ნ.ნიკიტინის გეომეტრია. ორი წრფის პარალელურობის ნიშნები

განმარტება 1

სწორი ხაზი $c$ ეწოდება სეკანტი$a$ და $b$ ხაზებისთვის, თუ ის მათ ორ წერტილში კვეთს.

განვიხილოთ ორი ხაზი $a$ და $b$ და სეკანტური ხაზი $c$.

როდესაც ისინი იკვეთებიან, ჩნდება კუთხეები, რომლებსაც აღვნიშნავთ რიცხვებით $1$-დან $8$-მდე.

თითოეულ ამ კუთხეს აქვს სახელი, რომელიც ხშირად გამოიყენება მათემატიკაში:

• კუთხეების წყვილი $3$ და $5$, $4$ და $6$ ეწოდება ჯვარედინად წევს;
• კუთხეების წყვილი $1$ და $5$, $4$ და $8$, $2$ და $6$, $3$ და $7$ ეწოდება შესაბამისი;
• კუთხეების წყვილი $4$ და $5$, $5$ და $6$ ეწოდება ცალმხრივი.

პარალელური ხაზების ნიშნები

თეორემა 1

$a$ და $b$ წრფეებისთვის ჯვარედინი დაწოლილი კუთხების წყვილის ტოლობა და $c$ სკანტი ამბობს, რომ $a$ და $b$ წრფეები პარალელურია:

მტკიცებულება.

მოდით, $а$ და $b$ წრფეების ჯვარედინი კუთხეები და $с$ სეკანტი ტოლი იყოს: $∠1=∠2$.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ $a \პარალელური b$.

იმ პირობით, რომ კუთხეები $1$ და $2$ სწორია, მივიღებთ, რომ $a$ და $b$ წრფეები $AB$ წრფის პერპენდიკულარულია და, შესაბამისად, პარალელური.

იმ პირობით, რომ კუთხეები $1$ და $2$ არ არის სწორი, ჩვენ ვხატავთ $O$ წერტილიდან, $AB$ სეგმენტის შუა წერტილიდან, $ON$ $a$ წრფის პერპენდიკულარულიდან.

$b$ სტრიქონზე გამოვყოფთ $BH_1=AH$ სეგმენტს და ვხატავთ $OH_1$ სეგმენტს. ჩვენ ვიღებთ ორ ტოლ სამკუთხედს $OHA$ და $OH_1B$ ორ მხარეს და კუთხეს მათ შორის ($∠1=∠2$, $AO=BO$, $BH_1=AH$), ასე რომ, $∠3=∠4$ და $ ∠5=∠6$. იმიტომ რომ $∠3=∠4$, მაშინ წერტილი $H_1$ დევს $OH$ სხივზე, ამიტომ წერტილები $H$, $O$ და $H_1$ ეკუთვნის იმავე წრფეს. იმიტომ რომ $∠5=∠6$, შემდეგ $∠6=90^(\circ)$. ამრიგად, $а$ და $b$ წრფეები $HH_1$ წრფის პერპენდიკულარულია და პარალელურია. თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 2

შესაბამისი კუთხის წყვილის ტოლობა $a$ და $b$ წრფეებისთვის და $c$ სექანტი ნიშნავს რომ $a$ და $b$ წრფეები პარალელურია:

თუ $∠1=∠2$, მაშინ $a \პარალელური b$.

მტკიცებულება.

ტოლი იყოს $а$ და $b$ წრფეების შესაბამისი კუთხეები და $с$ სეკანტი: $∠1=∠2$. კუთხეები $2$ და $3$ ვერტიკალურია, ამიტომ $∠2=∠3$. ასე რომ, $∠1=∠3$. იმიტომ რომ კუთხეები $1$ და $3$ არის ჯვარედინი, შემდეგ $a$ და $b$ წრფეები პარალელურია. თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 3

თუ $a$ და $b$ წრფეების ორი ცალმხრივი კუთხის ჯამი და $c$ სეკანტი $180^(\circ)C$-ის ტოლია, მაშინ $a$ და $b$ წრფეები პარალელურია:

თუ $∠1+∠4=180^(\circ)$ მაშინ $a \პარალელური b$.

მტკიცებულება.

მოდით, $a$ და $b$ წრფეების ცალმხრივი კუთხეები და $c$ სკანტური კუთხეები დაემატოს $180^(\circ)$-ს, მაგალითად.

$∠1+∠4=180^(\circ)$.

კუთხეები $3$ და $4$ არის მიმდებარე, ასე რომ

$∠3+∠4=180^(\circ)$.

მიღებული ტოლობებიდან ჩანს, რომ ჯვარედინი კუთხეებია $∠1=∠3$, რაც გულისხმობს, რომ $a$ და $b$ წრფეები პარალელურია.

თეორემა დადასტურდა.

განხილული ნიშნებიდან გამომდინარეობს სწორი ხაზების პარალელიზმი.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

მაგალითი 1

გადაკვეთის წერტილი ყოფს $AB$ და $CD$ სეგმენტებს. დაამტკიცეთ, რომ $AC \პარალელური BD$.

მოცემული: $AO=OB$, $CO=OD$.

დაამტკიცე: $AC\პარალელური BD$.

მტკიცებულება.

ამოცანის $AO=OB$, $CO=OD$ და $∠1=∠2$ ვერტიკალური კუთხეების ტოლობის პირობებიდან I-ე სამკუთხედის ტოლობის კრიტერიუმის მიხედვით გამოდის, რომ $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB $. ამრიგად, $∠3=∠4$.

კუთხეები $3$ და $4$ ჯვარედინზეა ორ ხაზში $AC$ და $BD$ და კვეთენ $AB$. შემდეგ $AC \პარალელური BD$ წრფეების პარალელურობის I-ის კრიტერიუმის მიხედვით. მტკიცება დადასტურდა.

მაგალითი 2

მოცემულია კუთხე $∠2=45^(\circ)$ და $∠7$ არის $3$-ჯერ მოცემულ კუთხეზე. დაამტკიცეთ, რომ $a \პარალელური b$.

მოცემული: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.

დაამტკიცე: $a \პარალელური b$.

მტკიცებულება:

1. იპოვეთ კუთხის მნიშვნელობა $7$:

$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$.

1. ვერტიკალური კუთხეები $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$.
2. იპოვეთ შიდა კუთხეების ჯამი $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$.

$a \პარალელური b$ წრფეების პარალელურობის III-ე კრიტერიუმის მიხედვით. მტკიცება დადასტურდა.

მაგალითი 3

მოცემული: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.

დაამტკიცე: $AC \პარალელური BD$, $AD \პარალელური BC$.

