მოცემულია სწორი წრიული ხაზი. ცილინდრისა და კონუსის გადაკვეთა

დიაგნოსტიკური სამუშაო შედგება ორი ნაწილისგან, მათ შორის 19 დავალებისგან. ნაწილი 1 შეიცავს სირთულის ძირითადი დონის 8 ამოცანას მოკლე პასუხით. ნაწილი 2 შეიცავს 4 გაზრდილი სირთულის დავალებას მოკლე პასუხით და 7 გაზრდილი და მაღალი დონის სირთულის დავალებას დეტალური პასუხით.
მათემატიკაში დიაგნოსტიკური სამუშაოს დასრულებას ეთმობა 3 საათი 55 წუთი (235 წუთი).
1-12 დავალებების პასუხები იწერება მთელი რიცხვის ან ბოლო ათობითი წილადის სახით. პასუხის ველებში ჩაწერეთ რიცხვები ნაწარმოების ტექსტში, შემდეგ კი გადაიტანეთ პასუხის ფორმა No1. 13-19 დავალებების შესრულებისას უნდა ჩაწეროთ სრული ამონახსნი და პასუხი No2 პასუხის სახით.
ყველა ფორმა უნდა იყოს შევსებული ნათელი შავი მელნით. შეგიძლიათ გამოიყენოთ გელის, კაპილარული ან შადრევანი კალმები.
დავალებების შესრულებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ მონახაზი. სამუშაოს შეფასებისას პროექტში ჩანაწერები მხედველობაში არ მიიღება.
შეჯამებულია ქულები, რომლებსაც მიიღებთ დასრულებული დავალებებისთვის.
გისურვებთ წარმატებებს!

პრობლემური პირობები

1. იპოვეთ თუ
2. ლაბორატორიაში ეკრანზე ნათურის გადიდებული გამოსახულების მისაღებად გამოიყენება შემგროვებელი ობიექტივი ძირითადი ფოკუსური სიგრძით = 30 სმ. მანძილი ლინზიდან ნათურამდე შეიძლება იცვლებოდეს 40-დან 65 სმ-მდე, ხოლო მანძილი. ობიექტივიდან ეკრანამდე - 75-დან 100 სმ-მდე.. ეკრანზე გამოსახულება ნათელი იქნება, თუ თანაფარდობა დაკმაყოფილდება. მიუთითეთ ლინზიდან რომელ მაქსიმალურ მანძილზე შეიძლება განთავსდეს ნათურა ისე, რომ მისი გამოსახულება ეკრანზე იყოს ნათელი. გამოხატეთ თქვენი პასუხი სანტიმეტრებში.
3. საავტომობილო გემი მდინარის გასწვრივ დანიშნულების ადგილამდე 300 კმ-ს გადის და გაჩერების შემდეგ ბრუნდება გაფრენის ადგილზე. იპოვეთ დენის სიჩქარე, თუ გემის სიჩქარე უძრავ წყალში არის 15 კმ/სთ, ყოფნის ხანგრძლივობაა 5 საათი და გემი ბრუნდება გაფრენიდან 50 საათის შემდეგ. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.
4. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე
5. ა) ამოხსენით განტოლება ბ) იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც მიეკუთვნება სეგმენტს
6. მოცემულია მარჯვენა წრიული კონუსი წვერით მ. კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის სამკუთხედი მწვერვალზე 120° კუთხით. მ. კონუსის გენერაცია არის . წერტილის მეშვეობით მკონუსის მონაკვეთი შედგენილია ერთ-ერთი გენერატორის პერპენდიკულარულად.
   ა) დაამტკიცეთ, რომ მიღებული სამკუთხედი განივი კვეთით ბლაგვია.
   ბ) იპოვეთ მანძილი ცენტრიდან შესახებკონუსის საფუძველი მონაკვეთის სიბრტყემდე.
7. ამოხსენით განტოლება
8. წრე ცენტრით შესახებმხარეს ეხება ABტოლფერდა სამკუთხედი ABC,გვერდის გაფართოება ACდა ფონდის გაგრძელება მზეწერტილში ნ. Წერტილი მ- ბაზის შუა მზე.
   ა) დაამტკიცეთ MN = AC.
   ბ) იპოვეთ OS,თუ სამკუთხედის გვერდები ABCუდრის 5-ს, 5-ს და 8-ს.
9. ბიზნეს პროექტი „ა“ ითვალისწინებს მასში დაბანდებული თანხების ზრდას ყოველწლიურად 34,56%-ით პირველი ორი წლის განმავლობაში და 44%-ით ყოველწლიურად მომდევნო ორი წლის განმავლობაში. პროექტი B ითვალისწინებს ზრდას მუდმივი მთელი რიცხვით ნპროცენტი ყოველწლიურად. იპოვეთ ყველაზე პატარა მნიშვნელობა ნ, რომელშიც პირველ ოთხ წელიწადში პროექტი "B" უფრო მომგებიანი იქნება, ვიდრე პროექტი "A".
10. იპოვნეთ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა , , რომელთაგან თითოეულისთვის არის განტოლებათა სისტემა აქვს უნიკალური გადაწყვეტა
11. ანა თამაშობს თამაშს: დაფაზე იწერება ორი განსხვავებული ნატურალური რიცხვი და, ორივე 1000-ზე ნაკლებია. თუ ორივე ბუნებრივია, მაშინ ანა მოძრაობს - წინა რიცხვებს ცვლის ამ ორი რიცხვით. თუ ამ რიცხვებიდან ერთი მაინც არ არის ბუნებრივი, მაშინ თამაში მთავრდება.
    ა) შეიძლება თუ არა თამაში გაგრძელდეს ზუსტად სამი ბრუნი?
    ბ) არის ორი საწყისი რიცხვი ისეთი, რომ თამაში გაგრძელდეს მინიმუმ 9 სვლით?
    გ) ანამ თამაშში პირველი ნაბიჯი გადადგა. იპოვეთ მიღებული ორი რიცხვის ნამრავლის უდიდესი შესაძლო შეფარდება ნამრავლთან

მიეცით მარჯვენა წრიული ცილინდრი, ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყე მისი ფუძის პარალელურია. როდესაც ცილინდრი იკვეთება სიბრტყით ზოგად მდგომარეობაში (ვვარაუდობთ, რომ სიბრტყე არ კვეთს ცილინდრის ფუძეებს), გადაკვეთის ხაზი არის ელიფსი, თავად მონაკვეთს აქვს ელიფსის ფორმა, მისი ჰორიზონტალური პროექცია ემთხვევა ცილინდრის ფუძის პროექცია, ხოლო წინა ასევე აქვს ელიფსის ფორმა. მაგრამ თუ სეკანტური სიბრტყე ცილინდრის ღერძთან ქმნის 45°-იან კუთხეს, მაშინ ელიფსის ფორმის მონაკვეთი პროექციულ სიბრტყეზე წრის მიერ არის დაპროექტებული, რომლისკენაც მონაკვეთი დახრილია იმავე კუთხით.

თუ ჭრის სიბრტყე კვეთს ცილინდრის გვერდით ზედაპირს და მის ერთ-ერთ ფუძეს (ნახ. 8.6), მაშინ გადაკვეთის ხაზს აქვს არასრული ელიფსის (ელიფსის ნაწილის) ფორმა. მონაკვეთის ჰორიზონტალური პროექცია ამ შემთხვევაში წრის ნაწილია (ბაზის პროექცია), ხოლო შუბლის პროექცია ელიფსის ნაწილია. სიბრტყე შეიძლება განთავსდეს ნებისმიერი საპროექციო სიბრტყის პერპენდიკულარულად, შემდეგ მონაკვეთი დაპროექტებული იქნება ამ პროექციის სიბრტყეზე, როგორც სწორი ხაზი (სანტური სიბრტყის კვალის ნაწილი).

თუ ცილინდრი იკვეთება გენერატრიქსის პარალელურად სიბრტყით, მაშინ გვერდით ზედაპირთან გადაკვეთის ხაზები სწორია, ხოლო თავად მონაკვეთს აქვს მართკუთხედის ფორმა, თუ ცილინდრი სწორია, ან პარალელოგრამი, თუ ცილინდრი დახრილია.

როგორც ცნობილია, ცილინდრიც და კონუსიც მართული ზედაპირებითაა წარმოქმნილი.

ხაზოვანი ზედაპირისა და სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი (ჭრის ხაზი) ​​ზოგად შემთხვევაში არის გარკვეული მრუდი, რომელიც აგებულია გენერატრიკულების კვეთის სიბრტყესთან გადაკვეთის წერტილებიდან.

მიეცეს სწორი წრიული კონუსი.როდესაც მას კვეთს სიბრტყე, გადაკვეთის ხაზს შეიძლება ჰქონდეს: სამკუთხედის, ელიფსის, წრის, პარაბოლის, ჰიპერბოლის ფორმა (სურ. 8.7) სიბრტყის მდებარეობიდან გამომდინარე.

სამკუთხედი მიიღება, როდესაც ჭრის სიბრტყე, რომელიც კვეთს კონუსს, გადის მის წვეროზე. ამ შემთხვევაში, გვერდით ზედაპირთან გადაკვეთის ხაზები არის კონუსის მწვერვალზე გადაკვეთა სწორი ხაზები, რომლებიც ფუძის გადაკვეთის ხაზთან ერთად წარმოქმნიან საპროექციო სიბრტყეებზე დაპროექტებულ სამკუთხედს დამახინჯებით. თუ სიბრტყე კვეთს კონუსის ღერძს, მაშინ მონაკვეთი წარმოქმნის სამკუთხედს, რომლის კუთხე წვეროსთან, რომელიც ემთხვევა კონუსის წვეროს, მაქსიმალური იქნება მოცემული კონუსის სამკუთხედის მონაკვეთებისთვის. ამ შემთხვევაში, მონაკვეთი დაპროექტებულია ჰორიზონტალურ საპროექციო სიბრტყეზე (ის არის მისი ბაზის პარალელურად) სწორი ხაზის სეგმენტით.

