4 ქვანახშირის პირამიდა. გეომეტრიული ფიგურები

განმარტება

პირამიდაარის მრავალკუთხედი, რომელიც შედგება მრავალკუთხედის \(A_1A_2...A_n\) და \(n\) სამკუთხედებისგან საერთო წვერით \(P\) (რომელიც არ დევს მრავალკუთხედის სიბრტყეში) და მის მოპირდაპირე გვერდებს, ემთხვევა მრავალკუთხედის მხარეები.
აღნიშვნა: \(PA_1A_2...A_n\) .
მაგალითი: ხუთკუთხა პირამიდა \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

სამკუთხედები \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) და ა.შ. უწოდებენ გვერდითი სახეებიპირამიდები, სეგმენტები \(PA_1, PA_2\) და ა.შ. - გვერდითი ნეკნები, პოლიგონი \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – საფუძველი, წერტილი \(P\) – ზედა.

სიმაღლეპირამიდები არის პერპენდიკულური, რომელიც ეშვება პირამიდის ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე.

პირამიდას, რომელსაც ძირში სამკუთხედი აქვს, ეწოდება ტეტრაედონი.

პირამიდა ე.წ სწორითუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:

\((ა)\) პირამიდის გვერდითი კიდეები ტოლია;

\((ბ)\) პირამიდის სიმაღლე გადის ფუძესთან შემოხაზული წრის ცენტრში;

\((გ)\) გვერდითი ნეკნები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.

\((დ)\) გვერდითი მხარეები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.

რეგულარული ტეტრაედონიარის სამკუთხა პირამიდა, რომლის ყველა სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია.

თეორემა

პირობები \((ა), (ბ), (გ), (დ)\) ექვივალენტურია.

მტკიცებულება

მოდით ვიპოვოთ პირამიდის სიმაღლე \(PH\) . დაე, \(\alpha\) იყოს პირამიდის ფუძის სიბრტყე.

1) დავამტკიცოთ, რომ \((a)\)-დან გამომდინარეობს \((ბ)\) . მოდით \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

იმიტომ რომ \(PH\perp \alpha\), შემდეგ \(PH\) პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ნებისმიერი წრფის მიმართ, რაც ნიშნავს, რომ სამკუთხედები მართკუთხაა. ეს ნიშნავს, რომ ეს სამკუთხედები ტოლია საერთო წვერში \(PH\) და ჰიპოტენუზაში \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . ეს ნიშნავს \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . ეს ნიშნავს, რომ წერტილები \(A_1, A_2, ..., A_n\) ერთსა და იმავე მანძილზეა \(H\) წერტილიდან, შესაბამისად, ისინი დევს იმავე წრეზე \(A_1H\) რადიუსით. ეს წრე, განსაზღვრებით, შემოიფარგლება პოლიგონზე \(A_1A_2...A_n\) .

2) დავამტკიცოთ, რომ \((b)\) გულისხმობს \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)მართკუთხა და ტოლი ორ ფეხზე. ეს ნიშნავს, რომ მათი კუთხეები ასევე თანაბარია, შესაბამისად, \(\კუთხე PA_1H=\კუთხე PA_2H=...=\კუთხე PA_nH\).

3) დავამტკიცოთ, რომ \((c)\) გულისხმობს \((a)\) .

პირველი წერტილის მსგავსად, სამკუთხედები \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)მართკუთხა, როგორც ფეხის გასწვრივ, ასევე მწვავე კუთხით. ეს ნიშნავს, რომ მათი ჰიპოტენუსებიც ტოლია, ანუ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) დავამტკიცოთ, რომ \((ბ)\) გულისხმობს \((დ)\) .

იმიტომ რომ რეგულარულ მრავალკუთხედში შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ერთმანეთს ემთხვევა (ზოგადად რომ ვთქვათ, ამ წერტილს რეგულარული მრავალკუთხედის ცენტრს უწოდებენ), მაშინ \(H\) არის ჩაწერილი წრის ცენტრი. დავხატოთ პერპენდიკულარები \(H\) წერტილიდან ფუძის გვერდებზე: \(HK_1, HK_2\) და ა.შ. ეს არის შემოხაზული წრის რადიუსი (განმარტებით). შემდეგ, TTP-ის მიხედვით (\(PH\) არის სიბრტყის პერპენდიკულარული, \(HK_1, HK_2\) და ა.შ. არის გვერდებზე პერპენდიკულარული პროგნოზები) დახრილი \(PK_1, PK_2\) და ა.შ. გვერდებზე პერპენდიკულარული \(A_1A_2, A_2A_3\) და ა.შ. შესაბამისად. ასე რომ, განსაზღვრებით \(\კუთხე PK_1H, \კუთხე PK_2H\)ტოლი კუთხეების გვერდითა სახეებსა და ფუძეს შორის. იმიტომ რომ სამკუთხედები \(PK_1H, PK_2H, ...\) ტოლია (როგორც მართკუთხა ორ მხარეს), შემდეგ კუთხეები \(\კუთხე PK_1H, \კუთხე PK_2H, ...\)თანაბარი არიან.

5) დავამტკიცოთ, რომ \((დ)\) გულისხმობს \((ბ)\) .

მეოთხე წერტილის მსგავსად, სამკუთხედები \(PK_1H, PK_2H, ...\) ტოლია (როგორც ფეხის გასწვრივ მართკუთხა და მწვავე კუთხე), რაც ნიშნავს, რომ სეგმენტები \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) არის თანაბარი. ეს ნიშნავს, განმარტებით, \(H\) არის ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრი. მაგრამ იმიტომ რეგულარული მრავალკუთხედებისთვის, შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ემთხვევა, მაშინ \(H\) არის შემოხაზული წრის ცენტრი. ჩტდ.

შედეგი

რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახეები არის თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედები.

