საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის ფორმულა. მოსკოვის ბეჭდვითი ხელოვნების სახელმწიფო უნივერსიტეტი

საშუალო არითმეტიკისა და გეომეტრიული საშუალოს თემა ჩართულია მე-6-7 კლასების მათემატიკის პროგრამაში. ვინაიდან აბზაცი საკმაოდ მარტივი გასაგებია, ის სწრაფად გადაივლის და სასწავლო წლის ბოლოს მოსწავლეებმა ის დაივიწყეს. მაგრამ საბაზისო სტატისტიკის ცოდნა საჭიროა ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად, ასევე საერთაშორისო SAT გამოცდებისთვის. და ყოველდღიური ცხოვრებისთვის, განვითარებული ანალიტიკური აზროვნება არასდროს ავნებს.

როგორ გამოვთვალოთ რიცხვების საშუალო არითმეტიკული და გეომეტრიული საშუალო

ვთქვათ არის რიცხვების სერია: 11, 4 და 3. საშუალო არითმეტიკული არის ყველა რიცხვის ჯამი გაყოფილი მოცემული რიცხვების რაოდენობაზე. ანუ 11, 4, 3 რიცხვების შემთხვევაში პასუხი იქნება 6. როგორ მიიღებთ 6-ს?

ამოხსნა: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

მნიშვნელი უნდა შეიცავდეს რიცხვს, რომელიც ტოლია იმ რიცხვების რაოდენობას, რომელთა საშუალო პოვნაა საჭირო. ჯამი იყოფა 3-ზე, რადგან სამი წევრია.

ახლა ჩვენ უნდა გავარკვიოთ გეომეტრიული საშუალო. ვთქვათ, არის რიცხვების სერია: 4, 2 და 8.

რიცხვების გეომეტრიული საშუალო არის ყველა მოცემული რიცხვის ნამრავლი, რომელიც მდებარეობს ფესვის ქვეშ მოცემული რიცხვების რაოდენობის ტოლი სიმძლავრით, ანუ 4, 2 და 8 რიცხვების შემთხვევაში პასუხი იქნება 4. აი, როგორ აღმოჩნდა:

ამოხსნა: ∛(4 × 2 × 8) = 4

ორივე ვარიანტში მივიღეთ მთლიანი პასუხები, რადგან მაგალითზე აიღეს სპეციალური ნომრები. ეს ყოველთვის არ ხდება. უმეტეს შემთხვევაში, პასუხი უნდა იყოს დამრგვალებული ან ძირში დარჩეს. მაგალითად, 11, 7 და 20 რიცხვებისთვის საშუალო არითმეტიკული არის ≈ 12,67, ხოლო გეომეტრიული საშუალო არის ∛1540. ხოლო 6 და 5 ნომრებზე პასუხები იქნება შესაბამისად 5.5 და √30.

შეიძლება თუ არა, რომ საშუალო არითმეტიკული გეომეტრიული საშუალოს ტოლი გახდეს?

რა თქმა უნდა შეიძლება. მაგრამ მხოლოდ ორ შემთხვევაში. თუ არსებობს რიცხვების სერია, რომელიც შედგება მხოლოდ ერთი ან ნულისაგან. აღსანიშნავია ისიც, რომ პასუხი მათ რაოდენობაზე არ არის დამოკიდებული.

დამტკიცება ერთეულებით: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (საშუალო არითმეტიკული).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (გეომეტრიული საშუალო).

დამტკიცება ნულებით: (0 + 0) / 2=0 (საშუალო არითმეტიკული).

√(0 × 0) = 0 (გეომეტრიული საშუალო).

სხვა გზა არ არის და არც შეიძლება.

საშუალოების მეთოდი

3.1 საშუალო მაჩვენებლების არსი და მნიშვნელობა სტატისტიკაში. საშუალოების ტიპები

Საშუალო ზომისსტატისტიკაში არის თვისობრივად ერთგვაროვანი ფენომენებისა და პროცესების განზოგადებული მახასიათებელი ზოგიერთი განსხვავებული მახასიათებლის მიხედვით, რაც გვიჩვენებს მახასიათებლის დონეს, რომელიც დაკავშირებულია მოსახლეობის ერთეულთან. საშუალო ღირებულება აბსტრაქტული, რადგან ახასიათებს მახასიათებლის მნიშვნელობას მოსახლეობის ზოგიერთ უპიროვნო ერთეულში.არსისაშუალო მნიშვნელობა არის ის, რომ ინდივიდუალური და შემთხვევითი გზით ვლინდება ზოგადი და აუცილებელი, ანუ მასობრივი ფენომენების განვითარების ტენდენცია და ნიმუში. ნიშნები, რომლებიც განზოგადებულია საშუალო მნიშვნელობებში, თანდაყოლილია მოსახლეობის ყველა ერთეულში. ამის გამო, საშუალო მნიშვნელობას დიდი მნიშვნელობა აქვს მასობრივი ფენომენების თანდაყოლილი შაბლონების იდენტიფიცირებისთვის და არ არის შესამჩნევი მოსახლეობის ცალკეულ ერთეულებში.