მტკიცებულება:

განხილულ ნახატებს აქვთ საერთო მხარე $AB$.

იმიტომ რომ სამკუთხედები $ABC$ და $ADB$ ტოლია, შემდეგ $AD=CB$, $AC=BD$ და შესაბამისი კუთხეებია $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠5=∠ 6 $.

$3$ და $4$ კუთხების წყვილი ჯვარედინზეა $AC$ და $BD$ წრფეებისთვის და შესაბამისი სეკანტი $AB$, შესაბამისად, $AC \პარალელური BD წრფეების პარალელურობის I კრიტერიუმის მიხედვით. $.

$5$ და $6$ კუთხების წყვილი ჯვარედინზეა $AD$ და $BC$ წრფეებისთვის და შესაბამისი $AB$ სკანტისთვის, მაშასადამე, $AD \პარალელური BC წრფეების პარალელურობის I-ე კრიტერიუმის მიხედვით. $.

გვერდი 1 2-დან

Კითხვა 1.დაამტკიცეთ, რომ მესამეს პარალელურად ორი წრფე პარალელურია.
უპასუხე. თეორემა 4.1. მესამეს პარალელურად ორი წრფე პარალელურია.
მტკიცებულება.მოდით, a და b წრფეები იყოს c წრფის პარალელურად. დავუშვათ, რომ a და b პარალელური არ არის (სურ. 69). შემდეგ ისინი არ იკვეთებიან რაღაც C წერტილში. აქედან გამომდინარე, ორი წრფე გადის C წერტილში და პარალელურია c წრფის. მაგრამ ეს შეუძლებელია, ვინაიდან წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, შეიძლება მოცემული ხაზის პარალელურად მაქსიმუმ ერთი ხაზის გაყვანა. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 2.ახსენით რა კუთხეებს ეწოდება შიდა ცალმხრივი. რომელ კუთხეებს ეწოდება შიდა ჯვარი ტყუილი?
უპასუხე.კუთხეების წყვილებს, რომლებიც წარმოიქმნება AB და CD ხაზების AC გადაკვეთისას, აქვთ სპეციალური სახელები.
თუ B და D წერტილები ერთსა და იმავე ნახევრად სიბრტყეში დევს AC სწორ ხაზთან შედარებით, მაშინ BAC და DCA კუთხეებს შიდა ცალმხრივი ეწოდება (ნახ. 71, ა).
თუ B და D წერტილები განლაგებულია AC წრფესთან მიმართებაში განსხვავებულ ნახევრად სიბრტყეში, მაშინ კუთხეებს BAC და DCA ეწოდება შიდა ჯვარედინი დაწოლილები (ნახ. 71, ბ).

ბრინჯი. 71

კითხვა 3.დაამტკიცეთ, რომ თუ ერთი წყვილის შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, მაშინ მეორე წყვილის შიდა ჯვარედინი კუთხეებიც ტოლია და თითოეული წყვილის შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი 180°-ია.
უპასუხე.სეკანტური AC AB და CD ხაზებით ქმნის ორ წყვილ შიდა ცალმხრივ და ორ წყვილ შიდა ჯვარედინი დაწოლილ კუთხეებს. ერთი წყვილის შიდა ჯვარედინი კუთხეები, მაგალითად, კუთხე 1 და კუთხე 2, გვერდით არის სხვა წყვილის შიდა ჯვარედინი დაწოლილ კუთხეებთან: კუთხე 3 და კუთხე 4 (ნახ. 72).

ბრინჯი. 72

მაშასადამე, თუ ერთი წყვილის შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, მაშინ მეორე წყვილის შიდა ჯვარედინი კუთხეებიც ტოლია.
შიდა ჯვარედინი კუთხეების წყვილს, როგორიცაა კუთხე 1 და კუთხე 2, და წყვილ შიდა ცალმხრივ კუთხეებს, როგორიცაა კუთხე 2 და კუთხე 3, აქვთ ერთი საერთო კუთხე, კუთხე 2 და ორი სხვა მიმდებარე კუთხე, კუთხე. 1 და კუთხე 3.
ამიტომ, თუ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, მაშინ შიდა კუთხეების ჯამი არის 180°. და პირიქით: თუ შიდა ჯვარედინი დაწოლის კუთხეების ჯამი უდრის 180°-ს, მაშინ შიდა ჯვარედინ დაწოლის კუთხეები ტოლია. ქ.ე.დ.

კითხვა 4.დაამტკიცეთ პარალელური წრფეების კრიტერიუმი.
უპასუხე. თეორემა 4.2 (ტესტი პარალელური წრფეებისთვის).თუ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია ან შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ წრფეები პარალელურია.
მტკიცებულება.მოდით, a და b წრფეებმა შექმნან თანაბარი შიდა ჯვარედინ დაწოლილი კუთხეები AB სეკანტით (სურ. 73, ა). დავუშვათ, a და b წრფეები არ არიან პარალელური, რაც ნიშნავს, რომ ისინი იკვეთებიან C რაღაც წერტილში (ნახ. 73, ბ).

ბრინჯი. 73

სეკანტი AB ყოფს თვითმფრინავს ორ ნახევრად სიბრტყეზე. წერტილი C დევს ერთ-ერთ მათგანში, ავაშენოთ BAC 1 სამკუთხედის ტოლი ABC სამკუთხედის C 1 წვერით მეორე ნახევარსიბრტყეში. პირობით, a, b და სეკანტი AB-ის შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია. ვინაიდან ABC და BAC 1 სამკუთხედების შესაბამისი კუთხეები A და B წვეროებით ტოლია, ისინი ემთხვევა შიდა ჯვარედინი კუთხეებს. ამრიგად, AC 1 წრფე ემთხვევა a წრფეს, ხოლო BC 1 წრფე ემთხვევა b წრფეს. გამოდის, რომ ორი განსხვავებული ხაზი a და b გადის C და C 1 წერტილებში. და ეს შეუძლებელია. ასე რომ, a და b წრფეები პარალელურია.
თუ a და b წრფეებსა და AB სკანტებს აქვთ შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი ტოლი 180°, მაშინ, როგორც ვიცით, შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია. მაშასადამე, რაც ზემოთ დადასტურდა, წრფეები a და b პარალელურია. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 5.ახსენით რა კუთხეებს ჰქვია შესაბამისი. დაამტკიცეთ, რომ თუ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, მაშინ შესაბამისი კუთხეებიც ტოლია და პირიქით.

