขนานกัน:

การพิสูจน์.

ให้มุมตัดขวางของเส้น $а$ และ $b$ และเส้นแบ่ง $с$ เท่ากัน: $∠1=∠2$

ให้เราแสดงว่า $a \parallel b$

โดยที่มุม $1$ และ $2$ นั้นถูกต้อง เราจะได้เส้น $a$ และ $b$ ตั้งฉากกับเส้น $AB$ ดังนั้นจึงขนานกัน

โดยที่มุม $1$ และ $2$ ไม่ถูกต้อง เราวาดจากจุด $O$ ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของส่วน $AB$ ซึ่งตั้งฉาก $ON$ กับเส้น $a$

ในบรรทัด $b$ เราแยกส่วน $BH_1=AH$ ออก และวาดส่วน $OH_1$ เราได้สามเหลี่ยมสองอันเท่ากัน $OHA$ และ $OH_1B$ จากสองด้านและมุมระหว่างสามเหลี่ยมทั้งสอง ($∠1=∠2$, $AO=BO$, $BH_1=AH$) ดังนั้น $∠3=∠4$ และ $ ∠5=∠6$ เพราะ $∠3=∠4$ แล้วจุด $H_1$ อยู่บนเส้นรังสี $OH$ ดังนั้นจุด $H$, $O$ และ $H_1$ จึงอยู่ในบรรทัดเดียวกัน เพราะ $∠5=∠6$ แล้ว $∠6=90^(\circ)$ ดังนั้น เส้น $а$ และ $b$ ตั้งฉากกับเส้น $HH_1$ และขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2

ความเท่าเทียมกันของคู่ของมุมที่สอดคล้องกันสำหรับเส้น $a$ และ $b$ และเส้นแบ่ง $c$ หมายความว่าเส้น $a$ และ $b$ ขนานกัน:

ถ้า $∠1=∠2$ แล้ว $a \parallel b$

การพิสูจน์.

ให้มุมที่สอดคล้องกันของเส้น $а$ และ $b$ และเส้นแบ่ง $с$ เท่ากัน: $∠1=∠2$ มุม $2$ และ $3$ อยู่ในแนวตั้ง ดังนั้น $∠2=∠3$ ดังนั้น $∠1=∠3$ เพราะ มุม $1$ และ $3$ เป็นมุมขวาง แล้วเส้น $a$ และ $b$ จะขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 3

ถ้าผลรวมของมุมด้านเดียวสองมุมสำหรับเส้น $a$ และ $b$ และเส้นตัด $c$ เท่ากับ $180^(\circ)C$ ดังนั้น เส้น $a$ และ $b$ จะขนานกัน:

ถ้า $∠1+∠4=180^(\circ)$ แล้ว $a \parallel b$

การพิสูจน์.

ให้มุมด้านเดียวของเส้น $a$ และ $b$ และเส้นตัด $c$ รวมกันได้ $180^(\circ)$ เป็นต้น

$∠1+∠4=180^(\circ)$

มุม $3$ และ $4$ อยู่ติดกัน ดังนั้น

$∠3+∠4=180^(\circ)$

จะเห็นได้จากความเท่าเทียมกันที่ได้รับว่ามุมตัดขวางคือ $∠1=∠3$ ซึ่งหมายความว่าเส้น $a$ และ $b$ ขนานกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความขนานของเส้นตรงตามสัญญาณที่พิจารณา

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

จุดตัดแบ่งครึ่งส่วน $AB$ และ $CD$ พิสูจน์ว่า $AC \parallel BD$.

ที่ให้ไว้: $AO=OB$, $CO=OD$

พิสูจน์: $AC\ขนาน BD$

การพิสูจน์.

จากเงื่อนไขของโจทย์ $AO=OB$, $CO=OD$ และความเท่ากันของมุมดิ่ง $∠1=∠2$ ตามเกณฑ์ความเท่ากันของสามเหลี่ยม I-th จะได้ว่า $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB $. ดังนั้น $∠3=∠4$

มุม $3$ และ $4$ อยู่ในแนวขวางที่ $AC$ และ $BD$ สองเส้น และตัด $AB$ จากนั้นตามเกณฑ์ I-th ของการขนานของเส้น $AC \parallel BD$ การยืนยันได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดมุม $∠2=45^(\circ)$ และ $∠7$ คือ $3$ คูณมุมที่กำหนด จงพิสูจน์ว่า $a \parallel b$.

ที่ให้ไว้: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.

พิสูจน์: $a \ขนาน b$

การพิสูจน์:

1. ค้นหาค่าของมุม $7$:

$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$

1. มุมแนวตั้ง $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$
2. หาผลบวกของมุมภายใน $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$

ตามเกณฑ์ที่สามของการขนานของเส้น $a \parallel b$ การยืนยันได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 3

ที่ให้ไว้: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$

พิสูจน์: $AC \ขนาน BD$, $AD \ขนาน BC$

การพิสูจน์:

ภาพวาดที่พิจารณามีด้านร่วม $AB$

เพราะ รูปสามเหลี่ยม $ABC$ และ $ADB$ เท่ากัน จากนั้น $AD=CB$, $AC=BD$ และมุมที่ตรงกันคือ $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠5=∠ 6 ดอลลาร์

คู่ของมุม $3$ และ $4$ นั้นตัดกันสำหรับเส้น $AC$ และ $BD$ และซีแคนต์ $AB$ ที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ตามเกณฑ์ I-th ของการขนานของเส้น $AC \parallel BD $.

คู่ของมุม $5$ และ $6$ นั้นตัดกันสำหรับเส้น $AD$ และ $BC$ และซีแคนต์ $AB$ ที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ตามเกณฑ์ I-th ของการขนานของเส้น $AD \parallel BC $.

