განვიხილოთ ხაზის განსაზღვრა სიბრტყეზე, რომელშიც ცვლადები x, y არის მესამე ცვლადის t ფუნქციები (ე.წ. პარამეტრი):

თითოეული ღირებულებისთვის ტგარკვეული ინტერვალიდან გარკვეული მნიშვნელობები შეესაბამება xდა y, aმაშასადამე, სიბრტყის გარკვეული წერტილი M (x, y). Როდესაც ტგადის ყველა მნიშვნელობას მოცემული ინტერვალიდან, შემდეგ წერტილიდან მ (x, y) აღწერს ზოგიერთ ხაზს ლ. განტოლებებს (2.2) ეწოდება პარამეტრული ხაზის განტოლებები ლ.

თუ ფუნქცია x = φ(t) აქვს შებრუნებული t = Ф(x), მაშინ ამ გამოხატვის ჩანაცვლებით განტოლებით y = g(t), მივიღებთ y = g(Ф(x)), რომელიც განსაზღვრავს წროგორც ფუნქცია x. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვამბობთ, რომ განტოლებები (2.2) განსაზღვრავს ფუნქციას წპარამეტრულად.

მაგალითი 1.დაე M(x,y)- თვითნებური წერტილი რადიუსის წრეზე რდა ორიენტირებულია საწყისზე. დაე ტ- კუთხე ღერძებს შორის ოქსიდა რადიუსი OM(იხ. სურ. 2.3). მერე x, yგამოიხატება მეშვეობით t:

განტოლებები (2.3) არის წრის პარამეტრული განტოლებები. გამოვრიცხოთ პარამეტრი t (2.3) განტოლებიდან. ამისათვის თითოეულ განტოლებას ვაყრით კვადრატში და ვამატებთ, მივიღებთ: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) ან x 2 + y 2 = R 2 - წრის განტოლება დეკარტიაში. კოორდინატთა სისტემა. იგი განსაზღვრავს ორ ფუნქციას: თითოეული ეს ფუნქცია მოცემულია პარამეტრული განტოლებით (2.3), მაგრამ პირველი ფუნქციისთვის და მეორესთვის.

მაგალითი 2. პარამეტრული განტოლებები

განსაზღვრეთ ელიფსი ნახევრად ღერძებით ა, ბ(ნახ. 2.4). პარამეტრის გამორიცხვა განტოლებიდან ტვიღებთ ელიფსის კანონიკურ განტოლებას:

მაგალითი 3. ციკლოიდი არის ხაზი, რომელიც აღწერილია წრეზე დაწოლილი წერტილით, თუ ეს წრე მოძრაობს სწორი ხაზით სრიალის გარეშე (ნახ. 2.5). შემოვიღოთ ციკლოიდის პარამეტრული განტოლებები. იყოს მოძრავი წრის რადიუსი ა, წერტილი მ, რომელიც აღწერს ციკლოიდს, მოძრაობის დასაწყისში დაემთხვა კოორდინატების წარმოშობას.

განვსაზღვროთ კოორდინატები x, y ქულა მმას შემდეგ, რაც წრე შემობრუნდება კუთხით ტ
(ნახ. 2.5), t = ÐMCB. რკალის სიგრძე მ.ბ.სეგმენტის სიგრძის ტოლი ო.ბ.მაშასადამე, რადგან წრე ბრუნავს ცურვის გარეშე

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – ღირებულება).

ასე რომ, მიიღება ციკლოიდის პარამეტრული განტოლებები:

პარამეტრის შეცვლისას ტ 0-დან 2πწრე ბრუნავს ერთი რევოლუციით და წერტილი მაღწერს ციკლოიდის ერთ რკალს. განტოლებები (2.5) იძლევა წროგორც ფუნქცია x. მიუხედავად იმისა, რომ ფუნქცია x = a (t – სინტი)აქვს შებრუნებული ფუნქცია, მაგრამ ის არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციებით, ამიტომ ფუნქცია y = f(x)არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციებით.

განვიხილოთ პარამეტრულად (2.2) განტოლებებით განსაზღვრული ფუნქციის დიფერენცირება. x = φ(t) ფუნქციას t ცვლილების გარკვეულ ინტერვალზე აქვს შებრუნებული ფუნქცია t = Ф(x), მაშინ y = g(Ф(x)). დაე x = φ(t), y = გ(ტ)აქვთ წარმოებულები და x"t≠0. რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესის მიხედვით y"x=y"t×t"x.ინვერსიული ფუნქციის დიფერენცირების წესზე დაყრდნობით, შესაბამისად:

შედეგად მიღებული ფორმულა (2.6) საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ წარმოებული პარამეტრულად მითითებული ფუნქციისთვის.

მაგალითი 4. მოდით ფუნქცია წ, დამოკიდებულია x, მითითებულია პარამეტრულად:

გამოსავალი. .
მაგალითი 5.იპოვნეთ ფერდობი კპარამეტრის მნიშვნელობის შესაბამისი M 0 წერტილში ციკლოიდზე ტანგენსი.
გამოსავალი.ციკლოიდური განტოლებიდან: y" t = asint, x" t = a (1 - ღირებულება),Ამიტომაც

ტანგენტის დახრილობა წერტილში M0ტოლი ღირებულებისა at t 0 = π/4:

დიფერენციალური ფუნქცია

დაუშვით ფუნქცია წერტილში x 0აქვს წარმოებული. ა-პრიორიტეტი:
ამიტომ ლიმიტის თვისებების მიხედვით (ნაწილი 1.8), სადაც ა– უსასრულოდ მცირე ზე Δx → 0. აქედან

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

როგორც Δx → 0, ტოლობის მეორე წევრი (2.7) არის უმაღლესი რიგის უსასრულო მცირედი, შედარებით , შესაბამისად Δy და f " (x 0)×Δx არის ეკვივალენტური, უსასრულოდ მცირე (f "(x 0) ≠ 0).