უპასუხე.თუ შიდა ჯვარედინი კუთხის წყვილს აქვს ერთი კუთხე ჩანაცვლებული ვერტიკალურით, მაშინ მიიღება წყვილი კუთხე, რომელსაც ეწოდება მოცემული წრფეების შესაბამისი კუთხეები სეკანტით. რისი ახსნა იყო საჭირო.
შიდა ჯვარედინ დაწოლის კუთხეების ტოლობიდან გამომდინარეობს შესაბამისი კუთხეების ტოლობა და პირიქით. ვთქვათ, გვაქვს ორი პარალელური წრფე (რადგან პირობითად შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია) და სეკანტი, რომლებიც ქმნიან კუთხეებს 1, 2, 3. კუთხეები 1 და 2 ტოლია როგორც შიდა ჯვარედინი დაწოლა. და კუთხეები 2 და 3 ტოლია ვერტიკალური. ვიღებთ: \(\კუთხე\)1 = \(\კუთხე\)2 და \(\კუთხე\)2 = \(\კუთხე\)3. ტოლობის ნიშნის გარდამავალობის თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ \(\კუთხე\)1 = \(\კუთხე\)3. საპირისპირო მტკიცება ანალოგიურად არის დადასტურებული.
ეს იწვევს პარალელური ხაზების ნიშანს შესაბამის კუთხით. კერძოდ, წრფეები პარალელურია, თუ შესაბამისი კუთხეები ტოლია. ქ.ე.დ.

კითხვა 6.დაამტკიცეთ, რომ მოცემულ წრფეზე არ მდგომი წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია მის პარალელურ წრფის დახატვა. მოცემული წრფის პარალელურად რამდენი წრფე შეიძლება გაივლოს ამ წრფეზე არა წერტილში?

უპასუხე.პრობლემა (8). მოცემულია AB წრფე და C წერტილი, რომელიც არ დევს ამ წრფეზე. დაამტკიცეთ, რომ C წერტილის გავლით შესაძლებელია AB წრფის პარალელურად გავლება.
გამოსავალი. სწორი ხაზი AC ყოფს სიბრტყეს ორ ნახევრად სიბრტყეზე (სურ. 75). წერტილი B დევს ერთ-ერთ მათგანში. ნახევრად წრფივი CA-დან გამოვსახოთ ACD კუთხის CAB ტოლი კუთხე მეორე ნახევარსიბრტყეში. მაშინ AB და CD ხაზები იქნება პარალელური. მართლაც, ამ ხაზებისთვის და AC სკანტისთვის, კუთხეები BAC და DCA არის შიდა ჯვარედინი. და რადგან ისინი ტოლია, AB და CD წრფეები პარალელურია. ქ.ე.დ.
მე-8 ამოცანის დებულებასა და IX აქსიომას (პარალელური წრფეების მთავარი თვისება) შევადარებთ, მივდივართ მნიშვნელოვან დასკვნამდე: წერტილის მეშვეობით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, შეიძლება მის პარალელურ წრფის დახატვა და მხოლოდ ერთი.

კითხვა 7.დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი წრფე იკვეთება მესამე წრფესთან, მაშინ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, ხოლო შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.

უპასუხე. თეორემა 4.3(თეორემა 4.2-ზე საუბარი). თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება მესამე წრფესთან, მაშინ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, ხოლო შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.
მტკიცებულება.დავუშვათ a და b იყოს პარალელური წრფეები და c იყოს წრფე, რომელიც კვეთს მათ A და B წერტილებში. დახაზეთ a 1 წრფე A წერტილამდე ისე, რომ c სეკანტის მიერ a 1 და b წრფეებით წარმოქმნილი შიდა ჯვარედინ კუთხეები ტოლი იყოს. (სურ. 76).
წრფეთა პარალელურობის კრიტერიუმით a 1 და b წრფეები პარალელურია. და რადგან მხოლოდ ერთი წრფე გადის A წერტილში, b წრფის პარალელურად, მაშინ a წრფე ემთხვევა a 1 წრფეს.
ეს ნიშნავს, რომ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ჩამოყალიბებულია სეკანტის მიერ
პარალელური წრფეები a და b ტოლია. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 8.დაამტკიცეთ, რომ მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე პარალელურია. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური ხაზიდან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.
უპასუხე.თეორემა 4.2-დან გამომდინარეობს, რომ მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე პარალელურია.
დავუშვათ, რომ ნებისმიერი ორი ხაზი პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე. მაშასადამე, ეს ხაზები იკვეთება მესამე წრფესთან 90°-ის ტოლი კუთხით.
სეკანტის მიერ პარალელური წრფეების გადაკვეთაზე წარმოქმნილი კუთხეების თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ წრფე პერპენდიკულარულია ერთ-ერთ პარალელურ წრფეზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.

კითხვა 9.დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.

უპასუხე. თეორემა 4.4.სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°.
მტკიცებულება.მოდით ABC იყოს მოცემული სამკუთხედი. დახაზეთ ხაზი B წვეროზე AC წრფის პარალელურად. მონიშნეთ მასზე D წერტილი ისე, რომ A და D წერტილები ცდებოდეს BC წრფის მოპირდაპირე მხარეს (სურ. 78).
კუთხეები DBC და ACB ტოლია, როგორც შიდა ჯვარედინი, წარმოიქმნება BC სეკანტით AC და BD პარალელური ხაზებით. მაშასადამე, B და C წვეროებზე სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ABD კუთხის ტოლია.
ხოლო სამკუთხედის სამივე კუთხის ჯამი უდრის ABD და BAC კუთხეების ჯამს. ვინაიდან ეს კუთხეები შიდა ცალმხრივია პარალელური AC და BD და სეკანტური AB-სთვის, მათი ჯამი არის 180°. თეორემა დადასტურდა.

კითხვა 10.დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერ სამკუთხედს აქვს მინიმუმ ორი მახვილი კუთხე.
უპასუხე.მართლაც, დავუშვათ, რომ სამკუთხედს აქვს მხოლოდ ერთი მახვილი კუთხე ან საერთოდ არ არის მახვილი კუთხე. მაშინ ამ სამკუთხედს აქვს ორი კუთხე, რომელთაგან თითოეული არის მინიმუმ 90°. ამ ორი კუთხის ჯამი არანაკლებ 180°-ია. მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი არის 180°. ქ.ე.დ.

1. პარალელიზმის პირველი ნიშანი.

თუ ორი წრფის მესამესთან გადაკვეთისას შიდა კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს წრფეები პარალელურია.

მოდით, AB და CD ხაზები გადაიკვეთოს EF წრფეზე და ∠1 = ∠2. ავიღოთ წერტილი O - სეგმენტის KL სეგმენტის შუა EF ​​(ნახ.).

