რეგულარული პირამიდის ცენტრი. პირამიდები

განმარტება

პირამიდაარის მრავალკუთხედი, რომელიც შედგება მრავალკუთხედის \(A_1A_2...A_n\) და \(n\) სამკუთხედებისგან საერთო წვერით \(P\) (რომელიც არ დევს მრავალკუთხედის სიბრტყეში) და მის მოპირდაპირე გვერდებს, ემთხვევა მრავალკუთხედის მხარეები.
აღნიშვნა: \(PA_1A_2...A_n\) .
მაგალითი: ხუთკუთხა პირამიდა \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

სამკუთხედები \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) და ა.შ. უწოდებენ გვერდითი სახეებიპირამიდები, სეგმენტები \(PA_1, PA_2\) და ა.შ. - გვერდითი ნეკნები, პოლიგონი \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – საფუძველი, წერტილი \(P\) – ზედა.

სიმაღლეპირამიდები არის პერპენდიკულური, რომელიც ეშვება პირამიდის ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე.

პირამიდას, რომელსაც ძირში სამკუთხედი აქვს, ეწოდება ტეტრაედონი.

პირამიდა ე.წ სწორითუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:

\((ა)\) პირამიდის გვერდითი კიდეები ტოლია;

\((ბ)\) პირამიდის სიმაღლე გადის ფუძესთან შემოხაზული წრის ცენტრში;

\((გ)\) გვერდითი ნეკნები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.

\((დ)\) გვერდითი მხარეები დახრილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.

რეგულარული ტეტრაედონიარის სამკუთხა პირამიდა, რომლის ყველა სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია.

თეორემა

პირობები \((ა), (ბ), (გ), (დ)\) ექვივალენტურია.

მტკიცებულება

მოდით ვიპოვოთ პირამიდის სიმაღლე \(PH\) . დაე, \(\alpha\) იყოს პირამიდის ფუძის სიბრტყე.

1) დავამტკიცოთ, რომ \((a)\)-დან გამომდინარეობს \((ბ)\) . მოდით \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

იმიტომ რომ \(PH\perp \alpha\), შემდეგ \(PH\) პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ნებისმიერი წრფის მიმართ, რაც ნიშნავს, რომ სამკუთხედები მართკუთხაა. ეს ნიშნავს, რომ ეს სამკუთხედები ტოლია საერთო წვერში \(PH\) და ჰიპოტენუზაში \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . ეს ნიშნავს \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . ეს ნიშნავს, რომ წერტილები \(A_1, A_2, ..., A_n\) ერთსა და იმავე მანძილზეა \(H\) წერტილიდან, შესაბამისად, ისინი დევს იმავე წრეზე \(A_1H\) რადიუსით. ეს წრე, განსაზღვრებით, შემოიფარგლება პოლიგონზე \(A_1A_2...A_n\) .

2) დავამტკიცოთ, რომ \((b)\) გულისხმობს \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)მართკუთხა და ტოლი ორ ფეხზე. ეს ნიშნავს, რომ მათი კუთხეები ასევე თანაბარია, შესაბამისად, \(\კუთხე PA_1H=\კუთხე PA_2H=...=\კუთხე PA_nH\).

3) დავამტკიცოთ, რომ \((c)\) გულისხმობს \((a)\) .

პირველი წერტილის მსგავსად, სამკუთხედები \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)მართკუთხა, როგორც ფეხის გასწვრივ, ასევე მწვავე კუთხით. ეს ნიშნავს, რომ მათი ჰიპოტენუსებიც ტოლია, ანუ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) დავამტკიცოთ, რომ \((ბ)\) გულისხმობს \((დ)\) .

