როგორ გამოითვლება საშუალო მნიშვნელობა? ვარიაციის საშუალო მნიშვნელობები და ინდიკატორები

უმეტეს შემთხვევაში, მონაცემები კონცენტრირებულია რომელიმე ცენტრალურ წერტილზე. ამრიგად, მონაცემთა ნებისმიერი ნაკრების აღსაწერად საკმარისია საშუალო მნიშვნელობის მითითება. მოდით განვიხილოთ თანმიმდევრულად სამი რიცხვითი მახასიათებელი, რომლებიც გამოიყენება განაწილების საშუალო მნიშვნელობის შესაფასებლად: საშუალო არითმეტიკული, მედიანა და რეჟიმი.

საშუალო

საშუალო არითმეტიკული (ხშირად უწოდებენ უბრალოდ საშუალოს) არის განაწილების საშუალო ყველაზე გავრცელებული შეფასება. ეს არის ყველა დაკვირვებული რიცხვითი მნიშვნელობების ჯამის გაყოფის შედეგი მათ რიცხვზე. ციფრებისგან შემდგარი ნიმუშისთვის X 1, X 2, ..., Xნ, ნიმუში ნიშნავს (მითითებულია ) უდრის = (X 1 + X 2 + … + Xნ) / ნ, ან

სად არის ნიმუშის საშუალო, ნ- ნიმუშის ზომა, Xმე– ნიმუშის i-ე ელემენტი.

ჩამოტვირთეთ შენიშვნა ფორმატში ან ფორმატში, მაგალითები ფორმატში

განვიხილოთ 15 ძალიან მაღალი რისკის მქონე ერთობლივი ფონდის ხუთწლიანი საშუალო წლიური შემოსავლების საშუალო არითმეტიკული გამოთვლა (სურათი 1).

ბრინჯი. 1. 15 ძალიან მაღალი რისკის მქონე ერთობლივი ფონდის საშუალო წლიური შემოსავალი

ნიმუშის საშუალო მაჩვენებელი გამოითვლება შემდეგნაირად:

ეს კარგი მოგებაა, განსაკუთრებით იმ 3-4%-იან ანაზღაურებასთან შედარებით, რომელიც ბანკის ან საკრედიტო კავშირის მეანაბრეებმა მიიღეს იმავე დროის განმავლობაში. თუ შემოსავალს დავახარისხებთ, ადვილი მისახვედრია, რომ რვა ფონდს აქვს საშუალოზე მაღალი შემოსავალი, ხოლო შვიდს - საშუალოზე დაბალი. საშუალო არითმეტიკული მოქმედებს როგორც წონასწორობის წერტილი, ასე რომ, დაბალი შემოსავლის მქონე სახსრები აბალანსებს სახსრებს მაღალი შემოსავლით. ნიმუშის ყველა ელემენტი ჩართულია საშუალოს გამოთვლაში. განაწილების საშუალო არცერთ სხვა შეფასებას არ გააჩნია ეს თვისება.

როდის უნდა გამოვთვალოთ საშუალო არითმეტიკული?ვინაიდან არითმეტიკული საშუალო დამოკიდებულია ნიმუშის ყველა ელემენტზე, უკიდურესი მნიშვნელობების არსებობა მნიშვნელოვნად მოქმედებს შედეგზე. ასეთ სიტუაციებში, საშუალო არითმეტიკამ შეიძლება დაამახინჯოს რიცხვითი მონაცემების მნიშვნელობა. ამიტომ უკიდურესი მნიშვნელობების შემცველი მონაცემთა ნაკრების აღწერისას აუცილებელია მიეთითოს მედიანა ან არითმეტიკული საშუალო და მედიანა. მაგალითად, თუ ჩვენ ამოვიღებთ RS Emerging Growth ფონდის შემოსავალს ნიმუშიდან, 14 ფონდის შემოსავლის ნიმუშის საშუალო მაჩვენებელი მცირდება თითქმის 1%-ით 5,19%-მდე.

მედიანური

მედიანა წარმოადგენს რიცხვთა მოწესრიგებული მასივის შუა მნიშვნელობას. თუ მასივი არ შეიცავს განმეორებით რიცხვებს, მაშინ მისი ელემენტების ნახევარი იქნება მედიანაზე ნაკლები და ნახევარი მეტი. თუ ნიმუში შეიცავს ექსტრემალურ მნიშვნელობებს, უმჯობესია გამოვიყენოთ მედიანა და არა საშუალო არითმეტიკული საშუალოს შესაფასებლად. ნიმუშის მედიანას გამოსათვლელად, ჯერ უნდა შეუკვეთოთ იგი.

ეს ფორმულა ორაზროვანია. მისი შედეგი დამოკიდებულია რიცხვზე ლუწი თუ კენტი ნ:

• თუ ნიმუში შეიცავს ელემენტების კენტ რაოდენობას, მედიანა არის (n+1)/2- ე ელემენტი.
• თუ ნიმუში შეიცავს ელემენტების ლუწი რაოდენობას, მედიანა დევს ნიმუშის ორ შუა ელემენტს შორის და უდრის ამ ორ ელემენტზე გამოთვლილ საშუალო არითმეტიკას.

15 ძალიან მაღალი რისკის ურთიერთდახმარების ფონდის ანაზღაურების შემცველი ნიმუშის მედიანა გამოსათვლელად, ჯერ უნდა დაალაგოთ ნედლეული მონაცემები (სურათი 2). მაშინ მედიანა იქნება ნიმუშის შუა ელემენტის რაოდენობის საპირისპირო; ჩვენს მაგალითში No8. Excel-ს აქვს სპეციალური ფუნქცია =MEDIAN(), რომელიც მუშაობს შეუკვეთებელ მასივებთანაც.

ბრინჯი. 2. მედიანა 15 ფონდი

ამრიგად, მედიანა არის 6.5. ეს ნიშნავს, რომ ძალიან მაღალი რისკის სახსრების ერთი ნახევრის შემოსავალი არ აღემატება 6,5-ს, ხოლო მეორე ნახევრის შემოსავალი აღემატება მას. გაითვალისწინეთ, რომ 6.5 მედიანა არ არის ბევრად დიდი ვიდრე 6.08.

თუ ჩვენ ამოვიღებთ RS Emerging Growth ფონდის ანაზღაურებას ნიმუშიდან, მაშინ დარჩენილი 14 ფონდის მედიანა მცირდება 6.2%-მდე, ანუ არც ისე მნიშვნელოვნად, როგორც საშუალო არითმეტიკული (სურათი 3).

ბრინჯი. 3. მედიანა 14 ფონდი

მოდა

ტერმინი პირველად შემოიტანა პირსონმა 1894 წელს. მოდა არის რიცხვი, რომელიც ყველაზე ხშირად გვხვდება ნიმუშში (ყველაზე მოდური). მოდა კარგად აღწერს, მაგალითად, მძღოლების ტიპურ რეაქციას შუქნიშანზე მოძრაობის შეჩერების სიგნალზე. მოდის გამოყენების კლასიკური მაგალითია ფეხსაცმლის ზომის ან ფონის ფერის არჩევანი. თუ დისტრიბუციას აქვს რამდენიმე რეჟიმი, მაშინ ამბობენ, რომ ის არის მულტიმოდალური ან მულტიმოდალური (აქვს ორი ან მეტი „პიკი“). განაწილების მულტიმოდალობა იძლევა მნიშვნელოვან ინფორმაციას შესწავლილი ცვლადის ბუნების შესახებ. მაგალითად, სოციოლოგიურ გამოკითხვებში, თუ ცვლადი წარმოადგენს რაიმეს მიმართ უპირატესობას ან დამოკიდებულებას, მაშინ მულტიმოდალურობა შეიძლება ნიშნავს, რომ არსებობს რამდენიმე მკაფიოდ განსხვავებული მოსაზრება. მულტიმოდალობა ასევე ემსახურება როგორც ინდიკატორს იმისა, რომ ნიმუში არ არის ერთგვაროვანი და დაკვირვებები შეიძლება წარმოიქმნას ორი ან მეტი „გადახურული“ განაწილებით. არითმეტიკული საშუალოსგან განსხვავებით, გამოკვეთილები არ მოქმედებს რეჟიმზე. მუდმივად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადებისთვის, როგორიცაა ერთობლივი სახსრების საშუალო წლიური შემოსავალი, რეჟიმი ზოგჯერ საერთოდ არ არსებობს (ან აზრი არ აქვს). ვინაიდან ამ ინდიკატორებს შეუძლიათ მიიღონ ძალიან განსხვავებული მნიშვნელობები, მნიშვნელობების განმეორება ძალზე იშვიათია.

კვარტლები

მეოთხედები არის მეტრიკა, რომელიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება მონაცემთა განაწილების შესაფასებლად დიდი რიცხვითი ნიმუშების თვისებების აღწერისას. მიუხედავად იმისა, რომ მედიანა ყოფს მოწესრიგებულ მასივს შუაზე (მაივის ელემენტების 50% ნაკლებია მედიანაზე და 50% მეტია), კვარტილები ყოფს მოწესრიგებულ მონაცემთა ნაკრების ოთხ ნაწილად. Q 1, მედიანა და Q 3 მნიშვნელობები არის 25-ე, 50-ე და 75-ე პროცენტული, შესაბამისად. პირველი მეოთხედი Q 1 არის რიცხვი, რომელიც ყოფს ნიმუშს ორ ნაწილად: ელემენტების 25% ნაკლებია და 75% მეტია პირველ მეოთხედზე.

მესამე მეოთხედი Q 3 არის რიცხვი, რომელიც ასევე ყოფს ნიმუშს ორ ნაწილად: ელემენტების 75% ნაკლებია, ხოლო 25% მეტია, ვიდრე მესამე მეოთხედი.

2007 წლამდე Excel-ის ვერსიებში კვარტილების გამოსათვლელად გამოიყენეთ =QUARTILE (მასივი, ნაწილი) ფუნქცია. Excel 2010-დან დაწყებული, გამოიყენება ორი ფუნქცია:

• =QUARTILE.ON (მასივი, ნაწილი)
• =QUARTILE.EXC (მასივი, ნაწილი)

ეს ორი ფუნქცია იძლევა ოდნავ განსხვავებულ მნიშვნელობებს (სურათი 4). მაგალითად, 15 ძალიან მაღალი რისკის ურთიერთდახმარების ფონდის საშუალო წლიური შემოსავლის შემცველი ნიმუშის კვარტილების გაანგარიშებისას, Q 1 = 1.8 ან –0.7 QUARTILE.IN და QUARTILE.EX, შესაბამისად. სხვათა შორის, ადრე გამოყენებული QUARTILE ფუნქცია შეესაბამება თანამედროვე QUARTILE.ON ფუნქციას. Excel-ში კვარტილების გამოსათვლელად ზემოაღნიშნული ფორმულების გამოყენებით, მონაცემთა მასივი არ საჭიროებს შეკვეთას.

ბრინჯი. 4. კვარტილების გაანგარიშება Excel-ში

კიდევ ერთხელ ხაზგასმით აღვნიშნოთ. Excel-ს შეუძლია კვარტილების გამოთვლა უნივარიატისთვის დისკრეტული სერია, რომელიც შეიცავს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობებს. კვარტილების გაანგარიშება სიხშირეზე დაფუძნებული განაწილებისთვის მოცემულია ქვემოთ განყოფილებაში.

გეომეტრიული საშუალო

საშუალო არითმეტიკისგან განსხვავებით, გეომეტრიული საშუალო საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ ცვლადის ცვლილების ხარისხი დროთა განმავლობაში. გეომეტრიული საშუალო არის ფესვი ნსამუშაოდან ე ხარისხი ნრაოდენობები (ექსელში =SRGEOM ფუნქცია გამოიყენება):

გ= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

მსგავსი პარამეტრი - მოგების კურსის საშუალო გეომეტრიული მნიშვნელობა - განისაზღვრება ფორმულით:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

სად რ ი- მოგების განაკვეთი მემე-თე დროის პერიოდი.

მაგალითად, დავუშვათ საწყისი ინვესტიცია არის $100,000. პირველი წლის ბოლოს, ის ეცემა $50,000-მდე, ხოლო მეორე წლის ბოლოს ის აღდგება საწყის დონეზე $100,000. ამ ინვესტიციის ანაზღაურება ორზე მეტია. -წლის პერიოდი უდრის 0-ს, ვინაიდან სახსრების საწყისი და საბოლოო ოდენობა ერთმანეთის ტოლია. ამასთან, ანაზღაურების წლიური განაკვეთების საშუალო არითმეტიკული არის = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 ან 25%, რადგან ანაზღაურების მაჩვენებელი პირველ წელს R 1 = (50,000 – 100,000) / 100,000 = –0,5, ხოლო მეორეში R 2 = (100,000 – 50,000) / 50,000 = 1. ამავე დროს, მოგების ნორმის გეომეტრიული საშუალო მნიშვნელობა ორი წლის განმავლობაში უდრის: G = [(1–0,5) * (1+ 1 )] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. ამრიგად, გეომეტრიული საშუალო უფრო ზუსტად ასახავს ცვლილებას (უფრო ზუსტად, ცვლილებების არარსებობას) ინვესტიციის მოცულობის ორწლიანი პერიოდის განმავლობაში, ვიდრე საშუალო არითმეტიკული.

Საინტერესო ფაქტები.ჯერ ერთი, გეომეტრიული საშუალო ყოველთვის ნაკლები იქნება იმავე რიცხვების საშუალო არითმეტიკაზე. გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც აღებული ყველა რიცხვი ერთმანეთის ტოლია. მეორეც, მართკუთხა სამკუთხედის თვისებების გათვალისწინებით, შეგიძლიათ გაიგოთ, რატომ ეწოდება საშუალოს გეომეტრიული. მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე, დაშვებული ჰიპოტენუზამდე, არის საშუალო პროპორციულობა ჰიპოტენუზაზე ფეხების პროექციას შორის, ხოლო თითოეული ფეხი არის საშუალო პროპორციულობა ჰიპოტენუზასა და მის პროექციას შორის ჰიპოტენუზაზე (ნახ. 5). ეს იძლევა გეომეტრიულ გზას ორი (სიგრძის) სეგმენტის გეომეტრიული საშუალოს ასაგებად: თქვენ უნდა ააგოთ წრე ამ ორი სეგმენტის ჯამზე დიამეტრის სახით, შემდეგ კი აღადგინოთ სიმაღლე მათი შეერთების წერტილიდან წრესთან კვეთამდე. მისცემს სასურველ მნიშვნელობას:

ბრინჯი. 5. გეომეტრიული საშუალოს გეომეტრიული ბუნება (სურათი ვიკიპედიიდან)

რიცხვითი მონაცემების მეორე მნიშვნელოვანი თვისებაა მათი ვარიაცია, რომელიც ახასიათებს მონაცემთა დისპერსიის ხარისხს. ორი განსხვავებული ნიმუში შეიძლება განსხვავდებოდეს როგორც საშუალებებში, ასევე განსხვავებაში. თუმცა, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 6 და 7, ორ ნიმუშს შეიძლება ჰქონდეს იგივე ვარიაციები, მაგრამ განსხვავებული საშუალებები, ან იგივე საშუალებები და სრულიად განსხვავებული ვარიაციები. მონაცემები, რომლებიც შეესაბამება B მრავალკუთხედს ნახ. 7, იცვლება ბევრად ნაკლები, ვიდრე მონაცემები, რომლებზედაც აშენდა მრავალკუთხედი A.

ბრინჯი. 6. ორი სიმეტრიული ზარის ფორმის განაწილება ერთნაირი გავრცელებით და სხვადასხვა საშუალო მნიშვნელობებით

ბრინჯი. 7. ორი სიმეტრიული ზარის ფორმის განაწილება ერთი და იგივე საშუალო მნიშვნელობებით და განსხვავებული გავრცელებით

არსებობს მონაცემების ცვალებადობის ხუთი შეფასება:

• ფარგლები,
• კვარტლთაშორისი დიაპაზონი,
• დისპერსია,
• სტანდარტული გადახრა,
• ცვალებადობის კოეფიციენტი.