სიბრტყისა და კონუსის გადაკვეთა იქნება ელიფსი, თუ სიბრტყე არ არის კონუსის რომელიმე გენერატრიკის პარალელურად. ეს უდრის იმ ფაქტს, რომ თვითმფრინავი კვეთს ყველა გენერატორს (კონუსის მთელ გვერდით ზედაპირს). თუ სეკანტური სიბრტყე პარალელურია კონუსის ფუძის პარალელურად, მაშინ გადაკვეთის ხაზი არის წრე, თავად მონაკვეთი დაპროექტებულია ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეზე დამახინჯების გარეშე, ხოლო შუბლის სიბრტყეზე, როგორც სწორი ხაზის სეგმენტი.

გადაკვეთის ხაზი იქნება პარაბოლა, როდესაც ჭრის სიბრტყე პარალელურია კონუსის მხოლოდ ერთი გენერატორის. თუ ჭრის სიბრტყე პარალელურია ორი გენერატორის ერთდროულად, მაშინ გადაკვეთის ხაზი არის ჰიპერბოლა.

შეკვეცილი კონუსი მიიღება, თუ სწორი წრიული კონუსი იკვეთება ფუძის პარალელურად და კონუსის ღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყით, ხოლო ზედა ნაწილი გადაყრილია. იმ შემთხვევაში, როდესაც პროგნოზების ჰორიზონტალური სიბრტყე პარალელურია შეკვეცილი კონუსის ფუძეებთან, ეს ფუძეები პროექცია ხდება პროგნოზების ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე კონცენტრული წრეების დამახინჯების გარეშე, ხოლო შუბლის პროექცია არის ტრაპეცია. როდესაც ჩამოჭრილი კონუსი იკვეთება სიბრტყით, მისი მდებარეობიდან გამომდინარე, ამოჭრილ ხაზს შეიძლება ჰქონდეს ტრაპეციის, ელიფსის, წრის, პარაბოლის, ჰიპერბოლის ან ამ მრუდის ნაწილის ფორმა, რომლის ბოლოები დაკავშირებულია სწორი ხაზი.

V ცილინდრი = S მთავარი. ∙სთ

მაგალითი 2.მოცემულია მარჯვენა წრიული კონუსი ABC, ტოლგვერდა, BO = 10. იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

გამოსავალი

ვიპოვოთ კონუსის ფუძის რადიუსი. C=60 0, B=30 0,

მოდით OS = ა, შემდეგ BC = 2 ა. პითაგორას თეორემის მიხედვით:

პასუხი: .

მაგალითი 3. გამოთვალეთ ფიგურების მოცულობები, რომლებიც წარმოიქმნება მითითებული ხაზებით შემოსაზღვრული მბრუნავი უბნებით.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

ინტეგრაციის ლიმიტები a = 0, b = 4.

V= | =32π

Დავალებები

ვარიანტი 1

1. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთი არის კვადრატი, რომლის დიაგონალი არის 4 დმ. იპოვნეთ ცილინდრის მოცულობა.

2. ღრუ ბურთის გარე დიამეტრი 18 სმ, კედლების სისქე 3 სმ იპოვეთ ბურთის კედლების მოცულობა.

X ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება ხაზებით y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2.

ვარიანტი 2

1. სამი ბურთის რადიუსი არის 6 სმ, 8 სმ, 10 სმ. დაადგინეთ ბურთის რადიუსი, რომლის მოცულობა უდრის ამ ბურთების მოცულობების ჯამს.

2. კონუსის ფუძის ფართობია 9 სმ 2, მთლიანი ზედაპირი 24 სმ 2. იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

3. გამოთვალეთ O ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი სხეულის მოცულობა Xფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4.

საკონტროლო კითხვები:

1. დაწერეთ სხეულების მოცულობის თვისებები.

2. დაწერეთ ფორმულა Oy ღერძის გარშემო ბრუნვის სხეულის მოცულობის გამოსათვლელად.

შესავალი

საკვლევი თემის აქტუალობა.კონუსური მონაკვეთები უკვე ცნობილი იყო ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებისთვის (მაგალითად, მენეხმუსი, ძვ. წ. IV ს.); ამ მრუდების დახმარებით მოგვარდა ზოგიერთი კონსტრუქციული პრობლემა (კუბის გაორმაგება და ა.შ.), რაც მიუწვდომელი აღმოჩნდა უმარტივესი სახატავი ხელსაწყოების - კომპასებისა და სახაზავების გამოყენებისას. ჩვენამდე მოღწეულ პირველ კვლევებში ბერძნულმა გეომეტრებმა მიიღეს კონუსური მონაკვეთები ერთ-ერთ გენერატრიაზე პერპენდიკულარული ჭრის სიბრტყის დახატვით და კონუსის მწვერვალზე გახსნის კუთხის მიხედვით (ანუ გენერატრიებს შორის ყველაზე დიდი კუთხე). ერთი ღრუს), გადაკვეთის ხაზი აღმოჩნდა ელიფსი, თუ ეს კუთხე მწვავეა, პარაბოლა, თუ მართი კუთხეა და ჰიპერბოლა, თუ ბლაგვია. ამ მოსახვევებზე ყველაზე სრულყოფილი ნამუშევარი იყო აპოლონიუს პერგას კონუსური კვეთები (დაახლოებით ძვ. წ. 200 წ.). კონუსური მონაკვეთების თეორიის შემდგომი მიღწევები დაკავშირებულია მე-17 საუკუნეში შექმნასთან. ახალი გეომეტრიული მეთოდები: პროექციული (ფრანგი მათემატიკოსები ჟ. დეზარგი, ბ. პასკალი) და განსაკუთრებით კოორდინატული (ფრანგი მათემატიკოსები რ. დეკარტი, პ. ფერმა).

კონუსური მონაკვეთებისადმი ინტერესს ყოველთვის მხარს უჭერდა ის ფაქტი, რომ ეს მრუდები ხშირად გვხვდება სხვადასხვა ბუნებრივ მოვლენებში და ადამიანის საქმიანობაში. მეცნიერებაში კონუსურმა მონაკვეთებმა განსაკუთრებული მნიშვნელობა შეიძინეს მას შემდეგ, რაც გერმანელმა ასტრონომმა ი. მონაკვეთები, ერთ-ერთში, რომლის კერებიდან არის მზე. შემდეგი მაგალითები ეხება კონუსური მონაკვეთების გარკვეულ ტიპებს: პარაბოლა აღწერილია ჭურვით ან ქვით, რომელიც ჰორიზონტისკენ არის დახრილი (მრუდის სწორი ფორმა გარკვეულწილად დამახინჯებულია ჰაერის წინააღმდეგობის გამო); ზოგიერთი მექანიზმი იყენებს ელიფსურ მექანიზმებს ("ელიფსური მექანიზმები"); ჰიპერბოლა ემსახურება როგორც უკუპროპორციულობის გრაფიკს, რომელიც ხშირად შეინიშნება ბუნებაში (მაგალითად, ბოილ-მარიოტის კანონი).

სამუშაოს მიზანი:

კონუსური კვეთების თეორიის შესწავლა.

კვლევის თემა:

კონუსური სექციები.

კვლევის მიზანი:

თეორიულად შეისწავლეთ კონუსური მონაკვეთების თავისებურებები.

კვლევის ობიექტი:

კონუსური სექციები.

კვლევის საგანი:

კონუსური მონაკვეთების ისტორიული განვითარება.

1. კონუსური მონაკვეთების ფორმირება და მათი ტიპები

კონუსური მონაკვეთები არის ხაზები, რომლებიც წარმოიქმნება მარჯვენა წრიული კონუსის განყოფილებაში სხვადასხვა სიბრტყით.

გაითვალისწინეთ, რომ კონუსური ზედაპირი არის ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზის მოძრაობით, რომელიც ყოველთვის გადის ფიქსირებულ წერტილში (კონუსის წვეროზე) და მუდმივად კვეთს ფიქსირებულ მრუდს - სახელმძღვანელოს (ჩვენს შემთხვევაში, წრეს).

ამ ხაზების კლასიფიკაციით საჭრელი სიბრტყეების ადგილმდებარეობის ბუნების მიხედვით კონუსის გენერატრიკებთან შედარებით, მიიღება სამი სახის მრუდი:

I. მრუდები, რომლებიც წარმოიქმნება კონუსის ჭრით სიბრტყეებით, რომლებიც არ არიან პარალელურად არცერთ გენერატრიასთან. ასეთი მოსახვევები იქნება სხვადასხვა წრეები და ელიფსები. ამ მოსახვევებს ელიფსური მრუდები ეწოდება.

II. კონუსის მონაკვეთის მიერ წარმოქმნილი მრუდები სიბრტყეებით, რომელთაგან თითოეული პარალელურია კონუსის ერთ-ერთი გენერატორის (ნახ. 1 ბ). მხოლოდ პარაბოლები იქნება ასეთი მრუდები.

III. კონუსის მონაკვეთის მიერ წარმოქმნილი მრუდები სიბრტყეებით, რომელთაგან თითოეული პარალელურია ორი გენერატორის (ნახ. 1 გ). ასეთი მრუდები იქნება ჰიპერბოლები.

