რას ნიშნავს თუნდაც ფუნქცია? ფუნქციის პარიტეტი

ფუნქციაარის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური ცნება. ფუნქცია - ცვლადი დამოკიდებულება ზეცვლადიდან x, თუ თითოეული მნიშვნელობა Xშეესაბამება ერთ მნიშვნელობას ზე. ცვლადი Xდამოუკიდებელი ცვლადი ან არგუმენტი ეწოდება. ცვლადი ზედამოკიდებულ ცვლადს უწოდებენ. დამოუკიდებელი ცვლადის ყველა მნიშვნელობა (ცვლადი x) ფუნქციის განსაზღვრის დომენი. ყველა მნიშვნელობა, რომელსაც იღებს დამოკიდებული ცვლადი (ცვლადი წ), ჩამოაყალიბეთ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი.

ფუნქციის გრაფიკიმოვუწოდებთ კოორდინატთა სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლეს, რომელთა აბსციები უდრის არგუმენტის მნიშვნელობებს, ხოლო ორდინატები ტოლია ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობების, ანუ მნიშვნელობების. ცვლადი გამოსახულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ xდა ცვლადის მნიშვნელობები გამოსახულია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ წ. ფუნქციის გრაფიკისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ ფუნქციის თვისებები. ფუნქციის ძირითადი თვისებები ქვემოთ იქნება განხილული!

ფუნქციის გრაფიკის შესაქმნელად, ჩვენ გირჩევთ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამა - გრაფიკული ფუნქციები ონლაინ. თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები ამ გვერდის მასალის შესწავლისას, ყოველთვის შეგიძლიათ დასვათ ისინი ჩვენს ფორუმზე. ასევე ფორუმზე დაგეხმარებიან ამოცანების გადაჭრაში მათემატიკაში, ქიმიაში, გეომეტრიაში, ალბათობის თეორიაში და სხვა ბევრ საგანში!

ფუნქციების ძირითადი თვისებები.

1) ფუნქციის დომენი და ფუნქციის დიაპაზონი.

ფუნქციის დომენი არის ყველა მოქმედი არგუმენტის მნიშვნელობების ნაკრები x(ცვლადი x), რისთვისაც ფუნქცია y = f(x)განსაზღვრული.
ფუნქციის დიაპაზონი არის ყველა რეალური მნიშვნელობის სიმრავლე წ, რომელსაც ფუნქცია იღებს.

ელემენტარულ მათემატიკაში ფუნქციებს სწავლობენ მხოლოდ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე.

2) ფუნქცია ნულები.

ღირებულებები X, რომელიც y=0, დაურეკა ფუნქცია ნულები. ეს არის ფუნქციის გრაფიკის Ox ღერძთან გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

3) ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები.

ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები არის მნიშვნელობების ასეთი ინტერვალები x, რომელზეც ფუნქციის მნიშვნელობა წმხოლოდ დადებითი ან მხოლოდ უარყოფითი ეწოდება ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები.

4) ფუნქციის ერთფეროვნება.

მზარდი ფუნქცია (გარკვეულ ინტერვალში) არის ფუნქცია, რომელშიც არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას.

კლებადი ფუნქცია (გარკვეულ ინტერვალში) არის ფუნქცია, რომელშიც არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

5) ლუწი (კენტი) ფუნქცია.

ლუწი ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის განსაზღვრის დომენი სიმეტრიულია წარმოშობის და ნებისმიერის მიმართ X f(-x) = f(x). ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ორდინატთან მიმართებაში.

უცნაური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის განსაზღვრის დომენი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ და ნებისმიერისთვის Xგანმარტების სფეროდან თანასწორობა მართალია f(-x) = - f(x). კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.

თუნდაც ფუნქცია
1) განმარტების დომენი სიმეტრიულია წერტილის მიმართ (0; 0), ანუ თუ წერტილი აგანეკუთვნება განსაზღვრების სფეროს, შემდეგ წერტილს -აასევე განეკუთვნება განმარტების სფეროს.
2) ნებისმიერი ღირებულებისთვის x f(-x)=f(x)
3) ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია Oy ღერძის მიმართ.

უცნაური ფუნქციააქვს შემდეგი თვისებები:
1) განმარტების დომენი სიმეტრიულია წერტილის მიმართ (0; 0).
2) ნებისმიერი ღირებულებისთვის x, განეკუთვნება განმარტების სფეროს, თანასწორობას f(-x)=-f(x)
3) კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ (0; 0).

ყველა ფუნქცია არ არის ლუწი ან კენტი. ფუნქციები ზოგადი ხედიარც ლუწია და არც კენტი.

6) შეზღუდული და შეუზღუდავი ფუნქციები.

ფუნქციას უწოდებენ შეზღუდულს, თუ არის დადებითი რიცხვი M ისეთი, რომ |f(x)| ≤ M x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. თუ ასეთი რიცხვი არ არსებობს, მაშინ ფუნქცია შეუზღუდავია.

7) ფუნქციის პერიოდულობა.

ფუნქცია f(x) პერიოდულია, თუ არსებობს არა ნულოვანი რიცხვი T ისეთი, რომ ნებისმიერი x-ისთვის ფუნქციის განსაზღვრის სფეროდან მოქმედებს შემდეგი: f(x+T) = f(x). ამ უმცირეს რიცხვს ეწოდება ფუნქციის პერიოდი. ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია. (ტრიგონომეტრიული ფორმულები).

ფუნქცია ვპერიოდული ეწოდება, თუ არის ისეთი რიცხვი, რომ რომელიმესთვის xგანმარტების სფეროდან თანასწორობა f(x)=f(x-T)=f(x+T). თარის ფუნქციის პერიოდი.

ყველა პერიოდულ ფუნქციას აქვს პერიოდების უსასრულო რაოდენობა. პრაქტიკაში, ჩვეულებრივ განიხილება ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდი.

პერიოდული ფუნქციის მნიშვნელობები მეორდება პერიოდის ტოლი ინტერვალის შემდეგ. ეს გამოიყენება გრაფიკების აგებისას.

ფუნქციის შესწავლა.

1) D(y) – განმარტების დომენი: x ცვლადის ყველა იმ მნიშვნელობის სიმრავლე. რომლისთვისაც ალგებრული გამონათქვამები f(x) და g(x) აზრი აქვს.