განმარტება

მისი წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემა.
რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი სახის აპოთემები ერთმანეთის ტოლია და ასევე არის მედიანები და ბისექტრები.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის სიმაღლეების (ან ბისექტორების, ან შუალედების) გადაკვეთის წერტილში (ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი).

2. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის ადგილზე (ფუძე არის კვადრატი).

3. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში (ფუძე არის რეგულარული ექვსკუთხედი).

4. პირამიდის სიმაღლე პერპენდიკულარულია ძირში მდებარე ნებისმიერი სწორი ხაზის მიმართ.

განმარტება

პირამიდა ე.წ მართკუთხა, თუ მისი ერთ-ერთი გვერდითი კიდე პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყის მიმართ.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. მართკუთხა პირამიდაში ფუძის პერპენდიკულარული კიდე არის პირამიდის სიმაღლე. ანუ \(SR\) არის სიმაღლე.

2. რადგან \(SR\) არის პერპენდიკულარული ფუძედან ნებისმიერი ხაზის მიმართ \(\სამკუთხედი SRM, \სამკუთხედი SRP\)- მართკუთხა სამკუთხედები.

3. სამკუთხედები \(\სამკუთხედი SRN, \სამკუთხედი SRK\)- ასევე მართკუთხა.
ანუ, ნებისმიერი სამკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება ამ კიდით და დიაგონალი, რომელიც გამოდის ამ კიდის წვეროდან ძირში, იქნება მართკუთხა.

\[(\დიდი(\ტექსტი(პირამიდის მოცულობა და ზედაპირის ფართობი)))\]

თეორემა

პირამიდის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და პირამიდის სიმაღლის პროდუქტის მესამედს: \

შედეგები

დაე, \(a\) იყოს ფუძის მხარე, \(h\) იყოს პირამიდის სიმაღლე.

1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(მარჯვენა სამკუთხედი.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. რეგულარული ტეტრაედრის მოცულობა არის \(V_(\text(მარჯვნივ ტეტრ.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

თეორემა

რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნახევარ ნამრავლს.

\[(\დიდი(\ტექსტი(ფრუსტუმი)))\]

განმარტება

განვიხილოთ თვითნებური პირამიდა \(PA_1A_2A_3...A_n\) . მოდით დავხატოთ სიბრტყე პირამიდის ფუძის პარალელურად, პირამიდის გვერდით კიდეზე მდებარე გარკვეულ წერტილში. ეს სიბრტყე პირამიდას გაყოფს ორ პოლიედრად, რომელთაგან ერთი არის პირამიდა (\(PB_1B_2...B_n\)), ხოლო მეორეს ე.წ. შეკვეცილი პირამიდა(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

ჩამოჭრილ პირამიდას აქვს ორი ფუძე - პოლიგონები \(A_1A_2...A_n\) და \(B_1B_2...B_n\), რომლებიც ერთმანეთის მსგავსია.

დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც შედგენილია ზედა ფუძის რაღაც წერტილიდან ქვედა ფუძის სიბრტყემდე.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. დამსხვრეული პირამიდის ყველა გვერდითი სახე ტრაპეციაა.

2. რეგულარული ჩამოსხმული პირამიდის (ანუ რეგულარული პირამიდის კვეთით მიღებული პირამიდის) ცენტრების დამაკავშირებელი სეგმენტი არის სიმაღლე.

ეს ვიდეო გაკვეთილი დაეხმარება მომხმარებლებს პირამიდის თემის წარმოდგენაში. სწორი პირამიდა. ამ გაკვეთილზე გავეცნობით პირამიდის ცნებას და მივცემთ მას განმარტებას. მოდით განვიხილოთ რა არის ჩვეულებრივი პირამიდა და რა თვისებები აქვს მას. შემდეგ ვამტკიცებთ თეორემას რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის შესახებ.

ამ გაკვეთილზე გავეცნობით პირამიდის ცნებას და მივცემთ მას განმარტებას.

განვიხილოთ მრავალკუთხედი A 1 A 2...ნ, რომელიც დევს α სიბრტყეში და წერტილი პ, რომელიც არ დევს α სიბრტყეში (ნახ. 1). მოდით დავაკავშიროთ წერტილები პმწვერვალებით A 1, A 2, A 3, … ნ. ვიღებთ ნსამკუთხედები: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rდა ასე შემდეგ.

განმარტება. პოლიედონი RA 1 A 2 ...A n, შედგება ნ- კვადრატი A 1 A 2...ნდა ნსამკუთხედები RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 ჰქვია ნ- ქვანახშირის პირამიდა. ბრინჯი. 1.

ბრინჯი. 1

განვიხილოთ ოთხკუთხა პირამიდა PABCD(ნახ. 2).

რ- პირამიდის მწვერვალი.

Ა Ბ Გ Დ- პირამიდის საფუძველი.

RA- გვერდითი ნეკნი.

AB- ბაზის ნეკნი.

წერტილიდან რპერპენდიკულარი ჩამოვუშვათ RNსაბაზო სიბრტყემდე Ა Ბ Გ Დ. დახატული პერპენდიკულური არის პირამიდის სიმაღლე.

ბრინჯი. 2

პირამიდის სრული ზედაპირი შედგება გვერდითი ზედაპირისგან, ანუ ყველა გვერდითი სახის ფართობისგან და ფუძის ფართობისგან:

S სრული = S მხარე + S მთავარი

პირამიდას სწორი ეწოდება, თუ:

• მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი;
• პირამიდის ზედა ნაწილის ფუძის ცენტრთან დამაკავშირებელი სეგმენტი არის მისი სიმაღლე.

ახსნა რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მაგალითის გამოყენებით

განვიხილოთ ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პირამიდა PABCD(ნახ. 3).