ფარგლები

დიაპაზონი არის განსხვავება ნიმუშის უდიდეს და უმცირეს ელემენტებს შორის:

დიაპაზონი = Xმაქს - Xმინ

ნიმუშის დიაპაზონი, რომელიც შეიცავს 15 ძალიან მაღალი რისკის ერთობლივი ფონდის საშუალო წლიურ შემოსავალს, შეიძლება გამოითვალოს შეკვეთილი მასივის გამოყენებით (იხ. სურათი 4): დიაპაზონი = 18.5 – (–6.1) = 24.6. ეს ნიშნავს, რომ სხვაობა ძალიან მაღალი რისკის მქონე ფონდების უმაღლეს და ყველაზე დაბალ საშუალო წლიურ შემოსავალს შორის არის 24.6%.

დიაპაზონი ზომავს მონაცემთა საერთო გავრცელებას. მიუხედავად იმისა, რომ ნიმუშის დიაპაზონი არის მონაცემთა საერთო გავრცელების ძალიან მარტივი შეფასება, მისი სისუსტე ის არის, რომ არ ითვალისწინებს ზუსტად როგორ ნაწილდება მონაცემები მინიმალურ და მაქსიმალურ ელემენტებს შორის. ეს ეფექტი აშკარად ჩანს ნახ. 8, რომელიც ასახავს იგივე დიაპაზონის მქონე ნიმუშებს. B სკალა აჩვენებს, რომ თუ ნიმუში შეიცავს მინიმუმ ერთ უკიდურეს მნიშვნელობას, ნიმუშის დიაპაზონი არის მონაცემთა გავრცელების ძალიან არაზუსტი შეფასება.

ბრინჯი. 8. ერთი და იგივე დიაპაზონის სამი ნიმუშის შედარება; სამკუთხედი სიმბოლოა სასწორის მხარდაჭერას და მისი მდებარეობა შეესაბამება ნიმუშის საშუალოს

ინტერკვარტილური დიაპაზონი

ინტერკვარტილი, ანუ საშუალო დიაპაზონი არის განსხვავება ნიმუშის მესამე და პირველ მეოთხედს შორის:

ინტერკვარტილური დიაპაზონი = Q 3 – Q 1

ეს მნიშვნელობა საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ ელემენტების 50%-ის გაფანტვა და არ გავითვალისწინოთ ექსტრემალური ელემენტების გავლენა. ნიმუშის ინტერკვარტული დიაპაზონი, რომელიც შეიცავს 15 ძალიან მაღალი რისკის საერთო ფონდის საშუალო წლიურ შემოსავალს, შეიძლება გამოითვალოს ნახ. 4 (მაგალითად, QUARTILE.EXC ფუნქციისთვის): ინტერკვარტილური დიაპაზონი = 9,8 – (–0,7) = 10,5. 9.8 და -0.7 რიცხვებით შემოსაზღვრულ ინტერვალს ხშირად შუა ნახევარს უწოდებენ.

უნდა აღინიშნოს, რომ Q 1 და Q 3 მნიშვნელობები და, შესაბამისად, ინტერკვარტილური დიაპაზონი, არ არის დამოკიდებული გამონაყარის არსებობაზე, რადგან მათი გაანგარიშება არ ითვალისწინებს რაიმე მნიშვნელობას, რომელიც იქნება Q 1-ზე ნაკლები ან მეტი. ვიდრე Q 3. შემაჯამებელ ზომებს, როგორიცაა მედიანური, პირველი და მესამე კვარტილი და ინტერკვარტილური დიაპაზონი, რომლებზეც გავლენას არ მოახდენს გამოკვეთილები, ეწოდება მძლავრი ზომები.

მიუხედავად იმისა, რომ დიაპაზონი და ინტერკვარტილური დიაპაზონი იძლევა შეფასებებს ნიმუშის საერთო და საშუალო გავრცელების შესახებ, შესაბამისად, არცერთი ეს შეფასება არ ითვალისწინებს ზუსტად როგორ არის განაწილებული მონაცემები. ვარიაცია და სტანდარტული გადახრამოკლებულია ამ ნაკლს. ეს ინდიკატორები საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ მონაცემების ცვალებადობა საშუალო მნიშვნელობის გარშემო. ნიმუშის ვარიაციაარის საშუალო არითმეტიკული მიახლოება, რომელიც გამოითვლება თითოეული ნიმუშის ელემენტსა და ნიმუშის საშუალოს შორის განსხვავებების კვადრატებიდან. X 1, X 2, ... X n ნიმუშისთვის, ნიმუშის ვარიაცია (აღნიშნულია სიმბოლო S 2-ით, მოცემულია შემდეგი ფორმულით:

ზოგადად, ნიმუშის ვარიაცია არის ნიმუშის ელემენტებსა და ნიმუშის საშუალოს შორის განსხვავებების კვადრატების ჯამი, გაყოფილი მნიშვნელობით, რომელიც უდრის ნიმუშის ზომას მინუს ერთი:

სად - საშუალო არითმეტიკული, ნ- ნიმუშის ზომა, X ი - მეშერჩევის ელემენტი X. Excel-ში 2007 ვერსიამდე, =VARIN() ფუნქცია გამოიყენებოდა ნიმუშის დისპერსიის გამოსათვლელად; 2010 წლის ვერსიიდან გამოიყენება =VARIAN() ფუნქცია.

მონაცემთა გავრცელების ყველაზე პრაქტიკული და ფართოდ მიღებული შეფასებაა ნიმუშის სტანდარტული გადახრა. ეს მაჩვენებელი აღინიშნება სიმბოლოთი S და უდრის ნიმუშის დისპერსიის კვადრატულ ფესვს:

Excel-ში 2007 ვერსიამდე, ფუნქცია =STDEV.() გამოიყენებოდა სტანდარტული ნიმუშის გადახრის გამოსათვლელად; 2010 წლის ვერსიიდან გამოიყენება ფუნქცია =STDEV.V(). ამ ფუნქციების გამოსათვლელად, მონაცემთა მასივი შეიძლება იყოს უწესრიგო.

არც ნიმუშის განსხვავება და არც ნიმუშის სტანდარტული გადახრა არ შეიძლება იყოს უარყოფითი. ერთადერთი სიტუაცია, რომელშიც ინდიკატორები S 2 და S შეიძლება იყოს ნულოვანი, არის თუ ნიმუშის ყველა ელემენტი ერთმანეთის ტოლია. ამ სრულიად წარმოუდგენელ შემთხვევაში დიაპაზონი და ინტერკვარტილური დიაპაზონი ასევე ნულია.

რიცხვითი მონაცემები არსებითად არასტაბილურია. ნებისმიერ ცვლადს შეუძლია მიიღოს მრავალი განსხვავებული მნიშვნელობა. მაგალითად, სხვადასხვა ურთიერთდახმარების ფონდებს აქვთ განსხვავებული ანაზღაურება და ზარალი. რიცხვითი მონაცემების ცვალებადობის გამო ძალზე მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ საშუალო შეფასებების შესწავლა, რომლებიც შემაჯამებელი ხასიათისაა, არამედ დისპერსიის შეფასებები, რომლებიც ახასიათებს მონაცემთა გავრცელებას.

დისპერსია და სტანდარტული გადახრა საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ მონაცემების გავრცელება საშუალო მნიშვნელობის ირგვლივ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განსაზღვროთ რამდენი ნიმუშის ელემენტია საშუალოზე ნაკლები და რამდენი მეტია. დისპერსიას აქვს რამდენიმე ღირებული მათემატიკური თვისება. თუმცა მისი მნიშვნელობა არის საზომი ერთეულის კვადრატი - კვადრატული პროცენტი, კვადრატული დოლარი, კვადრატული ინჩი და ა.შ. ამრიგად, დისპერსიის ბუნებრივი საზომი არის სტანდარტული გადახრა, რომელიც გამოიხატება შემოსავლის პროცენტის საერთო ერთეულებში, დოლარებში ან ინჩებში.

სტანდარტული გადახრა საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ ნიმუშის ელემენტების ცვალებადობა საშუალო მნიშვნელობის გარშემო. თითქმის ყველა სიტუაციაში, დაკვირვებული მნიშვნელობების უმრავლესობა მდგომარეობს საშუალოდან პლუს ან მინუს ერთი სტანდარტული გადახრის ფარგლებში. შესაბამისად, ნიმუშის ელემენტების საშუალო არითმეტიკული და სტანდარტული ნიმუშის გადახრის ცოდნით, შესაძლებელია განვსაზღვროთ ინტერვალი, რომელსაც ეკუთვნის მონაცემების დიდი ნაწილი.

ანაზღაურების სტანდარტული გადახრა 15 ძალიან მაღალი რისკის ურთიერთდახმარების ფონდისთვის არის 6.6 (სურათი 9). ეს ნიშნავს, რომ სახსრების დიდი ნაწილის მომგებიანობა განსხვავდება საშუალო ღირებულებისგან არაუმეტეს 6,6%-ით (ანუ ის მერყეობს დიაპაზონში – ს= 6.2 – 6.6 = –0.4-მდე +S= 12.8). ფაქტობრივად, ხუთწლიანი საშუალო წლიური შემოსავალი 53.3% (8 15-დან) ამ დიაპაზონშია.

ბრინჯი. 9. ნიმუშის სტანდარტული გადახრა

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული განსხვავებების შეჯამებისას, სანიმუშო ერთეულები, რომლებიც უფრო შორს არიან საშუალოს, უფრო მეტად წონიან, ვიდრე ერთეულები, რომლებიც უფრო ახლოს არიან საშუალოსთან. ეს თვისება არის მთავარი მიზეზი, რის გამოც არითმეტიკული საშუალო ყველაზე ხშირად გამოიყენება განაწილების საშუალოს შესაფასებლად.

ვარიაციის კოეფიციენტი

გაფანტვის წინა შეფასებისგან განსხვავებით, ვარიაციის კოეფიციენტი ფარდობითი შეფასებაა. ის ყოველთვის იზომება პროცენტულად და არა თავდაპირველი მონაცემების ერთეულებში. ცვალებადობის კოეფიციენტი, რომელიც აღინიშნება სიმბოლოებით CV, ზომავს მონაცემთა დისპერსიას საშუალოზე. ცვალებადობის კოეფიციენტი ტოლია სტანდარტული გადახრის გაყოფა არითმეტიკული საშუალოზე და გამრავლებული 100%-ზე:

სად ს- სტანდარტული ნიმუშის გადახრა, - ნიმუში საშუალო.

ცვალებადობის კოეფიციენტი საშუალებას გაძლევთ შეადაროთ ორი ნიმუში, რომელთა ელემენტები გამოხატულია სხვადასხვა საზომი ერთეულებით. მაგალითად, ფოსტის მიწოდების სერვისის მენეჯერი აპირებს განაახლოს სატვირთო მანქანების ფლოტი. პაკეტების ჩატვირთვისას გასათვალისწინებელია ორი შეზღუდვა: თითოეული პაკეტის წონა (ფუნტებში) და მოცულობა (კუბურ ფუტებში). დავუშვათ, რომ ნიმუშში, რომელიც შეიცავს 200 ჩანთას, საშუალო წონაა 26.0 ფუნტი, წონის სტანდარტული გადახრა არის 3.9 ფუნტი, ტომრის საშუალო მოცულობა არის 8.8 კუბური ფუტი და მოცულობის სტანდარტული გადახრა არის 2.2 კუბური ფუტი. როგორ შევადაროთ პაკეტების წონისა და მოცულობის ცვალებადობა?

ვინაიდან წონისა და მოცულობის საზომი ერთეულები განსხვავდება ერთმანეთისგან, მენეჯერმა უნდა შეადაროს ამ რაოდენობების შედარებითი გავრცელება. წონის ცვალებადობის კოეფიციენტი არის CV W = 3.9 / 26.0 * 100% = 15%, ხოლო მოცულობის ცვალებადობის კოეფიციენტი არის CV V = 2.2 / 8.8 * 100% = 25%. ამრიგად, პაკეტების მოცულობის ფარდობითი ცვალებადობა გაცილებით მეტია, ვიდრე მათი წონის ფარდობითი ცვალებადობა.

განაწილების ფორმა

ნიმუშის მესამე მნიშვნელოვანი თვისებაა მისი განაწილების ფორმა. ეს განაწილება შეიძლება იყოს სიმეტრიული ან ასიმეტრიული. განაწილების ფორმის აღსაწერად აუცილებელია მისი საშუალო და მედიანას გამოთვლა. თუ ეს ორი ერთნაირია, ცვლადი ითვლება სიმეტრიულად განაწილებულად. თუ ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა საშუალოზე მეტია, მის განაწილებას აქვს დადებითი დახრილობა (ნახ. 10). თუ მედიანა საშუალოზე მეტია, ცვლადის განაწილება უარყოფითად არის დახრილი. დადებითი დახრილობა ხდება მაშინ, როდესაც საშუალო იზრდება უჩვეულოდ მაღალ მნიშვნელობებამდე. უარყოფითი დახრილობა ხდება მაშინ, როდესაც საშუალო მცირდება უჩვეულოდ მცირე მნიშვნელობებამდე. ცვლადი სიმეტრიულად ნაწილდება, თუ ის არ იღებს რაიმე უკიდურეს მნიშვნელობებს არც ერთი მიმართულებით, ისე რომ ცვლადის დიდი და მცირე მნიშვნელობები გააუქმოს ერთმანეთს.

ბრინჯი. 10. განაწილების სამი ტიპი

A სკალაზე ნაჩვენები მონაცემები უარყოფითია. ეს ფიგურა აჩვენებს გრძელ კუდს და მარცხნივ დახრილობას, რომელიც გამოწვეულია უჩვეულოდ მცირე მნიშვნელობების არსებობით. ეს უკიდურესად მცირე მნიშვნელობები ცვლის საშუალო მნიშვნელობას მარცხნივ, რაც მას მედიანაზე ნაკლებს ხდის. B სკალაზე ნაჩვენები მონაცემები ნაწილდება სიმეტრიულად. განაწილების მარცხენა და მარჯვენა ნახევარი საკუთარი თავის სარკისებური გამოსახულებაა. დიდი და პატარა მნიშვნელობები ერთმანეთს აბალანსებს, საშუალო და მედიანა თანაბარია. B სკალაზე ნაჩვენები მონაცემები დადებითად არის დამახინჯებული. ეს ფიგურა გვიჩვენებს გრძელი კუდი და მარჯვნივ გადახრილობა, რომელიც გამოწვეულია უჩვეულოდ მაღალი მნიშვნელობების არსებობით. ეს ძალიან დიდი მნიშვნელობები ცვლის საშუალოს მარჯვნივ, რაც მას უფრო დიდს ხდის ვიდრე მედიანა.

Excel-ში აღწერითი სტატისტიკის მიღება შესაძლებელია დანამატის გამოყენებით ანალიზის პაკეტი. გაიარეთ მენიუ მონაცემები → Მონაცემთა ანალიზი, ფანჯარაში, რომელიც იხსნება, აირჩიეთ ხაზი Აღწერითი სტატისტიკადა დააწკაპუნეთ Კარგი. ფანჯარაში Აღწერითი სტატისტიკააუცილებლად მიუთითეთ შეყვანის ინტერვალი(სურ. 11). თუ გსურთ იხილოთ აღწერილობითი სტატისტიკა იმავე ფურცელზე, როგორც ორიგინალი მონაცემები, აირჩიეთ რადიო ღილაკი გამომავალი ინტერვალიდა მიუთითეთ უჯრედი, სადაც უნდა განთავსდეს ნაჩვენები სტატისტიკის ზედა მარცხენა კუთხე (ჩვენს მაგალითში $C$1). თუ გსურთ მონაცემების გამოტანა ახალ ფურცელზე ან ახალ სამუშაო წიგნში, უბრალოდ უნდა აირჩიოთ შესაბამისი რადიო ღილაკი. შეამოწმეთ ყუთი გვერდით შემაჯამებელი სტატისტიკა. სურვილის შემთხვევაში, შეგიძლიათ აირჩიოთ Რთული ტური,kth ყველაზე პატარა დაkth უდიდესი.

