რა არის ფუნქცია? ფუნქციური დამოკიდებულება, ან ფუნქცია, არის დამოკიდებულება ორ ცვლადს შორის ისეთი, რომ დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა. ფუნქციის ძირითადი თვისებები

ფუნქციაარის მათემატიკური სიდიდე, რომელიც აჩვენებს ერთი ელემენტის დამოკიდებულებას "y"სხვაგან "X".

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: დამოკიდებულება ზეცვლადის ფუნქციას უწოდებენ X, თუ თითოეული მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება მიიღოს Xშეესაბამება ერთ ან რამდენიმე განსაზღვრულ მნიშვნელობას ზე. ცვლადი X- ეს ფუნქციის არგუმენტი.

მაგნიტუდა ზეყოველთვის დამოკიდებულია ზომაზე Xმაშასადამე, არგუმენტი Xარის დამოუკიდებელი ცვლადიდა ფუნქცია ზე - დამოკიდებული ცვლადი.

ავხსნათ მაგალითით:

დაე თარის წყლის დუღილის წერტილი და რ- ატმოსფერული წნევა. დაკვირვების დროს დადგინდა, რომ თითოეული მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება მიიღოს რ, ყოველთვის შეესაბამება იმავე მნიშვნელობას თ. ამრიგად, თარის არგუმენტის ფუნქცია რ.

ფუნქციური დამოკიდებულება თსაწყისი რსაშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ წნევა სპეციალური ცხრილების გამოყენებით წყლის დუღილის წერტილის დაკვირვებისას ბარომეტრის გარეშე, მაგალითად:

ჩანს, რომ არსებობს მნიშვნელობები არგუმენტით, რომელსაც დუღილის წერტილი ვერ აიღებს, მაგალითად, ის არ შეიძლება იყოს "აბსოლუტურ ნულზე" (- 273 ° C) ნაკლები. ანუ შეუძლებელი ღირებულება თ= - 300 °C, მნიშვნელობა არ შეესაბამება რ. მაშასადამე, განმარტება ამბობს: ”ყოველი ღირებულება, რომელიც შეიძლება მიიღოს X…"და არა x-ის თითოეული მნიშვნელობისთვის...

სადაც რარის არგუმენტის ფუნქციათ. ამრიგად, დამოკიდებულება რსაწყისი თსაშუალებას იძლევა, თერმომეტრის გარეშე წნევის მონიტორინგისას, განისაზღვროს წყლის დუღილის წერტილი მსგავსი ცხრილის გამოყენებით:

ფუნქციის მეორე განმარტება.

თუ თითოეული არგუმენტის მნიშვნელობა Xშეესაბამება ერთი ფუნქციის მნიშვნელობას ზე, მაშინ ფუნქცია გამოიძახება ცალსახა; თუ ორი ან მეტი, მაშინ პოლისემანტიური(ორნიშნა, სამნიშნა). თუ არ არის მითითებული, რომ ფუნქცია მრავალმნიშვნელოვანია, უნდა გვესმოდეს, რომ ის ერთმნიშვნელოვანია.

Მაგალითად:

ჯამი ( ს) მრავალკუთხედის კუთხეებია რიცხვის ფუნქცია (ნ) მხარეები. არგუმენტი ნშეუძლია მიიღოს მხოლოდ მთელი მნიშვნელობები, მაგრამ არანაკლებ 3 . დამოკიდებულება სსაწყისი ნგამოხატული ფორმულით:

ს = π (ნ - 2).

ამ მაგალითში საზომი ერთეული არის რადიანი. სადაც ნ- ეს არგუმენტის ფუნქცია სდა ფუნქციური დამოკიდებულება ნსაწყისი სგამოხატული ფორმულით:

ნ = ს/ π + 2.

არგუმენტისშეუძლია მიიღოს მხოლოდ მნიშვნელობები, რომლებიც მრავლობითია π , (π , 2 π , 3 π და ა.შ.).

ავხსნათ კიდევ ერთი რამ მაგალითი:

კვადრატის მხარე Xმისი ფართობის ფუნქციაა ს (x = √ ს). არგუმენტს შეუძლია ნებისმიერი დადებითი მნიშვნელობა მიიღოს.

არგუმენტი- ყოველთვის ასეა ცვლადი რაოდენობაფუნქცია, როგორც წესი, ასევე არის ცვლადი მნიშვნელობა, არგუმენტის მიხედვით, მაგრამ არ არის გამორიცხული მისი მუდმივობის შესაძლებლობა.