რ- პირამიდის მწვერვალი. პირამიდის საფუძველი Ა Ბ Გ Დ- რეგულარული ოთხკუთხედი, ანუ კვადრატი. Წერტილი შესახებდიაგონალების გადაკვეთის წერტილი არის კვადრატის ცენტრი. ნიშნავს, ROარის პირამიდის სიმაღლე.

ბრინჯი. 3

ახსნა: სწორად ნსამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი და წრეწირის ცენტრი ემთხვევა ერთმანეთს. ამ ცენტრს მრავალკუთხედის ცენტრს უწოდებენ. ზოგჯერ ისინი ამბობენ, რომ წვერო პროეცირდება ცენტრში.

მისი წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემადა დანიშნულია სთ ა.

1. რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ტოლია;

2. გვერდითი სახეები ტოლი ტოლფერდა სამკუთხედია.

ჩვენ დავამტკიცებთ ამ თვისებებს რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მაგალითის გამოყენებით.

მოცემული: PABCD- რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა,

Ა Ბ Გ Დ- კვადრატი,

RO- პირამიდის სიმაღლე.

დაამტკიცე:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP იხილეთ ნახ. 4.

ბრინჯი. 4

მტკიცებულება.

RO- პირამიდის სიმაღლე. ანუ პირდაპირ ROსიბრტყეზე პერპენდიკულარული ABCდა ამიტომ პირდაპირი JSC, VO, SOდა ᲙᲔᲗᲔᲑᲐმასში წევს. ასე რომ, სამკუთხედები ROA, ROV, ROS, ROD- მართკუთხა.

განვიხილოთ კვადრატი Ა Ბ Გ Დ. კვადრატის თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ AO = VO = CO = ᲙᲔᲗᲔᲑᲐ.

შემდეგ მართკუთხა სამკუთხედები ROA, ROV, ROS, RODფეხი RO- ზოგადი და ფეხები JSC, VO, SOდა ᲙᲔᲗᲔᲑᲐტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ეს სამკუთხედები ტოლია ორ მხარეს. სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს სეგმენტების ტოლობა, RA = PB = RS = PD.პუნქტი 1 დადასტურებულია.

სეგმენტები ABდა მზეტოლები არიან, რადგან ისინი ერთი და იგივე კვადრატის გვერდებია, RA = PB = RS. ასე რომ, სამკუთხედები AVRდა VSR -ტოლფერდა და ტოლია სამი მხრიდან.

ანალოგიურად ვპოულობთ სამკუთხედებს ABP, VCP, CDP, DAPარიან ტოლფეროები და ტოლები, როგორც ეს უნდა დადასტურდეს მე-2 პუნქტში.

რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნამრავლის ნახევარს:

ამის დასამტკიცებლად ავირჩიოთ ჩვეულებრივი სამკუთხა პირამიდა.

მოცემული: RAVS- რეგულარული სამკუთხა პირამიდა.

AB = BC = AC.

RO- სიმაღლე.

დაამტკიცე: . იხილეთ ნახ. 5.

ბრინჯი. 5

მტკიცებულება.

RAVS- რეგულარული სამკუთხა პირამიდა. ანუ AB= AC = ძვ.წ. დაე შესახებ- სამკუთხედის ცენტრი ABC, მაშინ ROარის პირამიდის სიმაღლე. პირამიდის ძირში დევს ტოლგვერდა სამკუთხედი ABC. შეამჩნია, რომ .

სამკუთხედები RAV, RVS, RSA- ტოლი ტოლფერდა სამკუთხედები (საკუთრების მიხედვით). სამკუთხა პირამიდას სამი გვერდითი სახე აქვს: RAV, RVS, RSA. ეს ნიშნავს, რომ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

S მხარე = 3S RAW

თეორემა დადასტურდა.

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ძირში ჩაწერილი წრის რადიუსი არის 3 მ, პირამიდის სიმაღლე 4 მ. იპოვეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

მოცემული: რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა Ა Ბ Გ Დ,

Ა Ბ Გ Დ- კვადრატი,

რ= 3 მ,

RO- პირამიდის სიმაღლე,

RO= 4 მ.

იპოვე: S მხარე. იხილეთ ნახ. 6.

ბრინჯი. 6

გამოსავალი.

დადასტურებული თეორემის მიხედვით, .

ჯერ ვიპოვოთ ფუძის მხარე AB. ჩვენ ვიცით, რომ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ძირში ჩაწერილი წრის რადიუსი არის 3 მ.

შემდეგ, მ.

იპოვეთ კვადრატის პერიმეტრი Ა Ბ Გ Დ 6 მ გვერდით:

განვიხილოთ სამკუთხედი BCD. დაე მ- მხარის შუა DC. იმიტომ რომ შესახებ- შუა BD, ეს (მ).

სამკუთხედი DPC- ტოლფერდა. მ- შუა DC. ანუ RM- მედიანა და, შესაბამისად, სიმაღლე სამკუთხედში DPC. მერე RM- პირამიდის აპოთემა.

RO- პირამიდის სიმაღლე. მერე პირდაპირ ROსიბრტყეზე პერპენდიკულარული ABCდა ამიტომ პირდაპირი OM, იწვა მასში. მოდი ვიპოვოთ აპოთემა RMმართკუთხა სამკუთხედიდან რომი.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირი:

უპასუხე: 60 მ2.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფუძის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი უდრის მ. გვერდითი ზედაპირის ფართობი 18 მ 2. იპოვეთ აპოთემის სიგრძე.

მოცემული: ABCP- რეგულარული სამკუთხა პირამიდა,

AB = BC = SA,

რ= მ,

S მხარე = 18 მ2.

იპოვე: . იხილეთ ნახ. 7.

ბრინჯი. 7

გამოსავალი.