หน้าที่ 1 จาก 2

คำถามที่ 1.พิสูจน์ว่าเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกับเส้นที่สามนั้นขนานกัน
คำตอบ. ทฤษฎีบท 4.1 เส้นสองเส้นที่ขนานกันกับเส้นที่สามนั้นขนานกัน
การพิสูจน์.ให้เส้น a และ b ขนานกับเส้น c สมมติว่า a และ b ไม่ขนานกัน (รูปที่ 69) จากนั้นพวกมันจะไม่ตัดกันที่จุด C ดังนั้น เส้นสองเส้นผ่านจุด C และขนานกับเส้นตรง c แต่สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด จึงสามารถลากได้สูงสุดหนึ่งเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำถามที่ 2อธิบายว่ามุมใดที่เรียกว่าด้านเดียวภายใน มุมใดที่เรียกว่าการนอนขวางภายใน
คำตอบ.คู่ของมุมที่เกิดขึ้นเมื่อเส้น AB และ CD ตัดกับ AC มีชื่อพิเศษ
หากจุด B และ D อยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวกันเมื่อเทียบกับเส้นตรง AC มุม BAC และ DCA จะเรียกว่าด้านเดียวภายใน (รูปที่ 71, a)
หากจุด B และ D อยู่ในระนาบครึ่งระนาบที่แตกต่างกันสำหรับเส้น AC ดังนั้นมุม BAC และ DCA จะเรียกว่าการนอนตามขวางภายใน (รูปที่ 71, b)

ข้าว. 71

คำถามที่ 3พิสูจน์ว่าหากมุมตัดขวางภายในของคู่หนึ่งเท่ากัน มุมตัดขวางภายในของอีกคู่หนึ่งจะเท่ากันด้วย และผลรวมของมุมภายในด้านเดียวของแต่ละคู่จะเท่ากับ 180°
คำตอบ.รูปแบบซีแคนต์ AC ที่มีเส้น AB และ CD สองคู่ของมุมภายในด้านเดียวและมุมตัดขวางภายในสองคู่ มุมนอนขวางภายในของคู่หนึ่ง เช่น มุม 1 และมุม 2 อยู่ติดกับมุมนอนไขว้ภายในของคู่อื่น: มุม 3 และมุม 4 (รูปที่ 72)

ข้าว. 72

ดังนั้นหากมุมตัดขวางภายในของคู่หนึ่งเท่ากัน มุมตัดขวางภายในของอีกคู่หนึ่งก็จะเท่ากันด้วย
มุมวางขวางภายในคู่หนึ่ง เช่น มุม 1 และมุม 2 และมุมภายในด้านเดียวคู่หนึ่ง เช่น มุม 2 และมุม 3 มีมุมร่วมหนึ่งมุม มุม 2 และอีกสองมุมที่อยู่ติดกัน มุม 1 และมุม 3
ดังนั้น ถ้ามุมภายในเท่ากัน ผลรวมของมุมภายในจะเท่ากับ 180° และในทางกลับกัน ถ้าผลรวมของมุมตัดขวางภายในเท่ากับ 180° ดังนั้นมุมตัดขวางภายในจะเท่ากัน คิวอีดี

คำถามที่ 4พิสูจน์เกณฑ์สำหรับเส้นขนาน
คำตอบ. ทฤษฎีบท 4.2 (ทดสอบเส้นขนาน)ถ้ามุมตัดขวางภายในเท่ากันหรือผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 180° แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน
การพิสูจน์.ปล่อยให้เส้น a และ b สร้างมุมนอนตามขวางภายในที่เท่ากันด้วย secant AB (รูปที่ 73, a) สมมติว่าเส้น a และ b ไม่ขนานกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นเหล่านี้ตัดกันที่จุด C (รูปที่ 73, b)

ข้าว. 73

secant AB แยกระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง จุด C อยู่ในหนึ่งในนั้น ลองสร้างสามเหลี่ยม BAC 1 เท่ากับสามเหลี่ยม ABC โดยมีจุดยอด C 1 ในอีกครึ่งระนาบ ตามเงื่อนไข มุมตัดขวางภายในสำหรับเส้นขนาน a, b และ secant AB เท่ากัน เนื่องจากมุมที่สมนัยกันของสามเหลี่ยม ABC และ BAC 1 ที่มีจุดยอด A และ B เท่ากัน จึงเกิดมุมตัดกันภายในพอดี ดังนั้น เส้น AC 1 ตรงกับเส้น a และเส้น BC 1 ตรงกับเส้น b ปรากฎว่ามีเส้น a และ b สองเส้นที่แตกต่างกันผ่านจุด C และ C 1 และนี่เป็นไปไม่ได้ เส้น a และ b จึงขนานกัน
ถ้าเส้น a และ b และเส้นตัด AB มีผลรวมของมุมภายในด้านเดียวเท่ากับ 180° ดังนั้น อย่างที่เราทราบ มุมตัดขวางภายในจะเท่ากัน ดังนั้น จากสิ่งที่พิสูจน์ข้างต้น เส้น a และ b ขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำถามที่ 5.อธิบายว่ามุมใดเรียกว่าสอดคล้องกัน พิสูจน์ว่าหากมุมตัดขวางภายในเท่ากัน มุมที่สอดคล้องกันก็จะเท่ากันด้วย และในทางกลับกัน

