რას ნიშნავს დიედრული კუთხე ფუძესთან? დიჰედრული კუთხე

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• აუცილებლობის შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

თავი პირველი სწორი და თვითმფრინავები

V. ორმხრივი კუთხეები, მართი კუთხე სიბრტყით,
ორი გადაკვეთის მარჯვენა მართკუთხა კუთხე, მრავალსაფეხურიანი კუთხეები

დიჰედრული კუთხეები

38. განმარტებები.თვითმფრინავის ნაწილს, რომელიც დევს ამ სიბრტყეში ნებისმიერი სწორი ხაზის ერთ მხარეს, ეწოდება ნახევრად თვითმფრინავი. ერთი სწორი ხაზიდან (AB) წარმოქმნილი ორი ნახევრად სიბრტყით (P და Q, სურ. 26) წარმოქმნილ ფიგურას ე.წ. დიედრული კუთხე. პირდაპირი AB ეწოდება ზღვარიდა ნახევრად სიბრტყეები P და Q - პარტიებიან კიდეებიდიედრული კუთხე.

ასეთი კუთხე ჩვეულებრივ აღინიშნება ორი ასოებით, რომლებიც მოთავსებულია მის კიდეზე (დიჰედრული კუთხე AB). მაგრამ თუ ერთ კიდეზე არის რამდენიმე დიედრული კუთხე, მაშინ თითოეული მათგანი აღინიშნება ოთხი ასოთი, რომელთაგან შუა ორი არის კიდეზე, ხოლო გარე ორი არის სახეებზე (მაგალითად, დიედრული კუთხე SCDR) (ნახ. 27).

თუ თვითნებური D წერტილიდან AB კიდეები (ნახ. 28) დახაზულია კიდეზე პერპენდიკულარულ თითოეულ სახეზე, მაშინ მათ მიერ წარმოქმნილი CDE კუთხე ე.წ. ხაზოვანი კუთხედიედრული კუთხე.

წრფივი კუთხის სიდიდე არ არის დამოკიდებული მისი წვერის პოზიციაზე კიდეზე. ამრიგად, CDE და C 1 D 1 E 1 წრფივი კუთხეები ტოლია, რადგან მათი გვერდები, შესაბამისად, პარალელურია და იმავე მიმართულებით.

წრფივი კუთხის სიბრტყე კიდეზე პერპენდიკულარულია, ვინაიდან მასზე პერპენდიკულარული ორი წრფეა. ამიტომ წრფივი კუთხის მისაღებად საკმარისია მოცემული დიედრული კუთხის პირი გადავკვეთოთ კიდეზე პერპენდიკულარულ სიბრტყეს და მივიჩნიოთ მიღებული კუთხე ამ სიბრტყეში.

39. ორწახნაგოვანი კუთხეების ტოლობა და უტოლობა.ორი დიჰედრული კუთხე ითვლება ტოლად, თუ მათი შეთავსებისას შეიძლება გაერთიანდეს; წინააღმდეგ შემთხვევაში, რომელი ორთავიანი კუთხე ჩაითვლება უფრო მცირედ, ის მეორე კუთხის ნაწილს წარმოადგენს.

პლანიმეტრიის კუთხეების მსგავსად, დიედრული კუთხეები შეიძლება იყოს მიმდებარე, ვერტიკალურიდა ა.შ.

თუ ორი მიმდებარე დიედრული კუთხე ერთმანეთის ტოლია, მაშინ თითოეულ მათგანს ეწოდება მარჯვენა დიჰედრული კუთხე.

თეორემები. 1) თანაბარი დიედრული კუთხეები შეესაბამება თანაბარ წრფივ კუთხეებს.

2) უფრო დიდი დიედრული კუთხე შეესაბამება უფრო დიდ ხაზოვან კუთხეს.

მოდით PABQ, და P 1 A 1 B 1 Q 1 (ნახ. 29) იყოს ორი დიჰედრული კუთხე. A 1 B 1 კუთხეს ჩავსვამთ AB კუთხეში ისე, რომ A 1 B 1 კიდე ემთხვეოდეს AB კიდეს და პირი P 1 სახე P.

