როგორ გავაკეთოთ შეუძლებელი სამკუთხედი ქაღალდის სქემისგან. შეუძლებელი ობიექტების პარადოქსული სამყარო

დიმიტრი რაკოვი

ჩვენს თვალებს არ შეუძლია იცოდეს
ობიექტების ბუნება.
ასე რომ ნუ აიძულებთ მათ
მიზეზის ბოდვები.

ტიტუს ლუკრეციუს კარუსი

გავრცელებული გამოთქმა „ოპტიკური ილუზია“ არსებითად არასწორია. თვალები ვერ გვატყუებენ, რადგან ისინი მხოლოდ შუალედური რგოლია ობიექტსა და ადამიანის ტვინს შორის. ოპტიკური ილუზია, როგორც წესი, წარმოიქმნება არა იმის გამო, რასაც ვხედავთ, არამედ იმიტომ, რომ ქვეცნობიერად ვმსჯელობთ და უნებურად ვცდებით: „გონს შეუძლია სამყაროს თვალით შეხედოს და არა თვალით“.

ოპტიკური ხელოვნების (ოპ-არტი) მხატვრული მოძრაობის ერთ-ერთი ყველაზე თვალწარმტაცი სფეროა იმ-არტი (შეუძლებელი ხელოვნება), რომელიც დაფუძნებულია შეუძლებელი ფიგურების გამოსახულებით. შეუძლებელი ობიექტები არის ნახატები სიბრტყეზე (ნებისმიერი სიბრტყე არის ორგანზომილებიანი), რომელიც ასახავს სამგანზომილებიან სტრუქტურებს, რომელთა არსებობა შეუძლებელია რეალურ სამგანზომილებიან სამყაროში. კლასიკური და ერთ-ერთი უმარტივესი ფიგურა შეუძლებელი სამკუთხედია.

შეუძლებელ სამკუთხედში თითოეული კუთხე თავისთავად შესაძლებელია, მაგრამ პარადოქსი ჩნდება, როდესაც მას მთლიანობაში განვიხილავთ. სამკუთხედის გვერდები მიმართულია როგორც მნახველისკენ, ისე მის შორს, ამიტომ მისი ცალკეული ნაწილები ვერ ქმნიან რეალურ სამგანზომილებიან ობიექტს.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ჩვენი ტვინი განმარტავს ნახატს თვითმფრინავზე, როგორც სამგანზომილებიან მოდელს. ცნობიერება ადგენს "სიღრმეს", რომელზეც მდებარეობს გამოსახულების თითოეული წერტილი. ჩვენი იდეები რეალური სამყაროს შესახებ წინააღმდეგობრიობის, გარკვეული შეუსაბამობის წინაშე დგას და ჩვენ უნდა გამოვიტანოთ რამდენიმე ვარაუდი:

• სწორი 2D ხაზები ინტერპრეტირებულია, როგორც სწორი 3D ხაზები;
• 2D პარალელური ხაზები ინტერპრეტირებულია, როგორც 3D პარალელური ხაზები;
• მახვილი და ბლაგვი კუთხეები ინტერპრეტირებულია, როგორც სწორი კუთხეები პერსპექტივაში;
• გარე ხაზები განიხილება, როგორც ფორმის საზღვარი. ეს გარე საზღვარი ძალიან მნიშვნელოვანია სრული გამოსახულების შესაქმნელად.

ადამიანის ცნობიერება ჯერ ობიექტის ზოგად გამოსახულებას ქმნის, შემდეგ კი ცალკეულ ნაწილებს იკვლევს. თითოეული კუთხე თავსებადია სივრცულ პერსპექტივასთან, მაგრამ როდესაც ისინი გაერთიანებულნი ქმნიან სივრცულ პარადოქსს. თუ დახურავთ სამკუთხედის რომელიმე კუთხეს, მაშინ შეუძლებლობა ქრება.

შეუძლებელი ფიგურების ისტორია

სივრცის მშენებლობაში შეცდომებს მხატვრები ჯერ კიდევ ათასი წლის წინ ხვდებოდნენ. მაგრამ პირველი, ვინც შეუძლებელი ობიექტების აგება და ანალიზი ითვლება, შვედი მხატვარი ოსკარ როიტერვარდი, რომელმაც 1934 წელს დახატა პირველი შეუძლებელი სამკუთხედი, რომელიც შედგება ცხრა კუბისაგან.

		"მოსკოვი", გრაფიკა (ტუში, ფანქარი), 50x70 სმ, 2003 წ

Reuters-ისგან დამოუკიდებელი ინგლისელი მათემატიკოსი და ფიზიკოსი როჯერ პენროუზი ხელახლა აღმოაჩენს შეუძლებელ სამკუთხედს და აქვეყნებს მის სურათს ბრიტანულ ფსიქოლოგიის ჟურნალში 1958 წელს. ილუზია იყენებს "ცრუ პერსპექტივას". ზოგჯერ ამ პერსპექტივას ჩინურს უწოდებენ, რადგან ხატვის მსგავსი მეთოდი, როდესაც ნახატის სიღრმე "ორაზროვანია", ხშირად გვხვდება ჩინელი მხატვრების ნამუშევრებში.

"სამი ლოკოკინის" ნახატში პატარა და დიდი კუბურები არ არის ორიენტირებული ნორმალურ იზომეტრულ პროექციაზე. უფრო პატარა კუბი წინა და უკანა გვერდებზე უფრო დიდის გვერდითაა, რაც ნიშნავს, რომ სამგანზომილებიანი ლოგიკის მიხედვით, მას აქვს ზოგიერთი მხარის იგივე ზომები, რაც უფრო დიდს. თავდაპირველად, ნახატი თითქოს მყარი სხეულის რეალური წარმოდგენაა, მაგრამ ანალიზის გაგრძელებისას ვლინდება ამ ობიექტის ლოგიკური წინააღმდეგობები.

ნახატი „სამი ლოკოკინა“ აგრძელებს მეორე ცნობილი შეუძლებელი ფიგურის - შეუძლებელი კუბის (ყუთის) ტრადიციას.

"IQ", გრაფიკა (ტუში, ფანქარი), 50x70 სმ, 2001 წ		"Მაღლა და დაბლა", მ.ეშერი

სხვადასხვა ობიექტების ერთობლიობა ასევე გვხვდება არც თუ ისე სერიოზულ ნახატში "IQ" (ინტელექტის კოეფიციენტი). საინტერესოა, რომ ზოგიერთი ადამიანი ვერ აღიქვამს შეუძლებელ ობიექტებს, რადგან მათ გონებას არ შეუძლია ბრტყელი სურათების ამოცნობა სამგანზომილებიან ობიექტებთან.

დონალდ ე. სიმანეკი ვარაუდობს, რომ ვიზუალური პარადოქსების გაგება არის კრეატიულობის ერთ-ერთი დამახასიათებელი ნიშანი, რომელსაც ფლობენ საუკეთესო მათემატიკოსები, მეცნიერები და მხატვრები. ბევრი ნამუშევარი პარადოქსული ობიექტებით შეიძლება კლასიფიცირდეს როგორც "ინტელექტუალური მათემატიკური თამაშები". თანამედროვე მეცნიერება საუბრობს მსოფლიოს 7-განზომილებიან ან 26-განზომილებიან მოდელზე. ასეთი სამყაროს მოდელირება შესაძლებელია მხოლოდ მათემატიკური ფორმულების გამოყენებით; ადამიანები უბრალოდ ვერ წარმოიდგენენ მას. სწორედ აქ გამოდგება შეუძლებელი ფიგურები. ფილოსოფიური თვალსაზრისით, ისინი ემსახურებიან შეხსენებას, რომ ნებისმიერი ფენომენი (სისტემების ანალიზში, მეცნიერებაში, პოლიტიკაში, ეკონომიკაში და ა.შ.) უნდა განიხილებოდეს ყველა რთულ და არააშკარა ურთიერთობაში.

შეუძლებელი (და შესაძლებელი) საგნების მრავალფეროვნება წარმოდგენილია ნახატში „შეუძლებელი ანბანი“.

მესამე პოპულარული შეუძლებელი ფიგურა არის პენროუზის მიერ შექმნილი წარმოუდგენელი კიბე. თქვენ განუწყვეტლივ ან ადიდებით (საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით) ან დაეშვებით (საათის ისრის მიმართულებით). პენროუზის მოდელმა საფუძველი ჩაუყარა მ. ეშერის ცნობილ ნახატს „ზემოთ და ქვევით“ („აღმავალი და დაღმავალი“).

არსებობს ობიექტების კიდევ ერთი ჯგუფი, რომლის განხორციელება შეუძლებელია. კლასიკური ფიგურა არის შეუძლებელი ტრიდენტი, ანუ "ეშმაკის ჩანგალი".