აღარ შეიძლება არსებობდეს რაიმე IV ტიპის მრუდი, რადგან არ შეიძლება იყოს კონუსის სამი გენერტრიკის პარალელურად სიბრტყე, რადგან თავად კონუსის არცერთი გენერატრიკი აღარ არის იმავე სიბრტყეში.

გაითვალისწინეთ, რომ კონუსი შეიძლება გადაიკვეთოს სიბრტყეებით ისე, რომ მონაკვეთმა წარმოქმნას ორი სწორი ხაზი. ამისათვის საჭრელი თვითმფრინავები უნდა იყოს დახატული კონუსის წვეროზე.

2. ელიფსი

კონუსური მონაკვეთების თვისებების შესასწავლად მნიშვნელოვანია ორი თეორემა:

თეორემა 1. მივცეთ სწორი წრიული კონუსი, რომელიც იშლება მისი ღერძის პერპენდიკულარული b 1, b 2, b 3 სიბრტყეებით. მაშინ კონუსის გენერატორების ყველა სეგმენტი რომელიმე წყვილ წრეს შორის (მიღებული მოცემული სიბრტყეებით მონაკვეთში) ერთმანეთის ტოლია, ე.ი. A 1 B 1 = A 2 B 2 = ა.შ. და B 1 C 1 = B 2 C 2 = და ა.შ. თეორემა 2. თუ მოცემულია სფერული ზედაპირი და მის გარეთ არსებული რაღაც S წერტილი, მაშინ S წერტილიდან სფერულ ზედაპირზე გამოყვანილი ტანგენტური სეგმენტები ერთმანეთის ტოლი იქნება, ე.ი. SA 1 =SA 2 =SA 3 და ა.შ.

2.1 ელიფსის ძირითადი თვისება

დავჭრათ სწორი წრიული კონუსი სიბრტყით, რომელიც კვეთს მის ყველა შემადგენელ ნაწილს, განყოფილებაში ვიღებთ ელიფსს. მოდით დავხატოთ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული სიბრტყე კონუსის ღერძის გავლით.

მოდით, კონუსში ჩავწეროთ ორი ბურთი ისე, რომ სიბრტყის მოპირდაპირე მხარეს მდებარე და კონუსურ ზედაპირს ეხებოდეს, თითოეული მათგანი რაღაც მომენტში შეეხოს სიბრტყეს.

დაე, ერთი ბურთი შეეხოს თვითმფრინავს F 1 წერტილში და შეეხოს კონუსს C 1 წრის გასწვრივ, ხოლო მეორე F 2 წერტილს და შეეხოს კონუსს C 2 წრის გასწვრივ.

ავიღოთ თვითნებური წერტილი P ელიფსზე.

ეს ნიშნავს, რომ მასზე გამოტანილი ყველა დასკვნა მოქმედი იქნება ელიფსის ნებისმიერი წერტილისთვის. მოდით დავხატოთ კონუსის OP-ის გენერტრიქსი და მოვნიშნოთ R 1 და R 2 წერტილები, რომლებზეც ის ეხება აგებულ ბურთებს.

დავუკავშიროთ P წერტილი F 1 და F 2 წერტილებს. მაშინ РF 1 =РR 1 და РF 2 =РR 2, ვინაიდან РF 1, РR 1 არის ტანგენტები, რომლებიც გაყვანილია P წერტილიდან ერთ ბურთზე, ხოლო РF 2, РR 2 არის ტანგენტები, რომლებიც გამოყვანილია P წერტილიდან მეორე ბურთზე (თეორემა 2 ). ორივე ტოლობის ტერმინით ვამატებით, ვხვდებით

РF 1 + РF 2 = РR 1 + РR 2 = R 1 R 2 (1)

ეს ურთიერთობა გვიჩვენებს, რომ ელიფსის თვითნებური P წერტილის მანძილების ჯამი (РF 1 და РF 2) ორ წერტილამდე F 1 და F 2 არის მუდმივი მნიშვნელობა მოცემული ელიფსისთვის (ანუ ის არ არის დამოკიდებული P წერტილის პოზიცია ელიფსზე).

წერტილებს F 1 და F 2 ეწოდება ელიფსის კერები. წერტილებს, რომლებზეც სწორი ხაზი F 1 F 2 კვეთს ელიფსს, ელიფსის წვეროები ეწოდება. წვეროებს შორის სეგმენტს ელიფსის მთავარი ღერძი ეწოდება.

გენერატრიქსის სეგმენტის R 1 R 2 სიგრძე უდრის ელიფსის ძირითად ღერძს. შემდეგ ელიფსის მთავარი თვისება ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ელიფსის თვითნებური P წერტილის მანძილების ჯამი მის ფოკუსებამდე F 1 და F 2 არის მუდმივი მნიშვნელობა მოცემული ელიფსისთვის, მისი ძირითადი ღერძის სიგრძის ტოლი. .

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ელიფსის კერები ემთხვევა, მაშინ ელიფსი არის წრე, ე.ი. წრე არის ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა.

2.2 ელიფსის განტოლება

ელიფსის განტოლების ასაგებად, ელიფსი უნდა განვიხილოთ, როგორც წერტილების ლოკუსი, რომელსაც აქვს გარკვეული თვისება, რომელიც ახასიათებს ამ ადგილს. ავიღოთ ელიფსის ძირითადი თვისება, როგორც მისი განმარტება: ელიფსი არის სიბრტყის წერტილების ადგილი, რომლისთვისაც მანძილების ჯამი ამ სიბრტყის ორ ფიქსირებულ წერტილამდე F 1 და F 2, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი, არის მუდმივი მნიშვნელობა. მისი ძირითადი ღერძის სიგრძის ტოლია.

მოდით, სეგმენტის სიგრძე F 1 F 2 = 2c, ხოლო ძირითადი ღერძის სიგრძე ტოლია 2a. ელიფსის კანონიკური განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ დეკარტეზული კოორდინატთა სისტემის საწყისს F 1 F 2 სეგმენტის შუაში და მივმართავთ Ox და Oy ღერძებს, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე 5. (თუ კერები ემთხვევა, მაშინ O ემთხვევა F 1 და F 2-ს და Ox ღერძის მიღმა შეიძლება იყოს ნებისმიერი ღერძი, რომელიც გაივლის O-ს). შემდეგ არჩეულ კოორდინატთა სისტემაში წერტილები F 1 (c, 0) და F 2 (-c, 0). ცხადია, 2a>2c, ე.ი. a>c. მოდით M(x, y) იყოს წერტილი ელიფსის კუთვნილ სიბრტყეზე. მოდით MF 1 =r 1, MF 2 =r 2. ელიფსის განმარტებით, თანასწორობა

r 1 +r 2 =2a (2) აუცილებელი და საკმარისი პირობაა M (x, y) წერტილის მდებარეობისთვის მოცემულ ელიფსზე. ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ

r 1 =, r 2 =. დავუბრუნდეთ თანასწორობას (2):

მოდით გადავიტანოთ ერთი ფესვი ტოლობის მარჯვენა მხარეს და კვადრატში:

შემცირებით, ჩვენ ვიღებთ:

წარმოგიდგენთ მსგავსებს, ვამცირებთ 4-ით და ვაშორებთ რადიკალს:

კვადრატი

გახსენით ფრჩხილები და შეამცირეთ შემდეგზე:

სად მივიღებთ:

(a 2 -c 2) x 2 +a 2 y 2 =a 2 (a 2 -c 2). (3)

გაითვალისწინეთ, რომ 2 -c 2 >0. მართლაც, r 1 +r 2 არის F 1 MF 2 სამკუთხედის ორი გვერდის ჯამი, ხოლო F 1 F 2 არის მისი მესამე გვერდი. ამიტომ, r 1 +r 2 > F 1 F 2, ან 2a>2c, ე.ი. a>c. ავღნიშნოთ 2 -c 2 =b 2. განტოლება (3) ასე გამოიყურება: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. მოდით განვახორციელოთ ტრანსფორმაცია, რომელიც მოაქვს ელიფსის განტოლებას კანონიკურ (სიტყვასიტყვით: მოდელის სახით აღებული) ფორმამდე, კერძოდ, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს 2 b 2-ზე:

(4) - ელიფსის კანონიკური განტოლება.

ვინაიდან განტოლება (4) არის (2*) განტოლების ალგებრული შედეგი, ელიფსის ნებისმიერი M წერტილის x და y კოორდინატები ასევე დააკმაყოფილებს განტოლებას (4). ვინაიდან რადიკალების მოშორებასთან დაკავშირებული ალგებრული გარდაქმნების დროს შეიძლება გამოჩნდეს „დამატებითი ფესვები“, აუცილებელია დავრწმუნდეთ, რომ ნებისმიერი წერტილი M, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (4), მდებარეობს ამ ელიფსზე. ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ, რომ r 1 და r 2 მნიშვნელობები თითოეული წერტილისთვის აკმაყოფილებს მიმართებას (2). ასე რომ, M წერტილის x და y კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას (4). y 2 მნიშვნელობის ჩანაცვლებით (4) გამოსახულებით r 1, მარტივი გარდაქმნების შემდეგ აღმოვაჩენთ, რომ r 1 =. ვინაიდან, მაშინ r 1 =. ზუსტად ანალოგიურად ვხვდებით, რომ r 2 =. ამრიგად, განხილული წერტილისთვის M r 1 =, r 2 =, ე.ი. r 1 +r 2 =2a, ამიტომ წერტილი M მდებარეობს ელიფსზე. a და b სიდიდეებს უწოდებენ ელიფსის ძირითად და მცირე ნახევარღერძებს შესაბამისად.

