ბეტონის ხსნარები გამოიყენება საძირკვლის ასაგებად, კედლების აღმართვისა და იატაკის შესავსებად. საქმიანობის დაწყებამდე მნიშვნელოვანია აირჩიოთ ფონდის დიზაინი, სწორად გამოვთვალოთ ხარჯების საერთო დონე და განსაზღვროთ სამშენებლო მასალების საჭირო რაოდენობა. იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ ბეტონის მოცულობა, შეგიძლიათ განსაზღვროთ სამშენებლო სამუშაოების სავარაუდო ღირებულება, ზუსტად დაგეგმოთ ბეტონის სამუშაოების ხანგრძლივობა და თავიდან აიცილოთ მოულოდნელი ხარჯები. მოდით დეტალურად ვისაუბროთ სხვადასხვა სტრუქტურების, ასევე კედლებისა და იატაკის გამოთვლების შესრულების მეთოდოლოგიაზე.

ზოლის საძირკვლის დიაგრამა

რა მეთოდები შეგიძლიათ გამოიყენოთ ბეტონის მოცულობის გამოსათვლელად?

სამშენებლო სამუშაოებს წინ უძღვის პროექტის შემუშავება. ამ ეტაპზე დგინდება საძირკვლის ბაზის ტიპი და გამოითვლება საძირკვლის ასაგებად საჭირო ბეტონის ხსნარის მოცულობა. დიზაინის ეტაპზე გამოითვლება ნაღმტყორცნების საჭიროება მონოლითური კედლებისა და ბეტონის იატაკის ჩამოსასხმელად. სამუშაოს დასასრულებლად საჭირო ბეტონის ნარევის კუბური მოცულობა განისაზღვრება შენობის კონსტრუქციების ბეტონის მოცულობით.

გამოთვლების შესასრულებლად გამოიყენება სხვადასხვა მეთოდი:

• სახელმძღვანელო. იგი ეფუძნება საძირკვლის, ძირითადი კედლებისა და იატაკის მოცულობების გაანგარიშებას. გაანგარიშება ხდება ჩვეულებრივი კალკულატორის გამოყენებით სკოლის ფორმულების გამოყენებით მოცულობის გამოსათვლელად და არ ითვალისწინებს ბეტონის შეკუმშვის კოეფიციენტს. მიღებული მნიშვნელობა ოდნავ განსხვავდება პროგრამული უზრუნველყოფის გამოყენებით გამოთვლების შედეგებისგან;
• პროგრამა. პროგრამაში შეტანილი საწყისი მონაცემები საძირკვლის ტიპის, მისი ზომების, დიზაინის მახასიათებლებისა და ბეტონის კლასის შესახებ სწრაფად მუშავდება. შედეგად, წარმოიქმნება საკმაოდ ზუსტი შედეგი, რომელიც შეგიძლიათ გამოიყენოთ როგორც სახელმძღვანელო სამშენებლო მასალების შეძენისას საძირკვლის ბაზის ასაშენებლად, კედლების მშენებლობისთვის ან იატაკის ჩამოსასხმელად.

თვისებები ბეტონის მოცულობის გაანგარიშებისას

ზუსტი შედეგის მისაღებად საკმარისი არ არის მხოლოდ ფორმულის შიდა ზომის გათვალისწინება. მეორე მეთოდი უფრო ზუსტია, რადგან ონლაინ კალკულატორი ითვალისწინებს ყველა მონაცემს: საძირკვლის ტიპს, საძირკვლის ბაზის განივი მონაკვეთს, გამაგრების გალიის არსებობას და ნაღმტყორცნების ბრენდს.

