მათემატიკასა და სტატისტიკაში საშუალოდარითმეტიკა (ან მარტივი საშუალოდ) რიცხვთა სიმრავლის არის ამ სიმრავლის ყველა რიცხვის ჯამი გაყოფილი მათ რიცხვზე. საშუალო არითმეტიკული არის საშუალოს განსაკუთრებით უნივერსალური და ყველაზე გავრცელებული წარმოდგენა.

დაგჭირდებათ

• მათემატიკის ცოდნა.

ინსტრუქციები

1. მიეცით ოთხი რიცხვის ნაკრები. აღმოჩენაა საჭირო საშუალოდ მნიშვნელობაეს ნაკრები. ამისათვის ჩვენ ჯერ ვიპოვით ყველა ამ რიცხვის ჯამს. შესაძლო რიცხვებია 1, 3, 8, 7. მათი ჯამი არის S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. რიცხვების სიმრავლე უნდა შედგებოდეს ერთი და იმავე ნიშნის რიცხვებისგან, წინააღმდეგ შემთხვევაში საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლის აზრი იკარგება.

2. საშუალო მნიშვნელობარიცხვების ნაკრები უდრის S რიცხვების ჯამს გაყოფილი ამ რიცხვების რაოდენობაზე. ანუ გამოდის რომ საშუალოდ მნიშვნელობაუდრის: 19/4 = 4,75.

3. რიცხვების ნაკრებისთვის ასევე შესაძლებელია გამოვლენა არა მხოლოდ საშუალოდარითმეტიკა, არამედ საშუალოდგეომეტრიული. რამდენიმე რეგულარული რეალური რიცხვის გეომეტრიული საშუალო არის რიცხვი, რომელსაც შეუძლია შეცვალოს რომელიმე ეს რიცხვი ისე, რომ მათი ნამრავლი არ შეიცვალოს. გეომეტრიული საშუალო G მოიძებნება ფორმულის გამოყენებით: რიცხვთა სიმრავლის ნამრავლის N-ე ფესვი, სადაც N არის რიცხვი სიმრავლეში. მოდით შევხედოთ რიცხვების ერთსა და იმავე სიმრავლეს: 1, 3, 8, 7. მოდი ვიპოვოთ ისინი საშუალოდგეომეტრიული. ამისთვის გამოვთვალოთ ნამრავლი: 1*3*8*7 = 168. ახლა 168 რიცხვიდან უნდა ამოიღოთ მე-4 ფესვი: G = (168)^1/4 = 3.61. ამგვარად საშუალოდრიცხვების გეომეტრიული სიმრავლე არის 3.61.

საშუალოგეომეტრიული საშუალო ჩვეულებრივ გამოიყენება არითმეტიკულ საშუალოზე ნაკლებად ხშირად, თუმცა, ის შეიძლება სასარგებლო იყოს ინდიკატორების საშუალო მნიშვნელობის გამოანგარიშებისას, რომლებიც დროთა განმავლობაში იცვლება (ინდივიდუალური თანამშრომლის ხელფასი, აკადემიური მოსწრების ინდიკატორების დინამიკა და ა.შ.).

დაგჭირდებათ

• საინჟინრო კალკულატორი

ინსტრუქციები

1. იმისათვის, რომ იპოვოთ რიცხვების სერიის გეომეტრიული საშუალო, ჯერ უნდა გაამრავლოთ ყველა ეს რიცხვი. ვთქვათ, თქვენ გეძლევათ ხუთი ინდიკატორის ნაკრები: 12, 3, 6, 9 და 4. მოდით გავამრავლოთ ყველა ეს რიცხვი: 12x3x6x9x4=7776.

2. ახლა მიღებული რიცხვიდან თქვენ უნდა ამოიღოთ სიმძლავრის ფესვი, რომელიც უდრის სერიის ელემენტების რაოდენობას. ჩვენს შემთხვევაში, 7776 ნომრიდან საჭირო იქნება მეხუთე ფესვის ამოღება საინჟინრო კალკულატორის გამოყენებით. ამ ოპერაციის შემდეგ მიღებული რიცხვი - ამ შემთხვევაში რიცხვი 6 - იქნება გეომეტრიული საშუალო რიცხვების საწყისი ჯგუფისთვის.

3. თუ ხელთ არ გაქვთ საინჟინრო კალკულატორი, მაშინ შეგიძლიათ გამოთვალოთ რიცხვების სერიის გეომეტრიული საშუალო, SRGEOM ფუნქციის გამოყენებით Excel-ში ან ერთ-ერთი ონლაინ კალკულატორის გამოყენებით, რომელიც სპეციალურად შექმნილია გეომეტრიული საშუალო მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

Შენიშვნა!
თუ თქვენ გჭირდებათ თითოეულის გეომეტრიული საშუალოს პოვნა 2 რიცხვისთვის, მაშინ არ გჭირდებათ საინჟინრო კალკულატორი: შეგიძლიათ ამოიღოთ ნებისმიერი რიცხვის მეორე ფესვი (კვადრატული ფესვი) ყველაზე ჩვეულებრივი კალკულატორის გამოყენებით.

სასარგებლო რჩევა
არითმეტიკული საშუალოსგან განსხვავებით, გეომეტრიულ საშუალოზე არც თუ ისე ძლიერ გავლენას ახდენს უზარმაზარი გადახრები და რყევები ცალკეულ მნიშვნელობებს შორის შესასწავლი ინდიკატორების სიმრავლეში.

საშუალომნიშვნელობა არის რიცხვების ნაკრების ერთ-ერთი შეკრება. წარმოადგენს რიცხვს, რომელიც ვერ მოხვდება იმ დიაპაზონში, რომელიც განსაზღვრულია ამ რიცხვების ნაკრების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებით. საშუალოარითმეტიკული მნიშვნელობა არის განსაკუთრებით ხშირად გამოყენებული საშუალო ტიპი.

ინსტრუქციები

1. შეკრიბეთ ნაკრების ყველა რიცხვი და გაყავით ისინი ტერმინების რაოდენობაზე, რათა მიიღოთ საშუალო არითმეტიკული. გარკვეული გაანგარიშების პირობებიდან გამომდინარე, ზოგჯერ უფრო ადვილია თითოეული რიცხვის გაყოფა ნაკრების მნიშვნელობების რაოდენობაზე და ჯამური ჯამი.

2. გამოიყენეთ, ვთქვათ, Windows OS-ში შემავალი კალკულატორი, თუ თქვენს თავში საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის გამოთვლა შეუძლებელია. მისი გახსნა შეგიძლიათ პროგრამის გაშვების დიალოგის მხარდაჭერით. ამისათვის დააჭირეთ "ცხელ კლავიშებს" WIN + R ან დააჭირეთ ღილაკს "დაწყება" და აირჩიეთ "Run" ბრძანება მთავარი მენიუდან. ამის შემდეგ, შეყვანის ველში აკრიფეთ calc და დააჭირეთ Enter კლავიატურაზე ან დააჭირეთ ღილაკს "OK". იგივე შეიძლება გაკეთდეს მთავარი მენიუს საშუალებით - გახსენით იგი, გადადით განყოფილებაში "ყველა პროგრამა" და "ტიპიური" სეგმენტები და აირჩიეთ "კალკულატორი" ხაზი.

3. ეტაპობრივად შეიყვანეთ ნაკრების ყველა რიცხვი კლავიატურაზე პლუს კლავიშის დაჭერით ყველა მათგანის შემდეგ (უკანასკნელის გარდა) ან კალკულატორის ინტერფეისში შესაბამის ღილაკზე დაჭერით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეიყვანოთ ნომრები კლავიატურიდან ან შესაბამისი ინტერფეისის ღილაკების დაჭერით.

4. დააჭირეთ ხაზის ღილაკს ან დააწკაპუნეთ ამ ხატულაზე კალკულატორის ინტერფეისში ნაკრების ბოლო მნიშვნელობის შეყვანის შემდეგ და აკრიფეთ რიცხვების რაოდენობა თანმიმდევრობით. ამის შემდეგ დააჭირეთ ტოლობის ნიშანს და კალკულატორი გამოთვლის და აჩვენებს საშუალო არითმეტიკას.

5. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ Microsoft Excel ცხრილების რედაქტორი იმავე მიზნით. ამ შემთხვევაში, გაუშვით რედაქტორი და შეიყვანეთ რიცხვების თანმიმდევრობის ყველა მნიშვნელობა მიმდებარე უჯრედებში. თუ მთელი ნომრის შეყვანის შემდეგ დააჭერთ Enter-ს ან ქვემოთ ან მარჯვენა ისრის კლავიშს, თავად რედაქტორი გადაიტანს შეყვანის ფოკუსს მიმდებარე უჯრედში.

6. აირჩიეთ ყველა შეყვანილი მნიშვნელობა და რედაქტორის ფანჯრის ქვედა მარცხენა კუთხეში (სტატუსის ზოლში) დაინახავთ არჩეული უჯრედების საშუალო არითმეტიკულ მნიშვნელობას.