თუ დეპოზიტზეა მონაცემებიტერიტორიაზე ანალიზითქვენ ვერ ხედავთ ხატს Მონაცემთა ანალიზი, ჯერ დანამატი უნდა დააინსტალიროთ ანალიზის პაკეტი(იხილეთ, მაგალითად,).

ბრინჯი. 11. რისკის ძალიან მაღალი დონის მქონე სახსრების ხუთწლიანი საშუალო წლიური შემოსავლის აღწერითი სტატისტიკა, გამოთვლილი დანამატის გამოყენებით Მონაცემთა ანალიზი Excel პროგრამები

Excel ითვლის ზემოთ განხილული სტატისტიკის რაოდენობას: საშუალო, მედიანა, რეჟიმი, სტანდარტული გადახრა, ვარიაცია, დიაპაზონი ( ინტერვალი), მინიმალური, მაქსიმალური და ნიმუშის ზომა ( ჩეკი). Excel ასევე ითვლის რამდენიმე სტატისტიკას, რომელიც ჩვენთვის ახალია: სტანდარტული შეცდომა, კრუნჩხვა და დახრილობა. Სტანდარტული შეცდომაუდრის სტანდარტული გადახრის გაყოფა ნიმუშის ზომის კვადრატულ ფესვზე. ასიმეტრიაახასიათებს გადახრას განაწილების სიმეტრიიდან და არის ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია ნიმუშის ელემენტებსა და საშუალო მნიშვნელობას შორის განსხვავებების კუბზე. კურტოზი არის მონაცემთა ფარდობითი კონცენტრაციის საზომი საშუალოს ირგვლივ განაწილების კუდებთან შედარებით და დამოკიდებულია განსხვავებაზე ნიმუშის ელემენტებსა და მეოთხე ხარისხზე ამაღლებულ საშუალოს შორის.

მოსახლეობის აღწერითი სტატისტიკის გამოთვლა

ზემოთ განხილული განაწილების საშუალო, გავრცელება და ფორმა არის ნიმუშიდან განსაზღვრული მახასიათებლები. თუმცა, თუ მონაცემთა ნაკრები შეიცავს მთელი პოპულაციის რიცხვით გაზომვებს, მისი პარამეტრები შეიძლება გამოითვალოს. ასეთი პარამეტრები მოიცავს პოპულაციის მოსალოდნელ მნიშვნელობას, დისპერსიას და სტანდარტულ გადახრას.

Მოსალოდნელი ღირებულებაუდრის პოპულაციაში ყველა მნიშვნელობის ჯამს გაყოფილი პოპულაციის ზომაზე:

სად µ - მოსალოდნელი ღირებულება, Xმე- მეცვლადის დაკვირვება X, ნ- საერთო მოსახლეობის მოცულობა. Excel-ში მათემატიკური მოლოდინის გამოსათვლელად გამოიყენება იგივე ფუნქცია, რაც საშუალო არითმეტიკისთვის: =AVERAGE().

პოპულაციის ვარიაციასაერთო პოპულაციის ელემენტებსა და მატას შორის განსხვავებების კვადრატების ჯამის ტოლია. მოლოდინი გაყოფილი მოსახლეობის რაოდენობაზე:

სად σ 2- საერთო მოსახლეობის დისპერსია. Excel-ში 2007 ვერსიამდე, ფუნქცია =VARP() გამოიყენება პოპულაციის დისპერსიის გამოსათვლელად, დაწყებული 2010 ვერსიით =VARP().

მოსახლეობის სტანდარტული გადახრაპოპულაციის ვარიაციის კვადრატული ფესვის ტოლი:

Excel-ში 2007 ვერსიამდე, =STDEV() ფუნქცია გამოიყენება პოპულაციის სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად, დაწყებული ვერსიით 2010 =STDEV.Y(). გაითვალისწინეთ, რომ პოპულაციის დისპერსიისა და სტანდარტული გადახრის ფორმულები განსხვავდება ნიმუშის დისპერსიისა და სტანდარტული გადახრის გამოთვლის ფორმულებისგან. ნიმუშის სტატისტიკის გაანგარიშებისას S 2და სწილადის მნიშვნელი არის n – 1და პარამეტრების გაანგარიშებისას σ 2და σ - საერთო მოსახლეობის მოცულობა ნ.

Ემპირიული წესი

უმეტეს სიტუაციებში, დაკვირვებების დიდი ნაწილი კონცენტრირებულია მედიანის გარშემო და ქმნის კლასტერს. დადებითი დახრილობის მქონე მონაცემთა ნაკრებებში ეს კლასტერი მდებარეობს მათემატიკური მოლოდინის მარცხნივ (ე. სიმეტრიული მონაცემებისთვის, საშუალო და მედიანა იგივეა, და დაკვირვებები გროვდება საშუალოზე და ქმნის ზარის ფორმის განაწილებას. თუ განაწილება არ არის მკაფიოდ დახრილი და მონაცემები კონცენტრირებულია სიმძიმის ცენტრის ირგვლივ, ცვალებადობის შესაფასებლად გამოყენებული წესია ის, რომ თუ მონაცემებს აქვს ზარის ფორმის განაწილება, მაშინ დაკვირვებების დაახლოებით 68% შედის მოსალოდნელი მნიშვნელობის ერთი სტანდარტული გადახრა.დაკვირვებების დაახლოებით 95% არის არაუმეტეს ორი სტანდარტული გადახრისაგან დაშორებული მათემატიკური მოლოდინისგან და დაკვირვებების 99.7% არაუმეტეს სამი სტანდარტული გადახრისა დაშორებულია მათემატიკური მოლოდინისგან.

ამრიგად, სტანდარტული გადახრა, რომელიც არის საშუალო ცვალებადობის შეფასება მოსალოდნელი მნიშვნელობის ირგვლივ, გვეხმარება იმის გაგებაში, თუ როგორ არის განაწილებული დაკვირვებები და გამოკვეთილების იდენტიფიცირება. პრაქტიკული წესი არის ის, რომ ზარის ფორმის განაწილებისთვის, ოციდან მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისგან ორზე მეტი სტანდარტული გადახრით. ამიტომ, მნიშვნელობები ინტერვალის გარეთ μ ± 2σ, შეიძლება ჩაითვალოს გარედან. გარდა ამისა, 1000 დაკვირვებიდან მხოლოდ სამი განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისგან სამზე მეტი სტანდარტული გადახრით. ამრიგად, მნიშვნელობები ინტერვალის გარეთ μ ± 3σთითქმის ყოველთვის გამოკვეთილია. განაწილებისთვის, რომლებიც ძალიან დახრილია ან ზარის ფორმის გარეშე, შეიძლება გამოყენებულ იქნას Bienamay-Chebyshev ცერის წესი.

ასზე მეტი წლის წინ მათემატიკოსებმა ბიენამაიმ და ჩებიშევმა დამოუკიდებლად აღმოაჩინეს სტანდარტული გადახრის სასარგებლო თვისება. მათ აღმოაჩინეს, რომ ნებისმიერი მონაცემთა ნაკრებისთვის, განურჩევლად განაწილების ფორმისა, დაკვირვების პროცენტი, რომელიც მდებარეობს მანძილზე კსტანდარტული გადახრები მათემატიკური მოლოდინიდან, არანაკლებ (1 – 1/ k 2)*100%.

მაგალითად, თუ კ= 2, ბიენამე-ჩებიშევის წესი ამბობს, რომ მინიმუმ (1 – (1/2) 2) x 100% = 75% დაკვირვებები უნდა იყოს ინტერვალში. μ ± 2σ. ეს წესი მართალია ნებისმიერისთვის კერთზე მეტი. Bienamay-Chebyshev წესი ძალიან ზოგადია და მოქმედებს ნებისმიერი ტიპის განაწილებისთვის. იგი განსაზღვრავს დაკვირვებების მინიმალურ რაოდენობას, საიდანაც მათემატიკური მოლოდინის მანძილი არ აღემატება მითითებულ მნიშვნელობას. თუმცა, თუ განაწილება ზარის ფორმისაა, ცერის წესი უფრო ზუსტად აფასებს მონაცემთა კონცენტრაციას მოსალოდნელი მნიშვნელობის გარშემო.

აღწერითი სტატისტიკის გაანგარიშება სიხშირეზე დაფუძნებული განაწილებისთვის

თუ ორიგინალური მონაცემები არ არის ხელმისაწვდომი, სიხშირის განაწილება ხდება ინფორმაციის ერთადერთი წყარო. ასეთ სიტუაციებში შესაძლებელია განაწილების რაოდენობრივი მაჩვენებლების სავარაუდო მნიშვნელობების გამოთვლა, როგორიცაა საშუალო არითმეტიკული, სტანდარტული გადახრა და კვარტილები.

თუ ნიმუშის მონაცემები წარმოდგენილია სიხშირის განაწილების სახით, საშუალო არითმეტიკული მიახლოება შეიძლება გამოითვალოს იმ დაშვებით, რომ თითოეული კლასის ყველა მნიშვნელობა კონცენტრირებულია კლასის შუა წერტილში:

სად - ნიმუში საშუალო, ნ- დაკვირვებების რაოდენობა ან ნიმუშის ზომა, თან- კლასების რაოდენობა სიხშირის განაწილებაში, მ ჯ- შუა წერტილი ჯე კლასი, ვჯ- შესაბამისი სიხშირე ჯ-მე კლასი.

სიხშირის განაწილებიდან სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად, ასევე ვარაუდობენ, რომ თითოეული კლასის ყველა მნიშვნელობა კონცენტრირებულია კლასის შუა წერტილში.

იმის გასაგებად, თუ როგორ განისაზღვრება სერიის კვარტილები სიხშირეებზე დაყრდნობით, განვიხილოთ ქვედა კვარტილის გაანგარიშება 2013 წლის მონაცემების საფუძველზე რუსეთის მოსახლეობის განაწილების შესახებ ერთ სულ მოსახლეზე საშუალო ფულადი შემოსავლის მიხედვით (ნახ. 12).

ბრინჯი. 12. რუსეთის მოსახლეობის წილი ერთ სულ მოსახლეზე საშუალო ფულადი შემოსავლით თვეში, რუბლი

ინტერვალის ვარიაციის სერიის პირველი მეოთხედის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

სადაც Q1 არის პირველი მეოთხედის მნიშვნელობა, xQ1 არის პირველი მეოთხედის შემცველი ინტერვალის ქვედა ზღვარი (ინტერვალი განისაზღვრება დაგროვილი სიხშირით, რომელიც პირველად აღემატება 25%); i – ინტერვალის მნიშვნელობა; Σf – მთელი ნიმუშის სიხშირეების ჯამი; ალბათ ყოველთვის უდრის 100%-ს; SQ1–1 – ქვედა კვარტილის შემცველი ინტერვალის წინა ინტერვალის დაგროვილი სიხშირე; fQ1 - ქვედა კვარტილის შემცველი ინტერვალის სიხშირე. მესამე კვარტილის ფორმულა განსხვავდება იმით, რომ ყველა ადგილას თქვენ უნდა გამოიყენოთ Q3 ნაცვლად Q1 და ჩაანაცვლოთ ¾ ¼-ის ნაცვლად.

ჩვენს მაგალითში (სურ. 12) ქვედა კვარტლი არის 7000,1 – 10,000 დიაპაზონში, რომლის დაგროვილი სიხშირე არის 26,4%. ამ ინტერვალის ქვედა ზღვარი არის 7000 რუბლი, ინტერვალის ღირებულებაა 3000 რუბლი, ქვედა კვარტილის შემცველი ინტერვალის წინა ინტერვალის დაგროვილი სიხშირე არის 13,4%, ქვედა მეოთხედის შემცველი ინტერვალის სიხშირე 13,0%. ამრიგად: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 = 9677 რუბლი.

ხაფანგები ასოცირებული აღწერით სტატისტიკასთან

ამ პოსტში ჩვენ განვიხილეთ, თუ როგორ უნდა აღვწეროთ მონაცემთა ნაკრები სხვადასხვა სტატისტიკის გამოყენებით, რომელიც აფასებს მის საშუალოს, გავრცელებას და განაწილებას. შემდეგი ნაბიჯი არის მონაცემთა ანალიზი და ინტერპრეტაცია. აქამდე ჩვენ შევისწავლეთ მონაცემთა ობიექტური თვისებები და ახლა გადავდივართ მათ სუბიექტურ ინტერპრეტაციაზე. მკვლევარი ორი შეცდომის წინაშე დგას: არასწორად შერჩეული ანალიზის საგანი და შედეგების არასწორი ინტერპრეტაცია.

15 ძალიან მაღალი რისკის ურთიერთდახმარების ფონდის ანაზღაურების ანალიზი საკმაოდ მიუკერძოებელია. მან მიიყვანა სრულიად ობიექტური დასკვნები: ყველა ურთიერთდახმარების ფონდს აქვს განსხვავებული ანაზღაურება, ფონდის ანაზღაურების გავრცელება მერყეობს -6,1-დან 18,5-მდე, ხოლო საშუალო ანაზღაურება არის 6,08. მონაცემთა ანალიზის ობიექტურობას უზრუნველყოფს განაწილების შემაჯამებელი რაოდენობრივი მაჩვენებლების სწორი არჩევანი. განხილული იყო მონაცემთა საშუალო და გაფანტვის შეფასების რამდენიმე მეთოდი და მითითებული იყო მათი დადებითი და უარყოფითი მხარეები. როგორ ირჩევთ სწორ სტატისტიკას ობიექტური და მიუკერძოებელი ანალიზისთვის? თუ მონაცემთა განაწილება ოდნავ დახრილია, უნდა აირჩიოთ მედიანა და არა საშუალო? რომელი ინდიკატორი უფრო ზუსტად ახასიათებს მონაცემთა გავრცელებას: სტანდარტული გადახრა თუ დიაპაზონი? უნდა აღვნიშნოთ, რომ განაწილება დადებითად არის დახრილი?

მეორე მხრივ, მონაცემთა ინტერპრეტაცია სუბიექტური პროცესია. ერთი და იგივე შედეგების ინტერპრეტაციისას სხვადასხვა ადამიანი სხვადასხვა დასკვნამდე მიდის. ყველას თავისი თვალსაზრისი აქვს. ვიღაც 15 ფონდის ჯამური საშუალო წლიური შემოსავალი მიაჩნია ძალიან მაღალი რისკის დონეს კარგად და საკმაოდ კმაყოფილია მიღებული შემოსავლით. სხვებმა შეიძლება იგრძნონ, რომ ამ სახსრებს ძალიან დაბალი ანაზღაურება აქვს. ამრიგად, სუბიექტურობა უნდა ანაზღაურდეს გულწრფელობით, ნეიტრალიტეტით და დასკვნების სიცხადით.

ეთიკური საკითხები

მონაცემთა ანალიზი განუყოფლად არის დაკავშირებული ეთიკურ საკითხებთან. თქვენ უნდა იყოთ კრიტიკული გაზეთების, რადიოს, ტელევიზიის და ინტერნეტის მიერ გავრცელებული ინფორმაციის მიმართ. დროთა განმავლობაში ისწავლით სკეპტიკურად იყოთ არა მხოლოდ შედეგების, არამედ კვლევის მიზნების, საგანისა და ობიექტურობის მიმართ. ცნობილმა ბრიტანელმა პოლიტიკოსმა ბენჯამინ დიზრაელმა ეს ყველაზე კარგად თქვა: ”არსებობს სამი სახის ტყუილი: ტყუილი, დაწყევლილი ტყუილი და სტატისტიკა”.

