დიჰედრული კუთხის ელემენტები. დიჰედრული კუთხე

დიედრული კუთხის კონცეფცია

დიედრული კუთხის ცნების გასაცნობად, ჯერ გავიხსენოთ სტერეომეტრიის ერთ-ერთი აქსიომა.

ნებისმიერი თვითმფრინავი შეიძლება დაიყოს ამ სიბრტყეში არსებული $a$ ხაზის ორ ნახევარ სიბრტყედ. ამ შემთხვევაში, წერტილები, რომლებიც დევს ერთსა და იმავე ნახევარსიბრტყეში, არის $a$ სწორი ხაზის ერთ მხარეს, ხოლო სხვადასხვა ნახევარსიბრტყეში მდებარე წერტილები არის $a$ სწორი ხაზის მოპირდაპირე მხარეს (ნახ. 1).

სურათი 1.

ამ აქსიომას ეფუძნება დიედრული კუთხის აგების პრინციპი.

განმარტება 1

ფიგურა ე.წ დიედრული კუთხე, თუ იგი შედგება წრფისა და ამ ხაზის ორი ნახევარსიბრტყისგან, რომლებიც არ მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს.

ამ შემთხვევაში დიედრული კუთხის ნახევრად სიბრტყეებს უწოდებენ კიდეები, ხოლო ნახევრად სიბრტყეების გამყოფი სწორი ხაზია დიჰედრული კიდე(ნახ. 1).

სურათი 2. დიჰედრული კუთხე

დიედრული კუთხის ხარისხის საზომი

განმარტება 2

მოდით ავირჩიოთ თვითნებური წერტილი $A$ კიდეზე. კუთხე ორ წრფეს შორის, რომლებიც დევს სხვადასხვა ნახევარ სიბრტყეში, კიდეზე პერპენდიკულარული და $A$ წერტილში კვეთს, ეწოდება ხაზოვანი დიჰედრული კუთხე(ნახ. 3).

სურათი 3.

ცხადია, ყველა დიედრალურ კუთხეს აქვს წრფივი კუთხეების უსასრულო რაოდენობა.

თეორემა 1

ერთი დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ერთმანეთის ტოლია.

მტკიცებულება.

განვიხილოთ ორი წრფივი კუთხე $AOB$ და $A_1(OB)_1$ (ნახ. 4).

სურათი 4.

ვინაიდან $OA$ და $(OA)_1$ სხივები ერთსა და იმავე ნახევრად სიბრტყეში $\alpha $ დევს და პერპენდიკულარულია იმავე სწორი ხაზის, მაშინ ისინი თანამიმართულნი არიან. ვინაიდან $OB$ და $(OB)_1$ სხივები ერთსა და იმავე ნახევრად სიბრტყეში დევს $\beta $ და პერპენდიკულარულია იმავე სწორ ხაზზე, მაშინ ისინი თანამიმართულნი არიან. აქედან გამომდინარე

\[\კუთხე AOB=\კუთხე A_1(OB)_1\]

წრფივი კუთხეების არჩევის თვითნებობის გამო. ერთი დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ერთმანეთის ტოლია.

თეორემა დადასტურებულია.

განმარტება 3

დიედრული კუთხის გრადუსული ზომა არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხის ხარისხი.

პრობლემების ნიმუში

მაგალითი 1

მოდით მივცეთ ორი არაპერპენდიკულარული სიბრტყე $\alpha $ და $\beta $, რომლებიც იკვეთება $m$ სწორი ხაზის გასწვრივ. წერტილი $A$ ეკუთვნის $\beta$ სიბრტყეს. $AB$ არის $m$ წრფის პერპენდიკულარული. $AC$ არის $\alpha $ სიბრტყის პერპენდიკულარული (პუნქტი $C$ ეკუთვნის $\alpha $). დაამტკიცეთ, რომ კუთხე $ABC$ არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე.

მტკიცებულება.

დავხატოთ ნახატი ამოცანის პირობების მიხედვით (სურ. 5).