คำตอบ.หากมุมตัดขวางภายในคู่หนึ่งมีมุมหนึ่งถูกแทนที่ด้วยมุมแนวตั้ง จะได้มุมคู่หนึ่ง ซึ่งเรียกว่ามุมที่สอดคล้องกันของเส้นที่กำหนดด้วยเซแคนต์ คือสิ่งที่ต้องอธิบาย
จากความเท่าเทียมกันของมุมขวางภายใน ตามความเท่าเทียมกันของมุมที่สอดคล้องกัน และในทางกลับกัน สมมติว่าเรามีเส้นขนานสองเส้น (เพราะโดยเงื่อนไขแล้ว มุมตัดขวางภายในเท่ากัน) และเส้นตัดซึ่งสร้างมุม 1, 2, 3 มุม 1 และ 2 เท่ากับเส้นขวางภายใน และมุม 2 และ 3 เท่ากับแนวตั้ง เราได้: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 และ \(\angle\)2 = \(\angle\)3 จากคุณสมบัติการส่งผ่านของเครื่องหมายเท่ากับ จะได้ว่า \(\angle\)1 = \(\angle\)3 การยืนยันการสนทนาได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน
ส่งผลให้เกิดสัญลักษณ์ของเส้นขนานที่มุมที่สอดคล้องกัน กล่าวคือ เส้นจะขนานกันหากมุมที่ตรงกันเท่ากัน คิวอีดี

คำถามที่ 6.พิสูจน์ว่าผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด เป็นไปได้ที่จะลากเส้นขนานกับจุดนั้น เส้นที่ขนานกับเส้นที่กำหนดสามารถลากผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนี้ได้กี่เส้น

คำตอบ.ปัญหา (8). ให้เส้น AB และจุด C ไม่อยู่บนเส้นนี้ พิสูจน์ว่าผ่านจุด C เป็นไปได้ที่จะลากเส้นขนานกับเส้น AB
สารละลาย. เส้นตรง AC แบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง (รูปที่ 75) จุด B อยู่ในหนึ่งในนั้น จากครึ่งเส้น CA ให้เราพล็อตมุม ACD เท่ากับมุม CAB ลงในอีกครึ่งระนาบ จากนั้นเส้น AB และ CD จะขนานกัน แท้จริงแล้ว สำหรับเส้นเหล่านี้และซีแคนต์ AC มุม BAC และ DCA อยู่ในแนวขวาง และเนื่องจากเท่ากัน เส้น AB และ CD จึงขนานกัน คิวอีดี
การเปรียบเทียบคำแถลงของปัญหา 8 และสัจพจน์ IX (คุณสมบัติหลักของเส้นคู่ขนาน) เราได้ข้อสรุปที่สำคัญ: ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด เราสามารถลากเส้นขนานกับมันได้ และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

คำถามที่ 7พิสูจน์ว่าถ้าเส้นสองเส้นตัดกับเส้นที่สาม มุมตัดขวางภายในจะเท่ากัน และผลรวมของมุมด้านเดียวภายในจะเท่ากับ 180°

คำตอบ. ทฤษฎีบท 4.3(ตรงกันข้ามกับทฤษฎีบท 4.2) ถ้าเส้นขนานสองเส้นตัดกับเส้นที่สาม มุมตัดขวางภายในจะเท่ากัน และผลรวมของมุมด้านเดียวภายในจะเท่ากับ 180°
การพิสูจน์.ให้ a และ b เป็นเส้นขนาน และ c เป็นเส้นที่ตัดกันที่จุด A และ B ลากเส้น a 1 ผ่านจุด A เพื่อให้มุมตัดขวางภายในที่เกิดจากเส้นแบ่ง c กับเส้น a 1 และ b เท่ากัน (รูปที่ 76)
ตามเกณฑ์ความขนานของเส้น เส้น a 1 และ b จะขนานกัน และเนื่องจากมีเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุด A ซึ่งขนานกับเส้น b ดังนั้นเส้น a จึงตรงกับเส้น a 1
ซึ่งหมายความว่ามุมตัดขวางภายในเกิดขึ้นจากการตัดด้วย
เส้นขนาน a และ b เท่ากัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำถามที่ 8.พิสูจน์ว่าเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นที่สามขนานกัน ถ้าเส้นตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง เส้นนั้นก็จะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย
คำตอบ.จากทฤษฎีบท 4.2 ระบุว่าเส้นสองเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นที่สามขนานกัน
สมมติว่าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม ดังนั้น เส้นเหล่านี้ตัดกับเส้นที่สามที่มุมเท่ากับ 90°
จากคุณสมบัติของมุมที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นคู่ขนานด้วยเส้นแบ่ง ถ้าเส้นหนึ่งตั้งฉากกับเส้นขนาน เส้นหนึ่งก็จะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย

คำถามที่ 9จงพิสูจน์ว่าผลบวกของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°

คำตอบ. ทฤษฎีบท 4.4.ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°
การพิสูจน์.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมที่กำหนด ลากเส้นตรงผ่านจุดยอด B ขนานกับเส้นตรง AC ทำเครื่องหมายจุด D เพื่อให้จุด A และ D อยู่คนละด้านของเส้น BC (รูปที่ 78)
มุม DBC และ ACB เท่ากันในแนวขวาง ซึ่งเกิดจาก secant BC ที่มีเส้นขนาน AC และ BD ดังนั้น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด B และ C จึงเท่ากับมุม ABD
และผลรวมของมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุม ABD และ BAC เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมภายในด้านเดียวสำหรับ AC และ BD แบบขนาน และ secant AB ผลรวมของมุมเหล่านี้คือ 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำถามที่ 10.พิสูจน์ว่ารูปสามเหลี่ยมใดๆ มีมุมแหลมอย่างน้อยสองมุม
คำตอบ.สมมุติว่ารูปสามเหลี่ยมมีมุมแหลมเพียงมุมเดียวหรือไม่มีมุมแหลมเลย จากนั้น สามเหลี่ยมนี้มีสองมุม แต่ละมุมมีมุมอย่างน้อย 90° ผลรวมของสองมุมนี้ไม่น้อยกว่า 180° แต่นี่เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมคือ 180° คิวอีดี

