მოდით გადავიდეთ ინტეგრალური გამოთვლების აპლიკაციების განხილვაზე. ამ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ტიპურ და ყველაზე გავრცელებულ დავალებას სიბრტყის ფიგურის ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. დაბოლოს, ყველამ, ვინც აზრს ეძებს უმაღლეს მათემატიკაში, იპოვნოს იგი. Არასოდეს იცი. რეალურ ცხოვრებაში, თქვენ მოგიწევთ მიახლოებითი დაჩის ნაკვეთი ელემენტარული ფუნქციების გამოყენებით და იპოვოთ მისი ფართობი გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით.

მასალის წარმატებით დასაუფლებლად, თქვენ უნდა:

1) განუსაზღვრელი ინტეგრალის გაგება საშუალო დონეზე მაინც. ამრიგად, დუიმებმა ჯერ უნდა წაიკითხონ გაკვეთილი არა.

2) შეძლოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება და განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა. თქვენ შეგიძლიათ დაამყაროთ თბილი მეგობრული ურთიერთობა ცალკეულ ინტეგრალებთან გვერდზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები. ამოცანა „გამოთვალეთ ფართობი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით“ ყოველთვის მოიცავს ნახაზის აგებას, ასე რომ, თქვენი ცოდნა და ხატვის უნარებიც აქტუალური იქნება. მინიმუმ, თქვენ უნდა შეძლოთ სწორი ხაზის, პარაბოლისა და ჰიპერბოლის აგება.

დავიწყოთ მოხრილი ტრაპეციით. მრუდი ტრაპეცია არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია გარკვეული ფუნქციის გრაფიკით წ = ვ(x), ღერძი ოქსიდა ხაზები x = ა; x = ბ.

მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის განსაზღვრულ ინტეგრალს

ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. გაკვეთილზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითებიჩვენ ვთქვით, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი. ახლა კი დროა განვაცხადოთ კიდევ ერთი სასარგებლო ფაქტი. გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA. ანუ განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება გარკვეული ფიგურის ფართობს. განვიხილოთ განსაზღვრული ინტეგრალი

ინტეგრანდ

განსაზღვრავს მრუდს სიბრტყეზე (სურვილის შემთხვევაში მისი დახატვა შესაძლებელია), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

მაგალითი 1

, , , .

ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. გადაწყვეტილების ყველაზე მნიშვნელოვანი წერტილი არის ნახაზის აგება. უფრო მეტიც, ნახაზი უნდა იყოს აგებული უფლება.

ნახატის აგებისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველადუმჯობესია ავაშენოთ ყველა სწორი ხაზი (თუ ისინი არსებობს) და მხოლოდ მერე– პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. წერტილი-პუნქტის მშენებლობის ტექნიკა შეგიძლიათ იხილოთ საცნობარო მასალაში ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. აქ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ძალიან სასარგებლო მასალა ჩვენი გაკვეთილისთვის - როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა.

ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.

მოდით გავაკეთოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება წ= 0 განსაზღვრავს ღერძს ოქსი):

ჩვენ არ დავჩრდილავთ მოხრილ ტრაპეციას, აქ აშკარაა, რომელ არეალზეა საუბარი. გამოსავალი ასე გრძელდება:

სეგმენტზე [-2; 1] ფუნქციის გრაფიკი წ = x 2 + 2 მდებარეობს ღერძის ზემოთოქსი, Ამიტომაც:

პასუხი: .

ვისაც უჭირს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება

,

მიმართეთ ლექციას განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები. დავალების დასრულების შემდეგ, ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას "თვალით" - კარგად, იქნება დაახლოებით 9, როგორც ჩანს, მართალია. აბსოლუტურად გასაგებია, რომ თუ მივიღეთ, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ აშკარაა, რომ სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითია, მაშინ დავალებაც არასწორად გადაწყდა.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი xy = 4, x = 2, x= 4 და ღერძი ოქსი.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მოხრილი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშოქსი?

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი წ = e-x, x= 1 და საკოორდინაციო ღერძები.

გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი:

თუ მოხრილი ტრაპეცია მთლიანად მდებარეობს ღერძის ქვეშ ოქსი , მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

Ამ შემთხვევაში:

.

ყურადღება! ორი ტიპის დავალება არ უნდა იყოს აღრეული:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ უბრალოდ განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ეს შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევრად სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით წ = 2x – x 2 , წ = -x.

გამოსავალი: ჯერ უნდა გააკეთოთ ნახატი. ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები წ = 2x – x 2 და სწორი წ = -x. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი მეთოდი არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი ა= 0, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი ბ= 3. ხშირად უფრო მომგებიანი და სწრაფია ხაზების აგება წერტილი-პუნქტით და ინტეგრაციის საზღვრები ცხადი ხდება „თვითონ“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი ზოგჯერ მაინც უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან დეტალური კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადური ან ირაციონალური). დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით გავაკეთოთ ნახატი:

გავიმეოროთ, რომ წერტილის აგებისას, ინტეგრაციის საზღვრები ყველაზე ხშირად განისაზღვრება „ავტომატურად“.

