ზოგიერთი ადამიანი სიტყვა „პროგრესიას“ სიფრთხილით ეპყრობა, როგორც ძალიან რთულ ტერმინს უმაღლესი მათემატიკის ფილიალებიდან. იმავდროულად, უმარტივესი არითმეტიკული პროგრესია არის ტაქსის მრიცხველის მუშაობა (სადაც ისინი ჯერ კიდევ არსებობს). და არითმეტიკული თანმიმდევრობის არსის გაგება (და მათემატიკაში არაფერია უფრო მნიშვნელოვანი, ვიდრე „არსის გაგება“) არც ისე რთულია, რამდენიმე ელემენტარული ცნების გაანალიზებით.
მათემატიკური რიცხვების თანმიმდევრობა
ციფრულ თანმიმდევრობას ჩვეულებრივ უწოდებენ რიცხვების სერიას, რომელთაგან თითოეულს აქვს საკუთარი ნომერი.
a 1 არის მიმდევრობის პირველი წევრი;
და 2 არის რიგითობის მეორე წევრი;
და 7 არის რიგითობის მეშვიდე წევრი;
და n არის მიმდევრობის n-ე წევრი;
თუმცა, რიცხვებისა და რიცხვების რაიმე თვითნებური ნაკრები არ გვაინტერესებს. ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ რიცხვით მიმდევრობაზე, რომელშიც n-ე წევრის მნიშვნელობა დაკავშირებულია მის რიგით რიცხვთან ურთიერთობით, რომელიც შეიძლება მკაფიოდ ჩამოყალიბდეს მათემატიკურად. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: n-ე რიცხვის რიცხვითი მნიშვნელობა არის n-ის გარკვეული ფუნქცია.
a არის რიცხვითი მიმდევრობის წევრის მნიშვნელობა;
n არის მისი სერიული ნომერი;
f(n) არის ფუნქცია, სადაც n რიცხვითი მიმდევრობის რიგითი რიცხვი არის არგუმენტი.
განმარტება
არითმეტიკულ პროგრესიას ჩვეულებრივ უწოდებენ რიცხვითი თანმიმდევრობას, რომელშიც ყოველი მომდევნო წევრი უფრო მეტია (ნაკლები) ვიდრე წინა ერთი და იგივე რიცხვით. არითმეტიკული მიმდევრობის n-ე წევრის ფორმულა ასეთია:
a n - არითმეტიკული პროგრესიის მიმდინარე წევრის მნიშვნელობა;
a n+1 - შემდეგი რიცხვის ფორმულა;
d - განსხვავება (გარკვეული რიცხვი).
ადვილია იმის დადგენა, რომ თუ სხვაობა დადებითია (d>0), მაშინ განხილული სერიების ყოველი მომდევნო წევრი წინაზე მეტი იქნება და ასეთი არითმეტიკული პროგრესია გაიზრდება.
ქვემოთ მოცემულ გრაფიკზე ადვილია იმის დანახვა, თუ რატომ ჰქვია რიცხვთა თანმიმდევრობას "მზარდი".
იმ შემთხვევებში, როდესაც განსხვავება უარყოფითია (დ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
მითითებული წევრის მნიშვნელობა
ზოგჯერ საჭიროა არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი თვითნებური ტერმინის მნიშვნელობის განსაზღვრა. ეს შეიძლება გაკეთდეს არითმეტიკული პროგრესიის ყველა წევრის მნიშვნელობების თანმიმდევრული გაანგარიშებით, დაწყებული პირველიდან სასურველამდე. თუმცა, ეს გზა ყოველთვის არ არის მისაღები, თუ, მაგალითად, აუცილებელია ხუთათასიანი ან რვამილიონე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა. ტრადიციულ გამოთვლებს დიდი დრო დასჭირდება. თუმცა, კონკრეტული არითმეტიკული პროგრესიის შესწავლა შესაძლებელია გარკვეული ფორმულების გამოყენებით. ასევე არსებობს n-ე წევრის ფორმულა: არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც პროგრესიის პირველი წევრის ჯამი პროგრესიის სხვაობით, გამრავლებული სასურველი წევრის რაოდენობაზე, შემცირებული ერთი.
ფორმულა უნივერსალურია პროგრესირების გაზრდისა და შემცირებისთვის.
მოცემული ტერმინის მნიშვნელობის გამოთვლის მაგალითი
მოდით გადავჭრათ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის მნიშვნელობის პოვნის შემდეგი ამოცანა.