საშუალოების გამოყენების ზოგადი პრინციპები:

აუცილებელია მოსახლეობის ერთეულის გონივრული არჩევანი, რომლისთვისაც გამოითვლება საშუალო მნიშვნელობა;

საშუალო მნიშვნელობის დადგენისას უნდა გამოვიდეს საშუალოდ შეფასებული მახასიათებლის ხარისხობრივი შინაარსიდან, გავითვალისწინოთ შესასწავლი მახასიათებლების ურთიერთკავშირი, აგრეთვე გამოსათვლელად ხელმისაწვდომი მონაცემები;

საშუალო მნიშვნელობები უნდა გამოითვალოს თვისობრივად ერთგვაროვან პოპულაციებზე დაყრდნობით, რომლებიც მიიღება დაჯგუფების მეთოდით, რომელიც გულისხმობს განზოგადების ინდიკატორების სისტემის გამოთვლას;

საერთო საშუალო მაჩვენებლები უნდა იყოს მხარდაჭერილი ჯგუფის საშუალო მაჩვენებლებით.

პირველადი მონაცემების ბუნებიდან, გამოყენების ფარგლებიდან და სტატისტიკაში გაანგარიშების მეთოდიდან გამომდინარე, გამოირჩევა შემდეგი: საშუალო ძირითადი ტიპები:

1) სიმძლავრის საშუალო(საშუალო არითმეტიკული, ჰარმონიული, გეომეტრიული, საშუალო კვადრატი და კუბური);

2) სტრუქტურული (არაპარამეტრული) საშუალებები(რეჟიმი და მედიანა).

სტატისტიკაში შესწავლილი მოსახლეობის სწორ დახასიათებას ყოველ ცალკეულ შემთხვევაში განსხვავებული მახასიათებლის მიხედვით იძლევა მხოლოდ ძალიან კონკრეტული ტიპის საშუალო. საკითხი, თუ რა ტიპის საშუალო უნდა იქნას გამოყენებული კონკრეტულ შემთხვევაში, წყდება შესწავლილი პოპულაციის სპეციფიკური ანალიზით, ასევე შედეგების მნიშვნელოვნების პრინციპის საფუძველზე შეჯამების ან აწონვისას. ეს და სხვა პრინციპები გამოიხატება სტატისტიკაში საშუალოების თეორია.

მაგალითად, საშუალო არითმეტიკული და ჰარმონიული საშუალო გამოიყენება შესწავლილ პოპულაციაში განსხვავებული მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობის დასახასიათებლად. გეომეტრიული საშუალო გამოიყენება მხოლოდ დინამიკის საშუალო მაჩვენებლების გაანგარიშებისას, ხოლო კვადრატული საშუალო გამოიყენება მხოლოდ ვარიაციის ინდექსების გამოთვლისას.

საშუალო მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმულები წარმოდგენილია ცხრილში 3.1.

ცხრილი 3.1 – საშუალო მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმულები

აღნიშვნები:- რაოდენობები, რომლებზეც გამოითვლება საშუალო; - საშუალო, სადაც ზემოთ ზოლი მიუთითებს, რომ ხდება ინდივიდუალური მნიშვნელობების საშუალო შეფასება; - სიხშირე (მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების განმეორებადობა).

ცხადია, სხვადასხვა საშუალო მაჩვენებლები გამომდინარეობს საშუალო სიმძლავრის ზოგადი ფორმულა (3.1) :

, (3.1)

როდესაც k = + 1 - საშუალო არითმეტიკული; k = -1 - ჰარმონიული საშუალო; k = 0 - გეომეტრიული საშუალო; k = +2 - ფესვის საშუალო კვადრატი.

საშუალო მნიშვნელობები შეიძლება იყოს მარტივი ან შეწონილი. შეწონილი საშუალოები მნიშვნელობებს უწოდებენ, რომლებიც ითვალისწინებენ, რომ ატრიბუტების მნიშვნელობების ზოგიერთ ვარიანტს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული რიცხვები; ამასთან დაკავშირებით, თითოეული ვარიანტი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე. „სასწორები“ ამ შემთხვევაში არის აგრეგატული ერთეულების რაოდენობა სხვადასხვა ჯგუფში, ე.ი. თითოეული ვარიანტი "შეწონილია" მისი სიხშირით. სიხშირე f ეწოდება სტატისტიკური წონაან საშუალო წონა.