ახლა კი სამუშაო ფორმულა:

თუ სეგმენტზე [ ა; ბ] ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია ვ(x) მეტი ან ტოლიგარკვეული უწყვეტი ფუნქცია გ(x), შემდეგ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

აქ აღარ გჭირდებათ ფიქრი, სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ, მაგრამ მნიშვნელობა აქვს რომელი გრაფიკია უფრო მაღალი(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.

განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, 2-დან x – x 2 უნდა გამოკლდეს - x.

დასრულებული გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით წ = 2x – x 2 ზემოდან და პირდაპირ წ = -xქვევით.

მე-2 სეგმენტზე x – x 2 ≥ -x. შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი: .

ფაქტობრივად, ქვედა ნახევარსიბრტყეში მრუდი ტრაპეციის ფართობის სკოლის ფორმულა (იხ. მაგალითი No3) არის ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა.

.

რადგან ღერძი ოქსიმოცემული განტოლებით წ= 0 და ფუნქციის გრაფიკი გ(x) მდებარეობს ღერძის ქვემოთ ოქსი, ეს

.

ახლა კი რამდენიმე მაგალითი საკუთარი გადაწყვეტისთვის

მაგალითი 5

მაგალითი 6

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ფართობის გამოთვლასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრისას, ზოგჯერ ხდება სასაცილო ინციდენტი. ნახატი სწორად იყო შესრულებული, გათვლები გამართული, მაგრამ დაუდევრობის გამო... ნაპოვნია არასწორი ფიგურის ფართობი.

მაგალითი 7

ჯერ დავხატოთ ნახატი:

ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ადამიანები ხშირად წყვეტენ, რომ მათ უნდა იპოვონ ფიგურის ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია მწვანეში!

ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა, რადგან ის ითვლის ფიგურის ფართობს ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. ნამდვილად:

1) სეგმენტზე [-1; 1] ღერძის ზემოთ ოქსიგრაფიკი პირდაპირ მდებარეობს წ = x+1;

2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე ოქსიმდებარეობს ჰიპერბოლის გრაფიკი წ = (2/x).

აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:

პასუხი:

მაგალითი 8

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

წარმოვადგინოთ განტოლებები "სკოლის" სახით

და გააკეთეთ ნახაზი წერტილი-პუნქტით:

ნახატიდან ირკვევა, რომ ჩვენი ზედა ზღვარი "კარგია": ბ = 1.

მაგრამ რა არის ქვედა ზღვარი?! გასაგებია, რომ ეს არ არის მთელი რიცხვი, მაგრამ რა არის?

Შესაძლოა, ა=(-1/3)? მაგრამ სად არის გარანტია, რომ ნახატი შესრულებულია სრულყოფილი სიზუსტით, შეიძლება აღმოჩნდეს ეს ა=(-1/4). რა მოხდება, თუ გრაფიკი არასწორად ავაშენეთ?

ასეთ შემთხვევებში თქვენ მოგიწევთ დამატებითი დრო დახარჯოთ და ინტეგრაციის საზღვრები ანალიტიკურად დაზუსტოთ.

მოდი ვიპოვოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები

ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

.

აქედან გამომდინარე, ა=(-1/3).

შემდგომი გამოსავალი ტრივიალურია. მთავარია, ჩანაცვლებებსა და ნიშნებში არ დაიბნეთ. აქ გამოთვლები არ არის უმარტივესი. სეგმენტზე

, ,

შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

გაკვეთილის დასასრულებლად გადავხედოთ კიდევ ორ რთულ ამოცანას.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

გამოსავალი: მოდით გამოვსახოთ ეს ფიგურა ნახატზე.

წერტილი-წერტილი ნახაზის ასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ სინუსოიდის გარეგნობა. ზოგადად, სასარგებლოა ყველა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკის, ასევე სინუსების ზოგიერთი მნიშვნელობის ცოდნა. ისინი შეგიძლიათ იხილოთ მნიშვნელობების ცხრილში ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ზოგიერთ შემთხვევაში (მაგალითად, ამ შემთხვევაში) შესაძლებელია სქემატური ნახაზის აგება, რომელზეც ფუნდამენტურად სწორად უნდა იყოს ნაჩვენები გრაფიკები და ინტეგრაციის საზღვრები.

აქ ინტეგრაციის საზღვრებთან დაკავშირებული პრობლემები არ არის; ისინი პირდაპირ გამომდინარეობენ მდგომარეობიდან:

– „x“ იცვლება ნულიდან „pi“-მდე. მოდით მივიღოთ შემდგომი გადაწყვეტილება:

სეგმენტზე, ფუნქციის გრაფიკი წ= ცოდვა 3 xმდებარეობს ღერძის ზემოთ ოქსი, Ამიტომაც:

(1) გაკვეთილზე შეგიძლიათ ნახოთ, როგორ არის ინტეგრირებული სინუსები და კოსინუსები კენტ ძალებში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები. ჩვენ ვჭრით ერთ სინუსს.

(2) ჩვენ ვიყენებთ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობას ფორმაში

(3) შევცვალოთ ცვლადი ტ= cos x, შემდეგ: მდებარეობს ღერძის ზემოთ, ამიტომ:

.

.

