როგორ დავამატოთ სწორი წილადი არასწორ წილადთან. განტოლებათა სისტემის შედგენა

მოქმედებები წილადებთან.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

მაშ, რა არის წილადები, წილადების ტიპები, გარდაქმნები - გვახსოვს. გადავიდეთ მთავარ საკითხზე.

რა შეგიძლიათ გააკეთოთ წილადებთან?დიახ, ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ ნომრებში. დამატება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა.

ყველა ეს ქმედება თან ათობითიწილადებთან მუშაობა არაფრით განსხვავდება მთელ რიცხვებთან მუშაობისგან. სინამდვილეში, ეს არის ის, რაც მათში კარგია, ათობითი. ერთადერთი ის არის, რომ თქვენ უნდა დააყენოთ მძიმით სწორად.

შერეული რიცხვები, როგორც უკვე ვთქვი, ნაკლებად გამოსადეგია ქმედებების უმეტესობისთვის. მათ ჯერ კიდევ სჭირდებათ გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებად.

მაგრამ მოქმედებები ჩვეულებრივი წილადებიისინი უფრო ცბიერები იქნებიან. და ბევრად უფრო მნიშვნელოვანია! ნება მომეცით შეგახსენოთ: ყველა მოქმედება წილადური გამონათქვამებით ასოებით, სინუსებით, უცნობიებით და ა.შ. და ა.შ. არ განსხვავდება ჩვეულებრივი წილადების მოქმედებებისგან! ჩვეულებრივი წილადებით მოქმედებები ყველა ალგებრის საფუძველია. სწორედ ამ მიზეზით, ჩვენ აქ დეტალურად გავაანალიზებთ მთელ ამ არითმეტიკას.

წილადების შეკრება და გამოკლება.

ყველას შეუძლია ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დამატება (გამოკლება) (ნამდვილად იმედი მაქვს!). აბა, სრულიად დავიწყებულებს შევახსენო: შეკრებისას (გამოკლებისას) მნიშვნელი არ იცვლება. მრიცხველები ემატება (აკლდება) შედეგის მრიცხველის მისაცემად. ტიპი:

მოკლედ, ზოგადად:

რა მოხდება, თუ მნიშვნელები განსხვავებულია? შემდეგ, წილადის ძირითადი თვისების გამოყენებით (აი ის ისევ გამოგადგებათ!), მნიშვნელებს იგივე ვაკეთებთ! Მაგალითად:

აქ უნდა გაგვეკეთებინა წილადი 4/10 წილადიდან 2/5. მხოლოდ იმ მიზნით, რომ მნიშვნელები იგივე იყოს. ნება მომეცით აღვნიშნო, ყოველი შემთხვევისთვის, რომ 2/5 და 4/10 არის იგივე წილადი! მხოლოდ 2/5 არის ჩვენთვის არაკომფორტული და 4/10 ნამდვილად კარგია.

სხვათა შორის, ეს არის ნებისმიერი მათემატიკური ამოცანის ამოხსნის არსი. როცა ჩვენგან არასასიამოვნოჩვენ ვაკეთებთ გამონათქვამებს იგივე, მაგრამ უფრო მოსახერხებელია გადასაჭრელად.

Სხვა მაგალითი:

ანალოგიური სიტუაციაა. აქ ვაკეთებთ 48-ს 16-დან. მარტივი გამრავლებით 3-ზე. ეს ყველაფერი გასაგებია. მაგრამ ჩვენ შეგვხვდა მსგავსი რამ:

Როგორ უნდა იყოს?! შვიდიდან ცხრა ძნელია! მაგრამ ჩვენ ჭკვიანები ვართ, ჩვენ ვიცით წესები! მოდით გარდავქმნათ ყოველიწილადი ისე, რომ მნიშვნელები ერთნაირი იყოს. ამას ჰქვია "შემცირება საერთო მნიშვნელამდე":

Ვაუ! საიდან ვიცოდი 63-ის შესახებ? Ძალიან მარტივი! 63 არის რიცხვი, რომელიც ერთდროულად იყოფა 7-ზე და 9-ზე. ასეთი რიცხვი ყოველთვის შეიძლება მივიღოთ მნიშვნელების გამრავლებით. მაგალითად, თუ რიცხვს გავამრავლებთ 7-ზე, შედეგი აუცილებლად იყოფა 7-ზე!

თუ რამდენიმე წილადის დამატება (გამოკლება) გჭირდებათ, ამის გაკეთება წყვილებში, ეტაპობრივად, საჭირო არ არის. თქვენ უბრალოდ უნდა იპოვოთ ყველა წილადის საერთო მნიშვნელი და შეამციროთ თითოეული წილადი იმავე მნიშვნელამდე. Მაგალითად:

და რა იქნება საერთო მნიშვნელი? თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გაამრავლოთ 2, 4, 8 და 16. მივიღებთ 1024. კოშმარი. უფრო ადვილია იმის დადგენა, რომ რიცხვი 16 სრულყოფილად იყოფა 2-ზე, 4-ზე და 8-ზე. ამიტომ, ამ რიცხვებიდან ადვილია 16-ის მიღება. ეს რიცხვი იქნება საერთო მნიშვნელი. გადავაქციოთ 1/2 8/16-ად, 3/4 12/16-ად და ა.შ.

სხვათა შორის, თუ 1024-ს აიღებთ საერთო მნიშვნელად, ყველაფერი გამოვა, ბოლოს ყველაფერი შემცირდება. მაგრამ ყველა ვერ მიაღწევს ამ ბოლომდე, გათვლების გამო...

თავად დაასრულეთ მაგალითი. არა რაიმე სახის ლოგარითმი... უნდა იყოს 29/16.

ასე რომ, წილადების შეკრება (გამოკლება) გასაგებია, იმედი მაქვს? რა თქმა უნდა, უფრო ადვილია მუშაობა შემცირებულ ვერსიაში, დამატებითი მულტიპლიკატორებით. მაგრამ ეს სიამოვნება ხელმისაწვდომია მათთვის, ვინც პატიოსნად მუშაობდა დაბალ კლასებში... და არაფერი დაივიწყა.

და ახლა ჩვენ გავაკეთებთ იგივე მოქმედებებს, მაგრამ არა წილადებით, არამედ წილადური გამონათქვამები. აქ აღმოაჩენენ ახალ საკომისიო, დიახ...