2.3 ელიფსის ფორმის შესწავლა მისი განტოლების გამოყენებით

მოდით დავადგინოთ ელიფსის ფორმა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით.

1. განტოლება (4) შეიცავს x და y-ს მხოლოდ ლუწი ხარისხებში, ასე რომ, თუ წერტილი (x, y) ეკუთვნის ელიფსს, მაშინ ის ასევე შეიცავს წერტილებს (x, - y), (-x, y), (- x, - y). აქედან გამომდინარეობს, რომ ელიფსი სიმეტრიულია Ox და Oy ღერძების მიმართ, ასევე O წერტილის მიმართ (0,0), რომელსაც ელიფსის ცენტრს უწოდებენ.

2. იპოვეთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. y=0 დაყენებით ვპოულობთ ორ წერტილს A 1 (a, 0) და A 2 (-a, 0), რომლებზეც Ox ღერძი კვეთს ელიფსს. x=0 (4) განტოლებაში ჩასვით ვპოულობთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს Oy ღერძთან: B 1 (0, b) და. B 2 (0, - b) A 1, A 2, B 1, B 2 წერტილებს ელიფსის წვეროები ეწოდება.

3. (4) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მარცხენა მხარეს თითოეული წევრი არ აღემატება ერთს, ე.ი. უტოლობები და ან და ადგილი აქვს. შესაბამისად, ელიფსის ყველა წერტილი დევს სწორი ხაზებით წარმოქმნილ მართკუთხედში.

4. განტოლებაში (4) არაუარყოფითი წევრთა ჯამი და უდრის ერთს. შესაბამისად, როგორც ერთი ტერმინი იზრდება, მეორეც შემცირდება, ე.ი. თუ x იზრდება, მაშინ y მცირდება და პირიქით.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ ელიფსს აქვს ნახ. 6 (ოვალური დახურული მრუდი).

გაითვალისწინეთ, რომ თუ a = b, მაშინ განტოლება (4) მიიღებს x 2 + y 2 = a 2 ფორმას. ეს არის წრის განტოლება. ელიფსის მიღება შესაძლებელია a რადიუსის მქონე წრიდან, თუ ის შეკუმშულია Oy ღერძის გასწვრივ ფაქტორებით. ასეთი შეკუმშვისას წერტილი (x; y) გადავა წერტილში (x; y 1), სადაც. წრეების განტოლებაში ჩანაცვლებით ვიღებთ ელიფსის განტოლებას: .

შემოვიღოთ კიდევ ერთი რაოდენობა, რომელიც ახასიათებს ელიფსის ფორმას.

ელიფსის ექსცენტრიულობა არის 2c ფოკუსური სიგრძის თანაფარდობა მისი ძირითადი ღერძის 2a სიგრძესთან.

ექსცენტრიულობა ჩვეულებრივ აღინიშნება e: e= მას შემდეგ, რაც გ< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

ბოლო თანასწორობიდან ადვილია ელიფსის ექსცენტრიულობის გეომეტრიული ინტერპრეტაციის მიღება. როდესაც ძალიან მცირეა, რიცხვები a და b თითქმის ტოლია, ანუ ელიფსი ახლოსაა წრესთან. თუ ის ერთთან ახლოსაა, მაშინ b რიცხვი ძალიან მცირეა a რიცხვთან შედარებით და ელიფსი ძლიერ წაგრძელებულია ძირითადი ღერძის გასწვრივ. ამრიგად, ელიფსის ექსცენტრიულობა ახასიათებს ელიფსის დრეკადობის ზომას.

3. ჰიპერბოლა

3.1 ჰიპერბოლის მთავარი თვისება

ჰიპერბოლის შესწავლით ელიფსის შესასწავლად ჩატარებული კონსტრუქციების მსგავსი კონსტრუქციების გამოყენებით, აღმოვაჩენთ, რომ ჰიპერბოლას აქვს ელიფსის მსგავსი თვისებები.

მოდით გავკვეთოთ სწორი წრიული კონუსი b სიბრტყით, რომელიც კვეთს მის ორივე სიბრტყეს, ე.ი. მისი ორი გენერატორის პარალელურად. განივი მონაკვეთი გამოიწვევს ჰიპერბოლას. დავხაზოთ ASB სიბრტყე კონუსის ST ღერძის გავლით, b სიბრტყის პერპენდიკულარულად.

კონუსში ჩავწეროთ ორი ბურთი - ერთი მის ერთ ღრუში, მეორე მეორეში ისე, რომ თითოეული მათგანი შეეხოს კონუსურ ზედაპირს და სეკანტურ სიბრტყეს. დაე, პირველი ბურთი შეეხოს b სიბრტყეს F 1 წერტილში და შეეხოს კონუსურ ზედაპირს UґVґ წრის გასწვრივ. დაე, მეორე ბურთი შეეხოს b სიბრტყეს F 2 წერტილს და შეეხოს კონუსურ ზედაპირს ულტრაიისფერი წრის გასწვრივ.

ავირჩიოთ ჰიპერბოლაზე თვითნებური წერტილი M. მასში გავავლოთ MS კონუსის გენერატრიქსი და მოვნიშნოთ d და D წერტილები, რომლებზეც ის ეხება პირველ და მეორე ბურთებს. დავუკავშიროთ M წერტილი F 1, F 2 წერტილებს, რომლებსაც ჰიპერბოლის ფოკუსებს დავარქმევთ. შემდეგ MF 1 =Md, რადგან ორივე სეგმენტი ტანგენსია პირველ ბურთზე, შედგენილი M წერტილიდან. ანალოგიურად, MF 2 =MD. მეორე ტოლობის ტერმინის გამოკლებით პირველს, მივიღებთ

MF 1 -MF 2 =Md-MD=dD,

სადაც dD არის მუდმივი მნიშვნელობა (როგორც კონუსის გენერატორი UґVґ და UV ფუძეებით), ჰიპერბოლაზე M წერტილის არჩევისგან დამოუკიდებელი. P-ით და Q-ით ავღნიშნოთ ის წერტილები, რომლებზეც სწორი ხაზი F 1 F 2 კვეთს ჰიპერბოლას. ამ P და Q წერტილებს ჰიპერბოლის წვეროები ეწოდება. სეგმენტს PQ ეწოდება ჰიპერბოლის რეალური ღერძი. ელემენტარული გეომეტრიის მსვლელობისას დამტკიცებულია, რომ dD=PQ. ამიტომ MF 1 -MF 2 =PQ.

თუ წერტილი M მდებარეობს ჰიპერბოლის ტოტზე, რომლის მახლობლად არის ფოკუსი F 1, მაშინ MF 2 -MF 1 = PQ. შემდეგ საბოლოოდ მივიღებთ MF 1 -MF 2 =PQ.

ჰიპერბოლის თვითნებური M წერტილის დაშორებებს შორის სხვაობის მოდული მისი კერებიდან F 1 და F 2 არის ჰიპერბოლის რეალური ღერძის სიგრძის ტოლი მუდმივი მნიშვნელობა.

3.2 ჰიპერბოლის განტოლება

ავიღოთ ჰიპერბოლის ძირითადი თვისება, როგორც მისი განმარტება: ჰიპერბოლა არის სიბრტყის წერტილების ადგილი, რომლისთვისაც მანძილების სხვაობის მოდული ამ სიბრტყის ორ ფიქსირებულ წერტილამდე F 1 და F 2, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი, არის მუდმივი მნიშვნელობა მისი რეალური ღერძის სიგრძის ტოლია.

მოდით, სეგმენტის სიგრძე F 1 F 2 = 2c, ხოლო რეალური ღერძის სიგრძე ტოლია 2a. კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლების გამოსატანად, ჩვენ ვირჩევთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისს F 1 F 2 სეგმენტის შუაში და მივმართავთ Ox და Oy ღერძებს, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 5. შემდეგ შერჩეულ კოორდინატთა სისტემაში წერტილები F. 1 (c, 0) და F 2 ( -s, 0). ცხადია 2ა<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 =2a (5) აუცილებელი და საკმარისი პირობაა მოცემულ ჰიპერბოლაზე M (x, y) წერტილის მდებარეობისთვის. ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ

r 1 =, r 2 =. დავუბრუნდეთ თანასწორობას (5):

ტოლობის ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ

(x+c) 2 +y 2 =4a 2 ±4a+(x-c) 2 +y 2

შემცირებით, ჩვენ ვიღებთ:

2 xc=4a 2 ±4a-2 xc

±4a=4a 2 -4 xc

a 2 x 2 -2a 2 xc+a 2 c 2 +a 2 y 2 =a 4 -2a 2 xc+x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 = a 2 (c 2 -a 2) (6)

გაითვალისწინეთ, რომ 2 -a 2 >0-ით. ავღნიშნოთ c 2 -a 2 =b 2 . განტოლება (6) ასე გამოიყურება: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2. მოდით შევასრულოთ ტრანსფორმაცია, რომელიც ჰიპერბოლის განტოლებას კანონიკურ ფორმამდე მიიყვანს, კერძოდ, განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ 2 b 2-ზე: (7) - ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება, a და b სიდიდეები არის ჰიპერბოლის რეალური და წარმოსახვითი ნახევრადღერძი, შესაბამისად.