თუ ყურადღებით შეისწავლით სურათს, შეამჩნევთ, რომ სამი კბილი თანდათან იქცევა ორად ერთ ძირზე, რაც იწვევს კონფლიქტს. ჩვენ ვადარებთ კბილების რაოდენობას ზემოთ და ქვემოთ და მივდივართ დასკვნამდე, რომ ობიექტი შეუძლებელია.

არის თუ არა რაიმე უფრო დიდი სარგებელი შეუძლებელი ნახატებისგან, ვიდრე გონებრივი თამაშები? ზოგიერთი საავადმყოფო შეგნებულად კიდებს შეუძლებელი ობიექტების სურათებს, რადგან მათ დათვალიერებას შეუძლია პაციენტები დიდი ხნის განმავლობაში დაკავებული იყოს. ლოგიკური იქნებოდა ასეთი ნახატების ჩამოკიდება ბილეთების ოფისებში, პოლიციის განყოფილებებში და სხვა ადგილებში, სადაც რიგში ლოდინი ზოგჯერ მარადისობას გრძელდება. ნახატებს შეუძლიათ იმოქმედონ როგორც ერთგვარი „ქრონოფაგები“, ე.ი. დროის მფლანგველები.

გამოიგონეს რამდენიმე შეუძლებელი ფიგურა - კიბე, სამკუთხედი და x-prong. ეს ფიგურები რეალურად საკმაოდ რეალურია სამგანზომილებიან გამოსახულებაში. მაგრამ როდესაც მხატვარი ასახავს მოცულობას ქაღალდზე, ობიექტები შეუძლებელი ჩანს. სამკუთხედი, რომელსაც ასევე "ტრიბარს" უწოდებენ, მშვენიერი მაგალითი გახდა იმისა, თუ როგორ ხდება შეუძლებელი შესაძლებელი, როცა ძალისხმევას იღებ.

ყველა ეს ფიგურა მშვენიერი ილუზიაა. ადამიანის გენიოსის მიღწევებს იყენებენ მხატვრები, რომლებიც ხატავენ იმპ არტის სტილში.

Შეუძლებელი არაფერია. ეს შეიძლება ითქვას პენროუზის სამკუთხედზე. ეს არის გეომეტრიულად შეუძლებელი ფიგურა, რომლის ელემენტების ერთმანეთთან დაკავშირება შეუძლებელია. ყოველივე ამის შემდეგ, შეუძლებელი სამკუთხედი გახდა შესაძლებელი. შვედმა მხატვარმა ოსკარ როიტერვარდმა მსოფლიოს 1934 წელს გააცნო კუბებისგან დამზადებული შეუძლებელი სამკუთხედი. O. Reutersvard ითვლება ამ ვიზუალური ილუზიის აღმომჩენად. ამ მოვლენის საპატივცემულოდ, ეს ნახატი მოგვიანებით დაიბეჭდა შვედეთის საფოსტო მარკაზე.

და 1958 წელს მათემატიკოსმა როჯერ პენროზმა გამოაქვეყნა პუბლიკაცია ინგლისურ ჟურნალში შეუძლებელი ფიგურების შესახებ. სწორედ მან შექმნა ილუზიის სამეცნიერო მოდელი. როჯერ პენროუზი წარმოუდგენელი მეცნიერი იყო. მან ჩაატარა კვლევა ფარდობითობის თეორიაში, ისევე როგორც მომხიბლავი კვანტური თეორია. ს.ჰოკინგთან ერთად დაჯილდოვდა ვოლფის პრიზით.

ცნობილია, რომ მხატვარმა მაურიტს ეშერმა, ამ სტატიის შთაბეჭდილების ქვეშ, დახატა თავისი საოცარი ნამუშევარი - ლითოგრაფია "ჩანჩქერი". მაგრამ შესაძლებელია თუ არა პენროზის სამკუთხედის გაკეთება? როგორ გავაკეთოთ ეს, თუ შესაძლებელია?

ტომი და რეალობა

მიუხედავად იმისა, რომ ფიგურა შეუძლებლად ითვლება, პენროზის სამკუთხედის საკუთარი ხელით დამზადება ისეთივე მარტივია, როგორც მსხლის ჭურვი. მისი დამზადება შესაძლებელია ქაღალდისგან. ორიგამის მოყვარულებს უბრალოდ არ შეეძლოთ უგულებელვყოთ ტომი და მაინც იპოვეს გზა შექმნან და ხელში ეჭირათ ისეთი რამ, რაც ადრე მეცნიერის წარმოსახვას მიღმა ჩანდა.

თუმცა, ჩვენ გვატყუებს საკუთარი თვალი, როდესაც ვუყურებთ სამგანზომილებიანი ობიექტის პროექციას სამი პერპენდიკულარული ხაზიდან. დამკვირვებელი ფიქრობს, რომ ხედავს სამკუთხედს, თუმცა სინამდვილეში ის არ ხედავს.

გეომეტრიის ხელნაკეთობები

ტომის სამკუთხედი, როგორც ითქვა, სინამდვილეში არ არის სამკუთხედი. პენროუზის სამკუთხედი ილუზიაა. ობიექტი მხოლოდ გარკვეული კუთხით ჰგავს ტოლგვერდა სამკუთხედს. თუმცა, ობიექტი თავისი ბუნებრივი სახით არის კუბის 3 სახე. ასეთ იზომეტრულ პროექციაში სიბრტყეზე 2 კუთხე ემთხვევა: მნახველთან ყველაზე ახლოს და ყველაზე შორს.

ოპტიკური ილუზია, რა თქმა უნდა, სწრაფად ვლინდება როგორც კი ამ ობიექტს აიღებ. ჩრდილი ასევე ავლენს ილუზიას, რადგან ტომის ჩრდილი ნათლად აჩვენებს, რომ კუთხეები რეალობაში არ ემთხვევა.

ქაღალდისგან დამზადებული ტომარა. სქემა

როგორ გააკეთოთ პენროზის სამკუთხედი საკუთარი ხელით ქაღალდისგან? არსებობს რაიმე სქემა ამ მოდელისთვის? დღეს ასეთი შეუძლებელი სამკუთხედის დასაკეცად 2 განლაგება გამოიგონეს. ძირითადი გეომეტრია ზუსტად გეტყვით, თუ როგორ უნდა დაკეცოთ ობიექტი.

პენროუზის სამკუთხედის საკუთარი ხელით დასაკეცი, მხოლოდ 10-20 წუთი დაგჭირდებათ. თქვენ უნდა მოამზადოთ წებო, მაკრატელი რამდენიმე ჭრისთვის და ქაღალდი, რომელზედაც დაბეჭდილია დიაგრამა.

ასეთი ცარიელიდან მიიღება ყველაზე პოპულარული შეუძლებელი სამკუთხედი. ორიგამის ხელნაკეთობა არც ისე რთული გასაკეთებელია. ამიტომ, აუცილებლად გამოვა პირველად, თუნდაც სკოლის მოსწავლესთვის, რომელმაც ახლახან დაიწყო გეომეტრიის შესწავლა.

როგორც ხედავთ, ძალიან ლამაზი ხელობა გამოდის. მეორე ნაწილი განსხვავებულად გამოიყურება და სხვანაირად იკეცება, მაგრამ თავად პენროუზის სამკუთხედი ერთნაირად გამოიყურება.

ქაღალდისგან პენროუზის სამკუთხედის შექმნის ნაბიჯები.

აირჩიეთ თქვენთვის მოსახერხებელი 2 ბლანკიდან ერთი, დააკოპირეთ ფაილი და დაბეჭდეთ. აქ ჩვენ ვაძლევთ მეორე განლაგების მოდელის მაგალითს, რომელიც ცოტა უფრო მარტივია.

"Tribar" origami ცარიელი თავად უკვე შეიცავს ყველა საჭირო რჩევას. სინამდვილეში, მიკროსქემის ინსტრუქციები არ არის საჭირო. საკმარისია უბრალოდ გადმოწეროთ იგი სქელ ქაღალდზე, წინააღმდეგ შემთხვევაში მუშაობა მოუხერხებელი იქნება და ფიგურა არ გამოდგება. თუ თქვენ არ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ დაბეჭდოთ მუყაოზე, მაშინ თქვენ უნდა მიამაგროთ ესკიზი ახალ მასალას და ამოჭრათ ნახატი კონტურის გასწვრივ. მოხერხებულობისთვის შეგიძლიათ დაამაგროთ ქაღალდის სამაგრებით.