Მაგალითად:

მოძრავი წერტილის მანძილი სტაციონარული წერტილიდან არის მოგზაურობის დროის ფუნქცია, რომელიც ჩვეულებრივ იცვლება, მაგრამ როდესაც წერტილი მოძრაობს წრეზე, მანძილი ცენტრიდან მუდმივი რჩება.

ამავდროულად, წრეში მოძრაობის ხანგრძლივობა არ არის მანძილის ფუნქციაცენტრიდან.

ასე რომ, როდესაც ფუნქცია არის მუდმივი ღირებულება, მაშინ არგუმენტი და ფუნქცია ვერ შეიცვლება.

ლექცია 1. ფუნქციური დამოკიდებულება.

1. ფუნქციის ცნება

ფუნქციის ცნება რიცხვისა და ცვლადის ცნებასთან ერთად თანამედროვე მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა. საბუნებისმეტყველო მეცნიერებასა და ტექნოლოგიაში ხშირად ვხვდებით ზოგიერთი სიდიდის სხვებზე დამოკიდებულებას ეგრეთ წოდებული ფუნქციური დამოკიდებულებით.

ერთი სიდიდის (y) ფუნქციონალური დამოკიდებულება მეორეზე (x) ნიშნავს, რომ თითოეული მნიშვნელობა x შეესაბამება ერთ მნიშვნელობას y. x მნიშვნელობას ეწოდება დამოუკიდებელი ცვლადი, ხოლო y - დამოკიდებული ცვლადი, ან ამ ცვლადის ფუნქცია. ასევე ნათქვამია, რომ x არის y ფუნქციის არგუმენტი.

ტერმინი "ფუნქცია" პირველად 1692 წელს შემოიღო გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცის მიერ.

1. კვადრატის S ფართობი მისი გვერდის a სიგრძის ფუნქციაა: S = a2. 2. ბურთის V მოცულობა შეიძლება გამოისახოს ბურთის R რადიუსით:

V = 4 3 πR3 .

3. კონუსის V-ის მოცულობა მოცემული სიმაღლით h დამოკიდებულია მისი ფუძის r რადიუსზე:

V = 1 3 πr2 სთ.

4. დაე, გზა z, რომელსაც გადის თავისუფლად ჩამოვარდნილი სხეული, დამოკიდებული იყოს t დროზე,

გავიდა დაცემის დაწყების მომენტიდან. ეს დამოკიდებულება გამოიხატება ფორმულით z = gt 2 2 (გ თავისუფალი ვარდნის აჩქარება).

განმარტება 1. თუ თითოეული მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება მიიღოს ცვლადმა x, ზოგიერთი წესის ან კანონის მიხედვით, ასოცირდება y ცვლადის ერთ კონკრეტულ მნიშვნელობასთან, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ y არის x-ის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია და აღნიშნავენ y = f. (x).

x არგუმენტის ყველა მნიშვნელობის სიმრავლეს, რომლისთვისაც განსაზღვრულია ფუნქცია y = f (x), ეწოდება ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი (O.O.F.).

y ცვლადის მიერ აღებული ყველა მნიშვნელობის სიმრავლეს ეწოდება ფუნქციის მნიშვნელობების დომენი (O.Z.F.) y = f (x).

ფუნქცია იძახება მაშინაც კი, თუ რომელიმე x-ისთვის განსაზღვრების სფეროდან მოქმედებს ტოლობა f (−x) = f (x).

ფუნქციას ეწოდება კენტი, თუ რომელიმე x-ისთვის განსაზღვრების სფეროდან მოქმედებს ტოლობა f (−x) = −f (x).

ფუნქციას ეწოდება პერიოდული პერიოდით T > 0, თუ რომელიმე x რეგიონიდან

გამოსავალი. რკალის განსაზღვრის დომენი არის წერტილების სიმრავლე სეგმენტიდან [−1, 1]. შესაბამისად, პრობლემა მცირდება უთანასწორობის ამოხსნამდე

ასე რომ, f (−x) = −f (x), ანუ ფუნქცია კენტია.

f (x + 2π) = tan(x + 2π) sin(3x + 2π) + cot(2x + 2π) =

Tg x sin 3x + cot 2x = f (x).

ასე რომ, f (x + 2π) = f (x), ანუ ფუნქცია პერიოდულია 2π პერიოდით.

2. ფუნქციის მითითების მეთოდები

ანალიტიკური მეთოდი არის ფუნქციის დაზუსტება ფორმულების ან განტოლებების გამოყენებით.

მაგალითად: y = sin x, y = x2, y2 + x2 = 1 და ა.შ.