საბოლოოდ საშუალო სწორი არჩევანიიღებს შემდეგ თანმიმდევრობას:

ა) მოსახლეობის ზოგადი მაჩვენებლის დადგენა;

ბ) სიდიდეების მათემატიკური დამოკიდებულების დადგენა მოცემულ ზოგად მაჩვენებელზე;

გ) ინდივიდუალური მნიშვნელობების საშუალო მნიშვნელობებით შეცვლა;

დ) საშუალოს გამოთვლა შესაბამისი განტოლების გამოყენებით.

3.2 საშუალო არითმეტიკული და მისი თვისებები და გაანგარიშების ტექნიკა. ჰარმონიული საშუალო

Საშუალო არითმეტიკული– საშუალო ზომის ყველაზე გავრცელებული ტიპი; ის გამოითვლება იმ შემთხვევებში, როდესაც საშუალო მახასიათებლის მოცულობა იქმნება, როგორც მისი მნიშვნელობების ჯამი შესწავლილი სტატისტიკური პოპულაციის ცალკეული ერთეულებისთვის.

არითმეტიკული საშუალოს ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებები:

1. საშუალოს ნამრავლი სიხშირეების ჯამით ყოველთვის ტოლია ვარიანტების (ინდივიდუალური მნიშვნელობების) ნამრავლების ჯამს სიხშირეების მიხედვით.

2. თუ თითოეულ ვარიანტს გამოაკლებთ (დაამატებთ) რაიმე თვითნებურ რიცხვს, მაშინ ახალი საშუალო იგივე რიცხვით შემცირდება (გაიზრდება).

3. თუ თითოეული ვარიანტი გამრავლდება (იყოფა) რაიმე თვითნებურ რიცხვზე, მაშინ ახალი საშუალო გაიზრდება (მცირდება) იმავე ოდენობით.

4. თუ ყველა სიხშირე (წონა) იყოფა ან გამრავლდა რომელიმე რიცხვზე, მაშინ საშუალო არითმეტიკული არ შეიცვლება.

5. ცალკეული ვარიანტების გადახრების ჯამი არითმეტიკული საშუალოდან ყოველთვის ნულია.

თქვენ შეგიძლიათ გამოკლოთ თვითნებური მუდმივი მნიშვნელობა ატრიბუტის ყველა მნიშვნელობიდან (სასურველია შუა ვარიანტის მნიშვნელობა ან ყველაზე მაღალი სიხშირის ვარიანტები), შეამციროთ მიღებული განსხვავებები საერთო ფაქტორით (სასურველია ინტერვალის მნიშვნელობით). და გამოხატეთ სიხშირეები კონკრეტულად (პროცენტებში) და გაამრავლეთ გამოთვლილი საშუალო საერთო ფაქტორზე და დაამატეთ თვითნებური მუდმივი მნიშვნელობა. საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის ამ მეთოდს ე.წ პირობითი ნულიდან გაანგარიშების მეთოდი .

გეომეტრიული საშუალოპოულობს თავის გამოყენებას საშუალო ზრდის ტემპების (ზრდის საშუალო კოეფიციენტების) განსაზღვრაში, როდესაც მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობები წარმოდგენილია ფარდობითი მნიშვნელობების სახით. იგი ასევე გამოიყენება იმ შემთხვევაში, თუ საჭიროა მახასიათებლის მინიმალურ და მაქსიმალურ მნიშვნელობებს შორის საშუალოს პოვნა (მაგალითად, 100-დან 1000000-მდე).

საშუალო კვადრატიგამოიყენება აგრეგატში მახასიათებლის ცვალებადობის გასაზომად (სტანდარტული გადახრის გამოთვლა).

მოქმედებს სტატისტიკაში საშუალოების უმრავლესობის წესი:

X ზიანი.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 სტრუქტურული საშუალო მაჩვენებლები (რეჟიმი და მედიანა)

მოსახლეობის სტრუქტურის დასადგენად გამოიყენება სპეციალური საშუალო მაჩვენებლები, რომლებიც მოიცავს მედიანასა და მოდულს, ანუ ე.წ. თუ საშუალო არითმეტიკული გამოითვლება ატრიბუტების მნიშვნელობების ყველა ვარიანტის გამოყენების საფუძველზე, მაშინ მედიანა და რეჟიმი ახასიათებს იმ ვარიანტის მნიშვნელობას, რომელიც იკავებს გარკვეულ საშუალო პოზიციას რეიტინგული ვარიაციების სერიაში.