ამრიგად, Δy ფუნქციის ზრდა შედგება ორი წევრისაგან, რომელთაგან პირველი f "(x 0)×Δx არის მთავარი ნაწილი ნამატი Δy, წრფივი Δx-ის მიმართ (f "(x 0)≠ 0-ისთვის).

დიფერენციალურიფუნქცია f(x) x 0 წერტილში ეწოდება ფუნქციის ნაზრდის ძირითად ნაწილს და აღინიშნება: დიან df(x0). აქედან გამომდინარე,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

მაგალითი 1.იპოვეთ ფუნქციის დიფერენციალი დიდა Δy ფუნქციის ზრდა y = x 2 ფუნქციისთვის:
1) თვითნებური xდა Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1.

გამოსავალი

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) თუ x 0 = 20, Δx = 0,1, მაშინ Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0.1= 4.

დავწეროთ ტოლობა (2.7) სახით:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

ინკრეცია Δy განსხვავდება დიფერენციალურისგან დიუფრო მაღალი რიგის უსასრულოდ მცირედ, Δx-თან შედარებით, ამიტომ, სავარაუდო გამოთვლებში, სავარაუდო ტოლობა Δy ≈ dy გამოიყენება, თუ Δx საკმარისად მცირეა.

იმის გათვალისწინებით, რომ Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), მივიღებთ სავარაუდო ფორმულას:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

მაგალითი 2. გამოთვალეთ დაახლოებით.

გამოსავალი.განიხილეთ:

ფორმულის გამოყენებით (2.10) ვიღებთ:

ასე რომ, ≈ 2.025.

განვიხილოთ დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა df (x 0)(ნახ. 2.6).

დავხატოთ y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი M 0 წერტილში (x0, f(x 0)), დავუშვათ φ იყოს კუთხე KM0 ტანგენტსა და Ox ღერძს შორის, შემდეგ f"( x 0) = tanφ. ΔM0NP-დან:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). მაგრამ PN არის ტანგენტის ორდინატის ზრდა, როდესაც x იცვლება x 0-დან x 0-მდე + Δx.

შესაბამისად, f(x) ფუნქციის დიფერენციალი x 0 წერტილში უდრის ტანგენსის ორდინატის ნამატს.

ვიპოვოთ ფუნქციის დიფერენციალი
y = x. ვინაიდან (x)" = 1, მაშინ dx = 1×Δx = Δx. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ x დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენციალი უდრის მის ზრდას, ანუ dx = Δx.

თუ x არის თვითნებური რიცხვი, მაშინ (2.8) ტოლობიდან ვიღებთ df(x) = f "(x)dx, საიდანაც .
ამრიგად, y = f(x) ფუნქციის წარმოებული უდრის მისი დიფერენციალური შეფარდებას არგუმენტის დიფერენციალთან.

განვიხილოთ ფუნქციის დიფერენციალური თვისებები.

თუ u(x), v(x) დიფერენცირებადი ფუნქციებია, მაშინ მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:

ამ ფორმულების დასამტკიცებლად გამოიყენება წარმოებული ფორმულები ფუნქციის ჯამის, პროდუქტისა და კოეფიციენტისთვის. მოდით დავამტკიცოთ, მაგალითად, ფორმულა (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

განვიხილოთ რთული ფუნქციის დიფერენციალი: y = f(x), x = φ(t), ე.ი. y = f(φ(t)).

მაშინ dy = y" t dt, მაგრამ y" t = y" x ×x" t, ამიტომ dy =y" x x" t dt. იმის გათვალისწინებით,

რომ x" t = dx, მივიღებთ dy = y" x dx =f "(x)dx.

ამრიგად, რთული ფუნქციის დიფერენციალს y = f(x), სადაც x =φ(t), აქვს ფორმა dy = f "(x)dx, იგივე, რაც x დამოუკიდებელი ცვლადის შემთხვევაში. ეწოდება დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა ა.

ნუ ხაზს ვუსვამთ, ამ აბზაცში ყველაფერი ასევე საკმაოდ მარტივია. შეგიძლიათ დაწეროთ პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის ზოგადი ფორმულა, მაგრამ ამის გასაგებად, მაშინვე ჩამოვწერ კონკრეტულ მაგალითს. პარამეტრულ ფორმაში ფუნქცია მოცემულია ორი განტოლებით: . ხშირად განტოლებები იწერება არა ხვეული ფრჩხილების ქვეშ, არამედ თანმიმდევრულად: , .

ცვლადს ეწოდება პარამეტრი და შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები "მინუს უსასრულობიდან" "პლუს უსასრულობამდე". განვიხილოთ, მაგალითად, მნიშვნელობა და ჩაანაცვლეთ იგი ორივე განტოლებაში: . ან ადამიანური თვალსაზრისით: „თუ x უდრის ოთხს, მაშინ y უდრის ერთს“. თქვენ შეგიძლიათ მონიშნოთ წერტილი კოორდინატულ სიბრტყეზე და ეს წერტილი შეესაბამება პარამეტრის მნიშვნელობას. ანალოგიურად, შეგიძლიათ იპოვოთ წერტილი "te" პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. რაც შეეხება "რეგულარულ" ფუნქციას, ამერიკელი ინდიელებისთვის პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის ყველა უფლება ასევე დაცულია: შეგიძლიათ შექმნათ გრაფიკი, იპოვოთ წარმოებულები და ა.შ. სხვათა შორის, თუ პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის გრაფიკის დახატვა გჭირდებათ, ჩამოტვირთეთ ჩემი გეომეტრიული პროგრამა გვერდზე მათემატიკური ფორმულები და ცხრილები.