თუ განტოლება, რომლითაც არის მითითებული ფუნქცია, არ არის ამოხსნილი y-ის მიმართ, მაშინ ფუნქციას ეწოდება იმპლიციტური. როდესაც ასეთი ამოხსნა შესაძლებელია, იმპლიციტური ფუნქცია შეიძლება შემცირდეს ექსპლიციტურ ფორმამდე, ანუ y = f (x) ფორმამდე.

მაგალითად, განტოლება 2x + 3y − 5 = 0 შეიძლება ჩაითვალოს როგორც იმპლიციტური ფუნქცია. y-ის ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ იგივე ფუნქციას, მაგრამ აშკარა ფორმით:

y = 5 − 2x.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის დაზუსტების ანალიტიკური მეთოდით არის შემთხვევები, როდესაც ფუნქცია მოცემულია არა ერთი, არამედ რამდენიმე ფორმულით, მაგალითად:

ცხრილის მეთოდი არის ფუნქციის განსაზღვრის გზა ცხრილის გამოყენებით. ასეთი ამოცანის მაგალითებია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილები, ლოგარითმები და ა.შ. ფუნქციის დაზუსტების ტაბულური მეთოდი ფართოდ გამოიყენება სხვადასხვა სახის ექსპერიმენტებსა და დაკვირვებებში. ცხრილების გამოყენება მარტივია, მაგრამ ამ მეთოდის მინუსი არის ის, რომ ფუნქცია არ არის მითითებული ყველა არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის.

გრაფიკული მეთოდი. y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი არის XOY სიბრტყის წერტილების (x, y) სიმრავლე, რომელთა კოორდინატები დაკავშირებულია y = f (x) მიმართებით.

ფუნქციის დაზუსტების გრაფიკული მეთოდის უპირატესობა მისი სიცხადეა. ფუნქციის დაზუსტების გრაფიკული მეთოდი გამოიყენება სხვადასხვა ჩამწერი მოწყობილობის მუშაობისას. მედიცინაში, მაგალითად, გულის მუშაობის ანალიზი ხდება კარდიოგრაფის გამოყენებით.

ფუნქციებს სიმძლავრე, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული, მუდმივი (მუდმივი) ეწოდება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები

3. მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქციები

ზოგჯერ თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ სიტუაცია, როდესაც x დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა ასოცირდება y-ის რამდენიმე მნიშვნელობასთან. ამ შემთხვევაში ასე ამბობენ

√ x > 0-ისთვის: თითოეული დადებითისთვის არის ორი რეალური რიცხვი,

განსხვავებული ნიშნებით, რომელთა კვადრატები x-ის ტოლია. რაც შეეხება Arcsinx ფუნქციას, ის ემთხვევა თითოეულ x მნიშვნელობას სეგმენტიდან [−1, 1] y მნიშვნელობების უსასრულო სიმრავლემდე, რომელიც შეიძლება დაიწეროს ფორმულის გამოყენებით.

y = (−1)k arcsin x + πk, (k = 0, 2, ...).

თუ ფუნქცია უნდა ჩათვალოთ მრავალმნიშვნელოვნად, მაშინ ეს კონკრეტულად უნდა იყოს მითითებული.

4. ინვერსიული ფუნქცია

თუ განტოლება y = f (x) შეიძლება ცალსახად ამოხსნას x-ის მიმართ, მაშინ ფუნქცია x = g(y) არის y = f (x) შებრუნებული. აღინიშნება x = f −1 (y) . უფრო მეტიც, y ≡ f (f−1 (y)).

ზოგჯერ სტანდარტულ აღნიშვნას მიჰყვება: x გაგებულია, როგორც დამოუკიდებელი ცვლადი, ხოლო y - როგორც ფუნქცია, ანუ დამოკიდებული ცვლადი. ამ შემთხვევაში, შებრუნებული ფუნქცია უნდა დაიწეროს როგორც y = g(x) .

მაგალითად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფუნქციები y = 2x და y = log2 x ურთიერთშებრუნებულია. იმისათვის, რომ მივიღოთ მისი y = g(x) შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი მოცემული y = f (x) ფუნქციის გრაფიკიდან, საკმარისია პირველი გრაფიკის სიმეტრიულად ჩვენება 1-ლი და მე-3 კოორდინატების ბისექტრის მიმართ. კუთხეები.

მაგალითი 5. მოცემულია ფუნქცია y = 1 − 2−x. იპოვნეთ შებრუნებული ფუნქცია.

2−x = 1 − y, x =− log(1 − y) .lg 2

ფუნქციის განსაზღვრის დომენი (O.O.F.) −∞< y < 1 .