მოდა- ატრიბუტის ყველაზე ტიპიური, ყველაზე ხშირად ნაცნობი მნიშვნელობა. ამისთვის დისკრეტული სერიამოდა იქნება ყველაზე მაღალი სიხშირის ვარიანტი. მოდას დასადგენად ინტერვალის სერიაპირველ რიგში, განისაზღვრება მოდალური ინტერვალი (ინტერვალი, რომელსაც აქვს უმაღლესი სიხშირე). შემდეგ, ამ ინტერვალის ფარგლებში, იპოვება ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება იყოს რეჟიმი.

ინტერვალის სერიის რეჟიმის კონკრეტული მნიშვნელობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა (3.2)

(3.2)

სადაც XMo არის მოდალური ინტერვალის ქვედა ზღვარი; i Mo - მოდალური ინტერვალის მნიშვნელობა; f Mo - მოდალური ინტერვალის სიხშირე; f Mo-1 - მოდალურის წინა ინტერვალის სიხშირე; f Mo+1 არის მოდალური ინტერვალის შემდგომი სიხშირე.

მოდა ფართოდ არის გავრცელებული მარკეტინგულ საქმიანობაში მომხმარებელთა მოთხოვნის შესწავლისას, განსაკუთრებით ტანსაცმლისა და ფეხსაცმლის ყველაზე პოპულარული ზომის განსაზღვრისას და ფასების პოლიტიკის რეგულირებისას.

მედიანური - სხვადასხვა მახასიათებლის მნიშვნელობა, რომელიც ეცემა რეიტინგული პოპულაციის შუა რიცხვებში. ამისთვის რანჟირებული სერია კენტი რიცხვითინდივიდუალური მნიშვნელობები (მაგალითად, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) მედიანა იქნება მნიშვნელობა, რომელიც მდებარეობს სერიის ცენტრში, ე.ი. მეოთხე მნიშვნელობა არის 6. იყიდება რეიტინგული სერია ლუწი რიცხვითინდივიდუალური მნიშვნელობები (მაგალითად, 1, 5, 7, 10, 11, 14) მედიანა იქნება საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობა, რომელიც გამოითვლება ორი მიმდებარე მნიშვნელობიდან. ჩვენს შემთხვევაში, მედიანა არის (7+10)/2=8.5.

ამრიგად, მედიანას მოსაძებნად, ჯერ უნდა დაადგინოთ მისი სერიული ნომერი (მისი პოზიცია რეიტინგულ სერიაში) ფორმულების გამოყენებით (3.3):

(თუ არ არის სიხშირეები)

ნმე =
(თუ არის სიხშირეები) (3.3)

სადაც n არის ერთეულების რაოდენობა აგრეგატში.

მედიანის რიცხვითი მნიშვნელობა ინტერვალის სერიაგანისაზღვრება დაგროვილი სიხშირეებით დისკრეტული ვარიაციის სერიაში. ამისათვის ჯერ უნდა მიუთითოთ ის ინტერვალი, სადაც მედიანა გვხვდება განაწილების ინტერვალის სერიაში. მედიანა არის პირველი ინტერვალი, სადაც დაგროვილი სიხშირეების ჯამი აღემატება დაკვირვებების ნახევარს ყველა დაკვირვების მთლიანი რიცხვიდან.

მედიანის რიცხვითი მნიშვნელობა ჩვეულებრივ განისაზღვრება ფორმულით (3.4)

(3.4)

სადაც x Ме არის მედიანური ინტერვალის ქვედა ზღვარი; iMe - ინტერვალის მნიშვნელობა; SМе -1 არის ინტერვალის დაგროვილი სიხშირე, რომელიც წინ უსწრებს მედიანას; fMe - მედიანური ინტერვალის სიხშირე.

ნაპოვნი ინტერვალის ფარგლებში, მედიანა ასევე გამოითვლება ფორმულით Me = xl e, სადაც ტოლობის მარჯვენა მხარეს მეორე ფაქტორი გვიჩვენებს მედიანის მდებარეობას მედიანური ინტერვალის ფარგლებში და x არის ამ ინტერვალის სიგრძე. მედიანა ყოფს ვარიაციის სერიას ნახევრად სიხშირით. ჯერ კიდევ დგინდება კვარტილები , რომლებიც ყოფენ ვარიაციების სერიას 4 თანაბარი ზომის ალბათობით ნაწილად და დეცილები , მწკრივის გაყოფა 10 თანაბარ ნაწილად.

