ჩვეულებრივი წილადების დაყოფა: წესები, მაგალითები, ამონახსნები. წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე

ახლა, როცა ვისწავლეთ ცალკეული წილადების შეკრება და გამრავლება, შეგვიძლია შევხედოთ უფრო რთულ სტრუქტურებს. მაგალითად, რა მოხდება, თუ იგივე პრობლემა მოიცავს წილადების შეკრებას, გამოკლებას და გამრავლებას?

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ ყველა წილადი არასწორად. შემდეგ ვასრულებთ საჭირო მოქმედებებს თანმიმდევრულად - იგივე თანმიმდევრობით, როგორც ჩვეულებრივი რიცხვებისთვის. კერძოდ:

1. ჯერ კეთდება ექსპონენტაცია - მოიშორეთ მაჩვენებლების შემცველი ყველა გამონათქვამი;
2. შემდეგ - გაყოფა და გამრავლება;
3. ბოლო ნაბიჯი არის შეკრება და გამოკლება.

რა თქმა უნდა, თუ გამონათქვამში არის ფრჩხილები, ოპერაციების თანმიმდევრობა იცვლება - ყველაფერი, რაც ფრჩხილებშია, ჯერ უნდა დაითვალოს. და დაიმახსოვრეთ არასწორი წილადების შესახებ: თქვენ უნდა მონიშნოთ მთელი ნაწილი მხოლოდ მაშინ, როდესაც ყველა სხვა მოქმედება უკვე დასრულებულია.

მოდით გადავიყვანოთ ყველა წილადი პირველი გამონათქვამიდან არასწორად და შემდეგ შევასრულოთ შემდეგი ნაბიჯები:

ახლა ვიპოვოთ მეორე გამოხატვის მნიშვნელობა. არ არსებობს წილადები მთელი რიცხვით, მაგრამ არის ფრჩხილები, ამიტომ ჯერ ვასრულებთ შეკრებას და მხოლოდ შემდეგ გაყოფას. გაითვალისწინეთ, რომ 14 = 7 · 2. შემდეგ:

და ბოლოს, განიხილეთ მესამე მაგალითი. აქ არის ფრჩხილები და ხარისხი - ჯობია ცალკე დათვალოთ. იმის გათვალისწინებით, რომ 9 = 3 3, გვაქვს:

ყურადღება მიაქციეთ ბოლო მაგალითს. წილადის ხარისხამდე ასაყვანად, თქვენ ცალ-ცალკე უნდა ასწიოთ მრიცხველი ამ ხარისხზე და ცალკე, მნიშვნელი.

შეგიძლიათ სხვაგვარად გადაწყვიტოთ. თუ გავიხსენებთ ხარისხის განმარტებას, პრობლემა დაიყვანება წილადების ჩვეულებრივ გამრავლებამდე:

მრავალსართულიანი წილადები

აქამდე ჩვენ განვიხილავდით მხოლოდ „სუფთა“ წილადებს, როცა მრიცხველი და მნიშვნელი ჩვეულებრივი რიცხვებია. ეს საკმაოდ შეესაბამება რიცხვითი წილადის განმარტებას, რომელიც მოცემულია პირველ გაკვეთილზე.

მაგრამ რა მოხდება, თუ უფრო რთულ ობიექტს ჩასვამთ მრიცხველში ან მნიშვნელში? მაგალითად, სხვა რიცხვითი წილადი? ასეთი კონსტრუქციები საკმაოდ ხშირად წარმოიქმნება, განსაკუთრებით გრძელ გამონათქვამებთან მუშაობისას. აქ არის რამდენიმე მაგალითი:

მრავალ დონის წილადებთან მუშაობის მხოლოდ ერთი წესი არსებობს: დაუყოვნებლივ უნდა მოიცილოთ ისინი. "დამატებითი" იატაკის ამოღება საკმაოდ მარტივია, თუ გახსოვთ, რომ ზოლი ნიშნავს სტანდარტული გაყოფის ოპერაციას. ამიტომ, ნებისმიერი წილადი შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ამ ფაქტის გამოყენებით და პროცედურის დაცვით, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად შევიყვანოთ ნებისმიერი მრავალსართულიანი წილადი ჩვეულებრივზე. გადახედეთ მაგალითებს:

დავალება. მრავალსართულიანი წილადების გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებზე:

თითოეულ შემთხვევაში, ჩვენ ხელახლა ვწერთ მთავარ წილადს, ვცვლით გამყოფ ხაზს გაყოფის ნიშნით. ასევე გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით 1-ის მნიშვნელით. 12 = 12/1; 3 = 3/1. ჩვენ ვიღებთ:

ბოლო მაგალითში წილადები გაუქმდა საბოლოო გამრავლებამდე.

მრავალ დონის წილადებთან მუშაობის სპეციფიკა

მრავალ დონის წილადებში არის ერთი დახვეწილობა, რომელიც ყოველთვის უნდა გვახსოვდეს, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეგიძლიათ მიიღოთ არასწორი პასუხი, მაშინაც კი, თუ ყველა გამოთვლა იყო სწორი. Შეხედე:

1. მრიცხველი შეიცავს ერთ რიცხვს 7, ხოლო მნიშვნელი შეიცავს წილადს 12/5;
2. მრიცხველი შეიცავს წილადს 7/12, ხოლო მნიშვნელი შეიცავს ცალკეულ რიცხვს 5.

ასე რომ, ერთი ჩანაწერისთვის მივიღეთ ორი სრულიად განსხვავებული ინტერპრეტაცია. თუ დათვლით, პასუხებიც განსხვავებული იქნება:

ჩანაწერის ყოველთვის ცალსახად წაკითხვის უზრუნველსაყოფად გამოიყენეთ მარტივი წესი: ძირითადი წილადის გამყოფი ხაზი უნდა იყოს უფრო გრძელი ვიდრე წყობილი წილადის წრფე. სასურველია რამდენჯერმე.

თუ თქვენ დაიცავთ ამ წესს, მაშინ ზემოაღნიშნული წილადები უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად:

დიახ, ის ალბათ არასასიამოვნოა და ძალიან დიდ ადგილს იკავებს. ოღონდ სწორად დაითვალოთ. და ბოლოს, რამდენიმე მაგალითი, სადაც რეალურად წარმოიქმნება მრავალსართულიანი წილადები:

დავალება. იპოვნეთ გამონათქვამების მნიშვნელობა:

ასე რომ, მოდით ვიმუშაოთ პირველ მაგალითზე. გადავიყვანოთ ყველა წილადი არასწორად და შემდეგ შევასრულოთ შეკრების და გაყოფის ოპერაციები:

იგივე გავაკეთოთ მეორე მაგალითზეც. გადავიყვანოთ ყველა წილადი არასწორად და შევასრულოთ საჭირო ოპერაციები. მკითხველი რომ არ მოვიწყინო, რამდენიმე აშკარა გათვლებს გამოვტოვებ. Ჩვენ გვაქვს:

იმის გამო, რომ ძირითადი წილადების მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ჯამებს, მრავალსართულიანი წილადების დაწერის წესი ავტომატურად დაცულია. ასევე, ბოლო მაგალითში ჩვენ განზრახ დავტოვეთ 46/1 წილადის სახით გაყოფის შესასრულებლად.

აქვე აღვნიშნავ, რომ ორივე მაგალითში წილადის ზოლი ფაქტობრივად ცვლის ფრჩხილებს: პირველ რიგში ვიპოვეთ ჯამი და მხოლოდ ამის შემდეგ კოეფიციენტი.

ზოგი იტყვის, რომ მეორე მაგალითში არასწორ წილადებზე გადასვლა აშკარად ზედმეტი იყო. ალბათ ეს მართალია. მაგრამ ამით ჩვენ თავს ვაზღვევთ შეცდომებისგან, რადგან შემდეგ ჯერზე მაგალითი შეიძლება ბევრად უფრო რთული აღმოჩნდეს. აირჩიე შენთვის რაც უფრო მნიშვნელოვანია: სიჩქარე ან საიმედოობა.

წილადი არის მთლიანის ერთი ან მეტი ნაწილი, რომელიც ჩვეულებრივ აღიქმება როგორც ერთი (1). როგორც ნატურალური რიცხვების შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ ყველა ძირითადი არითმეტიკული ოპერაცია (შეკრება, გამოკლება, გაყოფა, გამრავლება) წილადებით; ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ წილადებთან მუშაობის მახასიათებლები და განასხვავოთ მათი ტიპები. არსებობს რამდენიმე სახის წილადი: ათობითი და ჩვეულებრივი, ან მარტივი. წილადის თითოეულ ტიპს აქვს თავისი სპეციფიკა, მაგრამ მას შემდეგ რაც კარგად გაიგებთ, თუ როგორ უნდა გაუმკლავდეთ მათ, შეძლებთ ამოხსნათ ნებისმიერი მაგალითი წილადებით, რადგან გეცოდინებათ წილადებით არითმეტიკული გამოთვლების შესრულების ძირითადი პრინციპები. მოდით შევხედოთ მაგალითებს, თუ როგორ უნდა გავყოთ წილადი მთელ რიცხვზე სხვადასხვა ტიპის წილადების გამოყენებით.

როგორ გავყოთ მარტივი წილადი ნატურალურ რიცხვზე?
ჩვეულებრივი ან მარტივი წილადები არის წილადები, რომლებიც იწერება რიცხვთა თანაფარდობის სახით, რომლებშიც წილადის ზედა ნაწილში მითითებულია დივიდენდი (მრიცხველი), ბოლოში კი - წილადის გამყოფი (მნიშვნელი). როგორ გავყოთ ასეთი წილადი მთელ რიცხვზე? მოდით შევხედოთ მაგალითს! ვთქვათ, უნდა გავყოთ 8/12 2-ზე.

ამისათვის ჩვენ უნდა შევასრულოთ რამდენიმე მოქმედება:
ამგვარად, თუ წილადის მთელ რიცხვზე გაყოფის ამოცანა გვაქვს, ამოხსნის დიაგრამა ასე გამოიყურება:

ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ ნებისმიერი ჩვეულებრივი (მარტივი) წილადი მთელ რიცხვზე.

როგორ გავყოთ ათწილადი მთელ რიცხვზე?
ათწილადი არის წილადი, რომელიც მიიღება ერთეულის ათად, ათასად და ასე შემდეგ ნაწილებად დაყოფით. არითმეტიკული მოქმედებები ათწილადებით საკმაოდ მარტივია.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ უნდა გავყოთ წილადი მთელ რიცხვზე. ვთქვათ, ათწილადი 0,925 უნდა გავყოთ ნატურალურ რიცხვზე 5.