თუ ფუნქცია მოცემულია ფორმულით, მაშინ განსაზღვრების დომენი შედგება დამოუკიდებელი ცვლადის ყველა მნიშვნელობისაგან, რომლისთვისაც ფორმულა აზრი აქვს.

2) ფუნქციის თვისებები: ლუწი/კენტი, პერიოდულობა:

კენტიდა თუნდაცფუნქციებს უწოდებენ, რომელთა გრაფიკები სიმეტრიულია არგუმენტის ნიშნის ცვლილებების მიმართ.

უცნაური ფუნქცია- ფუნქცია, რომელიც ცვლის მნიშვნელობას საპირისპიროდ, როდესაც იცვლება დამოუკიდებელი ცვლადის ნიშანი (სიმეტრიული შედარებით კოორდინატების ცენტრთან).

თუნდაც ფუნქცია- ფუნქცია, რომელიც არ იცვლის თავის მნიშვნელობას დამოუკიდებელი ცვლადის ნიშნის ცვლილებისას (სიმეტრიულია ორდინატთან მიმართებაში).

არც ლუწი და არც კენტი ფუნქცია (ზოგადი ფუნქცია)- ფუნქცია, რომელსაც არ აქვს სიმეტრია. ეს კატეგორია მოიცავს ფუნქციებს, რომლებიც არ მიეკუთვნება წინა 2 კატეგორიას.

ფუნქციებს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ზემოთ ჩამოთვლილ რომელიმე კატეგორიას, ეწოდება არც ლუწი და არც კენტი(ან ზოგადი ფუნქციები).

უცნაური ფუნქციები

კენტი სიმძლავრე, სადაც არის თვითნებური მთელი რიცხვი.

ფუნქციებიც კი

ძალაც კი, სადაც არის თვითნებური მთელი რიცხვი.

პერიოდული ფუნქცია- ფუნქცია, რომელიც იმეორებს თავის მნიშვნელობებს რაიმე რეგულარული არგუმენტის ინტერვალში, ანუ ის არ ცვლის მის მნიშვნელობას არგუმენტში რაიმე ფიქსირებული არანულოვანი რიცხვის დამატებისას ( პერიოდიფუნქციები) განსაზღვრების მთელ დომენზე.

3) ფუნქციის ნულები (ფესვები) არის ის წერტილები, სადაც ის ხდება ნული.

გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილის პოვნა ოი. ამისათვის თქვენ უნდა გამოთვალოთ ღირებულება ვ(0). იპოვეთ აგრეთვე გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები ოქსირატომ იპოვნეთ განტოლების ფესვები ვ(x) = 0 (ან დარწმუნდით, რომ ფესვები არ არის).

წერტილებს, რომლებზეც გრაფიკი კვეთს ღერძს, ეწოდება ფუნქცია ნულები. ფუნქციის ნულების საპოვნელად საჭიროა განტოლების ამოხსნა, ანუ პოვნა "x"-ის ეს მნიშვნელობები, რომლის დროსაც ფუნქცია ხდება ნული.

4) ნიშნების, ნიშნების მუდმივობის ინტერვალები მათში.

ინტერვალები, სადაც ფუნქცია f(x) ინარჩუნებს ნიშანს.

ნიშნის მუდმივობის ინტერვალი არის ინტერვალი რომლის თითოეულ წერტილშიფუნქცია დადებითი ან უარყოფითია.

x-ღერძის ზემოთ.

ღერძის ქვემოთ.

5) უწყვეტობა (შეწყვეტის წერტილები, შეუწყვეტლობის ბუნება, ასიმპტოტები).

უწყვეტი ფუნქცია- ფუნქცია "ნახტომების" გარეშე, ანუ ის, რომელშიც არგუმენტის მცირე ცვლილებები იწვევს ფუნქციის მნიშვნელობის მცირე ცვლილებებს.

მოსახსნელი შესვენების წერტილები

თუ ფუნქციის ლიმიტი არსებობს, მაგრამ ფუნქცია არ არის განსაზღვრული ამ ეტაპზე, ან ლიმიტი არ ემთხვევა ფუნქციის მნიშვნელობას ამ ეტაპზე:

,

მაშინ წერტილი ეწოდება მოსახსნელი შესვენების წერტილიფუნქციები (კომპლექსურ ანალიზში, მოსახსნელი სინგულარული წერტილი).

თუ ფუნქციას „გამოვასწორებთ“ მოხსნადი შეწყვეტის წერტილში და დავაყენებთ , მაშინ ვიღებთ ფუნქციას, რომელიც მოცემულ წერტილში უწყვეტია. ფუნქციაზე ეს ოპერაცია ე.წ ფუნქციის გაგრძელება უწყვეტამდეან ფუნქციის ხელახალი განსაზღვრა უწყვეტობის მიხედვით, რომელიც ამართლებს წერტილის დასახელებას პუნქტად მოსახსნელირღვევა.

პირველი და მეორე სახის შეწყვეტის წერტილები

თუ ფუნქციას აქვს უწყვეტობა მოცემულ წერტილში (ანუ, ფუნქციის ზღვარი მოცემულ წერტილში არ არის ან არ ემთხვევა მოცემულ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობას), მაშინ რიცხვითი ფუნქციებისთვის არის ორი შესაძლო ვარიანტი. ასოცირდება რიცხვითი ფუნქციების არსებობასთან ცალმხრივი საზღვრები:

თუ ორივე ცალმხრივი ზღვარი არსებობს და სასრულია, მაშინ ასეთ წერტილს უწოდებენ პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილი. მოხსნადი შეწყვეტის წერტილები არის პირველი სახის შეწყვეტის წერტილები;

თუ ცალმხრივი ზღვრებიდან ერთი მაინც არ არსებობს ან არ არის სასრული მნიშვნელობა, მაშინ ასეთი წერტილი ე.წ. მეორე სახის შეწყვეტის წერტილი.

ასიმპტოტი - სწორი, რომელსაც აქვს თვისება, რომ მანძილი მრუდის წერტილიდან აქამდე სწორიმიდრეკილია ნულისკენ, რადგან წერტილი ტოტის გასწვრივ უსასრულობამდე მიდის.

ვერტიკალური

ვერტიკალური ასიმპტოტი - ლიმიტის ხაზი .