მდგომარეობა: არსებობს არითმეტიკული პროგრესია პარამეტრებით:
მიმდევრობის პირველი წევრია 3;
რიცხვების სერიებში განსხვავება არის 1.2.
ამოცანა: თქვენ უნდა იპოვოთ 214 ტერმინის მნიშვნელობა
ამოხსნა: მოცემული ტერმინის მნიშვნელობის დასადგენად ვიყენებთ ფორმულას:
a(n) = a1 + d(n-1)
პრობლემის განცხადების მონაცემების გამონათქვამში ჩანაცვლებით, ჩვენ გვაქვს:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
პასუხი: მიმდევრობის 214-ე წევრი უდრის 258,6-ს.
გაანგარიშების ამ მეთოდის უპირატესობები აშკარაა - მთელი გამოსავალი იღებს არაუმეტეს 2 ხაზს.
მოცემული რაოდენობის ტერმინების ჯამი
ძალიან ხშირად, მოცემულ არითმეტიკულ სერიაში აუცილებელია მისი ზოგიერთი სეგმენტის მნიშვნელობების ჯამის დადგენა. ამისათვის ასევე არ არის საჭირო თითოეული ტერმინის მნიშვნელობების გამოთვლა და შემდეგ მათი შეკრება. ეს მეთოდი გამოიყენება, თუ ტერმინების რაოდენობა, რომელთა ჯამი უნდა მოიძებნოს, მცირეა. სხვა შემთხვევებში უფრო მოსახერხებელია შემდეგი ფორმულის გამოყენება.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი 1-დან n-მდე უდრის პირველი და მე-n წევრის ჯამს, გამრავლებული n-ის რიცხვზე და გაყოფილი ორზე. თუ ფორმულაში n-ე ტერმინის მნიშვნელობა შეიცვლება სტატიის წინა პუნქტის გამოსახულებით, მივიღებთ:
გაანგარიშების მაგალითი
მაგალითად, მოვაგვაროთ პრობლემა შემდეგი პირობებით:
მიმდევრობის პირველი წევრი არის ნული;
განსხვავება არის 0.5.
პრობლემა მოითხოვს სერიის ტერმინების ჯამის განსაზღვრას 56-დან 101-მდე.
გამოსავალი. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა პროგრესირების რაოდენობის დასადგენად:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ პროგრესირების 101 ტერმინის მნიშვნელობების ჯამს ჩვენი პრობლემის მოცემული პირობების ფორმულით ჩანაცვლებით:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2525
ცხადია, 56-დან 101-მდე პროგრესირების ტერმინების ჯამის გასარკვევად საჭიროა S 101-ს გამოვაკლოთ S 55.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
ამრიგად, ამ მაგალითისთვის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამია:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782.5
არითმეტიკული პროგრესიის პრაქტიკული გამოყენების მაგალითი
სტატიის დასასრულს დავუბრუნდეთ პირველ აბზაცში მოცემულ არითმეტიკული მიმდევრობის მაგალითს - ტაქსიმეტრი (ტაქსი მანქანის მრიცხველი). განვიხილოთ ეს მაგალითი.
ტაქსიში ჩაჯდომა (რომელიც მოიცავს 3 კმ მგზავრობას) 50 მანეთი ღირს. ყოველი მომდევნო კილომეტრის გადახდა ხდება 22 რუბლი / კმ. მგზავრობის მანძილი 30 კმ. გამოთვალეთ მოგზაურობის ღირებულება.
1. გადავაგდოთ პირველი 3 კმ, რომლის ფასიც შედის დაშვების ღირებულებაში.
30 - 3 = 27 კმ.
2. შემდგომი გამოთვლა სხვა არაფერია, თუ არა არითმეტიკული რიცხვების სერიის გარჩევა.
წევრის ნომერი - გავლილი კილომეტრების რაოდენობა (პირველი სამის გამოკლებით).
წევრის ღირებულება არის ჯამი.
ამ პრობლემის პირველი ვადა იქნება 1 = 50 რუბლის ტოლი.
პროგრესირების სხვაობა d = 22 r.