5. კომპლექსური ფუნქცია

მოდით, y ცვლადი დამოკიდებული იყოს u ცვლადზე, რომელიც თავის მხრივ დამოკიდებულია x ცვლადზე: y = f (u), u = ϕ(x) . შემდეგ, როდესაც x იცვლება, შეიცვლება u და შესაბამისად, y ასევე შეიცვლება. ეს ნიშნავს, რომ y არის x-ის ფუნქცია: y = f (φ(x)). ამ ფუნქციას ეწოდება რთული ფუნქცია (ან ფუნქციის ფუნქცია), ცვლადი u შუალედურია. ამ კომპლექსურ ფუნქციას ასევე უწოდებენ f და ϕ ფუნქციების სუპერპოზიციას.

მაგალითი 6. მოცემულია ფუნქცია f (x) = arccos(log(x)) . იპოვეთ ა) f (10 1 ); ბ) ვ (1); გ) ვ (10).

ა) f (10 1 ) = arccos(log(10 1 )) = arccos(−1) = π.

ბ), გ) თავად გამოთვალეთ.

ნებისმიერ ფუნქციას, რომელიც მიიღება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებიდან სუპერპოზიციების სასრული რაოდენობით და ოთხი არითმეტიკული მოქმედებით, ელემენტარული ფუნქცია ეწოდება. მაგალითად, n ხარისხის პოლინომი ელემენტარული ფუნქციაა.

6. ფუნქციის დაზუსტების პარამეტრული მეთოდი

ფუნქცია მითითებულია პარამეტრულად, თუ y-ის დამოკიდებულება x-ზე მითითებულია t პარამეტრის გამოყენებით: სადაც t გადის ზოგიერთ ციფრულ მნიშვნელობებზე.

თუ ამ წერტილებს XOY სიბრტყეზე გამოვსახავთ, დავინახავთ, რომ t-ის უწყვეტი ცვლილებით მივიღებთ ერთი რადიუსის წრეს საწყისზე ცენტრით. ან შეგიძლიათ სხვაგვარად გააკეთოთ, გამორიცხეთ t პარამეტრი, შემდეგ x2 + y2 = cos2 t + sin2 t = 1.

7. გრაფიკული ფუნქციები

განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკების უმარტივესი გარდაქმნები.

1. y = f (x + a) ფუნქციის გრაფიკი მიღებულია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკიდან Ox ღერძის გასწვრივ მისი პარალელური გადაადგილებით |a| მასშტაბის ერთეულები a-ს ნიშნის საპირისპირო მიმართულებით.

2. y = f (kx) ფუნქციის გრაფიკი (k >

მისი „შეკუმშვით“ Oy ღერძისკენ k კოეფიციენტით k > 1-ზე და „გაჭიმვით“ Oy ღერძიდან 1/k კოეფიციენტით

კ< 1.

3. y = kf (x) (k > 0) ფუნქციის გრაფიკი მიღებულია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკიდან.

მისი „გაჭიმვით“ Ox ღერძიდან k-ის კოეფიციენტით k > 1-ზე და „შეკუმშვით“ Ox ღერძზე 1/k კოეფიციენტით

კ< 1.

4. y = f (x) + b ფუნქციის გრაფიკი მიღებულია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკიდან Oy ღერძის გასწვრივ მისი პარალელური გადაადგილებით |b| მასშტაბის ერთეულები ბ ნიშანთან დამთხვევის მიმართულებით.

5. y = −f (x) ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია y = f (x) ფუნქციის გრაფიკის მიმართ Ox ღერძის მიმართ.

განვიხილოთ y = kf (mx + b) + a ფუნქციის გრაფიკის აგება y = f (x) ფუნქციის გრაფიკის გარდაქმნით. მოდით, ჯერ განვახორციელოთ იდენტობის ტრანსფორმაცია

ახლა, 1-5 გარდაქმნების თანმიმდევრული გამოყენებით, ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის საჭირო გრაფიკს.

მაგალითი 8. ააგეთ y = 3 sin(2x + 4) ფუნქციის გრაფიკი y = sin x ფუნქციის გრაფიკის გარდაქმნით.

გამოსავალი. მოდით განვახორციელოთ იდენტობის ტრანსფორმაცია

y = 3 sin(2x + 4) = 3 sin 2(x + 2).

ჩვენ ავაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს შემდეგი თანმიმდევრობით. 1. სეგმენტზე ააგეთ y = sin x ფუნქციის გრაფიკი.

2. y = 2 sin x ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y = sin x ფუნქციის გრაფიკის შეკუმშვით აბსცისის ღერძის ნახევრად.

3. y = sin 2(x + 2) ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად, თქვენ უნდა გადაიტანოთ y = sin 2x ფუნქციის გრაფიკი მარცხნივ აბსცისის ღერძის გასწვრივ ორი ​​ერთეულით.