როგორც წესი, ვერტიკალური ასიმპტოტის განსაზღვრისას ისინი ეძებენ არა ერთ ზღვარს, არამედ ორ ცალმხრივს (მარცხნივ და მარჯვნივ). ეს კეთდება იმისთვის, რომ დადგინდეს, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია, როდესაც ის უახლოვდება ვერტიკალურ ასიმპტოტს სხვადასხვა მიმართულებით. Მაგალითად:

Ჰორიზონტალური

ჰორიზონტალური ასიმპტოტი - სწორისახეობა, ექვემდებარება არსებობას ზღვარი

.

დახრილი

ირიბი ასიმპტოტა - სწორისახეობა, ექვემდებარება არსებობას საზღვრები

შენიშვნა: ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს არაუმეტეს ორი ირიბი (ჰორიზონტალური) ასიმპტოტი.

შენიშვნა: თუ ზემოთ ნახსენები ორი ლიმიტიდან ერთი მაინც არ არსებობს (ან უდრის ), მაშინ ირიბი ასიმპტოტი at (ან )-ზე არ არსებობს.

თუ პუნქტში 2.), მაშინ, და ლიმიტი ნაპოვნია ჰორიზონტალური ასიმპტოტის ფორმულის გამოყენებით, .

6) მონოტონურობის ინტერვალების მოძიება.იპოვეთ ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები ვ(x)(ანუ გაზრდისა და კლების ინტერვალები). ეს ხდება წარმოებულის ნიშნის შესწავლით ვ(x). ამისათვის იპოვნეთ წარმოებული ვ(x) და ამოხსენით უტოლობა ვ(x) 0. იმ ინტერვალებზე, სადაც ეს უტოლობა მოქმედებს, ფუნქცია ვ(x) იზრდება. სადაც საპირისპირო უტოლობა მოქმედებს ვ(x)0, ფუნქცია ვ(x) მცირდება.

ადგილობრივი ექსტრემის პოვნა.მონოტონურობის ინტერვალების აღმოჩენის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ განვსაზღვროთ ადგილობრივი ექსტრემალური წერტილები, სადაც მატება იცვლება შემცირებით, განლაგებულია ადგილობრივი მაქსიმუმები და სადაც შემცირება იცვლება ზრდით, ლოკალური მინიმალური. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ წერტილებში. თუ ფუნქციას აქვს კრიტიკული წერტილები, რომლებიც არ არის ლოკალური ექსტრემალური წერტილები, მაშინ სასარგებლოა ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა ამ წერტილებშიც.

სეგმენტზე y = f(x) ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნა(გაგრძელება)

ჩვენების დამალვა

ფუნქციის მითითების მეთოდები

ფუნქცია მოცემულია ფორმულით: y=2x^(2)-3. დამოუკიდებელ ცვლად x-ზე ნებისმიერი მნიშვნელობის მინიჭებით, შეგიძლიათ ამ ფორმულის გამოყენებით გამოთვალოთ დამოკიდებული ცვლადის y შესაბამისი მნიშვნელობები. მაგალითად, თუ x=-0.5, მაშინ ფორმულის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა არის y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5.

y=2x^(2)-3 ფორმულაში x არგუმენტით მიღებული ნებისმიერი მნიშვნელობის აღებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფუნქციის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება მას. ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ცხრილის სახით:

ამ ცხრილის გამოყენებით ხედავთ, რომ არგუმენტის −1 მნიშვნელობისთვის შეესაბამება ფუნქციის მნიშვნელობა −3; და მნიშვნელობა x=2 შეესაბამება y=0 და ა.შ. ასევე მნიშვნელოვანია იცოდეთ, რომ ცხრილში თითოეული არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება მხოლოდ ერთ ფუნქციის მნიშვნელობას.

მეტი ფუნქციის დაზუსტება შესაძლებელია გრაფიკების გამოყენებით. გრაფიკის გამოყენებით დგინდება ფუნქციის რომელი მნიშვნელობა კორელაციაშია გარკვეულ x მნიშვნელობასთან. ყველაზე ხშირად, ეს იქნება ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობა.

ლუწი და კენტი ფუნქცია

ფუნქცია არის ფუნქციაც კი, როდესაც f(-x)=f(x) ნებისმიერი x-ისთვის განმარტების დომენიდან. ასეთი ფუნქცია იქნება სიმეტრიული Oy ღერძის მიმართ.

ფუნქცია არის უცნაური ფუნქცია, როდესაც f(-x)=-f(x) ნებისმიერი x-ისთვის განმარტების დომენიდან. ასეთი ფუნქცია იქნება სიმეტრიული O (0;0) საწყისის მიმართ.

ფუნქცია არის არც კი, არც უცნაურიდა ეწოდება ზოგადი ფუნქცია, როდესაც მას არ აქვს სიმეტრია ღერძის ან საწყისის მიმართ.

მოდით განვიხილოთ შემდეგი ფუნქცია პარიტეტისთვის:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) განსაზღვრების სიმეტრიული დომენით საწყისთან მიმართებაში. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია f(x)=3x^(3)-7x^(7) კენტია.

პერიოდული ფუნქცია

ფუნქცია y=f(x) , რომლის დომენში მოქმედებს ტოლობა f(x+T)=f(x-T)=f(x) ნებისმიერი x-ისთვის, ე.წ. პერიოდული ფუნქციაპერიოდით T \neq 0 .

ფუნქციის გრაფიკის გამეორება x ღერძის ნებისმიერ სეგმენტზე, რომელსაც აქვს სიგრძე T.

ინტერვალები, სადაც ფუნქცია დადებითია, ანუ f(x) > 0, არის აბსცისის ღერძის სეგმენტები, რომლებიც შეესაბამება აბსცისის ღერძის ზემოთ მდებარე ფუნქციის გრაფიკის წერტილებს.

f(x) > 0 ჩართულია (x_(1); x_(2)) \ჭიქა (x_(3); +\infty)

ინტერვალები, სადაც ფუნქცია უარყოფითია, ანუ f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \ ჭიქა (x_(2); x_(3))

შეზღუდული ფუნქცია

ქვემოდან შემოსაზღვრულიჩვეულებრივია გამოვიძახოთ ფუნქცია y=f(x), x \ X-ში, როდესაც არის A რიცხვი, რომლისთვისაც უტოლობა f(x) \geq A მოქმედებს ნებისმიერი x \ X-ში.