შეჯამებისთვის, მოდით ვისაუბროთ ორ მთავარ პუნქტზე, რომლებიც მნიშვნელოვანია ათწილადის წილადების მთელ რიცხვზე გაყოფის ოპერაციის შესრულებისას:

• ათობითი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასაყოფად გამოიყენება გრძელი გაყოფა;
  
• მძიმით იდება კოეფიციენტში, როდესაც დასრულებულია დივიდენდის მთელი ნაწილის გაყოფა.
  

ამ მარტივი წესების გამოყენებით, თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ მარტივად დაყოთ ნებისმიერი ათობითი ან მარტივი წილადი მთელ რიცხვად.

) და მნიშვნელი მნიშვნელის მიხედვით (ვიღებთ ნამრავლის მნიშვნელს).

წილადების გამრავლების ფორმულა:

Მაგალითად:

სანამ დაიწყებთ მრიცხველებისა და მნიშვნელების გამრავლებას, უნდა შეამოწმოთ შესაძლებელია თუ არა წილადის შემცირება. თუ შეძლებთ წილადის შემცირებას, გაგიადვილდებათ შემდგომი გამოთვლების გაკეთება.

საერთო წილადის გაყოფა წილადზე.

ნატურალური რიცხვების შემცველი წილადების გაყოფა.

ეს არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს. როგორც შეკრების შემთხვევაში, მთელ რიცხვს გარდავქმნით წილადად, რომლის მნიშვნელში ერთია. Მაგალითად:

შერეული წილადების გამრავლება.

წილადების გამრავლების წესები (შერეული):

• შერეული წილადების გადაქცევა არასწორ წილადებად;
• წილადების მრიცხველებისა და მნიშვნელების გამრავლება;
• ფრაქციის შემცირება;
• თუ თქვენ მიიღებთ არასწორ წილადს, მაშინ ჩვენ ვაქცევთ არასწორ წილადს შერეულ წილადად.

Შენიშვნა!შერეული წილადის სხვა შერეულ წილადზე გასამრავლებლად ჯერ უნდა გადაიყვანოთ ისინი არასათანადო წილადების სახით, შემდეგ კი გაამრავლოთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესის მიხედვით.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების მეორე გზა.

შეიძლება უფრო მოსახერხებელი იყოს საერთო წილადის რიცხვზე გამრავლების მეორე მეთოდის გამოყენება.

Შენიშვნა!წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაყოთ წილადის მნიშვნელი ამ რიცხვზე და დატოვოთ მრიცხველი უცვლელი.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითიდან ირკვევა, რომ ეს ვარიანტი უფრო მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როცა წილადის მნიშვნელი ნარჩენის გარეშე იყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

მრავალსართულიანი წილადები.

საშუალო სკოლაში ხშირად გვხვდება სამსართულიანი (ან მეტი) წილადები. მაგალითი:

ასეთი წილადის ჩვეულ ფორმაში მოსაყვანად გამოიყენეთ გაყოფა 2 წერტილით:

Შენიშვნა!წილადების გაყოფისას ძალიან მნიშვნელოვანია გაყოფის თანმიმდევრობა. ფრთხილად იყავით, აქ დაბნეულობა ადვილია.

Შენიშვნა, Მაგალითად:

ერთი რომელიმე წილადზე გაყოფისას შედეგი იქნება იგივე წილადი, მხოლოდ შებრუნებული:

პრაქტიკული რჩევები წილადების გამრავლებისა და გაყოფისთვის:

1. წილადობრივ გამონათქვამებთან მუშაობისას ყველაზე მნიშვნელოვანია სიზუსტე და ყურადღება. გააკეთეთ ყველა გამოთვლა ფრთხილად და ზუსტად, კონცენტრირებულად და ნათლად. სჯობს დაწეროთ რამდენიმე დამატებითი სტრიქონი თქვენს მონახაზში, ვიდრე დაიკარგოთ გონებრივი გამოთვლებით.

2. სხვადასხვა ტიპის წილადებთან დავალებაში გადადით ჩვეულებრივი წილადების ტიპზე.

3. ვამცირებთ ყველა წილადს მანამ, სანამ შემცირება აღარ იქნება შესაძლებელი.

4. მრავალდონიანი წილადი გამოსახულებები ჩვეულებრივად გარდაქმნის 2 ქულაზე გაყოფის გამოყენებით.

5. დაყავით ერთეული თქვენს თავში წილადზე, უბრალოდ გადაატრიალეთ წილადი.

გაკვეთილის შინაარსი

მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატება

არსებობს წილადების დამატების ორი ტიპი:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

ჯერ ვისწავლოთ მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატება. აქ ყველაფერი მარტივია. ერთიდაიგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი. მაგალითად, დავუმატოთ წილადები და . დაამატეთ მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც ოთხ ნაწილად იყოფა. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2.დაამატეთ წილადები და.

პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა. როდესაც დავალების დასასრული მოდის, ჩვეულებრივია არასათანადო წილადებისგან თავის დაღწევა. არასწორი წილადის მოსაშორებლად, თქვენ უნდა აირჩიოთ მისი მთელი ნაწილი. ჩვენს შემთხვევაში, მთელი ნაწილი ადვილად იზოლირებულია - ორი გაყოფილი ორზე უდრის ერთს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ ორ ნაწილად დაყოფილ პიცას. თუ პიცას დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას:

მაგალითი 3. დაამატეთ წილადები და.

ისევ ვამატებთ მრიცხველებს და ვტოვებთ მნიშვნელს უცვლელად:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 4.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. მრიცხველები უნდა დაემატოს და მნიშვნელი დარჩეს უცვლელი:

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი ნახატის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას და დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ 1 მთლიან პიცას და მეტ პიცას.

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დამატებაში. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად საჭიროა მათი მრიცხველების დამატება და მნიშვნელი უცვლელი დატოვება;

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

ახლა ვისწავლოთ როგორ დავამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. წილადების შეკრებისას წილადების მნიშვნელები უნდა იყოს იგივე. მაგრამ ისინი ყოველთვის არ არიან ერთნაირი.

მაგალითად, წილადების დამატება შეიძლება, რადგან მათ აქვთ იგივე მნიშვნელები.

მაგრამ წილადების დაუყოვნებლივ დამატება შეუძლებელია, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში წილადები უნდა დაიწიოს ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

წილადების ერთსა და იმავე მნიშვნელზე შემცირების რამდენიმე გზა არსებობს. დღეს ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ერთ მათგანს, რადგან დამწყებთათვის სხვა მეთოდები შეიძლება რთული ჩანდეს.

ამ მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ ჯერ იძებნება ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე, რათა მიიღოთ პირველი დამატებითი ფაქტორი. იგივეს აკეთებენ მეორე წილადთან - LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი კოეფიციენტი.

შემდეგ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცევა წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1. დავამატოთ წილადები და

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 6.

LCM (2 და 3) = 6

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და . პირველი, გაყავით LCM პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ პირველი დამატებითი ფაქტორი. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 6 3-ზე, მივიღებთ 2-ს.

შედეგად მიღებული ნომერი 2 არის პირველი დამატებითი მულტიპლიკატორი. ჩავწერთ პირველ წილადამდე. ამისათვის გააკეთეთ პატარა ირიბი ხაზი წილადზე და ჩაწერეთ მის ზემოთ ნაპოვნი დამატებითი ფაქტორი:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM-ს ვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელზე და ვიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. გავყოთ 6 2-ზე, მივიღებთ 3-ს.

შედეგად მიღებული რიცხვი 3 არის მეორე დამატებითი მულტიპლიკატორი. ჩავწერთ მეორე წილადამდე. კვლავ ვაკეთებთ პატარა ირიბ ხაზს მეორე წილადზე და ვწერთ მის ზემოთ ნაპოვნი დამატებით ფაქტორს:

ახლა ჩვენ ყველაფერი მზად გვაქვს დასამატებლად. რჩება წილადების მრიცხველების და მნიშვნელების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

კარგად დააკვირდით რა მივედით. მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები. ავიღოთ ეს მაგალითი ბოლომდე:

ეს ასრულებს მაგალითს. თურმე დამატება.

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი ნახატის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას და პიცის მეორე მეექვსედს:

წილადების შემცირება ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. წილადების შემცირებით და საერთო მნიშვნელამდე მივიღეთ წილადები და . ეს ორი ფრაქცია წარმოდგენილი იქნება პიცის ერთი და იგივე ნაჭრებით. განსხვავება მხოლოდ ის იქნება, რომ ამჯერად ისინი დაიყოფიან თანაბარ წილებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე).

პირველი ნახაზი წარმოადგენს წილადს (ოთხი ცალი ექვსიდან), ხოლო მეორე ნახაზი წარმოადგენს წილადს (ექვსიდან სამი ცალი). ამ ნაჭრების დამატებით მივიღებთ (შვიდი ცალი ექვსიდან). ეს წილადი არასათანადოა, ამიტომ გამოვყავით მისი მთელი ნაწილი. შედეგად მივიღეთ (ერთი მთლიანი პიცა და მეორე მეექვსე პიცა).

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ეს მაგალითი ძალიან დეტალურად აღვწერეთ. საგანმანათლებლო დაწესებულებებში არ არის ჩვეულებრივი წერა ასეთი დეტალურად. თქვენ უნდა შეძლოთ სწრაფად იპოვოთ როგორც მნიშვნელების, ისე მათზე დამატებითი ფაქტორების LCM, ასევე სწრაფად გაამრავლოთ ნაპოვნი დამატებითი ფაქტორები თქვენს მრიცხველებზე და მნიშვნელებზე. სკოლაში რომ ვიყოთ, ეს მაგალითი შემდეგნაირად მოგვიწევს დაწერა:

მაგრამ მონეტის მეორე მხარეც არსებობს. თუ მათემატიკის შესწავლის პირველ ეტაპზე არ აკეთებთ დეტალურ შენიშვნებს, მაშინ ჩნდება ასეთი კითხვები. „საიდან მოდის ეს რიცხვი?“, „რატომ გადაიქცევა წილადები მოულოდნელად სრულიად განსხვავებულ წილადებად? «.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების გასაადვილებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები:

1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM;
2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი კოეფიციენტი თითოეული წილადისთვის;
3. გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მათ დამატებით ფაქტორებზე;
4. დაამატეთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები;
5. თუ პასუხი არასწორი წილადია, მაშინ აირჩიეთ მისი მთელი ნაწილი;

მაგალითი 2.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა .

მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული ინსტრუქციები.

ნაბიჯი 1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM

იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 2, 3 და 4

ნაბიჯი 2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი კოეფიციენტი თითოეული წილადისთვის

LCM გავყოთ პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. გავყოთ 12 2-ზე, მივიღებთ 6. მივიღეთ პირველი დამატებითი ფაქტორი 6. მას ვწერთ პირველი წილადის ზემოთ:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 12 3-ზე, მივიღებთ 4. ვიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს 4. ვწერთ მეორე წილადის ზემოთ:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. მივიღებთ მესამე დამატებით კოეფიციენტს 3. მას ვწერთ მესამე წილადის ზემოთ:

ნაბიჯი 3. გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მათ დამატებით ფაქტორებზე

ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველებს და მნიშვნელებს მათ დამატებით ფაქტორებზე:

ნაბიჯი 4. დაამატეთ წილადები იგივე მნიშვნელებით

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ჰქონდათ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. რჩება მხოლოდ ამ წილადების დამატება. დაამატეთ იგი:

დამატება არ ჯდებოდა ერთ სტრიქონზე, ამიტომ დარჩენილი გამოხატულება გადავიტანეთ შემდეგ სტრიქონზე. ეს ნებადართულია მათემატიკაში. როდესაც გამონათქვამი არ ჯდება ერთ სტრიქონზე, ის გადადის შემდეგ სტრიქონზე და აუცილებელია პირველი სტრიქონის ბოლოს და ახალი სტრიქონის დასაწყისში ტოლობის ნიშანი (=). მეორე სტრიქონზე ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ ეს არის პირველი ხაზის გამოთქმის გაგრძელება.

ნაბიჯი 5. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ აირჩიეთ მისი მთელი ნაწილი

ჩვენი პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა. უნდა გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ:

პასუხი მივიღეთ

მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება

წილადების გამოკლების ორი ტიპი არსებობს:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

ჯერ ვისწავლოთ როგორ გამოვაკლოთ წილადები მსგავსი მნიშვნელებით. აქ ყველაფერი მარტივია. მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, მეორე წილადის მრიცხველი უნდა გამოვაკლოთ პირველი წილადის მრიცხველს, მაგრამ მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა. ამ მაგალითის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც ოთხ ნაწილად იყოფა. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

კვლავ, პირველი წილადის მრიცხველს გამოაკელით მეორე წილადის მრიცხველი და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 3.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. პირველი წილადის მრიცხველს უნდა გამოკლოთ დარჩენილი წილადების მრიცხველები:

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლებაში. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, უნდა გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი;
2. თუ პასუხი არასათანადო წილადი აღმოჩნდა, მაშინ თქვენ უნდა მონიშნოთ მისი მთელი ნაწილი.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

მაგალითად, შეგიძლიათ გამოკლოთ წილადი წილადს, რადგან წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელები აქვთ. მაგრამ თქვენ არ შეგიძლიათ წილადს გამოკლოთ წილადი, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში წილადები უნდა დაიწიოს ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

საერთო მნიშვნელი გვხვდება იმავე პრინციპით, რომელსაც ვიყენებდით სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისას. უპირველეს ყოვლისა, იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღება პირველი დამატებითი კოეფიციენტი, რომელიც იწერება პირველი წილადის ზემოთ. ანალოგიურად, LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი კოეფიციენტი, რომელიც იწერება მეორე წილადის ზემოთ.

შემდეგ წილადები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გარდაიქმნება წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1.იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ თქვენ უნდა შეამციროთ ისინი იმავე (საერთო) მნიშვნელამდე.

ჯერ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM-ს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 12.

LCM (3 და 4) = 12

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. ამისათვის გაყავით LCM პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 12 3-ზე, მივიღებთ 4-ს. დაწერეთ ოთხი პირველი წილადის ზემოთ:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM გავყოთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. მეორე წილადზე დაწერეთ სამი:

ახლა ჩვენ მზად ვართ გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. ავიღოთ ეს მაგალითი ბოლომდე:

პასუხი მივიღეთ

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი ნახატის გამოყენებით. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას

ეს არის გადაწყვეტის დეტალური ვერსია. სკოლაში რომ ვიყოთ, ეს მაგალითი უფრო მოკლედ უნდა ამოგვეხსნა. ასეთი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირება ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. ამ წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირებით, მივიღეთ წილადები და . ეს წილადები წარმოდგენილი იქნება იგივე პიცის ნაჭრებით, მაგრამ ამჯერად ისინი დაყოფილი იქნება თანაბარ ნაწილებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე):

პირველ სურათზე ნაჩვენებია წილადი (რვა ცალი თორმეტიდან), ხოლო მეორე სურათზე ნაჩვენებია წილადი (სამი ცალი თორმეტიდან). რვა ნაჭრისგან სამი ცალი ამოჭრით, თორმეტიდან ხუთ ნაჭერს ვიღებთ. წილადი აღწერს ამ ხუთ ნაწილს.

მაგალითი 2.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ ჯერ უნდა შეამციროთ ისინი იმავე (საერთო) მნიშვნელამდე.

ვიპოვოთ ამ წილადების მნიშვნელების LCM.

წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 10, 3 და 5. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

ახლა ჩვენ ვპოულობთ დამატებით ფაქტორებს თითოეული წილადისთვის. ამისათვის გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე.

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 10. 30 გავყოთ 10-ზე, მივიღებთ პირველ დამატებით კოეფიციენტს 3. მას ვწერთ პირველი წილადის ზემოთ:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მეორე წილადისთვის. LCM გავყოთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 30 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს 10. მეორე წილადის ზემოთ ვწერთ:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მესამე წილადისთვის. LCM გავყოთ მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 5. 30 გავყოთ 5-ზე, მივიღებთ მესამე დამატებით კოეფიციენტს 6. მესამე წილადის ზემოთ ვწერთ:

ახლა ყველაფერი მზად არის გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ჰქონდათ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. დავასრულოთ ეს მაგალითი.

მაგალითის გაგრძელება არ ჯდება ერთ სტრიქონზე, ამიტომ გაგრძელებას გადავიტანთ შემდეგ სტრიქონზე. არ დაივიწყოთ ტოლობის ნიშანი (=) ახალ ხაზზე:

პასუხი ჩვეულებრივი წილადი აღმოჩნდა და ყველაფერი, როგორც ჩანს, გვიწყობს, მაგრამ ზედმეტად შრომატევადი და მახინჯია. ჩვენ უნდა გავამარტივოთ. Რა შეიძლება გაკეთდეს? თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ ეს ფრაქცია.

წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი (GCD) 20 და 30 რიცხვებზე.

ასე რომ, ჩვენ ვპოულობთ 20 და 30 რიცხვების gcd-ს:

ახლა ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს მაგალითს და ვყოფთ წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ნაპოვნი gcd-ზე, ანუ 10-ზე.

პასუხი მივიღეთ

წილადის რიცხვზე გამრავლება

წილადის რიცხვზე გასამრავლებლად საჭიროა მოცემული წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე გაამრავლოთ და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

მაგალითი 1. გაამრავლე წილადი 1 რიცხვზე.

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 1 რიცხვზე

ჩანაწერი შეიძლება გავიგოთ, როგორც ნახევარი 1 დრო. მაგალითად, თუ პიცას ერთხელ იღებთ, მიიღებთ პიცას

გამრავლების კანონებიდან ვიცით, რომ თუ მრავლობითი და კოეფიციენტი ერთმანეთს შევცვლით, ნამრავლი არ შეიცვლება. თუ გამოთქმა დაიწერება როგორც , მაშინ ნამრავლი მაინც ტოლი იქნება . ისევ მუშაობს მთელი რიცხვისა და წილადის გამრავლების წესი:

ეს აღნიშვნა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ერთის ნახევრის აღება. მაგალითად, თუ არის 1 მთლიანი პიცა და ავიღებთ ნახევარს, მაშინ გვექნება პიცა:

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 4-ზე

პასუხი იყო არასწორი ფრაქცია. გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი მეოთხედი 4-ჯერ აღება. მაგალითად, თუ აიღებთ 4 პიცას, მიიღებთ ორ მთლიან პიცას

და თუ გავცვლით მამრავლსა და მულტიპლიკატორს, მივიღებთ გამოხატულებას. ის ასევე იქნება 2-ის ტოლი. ეს გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი პიცის აღება ოთხი მთლიანი პიციდან:

წილადების გამრავლება

წილადების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები. თუ პასუხი არასწორი წილადია, თქვენ უნდა მონიშნოთ მისი მთელი ნაწილი.

მაგალითი 1.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

პასუხი მივიღეთ. მიზანშეწონილია ამ ფრაქციის შემცირება. წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით. შემდეგ საბოლოო ხსნარი მიიღებს შემდეგ ფორმას:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც პიცის აღება ნახევარი პიცისგან. ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

როგორ ავიღოთ ორი მესამედი ამ ნახევრიდან? ჯერ ეს ნახევარი უნდა გაყოთ სამ თანაბარ ნაწილად:

და აიღეთ ორი ამ სამი ნაწილიდან:

პიცას მოვამზადებთ. დაიმახსოვრე როგორ გამოიყურება პიცა, როდესაც იყოფა სამ ნაწილად:

ამ პიცის ერთი ცალი და ჩვენ მიერ აღებული ორი ცალი იგივე ზომები იქნება:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვსაუბრობთ იგივე ზომის პიცაზე. ამიტომ გამოხატვის მნიშვნელობა არის

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი იყო არასწორი ფრაქცია. გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი:

მაგალითი 3.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი ჩვეულებრივი წილადი აღმოჩნდა, მაგრამ კარგი იქნება თუ შემცირდება. ამ წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 105 და 450 რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფზე (GCD).

მაშ ასე, ვიპოვოთ 105 და 450 რიცხვების gcd:

ახლა ჩვენ ვყოფთ ჩვენი პასუხის მრიცხველსა და მნიშვნელს gcd-ზე, რომელიც ახლა ვიპოვეთ, ანუ 15-ზე.