7. დააწკაპუნეთ უჯრედზე ბოლო შეყვანილი რიცხვის გვერდით, თუ უბრალოდ გსურთ ნახოთ საშუალო. გააფართოვეთ ჩამოსაშლელი სია ბერძნული ასო სიგმა (Σ) გამოსახულებით Editing ბრძანების ჯგუფში მთავარ ჩანართზე. აირჩიეთ ხაზი " საშუალოდა რედაქტორი არჩეულ უჯრედში ჩასვამს საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის აუცილებელ ფორმულას. დააჭირეთ Enter ღილაკს და ღირებულება გამოითვლება.

საშუალო არითმეტიკული არის ცენტრალური მიდრეკილების ერთ-ერთი საზომი, რომელიც ფართოდ გამოიყენება მათემატიკასა და სტატისტიკურ გამოთვლებში. ძალიან ადვილია რამდენიმე მნიშვნელობის საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის პოვნა, მაგრამ ყველა პრობლემას აქვს თავისი ნიუანსი, რომელიც უნდა იცოდე სწორი გამოთვლების შესასრულებლად.

რა არის არითმეტიკული საშუალო

საშუალო არითმეტიკული განსაზღვრავს საშუალო მნიშვნელობას თითოეული საწყისი მასივისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვების გარკვეული ნაკრებიდან არჩეულია მნიშვნელობა, რომელიც უნივერსალურია ყველა ელემენტისთვის, რომლის მათემატიკური შედარება ყველა ელემენტთან დაახლოებით ტოლია. არითმეტიკული საშუალო სასურველია გამოყენებული იქნას ფინანსური და სტატისტიკური ანგარიშების მომზადებისას ან მსგავსი უნარების რაოდენობრივი შედეგების გამოსათვლელად.

როგორ მოვძებნოთ საშუალო არითმეტიკული

რიცხვების მასივისთვის საშუალო არითმეტიკულის პოვნა უნდა დაიწყოს ამ მნიშვნელობების ალგებრული ჯამის განსაზღვრით. მაგალითად, თუ მასივი შეიცავს რიცხვებს 23, 43, 10, 74 და 34, მაშინ მათი ალგებრული ჯამი იქნება 184. წერისას საშუალო არითმეტიკული ასოთი აღინიშნება? (mu) ან x (x ხაზით). შემდეგი, ალგებრული ჯამი უნდა გაიყოს მასივის რიცხვების რაოდენობაზე. განსახილველ მაგალითში იყო ხუთი რიცხვი, შესაბამისად საშუალო არითმეტიკული იქნება 184/5-ის ტოლი და იქნება 36,8.

უარყოფით რიცხვებთან მუშაობის თავისებურებები

თუ მასივი შეიცავს უარყოფით რიცხვებს, მაშინ საშუალო არითმეტიკული იპოვება მსგავსი ალგორითმის გამოყენებით. განსხვავება მხოლოდ პროგრამირების გარემოში გაანგარიშებისას არსებობს, ან თუ პრობლემა შეიცავს დამატებით მონაცემებს. ამ შემთხვევაში, სხვადასხვა ნიშნის მქონე რიცხვების საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის პოვნა სამ საფეხურამდე მოდის: 1. უნივერსალური არითმეტიკული საშუალოს პოვნა სტანდარტული მეთოდის გამოყენებით;2. უარყოფითი რიცხვების საშუალო არითმეტიკულის პოვნა.3. დადებითი რიცხვების საშუალო არითმეტიკულის გამოთვლა.თითოეული მოქმედების შედეგები იწერება მძიმით გამოყოფილი.

ბუნებრივი და ათობითი წილადები

თუ რიცხვთა მასივი წარმოდგენილია ათობითი წილადებით, ამოხსნა ხორციელდება მთელი რიცხვების საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის მეთოდით, მაგრამ ჯამის შემცირება ხდება ამოცანის მოთხოვნების შესაბამისად შედეგის სიზუსტისთვის. ბუნებრივ წილადებთან მუშაობისას ისინი უნდა შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე, რომელიც მრავლდება მასივის რიცხვების რაოდენობაზე. შედეგის მრიცხველი იქნება საწყისი წილადი ელემენტების მოცემული მრიცხველების ჯამი.

რიცხვების გეომეტრიული საშუალო დამოკიდებულია არა მხოლოდ თავად რიცხვების აბსოლუტურ მნიშვნელობაზე, არამედ მათ რიცხვზეც. შეუძლებელია რიცხვების გეომეტრიული საშუალო და საშუალო არითმეტიკული აღრევა, რადგან ისინი სხვადასხვა მეთოდოლოგიით გვხვდება. ამ შემთხვევაში, გეომეტრიული საშუალო უცვლელად ნაკლებია ან ტოლია საშუალო არითმეტიკაზე.

დაგჭირდებათ

• საინჟინრო კალკულატორი.

ინსტრუქციები

1. ჩათვალეთ, რომ ზოგად შემთხვევაში რიცხვების გეომეტრიული საშუალო იპოვება ამ რიცხვების გამრავლებით და მათგან იმ ძალის ფესვის აღებით, რომელიც შეესაბამება რიცხვთა რაოდენობას. მაგალითად, თუ თქვენ გჭირდებათ ხუთი რიცხვის გეომეტრიული საშუალოს პოვნა, მაშინ პროდუქტიდან მეხუთე ფესვის ამოღება დაგჭირდებათ.

2. 2 რიცხვის გეომეტრიული საშუალო საპოვნელად გამოიყენეთ ძირითადი წესი. იპოვეთ მათი ნამრავლი, შემდეგ აიღეთ რიცხვი ორის კვადრატული ფესვი, რომელიც შეესაბამება ფესვის ხარისხს. ვთქვათ, 16 და 4 რიცხვების გეომეტრიული საშუალოს საპოვნელად, იპოვეთ მათი ნამრავლი 16 4 = 64. მიღებული რიცხვიდან აიღეთ კვადრატული ფესვი?64=8. ეს იქნება სასურველი მნიშვნელობა. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ამ 2 რიცხვის საშუალო არითმეტიკული უფრო დიდია და უდრის 10-ს. თუ ფესვი მთლიანად არ არის ამოღებული, დამრგვალეთ ჯამი საჭირო თანმიმდევრობამდე.

3. 2-ზე მეტი რიცხვის გეომეტრიული საშუალოს საპოვნელად ასევე გამოიყენეთ ძირითადი წესი. ამისათვის იპოვეთ ყველა რიცხვის ნამრავლი, რომლის გეომეტრიული საშუალო უნდა იპოვოთ. მიღებული პროდუქტიდან ამოიღეთ სიმძლავრის ფესვი რიცხვების რაოდენობის ტოლი. ვთქვათ, 2, 4 და 64 რიცხვების გეომეტრიული საშუალოს საპოვნელად, იპოვეთ მათი ნამრავლი. 2 4 64=512. იმის გამო, რომ აუცილებელია 3 რიცხვის გეომეტრიული საშუალოს შედეგის პოვნა, ნამრავლიდან ამოიღეთ მესამე ფესვი. ძნელია ამის გაკეთება სიტყვიერად, ამიტომ გამოიყენეთ საინჟინრო კალკულატორი. ამ მიზნით მას აქვს ღილაკი "x^y". აკრიფეთ ნომერი 512, დააჭირეთ ღილაკს "x^y", შემდეგ აკრიფეთ ნომერი 3 და დააჭირეთ ღილაკს "1/x" მნიშვნელობის 1/3 საპოვნელად, დააჭირეთ ღილაკს "=". ვიღებთ 512-ის 1/3-ის ხარისხზე აყვანის შედეგს, რომელიც შეესაბამება მესამე ფესვს. მიიღეთ 512^1/3=8. ეს არის 2.4 და 64 რიცხვების გეომეტრიული საშუალო.

4. საინჟინრო კალკულატორის მხარდაჭერით, შეგიძლიათ იპოვოთ გეომეტრიული საშუალო სხვა მეთოდის გამოყენებით. იპოვეთ ჟურნალის ღილაკი თქვენს კლავიატურაზე. ამის შემდეგ აიღეთ ყველა რიცხვის ლოგარითმი, იპოვეთ მათი ჯამი და გაყავით იგი რიცხვების რაოდენობაზე. აიღეთ ანტილოგარითმი მიღებული რიცხვიდან. ეს იქნება რიცხვების გეომეტრიული საშუალო. ვთქვათ, იმავე 2, 4 და 64 რიცხვების გეომეტრიული საშუალო საპოვნელად, შეასრულეთ ოპერაციების ნაკრები კალკულატორზე. აკრიფეთ ნომერი 2, შემდეგ დააჭირეთ ჟურნალის ღილაკს, დააჭირეთ ღილაკს "+", აკრიფეთ ნომერი 4 და კვლავ დააჭირეთ log და "+", აკრიფეთ 64, დააჭირეთ log და "=". შედეგი იქნება რიცხვი, რომელიც ტოლია 2, 4 და 64 რიცხვების ათობითი ლოგარითმების ჯამის. ჯამიდან აიღეთ ანტილოგარითმი რეგისტრაციის ღილაკის გადართვით და გამოიყენეთ იგივე ჟურნალის გასაღები. შედეგი იქნება ნომერი 8, ეს არის სასურველი გეომეტრიული საშუალო.

Შენიშვნა!
საშუალო მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს ნაკრებში ყველაზე დიდ რიცხვზე დიდი და უმცირესზე ნაკლები.

სასარგებლო რჩევა
მათემატიკური სტატისტიკაში სიდიდის საშუალო მნიშვნელობას მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება.