სურათი 5.

ამის დასამტკიცებლად გაიხსენეთ შემდეგი თეორემა

თეორემა 2:სწორი ხაზი, რომელიც გადის დახრილის ფუძეზე, არის მასზე პერპენდიკულარული, მისი პროექციის პერპენდიკულარული.

ვინაიდან $AC$ არის $\alpha $ სიბრტყის პერპენდიკულარული, მაშინ $C$ წერტილი არის $A$ წერტილის პროექცია $\alpha $ სიბრტყეზე. მაშასადამე, $BC$ არის $AB$-ის ირიბი პროექცია. თეორემა 2-ით $BC$ არის პერპენდიკულარული დიედრული კუთხის კიდეზე.

შემდეგ, კუთხე $ABC$ აკმაყოფილებს წრფივი დიედრული კუთხის განსაზღვრის ყველა მოთხოვნას.

მაგალითი 2

დიჰედრული კუთხე არის $30^\circ$. ერთ-ერთ სახეზე დევს წერტილი $A$, რომელიც მდებარეობს $4$ სმ დაშორებით მეორე სახიდან.

გამოსავალი.

მოდით შევხედოთ სურათს 5.

პირობით, გვაქვს $AC=4\cm$.

დიედრული კუთხის ხარისხის საზომის განმარტებით, ჩვენ გვაქვს, რომ კუთხე $ABC$ უდრის $30^\circ$-ს.

სამკუთხედი $ABC$ არის მართკუთხა სამკუთხედი. მწვავე კუთხის სინუსის განმარტებით

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

გაკვეთილის მიზანი: დიედრული კუთხის და მისი წრფივი კუთხის ცნების დანერგვა.

Დავალებები:

საგანმანათლებლო: განიხილოს ამოცანები ამ ცნებების გამოყენებასთან დაკავშირებით, განავითაროს სიბრტყეებს შორის კუთხის პოვნის კონსტრუქციული უნარი;

განმავითარებელი: მოსწავლეთა შემოქმედებითი აზროვნების განვითარება, მოსწავლეთა პიროვნული თვითგანვითარება, მოსწავლეთა მეტყველების განვითარება;

საგანმანათლებლო: გონებრივი მუშაობის კულტურის აღზრდა, კომუნიკაციური კულტურა, რეფლექსური კულტურა.

გაკვეთილის ტიპი: ახალი ცოდნის შესწავლის გაკვეთილი

სწავლების მეთოდები: განმარტებითი და საილუსტრაციო

აღჭურვილობა: კომპიუტერი, ინტერაქტიული დაფა.

ლიტერატურა:

გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო. 10-11 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები / [ლ. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev და სხვ.] - მე-18 გამოცემა. – მ.: განათლება, 2009. – 255გვ.

Გაკვეთილის გეგმა:

საორგანიზაციო მომენტი (2 წთ)

ცოდნის განახლება (5 წთ)

ახალი მასალის შესწავლა (12 წთ)

ნასწავლი მასალის გაძლიერება (21 წთ)

საშინაო დავალება (2 წთ)

შეჯამება (3 წთ)

გაკვეთილების დროს:

1. საორგანიზაციო მომენტი.

მოიცავს მასწავლებელს, რომელიც მიესალმება კლასს, ამზადებს ოთახს გაკვეთილისთვის და ამოწმებს დაუსწრებლებს.

2. საბაზისო ცოდნის განახლება.

მასწავლებელი: ბოლო გაკვეთილზე თქვენ დაწერეთ დამოუკიდებელი ნაშრომი. ზოგადად, ნამუშევარი კარგად იყო დაწერილი. ახლა ცოტა გავიმეოროთ. რა ჰქვია კუთხეს სიბრტყეში?

Სტუდენტი: სიბრტყეზე კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ერთი წერტილიდან გამომავალი ორი სხივით.

მასწავლებელი: რა ჰქვია სივრცეში ხაზებს შორის კუთხეს?