რიცხვი, რომელიც გვაინტერესებს არის არითმეტიკული პროგრესიის (27+1)-ე წევრის მნიშვნელობა - მრიცხველის მაჩვენებელი 27-ე კილომეტრის ბოლოს არის 27,999... = 28 კმ.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
კალენდარული მონაცემების გამოთვლები თვითნებურად ხანგრძლივი პერიოდისთვის ეფუძნება ფორმულებს, რომლებიც აღწერს გარკვეულ რიცხვობრივ თანმიმდევრობას. ასტრონომიაში, ორბიტის სიგრძე გეომეტრიულად არის დამოკიდებული ციური სხეულის ვარსკვლავამდე მანძილს. გარდა ამისა, სხვადასხვა რიცხვების სერიები წარმატებით გამოიყენება სტატისტიკაში და მათემატიკის სხვა გამოყენებით სფეროებში.
რიცხვების მიმდევრობის კიდევ ერთი ტიპია გეომეტრიული
გეომეტრიულ პროგრესიას ახასიათებს ცვლილების უფრო დიდი ტემპები არითმეტიკულ პროგრესირებასთან შედარებით. შემთხვევითი არ არის, რომ პოლიტიკაში, სოციოლოგიაში და მედიცინაში, კონკრეტული ფენომენის გავრცელების მაღალი სიჩქარის საჩვენებლად, მაგალითად, დაავადების ეპიდემიის დროს, ამბობენ, რომ პროცესი გეომეტრიული პროგრესიით ვითარდება.
გეომეტრიული რიცხვების სერიის N-ე წევრი განსხვავდება წინადან იმით, რომ ის მრავლდება რაიმე მუდმივ რიცხვზე - მნიშვნელი, მაგალითად, პირველი წევრი არის 1, მნიშვნელი შესაბამისად უდრის 2-ს, შემდეგ:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - გეომეტრიული პროგრესიის მიმდინარე ტერმინის მნიშვნელობა;
b n+1 - გეომეტრიული პროგრესიის შემდეგი წევრის ფორმულა;
q არის გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი (მუდმივი რიცხვი).
თუ არითმეტიკული პროგრესიის გრაფიკი სწორი ხაზია, მაშინ გეომეტრიული პროგრესია ოდნავ განსხვავებულ სურათს ქმნის:
როგორც არითმეტიკის შემთხვევაში, გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს თვითნებური ტერმინის მნიშვნელობის ფორმულა. გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი n-ე წევრი უდრის პირველი წევრის ნამრავლს და პროგრესიის მნიშვნელს n-ის ხარისხზე შემცირებული ერთით:
მაგალითი. გვაქვს გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი უდრის 3-ს, ხოლო პროგრესიის მნიშვნელი უდრის 1,5-ს. ვიპოვოთ პროგრესიის მე-5 წევრი
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
ტერმინების მოცემული რაოდენობის ჯამი ასევე გამოითვლება სპეციალური ფორმულით. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი უდრის სხვაობას პროგრესიის n-ე წევრისა და მისი მნიშვნელის ნამრავლსა და პროგრესიის პირველ წევრს შორის, გაყოფილი მნიშვნელზე შემცირებული ერთით:
თუ b n ჩანაცვლებულია ზემოთ განხილული ფორმულის გამოყენებით, განხილული რიცხვების სერიის პირველი n პუნქტების ჯამის მნიშვნელობა მიიღებს ფორმას:
მაგალითი. გეომეტრიული პროგრესია იწყება პირველი წევრით, რომელიც უდრის 1-ს. მნიშვნელი არის 3. ვიპოვოთ პირველი რვა წევრის ჯამი.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
ბევრს სმენია არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ, მაგრამ ყველას არ აქვს კარგი წარმოდგენა იმაზე, თუ რა არის ეს. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ შესაბამის განმარტებას და ასევე განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მოვიყვანთ რამდენიმე მაგალითს.
მათემატიკური განმარტება
ასე რომ, თუ ჩვენ ვსაუბრობთ არითმეტიკულ ან ალგებრულ პროგრესიაზე (ეს ცნებები განსაზღვრავს ერთსა და იმავეს), მაშინ ეს ნიშნავს, რომ არის გარკვეული რიცხვითი სერია, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ კანონს: სერიების ყოველი ორი მიმდებარე რიცხვი განსხვავდება ერთი და იგივე მნიშვნელობით. მათემატიკურად ასე წერია:
აქ n ნიშნავს a n ელემენტის რაოდენობას მიმდევრობაში, ხოლო რიცხვი d არის პროგრესიის სხვაობა (მისი სახელი გამომდინარეობს წარმოდგენილი ფორმულიდან).