უმარტივეს შემთხვევებში შესაძლებელია ფუნქციის ცალსახად წარმოდგენა. მოდით გამოვხატოთ პარამეტრი პირველი განტოლებიდან: - და ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში: . შედეგი არის ჩვეულებრივი კუბური ფუნქცია.

უფრო "მძიმე" შემთხვევებში, ეს ხრიკი არ მუშაობს. მაგრამ არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან არსებობს პარამეტრული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ფორმულა:

ჩვენ ვპოულობთ "თამაშის" წარმოებულს te ცვლადის მიმართ:

ყველა დიფერენციაციის წესი და წარმოებულების ცხრილი მოქმედებს, ბუნებრივია, ასოსთვის, ამდენად, წარმოებულების მოძიების პროცესში სიახლე არ არის. უბრალოდ გონებრივად შეცვალეთ ცხრილის ყველა "X" ასო "ტე".

ჩვენ ვპოულობთ "x"-ის წარმოებულს te ცვლადის მიმართ:

ახლა რჩება მხოლოდ ნაპოვნი წარმოებულების ჩანაცვლება ჩვენს ფორმულაში:

მზადაა. წარმოებული, ისევე როგორც ფუნქცია, ასევე დამოკიდებულია პარამეტრზე.

რაც შეეხება აღნიშვნას, იმის ნაცვლად, რომ ჩაწერო იგი ფორმულაში, შეიძლება უბრალოდ დაწერო აბსკრიპტის გარეშე, რადგან ეს არის "რეგულარული" წარმოებული "X-ის მიმართ". მაგრამ ლიტერატურაში ყოველთვის არის ვარიანტი, ამიტომ სტანდარტს არ გადავუხვევ.

მაგალითი 6

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას

Ამ შემთხვევაში:

ამრიგად:

პარამეტრული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის განსაკუთრებული თვისებაა ის ფაქტი, რომ ყოველ ნაბიჯზე მომგებიანია შედეგის მაქსიმალურად გამარტივება. ასე რომ, განხილულ მაგალითში, როდესაც ვიპოვე, გავხსენი ფრჩხილები ფესვის ქვეშ (თუმცა შეიძლება ეს არ გამეკეთებინა). დიდი შანსია, რომ ფორმულაში ჩანაცვლებისას ბევრი რამ კარგად შემცირდეს. თუმცა, რა თქმა უნდა, არის მაგალითები მოუხერხებელი პასუხებით.

მაგალითი 7

იპოვეთ პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი.

სტატიაში უმარტივესი ტიპიური პრობლემები წარმოებულებთან ჩვენ გადავხედეთ მაგალითებს, რომლებშიც გვჭირდებოდა ფუნქციის მეორე წარმოებულის პოვნა. პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მეორე წარმოებული და ის გვხვდება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: . სავსებით აშკარაა, რომ მეორე წარმოებულის საპოვნელად ჯერ პირველი წარმოებული უნდა იპოვო.

მაგალითი 8

იპოვეთ პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის პირველი და მეორე წარმოებულები

პირველი, მოდით ვიპოვოთ პირველი წარმოებული.
ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას

Ამ შემთხვევაში:

ცვლის ნაპოვნი წარმოებულებს ფორმულაში. გამარტივების მიზნით, ვიყენებთ ტრიგონომეტრიულ ფორმულას:

შევამჩნიე, რომ პარამეტრული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პრობლემაში საკმაოდ ხშირად გამარტივების მიზნით საჭიროა გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფორმულები . დაიმახსოვრეთ ისინი ან შეინახეთ ხელთ და არ გამოტოვოთ შესაძლებლობა, გაამარტივოთ თითოეული შუალედური შედეგი და პასუხი. Რისთვის? ახლა ჩვენ უნდა ავიღოთ წარმოებული, და ეს აშკარად უკეთესია, ვიდრე წარმოებულის პოვნა.

ვიპოვოთ მეორე წარმოებული.
ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას: .

მოდით შევხედოთ ჩვენს ფორმულას. მნიშვნელი უკვე ნაპოვნია წინა ეტაპზე. რჩება მრიცხველის პოვნა - პირველი წარმოებულის წარმოებული ცვლადის "te" მიმართ:

რჩება ფორმულის გამოყენება:

მასალის გასამყარებლად, მე გთავაზობთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს, რომლითაც შეგიძლიათ დამოუკიდებლად გადაჭრათ.

მაგალითი 9

მაგალითი 10

იპოვეთ და პარამეტრულად მითითებული ფუნქციისთვის

Წარმატებას გისურვებ!

იმედი მაქვს, რომ ეს გაკვეთილი სასარგებლო იყო და ახლა თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ფუნქციების წარმოებულები, რომლებიც მითითებულია იმპლიციტურად და პარამეტრული ფუნქციებიდან

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 3: გამოსავალი:






ამრიგად:

იმპლიციტურად მითითებული ფუნქციის წარმოებული.
პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული

ამ სტატიაში ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ტიპურ ამოცანას, რომლებიც ხშირად გვხვდება ტესტებში უმაღლესი მათემატიკაში. მასალის წარმატებით ათვისების მიზნით, თქვენ უნდა შეძლოთ წარმოებულების პოვნა მინიმუმ საშუალო დონეზე. თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ წარმოებულების პოვნა პრაქტიკულად ნულიდან ორ ძირითად გაკვეთილზე და რთული ფუნქციის წარმოებული. თუ თქვენი დიფერენცირების უნარები ნორმალურია, მაშინ მოდით წავიდეთ.