Სტუდენტი: სივრცეში ორ გადამკვეთ წრფეს შორის კუთხე არის ყველაზე პატარა კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება ამ წრფეების სხივებით წვეროსთან მათი გადაკვეთის წერტილში.

Სტუდენტი: გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხე არის კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის, შესაბამისად, მონაცემების პარალელურად.

მასწავლებელი: რა ჰქვია კუთხეს სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის?

Სტუდენტი: კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორისნებისმიერ კუთხეს სწორ ხაზსა და მის პროექციას შორის ამ სიბრტყეზე ეწოდება.

3.ახალი მასალის სწავლა.

მასწავლებელი: სტერეომეტრიაში ასეთ კუთხეებთან ერთად განიხილება კუთხის სხვა სახეობა - დიედრული კუთხეები. ალბათ უკვე მიხვდით რა არის დღევანდელი გაკვეთილის თემა, ამიტომ გახსენით რვეულები, ჩაწერეთ დღევანდელი თარიღი და გაკვეთილის თემა.

ჩაწერეთ დაფაზე და რვეულებში:

10.12.14.

დიჰედრული კუთხე.

მასწავლებელი : დიედრული კუთხის ცნების გასაცნობად უნდა გავიხსენოთ, რომ მოცემულ სიბრტყეში დახატული ნებისმიერი სწორი ხაზი ამ სიბრტყეს ორ ნახევრად სიბრტყედ ყოფს.(ნახ. 1, ა)

მასწავლებელი : წარმოვიდგინოთ, რომ სიბრტყე სწორი ხაზის გასწვრივ დავკეცეთ ისე, რომ ორი ნახევრად სიბრტყე საზღვრებით აღარ იყოს იმავე სიბრტყეში (ნახ. 1, ბ). შედეგად მიღებული ფიგურა არის დიჰედრული კუთხე. დიედრული კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზით და ორი ნახევრად სიბრტყით საერთო საზღვრით, რომლებიც არ მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს. ნახევრად სიბრტყეებს, რომლებიც ქმნიან დიედრალურ კუთხეს, მის სახეებს უწოდებენ. დიედრულ კუთხეს ორი გვერდი აქვს, აქედან მოდის სახელწოდება დიჰედრული კუთხე. სწორ ხაზს - ნახევრად სიბრტყეების საერთო საზღვარს - ეწოდება დიედრული კუთხის კიდე. დაწერეთ განმარტება ბლოკნოტში.

დიედრული კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზით და ორი ნახევრად სიბრტყით საერთო საზღვრით, რომლებიც არ მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს.

მასწავლებელი : ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხშირად ვხვდებით ობიექტებს, რომლებსაც აქვთ დიედრული კუთხის ფორმა. მიეცით მაგალითები.

Სტუდენტი : ნახევრად გახსნილი საქაღალდე.

Სტუდენტი : ოთახის კედელი იატაკთან ერთადაა.

Სტუდენტი : შენობების ორპირიანი სახურავები.

მასწავლებელი : მართალია. და ასეთი მაგალითების დიდი რაოდენობაა.

მასწავლებელი : მოგეხსენებათ, სიბრტყეში კუთხეები იზომება გრადუსით. ალბათ გაგიჩნდებათ შეკითხვა, როგორ იზომება დიედრული კუთხეები? ეს კეთდება შემდეგნაირად.მოდი ავღნიშნოთ რაღაც წერტილი დიედრული კუთხის კიდეზე და ამ წერტილიდან თითოეულ სახეზე დავხატოთ კიდეზე პერპენდიკულარული სხივი. ამ სხივების მიერ წარმოქმნილ კუთხეს დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე ეწოდება. გააკეთე ნახატი რვეულებში.

ჩაწერეთ დაფაზე და რვეულებში.

შესახებ ∈ ა, ს.ს ⊥ a, VO ⊥ ა, SABD- დიედრული კუთხე,∠ AOB– დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე.