მაშინ თუ ეს ორმხრივი კუთხეები ტოლია, მაშინ სახე Q 1 დაემთხვევა სახე Q-ს; თუ კუთხე A 1 B 1 არის AB კუთხეზე ნაკლები, მაშინ სახე Q 1 დაიკავებს გარკვეულ პოზიციას დიედრული კუთხის შიგნით, მაგალითად Q 2.

ეს რომ შევნიშნეთ, ავიღოთ B წერტილი საერთო კიდეზე და დავხატოთ სიბრტყე R მასში, კიდეზე პერპენდიკულარული. ამ სიბრტყის გადაკვეთიდან დიედრული კუთხეების სახეებთან მიიღება წრფივი კუთხეები. გასაგებია, რომ თუ დიედრული კუთხეები ემთხვევა, მაშინ მათ ექნებათ იგივე წრფივი კუთხე CBD; თუ დიედრული კუთხეები არ ემთხვევა ერთმანეთს, თუ, მაგალითად, სახე Q 1 იკავებს პოზიციას Q 2, მაშინ უფრო დიდ დიედრალურ კუთხეს ექნება უფრო დიდი ხაზოვანი კუთხე (კერძოდ: / CBD > / C 2 BD).

40. საპირისპირო თეორემები. 1) თანაბარი წრფივი კუთხეები შეესაბამება თანაბარ დიედრალურ კუთხეებს.

2) უფრო დიდი ხაზოვანი კუთხე შეესაბამება უფრო დიდ დიედრალურ კუთხეს .

ეს თეორემები მარტივად შეიძლება დადასტურდეს წინააღმდეგობებით.

41. შედეგები. 1) მართი დიედრული კუთხე შეესაბამება სწორ ხაზოვან კუთხეს და პირიქით.

მოდით (სურ. 30) დიედრული კუთხე PABQ სწორი იყოს. ეს ნიშნავს, რომ ის ტოლია მიმდებარე კუთხის QABP 1-ის. მაგრამ ამ შემთხვევაში, წრფივი კუთხეები CDE და CDE 1 ასევე ტოლია; და რადგან ისინი მიმდებარედ არიან, თითოეული მათგანი სწორი უნდა იყოს. პირიქით, თუ მიმდებარე წრფივი კუთხეები CDE და CDE 1 ტოლია, მაშინ მიმდებარე დიედრული კუთხეები ტოლია, ანუ თითოეული მათგანი სწორი უნდა იყოს.

2) ყველა სწორი დიედრული კუთხე ტოლია,რადგან მათი წრფივი კუთხეები ტოლია .

ანალოგიურად, ადვილია იმის დამტკიცება, რომ:

3) ვერტიკალური დიჰედრული კუთხეები ტოლია.

4) დიჰედრული კუთხეები შესაბამისად პარალელური და იდენტური (ან საპირისპირო) მიმართული კიდეებით ტოლია.

5) თუ ორწახნაგოვანი კუთხეების ერთეულად ავიღებთ დიედრალურ კუთხეს, რომელიც შეესაბამება წრფივი კუთხეების ერთეულს, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ დიედრული კუთხე იზომება მისი წრფივი კუთხით.

გეომეტრიაში ფიგურების შესასწავლად გამოიყენება ორი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: გვერდების სიგრძე და მათ შორის კუთხეები. სივრცითი ფიგურების შემთხვევაში, ამ მახასიათებლებს ემატება დიედრული კუთხეები. მოდით შევხედოთ რა არის ეს და ასევე აღვწეროთ ამ კუთხეების განსაზღვრის მეთოდი პირამიდის მაგალითის გამოყენებით.

დიედრული კუთხის კონცეფცია

ყველამ იცის, რომ ორი გადამკვეთი ხაზი ქმნის გარკვეულ კუთხეს წვეროსთან მათი გადაკვეთის ადგილზე. ამ კუთხის გაზომვა შესაძლებელია პროტრაქტორის გამოყენებით ან მისი გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ორი მართი კუთხით წარმოქმნილ კუთხეს წრფივი ეწოდება.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სამგანზომილებიან სივრცეში არის ორი სიბრტყე, რომლებიც იკვეთება სწორ ხაზზე. ისინი ნაჩვენებია სურათზე.