1. สัญญาณแรกของความเท่าเทียม

หากที่จุดตัดของเส้นสองเส้นกับเส้นที่สาม มุมภายในที่พาดผ่านเท่ากัน เส้นเหล่านี้จะขนานกัน

ให้เส้น AB และ CD ตัดกันโดยเส้น EF และ ∠1 = ∠2 ลองใช้จุด O - ตรงกลางของส่วน KL ของส่วนตัด EF (รูปที่.)

ให้เราวาง OM ตั้งฉากจากจุด O ไปยังเส้น AB และทำต่อไปจนกว่าจะตัดกับเส้น CD, AB ⊥ MN ให้เราพิสูจน์ว่า CD ⊥ MN เช่นกัน

ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยมสองรูป: MOE และ NOK สามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากัน แน่นอน: ∠1 = ∠2 ตามสมมติฐานของทฤษฎีบท; OK = OL - โดยการก่อสร้าง

∠MOL = ∠NOK เป็นมุมแนวตั้ง ดังนั้นด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งจึงเท่ากับด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกับสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ ดังนั้น ΔMOL = ΔNOK และด้วยเหตุนี้ ∠LMO = ∠KNO
แต่ ∠LMO นั้นตรง ดังนั้น ∠KNO จึงตรงเช่นกัน ดังนั้น เส้น AB และ CD จึงตั้งฉากกับเส้น MN เดียวกัน ดังนั้นจึงขนานกัน ซึ่งต้องพิสูจน์

บันทึก. จุดตัดของเส้น MO และ CD สามารถกำหนดได้โดยการหมุนสามเหลี่ยม MOL รอบจุด O 180°

2. สัญญาณที่สองของการขนาน

ลองดูว่าเส้น AB และ CD ขนานกันหรือไม่ ถ้าที่จุดตัดของเส้น EF เส้นที่สาม มุมที่ตรงกันเท่ากัน

ให้บางมุมที่สัมพันธ์กันมีค่าเท่ากัน เช่น ∠ 3 = ∠2 (รูปที่.);

∠3 = ∠1 เป็นมุมแนวตั้ง ดังนั้น ∠2 จะเท่ากับ ∠1 แต่มุม 2 และ 1 เป็นมุมตามขวางภายใน และเรารู้แล้วว่าหากที่จุดตัดของเส้นสองเส้นคูณสาม มุมวางตามขวางภายในเท่ากัน เส้นเหล่านี้จะขนานกัน ดังนั้น AB || ซีดี.

หากมุมที่ตรงกันเท่ากันที่จุดตัดของเส้นสองเส้นของเส้นที่สาม เส้นทั้งสองนี้จะขนานกัน

การสร้างเส้นขนานโดยใช้ไม้บรรทัดและรูปสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ สิ่งนี้ทำได้ดังนี้

ให้เราแนบสามเหลี่ยมเข้ากับไม้บรรทัดดังรูป เราจะย้ายสามเหลี่ยมเพื่อให้ด้านหนึ่งเลื่อนไปตามไม้บรรทัด และลากเส้นตรงหลายๆ เส้นไปตามด้านอื่นๆ ของสามเหลี่ยม เส้นเหล่านี้จะขนานกัน

3. สัญญาณที่สามของความเท่าเทียม

ขอให้เรารู้ว่าที่จุดตัดของเส้น AB และ CD สองเส้นด้วยเส้นที่สาม ผลบวกของมุมด้านเดียวภายในใดๆ เท่ากับ 2 ง(หรือ 180°). เส้น AB และ CD จะขนานกันในกรณีนี้หรือไม่ (รูปที่)

ให้ ∠1 และ ∠2 เป็นมุมภายในด้านเดียวแล้วรวมกันได้ 2 ง.

แต่ ∠3 + ∠2 = 2 งเป็นมุมประชิด ดังนั้น ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2

ดังนั้น ∠1 = ∠3 และมุมภายในเหล่านี้เป็นแนวขวาง ดังนั้น AB || ซีดี.

หากที่จุดตัดของเส้นสองเส้นคูณสาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในจะเท่ากับ 2 d (หรือ 180°) แล้วเส้นทั้งสองขนานกัน

สัญญาณของเส้นขนาน:

1. หากที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นโดยหนึ่งในสาม มุมนอนไขว้ภายในเท่ากัน แสดงว่าเส้นเหล่านี้ขนานกัน

2. หากที่จุดตัดของเส้นสองเส้นของเส้นที่สาม มุมที่ตรงกันเท่ากัน แสดงว่าเส้นทั้งสองขนานกัน

3. หากที่จุดตัดของเส้นสองเส้นของเส้นที่สาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 180 ° เส้นทั้งสองนี้จะขนานกัน

4. ถ้าเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน

5. ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน

สัจพจน์ของความเท่าเทียมของยุคลิด

งาน. ผ่านจุด M ที่อยู่นอกเส้น AB ให้ลากเส้นขนานกับเส้น AB

การใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วเกี่ยวกับสัญญาณของการขนานของเส้น ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้หลายวิธี

สารละลาย.อันดับที่ 1 (รูปที่ 199)