ასე რომ, ჩვენ უნდა დავამატოთ ორი წილადური გამონათქვამი:

ჩვენ უნდა გავხადოთ მნიშვნელები იგივე. და მხოლოდ დახმარებით გამრავლება! ამას კარნახობს წილადის მთავარი თვისება. მაშასადამე, მნიშვნელში პირველ წილადს X-ს ვერ დავამატებ. (კარგი იქნებოდა!). მაგრამ თუ მნიშვნელებს გაამრავლებ, ხედავ, ყველაფერი ერთად იზრდება! ასე რომ, ჩვენ ვწერთ წილადის ხაზს, ვტოვებთ ცარიელ ადგილს ზევით, შემდეგ ვამატებთ მას და ვწერთ მნიშვნელების ნამრავლს ქვემოთ ისე, რომ არ დავივიწყოთ:

და, რა თქმა უნდა, ჩვენ არაფერს ვამრავლებთ მარჯვენა მხარეს, არ ვხსნით ფრჩხილებს! ახლა კი, მარჯვენა მხარეს საერთო მნიშვნელს რომ ვუყურებთ, ვხვდებით: იმისათვის, რომ მიიღოთ მნიშვნელი x(x+1) პირველ წილადში, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი (x+1)-ზე. . ხოლო მეორე წილადში - x-მდე. ეს არის ის, რაც თქვენ მიიღებთ:

Შენიშვნა! აქ არის ფრჩხილები! ეს არის საკომისიო, რომელსაც ბევრი ადამიანი აბიჯებს. არა ფრჩხილები, რა თქმა უნდა, არამედ მათი არარსებობა. ფრჩხილები იმიტომ ჩნდება, რომ ჩვენ ვმრავლდებით ყველამრიცხველი და ყველამნიშვნელი! და არა მათი ცალკეული ნაწილები...

მარჯვენა მხარის მრიცხველში ვწერთ მრიცხველთა ჯამს, ყველაფერი ისეა როგორც რიცხვით წილადებში, შემდეგ ვხსნით ფრჩხილებს მარჯვენა მხარის მრიცხველში, ე.ი. ვამრავლებთ ყველაფერს და ვაძლევთ მსგავსებს. არ არის საჭირო მნიშვნელებში ფრჩხილების გახსნა ან რაიმეს გამრავლება! ზოგადად, მნიშვნელებში (ნებისმიერ) პროდუქტი ყოველთვის უფრო სასიამოვნოა! ჩვენ ვიღებთ:

ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ პასუხი. პროცესი გრძელი და რთული ჩანს, მაგრამ ეს დამოკიდებულია პრაქტიკაზე. როგორც კი ამოხსნით მაგალითებს, შეეგუებით, ყველაფერი მარტივი გახდება. ვინც თავის დროზე აითვისა წილადები, ყველა ამ ოპერაციას აკეთებს ერთი მარცხენა ხელით, ავტომატურად!

და კიდევ ერთი შენიშვნა. ბევრი ჭკვიანურად უმკლავდება წილადებს, მაგრამ ჩერდება მაგალითებზე მთლიანინომრები. მომწონს: 2 + 1/2 + 3/4= ? სად დავამაგროთ ორ ცალი? არ არის საჭირო სადმე დამაგრება, უნდა გააკეთოთ წილადი ორიდან. ეს არ არის ადვილი, მაგრამ ძალიან მარტივი! 2=2/1. Ამგვარად. ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს წილადად. მრიცხველი არის თავად რიცხვი, მნიშვნელი არის ერთი. 7 არის 7/1, 3 არის 3/1 და ასე შემდეგ. იგივეა ასოებით. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 და ა.შ. შემდეგ კი ამ წილადებთან ვმუშაობთ ყველა წესის მიხედვით.

ისე, წილადების შეკრება-გამოკლების ცოდნა განახლდა. წილადების ერთი ტიპიდან მეორეში გადაყვანა განმეორდა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ცოტა მოვაგვაროთ?)

გამოთვალეთ:

პასუხები (არეულად):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

წილადების გამრავლება/გაყოფა - მომდევნო გაკვეთილზე. ასევე არის ამოცანები წილადებით ყველა ოპერაციისთვის.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

გაკვეთილის შინაარსი

მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატება

არსებობს წილადების დამატების ორი ტიპი:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

ჯერ ვისწავლოთ მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატება. აქ ყველაფერი მარტივია. ერთიდაიგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი. მაგალითად, დავუმატოთ წილადები და . დაამატეთ მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც ოთხ ნაწილად იყოფა. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2.დაამატეთ წილადები და.

პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა. როდესაც დავალების დასასრული მოდის, ჩვეულებრივია არასათანადო წილადებისგან თავის დაღწევა. არასწორი წილადის მოსაშორებლად, თქვენ უნდა აირჩიოთ მისი მთელი ნაწილი. ჩვენს შემთხვევაში, მთელი ნაწილი ადვილად იზოლირებულია - ორი გაყოფილი ორზე უდრის ერთს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ ორ ნაწილად დაყოფილ პიცას. თუ პიცას დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას:

მაგალითი 3. დაამატეთ წილადები და.

ისევ ვამატებთ მრიცხველებს და ვტოვებთ მნიშვნელს უცვლელად:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 4.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. მრიცხველები უნდა დაემატოს და მნიშვნელი დარჩეს უცვლელი:

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი ნახატის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას და დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ 1 მთლიან პიცას და მეტ პიცას.

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დამატებაში. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად საჭიროა მათი მრიცხველების დამატება და მნიშვნელი უცვლელი დატოვება;

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

ახლა ვისწავლოთ როგორ დავამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. წილადების შეკრებისას წილადების მნიშვნელები უნდა იყოს იგივე. მაგრამ ისინი ყოველთვის არ არიან ერთნაირი.

მაგალითად, წილადების დამატება შეიძლება, რადგან მათ აქვთ იგივე მნიშვნელები.

მაგრამ წილადების დაუყოვნებლივ დამატება შეუძლებელია, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში წილადები უნდა დაიწიოს ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

წილადების ერთსა და იმავე მნიშვნელზე შემცირების რამდენიმე გზა არსებობს. დღეს ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ერთ მათგანს, რადგან დამწყებთათვის სხვა მეთოდები შეიძლება რთული ჩანდეს.

ამ მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ ჯერ იძებნება ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე, რათა მიიღოთ პირველი დამატებითი ფაქტორი. იგივეს აკეთებენ მეორე წილადთან - LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი კოეფიციენტი.

შემდეგ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცევა წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1. დავამატოთ წილადები და

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 6.

LCM (2 და 3) = 6

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და . პირველი, გაყავით LCM პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ პირველი დამატებითი ფაქტორი. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 6 3-ზე, მივიღებთ 2-ს.

შედეგად მიღებული ნომერი 2 არის პირველი დამატებითი მულტიპლიკატორი. ჩავწერთ პირველ წილადამდე. ამისათვის გააკეთეთ პატარა ირიბი ხაზი წილადზე და ჩაწერეთ მის ზემოთ ნაპოვნი დამატებითი ფაქტორი:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM-ს ვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელზე და ვიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. გავყოთ 6 2-ზე, მივიღებთ 3-ს.