რა უნდა გააკეთოს შემდეგ? როგორ დავკეცოთ პენროუზის სამკუთხედი საკუთარი ხელით ეტაპობრივად? თქვენ უნდა შეასრულოთ ეს სამოქმედო გეგმა:

1. მაკრატლის ზურგის გამოყენებით დახაზეთ ხაზები, სადაც უნდა დაიხაროთ, ინსტრუქციის მიხედვით. მოხარეთ ყველა ხაზი
2. საჭიროების შემთხვევაში ვაკეთებთ ჭრილობებს.
3. PVA-ს გამოყენებით, ჩვენ ვაწებებთ იმ ნამსხვრევებს, რომლებიც მიზნად ისახავს ნაწილის შეკავებას ერთ მთლიანობაში.

დასრულებული მოდელის გადაღება შესაძლებელია ნებისმიერ ფერში, ან შეგიძლიათ წინასწარ წაიღოთ ფერადი მუყაო სამუშაოდ. მაგრამ მაშინაც კი, თუ ობიექტი დამზადებულია თეთრი ქაღალდისგან, ყველა, ვინც პირველად შედის თქვენს მისაღებში, ნამდვილად იმედგაცრუებული იქნება ასეთი ხელნაკეთობით.

სამკუთხედის ნახაზი

როგორ დავხატოთ პენროუზის სამკუთხედი? ყველას არ მოსწონს ორიგამის გაკეთება, მაგრამ ბევრს უყვარს ხატვა.

დასაწყისისთვის, დახაზეთ ნებისმიერი ზომის ჩვეულებრივი კვადრატი. შემდეგ შიგნით შედგენილია სამკუთხედი, რომლის ფუძეა კვადრატის ქვედა მხარე. თითოეულ კუთხეში მოთავსებულია პატარა ოთხკუთხედი, რომლის ყველა მხარე წაშლილია; რჩება მხოლოდ ის გვერდები, რომლებიც სამკუთხედის მიმდებარედ არიან. ეს აუცილებელია იმისათვის, რომ ხაზები სწორი იყოს. შედეგი არის სამკუთხედი დამსხვრეული კუთხეებით.

შემდეგი ეტაპი არის მეორე განზომილების გამოსახულება. ზედა ქვედა კუთხის მარცხენა მხრიდან შედგენილია მკაცრად სწორი ხაზი. იგივე ხაზი გაყვანილია ქვედა მარცხენა კუთხიდან და ოდნავ არ არის მიყვანილი მე-2 განზომილების პირველ ხაზზე. კიდევ ერთი ხაზი შედგენილია მარჯვენა კუთხიდან ძირითადი ფიგურის ქვედა მხარის პარალელურად.

დასკვნითი ეტაპი არის მესამეს დახატვა მეორე განზომილების შიგნით კიდევ სამი პატარა ხაზის გამოყენებით. მცირე ხაზები იწყება მეორე განზომილების ხაზებიდან და ავსებს სამგანზომილებიანი მოცულობის გამოსახულებას.

პენროუზის სხვა ფიგურები

იგივე ანალოგიის გამოყენებით შეგიძლიათ დახატოთ სხვა ფორმები - კვადრატი ან ექვსკუთხედი. ილუზია შენარჩუნდება. მაგრამ მაინც, ეს მაჩვენებლები აღარ არის ისეთი გასაოცარი. ასეთი მრავალკუთხედები უბრალოდ ძალიან გრეხილი ჩანს. თანამედროვე გრაფიკა შესაძლებელს ხდის შექმნას ცნობილი სამკუთხედის უფრო საინტერესო ვერსიები.

სამკუთხედის გარდა, Penrose Staircase ასევე მსოფლიოში ცნობილია. იდეა არის თვალის მოტყუება, რათა გამოჩნდეს, რომ ადამიანი განუწყვეტლივ ადის ზემოთ, საათის ისრის მიმართულებით მოძრაობისას და ქვევით, როცა ისრის საწინააღმდეგოდ მოძრაობს.

უწყვეტი კიბე ცნობილია მისი ასოციაციისთვის M. Escher-ის ნახატთან "Ascent and Descend". საინტერესოა, რომ როდესაც ადამიანი ამ მოჩვენებითი კიბის ოთხივე რეისს გადის, ის უცვლელად მთავრდება იქ, სადაც დაიწყო.

ასევე ცნობილია სხვა ობიექტები, რომლებიც შეცდომაში შეჰყავს ადამიანის გონებას, როგორიცაა შეუძლებელი ბლოკი. ან ილუზიის იგივე კანონების მიხედვით დამზადებული ყუთი გადაკვეთის კიდეებით. მაგრამ ყველა ეს ობიექტი უკვე გამოიგონეს გამოჩენილი მეცნიერის - როჯერ პენროუზის სტატიის საფუძველზე.

შეუძლებელი სამკუთხედი პერტში

მათემატიკოსის სახელობის ფიგურას პატივს სცემენ. მას ძეგლი დაუდგეს. 1999 წელს ავსტრალიის ერთ-ერთ ქალაქში (პერტი) დამონტაჟდა ალუმინისგან დამზადებული დიდი Penrose სამკუთხედი, რომლის სიმაღლეა 13 მეტრი. ტურისტები სიამოვნებით იღებენ სურათებს ალუმინის გიგანტის გვერდით. მაგრამ თუ ფოტოგრაფიისთვის სხვა კუთხეს აირჩევთ, მოტყუება აშკარა ხდება.

ზედამხედველი

მათემატიკის მასწავლებელი

1. შესავალი………………………………………………………………….

2. ისტორიული ფონი................

3. ძირითადი ნაწილი…………………………………………………………………….7

4. პენროუზის სამკუთხედის შეუძლებლობის დადასტურება......9

5. დასკვნები……………………………………………………………………………………11

6. ლიტერატურა………………………………………………………… 12

შესაბამისობა:მათემატიკა პირველიდან საშუალო სკოლამდე შესწავლილი საგანია. ბევრ სტუდენტს მიაჩნია, რომ ეს რთული, უინტერესო და არასაჭიროა. მაგრამ თუ გადახედავთ სახელმძღვანელოს გვერდებს, წაიკითხავთ დამატებით ლიტერატურას, მათემატიკურ სოფიზმებს და პარადოქსებს, შეიცვლება თქვენი წარმოდგენა მათემატიკაზე და გაგიჩნდებათ სურვილი ისწავლოთ იმაზე მეტი, ვიდრე სწავლობს სკოლის მათემატიკის კურსში.

სამუშაოს მიზანი:

აჩვენეთ, რომ შეუძლებელი ფიგურების არსებობა აფართოებს ჰორიზონტს, ავითარებს სივრცით წარმოსახვას და გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკოსების, არამედ მხატვრების მიერ.

Დავალებები :

1. შეისწავლეთ ლიტერატურა ამ თემაზე.

2. განვიხილოთ შეუძლებელი ფიგურები, შეადგინეთ შეუძლებელი სამკუთხედის მოდელი, დაამტკიცეთ, რომ შეუძლებელი სამკუთხედი არ არსებობს სიბრტყეზე.

3. შექმენით შეუძლებელი სამკუთხედის განვითარება.

4. განვიხილოთ ვიზუალურ ხელოვნებაში შეუძლებელი სამკუთხედის გამოყენების მაგალითები.

შესავალი

ისტორიულად, მათემატიკა მნიშვნელოვან როლს თამაშობს ვიზუალურ ხელოვნებაში, განსაკუთრებით პერსპექტიულ ფერწერაში, რომელიც მოიცავს სამგანზომილებიანი სცენის რეალისტურ გამოსახვას ბრტყელ ტილოზე ან ფურცელზე. თანამედროვე შეხედულებების მიხედვით, მათემატიკა და სახვითი ხელოვნება ერთმანეთისგან ძალიან დაშორებული დისციპლინებია, პირველი ანალიტიკურია, მეორე ემოციური. მათემატიკა არ თამაშობს აშკარა როლს თანამედროვე ხელოვნების უმეტესობაში და, ფაქტობრივად, ბევრი მხატვარი იშვიათად ან არასდროს იყენებს პერსპექტივას. თუმცა, ბევრი მხატვარია, რომელთა აქცენტი მათემატიკაზეა. ვიზუალური ხელოვნების რამდენიმე მნიშვნელოვანმა მოღვაწემ გზა გაუხსნა ამ პიროვნებებს.

ზოგადად, არ არსებობს წესები ან შეზღუდვები მათემატიკურ ხელოვნებაში სხვადასხვა თემების გამოყენებასთან დაკავშირებით, როგორიცაა შეუძლებელი ფიგურები, მობიუსის ზოლები, დამახინჯება ან უჩვეულო პერსპექტიული სისტემები და ფრაქტალები.

