როგორ გამოვთვალოთ რიცხვის კვადრატული ფესვი. როგორ მოვძებნოთ კვადრატული ფესვი? თვისებები, ფესვების მოპოვების მაგალითები

დიდი რიცხვის ფესვის ამოღება. Ძვირფასო მეგობრებო!ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ამოიღოთ დიდი რიცხვის ფესვი კალკულატორის გარეშე. ეს აუცილებელია არა მხოლოდ გარკვეული ტიპის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანების გადასაჭრელად (არსებობს ისეთებიც, რომლებიც მოძრაობას გულისხმობს), არამედ ზოგადი მათემატიკური განვითარებისთვისაც, მიზანშეწონილია იცოდეთ ეს ანალიტიკური ტექნიკა.

როგორც ჩანს, ყველაფერი მარტივია: შეაფასეთ იგი ფაქტორებად და ამოიღეთ იგი. Არაა პრობლემა. მაგალითად, რიცხვი 291600 დაშლისას მისცემს პროდუქტს:

ჩვენ ვიანგარიშებთ:

არის ერთი მაგრამ! მეთოდი კარგია, თუ გამყოფები 2, 3, 4 და ასე შემდეგ ადვილად განისაზღვრება. მაგრამ რა მოხდება, თუ რიცხვი, საიდანაც ჩვენ ამოვიღებთ ფესვს, არის მარტივი რიცხვების ნამრავლი? მაგალითად, 152881 არის 17, 17, 23, 23 რიცხვების ნამრავლი. ეცადეთ, დაუყოვნებლივ იპოვოთ ეს გამყოფები.

მეთოდის არსი, რომელსაც ჩვენ განვიხილავთ- ეს არის წმინდა ანალიზი. განვითარებული ოსტატობით, ფესვი შეიძლება სწრაფად მოიძებნოს. თუ უნარი არ არის პრაქტიკული, მაგრამ მიდგომა უბრალოდ გასაგებია, მაშინ ის ოდნავ ნელია, მაგრამ მაინც განსაზღვრულია.

ავიღოთ 190969 წლის ფესვი.

პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ რომელ რიცხვებს შორის (ასის მრავლობითი) არის ჩვენი შედეგი.

ცხადია, ამ რიცხვის ფესვის შედეგი 400-დან 500-მდეა.რადგან

400 2 =160000 და 500 2 =250000

ნამდვილად:

შუაში, 160000-თან უფრო ახლოს თუ 250000-თან?

რიცხვი 190969 არის დაახლოებით შუაში, მაგრამ მაინც უფრო ახლოს არის 160000-თან. შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ჩვენი ფესვის შედეგი იქნება 450-ზე ნაკლები. მოდით შევამოწმოთ:

მართლაც, ის 450-ზე ნაკლებია, 190,969 წლიდან< 202 500.

ახლა შევამოწმოთ ნომერი 440:

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი შედეგი 440-ზე ნაკლებია, ვინაიდან 190 969 < 193 600.

430 ნომრის შემოწმება:

ჩვენ დავადგინეთ, რომ ამ ფესვის შედეგი 430-დან 440-მდე მერყეობს.

რიცხვების ნამრავლი 1 ან 9 ბოლოს იძლევა რიცხვს 1-ით ბოლოს. მაგალითად, 21 21-ზე უდრის 441-ს.

რიცხვების ნამრავლი 2-ით ან 8-ით ბოლოს იძლევა რიცხვს 4-ით ბოლოს. მაგალითად, 18 18-ზე უდრის 324-ს.

რიცხვების ნამრავლი ბოლოში 5-ით იძლევა რიცხვს 5-ით ბოლოს. მაგალითად, 25 25-ზე უდრის 625-ს.

რიცხვების ნამრავლი 4-ით ან 6-ით ბოლოს იძლევა რიცხვს 6-ით ბოლოს. მაგალითად, 26 26-ზე უდრის 676-ს.

რიცხვების ნამრავლი 3-ით ან 7-ით ბოლოს იძლევა რიცხვს 9-ით ბოლოს. მაგალითად, 17 17-ზე უდრის 289-ს.

ვინაიდან რიცხვი 190969 მთავრდება 9-ით, ეს არის 433 ან 437 რიცხვის ნამრავლი.

*მხოლოდ მათ, კვადრატში, შეუძლიათ ბოლოს მისცეს 9.

ჩვენ ვამოწმებთ:

ეს ნიშნავს, რომ ფესვის შედეგი იქნება 437.

ანუ, როგორც ჩანს, "ვიპოვეთ" სწორი პასუხი.

როგორც ხედავთ, მაქსიმუმი, რაც საჭიროა, არის 5 მოქმედების შესრულება სვეტში. შესაძლოა, მაშინვე მიაღწევთ ნიშანს, ან გადადგათ მხოლოდ სამი ნაბიჯი. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად ზუსტად აკეთებთ რიცხვის თავდაპირველ შეფასებას.

თავად ამოიღეთ 148996 ფესვი

ასეთი დისკრიმინანტი მიიღება პრობლემაში:

საავტომობილო გემი მდინარის გასწვრივ დანიშნულების ადგილამდე 336 კმ-ს გადის და გაჩერების შემდეგ ბრუნდება დასაფრენ წერტილში. იპოვეთ გემის სიჩქარე უძრავ წყალში, თუ ამჟამინდელი სიჩქარე არის 5 კმ/სთ, ყოფნის ხანგრძლივობაა 10 საათი და გემი ბრუნდება გაფრენიდან 48 საათის შემდეგ. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

გადაწყვეტის ნახვა

ფესვის შედეგი არის 300 და 400 რიცხვებს შორის:

300 2 =90000 400 2 =160000

მართლაც, 90000<148996<160000.

შემდგომი მსჯელობის არსი მოდის იმის დადგენაზე, თუ როგორ მდებარეობს (დაშორებული) რიცხვი 148996 ამ რიცხვებთან შედარებით.

მოდით გამოვთვალოთ განსხვავებები 148996 - 90000=58996 და 160000 - 148996=11004.

გამოდის, რომ 148996 ახლოსაა (ბევრად ახლოს) 160000-თან. ამიტომ ფესვის შედეგი აუცილებლად იქნება 350-ზე მეტი და 360-ზეც კი.

შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ჩვენი შედეგი 370-ზე მეტია. გარდა ამისა, ცხადია: ვინაიდან 148996 რიცხვი 6-ით მთავრდება, ეს ნიშნავს, რომ 4-ით ან 6-ით დამთავრებული რიცხვი უნდა კვადრატში. .

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

ძირეული ფორმულები. კვადრატული ფესვების თვისებები.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

წინა გაკვეთილზე გავარკვიეთ რა არის კვადრატული ფესვი. დროა გავარკვიოთ რომელი მათგანი არსებობს ფორმულები ფესვებისთვისრა არის ფესვების თვისებებიდა რა შეიძლება გაკეთდეს ამ ყველაფრით.

ფესვების ფორმულები, ფესვების თვისებები და ფესვებთან მუშაობის წესები- ეს არსებითად იგივეა. კვადრატული ფესვების გასაოცრად ცოტა ფორმულა არსებობს. რაც, რა თქმა უნდა, მახარებს! უფრო სწორად, შეგიძლიათ დაწეროთ ბევრი სხვადასხვა ფორმულა, მაგრამ ფესვებთან პრაქტიკული და თავდაჯერებული მუშაობისთვის საკმარისია მხოლოდ სამი. ყველაფერი დანარჩენი ამ სამიდან მოდის. მიუხედავად იმისა, რომ ბევრი ადამიანი იბნევა სამ ძირეულ ფორმულაში, დიახ...

დავიწყოთ უმარტივესი. Ის აქ არის:

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

თავი პირველი.

მოცემული მთელი რიცხვიდან უდიდესი კვადრატული ფესვის პოვნა.

170. წინასწარი შენიშვნები.

ა)ვინაიდან ჩვენ ვისაუბრებთ მხოლოდ კვადრატული ფესვის ამოღებაზე, ამ თავში მეტყველების შესამცირებლად, „კვადრატული“ ფესვის ნაცვლად ვიტყვით უბრალოდ „ძირს“.

ბ)თუ ნატურალური რიგის რიცხვებს გავა კვადრატში: 1,2,3,4,5. . . , მაშინ მივიღებთ კვადრატების შემდეგ ცხრილს: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

ცხადია, არის უამრავი მთელი რიცხვი, რომლებიც არ არის ამ ცხრილში; რა თქმა უნდა, ასეთი რიცხვებიდან მთელი ფესვის ამოღება შეუძლებელია. ამიტომ, თუ თქვენ გჭირდებათ, მაგალითად, ნებისმიერი მთელი რიცხვის ფესვის ამოღება. საჭიროა √4082-ის საპოვნელად, მაშინ ჩვენ ვეთანხმებით ამ მოთხოვნის გაგებას შემდეგნაირად: ამოიღეთ 4082-ის მთელი ფესვი, თუ ეს შესაძლებელია; თუ ეს შეუძლებელია, მაშინ უნდა ვიპოვოთ უდიდესი მთელი რიცხვი, რომლის კვადრატი არის 4082 (ასეთი რიცხვია 63, ვინაიდან 63 2 = 3969 და 64 2 = 4090).