რა არის არითმეტიკული საშუალო

რამდენიმე სიდიდის საშუალო არითმეტიკული არის ამ სიდიდეების ჯამის შეფარდება მათ რიცხვთან.

რიცხვების გარკვეული სერიის საშუალო არითმეტიკული არის ყველა ამ რიცხვის ჯამი გაყოფილი წევრთა რაოდენობაზე. ამრიგად, საშუალო არითმეტიკული არის რიცხვების სერიის საშუალო მნიშვნელობა.

რა არის რამდენიმე რიცხვის საშუალო არითმეტიკული? და ისინი უდრის ამ რიცხვების ჯამს, რომელიც იყოფა ამ ჯამის წევრთა რაოდენობაზე.

როგორ მოვძებნოთ საშუალო არითმეტიკული

არაფერია რთული რამდენიმე რიცხვის საშუალო არითმეტიკულის გამოთვლაში ან პოვნაში, საკმარისია ყველა წარმოდგენილი რიცხვის დამატება და მიღებული ჯამის გაყოფა ტერმინების რაოდენობაზე. მიღებული შედეგი იქნება ამ რიცხვების საშუალო არითმეტიკული.

მოდით შევხედოთ ამ პროცესს უფრო დეტალურად. რა უნდა გავაკეთოთ, რომ გამოვთვალოთ საშუალო არითმეტიკული და მივიღოთ ამ რიცხვის საბოლოო შედეგი.

პირველ რიგში, მისი გამოსათვლელად, თქვენ უნდა განსაზღვროთ რიცხვების ნაკრები ან მათი რაოდენობა. ეს ნაკრები შეიძლება შეიცავდეს დიდ და მცირე რიცხვებს და მათი რიცხვი შეიძლება იყოს ნებისმიერი.

მეორეც, ყველა ეს რიცხვი უნდა დაემატოს და მიიღება მათი ჯამი. ბუნებრივია, თუ რიცხვები მარტივია და მათი რაოდენობა მცირეა, მაშინ გამოთვლების გაკეთება შესაძლებელია ხელით ჩაწერით. მაგრამ თუ რიცხვების ნაკრები შთამბეჭდავია, მაშინ უმჯობესია გამოიყენოთ კალკულატორი ან ცხრილი.

და მეოთხე, მიმატებიდან მიღებული თანხა უნდა გაიყოს რიცხვების რაოდენობაზე. შედეგად მივიღებთ შედეგს, რომელიც იქნება ამ სერიის საშუალო არითმეტიკული.

რატომ გჭირდებათ საშუალო არითმეტიკული?

საშუალო არითმეტიკული შეიძლება იყოს სასარგებლო არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე მაგალითებისა და ამოცანების გადასაჭრელად, არამედ სხვა მიზნებისთვის, რაც აუცილებელია ადამიანის ყოველდღიურ ცხოვრებაში. ასეთი მიზნები შეიძლება იყოს საშუალო არითმეტიკული გამოთვლა თვეში საშუალო ფინანსური დანახარჯების გამოსათვლელად, ან გზაზე გატარებული დროის გამოსათვლელად, აგრეთვე დასწრების, პროდუქტიულობის, მოძრაობის სიჩქარის, მოსავლიანობის გასარკვევად და მრავალი სხვა.

ასე რომ, მაგალითად, შევეცადოთ გამოვთვალოთ რამდენ დროს ხარჯავთ სკოლაში მოგზაურობაში. სკოლაში წასვლისას ან სახლში დაბრუნებისას გზაზე ყოველ ჯერზე სხვადასხვა დროს ატარებ, რადგან როცა ჩქარობ, უფრო სწრაფად დადიხარ და ამიტომ გზას ნაკლები დრო სჭირდება. მაგრამ სახლში დაბრუნებისას შეგიძლიათ ნელა იაროთ, თანაკლასელებთან ურთიერთობა, ბუნებით აღფრთოვანება და, შესაბამისად, მოგზაურობას მეტი დრო დასჭირდება.

აქედან გამომდინარე, თქვენ ვერ შეძლებთ ზუსტად განსაზღვროთ გზაზე გატარებული დრო, მაგრამ საშუალო არითმეტიკის წყალობით, შეგიძლიათ დაახლოებით გაიგოთ გზაზე გატარებული დრო.