მოდით ჩამოვუშვათ პერპენდიკულარული OM O წერტილიდან AB წრფემდე და გავაგრძელოთ სანამ არ გადაიკვეთება CD, AB ⊥ MN წრფესთან. დავამტკიცოთ, რომ CD ⊥ MN ასევე.

ამისათვის განიხილეთ ორი სამკუთხედი: MOE და NOK. ეს სამკუთხედები ერთმანეთის ტოლია. მართლაც: ∠1 = ∠2 თეორემის ჰიპოთეზის მიხედვით; OK = OL - კონსტრუქციით;

∠MOL = ∠NOK, როგორც ვერტიკალური კუთხეები. ამრიგად, ერთი სამკუთხედის მის მიმდებარე გვერდი და ორი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის გვერდის და მის მიმდებარე ორი კუთხე; მაშასადამე, ΔMOL = ΔNOK და აქედან გამომდინარე ∠LMO = ∠KNO,
მაგრამ ∠LMO არის პირდაპირი, შესაბამისად ∠KNO ასევე პირდაპირი. ამრიგად, AB და CD წრფეები პერპენდიკულარულია ერთი და იგივე წრფის MN-ზე, შესაბამისად, ისინი პარალელურები არიან, რაც დასამტკიცებელი იყო.

Შენიშვნა. MO და CD ხაზების გადაკვეთა შეიძლება დადგინდეს MOL სამკუთხედის O წერტილის გარშემო 180°-ით შემობრუნებით.

2. პარალელიზმის მეორე ნიშანი.

ვნახოთ არის თუ არა AB და CD წრფეები პარალელური, თუ მათი მესამე ხაზის EF გადაკვეთაზე შესაბამისი კუთხეები ტოლია.

ზოგიერთი შესაბამისი კუთხე იყოს ტოლი, მაგალითად ∠ 3 = ∠2 (ნახ.);

∠3 = ∠1 როგორც ვერტიკალური კუთხეები; ასე რომ ∠2 უდრის ∠1-ს. მაგრამ კუთხეები 2 და 1 არის შიდა ჯვარედინი კუთხეები და ჩვენ უკვე ვიცით, რომ თუ ორი წრფის მესამედზე გადაკვეთისას შიდა განივი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს წრფეები პარალელურია. ამიტომ, AB || CD.

თუ მესამეს ორი წრფის გადაკვეთაზე შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს ორი წრფე პარალელურია.

ამ თვისებას ეფუძნება პარალელური ხაზების აგება სახაზავისა და სახატავი სამკუთხედის დახმარებით. ეს კეთდება შემდეგნაირად.

მოდით მივამაგროთ სამკუთხედი სახაზავზე, როგორც ნაჩვენებია ნახ. ჩვენ გადავაადგილებთ სამკუთხედს ისე, რომ მისი ერთი მხარე სრიალდეს სახაზავთან და გავავლოთ რამდენიმე სწორი ხაზი სამკუთხედის ნებისმიერი სხვა მხარის გასწვრივ. ეს ხაზები იქნება პარალელური.

3. პარალელიზმის მესამე ნიშანი.

გავიგოთ, რომ ორი AB და CD წრფის მესამე წრფის გადაკვეთაზე ნებისმიერი შიდა ცალმხრივი კუთხის ჯამი უდრის 2-ს. დ(ან 180°). იქნება თუ არა AB და CD წრფეები ამ შემთხვევაში პარალელური (ნახ.).

მოდით ∠1 და ∠2 იყოს ცალმხრივი შიდა კუთხეები და დავამატოთ 2 დ.

მაგრამ ∠3 + ∠2 = 2 დროგორც მიმდებარე კუთხეები. ამიტომ, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

აქედან გამომდინარე ∠1 = ∠3 და ეს შიდა კუთხეები ჯვარედინია. ამიტომ, AB || CD.

თუ ორი წრფის გადაკვეთაზე მესამედზე, შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 2 d (ან 180°), მაშინ ორი წრფე პარალელურია.

პარალელური ხაზების ნიშნები:

1. თუ ორი სწორი წრფის მესამედზე გადაკვეთისას შიდა ჯვარი დაწოლილი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს წრფეები პარალელურია.

2. თუ მესამეს ორი წრფის გადაკვეთაზე შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს ორი წრფე პარალელურია.

3. თუ მესამეს ორი წრფის გადაკვეთაზე შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამია 180 °, მაშინ ეს ორი წრფე პარალელურია.

4. თუ ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია.

5. თუ ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია.

ევკლიდეს პარალელურობის აქსიომა

დავალება. M წერტილის გავლით, რომელიც აღებულია AB წრფის გარეთ, გავავლოთ AB წრფის პარალელურად.

წრფეთა პარალელურობის ნიშნებზე დადასტურებული თეორემების გამოყენებით, ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია სხვადასხვა გზით,

გამოსავალი. 1st s o s o b (სურ. 199).

ვხატავთ MN⊥AB და M წერტილის გავლით ვხატავთ CD⊥MN;

ვიღებთ CD⊥MN და AB⊥MN.

თეორემაზე დაყრდნობით („თუ ორი წრფე პერპენდიკულარულია ერთსა და იმავე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია“) ვასკვნით, რომ СD || AB.

მე-2 ს პ ო ს ო ბ (სურ. 200).

ვხატავთ MK გადამკვეთ AB-ს ნებისმიერი α კუთხით და M წერტილის გავლით ვხაზავთ EF სწორ წრფეს, ვქმნით კუთხეს EMK სწორი ხაზით MK, ტოლი α კუთხით. თეორემაზე () დავასკვნათ, რომ EF || AB.

ამ პრობლემის გადაჭრის შემდეგ შეგვიძლია დადასტურებულად მივიჩნიოთ, რომ ნებისმიერი M წერტილის მეშვეობით, რომელიც აღებულია AB წრფეს მიღმა, შესაძლებელია მის პარალელურ წრფის გავლება. ჩნდება კითხვა, რამდენი წრფე შეიძლება იყოს მოცემული წრფის პარალელურად და მოცემულ წერტილში გამავალი?

კონსტრუქციების პრაქტიკა საშუალებას გვაძლევს ვივარაუდოთ, რომ არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი ხაზი, რადგან საგულდაგულოდ შესრულებული ნახაზით, იმავე წრფის პარალელურად ერთი და იმავე წერტილის გავლით სხვადასხვა გზით შედგენილი ხაზები ერწყმის ერთმანეთს.

თეორიულად ამ კითხვაზე პასუხს გვაძლევს ევკლიდეს პარალელურობის ეგრეთ წოდებული აქსიომა; იგი ჩამოყალიბებულია ასე:

მოცემული წრფის მიღმა აღებული წერტილის გავლით ამ წრფის პარალელურად მხოლოდ ერთი ხაზის გაყვანა შეიძლება.