4. y = 3 sin 2(x + 2) ფუნქციის გრაფიკს ვიღებთ y = sin 2(x + 2) ფუნქციის გრაფიკიდან მისი ორდინატის გასწვრივ სამჯერ გაჭიმვით.

I. y = ცოდვა x. II. y = ცოდვა 2x.

III. y = sin 2 (x + 2). IV. y = 3 sin 2 (x + 2).

განმარტება: რიცხვითი ფუნქცია არის კორესპონდენცია, რომელიც აკავშირებს თითოეულ x რიცხვს მოცემული სიმრავლიდან ერთ რიცხვთან y.

Დანიშნულება:

სადაც x არის დამოუკიდებელი ცვლადი (არგუმენტი), y არის დამოკიდებული ცვლადი (ფუნქცია). x-ის მნიშვნელობების სიმრავლეს ეწოდება ფუნქციის დომენი (აღნიშნულია D(f)). y-ის მნიშვნელობების სიმრავლეს ეწოდება ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი (აღნიშნულია E(f)). ფუნქციის გრაფიკი არის წერტილების სიმრავლე სიბრტყეში კოორდინატებით (x, f(x))

ფუნქციის მითითების მეთოდები.

1. ანალიტიკური მეთოდი (მათემატიკური ფორმულის გამოყენებით);
2. ცხრილის მეთოდი (ცხრილის გამოყენებით);
3. აღწერითი მეთოდი (სიტყვიერი აღწერის გამოყენებით);
4. გრაფიკული მეთოდი (გრაფიკის გამოყენებით).

ფუნქციის ძირითადი თვისებები.

1. ლუწი და კენტი

ფუნქცია იწოდება მაშინაც კი, თუ
– ფუნქციის განსაზღვრის დომენი სიმეტრიულია ნულის მიმართ
f(-x) = f(x)

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ 0 წ

ფუნქციას ეწოდება კენტი თუ
– ფუნქციის განსაზღვრის დომენი სიმეტრიულია ნულის მიმართ
– ნებისმიერი x-ისთვის განმარტების დომენიდან f(-x) = –f(x)

კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.

2. სიხშირე

ფუნქცია f(x) ეწოდება პერიოდულ პერიოდს, თუ რომელიმე x-ისთვის განსაზღვრების სფეროდან f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

პერიოდული ფუნქციის გრაფიკი შედგება იდენტური ფრაგმენტების შეუზღუდავად გამეორებისგან.

3. ერთფეროვნება (მზარდი, კლებადი)

ფუნქცია f(x) იზრდება P სიმრავლეზე, თუ რომელიმე x 1 და x 2 ამ სიმრავლიდან ისე, რომ x 1

ფუნქცია f(x) მცირდება P სიმრავლეზე, თუ რომელიმე x 1 და x 2 ამ სიმრავლიდან, ისე, რომ x 1 f(x 2) .

4. უკიდურესობები

X max წერტილს უწოდებენ f(x) ფუნქციის მაქსიმალურ წერტილს, თუ X max-ის რომელიმე სამეზობლოდან ყველა x-ისთვის დაკმაყოფილებულია უტოლობა f(x) f(X max).

მნიშვნელობა Y max =f(X max) ეწოდება ამ ფუნქციის მაქსიმუმს.

X max – მაქსიმალური ქულა
მაქსიმუმ - მაქსიმუმ

X min წერტილი ეწოდება f(x) ფუნქციის მინიმალურ წერტილს, თუ X min-ის რომელიმე უბნის ყველა x-ისთვის დაკმაყოფილებულია უტოლობა f(x) f(X min).

მნიშვნელობა Y min =f(X min) ეწოდება ამ ფუნქციის მინიმუმს.

X წთ – მინიმალური ქულა
Y წთ – მინიმალური

X min , X max – ექსტრემალური წერტილები
Y min , Y max – ექსტრემა.

5. ფუნქციის ნულები

y = f(x) ფუნქციის ნული არის x არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ფუნქცია ხდება ნული: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – y = f(x) ფუნქციის ნულები.