დავუშვათ, რომ შაბათ-კვირის შემდეგ პირველ დღეს თქვენ გაატარეთ თხუთმეტი წუთი სახლიდან სკოლამდე გზაზე, მეორე დღეს თქვენი მოგზაურობა ოც წუთს გაგრძელდა, ოთხშაბათს მანძილი ოცდახუთ წუთში დაფარეთ და თქვენი მგზავრობა იგივე გაგრძელდა. ხუთშაბათს, პარასკევს კი არ ჩქარობდით და მთელი ნახევარი საათით დაბრუნდით.

მოდი ვიპოვოთ საშუალო არითმეტიკული, დავამატოთ დრო ხუთივე დღისთვის. Ისე,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

ახლა გაყავით ეს თანხა დღეების რაოდენობაზე

ამ მეთოდის წყალობით გაიგეთ, რომ სახლიდან სკოლამდე მოგზაურობას თქვენი დროის დაახლოებით ოცდასამი წუთი სჭირდება.

Საშინაო დავალება

1. მარტივი გამოთვლებით იპოვნეთ თქვენს კლასში სტუდენტების დასწრების საშუალო არითმეტიკული კვირა.

2. იპოვეთ საშუალო არითმეტიკული:

3. პრობლემის გადაჭრა:

თემა 5. საშუალო მნიშვნელობები, როგორც სტატისტიკური მაჩვენებლები

საშუალო ღირებულების კონცეფცია. სტატისტიკურ კვლევაში საშუალო მაჩვენებლების ფარგლები

საშუალო მნიშვნელობები გამოიყენება პირველადი სტატისტიკური მონაცემების დამუშავებისა და შეჯამების ეტაპზე. საშუალო მნიშვნელობების განსაზღვრის აუცილებლობა განპირობებულია იმით, რომ, როგორც წესი, ერთი და იგივე მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობები შესწავლილი პოპულაციების სხვადასხვა ერთეულებისთვის არ არის იგივე.

Საშუალო ზომისეწოდება ინდიკატორი, რომელიც ახასიათებს შესწავლილ პოპულაციაში მახასიათებლის ან მახასიათებლების ჯგუფის განზოგადებულ მნიშვნელობას.

თუ შესწავლილია ხარისხობრივად ერთგვაროვანი მახასიათებლების მქონე პოპულაცია, მაშინ საშუალო მნიშვნელობა აქ მოქმედებს როგორც ტიპიური საშუალო. მაგალითად, გარკვეული ინდუსტრიის მუშაკთა ჯგუფებისთვის ფიქსირებული შემოსავლის დონით, განისაზღვრება ტიპიური საშუალო დანახარჯები ძირითად საჭიროებებზე, ე.ი. ტიპიური საშუალო აზოგადებს ატრიბუტის თვისობრივად ერთგვაროვან მნიშვნელობებს მოცემულ პოპულაციაში, რაც წარმოადგენს ამ ჯგუფის მუშაკთა შორის დანახარჯების წილს ძირითად საქონელზე.

ხარისხობრივად ჰეტეროგენული მახასიათებლების მქონე პოპულაციის შესწავლისას შესაძლოა წინა პლანზე გამოვიდეს საშუალო მაჩვენებლების ატიპიურობა. ეს, მაგალითად, არის წარმოებული ეროვნული შემოსავლის საშუალო მაჩვენებლები ერთ სულ მოსახლეზე (სხვადასხვა ასაკობრივი ჯგუფი), მარცვლეულის მოსავლიანობის საშუალო მაჩვენებლები მთელ რუსეთში (სხვადასხვა კლიმატური ზონების რეგიონები და სხვადასხვა მარცვლეული კულტურები), მოსახლეობის შობადობის საშუალო მაჩვენებლები. ქვეყნის ყველა რეგიონი, საშუალო ტემპერატურა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში და ა.შ. აქ საშუალო მნიშვნელობები აზოგადებს მახასიათებლების ან სისტემური სივრცითი აგრეგატების (საერთაშორისო საზოგადოება, კონტინენტი, სახელმწიფო, რეგიონი, რეგიონი და ა.შ.) თვისობრივად ჰეტეროგენულ მნიშვნელობებს ან დროთა განმავლობაში გაფართოვებულ დინამიურ აგრეგატებს (საუკუნე, ათწლეული, წელი, სეზონი და ა.შ.). ) . ასეთ საშუალო მნიშვნელობებს უწოდებენ სისტემის საშუალო მაჩვენებლები.

ამრიგად, საშუალო მნიშვნელობების მნიშვნელობა მდგომარეობს მათ განზოგადების ფუნქციაში. საშუალო მნიშვნელობა ცვლის ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობების დიდ რაოდენობას, ავლენს საერთო თვისებებს, რომლებიც თან ახლავს მოსახლეობის ყველა ერთეულს. ეს, თავის მხრივ, საშუალებას გვაძლევს თავიდან ავიცილოთ შემთხვევითი მიზეზები და გამოვავლინოთ ზოგადი ნიმუშები საერთო მიზეზების გამო.