როგორც შენიშვნაშია აღნიშნული, ეთიკური საკითხები ჩნდება იმ შედეგების არჩევისას, რომლებიც უნდა იყოს წარმოდგენილი ანგარიშში. უნდა გამოქვეყნდეს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი შედეგები. გარდა ამისა, ანგარიშის ან წერილობითი ანგარიშის შედგენისას, შედეგები უნდა იყოს წარმოდგენილი პატიოსნად, ნეიტრალურად და ობიექტურად. არსებობს განსხვავება წარუმატებელ და არაკეთილსინდისიერ პრეზენტაციებს შორის. ამისათვის აუცილებელია განვსაზღვროთ რა იყო მოსაუბრეს განზრახვები. ხანდახან მოსაუბრე გამოტოვებს მნიშვნელოვან ინფორმაციას უცოდინრობის გამო, ზოგჯერ კი მიზანმიმართულად (მაგალითად, თუ ის იყენებს არითმეტიკულ საშუალოს მკაფიოდ დახრილი მონაცემების საშუალო შესაფასებლად სასურველი შედეგის მისაღებად). ასევე არაკეთილსინდისიერია შედეგების ჩახშობა, რომელიც არ შეესაბამება მკვლევარის თვალსაზრისს.

გამოყენებულია მასალები წიგნიდან Levin et al.. სტატისტიკა მენეჯერებისთვის. – M.: Williams, 2004. – გვ. 178–209 წწ

QUARTILE ფუნქცია შენარჩუნებულია Excel-ის წინა ვერსიებთან თავსებადობისთვის.

ყველაზე მეტად ეკვ. პრაქტიკაში უნდა გამოვიყენოთ საშუალო არითმეტიკული, რომელიც შეიძლება გამოვთვალოთ როგორც მარტივი და შეწონილი არითმეტიკული საშუალო.

საშუალო არითმეტიკული (SA)-ნყველაზე გავრცელებული ტიპი საშუალო. იგი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც მთელი მოსახლეობისთვის განსხვავებული მახასიათებლის მოცულობა არის მისი ცალკეული ერთეულების მახასიათებლების მნიშვნელობების ჯამი. სოციალურ ფენომენებს ახასიათებს სხვადასხვა მახასიათებლის მოცულობის დანამატები (მთლიანობა), ეს განსაზღვრავს SA-ს გამოყენების ფარგლებს და ხსნის მის გავრცელებას, როგორც ზოგად ინდიკატორს. მაგალითად: საერთო სახელფასო ფონდი არის ყველა დასაქმებულის ხელფასის ჯამი.

SA-ს გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაყოთ ყველა მახასიათებლის მნიშვნელობის ჯამი მათი რიცხვით. SA გამოიყენება 2 ფორმით.

ჯერ განვიხილოთ მარტივი არითმეტიკული საშუალო.

1-CA მარტივი (საწყისი, განმსაზღვრელი ფორმა) უდრის საშუალოდ მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების მარტივ ჯამს, გაყოფილი ამ მნიშვნელობების მთლიან რაოდენობაზე (გამოიყენება, როდესაც არსებობს მახასიათებლის არაჯგუფური ინდექსის მნიშვნელობები):

მიღებული გამოთვლები შეიძლება განზოგადდეს შემდეგ ფორმულაში:

(1)

სად - ცვალებადი მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობა, ანუ მარტივი საშუალო არითმეტიკული;

ნიშნავს შეჯამებას, ანუ ინდივიდუალური მახასიათებლების დამატებას;

x- განსხვავებული მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობები, რომლებსაც უწოდებენ ვარიანტებს;

ნ - მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა

მაგალითი 1,საჭიროა ერთი მუშის (მექანიკოსის) საშუალო გამომუშავების პოვნა, თუ ცნობილია 15 მუშადან თითოეულმა რამდენი ნაწილი გამოუშვა, ე.ი. მოცემული სერია ინდ. ატრიბუტების მნიშვნელობები, ც.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

მარტივი SA გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით (1), ც.:

მაგალითი 2. გამოვთვალოთ SA სავაჭრო კომპანიაში შემავალი 20 მაღაზიის პირობითი მონაცემების საფუძველზე (ცხრილი 1). ცხრილი 1

სავაჭრო კომპანია „ვესნას“ მაღაზიების განაწილება სარეალიზაციო უბნების მიხედვით, კვ. მ

მაღაზია No.		მაღაზია No.

მაღაზიის საშუალო ფართობის გამოსათვლელად ( ) აუცილებელია ყველა მაღაზიის ფართობის შეკრება და მიღებული შედეგის გაყოფა მაღაზიების რაოდენობაზე:

ამრიგად, საცალო ვაჭრობის ამ ჯგუფის საწარმოების საშუალო მაღაზიის ფართობი შეადგენს 71 კვ.მ.

ამიტომ, მარტივი SA-ის დასადგენად, თქვენ უნდა გაყოთ მოცემული ატრიბუტის ყველა მნიშვნელობის ჯამი ამ ატრიბუტის მქონე ერთეულების რაოდენობაზე.

2

სად ვ 1 , ვ 2 , … ,ვ ნ – წონა (იდენტური ნიშნების გამეორების სიხშირე);

– თვისებების სიდიდისა და მათი სიხშირეების პროდუქციის ჯამი;

– მოსახლეობის ერთეულების საერთო რაოდენობა.

- SA შეწონილი - თანვარიანტების შუა რიცხვები, რომლებიც განსხვავებულად მეორდება, ან, როგორც ამბობენ, განსხვავებული წონა აქვთ. წონები არის ერთეულების რაოდენობა მოსახლეობის სხვადასხვა ჯგუფში (იდენტური ვარიანტები გაერთიანებულია ჯგუფში). SA შეწონილი – დაჯგუფებული მნიშვნელობების საშუალო x 1 , x 2 , .., x n, – გათვლილი: (2)

სად X- პარამეტრები;

ვ- სიხშირე (წონა).

შეწონილი SA არის კოეფიციენტი, რომელიც გაყოფს ოფციონების პროდუქტთა ჯამი და მათი შესაბამისი სიხშირეები ყველა სიხშირის ჯამზე. სიხშირეები ( ვ) SA ფორმულაში გამოჩენილ ჩვეულებრივ უწოდებენ სასწორები, რის შედეგადაც წონების გათვალისწინებით გამოთვლილ SA ეწოდება შეწონილი.

ზემოთ განხილული მაგალითი 1-ის გამოყენებით ილუსტრირებთ შეწონილი SA-ის გამოთვლის ტექნიკას.ამისთვის დავაჯგუფებთ საწყის მონაცემებს და მოვათავსებთ ცხრილში.

დაჯგუფებული მონაცემების საშუალო მაჩვენებელი განისაზღვრება შემდეგნაირად: ჯერ ოფციონები მრავლდება სიხშირეებზე, შემდეგ ემატება პროდუქცია და მიღებული ჯამი იყოფა სიხშირეების ჯამზე.

ფორმულის მიხედვით (2), შეწონილი SA ტოლია, ც.:

მუშაკთა განაწილება ნაწილების წარმოებისთვის

პ

წინა მაგალითში 2 წარმოდგენილი მონაცემები შეიძლება გაერთიანდეს ერთგვაროვან ჯგუფებად, რომლებიც წარმოდგენილია ცხრილში. მაგიდა

ვესნას მაღაზიების განაწილება გაყიდვების ზონის მიხედვით, კვ. მ

ამრიგად, შედეგი იგივე იყო. თუმცა, ეს უკვე იქნება შეწონილი არითმეტიკული საშუალო მნიშვნელობა.

წინა მაგალითში ჩვენ გამოვთვალეთ საშუალო არითმეტიკული იმ პირობით, რომ აბსოლუტური სიხშირეები (საწყობების რაოდენობა) ცნობილია. თუმცა, რიგ შემთხვევებში, აბსოლუტური სიხშირეები არ არსებობს, მაგრამ ფარდობითი სიხშირეები ცნობილია, ან, როგორც მათ ჩვეულებრივ უწოდებენ, სიხშირეები, რომლებიც აჩვენებენ პროპორციას ანსიხშირეების პროპორცია მთელ კომპლექტში.

SA შეწონილი გამოყენების გაანგარიშებისას სიხშირეებისაშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ გამოთვლები, როდესაც სიხშირე გამოიხატება დიდი, მრავალნიშნა რიცხვებით. გაანგარიშება ხდება ანალოგიურად, თუმცა, რადგან საშუალო მნიშვნელობა 100-ჯერ გაიზარდა, შედეგი უნდა გაიყოს 100-ზე.

შემდეგ არითმეტიკული შეწონილი საშუალო ფორმულა ასე გამოიყურება:

სად დ- სიხშირე, ე.ი. თითოეული სიხშირის წილი ყველა სიხშირის ჯამში.

(3)

ჩვენს მაგალითში 2, ჩვენ პირველად განვსაზღვრავთ მაღაზიების წილს ჯგუფის მიხედვით კომპანია Vesna-ს მაღაზიების მთლიან რაოდენობაში. ასე რომ, პირველი ჯგუფისთვის ხვედრითი წონა შეესაბამება 10%-ს.
. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მონაცემებს ცხრილი3

საშუალო მნიშვნელობები ეხება ზოგად სტატისტიკურ მაჩვენებლებს, რომლებიც უზრუნველყოფენ მასობრივი სოციალური ფენომენების შემაჯამებელ (საბოლოო) მახასიათებლებს, რადგან ისინი აგებულია განსხვავებული მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების დიდი რაოდენობის საფუძველზე. საშუალო მნიშვნელობის არსის გასარკვევად, აუცილებელია გავითვალისწინოთ იმ ფენომენების ნიშნების მნიშვნელობების ფორმირების თავისებურებები, რომელთა მონაცემების მიხედვით გამოითვლება საშუალო მნიშვნელობა.

ცნობილია, რომ თითოეული მასის ფენომენის ერთეულებს მრავალი მახასიათებელი აქვს. ამ მახასიათებლიდან რომელს ავიღოთ, მისი მნიშვნელობები განსხვავებული იქნება ცალკეული ერთეულებისთვის; ისინი იცვლება, ან, როგორც სტატისტიკაში ამბობენ, განსხვავდება ერთი ერთეულიდან მეორეში. მაგალითად, თანამშრომლის ხელფასი განისაზღვრება მისი კვალიფიკაციით, სამუშაო ხასიათით, სტაჟით და რიგი სხვა ფაქტორებით და, შესაბამისად, მერყეობს ძალიან ფართო საზღვრებში. ყველა ფაქტორის ერთობლივი გავლენა განსაზღვრავს თითოეული დასაქმებულის შემოსავლის ოდენობას, თუმცა შეგვიძლია ვისაუბროთ ეკონომიკის სხვადასხვა სექტორში დასაქმებულთა საშუალო თვიურ ხელფასზე. აქ ჩვენ ვმუშაობთ სხვადასხვა მახასიათებლის ტიპიური, დამახასიათებელი მნიშვნელობით, რომელიც ენიჭება დიდი პოპულაციის ერთეულს.

საშუალო მნიშვნელობა ასახავს ამას გენერალი,რაც დამახასიათებელია შესწავლილი მოსახლეობის ყველა ერთეულისთვის. ამავდროულად, იგი აბალანსებს მოსახლეობის ცალკეული ერთეულების მახასიათებლებზე მოქმედი ყველა ფაქტორების გავლენას, თითქოს ურთიერთჩაქრობს მათ. ნებისმიერი სოციალური ფენომენის დონე (ან ზომა) განისაზღვრება ორი ჯგუფის ფაქტორების მოქმედებით. ზოგიერთი მათგანი ზოგადი და ძირითადია, მუდმივად მოქმედებს, მჭიდროდ არის დაკავშირებული შესწავლილი ფენომენის ან პროცესის ბუნებასთან და ქმნის ტიპიურიშესწავლილი მოსახლეობის ყველა ერთეულისთვის, რაც აისახება საშუალო მნიშვნელობაზე. სხვები არიან ინდივიდუალური,მათი ეფექტი ნაკლებად გამოხატულია და არის ეპიზოდური, შემთხვევითი. ისინი მოქმედებენ საპირისპირო მიმართულებით, იწვევენ განსხვავებებს მოსახლეობის ცალკეული ერთეულების რაოდენობრივ მახასიათებლებს შორის, ცდილობენ შეცვალონ შესასწავლი მახასიათებლების მუდმივი მნიშვნელობა. ინდივიდუალური მახასიათებლების ეფექტი ქრება საშუალო მნიშვნელობაში. ტიპიური და ინდივიდუალური ფაქტორების კომბინირებული გავლენის დროს, რომელიც დაბალანსებულია და ურთიერთგადაუქმებულია ზოგად მახასიათებლებში, მათემატიკური სტატისტიკიდან ცნობილი ფუნდამენტური პრინციპი ვლინდება ზოგადი ფორმით. დიდი რიცხვების კანონი.

მთლიანობაში, მახასიათებლების ინდივიდუალური მნიშვნელობები ერწყმის საერთო მასას და, როგორც იქნა, იშლება. აქედან გამომდინარე საშუალო ღირებულებამოქმედებს, როგორც „უპიროვნო“, რომელსაც შეუძლია გადაუხვიოს მახასიათებლების ინდივიდუალური მნიშვნელობებიდან რომელიმე მათგანთან რაოდენობრივად დამთხვევის გარეშე. საშუალო მნიშვნელობა ასახავს ზოგადს, დამახასიათებელს და ტიპურს მთელი პოპულაციისთვის, მასში შემთხვევითი, ატიპიური განსხვავებების ორმხრივი გაუქმების გამო მისი ცალკეული ერთეულების მახასიათებლებს შორის, რადგან მისი ღირებულება განისაზღვრება თითქოს ყველა მიზეზის საერთო შედეგით.

თუმცა, იმისათვის, რომ საშუალო მნიშვნელობა ასახავდეს მახასიათებლის ყველაზე ტიპურ მნიშვნელობას, ის არ უნდა განისაზღვროს რომელიმე პოპულაციისთვის, არამედ მხოლოდ ხარისხობრივად ერთგვაროვანი ერთეულებისგან შემდგარი პოპულაციებისთვის. ეს მოთხოვნა არის საშუალოების მეცნიერულად დასაბუთებული გამოყენების მთავარი პირობა და გულისხმობს მჭიდრო კავშირს საშუალოების მეთოდსა და დაჯგუფების მეთოდს შორის სოციალურ-ეკონომიკური ფენომენების ანალიზში. შესაბამისად, საშუალო მნიშვნელობა არის ზოგადი ინდიკატორი, რომელიც ახასიათებს ცვალებად მახასიათებლის ტიპურ დონეს ჰომოგენური პოპულაციის ერთეულზე კონკრეტული ადგილისა და დროის პირობებში.

ამგვარად, საშუალო მნიშვნელობების არსის განსაზღვრისას, აუცილებელია ხაზი გავუსვა, რომ ნებისმიერი საშუალო მნიშვნელობის სწორი გამოთვლა გულისხმობს შემდეგი მოთხოვნების შესრულებას:

• პოპულაციის ხარისხობრივი ჰომოგენურობა, საიდანაც გამოითვლება საშუალო მნიშვნელობა. ეს ნიშნავს, რომ საშუალო მნიშვნელობების გამოთვლა უნდა ეფუძნებოდეს დაჯგუფების მეთოდს, რომელიც უზრუნველყოფს ერთგვაროვანი, მსგავსი ფენომენების იდენტიფიცირებას;
• შემთხვევითი, წმინდად ინდივიდუალური მიზეზებისა და ფაქტორების გავლენის გამოკლებით საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლაზე. ეს მიიღწევა იმ შემთხვევაში, როდესაც საშუალოს გამოთვლა ეფუძნება საკმარისად მასიურ მასალას, რომელშიც ვლინდება დიდი რიცხვების კანონის მოქმედება და ყველა შემთხვევითობა ქრება;
• საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლისას მნიშვნელოვანია მისი გამოთვლის მიზნის დადგენა და ე.წ. განმსაზღვრელი მაჩვენებელი(საკუთრება), რომელზეც უნდა იყოს ორიენტირებული.