რას ნიშნავს d განსხვავების ცოდნა? იმის შესახებ, თუ რამდენად "დაშორებულია" მეზობელი რიცხვები ერთმანეთისგან. თუმცა, d-ის ცოდნა აუცილებელი, მაგრამ არა საკმარისი პირობაა მთელი პროგრესიის დასადგენად (აღდგენისთვის). თქვენ უნდა იცოდეთ კიდევ ერთი რიცხვი, რომელიც შეიძლება იყოს განხილული სერიის აბსოლუტურად ნებისმიერი ელემენტი, მაგალითად, 4, a10, მაგრამ, როგორც წესი, ისინი იყენებენ პირველ რიცხვს, ანუ 1-ს.
პროგრესირების ელემენტების განსაზღვრის ფორმულები
ზოგადად, ზემოთ მოყვანილი ინფორმაცია უკვე საკმარისია კონკრეტული პრობლემების გადაჭრაზე გადასასვლელად. მიუხედავად ამისა, სანამ არითმეტიკული პროგრესია იქნება მოცემული და საჭირო იქნება მისი განსხვავების პოვნა, ჩვენ წარმოგიდგენთ რამდენიმე სასარგებლო ფორმულას, რაც ხელს შეუწყობს პრობლემების გადაჭრის შემდგომ პროცესს.
ადვილია იმის ჩვენება, რომ მიმდევრობის ნებისმიერი ელემენტი n ნომრით შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:
a n = a 1 + (n - 1) * d
მართლაც, ყველას შეუძლია შეამოწმოს ეს ფორმულა მარტივი ძიებით: თუ ჩაანაცვლებთ n = 1-ს, თქვენ მიიღებთ პირველ ელემენტს, თუ ჩაანაცვლებთ n = 2, მაშინ გამონათქვამი იძლევა პირველი რიცხვისა და სხვაობის ჯამს და ა.შ.
მრავალი ამოცანის პირობები ისეა შედგენილი, რომ რიცხვების ცნობილი წყვილის გათვალისწინებით, რომელთა რიცხვებიც თანმიმდევრობითაა მოცემული, აუცილებელია მთელი რიცხვების სერიის რეკონსტრუქცია (იპოვეთ განსხვავება და პირველი ელემენტი). ახლა ჩვენ გადავჭრით ამ პრობლემას ზოგადი ფორმით.
მაშ ასე, მოცემულია ორი ელემენტი n და m რიცხვებით. ზემოთ მიღებული ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ შექმნათ ორი განტოლების სისტემა:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
უცნობი სიდიდეების საპოვნელად გამოვიყენებთ ასეთი სისტემის ამოხსნის ცნობილ მარტივ ტექნიკას: გამოვაკლოთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები წყვილებში, ტოლობა დარჩება ძალაში. Ჩვენ გვაქვს:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
ამრიგად, ჩვენ გამოვრიცხეთ ერთი უცნობი (a 1). ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ საბოლოო გამოხატულება d-ის დასადგენად:
d = (a n - a m) / (n - m), სადაც n > m
ჩვენ მივიღეთ ძალიან მარტივი ფორმულა: იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ განსხვავება d პრობლემის პირობების შესაბამისად, საჭიროა მხოლოდ ავიღოთ თვით ელემენტებსა და მათ სერიულ ნომრებს შორის განსხვავებების თანაფარდობა. ყურადღება უნდა მიექცეს ერთ მნიშვნელოვან პუნქტს: განსხვავებები აღებულია "უფროს" და "უმცროს" წევრებს შორის, ანუ n > m ("უფროსი" ნიშნავს დგომას თანმიმდევრობის დასაწყისიდან უფრო შორს, მისი აბსოლუტური მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ან მეტ-ნაკლებად უფრო „უმცროსი“ ელემენტი).
d პროგრესიის სხვაობის გამოხატულება უნდა შეიცვალოს რომელიმე განტოლებაში პრობლემის გადაჭრის დასაწყისში პირველი წევრის მნიშვნელობის მისაღებად.
კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების ჩვენს ეპოქაში, ბევრი სკოლის მოსწავლე ცდილობს იპოვნოს გადაწყვეტილებები მათი დავალებისთვის ინტერნეტში, ამიტომ ხშირად ჩნდება ამ ტიპის კითხვები: იპოვნეთ არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება ინტერნეტში. ასეთი მოთხოვნისთვის საძიებო სისტემა დააბრუნებს უამრავ ვებ გვერდს, რომლებზეც გადასვლით მოგიწევთ მდგომარეობიდან ცნობილი მონაცემების შეყვანა (ეს შეიძლება იყოს პროგრესირების ორი ტერმინი ან მათი გარკვეული რაოდენობის ჯამი. ) და მყისიერად მიიღეთ პასუხი. თუმცა, პრობლემის გადაჭრის ეს მიდგომა არაპროდუქტიულია მოსწავლის განვითარებისა და მისთვის დაკისრებული ამოცანის არსის გააზრების თვალსაზრისით.