ქვემოდან შემოსაზღვრული ფუნქციის მაგალითი: y=\sqrt(1+x^(2)) ვინაიდან y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 ნებისმიერი x-ისთვის.

ზემოდან შემოსაზღვრულიფუნქცია y=f(x), x \in X იწოდება, როდესაც არის B რიცხვი, რომლისთვისაც უტოლობა f(x) \neq B მოქმედებს ნებისმიერი x \ X-ში.

ქვემოთ შემოსაზღვრული ფუნქციის მაგალითი: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]ვინაიდან y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 ნებისმიერი x \in [-1;1] .

შეზღუდულიჩვეულებრივ უნდა გამოიძახოთ ფუნქცია y=f(x), x \ X-ში, როდესაც არის რიცხვი K > 0, რომლისთვისაც უტოლობა \left | f(x)\right | \neq K ნებისმიერი x \ X-ში.

შეზღუდული ფუნქციის მაგალითი: y=\sin x შეზღუდულია მთელ რიცხვთა ღერძზე, ვინაიდან \მარცხნივ | \sin x \მარჯვნივ | \nq 1.

გაზრდის და შემცირების ფუნქცია

ჩვეულებრივად არის საუბარი ფუნქციაზე, რომელიც იზრდება განხილულ ინტერვალზე როგორც მზარდი ფუნქციამაშინ, როდესაც x-ის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება y=f(x) ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას. აქედან გამომდინარეობს, რომ არგუმენტის x_(1) და x_(2) ორი თვითნებური მნიშვნელობის აღება განსახილველი ინტერვალიდან, x_(1) > x_(2) , შედეგი იქნება y(x_(1)) > y(x_(2)).

ფუნქცია, რომელიც მცირდება განხილულ ინტერვალზე, ეწოდება კლების ფუნქციაროდესაც x-ის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება y(x) ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას. აქედან გამომდინარეობს, რომ განსახილველი ინტერვალიდან არგუმენტის x_(1) და x_(2) ორი თვითნებური მნიშვნელობის აღებით და x_(1) > x_(2), შედეგი იქნება y(x_(1))< y(x_{2}) .

ფუნქციის ფესვებიმიღებულია იმ წერტილების დარქმევა, რომლებშიც ფუნქცია F=y(x) კვეთს აბსცისის ღერძს (ისინი მიიღება y(x)=0 განტოლების ამოხსნით).

ა) თუ x > 0-ზე ლუწი ფუნქცია იზრდება, მაშინ ის მცირდება x-ისთვის< 0

ბ) როდესაც ლუწი ფუნქცია მცირდება x > 0-ზე, მაშინ ის იზრდება x-ზე< 0

გ) როდესაც კენტი ფუნქცია იზრდება x > 0-ზე, მაშინ ის ასევე იზრდება x-ზე< 0

დ) როდესაც კენტი ფუნქცია მცირდება x > 0-ზე, მაშინ ის ასევე შემცირდება x-ისთვის< 0

ფუნქციის უკიდურესობა

ფუნქციის მინიმალური წერტილი y=f(x) ჩვეულებრივ უწოდებენ წერტილს x=x_(0), რომლის სამეზობლოში იქნება სხვა წერტილები (გარდა წერტილისა x=x_(0)), და მათთვის უტოლობა f(x) > f იქნება მაშინ. კმაყოფილი (x_(0)) . y_(min) - ფუნქციის აღნიშვნა min წერტილში.

ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი y=f(x) ჩვეულებრივ უწოდებენ წერტილს x=x_(0), რომლის სამეზობლოში იქნება სხვა წერტილები (გარდა წერტილისა x=x_(0)), და მათთვის f(x) უტოლობა მაშინ დაკმაყოფილდება.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

წინაპირობა

ფერმას თეორემის მიხედვით: f"(x)=0 როდესაც f(x) ფუნქციას, რომელიც დიფერენცირებადია x_(0) წერტილში, ექნება ექსტრემი ამ წერტილში.

საკმარისი მდგომარეობა

1. როდესაც წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, მაშინ x_(0) იქნება მინიმალური წერტილი;
2. x_(0) - იქნება მაქსიმალური წერტილი მხოლოდ მაშინ, როდესაც წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუს-დან პლუსზე სტაციონარული წერტილის გავლისას x_(0) .

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე

გაანგარიშების ეტაპები:

1. წარმოებული f"(x) მოძებნილია;
2. მოიძებნება ფუნქციის სტაციონარული და კრიტიკული წერტილები და შეირჩევა სეგმენტის კუთვნილი;
3. f(x) ფუნქციის მნიშვნელობები გვხვდება სეგმენტის სტაციონარულ და კრიტიკულ წერტილებსა და ბოლოებზე. მიღებული შედეგებიდან რაც უფრო მცირე იქნება ფუნქციის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა, და მეტი - უდიდესი.

თუნდაც, თუ ყველა \(x\) მისი განმარტების დომენიდან მართალია შემდეგი: \(f(-x)=f(x)\) .

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია \(y\) ღერძის მიმართ:

მაგალითი: ფუნქცია \(f(x)=x^2+\cos x\) არის ლუწი, რადგან \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\შავი სამკუთხედი\) ფუნქცია \(f(x)\) გამოძახებულია უცნაური, თუ ყველა \(x\) მისი განმარტების დომენიდან მართებულია შემდეგი: \(f(-x)=-f(x)\) .

უცნაური ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ:

მაგალითი: ფუნქცია \(f(x)=x^3+x\) კენტია, რადგან \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\შავი სამკუთხედი\) ფუნქციებს, რომლებიც არც ლუწია და არც კენტი, ზოგადი ფორმის ფუნქციებს უწოდებენ. ასეთი ფუნქცია ყოველთვის შეიძლება ცალსახად იყოს წარმოდგენილი, როგორც ლუწი და კენტი ფუნქციის ჯამი.

მაგალითად, ფუნქცია \(f(x)=x^2-x\) არის ლუწი ფუნქციის \(f_1=x^2\) და კენტი \(f_2=-x\) ჯამი.

\(\შავი სამკუთხედი\) ზოგიერთი თვისება:

1) ერთი და იგივე პარიტეტის ორი ფუნქციის ნამრავლი და კოეფიციენტი არის ლუწი ფუნქცია.