დიედრული კუთხე არის კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის. ისევე, როგორც ხაზოვანი, ის იზომება გრადუსით ან რადიანებით. თუ ხაზის რომელიმე წერტილში, რომლის გასწვრივაც თვითმფრინავები იკვეთება, აღვადგენთ ამ სიბრტყეში დაყრილ ორ პერპენდიკულარს, მაშინ მათ შორის კუთხე იქნება სასურველი დიედრული. ამ კუთხის დასადგენად უმარტივესი გზაა სიბრტყეების განტოლებების გამოყენება ზოგადი ფორმით.

სიბრტყეების განტოლება და მათ შორის კუთხის ფორმულა

სივრცის ნებისმიერი სიბრტყის განტოლება ჩვეულებრივ იწერება შემდეგნაირად:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

აქ x, y, z არის სიბრტყის კუთვნილი წერტილების კოორდინატები, კოეფიციენტები A, B, C, D არის რამდენიმე ცნობილი რიცხვი. ამ თანასწორობის მოხერხებულობა დიედრული კუთხეების გამოსათვლელად არის ის, რომ ის ცალსახად შეიცავს სიბრტყის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს. ჩვენ აღვნიშნავთ მას n¯. შემდეგ:

ვექტორი n¯ სიბრტყის პერპენდიკულარულია. კუთხე ორ სიბრტყეს შორის ტოლია კუთხის n 1 ¯ და n 2 ¯ შორის. მათემატიკიდან ცნობილია, რომ ორი ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხე ცალსახად განისაზღვრება მათი სკალარული ნამრავლიდან. ეს საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ფორმულა ორ სიბრტყეს შორის დიედრული კუთხის გამოსათვლელად:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯) | / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

თუ შევცვლით ვექტორების კოორდინატებს, ფორმულა ცალსახად დაიწერება:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

მრიცხველში მოდულის ნიშანი გამოიყენება მხოლოდ მახვილი კუთხის დასადგენად, ვინაიდან დიედრული კუთხე ყოველთვის ნაკლებია ან ტოლია 90 o-ზე.

პირამიდა და მისი კუთხეები

პირამიდა არის ფიგურა, რომელიც იქმნება ერთი n-გონისა და n სამკუთხედით. აქ n არის მთელი რიცხვი, რომელიც უდრის მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობას, რომელიც არის პირამიდის საფუძველი. ეს სივრცითი ფიგურა არის პოლიედონი ან პოლიედონი, რადგან იგი შედგება ბრტყელი სახეებისგან (გვერდებისგან).

პირამიდის პოლიედრონები შეიძლება იყოს ორი ტიპის:

• ფუძესა და გვერდს შორის (სამკუთხედი);
• ორ მხარეს შორის.

თუ განვიხილავთ რეგულარულ პირამიდას, მაშინ მისთვის დასახელებული კუთხეების დადგენა რთული არ არის. ამისათვის, სამი ცნობილი წერტილის კოორდინატების გამოყენებით, თქვენ უნდა შექმნათ სიბრტყეების განტოლება და შემდეგ გამოიყენოთ ფორმულა, რომელიც მოცემულია ზემოთ აბზაცში φ კუთხისთვის.

ქვემოთ ჩვენ ვაძლევთ მაგალითს, რომელშიც ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ორმხრივი კუთხეები რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ძირში.

ოთხკუთხა და კუთხე მის ფუძესთან

დავუშვათ, რომ გვეძლევა რეგულარული პირამიდა კვადრატული ფუძით. კვადრატის გვერდის სიგრძეა a, ფიგურის სიმაღლე h. მოდი ვიპოვოთ კუთხე პირამიდის ფუძესა და მის მხარეს შორის.