საშუალოების მეთოდი

3.1 საშუალო მაჩვენებლების არსი და მნიშვნელობა სტატისტიკაში. საშუალოების ტიპები

Საშუალო ზომისსტატისტიკაში არის თვისობრივად ერთგვაროვანი ფენომენებისა და პროცესების განზოგადებული მახასიათებელი ზოგიერთი განსხვავებული მახასიათებლის მიხედვით, რაც გვიჩვენებს მახასიათებლის დონეს, რომელიც დაკავშირებულია მოსახლეობის ერთეულთან. საშუალო ღირებულება აბსტრაქტული, რადგან ახასიათებს მახასიათებლის მნიშვნელობას მოსახლეობის ზოგიერთ უპიროვნო ერთეულში.არსისაშუალო მნიშვნელობა არის ის, რომ ინდივიდუალური და შემთხვევითი გზით ვლინდება ზოგადი და აუცილებელი, ანუ მასობრივი ფენომენების განვითარების ტენდენცია და ნიმუში. ნიშნები, რომლებიც განზოგადებულია საშუალო მნიშვნელობებში, თანდაყოლილია მოსახლეობის ყველა ერთეულში. ამის გამო, საშუალო მნიშვნელობას დიდი მნიშვნელობა აქვს მასობრივი ფენომენების თანდაყოლილი შაბლონების იდენტიფიცირებისთვის და არ არის შესამჩნევი მოსახლეობის ცალკეულ ერთეულებში.

საშუალოების გამოყენების ზოგადი პრინციპები:

აუცილებელია მოსახლეობის ერთეულის გონივრული არჩევანი, რომლისთვისაც გამოითვლება საშუალო მნიშვნელობა;

საშუალო მნიშვნელობის დადგენისას უნდა გამოვიდეს საშუალოდ შეფასებული მახასიათებლის ხარისხობრივი შინაარსიდან, გავითვალისწინოთ შესასწავლი მახასიათებლების ურთიერთკავშირი, აგრეთვე გამოსათვლელად ხელმისაწვდომი მონაცემები;

საშუალო მნიშვნელობები უნდა გამოითვალოს თვისობრივად ერთგვაროვან პოპულაციებზე დაყრდნობით, რომლებიც მიიღება დაჯგუფების მეთოდით, რომელიც გულისხმობს განზოგადების ინდიკატორების სისტემის გამოთვლას;

საერთო საშუალო მაჩვენებლები უნდა იყოს მხარდაჭერილი ჯგუფის საშუალო მაჩვენებლებით.

პირველადი მონაცემების ბუნებიდან, გამოყენების ფარგლებიდან და სტატისტიკაში გაანგარიშების მეთოდიდან გამომდინარე, გამოირჩევა შემდეგი: საშუალო ძირითადი ტიპები:

1) სიმძლავრის საშუალო(საშუალო არითმეტიკული, ჰარმონიული, გეომეტრიული, საშუალო კვადრატი და კუბური);

2) სტრუქტურული (არაპარამეტრული) საშუალებები(რეჟიმი და მედიანა).

სტატისტიკაში შესწავლილი მოსახლეობის სწორ დახასიათებას ყოველ ცალკეულ შემთხვევაში განსხვავებული მახასიათებლის მიხედვით იძლევა მხოლოდ ძალიან კონკრეტული ტიპის საშუალო. საკითხი, თუ რა ტიპის საშუალო უნდა იქნას გამოყენებული კონკრეტულ შემთხვევაში, წყდება შესწავლილი პოპულაციის სპეციფიკური ანალიზით, ასევე შედეგების მნიშვნელოვნების პრინციპის საფუძველზე შეჯამების ან აწონვისას. ეს და სხვა პრინციპები გამოიხატება სტატისტიკაში საშუალოების თეორია.

მაგალითად, საშუალო არითმეტიკული და ჰარმონიული საშუალო გამოიყენება შესწავლილ პოპულაციაში განსხვავებული მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობის დასახასიათებლად. გეომეტრიული საშუალო გამოიყენება მხოლოდ დინამიკის საშუალო მაჩვენებლების გაანგარიშებისას, ხოლო კვადრატული საშუალო გამოიყენება მხოლოდ ვარიაციის ინდექსების გამოთვლისას.

საშუალო მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმულები წარმოდგენილია ცხრილში 3.1.

ცხრილი 3.1 – საშუალო მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმულები

საშუალოების ტიპები	გაანგარიშების ფორმულები
	მარტივი	შეწონილი
1. საშუალო არითმეტიკული
2. ჰარმონიული საშუალო
3. გეომეტრიული საშუალო
4. საშუალო კვადრატი

აღნიშვნები:- რაოდენობები, რომლებზეც გამოითვლება საშუალო; - საშუალო, სადაც ზემოთ ზოლი მიუთითებს, რომ ხდება ინდივიდუალური მნიშვნელობების საშუალო შეფასება; - სიხშირე (მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების განმეორებადობა).

ცხადია, სხვადასხვა საშუალო მაჩვენებლები გამომდინარეობს საშუალო სიმძლავრის ზოგადი ფორმულა (3.1) :

, (3.1)

როდესაც k = + 1 - საშუალო არითმეტიკული; k = -1 - ჰარმონიული საშუალო; k = 0 - გეომეტრიული საშუალო; k = +2 - ფესვის საშუალო კვადრატი.

საშუალო მნიშვნელობები შეიძლება იყოს მარტივი ან შეწონილი. შეწონილი საშუალოები მნიშვნელობებს უწოდებენ, რომლებიც ითვალისწინებენ, რომ ატრიბუტების მნიშვნელობების ზოგიერთ ვარიანტს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული რიცხვები; ამასთან დაკავშირებით, თითოეული ვარიანტი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე. „სასწორები“ ამ შემთხვევაში არის აგრეგატული ერთეულების რაოდენობა სხვადასხვა ჯგუფში, ე.ი. თითოეული ვარიანტი "შეწონილია" მისი სიხშირით. სიხშირე f ეწოდება სტატისტიკური წონაან საშუალო წონა.

საბოლოოდ საშუალო სწორი არჩევანიიღებს შემდეგ თანმიმდევრობას:

ა) მოსახლეობის ზოგადი მაჩვენებლის დადგენა;

ბ) სიდიდეების მათემატიკური დამოკიდებულების დადგენა მოცემულ ზოგად მაჩვენებელზე;

გ) ინდივიდუალური მნიშვნელობების საშუალო მნიშვნელობებით შეცვლა;

დ) საშუალოს გამოთვლა შესაბამისი განტოლების გამოყენებით.

3.2 საშუალო არითმეტიკული და მისი თვისებები და გაანგარიშების ტექნიკა. ჰარმონიული საშუალო

Საშუალო არითმეტიკული– საშუალო ზომის ყველაზე გავრცელებული ტიპი; ის გამოითვლება იმ შემთხვევებში, როდესაც საშუალო მახასიათებლის მოცულობა იქმნება, როგორც მისი მნიშვნელობების ჯამი შესწავლილი სტატისტიკური პოპულაციის ცალკეული ერთეულებისთვის.

არითმეტიკული საშუალოს ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებები:

1. საშუალოს ნამრავლი სიხშირეების ჯამით ყოველთვის ტოლია ვარიანტების (ინდივიდუალური მნიშვნელობების) ნამრავლების ჯამს სიხშირეების მიხედვით.

2. თუ თითოეულ ვარიანტს გამოაკლებთ (დაამატებთ) რაიმე თვითნებურ რიცხვს, მაშინ ახალი საშუალო იგივე რიცხვით შემცირდება (გაიზრდება).

3. თუ თითოეული ვარიანტი გამრავლდება (იყოფა) რაიმე თვითნებურ რიცხვზე, მაშინ ახალი საშუალო გაიზრდება (მცირდება) იმავე ოდენობით.

4. თუ ყველა სიხშირე (წონა) იყოფა ან გამრავლდა რომელიმე რიცხვზე, მაშინ საშუალო არითმეტიკული არ შეიცვლება.

5. ცალკეული ვარიანტების გადახრების ჯამი არითმეტიკული საშუალოდან ყოველთვის ნულია.

თქვენ შეგიძლიათ გამოკლოთ თვითნებური მუდმივი მნიშვნელობა ატრიბუტის ყველა მნიშვნელობიდან (სასურველია შუა ვარიანტის მნიშვნელობა ან ყველაზე მაღალი სიხშირის ვარიანტები), შეამციროთ მიღებული განსხვავებები საერთო ფაქტორით (სასურველია ინტერვალის მნიშვნელობით). და გამოხატეთ სიხშირეები კონკრეტულად (პროცენტებში) და გაამრავლეთ გამოთვლილი საშუალო საერთო ფაქტორზე და დაამატეთ თვითნებური მუდმივი მნიშვნელობა. საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის ამ მეთოდს ე.წ პირობითი ნულიდან გაანგარიშების მეთოდი .

გეომეტრიული საშუალოპოულობს თავის გამოყენებას საშუალო ზრდის ტემპების (ზრდის საშუალო კოეფიციენტების) განსაზღვრაში, როდესაც მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობები წარმოდგენილია ფარდობითი მნიშვნელობების სახით. იგი ასევე გამოიყენება იმ შემთხვევაში, თუ საჭიროა მახასიათებლის მინიმალურ და მაქსიმალურ მნიშვნელობებს შორის საშუალოს პოვნა (მაგალითად, 100-დან 1000000-მდე).