იმიტომ რომ რეგულარულ მრავალკუთხედში შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ერთმანეთს ემთხვევა (ზოგადად რომ ვთქვათ, ამ წერტილს რეგულარული მრავალკუთხედის ცენტრს უწოდებენ), მაშინ \(H\) არის ჩაწერილი წრის ცენტრი. დავხატოთ პერპენდიკულარები \(H\) წერტილიდან ფუძის გვერდებზე: \(HK_1, HK_2\) და ა.შ. ეს არის შემოხაზული წრის რადიუსი (განმარტებით). შემდეგ, TTP-ის მიხედვით (\(PH\) არის სიბრტყის პერპენდიკულარული, \(HK_1, HK_2\) და ა.შ. არის გვერდებზე პერპენდიკულარული პროგნოზები) დახრილი \(PK_1, PK_2\) და ა.შ. გვერდებზე პერპენდიკულარული \(A_1A_2, A_2A_3\) და ა.შ. შესაბამისად. ასე რომ, განსაზღვრებით \(\კუთხე PK_1H, \კუთხე PK_2H\)ტოლი კუთხეების გვერდითა სახეებსა და ფუძეს შორის. იმიტომ რომ სამკუთხედები \(PK_1H, PK_2H, ...\) ტოლია (როგორც მართკუთხა ორ მხარეს), შემდეგ კუთხეები \(\კუთხე PK_1H, \კუთხე PK_2H, ...\)თანაბარი არიან.

5) დავამტკიცოთ, რომ \((დ)\) გულისხმობს \((ბ)\) .

მეოთხე წერტილის მსგავსად, სამკუთხედები \(PK_1H, PK_2H, ...\) ტოლია (როგორც ფეხის გასწვრივ მართკუთხა და მწვავე კუთხე), რაც ნიშნავს, რომ სეგმენტები \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) არის თანაბარი. ეს ნიშნავს, განმარტებით, \(H\) არის ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრი. მაგრამ იმიტომ რეგულარული მრავალკუთხედებისთვის, შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ემთხვევა, მაშინ \(H\) არის შემოხაზული წრის ცენტრი. ჩტდ.

შედეგი

რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახეები არის თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედები.

განმარტება

მისი წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემა.
რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი სახის აპოთემები ერთმანეთის ტოლია და ასევე არის მედიანები და ბისექტრები.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის სიმაღლეების (ან ბისექტორების, ან შუალედების) გადაკვეთის წერტილში (ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი).

2. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის ადგილზე (ფუძე არის კვადრატი).

3. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის სიმაღლე ეცემა ფუძის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში (ფუძე არის რეგულარული ექვსკუთხედი).

4. პირამიდის სიმაღლე პერპენდიკულარულია ძირში მდებარე ნებისმიერი სწორი ხაზის მიმართ.

განმარტება

პირამიდა ე.წ მართკუთხა, თუ მისი ერთ-ერთი გვერდითი კიდე პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყის მიმართ.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. მართკუთხა პირამიდაში ფუძის პერპენდიკულარული კიდე არის პირამიდის სიმაღლე. ანუ \(SR\) არის სიმაღლე.

2. რადგან \(SR\) არის პერპენდიკულარული ფუძედან ნებისმიერი ხაზის მიმართ \(\სამკუთხედი SRM, \სამკუთხედი SRP\)- მართკუთხა სამკუთხედები.

3. სამკუთხედები \(\სამკუთხედი SRN, \სამკუთხედი SRK\)- ასევე მართკუთხა.
ანუ, ნებისმიერი სამკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება ამ კიდით და დიაგონალი, რომელიც გამოდის ამ კიდის წვეროდან ძირში, იქნება მართკუთხა.

\[(\დიდი(\ტექსტი(პირამიდის მოცულობა და ზედაპირის ფართობი)))\]

თეორემა

პირამიდის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და პირამიდის სიმაღლის პროდუქტის მესამედს: \

შედეგები

დაე, \(a\) იყოს ფუძის მხარე, \(h\) იყოს პირამიდის სიმაღლე.

1. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(მარჯვენა სამკუთხედი.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობა არის \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. რეგულარული ტეტრაედრის მოცულობა არის \(V_(\text(მარჯვნივ ტეტრ.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

თეორემა

რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნახევარ ნამრავლს.

\[(\დიდი(\ტექსტი(ფრუსტუმი)))\]

განმარტება

განვიხილოთ თვითნებური პირამიდა \(PA_1A_2A_3...A_n\) . მოდით დავხატოთ სიბრტყე პირამიდის ფუძის პარალელურად, პირამიდის გვერდით კიდეზე მდებარე გარკვეულ წერტილში. ეს სიბრტყე პირამიდას გაყოფს ორ პოლიედრად, რომელთაგან ერთი არის პირამიდა (\(PB_1B_2...B_n\)), ხოლო მეორეს ე.წ. შეკვეცილი პირამიდა(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

ჩამოჭრილ პირამიდას აქვს ორი ფუძე - პოლიგონები \(A_1A_2...A_n\) და \(B_1B_2...B_n\), რომლებიც ერთმანეთის მსგავსია.

დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც შედგენილია ზედა ფუძის რაღაც წერტილიდან ქვედა ფუძის სიბრტყემდე.

მნიშვნელოვანი შენიშვნები

1. დამსხვრეული პირამიდის ყველა გვერდითი სახე ტრაპეციაა.

2. რეგულარული ჩამოსხმული პირამიდის (ანუ რეგულარული პირამიდის კვეთით მიღებული პირამიდის) ცენტრების დამაკავშირებელი სეგმენტი არის სიმაღლე.

პირამიდები

განვიხილოთ თვითნებური სიბრტყე α, თვითნებური ამოზნექილი n-გონი ა 1 ა 2 ... ნ , რომელიც მდებარეობს ამ სიბრტყეში და წერტილი S, რომელიც არ დევს α სიბრტყეში.

განმარტება 1. პირამიდა ( n - ქვანახშირის პირამიდა)დაასახელეთ ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება S წერტილის მიერ მრავალკუთხედის ყველა წერტილთან დამაკავშირებელი სეგმენტებით ა 1 ა 2 ... ნ (ნახ. 1) .

შენიშვნა 1. გავიხსენოთ, რომ მრავალკუთხედი ა 1 ა 2 ... ნ შედგება დახურული გატეხილი ხაზისგან ა 1 ა 2 ... ნ და თვითმფრინავის მისით შეზღუდული ნაწილი.

განმარტება 2.

ტეტრაედრები. რეგულარული ტეტრაედრები

განმარტება 5. თვითნებურ სამკუთხა პირამიდას ტეტრაედონი ეწოდება.

განცხადება. ნებისმიერი რეგულარული სამკუთხა პირამიდისთვის, საპირისპირო კიდეები პერპენდიკულარულია წყვილებში.

მტკიცებულება. განვიხილოთ ჩვეულებრივი სამკუთხა პირამიდა SABC და მისი საპირისპირო კიდეების წყვილი, მაგალითად AC და BS. AC კიდის შუა ავღნიშნოთ ასო D-ით. ვინაიდან BD და SD სეგმენტები არის მედიანა ტოლფერდა სამკუთხედებში ABC და ASC, მაშინ BD და SD პერპენდიკულარულია AC კიდეზე (ნახ. 4).

სადაც ასო D აღნიშნავს AC კიდის შუას (სურ. 6).

პითაგორას თეორემის გამოყენებით BSO სამკუთხედიდან ვპოულობთ

უპასუხე.

პირამიდის მოცულობის, გვერდითი და მთლიანი ზედაპირის ფართობის ფორმულები

მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა

მაშინ შემდეგი სიმართლეა პირამიდის მოცულობის, გვერდითი და მთლიანი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელი ფორმულები:

ეს ვიდეო გაკვეთილი დაეხმარება მომხმარებლებს პირამიდის თემის წარმოდგენაში. სწორი პირამიდა. ამ გაკვეთილზე გავეცნობით პირამიდის ცნებას და მივცემთ მას განმარტებას. მოდით განვიხილოთ რა არის ჩვეულებრივი პირამიდა და რა თვისებები აქვს მას. შემდეგ ვამტკიცებთ თეორემას რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის შესახებ.

ამ გაკვეთილზე გავეცნობით პირამიდის ცნებას და მივცემთ მას განმარტებას.

განვიხილოთ მრავალკუთხედი A 1 A 2...ნ, რომელიც დევს α სიბრტყეში და წერტილი პ, რომელიც არ დევს α სიბრტყეში (ნახ. 1). მოდით დავაკავშიროთ წერტილები პმწვერვალებით A 1, A 2, A 3, … ნ. ვიღებთ ნსამკუთხედები: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rდა ასე შემდეგ.

განმარტება. პოლიედონი RA 1 A 2 ...A n, შედგება ნ- კვადრატი A 1 A 2...ნდა ნსამკუთხედები RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 ჰქვია ნ- ქვანახშირის პირამიდა. ბრინჯი. 1.