კოორდინატთა სისტემის საწყისი კვადრატის ცენტრში მოვათავსოთ. მაშინ ფიგურაში ნაჩვენები A, B, C, D წერტილების კოორდინატები ტოლი იქნება:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

განვიხილოთ თვითმფრინავები ACB და ADB. ცხადია, მიმართულების ვექტორი n 1 ¯ ACB სიბრტყისთვის ტოლი იქნება:

ADB სიბრტყის მიმართულების n 2 ¯ ვექტორის დასადგენად, ჩვენ ვაგრძელებთ შემდეგნაირად: ჩვენ ვპოულობთ თვითნებურ ორ ვექტორს, რომლებიც ეკუთვნის მას, მაგალითად, AD¯ და AB¯, შემდეგ ვიანგარიშებთ მათ ვექტორულ ნამრავლს. მისი შედეგი მისცემს კოორდინატებს n 2 ¯. Ჩვენ გვაქვს:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

ვინაიდან ვექტორის რიცხვზე გამრავლება და გაყოფა მის მიმართულებას არ ცვლის, მივიღებთ მიღებულ n 2 ¯-ს მისი კოორდინატების -a-ზე გაყოფით, მივიღებთ:

ჩვენ განვსაზღვრეთ მიმართულების ვექტორები n 1 ¯ და n 2 ¯ საბაზისო სიბრტყეებისთვის ACB და გვერდითი სიბრტყისთვის ADB. რჩება ფ კუთხისთვის ფორმულის გამოყენება:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

მოდით გადავცვალოთ მიღებული გამონათქვამი და გადავწეროთ შემდეგნაირად:

φ = arccos (a / √(a 2 + 4 × h 2)).

ჩვენ მივიღეთ ფორმულა ფუძეზე ორკუთხა კუთხისთვის რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდისთვის. ფიგურის სიმაღლისა და მისი მხარის სიგრძის ცოდნა, შეგიძლიათ გამოთვალოთ φ კუთხე. მაგალითად, კეოპსის პირამიდისთვის, რომლის ფუძის მხარე არის 230,4 მეტრი, ხოლო საწყისი სიმაღლე იყო 146,5 მეტრი, კუთხე φ ტოლი იქნება 51,8 o.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ ორკუთხა კუთხე ოთხკუთხა რეგულარული პირამიდისთვის გეომეტრიული მეთოდის გამოყენებით. ამისათვის საკმარისია განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება h სიმაღლით, a/2 ფუძის სიგრძის ნახევარით და ტოლფერდა სამკუთხედის აპოთემით.

დიჰედრული კუთხე. ხაზოვანი დიჰედრული კუთხე. დიედრული კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ორი ნახევრად სიბრტყით, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთ სიბრტყეს და აქვთ საერთო საზღვარი - სწორი ხაზი a. ნახევრად სიბრტყეებს, რომლებიც ქმნიან ორთავიან კუთხეს, ეწოდება მის სახეებს, ხოლო ამ ნახევრად სიბრტყეების საერთო საზღვარს - დიედრული კუთხის კიდე. ორწახნაგოვანი კუთხის წრფივი კუთხე არის კუთხე, რომლის გვერდები არის სხივები, რომლებზეც დიედრული კუთხის სახეები იკვეთება დიედრული კუთხის კიდეზე პერპენდიკულარული სიბრტყით. თითოეულ დიჰედრულ კუთხეს აქვს წრფივი კუთხეების ნებისმიერი რაოდენობა: კიდის თითოეული წერტილის მეშვეობით შეიძლება ამ კიდეზე პერპენდიკულარული სიბრტყის დახატვა; სხივები, რომლებზეც ეს სიბრტყე კვეთს ორმხრივი კუთხის სახეებს, ქმნის წრფივ კუთხეებს.

დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ერთმანეთის ტოლია. დავამტკიცოთ, რომ თუ KABC პირამიდის ფუძის სიბრტყით წარმოქმნილი ორმხრივი კუთხეები და მისი გვერდითი სახეების სიბრტყეები ტოლია, მაშინ K წვეროდან გამოყვანილი პერპენდიკულურის ფუძე არის ABC სამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი.