შეუძლებელი ფიგურების ისტორია

შეუძლებელი ფიგურები არის გარკვეული ტიპის მათემატიკური პარადოქსი, რომელიც შედგება რეგულარული ნაწილებისგან, რომლებიც დაკავშირებულია არარეგულარულ კომპლექსში. თუ შევეცადეთ ჩამოგვეყალიბებინა ტერმინი „შეუძლებელი ობიექტების“ განმარტება, ეს ალბათ ასე ჟღერს - შეუძლებელი ფორმით აწყობილი ფიზიკურად შესაძლებელი ფიგურები. მაგრამ ბევრად უფრო სასიამოვნოა მათი დათვალიერება, განმარტებების შედგენა.

სივრცის მშენებლობაში შეცდომებს მხატვრები ჯერ კიდევ ათასი წლის წინ ხვდებოდნენ. მაგრამ შვედი მხატვარი ოსკარ როიტერვარდი, რომელმაც 1934 წელს დახატა, სამართლიანად ითვლება პირველმა, ვინც ააშენა და გააანალიზა შეუძლებელი ობიექტები. პირველი შეუძლებელი სამკუთხედი, რომელიც შედგება ცხრა კუბისაგან.

Reutersvaerd-ის სამკუთხედი

Reuters-ისგან დამოუკიდებელი ინგლისელი მათემატიკოსი და ფიზიკოსი როჯერ პენროუზი ხელახლა აღმოაჩენს შეუძლებელ სამკუთხედს და აქვეყნებს მის სურათს ბრიტანულ ფსიქოლოგიის ჟურნალში 1958 წელს. ილუზია იყენებს "ცრუ პერსპექტივას". ზოგჯერ ამ პერსპექტივას ჩინურს უწოდებენ, რადგან ხატვის მსგავსი მეთოდი, როდესაც ნახატის სიღრმე "ორაზროვანია", ხშირად გვხვდება ჩინელი მხატვრების ნამუშევრებში.

ეშერის ჩანჩქერი

1961 წელს ჰოლანდიელი M. Escher, შთაგონებული შეუძლებელი Penrose სამკუთხედით, ქმნის ცნობილ ლითოგრაფიას "Waterfall". სურათზე წყალი უსასრულოდ მიედინება, წყლის ბორბლის შემდეგ გადის უფრო შორს და მთავრდება უკან საწყის წერტილში. არსებითად, ეს არის მუდმივი მოძრაობის მანქანის გამოსახულება, მაგრამ ამ სტრუქტურის რეალურად აშენების ნებისმიერი მცდელობა განწირულია მარცხისთვის.

შეუძლებელი ფიგურების კიდევ ერთი მაგალითი წარმოდგენილია ნახატში "მოსკოვი", რომელიც ასახავს მოსკოვის მეტროს უჩვეულო დიაგრამას. თავდაპირველად ჩვენ აღვიქვამთ გამოსახულებას მთლიანობაში, მაგრამ როცა ცალკეულ ხაზებს ჩვენი მზერით ვსვამთ, ვრწმუნდებით მათი არსებობის შეუძლებლობაში.

« მოსკოვი“, გრაფიკა (მელანი, ფანქარი), 50x70 სმ, 2003 წ.

ნახატი "სამი ლოკოკინა" აგრძელებს მეორე ცნობილი შეუძლებელი ფიგურის - შეუძლებელი კუბის (ყუთის) ტრადიციას.

"სამი ლოკოკინა" შეუძლებელი კუბი

სხვადასხვა ობიექტების ერთობლიობა ასევე გვხვდება არც თუ ისე სერიოზულ ნახატში "IQ" (ინტელექტის კოეფიციენტი). საინტერესოა, რომ ზოგიერთი ადამიანი ვერ აღიქვამს შეუძლებელ ობიექტებს, რადგან მათ გონებას არ შეუძლია ბრტყელი სურათების ამოცნობა სამგანზომილებიან ობიექტებთან.

დონალდ სიმანეკი ვარაუდობს, რომ ვიზუალური პარადოქსების გაგება არის კრეატიულობის ერთ-ერთი დამახასიათებელი ნიშანი, რომელსაც ფლობენ საუკეთესო მათემატიკოსები, მეცნიერები და მხატვრები. ბევრი ნამუშევარი პარადოქსული ობიექტებით შეიძლება კლასიფიცირდეს როგორც "ინტელექტუალური მათემატიკური თამაშები". თანამედროვე მეცნიერება საუბრობს მსოფლიოს 7-განზომილებიან ან 26-განზომილებიან მოდელზე. ასეთი სამყაროს მოდელირება შესაძლებელია მხოლოდ მათემატიკური ფორმულების გამოყენებით; ადამიანები უბრალოდ ვერ წარმოიდგენენ მას. სწორედ აქ გამოდგება შეუძლებელი ფიგურები.

მესამე პოპულარული შეუძლებელი ფიგურა არის პენროუზის მიერ შექმნილი წარმოუდგენელი კიბე. თქვენ განუწყვეტლივ ან ადიდებით (საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით) ან დაეშვებით (საათის ისრის მიმართულებით). პენროუზის მოდელმა საფუძველი ჩაუყარა მ. ეშერის ცნობილ ნახატს "ზემოთ და ქვევით" The Incredible Penrose Staircase

შეუძლებელი ტრიდენტი

"ეშმაკის ჩანგალი"

არსებობს ობიექტების კიდევ ერთი ჯგუფი, რომლის განხორციელება შეუძლებელია. კლასიკური ფიგურა არის შეუძლებელი ტრიდენტი, ანუ "ეშმაკის ჩანგალი". თუ ყურადღებით შეისწავლით სურათს, შეამჩნევთ, რომ სამი კბილი თანდათან იქცევა ორად ერთ ძირზე, რაც იწვევს კონფლიქტს. ჩვენ ვადარებთ კბილების რაოდენობას ზემოთ და ქვემოთ და მივდივართ დასკვნამდე, რომ ობიექტი შეუძლებელია. თუ სამსამიანი ზედა ნაწილს ხელით დავხურავთ, დავინახავთ ძალიან რეალურ სურათს - სამ მრგვალ კბილს. თუ სამკუთხედის ქვედა ნაწილს დავხურავთ, ასევე დავინახავთ რეალურ სურათს - ორ მართკუთხა კბილს. მაგრამ, თუ მთლიან ფიგურას მთლიანობაში განვიხილავთ, გამოდის, რომ სამი მრგვალი კბილი თანდათან გადაიქცევა ორ მართკუთხაში.

ამრიგად, თქვენ ხედავთ, რომ ამ ნახატის წინა პლანი და ფონი კონფლიქტშია. ანუ ის, რაც თავდაპირველად წინა პლანზე იყო, უკან მიდის, ხოლო ფონი (შუა კბილი) წინ მოდის. გარდა წინა პლანისა და ფონის ცვლილებისა, ამ ნახატში არის კიდევ ერთი ეფექტი - სამკუთხედის ზედა ნაწილის ბრტყელი კიდეები ბოლოში მრგვალი ხდება.

Მთავარი ნაწილი.

სამკუთხედი- 3 მიმდებარე ნაწილისგან შემდგარი ფიგურა, რომელიც ამ ნაწილების მიუღებელი კავშირებით ქმნის მათემატიკურად შეუძლებელი სტრუქტურის ილუზიას. ამ სამ სხივიან სტრუქტურას ასევე სხვანაირად უწოდებენ კვადრატი პენროზები

ამ ილუზიის მიღმა არსებული გრაფიკული პრინციპი მის ფორმულირებას ევალება ფსიქოლოგსა და მის ვაჟს, როჯერს, ფიზიკოსს. პენრუზოვის მოედანი შედგება 3 კვადრატული ზოლისგან, რომლებიც განლაგებულია 3 ურთიერთ პერპენდიკულარული მიმართულებით; თითოეული უკავშირდება შემდეგს მარჯვენა კუთხით, ეს ყველაფერი მოთავსებულია სამგანზომილებიან სივრცეში. აქ მოცემულია მარტივი რეცეპტი, თუ როგორ უნდა დავხატოთ პენროზის კვადრატის ეს იზომეტრიული პროექცია:

· ტოლგვერდა სამკუთხედის კუთხეების ამოჭრა გვერდების პარალელურ ხაზებზე;

· გათლილი სამკუთხედის შიგნით გვერდების პარალელების გავლება;

· ხელახლა მოაჭრა კუთხეები;

· ისევ შიგნიდან გავავლოთ პარალელები;

· წარმოიდგინეთ ერთ-ერთ კუთხეში ორი შესაძლო კუბიდან რომელიმე;

· გააგრძელეთ L-ის ფორმის „ნივთით“;

· გაატარეთ ეს დიზაინი წრეში.

· სხვა კუბი რომ ავირჩიოთ, კვადრატი სხვა მიმართულებით „გადაგრეხილი“ იქნებოდა .

შეუძლებელი სამკუთხედის განვითარება.