განმსაზღვრელი მაჩვენებელი შეიძლება იმოქმედოს როგორც საშუალო მახასიათებლის მნიშვნელობების ჯამი, მისი შებრუნებული მნიშვნელობების ჯამი, მისი მნიშვნელობების ნამრავლი და ა.შ. თუ საშუალოდ შეფასებული მახასიათებლის ყველა მნიშვნელობა შეიცვლება საშუალო მნიშვნელობით, მაშინ მათი ჯამი ან პროდუქტი ამ შემთხვევაში არ შეცვლის განმსაზღვრელ მაჩვენებელს. განმსაზღვრელ ინდიკატორსა და საშუალო მნიშვნელობას შორის ამ კავშირის საფუძველზე აგებულია საწყისი რაოდენობრივი კავშირი საშუალო მნიშვნელობის პირდაპირი გამოთვლისთვის. საშუალო მნიშვნელობების უნარი შეინარჩუნოს სტატისტიკური პოპულაციების თვისებები ქონების განსაზღვრა.

მთლიანი მოსახლეობისთვის გამოთვლილ საშუალო მნიშვნელობას ე.წ ზოგადი საშუალო;თითოეული ჯგუფისთვის გამოთვლილი საშუალო მნიშვნელობები - ჯგუფის საშუალო მაჩვენებლები.ზოგადი საშუალო ასახავს შესწავლილი ფენომენის ზოგად მახასიათებლებს, ჯგუფური საშუალო იძლევა ფენომენის მახასიათებელს, რომელიც ვითარდება მოცემული ჯგუფის სპეციფიკურ პირობებში.

გაანგარიშების მეთოდები შეიძლება განსხვავებული იყოს, ამიტომ სტატისტიკაში არსებობს რამდენიმე ტიპის საშუალო, რომელთაგან მთავარია საშუალო არითმეტიკული, ჰარმონიული საშუალო და გეომეტრიული საშუალო.

ეკონომიკურ ანალიზში საშუალოების გამოყენება არის მთავარი ინსტრუმენტი სამეცნიერო და ტექნოლოგიური პროგრესის შედეგების, სოციალური მოვლენების შესაფასებლად და ეკონომიკური განვითარების რეზერვების მოსაძებნად. ამავე დროს, უნდა გვახსოვდეს, რომ საშუალო ინდიკატორებზე გადაჭარბებულმა დამოკიდებულებამ შეიძლება გამოიწვიოს მიკერძოებული დასკვნები ეკონომიკური და სტატისტიკური ანალიზის ჩატარებისას. ეს იმის გამო ხდება, რომ საშუალო მნიშვნელობები, როგორც ზოგადი მაჩვენებლები, აქრობს და უგულებელყოფს იმ განსხვავებებს მოსახლეობის ცალკეული ერთეულების რაოდენობრივ მახასიათებლებში, რომლებიც რეალურად არსებობს და შეიძლება იყოს დამოუკიდებელი ინტერესი.

საშუალოების ტიპები

სტატისტიკაში გამოიყენება სხვადასხვა ტიპის საშუალო, რომლებიც იყოფა ორ დიდ კლასად:

• სიმძლავრის საშუალებები (ჰარმონიული საშუალო, გეომეტრიული საშუალო, საშუალო არითმეტიკული, კვადრატული საშუალო, საშუალო კუბური);
• სტრუქტურული საშუალებები (რეჟიმი, მედიანა).

Გამოთვლა სიმძლავრის საშუალოაუცილებელია ყველა არსებული მახასიათებელი მნიშვნელობების გამოყენება. მოდადა მედიანურიგანისაზღვრება მხოლოდ განაწილების სტრუქტურით, ამიტომ მათ სტრუქტურულ, პოზიციურ საშუალოებს უწოდებენ. მედიანა და რეჟიმი ხშირად გამოიყენება როგორც საშუალო მახასიათებელი იმ პოპულაციებში, სადაც სიმძლავრის საშუალო გამოთვლა შეუძლებელია ან არაპრაქტიკული.

საშუალო ყველაზე გავრცელებული ტიპია საშუალო არითმეტიკული. ქვეშ საშუალო არითმეტიკულიგაგებულია, როგორც მახასიათებლის მნიშვნელობა, რომელიც ექნება მოსახლეობის თითოეულ ერთეულს, თუ მახასიათებლის ყველა მნიშვნელობის ჯამი თანაბრად გადანაწილდება მოსახლეობის ყველა ერთეულზე. ამ მნიშვნელობის გაანგარიშება მოდის სხვადასხვა მახასიათებლის ყველა მნიშვნელობის შეჯამებამდე და მიღებული თანხის გაყოფით პოპულაციაში ერთეულების საერთო რაოდენობაზე. მაგალითად, ხუთმა მუშამ შეასრულა ნაწილების წარმოების შეკვეთა, ხოლო პირველმა 5 ნაწილი, მეორე - 7, მესამე - 4, მეოთხე - 10, მეხუთე - 12. ვინაიდან წყაროს მონაცემებში თითოეულის ღირებულებაა. ვარიანტი მოხდა მხოლოდ ერთხელ, ერთი მუშაკის საშუალო გამომუშავების დასადგენად უნდა გამოიყენოთ მარტივი საშუალო არითმეტიკული ფორმულა:

ანუ ჩვენს მაგალითში ერთი მუშის საშუალო გამომუშავება უდრის

მარტივ საშუალო არითმეტიკასთან ერთად სწავლობენ შეწონილი არითმეტიკული საშუალო.მაგალითად, გამოვთვალოთ სტუდენტების საშუალო ასაკი 20 კაციან ჯგუფში, რომელთა ასაკი მერყეობს 18-დან 22 წლამდე, სადაც xi- საშუალო მახასიათებლის ვარიანტები, ფი- სიხშირე, რომელიც გვიჩვენებს რამდენჯერ ხდება მე-ეღირებულება აგრეგატში (ცხრილი 5.1).

ცხრილი 5.1

მოსწავლეთა საშუალო ასაკი

შეწონილი საშუალო არითმეტიკული ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

შეწონილი არითმეტიკული საშუალოს არჩევის გარკვეული წესი არსებობს: თუ არსებობს მონაცემების სერია ორ ინდიკატორზე, რომელთაგან ერთისთვის საჭიროა გამოთვალოთ

საშუალო მნიშვნელობა და ამავე დროს ცნობილია მისი ლოგიკური ფორმულის მნიშვნელის რიცხვითი მნიშვნელობები, ხოლო მრიცხველის მნიშვნელობები უცნობია, მაგრამ შეიძლება მოიძებნოს როგორც ამ მაჩვენებლების ნამრავლი, მაშინ საშუალო მნიშვნელობა უნდა გამოითვლება საშუალო შეწონილი არითმეტიკული ფორმულით.

ზოგიერთ შემთხვევაში, საწყისი სტატისტიკური მონაცემების ბუნება ისეთია, რომ საშუალო არითმეტიკული გამოთვლა კარგავს თავის მნიშვნელობას და ერთადერთი განმაზოგადებელი მაჩვენებელი შეიძლება იყოს მხოლოდ სხვა ტიპის საშუალო - ჰარმონიული საშუალო.ამჟამად არითმეტიკული საშუალოს გამოთვლითმა თვისებებმა დაკარგეს აქტუალობა ზოგადი სტატისტიკური ინდიკატორების გამოთვლაში ელექტრონული გამოთვლითი ტექნოლოგიის ფართოდ დანერგვის გამო. ჰარმონიულმა საშუალო მნიშვნელობამ, რომელიც ასევე შეიძლება იყოს მარტივი და შეწონილი, დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა შეიძინა. თუ ლოგიკური ფორმულის მრიცხველის რიცხვითი მნიშვნელობები ცნობილია, ხოლო მნიშვნელის მნიშვნელობები უცნობია, მაგრამ შეიძლება მოიძებნოს ერთი ინდიკატორის მეორეზე ნაწილობრივი გაყოფა, მაშინ საშუალო მნიშვნელობა გამოითვლება ჰარმონიის გამოყენებით. საშუალო შეწონილი ფორმულა.

მაგალითად, გახსოვდეს, რომ მანქანამ პირველი 210 კმ გაიარა 70 კმ/სთ სიჩქარით, ხოლო დანარჩენი 150 კმ 75 კმ/სთ სიჩქარით. შეუძლებელია საშუალო არითმეტიკული ფორმულის გამოყენებით მანქანის საშუალო სიჩქარის დადგენა 360 კმ-ის მთელ გზაზე. ვინაიდან ოფციები არის სიჩქარეები ცალკეულ განყოფილებებში xj= 70 კმ/სთ და X2= 75 კმ/სთ და წონები (fi) ითვლება ბილიკის შესაბამის მონაკვეთებად, მაშინ ოფციონებისა და წონების პროდუქტებს არ ექნებათ არც ფიზიკური და არც ეკონომიკური მნიშვნელობა. ამ შემთხვევაში, კოეფიციენტები მნიშვნელობას იძენენ ბილიკის მონაკვეთების შესაბამის სიჩქარეებად დაყოფით (ვარიანტი xi), ანუ ბილიკის ცალკეული მონაკვეთების გავლაზე დახარჯული დრო (fi / xi). თუ ბილიკის მონაკვეთები აღინიშნება fi-ით, მაშინ მთელი ბილიკი გამოიხატება, როგორც Σfi, ხოლო მთელ ბილიკზე გატარებული დრო გამოიხატება, როგორც Σ fi. / xi , შემდეგ საშუალო სიჩქარე შეიძლება მოიძებნოს, როგორც მთელი ბილიკის კოეფიციენტი გაყოფილი მთლიან დახარჯულ დროზე:

ჩვენს მაგალითში ვიღებთ:

თუ ჰარმონიული საშუალოს გამოყენებისას ყველა ვარიანტის (f) წონა ტოლია, მაშინ შეწონილის ნაცვლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ მარტივი (არაწონილი) ჰარმონიული საშუალო:

სადაც xi არის ინდივიდუალური ვარიანტები; ნ- საშუალო მახასიათებლის ვარიანტების რაოდენობა. სიჩქარის მაგალითში, მარტივი ჰარმონიული საშუალო შეიძლება გამოყენებულ იქნას, თუ სხვადასხვა სიჩქარით გავლილი ბილიკის სეგმენტები თანაბარი იყო.

ნებისმიერი საშუალო მნიშვნელობა უნდა გამოითვალოს ისე, რომ როდესაც იგი შეცვლის საშუალო მახასიათებლის თითოეულ ვარიანტს, არ შეიცვალოს რაიმე საბოლოო, ზოგადი ინდიკატორის მნიშვნელობა, რომელიც ასოცირდება საშუალო მაჩვენებელთან. ამრიგად, მარშრუტის ცალკეულ მონაკვეთებზე რეალური სიჩქარის ჩანაცვლებისას მათი საშუალო მნიშვნელობით (საშუალო სიჩქარე), მთლიანი მანძილი არ უნდა შეიცვალოს.

საშუალო მნიშვნელობის ფორმა (ფორმულა) განისაზღვრება ამ საბოლოო ინდიკატორის საშუალოსთან ურთიერთობის ბუნებით (მექანიზმით), ამიტომ საბოლოო ინდიკატორი, რომლის მნიშვნელობა არ უნდა შეიცვალოს ოფციონის მათი საშუალო მნიშვნელობით შეცვლისას, არის დაურეკა განმსაზღვრელი მაჩვენებელი.საშუალო ფორმულის გამოსატანად, თქვენ უნდა შექმნათ და ამოხსნათ განტოლება საშუალოდ და განმსაზღვრელ ინდიკატორს შორის ურთიერთობის გამოყენებით. ეს განტოლება აგებულია მახასიათებლის (ინდიკატორის) ვარიანტების საშუალო მნიშვნელობით ჩანაცვლებით.

საშუალო არითმეტიკისა და ჰარმონიული საშუალოს გარდა სტატისტიკაში გამოიყენება საშუალოს სხვა ტიპები (ფორმები). ეს ყველაფერი განსაკუთრებული შემთხვევებია სიმძლავრე საშუალო.თუ ჩვენ გამოვთვლით ყველა ტიპის სიმძლავრის საშუალოს ერთი და იგივე მონაცემისთვის, მაშინ მნიშვნელობებს

ისინი იგივე აღმოჩნდებიან, აქ მოქმედებს წესი ძირითადი განაკვეთისაშუალო. საშუალო მაჩვენებლის მატებასთან ერთად, თავად საშუალო მნიშვნელობა იზრდება. პრაქტიკულ კვლევებში სხვადასხვა ტიპის სიმძლავრის საშუალო მაჩვენებლების გამოსათვლელად ყველაზე ხშირად გამოყენებული ფორმულები წარმოდგენილია ცხრილში. 5.2.

ცხრილი 5.2

გეომეტრიული საშუალო გამოიყენება, როდესაც არსებობს ნზრდის კოეფიციენტები, ხოლო მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობები, როგორც წესი, არის ფარდობითი დინამიკის მნიშვნელობები, რომლებიც აგებულია ჯაჭვის მნიშვნელობების სახით, როგორც თანაფარდობა დინამიკის სერიაში თითოეული დონის წინა დონესთან. საშუალო ამგვარად ახასიათებს საშუალო ზრდის ტემპს. საშუალო გეომეტრიული მარტივიგამოითვლება ფორმულით

ფორმულა შეწონილი გეომეტრიული საშუალოაქვს შემდეგი ფორმა:

ზემოაღნიშნული ფორმულები იდენტურია, მაგრამ ერთი გამოიყენება მიმდინარე კოეფიციენტებზე ან ზრდის ტემპებზე, ხოლო მეორე - სერიის დონის აბსოლუტურ მნიშვნელობებზე.

საშუალო კვადრატიგამოიყენება კვადრატული ფუნქციების მნიშვნელობებით გამოთვლებში, გამოიყენება მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების რყევის ხარისხის გასაზომად არითმეტიკული საშუალოზე განაწილების სერიაში და გამოითვლება ფორმულით

შეწონილი საშუალო კვადრატიგამოითვლება სხვა ფორმულით:

საშუალო კუბურიგამოიყენება კუბური ფუნქციების მნიშვნელობებით გაანგარიშებისას და გამოითვლება ფორმულით

საშუალო კუბური წონა:

ზემოთ განხილული ყველა საშუალო მნიშვნელობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ზოგადი ფორმულის სახით:

სად არის საშუალო მნიშვნელობა; - ინდივიდუალური მნიშვნელობა; ნ- შესწავლილი მოსახლეობის ერთეულების რაოდენობა; კ- მაჩვენებელი, რომელიც განსაზღვრავს საშუალო ტიპს.

იმავე წყაროს მონაცემების გამოყენებისას, მით მეტი კსაერთო სიმძლავრის საშუალო ფორმულაში მით უფრო დიდია საშუალო მნიშვნელობა. აქედან გამომდინარეობს, რომ არსებობს ბუნებრივი კავშირი სიმძლავრის საშუალო მნიშვნელობებს შორის:

ზემოთ აღწერილი საშუალო მნიშვნელობები იძლევა განზოგადებულ წარმოდგენას შესწავლილი მოსახლეობის შესახებ და ამ თვალსაზრისით, მათი თეორიული, გამოყენებითი და საგანმანათლებლო მნიშვნელობა უდავოა. მაგრამ ეს ხდება, რომ საშუალო მნიშვნელობა არ ემთხვევა არცერთ რეალურად არსებულ ვარიანტს, ამიტომ, განხილული საშუალოების გარდა, სტატისტიკურ ანალიზში მიზანშეწონილია გამოიყენოთ კონკრეტული ვარიანტების მნიშვნელობები, რომლებიც იკავებენ ძალიან კონკრეტულ პოზიციას. ატრიბუტების მნიშვნელობების მოწესრიგებული (რანჟირებული) სერია. ამ რაოდენობებს შორის ყველაზე ხშირად გამოიყენება სტრუქტურული,ან აღწერითი, საშუალო- რეჟიმი (Mo) და მედიანა (Me).