შედეგად მიღებული რიცხვი 3 არის მეორე დამატებითი მულტიპლიკატორი. ჩავწერთ მეორე წილადამდე. კვლავ ვაკეთებთ პატარა ირიბ ხაზს მეორე წილადზე და ვწერთ მის ზემოთ ნაპოვნი დამატებით ფაქტორს:

ახლა ჩვენ ყველაფერი მზად გვაქვს დასამატებლად. რჩება წილადების მრიცხველების და მნიშვნელების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

კარგად დააკვირდით რა მივედით. მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები. ავიღოთ ეს მაგალითი ბოლომდე:

ეს ასრულებს მაგალითს. თურმე დამატება.

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი ნახატის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას და პიცის მეორე მეექვსედს:

წილადების შემცირება ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. წილადების შემცირებით და საერთო მნიშვნელამდე მივიღეთ წილადები და . ეს ორი ფრაქცია წარმოდგენილი იქნება პიცის ერთი და იგივე ნაჭრებით. განსხვავება მხოლოდ ის იქნება, რომ ამჯერად ისინი დაიყოფიან თანაბარ წილებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე).

პირველი ნახაზი წარმოადგენს წილადს (ოთხი ცალი ექვსიდან), ხოლო მეორე ნახაზი წარმოადგენს წილადს (ექვსიდან სამი ცალი). ამ ნაჭრების დამატებით მივიღებთ (შვიდი ცალი ექვსიდან). ეს წილადი არასათანადოა, ამიტომ გამოვყავით მისი მთელი ნაწილი. შედეგად მივიღეთ (ერთი მთლიანი პიცა და მეორე მეექვსე პიცა).

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ეს მაგალითი ძალიან დეტალურად აღვწერეთ. საგანმანათლებლო დაწესებულებებში არ არის ჩვეულებრივი წერა ასეთი დეტალურად. თქვენ უნდა შეძლოთ სწრაფად იპოვოთ როგორც მნიშვნელების, ასევე მათზე დამატებითი ფაქტორების LCM, ასევე სწრაფად გაამრავლოთ ნაპოვნი დამატებითი ფაქტორები თქვენს მრიცხველებზე და მნიშვნელებზე. სკოლაში რომ ვიყოთ, ეს მაგალითი შემდეგნაირად მოგვიწევს დაწერა:

მაგრამ მონეტის მეორე მხარეც არსებობს. თუ მათემატიკის შესწავლის პირველ ეტაპზე არ აკეთებთ დეტალურ შენიშვნებს, მაშინ ჩნდება ასეთი კითხვები. „საიდან მოდის ეს რიცხვი?“, „რატომ გადაიქცევა წილადები მოულოდნელად სრულიად განსხვავებულ წილადებად? «.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების გასაადვილებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები:

1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM;
2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი კოეფიციენტი თითოეული წილადისთვის;
3. გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მათ დამატებით ფაქტორებზე;
4. დაამატეთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები;
5. თუ პასუხი არასწორი წილადია, მაშინ აირჩიეთ მისი მთელი ნაწილი;

მაგალითი 2.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა .

მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული ინსტრუქციები.

ნაბიჯი 1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM

იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 2, 3 და 4

ნაბიჯი 2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი კოეფიციენტი თითოეული წილადისთვის

LCM გავყოთ პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. გავყოთ 12 2-ზე, მივიღებთ 6. მივიღეთ პირველი დამატებითი ფაქტორი 6. მას ვწერთ პირველი წილადის ზემოთ:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 12 3-ზე, მივიღებთ 4. ვიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს 4. ვწერთ მეორე წილადის ზემოთ:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. მივიღებთ მესამე დამატებით კოეფიციენტს 3. მას ვწერთ მესამე წილადის ზემოთ:

ნაბიჯი 3. გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მათ დამატებით ფაქტორებზე

ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველებს და მნიშვნელებს მათ დამატებით ფაქტორებზე:

ნაბიჯი 4. დაამატეთ წილადები იგივე მნიშვნელებით

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ჰქონდათ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. რჩება მხოლოდ ამ წილადების დამატება. დაამატეთ იგი:

დამატება არ ჯდებოდა ერთ სტრიქონზე, ამიტომ დარჩენილი გამოხატულება გადავიტანეთ შემდეგ სტრიქონზე. ეს ნებადართულია მათემატიკაში. როდესაც გამონათქვამი არ ჯდება ერთ სტრიქონზე, ის გადადის შემდეგ სტრიქონზე და აუცილებელია პირველი სტრიქონის ბოლოს და ახალი სტრიქონის დასაწყისში ტოლობის ნიშანი (=). მეორე სტრიქონზე ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ ეს არის პირველი ხაზის გამოთქმის გაგრძელება.

ნაბიჯი 5. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ აირჩიეთ მისი მთელი ნაწილი

ჩვენი პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა. უნდა გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ:

პასუხი მივიღეთ

მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება

წილადების გამოკლების ორი ტიპი არსებობს:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

ჯერ ვისწავლოთ როგორ გამოვაკლოთ წილადები მსგავსი მნიშვნელებით. აქ ყველაფერი მარტივია. მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, მეორე წილადის მრიცხველი უნდა გამოვაკლოთ პირველი წილადის მრიცხველს, მაგრამ მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა. ამ მაგალითის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც ოთხ ნაწილად იყოფა. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

კვლავ, პირველი წილადის მრიცხველს გამოაკელით მეორე წილადის მრიცხველი და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 3.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. პირველი წილადის მრიცხველს უნდა გამოკლოთ დარჩენილი წილადების მრიცხველები:

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლებაში. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, უნდა გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი;
2. თუ პასუხი არასათანადო წილადი აღმოჩნდა, მაშინ თქვენ უნდა მონიშნოთ მისი მთელი ნაწილი.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

მაგალითად, შეგიძლიათ გამოკლოთ წილადი წილადს, რადგან წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელები აქვთ. მაგრამ თქვენ არ შეგიძლიათ წილადს გამოკლოთ წილადი, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში წილადები უნდა დაიწიოს ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

საერთო მნიშვნელი გვხვდება იმავე პრინციპით, რომელსაც ვიყენებდით სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისას. უპირველეს ყოვლისა, იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღება პირველი დამატებითი კოეფიციენტი, რომელიც იწერება პირველი წილადის ზემოთ. ანალოგიურად, LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი კოეფიციენტი, რომელიც იწერება მეორე წილადის ზემოთ.

შემდეგ წილადები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გარდაიქმნება წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1.იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ თქვენ უნდა შეამციროთ ისინი იმავე (საერთო) მნიშვნელამდე.

ჯერ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM-ს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 12.