ბეტონის მოცულობის დასადგენად მზადება - როგორ გამოვთვალოთ შეცდომების გარეშე

გამოთვლების შესასრულებლად მომზადებისას უნდა გახსოვდეთ, რომ ბეტონის ნარევის საჭიროება განისაზღვრება კუბურ მეტრში და არა კილოგრამებში, ტონებში ან ლიტრებში. ხელით ან პროგრამული გამოთვლების შედეგად განისაზღვრება შემკვრელის ხსნარის მოცულობა და არა მისი მასა. ერთ-ერთი მთავარი შეცდომა, რომელსაც ახალბედა დეველოპერები უშვებენ, არის გამოთვლების შესრულება საძირკვლის ტიპის დადგენამდე.

გადაწყვეტილება ფონდის დიზაინზე მიიღება შემდეგი სამუშაოების დასრულების შემდეგ:

• გეოდეზიური ღონისძიებების გატარება ნიადაგის თვისებების, გაყინვის დონისა და წყალსატევების ადგილმდებარეობის დასადგენად;
• ბაზის დატვირთვის სიმძლავრის გამოთვლები. იგი განისაზღვრება წონის, სტრუქტურული მახასიათებლებისა და ბუნებრივი ფაქტორების საფუძველზე.

როგორ გამოვთვალოთ ბეტონის ნარევის რაოდენობა (მოცულობა).

• შენდება საძირკვლის ტიპი;
• ფონდის ზომები, მისი კონფიგურაცია;
• ბეტონის მოსაწყობად გამოყენებული ნარევის ბრენდი;
• ნიადაგის გაყინვის სიღრმე.

ბეტონის მოცულობის გაანგარიშების სიზუსტე დამოკიდებულია გაანგარიშებისთვის გამოყენებულ მონაცემებზე.

ისინი განსხვავებულია თითოეული ტიპის ფონდისთვის:

• ზოლის ბაზის გაანგარიშებისას გათვალისწინებულია მისი ზომები და ფორმა;
• სვეტოვანი ბაზისთვის მნიშვნელოვანია იცოდეთ ბეტონის სვეტების რაოდენობა და მათი ზომები;
• თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ბეტონის კუბი მყარი ფილისთვის მისი სისქის და ზომების მიხედვით.

შედეგის სიზუსტე დამოკიდებულია გაანგარიშებისთვის გამოყენებული მონაცემების სისრულეზე.

როგორ გამოვთვალოთ ბეტონი კუბებში ფონდისთვის

ყველა ტიპის საძირკვლისთვის ბეტონის საჭიროება განისაზღვრება ფორმულით, რომელიც ითვალისწინებს აღმართული საძირკვლის სტრუქტურების მთლიან მოცულობას. ამ შემთხვევაში გასათვალისწინებელია საძირკვლის ის ნაწილიც, რომელიც მიწაშია ჩასხმული. გამოთვლების შესასრულებლად, თქვენ უნდა იხელმძღვანელოთ დიზაინის დოკუმენტაციაში მითითებული ზომებით.

• სვეტიანი;
• გრილაჟი

თითოეული ტიპის ფონდისთვის ბეტონის ნაღმტყორცნების საჭიროების განსაზღვრას აქვს საკუთარი მახასიათებლები.

როგორ გამოვთვალოთ ბეტონის კუბი ზოლის ბაზისთვის

ზოლის საძირკვლის კალკულატორი

ფირის ტიპის ბაზა საკმაოდ პოპულარულია. იგი გამოიყენება კერძო სახლების, გარე შენობებისა და აგარაკის ასაშენებლად. სტრუქტურა არის ბეტონის მყარი ლენტი, რომელიც გამაგრებულია ფოლადის ღეროებით. მონოლითური ლენტი მიჰყვება შენობის კონტურს, შიდა ტიხრების ჩათვლით.

ბეტონის ნარევის შემადგენლობისა და პროპორციების ცხრილი

მონოლითური ზოლის საძირკვლის ბეტონის მოცულობა გამოითვლება მარტივი ფორმულით V = AxBxP. მოდით გავშიფროთ:

• V არის კონკრეტული ხსნარის საჭიროება, გამოხატული კუბურ მეტრებში;
• A – საძირკვლის ფირის სისქე;
• B – სარტყლის ბაზის სიმაღლე მიწისქვეშა ნაწილის ჩათვლით;
• P - ჩამოყალიბებული ზოლის კონტურის პერიმეტრი.