เราวาด MN⊥AB และผ่านจุด M เราวาด CD⊥MN

เราได้ CD⊥MN และ AB⊥MN

จากทฤษฎีบท ("หากเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงเดียวกัน เส้นทั้งสองจะขนานกัน") เราสรุปได้ว่า СD || เอบี

s p o s ob ที่ 2 (รูปที่ 200)

เราวาด MK ตัดกัน AB ที่มุม α ใดๆ และผ่านจุด M เราวาดเส้นตรง EF สร้างมุม EMK ด้วยเส้นตรง MK เท่ากับมุม α จากทฤษฎีบท () เราสรุปได้ว่า EF || เอบี

เมื่อแก้ปัญหานี้แล้ว เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าผ่านจุด M ใดๆ ที่อยู่นอกเส้น AB เราสามารถลากเส้นขนานกับจุดนั้นได้ คำถามเกิดขึ้นว่าเส้นที่ขนานกับเส้นที่กำหนดและผ่านจุดที่กำหนดสามารถมีอยู่ได้กี่เส้น?

แนวปฏิบัติของการก่อสร้างทำให้เราสันนิษฐานได้ว่ามีเส้นดังกล่าวเพียงเส้นเดียว เนื่องจากมีการวาดเส้นอย่างระมัดระวัง เส้นที่วาดในลักษณะต่างๆ ผ่านจุดเดียวกันที่ขนานกับเส้นเดียวกัน

ในทางทฤษฎี คำตอบสำหรับคำถามนี้จะได้รับจากสัจพจน์ที่เรียกว่าความเท่าเทียมของยุคลิด มีสูตรดังนี้:

ผ่านจุดที่อยู่นอกเส้นที่กำหนด สามารถลากเส้นขนานกับเส้นนี้ได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ในภาพวาด 201 เส้นตรง SK ถูกลากผ่านจุด O ขนานกับเส้นตรง AB

เส้นอื่นใดที่ผ่านจุด O จะไม่ขนานกับเส้น AB อีกต่อไป แต่จะตัดกัน

สัจพจน์ที่ยุคลิดนำมาใช้ใน Elements ของเขา ซึ่งระบุว่าบนระนาบผ่านจุดที่อยู่นอกเส้นที่กำหนด มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่สามารถลากขนานกับเส้นนี้ เรียกว่า สัจพจน์ของความเท่าเทียมของยุคลิด.

เป็นเวลากว่าสองพันปีหลังจากยุคลิด นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์ประพจน์ทางคณิตศาสตร์นี้ แต่ความพยายามของพวกเขามักไม่ประสบผลสำเร็จ ในปีพ.ศ. 2369 นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียผู้ยิ่งใหญ่ ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยคาซาน นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเชฟสกี ได้พิสูจน์ว่า ประพจน์ทางคณิตศาสตร์นี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้สัจพจน์ของ Euclid อื่น ๆ ซึ่งควรจะใช้เป็นสัจพจน์จริง ๆ N. I. Lobachevsky สร้างรูปทรงเรขาคณิตใหม่ซึ่งตรงกันข้ามกับรูปทรงเรขาคณิตของ Euclid เรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตของ Lobachevsky

1. ถ้าเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม แสดงว่าขนานกัน:

ถ้า ก||คและ ข||ค, ที่ ก||ข.

2. ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม แสดงว่าขนานกัน:

ถ้า ก⊥คและ ข⊥ค, ที่ ก||ข.

สัญญาณที่เหลือของความขนานของเส้นจะขึ้นอยู่กับมุมที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นสองเส้นโดยหนึ่งในสาม

3. ถ้าผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 180° เส้นจะขนานกัน:

ถ้า ∠1 + ∠2 = 180° แล้ว ก||ข.

4. ถ้ามุมที่ตรงกันเท่ากัน เส้นจะขนานกัน:

ถ้า ∠2 = ∠4 แล้ว ก||ข.

5. หากมุมตัดขวางภายในเท่ากัน แสดงว่าเส้นขนานกัน:

ถ้า ∠1 = ∠3 แล้ว ก||ข.

คุณสมบัติของเส้นขนาน

ข้อความที่ตรงกันข้ามกับสัญญาณของการขนานของเส้นคือคุณสมบัติของมัน ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของมุมที่เกิดจากการตัดกันของเส้นคู่ขนานสองเส้นด้วยเส้นที่สาม

1. เมื่อเส้นคู่ขนานสองเส้นตัดกับเส้นที่สาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในที่เกิดขึ้นคือ 180 °:

ถ้า ก||ขแล้ว ∠1 + ∠2 = 180°

2. เมื่อเส้นขนานสองเส้นตัดกับเส้นที่สาม มุมที่สอดคล้องกันที่เกิดขึ้นจากเส้นเหล่านั้นจะเท่ากัน:

ถ้า ก||ขแล้ว ∠2 = ∠4

3. ที่จุดตัดของเส้นคู่ขนานสองเส้นกับเส้นที่สาม มุมนอนที่เกิดจากเส้นขนานจะเท่ากัน:

ถ้า ก||ขแล้ว ∠1 = ∠3

คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นกรณีพิเศษของแต่ละรายการก่อนหน้า:

4. หากเส้นบนระนาบตั้งฉากกับหนึ่งในสองเส้นขนาน มันก็จะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย:

ถ้า ก||ขและ ค⊥ก, ที่ ค⊥ข.