მართკუთხა სამკუთხედში ABCშემოხაზული წრის რადიუსი მოცემულია. მოდი ვიპოვოთ მხარე ABეს სამკუთხედი სინუსების კანონის გამოყენებით.

რეგულარული სამკუთხედის (მ) გვერდის ცოდნა ჩვენ ვპოულობთ მის პერიმეტრს.

რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის თეორემით, სადაც სთ ა- პირამიდის აპოთემა. შემდეგ:

უპასუხე: 4 მ.

ასე რომ, ჩვენ შევხედეთ რა არის პირამიდა, რა არის რეგულარული პირამიდა და დავამტკიცეთ თეორემა რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის შესახებ. მომდევნო გაკვეთილზე გავეცნობით შეკვეცილ პირამიდას.

ბიბლიოგრაფია

1. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (საბაზო და სპეციალიზებული დონეები) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - მე-5 გამოცემა, რევ. და დამატებითი - მ.: მნემოსინე, 2008. - 288 გვ.: ილ.
2. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 გვ.: ill.
3. გეომეტრია. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული და სპეციალიზებული შესწავლით /E. ვ.პოტოსკუევი, ლ.ი.ზვალიჩი. - მე-6 გამოცემა, სტერეოტიპი. - M.: Bustard, 008. - 233 გვ.: ავად.

1. ინტერნეტ პორტალი "Yaklass" ()
2. ინტერნეტპორტალი "პედაგოგიური იდეების ფესტივალი "პირველი სექტემბერი" ()
3. ინტერნეტ პორტალი "Slideshare.net" ()

Საშინაო დავალება

1. შეიძლება თუ არა რეგულარული მრავალკუთხედი იყოს არარეგულარული პირამიდის საფუძველი?
2. დაამტკიცეთ, რომ ჩვეულებრივი პირამიდის უწყვეტი კიდეები პერპენდიკულურია.
3. იპოვეთ დიედრული კუთხის მნიშვნელობა რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის მხარეს, თუ პირამიდის აპოთემა ტოლია მისი ფუძის გვერდის.
4. RAVS- რეგულარული სამკუთხა პირამიდა. ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე პირამიდის ძირში.

შესავალი

როდესაც სტერეომეტრიული ფიგურების შესწავლა დავიწყეთ, შევეხეთ თემას „პირამიდა“. ეს თემა მოგვწონდა, რადგან პირამიდა ძალიან ხშირად გამოიყენება არქიტექტურაში. და რადგან ჩვენი მომავალი პროფესია არქიტექტურა სწორედ ამ ფიგურით არის შთაგონებული, ვფიქრობთ, რომ მას შეუძლია შესანიშნავი პროექტებისკენ გვიბიძგოს.

არქიტექტურული სტრუქტურების სიძლიერე მათი ყველაზე მნიშვნელოვანი ხარისხია. სიძლიერის დაკავშირება, პირველ რიგში, იმ მასალებთან, საიდანაც ისინი იქმნება და, მეორეც, დიზაინის გადაწყვეტილებების მახასიათებლებთან, აღმოჩნდება, რომ სტრუქტურის სიძლიერე პირდაპირ კავშირშია გეომეტრიულ ფორმასთან, რომელიც არის მისთვის ძირითადი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საუბარია გეომეტრიულ ფიგურაზე, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს შესაბამისი არქიტექტურული ფორმის მოდელად. გამოდის, რომ გეომეტრიული ფორმა ასევე განსაზღვრავს არქიტექტურული სტრუქტურის სიძლიერეს.

უძველესი დროიდან ეგვიპტური პირამიდები ითვლებოდა ყველაზე გამძლე არქიტექტურულ ნაგებობებად. მოგეხსენებათ, მათ აქვთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდების ფორმა.

სწორედ ეს გეომეტრიული ფორმა უზრუნველყოფს უდიდეს სტაბილურობას დიდი ბაზის ფართობის გამო. მეორეს მხრივ, პირამიდის ფორმა უზრუნველყოფს მასის შემცირებას მიწის ზემოთ სიმაღლის მატებასთან ერთად. სწორედ ეს ორი თვისება ხდის პირამიდას სტაბილურს და, შესაბამისად, ძლიერს გრავიტაციის პირობებში.

პროექტის მიზანი: ისწავლეთ რაიმე ახალი პირამიდების შესახებ, გაიღრმავეთ ცოდნა და იპოვეთ პრაქტიკული გამოყენება.

ამ მიზნის მისაღწევად საჭირო იყო შემდეგი ამოცანების გადაჭრა:

· გაეცანით ისტორიულ ინფორმაციას პირამიდის შესახებ

· განვიხილოთ პირამიდა, როგორც გეომეტრიული ფიგურა

· იპოვნეთ გამოყენება ცხოვრებაში და არქიტექტურაში

· იპოვნეთ მსგავსება და განსხვავებები პირამიდებს შორის, რომლებიც მდებარეობს მსოფლიოს სხვადასხვა კუთხეში

თეორიული ნაწილი

ისტორიული ცნობები

პირამიდის გეომეტრია დაიწყო ძველ ეგვიპტეში და ბაბილონში, მაგრამ აქტიურად განვითარდა ძველ საბერძნეთში. პირველი, ვინც დაადგინა პირამიდის მოცულობა იყო დემოკრიტე და ევდოქსი კნიდუსელმა დაამტკიცა. ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდმა სისტემატიზაცია მოახდინა პირამიდის შესახებ ცოდნის შესახებ მისი "ელემენტების" XII ტომში და ასევე მიიღო პირამიდის პირველი განმარტება: მყარი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია თვითმფრინავებით, რომლებიც გადადიან ერთი სიბრტყიდან ერთ წერტილამდე.