საშუალო მნიშვნელობების ტიპები და მათი გაანგარიშების მეთოდები

სტატისტიკური დამუშავების სტადიაზე შეიძლება დაისვას სხვადასხვა კვლევითი პრობლემა, რომელთა გადაწყვეტისთვის საჭიროა შესაბამისი საშუალოს შერჩევა. ამ შემთხვევაში აუცილებელია ვიხელმძღვანელოთ შემდეგი წესით: სიდიდეები, რომლებიც წარმოადგენს საშუალოს მრიცხველსა და მნიშვნელს, ლოგიკურად უნდა იყოს დაკავშირებული ერთმანეთთან.

სიმძლავრის საშუალო;

სტრუქტურული საშუალო.

წარმოგიდგენთ შემდეგ კონვენციებს:

რაოდენობები, რომლებზედაც გამოითვლება საშუალო;

საშუალო, სადაც ზემოთ ზოლი მიუთითებს, რომ ხდება ინდივიდუალური მნიშვნელობების საშუალო შეფასება;

სიხშირე (ინდივიდუალური დამახასიათებელი მნიშვნელობების განმეორებადობა).

სხვადასხვა საშუალო მაჩვენებლები მიღებულია ზოგადი სიმძლავრის საშუალო ფორმულიდან:

(5.1)

როდესაც k = 1 - საშუალო არითმეტიკული; k = -1 - ჰარმონიული საშუალო; k = 0 - გეომეტრიული საშუალო; k = -2 - ფესვის საშუალო კვადრატი.

საშუალო მნიშვნელობები შეიძლება იყოს მარტივი ან შეწონილი. შეწონილი საშუალოებიეს არის მნიშვნელობები, რომლებიც ითვალისწინებენ, რომ ატრიბუტების მნიშვნელობების ზოგიერთ ვარიანტს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული რიცხვები და, შესაბამისად, თითოეული ვარიანტი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, „სასწორები“ არის აგრეგატული ერთეულების რაოდენობა სხვადასხვა ჯგუფში, ე.ი. თითოეული ვარიანტი "შეწონილია" მისი სიხშირით. სიხშირე f ეწოდება სტატისტიკური წონაან საშუალო წონა.

Საშუალო არითმეტიკული- ყველაზე გავრცელებული ტიპი საშუალო. იგი გამოიყენება, როდესაც გაანგარიშება ხორციელდება დაუჯგუფებელ სტატისტიკურ მონაცემებზე, სადაც უნდა მიიღოთ საშუალო ვადა. საშუალო არითმეტიკული არის მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობა, რომლის მიღების შემდეგ მახასიათებლის მთლიანი მოცულობა მთლიანობაში უცვლელი რჩება.

საშუალო არითმეტიკული (მარტივი) ფორმულას აქვს ფორმა

სადაც n არის მოსახლეობის ზომა.

მაგალითად, საწარმოს თანამშრომლების საშუალო ხელფასი გამოითვლება როგორც საშუალო არითმეტიკული:

აქ განმსაზღვრელი მაჩვენებლებია თითოეული თანამშრომლის ხელფასი და საწარმოში დასაქმებულთა რაოდენობა. საშუალო გაანგარიშებისას ხელფასის ჯამური ოდენობა უცვლელი დარჩა, მაგრამ თანაბრად გადანაწილდა ყველა თანამშრომელს შორის. მაგალითად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მუშების საშუალო ხელფასი მცირე კომპანიაში, სადაც 8 ადამიანია დასაქმებული:

საშუალო მნიშვნელობების გაანგარიშებისას, საშუალო მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობები შეიძლება განმეორდეს, ამიტომ საშუალო მნიშვნელობა გამოითვლება დაჯგუფებული მონაცემების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ გამოყენებაზე საშუალო შეწონილი არითმეტიკული, რომელსაც აქვს ფორმა

(5.3)

ასე რომ, საფონდო ბირჟაზე ვაჭრობისას სააქციო საზოგადოების აქციების საშუალო ფასი უნდა გამოვთვალოთ. ცნობილია, რომ ტრანზაქციები განხორციელდა 5 დღის ვადაში (5 ტრანზაქცია), გაყიდული აქციების რაოდენობა გაყიდული კურსით ასე გადანაწილდა:

1 - 800 აკ. - 1010 რუბლი.

2 - 650 აკ. - 990 რუბლი.