საშუალო კვადრატიგამოიყენება აგრეგატში მახასიათებლის ცვალებადობის გასაზომად (სტანდარტული გადახრის გამოთვლა).

მოქმედებს სტატისტიკაში საშუალოების უმრავლესობის წესი:

X ზიანი.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 სტრუქტურული საშუალო მაჩვენებლები (რეჟიმი და მედიანა)

მოსახლეობის სტრუქტურის დასადგენად გამოიყენება სპეციალური საშუალო მაჩვენებლები, რომლებიც მოიცავს მედიანასა და მოდულს, ანუ ე.წ. თუ საშუალო არითმეტიკული გამოითვლება ატრიბუტების მნიშვნელობების ყველა ვარიანტის გამოყენების საფუძველზე, მაშინ მედიანა და რეჟიმი ახასიათებს იმ ვარიანტის მნიშვნელობას, რომელიც იკავებს გარკვეულ საშუალო პოზიციას რეიტინგული ვარიაციების სერიაში.

მოდა- ატრიბუტის ყველაზე ტიპიური, ყველაზე ხშირად ნაცნობი მნიშვნელობა. ამისთვის დისკრეტული სერიამოდა იქნება ყველაზე მაღალი სიხშირის ვარიანტი. მოდას დასადგენად ინტერვალის სერიაპირველ რიგში, განისაზღვრება მოდალური ინტერვალი (ინტერვალი, რომელსაც აქვს უმაღლესი სიხშირე). შემდეგ, ამ ინტერვალის ფარგლებში, იპოვება ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება იყოს რეჟიმი.

ინტერვალის სერიის რეჟიმის კონკრეტული მნიშვნელობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა (3.2)

(3.2)

სადაც XMo არის მოდალური ინტერვალის ქვედა ზღვარი; i Mo - მოდალური ინტერვალის მნიშვნელობა; f Mo - მოდალური ინტერვალის სიხშირე; f Mo-1 - მოდალურის წინა ინტერვალის სიხშირე; f Mo+1 არის მოდალური ინტერვალის შემდგომი სიხშირე.

მოდა ფართოდ არის გავრცელებული მარკეტინგულ საქმიანობაში მომხმარებელთა მოთხოვნის შესწავლისას, განსაკუთრებით ტანსაცმლისა და ფეხსაცმლის ყველაზე პოპულარული ზომის განსაზღვრისას და ფასების პოლიტიკის რეგულირებისას.

მედიანური - სხვადასხვა მახასიათებლის მნიშვნელობა, რომელიც ეცემა რეიტინგული პოპულაციის შუა რიცხვებში. ამისთვის რანჟირებული სერია კენტი რიცხვითინდივიდუალური მნიშვნელობები (მაგალითად, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) მედიანა იქნება მნიშვნელობა, რომელიც მდებარეობს სერიის ცენტრში, ე.ი. მეოთხე მნიშვნელობა არის 6. იყიდება რეიტინგული სერია ლუწი რიცხვითინდივიდუალური მნიშვნელობები (მაგალითად, 1, 5, 7, 10, 11, 14) მედიანა იქნება საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობა, რომელიც გამოითვლება ორი მიმდებარე მნიშვნელობიდან. ჩვენს შემთხვევაში, მედიანა არის (7+10)/2=8.5.

ამრიგად, მედიანას მოსაძებნად, ჯერ უნდა დაადგინოთ მისი სერიული ნომერი (მისი პოზიცია რეიტინგულ სერიაში) ფორმულების გამოყენებით (3.3):

(თუ არ არის სიხშირეები)

ნმე =
(თუ არის სიხშირეები) (3.3)

სადაც n არის ერთეულების რაოდენობა აგრეგატში.

მედიანის რიცხვითი მნიშვნელობა ინტერვალის სერიაგანისაზღვრება დაგროვილი სიხშირეებით დისკრეტული ვარიაციის სერიაში. ამისათვის ჯერ უნდა მიუთითოთ ის ინტერვალი, სადაც მედიანა გვხვდება განაწილების ინტერვალის სერიაში. მედიანა არის პირველი ინტერვალი, სადაც დაგროვილი სიხშირეების ჯამი აღემატება დაკვირვებების ნახევარს ყველა დაკვირვების მთლიანი რიცხვიდან.

მედიანის რიცხვითი მნიშვნელობა ჩვეულებრივ განისაზღვრება ფორმულით (3.4)

(3.4)

სადაც x Ме არის მედიანური ინტერვალის ქვედა ზღვარი; iMe - ინტერვალის მნიშვნელობა; SМе -1 არის ინტერვალის დაგროვილი სიხშირე, რომელიც წინ უსწრებს მედიანას; fMe - მედიანური ინტერვალის სიხშირე.

ნაპოვნი ინტერვალის ფარგლებში, მედიანა ასევე გამოითვლება ფორმულით Me = xl e, სადაც ტოლობის მარჯვენა მხარეს მეორე ფაქტორი გვიჩვენებს მედიანის მდებარეობას მედიანური ინტერვალის ფარგლებში და x არის ამ ინტერვალის სიგრძე. მედიანა ყოფს ვარიაციის სერიას ნახევრად სიხშირით. ჯერ კიდევ დგინდება კვარტილები , რომლებიც ყოფენ ვარიაციების სერიას 4 თანაბარი ზომის ალბათობით ნაწილად და დეცილები , მწკრივის გაყოფა 10 თანაბარ ნაწილად.

სოციალურ-ეკონომიკურ კვლევებში გამოყენებული სტატისტიკური ინდიკატორების ყველაზე გავრცელებული ფორმაა საშუალო მნიშვნელობა, რომელიც წარმოადგენს სტატისტიკური პოპულაციის მახასიათებლის განზოგადებულ რაოდენობრივ მახასიათებელს. საშუალო მნიშვნელობები, როგორც ეს იყო, დაკვირვებების მთელი სერიის "წარმომადგენლებია". ხშირ შემთხვევაში, საშუალო შეიძლება განისაზღვროს საწყისი საშუალო თანაფარდობის (ARR) ან მისი ლოგიკური ფორმულის მეშვეობით: . ასე, მაგალითად, საწარმოს თანამშრომელთა საშუალო ხელფასის გამოსათვლელად საჭიროა ჯამური სახელფასო ფონდის გაყოფა დასაქმებულთა რაოდენობაზე: საშუალოს საწყისი თანაფარდობის მრიცხველი მისი განმსაზღვრელი მაჩვენებელია. საშუალო ხელფასისთვის ასეთი განმსაზღვრელი მაჩვენებელია სახელფასო ფონდი. სოციალურ-ეკონომიკურ ანალიზში გამოყენებული თითოეული ინდიკატორისთვის შესაძლებელია მხოლოდ ერთი ნამდვილი საწყისი თანაფარდობის შედგენა საშუალოს გამოსათვლელად. ასევე უნდა დაემატოს, რომ სტანდარტული გადახრის უფრო ზუსტად შესაფასებლად მცირე ნიმუშებისთვის (ელემენტების რაოდენობა 30-ზე ნაკლები), მნიშვნელში არ უნდა იქნას გამოყენებული ფესვის ქვეშ არსებული გამოხატულება. ნ, ა n- 1.

საშუალოების კონცეფცია და ტიპები

Საშუალო ღირებულება- ეს არის სტატისტიკური პოპულაციის ზოგადი მაჩვენებელი, რომელიც გამორიცხავს ინდივიდუალურ განსხვავებებს სტატისტიკური რაოდენობების მნიშვნელობებში, რაც საშუალებას გაძლევთ შეადაროთ სხვადასხვა პოპულაციები ერთმანეთთან. არსებობს 2 კლასისაშუალო მნიშვნელობები: სიმძლავრე და სტრუქტურული. სტრუქტურული საშუალოები მოიცავს მოდა და მედიანური , მაგრამ ყველაზე ხშირად გამოიყენება სიმძლავრის საშუალოსხვადასხვა სახის.

სიმძლავრე საშუალოდ

სიმძლავრის საშუალო მაჩვენებლები შეიძლება იყოს მარტივიდა შეწონილი.

მარტივი საშუალო გამოითვლება, როდესაც არსებობს ორი ან მეტი დაუჯგუფებელი სტატისტიკური რაოდენობა, რომლებიც მოწყობილია შემთხვევითი თანმიმდევრობით, შემდეგი ზოგადი სიმძლავრის საშუალო ფორმულის გამოყენებით (k (m) სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის):

საშუალო შეწონილი გამოითვლება დაჯგუფებული სტატისტიკიდან შემდეგი ზოგადი ფორმულის გამოყენებით:

სადაც x - შესწავლილი ფენომენის საშუალო მნიშვნელობა; x i – საშუალო მახასიათებლის i-ე ვერსია;

f i – i-ე ვარიანტის წონა.

სადაც X არის ინდივიდუალური სტატისტიკური მნიშვნელობების მნიშვნელობები ან დაჯგუფების ინტერვალების შუა;
m არის ექსპონენტი, რომლის მნიშვნელობა განსაზღვრავს შემდეგი ტიპის სიმძლავრის საშუალოდ:
როდესაც m = -1 ჰარმონიული საშუალო;
m = 0 გეომეტრიული საშუალოზე;
m = 1 საშუალო არითმეტიკით;
როდესაც m = 2 ფესვი საშუალო კვადრატი;
m = 3-ზე საშუალოა კუბური.