Შენიშვნა:გაითვალისწინეთ, როგორ არის აღებული ტანგენტის კუბის ინტეგრალი; აქ გამოყენებულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის დასკვნა

.

განსაზღვრული ინტეგრალი. როგორ გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი

მოდით გადავიდეთ ინტეგრალური გამოთვლების აპლიკაციების განხილვაზე. ამ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ტიპურ და ყველაზე გავრცელებულ დავალებას - როგორ გამოვიყენოთ განსაზღვრული ინტეგრალი სიბრტყის ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად. და ბოლოს, ვინც ეძებს მნიშვნელობას უმაღლეს მათემატიკაში - შეიძლება იპოვონ იგი. Არასოდეს იცი. რეალურ ცხოვრებაში, თქვენ მოგიწევთ მიახლოებითი დაჩის ნაკვეთი ელემენტარული ფუნქციების გამოყენებით და იპოვოთ მისი ფართობი გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით.

მასალის წარმატებით დასაუფლებლად, თქვენ უნდა:

1) განუსაზღვრელი ინტეგრალის გაგება საშუალო დონეზე მაინც. ამრიგად, დუიმებმა ჯერ უნდა წაიკითხონ გაკვეთილი არა.

2) შეძლოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება და განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა. თქვენ შეგიძლიათ დაამყაროთ თბილი მეგობრული ურთიერთობა ცალკეულ ინტეგრალებთან გვერდზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები.

სინამდვილეში, ფიგურის ფართობის საპოვნელად, თქვენ არ გჭირდებათ ამდენი ცოდნა განუსაზღვრელი და განსაზღვრული ინტეგრალის შესახებ. ამოცანა „გამოთვალეთ ფართობი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით“ ყოველთვის მოიცავს ნახაზის აგებასასე რომ, თქვენი ცოდნა და ხატვის უნარები ბევრად უფრო აქტუალური საკითხი იქნება. ამ თვალსაზრისით, სასარგებლოა თქვენი მეხსიერების განახლება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების შესახებ და, მინიმუმ, სწორი ხაზის, პარაბოლისა და ჰიპერბოლის აგება. ეს შეიძლება გაკეთდეს (ბევრისთვის ეს აუცილებელია) მეთოდოლოგიური მასალისა და გრაფიკების გეომეტრიული გარდაქმნების შესახებ სტატიის დახმარებით.

ფაქტობრივად, ტერიტორიის განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ტერიტორიის პოვნის ამოცანას სკოლიდან ყველა იცნობს და სასკოლო სასწავლო გეგმაზე ბევრად შორს არ წავალთ. შეიძლება ეს სტატია საერთოდ არ არსებობდეს, მაგრამ ფაქტია, რომ პრობლემა 100-დან 99 შემთხვევაში ჩნდება, როცა მოსწავლე საძულველი სკოლა იტანჯება და ენთუზიაზმით ეუფლება უმაღლესი მათემატიკის კურსს.

ამ სემინარის მასალები წარმოდგენილია მარტივად, დეტალურად და მინიმალური თეორიით.

დავიწყოთ მოხრილი ტრაპეციით.

მრუდი ტრაპეციაარის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია ღერძით, სწორი ხაზებით და უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკით ინტერვალზე, რომელიც არ ცვლის ნიშანს ამ ინტერვალზე. მოდით ეს ფიგურა განთავსდეს არანაკლებ x-ღერძი:

მერე მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის განსაზღვრულ ინტეგრალს. ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. გაკვეთილზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითებიმე ვთქვი, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი. ახლა კი დროა განვაცხადოთ კიდევ ერთი სასარგებლო ფაქტი. გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA.

ანუ განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება გარკვეული ფიგურის ფართობს. მაგალითად, განიხილეთ განსაზღვრული ინტეგრალი. ინტეგრანტი განსაზღვრავს მრუდს ღერძის ზემოთ მდებარე სიბრტყეზე (მსურველებს შეუძლიათ ნახაზის გაკეთება), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

მაგალითი 1

ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. გადაწყვეტილების პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი წერტილი არის ნახაზის აგება. უფრო მეტიც, ნახაზი უნდა იყოს აგებული უფლება.

ნახატის აგებისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველადუმჯობესია ავაშენოთ ყველა სწორი ხაზი (თუ ისინი არსებობს) და მხოლოდ მერე– პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. უფრო მომგებიანია ფუნქციების გრაფიკების აგება წერტილი-პუნქტი, წერტილი-პუნქტის მშენებლობის ტექნიკა შეგიძლიათ იხილოთ საცნობარო მასალაში ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. აქ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ძალიან სასარგებლო მასალა ჩვენი გაკვეთილისთვის - როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა.

ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.
მოდით დავხატოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება განსაზღვრავს ღერძს):

მოხრილ ტრაპეციას არ დავჩრდილავ, აქ აშკარაა, რომელ არეალზეა საუბარი. გამოსავალი ასე გრძელდება:

სეგმენტზე განთავსებულია ფუნქციის გრაფიკი ღერძის ზემოთ, Ამიტომაც:

პასუხი:

ვისაც უჭირს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება , იხილეთ ლექცია განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები.