V)თუ ეს რიცხვი 100-ზე ნაკლებია, მაშინ მისი ფესვი გვხვდება გამრავლების ცხრილის გამოყენებით; ამრიგად, √60 იქნება 7, ვინაიდან შვიდი 7 უდრის 49-ს, რაც 60-ზე ნაკლებია და რვა 8 უდრის 64-ს, რაც 60-ზე მეტია.

171. 10000-ზე ნაკლები, მაგრამ 100-ზე მეტი რიცხვის ფესვის ამოღება.ვთქვათ, უნდა ვიპოვოთ √4082. ვინაიდან ეს რიცხვი 10000-ზე ნაკლებია, მისი ფესვი ნაკლებია √l0000 = 100-ზე. მეორეს მხრივ, ეს რიცხვი 100-ზე მეტია; ეს ნიშნავს, რომ მისი ფესვი 10-ზე მეტია (ან ტოლია). (თუ, მაგალითად, საჭირო იყო √-ის პოვნა 120 , მაშინ თუმცა რიცხვი 120 > 100, თუმცა √ 120 უდრის 10-ს, რადგან 11 2 = 121.) მაგრამ ყველა რიცხვს, რომელიც 10-ზე მეტია, მაგრამ 100-ზე ნაკლებია, აქვს 2 ციფრი; ეს ნიშნავს, რომ საჭირო ფესვი არის ჯამი:

ათეული + ერთი,

და ამიტომ მისი კვადრატი უნდა უდრის ჯამს:

ეს ჯამი უნდა იყოს 4082-ის უდიდესი კვადრატი.

ავიღოთ მათგან ყველაზე დიდი, 36 და დავუშვათ, რომ ათეულების ფესვის კვადრატი ზუსტად ამ უდიდესი კვადრატის ტოლი იქნება. მაშინ ათეულების რიცხვი ფესვში უნდა იყოს 6. ახლა შევამოწმოთ, რომ ეს ყოველთვის ასე უნდა იყოს, ანუ ათეულების რაოდენობა ფესვში ყოველთვის უდრის ასობით რადიკალის რიცხვის უდიდეს მთელ ფესვს.

მართლაც, ჩვენს მაგალითში ფესვის ათეულების რაოდენობა არ შეიძლება იყოს 6-ზე მეტი, ვინაიდან (7 დეკ.) 2 = 49 ასეული, რაც აჭარბებს 4082-ს. მაგრამ ის არ შეიძლება იყოს 6-ზე ნაკლები, რადგან 5 დეკ. (ერთეულებით) ნაკლებია 6 დეს. და იმავდროულად (6 დეს.) 2 = 36 ასეული, რაც 4082-ზე ნაკლებია. როცა 6 ათეულიც არ არის ბევრი.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვნეთ ფესვის ათეულების რიცხვი, კერძოდ 6. ამ რიცხვს ვწერთ = ​​ნიშნის მარჯვნივ, გვახსოვდეს, რომ ეს ნიშნავს ფესვის ათეულს. კვადრატის აწევით მივიღებთ 36 ასეულს. რადიკალური რიცხვის 40 ასეულს გამოვაკლებთ ამ 36 ასეულს და გამოვაკლებთ ამ რიცხვს დარჩენილ ორ ციფრს. დარჩენილი 482 უნდა შეიცავდეს 2 (6 დეკ.) (ერთეულს) + (ერთეულს)2. პროდუქტი (6 დეკ.) (ერთეული) უნდა იყოს ათეული; მაშასადამე, ათეულების ერთეულების ორმაგი ნამრავლი უნდა ვეძებოთ ნაშთის ათეულებში, ანუ 48-ში (მათ რიცხვს ვიღებთ 48 "2"-ის დარჩენილში მარჯვნივ ერთი ციფრის გამოყოფით). ფესვის გაორმაგებული ათეულები. შეადგინეთ 12. ეს ნიშნავს, რომ თუ 12-ს გავამრავლებთ ფესვის ერთეულებზე (რომლებიც ჯერ კიდევ უცნობია), მაშინ მივიღებთ 48-ში შემავალ რიცხვს. ამიტომ 48-ს ვყოფთ 12-ზე.

ამისთვის დავხატოთ ვერტიკალური ხაზი ნარჩენის მარცხნივ და მის უკან (ხაზიდან ერთი ადგილიდან მარცხნივ უკან დახევა იმ მიზნით, რომელიც ახლა გამოჩნდება) ვწერთ ფესვის ორმაგ პირველ ციფრს, ანუ 12-ს და გავყოთ მასზე 48. კოეფიციენტში მივიღებთ 4-ს.

თუმცა, წინასწარ ვერ მოგცემთ გარანტიას, რომ რიცხვი 4 შეიძლება მივიღოთ ფესვის ერთეულებად, რადგან ჩვენ ახლა გავყავით 12-ზე დარჩენილი ათეულების მთელი რიცხვი, ხოლო ზოგიერთი მათგანი შეიძლება არ მიეკუთვნებოდეს ათეულების ორმაგ ნამრავლს. ერთეულები, მაგრამ არის ერთეულების კვადრატის ნაწილი. ამიტომ, რიცხვი 4 შეიძლება იყოს დიდი. ჩვენ უნდა გამოვცადოთ. აშკარად შესაფერისია, თუ ჯამი 2 (6 დეკ.) 4 + 4 2 არ არის დარჩენილი 482-ზე მეტი.

შედეგად, ერთდროულად ვიღებთ ორივეს ჯამს. შედეგად მიღებული პროდუქტი აღმოჩნდა 496, რაც მეტია დანარჩენ 482-ზე; ეს ნიშნავს, რომ ნომერი 4 დიდია. შემდეგ შევამოწმოთ შემდეგი პატარა რიცხვი 3 იმავე გზით.

მაგალითები.

მე-4 მაგალითში ნაშთის 47 ათეულის 4-ზე გაყოფისას კოეფიციენტად ვიღებთ 11-ს, მაგრამ რადგან ფესვის ერთეულების რაოდენობა არ შეიძლება იყოს ორნიშნა რიცხვი 11 ან 10, პირდაპირ უნდა შევამოწმოთ რიცხვი 9.

მე-5 მაგალითში, კვადრატის პირველი სახიდან 8-ის გამოკლების შემდეგ, ნაშთი გამოდის 0, ხოლო შემდეგი სახე ასევე შედგება ნულებისაგან. ეს გვიჩვენებს, რომ სასურველი ფესვი შედგება მხოლოდ 8 ათეულისგან და, შესაბამისად, ნული უნდა დაიდოს ერთეულების ნაცვლად.

172. 10000-ზე მეტი რიცხვის ფესვის ამოღება. ვთქვათ, უნდა ვიპოვოთ √35782. ვინაიდან რადიკალური რიცხვი აღემატება 10000-ს, მისი ფესვი მეტია √10000 = 100-ზე და, შესაბამისად, შედგება 3 ან მეტი ციფრისგან. რამდენი ციფრისგანაც არ უნდა შედგებოდეს, ყოველთვის შეგვიძლია მივიჩნიოთ მხოლოდ ათეულებისა და ერთეულების ჯამი. თუ, მაგალითად, ფესვი აღმოჩნდება 482, მაშინ შეგვიძლია ჩავთვალოთ ის 48 დეს ოდენობით. + 2 ერთეული მაშინ ფესვის კვადრატი შედგება 3 ტერმინისგან:

(დეკ.) 2 + 2 (დეკ.) (ერთეული) + (ერთეული) 2 .

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიმსჯელოთ ზუსტად ისე, როგორც √4082-ის პოვნისას (წინა აბზაცში). განსხვავება მხოლოდ ის იქნება, რომ 4082-ის ფესვის ათეულების საპოვნელად, 40-ის ფესვის ამოღება მოგვიწია და ეს შეიძლება გაკეთდეს გამრავლების ცხრილის გამოყენებით; ახლა, ათეულების მისაღებად √35782, უნდა ავიღოთ 357-ის ფესვი, რაც არ შეიძლება გაკეთდეს გამრავლების ცხრილის გამოყენებით. მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ √357 იმ ტექნიკის გამოყენებით, რომელიც აღწერილია წინა აბზაცში, რადგან ნომერი 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

შემდეგ ვაგრძელებთ ისე, როგორც ვიპოვეთ √4082, კერძოდ: დარჩენილი 3382-ის მარცხნივ ვხატავთ ვერტიკალურ ხაზს და მის უკან ვწერთ (სტრიქიდან ერთი ინტერვალით უკან) ორჯერ მეტი აღმოჩენილი ფესვის ათეულების რაოდენობაზე. ანუ 36 (ორჯერ 18). დანარჩენში გამოვყოფთ მარჯვნივ ერთ ციფრს და ნაშთის ათეულების რაოდენობას, ანუ 338-ს ვყოფთ 36-ზე. კოეფიციენტში ვიღებთ 9-ს. ვამოწმებთ ამ რიცხვს, რისთვისაც მარჯვნივ მივაკუთვნებთ 36-ს და გაამრავლეთ მასზე. პროდუქტი 3321 აღმოჩნდა, რაც დანარჩენზე ნაკლებია. ეს ნიშნავს, რომ ნომერი 9 შესაფერისია, ჩვენ მას ძირში ვწერთ.