მასწავლებელი : დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ტოლია. გააკეთე კიდევ ერთი ასეთი ნახატი.

მასწავლებელი : დავამტკიცოთ. განვიხილოთ ორი წრფივი კუთხე AOB დაPQR. სხივები OA დაQPწევენ ერთსა და იმავე სახეზე და არიან პერპენდიკულარულიOQ, რაც იმას ნიშნავს, რომ ისინი ერთობლივად ხელმძღვანელობენ. ანალოგიურად, სხივები OB დაQRთანარეჟისორი. ნიშნავს,∠ AOB= ∠ PQR(კუთხების მსგავსად გასწორებული გვერდებით).

მასწავლებელი : კარგი, ახლა ჩვენს კითხვაზე პასუხია, როგორ იზომება დიედრული კუთხე.დიედრული კუთხის გრადუსული ზომა არის მისი წრფივი კუთხის ხარისხი. გადახაზეთ მწვავე, მართი და ბლაგვი დიედრული კუთხის გამოსახულებები სახელმძღვანელოდან 48 გვერდზე.

4. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია.

მასწავლებელი : დავალებების ნახატების გაკეთება.

№ 1 . მოცემული: ΔABC, AC = BC, AB დევს სიბრტყეშიα, CD ⊥ α, C∉ α. დიედრული კუთხის წრფივი კუთხის აგებაCABD.

Სტუდენტი : გამოსავალი:ᲡᲛ. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - მოთხოვნადი.

№ 2. მოცემული: ΔABC, ∠ C= 90°, BC წევს თვითმფრინავზეα, ს.ს⊥ α, ა∈ α.

დიედრული კუთხის წრფივი კუთხის აგებაABCO.

Სტუდენტი : გამოსავალი:AB ⊥ ძვ.წ., სს⊥ BC ნიშნავს OS⊥ მზე.∠ ACO - მოთხოვნადი.

№ 3 . მოცემული: ΔABC, ∠ C = 90°, AB დევს სიბრტყეშიα, CD⊥ α, C∉ α. აშენებახაზოვანი დიჰედრული კუთხეDABC.

Სტუდენტი : გამოსავალი: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB ნიშნავს∠ DKC - მოთხოვნადი.

№ 4 . მოცემული:DABC- ტეტრაედონი,ᲙᲔᲗᲔᲑᲐ⊥ ABC.ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხეᲐ Ბ Გ Დ.

Სტუდენტი : გამოსავალი:DM ⊥ მზე,ᲙᲔᲗᲔᲑᲐ ⊥ VS ნიშნავს OM⊥ მზე;∠ OMD - მოთხოვნადი.

5. შეჯამება.

მასწავლებელი: რა ახალი ისწავლეთ დღეს კლასში?

სტუდენტები : რას ჰქვია ორწახნაგოვანი კუთხე, წრფივი კუთხე, როგორ იზომება დიედრული კუთხე.

მასწავლებელი : რა გაიმეორეს?

სტუდენტები : რას ჰქვია კუთხე სიბრტყეზე; კუთხე სწორ ხაზებს შორის.

6.საშინაო დავალება.

ჩაწერეთ დაფაზე და თქვენს დღიურებში: პუნქტი 22, No167, No170.

გაკვეთილის ტექსტის ტრანსკრიპტი:

პლანიმეტრიაში მთავარი ობიექტებია ხაზები, სეგმენტები, სხივები და წერტილები. ერთი წერტილიდან გამომავალი სხივები ქმნის მათ ერთ-ერთ გეომეტრიულ ფორმას - კუთხეს.

ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი კუთხე იზომება გრადუსით და რადიანებით.

სტერეომეტრიაში თვითმფრინავი ემატება ობიექტებს. ფიგურას, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზით a და ორი ნახევრად სიბრტყით საერთო a საზღვრით, რომლებიც გეომეტრიაში არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სიბრტყეს, ეწოდება დიედრული კუთხე. ნახევრად სიბრტყეები არის დიედრული კუთხის სახეები. სწორი ხაზი a არის დიედრული კუთხის კიდე.