ამ პარამეტრების ერთად გამრავლებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ ბეტონის ხსნარის მთლიანი კუბურ სიმძლავრეს.

განვიხილოთ გაანგარიშების ალგორითმი ზოლის ბაზის ზომებით 6x8 მ, სისქე 0,5 მ და სიმაღლე 1,2 მ. შეასრულეთ გამოთვლა შემდეგი ალგორითმის გამოყენებით:

1. გამოთვალეთ პერიმეტრი გვერდების სიგრძის გაორმაგებით 2x(6+8)=28 მ.
2. კვეთის ფართობის გამოთვლა ლენტის სისქის და სიმაღლის გამრავლებით 0,5x1,2=0,6 მ2.
3. განსაზღვრეთ მოცულობა პერიმეტრის გამრავლებით კვეთის ფართობზე 28x0.6 = 16.8 მ 3.

მიღებულ შედეგს აქვს მცირე შეცდომა იმის გამო, რომ არ არის გათვალისწინებული რკინაბეტონის გამაგრება და ნარევის შეკუმშვა ვიბრაციული დატკეპნის დროს.

ზოლის საძირკვლის დიაგრამა

როგორ გამოვთვალოთ ბეტონის კუბი წყობის ტიპის საძირკვლისთვის

ბეტონის სვეტების სახით ბაზა ერთ-ერთი ყველაზე მარტივია. იგი შედგება რკინაბეტონის საყრდენებისგან, რომლებიც თანაბრად არის განლაგებული შენობის კონტურის გასწვრივ, მათ შორის შენობის კუთხეებში, ასევე შიდა ტიხრების კედლებთან გადაკვეთაზე. ზოგიერთი დამხმარე ელემენტი განლაგებულია მიწაში და გადააქვს დატვირთვა სტრუქტურის მასიდან ნიადაგში. გაანგარიშების ალგორითმი გულისხმობს ბეტონის მთლიანი საჭიროების განსაზღვრას ცალკეული სვეტების მოცულობის მათ რიცხვზე გამრავლებით.

გამოთვლებისთვის გამოიყენეთ ფორმულა – V=Sхn, რომელიც გაშიფრულია შემდეგნაირად:

• V – სვეტების შევსების ხსნარის რაოდენობა;
• S - დამხმარე ელემენტის განივი ფართობი;
• n – წყობის სვეტების საერთო რაოდენობა.

პროექტის მოთხოვნების მაგალითის გამოყენებით, რომელიც მოიცავს 40 წყობის დამონტაჟებას 0,3 მ დიამეტრით და საერთო სიგრძით 1,8 მ, ჩვენ ვიანგარიშებთ ბეტონის საჭირო რაოდენობას:

1. გამოთვალეთ წყობის ფართობი კოეფიციენტის 3.14 გამრავლებით რადიუსის კვადრატზე - 3.14x0.15x0.15=0.07065 მ2.
2. გამოთვალეთ ერთი საყრდენის მოცულობა მისი ფართობის სიგრძეზე გამრავლებით - 0,07065x1,8=0,127 მ3.
3. განსაზღვრეთ ნარევის საჭირო რაოდენობა ერთი წყობის მოცულობის გამრავლებით საყრდენების საერთო რაოდენობაზე 0,127x40 = 5,08 მ 3.

როგორ გამოვთვალოთ ბეტონის კუბი

თუ საყრდენი სვეტებს აქვს მართკუთხა კვეთა, განივი კვეთის გამოსათვლელად აუცილებელია ელემენტის სიგანე და სისქე გავამრავლოთ.