ზოგადად, ნებისმიერი მთელი რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, ჯერ მისი ასეულების ფესვი უნდა ამოიღოთ; თუ ეს რიცხვი 100-ზე მეტია, მაშინ მოგიწევთ ამ ასეულებიდან ასობით, ანუ ამ რიცხვიდან ათიათასთა რიცხვის ძირის ძებნა; თუ ეს რიცხვი 100-ზე მეტია, თქვენ უნდა აიღოთ ფესვი ასობით ათიათასიანი რიცხვიდან, ანუ მოცემული რიცხვის მილიონებიდან და ა.შ.

მაგალითები.

ბოლო მაგალითში, რომ ვიპოვეთ პირველი ციფრი და გამოვაკლოთ მისი კვადრატი, მივიღებთ ნაშთს 0-ს. ვაკლებთ შემდეგ 2 ციფრს 51. ათეულების გამოყოფით მივიღებთ 5 დეს, ხოლო ფესვის ორმაგი ნაპოვნი ციფრი არის 6. ეს ნიშნავს, რომ 5-ის 6-ზე გაყოფისგან მივიღებთ 0-ს, ძირში მეორე ადგილზე ვაყენებთ 0-ს და დანარჩენს ვამატებთ მომდევნო 2 ციფრს; ვიღებთ 5110. შემდეგ ვაგრძელებთ ჩვეულ რეჟიმში.

ამ მაგალითში, საჭირო ფესვი შედგება მხოლოდ 9 ასეულისგან და, შესაბამისად, ნულები უნდა განთავსდეს ათეულების ადგილებზე და ერთეულებში.

წესი. მოცემული მთელი რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, ისინი ყოფენ მას მარჯვენა ხელიდან მარცხნივ, კიდეზე, თითოეულში 2 ციფრით, გარდა უკანასკნელისა, რომელსაც შეიძლება ჰქონდეს ერთი ციფრი.
ფესვის პირველი ციფრის საპოვნელად აიღეთ პირველი სახის კვადრატული ფესვი.
მეორე ციფრის საპოვნელად, ფესვის პირველი ციფრის კვადრატს აკლდება პირველი სახე, მეორე სახე მიიღება დანარჩენზე და მიღებული რიცხვის ათეულების რიცხვი იყოფა ფესვის პირველ ციფრზე ორმაგად. ; მიღებული მთელი რიცხვი შემოწმებულია.
ეს ტესტი ტარდება ასე: ვერტიკალური ხაზის მიღმა (დანარჩენის მარცხნივ) ჩაწერეთ ფესვის ადრე აღმოჩენილი რიცხვი ორჯერ და მას, მარჯვენა მხარეს, დაამატეთ შემოწმებული ციფრი, მიღებული რიცხვი, ამ შეკრების შემდეგ. , მრავლდება შემოწმებულ ციფრზე. თუ გამრავლების შემდეგ შედეგი არის ნარჩენზე მეტი რიცხვი, მაშინ შემოწმებული ციფრი არ არის შესაფერისი და შემდეგი პატარა ციფრი უნდა შემოწმდეს.
ფესვის შემდეგი ციფრები გვხვდება იგივე ტექნიკით.
თუ სახის ამოღების შემდეგ მიღებული რიცხვის ათეულების რიცხვი გამყოფზე ნაკლები აღმოჩნდება, ანუ ფესვის აღმოჩენილ ნაწილზე ორჯერ ნაკლები, მაშინ ფესვზე აყენებენ 0-ს, აშორებენ შემდეგ სახეს და გააგრძელეთ მოქმედება შემდგომში.

173. ძირის ციფრების რაოდენობა.ფესვის პოვნის პროცესის განხილვიდან გამომდინარეობს, რომ ფესვში იმდენი ციფრია, რამდენიც 2-ციფრიანი სახეა რადიკალურ რიცხვში (მარცხენა სახე შეიძლება იყოს ერთი ციფრი).

თავი მეორე.

მთელი რიცხვების და წილადების სავარაუდო კვადრატული ფესვების ამოღება .

მრავალწევრების კვადრატული ფესვის ამოსაღებად იხილეთ დამატებები § 399 და შემდგომი მე-2 ნაწილისთვის.

174. ზუსტი კვადრატული ფესვის ნიშნები.მოცემული რიცხვის ზუსტი კვადრატული ფესვი არის რიცხვი, რომლის კვადრატი ზუსტად უდრის მოცემულ რიცხვს. მოდით მივუთითოთ რამდენიმე ნიშანი, რომლითაც შეიძლება ვიმსჯელოთ, შესაძლებელია თუ არა მოცემული რიცხვიდან ზუსტი ფესვის ამოღება:

ა)თუ ზუსტი მთლიანი ფესვი არ არის ამოღებული მოცემული მთელი რიცხვიდან (ნარჩენი მიიღება ამოღებისას), მაშინ წილადი ზუსტი ფესვი ვერ მოიძებნება ასეთი რიცხვიდან, რადგან ნებისმიერი წილადი, რომელიც არ უდრის მთელ რიცხვს, თავისთავად გამრავლებისას. , ასევე აწარმოებს წილადს პროდუქტში და არა მთელ რიცხვს.

ბ)ვინაიდან წილადის ფესვი უდრის მრიცხველის ფესვს გაყოფილი მნიშვნელის ფესვზე, შეუქცევადი წილადის ზუსტი ფესვის პოვნა შეუძლებელია, თუ მისი ამოღება შეუძლებელია მრიცხველიდან ან მნიშვნელიდან. მაგალითად, ზუსტი ფესვის ამოღება შეუძლებელია 4/5, 8/9 და 11/15 წილადებიდან, რადგან პირველ წილადში მისი ამოღება შეუძლებელია მნიშვნელიდან, მეორეში - მრიცხველიდან, ხოლო მესამეში - არც მრიცხველიდან და არც მნიშვნელიდან.

რიცხვებიდან, რომლიდანაც ზუსტი ფესვის ამოღება შეუძლებელია, შეიძლება მხოლოდ სავარაუდო ფესვების ამოღება.

175. სავარაუდო ფესვი ზუსტია 1-მდე. მიახლოებითი კვადრატული ფესვი, ზუსტი 1-ის ფარგლებში მოცემული რიცხვიდან (მთელი თუ წილადი, არ აქვს მნიშვნელობა) არის მთელი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ ორ მოთხოვნას:

1) ამ რიცხვის კვადრატი არ არის მოცემულ რიცხვზე მეტი; 2) მაგრამ 1-ით გაზრდილი ამ რიცხვის კვადრატი ამ რიცხვზე მეტია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, 1-ის ზუსტი სავარაუდო კვადრატული ფესვი არის მოცემული რიცხვის უდიდესი მთელი რიცხვი კვადრატული ფესვი, ანუ ფესვი, რომლის პოვნაც წინა თავში ვისწავლეთ. ამ ფესვს 1-ის სიზუსტით უწოდებენ მიახლოებულს, რადგან ზუსტი ფესვის მისაღებად, ამ სავარაუდო ფესვს უნდა დავუმატოთ 1-ზე ნაკლები წილადი, ასე რომ, თუ უცნობი ზუსტი ფესვის ნაცვლად ამ მიახლოებით ავიღებთ. 1-ზე ნაკლები შეცდომა.

წესი. 1-ის ფარგლებში ზუსტი კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, თქვენ უნდა ამოიღოთ მოცემული რიცხვის მთელი ნაწილის უდიდესი მთელი ფესვი.

ამ წესით ნაპოვნი რიცხვი არის სავარაუდო ფესვი მინუსით, რადგან მას აკლია გარკვეული წილადის ზუსტი ფესვი (1-ზე ნაკლები). თუ ამ ფესვს გავზრდით 1-ით, მივიღებთ სხვა რიცხვს, რომელშიც არის გარკვეული ჭარბი ზუსტი ფესვზე და ეს ჭარბი არის 1-ზე ნაკლები. 1-ით გაზრდილ ამ ფესვს ასევე შეიძლება ეწოდოს სავარაუდო ფესვი 1-ის სიზუსტით, მაგრამ ჭარბი რაოდენობით. (ზოგიერთ მათემატიკურ წიგნში სახელები: "ნაკლოვანებით" ან "ჭარბით" შეიცვალა სხვა ეკვივალენტებით: "ნაკლოვანებით" ან "ჭარბით".)