ეგვიპტური ფარაონების სამარხები. მათგან ყველაზე დიდი - კეოპსის, ხაფრეს და მიკერინის პირამიდები ელ გიზაში - ძველ დროში მსოფლიოს შვიდ საოცრებად ითვლებოდა. პირამიდის მშენებლობა, რომელშიც ბერძნებმა და რომაელებმა უკვე დაინახეს მეფეთა უპრეცედენტო სიამაყისა და სისასტიკის ძეგლი, რომელმაც მთელი ეგვიპტის ხალხი გააწირა უაზრო მშენებლობისთვის, იყო ყველაზე მნიშვნელოვანი საკულტო აქტი და უნდა გამოეხატა, როგორც ჩანს, ქვეყნისა და მისი მმართველის მისტიკური იდენტობა. საფლავის მშენებლობაზე ქვეყნის მოსახლეობა სასოფლო-სამეურნეო სამუშაოებისგან თავისუფალი წლის განმავლობაში მუშაობდა. არაერთი ტექსტი მოწმობს იმ ყურადღებასა და ზრუნვას, რომელსაც თავად მეფეები (თუმცა უფრო გვიანდელი) აქცევდნენ თავიანთი საფლავის და მისი მშენებლების მშენებლობას. ასევე ცნობილია იმ განსაკუთრებული საკულტო პატივის შესახებ, რომელიც თავად პირამიდას მიენიჭა.

Ძირითადი ცნებები

პირამიდაეწოდება მრავალკუთხედს, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, ხოლო დარჩენილი სახეები არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო.

აპოთემა- რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, გამოყვანილი მისი წვეროდან;

გვერდითი სახეები- სამკუთხედები ხვდებიან წვეროზე;

გვერდითი ნეკნები- გვერდითი სახეების საერთო მხარეები;

პირამიდის ზევით- გვერდითი ნეკნების დამაკავშირებელი წერტილი და არ დევს ფუძის სიბრტყეში;

სიმაღლე- პერპენდიკულური სეგმენტი, რომელიც შედგენილია პირამიდის ზევით მისი ფუძის სიბრტყემდე (ამ სეგმენტის ბოლოებია პირამიდის ზედა და პერპენდიკულარულის ფუძე);

პირამიდის დიაგონალური მონაკვეთი- პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც გადის ბაზის ზედა და დიაგონალზე;

ბაზა- მრავალკუთხედი, რომელიც არ ეკუთვნის პირამიდის წვეროს.

რეგულარული პირამიდის ძირითადი თვისებები

გვერდითი კიდეები, გვერდითი სახეები და აპოთემები შესაბამისად თანაბარია.

ძირში დიედრული კუთხეები ტოლია.

გვერდითი კიდეების დიედრული კუთხეები ტოლია.

თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბარი მანძილით არის დაშორებული ფუძის ყველა წვეროდან.

სიმაღლის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდიდან.

პირამიდის ძირითადი ფორმულები

პირამიდის გვერდითი და მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი (სრული და შეკვეცილი) არის მისი ყველა გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამი, მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის მისი ყველა სახის ფართობის ჯამი.

თეორემა: რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პირამიდის აპოთემის ნამრავლის ნახევარს.

გვ- ბაზის პერიმეტრი;

თ- აპოთემა.

დამსხვრეული პირამიდის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი.

გვ 1, გვ 2 - ბაზის პერიმეტრები;

თ- აპოთემა.

რ- რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

S მხარე- რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S 1 + S 2- ბაზის ფართობი

პირამიდის მოცულობა

ფორმა მოცულობა ula გამოიყენება ნებისმიერი სახის პირამიდებისთვის.

ჰ- პირამიდის სიმაღლე.

პირამიდის კუთხეები

კუთხეებს, რომლებიც წარმოიქმნება პირამიდის გვერდით და ფუძით, პირამიდის ფუძესთან მდებარე დიედრული კუთხეები ეწოდება.

ორმხრივი კუთხე იქმნება ორი პერპენდიკულურით.

ამ კუთხის დასადგენად, ხშირად გჭირდებათ სამი პერპენდიკულარული თეორემის გამოყენება.

გვერდითი კიდით წარმოქმნილი კუთხეები და მისი პროექცია საბაზისო სიბრტყეზე ეწოდება კუთხეები გვერდითა კიდესა და ბაზის სიბრტყეს შორის.

ორი გვერდითი კიდეებით წარმოქმნილ კუთხეს ეწოდება დიედრული კუთხე პირამიდის გვერდითი კიდეზე.

პირამიდის ერთი სახის ორი გვერდითი კიდეებით წარმოქმნილ კუთხეს ეწოდება კუთხე პირამიდის ზედა ნაწილში.

პირამიდის სექციები

პირამიდის ზედაპირი პოლიედრონის ზედაპირია. მისი თითოეული სახე არის სიბრტყე, ამიტომ პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც განსაზღვრულია ჭრის სიბრტყით, არის გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება ინდივიდუალური სწორი ხაზებისგან.

დიაგონალური განყოფილება

პირამიდის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სახეზე, ეწოდება დიაგონალური განყოფილებაპირამიდები.

პარალელური მონაკვეთები

თეორემა:

თუ პირამიდა იკვეთება ფუძის პარალელურად სიბრტყით, მაშინ პირამიდის გვერდითი კიდეები და სიმაღლეები ამ სიბრტყით იყოფა პროპორციულ ნაწილებად;

ამ სიბრტყის მონაკვეთი არის ფუძის მსგავსი მრავალკუთხედი;

მონაკვეთისა და ფუძის ფართობები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, როგორც წვეროდან მათი დაშორების კვადრატები.

პირამიდის სახეები

სწორი პირამიდა- პირამიდა, რომლის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში.