2) სხვადასხვა პარიტეტის ორი ფუნქციის ნამრავლი და კოეფიციენტი არის კენტი ფუნქცია.

3) ლუწი ფუნქციების ჯამი და სხვაობა - ლუწი ფუნქცია.

4) კენტი ფუნქციების ჯამი და სხვაობა – კენტი ფუნქცია.

5) თუ \(f(x)\) არის ლუწი ფუნქცია, მაშინ განტოლებას \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\)) აქვს უნიკალური ფესვი, თუ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც \( x =0\) .

6) თუ \(f(x)\) არის ლუწი ან კენტი ფუნქცია, ხოლო განტოლებას \(f(x)=0\) აქვს ფესვი \(x=b\), მაშინ ამ განტოლებას აუცილებლად ექნება მეორე. ფესვი \(x =-b\) .

\(\შავი სამკუთხედი\) ფუნქცია \(f(x)\) ეწოდება პერიოდულ \(X\)-ზე, თუ რომელიმე რიცხვისთვის \(T\ne 0\) მოქმედებს შემდეგი: \(f(x)=f( x+T) \) , სადაც \(x, x+T\X-ში\) . უმცირეს \(T\)-ს, რომლისთვისაც ეს ტოლობა დაკმაყოფილებულია, ფუნქციის ძირითადი (მთავარი) პერიოდი ეწოდება.

პერიოდულ ფუნქციას აქვს \(nT\) ფორმის ნებისმიერი რიცხვი, სადაც \(n\in \mathbb(Z)\) ასევე იქნება წერტილი.

მაგალითი: ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია;
\(f(x)=\sin x\) და \(f(x)=\cos x\) ფუნქციებისთვის ძირითადი პერიოდი უდრის \(2\pi\), ფუნქციებისთვის \(f(x) )=\mathrm( tg)\,x\) და \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) ძირითადი პერიოდი უდრის \(\pi\) .

პერიოდული ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად, შეგიძლიათ მისი გრაფიკის დახატვა \(T\) სიგრძის ნებისმიერ სეგმენტზე (მთავარი პერიოდი); მაშინ მთელი ფუნქციის გრაფიკი სრულდება აგებული ნაწილის მთელი რიცხვით წერტილების მარჯვნივ და მარცხნივ გადაწევით:

\(\შავი სამკუთხედი\) \(f(x)\) ფუნქციის დომენი \(D(f)\) არის ნაკრები, რომელიც შედგება არგუმენტის \(x\) ყველა მნიშვნელობისაგან, რომლისთვისაც ფუნქციას აქვს აზრი. (განსაზღვრულია).

მაგალითი: ფუნქციას \(f(x)=\sqrt x+1\) აქვს განმარტების დომენი: \(x\in

ამოცანა 1 #6364

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

\(a\) პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა განტოლება

აქვს ერთი გამოსავალი?

გაითვალისწინეთ, რომ რადგან \(x^2\) და \(\cos x\) ლუწი ფუნქციებია, თუ განტოლებას აქვს ფესვი \(x_0\) , მას ასევე ექნება ფესვი \(-x_0\) .
მართლაც, დაე, \(x_0\) იყოს ფესვი, ანუ თანასწორობა \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)უფლება. ჩავანაცვლოთ \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

ამრიგად, თუ \(x_0\ne 0\) , მაშინ განტოლებას უკვე ექნება მინიმუმ ორი ფესვი. ამიტომ, \(x_0=0\) . შემდეგ:

ჩვენ მივიღეთ ორი მნიშვნელობა პარამეტრისთვის \(a\). გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ გამოვიყენეთ ის ფაქტი, რომ \(x=0\) არის ზუსტად საწყისი განტოლების ფესვი. მაგრამ ჩვენ არასდროს გამოგვიყენებია ის ფაქტი, რომ ის ერთადერთია. ამიტომ, თქვენ უნდა შეცვალოთ პარამეტრის \(a\) მიღებული მნიშვნელობები თავდაპირველ განტოლებაში და შეამოწმოთ რომელი კონკრეტული \(a\) ფესვი \(x=0\) იქნება ნამდვილად უნიკალური.

1) თუ \(a=0\) , მაშინ განტოლება მიიღებს \(2x^2=0\) ფორმას. ცხადია, ამ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი \(x=0\) . ამიტომ, მნიშვნელობა \(a=0\) გვერგება.

2) თუ \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას \ მოდით გადავიწეროთ განტოლება ფორმაში \ იმიტომ რომ \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), ეს \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). შესაბამისად, განტოლების მარჯვენა მხარის მნიშვნელობები (*) ეკუთვნის სეგმენტს \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

ვინაიდან \(x^2\geqslant 0\) , მაშინ განტოლების მარცხენა მხარე (*) მეტია ან ტოლია \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

ამრიგად, ტოლობა (*) შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი მხოლოდ მაშინ, როდესაც განტოლების ორივე მხარე უდრის \(\mathrm(tg)^2\,1\) . და ეს იმას ნიშნავს \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]ამიტომ, მნიშვნელობა \(a=-\mathrm(tg)\,1\) გვერგება.

პასუხი:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

ამოცანა 2 #3923

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის ფუნქციის გრაფიკი \

სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ.

თუ ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ, მაშინ ასეთი ფუნქცია კენტია, ანუ \(f(-x)=-f(x)\) მოქმედებს დომენის ნებისმიერი \(x\)-ისთვის. ფუნქციის განსაზღვრა. ამრიგად, საჭიროა იმ პარამეტრის მნიშვნელობების პოვნა, რომლებისთვისაც \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(გასწორებული) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\მარჯვნივ)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(გასწორებული)\]

ბოლო განტოლება უნდა დაკმაყოფილდეს ყველა \(x\)-ისთვის \(f(x)\-ის დომენიდან), შესაბამისად, \(\sin(2\pi a)=0 \მარჯვენა ისარი a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

პასუხი:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

ამოცანა 3 #3069

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის განტოლებას \ აქვს 4 ამონახსნი, სადაც \(f\) არის ლუწი პერიოდული ფუნქცია წერტილით \(T=\dfrac(16)3\) განსაზღვრულია მთელ რიცხვით ხაზზე და \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(დავალება აბონენტებისგან)

ვინაიდან \(f(x)\) არის ლუწი ფუნქცია, მისი გრაფიკი სიმეტრიულია ორდინატთა ღერძის მიმართ, ამიტომ, როდესაც \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . ამრიგად, როდესაც \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), და ეს არის \(\dfrac(16)3\) სიგრძის სეგმენტი \(f(x)=ax^2\) .