იმპლიციტურად მითითებული ფუნქციის წარმოებული

ან, მოკლედ, იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული. რა არის იმპლიციტური ფუნქცია? ჯერ გავიხსენოთ ერთი ცვლადის ფუნქციის განმარტება:

ერთი ცვლადი ფუნქციაარის წესი, რომლის მიხედვითაც დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის ერთ და მხოლოდ ერთ მნიშვნელობას.

ცვლადი ე.წ დამოუკიდებელი ცვლადიან არგუმენტი.
ცვლადი ე.წ დამოკიდებული ცვლადიან ფუნქცია .

აქამდე ჩვენ გადავხედეთ განსაზღვრულ ფუნქციებს გამოკვეთილიფორმა. Რას ნიშნავს? მოდით ჩავატაროთ დებრიფინგი კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

განიხილეთ ფუნქცია

ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხნივ გვყავს მარტოხელა "მოთამაშე", ხოლო მარჯვნივ - მხოლოდ "X". ანუ ფუნქცია ცალსახადგამოხატული დამოუკიდებელი ცვლადის საშუალებით.

მოდით შევხედოთ სხვა ფუნქციას:

ეს არის სადაც ცვლადები აირია. მეტიც შეუძლებელია ნებისმიერი საშუალებითგამოხატეთ "Y" მხოლოდ "X"-ით. რა არის ეს მეთოდები? ტერმინების ნაწილიდან ნაწილზე გადატანა ნიშნის ცვლილებით, ფრჩხილებიდან გადატანა, პროპორციის წესის მიხედვით ფაქტორების გადაყრა და ა.შ. გადაწერეთ ტოლობა და შეეცადეთ გამოხატოთ „y“ ცალსახად: . შეგიძლიათ საათობით გადაატრიალოთ და გადაატრიალოთ განტოლება, მაგრამ წარმატებას ვერ მიაღწევთ.

ნება მომეცით გაგაცნოთ: – მაგალითი იმპლიციტური ფუნქცია.

მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა, რომ იმპლიციტური ფუნქცია არსებობს(თუმცა, არა ყოველთვის), მას აქვს გრაფიკი (ისევე, როგორც "ნორმალური" ფუნქცია). იმპლიციტური ფუნქცია ზუსტად იგივეა არსებობსპირველი წარმოებული, მეორე წარმოებული და ა.შ. როგორც ამბობენ, სექსუალური უმცირესობების ყველა უფლება დაცულია.

და ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, რომელიც მითითებულია იმპლიციტურად. არც ისე რთულია! ძალაში რჩება დიფერენციაციის ყველა წესი და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი. განსხვავება ერთ თავისებურ მომენტშია, რომელსაც ახლავე განვიხილავთ.

დიახ, და მე გეტყვით სასიხარულო ამბავს - ქვემოთ განხილული დავალებები შესრულებულია საკმაოდ მკაცრი და მკაფიო ალგორითმის მიხედვით, ქვის გარეშე, სამი ბილიკის წინ.

მაგალითი 1

1) პირველ ეტაპზე ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხებს:

2) ვიყენებთ წარმოებულის წრფივობის წესებს (გაკვეთილის პირველი ორი წესი როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? გადაწყვეტილებების მაგალითები):

3) პირდაპირი დიფერენციაცია.
როგორ განვასხვავოთ სრულიად ნათელია. რა უნდა გააკეთოს იქ, სადაც არის "თამაშები" პარალიზის ქვეშ?

- უბრალოდ სამარცხვინოდ, ფუნქციის წარმოებული უდრის მის წარმოებულს: .

როგორ განვასხვავოთ
აქ გვაქვს რთული ფუნქცია. რატომ? როგორც ჩანს, სინუსის ქვეშ არის მხოლოდ ერთი ასო "Y". მაგრამ ფაქტია, რომ არსებობს მხოლოდ ერთი ასო "y" - თავისთავად არის ფუნქცია(განმარტება იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისში). ამრიგად, სინუსი არის გარეგანი ფუნქცია და არის შიდა ფუნქცია. ჩვენ ვიყენებთ წესს რთული ფუნქციის დიფერენცირებისთვის :

პროდუქტს ჩვეული წესით ვარჩევთ :

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ - ასევე რთული ფუნქციაა, ნებისმიერი „თამაში ზარებითა და სასტვენებით“ რთული ფუნქციაა:

თავად გამოსავალი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:


თუ არის ფრჩხილები, გააფართოვეთ ისინი:

4) მარცხენა მხარეს ვაგროვებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს "Y"-ს უბრალო ასოებით. დანარჩენი ყველაფერი მარჯვენა მხარეს გადაიტანეთ:

5) მარცხენა მხარეს ვიღებთ წარმოებულს ფრჩხილებიდან:

6) და პროპორციის წესის მიხედვით, ჩვენ ამ ფრჩხილებს ჩავყრით მარჯვენა მხარის მნიშვნელში:

წარმოებული იქნა ნაპოვნი. მზადაა.

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ნებისმიერი ფუნქციის გადაწერა შეიძლება იმპლიციტურად. მაგალითად, ფუნქცია შეიძლება გადაწეროთ ასე: . და განასხვავეთ იგი ახლახან განხილული ალგორითმის გამოყენებით. სინამდვილეში, ფრაზები „იმპლიციტური ფუნქცია“ და „იმპლიციტური ფუნქცია“ განსხვავდება ერთი სემანტიკური ნიუანსით. ფრაზა "იმპლიციტურად მითითებული ფუნქცია" უფრო ზოგადი და სწორია, - ეს ფუნქცია მითითებულია იმპლიციტურად, მაგრამ აქ შეგიძლიათ გამოხატოთ "თამაში" და წარმოადგინოთ ფუნქცია ცალსახად. ფრაზა "იმპლიციტური ფუნქცია" ეხება "კლასიკურ" იმპლიციტურ ფუნქციას, როდესაც "y" შეუძლებელია გამოხატული.