ჩვეულებრივი პირამიდისთვის:

1. გვერდითი ნეკნები ტოლია

2. გვერდითი სახეები თანაბარია

3. აპოთემები ტოლია

4. ძირში ორკუთხედი კუთხეები ტოლია

5. გვერდითი კიდეების დიჰედრული კუთხეები ტოლია

6. სიმაღლის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ფუძის ყველა წვეროდან

7. თითოეული სიმაღლის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ყველა გვერდითი კიდედან

დამსხვრეული პირამიდა- პირამიდის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია მის ფუძესა და ძირის პარალელურად საჭრელ სიბრტყეს შორის.

დამსხვრეული პირამიდის ფუძე და შესაბამისი მონაკვეთი ეწოდება დამსხვრეული პირამიდის ფუძეები.

ერთი ფუძის ნებისმიერი წერტილიდან მეორის სიბრტყემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს ეწოდება ჩამოჭრილი პირამიდის სიმაღლე.

Დავალებები

No1. რეგულარულ ოთხკუთხა პირამიდაში წერტილი O არის ფუძის ცენტრი, SO=8 სმ, BD=30 სმ. იპოვეთ გვერდითი კიდე SA.

Პრობლემის გადაჭრა

No1. ჩვეულებრივ პირამიდაში ყველა სახე და კიდე თანაბარია.

განვიხილოთ OSB: OSB არის მართკუთხა მართკუთხედი, რადგან.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

პირამიდა არქიტექტურაში

პირამიდა არის მონუმენტური სტრუქტურა ჩვეულებრივი რეგულარული გეომეტრიული პირამიდის სახით, რომელშიც გვერდები ერთ წერტილში იყრის თავს. მათი ფუნქციური დანიშნულების მიხედვით, ძველად პირამიდები იყო სამარხი ან საკულტო თაყვანისმცემლობის ადგილები. პირამიდის ფუძე შეიძლება იყოს სამკუთხა, ოთხკუთხა ან მრავალკუთხედის ფორმის წვეროების თვითნებური რაოდენობით, მაგრამ ყველაზე გავრცელებული ვერსია არის ოთხკუთხა ფუძე.

არსებობს უამრავი პირამიდა, რომელიც აშენებულია ძველი სამყაროს სხვადასხვა კულტურის მიერ, ძირითადად ტაძრებისა თუ ძეგლების სახით. დიდი პირამიდები მოიცავს ეგვიპტის პირამიდებს.

მთელ დედამიწაზე შეგიძლიათ იხილოთ არქიტექტურული სტრუქტურები პირამიდების სახით. პირამიდის შენობები ძველ დროებს მოგაგონებთ და ძალიან ლამაზად გამოიყურება.

ეგვიპტური პირამიდები ძველი ეგვიპტის უდიდესი არქიტექტურული ძეგლია, მათ შორის ერთ-ერთი "მსოფლიოს შვიდი საოცრება", კეოპსის პირამიდა. ფეხიდან ზევით აღწევს 137,3 მ, ხოლო სანამ მწვერვალს დაკარგავდა, მისი სიმაღლე იყო 146,7 მ.

1983 წელს აშენდა რადიოსადგურის შენობა სლოვაკეთის დედაქალაქში, რომელიც წააგავს შებრუნებულ პირამიდის.

ლუვრი, რომელიც არის „მდუმარე, უცვლელი და დიდებული, როგორც პირამიდა“, საუკუნეების განმავლობაში განიცადა მრავალი ცვლილება, სანამ გახდებოდა მსოფლიოში უდიდესი მუზეუმი. იგი დაიბადა 1190 წელს ფილიპ ავგუსტუსის მიერ აღმართულ ციხედ, რომელიც მალე სამეფო რეზიდენციად იქცა. 1793 წელს სასახლე გახდა მუზეუმი. კოლექციები მდიდრდება ანდერძით ან შესყიდვებით.

C2 ამოცანის გადაჭრისას კოორდინატთა მეთოდით ბევრი მოსწავლე აწყდება იგივე პრობლემას. მათ არ შეუძლიათ გათვლა წერტილების კოორდინატებიშედის სკალარული პროდუქტის ფორმულაში. ყველაზე დიდი სირთულეები ჩნდება პირამიდები. და თუ საბაზისო წერტილები მეტ-ნაკლებად ნორმალურად ითვლება, მაშინ ტოპები ნამდვილი ჯოჯოხეთია.

დღეს ჩვენ ვიმუშავებთ ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაზე. ასევე არის სამკუთხა პირამიდა (aka - ტეტრაედონი). ეს უფრო რთული დიზაინია, ამიტომ მას ცალკე გაკვეთილი დაეთმობა.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ განმარტება:

ჩვეულებრივი პირამიდა არის ის, რომელიც:

1. ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი: სამკუთხედი, კვადრატი და სხვ.;
2. ბაზისკენ მიზიდული სიმაღლე გადის მის ცენტრში.

კერძოდ, ოთხკუთხა პირამიდის ფუძეა კვადრატი. ისევე როგორც კეოპსი, მხოლოდ ოდნავ პატარა.

ქვემოთ მოცემულია პირამიდის გამოთვლები, რომელშიც ყველა კიდე 1-ის ტოლია. თუ ეს ასე არ არის თქვენს პრობლემაში, გამოთვლები არ იცვლება - უბრალოდ რიცხვები იქნება განსხვავებული.

ოთხკუთხა პირამიდის წვეროები

მაშ ასე, მივცეთ ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პირამიდა SABCD, სადაც S არის წვერო და ფუძე ABCD არის კვადრატი. ყველა კიდე უდრის 1-ს. თქვენ უნდა შეიყვანოთ კოორდინატთა სისტემა და იპოვოთ ყველა წერტილის კოორდინატები. Ჩვენ გვაქვს:

ჩვენ შემოგთავაზებთ კოორდინატთა სისტემას საწყისით A წერტილში:

1. OX ღერძი მიმართულია AB კიდის პარალელურად;
2. OY ღერძი პარალელურია AD-ის. ვინაიდან ABCD არის კვადრატი, AB ⊥ AD;
3. და ბოლოს, ჩვენ მივმართავთ OZ ღერძს ზემოთ, ABCD სიბრტყის პერპენდიკულარულად.