გამოსავალი ფორმულების გამოყენების გარეშე
მოდით გადავჭრათ პირველი პრობლემა მოცემული ფორმულის გამოყენების გარეშე. მიეცით რიგის ელემენტები: a6 = 3, a9 = 18. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
ცნობილი ელემენტები ზედიზედ ერთმანეთთან ახლოს დგანან. რამდენჯერ უნდა დაემატოს განსხვავება d უმცირესს, რომ მივიღოთ უდიდესი? სამჯერ (პირველად d-ს მიმატებით ვიღებთ მე-7 ელემენტს, მეორედ - მერვეს, ბოლოს, მესამედ - მეცხრეს). რა რიცხვი უნდა დაემატოს სამს სამჯერ, რომ მივიღოთ 18? ეს არის ნომერი ხუთი. ნამდვილად:
ამრიგად, უცნობი განსხვავება d = 5.
რა თქმა უნდა, გამოსავალი შეიძლებოდა განხორციელებულიყო შესაბამისი ფორმულით, მაგრამ ეს არ გაკეთებულა განზრახ. პრობლემის გადაჭრის დეტალური ახსნა უნდა გახდეს ნათელი და ნათელი მაგალითი იმისა, თუ რა არის არითმეტიკული პროგრესია.
წინა მსგავსი დავალება
ახლა მოდით გადავჭრათ მსგავსი პრობლემა, მაგრამ შევცვალოთ შეყვანის მონაცემები. ასე რომ, თქვენ უნდა იპოვოთ, თუ a3 = 2, a9 = 19.
რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ კვლავ მიმართოთ გადაწყვეტის მეთოდს "პირდაპირი". მაგრამ ვინაიდან მოცემულია სერიის ელემენტები, რომლებიც შედარებით შორს არიან ერთმანეთისგან, ეს მეთოდი მთლად მოსახერხებელი არ იქნება. მაგრამ მიღებული ფორმულის გამოყენება სწრაფად მიგვიყვანს პასუხამდე:
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83
აქ დავამრგვალეთ საბოლოო რიცხვი. თუ რამდენად გამოიწვია ამ დამრგვალებამ შეცდომა, შეიძლება ვიმსჯელოთ შედეგის შემოწმებით:
a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98
ეს შედეგი მხოლოდ 0.1%-ით განსხვავდება პირობით მოცემული მნიშვნელობიდან. ამიტომ, დამრგვალება, რომელიც გამოყენებულია უახლოეს მეასედამდე, შეიძლება ჩაითვალოს წარმატებულ არჩევნად.
ტერმინის ფორმულის გამოყენებასთან დაკავშირებული პრობლემები
განვიხილოთ ამოცანის კლასიკური მაგალითი უცნობი d-ის დასადგენად: იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, თუ a1 = 12, a5 = 40.
როდესაც მოცემულია უცნობი ალგებრული მიმდევრობის ორი რიცხვი და მათგან ერთი არის ელემენტი a 1, მაშინ არ გჭირდებათ დიდხანს ფიქრი, მაგრამ დაუყოვნებლივ უნდა გამოიყენოთ a n ტერმინის ფორმულა. ამ შემთხვევაში გვაქვს:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
ჩვენ მივიღეთ ზუსტი რიცხვი გაყოფისას, ამიტომ აზრი არ აქვს გამოთვლილი შედეგის სიზუსტის შემოწმებას, როგორც ეს გაკეთდა წინა აბზაცში.
გადავჭრათ კიდევ ერთი მსგავსი პრობლემა: უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, თუ a1 = 16, a8 = 37.
ჩვენ ვიყენებთ წინა მსგავსი მიდგომას და ვიღებთ:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
კიდევ რა უნდა იცოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?