მეორე გამოსავალი

ყურადღება!თქვენ შეგიძლიათ გაეცნოთ მეორე მეთოდს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ იცით, როგორ იპოვოთ დამაჯერებლად ნაწილობრივი წარმოებულები. კალკულუსის დამწყებთათვის და მცოდნეებო, გთხოვთ არ წაიკითხოთ და გამოტოვოთ ეს წერტილითორემ შენი თავი სრული არეულობა იქნება.

ვიპოვოთ იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული მეორე მეთოდის გამოყენებით.

ჩვენ გადავიტანთ ყველა ტერმინს მარცხენა მხარეს:

და განიხილეთ ორი ცვლადის ფუნქცია:

შემდეგ ჩვენი წარმოებული შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით
მოდი ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

ამრიგად:

მეორე გამოსავალი საშუალებას გაძლევთ შეასრულოთ შემოწმება. მაგრამ მათთვის მიზანშეწონილი არ არის დავალების საბოლოო ვერსიის დაწერა, რადგან ნაწილობრივი წარმოებულები მოგვიანებით აითვისება და სტუდენტმა, რომელიც სწავლობს თემას „ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებული“ ჯერ არ უნდა იცოდეს ნაწილობრივი წარმოებულები.

მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 2

იპოვეთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

დაამატეთ შტრიხები ორივე ნაწილს:

ჩვენ ვიყენებთ წრფივობის წესებს:

წარმოებულების პოვნა:

ყველა ფრჩხილის გახსნა:

ყველა ტერმინს გადავიტანთ მარცხენა მხარეს, დანარჩენს მარჯვენა მხარეს:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 3

იპოვეთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

სრული გადაწყვეტა და ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს.

არც ისე იშვიათია წილადების წარმოქმნა დიფერენცირების შემდეგ. ასეთ შემთხვევებში თქვენ უნდა მოიცილოთ ფრაქციები. მოდით შევხედოთ კიდევ ორ მაგალითს.

მაგალითი 4

იპოვეთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხების ქვეშ და ვიყენებთ წრფივობის წესს:

დიფერენცირება რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით და კოეფიციენტთა დიფერენცირების წესი :

ფრჩხილების გაფართოება:

ახლა ჩვენ უნდა მოვიშოროთ წილადი. ეს შეიძლება გაკეთდეს მოგვიანებით, მაგრამ უფრო რაციონალურია ამის გაკეთება დაუყოვნებლივ. წილადის მნიშვნელი შეიცავს . გაამრავლე ზე . დეტალურად, ასე გამოიყურება:

ზოგჯერ დიფერენცირების შემდეგ ჩნდება 2-3 ფრაქცია. მაგალითად, სხვა წილადი რომ გვქონდეს, მაშინ ოპერაცია უნდა განმეორდეს - გამრავლება თითოეული ნაწილის ყოველი ტერმინი on

მარცხენა მხარეს ფრჩხილებიდან გამოვყავით:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 5

იპოვეთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ერთადერთი ისაა, რომ სანამ წილადს მოიშორებ, ჯერ თავად წილადის სამსართულიანი სტრუქტურის მოშორება დაგჭირდება. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული

ნუ ხაზს ვუსვამთ, ამ აბზაცში ყველაფერი ასევე საკმაოდ მარტივია. შეგიძლიათ დაწეროთ პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის ზოგადი ფორმულა, მაგრამ ამის გასაგებად, მაშინვე ჩამოვწერ კონკრეტულ მაგალითს. პარამეტრულ ფორმაში ფუნქცია მოცემულია ორი განტოლებით: . ხშირად განტოლებები იწერება არა ხვეული ფრჩხილების ქვეშ, არამედ თანმიმდევრულად: , .

ცვლადს პარამეტრი ეწოდებადა შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები "მინუს უსასრულობიდან" "პლუს უსასრულობამდე". განვიხილოთ, მაგალითად, მნიშვნელობა და ჩაანაცვლეთ იგი ორივე განტოლებაში: . ან ადამიანური თვალსაზრისით: „თუ x უდრის ოთხს, მაშინ y უდრის ერთს“. თქვენ შეგიძლიათ მონიშნოთ წერტილი კოორდინატულ სიბრტყეზე და ეს წერტილი შეესაბამება პარამეტრის მნიშვნელობას. ანალოგიურად, შეგიძლიათ იპოვოთ წერტილი "te" პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. რაც შეეხება "რეგულარულ" ფუნქციას, ამერიკელი ინდიელებისთვის პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის ყველა უფლება ასევე დაცულია: შეგიძლიათ შექმნათ გრაფიკი, იპოვოთ წარმოებულები და ა.შ. სხვათა შორის, თუ პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკის დახატვა გჭირდებათ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩემი პროგრამა.

უმარტივეს შემთხვევებში შესაძლებელია ფუნქციის ცალსახად წარმოდგენა. მოდით გამოვხატოთ პარამეტრი პირველი განტოლებიდან: - და ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში: . შედეგი არის ჩვეულებრივი კუბური ფუნქცია.