ბრინჯი. 1

განვიხილოთ ოთხკუთხა პირამიდა PABCD(ნახ. 2).

რ- პირამიდის მწვერვალი.

Ა Ბ Გ Დ- პირამიდის საფუძველი.

RA- გვერდითი ნეკნი.

AB- ბაზის ნეკნი.

წერტილიდან რპერპენდიკულარი ჩამოვუშვათ RNსაბაზო სიბრტყემდე Ა Ბ Გ Დ. დახატული პერპენდიკულური არის პირამიდის სიმაღლე.

ბრინჯი. 2

პირამიდის სრული ზედაპირი შედგება გვერდითი ზედაპირისგან, ანუ ყველა გვერდითი სახის ფართობისგან და ფუძის ფართობისგან:

S სრული = S მხარე + S მთავარი

პირამიდას სწორი ეწოდება, თუ:

• მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი;
• პირამიდის ზედა ნაწილის ფუძის ცენტრთან დამაკავშირებელი სეგმენტი არის მისი სიმაღლე.

ახსნა რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მაგალითის გამოყენებით

განვიხილოთ ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პირამიდა PABCD(ნახ. 3).

რ- პირამიდის მწვერვალი. პირამიდის საფუძველი Ა Ბ Გ Დ- რეგულარული ოთხკუთხედი, ანუ კვადრატი. Წერტილი შესახებდიაგონალების გადაკვეთის წერტილი არის კვადრატის ცენტრი. ნიშნავს, ROარის პირამიდის სიმაღლე.

ბრინჯი. 3

ახსნა: სწორად ნსამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი და წრეწირის ცენტრი ემთხვევა ერთმანეთს. ამ ცენტრს მრავალკუთხედის ცენტრს უწოდებენ. ზოგჯერ ისინი ამბობენ, რომ წვერო პროეცირდება ცენტრში.

მისი წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემადა დანიშნულია სთ ა.

1. რეგულარული პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ტოლია;

2. გვერდითი სახეები ტოლი ტოლფერდა სამკუთხედია.

ჩვენ დავამტკიცებთ ამ თვისებებს რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მაგალითის გამოყენებით.

მოცემული: PABCD- რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა,

Ა Ბ Გ Დ- კვადრატი,

RO- პირამიდის სიმაღლე.

დაამტკიცე:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP იხილეთ ნახ. 4.

ბრინჯი. 4

მტკიცებულება.

RO- პირამიდის სიმაღლე. ანუ პირდაპირ ROსიბრტყეზე პერპენდიკულარული ABCდა ამიტომ პირდაპირი JSC, VO, SOდა ᲙᲔᲗᲔᲑᲐმასში წევს. ასე რომ, სამკუთხედები ROA, ROV, ROS, ROD- მართკუთხა.

განვიხილოთ კვადრატი Ა Ბ Გ Დ. კვადრატის თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ AO = VO = CO = ᲙᲔᲗᲔᲑᲐ.

შემდეგ მართკუთხა სამკუთხედები ROA, ROV, ROS, RODფეხი RO- ზოგადი და ფეხები JSC, VO, SOდა ᲙᲔᲗᲔᲑᲐტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ეს სამკუთხედები ტოლია ორ მხარეს. სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს სეგმენტების ტოლობა, RA = PB = RS = PD.პუნქტი 1 დადასტურებულია.

სეგმენტები ABდა მზეტოლები არიან, რადგან ისინი ერთი და იგივე კვადრატის გვერდებია, RA = PB = RS. ასე რომ, სამკუთხედები AVRდა VSR -ტოლფერდა და ტოლია სამი მხრიდან.

ანალოგიურად ვპოულობთ სამკუთხედებს ABP, VCP, CDP, DAPარიან ტოლფეროები და ტოლები, როგორც ეს უნდა დადასტურდეს მე-2 პუნქტში.

რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნამრავლის ნახევარს:

ამის დასამტკიცებლად ავირჩიოთ ჩვეულებრივი სამკუთხა პირამიდა.

მოცემული: RAVS- რეგულარული სამკუთხა პირამიდა.