მთელი რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენა

ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. მაგალითად, რიცხვი 5 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც . ეს არ შეცვლის ხუთის მნიშვნელობას, რადგან გამოთქმა ნიშნავს "რიცხვი ხუთი გაყოფილი ერთზე" და ეს, როგორც ვიცით, უდრის ხუთს:

საპასუხო ნომრები

ახლა ჩვენ გავეცნობით ძალიან საინტერესო თემას მათემატიკაში. მას "უკუ რიცხვები" ჰქვია.

განმარტება. რიცხვზე გადაბრუნებაა არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისასა აძლევს ერთს.

მოდით ჩავანაცვლოთ ამ განსაზღვრებაში ცვლადის ნაცვლად ანომერი 5 და შეეცადეთ წაიკითხოთ განმარტება:

რიცხვზე გადაბრუნება 5 არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 5 აძლევს ერთს.

შესაძლებელია თუ არა ისეთი რიცხვის პოვნა, რომელიც 5-ზე გამრავლებისას იძლევა ერთს? თურმე შესაძლებელია. წარმოვიდგინოთ ხუთი წილადად:

შემდეგ გაამრავლეთ ეს წილადი თავისთავად, უბრალოდ შეცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდით გავამრავლოთ წილადი თავისთავად, მხოლოდ თავდაყირა:

რა მოხდება ამის შედეგად? თუ გავაგრძელებთ ამ მაგალითის ამოხსნას, მივიღებთ ერთს:

ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 5-ის შებრუნებული არის რიცხვი, რადგან როცა 5-ს გაამრავლებ, მიიღებთ ერთს.

რიცხვის საპასუხო მაჩვენებელი ასევე შეიძლება მოიძებნოს ნებისმიერი სხვა მთელი რიცხვისთვის.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი სხვა წილადის საპასუხო მოქმედება. ამისათვის უბრალოდ გადაატრიალეთ იგი.

წილადის რიცხვზე გაყოფა

ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

მოდით თანაბრად გავყოთ ორს შორის. რამდენ პიცას მიიღებს თითოეული ადამიანი?

ჩანს, რომ პიცის ნახევარი გაყოფის შემდეგ მიიღეს ორი თანაბარი ნაჭერი, რომელთაგან თითოეული წარმოადგენს პიცას. ასე რომ, ყველა იღებს პიცას.

წილადების დაყოფა ხდება ორმხრივების გამოყენებით. საპასუხო რიცხვები საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ გაყოფა გამრავლებით.

წილადის რიცხვზე გასაყოფად საჭიროა წილადის გამრავლება გამყოფის შებრუნებულზე.

ამ წესის გამოყენებით ჩვენ დავწერთ ჩვენი ნახევრის პიცის ორ ნაწილად დაყოფას.

ასე რომ, თქვენ უნდა გაყოთ წილადი 2 რიცხვზე. აქ დივიდენდი არის წილადი და გამყოფი არის ნომერი 2.

წილადის 2-ზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს წილადი გამყოფი 2-ის საპირისპიროზე. გამყოფი 2-ის ორმხრივი არის წილადი. ასე რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ

§ 87. წილადების შეკრება.

წილადების შეკრებას ბევრი მსგავსება აქვს მთელი რიცხვების შეკრებასთან. წილადების დამატება არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ რამდენიმე მოცემული რიცხვი (ტერმინი) გაერთიანებულია ერთ რიცხვში (ჯამში), რომელიც შეიცავს ტერმინების ერთეულების ყველა ერთეულს და წილადს.

თანმიმდევრულად განვიხილავთ სამ შემთხვევას:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.
3. შერეული რიცხვების შეკრება.

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრება.

განვიხილოთ მაგალითი: 1/5 + 2/5.

ავიღოთ სეგმენტი AB (ნახ. 17), ავიღოთ როგორც ერთი და გავყოთ 5 ტოლ ნაწილად, მაშინ ამ სეგმენტის AC ნაწილი იქნება AB სეგმენტის 1/5-ის ტოლი, ხოლო იმავე სეგმენტის CD ნაწილი ტოლი იქნება. 2/5 AB.

ნახაზიდან ირკვევა, რომ თუ ავიღებთ AD ​​სეგმენტს, ის უდრის 3/5 AB-ს; მაგრამ სეგმენტი AD არის ზუსტად AC და CD სეგმენტების ჯამი. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

ამ ტერმინებისა და მიღებული ჯამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ჯამის მრიცხველი მიიღეს წევრთა მრიცხველების მიმატებით, ხოლო მნიშვნელი უცვლელი დარჩა.

აქედან ვიღებთ შემდეგ წესს: იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.

მოდით დავამატოთ წილადები: 3 / 4 + 3 / 8 ჯერ ისინი უნდა შევიყვანოთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:

შუალედური ბმული 6/8 + 3/8 ვერ დაიწერა; ჩვენ ეს დავწერეთ აქ სიცხადისთვის.

ამრიგად, სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, ჯერ უნდა შეამციროთ ისინი ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე, დაამატოთ მათი მრიცხველები და დაასახელოთ საერთო მნიშვნელი.

განვიხილოთ მაგალითი (დამატებით ფაქტორებს დავწერთ შესაბამისი წილადების ზემოთ):

3. შერეული რიცხვების შეკრება.

დავამატოთ რიცხვები: 2 3/8 + 3 5/6.

მოდით, ჯერ მივიყვანოთ ჩვენი რიცხვების წილადი ნაწილები საერთო მნიშვნელთან და ხელახლა დავწეროთ ისინი:

ახლა ვამატებთ მთელ და წილად ნაწილებს თანმიმდევრობით:

§ 88. წილადების გამოკლება.

წილადების გამოკლება განისაზღვრება ისევე, როგორც მთელი რიცხვების გამოკლება. ეს არის ქმედება, რომლის დახმარებითაც, ორი წევრისა და ერთი მათგანის ჯამის გათვალისწინებით, გვხვდება მეორე ტერმინი. განვიხილოთ სამი შემთხვევა ზედიზედ:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.
3. შერეული რიცხვების გამოკლება.

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

13 / 15 - 4 / 15

ავიღოთ სეგმენტი AB (სურ. 18), ავიღოთ ერთეული და გავყოთ 15 ტოლ ნაწილად; მაშინ ამ სეგმენტის AC ნაწილი წარმოადგენს AB-ის 1/15-ს, ხოლო ამავე სეგმენტის AD ნაწილი შეესაბამება 13/15 AB-ს. მოდით გამოვყოთ კიდევ ერთი სეგმენტი ED ტოლი 4/15 AB.

13/15-ს უნდა გამოვაკლოთ წილადი 4/15. ნახაზში ეს ნიშნავს, რომ სეგმენტი ED უნდა გამოკლდეს AD სეგმენტს. შედეგად დარჩება სეგმენტი AE, რომელიც არის AB სეგმენტის 9/15. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩვენ მიერ გაკეთებული მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სხვაობის მრიცხველი მიღებული იყო მრიცხველების გამოკლებით, მაგრამ მნიშვნელი იგივე დარჩა.

მაშასადამე, მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლებისთვის, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ქვეტრაენდის მრიცხველი მინუენდის მრიცხველს და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.

2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.

მაგალითი. 3/4 - 5/8

ჯერ ეს წილადები შევამციროთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:

შუალედური 6 / 8 - 5 / 8 აქ არის დაწერილი სიცხადისთვის, მაგრამ შეიძლება მოგვიანებით გამოტოვოთ.

ამრიგად, წილადს რომ გამოვაკლოთ წილადი, ჯერ უნდა შეამციროთ ისინი ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე, შემდეგ გამოაკლოთ წილადის მრიცხველი მრიცხველის მრიცხველს და ხელი მოაწეროთ საერთო მნიშვნელს მათი სხვაობის ქვეშ.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

3. შერეული რიცხვების გამოკლება.

მაგალითი. 10 3/4 - 7 2/3.

მოდით შევამციროთ წილადი ნაწილების minuend და subtrahend ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი:

მთლიანს გამოვაკლეთ მთლიანი და წილადი - წილადი. მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც სუბტრაჰენდის წილადი ნაწილი აღემატება მინუენდის წილად ნაწილს. ასეთ შემთხვევებში, თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ერთეული მინუენდის მთელი ნაწილიდან, გაყოთ ის იმ ნაწილებად, რომლებშიც გამოიხატება წილადი ნაწილი და დაუმატოთ წილადის ნაწილს. და შემდეგ გამოკლება შესრულდება ისევე, როგორც წინა მაგალითში:

§ 89. წილადების გამრავლება.

წილადების გამრავლების შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.
2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.
3. მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლება.
4. წილადის გამრავლება წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გამრავლება.
6. ინტერესის ცნება.
7. მოცემული რიცხვის პროცენტის პოვნა. განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.

1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.

წილადის მთელ რიცხვზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გამრავლებას. წილადის (გამრავლების) გამრავლება მთელ რიცხვზე (ფაქტორზე) ნიშნავს იდენტური წევრთა ჯამის შექმნას, რომელშიც თითოეული წევრი ტოლია ნამრავლის, ხოლო წევრთა რაოდენობა ტოლია გამრავლების.

ეს ნიშნავს, რომ თუ საჭიროა 1/9 7-ზე გამრავლება, მაშინ ეს შეიძლება ასე გაკეთდეს:

ჩვენ ადვილად მივიღეთ შედეგი, რადგან მოქმედება შემცირდა იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების მიმატებამდე. აქედან გამომდინარე,

ამ მოქმედების გათვალისწინება გვიჩვენებს, რომ წილადის მთელ რიცხვზე გამრავლება უდრის ამ წილადის იმდენჯერ გაზრდას, რამდენჯერაც არის ერთეული მთელ რიცხვში. და რადგან წილადის გაზრდა მიიღწევა მისი მრიცხველის გაზრდით

ან მისი მნიშვნელის შემცირებით , მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ან გავამრავლოთ მრიცხველი მთელ რიცხვზე ან გავყოთ მნიშვნელი მასზე, თუ ასეთი გაყოფა შესაძლებელია.

აქედან ვიღებთ წესს:

წილადის მთელ რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ ამრავლებთ მრიცხველს მთელ რიცხვზე და ტოვებთ მნიშვნელს იგივეს, ან, თუ შესაძლებელია, ყოფთ მნიშვნელს ამ რიცხვზე, მრიცხველი უცვლელი რჩება.

გამრავლებისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.ბევრი პრობლემაა, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ, ან გამოთვალოთ მოცემული რიცხვის ნაწილი. განსხვავება ამ პრობლემებსა და სხვებს შორის არის ის, რომ ისინი იძლევიან ზოგიერთი ობიექტის ან საზომი ერთეულის რაოდენობას და თქვენ უნდა იპოვოთ ამ რიცხვის ნაწილი, რომელიც ასევე მითითებულია აქ გარკვეული წილადით. გაგების გასაადვილებლად ჯერ მოვიყვანთ ასეთი პრობლემების მაგალითებს, შემდეგ კი შემოგთავაზებთ მათი გადაჭრის მეთოდს.

დავალება 1.მე მქონდა 60 მანეთი; ამ თანხის 1/3 დავხარჯე წიგნების შესაძენად. რა დაჯდა წიგნები?

დავალება 2.მატარებელმა A და B ქალაქებს შორის მანძილი უნდა გაიაროს 300 კმ. მან ამ მანძილის 2/3 უკვე დაფარა. ეს რამდენი კილომეტრია?

დავალება 3.სოფელში 400 სახლია, 3/4 აგურისაა, დანარჩენი ხის. რამდენი აგურის სახლია სულ?

ეს არის რამდენიმე პრობლემა, რომელსაც ჩვენ ვაწყდებით მოცემული რიცხვის ნაწილის საპოვნელად. მათ ჩვეულებრივ უწოდებენ პრობლემებს მოცემული რიცხვის წილადის საპოვნელად.

პრობლემის გადაწყვეტა 1. 60 რუბლიდან. 1/3 დავხარჯე წიგნებზე; ეს ნიშნავს, რომ წიგნების ღირებულების საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი 60 3-ზე:

პრობლემის გადაჭრა 2.პრობლემის არსი ის არის, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 300 კმ-ის 2/3. ჯერ გამოვთვალოთ 300-ის 1/3; ეს მიიღწევა 300 კმ 3-ზე გაყოფით:

300: 3 = 100 (ეს არის 300-ის 1/3).

300-ის ორი მესამედის საპოვნელად, თქვენ უნდა გააორმაგოთ მიღებული კოეფიციენტი, ანუ გაამრავლოთ 2-ზე:

100 x 2 = 200 (ეს არის 300-ის 2/3).

პრობლემის გადაჭრა 3.აქ თქვენ უნდა განსაზღვროთ აგურის სახლების რაოდენობა, რომლებიც შეადგენენ 400-დან 3/4-ს. ჯერ ვიპოვოთ 400-დან 1/4.

400: 4 = 100 (ეს არის 400-ის 1/4).

400-ის სამი მეოთხედის გამოსათვლელად მიღებული კოეფიციენტი გასამმაგდება, ანუ გამრავლებული 3-ზე:

100 x 3 = 300 (ეს არის 400-ის 3/4).

ამ პრობლემების გადაჭრის საფუძველზე შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი წესი:

მოცემული რიცხვიდან წილადის მნიშვნელობის საპოვნელად საჭიროა ეს რიცხვი გაყოთ წილადის მნიშვნელზე და მიღებული კოეფიციენტი გაამრავლოთ მის მრიცხველზე.

3. მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლება.

ადრე (§ 26) დადგინდა, რომ მთელი რიცხვების გამრავლება უნდა გავიგოთ, როგორც იდენტური ტერმინების დამატება (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). ამ პუნქტში (პუნქტი 1) დადგინდა, რომ წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე ნიშნავს ამ წილადის ტოლი იდენტური წევრთა ჯამის პოვნას.

ორივე შემთხვევაში გამრავლება შედგებოდა იდენტური ტერმინების ჯამის პოვნაში.

ახლა გადავდივართ მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებაზე. აქ შევხვდებით, მაგალითად, გამრავლებას: 9 2/3. ნათელია, რომ გამრავლების წინა განმარტება ამ შემთხვევაში არ ვრცელდება. ეს აშკარაა იმ ფაქტიდან, რომ ჩვენ ვერ შევცვლით ასეთ გამრავლებას თანაბარი რიცხვების მიმატებით.

ამის გამო მოგვიწევს გამრავლების ახალი განმარტების მიცემა, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვუპასუხოთ კითხვას, თუ რა უნდა გავიგოთ წილადზე გამრავლებით, როგორ უნდა გავიგოთ ეს მოქმედება.

მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლების მნიშვნელობა ნათელია შემდეგი განმარტებიდან: მთელი რიცხვის (გამრავლების) გამრავლება წილადზე (გამრავლება) ნიშნავს გამრავლების ამ წილადის პოვნას.

კერძოდ, 9-ის 2/3-ზე გამრავლება ნიშნავს ცხრა ერთეულის 2/3-ის პოვნას. წინა პუნქტში ასეთი პრობლემები მოგვარდა; ასე რომ, ადვილია იმის გარკვევა, რომ ჩვენ მივიღებთ 6-ს.

მაგრამ ახლა ჩნდება საინტერესო და მნიშვნელოვანი კითხვა: რატომ უწოდებენ არითმეტიკაში ერთი და იგივე სიტყვით „გამრავლება“ ისეთ ერთი შეხედვით განსხვავებულ მოქმედებებს, როგორიცაა ტოლი რიცხვების ჯამის პოვნა და რიცხვის წილადის პოვნა?

ეს იმიტომ ხდება, რომ წინა მოქმედება (რიცხვის გამეორება ტერმინებით რამდენჯერმე) და ახალი მოქმედება (რიცხვის წილადის პოვნა) პასუხობს ერთგვაროვან კითხვებზე. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ აქ გამოვდივართ იმ მოსაზრებებიდან, რომ ერთგვაროვანი კითხვები ან ამოცანები წყდება ერთი და იგივე მოქმედებით.

ამის გასაგებად, განიხილეთ შემდეგი პრობლემა: „1 მ ქსოვილი 50 მანეთი ღირს. რა დაჯდება 4 მ ასეთი ქსოვილი?

ეს პრობლემა მოგვარებულია რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის (4) რაოდენობის გამრავლებით, ანუ 50 x 4 = 200 (რუბლი).

ავიღოთ იგივე პრობლემა, მაგრამ მასში ტანსაცმლის რაოდენობა გამოიხატება წილადად: „1 მ ქსოვილი ღირს 50 მანეთი. რა დაჯდება 3/4 მ ასეთი ქსოვილი?”

ეს პრობლემა ასევე უნდა გადაწყდეს რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის რაოდენობაზე (3/4) გამრავლებით.

თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ რიცხვები მასში კიდევ რამდენჯერმე, პრობლემის მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე, მაგალითად, აიღეთ 9/10 მ ან 2 3/10 მ და ა.შ.

ვინაიდან ამ ამოცანებს ერთი და იგივე შინაარსი აქვთ და მხოლოდ რიცხვებით განსხვავდებიან, მათი ამოხსნისას გამოყენებულ მოქმედებებს ერთსა და იმავე სიტყვას - გამრავლებას ვუწოდებთ.

როგორ გავამრავლოთ მთელი რიცხვი წილადზე?

ავიღოთ ბოლო ამოცანისას შეხვედრილი რიცხვები:

განმარტების მიხედვით უნდა ვიპოვოთ 50-ის 3/4. ჯერ ვიპოვოთ 50-ის 1/4, შემდეგ კი 3/4.

50-დან 1/4 არის 50/4;

50 რიცხვის 3/4 არის .

აქედან გამომდინარე.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 12 5 / 8 =?

12 რიცხვის 1/8 არის 12/8,

12 რიცხვის 5/8 არის .

აქედან გამომდინარე,

აქედან ვიღებთ წესს:

მთელი რიცხვის წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი რიცხვი წილადის მრიცხველზე და ეს ნამრავლი აქციოთ მრიცხველად, ხოლო ამ წილადის მნიშვნელს მოაწეროთ მნიშვნელი.

მოდით დავწეროთ ეს წესი ასოების გამოყენებით:

ამ წესის სრულად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გამრავლების წესთან, რომელიც მოცემულია § 38-ში.

მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ გამრავლების შესრულებამდე უნდა გააკეთოთ (თუ შესაძლებელია) შემცირება, Მაგალითად:

4. წილადის გამრავლება წილადზე.წილადის წილადზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებისას, ანუ წილადზე გამრავლებისას უნდა იპოვო წილადი, რომელიც არის წილადში პირველი წილადიდან (მამრავლი).

კერძოდ, 3/4-ის გამრავლება 1/2-ზე (ნახევარზე) ნიშნავს 3/4-ის ნახევრის პოვნას.

როგორ გავამრავლოთ წილადი წილადზე?

ავიღოთ მაგალითი: 3/4 გამრავლებული 5/7-ზე. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 3/4-ის 5/7. ჯერ ვიპოვოთ 3/4-ის 1/7, შემდეგ კი 5/7

3/4 რიცხვის 1/7 გამოისახება შემდეგნაირად:

5/7 რიცხვები 3/4 გამოისახება შემდეგნაირად:

ამრიგად,

კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8 გამრავლებული 4/9-ზე.

5/8-ის 1/9 არის,

5/8 რიცხვის 4/9 არის .

ამრიგად,

ამ მაგალითებიდან შეიძლება გამოვიდეს შემდეგი წესი:

წილადის წილადზე გასამრავლებლად მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ მრიცხველზე, მნიშვნელი კი მნიშვნელზე და პირველი ნამრავლი მრიცხველად აქციოთ, ხოლო მეორე ნამრავლი ნამრავლის მნიშვნელად.

ეს წესი შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმით შემდეგნაირად:

გამრავლებისას აუცილებელია (თუ შესაძლებელია) შემცირება. მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

5. შერეული რიცხვების გამრავლება.ვინაიდან შერეული რიცხვები ადვილად შეიძლება შეიცვალოს არასწორი წილადებით, ეს გარემოება ჩვეულებრივ გამოიყენება შერეული რიცხვების გამრავლებისას. ეს ნიშნავს, რომ იმ შემთხვევებში, როდესაც მრავლობითი, ან მამრავლი, ან ორივე ფაქტორი გამოიხატება შერეული რიცხვებით, ისინი იცვლება არასწორი წილადებით. გავამრავლოთ, მაგალითად, შერეული რიცხვები: 2 1/2 და 3 1/5. ვაქციოთ თითოეული მათგანი არასწორ წილადად და შემდეგ გავამრავლოთ მიღებული წილადები წილადის წილადზე გამრავლების წესის მიხედვით:

წესი.შერეული რიცხვების გასამრავლებლად ჯერ უნდა გადაიყვანოთ ისინი არასწორ წილადებად და შემდეგ გაამრავლოთ წილადების წილადებზე გამრავლების წესის მიხედვით.