უფრო "მძიმე" შემთხვევებში, ეს ხრიკი არ მუშაობს. მაგრამ არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან არსებობს პარამეტრული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ფორმულა:

ჩვენ ვპოულობთ "თამაშის" წარმოებულს te ცვლადის მიმართ:

ყველა დიფერენციაციის წესი და წარმოებულების ცხრილი მოქმედებს, ბუნებრივია, ასოსთვის, ამდენად, წარმოებულების მოძიების პროცესში სიახლე არ არის. უბრალოდ გონებრივად შეცვალეთ ცხრილის ყველა "X" ასო "ტე".

ჩვენ ვპოულობთ "x"-ის წარმოებულს te ცვლადის მიმართ:

ახლა რჩება მხოლოდ ნაპოვნი წარმოებულების ჩანაცვლება ჩვენს ფორმულაში:

მზადაა. წარმოებული, ისევე როგორც ფუნქცია, ასევე დამოკიდებულია პარამეტრზე.

რაც შეეხება აღნიშვნას, იმის ნაცვლად, რომ ჩაწერო იგი ფორმულაში, შეიძლება უბრალოდ დაწერო აბსკრიპტის გარეშე, რადგან ეს არის "რეგულარული" წარმოებული "X-ის მიმართ". მაგრამ ლიტერატურაში ყოველთვის არის ვარიანტი, ამიტომ სტანდარტს არ გადავუხვევ.

მაგალითი 6

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას

Ამ შემთხვევაში:

ამრიგად:

პარამეტრული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის განსაკუთრებული თვისებაა ის ფაქტი, რომ ყოველ ნაბიჯზე მომგებიანია შედეგის მაქსიმალურად გამარტივება. ასე რომ, განხილულ მაგალითში, როდესაც ვიპოვე, გავხსენი ფრჩხილები ფესვის ქვეშ (თუმცა შეიძლება ეს არ გამეკეთებინა). დიდი შანსია, რომ ფორმულაში ჩანაცვლებისას ბევრი რამ კარგად შემცირდეს. თუმცა, რა თქმა უნდა, არის მაგალითები მოუხერხებელი პასუხებით.

მაგალითი 7

იპოვეთ პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი.

სტატიაში უმარტივესი ტიპიური პრობლემები წარმოებულებთანჩვენ გადავხედეთ მაგალითებს, რომლებშიც გვჭირდებოდა ფუნქციის მეორე წარმოებულის პოვნა. პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მეორე წარმოებული და ის გვხვდება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: . სავსებით აშკარაა, რომ მეორე წარმოებულის საპოვნელად ჯერ პირველი წარმოებული უნდა იპოვო.

მაგალითი 8

იპოვეთ პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის პირველი და მეორე წარმოებულები

პირველი, მოდით ვიპოვოთ პირველი წარმოებული.
ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას

Ამ შემთხვევაში:

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი წარმოებულებს ფორმულაში. გამარტივების მიზნით, ვიყენებთ ტრიგონომეტრიულ ფორმულას:

ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს რამდენიმე გზით. ეს დამოკიდებულია წესზე, რომელიც გამოიყენება მის დასაზუსტებლად. ფუნქციის დაზუსტების აშკარა ფორმაა y = f (x). არის შემთხვევები, როცა მისი აღწერა შეუძლებელია ან მოუხერხებელია. თუ ბევრი წყვილია (x; y), რომლებიც უნდა გამოითვალოს t პარამეტრისთვის (a; b) ინტერვალით. სისტემის ამოსახსნელად x = 3 cos t y = 3 sin t 0 ≤ t-ით< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

პარამეტრული ფუნქციის განმარტება

აქედან გვაქვს, რომ x = φ (t), y = ψ (t) განისაზღვრება t ∈ (a; b) მნიშვნელობისთვის და აქვთ შებრუნებული ფუნქცია t = Θ (x) x = φ (t)-სთვის, შემდეგ საუბარია y = ψ (Θ (x)) ფუნქციის პარამეტრული განტოლების დაზუსტებაზე.

არის შემთხვევები, როდესაც ფუნქციის შესასწავლად საჭიროა წარმოებულის ძიება x-ის მიმართ. განვიხილოთ y x " = ψ " (t) φ " (t) ფორმის პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა, ვისაუბროთ მე-2 და n-ე რიგის წარმოებულზე.

პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა

გვაქვს x = φ (t), y = ψ (t), განსაზღვრული და დიფერენცირებადი t ∈ a-სთვის; b, სადაც x t " = φ " (t) ≠ 0 და x = φ (t), მაშინ არის ფორმის შებრუნებული ფუნქცია t = Θ (x).

დასაწყისისთვის, თქვენ უნდა გადახვიდეთ პარამეტრული ამოცანიდან აშკარაზე. ამისათვის თქვენ უნდა მიიღოთ y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) ფორმის რთული ფუნქცია, სადაც არის x არგუმენტი.

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის წესზე დაყრდნობით ვიღებთ, რომ y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

ეს აჩვენებს, რომ t = Θ (x) და x = φ (t) არის ინვერსიული ფუნქციები ინვერსიული ფუნქციის ფორმულიდან Θ "(x) = 1 φ" (t), შემდეგ y "x = ψ" Θ (x) Θ" (x) = ψ " (t) φ " (t) .

მოდით გადავიდეთ დიფერენციაციის წესის მიხედვით წარმოებულების ცხრილის გამოყენებით რამდენიმე მაგალითის ამოხსნის განხილვაზე.

მაგალითი 1

იპოვეთ წარმოებული x = t 2 + 1 y = t ფუნქციისთვის.