როგორ გამოვთვალოთ ბეტონი სვეტური ბაზისთვის რკინაბეტონის გრილაჟით

სვეტოვანი ბაზის სიმტკიცის მახასიათებლების გასაზრდელად, საყრდენების ამობურცული ნაწილები შერწყმულია რკინაბეტონის კონსტრუქციით, რომელსაც გრილაჟი ეწოდება. იგი მზადდება მყარი რკინაბეტონის ზოლის ან ფილის სახით, რომელშიც დაბეტონებულია სვეტების თავები.

როგორ გამოვთვალოთ ბეტონის მოცულობა ზოლის საძირკვლისა და წყობის მშენებლობისთვის

1. გრილაჟის კვეთის ფართობის განსაზღვრა მისი სისქის სიმაღლეზე გამრავლებით;
2. გამოთვალეთ გრილაჟის მოცულობა სტრუქტურის სიგრძეზე კვეთის ფართობის გამრავლებით.

მიღებული ღირებულება შეესაბამება ბეტონის ნარევის საჭიროებას გრილის ბაზის დასაბეტონებლად.

ჩვენ ვიანგარიშებთ ბეტონის მოცულობას საძირკვლისთვის მყარი ფილის სახით

ფილის ტიპის საძირკველი გამოიყენება რთულ ნიადაგებზე მაღალი ტენიანობის კონცენტრაციით. მასზე სარდაფის გარეშე შენობებია აღმართული. ეს დიზაინი საშუალებას გაძლევთ თანაბრად გადაანაწილოთ დატვირთვა სტრუქტურის მასიდან ნიადაგზე და უზრუნველყოთ მშენებარე ობიექტის გაზრდილი სიმტკიცე და სტაბილურობა. გამაგრების გამოყენებამ შეიძლება გაზარდოს ფილის საძირკვლის სიმტკიცე. კონსტრუქცია წარმოადგენს რკინაბეტონის ფილს მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის.

როგორ გამოვთვალოთ ბეტონის მოცულობა

სიმბოლოების ახსნა:

• V – ბეტონის შემადგენლობის მოცულობა ფილის ჩამოსასხმელად;
• S - ფილის ბაზის ფართობი ჯვარედინი მონაკვეთში;
• L – საძირკვლის სტრუქტურის სიგრძე.

12 მ სიგრძის, 10 მ სიგანისა და 0,5 მ სისქის საძირკვლისთვის განიხილეთ გაანგარიშების ალგორითმი:

1. განსაზღვრეთ ფართობი ფილის სიგანის გამრავლებით მის სისქეზე 10x0.5 = 5 მ 2.
2. გამოთვალეთ ფუძის მოცულობა სტრუქტურის სიგრძის გამრავლებით 12x5 = 60 მ 3 ფართობზე.

მიღებული ღირებულება შეესაბამება ბეტონის ნარევის საჭიროებას. თუ ფილის საძირკველს აქვს რთული კონფიგურაცია, მაშინ იგი უნდა დაიყოს გეგმაზე უფრო მარტივ ფიგურებად და შემდეგ თითოეულისთვის უნდა გამოითვალოს ფართობი და მოცულობა.

როგორ სწორად გამოვთვალოთ ბეტონის კუბი შენობის კედლებისთვის

კალკულატორი ვებსაიტზე ზოლის საძირკვლის ბეტონის რაოდენობის გამოსათვლელად

მასიური შენობების ასაშენებლად, მტკიცე ყუთები აგებულია ბეტონისგან, რომელიც გამაგრებულია ფოლადის გამაგრებით. სამშენებლო მასალების საჭიროების დასადგენად, მშენებლებს წინაშე დგანან ასეთი სტრუქტურებისთვის ბეტონის მოცულობის გამოთვლა. გამოთვლების შესასრულებლად გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა – V=(S-S1)xH.

მოდით გავშიფროთ ფორმულაში შეტანილი აღნიშვნა:

• V – ბეტონის ნარევის რაოდენობა კედლების ასაგებად;
• S - კედლის ზედაპირის მთლიანი ფართობი;
• S1 - ფანჯრისა და კარების ღიობების მთლიანი ფართობი;
• H – ბეტონის კედლის ყუთის სიმაღლე.