LCM (3 და 4) = 12

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. ამისათვის გაყავით LCM პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 12 3-ზე, მივიღებთ 4-ს. დაწერეთ ოთხი პირველი წილადის ზემოთ:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM გავყოთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. მეორე წილადზე დაწერეთ სამი:

ახლა ჩვენ მზად ვართ გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. ავიღოთ ეს მაგალითი ბოლომდე:

პასუხი მივიღეთ

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი ნახატის გამოყენებით. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას

ეს არის გადაწყვეტის დეტალური ვერსია. სკოლაში რომ ვიყოთ, ეს მაგალითი უფრო მოკლედ უნდა ამოგვეხსნა. ასეთი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირება ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. ამ წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირებით, მივიღეთ წილადები და . ეს წილადები წარმოდგენილი იქნება იგივე პიცის ნაჭრებით, მაგრამ ამჯერად ისინი დაყოფილი იქნება თანაბარ ნაწილებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე):

პირველ სურათზე ნაჩვენებია წილადი (რვა ცალი თორმეტიდან), ხოლო მეორე სურათზე ნაჩვენებია წილადი (სამი ცალი თორმეტიდან). რვა ნაჭრისგან სამი ცალი ამოჭრით, თორმეტიდან ხუთ ნაჭერს ვიღებთ. წილადი აღწერს ამ ხუთ ნაწილს.

მაგალითი 2.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ ჯერ უნდა შეამციროთ ისინი იმავე (საერთო) მნიშვნელამდე.

ვიპოვოთ ამ წილადების მნიშვნელების LCM.

წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 10, 3 და 5. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

ახლა ჩვენ ვპოულობთ დამატებით ფაქტორებს თითოეული წილადისთვის. ამისათვის გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე.

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 10. 30 გავყოთ 10-ზე, მივიღებთ პირველ დამატებით კოეფიციენტს 3. მას ვწერთ პირველი წილადის ზემოთ:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მეორე წილადისთვის. LCM გავყოთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 30 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს 10. მეორე წილადის ზემოთ ვწერთ:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მესამე წილადისთვის. LCM გავყოთ მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 5. 30 გავყოთ 5-ზე, მივიღებთ მესამე დამატებით კოეფიციენტს 6. მესამე წილადის ზემოთ ვწერთ:

ახლა ყველაფერი მზად არის გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ჰქონდათ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. დავასრულოთ ეს მაგალითი.

მაგალითის გაგრძელება არ ჯდება ერთ სტრიქონზე, ამიტომ გაგრძელებას გადავიტანთ შემდეგ სტრიქონზე. არ დაივიწყოთ ტოლობის ნიშანი (=) ახალ ხაზზე:

პასუხი ჩვეულებრივი წილადი აღმოჩნდა და ყველაფერი, როგორც ჩანს, გვიწყობს, მაგრამ ზედმეტად შრომატევადი და მახინჯია. ჩვენ უნდა გავამარტივოთ. Რა შეიძლება გაკეთდეს? თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ ეს ფრაქცია.

წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი (GCD) 20 და 30 რიცხვებზე.

ასე რომ, ჩვენ ვპოულობთ 20 და 30 რიცხვების gcd-ს:

ახლა ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს მაგალითს და ვყოფთ წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ნაპოვნი gcd-ზე, ანუ 10-ზე.

პასუხი მივიღეთ

წილადის რიცხვზე გამრავლება

წილადის რიცხვზე გასამრავლებლად საჭიროა მოცემული წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე გაამრავლოთ და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

მაგალითი 1. გაამრავლე წილადი 1 რიცხვზე.

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 1 რიცხვზე

ჩანაწერი შეიძლება გავიგოთ, როგორც ნახევარი 1 დრო. მაგალითად, თუ პიცას ერთხელ იღებთ, მიიღებთ პიცას

გამრავლების კანონებიდან ვიცით, რომ თუ მრავლობითი და კოეფიციენტი ერთმანეთს შევცვლით, ნამრავლი არ შეიცვლება. თუ გამოთქმა დაიწერება როგორც , მაშინ ნამრავლი მაინც ტოლი იქნება . ისევ მუშაობს მთელი რიცხვისა და წილადის გამრავლების წესი:

ეს აღნიშვნა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ერთის ნახევრის აღება. მაგალითად, თუ არის 1 მთლიანი პიცა და ავიღებთ ნახევარს, მაშინ გვექნება პიცა:

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 4-ზე

პასუხი იყო არასწორი ფრაქცია. გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი მეოთხედი 4-ჯერ აღება. მაგალითად, თუ აიღებთ 4 პიცას, მიიღებთ ორ მთლიან პიცას

და თუ გავცვლით მამრავლსა და მულტიპლიკატორს, მივიღებთ გამოხატულებას. ის ასევე იქნება 2-ის ტოლი. ეს გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი პიცის აღება ოთხი მთლიანი პიციდან:

წილადების გამრავლება

წილადების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები. თუ პასუხი არასწორი წილადია, თქვენ უნდა მონიშნოთ მისი მთელი ნაწილი.

მაგალითი 1.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

პასუხი მივიღეთ. მიზანშეწონილია ამ ფრაქციის შემცირება. წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით. შემდეგ საბოლოო ხსნარი მიიღებს შემდეგ ფორმას:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც პიცის აღება ნახევარი პიცისგან. ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

როგორ ავიღოთ ორი მესამედი ამ ნახევრიდან? ჯერ ეს ნახევარი უნდა გაყოთ სამ თანაბარ ნაწილად:

და აიღეთ ორი ამ სამი ნაწილიდან:

პიცას მოვამზადებთ. დაიმახსოვრე როგორ გამოიყურება პიცა, როდესაც იყოფა სამ ნაწილად:

ამ პიცის ერთი ცალი და ჩვენ მიერ აღებული ორი ცალი იგივე ზომები იქნება:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვსაუბრობთ იგივე ზომის პიცაზე. ამიტომ გამოხატვის მნიშვნელობა არის

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი იყო არასწორი ფრაქცია. გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი:

მაგალითი 3.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი ჩვეულებრივი წილადი აღმოჩნდა, მაგრამ კარგი იქნება თუ შემცირდება. ამ წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 105 და 450 რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფზე (GCD).

მაშ ასე, ვიპოვოთ 105 და 450 რიცხვების gcd:

ახლა ჩვენ ვყოფთ ჩვენი პასუხის მრიცხველსა და მნიშვნელს gcd-ზე, რომელიც ახლა ვიპოვეთ, ანუ 15-ზე.

მთელი რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენა

ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. მაგალითად, რიცხვი 5 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც . ეს არ შეცვლის ხუთის მნიშვნელობას, რადგან გამოთქმა ნიშნავს "რიცხვი ხუთი გაყოფილი ერთზე" და ეს, როგორც ვიცით, უდრის ხუთს:

საპასუხო ნომრები

ახლა ჩვენ გავეცნობით ძალიან საინტერესო თემას მათემატიკაში. მას "უკუ რიცხვები" ჰქვია.

განმარტება. რიცხვზე გადაბრუნებაა არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისასა აძლევს ერთს.