მტკიცებულება. უპირველეს ყოვლისა, ავაშენოთ თანაბარი დიედრული კუთხების წრფივი კუთხეები. განმარტებით, წრფივი კუთხის სიბრტყე უნდა იყოს პერპენდიკულარული დიედრული კუთხის კიდეზე. ამიტომ, დიედრული კუთხის კიდე უნდა იყოს პერპენდიკულარული წრფივი კუთხის გვერდებზე. თუ KO არის საბაზისო სიბრტყის პერპენდიკულარული, მაშინ შეგვიძლია დავხატოთ OR პერპენდიკულარული AC, OR პერპენდიკულარული SV, OQ პერპენდიკულარული AB და შემდეგ შევაერთოთ P, Q, R წერტილები K წერტილით. ამრიგად, ჩვენ ავაშენებთ დახრილ RK, QK პროექციას. , RK ისე, რომ AC, NE, AB კიდეები პერპენდიკულარული იყოს ამ პროექციებზე. შესაბამისად, ეს კიდეები პერპენდიკულარულია თავად დახრილების მიმართ. და, შესაბამისად, ROK, QOK, ROK სამკუთხედების სიბრტყეები პერპენდიკულარულია დიედრული კუთხის შესაბამისი კიდეების მიმართ და ქმნიან იმ თანაბარ წრფივ კუთხეებს, რომლებიც აღნიშნულია პირობით. მართკუთხა სამკუთხედები ROK, QOK, ROK თანმიმდევრულია (რადგან მათ აქვთ საერთო ფეხი OK და ამ ფეხის მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია). ამიტომ, OR = OR = OQ. თუ დავხატავთ წრეს O ცენტრით და რადიუსით OP, მაშინ ABC სამკუთხედის გვერდები პერპენდიკულარულია OP, OR და OQ რადიუსებზე და შესაბამისად ტანგენტები არიან ამ წრეზე.

სიბრტყეების პერპენდიკულურობა. ალფა და ბეტა სიბრტყეებს უწოდებენ პერპენდიკულურებს, თუ მათ გადაკვეთაზე წარმოქმნილი ერთ-ერთი ორმხრივი კუთხის წრფივი კუთხე უდრის 90-ს." ორი სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშნები თუ ორი სიბრტყედან ერთი გადის წრფეზე მეორე სიბრტყის პერპენდიკულარულზე, მაშინ ეს სიბრტყეები პერპენდიკულარულია.

ნახატზე ნაჩვენებია მართკუთხა პარალელეპიპედი. მისი ფუძეებია ABCD და A1B1C1D1 მართკუთხედები. ხოლო გვერდითი ნეკნები AA1 BB1, CC1, DD1 არის ფუძეების პერპენდიკულარული. აქედან გამომდინარეობს, რომ AA1 არის AB-ის პერპენდიკულარული, ანუ გვერდითი სახე არის მართკუთხედი. ამრიგად, შეგვიძლია გავამართლოთ მართკუთხა პარალელეპიპედის თვისებები: მართკუთხა პარალელეპიპედში ექვსივე სახე მართკუთხედია. მართკუთხა პარალელეპიპედში ექვსივე სახე მართკუთხედია. მართკუთხა პარალელეპიპედის ყველა ორმხრივი კუთხე მართკუთხაა. მართკუთხა პარალელეპიპედის ყველა ორმხრივი კუთხე მართკუთხაა.

თეორემა მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამს. მოდით კვლავ მივმართოთ ფიგურას და დავამტკიცოთ, რომ AC12 = AB2 + AD2 + AA12 ვინაიდან CC1 კიდე ABCD ფუძის პერპენდიკულარულია, ACC1 კუთხე სწორია. ACC1 მართკუთხა სამკუთხედიდან, პითაგორას თეორემის გამოყენებით, ვიღებთ AC12 = AC2 + CC12. მაგრამ AC არის ABCD მართკუთხედის დიაგონალი, ამიტომ AC2 = AB2 + AD2. გარდა ამისა, CC1 = AA1. ამიტომ AC12= AB2+AD2+AA12 თეორემა დადასტურებულია.

გაკვეთილის ტექსტის ტრანსკრიპტი:

პლანიმეტრიაში მთავარი ობიექტებია ხაზები, სეგმენტები, სხივები და წერტილები. ერთი წერტილიდან გამომავალი სხივები ქმნიან მათ ერთ-ერთ გეომეტრიულ ფორმას - კუთხეს.

ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი კუთხე იზომება გრადუსით და რადიანებით.

სტერეომეტრიაში თვითმფრინავი ემატება ობიექტებს. ფიგურას, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზით a და ორი ნახევარსიბრტყით საერთო a საზღვრით, რომლებიც გეომეტრიაში არ მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს, ეწოდება დიედრული კუთხე. ნახევრად სიბრტყეები არის დიედრული კუთხის სახეები. სწორი ხაზი a არის დიედრული კუთხის კიდე.