ნახაზზე 201, სწორი ხაზი SK დახაზულია O წერტილის გავლით, AB სწორი ხაზის პარალელურად.

ნებისმიერი სხვა წრფე, რომელიც გაივლის O წერტილს, აღარ იქნება AB წრფის პარალელურად, მაგრამ გადაკვეთს მას.

ევკლიდეს მიერ თავის ელემენტებში მიღებული აქსიომა, რომელიც ამბობს, რომ სიბრტყეში მოცემული წრფის მიღმა გადაღებულ წერტილში, ამ წრფის პარალელურად მხოლოდ ერთი წრფის გაყვანა შეიძლება ე.წ. ევკლიდეს პარალელურობის აქსიომა.

ევკლიდეს შემდეგ ორ ათასზე მეტი წლის განმავლობაში ბევრი მათემატიკოსი ცდილობდა დაემტკიცებინა ეს მათემატიკური წინადადება, მაგრამ მათი მცდელობები ყოველთვის წარუმატებელი იყო. მხოლოდ 1826 წელს დიდმა რუსმა მეცნიერმა, ყაზანის უნივერსიტეტის პროფესორმა ნიკოლაი ივანოვიჩ ლობაჩევსკიმ დაამტკიცა, რომ ევკლიდეს ყველა სხვა აქსიომების გამოყენებით, ეს მათემატიკური წინადადება არ შეიძლება დადასტურდეს, რომ ის ნამდვილად აქსიომად უნდა იქნას მიღებული. ნ.ი.ლობაჩევსკიმ შექმნა ახალი გეომეტრია, რომელსაც, ევკლიდეს გეომეტრიისგან განსხვავებით, ლობაჩევსკის გეომეტრია ეწოდა.

1. თუ ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია:

თუ ა||გდა ბ||გ, ეს ა||ბ.

2. თუ ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია:

თუ ა⊥გდა ბ⊥გ, ეს ა||ბ.

წრფეების პარალელურობის დარჩენილი ნიშნები დაფუძნებულია ორი წრფის მესამეზე გადაკვეთაზე წარმოქმნილ კუთხეებზე.

3. თუ შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ წრფეები პარალელურია:

თუ ∠1 + ∠2 = 180°, მაშინ ა||ბ.

4. თუ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მაშინ წრფეები პარალელურია:

თუ ∠2 = ∠4, მაშინ ა||ბ.

5. თუ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, მაშინ წრფეები პარალელურია:

თუ ∠1 = ∠3, მაშინ ა||ბ.

პარალელური წრფეების თვისებები

განცხადებები, რომლებიც შებრუნებულია წრფეების პარალელურობის ნიშნების მიმართ, მათი თვისებებია. ისინი ეფუძნება კუთხეების თვისებებს, რომლებიც წარმოიქმნება ორი პარალელური წრფის მესამე წრფის გადაკვეთით.

1. როდესაც ორი პარალელური წრფე იკვეთება მესამე წრფესთან, მათ მიერ წარმოქმნილი შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180 °:

თუ ა||ბ, შემდეგ ∠1 + ∠2 = 180°.

2. როდესაც ორი პარალელური წრფე იკვეთება მესამე წრფესთან, მათ მიერ წარმოქმნილი შესაბამისი კუთხეები ტოლია:

თუ ა||ბ, შემდეგ ∠2 = ∠4.

3. ორი პარალელური წრფის მესამე წრფის გადაკვეთისას მათ მიერ წარმოქმნილი ცრუ კუთხეები ტოლია:

თუ ა||ბ, შემდეგ ∠1 = ∠3.

შემდეგი თვისება თითოეული წინას განსაკუთრებული შემთხვევაა:

4. თუ სიბრტყეზე წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური წრფედან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ:

თუ ა||ბდა გ⊥ა, ეს გ⊥ბ.

მეხუთე თვისება არის პარალელური წრფეების აქსიომა:

5. მოცემულ წრფეზე არ დევს წერტილის გავლით მოცემული წრფის პარალელურად მხოლოდ ერთი წრფის გაყვანა შეიძლება.

1. პარალელის აქსიომა. მოცემული წერტილის გავლით, მაქსიმუმ ერთი სწორი ხაზის გაყვანა შესაძლებელია მოცემულის პარალელურად.

2. თუ ორი წრფე პარალელურია ერთი და იგივე წრფის, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია.

3. ერთი და იგივე წრფის პერპენდიკულარული ორი წრფე პარალელურია.

4. თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება მესამეზე, მაშინ ერთდროულად წარმოქმნილი შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია; შესაბამისი კუთხეები ტოლია; შიდა ცალმხრივი კუთხეები ემატება 180°-ს.

5. თუ ორი სწორი წრფის გადაკვეთაზე მესამე ქმნის თანაბარ შიდა ჯვარედინ კუთხეებს, მაშინ სწორი ხაზები პარალელურია.

6. თუ ორი წრფის გადაკვეთაზე მესამე ტოლი შესაბამის კუთხეებს ქმნის, მაშინ წრფეები პარალელურია.

7. თუ მესამეს ორი წრფის გადაკვეთაზე შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180 °, მაშინ ხაზები პარალელურია.

თალესის თეორემა. თუ თანაბარი სეგმენტები განლაგებულია კუთხის ერთ მხარეს და პარალელური სწორი ხაზები გავლებულია მათი ბოლოებით, რომლებიც კვეთენ კუთხის მეორე მხარეს, მაშინ თანაბარი სეგმენტები ასევე დაიდება კუთხის მეორე მხარეს.

თეორემა პროპორციულ სეგმენტებზე. პარალელური სწორი ხაზები, რომლებიც კვეთენ კუთხის გვერდებს, ჭრიან მათზე პროპორციულ სეგმენტებს.

სამკუთხედი. სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

1. თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე, შესაბამისად, უდრის ორ გვერდს და მათ შორის კუთხეს მეორე სამკუთხედს, მაშინ სამკუთხედები თანმიმდევრულია.

2. თუ ერთი სამკუთხედის მის მიმდებარე გვერდი და ორი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის გვერდის და მის მიმდებარე ორი კუთხე, მაშინ სამკუთხედები თანმიმდევრულია.

3. თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი შესაბამისად უდრის მეორე სამკუთხედის სამ გვერდს, მაშინ სამკუთხედები თანმიმდევრულია.

1. ორ ფეხზე.

2. ფეხისა და ჰიპოტენუზის გასწვრივ.

3. ჰიპოტენუზით და მწვავე კუთხით.