მოდა- მახასიათებლის მნიშვნელობა, რომელიც ყველაზე ხშირად გვხვდება მოცემულ პოპულაციაში. ვარიაციულ სერიებთან მიმართებაში რეჟიმი არის რანჟირებული სერიის ყველაზე ხშირად წარმოქმნილი მნიშვნელობა, ანუ ვარიანტი უმაღლესი სიხშირით. მოდა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მაღაზიების დასადგენად, რომლებსაც უფრო ხშირად სტუმრობენ, ყველაზე გავრცელებული ფასი ნებისმიერი პროდუქტისთვის. იგი აჩვენებს მოსახლეობის მნიშვნელოვანი ნაწილისთვის დამახასიათებელ მახასიათებლის ზომას და განისაზღვრება ფორმულით

სადაც x0 არის ინტერვალის ქვედა ზღვარი; თ- ინტერვალის ზომა; fm- ინტერვალის სიხშირე; fm_ 1 - წინა ინტერვალის სიხშირე; fm+ 1 - შემდეგი ინტერვალის სიხშირე.

მედიანურირანჟირებული მწკრივის ცენტრში მდებარე ვარიანტი ეწოდება. მედიანა სერიას ორ თანაბარ ნაწილად ყოფს ისე, რომ მის ორივე მხარეს არის ერთნაირი რაოდენობის პოპულაციის ერთეული. ამ შემთხვევაში, პოპულაციაში ერთეულების ერთ ნახევარს აქვს ცვალებად მახასიათებლის მნიშვნელობა მედიანაზე ნაკლები, ხოლო მეორე ნახევარს აქვს მასზე მეტი მნიშვნელობა. მედიანა გამოიყენება ელემენტის შესწავლისას, რომლის მნიშვნელობა მეტია ან ტოლია, ან ამავე დროს ნაკლები ან ტოლია განაწილების სერიის ელემენტების ნახევარზე. მედიანა იძლევა ზოგად წარმოდგენას იმის შესახებ, თუ სად არის კონცენტრირებული ატრიბუტების მნიშვნელობები, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სად არის მათი ცენტრი.

მედიანის აღწერილობითი ბუნება გამოიხატება იმაში, რომ იგი ახასიათებს სხვადასხვა მახასიათებლის მნიშვნელობების რაოდენობრივ ზღვარს, რომელსაც ფლობს პოპულაციის ერთეულების ნახევარი. დისკრეტული ვარიაციული სერიებისთვის მედიანის პოვნის პრობლემა მარტივად მოგვარებულია. თუ სერიის ყველა ერთეულს მიენიჭება სერიული ნომრები, მაშინ მედიანური ოფციონის სერიული ნომერი განისაზღვრება როგორც (n + 1) / 2 n-ის წევრების უცნაური რაოდენობით. თუ სერიის წევრების რაოდენობა არის ლუწი რიცხვი. , მაშინ მედიანა იქნება ორი ვარიანტის საშუალო მნიშვნელობა, რომლებსაც აქვთ სერიული ნომრები ნ/ 2 და ნ / 2 + 1.

ინტერვალის ვარიაციის სერიებში მედიანას განსაზღვრისას ჯერ განსაზღვრეთ ის ინტერვალი, რომელშიც ის მდებარეობს (მედიანური ინტერვალი). ეს ინტერვალი ხასიათდება იმით, რომ მისი დაგროვილი სიხშირეების ჯამი უდრის ან აღემატება სერიის ყველა სიხშირის ჯამის ნახევარს. ინტერვალის ვარიაციის სერიის მედიანა გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

სად X0- ინტერვალის ქვედა ზღვარი; თ- ინტერვალის ზომა; fm- ინტერვალის სიხშირე; ვ- სერიის წევრების რაოდენობა;

∫m-1 არის მოცემულის წინა რიგის დაგროვილი წევრთა ჯამი.

მედიანასთან ერთად, შესწავლილი მოსახლეობის სტრუქტურის უფრო სრულად დასახასიათებლად, ასევე გამოიყენება ვარიანტების სხვა მნიშვნელობები, რომლებიც ძალიან სპეციფიკურ პოზიციას იკავებენ რეიტინგულ სერიაში. Ესენი მოიცავს კვარტილებიდა დეცილები.მეოთხედები სიხშირეების ჯამის მიხედვით ყოფენ სერიას 4 ტოლ ნაწილად, ხოლო დეცილები - 10 ტოლ ნაწილად. არის სამი მეოთხედი და ცხრა დეცილი.

მედიანა და რეჟიმი, არითმეტიკული საშუალოსგან განსხვავებით, არ გამორიცხავს ინდივიდუალურ განსხვავებებს ცვლადი მახასიათებლის მნიშვნელობებში და, შესაბამისად, არის სტატისტიკური პოპულაციის დამატებითი და ძალიან მნიშვნელოვანი მახასიათებლები. პრაქტიკაში, ისინი ხშირად იყენებენ საშუალოს ნაცვლად ან მასთან ერთად. განსაკუთრებით მიზანშეწონილია გამოთვალოთ მედიანა და რეჟიმი იმ შემთხვევებში, როდესაც შესწავლილი პოპულაცია შეიცავს ერთეულების გარკვეულ რაოდენობას, განსხვავებული მახასიათებლის ძალიან დიდი ან ძალიან მცირე მნიშვნელობით. ოფციონების ეს მნიშვნელობები, რომლებიც არც თუ ისე დამახასიათებელია პოპულაციისთვის, თუმცა გავლენას ახდენს საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობაზე, არ ახდენს გავლენას მედიანისა და რეჟიმის მნიშვნელობებზე, რაც ამ უკანასკნელს ძალიან ღირებულ ინდიკატორებად აქცევს ეკონომიკური და სტატისტიკური თვალსაზრისით. ანალიზი.

ვარიაციის ინდიკატორები

სტატისტიკური კვლევის მიზანია გამოავლინოს შესწავლილი სტატისტიკური პოპულაციის ძირითადი თვისებები და ნიმუშები. სტატისტიკური დაკვირვების მონაცემების შემაჯამებელი დამუშავების პროცესში აგებენ განაწილების სერია.არსებობს განაწილების სერიების ორი ტიპი - ატრიბუტული და ვარიაციული, იმისდა მიხედვით, დაჯგუფების საფუძვლად აღებული მახასიათებელი არის ხარისხობრივი თუ რაოდენობრივი.

ვარიაციულიეწოდება რაოდენობრივ საფუძველზე აგებულ განაწილების სერიებს. მოსახლეობის ცალკეულ ერთეულებში რაოდენობრივი მახასიათებლების მნიშვნელობები არ არის მუდმივი, ისინი მეტ-ნაკლებად განსხვავდებიან ერთმანეთისგან. მახასიათებლის მნიშვნელობის ამ განსხვავებას ე.წ ვარიაციები.შესწავლილ პოპულაციაში ნაპოვნი მახასიათებლის ინდივიდუალური რიცხვითი მნიშვნელობები ეწოდება ღირებულებების ვარიანტები.პოპულაციის ცალკეულ ერთეულებში ცვალებადობის არსებობა განპირობებულია მახასიათებლის დონის ფორმირებაზე დიდი რაოდენობით ფაქტორების გავლენით. პოპულაციის ცალკეულ ერთეულებში მახასიათებლების ცვალებადობის ბუნებისა და ხარისხის შესწავლა ნებისმიერი სტატისტიკური კვლევის ყველაზე მნიშვნელოვანი საკითხია. ვარიაციის ინდექსები გამოიყენება ნიშან-თვისებების ცვალებადობის საზომის აღსაწერად.

სტატისტიკური კვლევის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ამოცანაა ცალკეული ფაქტორების ან მათი ჯგუფების როლის განსაზღვრა მოსახლეობის გარკვეული მახასიათებლების ცვალებადობაში. ამ პრობლემის გადასაჭრელად, სტატისტიკა იყენებს ვარიაციის შესწავლის სპეციალურ მეთოდებს, რომლებიც დაფუძნებულია ინდიკატორების სისტემის გამოყენებაზე, რომლითაც ვარიაცია იზომება. პრაქტიკაში, მკვლევარს აწყდება ატრიბუტების მნიშვნელობების საკმაოდ დიდი რაოდენობის ვარიანტები, რაც არ იძლევა წარმოდგენას აგრეგატში ატრიბუტის მნიშვნელობის მიხედვით ერთეულების განაწილების შესახებ. ამისათვის მოაწყეთ დამახასიათებელი მნიშვნელობების ყველა ვარიანტი აღმავალი ან დაღმავალი თანმიმდევრობით. ამ პროცესს ე.წ სერიის რეიტინგი.რანჟირებული სერია დაუყოვნებლივ იძლევა ზოგად წარმოდგენას იმ მნიშვნელობების შესახებ, რომლებსაც ფუნქცია იღებს მთლიანობაში.

მოსახლეობის ამომწურავი აღწერისთვის საშუალო მნიშვნელობის არასაკმარისობა გვაიძულებს შევავსოთ საშუალო მნიშვნელობები ინდიკატორებით, რაც საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ ამ საშუალოების ტიპიურობა შესასწავლი მახასიათებლის ცვალებადობის (ვარიაციის) გაზომვით. ვარიაციის ამ ინდიკატორების გამოყენება შესაძლებელს ხდის სტატისტიკური ანალიზის უფრო სრულყოფილი და შინაარსიანი გახადოს და ამით შესწავლილი სოციალური ფენომენების არსის უფრო ღრმა გაგება.

ვარიაციის უმარტივესი ნიშნებია მინიმალურიდა მაქსიმალური -ეს არის ატრიბუტის ყველაზე მცირე და უდიდესი მნიშვნელობა აგრეგატში. დამახასიათებელი მნიშვნელობების ინდივიდუალური ვარიანტების გამეორებების რაოდენობას უწოდებენ გამეორების სიხშირე.ავღნიშნოთ ატრიბუტის მნიშვნელობის გამეორების სიხშირე ფი,სიხშირეების ჯამი შესწავლილი მოსახლეობის მოცულობის ტოლი იქნება:

სად კ- ატრიბუტების მნიშვნელობების ვარიანტების რაოდენობა. მოსახერხებელია სიხშირეების ჩანაცვლება სიხშირეებით - ვი. სიხშირე- ფარდობითი სიხშირის მაჩვენებელი - შეიძლება გამოისახოს ერთეულის წილადებში ან პროცენტებში და საშუალებას გაძლევთ შეადაროთ ვარიაციების სერიები დაკვირვებების სხვადასხვა რაოდენობას. ფორმალურად გვაქვს:

მახასიათებლის ცვალებადობის გასაზომად გამოიყენება სხვადასხვა აბსოლუტური და ფარდობითი ინდიკატორი. ცვალებადობის აბსოლუტური მაჩვენებლები მოიცავს საშუალო წრფივ გადახრას, ვარიაციის დიაპაზონს, დისპერსიას და სტანდარტულ გადახრას.

ვარიაციის დიაპაზონი(R) წარმოადგენს განსხვავებას შესწავლილ პოპულაციაში ატრიბუტის მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს შორის: რ= Xmax - Xmin. ეს მაჩვენებელი იძლევა მხოლოდ ყველაზე ზოგად წარმოდგენას შესწავლილი მახასიათებლის ცვალებადობის შესახებ, რადგან ის აჩვენებს განსხვავებას მხოლოდ ვარიანტების მაქსიმალურ მნიშვნელობებს შორის. ის სრულიად არ არის დაკავშირებული ვარიაციების სერიის სიხშირეებთან, ანუ განაწილების ბუნებასთან და მისმა დამოკიდებულებამ მას შეიძლება მისცეს არასტაბილური, შემთხვევითი ხასიათი მხოლოდ მახასიათებლის უკიდურეს მნიშვნელობებზე. ვარიაციის დიაპაზონი არ იძლევა რაიმე ინფორმაციას შესწავლილი პოპულაციების მახასიათებლების შესახებ და არ გვაძლევს საშუალებას შევაფასოთ მიღებული საშუალო მნიშვნელობების ტიპურობის ხარისხი. ამ ინდიკატორის გამოყენების სფერო შემოიფარგლება საკმაოდ ერთგვაროვანი პოპულაციებით; უფრო ზუსტად, ის ახასიათებს მახასიათებლის ცვალებადობას, ინდიკატორს, რომელიც დაფუძნებულია მახასიათებლის ყველა მნიშვნელობის ცვალებადობის გათვალისწინებით.

მახასიათებლის ცვალებადობის დასახასიათებლად, აუცილებელია განზოგადდეს ყველა მნიშვნელობის გადახრები შესწავლილი პოპულაციისთვის დამახასიათებელი ნებისმიერი მნიშვნელობიდან. ასეთი მაჩვენებლები

ვარიაციები, როგორიცაა საშუალო წრფივი გადახრა, დისპერსია და სტანდარტული გადახრა, ემყარება მოსახლეობის ცალკეული ერთეულების დამახასიათებელი მნიშვნელობების არითმეტიკული საშუალოდან გადახრების გათვალისწინებით.

საშუალო წრფივი გადახრაწარმოადგენს ცალკეული ვარიანტების არითმეტიკული საშუალოდან გადახრების აბსოლუტური მნიშვნელობების არითმეტიკულ საშუალოს:

ვარიანტის საშუალო არითმეტიკულიდან გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა (მოდული); ვ-სიხშირე.

პირველი ფორმულა გამოიყენება იმ შემთხვევაში, თუ თითოეული ვარიანტი ხდება აგრეგატში მხოლოდ ერთხელ, ხოლო მეორე - სერიებში არათანაბარი სიხშირით.

არითმეტიკული საშუალოდან ვარიანტების გადახრების საშუალოდ გაანგარიშების კიდევ ერთი გზა არსებობს. სტატისტიკაში ეს ძალიან გავრცელებული მეთოდი მოდის ოპციების კვადრატული გადახრების გამოთვლაზე საშუალო მნიშვნელობიდან მათი შემდგომი საშუალოდ. ამ შემთხვევაში ვიღებთ ვარიაციის ახალ ინდიკატორს - დისპერსიას.

დისპერსია(σ 2) - ატრიბუტის მნიშვნელობის ვარიანტების კვადრატული გადახრების საშუალო საშუალო მნიშვნელობიდან:

მეორე ფორმულა გამოიყენება, თუ ვარიანტებს აქვთ საკუთარი წონა (ან ვარიაციის სერიის სიხშირეები).

ეკონომიკურ და სტატისტიკურ ანალიზში ჩვეულებრივია მახასიათებლის ცვალებადობის შეფასება ყველაზე ხშირად სტანდარტული გადახრის გამოყენებით. Სტანდარტული გადახრა(σ) არის ვარიაციის კვადრატული ფესვი:

საშუალო წრფივი და სტანდარტული გადახრები აჩვენებს, თუ რამდენად მერყეობს მახასიათებლის მნიშვნელობა საშუალოდ შესწავლილი პოპულაციის ერთეულებს შორის და გამოიხატება იმავე საზომ ერთეულებში, როგორც ვარიანტები.

სტატისტიკურ პრაქტიკაში ხშირად ჩნდება სხვადასხვა მახასიათებლების ცვალებადობის შედარება. მაგალითად, ძალიან საინტერესოა პერსონალის ასაკისა და მათი კვალიფიკაციის ვარიაციების შედარება, სტაჟი და ხელფასი და ა.შ. ასეთი შედარებისთვის, მახასიათებლების აბსოლუტური ცვალებადობის ინდიკატორები - წრფივი საშუალო და სტანდარტული გადახრა - არ არის შესაფერისი. ფაქტობრივად, შეუძლებელია წლების განმავლობაში გამოხატული სტაჟის მერყეობის შედარება ხელფასების ცვალებადობასთან, რომელიც გამოხატულია რუბლებში და კაპიკებში.