დიედრული კუთხე, ისევე როგორც წრფივი კუთხე, შეიძლება იყოს დასახელებული, გაზომილი და აგებული. ეს არის ის, რაც ჩვენ უნდა გავარკვიოთ ამ გაკვეთილზე.

მოდი ვიპოვოთ დიჰედრული კუთხე ABCD ტეტრაედრონის მოდელზე.

დიედრალურ კუთხეს AB კიდით ეწოდება CABD, სადაც C და D წერტილები ეკუთვნის კუთხის სხვადასხვა სახეებს და კიდე AB ეწოდება შუაში.

ჩვენს ირგვლივ საკმაოდ ბევრი ობიექტია დიედრული კუთხის სახით ელემენტებით.

ბევრ ქალაქში პარკებში დამონტაჟებულია სპეციალური სკამები შერიგებისთვის. სკამი დამზადებულია ორი დახრილი სიბრტყის სახით, რომლებიც გადადიან ცენტრისკენ.

სახლების აშენებისას ხშირად გამოიყენება ე.წ. ამ სახლზე სახურავი გაკეთებულია 90 გრადუსიანი დიჰედრული კუთხის სახით.

დიჰედრული კუთხე ასევე იზომება გრადუსებში ან რადიანებში, მაგრამ როგორ გავზომოთ იგი.

საინტერესოა, რომ სახლების სახურავები ეყრდნობა რაფებს. და რაფტერის გარსი ქმნის სახურავის ორ ფერდობს მოცემული კუთხით.

გადავიტანოთ სურათი ნახატზე. ნახაზზე ორწახნაგოვანი კუთხის საპოვნელად მის კიდეზე აღინიშნება B წერტილი.ამ წერტილიდან კუთხის კიდეს პერპენდიკულარულად გამოყვანილია ორი სხივი BA და BC. ამ სხივების მიერ წარმოქმნილ კუთხეს ABC ეწოდება წრფივი დიედრული კუთხე.

დიედრული კუთხის გრადუსული ზომა უდრის მისი წრფივი კუთხის გრადუსულ ზომას.

გავზომოთ კუთხე AOB.

მოცემული დიჰედრული კუთხის გრადუსული ზომა არის სამოცი გრადუსი.

წრფივი კუთხეების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება დაიხაზოს დიედრული კუთხისთვის; მნიშვნელოვანია იცოდეთ, რომ ისინი ყველა ტოლია.

განვიხილოთ ორი წრფივი კუთხე AOB და A1O1B1. სხივები OA და O1A1 დევს ერთსა და იმავე სახეზე და პერპენდიკულარულია სწორი ხაზის OO1-ზე, ამიტომ ისინი თანამიმართულნი არიან. სხივები OB და O1B1 ასევე ერთობლივად არის მიმართული. მაშასადამე, AOB კუთხე უდრის A1O1B1 კუთხეს, როგორც კუთხეები თანამიმართულ გვერდებთან.

ასე რომ, დიედრულ კუთხეს ახასიათებს წრფივი კუთხე, ხოლო ხაზოვანი კუთხეები არის მკვეთრი, ბლაგვი და მართი. განვიხილოთ დიედრული კუთხეების მოდელები.

ბლაგვი კუთხეა, თუ მისი წრფივი კუთხე არის 90-დან 180 გრადუსამდე.

მართი კუთხე, თუ მისი წრფივი კუთხე 90 გრადუსია.

მწვავე კუთხე, თუ მისი წრფივი კუთხე არის 0-დან 90 გრადუსამდე.

მოდით დავამტკიცოთ წრფივი კუთხის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისება.

წრფივი კუთხის სიბრტყე პერპენდიკულარულია დიედრული კუთხის კიდეზე.

მოდით კუთხე AOB იყოს მოცემული დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე. აგებულებით, სხივები AO და OB პერპენდიკულარულია a სწორი ხაზის მიმართ.

სიბრტყე AOB გადის ორ გადამკვეთ წრფეზე AO და OB თეორემის მიხედვით: სიბრტყე გადის ორ გადამკვეთ წრფეზე და მხოლოდ ერთს.