1) მოდით \(a>0\) . შემდეგ \(f(x)\) ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:


მაშინ იმისათვის, რომ განტოლებას ჰქონდეს 4 ამონახსნი, აუცილებელია, რომ გრაფიკმა \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) გაიაროს \(A\) წერტილში:


აქედან გამომდინარე, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \მარცხნივ[\begin(შეგროვდა)\begin(გასწორებული) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(გასწორებული)\end(შეგროვებული)\მარჯვნივ. \quad\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\ოთხი \მარცხნივ[\ დასაწყისი(შეკრებილი)\ დასაწყისი(გასწორებული) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(გასწორებული) \end( შეიკრიბა)\მართალი.\]ვინაიდან \(a>0\) , მაშინ \(a=\dfrac(18)(23)\) შესაფერისია.

2) მოდით \(ა<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


აუცილებელია, რომ გრაფიკმა \(g(x)\) გაიაროს \(B\) წერტილში: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \მარცხნივ[\begin(შეგროვდა)\begin(გასწორებული) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(გასწორებული) \end(შეგროვებული)\მარჯვნივ.\]მას შემდეგ, რაც \ (ა<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) შემთხვევა, როდესაც \(a=0\) არ არის შესაფერისი, მას შემდეგ \(f(x)=0\) ყველა \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) და განტოლებას ექნება მხოლოდ 1 ფესვი.

პასუხი:

\(a\in \ მარცხნივ\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\მარჯვნივ\)\)

ამოცანა 4 #3072

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\)-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \

აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი.

(დავალება აბონენტებისგან)

მოდით გადავიწეროთ განტოლება ფორმაში \ და განვიხილოთ ორი ფუნქცია: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) და \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
ფუნქცია \(g(x)\) არის ლუწი და აქვს მინიმალური წერტილი \(x=0\) (და \(g(0)=49\) ).
ფუნქცია \(f(x)\) \(x>0\)-ისთვის მცირდება, ხოლო \(x-ისთვის<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
მართლაც, როდესაც \(x>0\) მეორე მოდული გაიხსნება დადებითად (\(|x|=x\)), შესაბამისად, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ გაიხსნება პირველი მოდული, \(f(x)\) ტოლი იქნება. \( kx+A\)-მდე, სადაც \(A\) არის \(a\)-ის გამოხატულება და \(k\) ტოლია ან \(-9\) ან \(-3\) . როდესაც \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
ვიპოვოთ \(f\)-ის მნიშვნელობა მაქსიმალურ წერტილში: \

იმისათვის, რომ განტოლებას ჰქონდეს მინიმუმ ერთი ამონახსნი, აუცილებელია, რომ \(f\) და \(g\) ფუნქციების გრაფიკებს ჰქონდეს მინიმუმ ერთი გადაკვეთის წერტილი. ამიტომ, თქვენ გჭირდებათ: \ \\]

პასუხი:

\(a\in \(-7\)\თასი\)

ამოცანა 5 #3912

დავალების დონე: ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტოლი

იპოვეთ \(a\) პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლება \

აქვს ექვსი განსხვავებული გამოსავალი.

გავაკეთოთ ჩანაცვლება \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას \ ჩვენ თანდათან დავწერთ იმ პირობებს, რომლებშიც თავდაპირველ განტოლებას ექნება ექვსი ამონახსნი.
გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატულ განტოლებას \((*)\) შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმ ორი ამონახსნები. ნებისმიერ კუბურ განტოლებას \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) შეიძლება ჰქონდეს არაუმეტეს სამი ამონახსნი. მაშასადამე, თუ განტოლებას \((*)\) აქვს ორი განსხვავებული ამონახსნი (დადებითი!, ვინაიდან \(t\) უნდა იყოს ნულზე მეტი) \(t_1\) და \(t_2\) , მაშინ საპირისპირო მოქმედებით ჩანაცვლება, ჩვენ ვიღებთ: \[\ მარცხნივ[\ დასაწყისი (შეიკრიბა)\ დასაწყისი (გასწორებული) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(გასწორებული)\end(შეიკრიბა)\მარჯვნივ.\]ვინაიდან ნებისმიერი დადებითი რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც \(\sqrt2\) გარკვეულწილად, მაგალითად, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), მაშინ სიმრავლის პირველი განტოლება გადაიწერება ფორმაში \ როგორც უკვე ვთქვით, ნებისმიერ კუბურ განტოლებას არ აქვს სამი ამონახსნის მეტი, შესაბამისად, სიმრავლის თითოეულ განტოლებას ექნება არაუმეტეს სამი ამონახსნები. ეს ნიშნავს, რომ მთელ კომპლექტს ექნება არაუმეტეს ექვსი გამოსავალი.
ეს ნიშნავს, რომ იმისთვის, რომ თავდაპირველ განტოლებას ჰქონდეს ექვსი ამონახსნები, კვადრატულ განტოლებას \((*)\) უნდა ჰქონდეს ორი განსხვავებული ამონახსნები და თითოეულ მიღებულ კუბურ განტოლებას (ნაკრებიდან) უნდა ჰქონდეს სამი განსხვავებული ამონახსნები (და არა ერთი ამონახსნელი). ერთი განტოლება უნდა ემთხვეოდეს ნებისმიერს -მეორის გადაწყვეტილებით!)
ცხადია, თუ კვადრატულ განტოლებას \((*)\) აქვს ერთი ამონახსნი, მაშინ არ მივიღებთ საწყისი განტოლების ექვს ამონახსანს.

ამრიგად, გადაწყვეტის გეგმა ნათელი ხდება. მოდით ჩამოვწეროთ ის პირობები, რომლებიც უნდა დაკმაყოფილდეს წერტილი-პუნქტით.

1) იმისათვის, რომ განტოლებას \((*)\) ჰქონდეს ორი განსხვავებული ამონახსნი, მისი დისკრიმინანტი დადებითი უნდა იყოს: \

2) ასევე აუცილებელია, რომ ორივე ფესვი იყოს დადებითი (რადგან \(t>0\) ). თუ ორი ფესვის ნამრავლი დადებითია და მათი ჯამი დადებითია, მაშინ თავად ფესვები დადებითი იქნება. ამიტომ, თქვენ გჭირდებათ: \[\ begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end (cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

ამრიგად, ჩვენ უკვე მივაწოდეთ საკუთარ თავს ორი განსხვავებული დადებითი ფესვი \(t_1\) და \(t_2\) .