3 - 700 აკ. - 1015 რუბლი.

4 - 550 აკ. - 900 რუბლი.

5 - 850 წ. - 1150 რუბლი.

აქციების საშუალო ფასის განსაზღვრის საწყისი თანაფარდობა არის ტრანზაქციების მთლიანი თანხის (TVA) თანაფარდობა გაყიდული აქციების რაოდენობასთან (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3,634,500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

ამ შემთხვევაში აქციების საშუალო ფასი უდრიდა

აუცილებელია ვიცოდეთ საშუალო არითმეტიკული თვისებები, რაც ძალიან მნიშვნელოვანია როგორც მისი გამოყენებისთვის, ასევე მისი გამოთვლისთვის. ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ სამი ძირითადი თვისება, რომლებმაც ყველაზე მეტად განაპირობა არითმეტიკული საშუალოს ფართო გამოყენება სტატისტიკურ და ეკონომიკურ გამოთვლებში.

თვისება ერთი (ნული): მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების დადებითი გადახრების ჯამი მისი საშუალო მნიშვნელობიდან უდრის უარყოფითი გადახრების ჯამს. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი თვისება, რადგან აჩვენებს, რომ შემთხვევითი მიზეზებით გამოწვეული ნებისმიერი გადახრები (როგორც + და ასევე -) ორმხრივად გაუქმდება.

მტკიცებულება:

თვისება მეორე (მინიმუმი): არითმეტიკული საშუალოდან მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების კვადრატული გადახრების ჯამი ნაკლებია, ვიდრე ნებისმიერი სხვა რიცხვი (a), ე.ი. არის მინიმალური რაოდენობა.

მტკიცებულება.

მოდით შევადგინოთ კვადრატული გადახრების ჯამი a ცვლადიდან:

(5.4)

ამ ფუნქციის უკიდურესობის საპოვნელად აუცილებელია მისი წარმოებულის გათანაბრება a-ს მიმართ:

აქედან ვიღებთ:

(5.5)

შესაბამისად, კვადრატული გადახრების ჯამის უკიდურესობა მიიღწევა ზე. ეს ექსტრემი არის მინიმალური, რადგან ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმი.

თვისება მესამე: მუდმივი მნიშვნელობის საშუალო არითმეტიკული ტოლია ამ მუდმივის: a = const-ისთვის.

არითმეტიკული საშუალოს ამ სამი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისების გარდა, არსებობს ე.წ დიზაინის თვისებები, რომლებიც თანდათან კარგავენ მნიშვნელობას ელექტრონული კომპიუტერული ტექნოლოგიების გამოყენების გამო:

თუ თითოეული ერთეულის ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობა გამრავლდება ან იყოფა მუდმივ რიცხვზე, მაშინ საშუალო არითმეტიკული გაიზრდება ან შემცირდება იმავე რაოდენობით;

საშუალო არითმეტიკული არ შეიცვლება, თუ თითოეული ატრიბუტის მნიშვნელობის წონა (სიხშირე) იყოფა მუდმივ რიცხვზე;

თუ თითოეული ერთეულის ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები მცირდება ან იზრდება იმავე რაოდენობით, მაშინ საშუალო არითმეტიკული შემცირდება ან გაიზრდება იმავე ოდენობით.

ჰარმონიული საშუალო. ამ საშუალოს ეწოდება შებრუნებული არითმეტიკული საშუალო, რადგან ეს მნიშვნელობა გამოიყენება, როდესაც k = -1.

მარტივი ჰარმონიული საშუალოგამოიყენება, როდესაც ატრიბუტების მნიშვნელობების წონა იგივეა. მისი ფორმულა შეიძლება გამოვიდეს ძირითადი ფორმულიდან k = -1 ჩანაცვლებით:

მაგალითად, უნდა გამოვთვალოთ ორი მანქანის საშუალო სიჩქარე, რომლებმაც გაიარეს ერთი და იგივე გზა, მაგრამ განსხვავებული სიჩქარით: პირველი 100 კმ/სთ სიჩქარით, მეორე 90 კმ/სთ. ჰარმონიული საშუალო მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ საშუალო სიჩქარეს:

სტატისტიკურ პრაქტიკაში უფრო ხშირად გამოიყენება ჰარმონიული შეწონილი, რომლის ფორმულას აქვს ფორმა

ეს ფორმულა გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც წონა (ან ფენომენის მოცულობა) თითოეული ატრიბუტისთვის არ არის თანაბარი. საშუალოს გამოთვლის საწყის ურთიერთობაში მრიცხველი ცნობილია, მაგრამ მნიშვნელი უცნობია.