მარტივი და შეწონილი საშუალოების ზოგადი ფორმულების გამოყენებით სხვადასხვა მაჩვენებლების m, ჩვენ ვიღებთ თითოეული ტიპის კონკრეტულ ფორმულებს, რომლებიც დეტალურად იქნება განხილული ქვემოთ.

Საშუალო არითმეტიკული

არითმეტიკული საშუალო - პირველი რიგის საწყისი მომენტი, შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების მათემატიკური მოლოდინი ტესტების დიდი რაოდენობით;

საშუალო არითმეტიკული არის ყველაზე ხშირად გამოყენებული საშუალო მნიშვნელობა, რომელიც მიიღება m=1 ზოგად ფორმულაში ჩანაცვლებით. Საშუალო არითმეტიკული მარტივიაქვს შემდეგი ფორმა:

ან

სადაც X არის იმ რაოდენობების მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც უნდა გამოითვალოს საშუალო მნიშვნელობა; N არის X მნიშვნელობების საერთო რაოდენობა (შესწავლილ პოპულაციაში ერთეულების რაოდენობა).

მაგალითად, მოსწავლემ ჩააბარა 4 გამოცდა და მიიღო შემდეგი შეფასებები: 3, 4, 4 და 5. გამოვთვალოთ საშუალო ქულა მარტივი არითმეტიკული საშუალო ფორმულით: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.Საშუალო არითმეტიკული შეწონილიაქვს შემდეგი ფორმა:

სადაც f არის X იგივე მნიშვნელობის მქონე სიდიდეების რაოდენობა (სიხშირე). >მაგალითად, მოსწავლემ ჩააბარა 4 გამოცდა და მიიღო შემდეგი შეფასებები: 3, 4, 4 და 5. გამოვთვალოთ საშუალო ქულა საშუალო შეწონილი არითმეტიკული ფორმულით: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 .თუ X მნიშვნელობები მითითებულია როგორც ინტერვალები, მაშინ გამოთვლებისთვის გამოიყენება X ინტერვალების შუა წერტილები, რომლებიც განისაზღვრება, როგორც ინტერვალის ზედა და ქვედა საზღვრების ნახევარი ჯამი. და თუ X ინტერვალს არ აქვს ქვედა ან ზედა საზღვარი (ღია ინტერვალი), მაშინ მის მოსაძებნად გამოიყენეთ მიმდებარე X ინტერვალის დიაპაზონი (სხვაობა ზედა და ქვედა საზღვარს შორის). მაგალითად, საწარმოს ჰყავს 10 თანამშრომელი 3 წლამდე, 20 3-დან 5 წლამდე, 5 თანამშრომელი 5 წელზე მეტი გამოცდილებით. შემდეგ ჩვენ ვიანგარიშებთ დასაქმებულთა მომსახურების საშუალო ხანგრძლივობას შეწონილი არითმეტიკული საშუალო ფორმულის გამოყენებით, X-ის სახით ვიღებთ მომსახურების ხანგრძლივობის შუალედებს (2, 4 და 6 წელი): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3.71 წელი.

AVERAGE ფუნქცია

ეს ფუნქცია ითვლის თავისი არგუმენტების საშუალოს (არითმეტიკას).

საშუალო (ნომერი1; ნომერი2; ...)

Number1, number2, ... არის 1-დან 30-მდე არგუმენტები, რომლებისთვისაც გამოითვლება საშუალო.

არგუმენტები უნდა იყოს რიცხვები ან სახელები, მასივები ან რიცხვების შემცველი მითითებები. თუ არგუმენტი, რომელიც არის მასივი ან მითითება, შეიცავს ტექსტებს, ლოგინებს ან ცარიელ უჯრედებს, მაშინ ასეთი მნიშვნელობები იგნორირებულია; თუმცა, უჯრედები, რომლებიც შეიცავს ნულოვან მნიშვნელობებს, ითვლება.

AVERAGE ფუნქცია

ითვლის არგუმენტების სიაში მოცემული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკას. რიცხვების გარდა, გაანგარიშება შეიძლება შეიცავდეს ტექსტს და ლოგიკურ მნიშვნელობებს, როგორიცაა TRUE და FALSE.

AVERAGE (მნიშვნელობა1, მნიშვნელობა2,...)

Value1, value2,... არის 1-დან 30-მდე უჯრედი, უჯრედების დიაპაზონი ან მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც გამოითვლება საშუალო.

არგუმენტები უნდა იყოს რიცხვები, სახელები, მასივები ან მითითებები. ტექსტის შემცველი მასივები და ბმულები ინტერპრეტირებულია როგორც 0 (ნულოვანი). ცარიელი ტექსტი ("") ინტერპრეტირებულია როგორც 0 (ნულოვანი). TRUE მნიშვნელობის შემცველი არგუმენტები ინტერპრეტირებულია როგორც 1, არგუმენტები, რომლებიც შეიცავს მნიშვნელობას FALSE ინტერპრეტირებულია როგორც 0 (ნულოვანი).

არითმეტიკული საშუალო ყველაზე ხშირად გამოიყენება, მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც საჭიროა სხვა ტიპის საშუალოების გამოყენება. განვიხილოთ ასეთი შემთხვევები შემდგომში.

ჰარმონიული საშუალო

ჰარმონიული საშუალო ორმხრივების საშუალო ჯამის დასადგენად;

ჰარმონიული საშუალოგამოიყენება, როდესაც წყაროს მონაცემები არ შეიცავს f სიხშირეებს ცალკეული X მნიშვნელობებისთვის, მაგრამ წარმოდგენილია როგორც მათი პროდუქტი Xf. როდესაც აღვნიშნავთ Xf=w, გამოვხატავთ f=w/X და ამ აღნიშვნების ჩანაცვლებით არითმეტიკული შეწონილი საშუალოს ფორმულაში, ვიღებთ ჰარმონიული შეწონილი საშუალო ფორმულას:

ამრიგად, შეწონილი ჰარმონიული საშუალო გამოიყენება, როდესაც f სიხშირეები უცნობია და w=Xf ცნობილია. იმ შემთხვევებში, როდესაც ყველა w = 1, ანუ X-ის ინდივიდუალური მნიშვნელობები ხდება ერთხელ, გამოიყენება საშუალო ჰარმონიული პირველი ფორმულა: ან მაგალითად, მანქანა A წერტილიდან B წერტილამდე მიდიოდა 90 კმ/სთ სიჩქარით, უკან კი 110 კმ/სთ სიჩქარით. საშუალო სიჩქარის დასადგენად, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას საშუალო ჰარმონიული მარტივისთვის, რადგან მაგალითში მოცემულია მანძილი w 1 =w 2 (მანძილი A წერტილიდან B წერტილამდე იგივეა, რაც B-დან A-მდე), რაც არის სიჩქარის (X) და დროის (f) ნამრავლის ტოლია. საშუალო სიჩქარე = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 კმ/სთ.

ფუნქცია SRGARM

აბრუნებს მონაცემთა ნაკრების ჰარმონიულ საშუალოს. ჰარმონიული საშუალო არის საპასუხო არითმეტიკული საშუალოს ორმხრივი.

SRGARM (ნომერი1, ნომერი2, ...)

Number1, number2, ... არის 1-დან 30-მდე არგუმენტები, რომლებისთვისაც გამოითვლება საშუალო. მძიმით გამოყოფილი არგუმენტების ნაცვლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ მასივი ან მასივის მითითება.

ჰარმონიული საშუალო ყოველთვის ნაკლებია გეომეტრიულ საშუალოზე, რომელიც ყოველთვის ნაკლებია საშუალო არითმეტიკაზე.

გეომეტრიული საშუალო

გეომეტრიული საშუალო შემთხვევითი ცვლადების საშუალო ზრდის ტემპის შესაფასებლად, მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობებისგან ტოლი მანძილის დამახასიათებელი მნიშვნელობის პოვნა;

გეომეტრიული საშუალოგამოიყენება საშუალო ფარდობითი ცვლილებების დასადგენად. გეომეტრიული საშუალო იძლევა ყველაზე ზუსტ საშუალო შედეგს, თუ დავალება არის X-ის მნიშვნელობის პოვნა, რომელიც თანაბარი დაშორებით იქნება X-ის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობებისგან. მაგალითად, 2005-2008 წლებშიინფლაციის ინდექსი რუსეთში იყო: 2005 წელს - 1,109; 2006 წელს - 1090; 2007 წელს - 1119; 2008 წელს - 1 133. ვინაიდან ინფლაციის ინდექსი ფარდობითი ცვლილებაა (დინამიური ინდექსი), საშუალო მნიშვნელობა უნდა გამოითვალოს გეომეტრიული საშუალოს გამოყენებით: (1.109*1.090*1.119*1.133)^(1/4) = 1.1126, ანუ 2005 წლიდან პერიოდისთვის. 2008 წლამდე ფასები ყოველწლიურად გაიზარდა საშუალოდ 11,26%-ით. მცდარი გამოთვლა საშუალო არითმეტიკის გამოყენებით მისცემს არასწორ შედეგს 11,28%.