4. ფეხის გასწვრივ და მწვავე კუთხე.

თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის და მისი შედეგების შესახებ

1. სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამია 180°.

2. სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის მის მიმდებარე ორი შიდა კუთხის ჯამს.

3. ამოზნექილი n-გონების შიდა კუთხეების ჯამი არის

4. გა-გონის გარე კუთხეების ჯამია 360°.

5. ორმხრივი პერპენდიკულარული გვერდების მქონე კუთხეები ტოლია, თუ ორივე მახვილია ან ორივე ბლაგვია.

6. მიმდებარე კუთხეების ბისექტორებს შორის კუთხე არის 90°.

7. პარალელური წრფეებითა და სეკანტის მქონე შიდა ცალმხრივი კუთხეების ბისექტრები პერპენდიკულურია.

ტოლფერდა სამკუთხედის ძირითადი თვისებები და ნიშნები

1. ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძეზე კუთხეები ტოლია.

2. თუ სამკუთხედის ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ის ტოლია.

3. ტოლკუთხედის სამკუთხედში შუამავალი, ბისექტორი და ფუძესთან დახატული სიმაღლე ერთნაირია.

4. თუ სამკუთხედში რომელიმე წყვილი სეგმენტი - მედიანა, ბისექტორი, სიმაღლე - ემთხვევა სამკუთხედს, მაშინ ის ტოლფერდაა.

სამკუთხედის უტოლობა და მისი შედეგები

1. სამკუთხედის ორი გვერდის ჯამი მეტია მის მესამე გვერდზე.

2. გაწყვეტილი ხაზის რგოლების ჯამი მეტია დასაწყისის დამაკავშირებელ სეგმენტზე

პირველი ბმული უკანასკნელის დასასრულით.

3. სამკუთხედის უფრო დიდი კუთხის საპირისპიროდ არის უფრო დიდი გვერდი.

4. სამკუთხედის უფრო დიდი მხარის წინააღმდეგ უფრო დიდი კუთხეა.

5. მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა უფრო დიდია ვიდრე ფეხი.

6. თუ პერპენდიკულარული და დახრილი დახატულია ერთი წერტილიდან სწორ ხაზზე, მაშინ

1) პერპენდიკულარი უფრო მოკლეა, ვიდრე დახრილი;

2) უფრო დიდი დახრილობა შეესაბამება უფრო დიდ პროექციას და პირიქით.

სამკუთხედის შუა ხაზი.

სამკუთხედის ორი გვერდის შუა წერტილების დამაკავშირებელ ხაზს სამკუთხედის შუა ხაზი ეწოდება.

სამკუთხედის შუა ხაზის თეორემა.

სამკუთხედის შუა ხაზი არის სამკუთხედის გვერდის პარალელურად და მისი ნახევრის ტოლია.

სამკუთხედის მედიანური თეორემები

1. სამკუთხედის შუალედები იკვეთება ერთ წერტილში და გაყავით იგი 2:1 თანაფარდობით, ზემოდან დათვლა.

2. თუ სამკუთხედის მედიანა უდრის იმ გვერდის ნახევარს, რომლისკენაც ის არის დახატული, მაშინ სამკუთხედი მართკუთხაა.

3. მართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი მართკუთხა სამკუთხედის მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

სამკუთხედის გვერდების პერპენდიკულარული ბისექტორების თვისება. სამკუთხედის გვერდების პერპენდიკულარული ბისექტრები იკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც არის სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი.

სამკუთხედის სიმაღლის თეორემა. სამკუთხედის სიმაღლეების შემცველი ხაზები იკვეთება ერთ წერტილში.

სამკუთხედის ბისექტრის თეორემა. სამკუთხედის ბისექტრები იკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც არის სამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი.

სამკუთხედის ბისექტრის თვისება. სამკუთხედის ბისექტორი ყოფს მის გვერდს დანარჩენი ორი გვერდის პროპორციულ მონაკვეთებად.

სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები

1. თუ ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე შესაბამისად მეორის ორი კუთხის ტოლია, მაშინ სამკუთხედები მსგავსია.

2. თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი შესაბამისად მეორის ორი გვერდის პროპორციულია და ამ გვერდებს შორის ჩასმული კუთხეები ტოლია, მაშინ სამკუთხედები მსგავსია.

3. თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი მეორის სამი გვერდის შესაბამისად პროპორციულია, მაშინ სამკუთხედები მსგავსია.

მსგავსი სამკუთხედების არეები

1. მსგავსი სამკუთხედების ფართობების შეფარდება ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის.

2. თუ ორ სამკუთხედს აქვს თანაბარი კუთხე, მაშინ მათი ფართობები დაკავშირებულია იმ გვერდების ნამრავლებად, რომლებიც აკრავს ამ კუთხეებს.

მართკუთხა სამკუთხედში

1. მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი ტოლია ჰიპოტენუზისა და მოპირდაპირე კუთხის სინუსის ნამრავლის ან ამ ფეხის მიმდებარე მახვილი კუთხის კოსინუსის.

2. მართკუთხა სამკუთხედის წვერი ტოლია მეორე ფეხის გამრავლებული საპირისპირო ტანგენსზე ან ამ ფეხის მიმდებარე მწვავე კუთხის კოტანგენსზე.

3. 30 ° კუთხის მოპირდაპირე მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

4. თუ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს, მაშინ ამ ფეხის მოპირდაპირე კუთხე არის 30°.

5. R = ; g \u003d, სადაც a, b არის ფეხები და c არის მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა; r და R არის შემოხაზული და შემოხაზული წრეების რადიუსი, შესაბამისად.

პითაგორას თეორემა და პითაგორას თეორემის საპირისპირო

1. მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის კუთხის კვადრატების ჯამს.

2. თუ სამკუთხედის გვერდის კვადრატი მისი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამის ტოლია, მაშინ სამკუთხედი მართკუთხაა.

საშუალო პროპორციები მართკუთხა სამკუთხედში.

მართკუთხა კუთხის წვეროდან გამოყვანილი მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე არის საშუალო პროპორციული ქვედაბოლოების პროექციისა ჰიპოტენუზაზე, ხოლო თითოეული ფეხი არის ჰიპოტენუზის საშუალო პროპორციული და მისი პროექცია ჰიპოტენუზაზე.

1. კოსინუსების თეორემა. სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს ამ გვერდების ნამრავლის გაორმაგების გარეშე მათ შორის კუთხის კოსინუსზე.

2. დასკვნა კოსინუსების თეორემიდან. პარალელოგრამის დიაგონალების კვადრატების ჯამი უდრის მისი ყველა გვერდის კვადრატების ჯამს.