Შენიშვნა.თუ ერთ-ერთი ფაქტორი არის მთელი რიცხვი, მაშინ გამრავლება შეიძლება განხორციელდეს განაწილების კანონის საფუძველზე შემდეგნაირად:

6. ინტერესის ცნება.ამოცანების ამოხსნის და სხვადასხვა პრაქტიკული გამოთვლების შესრულებისას ვიყენებთ ყველა სახის წილადს. მაგრამ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ბევრი რაოდენობა მათ საშუალებას აძლევს არა რომელიმე, არამედ ბუნებრივ დაყოფას. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეასედი (1/100), ეს იქნება კაპიკი, ორი მეასედი არის 2 კაპიკი, სამი მეასედი არის 3 კაპიკი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის 1/10, ეს იქნება "10 კაპიკი, ან ათი კაპიკი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეოთხედი, ანუ 25 კაპიკი, ნახევარი მანეთი, ანუ 50 კაპიკი (ორმოცდაათი კაპიკი). მაგრამ. ისინი პრაქტიკულად არ იღებენ მას, მაგალითად, რუბლის 2/7, რადგან რუბლი არ იყოფა მეშვიდედ.

წონის ერთეული, ანუ კილოგრამი, უპირველეს ყოვლისა იძლევა ათობითი გაყოფის საშუალებას, მაგალითად 1/10 კგ, ან 100 გ. და კილოგრამის ისეთი წილადები, როგორიცაა 1/6, 1/11, 1/13 არ არის გავრცელებული.

ზოგადად, ჩვენი (მეტრული) ზომები არის ათობითი და ათწილადის გაყოფის საშუალებას იძლევა.

თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ უაღრესად სასარგებლო და მოსახერხებელია მრავალფეროვან შემთხვევებში, რაოდენობების დაყოფის იგივე (ერთგვაროვანი) მეთოდის გამოყენება. მრავალწლიანმა გამოცდილებამ აჩვენა, რომ ასეთი კარგად გამართლებული დაყოფა არის "მეასე" განყოფილება. განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც ეხება ადამიანის პრაქტიკის ყველაზე მრავალფეროვან სფეროებს.

1. წიგნების ფასი წინა ფასის 12/100-ით შემცირდა.

მაგალითი. წიგნის წინა ფასი 10 მანეთი იყო. 1 რუბლით შემცირდა. 20 კაპიკი

2. შემნახველი ბანკები მეანაბრეებს უხდიან წლის განმავლობაში დანაზოგად შეტანილი თანხის 2/100-ს.

მაგალითი. 500 რუბლი ირიცხება სალაროში, ამ თანხიდან შემოსავალი წელიწადში 10 რუბლია.

3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა მოსწავლეთა საერთო რაოდენობის 5/100-ს.

მაგალითი სკოლაში მხოლოდ 1200 მოსწავლე იყო, აქედან 60-მა დაამთავრა.

რიცხვის მეასედ ნაწილს პროცენტი ეწოდება.

სიტყვა "პროცენტი" ნასესხებია ლათინურიდან და მისი ძირი "ცენტი" ნიშნავს ასს. წინადადებასთან ერთად (pro centum), ეს სიტყვა ნიშნავს "ასს". ამ გამოთქმის მნიშვნელობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ თავდაპირველად ძველ რომში პროცენტი ეწოდებოდა ფულს, რომელსაც მოვალე უხდიდა გამსესხებელს „ყოველ ასეულზე“. სიტყვა "ცენტი" ისმის ასეთ ნაცნობ სიტყვებში: ცენტნერი (ასი კილოგრამი), სანტიმეტრი (ვთქვათ სანტიმეტრი).

მაგალითად, იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ, რომ გასულ თვეში ქარხანა აწარმოებდა მის მიერ წარმოებული პროდუქციის 1/100-ს, ჩვენ ვიტყვით ასე: გასულ თვეში ქარხანამ წარმოადგინა დეფექტების ერთი პროცენტი. იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ: ქარხანამ დადგენილ გეგმაზე 4/100-ით მეტი პროდუქტი გამოუშვა, ჩვენ ვიტყვით: ქარხანამ გეგმას 4 პროცენტით გადააჭარბა.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითები შეიძლება განსხვავებულად გამოითქვას:

1. წიგნების ფასი წინა ფასის 12 პროცენტით შემცირდა.

2. შემნახველი ბანკები უხდიან მეანაბრეებს შემნახველში შეტანილი თანხის 2 პროცენტს წელიწადში.

3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა ყველა სკოლის მოსწავლეთა 5 პროცენტს.

ასოს შესამცირებლად ჩვეულებრივია სიტყვის „პროცენტის“ ნაცვლად დაწეროთ % სიმბოლო.

ამასთან, უნდა გახსოვდეთ, რომ გამოთვლებში % ნიშანი ჩვეულებრივ არ იწერება; ის შეიძლება ჩაიწეროს პრობლემის განცხადებაში და საბოლოო შედეგში. გამოთვლების შესრულებისას ამ სიმბოლოთი მთელი რიცხვის ნაცვლად უნდა დაწეროთ წილადი 100 მნიშვნელით.

თქვენ უნდა შეგეძლოთ შეცვალოთ მთელი რიცხვი მითითებული ხატით წილადით 100 მნიშვნელით:

პირიქით, თქვენ უნდა მიეჩვიოთ მთელი რიცხვის დაწერას მითითებული სიმბოლოთი წილადის ნაცვლად 100 მნიშვნელით:

7. მოცემული რიცხვის პროცენტის პოვნა.

დავალება 1.სკოლამ მიიღო 200 კუბური მეტრი. მ შეშა, არყის შეშა შეადგენს 30%-ს. რამდენი არყის შეშა იყო?

ამ პრობლემის აზრი ის არის, რომ არყის შეშა შეადგენდა სკოლას მიტანილი შეშის მხოლოდ ნაწილს და ეს ნაწილი გამოიხატება წილადში 30/100. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს დავალება, ვიპოვოთ რიცხვის წილადი. მის ამოსახსნელად 200 უნდა გავამრავლოთ 30/100-ზე (რიცხვის წილადის პოვნის პრობლემები წყდება რიცხვის წილადზე გამრავლებით.).

ეს ნიშნავს, რომ 200-დან 30% უდრის 60-ს.

წილადი 30/100, რომელიც გვხვდება ამ პრობლემაში, შეიძლება შემცირდეს 10-ით. ამ შემცირების გაკეთება თავიდანვე იქნებოდა შესაძლებელი; პრობლემის გადაწყვეტა არ შეიცვლებოდა.

დავალება 2.ბანაკში სხვადასხვა ასაკის 300 ბავშვი იყო. 11 წლის ბავშვები შეადგენდნენ 21%, 12 წლის ბავშვები შეადგენდნენ 61% და ბოლოს 13 წლის ბავშვები შეადგენდნენ 18%. თითოეული ასაკის რამდენი ბავშვი იყო ბანაკში?

ამ პრობლემაში თქვენ უნდა შეასრულოთ სამი გამოთვლა, ანუ თანმიმდევრულად იპოვოთ 11 წლის, შემდეგ 12 წლის და ბოლოს 13 წლის ბავშვების რაოდენობა.

ეს ნიშნავს, რომ აქ თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვის წილადი სამჯერ. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

1) რამდენი 11 წლის ბავშვი იყო?

2) რამდენი 12 წლის ბავშვი იყო?

3) რამდენი 13 წლის ბავშვი იყო?

პრობლემის გადაჭრის შემდეგ სასარგებლოა ნაპოვნი რიცხვების დამატება; მათი ჯამი უნდა იყოს 300:

63 + 183 + 54 = 300

ასევე უნდა აღინიშნოს, რომ პრობლემის დებულებაში მოცემული პროცენტების ჯამი არის 100:

21% + 61% + 18% = 100%

ეს იმაზე მეტყველებს, რომ ბანაკში ბავშვების საერთო რაოდენობა აღებულია 100%.

3 და სთ 3.მუშა თვეში 1200 მანეთს იღებდა. აქედან 65% კვებაზე დახარჯა, 6% ბინებსა და გათბობაზე, 4% გაზზე, ელექტროენერგიასა და რადიოზე, 10% კულტურულ საჭიროებებზე და 15% დაზოგა. რა თანხა დაიხარჯა პრობლემაში მითითებულ საჭიროებებზე?

ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭიროა 1200-ის წილადის პოვნა 5-ჯერ.მოდით ასე გავაკეთოთ.

1) რა თანხა დაიხარჯა საკვებზე? პრობლემა ამბობს, რომ ეს ხარჯი არის მთლიანი შემოსავლის 65%, ანუ 1200 რიცხვის 65/100. მოდით გამოვთვალოთ:

2) რა თანხა გადაიხადე გათბობით ბინაში? წინა მსჯელობის მსგავსად, მივდივართ შემდეგ გაანგარიშებამდე:

3) რა თანხა გადაიხადე გაზზე, ელექტროენერგიაში და რადიოში?

4) რა თანხა დაიხარჯა კულტურულ საჭიროებებზე?

5) რა თანხა დაზოგა მუშამ?

შესამოწმებლად, სასარგებლოა ამ 5 კითხვაში ნაპოვნი რიცხვების დამატება. თანხა უნდა იყოს 1200 რუბლი. ყველა შემოსავალი აღებულია როგორც 100%, რისი შემოწმება მარტივია პრობლემურ განცხადებაში მოცემული პროცენტული რიცხვების დამატებით.

სამი პრობლემა მოვაგვარეთ. მიუხედავად იმისა, რომ ეს პრობლემები განსხვავებულ საკითხებს ეხებოდა (სკოლისთვის შეშის მიწოდება, სხვადასხვა ასაკის ბავშვების რაოდენობა, მუშის ხარჯები), ისინი ერთნაირად მოგვარდა. ეს იმიტომ მოხდა, რომ ყველა პრობლემაში საჭირო იყო მოცემული რიცხვების რამდენიმე პროცენტის პოვნა.

§ 90. წილადების დაყოფა.

წილადების დაყოფის შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.
2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე
3. მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფა.
4. წილადის გაყოფა წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გაყოფა.
6. რიცხვის პოვნა მისი მოცემული წილადიდან.
7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.

1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.