SRGEOM ფუნქცია

აბრუნებს მასივის ან დადებითი რიცხვების ინტერვალის გეომეტრიულ საშუალოს. მაგალითად, SRGEOM ფუნქცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას საშუალო ზრდის ტემპის გამოსათვლელად, თუ მითითებულია ცვლადი ტემპებით შედგენილი შემოსავალი.

SRGEOM (ნომერი1; ნომერი2; ...)

Number1, number2, ... არის 1-დან 30-მდე არგუმენტები, რომლებისთვისაც გამოითვლება გეომეტრიული საშუალო. მძიმით გამოყოფილი არგუმენტების ნაცვლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ მასივი ან მასივის მითითება.

საშუალო კვადრატი

საშუალო კვადრატი - მეორე რიგის საწყისი მომენტი.

საშუალო კვადრატიგამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც X-ის საწყისი მნიშვნელობები შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაგალითად, საშუალო გადახრების გაანგარიშებისას. კვადრატული საშუალოს ძირითადი გამოყენება არის X მნიშვნელობების ვარიაციის გაზომვა.

საშუალო კუბური

საშუალო კუბური არის მესამე რიგის საწყისი მომენტი.

საშუალო კუბურიგამოიყენება უკიდურესად იშვიათად, მაგალითად, განვითარებადი ქვეყნებისთვის (TIN-1) და განვითარებული ქვეყნებისთვის (TIN-2) სიღარიბის ინდექსების გაანგარიშებისას, შემოთავაზებული და გამოთვლილი გაეროს მიერ.

მათემატიკის შესწავლის პროცესში სკოლის მოსწავლეები ეცნობიან საშუალო არითმეტიკის ცნებას. სამომავლოდ სტატისტიკასა და ზოგიერთ სხვა მეცნიერებაში მოსწავლეები სხვების გაანგარიშების წინაშე დგანან, რა შეიძლება იყოს ისინი და რით განსხვავდებიან ერთმანეთისგან?

მნიშვნელობა და განსხვავებები

ზუსტი ინდიკატორები ყოველთვის არ იძლევა სიტუაციის გაგებას. კონკრეტული სიტუაციის შესაფასებლად, ზოგჯერ საჭიროა ფიგურების უზარმაზარი რაოდენობის ანალიზი. და შემდეგ საშუალოები მოდიან სამაშველოში. ისინი საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ სიტუაცია მთლიანობაში.

სკოლის დღეებიდან ბევრ ზრდასრულ ადამიანს ახსოვს საშუალო არითმეტიკულის არსებობა. გამოთვლა ძალიან მარტივია - n პუნქტების თანმიმდევრობის ჯამი იყოფა n-ზე. ანუ, თუ თქვენ გჭირდებათ საშუალო არითმეტიკული გამოთვლა 27, 22, 34 და 37 მნიშვნელობების თანმიმდევრობით, მაშინ უნდა ამოხსნათ გამოხატულება (27+22+34+37)/4, რადგან 4 მნიშვნელობებია. გამოიყენება გამოთვლებში. ამ შემთხვევაში, საჭირო მნიშვნელობა იქნება 30.

გეომეტრიული საშუალო ხშირად სწავლობს სასკოლო კურსის ნაწილად. ამ მნიშვნელობის გამოთვლა ეფუძნება n ტერმინის ნამრავლის n-ე ფესვის ამოღებას. თუ ავიღებთ იგივე რიცხვებს: 27, 22, 34 და 37, მაშინ გამოთვლების შედეგი იქნება 29,4-ის ტოლი.

ჰარმონიული საშუალო ჩვეულებრივ არ არის სწავლის საგანი საშუალო სკოლებში. თუმცა, იგი საკმაოდ ხშირად გამოიყენება. ეს მნიშვნელობა არის საშუალო არითმეტიკულის შებრუნებული და გამოითვლება როგორც n-ის კოეფიციენტი - მნიშვნელობების რაოდენობა და ჯამი 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n. თუ ისევ იგივეს ავიღებთ გამოსათვლელად, მაშინ ჰარმონია იქნება 29,6.

საშუალო შეწონილი: მახასიათებლები

თუმცა, ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი მნიშვნელობა შეიძლება ყველგან არ იყოს გამოყენებული. მაგალითად, სტატისტიკაში, ზოგიერთის გაანგარიშებისას, გამოთვლებში გამოყენებული თითოეული რიცხვის „წონა“ მნიშვნელოვან როლს ასრულებს. შედეგები უფრო საჩვენებელი და სწორია, რადგან ისინი ითვალისწინებენ მეტ ინფორმაციას. რაოდენობების ამ ჯგუფს ზოგადად "შეწონილი საშუალო" ეწოდება. მათ სკოლაში არ ასწავლიან, ამიტომ ღირს მათი დაწვრილებით ნახვა.

უპირველეს ყოვლისა, ღირს იმის თქმა, თუ რას გულისხმობს კონკრეტული ღირებულების „წონა“. ამის ახსნის ყველაზე მარტივი გზა არის კონკრეტული მაგალითი. საავადმყოფოში დღეში ორჯერ იზომება თითოეული პაციენტის სხეულის ტემპერატურა. საავადმყოფოს სხვადასხვა განყოფილებაში 100 პაციენტიდან 44-ს ნორმალური ტემპერატურა - 36,6 გრადუსი ექნება. კიდევ 30-ს ექნება გაზრდილი მნიშვნელობა - 37.2, 14 - 38, 7 - 38.5, 3 - 39, ხოლო დანარჩენ ორს - 40. და თუ ავიღებთ საშუალო არითმეტიკას, მაშინ ეს მნიშვნელობა ზოგადად საავადმყოფოსთვის იქნება 38-ზე მეტი. გრადუსი! მაგრამ პაციენტების თითქმის ნახევარს აქვს აბსოლუტურად და აქ უფრო სწორი იქნება საშუალო შეწონილი მნიშვნელობის გამოყენება და თითოეული მნიშვნელობის „წონა“ იქნება ადამიანების რაოდენობა. ამ შემთხვევაში, გაანგარიშების შედეგი იქნება 37,25 გრადუსი. განსხვავება აშკარაა.

საშუალო შეწონილი გამოთვლების შემთხვევაში, „წონა“ შეიძლება მივიღოთ, როგორც გადაზიდვების რაოდენობა, მოცემულ დღეს მომუშავე ადამიანების რაოდენობა, ზოგადად, ყველაფერი, რაც შეიძლება გაზომოს და გავლენა მოახდინოს საბოლოო შედეგზე.

ჯიშები

შეწონილი საშუალო დაკავშირებულია სტატიის დასაწყისში განხილულ საშუალო არითმეტიკასთან. თუმცა, პირველი მნიშვნელობა, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ასევე ითვალისწინებს გამოთვლებში გამოყენებული თითოეული რიცხვის წონას. გარდა ამისა, არსებობს ასევე შეწონილი გეომეტრიული და ჰარმონიული მნიშვნელობები.

არსებობს კიდევ ერთი საინტერესო ვარიაცია, რომელიც გამოიყენება რიცხვების სერიაში. ეს არის შეწონილი მოძრავი საშუალო. სწორედ ამის საფუძველზე ხდება ტენდენციების გაანგარიშება. გარდა თავად მნიშვნელობებისა და მათი წონისა, იქ ასევე გამოიყენება პერიოდულობა. და დროის გარკვეულ მომენტში საშუალო მნიშვნელობის გაანგარიშებისას ასევე გათვალისწინებულია წინა პერიოდის მნიშვნელობები.

ყველა ამ მნიშვნელობის გამოთვლა არც ისე რთულია, მაგრამ პრაქტიკაში ჩვეულებრივ გამოიყენება მხოლოდ ჩვეულებრივი შეწონილი საშუალო.

გაანგარიშების მეთოდები

ფართო კომპიუტერიზაციის ეპოქაში არ არის საჭირო საშუალო შეწონილი ხელით გამოთვლა. თუმცა, სასარგებლო იქნება გაანგარიშების ფორმულის ცოდნა, რათა შეამოწმოთ და, საჭიროების შემთხვევაში, დაარეგულიროთ მიღებული შედეგები.

უმარტივესი გზაა გაანგარიშება კონკრეტული მაგალითის გამოყენებით.

აუცილებელია გაირკვეს, თუ რა არის საშუალო ხელფასი ამ საწარმოში, ამა თუ იმ ხელფასს მიმღებ მუშაკთა რაოდენობის გათვალისწინებით.

ასე რომ, შეწონილი საშუალო გამოითვლება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

მაგალითად, გაანგარიშება იქნება ასეთი:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33.48

ცხადია, არ არსებობს განსაკუთრებული სირთულე შეწონილი საშუალო ხელით გამოთვლაში. ამ მნიშვნელობის გამოთვლის ფორმულა ფორმულებით ერთ-ერთ ყველაზე პოპულარულ აპლიკაციაში - Excel - ჰგავს SUMPRODUCT (რიცხვების სერია; წონის სერია) / SUM (წონების სერია) ფუნქციას.

საშუალო მნიშვნელობა არის ზოგადი მაჩვენებელი, რომელიც ახასიათებს ფენომენის ტიპურ დონეს. იგი გამოხატავს მახასიათებლის მნიშვნელობას მოსახლეობის ერთეულზე.