ფლექციის ხაზი

ჭრის ხაზი

რა ელემენტები გამოიყენება შეუძლებელი სამკუთხედის ასაგებად? უფრო ზუსტად, რა ელემენტებიდან გვეჩვენება ის (ზუსტად ჩანს!) აგებული? დიზაინი ეფუძნება მართკუთხა კუთხეს, რომელიც მიიღება ორი იდენტური მართკუთხა ზოლის მარჯვენა კუთხით შეერთებით. საჭიროა სამი ასეთი კუთხე და, შესაბამისად, ექვსი ცალი ბარი. ეს კუთხეები ვიზუალურად უნდა იყოს "დაკავშირებული" ერთმანეთთან ისე, რომ ისინი დახურულ ჯაჭვს ქმნიან. რაც ხდება, შეუძლებელი სამკუთხედია.

მოათავსეთ პირველი კუთხე ჰორიზონტალურ სიბრტყეში. ჩვენ დავამაგრებთ მას მეორე კუთხეს, რომელიც მიმართავს მის ერთ კიდეს ზემოთ. ბოლოს ამ მეორე კუთხეს ვამაგრებთ მესამე კუთხეს ისე, რომ მისი კიდე ორიგინალური ჰორიზონტალური სიბრტყის პარალელურად იყოს. ამ შემთხვევაში, პირველი და მესამე კუთხის ორი კიდე იქნება პარალელურად და მიმართული სხვადასხვა მიმართულებით.

ახლა შევეცადოთ შევხედოთ ფიგურას სივრცის სხვადასხვა წერტილიდან (ან გავაკეთოთ მავთულის რეალური მოდელი). წარმოიდგინეთ, როგორ გამოიყურება ერთი წერტილიდან, მეორიდან, მესამედან... როდესაც დაკვირვების წერტილი იცვლება (ან - რაც იგივეა - როდესაც სტრუქტურა ბრუნავს სივრცეში), მოგეჩვენებათ, რომ ეს ორი „დასრულებულია“ ჩვენი კუთხეების კიდეები ერთმანეთთან შედარებით მოძრაობს. ძნელი არ არის ისეთი პოზიციის არჩევა, რომელშიც ისინი დააკავშირებენ (რა თქმა უნდა, ახლო კუთხე უფრო სქელი გვეჩვენება, ვიდრე გრძელი).

მაგრამ თუ ნეკნებს შორის მანძილი გაცილებით ნაკლებია ვიდრე მანძილი კუთხეებიდან იმ წერტილამდე, საიდანაც ჩვენ ვუყურებთ ჩვენს სტრუქტურას, მაშინ ორივე ნეკნს ექნება იგივე სისქე ჩვენთვის და წარმოიქმნება იდეა, რომ ეს ორი ნეკნი რეალურად გაგრძელებაა. ერთმანეთის.

სხვათა შორის, თუ ერთდროულად შევხედავთ სარკეში სტრუქტურის ჩვენებას, იქ ვერ დავინახავთ დახურულ წრეს.

და არჩეული დაკვირვების წერტილიდან ჩვენ საკუთარი თვალით ვხედავთ სასწაულს, რაც მოხდა: არსებობს სამი კუთხის დახურული ჯაჭვი. უბრალოდ არ შეცვალოთ დაკვირვების წერტილი, რომ ეს ილუზია (ფაქტობრივად, ილუზიაა!) არ ჩამოინგრა. ახლა თქვენ შეგიძლიათ დახატოთ ობიექტი, რომელსაც ხედავთ, ან განათავსოთ კამერის ობიექტივი ნაპოვნი წერტილში და მიიღოთ შეუძლებელი ობიექტის ფოტო.

პენროზები იყვნენ პირველი, ვინც დაინტერესდა ამ ფენომენით. მათ ისარგებლეს იმ შესაძლებლობებით, რომლებიც წარმოიქმნება სამგანზომილებიანი სივრცისა და სამგანზომილებიანი ობიექტების ორგანზომილებიან სიბრტყეზე (ანუ დიზაინზე) რუკის შედგენისას და ყურადღება გაამახვილეს დიზაინის გარკვეულ გაურკვევლობაზე - სამი კუთხის ღია სტრუქტურა შეიძლება იყოს. აღიქმება დახურულ წრედ.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, მარტივი მოდელის დამზადება შესაძლებელია მავთულისგან, რაც პრინციპში ხსნის დაკვირვებულ ეფექტს. აიღეთ მავთულის სწორი ნაჭერი და გაყავით სამ თანაბარ ნაწილად. შემდეგ მოხარეთ გარე ნაწილები ისე, რომ შუა ნაწილთან სწორი კუთხე შექმნან და ერთმანეთთან შედარებით 900-ით ბრუნავდნენ. ახლა გადაატრიალეთ ეს ფიგურა და უყურეთ მას ერთი თვალით. რაღაც პოზიციაზე, როგორც ჩანს, ის ჩამოყალიბებულია მავთულის დახურული ნაჭერისგან. მაგიდის ნათურის ჩართვით შეგიძლიათ დააკვირდეთ მაგიდაზე დავარდნილ ჩრდილს, რომელიც ასევე იქცევა სამკუთხედად ფიგურის გარკვეულ ადგილას სივრცეში.

თუმცა, დიზაინის ეს მახასიათებელი შეიძლება შეინიშნოს სხვა სიტუაციაში. თუ მავთულის რგოლს გააკეთებთ და შემდეგ გაავრცელებთ სხვადასხვა მიმართულებით, მიიღებთ ცილინდრული სპირალის ერთ შემობრუნებას. ეს მარყუჟი, რა თქმა უნდა, ღიაა. მაგრამ თვითმფრინავზე მისი დაპროექტებისას შეგიძლიათ მიიღოთ დახურული ხაზი.

ჩვენ კიდევ ერთხელ დავრწმუნდით, რომ პროექციიდან თვითმფრინავზე, ნახატიდან, სამგანზომილებიანი ფიგურა ორაზროვნად არის რეკონსტრუირებული. ანუ, პროექცია შეიცავს გარკვეულ გაურკვევლობას, გაუგებრობას, რაც წარმოშობს "შეუძლებელი სამკუთხედს".

და შეგვიძლია ვთქვათ, რომ პენროზების "შეუძლებელი სამკუთხედი", ისევე როგორც მრავალი სხვა ოპტიკური ილუზიები, ლოგიკური პარადოქსებისა და სიტყვის ტოლფასია.

პენროუზის სამკუთხედის შეუძლებლობის მტკიცებულება

თვითმფრინავზე სამგანზომილებიანი ობიექტების ორგანზომილებიანი გამოსახულების მახასიათებლების გაანალიზებით, ჩვენ მივხვდით, თუ როგორ იწვევს ამ ჩვენების თავისებურებებს შეუძლებელი სამკუთხედი.

უაღრესად ადვილია იმის დამტკიცება, რომ შეუძლებელი სამკუთხედი არ არსებობს, რადგან მისი თითოეული კუთხე მართია და მათი ჯამი არის 2700 ნაცვლად 1800-ის "პოზიციონირებული".

უფრო მეტიც, მაშინაც კი, თუ 900-ზე ნაკლები კუთხიდან ერთად შეკრულ შეუძლებელ სამკუთხედს განვიხილავთ, მაშინ ამ შემთხვევაში შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ შეუძლებელი სამკუთხედი არ არსებობს.

განვიხილოთ კიდევ ერთი სამკუთხედი, რომელიც შედგება რამდენიმე ნაწილისაგან. თუ ნაწილები, რომლებიდანაც იგი შედგება, განსხვავებულად არის განლაგებული, მიიღებთ ზუსტად ერთსა და იმავე სამკუთხედს, ოღონდ ერთი მცირე ნაკლით. ერთი კვადრატი დააკლდება. Როგორ არის ეს შესაძლებელი? ან ისევ ილუზიაა?

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Impossible სამკუთხედი" width="298" height="161">!}

აღქმის ფენომენის გამოყენება

არსებობს რაიმე გზა შეუძლებლობის ეფექტის გასაძლიერებლად? არის თუ არა ზოგიერთი ობიექტი უფრო „შეუძლებელი“ ვიდრე სხვები? და აქ ადამიანის აღქმის თავისებურებები შველის. ფსიქოლოგებმა დაადგინეს, რომ თვალი იწყებს ობიექტის (სურათის) შემოწმებას ქვედა მარცხენა კუთხიდან, შემდეგ მზერა სრიალებს მარჯვნივ ცენტრისკენ და ეშვება სურათის ქვედა მარჯვენა კუთხეში. ეს ტრაექტორია შესაძლოა იმით იყოს განპირობებული, რომ ჩვენი წინაპრები მტერთან შეხვედრისას ჯერ ყველაზე საშიშ მარჯვენა ხელს უყურებდნენ, შემდეგ კი მზერა მარცხნივ, სახეზე და ფიგურაზე გადაინაცვლა. ამრიგად, მხატვრული აღქმა მნიშვნელოვნად იქნება დამოკიდებული იმაზე, თუ როგორ არის აგებული სურათის კომპოზიცია. ეს თვისება ნათლად გამოიხატა შუა საუკუნეებში გობელენების დამზადებისას: მათი დიზაინი ორიგინალის სარკისებური გამოსახულება იყო და გობელენებისა და ორიგინალების მიერ წარმოებული შთაბეჭდილება განსხვავებულია.