დავალების დასრულების შემდეგ, ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას "თვალით" - კარგად, იქნება დაახლოებით 9, როგორც ჩანს, მართალია. აბსოლუტურად გასაგებია, რომ თუ მივიღეთ, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ აშკარაა, რომ სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითია, მაშინ დავალებაც არასწორად გადაწყდა.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, ღერძებით

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მოხრილი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ?

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ხაზებითა და კოორდინატთა ღერძებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი:

თუ მოხრილი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ(ან მინიმუმ არა უფრო მაღალიმოცემული ღერძი), მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:
Ამ შემთხვევაში:

ყურადღება! ორი ტიპის დავალება არ უნდა იყოს აღრეული:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ უბრალოდ განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ეს შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევრად სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, .

გამოსავალი: ჯერ უნდა დაასრულოთ ნახაზი. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლისა და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი მეთოდი არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი არის, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი არის.
თუ ეს შესაძლებელია, უმჯობესია არ გამოიყენოთ ეს მეთოდი..

გაცილებით მომგებიანი და სწრაფია ხაზების აგება წერტილი-პუნქტით და ინტეგრაციის საზღვრები ცხადი ხდება „თვითონ“. დახმარებაში დეტალურად არის განხილული სხვადასხვა გრაფიკის წერტილი-პუნქტის აგების ტექნიკა ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი მაინც ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან დეტალური კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადი ან ირაციონალური). და ჩვენ ასევე განვიხილავთ ასეთ მაგალითს.

დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით გავაკეთოთ ნახატი:

ვიმეორებ, რომ წერტილის აგებისას, ინტეგრაციის საზღვრები ყველაზე ხშირად „ავტომატურად“ ირკვევა.

ახლა კი სამუშაო ფორმულა: თუ არის რაიმე უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე მეტი ან ტოლიზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია, შემდეგ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ამ ფუნქციების გრაფიკებით და ხაზებით, შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

აქ აღარ გჭირდებათ ფიქრი იმაზე, თუ სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ და, უხეშად რომ ვთქვათ, მნიშვნელობა აქვს რომელი გრაფიკია უფრო მაღალი(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.

განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება

დასრულებული გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით ზემოთ და სწორი ხაზით ქვემოთ.
სეგმენტზე, შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

ფაქტობრივად, ქვედა ნახევარსიბრტყეში მრუდი ტრაპეციის ფართობის სკოლის ფორმულა (იხ. მარტივი მაგალითი No3) არის ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა. . ვინაიდან ღერძი მითითებულია განტოლებით და განლაგებულია ფუნქციის გრაფიკი არა უფრო მაღალიცულები, მაშინ

ახლა კი რამდენიმე მაგალითი საკუთარი გადაწყვეტისთვის

მაგალითი 5

მაგალითი 6

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი, .

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ფართობის გამოთვლასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრისას, ზოგჯერ ხდება სასაცილო ინციდენტი. ნახატი სწორად იყო შესრულებული, გათვლები გამართული, მაგრამ დაუდევრობის გამო... ნაპოვნია არასწორი ფიგურის ფართობი, ზუსტად ასე გაფუჭდა რამდენჯერმე შენმა თავმდაბალმა მსახურმა. აქ არის რეალური შემთხვევა:

მაგალითი 7

გამოთვალეთ , , , ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გამოსავალი: ჯერ დავხატოთ ნახატი:

...ეჰ, ნახატი სისულელე გამოვიდა, მაგრამ თითქოს ყველაფერი იკითხება.

ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ხშირად ჩნდება "გაუმართაობა", რომ თქვენ უნდა იპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია მწვანეში!

ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა იმით, რომ ითვლის ფიგურის ფართობს ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. ნამდვილად:

1) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის სწორი ხაზის გრაფიკი;

2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის ჰიპერბოლის გრაფიკი.

აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:

პასუხი:

მოდით გადავიდეთ სხვა მნიშვნელოვან ამოცანაზე.

მაგალითი 8

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი,
წარმოვადგინოთ განტოლებები „სასკოლო“ სახით და გავაკეთოთ ნახატი წერტილი-წერტილზე:

ნახატიდან ირკვევა, რომ ჩვენი ზედა ზღვარი არის „კარგი“: .
მაგრამ რა არის ქვედა ზღვარი?! გასაგებია, რომ ეს არ არის მთელი რიცხვი, მაგრამ რა არის? Შესაძლოა ? მაგრამ სად არის გარანტია, რომ ნახატი შესრულებულია სრულყოფილი სიზუსტით, შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ... ან ფესვი. რა მოხდება, თუ გრაფიკი არასწორად ავაშენეთ?

ასეთ შემთხვევებში თქვენ მოგიწევთ დამატებითი დრო დახარჯოთ და ინტეგრაციის საზღვრები ანალიტიკურად დაზუსტოთ.

ვიპოვოთ სწორი ხაზისა და პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები.
ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:


,

ნამდვილად,.

შემდგომი გამოსავალი ტრივიალურია, მთავარია არ აირიოთ ჩანაცვლებებსა და ნიშნებში; აქ გამოთვლები არ არის უმარტივესი.