คุณสมบัติที่ห้าคือสัจพจน์ของเส้นขนาน:

5. ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด สามารถลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

1. สัจพจน์ของการขนาน ผ่านจุดที่กำหนด สามารถลากเส้นตรงได้สูงสุดหนึ่งเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด

2. ถ้าเส้นตรง 2 เส้นขนานกัน แสดงว่าเส้นตรงทั้งสองขนานกัน

3. เส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นเดียวกันขนานกัน

4. หากเส้นคู่ขนานสองเส้นตัดกันโดยเส้นที่สาม มุมตัดขวางภายในที่เกิดขึ้นพร้อมกันจะเท่ากัน มุมที่สอดคล้องกันนั้นเท่ากัน มุมภายในด้านเดียวรวมกันได้ 180°

5. ถ้าที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้น เส้นที่สามสร้างมุมตัดขวางภายในเท่ากัน แสดงว่าเส้นตรงนั้นขนานกัน

6. ถ้าที่จุดตัดของเส้นสองเส้น มุมที่สามเท่ากัน แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน

7. หากที่จุดตัดของเส้นสองเส้นที่สาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 180 ° แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน

ทฤษฎีบทของธาเลส. ถ้าส่วนที่เท่ากันวางอยู่บนด้านหนึ่งของมุม และเส้นตรงขนานถูกลากผ่านปลายด้านนั้นตัดกับด้านที่สองของมุม ส่วนที่เท่ากันก็จะวางที่ด้านที่สองของมุมด้วย

ทฤษฎีบทเรื่องส่วนสัด. เส้นตรงขนานที่ตัดกันด้านข้างของมุมตัดส่วนที่เป็นสัดส่วนออก

สามเหลี่ยม. สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม.

1. ถ้าด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสองของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้านสองด้านตามลำดับ และมุมระหว่างด้านทั้งสองของสามเหลี่ยมอีกอันหนึ่ง สามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ

2. ถ้าด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกับมุมของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ

3. ถ้าด้านสามด้านของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้านสามด้านของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

1. บนสองขา

2. ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

3. โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

4. ตามขาและมุมแหลม

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลบวกของมุมของรูปสามเหลี่ยมและผลที่ตามมา

1. ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°

2. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของมุมภายในสองมุมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

3. ผลรวมของมุมภายในของ n-gon นูนคือ

4. ผลรวมของมุมภายนอกของกากอนคือ 360°

5. มุมที่มีด้านตั้งฉากกันจะเท่ากัน ถ้ามุมทั้งสองเป็นมุมแหลมหรือป้านทั้งคู่

6. มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมประชิดคือ 90°

7. เส้นแบ่งครึ่งของมุมด้านเดียวภายในที่มีเส้นขนานและเส้นแบ่งตั้งฉาก

คุณสมบัติหลักและสัญญาณของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

1. มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

2. ถ้ามุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน แสดงว่าเป็นรูปหน้าจั่ว

3. ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และความสูงที่ลากไปยังฐานจะเท่ากัน

4. หากคู่ใด ๆ ของส่วนจากสาม - มัธยฐาน, แบ่งครึ่ง, ความสูง - เกิดขึ้นพร้อมกันในรูปสามเหลี่ยมแสดงว่าเป็นหน้าจั่ว

อสมการรูปสามเหลี่ยมและผลที่ตามมา

1. ผลบวกของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่าด้านที่สาม

2. ผลรวมของการเชื่อมโยงของเส้นหักมากกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้น

ลิงก์แรกกับจุดสิ้นสุดของลิงก์สุดท้าย

3. ตรงข้ามมุมที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยมคือด้านที่ใหญ่กว่า

4. ด้านที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยมมีมุมที่ใหญ่กว่าอยู่

5. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากมากกว่าขา

6. ถ้าตั้งฉากและเอียงจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงแล้ว

1) เส้นตั้งฉากสั้นกว่าเส้นเอียง

2) ความชันที่มากขึ้นสอดคล้องกับการฉายภาพที่ใหญ่ขึ้นและในทางกลับกัน

เส้นตรงกลางของรูปสามเหลี่ยม.

ส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่า เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทเส้นกึ่งกลางสามเหลี่ยม.

เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมขนานกับด้านของสามเหลี่ยมและเท่ากับครึ่งหนึ่งของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทมัธยฐานสามเหลี่ยม

1. ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งแล้วหารด้วยอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากด้านบน

2. ถ้าค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านที่วาด แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นมุมฉาก

3. ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านข้างของสามเหลี่ยม. เส้นแบ่งครึ่งที่ตั้งฉากกับด้านข้างของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งเป็นศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทความสูงสามเหลี่ยม. เส้นที่มีระดับความสูงของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม. เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งก็คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้ในสามเหลี่ยม

คุณสมบัติเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม. เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมแบ่งด้านของมันออกเป็นส่วนๆ ตามสัดส่วนของอีกสองด้าน

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

1. ถ้ามุมสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับสองมุมของอีกมุมหนึ่งตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นคล้ายกัน

2. ถ้าด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสองด้านของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ และมุมที่ล้อมรอบระหว่างด้านเหล่านี้เท่ากัน แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นคล้ายกัน

3. ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านทั้งสามของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นคล้ายกัน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมคล้าย

1. อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมคล้ายเท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์ความคล้าย

2. ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากัน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสัมพันธ์กันเป็นผลคูณของด้านที่ล้อมรอบมุมเหล่านี้

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

1. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลคูณของด้านตรงข้ามมุมฉากและไซน์ของด้านตรงข้ามหรือโคไซน์ของมุมแหลมที่อยู่ติดกับขานี้

2. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับขาอีกข้างคูณด้วยแทนเจนต์ของตรงข้ามหรือโคแทนเจนต์ของมุมแหลมที่อยู่ติดกับขานี้

3. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่อยู่ตรงข้ามมุม 30 ° เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

4. ถ้าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก มุมตรงข้ามขานี้คือ 30°

5. ร = ; g \u003d โดยที่ a, b คือขาและ c คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก r และ R คือรัศมีของวงกลมที่จารึกและวงกลมที่ล้อมรอบ ตามลำดับ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

1. กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลบวกของกำลังสองของขา

2. ถ้ากำลังสองของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของกำลังสองของอีกสองด้าน แล้วสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก

ค่าเฉลี่ยของสัดส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากจากจุดยอดของมุมฉาก เป็นสัดส่วนเฉลี่ยกับเส้นโครงขาบนด้านตรงข้ามมุมฉาก และขาแต่ละข้างเป็นสัดส่วนเฉลี่ยกับด้านตรงข้ามมุมฉากและเส้นโครงของมันบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

1. ทฤษฎีบทของโคไซน์ กำลังสองของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของกำลังสองของอีกสองด้านโดยไม่ต้องเพิ่มผลคูณของด้านเหล่านั้นเป็นสองเท่าคูณกับโคไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองด้าน

2. ข้อสรุปจากทฤษฎีบทโคไซน์ ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งหมด

3. สูตรสำหรับค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ถ้า m เป็นค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่ลากไปด้าน c แล้ว m = โดยที่ a และ b คือด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม

4. ทฤษฎีบทไซน์ ด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม

5. ทฤษฎีบทไซน์ทั่วไป อัตราส่วนของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมต่อไซน์ของมุมตรงข้ามจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

1. พื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง

2. พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง

3. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของครึ่งวงกลมและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

4. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของด้านทั้งสามหารด้วยรัศมีสี่เท่าของวงกลมที่ล้อมรอบ

5. สูตรของนกกระสา: S=, โดยที่ p คือครึ่งวงกลม; a, b, c - ด้านของสามเหลี่ยม

องค์ประกอบของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า. ให้ h, S, r, R เป็นความสูง พื้นที่ รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้และล้อมรอบด้วยวงกลมของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน a แล้ว
รูปสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมด้านขนาน. สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน

คุณสมบัติและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

1. เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน

2. ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะมีจำนวนเท่ากัน

3. มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะมีจำนวนเท่ากัน

4. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตัดกันและแบ่งครึ่งจุดตัดกัน

5. ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมเป็นคู่เท่ากัน แสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

6. ถ้าด้านตรงข้ามสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

7. ถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมตัดกันโดยจุดตัด แสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คุณสมบัติของจุดกึ่งกลางด้านของรูปสี่เหลี่ยม. จุดกึ่งกลางของด้านของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ คือจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีพื้นที่เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมผืนผ้า.สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมฉาก

คุณสมบัติและสัญลักษณ์ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

1. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน

2. ถ้าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน แสดงว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สี่เหลี่ยม.สี่เหลี่ยมจัตุรัส คือ สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านทุกด้านเท่ากัน

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าทุกด้าน

คุณสมบัติและสัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

1. เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉาก

2. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งครึ่งมุม

3. ถ้าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานตั้งฉากกัน แสดงว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

4. หากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งมุม แสดงว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ราวสำหรับออกกำลังกายรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้าม (ฐาน) สองด้านขนานกัน เส้นมัธยฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านที่ไม่ขนานกัน (ด้านข้าง)

1. เส้นมัธยฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง

2. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลต่างครึ่งหนึ่งของฐาน

คุณสมบัติที่โดดเด่นของสี่เหลี่ยมคางหมู. จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูจุดตัดของส่วนขยายด้านข้างและจุดกึ่งกลางของฐานอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว. สี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าหน้าจั่วถ้าด้านเท่ากัน

คุณสมบัติและสัญญาณของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

1. มุมที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่ากัน

2. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่ากัน

3. หากมุมที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากันแสดงว่าเป็นหน้าจั่ว

4. ถ้าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากัน แสดงว่าเป็นหน้าจั่ว

5. เส้นโครงของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วบนฐานเท่ากับผลต่างครึ่งหนึ่งของฐาน และเส้นโครงของเส้นทแยงมุมคือผลรวมครึ่งหนึ่งของฐาน

สูตรพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

1. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของฐานและความสูง

2. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

3. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันทั้งสองด้าน

4. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุม

5. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง

6. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุมและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

7. สูตรของนกกระสาสำหรับรูปสี่เหลี่ยมที่สามารถอธิบายวงกลมได้:

S \u003d โดยที่ a, b, c, d คือด้านของรูปสี่เหลี่ยมนี้ p คือเส้นรอบรูปครึ่งส่วน และ S คือพื้นที่

ตัวเลขที่คล้ายกัน

1. อัตราส่วนขององค์ประกอบเชิงเส้นที่สอดคล้องกันของตัวเลขที่คล้ายกันเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

2. อัตราส่วนของพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันเท่ากับกำลังสองของค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

รูปหลายเหลี่ยมปกติ.

ให้ a n เป็นด้านของ n-gon ปกติ และ r n และ R n เป็นรัศมีของวงกลมที่จารึกและล้อมรอบ แล้ว

วงกลม.