როგორც აღინიშნა მთელი რიცხვების განყოფილებაში, გაყოფა არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ ორი ფაქტორის (დივიდენდის) და ამ ფაქტორებიდან ერთის (გამყოფის) ნამრავლის გათვალისწინებით, სხვა ფაქტორი გვხვდება.

ჩვენ შევხედეთ მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე დაყოფას მთელი რიცხვების განყოფილებაში. იქ დაყოფის ორ შემთხვევას შევხვდით: გაყოფა ნარჩენების გარეშე, ან „მთლიანად“ (150: 10 = 15) და გაყოფა ნაშთით (100: 9 = 11 და 1 ნაშთი). ამიტომ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მთელი რიცხვების სფეროში ზუსტი გაყოფა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, რადგან დივიდენდი ყოველთვის არ არის გამყოფის პროდუქტი მთელი რიცხვით. წილადზე გამრავლების შემოღების შემდეგ შეგვიძლია განვიხილოთ მთელი რიცხვების გაყოფის ნებისმიერი შემთხვევა (გამორიცხულია მხოლოდ ნულზე გაყოფა).

მაგალითად, 7-ის 12-ზე გაყოფა ნიშნავს რიცხვის პოვნას, რომლის ნამრავლი 12-ზე იქნება 7-ის ტოლი. ასეთი რიცხვია წილადი 7/12, რადგან 7 / 12 12 = 7. კიდევ ერთი მაგალითი: 14: 25 = 14 / 25, რადგან 14 / 25 25 = 14.

ამრიგად, მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა შექმნათ წილადი, რომლის მრიცხველი დივიდენდის ტოლია, ხოლო მნიშვნელი გამყოფის ტოლია.

2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე.

გაყავით წილადი 6/7 3-ზე. ზემოთ მოცემული გაყოფის განმარტების მიხედვით, აქ გვაქვს ნამრავლი (6/7) და ერთ-ერთი ფაქტორი (3); საჭიროა მეორე კოეფიციენტის პოვნა, რომელიც 3-ზე გამრავლებისას მისცემს მოცემულ ნამრავლს 6/7. ცხადია, ის ამ პროდუქტზე სამჯერ მცირე უნდა იყოს. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ წინაშე დასახული ამოცანა იყო წილადის 6/7-ით 3-ჯერ შემცირება.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ წილადის შემცირება შეიძლება მოხდეს მისი მრიცხველის შემცირებით ან მნიშვნელის გაზრდით. ამიტომ შეგიძლიათ დაწეროთ:

ამ შემთხვევაში მრიცხველი 6 იყოფა 3-ზე, ამიტომ მრიცხველი უნდა შემცირდეს 3-ჯერ.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8 გაყოფილი 2-ზე. აქ მრიცხველი 5 არ იყოფა 2-ზე, რაც ნიშნავს, რომ მნიშვნელი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე:

ამის საფუძველზე შეიძლება დადგინდეს წესი: წილადის მთელ რიცხვზე გასაყოფად საჭიროა წილადის მრიცხველი მთელ რიცხვზე გაყოთ.(თუ შესაძლებელია), დატოვეთ ერთი და იგივე მნიშვნელი, ან გაამრავლეთ წილადის მნიშვნელი ამ რიცხვზე და დატოვეთ იგივე მრიცხველი.

3. მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფა.

დაე, საჭირო იყოს 5-ის 1/2-ზე გაყოფა, ანუ ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 1/2-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 5. ცხადია, ეს რიცხვი 5-ზე მეტი უნდა იყოს, რადგან 1/2 სწორი წილადია. და რიცხვის გამრავლებისას სათანადო წილადის ნამრავლი უნდა იყოს გამრავლებულ ნამრავლზე ნაკლები. ამის გასაგებად, მოდით დავწეროთ ჩვენი მოქმედებები შემდეგნაირად: 5: 1 / 2 = X , რაც ნიშნავს x 1/2 = 5.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი რიცხვი X , რომელიც 1/2-ზე გამრავლების შემთხვევაში მივიღებთ 5-ს. ვინაიდან გარკვეული რიცხვის 1/2-ზე გამრავლება ნიშნავს ამ რიცხვის 1/2-ის პოვნას, მაშასადამე, უცნობი რიცხვის 1/2. X უდრის 5-ს და მთელი რიცხვი X ორჯერ მეტი, ანუ 5 2 = 10.

ასე რომ 5: 1/2 = 5 2 = 10

მოდით შევამოწმოთ:

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. ვთქვათ, გსურთ 6-ის გაყოფა 2/3-ზე. ჯერ ვცადოთ სასურველი შედეგის პოვნა ნახატის გამოყენებით (სურ. 19).

სურ.19

დავხატოთ AB სეგმენტი 6 ერთეულის ტოლი და თითოეული ერთეული გავყოთ 3 ტოლ ნაწილად. თითოეულ ერთეულში, მთელი AB სეგმენტის სამი მესამედი (3/3) 6-ჯერ დიდია, ე.ი. ე. 18/3. მცირე ფრჩხილების გამოყენებით, ჩვენ ვაკავშირებთ 2-ის 18 მიღებულ სეგმენტს; იქნება მხოლოდ 9 სეგმენტი. ეს ნიშნავს, რომ წილადი 2/3 შეიცავს 6 ერთეულში 9-ჯერ, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადი 2/3 9-ჯერ ნაკლებია 6 მთლიან ერთეულზე. აქედან გამომდინარე,

როგორ მივიღოთ ეს შედეგი ნახაზის გარეშე მხოლოდ გამოთვლების გამოყენებით? მოდით ვიმსჯელოთ ასე: 6 უნდა გავყოთ 2/3-ზე, ანუ უნდა ვუპასუხოთ კითხვას რამდენჯერ შეიცავს 2/3 6-ში. ჯერ გავარკვიოთ: რამდენჯერ შეიცავს 1/3 6-ში? მთლიან ერთეულში არის 3 მესამედი, ხოლო 6 ერთეულში 6-ჯერ მეტი, ანუ 18 მესამედი; ამ რიცხვის საპოვნელად უნდა გავამრავლოთ 6 3-ზე. ეს ნიშნავს, რომ 1/3 შეიცავს b ერთეულებში 18-ჯერ, ხოლო 2/3 შეიცავს b ერთეულებს არა 18-ჯერ, არამედ იმდენივე ჯერზე, ანუ 18: 2 = 9. ამიტომ, 6-ის 2/3-ზე გაყოფისას ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

აქედან ვიღებთ მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფის წესს. მთელი რიცხვის წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს მთელი რიცხვი მოცემული წილადის მნიშვნელზე და ამ ნამრავლის მრიცხველად აქციოთ, გაყოთ იგი მოცემული წილადის მრიცხველზე.

მოდით დავწეროთ წესი ასოების გამოყენებით:

ამ წესის სრულად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გაყოფის წესთან, რომელიც მოცემულია § 38-ში. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ იქაც იგივე ფორმულა იქნა მიღებული.

გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

4. წილადის გაყოფა წილადზე.

ვთქვათ, უნდა გავყოთ 3/4 3/8-ზე. რას ნიშნავს რიცხვი, რომელიც გამოდის გაყოფით? ის უპასუხებს კითხვას რამდენჯერ შეიცავს წილადი 3/8 წილადში 3/4. ამ საკითხის გასაგებად დავხატოთ ნახატი (სურ. 20).

ავიღოთ AB სეგმენტი, ავიღოთ როგორც ერთი, გავყოთ 4 ტოლ ნაწილად და მოვნიშნოთ 3 ასეთი ნაწილი. სეგმენტი AC უდრის AB სეგმენტის 3/4-ს. მოდით ახლა გავყოთ ოთხი თავდაპირველი სეგმენტიდან თითოეული ნახევრად, შემდეგ სეგმენტი AB დაიყოფა 8 ტოლ ნაწილად და თითოეული ასეთი ნაწილი იქნება AB სეგმენტის 1/8-ის ტოლი. დავუკავშიროთ 3 ასეთი სეგმენტი რკალებით, მაშინ თითოეული სეგმენტი AD და DC იქნება AB სეგმენტის 3/8-ის ტოლი. ნახაზზე ჩანს, რომ 3/8-ის ტოლი სეგმენტი შეიცავს 3/4-ის ტოლ სეგმენტში ზუსტად 2-ჯერ; ეს ნიშნავს, რომ გაყოფის შედეგი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

3 / 4: 3 / 8 = 2

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. ვთქვათ, უნდა გავყოთ 15/16 3/32-ზე:

შეგვიძლია ასე ვიმსჯელოთ: უნდა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 3/32-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 15/16-ის ტოლი. მოდით დავწეროთ გამოთვლები ასე:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 უცნობი ნომერი X არის 15/16

უცნობი ნომრის 1/32 X არის,

32/32 ნომრები X კოსმეტიკა .

აქედან გამომდინარე,

ამრიგად, წილადის წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორის მნიშვნელზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი გავამრავლოთ მეორის მრიცხველზე და პირველი ნამრავლი გააკეთოთ მრიცხველი. ხოლო მეორე მნიშვნელი.

მოდით დავწეროთ წესი ასოების გამოყენებით:

გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

5. შერეული რიცხვების გაყოფა.

შერეული რიცხვების გაყოფისას ისინი ჯერ უნდა გადაკეთდეს არასწორ წილადებად, შემდეგ კი მიღებული წილადები უნდა დაიყოს წილადების გაყოფის წესების მიხედვით. მოდით შევხედოთ მაგალითს:

გადავიყვანოთ შერეული რიცხვები არასწორ წილადებად:

ახლა გავყოთ:

ამრიგად, შერეული რიცხვების გასაყოფად, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ ისინი არასწორ წილადებად და შემდეგ გაყოთ წილადების გაყოფის წესის გამოყენებით.

6. რიცხვის პოვნა მისი მოცემული წილადიდან.

წილადის სხვადასხვა ამოცანებს შორის, ზოგჯერ არის ისეთებიც, რომლებშიც მოცემულია უცნობი რიცხვის ზოგიერთი წილადის მნიშვნელობა და თქვენ უნდა იპოვოთ ეს რიცხვი. ამ ტიპის ამოცანები იქნება მოცემული რიცხვის წილადის პოვნის ამოცანის შებრუნებული; იქ იყო მოცემული რიცხვი და საჭირო იყო ამ რიცხვის რაღაც წილადის პოვნა, აქ მოცემულია რიცხვის წილადი და საჭირო იყო თავად ამ რიცხვის პოვნა. ეს იდეა კიდევ უფრო ნათელი გახდება, თუ ამ ტიპის პრობლემის გადაჭრას მივმართავთ.