უნდა დავრწმუნდეთ, რომ (5*) განტოლების ალგებრული გარდაქმნებით მიღებულ განტოლებას (7) არ აქვს ახალი ფესვები. ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ, რომ M ყოველი წერტილისთვის, რომელთა კოორდინატები x და y აკმაყოფილებს განტოლებას (7), მნიშვნელობები r 1 და r 2 აკმაყოფილებენ მიმართებას (5). ელიფსის ფორმულის გამოყვანისას მიღებული არგუმენტების მსგავსი არგუმენტების განხორციელებისას ვპოულობთ შემდეგ გამონათქვამებს r 1 და r 2-სთვის:

ამრიგად, განსახილველი M წერტილისთვის გვაქვს r 1 -r 2 =2a და, შესაბამისად, ის მდებარეობს ჰიპერბოლაზე.

3.3 ჰიპერბოლის განტოლების შესწავლა

ახლა ვცადოთ, განტოლების (7) გათვალისწინებით, მივიღოთ იდეა ჰიპერბოლის ადგილმდებარეობის შესახებ.
1. უპირველეს ყოვლისა, განტოლება (7) აჩვენებს, რომ ჰიპერბოლა სიმეტრიულია ორივე ღერძის მიმართ. ეს აიხსნება იმით, რომ მრუდის განტოლება მოიცავს მხოლოდ კოორდინატების ლუწი ძალას. 2. ახლა აღვნიშნოთ სიბრტყის არე, სადაც მრუდი იქნება. ჰიპერბოლის განტოლებას, რომელიც ამოხსნილია y-ის მიმართ, აქვს ფორმა:

ეს გვიჩვენებს, რომ y ყოველთვის არსებობს, როცა x 2? a 2. ეს ნიშნავს რომ x-ზე? a და x? - a ორდინატი y იქნება რეალური, ხოლო - a

გარდა ამისა, როგორც x იზრდება (და a უფრო დიდია), ასევე გაიზრდება y ორდინატი მუდმივად (კერძოდ, აქედან ირკვევა, რომ მრუდი არ შეიძლება იყოს ტალღოვანი, ანუ, როდესაც x აბსციზა იზრდება, y ორდინატი ან იზრდება ან მცირდება).

H. ჰიპერბოლის ცენტრი არის წერტილი, რომლის მიმართაც ჰიპერბოლის თითოეულ წერტილს აქვს მასზე სიმეტრიული წერტილი. წერტილი O(0,0), საწყისი, რაც შეეხება ელიფსს, არის ჰიპერბოლის ცენტრი, რომელიც განისაზღვრება კანონიკური განტოლებით. ეს ნიშნავს, რომ ჰიპერბოლის თითოეულ წერტილს აქვს სიმეტრიული წერტილი ჰიპერბოლაზე O წერტილის მიმართ. ეს გამომდინარეობს ჰიპერბოლის სიმეტრიიდან Ox და Oy ღერძებთან მიმართებაში. ჰიპერბოლის თითოეულ აკორდს, რომელიც გადის მის ცენტრში, ეწოდება ჰიპერბოლის დიამეტრს.

4. ჰიპერბოლის გადაკვეთის წერტილებს იმ წრფესთან, რომელზედაც მდებარეობს მისი კერები, ჰიპერბოლის წვეროები, ხოლო მათ შორის სეგმენტი ჰიპერბოლის რეალური ღერძი. ამ შემთხვევაში, რეალური ღერძი არის Ox ღერძი. გაითვალისწინეთ, რომ ჰიპერბოლის რეალურ ღერძს ხშირად უწოდებენ სეგმენტს 2a და თავად სწორ ხაზს (Ox ღერძი), რომელზეც ის მდებარეობს.

ვიპოვოთ ჰიპერბოლის გადაკვეთის წერტილები Oy ღერძთან. Oy ღერძის განტოლება არის x=0. x = 0 განტოლებით (7) ჩანაცვლებით, აღმოვაჩენთ, რომ ჰიპერბოლას არ აქვს გადაკვეთის წერტილები Oy ღერძთან. ეს გასაგებია, რადგან 2a სიგანის ზოლში, რომელიც ფარავს Oy ღერძს, არ არის ჰიპერბოლის წერტილები.

ჰიპერბოლის რეალური ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზს, რომელიც გადის მის ცენტრში, ჰიპერბოლის წარმოსახვითი ღერძი ეწოდება. ამ შემთხვევაში ის ემთხვევა Oy ღერძს. ამრიგად, ჰიპერბოლის განტოლებაში (7) x 2 და y 2 ტერმინების მნიშვნელები შეიცავს ჰიპერბოლის რეალური და წარმოსახვითი ნახევრადღერძის კვადრატებს.

5. ჰიპერბოლა კვეთს y = kx წრფეს k-ზე< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

მტკიცებულება

ჰიპერბოლისა და სწორი ხაზის y = kx გადაკვეთის წერტილების კოორდინატების დასადგენად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა.

აღმოფხვრის y, ჩვენ მივიღებთ

ან b 2 -k 2 a 2 0-სთვის, ანუ k-სთვის მიღებულ განტოლებას და, შესაბამისად, სისტემას ამონახსნები არ აქვს.

y= და y= განტოლებით წრფეებს ჰიპერბოლის ასიმპტოტები ეწოდება.

b 2 -k 2 a 2 >0 ანუ k-სთვის< система имеет два решения:

შესაბამისად, ყოველი სწორი ხაზი, რომელიც გადის საწყისზე, დახრილობით k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. ჰიპერბოლის ოპტიკური თვისება: ჰიპერბოლის ერთი ფოკუსიდან გამომავალი ოპტიკური სხივები, მისგან არეკლილი, თითქოს მეორე ფოკუსიდან მოდის.

ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა არის 2c ფოკუსური სიგრძის შეფარდება მისი რეალური ღერძის 2a სიგრძესთან? = ვინაიდან c > a, მაშინ e > 1, რაც ნიშნავს, რომ ჰიპერბოლის კერები, როგორც ელიფსის შემთხვევაში, არის მდებარეობს მრუდის შიგნით,
იმათ. მისი ჩაზნექილი მხრიდან.

3.4 კონიუგატური ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლასთან ერთად (7) განიხილება ეგრეთ წოდებული ჰიპერბოლის კონიუგატი. კონიუგატური ჰიპერბოლა განისაზღვრება კანონიკური განტოლებით.

ნახ. 10 გვიჩვენებს ჰიპერბოლას (7) და მის კონიუგატ ჰიპერბოლას. კონიუგატ ჰიპერბოლას აქვს იგივე ასიმპტოტები, რაც მოცემულს, მაგრამ F 1 (0, c),

4. პარაბოლა

4.1 პარაბოლას ძირითადი თვისება

მოდით დავადგინოთ პარაბოლის ძირითადი თვისებები. მოდით გავკვეთოთ სწორი წრიული კონუსი S წვერით მისი ერთ-ერთი გენერატორის პარალელურად. განივი მონაკვეთში ვიღებთ პარაბოლას. მოდით დავხატოთ სიბრტყე ASB კონუსის ST ღერძის გავლით, სიბრტყეზე პერპენდიკულარული (სურ. 11). მასში მოთავსებული გენერატრიქსი SA იქნება თვითმფრინავის პარალელურად. მოდით ჩავწეროთ კონუსში სფერული ზედაპირი, ტანგენსი კონუსზე ულტრაიისფერი წრის გასწვრივ და ტანგენსი F წერტილის სიბრტყეზე. მოდით გავავლოთ სწორი ხაზი F წერტილის გავლით SA გენერატრიქსის პარალელურად. მოდი, მისი გადაკვეთის წერტილი SB გენერატრიქსთან ავღნიშნოთ P-ით. F წერტილს ეწოდება პარაბოლის ფოკუსი, P წერტილი არის მისი წვერო და სწორი ხაზი PF, რომელიც გადის წვეროზე და ფოკუსზე (და პარალელურად გენერატრიქსის SA. ) ეწოდება პარაბოლის ღერძი. პარაბოლას არ ექნება მეორე წვერო - PF ღერძის გადაკვეთის წერტილი SA გენერატრიქსთან: ეს წერტილი "მიდის უსასრულობამდე". მოდით ვუწოდოთ დირექტიკოსი (ითარგმნება როგორც "მეგზური") სიბრტყის გადაკვეთის წრფე q 1 q 2 იმ სიბრტყესთან, რომელშიც დევს წრე UV. აიღეთ თვითნებური წერტილი M პარაბოლაზე და შეაერთეთ იგი კონუსის S წვეროსთან. სწორი ხაზი MS ეხება ბურთს UV წრეზე მდებარე D წერტილში. დავუკავშიროთ M წერტილი F ფოკუსს და პერპენდიკულარული MK ჩამოვწიოთ M წერტილიდან მიმართულებამდე. შემდეგ გამოდის, რომ პარაბოლის თვითნებური M წერტილის მანძილი ფოკუსამდე (MF) და მიმართულებამდე (MK) ტოლია ერთმანეთის (პარაბოლის მთავარი თვისება), ე.ი. MF=MK.