ეს თვისება შეიძლება წარმატებით იქნას გამოყენებული შეუძლებელი ობიექტების მქონე ქმნილებების შექმნისას, "შეუძლებლობის ხარისხის" გაზრდის ან შემცირებისას. ასევე არსებობს კომპიუტერული ტექნოლოგიის გამოყენებით საინტერესო კომპოზიციების მოპოვების პერსპექტივა, ან რამდენიმე ნახატიდან, რომლებიც ბრუნავს (შესაძლოა სხვადასხვა ტიპის სიმეტრიის გამოყენებით) ერთი მეორესთან მიმართებაში, რაც მაყურებელს ობიექტზე განსხვავებულ შთაბეჭდილებას და დიზაინის არსის უფრო ღრმა გაგებას. , ან ერთი როტაციიდან ( მუდმივად ან ჟრუანტელად) მარტივი მექანიზმის გამოყენებით გარკვეული კუთხით.

ამ მიმართულებას შეიძლება ეწოდოს პოლიგონური (პოლიგონალური). ილუსტრაციებზე ნაჩვენებია ერთმანეთის მიმართ შემობრუნებული სურათები. კომპოზიცია შეიქმნა შემდეგნაირად: ნახატი ქაღალდზე, შესრულებული მელნითა და ფანქრით, დასკანერდა, გადაკეთდა ციფრულ ფორმაში და დამუშავდა გრაფიკულ რედაქტორში. შეიძლება აღინიშნოს კანონზომიერება - შემობრუნებულ სურათს აქვს უფრო დიდი "შეუძლებლობის ხარისხი", ვიდრე ორიგინალი. ეს მარტივად აიხსნება: მხატვარი მუშაობის პროცესში ქვეცნობიერად ცდილობს შექმნას „სწორი“ გამოსახულება.

დასკვნა

სხვადასხვა მათემატიკური ფიგურებისა და კანონების გამოყენება არ შემოიფარგლება ზემოთ მოყვანილი მაგალითებით. ყველა მოცემული ფიგურის გულდასმით შესწავლით, შეგიძლიათ აღმოაჩინოთ სხვა გეომეტრიული სხეულები ან მათემატიკური კანონების ვიზუალური ინტერპრეტაციები, რომლებიც ამ სტატიაში არ არის ნახსენები.

მათემატიკური სახვითი ხელოვნება დღეს ყვავის და ბევრი მხატვარი ქმნის ნახატებს ეშერის სტილში და საკუთარ სტილში. ეს მხატვრები მუშაობენ სხვადასხვა მედიუმში, მათ შორის ქანდაკება, ფერწერა ბრტყელ და სამგანზომილებიან ზედაპირებზე, ლითოგრაფიასა და კომპიუტერულ გრაფიკაში. და მათემატიკური ხელოვნების ყველაზე პოპულარული თემები რჩება პოლიედრები, შეუძლებელი ფიგურები, მობიუსის ზოლები, დამახინჯებული პერსპექტიული სისტემები და ფრაქტალები.

დასკვნები:

1. ასე რომ, შეუძლებელი ფიგურების გათვალისწინება ავითარებს ჩვენს სივრცულ წარმოსახვას, გვეხმარება თვითმფრინავიდან სამგანზომილებიან სივრცეში „გამოსვლაში“, რაც დაგვეხმარება სტერეომეტრიის შესწავლაში.

2. შეუძლებელი ფიგურების მოდელები ხელს უწყობს სიბრტყეზე პროგნოზების განხილვას.

3. მათემატიკური სოფიზმებისა და პარადოქსების გათვალისწინება მათემატიკის მიმართ ინტერესს იწვევს.

ამ სამუშაოს შესრულებისას

1. გავიგე, როგორ, როდის, სად და ვის მიერ იქნა მიჩნეული პირველად შეუძლებელი ფიგურები, რომ ასეთი ფიგურები ბევრია, მხატვრები გამუდმებით ცდილობენ ამ ფიგურების გამოსახვას.

2. მამაჩემთან ერთად შევქმენი შეუძლებელი სამკუთხედის მოდელი, შევისწავლე მისი პროექცია თვითმფრინავზე და დავინახე ამ ფიგურის პარადოქსი.

3. ამ ფიგურების ამსახველი მხატვრების გამოკვლეული რეპროდუქციები

4. ჩემი კლასელები დაინტერესდნენ ჩემი გამოკვლევით.

მომავალში მიღებულ ცოდნას გამოვიყენებ მათემატიკის გაკვეთილებზე და მაინტერესებდა არის თუ არა სხვა პარადოქსები?

ლიტერატურა

1. ტექნიკურ მეცნიერებათა კანდიდატი დ.რაკოვი შეუძლებელი ფიგურების ისტორია

2. შეუძლებელი ფიგურები.- მ.: სტროიზდატი, 1990 წ.

3. ალექსეევა ილუზიები · 7 კომენტარი

4. J. Timothy Unrach. - საოცარი ფიგურები.
(შპს AST Publishing House, Astrel Publishing House LLC, 2002, 168 გვ.)

5. . - გრაფიკული ხელოვნება.
(Art-Rodnik, 2001)

6. დუგლას ჰოფშტადტერი. – გოდელი, ეშერი, ბახი: ეს გაუთავებელი გირლანდი. (გამომცემლობა „ბახრახ-მ“, 2001 წ.)

7. ა. კონენკო – შეუძლებელი ფიგურების საიდუმლოებები
(ომსკი: ლევშა, 199)

შეუძლებელი ფიგურა არის ოპტიკური ილუზიების ერთ-ერთი სახეობა, ფიგურა, რომელიც ერთი შეხედვით ჩანს ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი ობიექტის პროექციად.

საგულდაგულო ​​შემოწმების შემდეგ ხილული ხდება ფიგურის ელემენტების წინააღმდეგობრივი კავშირები. იქმნება ილუზია სამგანზომილებიან სივრცეში ასეთი ფიგურის არსებობის შეუძლებლობის შესახებ.

♦♦♦
შეუძლებელი ფიგურები

ყველაზე ცნობილი შეუძლებელი ფიგურებია შეუძლებელი სამკუთხედი, გაუთავებელი კიბე და შეუძლებელი სამკუთხედი.

შეუძლებელია პეროზის სამკუთხედი

Reutersvard-ის ილუზია (Reutersvard, 1934)

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ფიგურის ორგანიზაციის ცვლილებამ შესაძლებელი გახადა ცენტრალურად მდებარე „ვარსკვლავის“ აღქმა.
_________

ეშერის შეუძლებელი კუბი

სინამდვილეში, ყველა შეუძლებელი ფიგურა შეიძლება არსებობდეს რეალურ სამყაროში. ამრიგად, ქაღალდზე დახატული ყველა ობიექტი არის სამგანზომილებიანი ობიექტების პროექცია, შესაბამისად, შესაძლებელია შეიქმნას სამგანზომილებიანი ობიექტი, რომელიც თვითმფრინავზე დაპროექტებისას შეუძლებლად გამოიყურება. როდესაც ასეთ ობიექტს გარკვეული წერტილიდან უყურებ, ის ასევე შეუძლებლად გამოიყურება, მაგრამ სხვა წერტილიდან დანახვისას შეუძლებლობის ეფექტი დაიკარგება.

შეუძლებელი სამკუთხედის 13 მეტრიანი სკულპტურა ალუმინისგან 1999 წელს პერტში (ავსტრალია) დაიდგა. აქ შეუძლებელი სამკუთხედი გამოსახული იყო მისი ყველაზე ზოგადი სახით - სამი სხივის სახით, რომლებიც დაკავშირებულია ერთმანეთთან სწორი კუთხით.

ეშმაკის ჩანგალი
ყველა შეუძლებელ ფიგურას შორის განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს შეუძლებელ სამსამს („ეშმაკის ჩანგალი“).

თუ ტრიდენტის მარჯვენა მხარეს ხელით დავხურავთ, დავინახავთ ძალიან რეალურ სურათს - სამ მრგვალ კბილს. თუ სამკუთხედის ქვედა ნაწილს დავხურავთ, ასევე დავინახავთ რეალურ სურათს - ორ მართკუთხა კბილს. მაგრამ, თუ მთლიან ფიგურას მთლიანობაში განვიხილავთ, გამოდის, რომ სამი მრგვალი კბილი თანდათან გადაიქცევა ორ მართკუთხაში.