წრფე a პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ორი გადამკვეთი წრფის მიმართ, რაც ნიშნავს, რომ წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობაზე დაყრდნობით, სწორი ხაზი a არის AOB სიბრტყის პერპენდიკულარული.

პრობლემების გადასაჭრელად მნიშვნელოვანია, რომ შეძლოთ მოცემული დიედრული კუთხის წრფივი კუთხის აგება. ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე AB კიდით ტეტრაედრისთვის ABCD.

საუბარია დიედრალურ კუთხეზე, რომელიც წარმოიქმნება, პირველ რიგში, AB კიდით, ერთი სახე ABD და მეორე სახე ABC.

აქ არის მისი აშენების ერთი გზა.

დავხატოთ პერპენდიკულარი D წერტილიდან ABC სიბრტყემდე.მოვნიშნოთ წერტილი M პერპენდიკულას ფუძედ. შეგახსენებთ, რომ ტეტრაედრონში პერპენდიკულარულის ფუძე ემთხვევა ტეტრაედრის ძირში ჩაწერილი წრის ცენტრს.

დავხაზოთ დახრილი ხაზი D წერტილიდან პერპენდიკულარულად AB კიდესამდე, მოვნიშნოთ წერტილი N დახრილი ხაზის ფუძედ.

სამკუთხედში DMN სეგმენტი NM იქნება დახრილი DN-ის პროექცია ABC სიბრტყეზე. სამი პერპენდიკულარულის თეორემის მიხედვით კიდე AB იქნება NM პროექციის პერპენდიკულარული.

ეს ნიშნავს, რომ DNM კუთხის გვერდები პერპენდიკულარულია AB კიდეზე, რაც ნიშნავს, რომ აგებული კუთხე DNM არის სასურველი წრფივი კუთხე.

განვიხილოთ დიედრული კუთხის გამოთვლის ამოცანის ამოხსნის მაგალითი.

ტოლფერდა სამკუთხედი ABC და რეგულარული სამკუთხედი ADB არ დევს ერთ სიბრტყეში. CD სეგმენტი ADB სიბრტყის პერპენდიკულარულია. იპოვეთ დიედრული კუთხე DABC, თუ AC=CB=2 სმ, AB= 4 სმ.

DABC-ის დიედრული კუთხე უდრის მის წრფივ კუთხეს. მოდით ავაშენოთ ეს კუთხე.

დავხატოთ დახრილი CM AB კიდეზე პერპენდიკულურად, რადგან სამკუთხედი ACB არის ტოლკუთხედი, მაშინ M წერტილი დაემთხვევა AB კიდის შუას.

სწორი ხაზი CD არის ADB სიბრტყის პერპენდიკულარული, რაც ნიშნავს, რომ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე მართ ხაზთან DM. და სეგმენტი MD არის დახრილი CM-ის პროექცია ADV სიბრტყეზე.

სწორი ხაზი AB კონსტრუქციით არის დახრილი CM-ის პერპენდიკულარული, რაც ნიშნავს, რომ სამი პერპენდიკულარულის თეორემით იგი პერპენდიკულარულია პროექციის MD-ზე.

ასე რომ, ორი პერპენდიკულარი CM და DM გვხვდება AB კიდესთან. ეს ნიშნავს, რომ ისინი ქმნიან DABC დიედრული კუთხის CMD ხაზოვან კუთხეს. და ყველაფერი რაც ჩვენ უნდა გავაკეთოთ არის ის ვიპოვოთ მარჯვენა სამკუთხედიდან CDM.

ასე რომ, SM სეგმენტი არის ACB ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა და სიმაღლე, მაშინ პითაგორას თეორემის მიხედვით, ფეხი SM უდრის 4 სმ.

მართკუთხა სამკუთხედიდან DMB, პითაგორას თეორემის მიხედვით, ფეხი DM უდრის სამის ორ ფესვს.

მართკუთხა სამკუთხედიდან კუთხის კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის MD შეფარდებას CM ჰიპოტენუზასთან და უდრის სამ ფესვს სამჯერ ორზე. ეს ნიშნავს, რომ კუთხე CMD არის 30 გრადუსი.