176. მიახლოებითი ფესვი 1/10 სიზუსტით. ვთქვათ, უნდა ვიპოვოთ √2.35104 1/10 სიზუსტით. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ ათობითი წილადი, რომელიც შედგებოდა მთელი ერთეულებისა და მეათედებისგან და დააკმაყოფილებს შემდეგ ორ მოთხოვნას:

1) ამ წილადის კვადრატი არ აღემატება 2,35104-ს, მაგრამ 2) თუ მას გავზრდით 1/10-ით, მაშინ ამ გაზრდილი წილადის კვადრატი აღემატება 2,35104-ს.

ასეთი წილადის საპოვნელად ჯერ ვპოულობთ 1-ზე ზუსტი სავარაუდო ფესვს, ანუ გამოვყოფთ ფესვს მხოლოდ მთელი რიცხვიდან 2. ვიღებთ 1-ს (და დარჩენილი არის 1). ძირში ვწერთ რიცხვს 1 და მის შემდეგ ვსვამთ მძიმით. ახლა ჩვენ ვეძებთ მეათედების რაოდენობას. ამისთვის დარჩენილ 1-მდე ვხსნით 35-ს ათწილადის წერტილის მარჯვნივ და ვაგრძელებთ ამოღებას, თითქოს 235-ის მთელი რიცხვის ფესვს ვიღებდით. მიღებულ ციფრს 5-ს ვწერთ ფესვში. მეათედი ადგილი. ჩვენ არ გვჭირდება რადიკალური რიცხვის (104) დარჩენილი ციფრები. რომ მიღებული რიცხვი 1.5 რეალურად იქნება სავარაუდო ფესვი 1/10 სიზუსტით, ეს ჩანს შემდეგიდან. თუ ვიპოვით 235-ის უდიდეს მთელ ფესვს 1-ის სიზუსტით, მივიღებთ 15-ს. ასე რომ:

15 2 < 235, მაგრამ 16 2 > 235.

ყველა ეს რიცხვი 100-ზე რომ გავყოთ, მივიღებთ:

ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 1.5 არის ათობითი წილადი, რომელსაც ჩვენ ვუწოდეთ სავარაუდო ფესვი 1/10 სიზუსტით.

ამ ტექნიკის გამოყენებით, ჩვენ ასევე შეგვიძლია ვიპოვოთ შემდეგი სავარაუდო ფესვები 0,1 სიზუსტით:

177. მიახლოებითი კვადრატული ფესვი 1/100-დან 1/1000-მდე და ა.შ.

დავუშვათ, უნდა ვიპოვოთ სავარაუდო √248 1/100 სიზუსტით. ეს ნიშნავს: იპოვნეთ ათობითი წილადი, რომელიც შედგებოდა მთელი, მეათედი და მეასედი ნაწილებისგან და რომელიც დააკმაყოფილებდა ორ მოთხოვნას:

1) მისი კვადრატი არ აღემატება 248-ს, მაგრამ 2) თუ ამ წილადს გავზრდით 1/100-ით, მაშინ ამ გაზრდილი წილადის კვადრატი აჭარბებს 248-ს.

ასეთ წილადს ვიპოვით შემდეგი თანმიმდევრობით: ჯერ ვიპოვით მთელ რიცხვს, შემდეგ მეათედებს, შემდეგ მეასედებს. მთელი რიცხვის ფესვი არის 15 რიცხვი. მეათედების ფიგურის მისაღებად, როგორც ვნახეთ, დანარჩენ 23-ს უნდა დაამატოთ კიდევ 2 ციფრი ათობითი წერტილის მარჯვნივ. ჩვენს მაგალითში ეს რიცხვები საერთოდ არ არის წარმოდგენილი, ჩვენ მათ ადგილას ნულები დავაყენეთ. ნაშთზე მათი მიმატებით და ვაგრძელებთ ისე, თითქოს ვპოულობთ 24800-ის მთელი რიცხვის ფესვს, ვიპოვით მეათედების ფიგურას 7. რჩება მეასედების ფიგურის პოვნა. ამისთვის დარჩენილ 151-ს ვამატებთ კიდევ 2 ნულს და ვაგრძელებთ ამოღებას, თითქოს ვპოულობთ 2 480 000-ის მთელი რიცხვის ფესვს. მივიღებთ 15.74. რომ ეს რიცხვი ნამდვილად არის 248-ის სავარაუდო ფესვი 1/100-ის სიზუსტით, ეს ჩანს შემდეგიდან. თუ ვიპოვით 2,480,000-ის უდიდეს კვადრატულ ფესვს, მივიღებთ 1574-ს; ნიშნავს:

1574 2 < 2,480,000, მაგრამ 1575 2 > 2,480,000.

ყველა რიცხვის 10000-ზე (= 100 2) გაყოფით მივიღებთ:

ეს ნიშნავს, რომ 15,74 არის ის ათობითი წილადი, რომელსაც ჩვენ ვუწოდეთ სავარაუდო ფესვი 248-დან 1/100 სიზუსტით.

ამ ტექნიკის გამოყენებით სავარაუდო ფესვის საპოვნელად 1/1000-დან 1/10000-მდე სიზუსტით და ა.შ., ჩვენ ვპოულობთ შემდეგს.

წესი. მიახლოებითი ფესვის ამოსაღებად მოცემული მთელი რიცხვიდან ან მოცემული ათობითი წილადიდან 1/10-დან 1/100-დან 1/100-მდე სიზუსტით და ა.შ., ჯერ იპოვეთ სავარაუდო ფესვი 1-ის სიზუსტით, ამოიღეთ ფესვის ფესვი. მთელი რიცხვი (თუ არა, წერენ 0 მთელი რიცხვის ფესვზე).

შემდეგ ისინი პოულობენ მეათედების რიცხვს. ამისთვის ნარჩენს დაამატეთ რადიკალური რიცხვის 2 ციფრი ათწილადის წერტილის მარჯვნივ (თუ ისინი იქ არ არის, ნაშთს დაამატეთ ორი ნული) და განაგრძეთ ამოღება, როგორც ეს ხდება მთელი რიცხვის ფესვის ამოღებისას. . მიღებული რიცხვი იწერება ფესვზე მეათედების ადგილზე.

შემდეგ იპოვნეთ მეასედი რიცხვი. ამისათვის, დანარჩენს ემატება ორი რიცხვი მარჯვნივ, რომლებიც ახლა ამოიღეს და ა.შ.

ამრიგად, ათწილადის წილადით მთელი რიცხვის ფესვის ამოღებისას აუცილებელია ათწილადის წერტილიდან დაწყებული სახეებად დაყოფა 2 ციფრად, როგორც მარცხნივ (რიცხვის მთელ ნაწილში) ასევე მარჯვნივ (ში. წილადი ნაწილი).

მაგალითები.

1) იპოვეთ 1/100 ძირამდე: ა) √2; ბ) √0.3;

ბოლო მაგალითში, წილადი 3/7 გადავიყვანეთ ათწილადად 8 ათწილადის გამოთვლით, რათა ჩამოყალიბდეს 4 სახე, რომელიც საჭიროა ფესვის 4 ათობითი ადგილის მოსაძებნად.

178. კვადრატული ფესვების ცხრილის აღწერა.ამ წიგნის ბოლოს არის კვადრატული ფესვების ცხრილი, რომელიც გამოითვლება ოთხი ციფრით. ამ ცხრილის გამოყენებით შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ მთელი რიცხვის (ან ათობითი წილადის) კვადრატული ფესვი, რომელიც გამოიხატება არაუმეტეს ოთხი ციფრით. სანამ აგიხსნით ამ ცხრილის სტრუქტურას, აღვნიშნავთ, რომ რადიკალური რიცხვის დათვალიერებით ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ სასურველი ფესვის პირველი მნიშვნელოვანი ციფრი ცხრილების დახმარების გარეშე; ჩვენ ასევე შეგვიძლია მარტივად განვსაზღვროთ, თუ რომელ ათწილადს ნიშნავს ძირის პირველი ციფრი და, შესაბამისად, სად ფესვში, როდესაც ვიპოვით მის ციფრებს, უნდა დავდოთ მძიმით. Აი ზოგიერთი მაგალითი:

1) √5"27,3 . პირველი ციფრი იქნება 2, რადგან რადიკალური რიცხვის მარცხენა მხარე არის 5; ხოლო 5-ის ფესვი უდრის 2-ს. გარდა ამისა, ვინაიდან რადიკალის მთელ რიცხვში მხოლოდ 2 სახეა, მაშინ სასურველი ფესვის მთელ ნაწილში უნდა იყოს 2 ციფრი და, შესაბამისად, მისი პირველი ციფრი 2 უნდა იყოს. ნიშნავს ათეულებს.

2) √9.041. ცხადია, ამ ფესვში პირველი ციფრი იქნება 3 მარტივი ერთეული.