სხვადასხვა მახასიათებლების ცვალებადობის ერთად შედარებისას, მოსახერხებელია ვარიაციის შედარებითი ზომების გამოყენება. ეს მაჩვენებლები გამოითვლება როგორც აბსოლუტური მაჩვენებლების თანაფარდობა საშუალო არითმეტიკასთან (ან მედიანასთან). ცვალებადობის დიაპაზონის, საშუალო წრფივი გადახრისა და სტანდარტული გადახრის, როგორც ცვალებადობის აბსოლუტური მაჩვენებლის გამოყენებით, მიიღება ცვალებადობის ფარდობითი მაჩვენებლები:

შედარებითი ცვალებადობის ყველაზე ხშირად გამოყენებული მაჩვენებელი, რომელიც ახასიათებს მოსახლეობის ჰომოგენურობას. პოპულაცია ჰომოგენურად ითვლება, თუ ვარიაციის კოეფიციენტი არ აღემატება 33%-ს ნორმასთან ახლოს განაწილებისთვის.

თემა 5. საშუალო მნიშვნელობები, როგორც სტატისტიკური მაჩვენებლები

საშუალო ღირებულების კონცეფცია. სტატისტიკურ კვლევაში საშუალო მაჩვენებლების ფარგლები

საშუალო მნიშვნელობები გამოიყენება პირველადი სტატისტიკური მონაცემების დამუშავებისა და შეჯამების ეტაპზე. საშუალო მნიშვნელობების განსაზღვრის აუცილებლობა განპირობებულია იმით, რომ, როგორც წესი, ერთი და იგივე მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობები შესწავლილი პოპულაციების სხვადასხვა ერთეულებისთვის არ არის იგივე.

Საშუალო ზომისეწოდება ინდიკატორი, რომელიც ახასიათებს შესწავლილ პოპულაციაში მახასიათებლის ან მახასიათებლების ჯგუფის განზოგადებულ მნიშვნელობას.

თუ შესწავლილია ხარისხობრივად ერთგვაროვანი მახასიათებლების მქონე პოპულაცია, მაშინ საშუალო მნიშვნელობა აქ მოქმედებს როგორც ტიპიური საშუალო. მაგალითად, გარკვეული ინდუსტრიის მუშაკთა ჯგუფებისთვის ფიქსირებული შემოსავლის დონით, განისაზღვრება ტიპიური საშუალო დანახარჯები ძირითად საჭიროებებზე, ე.ი. ტიპიური საშუალო აზოგადებს ატრიბუტის თვისობრივად ერთგვაროვან მნიშვნელობებს მოცემულ პოპულაციაში, რაც წარმოადგენს ამ ჯგუფის მუშაკთა შორის დანახარჯების წილს ძირითად საქონელზე.

ხარისხობრივად ჰეტეროგენული მახასიათებლების მქონე პოპულაციის შესწავლისას შესაძლოა წინა პლანზე გამოვიდეს საშუალო მაჩვენებლების ატიპიურობა. ეს, მაგალითად, არის წარმოებული ეროვნული შემოსავლის საშუალო მაჩვენებლები ერთ სულ მოსახლეზე (სხვადასხვა ასაკობრივი ჯგუფი), მარცვლეულის მოსავლიანობის საშუალო მაჩვენებლები მთელ რუსეთში (სხვადასხვა კლიმატური ზონების რეგიონები და სხვადასხვა მარცვლეული კულტურები), მოსახლეობის შობადობის საშუალო მაჩვენებლები. ქვეყნის ყველა რეგიონი, საშუალო ტემპერატურა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში და ა.შ. აქ საშუალო მნიშვნელობები აზოგადებს მახასიათებლების ან სისტემური სივრცითი აგრეგატების (საერთაშორისო საზოგადოება, კონტინენტი, სახელმწიფო, რეგიონი, რეგიონი და ა.შ.) თვისობრივად ჰეტეროგენულ მნიშვნელობებს ან დროთა განმავლობაში გაფართოვებულ დინამიურ აგრეგატებს (საუკუნე, ათწლეული, წელი, სეზონი და ა.შ.). ) . ასეთ საშუალო მნიშვნელობებს უწოდებენ სისტემის საშუალო მაჩვენებლები.

ამრიგად, საშუალო მნიშვნელობების მნიშვნელობა მდგომარეობს მათ განზოგადების ფუნქციაში. საშუალო მნიშვნელობა ცვლის ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობების დიდ რაოდენობას, ავლენს საერთო თვისებებს, რომლებიც თან ახლავს მოსახლეობის ყველა ერთეულს. ეს, თავის მხრივ, საშუალებას გვაძლევს თავიდან ავიცილოთ შემთხვევითი მიზეზები და გამოვავლინოთ ზოგადი ნიმუშები საერთო მიზეზების გამო.

საშუალო მნიშვნელობების ტიპები და მათი გაანგარიშების მეთოდები

სტატისტიკური დამუშავების სტადიაზე შეიძლება დაისვას სხვადასხვა კვლევითი პრობლემა, რომელთა გადაწყვეტისთვის საჭიროა შესაბამისი საშუალოს შერჩევა. ამ შემთხვევაში აუცილებელია ვიხელმძღვანელოთ შემდეგი წესით: სიდიდეები, რომლებიც წარმოადგენს საშუალოს მრიცხველსა და მნიშვნელს, ლოგიკურად უნდა იყოს დაკავშირებული ერთმანეთთან.

სიმძლავრის საშუალო;

სტრუქტურული საშუალო.

წარმოგიდგენთ შემდეგ კონვენციებს:

რაოდენობები, რომლებზედაც გამოითვლება საშუალო;

საშუალო, სადაც ზემოთ ზოლი მიუთითებს, რომ ხდება ინდივიდუალური მნიშვნელობების საშუალო შეფასება;

სიხშირე (ინდივიდუალური დამახასიათებელი მნიშვნელობების განმეორებადობა).

სხვადასხვა საშუალო მაჩვენებლები მიღებულია ზოგადი სიმძლავრის საშუალო ფორმულიდან:

(5.1)

როდესაც k = 1 - საშუალო არითმეტიკული; k = -1 - ჰარმონიული საშუალო; k = 0 - გეომეტრიული საშუალო; k = -2 - ფესვის საშუალო კვადრატი.

საშუალო მნიშვნელობები შეიძლება იყოს მარტივი ან შეწონილი. შეწონილი საშუალოებიეს არის მნიშვნელობები, რომლებიც ითვალისწინებენ, რომ ატრიბუტების მნიშვნელობების ზოგიერთ ვარიანტს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული რიცხვები და, შესაბამისად, თითოეული ვარიანტი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, „სასწორები“ არის აგრეგატული ერთეულების რაოდენობა სხვადასხვა ჯგუფში, ე.ი. თითოეული ვარიანტი "შეწონილია" მისი სიხშირით. სიხშირე f ეწოდება სტატისტიკური წონაან საშუალო წონა.

Საშუალო არითმეტიკული- ყველაზე გავრცელებული ტიპი საშუალო. იგი გამოიყენება, როდესაც გაანგარიშება ხორციელდება დაუჯგუფებელ სტატისტიკურ მონაცემებზე, სადაც უნდა მიიღოთ საშუალო ვადა. საშუალო არითმეტიკული არის მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობა, რომლის მიღების შემდეგ მახასიათებლის მთლიანი მოცულობა მთლიანობაში უცვლელი რჩება.

საშუალო არითმეტიკული (მარტივი) ფორმულას აქვს ფორმა

სადაც n არის მოსახლეობის ზომა.

მაგალითად, საწარმოს თანამშრომლების საშუალო ხელფასი გამოითვლება როგორც საშუალო არითმეტიკული:

აქ განმსაზღვრელი მაჩვენებლებია თითოეული თანამშრომლის ხელფასი და საწარმოში დასაქმებულთა რაოდენობა. საშუალო გაანგარიშებისას ხელფასის ჯამური ოდენობა უცვლელი დარჩა, მაგრამ თანაბრად გადანაწილდა ყველა თანამშრომელს შორის. მაგალითად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მუშების საშუალო ხელფასი მცირე კომპანიაში, სადაც 8 ადამიანია დასაქმებული:

საშუალო მნიშვნელობების გაანგარიშებისას, საშუალო მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობები შეიძლება განმეორდეს, ამიტომ საშუალო მნიშვნელობა გამოითვლება დაჯგუფებული მონაცემების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ გამოყენებაზე საშუალო შეწონილი არითმეტიკული, რომელსაც აქვს ფორმა

(5.3)

ასე რომ, საფონდო ბირჟაზე ვაჭრობისას სააქციო საზოგადოების აქციების საშუალო ფასი უნდა გამოვთვალოთ. ცნობილია, რომ ტრანზაქციები განხორციელდა 5 დღის ვადაში (5 ტრანზაქცია), გაყიდული აქციების რაოდენობა გაყიდული კურსით ასე გადანაწილდა:

1 - 800 აკ. - 1010 რუბლი.

2 - 650 აკ. - 990 რუბლი.

3 - 700 აკ. - 1015 რუბლი.

4 - 550 აკ. - 900 რუბლი.

5 - 850 წ. - 1150 რუბლი.

აქციების საშუალო ფასის განსაზღვრის საწყისი თანაფარდობა არის ტრანზაქციების მთლიანი თანხის (TVA) თანაფარდობა გაყიდული აქციების რაოდენობასთან (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3,634,500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

ამ შემთხვევაში აქციების საშუალო ფასი უდრიდა

აუცილებელია ვიცოდეთ საშუალო არითმეტიკული თვისებები, რაც ძალიან მნიშვნელოვანია როგორც მისი გამოყენებისთვის, ასევე მისი გამოთვლისთვის. ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ სამი ძირითადი თვისება, რომლებმაც ყველაზე მეტად განაპირობა არითმეტიკული საშუალოს ფართო გამოყენება სტატისტიკურ და ეკონომიკურ გამოთვლებში.

თვისება ერთი (ნული): მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების დადებითი გადახრების ჯამი მისი საშუალო მნიშვნელობიდან უდრის უარყოფითი გადახრების ჯამს. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი თვისება, რადგან აჩვენებს, რომ შემთხვევითი მიზეზებით გამოწვეული ნებისმიერი გადახრები (როგორც + და ასევე -) ორმხრივად გაუქმდება.

მტკიცებულება:

თვისება მეორე (მინიმუმი): არითმეტიკული საშუალოდან მახასიათებლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების კვადრატული გადახრების ჯამი ნაკლებია, ვიდრე ნებისმიერი სხვა რიცხვი (a), ე.ი. არის მინიმალური რაოდენობა.

მტკიცებულება.

მოდით შევადგინოთ კვადრატული გადახრების ჯამი a ცვლადიდან:

(5.4)

ამ ფუნქციის უკიდურესობის საპოვნელად აუცილებელია მისი წარმოებულის გათანაბრება a-ს მიმართ:

აქედან ვიღებთ:

(5.5)

შესაბამისად, კვადრატული გადახრების ჯამის უკიდურესობა მიიღწევა ზე. ეს ექსტრემი არის მინიმალური, რადგან ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმი.

თვისება მესამე: მუდმივი მნიშვნელობის საშუალო არითმეტიკული ტოლია ამ მუდმივის: a = const-ისთვის.

არითმეტიკული საშუალოს ამ სამი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისების გარდა, არსებობს ე.წ დიზაინის თვისებები, რომლებიც თანდათან კარგავენ მნიშვნელობას ელექტრონული კომპიუტერული ტექნოლოგიების გამოყენების გამო:

თუ თითოეული ერთეულის ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობა გამრავლდება ან იყოფა მუდმივ რიცხვზე, მაშინ საშუალო არითმეტიკული გაიზრდება ან შემცირდება იმავე რაოდენობით;

საშუალო არითმეტიკული არ შეიცვლება, თუ თითოეული ატრიბუტის მნიშვნელობის წონა (სიხშირე) იყოფა მუდმივ რიცხვზე;

თუ თითოეული ერთეულის ატრიბუტის ინდივიდუალური მნიშვნელობები მცირდება ან იზრდება იმავე რაოდენობით, მაშინ საშუალო არითმეტიკული შემცირდება ან გაიზრდება იმავე ოდენობით.

ჰარმონიული საშუალო. ამ საშუალოს ეწოდება შებრუნებული არითმეტიკული საშუალო, რადგან ეს მნიშვნელობა გამოიყენება, როდესაც k = -1.

მარტივი ჰარმონიული საშუალოგამოიყენება, როდესაც ატრიბუტების მნიშვნელობების წონა იგივეა. მისი ფორმულა შეიძლება გამოვიდეს ძირითადი ფორმულიდან k = -1 ჩანაცვლებით:

მაგალითად, უნდა გამოვთვალოთ ორი მანქანის საშუალო სიჩქარე, რომლებმაც გაიარეს ერთი და იგივე გზა, მაგრამ განსხვავებული სიჩქარით: პირველი 100 კმ/სთ სიჩქარით, მეორე 90 კმ/სთ. ჰარმონიული საშუალო მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ საშუალო სიჩქარეს:

სტატისტიკურ პრაქტიკაში უფრო ხშირად გამოიყენება ჰარმონიული შეწონილი, რომლის ფორმულას აქვს ფორმა

ეს ფორმულა გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც წონა (ან ფენომენის მოცულობა) თითოეული ატრიბუტისთვის არ არის თანაბარი. საშუალოს გამოთვლის საწყის ურთიერთობაში მრიცხველი ცნობილია, მაგრამ მნიშვნელი უცნობია.

მათემატიკასა და სტატისტიკაში საშუალოდარითმეტიკა (ან მარტივი საშუალოდ) რიცხვთა სიმრავლის არის ამ სიმრავლის ყველა რიცხვის ჯამი გაყოფილი მათ რიცხვზე. საშუალო არითმეტიკული არის საშუალოს განსაკუთრებით უნივერსალური და ყველაზე გავრცელებული წარმოდგენა.

დაგჭირდებათ

• მათემატიკის ცოდნა.

ინსტრუქციები

1. მიეცით ოთხი რიცხვის ნაკრები. აღმოჩენაა საჭირო საშუალოდ მნიშვნელობაეს ნაკრები. ამისათვის ჩვენ ჯერ ვიპოვით ყველა ამ რიცხვის ჯამს. შესაძლო რიცხვებია 1, 3, 8, 7. მათი ჯამი არის S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. რიცხვების სიმრავლე უნდა შედგებოდეს ერთი და იმავე ნიშნის რიცხვებისგან, წინააღმდეგ შემთხვევაში საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლის აზრი იკარგება.

2. საშუალო მნიშვნელობარიცხვების ნაკრები უდრის S რიცხვების ჯამს გაყოფილი ამ რიცხვების რაოდენობაზე. ანუ გამოდის რომ საშუალოდ მნიშვნელობაუდრის: 19/4 = 4,75.

3. რიცხვების ნაკრებისთვის ასევე შესაძლებელია გამოვლენა არა მხოლოდ საშუალოდარითმეტიკა, არამედ საშუალოდგეომეტრიული. რამდენიმე რეგულარული რეალური რიცხვის გეომეტრიული საშუალო არის რიცხვი, რომელსაც შეუძლია შეცვალოს რომელიმე ეს რიცხვი ისე, რომ მათი ნამრავლი არ შეიცვალოს. გეომეტრიული საშუალო G მოიძებნება ფორმულის გამოყენებით: რიცხვთა სიმრავლის ნამრავლის N-ე ფესვი, სადაც N არის რიცხვი სიმრავლეში. მოდით შევხედოთ რიცხვების ერთსა და იმავე სიმრავლეს: 1, 3, 8, 7. მოდი ვიპოვოთ ისინი საშუალოდგეომეტრიული. ამისთვის გამოვთვალოთ ნამრავლი: 1*3*8*7 = 168. ახლა 168 რიცხვიდან უნდა ამოიღოთ მე-4 ფესვი: G = (168)^1/4 = 3.61. ამგვარად საშუალოდრიცხვების გეომეტრიული სიმრავლე არის 3.61.