დიედრული კუთხე, ისევე როგორც წრფივი კუთხე, შეიძლება იყოს დასახელებული, გაზომილი და აგებული. ეს არის ის, რაც ჩვენ უნდა გავარკვიოთ ამ გაკვეთილზე.

მოდი ვიპოვოთ ტეტრაედრული ABCD მოდელზე დიჰედრული კუთხე.

დიედრალურ კუთხეს AB კიდით ეწოდება CABD, სადაც C და D წერტილები ეკუთვნის კუთხის სხვადასხვა სახეებს და კიდე AB ეწოდება შუაში.

ჩვენს ირგვლივ საკმაოდ ბევრი ობიექტია დიედრული კუთხის სახით ელემენტებით.

ბევრ ქალაქში პარკებში შერიგების სპეციალური სკამებია დამონტაჟებული. სკამი დამზადებულია ორი დახრილი სიბრტყის სახით, რომლებიც გადადიან ცენტრისკენ.

სახლების აშენებისას ხშირად გამოიყენება ე.წ. ამ სახლზე სახურავი გაკეთებულია 90 გრადუსიანი დიჰედრული კუთხის სახით.

დიჰედრული კუთხე ასევე იზომება გრადუსებში ან რადიანებში, მაგრამ როგორ გავზომოთ იგი.

საინტერესოა, რომ სახლების სახურავები ეყრდნობა რაფებს. და რაფტერის გარსი ქმნის სახურავის ორ ფერდობს მოცემული კუთხით.

გადავიტანოთ სურათი ნახატზე. ნახატზე ორმხრივი კუთხის საპოვნელად მის კიდეზე მონიშნულია წერტილი B ამ წერტილიდან კუთხის კიდეს პერპენდიკულარულად გამოყვანილია ორი სხივი BA და BC. ამ სხივების მიერ წარმოქმნილ კუთხეს ABC ეწოდება წრფივი დიედრული კუთხე.

დიედრული კუთხის გრადუსული ზომა უდრის მისი წრფივი კუთხის გრადუსულ ზომას.

გავზომოთ კუთხე AOB.

მოცემული დიჰედრული კუთხის გრადუსული ზომა არის სამოცი გრადუსი.

უსასრულო რაოდენობის წრფივი კუთხეების დახატვა შესაძლებელია ორმხრივი კუთხისთვის, მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ, რომ ისინი ყველა ტოლია.

განვიხილოთ ორი წრფივი კუთხე AOB და A1O1B1. სხივები OA და O1A1 დევს ერთსა და იმავე სახეზე და პერპენდიკულარულია სწორი ხაზის OO1-ზე, ამიტომ ისინი თანამიმართულნი არიან. სხივები OB და O1B1 ასევე ერთობლივად არის მიმართული. მაშასადამე, AOB კუთხე უდრის A1O1B1 კუთხეს, როგორც კუთხეები თანამიმართულ გვერდებთან.

ასე რომ, დიედრულ კუთხეს ახასიათებს წრფივი კუთხე, ხოლო ხაზოვანი კუთხეები არის მკვეთრი, ბლაგვი და მართი. განვიხილოთ დიედრული კუთხეების მოდელები.

ბლაგვი კუთხეა, თუ მისი წრფივი კუთხე არის 90-დან 180 გრადუსამდე.

მართი კუთხე, თუ მისი წრფივი კუთხე 90 გრადუსია.

მწვავე კუთხე, თუ მისი წრფივი კუთხე არის 0-დან 90 გრადუსამდე.

მოდით დავამტკიცოთ წრფივი კუთხის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისება.

წრფივი კუთხის სიბრტყე პერპენდიკულარულია დიედრული კუთხის კიდეზე.

მოდით კუთხე AOB იყოს მოცემული დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე. აგებულებით, სხივები AO და OB პერპენდიკულარულია a სწორი ხაზის მიმართ.