วงกลมคือตำแหน่งของจุดในระนาบที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนดเป็นระยะทางบวกเท่ากัน เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม

คุณสมบัติพื้นฐานของวงกลม

1. เส้นผ่านศูนย์กลางที่ตั้งฉากกับคอร์ดแบ่งคอร์ดและส่วนโค้งที่หักออกครึ่งหนึ่ง

2. เส้นผ่านศูนย์กลางที่ผ่านตรงกลางคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางจะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น

3. ค่ามัธยฐานที่ตั้งฉากกับคอร์ดจะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม

4. คอร์ดที่เท่ากันจะถูกลบออกจากศูนย์กลางของวงกลมในระยะทางที่เท่ากัน

5. คอร์ดของวงกลมที่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน

6. วงกลมมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ

7. ส่วนโค้งของวงกลมที่อยู่ระหว่างคอร์ดคู่ขนานมีค่าเท่ากัน

8. ในสองคอร์ด คอร์ดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางน้อยกว่าจะมีขนาดใหญ่กว่า

9. เส้นผ่านศูนย์กลางคือคอร์ดที่ใหญ่ที่สุดของวงกลม

สัมผัสกับวงกลม. เส้นที่มีจุดเดียวกับวงกลมเรียกว่าเส้นสัมผัสกับวงกลม

1. เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส

2. ถ้าเส้น a ผ่านจุดหนึ่งบนวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่ลากมาถึงจุดนี้ เส้น a จะสัมผัสกับวงกลม

3. ถ้าเส้นที่ผ่านจุด M แตะวงกลมที่จุด A และ B ดังนั้น MA = MB และ ﮮAMO = ﮮBMO โดยที่จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม

4. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนเป็นมุมอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุมนี้

วงกลมสัมผัส. กล่าวกันว่าวงกลมสองวงจะสัมผัสกันหากมีจุดร่วมจุดเดียว (จุดสัมผัส)

1. จุดสัมผัสของวงกลมสองวงอยู่บนแนวศูนย์กลาง

2. วงกลมของรัศมี r และ R ที่มีจุดศูนย์กลาง O 1 และ O 2 สัมผัสภายนอกก็ต่อเมื่อ R + r \u003d O 1 O 2

3. วงกลมรัศมี r และ R (r

4. วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O 1 และ O 2 สัมผัสภายนอกที่จุด K เส้นตรงบางเส้นสัมผัสวงกลมเหล่านี้ที่จุด A และ B ที่ต่างกัน และตัดกับเส้นสัมผัสทั่วไปผ่านจุด K ที่จุด C จากนั้น ﮮAK B \u003d 90 ° และ ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °

5. ส่วนของเส้นสัมผัสภายนอกทั่วไปกับวงกลมเส้นสัมผัสสองวงของรัศมี r และ R เท่ากับส่วนของเส้นสัมผัสภายในทั่วไปที่ปิดล้อมระหว่างส่วนสัมผัสภายนอกทั่วไป ทั้งสองส่วนนี้เท่ากัน

มุมที่เกี่ยวข้องกับวงกลม

1. ค่าของส่วนโค้งของวงกลมเท่ากับค่าของมุมศูนย์กลางตามค่านั้น

2. มุมที่จารึกไว้มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของขนาดเชิงมุมของส่วนโค้งที่วางอยู่

3. มุมที่จารึกบนส่วนโค้งเดียวกันมีค่าเท่ากัน

4. มุมระหว่างคอร์ดที่ตัดกันเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกของส่วนโค้งตรงข้ามที่คอร์ดตัด

5. มุมระหว่างสองส่วนตัดกันนอกวงกลมเท่ากับผลต่างครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่ตัดโดยส่วนตัดบนวงกลม

6. มุมระหว่างเส้นสัมผัสและคอร์ดที่ลากจากจุดสัมผัสเท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งที่ตัดบนวงกลมด้วยคอร์ดนี้

คุณสมบัติของคอร์ดวงกลม

1. เส้นศูนย์กลางของวงกลมสองวงที่ตัดกันนั้นตั้งฉากกับคอร์ดทั่วไป

2. ผลคูณของความยาวของส่วนของคอร์ด AB และ CD ของวงกลมที่ตัดกันที่จุด E มีค่าเท่ากัน นั่นคือ AE EB \u003d CE ED

วงกลมที่ถูกจารึกและล้อมรอบ

1. ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้และล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมปกติตรงกัน

2. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมฉากคือจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก

3. ถ้าเขียนวงกลมเป็นรูปสี่เหลี่ยมได้ ผลบวกของด้านตรงข้ามจะเท่ากัน

4. ถ้ารูปสี่เหลี่ยมสามารถเขียนเป็นวงกลมได้ ผลรวมของมุมตรงข้ามคือ 180°

5. ถ้าผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ 180° วงกลมสามารถล้อมรอบได้

6. หากสามารถเขียนวงกลมเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะมองเห็นได้จากจุดศูนย์กลางของวงกลมในมุมฉาก

7. หากวงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ รัศมีของวงกลมคือค่าเฉลี่ยตามสัดส่วนของส่วนที่จุดสัมผัสแบ่งด้านข้าง

8. หากสามารถเขียนวงกลมเป็นรูปหลายเหลี่ยมได้ พื้นที่ของมันจะเท่ากับผลคูณของครึ่งปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมนี้

ทฤษฎีบทแทนเจนต์และซีแคนต์และผลที่ตามมา

1. ถ้าเส้นสัมผัสและเส้นแบ่งถูกดึงจากจุดหนึ่งไปยังวงกลม ผลคูณของเส้นตัดทั้งหมดโดยส่วนนอกจะเท่ากับกำลังสองของเส้นสัมผัส

2. ผลคูณของส่วนตัดทั้งหมดโดยส่วนนอกของจุดที่กำหนดและวงกลมที่กำหนดจะคงที่

เส้นรอบวงรัศมี R คือ C= 2πR