3) მოდით შევხედოთ ამ განტოლებას \ რისთვის \(t\) ექნება მას სამი განსხვავებული გამოსავალი?
განვიხილოთ ფუნქცია \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
შეიძლება ფაქტორიზაცია: \ ამიტომ მისი ნულებია: \(x=-1;2\) .
თუ ვიპოვით წარმოებულს \(f"(x)=3x^2-6x\) , მაშინ მივიღებთ ორ უკიდურეს წერტილს \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
ამიტომ, გრაფიკი ასე გამოიყურება:


ჩვენ ვხედავთ, რომ ნებისმიერი ჰორიზონტალური ხაზი \(y=k\) , სადაც \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)ჰქონდა სამი განსხვავებული გამოსავალი, აუცილებელია, რომ \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
ამრიგად, თქვენ გჭირდებათ: \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] ასევე დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ თუ რიცხვები \(t_1\) და \(t_2\) განსხვავებულია, მაშინ რიცხვები \(\log_(\sqrt2)t_1\) და \(\log_(\sqrt2)t_2\) იქნება. განსხვავებული, რაც ნიშნავს განტოლებებს \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)და \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)განსხვავებული ფესვები ექნება.
სისტემა \((**)\) შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) 1

ამრიგად, ჩვენ დავადგინეთ, რომ განტოლების ორივე ფესვი \((*)\) უნდა მდებარეობდეს \((1;4)\) ინტერვალში. როგორ დავწეროთ ეს პირობა?
ჩვენ არ ჩამოვწერთ ფესვებს აშკარად.
განვიხილოთ ფუნქცია \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . მისი გრაფიკი არის პარაბოლა ზევით ტოტებით, რომელსაც აქვს x-ღერძთან გადაკვეთის ორი წერტილი (ეს პირობა ჩავწერეთ პუნქტში 1)). როგორი უნდა იყოს მისი გრაფიკი, რომ x-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები იყოს \((1;4)\) ინტერვალში? Ისე:


ჯერ ერთი, ფუნქციის \(g(1)\) და \(g(4)\) მნიშვნელობები \(1\) და \(4\) წერტილებში უნდა იყოს დადებითი და მეორეც, წვერო. პარაბოლა \(t_0\ ) ასევე უნდა იყოს \((1;4)\) ინტერვალში. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ სისტემა: \[\ დასაწყისი (შემთხვევები) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) ყოველთვის აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი \(x=0\) . ეს ნიშნავს, რომ პრობლემის პირობების შესასრულებლად აუცილებელია განტოლება \

ჰქონდა ოთხი განსხვავებული ფესვი, ნულისაგან განსხვავებული, რაც წარმოადგენს \(x=0\-თან ერთად) არითმეტიკულ პროგრესიას.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) ლუწია, რაც ნიშნავს, რომ თუ \(x_0\) არის განტოლების ფესვი \( (*)\ ) , მაშინ \(-x_0\) ასევე იქნება მისი ფესვი. მაშინ აუცილებელია, რომ ამ განტოლების ფესვები იყოს რიცხვები, რომლებიც დალაგებულია ზრდის მიხედვით: \(-2d, -d, d, 2d\) (შემდეგ \(d>0\)). სწორედ მაშინ ეს ხუთი რიცხვი შექმნის არითმეტიკულ პროგრესიას (სხვაობით \(d\)).

იმისათვის, რომ ეს ფესვები იყოს რიცხვები \(-2d, -d, d, 2d\) , აუცილებელია, რომ რიცხვები \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) იყოს ძირები. განტოლება \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . შემდეგ, ვიეტას თეორემის მიხედვით:

მოდით გადავიწეროთ განტოლება ფორმაში \ და განვიხილოთ ორი ფუნქცია: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) და \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
ფუნქციას \(g(x)\) აქვს მაქსიმალური წერტილი \(x=0\) (და \(g_(\text(ზედა))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). ნულოვანი წარმოებული: \(x=0\) . როდესაც \(x<0\) имеем: \(g">0\) , \(x>0\)-სთვის: \(g"<0\) .
ფუნქცია \(f(x)\) \(x>0\)-ისთვის იზრდება და \(x-ისთვის<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
მართლაც, როდესაც \(x>0\) პირველი მოდული გაიხსნება დადებითად (\(|x|=x\)), შესაბამისად, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ გაიხსნება მეორე მოდული, \(f(x)\) ტოლი იქნება. \( kx+A\)-მდე, სადაც \(A\) არის \(a\)-ის გამოხატულება და \(k\) უდრის \(13-10=3\) ან \(13+10 =23\) . როდესაც \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
ვიპოვოთ \(f\)-ის მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში: \

იმისათვის, რომ განტოლებას ჰქონდეს მინიმუმ ერთი ამონახსნი, აუცილებელია, რომ \(f\) და \(g\) ფუნქციების გრაფიკებს ჰქონდეს მინიმუმ ერთი გადაკვეთის წერტილი. ამიტომ, თქვენ გჭირდებათ: \ სისტემების ამ ნაკრების გადაჭრით, ჩვენ ვიღებთ პასუხს: \\]

პასუხი:

\(a\in \(-2\)\თასი\)

განმარტება 1. ფუნქცია გამოძახებულია თუნდაც (უცნაური ), თუ თითოეულ ცვლადის მნიშვნელობასთან ერთად
მნიშვნელობა - Xასევე ეკუთვნის
და თანასწორობა მოქმედებს

ამრიგად, ფუნქცია შეიძლება იყოს ლუწი ან კენტი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი განსაზღვრის დომენი სიმეტრიულია რიცხვითი წრფის კოორდინატების წარმოშობის მიმართ (რიცხვი Xდა - Xეკუთვნის ამავე დროს
). მაგალითად, ფუნქცია
არც ლუწია და არც კენტი, რადგან მისი განმარტების სფეროა
არ არის სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ.

ფუნქცია
თუნდაც იმიტომ
სიმეტრიული წარმოშობის შესახებ და.

ფუნქცია
უცნაურია, რადგან
და
.