3) √0.00"83"4. პირველი მნიშვნელოვანი ციფრი არის 9, რადგან სახე, საიდანაც უნდა ავიღოთ ფესვი პირველი მნიშვნელოვანი ციფრის მისაღებად არის 83, ხოლო 83-ის ფესვი არის 9. ვინაიდან საჭირო რიცხვი არ შეიცავს არც მთელ რიცხვებს და არც მეათედებს, პირველი ციფრი 9 უნდა ნიშნავდეს მეასედებს.

4) √0.73"85. პირველი მნიშვნელოვანი მაჩვენებელია 8 მეათედი.

5) √0.00"00"35"7. პირველი მნიშვნელოვანი მაჩვენებელი იქნება 5 მეათასედი.

კიდევ ერთი შენიშვნა გავაკეთოთ. დავუშვათ, რომ ჩვენ უნდა გამოვყოთ რიცხვის ფესვი, რომელიც მასში დაკავებული სიტყვის გაუქმების შემდეგ წარმოდგენილი იქნება ასეთი რიცხვების სერიით: 5681. ეს ფესვი შეიძლება იყოს ერთ-ერთი შემდეგი:

თუ ავიღებთ ფესვებს, რომლებსაც ხაზს ვუსვამთ ერთი ხაზით, მაშინ ისინი ყველა გამოსახული იქნება რიცხვების ერთი და იგივე სერიით, ზუსტად იმ რიცხვებით, რომლებიც მიიღება 5681-დან ფესვის ამოღებისას (ეს იქნება რიცხვები 7, 5, 3, 7. ). ამის მიზეზი ის არის, რომ სახეები, რომლებშიც უნდა გაიყოს რადიკალური რიცხვი ფესვის ციფრების პოვნისას, ყველა ამ მაგალითში ერთნაირი იქნება, შესაბამისად, თითოეული ფესვის ციფრები იგივე იქნება (მხოლოდ ათწილადის პოზიცია წერტილი, რა თქმა უნდა, განსხვავებული იქნება). ანალოგიურად, ჩვენს მიერ ორი ხაზით ხაზგასმული ყველა ფესვში უნდა მივიღოთ ერთი და იგივე რიცხვები, ზუსტად ის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება √568.1-ის გამოსახატავად (ეს რიცხვები იქნება 2, 3, 8, 3) და იგივე. მიზეზი. ამრიგად, რიცხვების ფესვების ციფრები, რომლებიც წარმოდგენილია (მძიმით) 5681 რიცხვების იგივე მწკრივით იქნება ორი (და მხოლოდ ორი) სახის: ან ეს არის 7, 5, 3, 7, ან რიგი 2, 3, 8, 3. იგივე, ცხადია, შეიძლება ითქვას ნებისმიერი სხვა რიცხვების სერიაზე. მაშასადამე, როგორც ახლა ვნახავთ, ცხრილში, რადიკალური რიცხვის ციფრების თითოეული მწკრივი შეესაბამება ფესვების 2 რიგს.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია აგიხსნათ ცხრილის სტრუქტურა და როგორ გამოვიყენოთ იგი. ახსნის სიცხადისთვის, ჩვენ აქ ვაჩვენეთ ცხრილის პირველი გვერდის დასაწყისი.

ეს ცხრილი განთავსებულია რამდენიმე გვერდზე. თითოეულ მათგანზე მარცხნივ პირველ სვეტში მოთავსებულია რიცხვები 10, 11, 12... (99-მდე). ეს რიცხვები გამოხატავს რიცხვის პირველ 2 ციფრს, საიდანაც მოიძებნება კვადრატული ფესვი. ზედა ჰორიზონტალურ ხაზში (ისევე როგორც ქვედაში) არის რიცხვები: 0, 1, 2, 3... 9, რომელიც წარმოადგენს ამ რიცხვის მე-3 ციფრს, შემდეგ კი მარჯვნივ არის რიცხვები 1, 2, 3. . . 9, რომელიც წარმოადგენს ამ რიცხვის მე-4 ციფრს. ყველა სხვა ჰორიზონტალური ხაზი შეიცავს 2 ოთხნიშნა რიცხვს, რომლებიც გამოხატავს შესაბამისი რიცხვების კვადრატულ ფესვებს.

დავუშვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ რომელიმე რიცხვის კვადრატული ფესვი, ან მთელი რიცხვი ან გამოხატული ათწილადის სახით. უპირველეს ყოვლისა, ცხრილების დახმარების გარეშე ვპოულობთ ფესვის პირველ და მის ციფრს. მაშინ ამ ნომერში მძიმით გავაუქმებთ, თუ არის ერთი. ჯერ დავუშვათ, რომ მძიმის გაუქმების შემდეგ მხოლოდ 3 ციფრი დარჩება, მაგალითად. 114. ყველაზე მარცხენა სვეტის ცხრილებში ვპოულობთ პირველ 2 ციფრს, ანუ 11-ს და გადავდივართ მათგან მარჯვნივ ჰორიზონტალური ხაზის გასწვრივ, სანამ არ მივაღწევთ ვერტიკალურ სვეტს, რომლის ზედა (და ბოლოში) არის მე-3 ციფრი. რიცხვის, ანუ 4. ამ ადგილას ვხვდებით ორ ოთხნიშნა რიცხვს: 1068 და 3376. ამ ორი რიცხვიდან რომელი უნდა აიღოთ და სად უნდა დადოთ მასში მძიმე, ეს განისაზღვრება ფესვის პირველი ციფრით და მისი ციფრი, რომელიც ადრე ვიპოვნეთ. ასე რომ, თუ უნდა ვიპოვოთ √0.11"4, მაშინ ფესვის პირველი ციფრი არის 3 მეათედი და ამიტომ ფესვისთვის უნდა ავიღოთ 0.3376. თუ გვჭირდებოდა ვიპოვოთ √1.14, მაშინ ფესვის პირველი ციფრი იქნება. 1 და ჩვენ მაშინ ავიღებდით 1.068.

ამ გზით ჩვენ ადვილად ვიპოვით:

√5.30 = 2.302; √7"18 = 26.80; √0.91"6 = 0.9571 და ა.შ.

ახლა დავუშვათ, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ 4 ციფრით გამოხატული რიცხვის ფესვი (ათწილადის წერტილის ჩაშვებით), მაგალითად, √7"45.6. იმის გათვალისწინებით, რომ ფესვის პირველი ციფრი არის 2 ათეული, ჩვენ ვიპოვით ნომერი 745, როგორც უკვე განვმარტეთ, ციფრები 2729 (ამ რიცხვს მხოლოდ თითით ვამჩნევთ, მაგრამ არ ჩავწერთ.) შემდეგ ამ რიცხვიდან გადავდივართ უფრო მარჯვნივ, სანამ მაგიდის მარჯვენა მხარეს (უკან ბოლო თამამი სტრიქონი) ვხვდებით ვერტიკალურ სვეტს, რომელიც მონიშნულია ზევით (და ქვედა) 4 რიცხვის მე-4 ციფრით, ანუ რიცხვით 6 და იქ ვიპოვით რიცხვს 1. ეს იქნება შესწორება, რომელიც უნდა იქნას გამოყენებული. (გონებაში) ადრე ნაპოვნ რიცხვს 2729 მივიღებთ 2730. ამ რიცხვს ჩავწერთ და მძიმით ვსვამთ შესაბამის ადგილას: 27.30.

ამ გზით ვხვდებით, მაგალითად:

√44.37 = 6.661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 =0.2107 და ა.შ.

თუ რადიკალური რიცხვი გამოიხატება მხოლოდ ერთი ან ორი ციფრით, მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ამ ციფრებს მოჰყვება ერთი ან ორი ნული და შემდეგ გავაგრძელოთ სამნიშნა რიცხვის განმარტებით. მაგალითად, √2.7 =√2.70 =1.643; √0.13 = √0.13"0 = 0.3606 და ა.შ.

დაბოლოს, თუ რადიკალური რიცხვი გამოიხატება 4 ციფრზე მეტით, მაშინ ავიღებთ მათგან მხოლოდ პირველ 4-ს, ხოლო დანარჩენს გავაუქმებთ და შეცდომის შესამცირებლად, თუ გაუქმებული ციფრიდან პირველი არის 5 ან 5-ზე მეტი, მაშინ ჩვენ გავზრდით l-ით შენარჩუნებული ციფრების მეოთხედს. Ისე:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; და ასე შემდეგ.

კომენტარი. ცხრილებში მითითებულია მიახლოებითი კვადრატული ფესვი, ხან ნაკლოვანებით, ხან ჭარბით, კერძოდ, ერთ-ერთი ამ სავარაუდო ფესვიდან, რომელიც უახლოვდება ზუსტ ფესვს.