3. სამკუთხედის შუალედის ფორმულა. თუ m არის c გვერდისკენ დახატული სამკუთხედის მედიანა, მაშინ m = სადაც a და b არის სამკუთხედის დარჩენილი გვერდები.

4. სინუსების თეორემა. სამკუთხედის გვერდები საპირისპირო კუთხის სინუსების პროპორციულია.

5. განზოგადებული სინუსების თეორემა. სამკუთხედის გვერდის თანაფარდობა მოპირდაპირე კუთხის სინუსთან ტოლია სამკუთხედის გარშემო მყოფი წრის დიამეტრის.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულები

1. სამკუთხედის ფართობი არის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლის ნახევარი.

2. სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ორი გვერდის ნამრავლის ნახევარს და მათ შორის კუთხის სინუსს.

3. სამკუთხედის ფართობი ტოლია მისი ნახევრადპერიმეტრისა და ჩაწერილი წრის რადიუსის ნამრავლისა.

4. სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი სამი გვერდის ნამრავლს გაყოფილი შემოხაზული წრის რადიუსზე ოთხჯერ.

5. ჰერონის ფორმულა: S=, სადაც p არის ნახევარპერიმეტრი; a, b, c - სამკუთხედის გვერდები.

ტოლგვერდა სამკუთხედის ელემენტები. h, S, r, R იყოს a გვერდით ტოლგვერდა სამკუთხედის შემოხაზული და შემოხაზული წრეების სიმაღლე, ფართობი, რადიუსი. მერე
ოთხკუთხედები

პარალელოგრამი. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილი პარალელურია.

პარალელოგრამის თვისებები და მახასიათებლები.

1. დიაგონალი პარალელოგრამს ყოფს ორ ტოლ სამკუთხედად.

2. პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში ტოლია.

3. პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები წყვილებში ტოლია.

4. პარალელოგრამის დიაგონალები კვეთენ და კვეთენ გადაკვეთის წერტილს.

5. თუ ოთხკუთხედის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში ტოლია, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

6. თუ ოთხკუთხედის ორი მოპირდაპირე გვერდი ტოლია და პარალელურია, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

7. თუ ოთხკუთხედის დიაგონალები იკვეთება გადაკვეთის წერტილით, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

ოთხკუთხედის გვერდების შუა წერტილების თვისება. ნებისმიერი ოთხკუთხედის გვერდების შუა წერტილები არის პარალელოგრამის წვეროები, რომლის ფართობი არის ოთხკუთხედის ფართობის ნახევარი.

მართკუთხედი.მართკუთხედი არის პარალელოგრამი მართი კუთხით.

მართკუთხედის თვისებები და ნიშნები.

1. მართკუთხედის დიაგონალები ტოლია.

2. თუ პარალელოგრამის დიაგონალები ტოლია, მაშინ ეს პარალელოგრამი მართკუთხედია.

მოედანი.კვადრატი არის მართკუთხედი, რომლის ყველა გვერდი ტოლია.

რომბი.რომბი არის ოთხკუთხედი, რომლის ყველა გვერდი ტოლია.

რომბის თვისებები და ნიშნები.

1. რომბის დიაგონალები პერპენდიკულარულია.

2. რომბის დიაგონალები ყოფენ მის კუთხეებს.

3. თუ პარალელოგრამის დიაგონალები პერპენდიკულარულია, მაშინ ეს პარალელოგრამი არის რომბი.

4. თუ პარალელოგრამის დიაგონალები მის კუთხეებს შუაზე ყოფს, მაშინ ეს პარალელოგრამი არის რომბი.

ტრაპეცია.ტრაპეცია არის ოთხკუთხედი, რომელშიც მხოლოდ ორი მოპირდაპირე მხარე (ფუძე) არის პარალელური. ტრაპეციის მედიანური ხაზი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს არაპარალელური გვერდების შუა წერტილებს (გვერდითი მხარეები).

1. ტრაპეციის შუა ხაზი ფუძეების პარალელურია და მათი ნახევარჯმის ტოლია.

2. ტრაპეციის დიაგონალების შუა წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი უდრის ფუძეების ნახევარგანსხვავებას.

ტრაპეციის შესანიშნავი თვისება. ტრაპეციის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი, გვერდების გაფართოების და ფუძეების შუა წერტილების გადაკვეთის წერტილი ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს.

ტოლფერდა ტრაპეცია. ტრაპეციას უწოდებენ ტოლფერს, თუ მისი გვერდები ტოლია.

ტოლფერდა ტრაპეციის თვისებები და ნიშნები.

1. ტოლფერდა ტრაპეციის ძირში კუთხეები ტოლია.

2. ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალები ტოლია.

3. თუ ტრაპეციის ფუძის კუთხეები ტოლია, მაშინ ის ტოლფერდაა.

4. თუ ტრაპეციის დიაგონალები ტოლია, მაშინ ის ტოლფერდაა.

5. ტოლფერდა ტრაპეციის გვერდითი პროექცია ფუძეზე უდრის ფუძეთა ნახევარგანსხვავებას, ხოლო დიაგონალის პროექცია ფუძეების ჯამის ნახევარია.

ოთხკუთხედის ფართობის ფორმულები

1. პარალელოგრამის ფართობი უდრის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლს.

2. პარალელოგრამის ფართობი უდრის მისი მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს.

3. მართკუთხედის ფართობი უდრის მისი ორი მიმდებარე გვერდის ნამრავლს.

4. რომბის ფართობი მისი დიაგონალების ნამრავლის ნახევარია.

5. ტრაპეციის ფართობი უდრის ფუძეებისა და სიმაღლის ჯამის ნახევრის ნამრავლს.

6. ოთხკუთხედის ფართობი უდრის მისი დიაგონალების ნამრავლის ნახევარს და მათ შორის კუთხის სინუსს.

7. ჰერონის ფორმულა ოთხკუთხედისთვის, რომლის ირგვლივ წრე შეიძლება იყოს აღწერილი:

S \u003d, სადაც a, b, c, d არის ამ ოთხკუთხედის გვერდები, p არის ნახევარპერიმეტრი და S არის ფართობი.

მსგავსი ფიგურები

1. მსგავსი ფიგურების შესაბამისი წრფივი ელემენტების თანაფარდობა ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის.

2. მსგავსი ფიგურების ფართობების შეფარდება ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის.

რეგულარული მრავალკუთხედი.

მოდით a n იყოს რეგულარული n-გონის გვერდი, ხოლო r n და R n იყოს შემოხაზული და შემოხაზული წრეების რადიუსი. მერე

წრე.