საშუალო მნიშვნელობა არის:

1) პოპულაციისთვის ატრიბუტის ყველაზე ტიპიური მნიშვნელობა;

2) მოსახლეობის ატრიბუტის მოცულობა, თანაბრად განაწილებული მოსახლეობის ერთეულებს შორის.

მახასიათებელს, რომლისთვისაც გამოითვლება საშუალო მნიშვნელობა, სტატისტიკაში "საშუალო" ეწოდება.

საშუალო ყოველთვის აზოგადებს ნიშან-თვისების რაოდენობრივ ცვალებადობას, ე.ი. საშუალო მნიშვნელობებში აღმოფხვრილია ინდივიდუალური განსხვავებები პოპულაციაში ერთეულებს შორის შემთხვევითი გარემოებების გამო. საშუალოსგან განსხვავებით, აბსოლუტური მნიშვნელობა, რომელიც ახასიათებს მოსახლეობის ცალკეული ერთეულის მახასიათებლის დონეს, არ იძლევა საშუალებას შევადაროთ მახასიათებლის მნიშვნელობები სხვადასხვა პოპულაციის კუთვნილ ერთეულებს შორის. ასე რომ, თუ თქვენ გჭირდებათ შეადაროთ მუშაკთა ანაზღაურების დონეები ორ საწარმოში, მაშინ ამ საფუძველზე ვერ შეადარებთ სხვადასხვა საწარმოს ორ თანამშრომელს. შედარებისთვის შერჩეული მუშაკების ანაზღაურება შეიძლება არ იყოს დამახასიათებელი ამ საწარმოებისთვის. თუ შევადარებთ სახელფასო ფონდების ზომას განსახილველ საწარმოებში, დასაქმებულთა რაოდენობა არ არის გათვალისწინებული და, შესაბამისად, შეუძლებელია იმის დადგენა, თუ სად არის ხელფასის დონე უფრო მაღალი. საბოლოო ჯამში, მხოლოდ საშუალო მაჩვენებლების შედარება შეიძლება, ე.ი. რამდენს იღებს საშუალოდ ერთი თანამშრომელი თითოეულ საწარმოში? ამრიგად, საჭიროა საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლა, როგორც პოპულაციის განმაზოგადებელი მახასიათებელი.

მნიშვნელოვანია გავითვალისწინოთ, რომ საშუალო შეფასების პროცესში ატრიბუტის დონეების ჯამური მნიშვნელობა ან მისი საბოლოო მნიშვნელობა (დინამიკის სერიაში საშუალო დონეების გამოთვლის შემთხვევაში) უცვლელი უნდა დარჩეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საშუალო მნიშვნელობის გაანგარიშებისას არ უნდა იყოს დამახინჯებული შესასწავლი მახასიათებლის მოცულობა, ხოლო საშუალო გამოთვლისას შედგენილ გამონათქვამებს აუცილებლად უნდა ჰქონდეს აზრი.

საშუალოს გამოთვლა ერთ-ერთი გავრცელებული განზოგადების ტექნიკაა; საშუალო ინდიკატორი უარყოფს იმას, რაც საერთოა (ტიპიური) შესწავლილი მოსახლეობის ყველა ერთეულისთვის, ამავდროულად ის იგნორირებას უკეთებს ცალკეულ ერთეულთა განსხვავებებს. ყველა ფენომენში და მის განვითარებაში არის შემთხვევითობისა და აუცილებლობის ერთობლიობა. საშუალოების გაანგარიშებისას, დიდი რიცხვების კანონის მოქმედების გამო, შემთხვევითობა იშლება და ბალანსდება, ასე რომ, შესაძლებელია ფენომენის უმნიშვნელო მახასიათებლებიდან, თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში მახასიათებლის რაოდენობრივი მნიშვნელობებიდან აბსტრაცია. . ინდივიდუალური მნიშვნელობებისა და რყევების შემთხვევითობისგან აბსტრაქციის უნარი მდგომარეობს საშუალოების სამეცნიერო მნიშვნელობაში, როგორც აგრეგატების განზოგადებულ მახასიათებლებში.

იმისათვის, რომ საშუალო იყოს ნამდვილად წარმომადგენლობითი, ის უნდა გამოითვალოს გარკვეული პრინციპების გათვალისწინებით.

მოდით ვისაუბროთ საშუალოების გამოყენების რამდენიმე ზოგად პრინციპზე.

1. საშუალო უნდა განისაზღვროს ხარისხობრივად ერთგვაროვანი ერთეულებისგან შემდგარი პოპულაციებისთვის.

2. საშუალო უნდა გამოითვალოს საკმარისად დიდი რაოდენობის ერთეულებისაგან შემდგარი პოპულაციისათვის.

3. საშუალო უნდა გამოითვალოს მოსახლეობისთვის, რომლის ერთეულები ნორმალურ, ბუნებრივ მდგომარეობაშია.

4. საშუალო უნდა გამოითვალოს შესასწავლი ინდიკატორის ეკონომიკური შინაარსის გათვალისწინებით.

5.2. საშუალოების ტიპები და მათი გამოთვლის მეთოდები

ახლა განვიხილოთ საშუალო მნიშვნელობების ტიპები, მათი გაანგარიშების მახასიათებლები და გამოყენების სფეროები. საშუალო მნიშვნელობები იყოფა ორ დიდ კლასად: სიმძლავრის საშუალო, სტრუქტურული საშუალო.

სიმძლავრის საშუალებები მოიცავს ყველაზე ცნობილ და ხშირად გამოყენებულ ტიპებს, როგორიცაა გეომეტრიული საშუალო, საშუალო არითმეტიკული და საშუალო კვადრატი.

რეჟიმი და მედიანა განიხილება სტრუქტურულ საშუალოდ.

მოდით ყურადღება გავამახვილოთ სიმძლავრის საშუალო მაჩვენებლებზე. სიმძლავრის საშუალო მაჩვენებლები, წყაროს მონაცემების პრეზენტაციიდან გამომდინარე, შეიძლება იყოს მარტივი ან შეწონილი. მარტივი საშუალოიგი გამოითვლება დაუჯგუფებელი მონაცემების საფუძველზე და აქვს შემდეგი ზოგადი ფორმა:

,

სადაც X i არის საშუალოდ შეფასებული მახასიათებლის ვარიანტი (მნიშვნელობა);

n - ნომრის ვარიანტი.

Საშუალო შეწონილიგამოითვლება დაჯგუფებული მონაცემების საფუძველზე და აქვს ზოგადი გარეგნობა

,

სადაც X i არის საშუალოდ გაზომილი მახასიათებლის ვარიანტი (მნიშვნელობა) ან ინტერვალის საშუალო მნიშვნელობა, რომელშიც ხდება ვარიანტის გაზომვა;

მ – საშუალო ხარისხის ინდექსი;

f i – სიხშირე, რომელიც გვიჩვენებს რამდენჯერ ხდება საშუალო მახასიათებლის i-e მნიშვნელობა.

თუ გამოთვლით ყველა ტიპის საშუალოს ერთი და იგივე საწყისი მონაცემებისთვის, მაშინ მათი მნიშვნელობები განსხვავებული აღმოჩნდება. აქ მოქმედებს საშუალოების უმრავლესობის წესი: როგორც მაჩვენებლის ზრდა, ასევე იზრდება შესაბამისი საშუალო მნიშვნელობა:

სტატისტიკურ პრაქტიკაში, არითმეტიკული საშუალებები და ჰარმონიული შეწონილი საშუალებები გამოიყენება უფრო ხშირად, ვიდრე სხვა ტიპის შეწონილი საშუალოები.

დენის საშუალებების სახეები

ერთგვარი ძალა საშუალოდ	ინდექსი ხარისხი (მ)	გაანგარიშების ფორმულა
		მარტივი	შეწონილი
ჰარმონიული
გეომეტრიული
არითმეტიკა
კვადრატული
კუბური

ჰარმონიულ საშუალოს უფრო რთული სტრუქტურა აქვს ვიდრე საშუალო არითმეტიკული. ჰარმონიული საშუალო გამოიყენება გამოთვლებისთვის, როდესაც არა პოპულაციის ერთეულები - მახასიათებლის მატარებლები - გამოიყენება როგორც წონა, არამედ ამ ერთეულების პროდუქტი მახასიათებლის მნიშვნელობებით (ანუ m = Xf). საშუალო ჰარმონიულ მარტივს უნდა მივმართოთ, მაგალითად, შრომის, დროის, მასალების საშუალო ღირებულების განსაზღვრის შემთხვევაში, ერთ ნაწილზე ორი (სამი, ოთხი და ა.შ.) საწარმოსთვის, წარმოებაში ჩართული მუშებისთვის. იგივე ტიპის პროდუქტი, იგივე ნაწილი, პროდუქტი.

საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლის ფორმულის მთავარი მოთხოვნაა, რომ გაანგარიშების ყველა ეტაპს ჰქონდეს რეალური აზრიანი დასაბუთება; შედეგად მიღებული საშუალო მნიშვნელობა უნდა შეცვალოს ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები თითოეული ობიექტისთვის, ინდივიდუალურ და შემაჯამებელ ინდიკატორებს შორის კავშირის შეფერხების გარეშე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საშუალო მნიშვნელობა უნდა გამოითვალოს ისე, რომ როდესაც საშუალო ინდიკატორის თითოეული ინდივიდუალური მნიშვნელობა იცვლება მისი საშუალო მნიშვნელობით, ზოგიერთი საბოლოო შემაჯამებელი მაჩვენებელი, რომელიც ამა თუ იმ გზით არის დაკავშირებული საშუალო მაჩვენებელთან, უცვლელი დარჩეს. ეს ჯამი ე.წ განმსაზღვრელივინაიდან ინდივიდუალურ მნიშვნელობებთან მისი ურთიერთობის ბუნება განსაზღვრავს საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლის სპეციფიკურ ფორმულას. მოდით ვაჩვენოთ ეს წესი გეომეტრიული საშუალო მაგალითის გამოყენებით.

გეომეტრიული საშუალო ფორმულა

გამოიყენება ყველაზე ხშირად ინდივიდუალური ფარდობითი დინამიკის მიხედვით საშუალო მნიშვნელობის გაანგარიშებისას.

გეომეტრიული საშუალო გამოიყენება, თუ მოცემულია ჯაჭვის ფარდობითი დინამიკის თანმიმდევრობა, რომელიც მიუთითებს, მაგალითად, წარმოების მოცულობის ზრდას წინა წლის დონესთან შედარებით: i 1, i 2, i 3,…, i n. ცხადია, წარმოების მოცულობა გასულ წელს განისაზღვრება მისი საწყისი დონით (q 0) და წლების განმავლობაში შემდგომი ზრდით:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n.

განმსაზღვრელ ინდიკატორად თუ ავიღებთ q n-ს და შევცვლით დინამიკის ინდიკატორების ცალკეულ მნიშვნელობებს საშუალოზე, მივდივართ მიმართებაში.

აქედან

საშუალო მნიშვნელობების სპეციალური ტიპი - სტრუქტურული საშუალოები - გამოიყენება ატრიბუტების მნიშვნელობების განაწილების სერიის შიდა სტრუქტურის შესასწავლად, აგრეთვე საშუალო მნიშვნელობის შესაფასებლად (ძალის ტიპი), თუ არსებული სტატისტიკური მონაცემების მიხედვით, გაანგარიშება შეუძლებელია (მაგალითად, თუ განხილულ მაგალითში არ იყო მონაცემები, როგორც წარმოების მოცულობა, ასევე დანახარჯების ოდენობა საწარმოთა ჯგუფის მიხედვით).

ინდიკატორები ყველაზე ხშირად გამოიყენება როგორც სტრუქტურული საშუალო მოდა -ატრიბუტის ყველაზე ხშირად განმეორებადი მნიშვნელობა – და მედიანები -მახასიათებლის მნიშვნელობა, რომელიც ყოფს მისი მნიშვნელობების მოწესრიგებულ თანმიმდევრობას ორ თანაბარ ნაწილად. შედეგად, პოპულაციის ერთეულების ერთი ნახევრისთვის ატრიბუტის მნიშვნელობა არ აღემატება მედიანურ დონეს, ხოლო მეორე ნახევრისთვის არ არის მასზე ნაკლები.

თუ შესწავლილ მახასიათებელს აქვს დისკრეტული მნიშვნელობები, მაშინ არ არსებობს განსაკუთრებული სირთულეები რეჟიმისა და მედიანის გამოთვლაში. თუ X ატრიბუტის მნიშვნელობების შესახებ მონაცემები წარმოდგენილია მისი ცვლილების მოწესრიგებული ინტერვალების სახით (ინტერვალის სერია), რეჟიმისა და მედიანას გაანგარიშება გარკვეულწილად უფრო რთული ხდება. ვინაიდან მედიანური მნიშვნელობა მთელ პოპულაციას ორ თანაბარ ნაწილად ყოფს, ის მთავრდება X-ის მახასიათებლის ერთ-ერთ ინტერვალში. ინტერპოლაციის გამოყენებით, მედიანას მნიშვნელობა გვხვდება ამ მედიანურ ინტერვალში:

,

სადაც X Me არის მედიანური ინტერვალის ქვედა ზღვარი;

h Me – მისი ღირებულება;

(ჯამ m)/2 – დაკვირვების მთლიანი რაოდენობის ნახევარი ან ინდიკატორის მოცულობის ნახევარი, რომელიც გამოიყენება წონებად საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლის ფორმულებში (აბსოლუტური ან ფარდობითი თვალსაზრისით);

S Me-1 – მედიანური ინტერვალის დაწყებამდე დაგროვილი დაკვირვებების ჯამი (ან შეწონვის ატრიბუტის მოცულობა);

m Me – დაკვირვებების რაოდენობა ან წონითი მახასიათებლის მოცულობა მედიანურ ინტერვალში (ასევე აბსოლუტური ან ფარდობითი თვალსაზრისით).

ინტერვალის სერიის მონაცემებზე დაფუძნებული მახასიათებლის მოდალური მნიშვნელობის გაანგარიშებისას აუცილებელია ყურადღება მიაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ინტერვალები იდენტურია, რადგან ამაზეა დამოკიდებული X მახასიათებლის მნიშვნელობების განმეორებადობის მაჩვენებელი. ინტერვალის სერია თანაბარი ინტერვალებით, რეჟიმის სიდიდე განისაზღვრება როგორც

,

სადაც X Mo არის მოდალური ინტერვალის ქვედა მნიშვნელობა;

m Mo – დაკვირვებების რაოდენობა ან წონითი მახასიათებლის მოცულობა მოდალურ ინტერვალში (აბსოლუტური ან ფარდობითი თვალსაზრისით);

m Mo-1 – იგივეა მოდალურის წინა ინტერვალისთვის;

m Mo+1 – იგივეა მოდალურის შემდგომი ინტერვალისთვის;

თ – მახასიათებლის ცვლილების ინტერვალის მნიშვნელობა ჯგუფებში.

ამოცანა 1

საანგარიშო წლის სამრეწველო საწარმოთა ჯგუფისთვის ხელმისაწვდომია შემდეგი მონაცემები

№ საწარმოები	პროდუქტის მოცულობა, მილიონი რუბლი.		დასაქმებულთა საშუალო რაოდენობა, ხალხი.	მოგება, ათასი რუბლი
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

საჭიროა საწარმოების დაჯგუფება პროდუქციის გაცვლისთვის შემდეგი ინტერვალებით:

200 მილიონ რუბლამდე


200-დან 400 მილიონ რუბლამდე.


1. 400-დან 600 მილიონ რუბლამდე.
   

   თითოეული ჯგუფისთვის და ყველასთვის ერთად, განსაზღვრეთ საწარმოების რაოდენობა, წარმოების მოცულობა, დასაქმებულთა საშუალო რაოდენობა, საშუალო გამომუშავება ერთ თანამშრომელზე. წარმოადგინეთ დაჯგუფების შედეგები სტატისტიკური ცხრილის სახით. ჩამოაყალიბეთ დასკვნა.
   

   გადაწყვეტა
   

   ჩვენ დავაჯგუფებთ საწარმოებს პროდუქტის გაცვლის მიხედვით, გამოვთვლით საწარმოთა რაოდენობას, წარმოების მოცულობას და დასაქმებულთა საშუალო რაოდენობას მარტივი საშუალო ფორმულის გამოყენებით. დაჯგუფებისა და გამოთვლების შედეგები შეჯამებულია ცხრილში.
   

   ჯგუფები პროდუქტის მოცულობის მიხედვით	№ საწარმოები	პროდუქტის მოცულობა, მილიონი რუბლი.	ძირითადი საშუალებების საშუალო წლიური ღირებულება, მილიონი რუბლი.	საშუალო ძილი წვნიანი თანამშრომლების რაოდენობა, ხალხი.	მოგება, ათასი რუბლი	საშუალო გამომუშავება ერთ თანამშრომელზე
   1 ჯგუფი 200 მილიონ რუბლამდე	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   საშუალო დონე		198,3			24,9
   მე-2 ჯგუფი 200-დან 400 მილიონ რუბლამდე.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   საშუალო დონე		282,3	37,6	1530	64,0
   3 ჯგუფი 400-დან 600 მილიონი	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   საშუალო დონე		512,9	34,4	1421	120,9
   საერთო ჯამში		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Საშუალოდ		379,6	59,9	1223,6	79,5

   დასკვნა. ამრიგად, განსახილველ მოსახლეობაში წარმოების მოცულობით ყველაზე მეტი საწარმო მოხვდა მესამე ჯგუფში - საწარმოთა შვიდი, ანუ ნახევარი. ამ ჯგუფშია ძირითადი საშუალებების საშუალო წლიური ღირებულებაც, ასევე დასაქმებულთა დიდი საშუალო რაოდენობა - 9974 ადამიანი, ყველაზე ნაკლებად მომგებიანია პირველი ჯგუფის საწარმოები.
   

   ამოცანა 2
   

   კომპანიის საწარმოების შესახებ ხელმისაწვდომია შემდეგი მონაცემები
   

   კომპანიაში შემავალი საწარმოს ნომერი	მე მეოთხედი		II კვარტალი
   	პროდუქტის გამომუშავება, ათასი რუბლი.		მუშების მიერ მომუშავე ადამიანთა დღეები	საშუალო გამომუშავება ერთ მუშაკზე დღეში, რუბლი.
   	59390,13