დადასტურება: MF=MD (როგორც ბურთის ტანგენტები ერთი წერტილიდან). კონუსის რომელიმე გენერატრიკასა და ST ღერძს შორის კუთხე ავღნიშნოთ c-ით. მოდით გავაპროექტოთ MD და MK სეგმენტები ST ღერძზე. სეგმენტი MD ქმნის პროექციას ST ღერძზე MDcosc-ის ტოლი, ვინაიდან MD დევს კონუსის გენერატრიქსზე; სეგმენტი MK ქმნის პროექციას ST ღერძზე MKsosc-ის ტოლი, ვინაიდან MK სეგმენტი პარალელურია გენერატრიქსის SA-სთან. (ნამდვილად, მიმართულება q 1 q 1 არის ASB სიბრტყის პერპენდიკულარული. შესაბამისად, სწორი ხაზი PF კვეთს დირექტიკას L წერტილში სწორი კუთხით. მაგრამ სწორი ხაზები MK და PF დევს იმავე სიბრტყეში, და MK ასევე არის მიმართულების პერპენდიკულარული). ორივე სეგმენტის MK და MD პროგნოზები ST ღერძზე ერთმანეთის ტოლია, რადგან მათი ერთი ბოლო - წერტილი M - საერთოა, ხოლო დანარჩენი ორი D და K დევს ST ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში (ნახ.) . შემდეგ MDcosc = MKcosc ან MD = MK. ამიტომ MF=MK.

საკუთრება 1.(პარაბოლის ფოკალური თვისება).

მანძილი პარაბოლის ნებისმიერი წერტილიდან მთავარი აკორდის შუა ნაწილამდე უდრის მის მანძილს მიმართულებამდე.

მტკიცებულება.

წერტილი F არის სწორი ხაზის QR და მთავარი აკორდის გადაკვეთის წერტილი. ეს წერტილი დევს Oy სიმეტრიის ღერძზე. მართლაც, სამკუთხედები RNQ და ROF ტოლია, როგორც მართკუთხა სამკუთხედები

სამკუთხედები დაჭრილი ფეხებით (NQ=OF, OR=RN). ამიტომ, რაც არ უნდა ავიღოთ N წერტილი, მისგან აგებული სწორი ხაზი QR გადაკვეთს მთავარ აკორდს მის შუა F-ში. ახლა ცხადია, რომ სამკუთხედი FMQ ტოლფერდაა. მართლაც, სეგმენტი MR არის ამ სამკუთხედის როგორც მედიანა, ასევე სიმაღლე. აქედან გამომდინარეობს, რომ MF=MQ.

საკუთრება 2.(პარაბოლის ოპტიკური თვისება).

პარაბოლას ყოველი ტანგენსი ქმნის თანაბარ კუთხეებს ფოკუსური რადიუსით, რომელიც მიზიდულია მიზიდულობის წერტილიდან და სხივი, რომელიც გადის ტანგენციის წერტილიდან და თანამიმართულებით ღერძთან (ან, პარაბოლიდან არეკლილი ერთი ფოკუსიდან გამომავალი სხივები პარალელურად წავა. ღერძამდე).

მტკიცებულება. N წერტილისთვის, რომელიც დევს პარაბოლაზე, მოქმედებს ტოლობა |FN|=|NH|, ხოლო N წერტილისთვის, რომელიც მდებარეობს პარაბოლის შიდა რეგიონში, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, ანუ წერტილი M" დევს პარაბოლის გარე რეგიონში. ამრიგად, მთელი სწორი ხაზი l, გარდა M წერტილისა, დევს გარე რეგიონში, ანუ პარაბოლის შიდა რეგიონი დევს l-ის ერთ მხარეს, რაც ნიშნავს, რომ l არის პარაბოლის ტანგენსი. ეს იძლევა პარაბოლის ოპტიკური თვისების დადასტურებას: კუთხე 1 უდრის კუთხე 2-ს, ვინაიდან l არის FMC კუთხის ბისექტორი.

4.2 პარაბოლის განტოლება

პარაბოლის ძირითადი თვისებიდან გამომდინარე, ჩვენ ვაყალიბებთ მის განმარტებას: პარაბოლა არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთაგან თითოეული თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილისგან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი და მოცემული სწორი ხაზი, რომელსაც ეწოდება მიმართულება. . მანძილი F ფოკუსიდან დირექტიკულამდე ეწოდება პარაბოლის პარამეტრს და აღინიშნება p (p > 0).

პარაბოლას განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას Oxy ისე, რომ Ox ღერძი გაივლის ფოკუსს F ფოკუსში, პერპენდიკულარული მიმართულებით, მიმართულებიდან F-ის მიმართულებით, ხოლო O კოორდინატების საწყისი მდებარეობს შუაში. ფოკუსი და მიმართულება (სურ. 12). არჩეულ სისტემაში ფოკუსი არის F(, 0), ხოლო დირექტივის განტოლებას აქვს ფორმა x = -, ან x + = 0. მოდით, m (x, y) იყოს პარაბოლის თვითნებური წერტილი. დავუკავშიროთ M წერტილი F-ს. დახაზეთ MH სეგმენტი მიმართულების პერპენდიკულურად. პარაბოლის განმარტების მიხედვით MF = MN. ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით ვხვდებით:

მაშასადამე, განტოლების ორივე მხარის კვადრატში ვიღებთ

იმათ. (8) განტოლებას (8) ეწოდება პარაბოლის კანონიკური განტოლება.

4.3 პარაბოლის ფორმების შესწავლა მისი განტოლების გამოყენებით

1. (8) განტოლებაში y ცვლადი ჩანს ლუწი ხარისხით, რაც ნიშნავს, რომ პარაბოლა სიმეტრიულია Ox ღერძის მიმართ; Ox ღერძი არის პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი.

2. ვინაიდან c > 0, (8)-დან გამომდინარეობს, რომ x>0. შესაბამისად, პარაბოლა მდებარეობს Oy ღერძის მარჯვნივ.

3. მოდით x = 0, შემდეგ y = 0. ამიტომ პარაბოლა გადის საწყისზე.

4. როგორც x იზრდება განუსაზღვრელი ვადით, ასევე იზრდება y მოდული განუსაზღვრელი ვადით. პარაბოლას y 2 =2 px აქვს 13-ზე ნაჩვენები ფორმა (ფორმა). O წერტილს (0; 0) ეწოდება პარაბოლის წვერო, სეგმენტს FM = r ეწოდება M წერტილის ფოკუსური რადიუსი. განტოლებები y 2. = -2 px, x 2 = - 2 py, x 2 =2 py (p>0) ასევე განსაზღვრავს პარაბოლებს.

1.5. კონუსური მონაკვეთების დირექტორული საკუთრება .

აქ ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ ყოველი არაწრიული (არადეგენერაციული) კონუსური მონაკვეთი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც M წერტილების ერთობლიობა, რომ MF მანძილის თანაფარდობა ფიქსირებული წერტილიდან F დაშორება MP ფიქსირებული ხაზიდან d, რომელიც არ გადის. წერტილი F უდრის e მუდმივ მნიშვნელობას: სადაც F - კონუსური მონაკვეთის ფოკუსი, სწორი ხაზი d არის მიმართულება, ხოლო შეფარდება e არის ექსცენტრიულობა. (თუ წერტილი F ეკუთვნის d წრფეს, მაშინ პირობა განსაზღვრავს წერტილთა ერთობლიობას, რომელიც არის წყვილი წრფეები, ე. კონუსი, რომელიც წარმოიქმნება l წრფის შემობრუნებით, რომელიც კვეთს მას, p სწორი ხაზის O წერტილში, რომელიც ქმნის b კუთხეს l-თან.< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

კონუსში ჩავწეროთ ბურთი K, F წერტილის p სიბრტყის ტანგენსი და S წრის გასწვრივ კონუსზე ტანგენსი. p სიბრტყის გადაკვეთის წრფეს S წრის სიბრტყეს y სიბრტყესთან d-ით აღვნიშნავთ.

ახლა ჩვენ ვაკავშირებთ თვითნებურ M წერტილს, რომელიც მდებარეობს p სიბრტყისა და კონუსის გადაკვეთის A წრფეზე კონუსის O წვეროსთან და F წერტილთან და პერპენდიკულარულ MP-ს M-დან დ სწორ ხაზამდე ვამცირებთ; E-ით ასევე ავღნიშნოთ კონუსის გენერატრიქსის MO გადაკვეთის წერტილი S წრესთან.

ამ შემთხვევაში, MF = ME, როგორც ორი ტანგენტის სეგმენტები K ბურთის მიმართ, რომელიც გამოყვანილია M წერტილიდან.

გარდა ამისა, სეგმენტი ME ქმნის მუდმივ კუთხეს b კონუსის p ღერძით (ანუ M წერტილის არჩევისგან დამოუკიდებლად), ხოლო სეგმენტი MP ქმნის მუდმივ კუთხეს c; შესაბამისად, ამ ორი სეგმენტის პროგნოზები p ღერძზე შესაბამისად ტოლია ME cos b და MP cos c.

მაგრამ ეს პროგნოზები ემთხვევა, რადგან სეგმენტებს ME და MP აქვთ საერთო საწყისი M, და მათი ბოლოები მდებარეობს y სიბრტყეში p ღერძის პერპენდიკულარულად.