მოდით ჩავანაცვლოთ ამ განსაზღვრებაში ცვლადის ნაცვლად ანომერი 5 და შეეცადეთ წაიკითხოთ განმარტება:

რიცხვზე გადაბრუნება 5 არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 5 აძლევს ერთს.

შესაძლებელია თუ არა ისეთი რიცხვის პოვნა, რომელიც 5-ზე გამრავლებისას იძლევა ერთს? თურმე შესაძლებელია. წარმოვიდგინოთ ხუთი წილადად:

შემდეგ გაამრავლეთ ეს წილადი თავისთავად, უბრალოდ შეცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდით გავამრავლოთ წილადი თავისთავად, მხოლოდ თავდაყირა:

რა მოხდება ამის შედეგად? თუ გავაგრძელებთ ამ მაგალითის ამოხსნას, მივიღებთ ერთს:

ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 5-ის შებრუნებული არის რიცხვი, რადგან როცა 5-ს გაამრავლებ, მიიღებთ ერთს.

რიცხვის საპასუხო მაჩვენებელი ასევე შეიძლება მოიძებნოს ნებისმიერი სხვა მთელი რიცხვისთვის.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი სხვა წილადის საპასუხო მოქმედება. ამისათვის უბრალოდ გადაატრიალეთ იგი.

წილადის რიცხვზე გაყოფა

ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

მოდით თანაბრად გავყოთ ორს შორის. რამდენ პიცას მიიღებს თითოეული ადამიანი?

ჩანს, რომ პიცის ნახევარი გაყოფის შემდეგ მიიღეს ორი თანაბარი ნაჭერი, რომელთაგან თითოეული წარმოადგენს პიცას. ასე რომ, ყველა იღებს პიცას.

წილადების დაყოფა ხდება ორმხრივების გამოყენებით. საპასუხო რიცხვები საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ გაყოფა გამრავლებით.

წილადის რიცხვზე გასაყოფად საჭიროა წილადის გამრავლება გამყოფის შებრუნებულზე.

ამ წესის გამოყენებით ჩვენ დავწერთ ჩვენი ნახევრის პიცის ორ ნაწილად დაყოფას.

ასე რომ, თქვენ უნდა გაყოთ წილადი 2 რიცხვზე. აქ დივიდენდი არის წილადი და გამყოფი არის ნომერი 2.

წილადის 2-ზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს წილადი გამყოფი 2-ის საპირისპიროზე. გამყოფი 2-ის ორმხრივი არის წილადი. ასე რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ

ეს გაკვეთილი მოიცავს ალგებრული წილადების შეკრებას და გამოკლებას მსგავსი მნიშვნელებით. ჩვენ უკვე ვიცით, როგორ დავამატოთ და გამოვაკლოთ საერთო წილადები მსგავსი მნიშვნელებით. გამოდის, რომ ალგებრული წილადები ერთნაირ წესებს მისდევენ. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადებთან მუშაობის სწავლა არის ალგებრულ წილადებთან მუშაობის სწავლის ერთ-ერთი საფუძველი. კერძოდ, ამ თემის გააზრება გაადვილებს უფრო რთული თემის - სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება-გამოკლებას. გაკვეთილის ფარგლებში შევისწავლით მსგავსი მნიშვნელებით ალგებრული წილადების შეკრებისა და გამოკლების წესებს და ასევე გავაანალიზებთ არაერთ ტიპურ მაგალითს.

მსგავსი მნიშვნელების მქონე ალგებრული წილადების შეკრებისა და გამოკლების წესი

სფორ-მუ-ლი-რუ-ემ პრა-ვი-ლო სლო-ჟე-ნია (შენ-ჩი-ტა-ნია) ალ-გებ-რა-ი-ჩე-სკიჰ ​​წილადები ერთი-ზე-შენ-მი-დან. ვიცი-მე-ნა-ტე-ლა-მი (ეს ემთხვევა ჩვეულებრივი დარტყმის ანალოგურ წესს): ეს არის ალ-გებ-რა-ი-ჩე-სკიჰ ​​წილადების შეკრება ან გამოთვლა ერთი-შენთან. იცოდე-მე-ონ-ლა-მი აუცილებელია -ჰო-დი-მო-შეადგინე რიცხვების შესაბამისი ალ-გებ-რა-ი-ჩე-ჯამი და ნიშანი-მე-ნა-ტელ დატოვება გარეშე.

ჩვენ გვესმის ეს წესი როგორც ჩვეულებრივი ვენ-გათამაშების, ასევე ალ-გებ-რა-ი-ჩე-დრავების მაგალითისთვის.

ჩვეულებრივი წილადებისთვის წესის გამოყენების მაგალითები

მაგალითი 1. წილადების დამატება: .

გამოსავალი

დავამატოთ წილადების რაოდენობა და დავტოვოთ ნიშანი იგივე. ამის შემდეგ ჩვენ ვშლით რიცხვს და ვაწერთ მარტივ სიმრავლეებად და კომბინაციებად. მოდი მივიღოთ: .

შენიშვნა: სტანდარტული შეცდომა, რომელიც დაშვებულია მსგავსი ტიპის მაგალითების ამოხსნისას, -klu-cha-et-sya-სთვის შემდეგ შესაძლო გადაწყვეტაში: . ეს უხეში შეცდომაა, რადგან ნიშანი იგივე რჩება, რაც იყო თავდაპირველ წილადებში.

მაგალითი 2. წილადების დამატება: .

გამოსავალი

ეს არანაირად არ განსხვავდება წინასგან: .

ალგებრული წილადების წესის გამოყენების მაგალითები

ჩვეულებრივი დრო-ბითებიდან გადავდივართ ალ-გებ-რა-ი-ჩე-სკიმზე.

მაგალითი 3. წილადების დამატება: .

გამოსავალი: როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ალ-გებ-რა-ი-ჩე-ფრაქციების შემადგენლობა არანაირად არ განსხვავდება სიტყვისაგან ისეთივე, როგორც ჩვეულებრივი სროლები. ამიტომ, გადაწყვეტის მეთოდი იგივეა: .

მაგალითი 4. შენ ხარ წილადი: .

გამოსავალი

ალ-გებ-რა-ი-ჩე-სკიჰ ​​წილადების იუ-ჩი-ტა-ნიე მიმატებიდან მხოლოდ იმით, რომ რიცხვში პი-სი-ვა-ეტ-სია განსხვავება გამოყენებული წილადების რაოდენობაში. Ამიტომაც .

მაგალითი 5. შენ ხარ წილადი: .

გამოსავალი:.

მაგალითი 6. გაამარტივეთ: .

გამოსავალი:.

წესის გამოყენების მაგალითები, რასაც მოჰყვება შემცირება

წილადში, რომელსაც ერთი და იგივე მნიშვნელობა აქვს შედგენის ან გამოთვლის შედეგად, კომბინაციები შესაძლებელია ნია. გარდა ამისა, არ უნდა დაივიწყოთ al-geb-ra-i-che-skih წილადების ODZ.

მაგალითი 7. გაამარტივეთ: .

გამოსავალი:.

სადაც . ზოგადად, თუ საწყისი წილადების ODZ ემთხვევა ჯამის ODZ-ს, მაშინ მისი გამოტოვება შეიძლება (ბოლოს და ბოლოს, წილადი არის პასუხში, ასევე არ იარსებებს შესაბამისი მნიშვნელოვანი ცვლილებებით). მაგრამ თუ გამოყენებული წილადების ODZ და პასუხი არ ემთხვევა, მაშინ ODZ უნდა იყოს მითითებული.

მაგალითი 8. გაამარტივეთ: .

გამოსავალი:. ამავე დროს, y (საწყისი წილადების ODZ არ ემთხვევა შედეგის ODZ-ს).

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება და გამოკლება

ალ-გებ-რა-ი-ჩე-წილადების დასამატებლად და წასაკითხად სხვადასხვა know-me-on-the-la-mi, ვაკეთებთ ana-lo -giyu-ს ჩვეულებრივი-ven-ny წილადებით და გადავიტანთ ალ-გებში. -რა-ი-ჩე-ფრაქციები.

მოდით შევხედოთ უმარტივეს მაგალითს ჩვეულებრივი წილადებისთვის.

მაგალითი 1.წილადების დამატება: .

გამოსავალი:

გავიხსენოთ წილადების შეკრების წესები. წილადით დასაწყებად აუცილებელია მისი საერთო ნიშანზე მიყვანა. ჩვეულებრივი წილადებისთვის ზოგადი ნიშნის როლში თქვენ მოქმედებთ უმცირესი საერთო ჯერადი(NOK) საწყისი ნიშნები.

განმარტება

უმცირესი რიცხვი, რომელიც ერთდროულად იყოფა რიცხვებად და.

NOC-ის მოსაძებნად საჭიროა ცოდნის დაყოფა მარტივ ნაკრებებად და შემდეგ შეარჩიოთ ყველაფერი, რაც ბევრია, რაც ორივე ნიშნის დაყოფაში შედის.

; . მაშინ რიცხვების LCM უნდა შეიცავდეს ორ ორს და ორ სამს: .

ზოგადი ცოდნის მოპოვების შემდეგ აუცილებელია, თითოეულმა წილადმა მოიძიოს სრული სიმრავლის რეზიდენტი (ფაქტობრივად, საერთო ნიშანი შესაბამისი წილადის ნიშანზე გადაასხას).

შემდეგ თითოეული წილადი მრავლდება ნახევრად სავსე კოეფიციენტზე. ავიღოთ რამდენიმე წილადი იგივე ნაცნობებიდან, შევკრიბოთ და წავიკითხოთ - წინა გაკვეთილებზე შესწავლილი.

Მოდი ვჭამოთ: .

პასუხი:.

ახლა გადავხედოთ სხვადასხვა ნიშნით ალ-გებ-რა-ი-ჩე-წილადების შემადგენლობას. ახლა მოდით შევხედოთ წილადებს და ვნახოთ არის თუ არა რიცხვები.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების შეკრება და გამოკლება

მაგალითი 2.წილადების დამატება: .

გამოსავალი:

გადაწყვეტილების ალ-გო-რიტმი ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen წინა მაგალითისთვის. ადვილია მოცემული წილადების საერთო ნიშნის აღება: და თითოეული მათგანისთვის დამატებითი მამრავლები.

.

პასუხი:.

მაშ, ჩამოვაყალიბოთ ალ-გებ-რა-ი-ჩე-სკიჰ ​​წილადების შეკრებისა და გამოთვლის ალ-გო-რიტმი სხვადასხვა ნიშნით:

1. იპოვე წილადის უმცირესი საერთო ნიშანი.

2. იპოვეთ დამატებითი მამრავლები თითოეული წილადისთვის (მართლაც, ნიშნის საერთო ნიშანი მოცემულია -მე წილადი).

3. მდე-მრავალ რიცხვამდე შესაბამის მდე სრულ სიმრავლეებზე.

4. შეკრიბეთ ან გამოთვალეთ წილადები, წვრილმანი მიმატებების გამოყენებით და წილადების გამოთვლა იგივე ცოდნით -მე-ნა-ტე-ლა-მი.

ახლა მოდით შევხედოთ მაგალითს წილადებით, რომლის ნიშანში არის ასოები you -nia.

ჩვეულებრივი წილადი რიცხვები პირველად ხვდებიან მე-5 კლასის მოსწავლეებს და თან ახლავს მათ მთელი ცხოვრების განმავლობაში, რადგან ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხშირად საჭიროა ობიექტის განხილვა ან გამოყენება არა მთლიანობაში, არამედ ცალკეულ ნაწილებად. დაიწყეთ ამ თემის შესწავლა - გააზიარეთ. აქციები თანაბარი ნაწილებია, რომელშიც იყოფა ესა თუ ის ობიექტი. ყოველივე ამის შემდეგ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, მაგალითად, პროდუქტის სიგრძის ან ფასის მთელი რიცხვის გამოხატვა; მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული გარკვეული ზომების ნაწილები ან წილადები. ჩამოყალიბდა ზმნიდან "გაყოფა" - ნაწილებად დაყოფა და არაბული ფესვების მქონე, თავად სიტყვა "ფრაქცია" წარმოიშვა რუსულ ენაში მე -8 საუკუნეში.

წილადი გამონათქვამები დიდი ხანია ითვლებოდა მათემატიკის ყველაზე რთულ დარგად. მე-17 საუკუნეში, როდესაც მათემატიკის პირველი სახელმძღვანელოები გამოჩნდა, მათ „გატეხილი რიცხვები“ უწოდეს, რაც ხალხისთვის ძალიან რთული გასაგები იყო.

მარტივი წილადი ნაშთების თანამედროვე ფორმა, რომლის ნაწილები გამოყოფილია ჰორიზონტალური ხაზით, პირველად ფიბონაჩის - ლეონარდო პიზას მიერ იყო დაწინაურებული. მისი ნამუშევრები 1202 წლით თარიღდება. მაგრამ ამ სტატიის მიზანია უბრალოდ და ნათლად აუხსნას მკითხველს, თუ როგორ მრავლდება სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე შერეული წილადები.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამრავლება

თავდაპირველად ღირს განსაზღვრა წილადების ტიპები:

• სწორი;
• არასწორი;
• შერეული.

შემდეგი, თქვენ უნდა გახსოვდეთ, თუ როგორ მრავლდება წილადი რიცხვები იგივე მნიშვნელებით. ამ პროცესის წესის დამოუკიდებლად ჩამოყალიბება რთული არ არის: მარტივი წილადების იდენტური მნიშვნელებით გამრავლების შედეგი არის წილადი გამონათქვამი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის ამ წილადების მნიშვნელების ნამრავლი. . ანუ, ფაქტობრივად, ახალი მნიშვნელი არის ერთ-ერთი თავდაპირველად არსებულის კვადრატი.

გამრავლებისას მარტივი წილადები სხვადასხვა მნიშვნელითორი ან მეტი ფაქტორისთვის წესი არ იცვლება:

ა/ბ * გ/დ = a*c / ბ*დ.

ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ წილადი წრფის ქვეშ ჩამოყალიბებული რიცხვი იქნება სხვადასხვა რიცხვის ნამრავლი და, ბუნებრივია, მას არ შეიძლება ეწოდოს ერთი რიცხვითი გამოსახულების კვადრატი.

ღირს წილადების გამრავლება სხვადასხვა მნიშვნელით მაგალითების გამოყენებით:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

მაგალითები იყენებენ მეთოდებს წილადური გამონათქვამების შესამცირებლად. მრიცხველის რიცხვების შემცირება შეგიძლიათ მხოლოდ მნიშვნელის რიცხვებით; წილადის ხაზის ზემოთ ან ქვემოთ მიმდებარე ფაქტორები არ შეიძლება შემცირდეს.

მარტივ წილადებთან ერთად არსებობს შერეული წილადების ცნება. შერეული რიცხვი შედგება მთელი რიცხვისა და წილადი ნაწილისგან, ანუ ეს არის ამ რიცხვების ჯამი:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

როგორ მუშაობს გამრავლება?

განსახილველად მოყვანილია რამდენიმე მაგალითი.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

მაგალითი იყენებს რიცხვის გამრავლებას ჩვეულებრივი წილადი ნაწილი, ამ მოქმედების წესი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ა* ბ/გ = a*b /გ.

სინამდვილეში, ასეთი ნამრავლი არის იდენტური წილადი ნაშთების ჯამი და ტერმინების რაოდენობა მიუთითებს ამ ბუნებრივ რიცხვზე. Განსაკუთრებული შემთხვევა:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

არსებობს კიდევ ერთი გამოსავალი რიცხვის წილადის ნაშთით გასამრავლებლად. თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ მნიშვნელი ამ რიცხვზე:

d* ე/ვ = ე/ვ: დ.

ამ ტექნიკის გამოყენება სასარგებლოა, როდესაც მნიშვნელი იყოფა ნატურალურ რიცხვზე ნარჩენის გარეშე ან, როგორც ამბობენ, მთელ რიცხვზე.

გადააკეთეთ შერეული რიცხვები არასწორ წილადებად და მიიღეთ ნამრავლი ადრე აღწერილი გზით:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

ეს მაგალითი მოიცავს შერეული წილადის არასწორ წილადად წარმოჩენის ხერხს და ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ზოგადი ფორმულა:

ა ბგ = a*b+ c/c, სადაც ახალი წილადის მნიშვნელი იქმნება მთელი ნაწილის მნიშვნელთან გამრავლებით და მისი თავდაპირველი წილადი ნაშთის მრიცხველთან მიმატებით, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება.

ეს პროცესი ასევე მუშაობს საპირისპირო მიმართულებით. მთელი ნაწილისა და წილადი ნაშთის გამოსაყოფად, თქვენ უნდა გაყოთ არასწორი წილადის მრიცხველი მის მნიშვნელზე "კუთხის" გამოყენებით.

არასწორი წილადების გამრავლებაწარმოებული ზოგადად მიღებული გზით. ერთი წილადის ხაზის ქვეშ წერისას საჭიროა წილადების შემცირება საჭიროებისამებრ, რათა ამ მეთოდის გამოყენებით შემცირდეს რიცხვები და გაადვილდეს შედეგის გამოთვლა.

ინტერნეტში ბევრი დამხმარეა, რომ გადაჭრას თუნდაც რთული მათემატიკური ამოცანები პროგრამების სხვადასხვა ვარიაციებში. ასეთი სერვისების საკმარისი რაოდენობა გვთავაზობს მათ დახმარებას მნიშვნელებში სხვადასხვა რიცხვით წილადების გამრავლების გამოთვლაში - ე.წ. ონლაინ კალკულატორები წილადების გამოსათვლელად. მათ შეუძლიათ არა მხოლოდ გამრავლება, არამედ ყველა სხვა მარტივი არითმეტიკული მოქმედების შესრულება ჩვეულებრივი წილადებითა და შერეული რიცხვებით. მასთან მუშაობა არ არის რთული, თქვენ ავსებთ შესაბამის ველებს ვებსაიტის გვერდზე, ირჩევთ მათემატიკური მოქმედების ნიშანს და აწკაპუნებთ „გამოთვლა“. პროგრამა ავტომატურად ითვლის.

წილადებთან არითმეტიკული მოქმედებების თემა აქტუალურია საშუალო და საშუალო სკოლის მოსწავლეების განათლების მთელი პერიოდის განმავლობაში. საშუალო სკოლაში უმარტივეს სახეობებს აღარ განიხილავენ, მაგრამ მთელი რიცხვის წილადი გამოსახულებები, მაგრამ ადრე მიღებული ტრანსფორმაციის წესებისა და გამოთვლების ცოდნა გამოიყენება თავდაპირველი სახით. კარგად ათვისებული საბაზისო ცოდნა იძლევა სრულ ნდობას ყველაზე რთული პრობლემების წარმატებით გადაჭრაში.

დასასრულს, აზრი აქვს ლევ ნიკოლაევიჩ ტოლსტოის სიტყვების ციტირებას, რომელიც წერდა: ”ადამიანი არის წილადი. ადამიანის ძალაში არ არის გაზარდოს თავისი მრიცხველი - მისი დამსახურება - მაგრამ ნებისმიერს შეუძლია შეამციროს მისი მნიშვნელი - აზრი საკუთარ თავზე და ამ შემცირებით მიუახლოვდეს მის სრულყოფილებას.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლების შესწავლა მერვე კლასში გვხვდება სასკოლო საგანში ალგებრა და ზოგჯერ ეს ბავშვებს გაგების სირთულეებს უქმნის. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა:

წილადების გამოკლების პროცედურა დამატების მსგავსია, რადგან ის მთლიანად აკოპირებს მოქმედების პრინციპს.

პირველი, ჩვენ ვიანგარიშებთ უმცირეს რიცხვს, რომელიც არის ორივე მნიშვნელის ნამრავლი.

მეორეც, ჩვენ ვამრავლებთ თითოეული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს გარკვეულ რიცხვზე, რაც მოგვცემს მნიშვნელის შემცირებას მოცემულ მინიმალურ საერთო მნიშვნელზე.

მესამე, თავად გამოკლების პროცედურა ხდება, როდესაც საბოლოოდ მნიშვნელი დუბლირებულია და მეორე წილადის მრიცხველი აკლდება პირველს.

მაგალითი: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 მთელი 1/6

ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი იმავე მნიშვნელთან და შემდეგ გამოკლოთ. მაგალითად, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. ან, უფრო რთული, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. გჭირდებათ ახსნა, თუ როგორ მცირდება წილადები საერთო მნიშვნელამდე?

მოქმედებების შესრულებისას, როგორიცაა ჩვეულებრივი წილადების შეკრება ან გამოკლება სხვადასხვა მნიშვნელით, მოქმედებს მარტივი წესი - ამ წილადების მნიშვნელები მცირდება ერთ რიცხვამდე, ხოლო თავად ოპერაცია შესრულებულია მრიცხველში მოცემული რიცხვებით. ანუ, წილადები იღებენ საერთო მნიშვნელს და თითქოს გაერთიანებულნი არიან ერთში. თვითნებური წილადებისთვის საერთო მნიშვნელის პოვნა ჩვეულებრივ ხდება თითოეული წილადის უბრალოდ სხვა წილადის მნიშვნელზე გამრავლებით. მაგრამ უფრო მარტივ შემთხვევებში, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ იპოვოთ ფაქტორები, რომლებიც წილადების მნიშვნელებს მიიყვანს იმავე რიცხვამდე.

წილადების გამოკლების მაგალითი: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

ბევრმა ზრდასრულმა უკვე დაივიწყა როგორ გამოვაკლოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით, მაგრამ ეს მოქმედება ეხება ელემენტარულ მათემატიკას.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება, თქვენ უნდა მიიყვანოთ ისინი საერთო მნიშვნელთან, ანუ იპოვოთ მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი, შემდეგ გავამრავლოთ მრიცხველები დამატებით ფაქტორებზე, რომელიც ტოლია უმცირესი საერთო ჯერადისა და მნიშვნელის შეფარდებაზე.

შენარჩუნებულია წილადის ნიშნები. მას შემდეგ, რაც წილადებს ექნებათ იგივე მნიშვნელები, შეგიძლიათ გამოკლოთ და, თუ ეს შესაძლებელია, შეამციროთ წილადი.

ელენა, გადაწყვიტე შენი სკოლის მათემატიკის კურსის გამეორება?)))

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადებს რომ გამოვაკლოთ ისინი ჯერ უნდა შემცირდეს ერთსა და იმავე მნიშვნელზე და შემდეგ გამოვაკლოთ. უმარტივესი ვარიანტი: გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე, ხოლო მეორე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ პირველი წილადის მნიშვნელზე. ვიღებთ ორ წილადს ერთი და იგივე მნიშვნელებით. ახლა ჩვენ ვაკლებთ მეორე წილადის მრიცხველს პირველი წილადის მრიცხველს და მათ აქვთ იგივე მნიშვნელი.

მაგალითად, სამი მეხუთედი გამოკლდეს ორ მეშვიდედს უდრის ოცდაერთი ოცდათხუთმეტის გამოკლებას ათი ოცდათხუთმეტი და ეს უდრის თერთმეტ ოცდათხუთმეტს.

თუ მნიშვნელები დიდი რიცხვებია, მაშინ შეგიძლიათ იპოვოთ მათი უმცირესი საერთო ჯერადი, ე.ი. რიცხვი, რომელიც იყოფა ერთზე და მეორე მნიშვნელზე. და მიიტანეთ ორივე წილადი საერთო მნიშვნელთან (უმცირესი საერთო ჯერადი)

როგორ გამოვაკლოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით, ძალიან მარტივი ამოცანაა – წილადებს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან და შემდეგ ვაკეთებთ გამოკლებას მრიცხველში.

ბევრ ადამიანს აწყდება სირთულეები, როდესაც ამ წილადების გვერდით არის მთელი რიცხვები, ამიტომ მინდოდა მეჩვენებინა, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს შემდეგი მაგალითით:

წილადების გამოკლება მთელი ნაწილებით და სხვადასხვა მნიშვნელებით

ჯერ ვაკლებთ მთელ ნაწილებს 8-5 = 3 (სამი რჩება პირველ წილადთან ახლოს);

წილადებს მივაქვთ საერთო მნიშვნელი 6 (თუ პირველი წილადის მრიცხველი მეორეზე მეტია, ვაკეთებთ გამოკლებას და ვწერთ მთელი ნაწილის გვერდით, ჩვენს შემთხვევაში გადავდივართ);

მთელ მე-3 ნაწილს ვანაწილებთ 2-ად და 1-ად;

1-ს ვწერთ წილადად 6/6;

ვწერთ 6/6+3/6-4/6 საერთო მნიშვნელის ქვეშ 6 და ვაკეთებთ მოქმედებებს მრიცხველში;

ჩაწერეთ ნაპოვნი შედეგი 2 5/6.

მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ წილადებს აკლდებათ, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. მაშასადამე, როცა გვაქვს წილადები განსხვავებული მნიშვნელებით, ისინი უბრალოდ უნდა მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელთან, რაც არ არის რთული. ჩვენ უბრალოდ უნდა გავანაწილოთ თითოეული წილადის მრიცხველი და გამოვთვალოთ უმცირესი საერთო ჯერადი, რომელიც არ უნდა იყოს ნულის ტოლი. ასევე არ დაგავიწყდეთ მრიცხველების გამრავლება მიღებული დამატებითი ფაქტორებით, მაგრამ მოხერხებულობისთვის აქ არის მაგალითი:



თუ გსურთ წილადების გამოკლება განსხვავებული მნიშვნელებით, ჯერ უნდა იპოვოთ საერთო მნიშვნელი ორი წილადისთვის. და შემდეგ გამოვაკლოთ მეორე პირველი წილადის მრიცხველს. მიიღება ახალი წილადი, ახალი მნიშვნელობით.

რამდენადაც მახსოვს მე-3 კლასის მათემატიკის კურსიდან, სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის ჯერ საერთო მნიშვნელის გამოთვლა და მასზე შემცირებაა საჭირო, შემდეგ კი უბრალოდ მრიცხველების გამოკლება ერთმანეთს და მნიშვნელი იგივე რჩება.

განსხვავებული მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლებისთვის, ჯერ უნდა ვიპოვოთ ამ წილადების ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:



დიდი რიცხვი 25 გაყავით პატარა 20-ზე. ის არ იყოფა. ეს ნიშნავს, რომ ვამრავლებთ მნიშვნელს 25 ასეთ რიცხვზე, მიღებული ჯამი შეიძლება გავყოთ 20-ზე. ეს რიცხვი იქნება 4. 25x4=100. 100:20=5. ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი - 100.

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი თითოეული წილადისთვის. ამისათვის გაყავით ახალი მნიშვნელი ძველზე.

გავამრავლოთ 9 4-ზე = 36. გავამრავლოთ 7 5-ზე = 35.

საერთო მნიშვნელის მქონე, ჩვენ ვასრულებთ გამოკლებას, როგორც ნაჩვენებია მაგალითში და ვიღებთ შედეგს.