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ კოორდინატებს. დამატებითი კონსტრუქცია: SH - ძირამდე დახატული სიმაღლე. მოხერხებულობისთვის პირამიდის ფუძეს ცალკე ნახატში მოვათავსებთ. ვინაიდან A, B, C და D წერტილები დევს OXY სიბრტყეში, მათი კოორდინატი არის z = 0. გვაქვს:

1. A = (0; 0; 0) - ემთხვევა წარმოშობას;
2. B = (1; 0; 0) - ნაბიჯი 1-ით OX ღერძის გასწვრივ საწყისიდან;
3. C = (1; 1; 0) - ნაბიჯი 1-ით OX ღერძის გასწვრივ და 1-ით OY ღერძის გასწვრივ;
4. D = (0; 1; 0) - ნაბიჯი მხოლოდ OY ღერძის გასწვრივ.
5. H = (0.5; 0.5; 0) - კვადრატის ცენტრი, AC სეგმენტის შუა.

რჩება S წერტილის კოორდინატების პოვნა. გაითვალისწინეთ, რომ S და H წერტილების x და y კოორდინატები ერთნაირია, რადგან ისინი დევს OZ ღერძის პარალელურ წრფეზე. რჩება z კოორდინატის პოვნა S წერტილისთვის.

განვიხილოთ სამკუთხედები ASH და ABH:

1. AS = AB = 1 პირობით;
2. კუთხე AHS = AHB = 90°, ვინაიდან SH არის სიმაღლე და AH ⊥ HB როგორც კვადრატის დიაგონალები;
3. AH მხარე საერთოა.

ამიტომ, მართკუთხა სამკუთხედები ASH და ABH თანაბარითითო ფეხი და თითო ჰიპოტენუზა. ეს ნიშნავს SH = BH = 0.5 BD. მაგრამ BD არის კვადრატის დიაგონალი გვერდით 1. ამიტომ გვაქვს:

S წერტილის ჯამური კოორდინატები:

დასასრულს, ჩვენ ვწერთ რეგულარული მართკუთხა პირამიდის ყველა წვეროს კოორდინატებს:

რა უნდა გააკეთოს, როდესაც ნეკნები განსხვავებულია

რა მოხდება, თუ პირამიდის გვერდითი კიდეები არ არის ფუძის კიდეების ტოლი? ამ შემთხვევაში, განიხილეთ სამკუთხედი AHS:

სამკუთხედი AHS - მართკუთხადა ჰიპოტენუზა AS ასევე არის ორიგინალური პირამიდის SABCD-ის გვერდითი კიდე. ფეხი AH ადვილად გამოითვლება: AH = 0,5 AC. ჩვენ ვიპოვით დარჩენილ ფეხს SH პითაგორას თეორემის მიხედვით. ეს იქნება z კოორდინატი S წერტილისთვის.

დავალება. მოცემულია ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პირამიდა SABCD, რომლის ფუძეზე დევს კვადრატი 1 გვერდით. გვერდითი კიდე BS = 3. იპოვეთ S წერტილის კოორდინატები.

ჩვენ უკვე ვიცით ამ წერტილის x და y კოორდინატები: x = y = 0,5. ეს ორი ფაქტიდან გამომდინარეობს:

1. S წერტილის პროექცია OXY სიბრტყეზე არის წერტილი H;
2. ამავდროულად, H წერტილი არის ABCD კვადრატის ცენტრი, რომლის ყველა გვერდი უდრის 1-ს.

რჩება S წერტილის კოორდინატის პოვნა. განვიხილოთ სამკუთხედი AHS. ის მართკუთხაა, ჰიპოტენუზა AS = BS = 3, ფეხი AH არის დიაგონალის ნახევარი. შემდგომი გამოთვლებისთვის გვჭირდება მისი სიგრძე:

პითაგორას თეორემა AHS სამკუთხედისთვის: AH 2 + SH 2 = AS 2. Ჩვენ გვაქვს:

ასე რომ, S წერტილის კოორდინატები:

როდესაც ადამიანს ესმის სიტყვა "პირამიდა", მაშინვე ახსოვს დიდებული ეგვიპტური სტრუქტურები. თუმცა, უძველესი ქვის გიგანტები პირამიდის კლასის მხოლოდ ერთ-ერთი წარმომადგენელია. ამ სტატიაში განვიხილავთ გეომეტრიული თვალსაზრისით რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის თვისებებს.

რა არის პირამიდა ზოგადად?

გეომეტრიაში ეს გაგებულია, როგორც სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომელიც შეიძლება მივიღოთ ბრტყელი მრავალკუთხედის ყველა წვეროს შეერთებით ერთ წერტილთან, რომელიც მდებარეობს ამ მრავალკუთხედისგან განსხვავებულ სიბრტყეში. ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს 4 ფორმას, რომელიც აკმაყოფილებს ამ განმარტებას.

ჩვენ ვხედავთ, რომ პირველ ფიგურას აქვს სამკუთხა ფუძე, მეორეს აქვს ოთხკუთხა ფუძე. ბოლო ორი წარმოდგენილია ხუთკუთხა და ექვსკუთხა ფუძით. თუმცა, ყველა პირამიდის გვერდითი ზედაპირი იქმნება სამკუთხედებით. მათი რიცხვი ზუსტად უდრის ფუძეზე მდებარე მრავალკუთხედის გვერდების ან წვეროების რაოდენობას.