სიბრტყე AOB გადის ორ გადამკვეთ წრფეზე AO და OB თეორემის მიხედვით: სიბრტყე გადის ორ გადამკვეთ წრფეზე და მხოლოდ ერთს.

წრფე a პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ორი გადამკვეთი წრფის მიმართ, რაც ნიშნავს, რომ წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობაზე დაყრდნობით, სწორი ხაზი a არის AOB სიბრტყის პერპენდიკულარული.

პრობლემების გადასაჭრელად მნიშვნელოვანია, რომ შეძლოთ მოცემული დიედრული კუთხის წრფივი კუთხის აგება. ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე AB კიდით ტეტრაედრონისთვის ABCD.

საუბარია დიედრალურ კუთხეზე, რომელიც წარმოიქმნება, პირველ რიგში, AB კიდით, ერთი სახე ABD და მეორე სახე ABC.

აქ არის მისი აშენების ერთი გზა.

დავხატოთ პერპენდიკულარი D წერტილიდან ABC სიბრტყემდე. შეგახსენებთ, რომ ტეტრაედრონში პერპენდიკულარულის ფუძე ემთხვევა ტეტრაედრის ძირში ჩაწერილი წრის ცენტრს.

დავხაზოთ დახრილი ხაზი D წერტილიდან პერპენდიკულარულად AB კიდესამდე, მოვნიშნოთ წერტილი N დახრილი ხაზის ფუძედ.

სამკუთხედში DMN სეგმენტი NM იქნება დახრილი DN-ის პროექცია ABC სიბრტყეზე. სამი პერპენდიკულარულის თეორემის მიხედვით კიდე AB იქნება NM პროექციის პერპენდიკულარული.

ეს ნიშნავს, რომ DNM კუთხის გვერდები პერპენდიკულარულია AB კიდესთან, რაც ნიშნავს, რომ აგებული კუთხე DNM არის სასურველი წრფივი კუთხე.

განვიხილოთ დიედრული კუთხის გამოთვლის ამოცანის ამოხსნის მაგალითი.

ტოლფერდა სამკუთხედი ABC და რეგულარული სამკუთხედი ADB არ დევს ერთ სიბრტყეში. სეგმენტი CD არის ADB სიბრტყის პერპენდიკულარული. იპოვეთ დიედრული კუთხე DABC, თუ AC=CB=2 სმ, AB= 4 სმ.

DABC-ის დიედრული კუთხე უდრის მის წრფივ კუთხეს. მოდით ავაშენოთ ეს კუთხე.

დავხატოთ დახრილი CM AB კიდეზე პერპენდიკულურად, რადგან სამკუთხედი ACB არის ტოლკუთხედი, მაშინ M წერტილი დაემთხვევა AB კიდის შუას.

სწორი ხაზი CD არის ADB სიბრტყის პერპენდიკულარული, რაც ნიშნავს, რომ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე მართ ხაზთან DM. და სეგმენტი MD არის დახრილი CM-ის პროექცია ADV სიბრტყეზე.

სწორი ხაზი AB კონსტრუქციით არის დახრილი CM-ის პერპენდიკულარული, რაც ნიშნავს, რომ სამი პერპენდიკულარულის თეორემით იგი პერპენდიკულარულია პროექციის MD-ზე.

ასე რომ, ორი პერპენდიკულარი CM და DM გვხვდება AB კიდესთან. ეს ნიშნავს, რომ ისინი ქმნიან DABC დიედრული კუთხის CMD ხაზოვან კუთხეს. და ყველაფერი რაც ჩვენ უნდა გავაკეთოთ არის ის ვიპოვოთ მარჯვენა სამკუთხედიდან CDM.

ასე რომ, სეგმენტი SM არის ACB ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა და სიმაღლე, მაშინ პითაგორას თეორემის მიხედვით, ფეხი SM უდრის 4 სმ.

მართკუთხა სამკუთხედიდან DMB, პითაგორას თეორემის მიხედვით, ფეხი DM უდრის სამის ორ ფესვს.