AB = BC = AC.

RO- სიმაღლე.

დაამტკიცე: . იხილეთ ნახ. 5.

ბრინჯი. 5

მტკიცებულება.

RAVS- რეგულარული სამკუთხა პირამიდა. ანუ AB= AC = ძვ.წ. დაე შესახებ- სამკუთხედის ცენტრი ABC, მაშინ ROარის პირამიდის სიმაღლე. პირამიდის ძირში დევს ტოლგვერდა სამკუთხედი ABC. გაითვალისწინეთ, რომ.

სამკუთხედები RAV, RVS, RSA- ტოლი ტოლფერდა სამკუთხედები (საკუთრების მიხედვით). სამკუთხა პირამიდას სამი გვერდითი სახე აქვს: RAV, RVS, RSA. ეს ნიშნავს, რომ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

S მხარე = 3S RAW

თეორემა დადასტურდა.

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ძირში ჩაწერილი წრის რადიუსი არის 3 მ, პირამიდის სიმაღლე 4 მ. იპოვეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

მოცემული: რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა Ა Ბ Გ Დ,

Ა Ბ Გ Დ- კვადრატი,

რ= 3 მ,

RO- პირამიდის სიმაღლე,

RO= 4 მ.

იპოვე: S მხარე. იხილეთ ნახ. 6.

ბრინჯი. 6

გამოსავალი.

დადასტურებული თეორემის მიხედვით, .

ჯერ ვიპოვოთ ფუძის მხარე AB. ჩვენ ვიცით, რომ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ძირში ჩაწერილი წრის რადიუსი არის 3 მ.

შემდეგ, მ.

იპოვეთ კვადრატის პერიმეტრი Ა Ბ Გ Დ 6 მ გვერდით:

განვიხილოთ სამკუთხედი BCD. დაე მ- მხარის შუა DC. იმიტომ რომ შესახებ- შუა BD, მოცულობა).

სამკუთხედი DPC- ტოლფერდა. მ- შუა DC. ანუ RM- მედიანა და, შესაბამისად, სიმაღლე სამკუთხედში DPC. მერე RM- პირამიდის აპოთემა.

RO- პირამიდის სიმაღლე. მერე პირდაპირ ROსიბრტყეზე პერპენდიკულარული ABCდა ამიტომ პირდაპირი OM, იწვა მასში. მოდი ვიპოვოთ აპოთემა RMმართკუთხა სამკუთხედიდან რომი.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირი:

უპასუხე: 60 მ2.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფუძის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი უდრის მ. გვერდითი ზედაპირის ფართობი 18 მ 2. იპოვეთ აპოთემის სიგრძე.

მოცემული: ABCP- რეგულარული სამკუთხა პირამიდა,

AB = BC = SA,

რ= მ,

S მხარე = 18 მ2.

იპოვე: . იხილეთ ნახ. 7.

ბრინჯი. 7

გამოსავალი.

მართკუთხა სამკუთხედში ABCშემოხაზული წრის რადიუსი მოცემულია. მოდი ვიპოვოთ მხარე ABეს სამკუთხედი სინუსების კანონის გამოყენებით.

რეგულარული სამკუთხედის (მ) გვერდის ცოდნა ჩვენ ვპოულობთ მის პერიმეტრს.

რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის თეორემით, სადაც სთ ა- პირამიდის აპოთემა. შემდეგ:

უპასუხე: 4 მ.

ასე რომ, ჩვენ შევხედეთ რა არის პირამიდა, რა არის რეგულარული პირამიდა და დავამტკიცეთ თეორემა რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის შესახებ. მომდევნო გაკვეთილზე გავეცნობით შეკვეცილ პირამიდას.

ბიბლიოგრაფია

1. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (საბაზო და სპეციალიზებული დონეები) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - მე-5 გამოცემა, რევ. და დამატებითი - მ.: მნემოსინე, 2008. - 288 გვ.: ილ.
2. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 გვ.: ill.
3. გეომეტრია. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული და სპეციალიზებული შესწავლით /E. ვ.პოტოსკუევი, ლ.ი.ზვალიჩი. - მე-6 გამოცემა, სტერეოტიპი. - M.: Bustard, 008. - 233 გვ.: ავად.