პირამიდის განსაკუთრებული სახეობა, რომელიც განსხვავდება კლასის სხვა წარმომადგენლებისგან თავისი იდეალური სიმეტრიით, არის ჩვეულებრივი პირამიდა. იმისათვის, რომ ფიგურა იყოს სწორი, უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგი ორი წინაპირობა:

• ფუძეს უნდა ჰქონდეს რეგულარული მრავალკუთხედი;
• ფიგურის გვერდითი ზედაპირი უნდა შედგებოდეს თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედებისგან.

გაითვალისწინეთ, რომ მეორე სავალდებულო პირობა შეიძლება შეიცვალოს სხვათ: პირამიდის ზემოდან ძირზე გამოყვანილი პერპენდიკულარი (გვერდითი სამკუთხედების გადაკვეთის წერტილი) უნდა კვეთდეს ამ ფუძეს მის გეომეტრიულ ცენტრში.

ახლა გადავიდეთ სტატიის თემაზე და განვიხილოთ, რა თვისებები ახასიათებს მას რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის. ჯერ ნახატზე ვაჩვენოთ როგორ გამოიყურება ეს ფიგურა.

მისი საფუძველი არის კვადრატი. გვერდები წარმოადგენს 4 იდენტურ ტოლფერდა სამკუთხედს (ისინი ასევე შეიძლება იყოს ტოლგვერდა კვადრატის გვერდის სიგრძისა და ფიგურის სიმაღლის გარკვეული თანაფარდობით). პირამიდის ზემოდან ჩამოშვებული სიმაღლე გადაკვეთს კვადრატს მის ცენტრში (დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი).

ამ პირამიდას აქვს 5 სახე (კვადრატი და ოთხი სამკუთხედი), 5 წვერო (მათგან ოთხი ეკუთვნის ფუძეს) და 8 კიდე. მეოთხე რიგი, რომელიც გადის პირამიდის სიმაღლეზე, გარდაქმნის მას საკუთარ თავში 90 o ბრუნვით.

ეგვიპტური პირამიდები გიზაში არის რეგულარული ოთხკუთხა.

ოთხი ძირითადი ხაზოვანი პარამეტრი

დავიწყოთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მათემატიკური თვისებების განხილვა სიმაღლის, ფუძის გვერდის სიგრძის, გვერდითი კიდისა და აპოთემის ფორმულებით. დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ ყველა ეს რაოდენობა დაკავშირებულია ერთმანეთთან, ამიტომ საკმარისია მხოლოდ ორი მათგანის ცოდნა, რათა ცალსახად გამოვთვალოთ დარჩენილი ორი.

დავუშვათ, რომ პირამიდის სიმაღლე h და კვადრატული ფუძის მხარის სიგრძე a ცნობილია, მაშინ გვერდითი კიდე b ტოლი იქნება:

b = √(a 2 / 2 + h 2)

ახლა ჩვენ ვაძლევთ ფორმულას აპოთემის a b სიგრძისთვის (სამკუთხედის სიმაღლე დაშვებული ფუძის მხარეს):

a b = √(a 2 / 4 + h 2)

ცხადია, გვერდითი კიდე b ყოველთვის უფრო დიდია ვიდრე აპოთემა a b.

ორივე გამონათქვამი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ოთხივე წრფივი მახასიათებლის დასადგენად, თუ დანარჩენი ორი პარამეტრი ცნობილია, მაგალითად a b და h.

ფიგურის ფართობი და მოცულობა

ეს არის რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის კიდევ ორი ​​მნიშვნელოვანი თვისება. ფიგურის ფუძეს აქვს შემდეგი ფართობი:

ყველა სკოლის მოსწავლემ იცის ეს ფორმულა. გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომელიც შედგება ოთხი იდენტური სამკუთხედით, შეიძლება განისაზღვროს პირამიდის a b აპოთემით შემდეგნაირად:

თუ a b უცნობია, მაშინ ის შეიძლება განისაზღვროს წინა აბზაცის ფორმულების გამოყენებით h სიმაღლეზე ან b კიდეზე.

განხილული ფიგურის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის S o და S b ფართობების ჯამი:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

პირამიდის ყველა სახის გამოთვლილი ფართობი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში მისი განვითარების სახით.

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის თვისებების აღწერა არ იქნება სრული მისი მოცულობის განსაზღვრის ფორმულის გათვალისწინების გარეშე. მოცემული პირამიდისთვის ეს მნიშვნელობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

ანუ V უდრის ფიგურის სიმაღლისა და მისი ფუძის ფართობის ნამრავლის მესამე ნაწილს.

რეგულარული შეკვეცილი ოთხკუთხა პირამიდის თვისებები

თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ეს ფიგურა ორიგინალური პირამიდიდან. ამისათვის თქვენ უნდა მოჭრათ პირამიდის ზედა თვითმფრინავი. მოჭრილი სიბრტყის ქვეშ დარჩენილ ფიგურას შეკვეცილი პირამიდა დაერქმევა.

ყველაზე მოსახერხებელია შეკვეცილი პირამიდის მახასიათებლების შესწავლა, თუ მისი ფუძეები ერთმანეთის პარალელურია. ამ შემთხვევაში ქვედა და ზედა ფუძეები მსგავსი მრავალკუთხედები იქნება. ვინაიდან ოთხკუთხა რეგულარულ პირამიდაში ფუძე არის კვადრატი, ჭრის დროს წარმოქმნილი მონაკვეთი ასევე წარმოადგენს კვადრატს, მაგრამ უფრო მცირე ზომის.

ჩამოსხმული ფიგურის გვერდითი ზედაპირი წარმოიქმნება არა სამკუთხედებით, არამედ ტოლფერდა ტრაპეციებით.

ამ პირამიდის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისებაა მისი მოცულობა, რომელიც გამოითვლება ფორმულით:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

აქ h არის მანძილი ფიგურის ფუძეებს შორის, S o1, S o2 არის ქვედა და ზედა ფუძის ფართობები.