დავალება 1.პირველ დღეს მინაშენებმა 50 სარკმელი შეამინეს, რაც აშენებული სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ია. რამდენი ფანჯარაა ამ სახლში?

გამოსავალი.პრობლემა ამბობს, რომ 50 მინის ფანჯარა შეადგენს სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ს, რაც ნიშნავს, რომ სულ 3-ჯერ მეტი ფანჯარაა, ე.ი.

სახლს 150 ფანჯარა ჰქონდა.

დავალება 2.მაღაზიაში გაიყიდა 1500 კგ ფქვილი, რაც მაღაზიაში არსებული ფქვილის მთლიანი მარაგის 3/8-ია. როგორი იყო მაღაზიის ფქვილის საწყისი მარაგი?

გამოსავალი.პრობლემის პირობებიდან ირკვევა, რომ გაყიდული 1500 კგ ფქვილი მთლიანი მარაგის 3/8-ს შეადგენს; ეს ნიშნავს, რომ ამ რეზერვის 1/8 იქნება 3-ჯერ ნაკლები, ანუ მისი გამოსათვლელად საჭიროა 1500-ის შემცირება 3-ჯერ:

1500: 3 = 500 (ეს არის რეზერვის 1/8).

ცხადია, მთლიანი მარაგი 8-ჯერ მეტი იქნება. აქედან გამომდინარე,

500 8 = 4000 (კგ).

მაღაზიაში ფქვილის საწყისი მარაგი 4000 კგ იყო.

ამ პრობლემის გათვალისწინებით, შემდეგი წესი შეიძლება გამოვიდეს.

მისი წილადის მოცემული მნიშვნელობიდან რიცხვის საპოვნელად საკმარისია ეს მნიშვნელობა გავყოთ წილადის მრიცხველზე და გავამრავლოთ შედეგი წილადის მნიშვნელზე.

ჩვენ გადავწყვიტეთ ორი ამოცანა რიცხვის პოვნის შესახებ მისი წილადის მიხედვით. ასეთი ამოცანები, როგორც განსაკუთრებით ნათლად ჩანს ბოლოდან, წყდება ორი მოქმედებით: გაყოფით (როდესაც იპოვეს ერთი ნაწილი) და გამრავლებით (როდესაც იპოვეს მთელი რიცხვი).

თუმცა მას შემდეგ რაც ვისწავლეთ წილადების დაყოფა, ზემოაღნიშნული ამოცანების ამოხსნა შესაძლებელია ერთი მოქმედებით, კერძოდ: წილადზე გაყოფა.

მაგალითად, ბოლო დავალება შეიძლება გადაწყდეს ერთი მოქმედებით ასე:

სამომავლოდ მისი წილადიდან რიცხვის პოვნის ამოცანებს ერთი მოქმედებით - გაყოფით მოვაგვარებთ.

7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

ამ პრობლემებში თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც იცის ამ რიცხვის რამდენიმე პროცენტი.

დავალება 1.ამ წლის დასაწყისში შემნახველი ბანკიდან ავიღე 60 მანეთი. შემოსავალი იმ თანხიდან, რომელიც მე ჩავდე დანაზოგში ერთი წლის წინ. რამდენი ფული ჩავდე შემნახველ ბანკში? (სალაროები აძლევენ მეანაბრეებს წელიწადში 2%-იან ანაზღაურებას.)

პრობლემა ის არის, რომ შემნახველ ბანკში ჩავდე გარკვეული თანხა და ერთი წელი დავრჩი. ერთი წლის შემდეგ მისგან 60 მანეთი მივიღე. შემოსავალი, რაც ჩემს მიერ შეტანილი თანხის 2/100-ია. რამდენი ფული ჩავდე?

შესაბამისად, ვიცოდეთ ამ ფულის ნაწილი, ორი გზით გამოხატული (რუბლით და წილადებით), უნდა ვიპოვოთ მთელი, ჯერ უცნობი, თანხა. ეს რიგითი პრობლემაა რიცხვის პოვნისას მისი წილადის მიხედვით. გაყოფით წყდება შემდეგი პრობლემები:

ეს ნიშნავს, რომ შემნახველ ბანკში 3000 მანეთი ჩაირიცხა.

დავალება 2.მეთევზეებმა თვიური გეგმა ორ კვირაში 64%-ით შეასრულეს და 512 ტონა თევზი მოაგროვეს. რა იყო მათი გეგმა?

პრობლემის პირობებიდან ცნობილია, რომ მეთევზეებმა გეგმის ნაწილი დაასრულეს. ეს ნაწილი უდრის 512 ტონას, რაც გეგმის 64%-ია. ჩვენ არ ვიცით რამდენი ტონა თევზი უნდა მომზადდეს გეგმის მიხედვით. ამ ნომრის პოვნა იქნება პრობლემის გადაწყვეტა.

ასეთი პრობლემები წყდება გაყოფით:

ეს ნიშნავს, რომ გეგმის მიხედვით 800 ტონა თევზის მომზადებაა საჭირო.

დავალება 3.მატარებელი რიგადან მოსკოვში წავიდა. როდესაც მან 276-ე კილომეტრი გაიარა, ერთ-ერთმა მგზავრმა გამვლელ კონდუქტორს ჰკითხა, რამდენი გზა გაიარეს. ამაზე კონდუქტორმა უპასუხა: „ჩვენ უკვე დავფარეთ მთელი მოგზაურობის 30%. რა მანძილია რიგადან მოსკოვამდე?

პრობლემური პირობებიდან ირკვევა, რომ რიგიდან მოსკოვამდე მარშრუტის 30% 276 კმ-ია. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მთელი მანძილი ამ ქალაქებს შორის, ანუ ამ ნაწილისთვის ვიპოვოთ მთელი:

§ 91. საპასუხო რიცხვები. გაყოფის შეცვლა გამრავლებით.

ავიღოთ წილადი 2/3 და შევცვალოთ მრიცხველი მნიშვნელის ნაცვლად, მივიღებთ 3/2. მივიღეთ ამ წილადის შებრუნებული.

მოცემული წილადის ინვერსიის მისაღებად, თქვენ უნდა დააყენოთ მისი მრიცხველი მნიშვნელის ნაცვლად, ხოლო მნიშვნელი მრიცხველის ნაცვლად. ამ გზით ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ ნებისმიერი წილადის ორმხრივი. Მაგალითად:

3/4, საპირისპირო 4/3; 5/6, საპირისპირო 6/5

ორ წილადს, რომელსაც აქვს თვისება, რომ პირველის მრიცხველი არის მეორის მნიშვნელი, ხოლო პირველის მნიშვნელი მეორის მრიცხველი, ე.წ. ურთიერთშებრუნებული.

ახლა მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რომელი წილადი იქნება 1/2-ის საპასუხო. ცხადია, ეს იქნება 2/1, ან უბრალოდ 2. მოცემულის შებრუნებული წილადის ძიებით მივიღეთ მთელი რიცხვი. და ეს შემთხვევა არ არის იზოლირებული; პირიქით, ყველა წილადისთვის, რომელთა მრიცხველია 1 (ერთი), საპასუხო რიცხვები იქნება მთელი რიცხვები, მაგალითად:

1/3, საპირისპირო 3; 1/5, საპირისპირო 5

ვინაიდან საპასუხო წილადების პოვნისას ჩვენ ასევე შევხვდით მთელ რიცხვებს, შემდეგში ვისაუბრებთ არა საპასუხო წილადებზე, არამედ საპასუხო რიცხვებზე.

მოდით გავარკვიოთ, როგორ დავწეროთ მთელი რიცხვის ინვერსია. წილადებისთვის, ეს შეიძლება მარტივად გადაწყდეს: მრიცხველის ნაცვლად უნდა დააყენოთ მნიშვნელი. ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ მთელი რიცხვის ინვერსია, ვინაიდან ნებისმიერ მთელ რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელი 1. ეს ნიშნავს, რომ 7-ის შებრუნებული იქნება 1/7, რადგან 7 = 7/1; 10 რიცხვისთვის შებრუნებული იქნება 1/10, ვინაიდან 10 = 10/1

ეს აზრი შეიძლება განსხვავებულად გამოითქვას: მოცემული რიცხვის საპასუხოობა მიიღება ერთის მოცემულ რიცხვზე გაყოფით. ეს განცხადება მართალია არა მხოლოდ მთელი რიცხვებისთვის, არამედ წილადებისთვისაც. ფაქტობრივად, თუ დაგვჭირდება 5/9 წილადის შებრუნებული ჩაწერა, მაშინ შეგვიძლია ავიღოთ 1 და გავყოთ 5/9-ზე, ე.ი.

ახლა ერთი რამ აღვნიშნოთ ქონებასაპასუხო ნომრები, რომლებიც გამოგვადგება: საპასუხო რიცხვების ნამრავლი უდრის ერთს.Ნამდვილად:

ამ თვისების გამოყენებით შეგვიძლია ვიპოვოთ საპასუხო რიცხვები შემდეგი გზით. ვთქვათ, უნდა ვიპოვოთ 8-ის შებრუნებული.

ასოებით აღვნიშნოთ X , შემდეგ 8 X = 1, შესაბამისად X = 1/8. ვიპოვოთ სხვა რიცხვი, რომელიც არის 7/12-ის შებრუნებული და ავღნიშნოთ ასოთი X , შემდეგ 7/12 X = 1, შესაბამისად X = 1: 7 / 12 ან X = 12 / 7 .

ჩვენ აქ შემოვიღეთ საპასუხო რიცხვების კონცეფცია, რათა ოდნავ შევავსოთ ინფორმაცია წილადების გაყოფის შესახებ.

როდესაც 6-ს ვყოფთ 3/5-ზე, ვაკეთებთ შემდეგს:

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ გამოთქმას და შეადარეთ მოცემულს: .

თუ გამოთქმას ცალ-ცალკე ავიღებთ, წინასთან კავშირის გარეშე, მაშინ შეუძლებელია ამოხსნათ კითხვა, საიდან გაჩნდა: 6-ის 3/5-ზე გაყოფით თუ 6-ის 5/3-ზე გამრავლებიდან. ორივე შემთხვევაში ერთი და იგივე ხდება. ამიტომ შეგვიძლია ვთქვათ რომ ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფა შეიძლება შეიცვალოს დივიდენდის გამყოფის შებრუნებულზე გამრავლებით.

ქვემოთ მოყვანილი მაგალითები სრულად ადასტურებს ამ დასკვნას.