1. ინტერნეტ პორტალი "Yaklass" ()
2. ინტერნეტპორტალი "პედაგოგიური იდეების ფესტივალი "პირველი სექტემბერი" ()
3. ინტერნეტ პორტალი "Slideshare.net" ()

Საშინაო დავალება

1. შეიძლება თუ არა რეგულარული მრავალკუთხედი იყოს არარეგულარული პირამიდის საფუძველი?
2. დაამტკიცეთ, რომ ჩვეულებრივი პირამიდის უწყვეტი კიდეები პერპენდიკულურია.
3. იპოვეთ დიედრული კუთხის მნიშვნელობა რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის მხარეს, თუ პირამიდის აპოთემა ტოლია მისი ფუძის გვერდის.
4. RAVS- რეგულარული სამკუთხა პირამიდა. ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე პირამიდის ძირში.

როდესაც ადამიანს ესმის სიტყვა "პირამიდა", მაშინვე ახსოვს დიდებული ეგვიპტური სტრუქტურები. თუმცა, უძველესი ქვის გიგანტები პირამიდის კლასის მხოლოდ ერთ-ერთი წარმომადგენელია. ამ სტატიაში განვიხილავთ გეომეტრიული თვალსაზრისით რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის თვისებებს.

რა არის პირამიდა ზოგადად?

გეომეტრიაში ეს გაგებულია, როგორც სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომელიც შეიძლება მივიღოთ ბრტყელი მრავალკუთხედის ყველა წვეროს შეერთებით ერთ წერტილთან, რომელიც მდებარეობს ამ მრავალკუთხედისგან განსხვავებულ სიბრტყეში. ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს 4 ფორმას, რომელიც აკმაყოფილებს ამ განმარტებას.

ჩვენ ვხედავთ, რომ პირველ ფიგურას აქვს სამკუთხა ფუძე, მეორეს აქვს ოთხკუთხა ფუძე. ბოლო ორი წარმოდგენილია ხუთკუთხა და ექვსკუთხა ფუძით. თუმცა, ყველა პირამიდის გვერდითი ზედაპირი იქმნება სამკუთხედებით. მათი რიცხვი ზუსტად უდრის ფუძეზე მდებარე მრავალკუთხედის გვერდების ან წვეროების რაოდენობას.

პირამიდის განსაკუთრებული სახეობა, რომელიც განსხვავდება კლასის სხვა წარმომადგენლებისგან თავისი იდეალური სიმეტრიით, არის ჩვეულებრივი პირამიდა. იმისათვის, რომ ფიგურა იყოს სწორი, უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგი ორი წინაპირობა:

• ფუძეს უნდა ჰქონდეს რეგულარული მრავალკუთხედი;
• ფიგურის გვერდითი ზედაპირი უნდა შედგებოდეს თანაბარი ტოლფერდა სამკუთხედებისგან.

გაითვალისწინეთ, რომ მეორე სავალდებულო პირობა შეიძლება შეიცვალოს სხვათ: პირამიდის ზემოდან ძირზე გამოყვანილი პერპენდიკულარი (გვერდითი სამკუთხედების გადაკვეთის წერტილი) უნდა კვეთდეს ამ ფუძეს მის გეომეტრიულ ცენტრში.

ახლა გადავიდეთ სტატიის თემაზე და განვიხილოთ, რა თვისებები ახასიათებს მას რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის. ჯერ ნახატზე ვაჩვენოთ როგორ გამოიყურება ეს ფიგურა.

მისი საფუძველი არის კვადრატი. გვერდები წარმოადგენს 4 იდენტურ ტოლფერდა სამკუთხედს (ისინი ასევე შეიძლება იყოს ტოლგვერდა კვადრატის გვერდის სიგრძისა და ფიგურის სიმაღლის გარკვეული თანაფარდობით). პირამიდის ზემოდან ჩამოშვებული სიმაღლე გადაკვეთს კვადრატს მის ცენტრში (დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი).

ამ პირამიდას აქვს 5 სახე (კვადრატი და ოთხი სამკუთხედი), 5 წვერო (მათგან ოთხი ეკუთვნის ფუძეს) და 8 კიდე. მეოთხე რიგი, რომელიც გადის პირამიდის სიმაღლეზე, გარდაქმნის მას საკუთარ თავში 90 o ბრუნვით.