179. კვადრატული ფესვების ამოღება ჩვეულებრივი წილადებიდან.შეუქცევადი წილადის ზუსტი კვადრატული ფესვის ამოღება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც წილადის ორივე წევრი ზუსტი კვადრატია. ამ შემთხვევაში, საკმარისია მრიცხველისა და მნიშვნელის ფესვის ცალკე ამოღება, მაგალითად:

ჩვეულებრივი წილადის სავარაუდო კვადრატული ფესვის პოვნის უმარტივესი გზა ათწილადის სიზუსტით არის უპირველესად ჩვეულებრივი წილადის გადაქცევა ათწილადად, ამ წილადში ათწილადის შემდეგ ათწილადების რიცხვის გამოთვლა, რომელიც იქნება ათწილადების რიცხვზე ორჯერ. სასურველ ფესვში.

თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ ამის გაკეთება სხვაგვარად. ავხსნათ ეს შემდეგი მაგალითით:

იპოვეთ მიახლოებითი √ 5/24

მნიშვნელი ზუსტ კვადრატად ვაქციოთ. ამისათვის საკმარისი იქნება წილადის ორივე წევრი გავამრავლოთ მნიშვნელზე 24; მაგრამ ამ მაგალითში შეგიძლიათ გააკეთოთ სხვაგვარად. მოდით დავშალოთ 24 პირველ ფაქტორებად: 24 = 2 2 2 3. ამ დაშლიდან ირკვევა, რომ თუ 24 გამრავლდება 2-ზე და კიდევ 3-ზე, მაშინ ნამრავლში ყოველი მარტივი ფაქტორი ლუწი რამდენჯერმე განმეორდება და, შესაბამისად, მნიშვნელი გახდება კვადრატი:

რჩება √30 გარკვეული სიზუსტით გამოთვლა და შედეგი 12-ზე გაყოფა. გასათვალისწინებელია, რომ 12-ზე გაყოფა ასევე შეამცირებს სიზუსტის ხარისხზე მითითებულ წილადს. ასე რომ, თუ ვიპოვით √30 1/10 სიზუსტით და შედეგს გავყოფთ 12-ზე, მივიღებთ 5/24 წილადის სავარაუდო ფესვს 1/120 სიზუსტით (კერძოდ 54/120 და 55/120)

თავი მესამე.

ფუნქციის გრაფიკიx = √y .

180. ინვერსიული ფუნქცია.მიეცით რაიმე განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს ზე როგორც ფუნქცია X მაგალითად, ასე: y = x 2 . შეიძლება ითქვას, რომ განსაზღვრავს არა მხოლოდ ზე როგორც ფუნქცია X , არამედ, პირიქით, განსაზღვრავს X როგორც ფუნქცია ზე , თუმცა იმპლიციურად. ამ ფუნქციის გასაგებად, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ ეს განტოლება X , აღება ზე ცნობილი ნომრისთვის; ასე რომ, განტოლებიდან ჩვენ ვპოულობთ: y = x 2 .

x-სთვის მიღებულ ალგებრულ გამოსახულებას იმ განტოლების ამოხსნის შემდეგ, რომელიც y-ს x-ის ფუნქციად განსაზღვრავს, y-ის განმსაზღვრელი ფუნქცია ეწოდება.

ასე რომ ფუნქცია x = √y შებრუნებული ფუნქცია y = x 2 . თუ ჩვეულებისამებრ აღვნიშნავთ დამოუკიდებელ ცვლადს X , და დამოკიდებული ზე , მაშინ ახლა მიღებული ინვერსიული ფუნქცია შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად: y = √x . ამრიგად, მოცემული (პირდაპირი) ფუნქციის შებრუნებული ფუნქციის მისაღებად აუცილებელია ამ მოცემული ფუნქციის განმსაზღვრელი განტოლებიდან გამომდინარე X დამოკიდებულია იმაზე წ და შედეგად გამოსახულებაში ჩანაცვლება წ on x , ა X on წ .

181. ფუნქციის გრაფიკი y = √x . ეს ფუნქცია შეუძლებელია უარყოფითი მნიშვნელობით X , მაგრამ ის შეიძლება გამოითვალოს (ნებისმიერი სიზუსტით) ნებისმიერი დადებითი მნიშვნელობისთვის x და თითოეული ასეთი მნიშვნელობისთვის ფუნქცია იღებს ორ განსხვავებულ მნიშვნელობას იგივე აბსოლუტური მნიშვნელობით, მაგრამ საპირისპირო ნიშნებით. თუ ნაცნობი ხარ √ თუ ჩვენ აღვნიშნავთ მხოლოდ კვადრატული ფესვის არითმეტიკულ მნიშვნელობას, მაშინ ფუნქციის ეს ორი მნიშვნელობა შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად: y = ± √ x ამ ფუნქციის გრაფიკის გამოსაყენებლად, ჯერ უნდა შეადგინოთ მისი მნიშვნელობების ცხრილი. ამ ცხრილის შექმნის უმარტივესი გზაა პირდაპირი ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილიდან:

y = x 2 .

თუ ღირებულებები ზე მიიღეთ როგორც ღირებულებები X და პირიქით:

y = ± √ x

ნახაზზე ყველა ამ მნიშვნელობის გამოსახვით მივიღებთ შემდეგ გრაფიკს.

იმავე ნახატზე გამოვსახეთ (გატეხილი ხაზით) პირდაპირი ფუნქციის გრაფიკი y = x 2 . მოდით შევადაროთ ეს ორი გრაფიკი ერთმანეთს.

182. პირდაპირი და შებრუნებული ფუნქციების გრაფიკების მიმართება.შებრუნებული ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილის შედგენა y = ± √ x ჩვენ ავიღეთ X ის რიცხვები, რომლებიც პირდაპირ ფუნქციის ცხრილშია y = x 2 ემსახურებოდა ღირებულებებს ზე და ამისთვის ზე აიღო ეს ნომრები; რომლებიც ამ ცხრილში იყო მნიშვნელობები x . აქედან გამომდინარეობს, რომ ორივე გრაფიკი ერთნაირია, მხოლოდ პირდაპირი ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ღერძთან შედარებით. ზე - როგორ მდებარეობს შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი ღერძის მიმართ X - ov. შედეგად, თუ ნახატს მოვახვევთ სწორი ხაზის გარშემო OA მართი კუთხის გაყოფა xOy , ისე, რომ ნახატის ნაწილი, რომელიც შეიცავს ნახევრად ღერძს OU , დაეცა იმ ნაწილზე, რომელიც შეიცავს ღერძის ლილვს ოჰ , ეს OU თავსებადი ოჰ , ყველა განყოფილება OU დაემთხვევა დანაყოფებს ოჰ და პარაბოლის წერტილები y = x 2 გასწორდება გრაფიკის შესაბამის წერტილებთან y = ± √ x . მაგალითად, ქულები მ და ნ , რომლის ორდინატი 4 , და აბსცისი 2 და - 2 , დაემთხვევა ქულებს M" და N" , რისთვისაც აბსცისი 4 , და ორდინატებს 2 და - 2 . თუ ეს წერტილები ემთხვევა, ეს ნიშნავს, რომ სწორი ხაზები მმ" და NN" პერპენდიკულარულად OAდა გაყავით ეს სწორი ხაზი შუაზე. იგივე შეიძლება ითქვას ორივე გრაფიკის ყველა სხვა შესაბამის წერტილზე.

ამრიგად, შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი უნდა იყოს იგივე, რაც პირდაპირი ფუნქციის გრაფიკი, მაგრამ ეს გრაფიკები განლაგებულია განსხვავებულად, კერძოდ, სიმეტრიულად ერთმანეთთან კუთხის ბისექტრის მიმართ. xOy . შეგვიძლია ვთქვათ, რომ შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი არის პირდაპირი ფუნქციის გრაფიკის ანარეკლი (როგორც სარკეში) კუთხის ბისექტრის მიმართ. xOy .

ფაქტი 1.
\(\bullet\) ავიღოთ რამდენიმე არაუარყოფითი რიცხვი \(a\) (ანუ \(a\geqslant 0\) ). შემდეგ (არითმეტიკა) კვადრატული ფესვი\(a\) რიცხვიდან ეწოდება ისეთ არაუარყოფითი რიცხვი \(b\) , როდესაც კვადრატში ვიღებთ რიცხვს \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(იგივე )\quad a=b^2\]განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ეს შეზღუდვები მნიშვნელოვანი პირობაა კვადრატული ფესვის არსებობისთვის და უნდა გვახსოვდეს!
შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი კვადრატში იძლევა არაუარყოფით შედეგს. ანუ \(100^2=10000\geqslant 0\) და \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) რის ტოლია \(\sqrt(25)\)? ჩვენ ვიცით, რომ \(5^2=25\) და \((-5)^2=25\) . ვინაიდან განსაზღვრებით უნდა ვიპოვოთ არაუარყოფითი რიცხვი, მაშინ \(-5\) არ არის შესაფერისი, შესაბამისად, \(\sqrt(25)=5\) (რადგან \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) მნიშვნელობის პოვნას ეწოდება \(a\) რიცხვის კვადრატული ფესვის აღება, ხოლო რიცხვს \(a\) - რადიკალური გამოხატულება.
\(\bullet\) განმარტებიდან გამომდინარე, გამოთქმა \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) და ა.შ. აზრი არ აქვს.