სეგმენტზე შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

კარგად, გაკვეთილის დასასრულებლად, მოდით შევხედოთ კიდევ ორ რთულ ამოცანას.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი,

გამოსავალი: ნახატზე გამოვსახოთ ეს ფიგურა.

ჯანდაბა, დამავიწყდა განრიგის ხელმოწერა და, ბოდიში, არ მინდოდა სურათის გადაკეთება. ხატვის დღე არაა, მოკლედ დღეს ის დღეა =)

წერტილი-წერტილი კონსტრუქციისთვის აუცილებელია იცოდეთ სინუსოიდის გარეგნობა (და ზოგადად სასარგებლოა იცოდეთ ყველა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკები), ისევე როგორც ზოგიერთი სინუსური მნიშვნელობები, ისინი შეიძლება მოიძებნოს ტრიგონომეტრიული ცხრილი. ზოგიერთ შემთხვევაში (როგორც ამ შემთხვევაში), შესაძლებელია სქემატური ნახაზის აგება, რომელზედაც ძირეულად სწორად უნდა იყოს ნაჩვენები გრაფიკები და ინტეგრაციის საზღვრები.

აქ ინტეგრაციის საზღვრებთან არანაირი პრობლემა არ არის, ისინი პირდაპირ გამომდინარეობენ მდგომარეობიდან: „x“ იცვლება ნულიდან „pi“. მოდით მივიღოთ შემდგომი გადაწყვეტილება:

სეგმენტზე ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ღერძის ზემოთ, შესაბამისად:

წინა განყოფილებაში, რომელიც მიეძღვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობის ანალიზს, მივიღეთ მრავალი ფორმულა მრუდი ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x უწყვეტი და არაუარყოფითი ფუნქციისთვის y = f (x) ინტერვალზე [ a ; ბ ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x უწყვეტი და არადადებითი ფუნქციისთვის y = f (x) ინტერვალზე [ a ; ბ ] .

ეს ფორმულები გამოიყენება შედარებით მარტივი პრობლემების გადასაჭრელად. სინამდვილეში, ხშირად მოგვიწევს მუშაობა უფრო რთულ ფიგურებთან. ამასთან დაკავშირებით, ჩვენ ამ განყოფილებას მივუძღვნით ალგორითმების ანალიზს ფიგურების ფართობის გამოსათვლელად, რომლებიც შეზღუდულია ფუნქციებით აშკარა ფორმით, ე.ი. როგორიცაა y = f(x) ან x = g(y).

თეორემა

მოდით y = f 1 (x) და y = f 2 (x) ფუნქციები განსაზღვრული და უწყვეტი იყოს [a; b ] , და f 1 (x) ≤ f 2 (x) ნებისმიერი x მნიშვნელობისთვის [a-დან; ბ ] . შემდეგ ფიგურის G ფართობის გამოთვლის ფორმულა, რომელიც შემოიფარგლება x = a, x = b, y = f 1 (x) და y = f 2 (x) ხაზებით გამოიყურება S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

მსგავსი ფორმულა გამოყენებული იქნება ფიგურის ფართობისთვის, რომელიც შემოსაზღვრულია y = c, y = d, x = g 1 (y) და x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

მტკიცებულება

მოდით შევხედოთ სამ შემთხვევას, რომლებისთვისაც ფორმულა მოქმედი იქნება.

პირველ შემთხვევაში, ფართობის დანამატის თვისების გათვალისწინებით, თავდაპირველი ფიგურის G და მრუდი ტრაპეციის G 1 ფართობების ჯამი ტოლია ფიგურის G 2 ფართობის. Ეს ნიშნავს, რომ

ამიტომ, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ ბოლო გადასვლა განსაზღვრული ინტეგრალის მესამე თვისების გამოყენებით.

მეორე შემთხვევაში, ტოლობა მართალია: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

გრაფიკული ილუსტრაცია ასე გამოიყურება:

თუ ორივე ფუნქცია არაპოზიტიურია, მივიღებთ: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x. გრაფიკული ილუსტრაცია ასე გამოიყურება:

მოდით გადავიდეთ ზოგადი შემთხვევის განხილვაზე, როდესაც y = f 1 (x) და y = f 2 (x) კვეთენ O x ღერძს.

გადაკვეთის წერტილებს აღვნიშნავთ x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . ეს წერტილები ყოფენ სეგმენტს [a; b ] n ნაწილად x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, სადაც α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

აქედან გამომდინარე,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ბოლო გადასვლა განსაზღვრული ინტეგრალის მეხუთე თვისების გამოყენებით.

მოდით გამოვხატოთ ზოგადი შემთხვევა გრაფიკზე.

ფორმულა S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x შეიძლება ჩაითვალოს დადასტურებულად.

ახლა მოდით გადავიდეთ ფიგურების ფართობის გამოთვლის მაგალითების ანალიზზე, რომლებიც შემოიფარგლება y = f (x) და x = g (y) ხაზებით.

ჩვენ დავიწყებთ რომელიმე მაგალითის განხილვას გრაფიკის აგებით. გამოსახულება საშუალებას მოგვცემს წარმოვადგინოთ რთული ფორმები, როგორც მარტივი ფორმების გაერთიანებები. თუ მათზე გრაფიკების და ფიგურების აგება გაგიჭირდებათ, შეგიძლიათ შეისწავლოთ განყოფილება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების, ფუნქციების გრაფიკების გეომეტრიული ტრანსფორმაციის შესახებ, ასევე ფუნქციის შესწავლისას გრაფიკების აგება.