ფუნქცია
არ არის ლუწი და კენტი, ვინაიდან თუმცა
და არის სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ, თანასწორობები (11.1) არ არის დაკმაყოფილებული. Მაგალითად,.

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ OU, რადგან თუ წერტილი

ასევე განრიგს ეკუთვნის. კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ, რადგან თუ
ეკუთვნის გრაფიკს, შემდეგ წერტილს
ასევე განრიგს ეკუთვნის.

ლუწი თუ კენტი ფუნქციის დამტკიცებისას სასარგებლოა შემდეგი დებულებები.

თეორემა 1. ა) ორი ლუწი (კენტი) ფუნქციის ჯამი ლუწი (კენტი) ფუნქციაა.

ბ) ორი ლუწი (კენტი) ფუნქციის ნამრავლი არის ლუწი ფუნქცია.

გ) ლუწი და კენტი ფუნქციის ნამრავლი არის კენტი ფუნქცია.

დ) თუ ვ- კი ფუნქცია კომპლექტში Xდა ფუნქცია გ კომპლექტზე განსაზღვრული
, შემდეგ ფუნქცია
- თუნდაც.

დ) თუ ვ– კენტი ფუნქცია კომპლექტში Xდა ფუნქცია გ კომპლექტზე განსაზღვრული
და ლუწი (კენტი), შემდეგ ფუნქცია
– ლუწი (კენტი).

მტკიცებულება. დავამტკიცოთ, მაგალითად, ბ) და დ).

ბ) მოდით
და
- ფუნქციებიც კი. მაშინ, ამიტომ. კენტი ფუნქციების შემთხვევაც ანალოგიურად განიხილება
და
.

დ) დაე ვ თანაბარი ფუნქციაა. მერე.

თეორემის დარჩენილი დებულებები შეიძლება დადასტურდეს ანალოგიურად. თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 2. ნებისმიერი ფუნქცია
, განსაზღვრული კომპლექტში X, სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ლუწი და კენტი ფუნქციების ჯამი.

მტკიცებულება. ფუნქცია
შეიძლება ჩაიწეროს ფორმაში

.

ფუნქცია
- თუნდაც იმიტომ
და ფუნქცია
- უცნაურია, რადგან. ამრიგად,
, სად
- კი და
- უცნაური ფუნქციები. თეორემა დადასტურდა.

განმარტება 2. ფუნქცია
დაურეკა პერიოდული , თუ არის ნომერი
, ისეთი, რომ ნებისმიერი
ნომრები
და
ასევე განეკუთვნება განმარტების სფეროს
და თანასწორობები დაკმაყოფილებულია

ასეთი რიცხვი თდაურეკა პერიოდი ფუნქციები
.

განმარტება 1-დან გამომდინარეობს, რომ თუ თ- ფუნქციის პერიოდი
, შემდეგ ნომერი - თიგივე არის ფუნქციის პერიოდი
(გამოცვლის შემდეგ თზე - თთანასწორობა დაცულია). მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის გამოყენებით შეიძლება აჩვენოს, რომ თუ თ- ფუნქციის პერიოდი ვ, მაშინ
, ასევე პერიოდია. აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ ფუნქციას აქვს პერიოდი, მაშინ მას აქვს უსასრულოდ ბევრი პერიოდი.

განმარტება 3. ფუნქციის დადებითი პერიოდებიდან უმცირესს მისი ეწოდება მთავარი პერიოდი.

თეორემა 3. თუ თ- ფუნქციის ძირითადი პერიოდი ვ, მაშინ დარჩენილი პერიოდები მისი მრავლობითია.

მტკიცებულება. დავუშვათ პირიქით, ანუ არის პერიოდი ფუნქციები ვ (>0), არა მრავალჯერადი თ. შემდეგ, გაყოფა on თდანარჩენთან ერთად ვიღებთ
, სად
. Ამიტომაც

ანუ - ფუნქციის პერიოდი ვ, და
და ეს ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ თ- ფუნქციის ძირითადი პერიოდი ვ. თეორემის მტკიცება გამომდინარეობს შედეგად მიღებული წინააღმდეგობიდან. თეორემა დადასტურდა.

ცნობილია, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პერიოდულია. ძირითადი პერიოდი
და
უდრის
,
და
. ვიპოვოთ ფუნქციის პერიოდი
. დაე
- ამ ფუნქციის პერიოდი. მერე

(რადგან
.

ორორ
.

მნიშვნელობა თპირველი თანასწორობიდან განსაზღვრული, არ შეიძლება იყოს პერიოდი, რადგან ეს დამოკიდებულია X, ე.ი. არის ფუნქცია Xდა არა მუდმივი რიცხვი. პერიოდი განისაზღვრება მეორე თანასწორობიდან:
. უსასრულოდ ბევრი პერიოდია, თან
ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდი მიიღება
:
. ეს არის ფუნქციის ძირითადი პერიოდი
.

უფრო რთული პერიოდული ფუნქციის მაგალითია დირიხლეს ფუნქცია

გაითვალისწინეთ, რომ თუ თრაციონალური რიცხვია, მაშინ
და
რაციონალური რიცხვები რაციონალურია Xდა ირაციონალური როცა ირაციონალური X. Ამიტომაც

ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის თ. ამიტომ, ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი თდირიხლეს ფუნქციის პერიოდია. ნათელია, რომ ამ ფუნქციას არ აქვს ძირითადი პერიოდი, რადგან არის დადებითი რაციონალური რიცხვები, რომლებიც თვითნებურად ახლოს არიან ნულთან (მაგალითად, რაციონალური რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს არჩევით ნთვითნებურად ნულთან ახლოს).

თეორემა 4. თუ ფუნქცია ვ კომპლექტზე განსაზღვრული Xდა აქვს პერიოდი თდა ფუნქცია გ კომპლექტზე განსაზღვრული
, შემდეგ რთული ფუნქცია
ასევე აქვს პერიოდი თ.

მტკიცებულება. გვაქვს, შესაბამისად

ანუ დადასტურებულია თეორემის მტკიცება.

მაგალითად, მას შემდეგ cos x აქვს პერიოდი
, შემდეგ ფუნქციები
აქვს პერიოდი
.

განმარტება 4. ფუნქციებს, რომლებიც არ არის პერიოდული, ეწოდება არა პერიოდული .