ფაქტი 2.
სწრაფი გამოთვლებისთვის სასარგებლო იქნება ნატურალური რიცხვების კვადრატების ცხრილის სწავლა \(1\)-დან \(20\)-მდე: \[\begin(მასივი)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \end(მასივი)\]

ფაქტი 3.
რა ოპერაციების გაკეთება შეგიძლიათ კვადრატული ფესვებით?
\(\bullet\) კვადრატული ფესვების ჯამი ან სხვაობა არ არის ტოლი ჯამის ან სხვაობის კვადრატული ფესვის, ანუ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ამრიგად, თუ თქვენ გჭირდებათ გამოთვლა, მაგალითად, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , მაშინ თავდაპირველად უნდა იპოვოთ \(\sqrt(25)\) და \(\) მნიშვნელობები. sqrt(49)\ ) და შემდეგ დაკეცეთ ისინი. აქედან გამომდინარე, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] თუ \(\sqrt a\) ან \(\sqrt b\) მნიშვნელობები ვერ მოიძებნა \(\sqrt a+\sqrt b\) დამატებისას, მაშინ ასეთი გამოხატულება შემდგომში არ გარდაიქმნება და რჩება როგორც არის. მაგალითად, ჯამში \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) შეგვიძლია ვიპოვოთ \(\sqrt(49)\) არის \(7\) , მაგრამ \(\sqrt 2\) არ შეიძლება გარდაიქმნას ყოველ შემთხვევაში, ამიტომ \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). სამწუხაროდ, ამ გამოთქმის შემდგომი გამარტივება შეუძლებელია\(\bullet\) კვადრატული ფესვების ნამრავლი/წელი უდრის ნამრავლის/რაოდენობის კვადრატულ ფესვს, ანუ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (იმ პირობით, რომ თანასწორობის ორივე მხარეს აზრი აქვს)
მაგალითი: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) ამ თვისებების გამოყენებით, მოსახერხებელია დიდი რიცხვების კვადრატული ფესვების პოვნა მათი ფაქტორინგით.
მოდით შევხედოთ მაგალითს. მოდი ვიპოვოთ \(\sqrt(44100)\) . ვინაიდან \(44100:100=441\) , მაშინ \(44100=100\cdot 441\) . გაყოფის კრიტერიუმის მიხედვით რიცხვი \(441\) იყოფა \(9\)-ზე (რადგან მისი ციფრების ჯამი არის 9 და იყოფა 9-ზე), შესაბამისად, \(441:9=49\), ანუ \(441=9\ cdot 49\) .
ასე მივიღეთ: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა შეიყვანოთ რიცხვები კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ გამონათქვამის მაგალითის გამოყენებით \(5\sqrt2\) (მოკლე აღნიშვნა გამოხატვისთვის \(5\cdot \sqrt2\)). ვინაიდან \(5=\sqrt(25)\) , მაშინ \ ასევე გაითვალისწინეთ, რომ, მაგალითად,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Რატომ არის, რომ? ავხსნათ მაგალითი 1-ის გამოყენებით). როგორც უკვე გესმით, ჩვენ ვერ შევცვლით რიცხვს \(\sqrt2\). წარმოვიდგინოთ, რომ \(\sqrt2\) არის რაღაც რიცხვი \(a\) . შესაბამისად, გამოთქმა \(\sqrt2+3\sqrt2\) სხვა არაფერია თუ არა \(a+3a\) (ერთი რიცხვი \(a\) პლუს სამი იგივე რიცხვი \(a\)). ჩვენ ვიცით, რომ ეს უდრის ოთხ ასეთ რიცხვს \(a\) , ანუ \(4\sqrt2\) .

ფაქტი 4.
\(\bullet\) რიცხვის მნიშვნელობის პოვნისას ხშირად ამბობენ "ძირის ამოღება არ შეიძლება", როცა ვერ აშორებ ფესვის ნიშანს \(\sqrt () \\) . მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ \(16\) რიცხვის ფესვი, რადგან \(16=4^2\) , შესაბამისად \(\sqrt(16)=4\) . მაგრამ შეუძლებელია \(3\" რიცხვის ფესვის ამოღება, ანუ \(\sqrt3\) პოვნა, რადგან არ არსებობს რიცხვი, რომელიც კვადრატში მისცემს \(3\) .
ასეთი რიცხვები (ან გამონათქვამები ასეთი რიცხვებით) ირაციონალურია. მაგალითად, ნომრები \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)და ასე შემდეგ. არიან ირაციონალური.
ასევე ირაციონალურია რიცხვები \(\pi\) (რიცხვი "pi", დაახლოებით ტოლია \(3.14\)), \(e\) (ამ რიცხვს ეილერის რიცხვი ჰქვია, ის დაახლოებით უდრის \(2.7-ს. \)) და ა.შ.
\(\bullet\) გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი იქნება რაციონალური ან ირაციონალური. და ყველა რაციონალური და ყველა ირაციონალური რიცხვი ერთად ქმნიან სიმრავლეს, რომელსაც ეწოდება რეალური რიცხვების ნაკრები.ეს ნაკრები აღინიშნება ასო \(\mathbb(R)\) .
ეს ნიშნავს, რომ ყველა რიცხვს, რომელიც ჩვენ ამჟამად ვიცით, რეალური რიცხვები ეწოდება.

ფაქტი 5.
\(\bullet\) რეალური რიცხვის \(a\) მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი \(|a|\) ტოლი მანძილის \(a\) წერტილიდან \(0\)-მდე რეალური ხაზი. მაგალითად, \(|3|\) და \(|-3|\) უდრის 3-ს, ვინაიდან \(3\) და \(-3\) წერტილებიდან \(0\)-მდე მანძილი არის იგივე და ტოლია \(3 \) .
\(\bullet\) თუ \(a\) არაუარყოფითი რიცხვია, მაშინ \(|a|=a\) .
მაგალითი: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) თუ \(a\) უარყოფითი რიცხვია, მაშინ \(|a|=-a\) .
მაგალითი: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
ისინი ამბობენ, რომ უარყოფითი რიცხვებისთვის მოდული "ჭამს" მინუსს, ხოლო დადებითი რიცხვები, ისევე როგორც რიცხვი \(0\), უცვლელი რჩება მოდულით.
მაგრამეს წესი ვრცელდება მხოლოდ ციფრებზე. თუ თქვენი მოდულის ნიშნის ქვეშ არის უცნობი \(x\) (ან სხვა უცნობი), მაგალითად, \(|x|\) , რომლის შესახებაც არ ვიცით დადებითია, ნული თუ უარყოფითი, მაშინ მოიშორეთ მოდულის ჩვენ არ შეგვიძლია. ამ შემთხვევაში ეს გამოთქმა იგივე რჩება: \(|x|\) . \(\bullet\) მოქმედებს შემდეგი ფორმულები: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(მოწოდებულია) a\geqslant 0\]ძალიან ხშირად უშვებენ შემდეგ შეცდომას: ამბობენ, რომ \(\sqrt(a^2)\) და \((\sqrt a)^2\) ერთი და იგივეა. ეს მართალია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ \(a\) არის დადებითი რიცხვი ან ნული. მაგრამ თუ \(a\) უარყოფითი რიცხვია, მაშინ ეს მცდარია. საკმარისია ამ მაგალითის გათვალისწინება. \(a\)-ის ნაცვლად ავიღოთ რიცხვი \(-1\) . მაშინ \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , მაგრამ გამონათქვამი \((\sqrt (-1))^2\) საერთოდ არ არსებობს (ბოლოს და ბოლოს, შეუძლებელია ძირეული ნიშნის გამოყენება უარყოფით რიცხვებში!).
ამიტომ თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ \(\sqrt(a^2)\) არ უდრის \((\sqrt a)^2\) !მაგალითი: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\მარჯვნივ)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), იმიტომ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) ვინაიდან \(\sqrt(a^2)=|a|\) , მაშინ \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (გამოთქმა \(2n\) აღნიშნავს ლუწი რიცხვს)
ანუ რიცხვის ფესვის აღებისას, რომელიც გარკვეულწილად არის, ეს ხარისხი განახევრდება.
მაგალითი:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (გაითვალისწინეთ, რომ თუ მოდული არ არის მოწოდებული, გამოდის, რომ რიცხვის ფესვი უდრის \(-25\ მაგრამ ჩვენ გვახსოვს, რომ ფესვის განმარტებით ეს არ შეიძლება მოხდეს: ფესვის ამოღებისას ყოველთვის უნდა მივიღოთ დადებითი რიცხვი ან ნული)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (რადგან ლუწი ხარისხზე ნებისმიერი რიცხვი არაუარყოფითია)