მაგალითი 1

აუცილებელია ფიგურის ფართობის დადგენა, რომელიც შემოიფარგლება პარაბოლით y = - x 2 + 6 x - 5 და სწორი ხაზებით y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

გამოსავალი

დავხაზოთ ხაზები გრაფიკზე დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში.

სეგმენტზე [1; 4 ] პარაბოლის გრაფიკი y = - x 2 + 6 x - 5 მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ y = - 1 3 x - 1 2. ამასთან დაკავშირებით, პასუხის მისაღებად ვიყენებთ ადრე მიღებულ ფორმულას, ასევე განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის მეთოდს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

პასუხი: S(G) = 13

მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითს.

მაგალითი 2

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y = x + 2, y = x, x = 7 ხაზებით.

გამოსავალი

ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი, რომელიც მდებარეობს x-ღერძის პარალელურად. ეს არის x = 7. ეს მოითხოვს, რომ ჩვენ თვითონ ვიპოვოთ ინტეგრაციის მეორე ზღვარი.

ავაშენოთ გრაფიკი და დავხატოთ მასზე პრობლემის ფორმულირებაში მოცემული ხაზები.

გრაფიკის თვალწინ რომ გვქონდეს, ადვილად შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი იქნება y = x და ნახევრად პარაბოლა y = x + 2 სწორი ხაზის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილის აბსცისა. აბსცისის საპოვნელად ვიყენებთ ტოლობებს:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

გამოდის, რომ გადაკვეთის წერტილის აბსციზა არის x = 2.

თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ ნახაზის ზოგად მაგალითში ხაზები y = x + 2, y = x იკვეთება წერტილში (2; 2), ასე რომ, ასეთი დეტალური გამოთვლები შეიძლება არასაჭირო ჩანდეს. ჩვენ მივაწოდეთ ასეთი დეტალური გადაწყვეტა აქ მხოლოდ იმიტომ, რომ უფრო რთულ შემთხვევებში გამოსავალი შეიძლება არც ისე აშკარა იყოს. ეს ნიშნავს, რომ ყოველთვის სჯობს ხაზების გადაკვეთის კოორდინატების ანალიტიკურად გამოთვლა.

ინტერვალზე [2; 7] y = x ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y = x + 2 ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ. ფართობის გამოსათვლელად გამოვიყენოთ ფორმულა:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

პასუხი: S (G) = 59 6

მაგალითი 3

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y = 1 x და y = - x 2 + 4 x - 2 ფუნქციების გრაფიკებით.

გამოსავალი

დავხატოთ ხაზები გრაფიკზე.

მოდით განვსაზღვროთ ინტეგრაციის საზღვრები. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ ხაზების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებს 1 x და - x 2 + 4 x - 2 გამონათქვამების ტოლობით. იმ პირობით, რომ x არ არის ნული, ტოლობა 1 x = - x 2 + 4 x - 2 ხდება მესამე ხარისხის განტოლების ექვივალენტი - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. ასეთი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის მეხსიერების გასაახლებლად, შეგვიძლია მივმართოთ განყოფილებას „კუბური განტოლებების ამოხსნა“.

ამ განტოლების ფესვი არის x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

გამოთქმა - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 x - 1 ორობითად გავყოფთ, მივიღებთ: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ დარჩენილი ფესვები განტოლებიდან x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

ვიპოვეთ x ∈ 1 ინტერვალი; 3 + 13 2, რომელშიც ფიგურა G შეიცავს ლურჯი ხაზის ზემოთ და წითელი ხაზის ქვემოთ. ეს გვეხმარება ფიგურის ფართობის დადგენაში:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

პასუხი: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

მაგალითი 4

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მრუდებით y = x 3, y = - log 2 x + 1 და აბსცისის ღერძით.

გამოსავალი

მოდით გამოვსახოთ ყველა ხაზი გრაფიკზე. ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ y = - log 2 x + 1 ფუნქციის გრაფიკი y = log 2 x გრაფიკიდან, თუ მას სიმეტრიულად განვათავსებთ x ღერძზე და გადავაადგილებთ ერთი ერთეულით ზემოთ. x-ღერძის განტოლება არის y = 0.

მოდით აღვნიშნოთ ხაზების გადაკვეთის წერტილები.

როგორც ნახატიდან ჩანს, y = x 3 და y = 0 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (0; 0) წერტილში. ეს იმიტომ ხდება, რომ x = 0 არის განტოლების ერთადერთი რეალური ფესვი x 3 = 0.

x = 2 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი - log 2 x + 1 = 0, ამიტომ y = - log 2 x + 1 და y = 0 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (2; 0) წერტილში.

x = 1 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი x 3 = - log 2 x + 1 . ამასთან დაკავშირებით, y = x 3 და y = - log 2 x + 1 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (1; 1) წერტილში. ბოლო განცხადება შეიძლება არ იყოს აშკარა, მაგრამ განტოლებას x 3 = - log 2 x + 1 არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ფესვი, რადგან ფუნქცია y = x 3 მკაცრად იზრდება, ხოლო ფუნქცია y = - log 2 x + 1 არის მკაცრად მცირდება.