ამოცანები და ტესტები თემაზე "ფუნქციის ძირითადი თვისებები"

• ფუნქციის თვისებები - რიცხვითი ფუნქციები მე-9 კლასი

  გაკვეთილი: 2 დავალება: 11 ტესტი: 1

• ლოგარითმების თვისებები - ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების კლასი 11

  გაკვეთილი: 2 დავალება: 14 ტესტი: 1

• კვადრატული ფესვის ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი - კვადრატული ფესვის ფუნქცია. კვადრატული ფესვის მე-8 კლასის თვისებები

  გაკვეთილები: 1 დავალება: 9 ტესტი: 1

• სიმძლავრის ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები - გრადუსები და ფესვები. დენის ფუნქციები 11 კლასი

  გაკვეთილი: 4 დავალება: 14 ტესტი: 1

• ფუნქციები - მნიშვნელოვანი თემები მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის განსახილველად

  ამოცანები: 24

ამ თემის შესწავლის შემდეგ, თქვენ უნდა შეგეძლოთ იპოვოთ სხვადასხვა ფუნქციის განსაზღვრის დომენი, განსაზღვროთ ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები გრაფიკების გამოყენებით და შეამოწმოთ ფუნქციები ტოლობისა და უცნაურობისთვის. განვიხილოთ მსგავსი პრობლემების გადაჭრა შემდეგი მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითები.

1. იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი.

გამოსავალი:ფუნქციის განსაზღვრის დომენი გვხვდება მდგომარეობიდან

ფუნქციის, ფარგლების და მნიშვნელობების განსაზღვრა. ფუნქციის აღნიშვნასთან დაკავშირებული განმარტებები. რთული, რიცხვითი, რეალური, მონოტონური და მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქციების განმარტებები. შეზღუდული ფუნქციების მაქსიმალური, მინიმალური, ზედა და ქვედა საზღვრების განმარტებები.

განმარტება
ფუნქცია y = ვ (x)ეწოდება კანონს (წესს, დახატვას), რომლის მიხედვითაც, X სიმრავლის თითოეული x ელემენტი ასოცირდება Y სიმრავლის ერთ და მხოლოდ ერთ ელემენტთან.

X სიმრავლეს ე.წ ფუნქციის დომენი.
ელემენტების ნაკრები y ∈ Y, რომლებსაც აქვთ პრეგამოსახულებები X სიმრავლეში, ე.წ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები(ან ღირებულებების დიაპაზონი).

დომენიფუნქციებს ზოგჯერ უწოდებენ განსაზღვრების ნაკრებიან ბევრი დავალებაფუნქციები.

ელემენტი x ∈ Xდაურეკა ფუნქციის არგუმენტიან დამოუკიდებელი ცვლადი.
ელემენტი y ∈ Yდაურეკა ფუნქციის მნიშვნელობაან დამოკიდებული ცვლადი.

რუკების f თავისთავად ე.წ ფუნქციის დამახასიათებელი.

f მახასიათებელს აქვს თვისება, რომ თუ ორ ელემენტს და განსაზღვრების სიმრავლიდან აქვს ტოლი მნიშვნელობები: , მაშინ .

მახასიათებლის აღმნიშვნელი სიმბოლო შეიძლება იყოს იგივე, რაც ფუნქციის მნიშვნელობის ელემენტის სიმბოლო. ანუ შეგიძლიათ დაწეროთ ასე: . უნდა გვახსოვდეს, რომ y არის ელემენტი ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლიდან და არის წესი, რომლითაც ელემენტი x ასოცირდება y ელემენტთან.

თავად ფუნქციის გამოთვლის პროცესი სამი ეტაპისგან შედგება. პირველ ეტაპზე ჩვენ ვირჩევთ x ელემენტს X სიმრავლიდან. შემდეგი, წესის გამოყენებით, ელემენტი x ასოცირდება Y სიმრავლის ელემენტთან. მესამე საფეხურზე ეს ელემენტი ენიჭება y ცვლადს.

ფუნქციის პირადი ღირებულებამოვუწოდებთ ფუნქციის მნიშვნელობას მისი არგუმენტის შერჩეული (განსაკუთრებული) მნიშვნელობის მინიჭებით.

ვ ფუნქციის გრაფიკიწყვილთა კომპლექტს უწოდებენ.

კომპლექსური ფუნქციები

განმარტება
დაე ფუნქციები და მიეცეს. უფრო მეტიც, f ფუნქციის განსაზღვრის დომენი შეიცავს g ფუნქციის მნიშვნელობების ერთობლიობას. მაშინ თითოეული t ელემენტი g ფუნქციის განსაზღვრის დომენიდან შეესაბამება x ელემენტს და ეს x შეესაბამება y-ს. ეს მიმოწერა ე.წ რთული ფუნქცია: .

კომპლექსურ ფუნქციასაც უწოდებენ ფუნქციების შემადგენლობა ან სუპერპოზიციადა ზოგჯერ აღნიშნავენ შემდეგნაირად: .