გამოთვლების შესრულებისას, ღიობების მთლიანი ფართობი განისაზღვრება ცალკეული ღიობების შეჯამებით. გაანგარიშების ალგორითმი მოგვაგონებს ბეტონის საჭიროების განსაზღვრას ფილის საძირკვლისთვის და ადვილად შეიძლება გაკეთდეს დამოუკიდებლად კალკულატორის გამოყენებით.

როგორ გამოვთვალოთ ბეტონის კუბი იატაკის ჩამოსასხმელად

როგორ გამოვთვალოთ ბეტონის მოცულობა იატაკისთვის

იატაკის ტვირთამწეობის გასაზრდელად და მისი სიბრტყის უზრუნველსაყოფად გამოიყენება ბეტონის ნაკაწრი. ბეტონის გამაგრების შემდეგ, ეს ზედაპირი ემსახურება იატაკის საფარის ან კერამიკული ფილების დაგებას. ბზარების თავიდან ასაცილებლად, წარმოქმნილი ბეტონის ნაკაწრის სისქე არის 5–10 სმ, რაც განპირობებულია იმით, რომ თხელი მასალა იბზარება ექსპლუატაციის დროს. მნიშვნელოვანია ბეტონის კუბის სწორად გამოთვლა ისე, რომ ჩამოყალიბებული ნაკაწრი იყოს ძლიერი და ჰქონდეს პროექტით განსაზღვრული სისქე.

ხსნარის V=Sxh ოდენობის განსაზღვრის ფორმულა ადვილად გასაშიფრია:

• V – დასასხმელი მასალის რაოდენობა;
• S - ბეტონის ნაგვის მთლიანი ფართობი;
• თ – ბეტონის ბაზის სისქე.

მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ გამოთვლები ოთახისთვის, რომლის ზომებია 6x8 მ და ბეტონის ბაზის სისქე 0.06 მ.:

1. განსაზღვრეთ იატაკის ზედაპირის ფართობი ოთახის სიგრძისა და სიგანის გამრავლებით - 6x8 = 48 მ 2.
2. გამოთვალეთ ჩამოსხმული ბეტონის მოცულობა ნაკაწრის შესაქმნელად, ფართობის ფენის სისქეზე გამრავლებით - 48x0.06 = 2.88 მ 3.

ზემოაღნიშნული ალგორითმით ხელმძღვანელობით, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად განსაზღვროთ ბეტონის შემადგენლობის რაოდენობა იატაკის ბეტონისთვის. სიტუაციები წარმოიქმნება, როდესაც უხეშ ზედაპირს აქვს დახრილობა. ამ შემთხვევაში, ჩამოყალიბებულ ნაკაწრს აქვს განსხვავებული სისქე ოთახის ფართობის მიხედვით. ამ სიტუაციაში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფენის საშუალო სისქე, რაც ამცირებს გამოთვლების სიზუსტეს.

დასკვნა - რატომ უნდა იცოდეთ როგორ გამოვთვალოთ ბეტონის კუბი

როდესაც ჩართული ხართ მშენებლობაში და გეგმავთ ბეტონის ნაღმტყორცნების დამზადებას საკუთარ თავს ან ყიდულობთ მას რკინაბეტონის პროდუქტების საწარმოებიდან საჭირო რაოდენობით, მნიშვნელოვანია იცოდეთ როგორ გამოვთვალოთ ბეტონის მოცულობა. ეს საშუალებას მოგცემთ იწინასწარმეტყველოთ მომავალი ხარჯების ოდენობა, დროულად შეიძინოთ სამშენებლო მასალები და დაასრულოთ სამუშაოები დაგეგმილის მიხედვით. თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამოთვლები ხელით კალკულატორის ან პროგრამული უზრუნველყოფის გამოყენებით. მთავარია გამოთვლების ტექნიკის დაუფლება და ბეტონის რაოდენობის დასადგენად სანდო მონაცემების გამოყენება.