გამოსავალი

პირობით გვაქვს, რომ φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, აქედან ვიღებთ, რომ φ "(t) = t 2 + 1", ψ" (t) = t" = 1. თქვენ უნდა გამოიყენოთ მიღებული ფორმულა და დაწეროთ პასუხი ფორმაში:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 ტ

პასუხი: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

h ფუნქციის წარმოებულთან მუშაობისას პარამეტრი t განსაზღვრავს არგუმენტის x გამოხატვას იმავე t პარამეტრის მეშვეობით, რათა არ დაკარგოს კავშირი წარმოებულის მნიშვნელობებსა და პარამეტრულად განსაზღვრულ ფუნქციას შორის არგუმენტთან. რომელსაც ეს მნიშვნელობები შეესაბამება.

პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებულის დასადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ პირველი რიგის წარმოებულის ფორმულა მიღებულ ფუნქციაზე, შემდეგ მივიღებთ, რომ

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

მაგალითი 2

იპოვეთ მოცემული ფუნქციის მე-2 და მე-2 რიგის წარმოებულები x = cos (2 t) y = t 2 .

გამოსავალი

პირობით ვხვდებით, რომ φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

შემდეგ ტრანსფორმაციის შემდეგ

φ " (t) = cos (2 ტ) " = - ცოდვა (2 ტ) 2 ტ" = - 2 ცოდვა (2 ტ) ψ (ტ) = t 2" = 2 ტ

აქედან გამომდინარეობს, რომ y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

მივიღებთ, რომ პირველი რიგის წარმოებულის ფორმაა x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მეორე რიგის წარმოებული ფორმულა. ვიღებთ ფორმის გამოხატულებას

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 ტ) - t cos (2 ტ) (2 ტ) " 2 ცოდვა 3 (2 ტ) = ცოდვა (2 ტ) - 2 ტ cos (2 ტ) 2 sin 3 (2 ტ)

შემდეგ პარამეტრული ფუნქციის გამოყენებით მე-2 რიგის წარმოებულის დაზუსტება

x = cos (2 ტ) y x "" = sin (2 ტ) - 2 ტ cos (2 ტ) 2 sin 3 (2 ტ)

მსგავსი გამოსავალი შეიძლება მოგვარდეს სხვა მეთოდის გამოყენებით. მერე

φ " t = (cos (2 ტ)) " = - ცოდვა (2 ტ) 2 ტ " = - 2 ცოდვა (2 ტ) ⇒ φ "" t = - 2 ცოდვა (2 ტ) " = - 2 ცოდვა (2 t) " = - 2 cos (2 ტ) · (2 ​​ტ) " = - 4 cos (2 ტ) ψ " (t) = (t 2) " = 2 ტ ⇒ ψ "" (t) = ( 2 ტ) " = 2

აქედან ვიღებთ ამას

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 ტ)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

პასუხი: y "" x = sin (2 ტ) - 2 ტ cos (2 ტ) 2 s i n 3 (2 ტ)

ანალოგიურად გვხვდება უფრო მაღალი რიგის წარმოებულები პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციებით.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

აქამდე განვიხილავდით სიბრტყეზე ხაზების განტოლებებს, რომლებიც უშუალოდ აკავშირებენ ამ წრფეების წერტილების მიმდინარე კოორდინატებს. თუმცა, ხშირად გამოიყენება ხაზის განსაზღვრის სხვა მეთოდი, რომელშიც მიმდინარე კოორდინატები განიხილება, როგორც მესამე ცვლადის ფუნქციები.

ცვლადის ორი ფუნქცია იყოს მოცემული

განიხილება ტ-ის იგივე მნიშვნელობებისთვის. მაშინ t-ის ამ მნიშვნელობებიდან რომელიმე შეესაბამება გარკვეულ მნიშვნელობას და y-ის გარკვეულ მნიშვნელობას და, შესაბამისად, გარკვეულ წერტილს. როდესაც ცვლადი t გადის ყველა მნიშვნელობას ფუნქციების განსაზღვრის დომენიდან (73), წერტილი აღწერს გარკვეულ ხაზს C სიბრტყეში. განტოლებებს (73) ეწოდება ამ ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს, ხოლო ცვლადს ე.წ. პარამეტრი.

დავუშვათ, რომ ფუნქციას აქვს შებრუნებული ფუნქცია, ამ ფუნქციის (73) განტოლების მეორით ჩანაცვლებით მივიღებთ განტოლებას.

y-ს ფუნქციის სახით გამოხატვა

შევთანხმდეთ ვთქვათ, რომ ეს ფუნქცია პარამეტრულად მოცემულია განტოლებებით (73). ამ განტოლებიდან (74) განტოლებაზე გადასვლას პარამეტრის ელიმინაცია ეწოდება. პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციების განხილვისას, პარამეტრის გამორიცხვა არა მხოლოდ აუცილებელი არ არის, არამედ ყოველთვის პრაქტიკულად არ არის შესაძლებელი.

ხშირ შემთხვევაში, ბევრად უფრო მოსახერხებელია, პარამეტრის სხვადასხვა მნიშვნელობების გათვალისწინებით, შემდეგ გამოვთვალოთ ფორმულების (73) გამოყენებით არგუმენტისა და ფუნქციის y შესაბამისი მნიშვნელობები.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი 1. მოდით იყოს თვითნებური წერტილი წრეზე, რომლის ცენტრია საწყისზე და რადიუსზე R. ამ წერტილის დეკარტიის კოორდინატები x და y გამოიხატება მისი პოლარული რადიუსისა და პოლარული კუთხით, რომელსაც აქ ვნიშნავთ t-ით შემდეგნაირად ( იხილეთ თავი I, §3, პუნქტი 3):

განტოლებებს (75) წრის პარამეტრულ განტოლებებს უწოდებენ. მათში პარამეტრი არის პოლარული კუთხე, რომელიც მერყეობს 0-დან.