წრე არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომლებიც იმავე დადებით მანძილზე არიან მოცემული წერტილიდან, რომელსაც წრის ცენტრი ეწოდება.

წრის ძირითადი თვისებები

1. აკორდის პერპენდიკულარული დიამეტრი ყოფს აკორდს და მის მიერ გამოკლებულ რკალებს შუაზე.

2. დიამეტრი, რომელიც გადის აკორდის შუაში, რომელიც არ არის დიამეტრი, ამ აკორდის პერპენდიკულარულია.

3. აკორდის პერპენდიკულარული მედიანა გადის წრის ცენტრში.

4. წრის ცენტრიდან თანაბარი მანძილით ამოღებულია თანაბარი აკორდები.

5. ცენტრიდან თანაბრად დაშორებული წრის აკორდები ტოლია.

6. წრე სიმეტრიულია მისი რომელიმე დიამეტრის მიმართ.

7. პარალელურ აკორდებს შორის ჩასმული წრის რკალი ტოლია.

8. ორი აკორდიდან უფრო დიდია ის, რომელიც ცენტრიდან ნაკლებად არის დაშორებული.

9. დიამეტრი წრის ყველაზე დიდი აკორდია.

წრის ტანგენტი. წრფეს, რომელსაც აქვს ერთი საერთო წერტილი წრესთან, წრეზე ტანგენსი ეწოდება.

1. ტანგენსი პერპენდიკულარულია შეხების წერტილამდე გამოყვანილ რადიუსზე.

2. თუ წრის წერტილზე გამავალი a წრფე პერპენდიკულარულია ამ წერტილამდე მიყვანილ რადიუსზე, მაშინ წრფე a არის წრეზე ტანგენსი.

3. თუ M წერტილში გამავალი წრფეები A და B წერტილებში წრეს ეხება, მაშინ MA = MB და ﮮAMO = ﮮBMO, სადაც O წერტილი არის წრის ცენტრი.

4. კუთხეში ჩაწერილი წრის ცენტრი დევს ამ კუთხის ბისექტორზე.

ტანგენტური წრე. ამბობენ, რომ ორ წრეს ეხება, თუ მათ აქვთ ერთი საერთო წერტილი (ტანგენტური წერტილი).

1. ორი წრის შეხების წერტილი მდებარეობს მათი ცენტრების ხაზზე.

2. R და R რადიუსების წრეები O 1 და O 2 ცენტრებით ეხებიან გარედან, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ R + r \u003d O 1 O 2.

3. r და R რადიუსების წრეები (r

4. წრეები O 1 და O 2 ცენტრებით გარედან ეხებიან K წერტილს. ზოგიერთი სწორი ხაზი ეხება ამ წრეებს სხვადასხვა A და B წერტილებში და კვეთს საერთო ტანგენტს, რომელიც გადის K წერტილზე C წერტილში. შემდეგ ﮮAK B \u003d 90 ° და ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °.

5. საერთო გარე ტანგენსის მონაკვეთი r და R რადიუსების ორ ტანგენტს წრეზე უდრის საერთო გარე ტანგენტის სეგმენტს, რომელიც ჩასმულია საერთო გარედან. ორივე ეს სეგმენტი თანაბარია.

წრესთან დაკავშირებული კუთხეები

1. წრის რკალის მნიშვნელობა უდრის მასზე დაფუძნებული ცენტრალური კუთხის მნიშვნელობას.

2. ჩაწერილი კუთხე უდრის რკალის კუთხის სიდიდის ნახევარს, რომელზეც ის ეყრდნობა.

3. იმავე რკალზე დაფუძნებული ჩაწერილი კუთხეები ტოლია.

4. გადამკვეთ აკორდებს შორის კუთხე უდრის აკორდების მიერ მოჭრილი მოპირდაპირე რკალების ჯამის ნახევარს.

5. წრის გარეთ გადამკვეთ ორ სეკანტს შორის კუთხე უდრის წრეზე სექანტების მიერ ამოჭრილი რკალების ნახევრად სხვაობას.

6. შეხების წერტილიდან გამოყვანილ ტანგენტსა და აკორდს შორის კუთხე უდრის ამ აკორდით წრეზე ამოჭრილი რკალის კუთხური მნიშვნელობის ნახევარს.

წრის აკორდების თვისებები

1. ორი გადამკვეთი წრის ცენტრების ხაზი მათი საერთო აკორდის პერპენდიკულარულია.

2. E წერტილში გადამკვეთი წრის AB და CD აკორდების სეგმენტების სიგრძის პროდუქტები ტოლია, ანუ AE EB \u003d CE ED.

ჩაწერილი და შემოხაზული წრეები

1. წესიერი სამკუთხედის შემოხაზული და შემოხაზული წრეების ცენტრები ემთხვევა ერთმანეთს.

2. მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი არის ჰიპოტენუზის შუა წერტილი.

3. თუ წრე შეიძლება ჩაიწეროს ოთხკუთხედში, მაშინ მისი მოპირდაპირე გვერდების ჯამები ტოლია.

4. თუ ოთხკუთხედი შეიძლება ჩაიწეროს წრეში, მაშინ მისი მოპირდაპირე კუთხეების ჯამი არის 180°.

5. თუ ოთხკუთხედის მოპირდაპირე კუთხეების ჯამი 180°-ია, მაშინ მის ირგვლივ წრე შეიძლება შემოიხაზოს.

6. თუ წრე შეიძლება ჩაიწეროს ტრაპეციაში, მაშინ ტრაპეციის გვერდითი მხარე ჩანს წრის ცენტრიდან მართი კუთხით.

7. თუ წრე შეიძლება ჩაიწეროს ტრაპეციაში, მაშინ წრის რადიუსი არის საშუალო პროპორციული იმ მონაკვეთებისა, რომლებშიც ტანგენტის წერტილი ყოფს მხარეს.

8. თუ მრავალკუთხედში წრე შეიძლება ჩაიწეროს, მაშინ მისი ფართობი მრავალკუთხედის ნახევარპერიმეტრისა და ამ წრის რადიუსის ნამრავლის ტოლია.

ტანგენსი და სეკანტური თეორემა და მისი დასკვნა

1. თუ ტანგენსი და სეკანტი დახაზულია ერთი წერტილიდან წრეზე, მაშინ მთელი სეკანტის ნამრავლი მის გარე ნაწილზე უდრის ტანგენსის კვადრატს.

2. მთელი სეკანტის ნამრავლი მის გარე ნაწილზე მოცემულ წერტილსა და მოცემულ წრეზე მუდმივია.

R რადიუსის წრის გარშემოწერილობა არის C= 2πR