შემდგომი გამოსავალი მოიცავს რამდენიმე ვარიანტს.

ვარიანტი #1

ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ ფიგურა G, როგორც x ღერძის ზემოთ მდებარე ორი მრუდი ტრაპეციის ჯამი, რომელთაგან პირველი მდებარეობს შუა ხაზის ქვემოთ x ∈ 0 სეგმენტზე; 1, ხოლო მეორე არის x ∈ 1 სეგმენტზე წითელი ხაზის ქვემოთ; 2. ეს ნიშნავს, რომ ფართობი ტოლი იქნება S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

ვარიანტი No2

ფიგურა G შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ფიგურის სხვაობით, რომელთაგან პირველი მდებარეობს x ღერძის ზემოთ და ლურჯი ხაზის ქვემოთ x ∈ 0 სეგმენტზე; 2 და მეორე x ∈ 1 სეგმენტზე წითელ და ლურჯ ხაზებს შორის; 2. ეს საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ტერიტორია შემდეგნაირად:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

ამ შემთხვევაში ფართობის საპოვნელად მოგიწევთ S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ფორმის ფორმულის გამოყენება. ფაქტობრივად, ხაზები, რომლებიც აკრავს ფიგურას, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს y არგუმენტის ფუნქციებად.

მოდით ამოხსნათ განტოლებები y = x 3 და - log 2 x + 1 x-ის მიმართ:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - ჟურნალი 2 x + 1 ⇒ ჟურნალი 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

ჩვენ ვიღებთ საჭირო ფართობს:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

პასუხი: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

მაგალითი 5

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 ხაზებით.

გამოსავალი

წითელი ხაზით ვხატავთ y = x ფუნქციით განსაზღვრულ წრფეს. ჩვენ ვხატავთ ხაზს y = - 1 2 x + 4 ლურჯად, ხოლო ხაზს y = 2 3 x - 3 შავი.

მოდით აღვნიშნოთ გადაკვეთის წერტილები.

ვიპოვოთ y = x და y = - 1 2 x + 4 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 შეამოწმეთ: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 არ არის თუ არა განტოლების ამონახსნი x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 არის ⇒ (4; 2) გადაკვეთის წერტილი i y = x და y = - 1 2 x. + 4

ვიპოვოთ y = x და y = 2 3 x - 3 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილი:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 შემოწმება: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 არის ⇒ (9 ; 3) განტოლების ამონახსნი. = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 განტოლების ამოხსნა არ არსებობს

ვიპოვოთ y = - 1 2 x + 4 და y = 2 3 x - 3 წრფეების გადაკვეთის წერტილი:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) გადაკვეთის წერტილი y = - 1 2 x + 4 და y = 2 3 x - 3

მეთოდი No1

წარმოვიდგინოთ სასურველი ფიგურის ფართობი, როგორც ცალკეული ფიგურების ფართობების ჯამი.

მაშინ ფიგურის ფართობია:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

მეთოდი No2

ორიგინალური ფიგურის ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი სხვა ფიგურის ჯამი.

შემდეგ ჩვენ ვხსნით წრფის განტოლებას x-თან მიმართებაში და მხოლოდ ამის შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად.

y = x ⇒ x = y 2 წითელი ხაზი y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 შავი ხაზი y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

ასე რომ, ტერიტორია არის:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

როგორც ხედავთ, მნიშვნელობები იგივეა.

პასუხი: S (G) = 11 3

შედეგები

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მოცემული ხაზებით, უნდა ავაგოთ ხაზები სიბრტყეზე, ვიპოვოთ მათი გადაკვეთის წერტილები და გამოვიყენოთ ფორმულა ფართობის საპოვნელად. ამ განყოფილებაში ჩვენ განვიხილეთ ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ვარიანტები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ამ სტატიაში თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა იპოვოთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენებით. პირველად ვხვდებით ასეთი პრობლემის ფორმულირებას უმაღლეს სკოლაში, როცა ახლახან დავასრულეთ განსაზღვრული ინტეგრალების შესწავლა და დროა დავიწყოთ მიღებული ცოდნის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია პრაქტიკაში.

ასე რომ, რა არის საჭირო ინტეგრალების გამოყენებით ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის წარმატებით გადასაჭრელად:

• კომპეტენტური ნახატების გაკეთების უნარი;
• განსაზღვრული ინტეგრალის ამოხსნის უნარი ცნობილი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით;
• უფრო მომგებიანი გადაწყვეტის ვარიანტის „ნახვის“ შესაძლებლობა - ე.ი. გესმით, როგორ იქნება უფრო მოსახერხებელი ინტეგრაციის განხორციელება ამა თუ იმ შემთხვევაში? x-ღერძის გასწვრივ (OX) თუ y-ღერძი (OY)?
• კარგი, სად ვიქნებოდით სწორი გამოთვლების გარეშე?) ეს მოიცავს იმის გაგებას, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ სხვა ტიპის ინტეგრალები და სწორი რიცხვითი გამოთვლები.

ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი:

1. ჩვენ ვაკეთებთ ნახატს. მიზანშეწონილია ამის გაკეთება ქაღალდის ფურცელზე, დიდი მასშტაბით. ჩვენ ვაწერთ ხელს ამ ფუნქციის სახელს ფანქრით თითოეული გრაფიკის ზემოთ. გრაფიკების ხელმოწერა ხდება მხოლოდ შემდგომი გამოთვლების მოხერხებულობისთვის. სასურველი ფიგურის გრაფიკის მიღების შემდეგ, უმეტეს შემთხვევაში, მაშინვე გაირკვევა, ინტეგრაციის რომელი საზღვრები იქნება გამოყენებული. ამრიგად, ჩვენ პრობლემას გრაფიკულად ვხსნით. თუმცა, ეს ხდება, რომ საზღვრების მნიშვნელობები არის წილადი ან ირაციონალური. ამიტომ, შეგიძლიათ გააკეთოთ დამატებითი გამოთვლები, გადადით მეორე ეტაპზე.

2. თუ ინტეგრაციის საზღვრები ცალსახად არ არის მითითებული, მაშინ ვპოულობთ გრაფიკების ერთმანეთთან გადაკვეთის წერტილებს და ვნახავთ ემთხვევა თუ არა ჩვენი გრაფიკული ამოხსნა ანალიტიკურს.

3. შემდეგი, თქვენ უნდა გააანალიზოთ ნახაზი. იმისდა მიხედვით, თუ როგორ არის მოწყობილი ფუნქციის გრაფიკები, არსებობს სხვადასხვა მიდგომა ფიგურის ფართობის მოსაძებნად. მოდით შევხედოთ ინტეგრალის გამოყენებით ფიგურის ფართობის პოვნის სხვადასხვა მაგალითებს.

3.1. პრობლემის ყველაზე კლასიკური და მარტივი ვერსია არის ის, როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ მრუდი ტრაპეციის ფართობი. რა არის მოხრილი ტრაპეცია? ეს არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება x-ღერძით (y = 0), სწორი x = a, x = bდა ნებისმიერი მრუდი უწყვეტი ინტერვალზე აადრე ბ. უფრო მეტიც, ეს მაჩვენებელი არაუარყოფითია და მდებარეობს არა x ღერძის ქვემოთ. ამ შემთხვევაში, მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის გარკვეულ ინტეგრალს, რომელიც გამოითვლება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით:

მაგალითი 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

რა ხაზებით არის შემოსაზღვრული ფიგურა? ჩვენ გვაქვს პარაბოლა y = x2 – 3x + 3, რომელიც მდებარეობს ღერძის ზემოთ ოჰ, არაუარყოფითია, რადგან ამ პარაბოლის ყველა წერტილს აქვს დადებითი მნიშვნელობები. შემდეგი, მოცემულია სწორი ხაზები x = 1და x = 3, რომლებიც გადიან ღერძის პარალელურად OU, არის ფიგურის სასაზღვრო ხაზები მარცხნივ და მარჯვნივ. კარგად y = 0ეს არის ასევე x ღერძი, რომელიც ზღუდავს ფიგურას ქვემოდან. შედეგად მიღებული ფიგურა დაჩრდილულია, როგორც ჩანს მარცხენა ფიგურიდან. ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ დაიწყოთ პრობლემის მოგვარება. ჩვენს წინაშეა მრუდი ტრაპეციის მარტივი მაგალითი, რომელსაც შემდეგ ვხსნით ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით.

3.2. წინა 3.1 პარაგრაფში ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევა, როდესაც მოხრილი ტრაპეცია მდებარეობს x ღერძის ზემოთ. ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც პრობლემის პირობები იგივეა, გარდა იმისა, რომ ფუნქცია x-ღერძის ქვეშ დევს. ნიუტონ-ლაიბნიცის სტანდარტულ ფორმულას ემატება მინუსი. როგორ მოვაგვაროთ ასეთი პრობლემა ქვემოთ განვიხილავთ.

მაგალითი 2 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

ამ მაგალითში გვაქვს პარაბოლა y = x2 + 6x + 2, რომელიც სათავეს იღებს ღერძიდან ოჰ, სწორი x = -4, x = -1, y = 0. Აქ y = 0ზღუდავს სასურველ ფიგურას ზემოდან. პირდაპირი x = -4და x = -1ეს ის საზღვრებია, რომლებშიც გამოითვლება განსაზღვრული ინტეგრალი. ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის გადაჭრის პრინციპი თითქმის მთლიანად ემთხვევა მაგალითს 1. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ მოცემული ფუნქცია არ არის დადებითი და ასევე უწყვეტია ინტერვალზე. [-4; -1] . რას გულისხმობ არადადებითი? როგორც ნახატიდან ჩანს, მოცემულ x-ებში მოცემულ ფიგურას აქვს ექსკლუზიურად „უარყოფითი“ კოორდინატები, რაც უნდა დავინახოთ და დავიმახსოვროთ პრობლემის გადაჭრისას. ჩვენ ვეძებთ ფიგურის ფართობს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით, მხოლოდ დასაწყისში მინუს ნიშნით.

სტატია არ არის დასრულებული.