თუ განტოლებები (75) კვადრატში კვადრატშია და დამატებული, მაშინ იდენტობის წყალობით პარამეტრი აღმოიფხვრება და მიიღება წრის განტოლება დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში, რომელიც განსაზღვრავს ორ ელემენტარულ ფუნქციას:

თითოეული ეს ფუნქცია პარამეტრულად მითითებულია განტოლებებით (75), მაგრამ ამ ფუნქციების პარამეტრების დიაპაზონი განსხვავებულია. პირველი მათგანისთვის; ამ ფუნქციის გრაფიკი არის ზედა ნახევარწრიული. მეორე ფუნქციისთვის მისი გრაფიკი არის ქვედა ნახევარწრიული.

მაგალითი 2. განვიხილოთ ერთდროულად ელიფსი

და წრე, რომლის ცენტრი საწყისზე და რადიუსით a (სურ. 138).

ელიფსის ყოველ M წერტილს ვუკავშირებთ წრის N წერტილს, რომელსაც აქვს იგივე აბსციზა, როგორც M წერტილი და მასთან ერთად მდებარეობს Ox ღერძის იმავე მხარეს. N წერტილის პოზიცია და შესაბამისად M წერტილი მთლიანად განისაზღვრება წერტილის t პოლარული კუთხით.ამ შემთხვევაში მათი საერთო აბსცისისთვის ვიღებთ შემდეგ გამოსახულებას: x = a. M წერტილში ორდინატს ვპოულობთ ელიფსის განტოლებიდან:

ნიშანი აირჩიეს იმიტომ, რომ M წერტილის ორდინატსა და N წერტილის ორდინატს ერთნაირი ნიშნები უნდა ჰქონდეს.

ამრიგად, ელიფსისთვის მიიღება შემდეგი პარამეტრული განტოლებები:

აქ პარამეტრი t მერყეობს 0-დან.

მაგალითი 3. განვიხილოთ წრე a წერტილის ცენტრით და a რადიუსით, რომელიც აშკარად ეხება x-ღერძს საწყისზე (სურ. 139). დავუშვათ, რომ ეს წრე ტრიალებს x ღერძის გასწვრივ სრიალის გარეშე. შემდეგ წრის წერტილი M, რომელიც საწყის მომენტში კოორდინატების წარმოშობას დაემთხვა, აღწერს წრფეს, რომელსაც ციკლოიდი ეწოდება.

გამოვიყვანოთ ციკლოიდის პარამეტრული განტოლებები, პარამეტრად ავიღოთ წრის ბრუნვის კუთხე MSV, როდესაც მისი ფიქსირებული წერტილი გადაადგილდება O პოზიციიდან M პოზიციაზე. შემდეგ M წერტილის კოორდინატებისთვის და y ვიღებთ შემდეგ გამოსახულებებს:

იმის გამო, რომ წრე ღერძის გასწვრივ მოძრაობს სრიალის გარეშე, OB სეგმენტის სიგრძე უდრის რკალის BM სიგრძეს. ვინაიდან BM რკალის სიგრძე უდრის a რადიუსისა და ცენტრალური კუთხის ნამრავლს, მაშინ . Ამიტომაც . მაგრამ ამიტომ,

ეს განტოლებები არის ციკლოიდის პარამეტრული განტოლებები. როდესაც t პარამეტრი 0-დან წრეზე შეიცვლება, მოხდება ერთი სრული რევოლუცია. წერტილი M აღწერს ციკლოიდის ერთ რკალს.

t პარამეტრის გამორიცხვა აქ იწვევს რთულ გამონათქვამებს და პრაქტიკულად არაპრაქტიკულია.

ხაზების პარამეტრული განსაზღვრა განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება მექანიკაში და პარამეტრის როლს ასრულებს დრო.

მაგალითი 4. განვსაზღვროთ თოფიდან ნასროლი ჭურვის ტრაექტორია საწყისი სიჩქარით ჰორიზონტალურზე a კუთხით. ჩვენ უგულებელყოფთ ჰაერის წინააღმდეგობას და ჭურვის ზომებს, მას მატერიალურ წერტილად მივიჩნევთ.

ავირჩიოთ კოორდინატთა სისტემა. კოორდინატების საწყისად ავიღოთ ჭურვის ამოსვლის წერტილი მჭიდიდან. მოდით მივმართოთ Ox ღერძი ჰორიზონტალურად, ხოლო Oy ღერძი ვერტიკალურად, განვათავსოთ ისინი იმავე სიბრტყეში იარაღის მჭიდით. მიზიდულობის ძალა რომ არ არსებობდეს, მაშინ ჭურვი სწორხაზოვნად მოძრაობდა, Ox ღერძთან a კუთხეს შექმნიდა და t დროში გაივლიდა მანძილს. t დროს ჭურვის კოორდინატები შესაბამისად ტოლი იქნებოდა. მიმართ: . სიმძიმის გამო ჭურვი ამ მომენტში ვერტიკალურად უნდა დაეცეს რაღაც ოდენობით, ამიტომ რეალურად t დროს ჭურვის კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

ეს განტოლებები შეიცავს მუდმივ რაოდენობას. როდესაც t იცვლება, ასევე შეიცვლება კოორდინატები ჭურვის ტრაექტორიის წერტილში. განტოლებები არის ჭურვის ტრაექტორიის პარამეტრული განტოლებები, რომლებშიც პარამეტრი არის დრო

პირველი განტოლებიდან გამოხატვა და მისი ჩანაცვლება

მეორე განტოლება, ვიღებთ ჭურვის ტრაექტორიის განტოლებას სახით ეს არის პარაბოლის განტოლება.