მარტივი სხეულებისთვის მოცულობა არის დადებითი სიდიდე, რომლის რიცხვითი მნიშვნელობა აქვს შემდეგი თვისებები:

1. ტოლ სხეულებს აქვთ თანაბარი მოცულობა.

2. თუ სხეული იყოფა ნაწილებად, რომლებიც მარტივი სხეულებია, მაშინ ამ სხეულის მოცულობა უდრის მისი ნაწილების მოცულობების ჯამს.

3. კუბის მოცულობა, რომლის კიდე უდრის სიგრძის ერთ ერთეულს, უდრის ერთს.

თუ განმარტებაში მითითებულ კუბს აქვს 1 სმ კიდე, მაშინ მოცულობა იზომება კუბურ სანტიმეტრებში; თუ კუბის კიდე უდრის , მაშინ მოცულობა იზომება კუბურში

მეტრი; თუ კუბის კიდე არის 1 კმ, მაშინ მოცულობა იზომება კუბურ კილომეტრში და ა.შ.

ნახაზი 181 გვიჩვენებს მარტივ სხეულს - ოთხკუთხა პირამიდა SABCD. ამ პირამიდის მოცულობა, რომელიც ეფუძნება თვისებას 2, უდრის SABC და SADC პირამიდების მოცულობების ჯამს.

59. პარალელეპიპედის, პრიზმისა და პირამიდის მოცულობა.

მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა გამოიხატება ფორმულით

სადაც არის მართკუთხა პარალელეპიპედის კიდეები. ამ ფორმულის საფუძველზე შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმულა კუბის მოცულობისთვის. კუბის მოცულობა გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

სადაც a არის კუბის კიდე.

ზოგჯერ ამბობენ, რომ მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა უდრის მისი წრფივი ზომების ნამრავლს ან მისი ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს. ბოლო განცხადება მართალია ნებისმიერი პარალელეპიპედისთვის.

სურათი 182 გვიჩვენებს დახრილ პარალელეპიპედს. მისი მოცულობა უდრის , სადაც არის ფუძის ფართობი და არის დახრილი პარალელეპიპედის სიმაღლე.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყვანოთ ნებისმიერი პრიზმის (მათ შორის დახრილის) მოცულობის პოვნის წესი.

პრიზმის მოცულობა უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს;

სწორი პრიზმის შემთხვევაში (სურ. 183) მისი სიმაღლე ემთხვევა გვერდით კიდეს და სწორი პრიზმის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და გვერდითი კიდის ნამრავლს.

ნებისმიერი პირამიდის მოცულობა გამოიხატება ფორმულით

სადაც S არის ფუძის ფართობი, H არის პირამიდის სიმაღლე.

ნახაზი 184 გვიჩვენებს ჩვეულებრივი SABC ტეტრაედრონს a კიდით. მისი მოცულობა არის

მაგალითი. დახრილ პარალელეპიპედში ფუძე და გვერდითი სახე არის მართკუთხედები, რომელთა არეები შესაბამისად ტოლია და მათ სიბრტყეებს შორის კუთხე 80°-ია. პარალელეპიპედის ერთ-ერთ გვერდითი სახე აქვს ფართობი.იპოვეთ პარალელეპიპედის მოცულობა.

გამოსავალი. დაე, პარალელეპიპედის სახეები იყოს მართკუთხედები. მაშინ კიდე AD პერპენდიკულარულია სახის მიმართ.შეიძლება შესრულდეს შემდგომი გამოთვლები ამ სეგმენტების სიგრძის პოვნის გარეშე. ჩვენ გვაქვს ამ თანასწორობების ვამრავლით ვამრავლით, მივიღებთ

60. ცილინდრისა და კონუსის მოცულობა.