მათემატიკური ანალიზის დროს საყოველთაოდ მიღებულია, რომ თუ ფუნქციის მახასიათებელი აღინიშნება ერთი ასოთი ან სიმბოლოთი, მაშინ იგი აზუსტებს იმავე შესაბამისობას. თუმცა, სხვა დისციპლინებში არსებობს აღნიშვნის სხვა ხერხი, რომლის მიხედვითაც, იგივე მახასიათებლის, მაგრამ განსხვავებული არგუმენტების მქონე რუკებს განსხვავებულად მიიჩნევენ. ანუ რუკებები განსხვავებულად ითვლება. მოვიყვანოთ მაგალითი ფიზიკიდან. ვთქვათ, განვიხილავთ იმპულსის დამოკიდებულებას კოორდინატებზე. და მოდით გვქონდეს კოორდინატების დამოკიდებულება დროზე. მაშინ იმპულსის დროზე დამოკიდებულება რთული ფუნქციაა. მაგრამ, მოკლედ, იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: . ამ მიდგომით არის სხვადასხვა ფუნქციები. ერთი და იგივე არგუმენტის მნიშვნელობების გათვალისწინებით, მათ შეუძლიათ სხვადასხვა მნიშვნელობების მიცემა. ეს აღნიშვნა არ არის მიღებული მათემატიკაში. თუ შემცირებაა საჭირო, ახალი მახასიათებელი უნდა დაინერგოს. Მაგალითად . მაშინ აშკარად ჩანს, რომ და არის სხვადასხვა ფუნქციები.

მოქმედი ფუნქციები

ფუნქციის დომენი და მისი მნიშვნელობების სიმრავლე შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნაკრები.
მაგალითად, რიცხვების თანმიმდევრობა არის ფუნქციები, რომელთა დომენი არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე, ხოლო მნიშვნელობების სიმრავლე არის რეალური ან რთული რიცხვები.
ჯვარედინი ნამრავლი ასევე ფუნქციაა, რადგან ორი ვექტორისთვის არის ვექტორის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა. აქ განმარტების დომენი არის ყველა შესაძლო წყვილი ვექტორების სიმრავლე. მნიშვნელობების სიმრავლე არის ყველა ვექტორის ნაკრები.
ლოგიკური გამოხატულება არის ფუნქცია. მისი განმარტების დომენი არის რეალური რიცხვების სიმრავლე (ან ნებისმიერი სიმრავლე, რომელშიც განსაზღვრულია შედარების ოპერაცია ელემენტთან „0“). მნიშვნელობების ნაკრები შედგება ორი ელემენტისგან - "ჭეშმარიტი" და "მცდარი".

რიცხვითი ფუნქციები მნიშვნელოვან როლს თამაშობენ მათემატიკური ანალიზში.

რიცხვითი ფუნქციაარის ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობები არის რეალური ან რთული რიცხვები.

რეალური თუ რეალური ფუნქციაარის ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობები არის რეალური რიცხვები.

მაქსიმალური და მინიმალური

რეალურ რიცხვებს აქვთ შედარების ოპერაცია. ამრიგად, რეალური ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები შეიძლება იყოს შეზღუდული და ჰქონდეს ყველაზე დიდი და მცირე მნიშვნელობები.

ფაქტობრივი ფუნქცია ეწოდება შეზღუდული ზემოდან (ქვემოდან), თუ არის M რიცხვი ისეთი, რომ უტოლობა ყველასთვის მოქმედებს:
.

რიცხვითი ფუნქცია ეწოდება შეზღუდული, თუ არის M რიცხვი ისეთი, რომ ყველასთვის:
.

მაქსიმალური M (მინიმალური m)ფუნქცია f, ზოგიერთ X სიმრავლეზე, ფუნქციის მნიშვნელობა გამოიძახება მისი არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობისთვის, რისთვისაც ყველასთვის,
.

ზედა ზღვარიან ზუსტი ზედა ზღვარიზემოთ შემოსაზღვრული რეალური ფუნქცია არის ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელიც ზღუდავს მის მნიშვნელობების დიაპაზონს ზემოდან. ანუ ეს არის რიცხვი s, რომლისთვისაც ყველასთვის და ნებისმიერისთვის არის არგუმენტი, რომლის ფუნქციის მნიშვნელობა აღემატება s′-ს: .
ფუნქციის ზედა ზღვარი შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგნაირად:
.

ზედა შემოსაზღვრული ფუნქციის ზედა ზღვარი

ქვედა ზღვარიან ზუსტი ქვედა ზღვარიქვემოდან შემოსაზღვრული რეალური ფუნქცია არის ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელიც ზღუდავს მის მნიშვნელობების დიაპაზონს ქვემოდან. ანუ ეს არის რიცხვი i, რომლისთვისაც ყველასთვის და ნებისმიერისთვის არის არგუმენტი, რომლის ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია i′-ზე: .
ფუნქციის infimum შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგნაირად:
.