უცნობი განსხვავების ან ცალკეული ელემენტების პოვნის ამოცანების გარდა, ხშირად საჭიროა მიმდევრობის პირველი წევრთა ჯამის ამოცანების ამოხსნა. ამ პრობლემების განხილვა სცილდება სტატიის ფარგლებს, თუმცა ინფორმაციის სისრულისთვის წარმოგიდგენთ ზოგად ფორმულას n რიცხვების ჯამისთვის სერიის:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
ან არითმეტიკა არის მოწესრიგებული რიცხვითი მიმდევრობის სახეობა, რომლის თვისებები შეისწავლება სასკოლო ალგებრის კურსში. ეს სტატია დეტალურად განიხილავს კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.
რა სახის პროგრესია ეს?
სანამ კითხვაზე გადავიდოდეთ (როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი), ღირს იმის გაგება, რაზეც ვსაუბრობთ.
რეალური რიცხვების ნებისმიერ თანმიმდევრობას, რომელიც მიიღება ყოველი წინა რიცხვის გარკვეული მნიშვნელობის მიმატებით (გამოკლებით), ეწოდება ალგებრული (არითმეტიკული) პროგრესია. ეს განმარტება, როდესაც ითარგმნება მათემატიკურ ენაზე, იღებს ფორმას:
აქ i არის a i მწკრივის ელემენტის სერიული ნომერი. ამრიგად, მხოლოდ ერთი საწყისი ნომრის ცოდნით, შეგიძლიათ მარტივად აღადგინოთ მთელი სერია. პარამეტრს d ფორმულაში ეწოდება პროგრესირების განსხვავება.
მარტივად შეიძლება აჩვენოს, რომ განსახილველი რიცხვების სერიისთვის მოქმედებს შემდეგი ტოლობა:
a n = a 1 + d * (n - 1).
ანუ n-ე ელემენტის მნიშვნელობის თანმიმდევრობით საპოვნელად, პირველ ელემენტს a უნდა დაამატოთ განსხვავება d 1 n-1 ჯერ.
რა არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი: ფორმულა
მითითებული თანხის ფორმულის მიცემამდე, ღირს მარტივი განსაკუთრებული შემთხვევის განხილვა. ნატურალური რიცხვების პროგრესირების გათვალისწინებით 1-დან 10-მდე, თქვენ უნდა იპოვოთ მათი ჯამი. ვინაიდან პროგრესში (10) რამდენიმე ტერმინია, შესაძლებელია პრობლემის უშუალოდ გადაჭრა, ანუ შეჯამება ყველა ელემენტის თანმიმდევრობით.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
ღირს ერთი საინტერესო რამის გათვალისწინება: ვინაიდან თითოეული ტერმინი განსხვავდება შემდეგი ტერმინისგან ერთი და იგივე მნიშვნელობით d = 1, მაშინ პირველის მეათესთან, მეორის მეცხრესთან და ა.შ. ნამდვილად:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
როგორც ხედავთ, ამ ჯამებიდან მხოლოდ 5 არის, ანუ ზუსტად ორჯერ ნაკლებია სერიის ელემენტების რაოდენობაზე. შემდეგ ჯამების რაოდენობა (5) გავამრავლოთ თითოეული ჯამის (11) შედეგზე, მიიღებთ პირველ მაგალითში მიღებულ შედეგს.
თუ განვაზოგადებთ ამ არგუმენტებს, შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი გამოთქმა:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
ეს გამოთქმა გვიჩვენებს, რომ სულაც არ არის აუცილებელი ყველა ელემენტის ზედიზედ შეჯამება; საკმარისია იცოდეთ პირველი a 1-ის და ბოლო a n-ის მნიშვნელობა, ისევე როგორც n ტერმინების საერთო რაოდენობა.
ითვლება, რომ გაუსმა პირველად მოიფიქრა ეს თანასწორობა, როდესაც ის ეძებდა გამოსავალს მისი სკოლის მასწავლებლის მიერ მოცემული პრობლემის შესახებ: შეაჯამეთ პირველი 100 მთელი რიცხვი.
ელემენტების ჯამი m-დან n-მდე: ფორმულა
წინა აბზაცში მოცემული ფორმულა პასუხობს კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი (პირველი ელემენტები), მაგრამ ხშირად ამოცანებში აუცილებელია რიცხვების რიგის შეჯამება პროგრესიის შუაში. Როგორ გავაკეთო ეს?