ამრიგად, თქვენ ხედავთ, რომ ამ ნახატის წინა პლანი და ფონი კონფლიქტშია. ანუ ის, რაც თავდაპირველად წინა პლანზე იყო, უკან მიდის, ხოლო ფონი (შუა კბილი) წინ მოდის. გარდა წინა პლანისა და ფონის ცვლილებისა, ამ ნახატში არის კიდევ ერთი ეფექტი - სამკუთხედის მარჯვენა მხარის ბრტყელი კიდეები ხდება მრგვალი მარცხნივ.

შეუძლებლობის ეფექტი მიიღწევა იმის გამო, რომ ჩვენი ტვინი აანალიზებს ფიგურის კონტურს და ცდილობს დათვალოს კბილების რაოდენობა. ტვინი ადარებს კბილების რაოდენობას ფიგურაში სურათის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს, რაც ბადებს განცდას, რომ ფიგურა შეუძლებელია. თუ ფიგურაში კბილების რაოდენობა მნიშვნელოვნად დიდი იქნებოდა (მაგალითად, 7 ან 8), მაშინ ეს პარადოქსი ნაკლებად გამოხატული იქნებოდა.

ზოგიერთი წიგნი ირწმუნება, რომ შეუძლებელი ტრიდენტი მიეკუთვნება შეუძლებელი ფიგურების კლასს, რომელთა ხელახლა შექმნა რეალურ სამყაროში შეუძლებელია. სინამდვილეში ეს სიმართლეს არ შეესაბამება. ყველა შეუძლებელი ფიგურის ნახვა შესაძლებელია რეალურ სამყაროში, მაგრამ ისინი შეუძლებლად მხოლოდ ერთი პერსპექტივიდან გამოიყურებიან.

______________

შეუძლებელი სპილო


რამდენი ფეხი აქვს სპილოს?

სტენფორდის ფსიქოლოგმა როჯერ შეპარდმა გამოიყენა ტრიდენტის იდეა შეუძლებელი სპილოს სურათისთვის.

______________

პენროუზის კიბე(გაუთავებელი კიბე, შეუძლებელი კიბე)

გაუთავებელი კიბე ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი კლასიკური შეუძლებლობაა.

ეს არის კიბის დიზაინი, რომელშიც ერთი მიმართულებით გადაადგილებისას (სურათზე სტატიის საწინააღმდეგო საათის ისრის მიმართულებით) ადამიანი უსასრულოდ ადის, ხოლო თუ საპირისპირო მიმართულებით მოძრაობს, მუდმივად დაეშვება.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ წარმოგიდგენთ კიბეს, რომელიც, როგორც ჩანს, მიდის მაღლა ან ქვევით, მაგრამ მის გასწვრივ მიმავალი ადამიანი არ ადის და არ ეცემა. ვიზუალური მარშრუტის დასრულების შემდეგ ის აღმოჩნდება ბილიკის დასაწყისში. თუ რეალურად მოგიწევდათ ამ კიბეებზე ასვლა, უსასრულოდ ბევრჯერ აიარებდით მათ უმიზნოდ. შეგიძლიათ მას დაუსრულებელი სიზიფური დავალება უწოდოთ!

მას შემდეგ, რაც Penroses-მა გამოაქვეყნა ეს მაჩვენებელი, ის უფრო ხშირად ჩნდება ბეჭდვით, ვიდრე ნებისმიერი სხვა შეუძლებელი ობიექტი. "დაუსრულებელი კიბე" შეგიძლიათ იხილოთ წიგნებში თამაშების, თავსატეხების, ილუზიების შესახებ, ფსიქოლოგიის სახელმძღვანელოებში და სხვა საგნებში.

"ადექი და ჩამოდი"

„უსასრულო ტყე“ წარმატებით გამოიყენა მხატვარმა მაურიტს კ.
ამ ნახატში, რომელიც ასახავს პენროზის ფიგურის ყველა შესაძლებლობას, ძალიან ცნობადი გაუთავებელი კიბე ლამაზად არის ჩაწერილი მონასტრის სახურავზე. კაპიუშონიანი ბერები განუწყვეტლივ ადიან კიბეებზე საათის ისრის და საწინააღმდეგო მიმართულებით. ისინი ერთმანეთისკენ შეუძლებელ გზაზე მიდიან. ისინი ვერასდროს ახერხებენ ასვლას ან დაცემას.

შესაბამისად, უსასრულო კიბე უფრო ხშირად ასოცირდება ეშერთან, რომელმაც ის ხელახლა შექმნა, ვიდრე პენროზებთან, რომლებმაც ის გამოიგონეს.

რამდენი თაროა?

სად არის კარი ღია?

გარეგნული თუ შინაგანი?

წარსული ოსტატების ტილოებზე ხანდახან ჩნდებოდა შეუძლებელი ფიგურები, მაგალითად, ასეთია პიტერ ბრიუგელის (უხუცესი) ნახატზე ასახული ტილო.
"კაჭკაჭი ღელეზე" (1568)

__________

შეუძლებელი თაღი

Jos de Mey არის ფლამანდიელი მხატვარი, რომელიც სწავლობდა სახვითი ხელოვნების სამეფო აკადემიაში გენტში (ბელგია) და შემდეგ 39 წლის განმავლობაში ასწავლიდა სტუდენტებს ინტერიერის დიზაინსა და ფერს. 1968 წლიდან დაწყებული, მისი ყურადღება ხატვა გახდა. ის ყველაზე ცნობილია შეუძლებელი სტრუქტურების ფრთხილად და რეალისტური შესრულებით.

ყველაზე ცნობილი შეუძლებელი ფიგურებია მხატვრის მორის ეშერის ნამუშევრებში. ასეთი ნახატების შესწავლისას, თითოეული ცალკეული დეტალი საკმაოდ დამაჯერებლად გამოიყურება, მაგრამ როდესაც ცდილობთ ხაზის დახაზვას, აღმოჩნდება, რომ ეს ხაზი აღარ არის, მაგალითად, კედლის გარე კუთხე, არამედ შიდა.

"ფარდობითობა"

ჰოლანდიელი მხატვრის ეშერის ეს ლითოგრაფია პირველად 1953 წელს დაიბეჭდა.

ლითოგრაფია ასახავს პარადოქსულ სამყაროს, რომელშიც რეალობის კანონები არ მოქმედებს. სამი რეალობა გაერთიანებულია ერთ სამყაროში, სამი სიმძიმის ძალა მიმართულია ერთმანეთის პერპენდიკულარულად.

შექმნილია არქიტექტურული ნაგებობა, რეალობებს კიბეები აერთიანებს. ამ სამყაროში მცხოვრები ადამიანებისთვის, მაგრამ რეალობის სხვადასხვა სიბრტყეში, ერთი და იგივე კიბე მიმართული იქნება ზემოთ ან ქვემოთ.

"ჩანჩქერი"

ჰოლანდიელი მხატვრის ეშერის ეს ლითოგრაფია პირველად 1961 წლის ოქტომბერში დაიბეჭდა.

ეშერის ეს ნამუშევარი ასახავს პარადოქსს - ჩანჩქერის ჩამოვარდნილი წყალი ამოძრავებს ბორბალს, რომელიც წყალს ჩანჩქერის ზევით მიმართავს. ჩანჩქერს აქვს "შეუძლებელი" პენროუზის სამკუთხედის სტრუქტურა: ლითოგრაფია შეიქმნა British Journal of Psychology-ის სტატიის საფუძველზე.

სტრუქტურა შედგება სამი ჯვარედინი ზოლისგან, რომლებიც ერთმანეთზეა დაწყობილი მარჯვენა კუთხით. ჩანჩქერი ლითოგრაფიაში მუშაობს როგორც მუდმივი მოძრაობის მანქანა. ასევე ჩანს, რომ ორივე კოშკი ერთნაირია; ფაქტობრივად, მარჯვენა არის მარცხენა კოშკიდან ერთი სართულის ქვემოთ.

აბა, უფრო თანამედროვე ნამუშევრები :o)
გაუთავებელი ფოტოგრაფია

საოცარი სამშენებლო მოედანი

ჭადრაკის დაფა

♦♦♦
თავდაყირა სურათები

რას ხედავთ: უზარმაზარი ყვავი ნადირით თუ მეთევზე ნავში, თევზი და კუნძული ხეებით?