ქვედა შემოსაზღვრული ფუნქციის infimumარის წერტილი უსასრულობაში.

ამრიგად, ნებისმიერ რეალურ ფუნქციას, არაცარიელ X სიმრავლეზე, აქვს ზედა და ქვედა ზღვარი. მაგრამ ყველა ფუნქციას არ აქვს მაქსიმუმი და მინიმალური.

მაგალითად, განვიხილოთ ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ღია ინტერვალზე.
ის ამ ინტერვალზე ზემოდან შემოიფარგლება მნიშვნელობით 1 და ქვემოთ - ღირებულება 0 :
ყველასთვის .
ამ ფუნქციას აქვს ზედა და ქვედა ზღვარი:
.
მაგრამ მას არ აქვს მაქსიმუმი და მინიმალური.

თუ გავითვალისწინებთ იმავე ფუნქციას სეგმენტზე, მაშინ ამ კომპლექტზე ის შემოსაზღვრულია ზევით და ქვევით, აქვს ზედა და ქვედა ზღვარი და აქვს მაქსიმუმი და მინიმალური:
ყველასთვის ;
;
.

მონოტონური ფუნქციები

მზარდი და კლებადი ფუნქციების განმარტებები
დაე, ფუნქცია განისაზღვროს X რეალური რიცხვების ზოგიერთ ნაკრებზე. ფუნქციას ეძახიან მკაცრად მზარდი (მკაცრად კლებადი)
.
ფუნქციას ეძახიან შეუმცირებელი (არამზარდი)თუ ყველა ისეთი, რომ შემდეგი უტოლობა მოქმედებს:
.

მონოტონური ფუნქციის განმარტება
ფუნქციას ეძახიან ერთფეროვანი, თუ ის არ არის კლებადი ან არ მზარდი.

მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქციები

მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქციის მაგალითი. მისი ტოტები სხვადასხვა ფერისაა მითითებული. თითოეული ფილიალი არის ფუნქცია.

როგორც ფუნქციის განსაზღვრებიდან ჩანს, თითოეული x ელემენტი განმარტების დომენიდან ასოცირდება მხოლოდ ერთ ელემენტთან მნიშვნელობების სიმრავლიდან. მაგრამ არის რუკები, რომლებშიც ელემენტს x აქვს რამდენიმე ან უსასრულო რაოდენობის გამოსახულება.

მაგალითად, განიხილეთ ფუნქცია რკალი: . ეს არის ფუნქციის ინვერსია სინუსიდა განისაზღვრება განტოლებიდან:
(1) .
დამოუკიდებელი ცვლადის x მოცემული მნიშვნელობისთვის, რომელიც მიეკუთვნება ინტერვალს, ეს განტოლება კმაყოფილდება y-ის უსასრულოდ ბევრი მნიშვნელობით (იხ. სურათი).

მოდით დავაწესოთ შეზღუდვა (1) განტოლების ამონახსნებზე. დაე
(2) .
ამ პირობით, მოცემული მნიშვნელობა შეესაბამება (1) განტოლების მხოლოდ ერთ ამოხსნას. ანუ (2) პირობით (1) განტოლებით განსაზღვრული შესაბამისობა არის ფუნქცია.

პირობის ნაცვლად (2), შეგიძლიათ დააწესოთ ფორმის ნებისმიერი სხვა პირობა:
(2.n) ,
სადაც n არის მთელი რიცხვი. შედეგად, n-ის თითოეული მნიშვნელობისთვის ჩვენ მივიღებთ საკუთარ ფუნქციას, რომელიც განსხვავდება სხვებისგან. ბევრი მსგავსი ფუნქციაა მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქცია. და (1)-დან (2.n) პირობით განსაზღვრული ფუნქცია არის მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქციის ფილიალი.

ეს არის ფუნქციების ნაკრები, რომელიც განსაზღვრულია გარკვეულ კომპლექტზე.

მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქციის ფილიალიარის ერთ-ერთი ფუნქცია, რომელიც შედის მრავალმნიშვნელოვან ფუნქციაში.

ერთმნიშვნელოვანი ფუნქციაარის ფუნქცია.

ცნობები:
ო.ი. ბესოვი. ლექციები მათემატიკური ანალიზის შესახებ. ნაწილი 1. მოსკოვი, 2004 წ.
ლ.დ. კუდრიავცევი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 2003 წ.
ᲡᲛ. ნიკოლსკი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 1983 წ.