ეგვიპტური პირამიდები გიზაში არის რეგულარული ოთხკუთხა.

ოთხი ძირითადი ხაზოვანი პარამეტრი

დავიწყოთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მათემატიკური თვისებების განხილვა სიმაღლის, ფუძის გვერდის სიგრძის, გვერდითი კიდისა და აპოთემის ფორმულებით. დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ ყველა ეს რაოდენობა დაკავშირებულია ერთმანეთთან, ამიტომ საკმარისია მხოლოდ ორი მათგანის ცოდნა, რათა ცალსახად გამოვთვალოთ დარჩენილი ორი.

დავუშვათ, რომ პირამიდის სიმაღლე h და კვადრატული ფუძის მხარის სიგრძე a ცნობილია, მაშინ გვერდითი კიდე b ტოლი იქნება:

b = √(a 2 / 2 + h 2)

ახლა ჩვენ ვაძლევთ ფორმულას აპოთემის a b სიგრძისთვის (სამკუთხედის სიმაღლე დაშვებული ფუძის მხარეს):

a b = √(a 2 / 4 + h 2)

ცხადია, გვერდითი კიდე b ყოველთვის უფრო დიდია ვიდრე აპოთემა a b.

ორივე გამონათქვამი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ოთხივე წრფივი მახასიათებლის დასადგენად, თუ დანარჩენი ორი პარამეტრი ცნობილია, მაგალითად a b და h.

ფიგურის ფართობი და მოცულობა

ეს არის რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის კიდევ ორი ​​მნიშვნელოვანი თვისება. ფიგურის ფუძეს აქვს შემდეგი ფართობი:

ყველა სკოლის მოსწავლემ იცის ეს ფორმულა. გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომელიც შედგება ოთხი იდენტური სამკუთხედით, შეიძლება განისაზღვროს პირამიდის a b აპოთემით შემდეგნაირად:

თუ a b უცნობია, მაშინ ის შეიძლება განისაზღვროს წინა აბზაცის ფორმულების გამოყენებით h სიმაღლეზე ან b კიდეზე.

განხილული ფიგურის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის S o და S b ფართობების ჯამი:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

პირამიდის ყველა სახის გამოთვლილი ფართობი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში მისი განვითარების სახით.

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის თვისებების აღწერა არ იქნება სრული მისი მოცულობის განსაზღვრის ფორმულის გათვალისწინების გარეშე. მოცემული პირამიდისთვის ეს მნიშვნელობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

ანუ V უდრის ფიგურის სიმაღლისა და მისი ფუძის ფართობის ნამრავლის მესამე ნაწილს.

რეგულარული შეკვეცილი ოთხკუთხა პირამიდის თვისებები

თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ეს ფიგურა ორიგინალური პირამიდიდან. ამისათვის თქვენ უნდა მოჭრათ პირამიდის ზედა თვითმფრინავი. მოჭრილი სიბრტყის ქვეშ დარჩენილ ფიგურას შეკვეცილი პირამიდა დაერქმევა.

ყველაზე მოსახერხებელია შეკვეცილი პირამიდის მახასიათებლების შესწავლა, თუ მისი ფუძეები ერთმანეთის პარალელურია. ამ შემთხვევაში ქვედა და ზედა ფუძეები მსგავსი მრავალკუთხედები იქნება. ვინაიდან ოთხკუთხა რეგულარულ პირამიდაში ფუძე არის კვადრატი, ჭრის დროს წარმოქმნილი მონაკვეთი ასევე წარმოადგენს კვადრატს, მაგრამ უფრო მცირე ზომის.

ჩამოსხმული ფიგურის გვერდითი ზედაპირი წარმოიქმნება არა სამკუთხედებით, არამედ ტოლფერდა ტრაპეციებით.

ამ პირამიდის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისებაა მისი მოცულობა, რომელიც გამოითვლება ფორმულით:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

აქ h არის მანძილი ფიგურის ფუძეებს შორის, S o1, S o2 არის ქვედა და ზედა ფუძის ფართობები.