მაშასადამე, ME cos b = MP cos c, ან, ვინაიდან ME = MF, MF cos b = MP cos c, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ

ასევე ადვილია იმის ჩვენება, რომ თუ p სიბრტყის M წერტილი კონუსს არ ეკუთვნის, მაშინ. ამრიგად, მარჯვენა წრიული კონუსის თითოეული მონაკვეთი შეიძლება აღიწეროს, როგორც სიბრტყის წერტილების ნაკრები, რომლისთვისაც. მეორეს მხრივ, b და c კუთხეების მნიშვნელობების შეცვლით, ექსცენტრიულობას შეგვიძლია მივცეთ ნებისმიერი მნიშვნელობა e > 0; გარდა ამისა, მსგავსების მოსაზრებებიდან ძნელი არ არის იმის გაგება, რომ მანძილი FQ ფოკუსიდან მიმართულებამდე პირდაპირპროპორციულია K ბურთის r რადიუსის (ან თვითმფრინავის d დაშორება O წვეროდან. კონუსი). შეიძლება აჩვენოს, რომ ამგვარად, d მანძილის სათანადო არჩევით, ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ FQ მანძილის ნებისმიერი მნიშვნელობა. მაშასადამე, M წერტილების თითოეული ნაკრები, რომლისთვისაც მანძილების თანაფარდობა M-დან ფიქსირებულ F წერტილამდე და დ ფიქსირებულ სწორ ხაზთან აქვს მუდმივი მნიშვნელობა, შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც მრუდი, რომელიც მიღებულია სიბრტყით მარჯვენა წრიული კონუსის მონაკვეთზე. . ამრიგად, დადასტურებულია, რომ (არადეგენერაციული) კონუსური მონაკვეთები ასევე შეიძლება განისაზღვროს ამ პუნქტში განხილული თვისებით.

კონუსური მონაკვეთების ამ თვისებას მათ უწოდებენ სარეჟისორო ქონება. ნათელია, რომ თუ c > b, მაშინ ე< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. მეორე მხრივ, ადვილი მისახვედრია, რომ თუ β > b, მაშინ სიბრტყე p კვეთს კონუსს დახურული შემოსაზღვრული ხაზის გასწვრივ; თუ β = b, მაშინ p სიბრტყე კვეთს კონუსს შეუზღუდავი ხაზის გასწვრივ; თუ შიგნით< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

კონუსური მონაკვეთი, რომლისთვისაც ე< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 ეწოდება ჰიპერბოლას. ელიფსები ასევე მოიცავს წრეს, რომლის დაზუსტება შეუძლებელია სარეჟისორო საკუთრებით; ვინაიდან წრეზე თანაფარდობა ხდება 0 (რადგან ამ შემთხვევაში β = 90є), პირობითად ითვლება, რომ წრე არის კონუსური მონაკვეთი ექსცენტრიულობით 0.

6. ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა, როგორც კონუსური მონაკვეთები

კონუსური მონაკვეთის ელიფსის ჰიპერბოლა

ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა მენეხმუსმა, რომელმაც აღმოაჩინა ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა, განსაზღვრა ისინი, როგორც წრიული კონუსის მონაკვეთები ერთ-ერთი გენერატრიკის პერპენდიკულარული სიბრტყით. მან მიღებულ მოსახვევებს უწოდა მწვავე, მართკუთხა და ბლაგვი კონუსების მონაკვეთები, რაც დამოკიდებულია კონუსის ღერძულ კუთხზე. პირველი, როგორც ქვემოთ დავინახავთ, არის ელიფსი, მეორე არის პარაბოლა, მესამე არის ჰიპერბოლის ერთი ტოტი. სახელები "ელიფსი", "ჰიპერბოლა" და "პარაბოლა" შემოიღო აპოლონიუსმა. თითქმის მთლიანად (8 წიგნიდან 7) ჩვენამდე მოაღწია აპოლონიუსის ნაშრომმა „კონუსური კვეთების შესახებ“. ამ ნაშრომში აპოლონიუსი განიხილავს კონუსის ორივე ნახევარს და კვეთს კონუსს სიბრტყეებთან, რომლებიც აუცილებლად არ არიან პერპენდიკულარული ერთ-ერთი გენერატრიქსის მიმართ.

თეორემა.ნებისმიერი სწორი წრიული კონუსის სიბრტყით მოჭრით (რომელიც არ გადის მის წვეროზე), დგინდება მრუდი, რომელიც შეიძლება იყოს მხოლოდ ჰიპერბოლა (სურ. 4), პარაბოლა (სურ. 5) ან ელიფსი (სურ. 6). უფრო მეტიც, თუ სიბრტყე კვეთს კონუსის მხოლოდ ერთ სიბრტყეს და დახურულ მრუდის გასწვრივ, მაშინ ეს მრუდი არის ელიფსი; თუ სიბრტყე კვეთს მხოლოდ ერთ სიბრტყეს ღია მრუდის გასწვრივ, მაშინ ეს მრუდი არის პარაბოლა; თუ ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ორივე სიბრტყეს, მაშინ განყოფილებაში წარმოიქმნება ჰიპერბოლა.

ამ თეორემის ელეგანტური მტკიცებულება 1822 წელს შემოგვთავაზა დანდელინის მიერ, რომელმაც გამოიყენა სფეროები, რომლებსაც ახლა ჩვეულებრივ დანდელინის სფეროებს უწოდებენ. განვიხილოთ ეს მტკიცებულება.

მოდით, კონუსში ჩავწეროთ ორი სფერო, სხვადასხვა მხრიდან შევეხოთ განყოფილების P სიბრტყეს. F1-ით და F2-ით ავღნიშნოთ ამ სიბრტყის შეხების წერტილები სფეროებთან. ავიღოთ P სიბრტყით კონუსის მონაკვეთის წრფეზე თვითნებური წერტილი M. M-ზე გამავალი კონუსის გენერატრიქსზე აღვნიშნავთ k1 და k2 წრეებზე მდებარე P1 და P2 წერტილებს, რომელთა გასწვრივ სფეროები ეხება კონუსს.

ნათელია, რომ MF1=MP1 როგორც M-დან გამომავალი პირველი სფეროს ორი ტანგენტის სეგმენტები; ანალოგიურად, MF2=MP2. ამიტომ MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = Р1Р2. P1P2 სეგმენტის სიგრძე ერთნაირია ჩვენი მონაკვეთის M ყველა წერტილისთვის: ეს არის შეკვეცილი კონუსის გენერაცია, რომელიც შემოიფარგლება პარალელური სიბრტყეებით 1 და 11, რომელშიც დევს წრეები k1 და k2. შესაბამისად, კონუსის მონაკვეთის ხაზი P სიბრტყით არის ელიფსი F1 და F2 კერებით. ამ თეორემის მართებულობა ასევე შეიძლება დადგინდეს ზოგადი პოზიციიდან გამომდინარე, რომ მეორე რიგის ზედაპირის გადაკვეთა სიბრტყესთან არის მეორე რიგის წრფე.

ლიტერატურა

1. ატანასიანი ლ.ს., ბაზილევი ვ.ტ. გეომეტრია. 2 ნაწილად ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ფიზიკა-მათემატიკის სტუდენტებისთვის. პედ. In - ამხანაგი-მ.: განმანათლებლობა, 1986 წ.

2. ბაზილევი ვ.ტ. და სხვა.გეომეტრია. სახელმძღვანელო სახელმძღვანელო ფიზიკის 1 კურსის სტუდენტებისთვის. - ხალიჩა. ფაკ-ტოვ პედ. in. - ამხანაგი-მ.: განმანათლებლობა, 1974 წ.

3. პოგორელოვი ა.ვ. გეომეტრია. სახელმძღვანელო 7-11 კლასებისთვის. საშ. სკოლა - მე-4 გამოცემა - მ.: განათლება, 1993 წ.

4. მათემატიკის ისტორია უძველესი დროიდან XIX საუკუნის დასაწყისამდე. იუშკევიჩი A.P. - მ.: ნაუკა, 1970 წ.

5. ბოლტიანსკი ვ.გ. ელიფსის, ჰიპერბოლისა და პარაბოლის ოპტიკური თვისებები. // კვანტური. - 1975. - No12. - თან. 19 - 23.

6. ეფრემოვი ნ.ვ. მოკლე კურსი ანალიტიკური გეომეტრიაში. - M: მეცნიერება, მე-6 გამოცემა, 1967. - 267გვ.

მსგავსი დოკუმენტები

კონუსური მონაკვეთების კონცეფცია. კონუსური მონაკვეთები არის სიბრტყეებისა და კონუსების კვეთა. კონუსური მონაკვეთების სახეები. კონუსური მონაკვეთების მშენებლობა. კონუსური მონაკვეთი არის წერტილების ლოკუსი, რომელიც აკმაყოფილებს მეორე რიგის განტოლებას.

რეზიუმე, დამატებულია 10/05/2008


აპოლონიუსის "კონუსური კვეთები". ბრუნვის მართკუთხა კონუსის მონაკვეთის მრუდის განტოლების წარმოშობა. პარაბოლის, ელიფსის და ჰიპერბოლის განტოლების წარმოშობა. კონუსური მონაკვეთების უცვლელობა. კონუსური მონაკვეთების თეორიის შემდგომი განვითარება აპოლონიუსის ნაშრომებში.

რეზიუმე, დამატებულია 02/04/2010


კონუსის კონცეფცია და ისტორიული ფონი, მისი ელემენტების მახასიათებლები. კონუსის ფორმირების თავისებურებები და კონუსური მონაკვეთების ტიპები. დანდელინის სფეროს მშენებლობა და მისი პარამეტრები. კონუსური მონაკვეთების თვისებების გამოყენება. კონუსის ზედაპირის ფართობის გამოთვლები.

პრეზენტაცია, დამატებულია 04/08/2012


მრუდის მათემატიკური კონცეფცია. ზოგადი მეორე რიგის მრუდის განტოლება. წრის, ელიფსის, ჰიპერბოლისა და პარაბოლის განტოლებები. ჰიპერბოლის სიმეტრიის ღერძი. პარაბოლის ფორმის შესწავლა. მესამე და მეოთხე რიგის მრუდები. Anesi curl, დეკარტის ფოთოლი.