ფაქტი 6.
როგორ შევადაროთ ორი კვადრატული ფესვი?
\(\bullet\) კვადრატული ფესვებისთვის მართალია: თუ \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aმაგალითი:
1) შეადარეთ \(\sqrt(50)\) და \(6\sqrt2\) . პირველი, მოდით გადავიტანოთ მეორე გამონათქვამი \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). ამრიგად, მას შემდეგ, რაც \ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) რომელ მთელ რიცხვებს შორის მდებარეობს \(\sqrt(50)\)?
ვინაიდან \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) და \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) შევადაროთ \(\sqrt 2-1\) და \(0.5\) . დავუშვათ, რომ \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((დაამატე ერთი ორივე მხარეს))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((ორივე მხარის კვადრატში)\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end (გასწორებული)\]ჩვენ ვხედავთ, რომ მივიღეთ არასწორი უტოლობა. ამიტომ, ჩვენი ვარაუდი არასწორი იყო და \(\sqrt 2-1<0,5\) .
გაითვალისწინეთ, რომ უტოლობის ორივე მხარეს გარკვეული რიცხვის მიმატება არ მოქმედებს მის ნიშანზე. უტოლობის ორივე მხარის დადებით რიცხვზე გამრავლება/გაყოფა ასევე არ მოქმედებს მის ნიშანზე, მაგრამ უარყოფით რიცხვზე გამრავლება/გაყოფა უტოლდება უტოლობის ნიშანს!
განტოლების/უტოლობის ორივე გვერდის კვადრატი შეგიძლიათ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე მხარე არაუარყოფითია. მაგალითად, წინა მაგალითის უტოლობაში შეგიძლიათ კვადრატში ორივე მხარე, უტოლობაში \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) უნდა გვახსოვდეს, რომ \[\ დასაწყისი (გასწორებული) &\sqrt 2\დაახლოებით 1.4\\ &\sqrt 3\დაახლოებით 1.7 \ბოლო (გასწორებული)\]ამ რიცხვების სავარაუდო მნიშვნელობის ცოდნა დაგეხმარება რიცხვების შედარებისას! \(\bullet\) იმისთვის, რომ ამოიღოთ ფესვი (თუ შეიძლება მისი ამოღება) რაიმე დიდი რიცხვიდან, რომელიც არ არის კვადრატების ცხრილში, ჯერ უნდა დაადგინოთ რომელ "ასეულს" შორის მდებარეობს, შემდეგ - რომელ " ათეულები”, და შემდეგ განსაზღვრეთ ამ რიცხვის ბოლო ციფრი. მოდით აჩვენოთ, თუ როგორ მუშაობს ეს მაგალითით.
ავიღოთ \(\sqrt(28224)\) . ჩვენ ვიცით, რომ \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) და ა.შ. გაითვალისწინეთ, რომ \(28224\) არის \(10\,000\) და \(40\,000\) შორის. ამიტომ, \(\sqrt(28224)\) არის \(100\) და \(200\) შორის.
ახლა განვსაზღვროთ რომელ „ათეულებს“ შორის მდებარეობს ჩვენი რიცხვი (ანუ, მაგალითად, \(120\) და \(130\) შორის). ასევე კვადრატების ცხრილიდან ვიცით, რომ \(11^2=121\) , \(12^2=144\) და ა.შ., შემდეგ \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . ჩვენ ვხედავთ, რომ \(28224\) არის \(160^2\) და \(170^2\) შორის. აქედან გამომდინარე, რიცხვი \(\sqrt(28224)\) არის \(160\) და \(170\) შორის.
შევეცადოთ განვსაზღვროთ ბოლო ციფრი. გავიხსენოთ რა ერთნიშნა რიცხვები კვადრატში აძლევენ \(4\) ბოლოს? ეს არის \(2^2\) და \(8^2\) . ამიტომ, \(\sqrt(28224)\) დასრულდება 2-ით ან 8-ით. მოდით შევამოწმოთ ეს. ვიპოვოთ \(162^2\) და \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
ამიტომ, \(\sqrt(28224)=168\) . ვოილა!

მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ადეკვატურად გადასაჭრელად, ჯერ უნდა შეისწავლოთ თეორიული მასალა, რომელიც გაგაცნობთ უამრავ თეორემას, ფორმულას, ალგორითმს და ა.შ. ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ეს საკმაოდ მარტივია. თუმცა, წყაროს პოვნა, რომელშიც მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის თეორია წარმოდგენილია ნებისმიერი დონის მომზადების სტუდენტებისთვის მარტივად და გასაგებად, სინამდვილეში საკმაოდ რთული ამოცანაა. სასკოლო სახელმძღვანელოები ყოველთვის ხელთ არ შეიძლება იყოს. და მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ძირითადი ფორმულების პოვნა შეიძლება რთული იყოს ინტერნეტშიც კი.

რატომ არის ასე მნიშვნელოვანი მათემატიკაში თეორიის შესწავლა არა მხოლოდ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარებისთვის?

1. რადგან ის აფართოებს თქვენს ჰორიზონტს. მათემატიკაში თეორიული მასალის შესწავლა სასარგებლოა მათთვის, ვისაც სურს მიიღოს პასუხები კითხვებზე, რომლებიც დაკავშირებულია მათ გარშემო არსებული სამყაროს ცოდნასთან. ბუნებაში ყველაფერი მოწესრიგებულია და აქვს მკაფიო ლოგიკა. ეს არის ზუსტად ის, რაც აისახება მეცნიერებაში, რომლის მეშვეობითაც შესაძლებელია სამყაროს გაგება.
2. რადგან ის ავითარებს ინტელექტს. მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის საცნობარო მასალების შესწავლით, ასევე სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრით, ადამიანი სწავლობს ლოგიკურად აზროვნებას და მსჯელობას, აზრების კომპეტენტურად და ნათლად ჩამოყალიბებას. მას უვითარდება ანალიზის, განზოგადების, დასკვნების გამოტანის უნარი.

გეპატიჟებით პირადად შეაფასოთ ჩვენი მიდგომის ყველა უპირატესობა საგანმანათლებლო მასალების სისტემატიზაციისა და პრეზენტაციისთვის.

მოდით შევხედოთ ამ ალგორითმს მაგალითის გამოყენებით. ჩვენ ვიპოვით

1 ნაბიჯი. ფესვის ქვეშ არსებულ რიცხვს ვყოფთ ორნიშნა სახეებად (მარჯვნიდან მარცხნივ):

მე-2 ნაბიჯი. ვიღებთ პირველი სახის კვადრატულ ფესვს, ანუ 65 რიცხვიდან ვიღებთ რიცხვს 8. პირველი სახის ქვეშ ვწერთ 8 რიცხვის კვადრატს და ვაკლებთ. დანარჩენს ვანიჭებთ მეორე სახეს (59):

(ნომერი 159 არის პირველი ნაშთი).

მე-3 ნაბიჯი. ჩვენ გავაორმაგებთ ნაპოვნი ფესვს და ვწერთ შედეგს მარცხნივ:

მე-4 ნაბიჯი. ნაშთში გამოვყოფთ ერთ ციფრს მარჯვნივ (159), ხოლო მარცხნივ ვიღებთ ათეულების რაოდენობას (ის უდრის 15-ს). შემდეგ 15-ს ვყოფთ ფესვის პირველ ციფრზე ორმაგად, ანუ 16-ზე, რადგან 15 არ იყოფა 16-ზე, კოეფიციენტი გამოდის ნულზე, რომელსაც ვწერთ ფესვის მეორე ციფრად. ასე რომ, კოეფიციენტში მივიღეთ რიცხვი 80, რომელსაც კვლავ ვაორმაგებთ და ვაშორებთ შემდეგ კიდეს

(რიცხვი 15,901 არის მეორე ნაშთი).

მე-5 ნაბიჯი. მეორე ნაშთში მარჯვნიდან გამოვყოფთ ერთ ციფრს და მიღებულ რიცხვს 1590 ვყოფთ 160-ზე. შედეგს (ნომერი 9) ვწერთ ფესვის მესამე ციფრად და ვამატებთ რიცხვს 160. მიღებულ რიცხვს 1609 ვამრავლებთ. 9 და იპოვეთ შემდეგი ნაშთი (1420):

შემდგომში მოქმედებები ხორციელდება ალგორითმში მითითებული თანმიმდევრობით (ძირის ამოღება შესაძლებელია საჭირო სიზუსტით).

კომენტარი. თუ რადიკალური გამოხატულება არის ათობითი წილადი, მაშინ მისი მთელი ნაწილი იყოფა ორი ციფრის კიდეებად მარჯვნიდან მარცხნივ, წილადი - ორი ციფრით მარცხნიდან მარჯვნივ და ფესვი ამოღებულია მითითებული ალგორითმის მიხედვით.

დიდაქტიკური მასალა

1. აიღეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი: ა) 32; ბ) 32,45; გ) 249,5; დ) 0,9511.