ამ კითხვაზე პასუხის გაცემის უმარტივესი გზაა შემდეგი მაგალითის გათვალისწინება: მოდით, საჭირო იყოს ტერმინების ჯამის პოვნა m-დან n-მდე. პრობლემის გადასაჭრელად თქვენ უნდა წარმოადგინოთ პროგრესიის მოცემული სეგმენტი m-დან n-მდე ახალი რიცხვითი სერიის სახით. ამ წარმოდგენაში m-ის წევრი a m იქნება პირველი და a n იქნება დანომრილი n-(m-1). ამ შემთხვევაში, ჯამის სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით, მიიღება შემდეგი გამოხატულება:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
ფორმულების გამოყენების მაგალითი
იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი, ღირს ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულების გამოყენების მარტივი მაგალითის გათვალისწინება.
ქვემოთ მოცემულია რიცხვითი თანმიმდევრობა, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი წევრთა ჯამი, დაწყებული მე-5-დან და დამთავრებული მე-12-ით:
მოცემული რიცხვები მიუთითებს, რომ სხვაობა d უდრის 3-ს. n-ე ელემენტის გამოხატვის გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ პროგრესიის მე-5 და მე-12 წევრთა მნიშვნელობები. გამოდის:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
იმის ცოდნა, თუ რა რიცხვებია განხილული ალგებრული პროგრესიის ბოლოებში, ასევე იმის ცოდნა, თუ რა რიცხვებს იკავებენ ისინი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ წინა აბზაცში მიღებული ჯამის ფორმულა. გამოვა:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
აღსანიშნავია, რომ ამ მნიშვნელობის მიღება სხვაგვარად შეიძლებოდა: ჯერ იპოვეთ პირველი 12 ელემენტის ჯამი სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით, შემდეგ გამოთვალეთ პირველი 4 ელემენტის ჯამი იმავე ფორმულით, შემდეგ გამოაკლეთ მეორე პირველ ჯამს.
არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები
თეორიული ინფორმაცია
თეორიული ინფორმაცია
არითმეტიკული პროგრესია |
გეომეტრიული პროგრესია |
|
განმარტება |
არითმეტიკული პროგრესია a nარის თანმიმდევრობა, რომელშიც თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინა წევრს დ (დ- პროგრესის განსხვავება) |
გეომეტრიული პროგრესია b nარის არანულოვანი რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელთა ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრს გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ქ (ქ- პროგრესირების მნიშვნელი) |
განმეორების ფორმულა |
ნებისმიერი ბუნებრივი ნ |
ნებისმიერი ბუნებრივი ნ |
ფორმულა n-ე ტერმინი |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| დამახასიათებელი თვისება |  |
|
| პირველი n წევრთა ჯამი |  |
 |
დავალებების მაგალითები კომენტარებით
სავარჯიშო 1
არითმეტიკული პროგრესიით ( a n) a 1 = -6, a 2
n-ე ტერმინის ფორმულის მიხედვით:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 დ
პირობით:
a 1= -6, მაშინ a 22= -6 + 21 დ .
აუცილებელია პროგრესის განსხვავების პოვნა:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
პასუხი: a 22 = -48.
დავალება 2
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეხუთე წევრი: -3; 6;....
1 მეთოდი (n-ტერმინის ფორმულის გამოყენებით)
გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულის მიხედვით:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
იმიტომ რომ ბ 1 = -3,
მე-2 მეთოდი (განმეორებადი ფორმულის გამოყენებით)
ვინაიდან პროგრესიის მნიშვნელი არის -2 (q = -2), მაშინ:
ბ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
ბ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
ბ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
პასუხი: ბ 5 = -48.
დავალება 3
არითმეტიკული პროგრესიით ( ა ნ) a 74 = 34; 76= 156. იპოვეთ ამ პროგრესიის სამოცდამეხუთე წევრი.
არითმეტიკული პროგრესიისთვის დამახასიათებელ თვისებას აქვს ფორმა 
.
ამიტომ:
.
მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:
პასუხი: 95.
დავალება 4
არითმეტიკული პროგრესიით ( ა ნ ) ა ნ= 3n - 4. იპოვეთ პირველი ჩვიდმეტი წევრის ჯამი.
არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის საპოვნელად გამოიყენება ორი ფორმულა:
.
რომელი მათგანი უფრო მოსახერხებელია გამოსაყენებლად ამ შემთხვევაში?
პირობით, ცნობილია საწყისი პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა ( a n) a n= 3n - 4. შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ იპოვოთ და a 1, და a 16აღმოჩენის გარეშე დ. ამიტომ, ჩვენ გამოვიყენებთ პირველ ფორმულას.
პასუხი: 368.