საშუალოგეომეტრიული საშუალო ჩვეულებრივ გამოიყენება არითმეტიკულ საშუალოზე ნაკლებად ხშირად, თუმცა, ის შეიძლება სასარგებლო იყოს ინდიკატორების საშუალო მნიშვნელობის გამოანგარიშებისას, რომლებიც დროთა განმავლობაში იცვლება (ინდივიდუალური თანამშრომლის ხელფასი, აკადემიური მოსწრების ინდიკატორების დინამიკა და ა.შ.).

დაგჭირდებათ

• საინჟინრო კალკულატორი

ინსტრუქციები

1. იმისათვის, რომ იპოვოთ რიცხვების სერიის გეომეტრიული საშუალო, ჯერ უნდა გაამრავლოთ ყველა ეს რიცხვი. ვთქვათ, თქვენ გეძლევათ ხუთი ინდიკატორის ნაკრები: 12, 3, 6, 9 და 4. მოდით გავამრავლოთ ყველა ეს რიცხვი: 12x3x6x9x4=7776.

2. ახლა მიღებული რიცხვიდან თქვენ უნდა ამოიღოთ სიმძლავრის ფესვი, რომელიც უდრის სერიის ელემენტების რაოდენობას. ჩვენს შემთხვევაში, 7776 ნომრიდან საჭირო იქნება მეხუთე ფესვის ამოღება საინჟინრო კალკულატორის გამოყენებით. ამ ოპერაციის შემდეგ მიღებული რიცხვი - ამ შემთხვევაში რიცხვი 6 - იქნება გეომეტრიული საშუალო რიცხვების საწყისი ჯგუფისთვის.

3. თუ ხელთ არ გაქვთ საინჟინრო კალკულატორი, მაშინ შეგიძლიათ გამოთვალოთ რიცხვების სერიის გეომეტრიული საშუალო, SRGEOM ფუნქციის გამოყენებით Excel-ში ან ერთ-ერთი ონლაინ კალკულატორის გამოყენებით, რომელიც სპეციალურად შექმნილია გეომეტრიული საშუალო მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

Შენიშვნა!
თუ თქვენ გჭირდებათ თითოეულის გეომეტრიული საშუალოს პოვნა 2 რიცხვისთვის, მაშინ არ გჭირდებათ საინჟინრო კალკულატორი: შეგიძლიათ ამოიღოთ ნებისმიერი რიცხვის მეორე ფესვი (კვადრატული ფესვი) ყველაზე ჩვეულებრივი კალკულატორის გამოყენებით.

სასარგებლო რჩევა
არითმეტიკული საშუალოსგან განსხვავებით, გეომეტრიულ საშუალოზე არც თუ ისე ძლიერ გავლენას ახდენს უზარმაზარი გადახრები და რყევები ცალკეულ მნიშვნელობებს შორის შესასწავლი ინდიკატორების სიმრავლეში.

საშუალომნიშვნელობა არის რიცხვების ნაკრების ერთ-ერთი შეკრება. წარმოადგენს რიცხვს, რომელიც ვერ მოხვდება იმ დიაპაზონში, რომელიც განსაზღვრულია ამ რიცხვების ნაკრების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებით. საშუალოარითმეტიკული მნიშვნელობა არის განსაკუთრებით ხშირად გამოყენებული საშუალო ტიპი.

ინსტრუქციები

1. შეკრიბეთ ნაკრების ყველა რიცხვი და გაყავით ისინი ტერმინების რაოდენობაზე, რათა მიიღოთ საშუალო არითმეტიკული. გარკვეული გაანგარიშების პირობებიდან გამომდინარე, ზოგჯერ უფრო ადვილია თითოეული რიცხვის გაყოფა ნაკრების მნიშვნელობების რაოდენობაზე და ჯამური ჯამი.

2. გამოიყენეთ, ვთქვათ, Windows OS-ში შემავალი კალკულატორი, თუ თქვენს თავში საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის გამოთვლა შეუძლებელია. მისი გახსნა შეგიძლიათ პროგრამის გაშვების დიალოგის მხარდაჭერით. ამისათვის დააჭირეთ "ცხელ კლავიშებს" WIN + R ან დააჭირეთ ღილაკს "დაწყება" და აირჩიეთ "Run" ბრძანება მთავარი მენიუდან. ამის შემდეგ, შეყვანის ველში აკრიფეთ calc და დააჭირეთ Enter კლავიატურაზე ან დააჭირეთ ღილაკს "OK". იგივე შეიძლება გაკეთდეს მთავარი მენიუს საშუალებით - გახსენით იგი, გადადით განყოფილებაში "ყველა პროგრამა" და "ტიპიური" სეგმენტები და აირჩიეთ "კალკულატორი" ხაზი.

3. ეტაპობრივად შეიყვანეთ ნაკრების ყველა რიცხვი კლავიატურაზე პლუს კლავიშის დაჭერით ყველა მათგანის შემდეგ (უკანასკნელის გარდა) ან კალკულატორის ინტერფეისში შესაბამის ღილაკზე დაჭერით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეიყვანოთ ნომრები კლავიატურიდან ან შესაბამისი ინტერფეისის ღილაკების დაჭერით.

4. დააჭირეთ ხაზის ღილაკს ან დააწკაპუნეთ ამ ხატულაზე კალკულატორის ინტერფეისში ნაკრების ბოლო მნიშვნელობის შეყვანის შემდეგ და აკრიფეთ რიცხვების რაოდენობა თანმიმდევრობით. ამის შემდეგ დააჭირეთ ტოლობის ნიშანს და კალკულატორი გამოთვლის და აჩვენებს საშუალო არითმეტიკას.

5. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ Microsoft Excel ცხრილების რედაქტორი იმავე მიზნით. ამ შემთხვევაში, გაუშვით რედაქტორი და შეიყვანეთ რიცხვების თანმიმდევრობის ყველა მნიშვნელობა მიმდებარე უჯრედებში. თუ მთელი ნომრის შეყვანის შემდეგ დააჭერთ Enter-ს ან ქვემოთ ან მარჯვენა ისრის კლავიშს, თავად რედაქტორი გადაიტანს შეყვანის ფოკუსს მიმდებარე უჯრედში.

6. აირჩიეთ ყველა შეყვანილი მნიშვნელობა და რედაქტორის ფანჯრის ქვედა მარცხენა კუთხეში (სტატუსის ზოლში) დაინახავთ არჩეული უჯრედების საშუალო არითმეტიკულ მნიშვნელობას.

7. დააწკაპუნეთ უჯრედზე ბოლო შეყვანილი რიცხვის გვერდით, თუ უბრალოდ გსურთ ნახოთ საშუალო. გააფართოვეთ ჩამოსაშლელი სია ბერძნული ასო სიგმა (Σ) გამოსახულებით Editing ბრძანების ჯგუფში მთავარ ჩანართზე. აირჩიეთ ხაზი " საშუალოდა რედაქტორი არჩეულ უჯრედში ჩასვამს საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის აუცილებელ ფორმულას. დააჭირეთ Enter ღილაკს და ღირებულება გამოითვლება.

საშუალო არითმეტიკული არის ცენტრალური მიდრეკილების ერთ-ერთი საზომი, რომელიც ფართოდ გამოიყენება მათემატიკასა და სტატისტიკურ გამოთვლებში. ძალიან ადვილია რამდენიმე მნიშვნელობის საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის პოვნა, მაგრამ ყველა პრობლემას აქვს თავისი ნიუანსი, რომელიც უნდა იცოდე სწორი გამოთვლების შესასრულებლად.

რა არის არითმეტიკული საშუალო

საშუალო არითმეტიკული განსაზღვრავს საშუალო მნიშვნელობას თითოეული საწყისი მასივისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვების გარკვეული ნაკრებიდან არჩეულია მნიშვნელობა, რომელიც უნივერსალურია ყველა ელემენტისთვის, რომლის მათემატიკური შედარება ყველა ელემენტთან დაახლოებით ტოლია. არითმეტიკული საშუალო სასურველია გამოყენებული იქნას ფინანსური და სტატისტიკური ანგარიშების მომზადებისას ან მსგავსი უნარების რაოდენობრივი შედეგების გამოსათვლელად.

როგორ მოვძებნოთ საშუალო არითმეტიკული

რიცხვების მასივისთვის საშუალო არითმეტიკულის პოვნა უნდა დაიწყოს ამ მნიშვნელობების ალგებრული ჯამის განსაზღვრით. მაგალითად, თუ მასივი შეიცავს რიცხვებს 23, 43, 10, 74 და 34, მაშინ მათი ალგებრული ჯამი იქნება 184. წერისას საშუალო არითმეტიკული ასოთი აღინიშნება? (mu) ან x (x ხაზით). შემდეგი, ალგებრული ჯამი უნდა გაიყოს მასივის რიცხვების რაოდენობაზე. განსახილველ მაგალითში იყო ხუთი რიცხვი, შესაბამისად საშუალო არითმეტიკული იქნება 184/5-ის ტოლი და იქნება 36,8.

უარყოფით რიცხვებთან მუშაობის თავისებურებები

თუ მასივი შეიცავს უარყოფით რიცხვებს, მაშინ საშუალო არითმეტიკული იპოვება მსგავსი ალგორითმის გამოყენებით. განსხვავება მხოლოდ პროგრამირების გარემოში გაანგარიშებისას არსებობს, ან თუ პრობლემა შეიცავს დამატებით მონაცემებს. ამ შემთხვევაში, სხვადასხვა ნიშნის მქონე რიცხვების საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობის პოვნა სამ საფეხურამდე მოდის: 1. უნივერსალური არითმეტიკული საშუალოს პოვნა სტანდარტული მეთოდის გამოყენებით;2. უარყოფითი რიცხვების საშუალო არითმეტიკულის პოვნა.3. დადებითი რიცხვების საშუალო არითმეტიკულის გამოთვლა.თითოეული მოქმედების შედეგები იწერება მძიმით გამოყოფილი.

ბუნებრივი და ათობითი წილადები

თუ რიცხვთა მასივი წარმოდგენილია ათობითი წილადებით, ამოხსნა ხორციელდება მთელი რიცხვების საშუალო არითმეტიკული გამოთვლის მეთოდით, მაგრამ ჯამის შემცირება ხდება ამოცანის მოთხოვნების შესაბამისად შედეგის სიზუსტისთვის. ბუნებრივ წილადებთან მუშაობისას ისინი უნდა შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე, რომელიც მრავლდება მასივის რიცხვების რაოდენობაზე. შედეგის მრიცხველი იქნება საწყისი წილადი ელემენტების მოცემული მრიცხველების ჯამი.

რიცხვების გეომეტრიული საშუალო დამოკიდებულია არა მხოლოდ თავად რიცხვების აბსოლუტურ მნიშვნელობაზე, არამედ მათ რიცხვზეც. შეუძლებელია რიცხვების გეომეტრიული საშუალო და საშუალო არითმეტიკული აღრევა, რადგან ისინი სხვადასხვა მეთოდოლოგიით გვხვდება. ამ შემთხვევაში, გეომეტრიული საშუალო უცვლელად ნაკლებია ან ტოლია საშუალო არითმეტიკაზე.

დაგჭირდებათ

• საინჟინრო კალკულატორი.

ინსტრუქციები

1. ჩათვალეთ, რომ ზოგად შემთხვევაში რიცხვების გეომეტრიული საშუალო იპოვება ამ რიცხვების გამრავლებით და მათგან იმ ძალის ფესვის აღებით, რომელიც შეესაბამება რიცხვთა რაოდენობას. მაგალითად, თუ თქვენ გჭირდებათ ხუთი რიცხვის გეომეტრიული საშუალოს პოვნა, მაშინ პროდუქტიდან მეხუთე ფესვის ამოღება დაგჭირდებათ.

2. 2 რიცხვის გეომეტრიული საშუალო საპოვნელად გამოიყენეთ ძირითადი წესი. იპოვეთ მათი ნამრავლი, შემდეგ აიღეთ რიცხვი ორის კვადრატული ფესვი, რომელიც შეესაბამება ფესვის ხარისხს. ვთქვათ, 16 და 4 რიცხვების გეომეტრიული საშუალოს საპოვნელად, იპოვეთ მათი ნამრავლი 16 4 = 64. მიღებული რიცხვიდან აიღეთ კვადრატული ფესვი?64=8. ეს იქნება სასურველი მნიშვნელობა. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ამ 2 რიცხვის საშუალო არითმეტიკული უფრო დიდია და უდრის 10-ს. თუ ფესვი მთლიანად არ არის ამოღებული, დამრგვალეთ ჯამი საჭირო თანმიმდევრობამდე.

3. 2-ზე მეტი რიცხვის გეომეტრიული საშუალოს საპოვნელად ასევე გამოიყენეთ ძირითადი წესი. ამისათვის იპოვეთ ყველა რიცხვის ნამრავლი, რომლის გეომეტრიული საშუალო უნდა იპოვოთ. მიღებული პროდუქტიდან ამოიღეთ სიმძლავრის ფესვი რიცხვების რაოდენობის ტოლი. მაგალითად, 2, 4 და 64 რიცხვების გეომეტრიული საშუალოს საპოვნელად, იპოვეთ მათი ნამრავლი. 2 4 64=512. იმის გამო, რომ აუცილებელია 3 რიცხვის გეომეტრიული საშუალოს შედეგის პოვნა, ნამრავლიდან ამოიღეთ მესამე ფესვი. ძნელია ამის გაკეთება სიტყვიერად, ამიტომ გამოიყენეთ საინჟინრო კალკულატორი. ამ მიზნით მას აქვს ღილაკი "x^y". აკრიფეთ ნომერი 512, დააჭირეთ ღილაკს "x^y", შემდეგ აკრიფეთ ნომერი 3 და დააჭირეთ ღილაკს "1/x" მნიშვნელობის 1/3 საპოვნელად, დააჭირეთ ღილაკს "=". ვიღებთ 512-ის 1/3-ის ხარისხზე აყვანის შედეგს, რომელიც შეესაბამება მესამე ფესვს. მიიღეთ 512^1/3=8. ეს არის 2.4 და 64 რიცხვების გეომეტრიული საშუალო.

4. საინჟინრო კალკულატორის მხარდაჭერით, შეგიძლიათ იპოვოთ გეომეტრიული საშუალო სხვა მეთოდის გამოყენებით. იპოვეთ ჟურნალის ღილაკი თქვენს კლავიატურაზე. ამის შემდეგ აიღეთ ყველა რიცხვის ლოგარითმი, იპოვეთ მათი ჯამი და გაყავით იგი რიცხვების რაოდენობაზე. აიღეთ ანტილოგარითმი მიღებული რიცხვიდან. ეს იქნება რიცხვების გეომეტრიული საშუალო. ვთქვათ, იმავე 2, 4 და 64 რიცხვების გეომეტრიული საშუალო საპოვნელად, შეასრულეთ ოპერაციების ნაკრები კალკულატორზე. აკრიფეთ ნომერი 2, შემდეგ დააჭირეთ ჟურნალის ღილაკს, დააჭირეთ ღილაკს "+", აკრიფეთ ნომერი 4 და კვლავ დააჭირეთ log და "+", აკრიფეთ 64, დააჭირეთ log და "=". შედეგი იქნება რიცხვი, რომელიც ტოლია 2, 4 და 64 რიცხვების ათობითი ლოგარითმების ჯამის. ჯამიდან აიღეთ ანტილოგარითმი რეგისტრაციის ღილაკის გადართვით და გამოიყენეთ იგივე ჟურნალის გასაღები. შედეგი იქნება ნომერი 8, ეს არის სასურველი გეომეტრიული საშუალო.

Შენიშვნა!
საშუალო მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს ნაკრებში ყველაზე დიდ რიცხვზე დიდი და უმცირესზე ნაკლები.

სასარგებლო რჩევა
მათემატიკური სტატისტიკაში სიდიდის საშუალო მნიშვნელობას მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება.