კუთხის ხარისხის საზომი. კუთხის რადიანი საზომი. გრადუსების გადაქცევა რადიანებად და პირიქით.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არც ძალიან..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

წინა გაკვეთილზე ვისწავლეთ როგორ გავზომოთ კუთხეები ტრიგონომეტრიულ წრეზე. ისწავლა დადებითი და უარყოფითი კუთხის დათვლა. ვისწავლეთ როგორ დავხატოთ 360 გრადუსზე მეტი კუთხე. დროა გაერკვნენ, თუ როგორ გავზომოთ კუთხეები. მითუმეტეს რიცხვით „პი“, რომელიც ცდილობს დაგვაბნიოს რთულ ამოცანებში, დიახ...

სტანდარტული ამოცანები ტრიგონომეტრიაში „პი“ რიცხვით კარგად არის გადაჭრილი. ვიზუალური მეხსიერება ეხმარება. მაგრამ შაბლონიდან ნებისმიერი გადახრა კატასტროფაა! დაცემის თავიდან ასაცილებლად - გაგებასაჭირო. რასაც ახლა წარმატებით გავაკეთებთ. ანუ ჩვენ ყველაფერს გავიგებთ!

Ისე, რა კუთხეები ითვლება? სასკოლო ტრიგონომეტრიის კურსში გამოიყენება ორი ზომა: კუთხის ხარისხის საზომიდა რადიანის კუთხის საზომი. მოდით შევხედოთ ამ ზომებს. ამის გარეშე ტრიგონომეტრიაში არსად არსებობს.

კუთხის ხარისხის საზომი.

ჩვენ რატომღაც მივეჩვიეთ ხარისხებს. მაინც გავიარეთ გეომეტრია... და ცხოვრებაში ხშირად ვხვდებით ფრაზას, მაგალითად, 180 გრადუსით შემობრუნებული. მოკლედ დიპლომი უბრალო რამეა...

დიახ? მიპასუხე მაშინ რა არის დიპლომი? რა, მაშინვე არ გამოდგება? Ის არის...

ხარისხები გამოიგონეს ძველ ბაბილონში. ეს იყო დიდი ხნის წინ... 40 საუკუნის წინ... და მათ გაუჩნდათ მარტივი იდეა. აიღეს და წრე დაყვეს 360 ტოლ ნაწილად. 1 გრადუსი არის წრის 1/360. Სულ ეს არის. მათ შეეძლოთ გაეტეხათ იგი 100 ნაწილად. ან 1000. მაგრამ დაყვეს 360. სხვათა შორის, რატომ ზუსტად 360? როგორ ჯობია 360 100-ს? 100 რაღაცნაირად უფრო გლუვი ჩანს... სცადეთ ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა. ან სუსტი ძველი ბაბილონის წინააღმდეგ?

სადღაც ამავე დროს, ძველ ეგვიპტეში მათ სხვა კითხვა აწუხებდა. რამდენჯერ აღემატება წრის სიგრძე მისი დიამეტრის სიგრძეს? და გაზომეს ასე და ისე... ყველაფერი სამზე ცოტა მეტი აღმოჩნდა. მაგრამ რატომღაც შავკანიანი, არათანაბარი გამოვიდა... მაგრამ ისინი, ეგვიპტელები არ არიან დამნაშავენი. მათ შემდეგ კიდევ 35 საუკუნე იტანჯებოდნენ. სანამ საბოლოოდ არ დაამტკიცეს, რომ რაც არ უნდა წვრილად დაჭრათ წრე თანაბარ ნაჭრებად, ასეთი ნაჭრებისგან შეგიძლიათ გააკეთოთ გლუვიდიამეტრის სიგრძე შეუძლებელია... პრინციპში შეუძლებელია. რა თქმა უნდა, რამდენჯერ მეტია გარშემოწერილობა დიამეტრზე. Დაახლოებით. 3.1415926... ჯერ.

ეს არის ნომერი "პი". ისეთი შაგი, ისეთი შაგი. ათობითი წერტილის შემდეგ უსასრულო რიცხვია ყოველგვარი რიგის გარეშე... ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ. ეს, სხვათა შორის, ნიშნავს, რომ წრის თანაბარი ნაჭრებიდან დიამეტრი გლუვიარ დაკეცო. არასოდეს.

პრაქტიკული გამოყენებისთვის, ჩვეულებრივია დაიმახსოვროთ მხოლოდ ორი ციფრი ათობითი წერტილის შემდეგ. გახსოვდეთ:

ვინაიდან ჩვენ გვესმის, რომ წრის გარშემოწერილობა აღემატება მის დიამეტრს "Pi" ჯერ, აზრი აქვს გავიხსენოთ წრის გარშემოწერილობის ფორმულა:

სად ლ- გარშემოწერილობა და დ- მისი დიამეტრი.

სასარგებლოა გეომეტრიაში.

ზოგადი განათლებისთვის დავამატებ, რომ რიცხვი „პი“ გვხვდება არა მხოლოდ გეომეტრიაში... მათემატიკის სხვადასხვა დარგში და განსაკუთრებით ალბათობის თეორიაში ეს რიცხვი მუდმივად ჩნდება! Თავისით. ჩვენი სურვილების მიღმა. Ამგვარად.

მაგრამ დავუბრუნდეთ ხარისხებს. გაარკვიეთ, რატომ იყო ძველ ბაბილონში წრე 360 ტოლ ნაწილად? და არა მაგალითად 100-ით? არა? ᲙᲐᲠᲒᲘ. მე მოგცემთ ვერსიას. ძველ ბაბილონელებს ვერ ჰკითხავთ... კონსტრუქციისთვის, ანუ, ვთქვათ, ასტრონომიისთვის მოსახერხებელია წრის თანაბარ ნაწილებად დაყოფა. ახლა გაარკვიეთ რა რიცხვებზე იყოფა მთლიანად 100 და რომელი - 360? და ამ გამყოფების რა ვერსიაში მთლიანად- მეტი? ეს განყოფილება ძალიან მოსახერხებელია ხალხისთვის. მაგრამ...

როგორც ძველ ბაბილონზე გაცილებით გვიან გაირკვა, ყველას არ მოსწონს ხარისხი. უმაღლეს მათემატიკას არ მოსწონს ისინი... უმაღლესი მათემატიკა სერიოზული ქალბატონია, ბუნების კანონების მიხედვით ორგანიზებული. და ეს ქალბატონი აცხადებს: "დღეს თქვენ გაყავით წრე 360 ნაწილად, ხვალ გაყოფთ 100-ად, ზეგ 245-ად... და რა ვქნა? არა, მართლა..." მომიწია მოსმენა. ბუნებას ვერ მოატყუებ...

საჭირო იყო კუთხის საზომის შემოღება, რომელიც არ არის დამოკიდებული ადამიანის გამოგონებებზე. Შეხვედრა - რადიანი!

კუთხის რადიანი საზომი.

რა არის რადიანი? რადიანის განმარტება კვლავ ეფუძნება წრეს. 1 რადიანის კუთხე არის კუთხე, რომელიც ჭრის რკალს წრეზე, რომლის სიგრძეა ( ლ) უდრის რადიუსის სიგრძეს ( რ). მოდით გადავხედოთ სურათებს.

ისეთი პატარა კუთხე, თითქმის არ არსებობს... კურსორს სურათზე ვამოძრავებთ (ან ვეხებით სურათს ტაბლეტზე) და ვხედავთ დაახლოებით ერთს რადიანი. L = R

გრძნობ განსხვავებას?

ერთი რადიანი ერთ გრადუსზე ბევრად მეტია. Რამდენჯერ?

მოდით გადავხედოთ შემდეგ სურათს. რომელზედაც დავხატე ნახევარწრე. გაშლილი კუთხე, ბუნებრივია, 180°-ია.

ახლა ამ ნახევარწრეს რადიანებად დავჭრი! კურსორს ავატარებთ სურათზე და ვხედავთ, რომ 180° შეესაბამება 3 და ნახევარ რადიანს.

ვინ გამოიცნობს რის ტოლია ეს კუდი!?

დიახ! ეს კუდი არის 0.1415926.... გამარჯობა, ნომერი "პი", ჩვენ ჯერ არ დაგივიწყებიათ!

მართლაც, 180° გრადუსი შეიცავს 3,1415926... რადიანს. როგორც თავად გესმით, 3.1415926 მუდმივად წერა... მოუხერხებელია. ამიტომ, ამ უსასრულო რიცხვის ნაცვლად, ისინი ყოველთვის უბრალოდ წერენ:

მაგრამ ინტერნეტში ნომერი

უხერხულია წერა... ამიტომაც ვწერ მის სახელს ტექსტში – „პი“. არ დაიბნე, კარგი?...

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვწეროთ სავარაუდო თანასწორობა სრულიად მნიშვნელოვანი გზით:

ან ზუსტი თანასწორობა:

განვსაზღვროთ რამდენი გრადუსია ერთ რადიანში. Როგორ? მარტივად! თუ 3,14 რადიანში 180 გრადუსია, მაშინ 1 რადიანში 3,14-ჯერ ნაკლებია! ანუ, ჩვენ ვყოფთ პირველ განტოლებას (ფორმულა ასევე განტოლებაა!) 3.14-ზე:

ეს თანაფარდობა სასარგებლოა დასამახსოვრებლად.ერთი რადიანი არის დაახლოებით 60°. ტრიგონომეტრიაში ხშირად გიწევთ სიტუაციის შეფასება და შეფასება. სწორედ აქ გვეხმარება ეს ცოდნა.

მაგრამ ამ თემის მთავარი უნარი არის გრადუსების რადიანებად გადაქცევა და პირიქით.

თუ კუთხე მოცემულია რადიანებში "პი" რიცხვით, ყველაფერი ძალიან მარტივია. ჩვენ ვიცით, რომ "პი" რადიანები = 180°. ასე რომ, ჩვენ ვცვლით რადიანებს "Pi" - 180°. კუთხეს მივიღებთ გრადუსით. შემცირებულს ვამცირებთ და პასუხიც მზადაა. მაგალითად, ჩვენ უნდა გავარკვიოთ რამდენი გრადუსიკუთხეში "Pi"/2 რადიანი? ასე რომ, ჩვენ ვწერთ:

ან, უფრო ეგზოტიკური გამოთქმა:

ადვილია, არა?

საპირისპირო თარგმანი ცოტა უფრო რთულია. მაგრამ არა ბევრი. თუ კუთხე მოცემულია გრადუსებში, უნდა გავარკვიოთ რა უდრის ერთი გრადუსს რადიანებში და გავამრავლოთ ეს რიცხვი გრადუსების რაოდენობაზე. რას უდრის 1° რადიანებში?

ჩვენ ვუყურებთ ფორმულას და ვხვდებით, რომ თუ 180° = "Pi" რადიანები, მაშინ 1° 180-ჯერ ნაკლებია. ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლებას (ფორმულა ასევე განტოლებაა!) ვყოფთ 180-ზე. არ არის საჭირო „პი“ 3.14-ად წარმოდგენა, ის მაინც ყოველთვის ასოთი იწერება. ჩვენ ვხვდებით, რომ ერთი ხარისხი უდრის:

Სულ ეს არის. ჩვენ ვამრავლებთ გრადუსების რაოდენობას ამ მნიშვნელობაზე და ვიღებთ კუთხეს რადიანებში. Მაგალითად:

ან, ანალოგიურად:

როგორც ხედავთ, ლირიკული დიგრესიებით თავისუფალ საუბარში აღმოჩნდა, რომ რადიანები ძალიან მარტივია. და თარგმანი არაა პრობლემა... და “პი” სრულიად ასატანი რამაა... მაშ საიდან მოდის დაბნეულობა!?

საიდუმლოს გავამხელ. ფაქტია, რომ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებში იწერება გრადუსების სიმბოლო. ყოველთვის. მაგალითად, sin35°. ეს არის სინუსი 35 გრადუსი . და რადიანის ხატი ( გახარებული) - არ წერია! იგულისხმება. ან მათემატიკოსებს სიზარმაცე აწუხებდა, ან რაღაც სხვა... მაგრამ გადაწყვიტეს არ დაეწერათ. თუ სინუს-კოტანგენტის შიგნით არ არის სიმბოლოები, მაშინ კუთხე არის რადიანებში ! მაგალითად, cos3 არის სამის კოსინუსი რადიანები .

ეს იწვევს დაბნეულობას... ადამიანი ხედავს „პი“-ს და თვლის, რომ ის 180°-ია. ნებისმიერ დროს და ნებისმიერ ადგილას. სხვათა შორის, ეს მუშაობს. ამ დროისთვის მაგალითები სტანდარტულია. მაგრამ "პი" არის რიცხვი! რიცხვი არის 3.14, მაგრამ არა გრადუსი! ეს არის "პი" რადიანები = 180°!

კიდევ ერთხელ: "პი" არის რიცხვი! 3.14. ირაციონალური, მაგრამ რიცხვი. იგივეა, რაც 5 ან 8. შეგიძლიათ, მაგალითად, გააკეთოთ "Pi" ნაბიჯების შესახებ. სამი ნაბიჯი და ცოტა მეტი. ან იყიდეთ "პი" კილოგრამი კანფეტი. თუ განათლებული გამყიდველი შეხვდება...

"პი" არის რიცხვი! რა, გაწყენინე ამ ფრაზით? უკვე გაიგე ყველაფერი დიდი ხნის წინ? ᲙᲐᲠᲒᲘ. შევამოწმოთ. მითხარი, რომელი რიცხვია მეტი?

ან რა არის ნაკლები?

ეს არის ერთ-ერთი ოდნავ არასტანდარტული კითხვების სერიიდან, რამაც შეიძლება სისულელემდე მიგიყვანოთ...

თუ თქვენც სისულელეში ჩავარდით, გახსოვდეთ შელოცვა: „პი“ რიცხვია! 3.14. პირველივე სინუსში ნათლად არის ნათქვამი, რომ კუთხე არის გრადუსებში! მაშასადამე, შეუძლებელია Pi-ს 180°-ით შეცვლა! "Pi" გრადუსია დაახლოებით 3.14°. ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:

მეორე სინუსში აღნიშვნები არ არის. ასე რომ, იქ - რადიანები! სწორედ აქ „Pi“-ს 180°-ით ჩანაცვლება კარგად იმუშავებს. რადიანების ხარისხებად გადაქცევა, როგორც ზემოთ დავწერე, მივიღებთ:

რჩება ამ ორი სინუსის შედარება. Რა. დაგავიწყდა როგორ? რა თქმა უნდა, ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით! დახაზეთ წრე, დახაზეთ მიახლოებითი კუთხეები 60° და 1,05°. ვნახოთ, რა სინუსები აქვთ ამ კუთხეებს. მოკლედ, ყველაფერი აღწერილია როგორც თემის ბოლოს ტრიგონომეტრიული წრის შესახებ. წრეზე (თუნდაც კეხზე!) აშკარად ჩანს ეს sin60°მნიშვნელოვნად მეტი ვიდრე sin1.05°.

ზუსტად იგივეს გავაკეთებთ კოსინუსებთან. წრეზე დავხატავთ დაახლოებით 4 კუთხეს გრადუსიდა 4 რადიანი(დაგავიწყდათ რის ტოლია დაახლოებით 1 რადიანი?). წრე ყველაფერს იტყვის! რა თქმა უნდა, cos4 ნაკლებია cos4°-ზე.

ვივარჯიშოთ კუთხის ზომების გამოყენებით.

გადააქციეთ ეს კუთხეები გრადუსიდან რადიანებად:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

თქვენ უნდა მიიღოთ ეს მნიშვნელობები რადიანებში (სხვა თანმიმდევრობით!)

სხვათა შორის, მე კონკრეტულად გამოვყავი პასუხები ორ სტრიქონში. კარგად, მოდით გაერკვნენ, რა არის კუთხეები პირველ ხაზზე? გრადუსით მაინც, რადიანებით მაინც?

დიახ! ეს არის კოორდინატთა სისტემის ღერძები! თუ გადავხედავთ ტრიგონომეტრიულ წრეს, მაშინ კუთხის მოძრავი მხარე ამ მნიშვნელობებით ზუსტად ჯდება ცულებზე. ეს ღირებულებები უნდა იყოს ცნობილი. და მე აღვნიშნე კუთხე 0 გრადუსი (0 რადიანი) კარგი მიზეზის გამო. და მერე ზოგი უბრალოდ ვერ პოულობს ამ კუთხეს წრეზე... და, შესაბამისად, იბნევიან ნულის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებში... სხვა საქმეა, რომ მოძრავი მხარის პოზიცია ნულ გრადუსზე ემთხვევა პოზიციას. 360°-ზე, ასე რომ, წრეზე ყოველთვის არის დამთხვევები.

მეორე ხაზში ასევე არის სპეციალური კუთხეები... ეს არის 30°, 45° და 60°. და რა არის მათში განსაკუთრებული? Არაფერი განსაკუთრებული. ერთადერთი განსხვავება ამ კუთხეებსა და ყველა დანარჩენს შორის არის ის, რომ თქვენ უნდა იცოდეთ ამ კუთხეების შესახებ ყველა. და სად მდებარეობს ისინი და რა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აქვთ ამ კუთხეებს. ვთქვათ ღირებულება sin100°არ უნდა იცოდე. ა sin45°- გთხოვ, იყავი კეთილი! ეს არის სავალდებულო ცოდნა, რომლის გარეშეც ტრიგონომეტრიაში არაფერია გასაკეთებელი... ოღონდ უფრო მეტი ამის შესახებ შემდეგ გაკვეთილზე.

ამასობაში გავაგრძელოთ ვარჯიში. გადააქციეთ ეს კუთხეები რადიანიდან ხარისხში:

თქვენ უნდა მიიღოთ ასეთი შედეგები (არარეგულარულად):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

მოხდა? მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ გრადუსების გადაქცევა რადიანებად და უკან- აღარ არის შენი პრობლემა.) მაგრამ კუთხეების თარგმნა პირველი ნაბიჯია ტრიგონომეტრიის გასაგებად. იქ ასევე საჭიროა სინუსებთან და კოსინუსებთან მუშაობა. თანაც ტანგენტებით და კოტანგენტებით...

მეორე ძლიერი ნაბიჯი არის ტრიგონომეტრიულ წრეზე ნებისმიერი კუთხის პოზიციის განსაზღვრის უნარი.გრადუსითაც და რადიანებითაც. მე მოგცემთ მოსაწყენ მინიშნებებს სწორედ ამ უნარზე მთელი ტრიგონომეტრიის განმავლობაში, დიახ...) თუ ყველაფერი იცით (ან ფიქრობთ, რომ იცით ყველაფერი) ტრიგონომეტრიული წრის შესახებ და ტრიგონომეტრიულ წრეზე კუთხეების გაზომვა, შეგიძლიათ შეამოწმოთ. გადაწყვიტეთ ეს მარტივი ამოცანები:

1. რომელ კვარტალში ხვდებიან კუთხეები:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

ადვილად? Გავაგრძელოთ:

2. რომელ მეოთხედში ხვდება კუთხეები:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

არც პრობლემაა? აბა, ნახე...)

3. თქვენ შეგიძლიათ მოათავსოთ კუთხეები მეოთხედებად:

Შეგიძლია? აბა, შენ გაძლევ..)

4. რომელ ღერძებზე დაეცემა კუთხე:

და კუთხე:

ესეც ადვილია? ჰმ...)

5. რომელ მეოთხედში ხვდება კუთხეები:

და იმუშავა!? ისე, მე ნამდვილად არ ვიცი...)

6. დაადგინეთ, რომელ მეოთხედში მოხვდება კუთხეები:

1, 2, 3 და 20 რადიანი.

მე გავცემ პასუხს ბოლო დავალების მხოლოდ ბოლო კითხვაზე (ეს ცოტა სახიფათოა). 20 რადიანის კუთხე დაეცემა პირველ მეოთხედში.

დანარჩენ პასუხებს სიხარბის გამო არ გავცემ.) უბრალოდ, თუ თქვენ არ გადაუწყვეტიათრაღაც ეჭვი გეპარებაშედეგად, ან დაიხარჯა No4 დავალებაზე 10 წამზე მეტი,წრეზე ცუდად ხართ ორიენტირებული. ეს იქნება თქვენი პრობლემა ყველა ტრიგონომეტრიაში. უმჯობესია დაუყოვნებლივ მოიცილოთ იგი (პრობლემა და არა ტრიგონომეტრია!). ეს შეიძლება გაკეთდეს თემაში: პრაქტიკული მუშაობა ტრიგონომეტრიულ წრეზე 555-ე განყოფილებაში.

ის გეტყვით, თუ როგორ უნდა მოაგვაროთ ასეთი ამოცანები მარტივად და სწორად. რა თქმა უნდა, ეს ამოცანები მოგვარებულია. მეოთხე ამოცანა კი 10 წამში მოგვარდა. დიახ, გადაწყვეტილია, რომ ყველას შეუძლია ამის გაკეთება!

თუ თქვენ აბსოლუტურად დარწმუნებული ხართ თქვენს პასუხებში და არ გაინტერესებთ რადიანებთან მუშაობის მარტივი და უპრობლემო გზები, არ უნდა ეწვიოთ 555-ს. მე არ ვამტკიცებ.)

კარგი გაგება საკმარისად კარგი მიზეზია წინსვლისთვის!)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიარის ელემენტარული ფუნქციები, რომელთა არგუმენტი არის კუთხე. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აღწერს მიმართებებს გვერდებსა და მახვილ კუთხეებს შორის მართკუთხა სამკუთხედში. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენების სფეროები უკიდურესად მრავალფეროვანია. მაგალითად, ნებისმიერი პერიოდული პროცესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი (ფურიეს სერია). ეს ფუნქციები ხშირად ჩნდება დიფერენციალური და ფუნქციური განტოლებების ამოხსნისას.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მოიცავს შემდეგ 6 ფუნქციას: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი, სეკანტიდა კოსეკანტი. თითოეული ამ ფუნქციისთვის არის შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გეომეტრიული განმარტება შეიძლება მოხერხებულად იქნას დანერგილი გამოყენებით ერთეული წრე. ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს წრე რადიუსით რ= 1. წრეზე არის წერტილი მ(x, y). რადიუსის ვექტორს შორის კუთხე OMდა დადებითი ღერძის მიმართულება ოქსიუდრის α .

სინუსიკუთხე α წქულები მ(x, y) რადიუსამდე რ: ცოდვა α = წ/რ. Იმიტომ რომ რ= 1, მაშინ სინუსი უდრის წერტილის ორდინატს მ(x, y).

კოსინუსიკუთხე α xქულები მ(x, y) რადიუსამდე რ:cos α = x/რ = x

ტანგენტიკუთხე α ორდინატთა თანაფარდობა ეწოდება წქულები მ(x, y) მის აბსცისამდე x:ტან α = წ/x, x ≠ 0

კოტანგენსიკუთხე α აბსცისის თანაფარდობას უწოდებენ xქულები მ(x, y) მის ორდინატამდე წ: საწოლი α = x/წ, წ ≠ 0

სეკანტიკუთხე α − არის რადიუსის თანაფარდობა რაბსცისამდე xქულები მ(x, y): წმ α = რ/x = 1/x, x ≠ 0

კოზეკანტიკუთხე α − არის რადიუსის თანაფარდობა რორდინატს წქულები მ(x, y): კოსეკ α = რ/წ = 1/წ, წ ≠ 0

პროექციის ერთეულ წრეში x, წქულები მ(x, y) და რადიუსი რშექმენით მართკუთხა სამკუთხედი, რომელშიც x, yარის ფეხები და რ- ჰიპოტენუზა. ამრიგად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ზემოაღნიშნული განმარტებები, რომლებიც გამოიყენება მართკუთხა სამკუთხედზე, ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: სინუსიკუთხე α ეწოდება მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობას ჰიპოტენუზასთან. კოსინუსიკუთხე α მოუწოდა მიმდებარე ფეხის თანაფარდობას ჰიპოტენუზასთან. ტანგენტიკუთხე α მოუწოდა მოპირდაპირე მხარეს მიმდებარე. კოტანგენსიკუთხე α ეწოდება მოპირდაპირე მხარის მიმდებარე მხარეს.

სინუსური ფუნქციის გრაფიკი წ= ცოდვა x, დომენი: x ∈ ℜ , დიაპაზონი: −1 ≤ sin x ≤ 1

კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი წ= cos x, დომენი: x ∈ ℜ , დიაპაზონი: −1 ≤ cos x ≤ 1

ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი წ= ტტგ x, დომენი: x ∈ ℜ , x ≠ (2კ + 1)π /2, დიაპაზონი: −∞< tg x < ∞

კოტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი წ=ctg x, დომენი: x ∈ ℜ , x ≠ კπ, დიაპაზონი: −∞< ctg x < ∞

მოდით შევხედოთ სურათს. \(AB\) ვექტორი \(A\) წერტილის მიმართ გარკვეული რაოდენობით "მიბრუნდა". ამრიგად, ამ ბრუნვის ზომა საწყის პოზიციასთან შედარებით იქნება კუთხე \(\ალფა\).

კიდევ რა უნდა იცოდეთ კუთხის კონცეფციის შესახებ? რა თქმა უნდა, კუთხის ერთეულები!

კუთხე, როგორც გეომეტრიაში, ასევე ტრიგონომეტრიაში, შეიძლება გაიზომოს გრადუსით და რადიანებით.

კუთხე \(1()^\circ \) (ერთი გრადუსი) არის ცენტრალური კუთხე წრეში, რომელსაც წრიული რკალი უდრის წრის \(\dfrac(1)(360) \) ნაწილს.

ამრიგად, მთელი წრე შედგება \(360\) "ნაჭრებისგან" წრიული რკალებისგან, ან წრის მიერ აღწერილი კუთხე არის \(360()^\circ \) .

ანუ, ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენებია კუთხე \(\beta \) ტოლი \(50()^\circ \(50()^\circ\), ანუ ეს კუთხე ეყრდნობა წრიულ რკალს, რომელიც ზომავს \(\dfrac(50)(360) \ ) გარშემოწერილობა.

კუთხე \(1\) რადიანებში არის ცენტრალური კუთხე წრეში, რომელსაც აქვს წრიული რკალი, რომლის სიგრძე უდრის წრის რადიუსს.

ასე რომ, ფიგურაში ნაჩვენებია კუთხე \(\გამა\) ტოლი \(1\) რადიანების, ანუ ეს კუთხე ეყრდნობა წრიულ რკალს, რომლის სიგრძე უდრის წრის რადიუსს (სიგრძე \( AB \) უდრის სიგრძეს \(BB" \) ან რადიუსი \(r\) უდრის რკალის სიგრძეს \(l\)) ამრიგად, რკალის სიგრძე გამოითვლება ფორმულით:

\(l=\theta \cdot r\) , სადაც \(\theta \) არის ცენტრალური კუთხე რადიანებში.

კარგად, ეს რომ იცოდეთ, შეგიძლიათ უპასუხოთ რამდენ რადიანს შეიცავს წრის მიერ აღწერილ კუთხეში? დიახ, ამისათვის თქვენ უნდა გახსოვდეთ გარშემოწერილობის ფორმულა. Ის აქ არის:

\(L=2\pi \cdot r\)

კარგი, ახლა მოდით დავაკავშიროთ ეს ორი ფორმულა და აღმოვაჩინოთ, რომ წრის მიერ აღწერილი კუთხე უდრის \(2\pi \) . ანუ, მნიშვნელობების გრადუსებში და რადიანებში კორელაციით, აღმოვაჩენთ, რომ \(2\pi =360()^\circ \) . შესაბამისად, \(\pi =180()^\circ \) . როგორც ხედავთ, "გრადუსებისგან" განსხვავებით, სიტყვა "რადიანი" გამოტოვებულია, რადგან საზომი ერთეული, როგორც წესი, ნათელია კონტექსტიდან.

სიგრძის და მანძილის გადამყვანი მასის გადამყვანი ნაყარი პროდუქტებისა და საკვები პროდუქტების მოცულობის ზომების გადამყვანი ფართობის გადამყვანი მოცულობისა და საზომი ერთეულების გადამყვანი კულინარიულ რეცეპტებში ტემპერატურის გადამყვანი წნევის, მექანიკური სტრესის გადამყვანი, იანგის მოდული ენერგიისა და მუშაობის გადამყვანი სიმძლავრის გადამყვანი ძალის გადამყვანი დროის კონვერტორი ხაზოვანი სიჩქარის გადამყვანი ბრტყელი კუთხე თერმოეფექტურობის და საწვავის ეფექტურობის კონვერტორი რიცხვების გადამყვანი სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში ინფორმაციის რაოდენობის საზომი ერთეულების გადამყვანი ვალუტის განაკვეთები ქალის ტანსაცმელი და ფეხსაცმლის ზომები მამაკაცის ტანსაცმელი და ფეხსაცმლის ზომები კუთხური სიჩქარისა და ბრუნვის სიხშირის გადამყვანი ამაჩქარებელი. კუთხური აჩქარების გადამყვანი სიმკვრივის გადამყვანი სპეციფიური მოცულობის გადამყვანი ინერციის მომენტის გადამყვანი ძალის მომენტის გადამყვანი ბრუნვის გადამყვანი წვის სპეციფიკური სითბო გადამყვანი (მასით) ენერგიის სიმკვრივე და წვის სპეციფიკური სითბო გადამყვანი (მოცულობით) ტემპერატურის სხვაობის გადამყვანი თერმული გაფართოების გადამყვანის კოეფიციენტი თერმული წინააღმდეგობის გადამყვანი თბოგამტარობის გადამყვანი სპეციფიური სითბოს სიმძლავრის გადამყვანი ენერგიის ექსპოზიციისა და თერმული გამოსხივების სიმძლავრის გადამყვანი სითბოს ნაკადის სიმკვრივის გადამყვანი სითბოს გადაცემის კოეფიციენტის გადამყვანი მოცულობის ნაკადის გადამყვანი მასის ნაკადის სიჩქარის გადამყვანი მოლური ნაკადის გადამყვანი მასის ნაკადის სიმკვრივის გადამყვანი მოლური კონცენტრაციის გადამყვანი მასის კონცენტრაცია ხსნარის გადამყვანში დინამიური (აბსოლუტური) სიბლანტის გადამყვანი კინემატიკური სიბლანტის გადამყვანი ზედაპირული დაძაბულობის გადამყვანი ორთქლის გამტარიანობის გადამყვანი ორთქლის გამტარიანობის და ორთქლის გადაცემის სიჩქარის გადამყვანი ხმის დონის კონვერტორი მიკროფონის მგრძნობელობის გადამყვანი ხმის წნევის დონის (SPL) კონვერტორი ხმის წნევის დონის კონვერტორი არჩევით რეფერენციული წნევის სიკაშკაშის კონვერტორი ნათურების კონვერტორი სიხშირის და ტალღის სიგრძის გადამყვანი დიოპტრიის სიმძლავრე და ფოკუსური სიგრძე დიოპტერის სიმძლავრე და ლინზების გადიდება (×) ელექტრული დამუხტვის გადამყვანი მუხტის სიმკვრივის ხაზოვანი კონვერტორი ზედაპირის დატენვის სიმკვრივის კონვერტორი მოცულობის დამუხტვის სიმკვრივის გადამყვანი ელექტრული დენის ხაზოვანი დენის სიმკვრივის გადამყვანი ზედაპირის დენის სიმკვრივის გადამყვანი ელექტრული ველის სიძლიერის გადამყვანი ელექტრული ველის სიძლიერის გადამყვანი ძაბვის გადამყვანი ელექტრული წინააღმდეგობის გადამყვანი ელექტრული წინაღობის გადამყვანი ელექტრული გამტარობის გადამყვანი ელექტრული გამტარობის გადამყვანი ელექტრული ტევადობა ინდუქციური გადამყვანი ამერიკული მავთულის ლიანდაგის გადამყვანი დონეები dBm (dBm ან dBm), dBV (dBV), ვატი და ა.შ. ერთეულები მაგნიტურმოძრავი ძალის გადამყვანი მაგნიტური ველის სიძლიერის გადამყვანი მაგნიტური ნაკადის გადამყვანი მაგნიტური ინდუქციური გადამყვანი რადიაცია. მაიონებელი გამოსხივების შთანთქმის დოზის სიჩქარის გადამყვანი რადიოაქტიურობა. რადიოაქტიური დაშლის გადამყვანი რადიაცია. ექსპოზიციის დოზის გადამყვანი რადიაცია. აბსორბირებული დოზის გადამყვანი ათწილადი პრეფიქსის გადამყვანი მონაცემთა გადაცემა ტიპოგრაფიისა და გამოსახულების დამუშავების ერთეულის გადამყვანი ხის მოცულობის ერთეულის გადამყვანი მოლური მასის გამოთვლა ქიმიური ელემენტების პერიოდული ცხრილი D.I. მენდელეევის მიერ

1 რადიანი [რადი] = 57,2957795130823 გრადუსი [°]

Საწყისი ღირებულება

კონვერტირებული ღირებულება

გრადუსი რადიანი გრად გონი წუთი მეორე ზოდიაქოს სექტორი მეათასე რევოლუცია წრის რევოლუცია კვადრატი მარჯვენა კუთხე სექსტანტი

მეტი კუთხეების შესახებ

Ზოგადი ინფორმაცია

სიბრტყის კუთხე არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ორი გადამკვეთი ხაზით. სიბრტყის კუთხე შედგება ორი სხივისაგან საერთო წარმოშობის მქონე და ამ წერტილს სხივის წვერო ეწოდება. სხივებს კუთხის მხარეებს უწოდებენ. კუთხეებს ბევრი საინტერესო თვისება აქვთ, მაგალითად, პარალელოგრამზე ყველა კუთხის ჯამი არის 360°, ხოლო სამკუთხედში - 180°.

კუთხეების ტიპები

პირდაპირიკუთხეები 90°, ცხარე- 90°-ზე ნაკლები და სულელი- პირიქით, 90°-ზე მეტი. 180°-ის ტოლი კუთხეები ეწოდება განლაგებული, კუთხეები 360° ეწოდება სავსე, და სრულზე მეტი, მაგრამ სრულზე ნაკლები კუთხეები ეწოდება არაამოზნექილი. როდესაც ორი კუთხის ჯამი არის 90°, ანუ ერთი კუთხე ავსებს მეორეს 90°-ს, ისინი ე.წ. დამატებითი მიმდებარე, ხოლო თუ 360°-მდე - მაშინ კონიუგირებული

როდესაც ორი კუთხის ჯამი არის 90°, ანუ ერთი კუთხე ავსებს მეორეს 90°-ს, ისინი ე.წ. დამატებითი. თუ ისინი ავსებენ ერთმანეთს 180°-მდე, ე.წ მიმდებარე, ხოლო თუ 360°-მდე - მაშინ კონიუგირებული. მრავალკუთხედებში მრავალკუთხედის შიგნით არსებულ კუთხეებს შიდა, ხოლო მათთან კონიუგატებს გარე ეწოდება.

ორი წრფის გადაკვეთის შედეგად წარმოქმნილი ორი კუთხე, რომლებიც არ არის მიმდებარე, ეწოდება ვერტიკალური. ისინი თანაბარი არიან.

კუთხეების გაზომვა

კუთხეები იზომება პროტრაქტორის გამოყენებით ან გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით კუთხის გვერდების გაზომვით წვეროდან რკალამდე და რკალის სიგრძით, რომელიც ზღუდავს ამ გვერდებს. კუთხეები ჩვეულებრივ იზომება რადიანებში და გრადუსებში, თუმცა არსებობს სხვა ერთეულები.

თქვენ შეგიძლიათ გაზომოთ ორივე კუთხე, რომელიც ჩამოყალიბებულია ორ სწორ ხაზს შორის და მრუდე ხაზებს შორის. მოსახვევებს შორის გასაზომად, ტანგენტები გამოიყენება მრუდების გადაკვეთის წერტილში, ანუ კუთხის წვეროზე.

პროტრაქტორი

პროტრატორი არის კუთხეების საზომი ინსტრუმენტი. პროტრაქტორების უმეტესობას ნახევარწრის ან წრის ფორმა აქვს და შეუძლია გაზომოს კუთხეები, შესაბამისად, 180° და 360°-მდე. ზოგიერთ პროტრაქტორს აქვს დამატებითი მბრუნავი სახაზავი ჩაშენებული გაზომვის გასაადვილებლად. პროტრაქტორებზე სასწორები ხშირად იწერება გრადუსით, თუმცა ზოგჯერ ისინი ასევე რადიანებშია. პროტრაქტორები ყველაზე ხშირად გამოიყენება სკოლაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე, მაგრამ ისინი ასევე გამოიყენება არქიტექტურასა და ინჟინერიაში, კერძოდ ხელსაწყოების დამზადებაში.

კუთხეების გამოყენება არქიტექტურასა და ხელოვნებაში

მხატვრები, დიზაინერები, ხელოსნები და არქიტექტორები დიდი ხანია იყენებენ კუთხეებს ილუზიების, აქცენტების და სხვა ეფექტების შესაქმნელად. ალტერნატიული მწვავე და ბლაგვი კუთხეები, ან მწვავე კუთხეების გეომეტრიული ნიმუშები, ხშირად გამოიყენება არქიტექტურაში, მოზაიკასა და ვიტრაჟებში, როგორიცაა გოთური ტაძრები და ისლამური მოზაიკა.

ისლამური სახვითი ხელოვნების ერთ-ერთი ცნობილი ფორმაა გაფორმება გეომეტრიული გირის დიზაინის გამოყენებით. ეს დიზაინი გამოიყენება მოზაიკაში, ლითონისა და ხის კვეთაში, ქაღალდზე და ქსოვილზე. ნახატი შექმნილია გეომეტრიული ფორმების მონაცვლეობით. ტრადიციულად, ხუთი ფიგურა გამოიყენება მკაცრად განსაზღვრული კუთხით 72°, 108°, 144° და 216° კომბინაციებიდან. ყველა ეს კუთხე იყოფა 36°-ზე. თითოეული ფორმა დაყოფილია რამდენიმე პატარა სიმეტრიულ ფორმებად ხაზებით, რათა შეიქმნას უფრო დახვეწილი დიზაინი. თავდაპირველად ამ ფიგურებს ან მოზაიკის ნაწილებს გირიხს ეძახდნენ, აქედან მოდის მთელი სტილის სახელი. მაროკოში არის მოზაიკის, ზულაჟის ან ზილიჯის მსგავსი გეომეტრიული სტილი. ტერაკოტის ფილების ფორმა, რომლიდანაც ეს მოზაიკა მზადდება, არ არის დაცული ისე მკაცრად, როგორც გირიხაში და კრამიტი ხშირად უფრო უცნაური ფორმისაა, ვიდრე მკაცრი გეომეტრიული ფიგურები გირიხაში. ამის მიუხედავად, zullyaj მხატვრები ასევე იყენებენ კუთხეებს კონტრასტული და რთული ნიმუშების შესაქმნელად.

ისლამურ ხელოვნებასა და არქიტექტურაში ხშირად იყენებენ რუბ ალ-ჰიზბს - სიმბოლო ერთი კვადრატის სახით, რომელიც მეორეზე 45°-იანი კუთხით არის გადანაწილებული, როგორც ილუსტრაციებში. ის შეიძლება იყოს გამოსახული როგორც მყარი ფიგურა, ან ხაზების სახით - ამ შემთხვევაში ამ სიმბოლოს ალ-კუდსის ვარსკვლავს უწოდებენ. რუბ ალ-ჰიზბს ხანდახან ამშვენებს პატარა წრეები კვადრატების კვეთაზე. ეს სიმბოლო გამოიყენება მუსლიმური ქვეყნების გერბებსა და დროშებზე, მაგალითად, უზბეკეთის გერბზე და აზერბაიჯანის დროშაზე. მსოფლიოში ყველაზე მაღალი ტყუპი კოშკების ფუძეები დაწერის დროს (2013 წლის გაზაფხული), პეტრონას თაუერები, აგებულია რუბ ალ-ჰიზბის სახით. ეს კოშკები მალაიზიაში კუალა ლუმპურში მდებარეობს და მათ დიზაინში ქვეყნის პრემიერ მინისტრი იყო ჩართული.

მკვეთრი კუთხეები ხშირად გამოიყენება არქიტექტურაში, როგორც დეკორატიულ ელემენტებს. ისინი შენობას მკაცრ ელეგანტურობას ანიჭებენ. პირიქით, ბლაგვი კუთხეები შენობებს მყუდრო იერს აძლევს. მაგალითად, ჩვენ აღფრთოვანებული ვართ გოთური ტაძრებითა და ციხეებით, მაგრამ ისინი ცოტა სევდიანად და საშინლადაც კი გამოიყურებიან. მაგრამ ჩვენ, დიდი ალბათობით, ჩვენთვის ავირჩევთ სახლს სახურავით, ფერდობებს შორის ბლაგვი კუთხით. არქიტექტურაში კუთხეები ასევე გამოიყენება შენობის სხვადასხვა ნაწილის გასამაგრებლად. არქიტექტორები ქმნიან ფორმას, ზომას და დახრილობის კუთხეს, დამოკიდებულია კედლებზე დატვირთვაზე, რომელიც საჭიროებს გამაგრებას. დახრილობით გამაგრების ეს პრინციპი გამოიყენება უძველესი დროიდან. მაგალითად, ძველმა მშენებლებმა ისწავლეს თაღების აგება ცემენტის ან სხვა შესაკრავი მასალების გარეშე, ქვებს გარკვეული კუთხით ააგეს.

როგორც წესი, შენობები შენდება ვერტიკალურად, მაგრამ ზოგჯერ არის გამონაკლისები. ზოგიერთი შენობა განზრახ ფერდობზეა აგებული, ზოგი კი შეცდომების გამო იხრება. დახრილი შენობების ერთ-ერთი მაგალითია ტაჯ მაჰალი ინდოეთში. ოთხი მინარეთი, რომლებიც გარს აკრავს მთავარ ნაგებობას, აშენდა ცენტრიდან დახრილობით, რათა მიწისძვრის შემთხვევაში არ ჩამოვარდნილიყვნენ შიგნით, მავზოლეუმზე, არამედ სხვა მიმართულებით და არ დააზიანონ მთავარი შენობა. ხანდახან შენობები შენდება კუთხით მიწასთან დეკორატიული მიზნებისათვის. მაგალითად, აბუ დაბის დახრილი კოშკი ან კაპიტალის კარიბჭე დახრილია დასავლეთისკენ 18°-ით. და ერთ-ერთი შენობა სტიუარტ ლენდსბოროს თავსატეხთა სამყაროში ვანკაში, ახალი ზელანდია, იხრება 53°-ით მიწისკენ. ამ შენობას "დახრილ კოშკს" უწოდებენ.

ზოგჯერ შენობის დახრილობა არის დიზაინის შეცდომის შედეგი, როგორიცაა პიზის დახრილი კოშკის დახრილობა. მშენებლებმა არ გაითვალისწინეს ნიადაგის აგებულება და ხარისხი, რომელზეც ის აშენდა. კოშკი პირდაპირ უნდა მდგარიყო, მაგრამ ცუდმა საძირკველმა წონა ვერ გაუძლო და შენობა ცალ მხარეს გადაიხარა. კოშკი არაერთხელ იქნა აღდგენილი; მე-20 საუკუნეში უახლესმა რესტავრაციამ შეაჩერა მისი თანდათანობითი ჩაძირვა და მზარდი დახრილობა. მოვახერხეთ მისი გასწორება 5,5°-დან 4°-მდე. გერმანიის სუურჰუსენის ეკლესიის კოშკი ასევე დახრილია, რადგან მისი ხის საძირკველი ცალ მხარეს დამპალდა მას შემდეგ, რაც ჭაობიანი ნიადაგი, რომელზედაც ის იყო აშენებული, დაიწია. ამ დროისთვის ეს კოშკი უფრო მეტად არის დახრილი ვიდრე პიზის დახრილი კოშკი - დაახლოებით 5°-ით.

გაგიჭირდებათ საზომი ერთეულების თარგმნა ერთი ენიდან მეორეზე? კოლეგები მზად არიან დაგეხმაროთ. გამოაქვეყნეთ შეკითხვა TCTerms-შიდა რამდენიმე წუთში მიიღებთ პასუხს.