ნაშრომი, დამატებულია 14/10/2011


პოლიედრების მონაკვეთების აგების სხვადასხვა მეთოდების მიმოხილვა და მახასიათებლები, მათი ძლიერი და სუსტი მხარეების დადგენა. დამხმარე მონაკვეთების მეთოდი, როგორც უნივერსალური მეთოდი პოლიედრების მონაკვეთების ასაგებად. საკვლევ თემაზე ამოცანების გადაჭრის მაგალითები.

პრეზენტაცია, დამატებულია 19/01/2014


ზოგადი მეორე რიგის მრუდის განტოლება. ელიფსის, წრის, ჰიპერბოლისა და პარაბოლის განტოლებების შედგენა. ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა. პარაბოლას ფოკუსი და მიმართულება. ზოგადი განტოლების გარდაქმნა კანონიკურ ფორმაში. მრუდის ტიპის დამოკიდებულება ინვარიანტებზე.

პრეზენტაცია, დამატებულია 11/10/2014


სამკუთხედის გეომეტრიის ელემენტები: იზოგონალური და იზოტომური კონიუგაცია, ღირსშესანიშნავი წერტილები და ხაზები. სამკუთხედთან დაკავშირებული კონუსები: კონუსური მონაკვეთების თვისებები; სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული და მასში ჩაწერილი კონუსები; განაცხადი პრობლემის გადასაჭრელად.

კურსის სამუშაო, დამატებულია 06/17/2012


ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა, როგორც მეორე რიგის მრუდები, რომლებიც გამოიყენება უმაღლეს მათემატიკაში. მეორე რიგის მრუდის კონცეფცია არის ხაზი სიბრტყეზე, რომელიც ზოგიერთ დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება განტოლებით. პასკამპლის თეორემა და ბრიანშონის თეორემა.

რეზიუმე, დამატებულია 01/26/2011


კუბის გაორმაგების პრობლემის წარმოშობის შესახებ (ანტიკურობის ხუთი ცნობილი პრობლემადან ერთ-ერთი). პრობლემის გადაჭრის პირველი ცნობილი მცდელობა, ტარენტუმის არქიტას გადაწყვეტა. პრობლემის გადაჭრა ძველ საბერძნეთში არქიტასის შემდეგ. ხსნარები მენექმუსის და ერატოსთენეს კონუსური მონაკვეთების გამოყენებით.

რეზიუმე, დამატებულია 04/13/2014


კონუსის სექციების ძირითადი ტიპები. განყოფილება, რომელიც წარმოიქმნება სიბრტყით, რომელიც გადის კონუსის ღერძზე (ღერძულზე) და მის მწვერვალზე (სამკუთხედი). მონაკვეთის ფორმირება ღერძის პარალელურად (პარაბოლა), პერპენდიკულარული (წრე) და არა პერპენდიკულარული (ელიფსი) სიბრტყით.

გაკვეთილის ტექსტის ტრანსკრიპტი:

ჩვენ ვაგრძელებთ სტერეომეტრიის განყოფილების "როტაციის სხეულების" შესწავლას.

ბრუნვის ორგანოებია: ცილინდრები, კონუსები, ბურთები.

გავიხსენოთ განმარტებები.

სიმაღლე არის მანძილი ფიგურის ან სხეულის ზემოდან ფიგურის (სხეულის) ფუძემდე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ფიგურის ზედა და ბაზას და მასზე პერპენდიკულარულია.

დაიმახსოვრე, წრის ფართობის საპოვნელად საჭიროა პი-ის გამრავლება რადიუსის კვადრატზე.

წრის ფართობი ტოლია.

გავიხსენოთ, როგორ ვიპოვოთ წრის ფართობი დიამეტრის ცოდნით? იმიტომ რომ

მოდი ჩავწეროთ ფორმულაში:

კონუსი ასევე არის რევოლუციის სხეული.

კონუსი (უფრო ზუსტად, წრიული კონუსი) არის სხეული, რომელიც შედგება წრისგან - კონუსის ფუძე, წერტილი, რომელიც არ დევს ამ წრის სიბრტყეში - კონუსის ზემოდან და ყველა სეგმენტისგან, რომელიც აკავშირებს ზედა ნაწილს. კონუსი საბაზისო წერტილებით.

მოდით გავეცნოთ კონუსის მოცულობის პოვნის ფორმულას.

თეორემა. კონუსის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის პროდუქტის მესამედს.

დავამტკიცოთ ეს თეორემა.

მოცემულია: კონუსი, S - მისი ფუძის ფართობი,

თ - კონუსის სიმაღლე

დაამტკიცე: V=

დადასტურება: განვიხილოთ კონუსი V მოცულობით, ფუძის რადიუსით R, სიმაღლე h და მწვერვალი O წერტილში.

მოდით შემოვიტანოთ Ox ღერძი OM-ის მეშვეობით - კონუსის ღერძი. კონუსის თვითნებური მონაკვეთი Ox-ის ღერძზე პერპენდიკულარული სიბრტყით არის წრე, რომლის ცენტრია წერტილში.

M1 - ამ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი Ox-ის ღერძთან. ამ წრის რადიუსი ავღნიშნოთ R1-ით, ხოლო კვეთის ფართობი S(x), სადაც x არის M1 წერტილის აბსციზა.

მართკუთხა სამკუთხედების ОМ1A1 და ОМА მსგავსებიდან (ے ОМ1A1 = ے ОМА - სწორი ხაზები, ے MOA-ზოგადი, რაც ნიშნავს, რომ სამკუთხედები ორი კუთხით მსგავსია) გამოდის, რომ

ნახაზი აჩვენებს, რომ OM1=x, OM=h

ან საიდანაც პროპორციის თვისებით ვპოულობთ R1 = .

ვინაიდან განივი არის წრე, მაშინ S(x)=πR12, ჩაანაცვლეთ წინა გამოხატულება R1-ის ნაცვლად, განივი ფართობი უდრის პი ერ კვადრატის ნამრავლის შეფარდებას x-ის კვადრატით კვადრატთან. სიმაღლეზე:

მოდით გამოვიყენოთ ძირითადი ფორმულა

სხეულების მოცულობების გამოთვლით a=0, b=h-ით ვიღებთ გამოსახულებას (1)

ვინაიდან კონუსის ფუძე არის წრე, კონუსის ფუძის S ფართობი ტოლი იქნება პიერ კვადრატის

სხეულის მოცულობის გამოთვლის ფორმულაში ჩვენ ვცვლით პიერ კვადრატის მნიშვნელობას ფუძის ფართობით და აღმოვაჩენთ, რომ კონუსის მოცულობა უდრის ფართობის ნამრავლის მესამედს. ბაზა და სიმაღლე

თეორემა დადასტურდა.

თეორემის დასკვნა (ფორმულა შეკვეცილი კონუსის მოცულობისთვის)

შეკვეცილი კონუსის მოცულობა V, რომლის სიმაღლეა h და ფუძეების S და S1 ფართობი, გამოითვლება ფორმულით.

Ve უდრის ცულის მესამედს, გამრავლებული ფუძეების ფართობებისა და ფუძის ფართობების ნამრავლის კვადრატულ ფესვზე.

Პრობლემის გადაჭრა

მართკუთხა სამკუთხედი 3 სმ და 4 სმ ფეხებით ბრუნავს ჰიპოტენუზის გარშემო. განსაზღვრეთ მიღებული სხეულის მოცულობა.

როდესაც ვატრიალებთ სამკუთხედს ჰიპოტენუზის გარშემო, ვიღებთ კონუსს. ამ პრობლემის გადაჭრისას მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ შესაძლებელია ორი შემთხვევა. თითოეულ მათგანში ვიყენებთ ფორმულას კონუსის მოცულობის საპოვნელად: კონუსის მოცულობა უდრის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლის მესამედს.

პირველ შემთხვევაში, ნახატი ასე გამოიყურება: მოცემულია კონუსი. ვთქვათ რადიუსი r = 4, სიმაღლე h = 3

ფუძის ფართობი ტოლია π-ჯერ რადიუსის კვადრატზე

მაშინ კონუსის მოცულობა უდრის π-ის ნამრავლის მესამედს რადიუსისა და სიმაღლის კვადრატში.

მოდით ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობა ფორმულაში, გამოდის, რომ კონუსის მოცულობა არის 16π.

მეორე შემთხვევაში ასე: მოცემული კონუსი. ვთქვათ რადიუსი r = 3, სიმაღლე h = 4

კონუსის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის მესამედს:

ფუძის ფართობი ტოლია π-ჯერ რადიუსის კვადრატზე:

მაშინ კონუსის მოცულობა უდრის π-ის ნამრავლის მესამედს რადიუსისა და სიმაღლის კვადრატში:

მნიშვნელობის ფორმულაში ჩანაცვლებით, გამოდის, რომ კონუსის მოცულობა არის 12π.

პასუხი: კონუსის V მოცულობა არის 16 π ან 12 π

ამოცანა 2. მოცემულია მარჯვენა წრიული კონუსი 6 სმ რადიუსით, კუთხე BCO = 45.

იპოვეთ კონუსის მოცულობა.

გამოსავალი: ამ პრობლემისთვის მოწოდებულია მზა ნახაზი.

მოდით ჩამოვწეროთ კონუსის მოცულობის პოვნის ფორმულა:

მოდით გამოვხატოთ იგი R ფუძის რადიუსით:

კონსტრუქციით ვპოულობთ h =BO - მართკუთხა, რადგან კუთხე BOC = 90 (სამკუთხედის კუთხეების ჯამი), ფუძის კუთხეები ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ სამკუთხედი ΔBOC არის ტოლკუთხედი და BO = OC = 6 სმ.