დავალება 5
არითმეტიკული პროგრესიით ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. იპოვეთ პროგრესიის ოცდამეორე წევრი.
n-ე ტერმინის ფორმულის მიხედვით:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 დღე.
პირობით, თუ a 1= -6, მაშინ a 22= -6 + 21d. აუცილებელია პროგრესის განსხვავების პოვნა:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
პასუხი: a 22 = -48.
დავალება 6
გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული პირობა იწერება:
იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი წარწერით x.
ამოხსნისას გამოვიყენებთ n-ე ტერმინის ფორმულას b n = b 1 ∙ q n - 1გეომეტრიული პროგრესიებისთვის. პროგრესის პირველი ვადა. q პროგრესიის მნიშვნელის საპოვნელად, თქვენ უნდა აიღოთ პროგრესიის მოცემული რომელიმე წევრი და გავყოთ წინაზე. ჩვენს მაგალითში შეგვიძლია ავიღოთ და გავყოთ. ვიღებთ, რომ q = 3. n-ის ნაცვლად, ფორმულაში ვცვლით 3-ს, რადგან აუცილებელია მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის მესამე წევრის პოვნა.
ნაპოვნი მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
.
პასუხი:.
დავალება 7
n-ე წევრის ფორმულით მოცემული არითმეტიკული პროგრესიებიდან აირჩიეთ ის, რისთვისაც პირობა დაკმაყოფილებულია a 27 > 9:
ვინაიდან მოცემული პირობა დაკმაყოფილებული უნდა იყოს პროგრესიის 27-ე წევრისთვის, ჩვენ ვანაცვლებთ 27-ს n-ის ნაცვლად ოთხივე პროგრესიაში. მე-4 პროგრესში ვიღებთ:
.
პასუხი: 4.
დავალება 8
არითმეტიკული პროგრესიით a 1= 3, d = -1.5. მიუთითეთ n-ის უდიდესი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მოქმედებს უტოლობა a n > -6.
რიცხვების მიმდევრობის კონცეფცია გულისხმობს, რომ თითოეული ნატურალური რიცხვი შეესაბამება გარკვეულ რეალურ მნიშვნელობას. რიცხვების ასეთი სერია შეიძლება იყოს თვითნებური ან ჰქონდეს გარკვეული თვისებები - პროგრესია. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, თანმიმდევრობის ყოველი მომდევნო ელემენტი (წევრი) შეიძლება გამოითვალოს წინას გამოყენებით.
არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი მნიშვნელობების თანმიმდევრობა, რომელშიც მისი მეზობელი წევრები განსხვავდებიან ერთმანეთისგან ერთი და იგივე რაოდენობით (სერიის ყველა ელემენტს, მე-2-დან დაწყებული, აქვს მსგავსი თვისება). ეს რიცხვი - განსხვავება წინა და მომდევნო ტერმინებს შორის - მუდმივია და მას პროგრესიის სხვაობა ეწოდება.
პროგრესის განსხვავება: განმარტება
განვიხილოთ j მნიშვნელობებისაგან შემდგარი თანმიმდევრობა A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ეკუთვნის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს N. არითმეტიკა პროგრესია, მისი განმარტების მიხედვით, არის თანმიმდევრობა, რომელშიც a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. მნიშვნელობა d არის ამ პროგრესიის სასურველი განსხვავება.
d = a(j) – a(j-1).
მონიშნეთ:
- მზარდი პროგრესია, ამ შემთხვევაში d > 0. მაგალითი: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- პროგრესირების შემცირება, შემდეგ დ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
განსხვავების პროგრესირება და მისი თვითნებური ელემენტები
თუ ცნობილია პროგრესიის 2 თვითნებური წევრი (i-th, k-th), მაშინ სხვაობა მოცემული მიმდევრობისთვის შეიძლება განისაზღვროს ურთიერთობის საფუძველზე:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, რაც ნიშნავს d = (a(i) – a(k))/(i-k).
პროგრესირების განსხვავება და მისი პირველი ტერმინი
ეს გამოთქმა დაგეხმარებათ უცნობი მნიშვნელობის დადგენაში მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც ცნობილია მიმდევრობის ელემენტის რაოდენობა.
პროგრესირების სხვაობა და მისი ჯამი
პროგრესიის ჯამი არის მისი ტერმინების ჯამი. მისი პირველი j ელემენტების ჯამური მნიშვნელობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ შესაბამისი ფორმულა:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, მაგრამ მას შემდეგ a(j) = a(1) + d(j – 1), შემდეგ S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