მართკუთხა სამკუთხედიდან კუთხის კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის MD შეფარდებას CM ჰიპოტენუზასთან და უდრის სამ ფესვს სამჯერ ორზე. ეს ნიშნავს, რომ კუთხე CMD არის 30 გრადუსი.

პრეზენტაციის გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში და შედით მასში: https://accounts.google.com

სლაიდის წარწერები:

DIHEDRAL ANGLE მათემატიკის მასწავლებელი GOU საშუალო სკოლა No10 ერემენკო მ.ა.

გაკვეთილის ძირითადი მიზნები: გაეცანით ორმხრივი კუთხის ცნებას და ხაზს უსვამს ამ ცნებების გამოყენების ამოცანებს.

განმარტება: დიჰედრული კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ორი ნახევრად სიბრტყით საერთო სასაზღვრო სწორი ხაზით.

დიედრული კუთხის სიდიდე არის მისი წრფივი კუთხის სიდიდე. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - ხაზოვანი დიედრული კუთხე ACD B

დავამტკიცოთ, რომ დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ერთმანეთის ტოლია. განვიხილოთ ორი წრფივი კუთხე AOB და A 1 OB 1. სხივები OA და OA 1 დევს ერთსა და იმავე სახეზე და პერპენდიკულარულია OO 1-ზე, ამიტომ ისინი თანამიმართულნი არიან. სხივები OB და OB 1 ასევე ერთობლივად არის მიმართული. მაშასადამე, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (კუთხების მსგავსად თანამიმართული გვერდებით).

დიედრული კუთხეების მაგალითები:

განმარტება: კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის არის ამ სიბრტყეების მიერ წარმოქმნილი დიედრული კუთხეებიდან ყველაზე პატარა.

ამოცანა 1: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე ABC და CDD 1 სიბრტყეს შორის. პასუხი: 90 o.

ამოცანა 2: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე ABC და CDA 1 სიბრტყეს შორის. პასუხი: 45 o.

ამოცანა 3: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე ABC და BDD 1 სიბრტყეს შორის. პასუხი: 90 o.

ამოცანა 4: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე ACC 1 და BDD 1 სიბრტყეებს შორის. პასუხი: 90 o.

ამოცანა 5: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე BC 1 D და BA 1 D სიბრტყეებს შორის. ამოხსნა: მოდით, O იყოს B D-ის შუა წერტილი. A 1 OC 1 – A 1 B D C 1 დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე.

ამოცანა 6: ტეტრაედრონში DABC ყველა კიდე ტოლია, წერტილი M არის AC კიდის შუა. დაამტკიცეთ, რომ ∠ DMB არის დიედრული კუთხის BACD წრფივი კუთხე.

ამოხსნა: ABC და ADC სამკუთხედები რეგულარულია, შესაბამისად, BM ⊥ AC და DM ⊥ AC და, შესაბამისად, ∠ DMB არის DACB დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე.

ამოცანა 7: ABC სამკუთხედის B წვეროდან, რომლის გვერდი AC დევს α სიბრტყეში, ამ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული BB 1 არის გამოყვანილი. იპოვეთ მანძილი B წერტილიდან AC სწორ წრფემდე და α სიბრტყემდე, თუ AB=2, ∠ВАС=150 0 და ორკუთხედი ВАСВ 1 უდრის 45 0-ს.

ამოხსნა: ABC არის ბლაგვი სამკუთხედი ბლაგვი A კუთხით, ამიტომ BC სიმაღლის ფუძე დგას AC გვერდის გაფართოებაზე. VC - მანძილი B წერტილიდან AC-მდე. BB 1 – მანძილი B წერტილიდან α სიბრტყემდე

2) ვინაიდან AC ⊥BK, მაშინ AC⊥KB 1 (თეორემის შებრუნებული თეორემით დაახლოებით სამი პერპენდიკულარი). ამიტომ, ∠VKV 1 არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე BASV 1 და ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA·sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· ცოდვა 45 0 , ВВ 1 =