• აპოთემა- რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, რომელიც გამოყვანილია მისი წვეროდან (გარდა ამისა, აპოთემა არის პერპენდიკულარულის სიგრძე, რომელიც ჩამოშვებულია რეგულარული მრავალკუთხედის შუადან მის ერთ-ერთ მხარეს);
• გვერდითი სახეები (ASB, BSC, CSD, DSA) - სამკუთხედები, რომლებიც ხვდებიან წვეროზე;
• გვერდითი ნეკნები ( ას , ბ.ს. , C.S. , დ.ს. ) - გვერდითი სახეების საერთო მხარეები;
• პირამიდის მწვერვალი (ტ. ს) - წერტილი, რომელიც აკავშირებს გვერდითა ნეკნებს და რომელიც არ დევს ფუძის სიბრტყეში;
• სიმაღლე ( ᲘᲡᲔ ) - პერპენდიკულარული სეგმენტი, რომელიც გაყვანილია პირამიდის ზევით მისი ფუძის სიბრტყემდე (ასეთი სეგმენტის ბოლოები იქნება პირამიდის ზედა და პერპენდიკულარულის ფუძე);
• პირამიდის დიაგონალური მონაკვეთი- პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც გადის ფუძის ზედა და დიაგონალზე;
• ბაზა (Ა Ბ Გ Დ) - მრავალკუთხედი, რომელიც არ ეკუთვნის პირამიდის წვეროს.

პირამიდის თვისებები.

1. როცა ყველა გვერდითი კიდე ერთი და იგივე ზომაა, მაშინ:

• პირამიდის ფუძის მახლობლად წრის აღწერა მარტივია და პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებული იქნება ამ წრის ცენტრში;
• გვერდითი ნეკნები ქმნიან თანაბარ კუთხეებს ფუძის სიბრტყესთან;
• უფრო მეტიც, პირიქითაც არის, ე.ი. როდესაც გვერდითი ნეკნები ფუძის სიბრტყესთან თანაბარ კუთხეებს ქმნიან, ან როცა პირამიდის ფუძის ირგვლივ წრის აღწერაა შესაძლებელი და პირამიდის ზევით იქნება დაპროექტებული ამ წრის ცენტრში, ეს ნიშნავს, რომ ყველა გვერდითი კიდე პირამიდის ზომა იგივეა.

2. როდესაც გვერდით გვერდებს აქვთ დახრილობის კუთხე იმავე მნიშვნელობის ფუძის სიბრტყის მიმართ, მაშინ:

• პირამიდის ფუძის მახლობლად წრის აღწერა მარტივია და პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებული იქნება ამ წრის ცენტრში;
• გვერდითი სახეების სიმაღლეები თანაბარია;
• გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძის პერიმეტრის და გვერდითი სახის სიმაღლის ნამრავლს.

3. პირამიდის ირგვლივ შეიძლება იყოს სფეროს აღწერა, თუ პირამიდის ძირში არის მრავალკუთხედი, რომლის ირგვლივ წრე შეიძლება იყოს აღწერილი (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). სფეროს ცენტრი იქნება სიბრტყეების გადაკვეთის წერტილი, რომლებიც გადიან მათზე პერპენდიკულარულად პირამიდის კიდეების შუაში. ამ თეორემიდან ვასკვნით, რომ სფერო შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც ნებისმიერი სამკუთხა, ასევე ნებისმიერი რეგულარული პირამიდის გარშემო.

4. სფერო შეიძლება ჩაიწეროს პირამიდაში, თუ პირამიდის შიდა ორთავიანი კუთხეების ბისექტრული სიბრტყეები იკვეთება 1-ელ წერტილში (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). ეს წერტილი გახდება სფეროს ცენტრი.

უმარტივესი პირამიდა.

კუთხის რაოდენობის მიხედვით პირამიდის ფუძე იყოფა სამკუთხედად, ოთხკუთხედად და ა.შ.

იქნება პირამიდა სამკუთხა, ოთხკუთხადა ასე შემდეგ, როდესაც პირამიდის საფუძველი არის სამკუთხედი, ოთხკუთხედი და ა.შ. სამკუთხა პირამიდა არის ტეტრაჰედრონი - ტეტრაედონი. ოთხკუთხა - ხუთკუთხა და ა.შ.