რასპუტინი და სტალინი

ახალგაზრდობა და სიბერე

_________________

დიდგვაროვანი და დედოფალი

შეუძლებელი მაინც შესაძლებელია. და ამის ნათელი დადასტურებაა შეუძლებელი პენროუზის სამკუთხედი. გასულ საუკუნეში აღმოჩენილი, დღემდე ხშირად გვხვდება სამეცნიერო ლიტერატურაში. და რაც არ უნდა გასაოცრად ჟღერდეს, თქვენ თვითონაც კი შეგიძლიათ გააკეთოთ იგი. და ამის გაკეთება სულაც არ არის რთული. ბევრ ადამიანს, ვისაც უყვარს ორიგამის დახატვა ან აწყობა, დიდი ხანია შეუძლია ამის გაკეთება.

პენროზის სამკუთხედის მნიშვნელობა

ამ ფიგურას რამდენიმე სახელი აქვს. ზოგი მას შეუძლებელ სამკუთხედს უწოდებს, ზოგი კი უბრალოდ ტომს. მაგრამ ყველაზე ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ განმარტება "პენროსის სამკუთხედი".

ამ განმარტებებით ჩვენ გვესმის ერთ-ერთი მთავარი შეუძლებელი ფიგურა. სახელწოდებით თუ ვიმსჯელებთ, სინამდვილეში ასეთი ფიგურის მიღება შეუძლებელია. მაგრამ პრაქტიკაში დადასტურდა, რომ ამის გაკეთება ჯერ კიდევ შესაძლებელია. ეს მხოლოდ ფორმას მიიღებს, თუ მას გარკვეული წერტილიდან სწორი კუთხით შეხედავ. ყველა სხვა მხრიდან ფიგურა საკმაოდ რეალურია. იგი წარმოადგენს კუბის სამ კიდეს. და ადვილია ასეთი დიზაინის გაკეთება.

აღმოჩენის ისტორია

პენროუზის სამკუთხედი 1934 წელს აღმოაჩინა შვედმა მხატვარმა ოსკარ როიტერვარდმა. ფიგურა წარმოდგენილი იყო ერთად აწყობილი კუბების სახით. მოგვიანებით მხატვარს უწოდეს "შეუძლებელი ფიგურების მამა".

შესაძლოა, Reutersvard-ის ნახატი ნაკლებად ცნობილი დარჩებოდა. მაგრამ 1954 წელს შვედმა მათემატიკოსმა როჯერ პენროზმა დაწერა ნაშრომი შეუძლებელი ფიგურების შესახებ. ეს იყო სამკუთხედის მეორე დაბადება. მართალია, მეცნიერმა ის უფრო ნაცნობი სახით წარმოადგინა. მან გამოიყენა სხივები, ვიდრე კუბურები. სამი სხივი ერთმანეთთან იყო დაკავშირებული 90 გრადუსიანი კუთხით. ასევე განსხვავებული იყო ის, რომ Reutersvard ხატვისას პარალელურ პერსპექტივას იყენებდა. ხოლო პენროზმა გამოიყენა ხაზოვანი პერსპექტივა, რამაც ნახატი კიდევ უფრო შეუძლებელი გახადა. ასეთი სამკუთხედი 1958 წელს გამოქვეყნდა ბრიტანულ ფსიქოლოგიის ერთ-ერთ ჟურნალში.

1961 წელს მხატვარმა მაურიტს ეშერმა (ჰოლანდია) შექმნა თავისი ერთ-ერთი ყველაზე პოპულარული ლითოგრაფია, "ჩანჩქერი". იგი შეიქმნა შეუძლებელი ფიგურების შესახებ სტატიით გამოწვეული შთაბეჭდილების ქვეშ.

1980-იან წლებში შვედეთის სახელმწიფო საფოსტო მარკებზე ტომები და სხვა შეუძლებელი ფიგურები იყო გამოსახული. ეს გაგრძელდა რამდენიმე წლის განმავლობაში.

გასული საუკუნის ბოლოს (უფრო ზუსტად, 1999 წელს) ავსტრალიაში შეიქმნა ალუმინის სკულპტურა, რომელიც ასახავს შეუძლებელ პენროუზის სამკუთხედს. სიმაღლე 13 მეტრს აღწევდა. მსგავსი ქანდაკებები, მხოლოდ მცირე ზომის, გვხვდება სხვა ქვეყნებში.

რეალობაში შეუძლებელია

როგორც თქვენ ალბათ მიხვდით, პენროუზის სამკუთხედი სინამდვილეში არ არის სამკუთხედი ჩვეულებრივი გაგებით. იგი წარმოადგენს კუბის სამ მხარეს. მაგრამ თუ გარკვეული კუთხიდან უყურებთ, თქვენ გექნებათ სამკუთხედის ილუზია იმის გამო, რომ 2 კუთხე მთლიანად ემთხვევა სიბრტყეზე. მაყურებლისგან უახლოესი და შორეული კუთხეები ვიზუალურად არის შერწყმული.

თუ ფრთხილად იქნებით, შეგიძლიათ გამოიცნოთ, რომ ტომი სხვა არაფერია, თუ არა ილუზია. ფიგურის რეალური გარეგნობა შეიძლება გამოვლინდეს მისი ჩრდილით. ეს აჩვენებს, რომ კუთხეები რეალურად არ არის დაკავშირებული. და, რა თქმა უნდა, ყველაფერი ცხადი ხდება, თუ ფიგურას აიღებ.

ფიგურის გაკეთება საკუთარი ხელით

პენროუზის სამკუთხედის აწყობა თავადაც შეგიძლიათ. მაგალითად, ქაღალდის ან მუყაოსგან. და დიაგრამები დაგეხმარებათ ამაში. თქვენ უბრალოდ უნდა ამობეჭდოთ ისინი და დააწებოთ. ინტერნეტში ორი სქემაა ხელმისაწვდომი. ერთი მათგანი ოდნავ მარტივია, მეორე უფრო რთული, მაგრამ უფრო პოპულარული. ორივე ნაჩვენებია სურათებზე.

Penrose სამკუთხედი იქნება საინტერესო პროდუქტი, რომელიც სტუმრებს აუცილებლად მოეწონებათ. ეს ნამდვილად არ დარჩება შეუმჩნეველი. მისი შექმნის პირველი ნაბიჯი არის დიაგრამის მომზადება. იგი გადადის ქაღალდზე (მუყაო) პრინტერის გამოყენებით. და მაშინ ყველაფერი კიდევ უფრო მარტივია. თქვენ უბრალოდ უნდა გაჭრათ იგი პერიმეტრის გარშემო. დიაგრამა უკვე შეიცავს ყველა საჭირო ხაზს. უფრო მოსახერხებელი იქნება სქელ ქაღალდთან მუშაობა. თუ დიაგრამა დაბეჭდილია თხელ ქაღალდზე, მაგრამ გსურთ რაღაც უფრო სქელი, ცარიელი უბრალოდ გამოიყენება შერჩეულ მასალაზე და ამოჭრილია კონტურის გასწვრივ. დიაგრამის გადაადგილების თავიდან ასაცილებლად, მისი დამაგრება შესაძლებელია ქაღალდის სამაგრებით.

შემდეგი, თქვენ უნდა განსაზღვროთ ხაზები, რომლებზეც სამუშაო ნაწილი მოხრილდება. როგორც წესი, იგი წარმოდგენილია დიაგრამაზე ნაწილის მოხრით. შემდეგი, ჩვენ განვსაზღვრავთ ადგილებს, რომლებიც უნდა იყოს წებოვანი. ისინი დაფარულია PVA წებოთი. ნაწილი დაკავშირებულია ერთ ფიგურად.

ნაწილის მოხატვა შესაძლებელია. ან შეგიძლიათ თავდაპირველად გამოიყენოთ ფერადი მუყაო.

შეუძლებელი ფიგურის დახატვა

ასევე შესაძლებელია პენროუზის სამკუთხედის დახატვა. დასაწყისისთვის, დახაზეთ მარტივი კვადრატი ფურცელზე. მის ზომას არ აქვს მნიშვნელობა. კვადრატის ქვედა მხარეს ფუძით გამოყვანილია სამკუთხედი. მის კუთხეებში შედგენილია პატარა ოთხკუთხედები. მათი გვერდები უნდა წაიშალოს და დარჩეს მხოლოდ ის, რაც საერთოა სამკუთხედთან. შედეგი უნდა იყოს სამკუთხედი დამსხვრეული კუთხეებით.

ზედა ქვედა კუთხის მარცხენა მხრიდან გავლებულია სწორი ხაზი. იგივე ხაზი, მაგრამ ოდნავ უფრო მოკლე, შედგენილია ქვედა მარცხენა კუთხიდან. მარჯვენა კუთხიდან გამომავალი სამკუთხედის ფუძის პარალელურად დახაზულია ხაზი. ეს იწვევს მეორე განზომილებას.

მეორის პრინციპის მიხედვით, მესამე განზომილება შედგენილია. მხოლოდ ამ შემთხვევაში, ყველა სწორი ხაზი ეფუძნება ფიგურის კუთხეებს არა პირველ, არამედ მეორე განზომილებაში.