ნებისმიერი სხეულის მოცულობა განისაზღვრება შემდეგნაირად. მოცემულ სხეულს აქვს V მოცულობა, თუ მას შეიცავს მარტივი სხეულები და მასში შემავალი მარტივი სხეულები მოცულობებით, რომლებიც არ უნდა განსხვავდებოდეს V-სგან.

ამ განმარტების გამოყენებით ცილინდრისა და კონუსის მოცულობების პოვნაში შესაძლებელია თეორემების დამტკიცება.

ცილინდრის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს, ე.ი.

თუ ცილინდრის ფუძის რადიუსი არის R და სიმაღლე H, მაშინ მისი მოცულობის ფორმულა არის:

კონუსის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის მესამედს“, ე.ი.

თუ კონუსის ფუძის რადიუსი არის H, ხოლო სიმაღლე II, მაშინ მისი მოცულობა გამოიხატება ფორმულით

შეკვეცილი კონუსის მოცულობა შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით

სადაც ფუძეების რადიუსები, H - შეკვეცილი კონუსის სიმაღლე. ნახაზზე 185-ზე ნაჩვენები შეკვეცილი კონუსის მოცულობა ნაპოვნია ფორმულით

61. ბრუნვის სხეულების მოცულობების ზოგადი ფორმულა.

ბურთისა და მისი ნაწილების მოცულობა. ბრუნვის სხეულის მოცულობის ფორმულის გამოსათვლელად სივრცეში შეყვანილია დეკარტის კოორდინატები, ღერძად სხეულის ღერძი. სიბრტყე კვეთს სხეულის ზედაპირს წრფის გასწვრივ, რომლისთვისაც x ღერძი არის ღერძი. სიმეტრია. განტოლება იყოს წრფის ის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ (სურ. 186).

1. კუბის მოცულობის გაანგარიშება

ა- კუბის მხარე

კუბის მოცულობის ფორმულა, ( ვ ):

2. ფორმულით იპოვეთ მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა

ა, ბ, გ- პარალელეპიპედის გვერდები

ზოგჯერ პარალელეპიპედის გვერდს კიდეს უწოდებენ.

პარალელეპიპედის მოცულობის ფორმულა, ( ვ):

3. ბურთის, სფეროს მოცულობის გამოთვლის ფორმულა

რ — ბურთის რადიუსი

ფორმულის გამოყენებით, თუ რადიუსი მოცემულია, შეგიძლიათ იპოვოთ ბურთის მოცულობა, ( ვ):

4. როგორ გამოვთვალოთ ცილინდრის მოცულობა?

თ- ცილინდრის სიმაღლე

რ- ბაზის რადიუსი

ფორმულის გამოყენებით იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა, თუ ცნობილია მისი ფუძის რადიუსი და სიმაღლე, ( ვ):

5. როგორ ვიპოვოთ კონუსის მოცულობა?

R-ბაზის რადიუსი

H-კონუსის სიმაღლე

კონუსის მოცულობის ფორმულა თუ ცნობილია რადიუსი და სიმაღლე ( ვ):

7. შეკვეცილი კონუსის მოცულობის ფორმულა

r -ზედა ბაზის რადიუსი

R-ქვედა რადიუსი

სთ -კონუსის სიმაღლე

შეკვეცილი კონუსის მოცულობის ფორმულა, თუ ცნობილია - ქვედა ფუძის რადიუსი, ზედა ფუძის რადიუსი და კონუსის სიმაღლე ( ვ):

8. რეგულარული ტეტრაედრის მოცულობა

რეგულარული ტეტრაედონი არის პირამიდა, რომლის ყველა სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია.

ა- ტეტრაედრის კიდე

რეგულარული ტეტრაედონის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა ( ვ):

9. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობა

პირამიდას, რომელსაც აქვს კვადრატული ფუძე და ტოლი, ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდები, ეწოდება რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა.

ა- ბაზის მხარე

თ- პირამიდის სიმაღლე

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა, ( ვ):

10. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის მოცულობა

პირამიდას, რომლის ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი და რომლის გვერდები ტოლია, ტოლგვერდა სამკუთხედები ეწოდება რეგულარული სამკუთხა პირამიდას.

ა- ბაზის მხარე

თ- პირამიდის სიმაღლე

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის მოცულობის ფორმულა ფუძის სიმაღლისა და გვერდის გათვალისწინებით ( ვ):

11. იპოვეთ ჩვეულებრივი პირამიდის მოცულობა

პირამიდას, რომელსაც აქვს რეგულარული მრავალკუთხედი და მის ფუძეზე ტოლი სამკუთხედები, რეგულარული ეწოდება.

თ- პირამიდის სიმაღლე

ა- პირამიდის ფუძის მხარე

ნ- მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა ფუძეზე

ჩვეულებრივი პირამიდის მოცულობის ფორმულა, იცის სიმაღლე, ფუძის მხარე და ამ მხარეების რაოდენობა ( ვ):

გეომეტრიული სხეულების მოცულობის ყველა ფორმულა
გეომეტრია, ალგებრა, ფიზიკა

მოცულობის ფორმულები

გეომეტრიული ფიგურის მოცულობა- სხეულის ან ნივთიერების მიერ დაკავებული სივრცის რაოდენობრივი მახასიათებელი. უმარტივეს შემთხვევებში, მოცულობა იზომება ერთეული კუბების რაოდენობით, რომლებიც ჯდება სხეულში, ანუ კუბები, რომელთა კიდეები ტოლია ერთეული სიგრძის. სხეულის მოცულობა ან ჭურჭლის მოცულობა განისაზღვრება მისი ფორმისა და ხაზოვანი ზომებით.

კუბის მოცულობის ფორმულა

1) კუბის მოცულობა მისი კიდის კუბის ტოლია.

ვ- კუბის მოცულობა

ჰ- კუბის კიდის სიმაღლე

პირამიდის მოცულობის ფორმულა

1) პირამიდის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობის S (ABCD) და h (OS) სიმაღლის ნამრავლის მესამედს.

ვ- პირამიდის მოცულობა

ს- პირამიდის ფუძის ფართობი

თ- პირამიდის სიმაღლე

კონუსის მოცულობის ფორმულები

1) კონუსის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის პროდუქტის მესამედს.

2) კონუსის მოცულობა უდრის პი (3.1415) ნამრავლის მესამედს ფუძისა და სიმაღლის რადიუსის კვადრატით.

ვ- კონუსის მოცულობა

ს- კონუსის ფუძის ფართობი

თ- კონუსის სიმაღლე

π - პი ნომერი (3.1415)

რ- კონუსის რადიუსი

ცილინდრის მოცულობის ფორმულები

1) ცილინდრის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს.

2) ცილინდრის მოცულობა უდრის pi-ს ნამრავლს (3,1415) ფუძისა და სიმაღლის რადიუსის კვადრატზე.

ვ- ცილინდრის მოცულობა

ს- ცილინდრის ბაზის ფართობი

თ- ცილინდრის სიმაღლე

π - პი ნომერი (3.1415)

რ- ცილინდრის რადიუსი

ბურთის მოცულობის ფორმულა

1) ბურთის მოცულობა გამოითვლება ქვემოთ მოცემული ფორმულით.

ვ- ბურთის მოცულობა

π - პი ნომერი (3.1415)

რ- ბურთის რადიუსი

ტეტრაედონის მოცულობის ფორმულა

1) ტეტრაედრის მოცულობა ტოლია იმ წილადისა, რომლის მრიცხველში კვადრატული ფესვი ორი გამრავლებულია ტეტრაედრის კიდის სიგრძის კუბზე, ხოლო მნიშვნელში თორმეტზე.

მოცულობის ფორმულები
მოცულობის ფორმულები და ონლაინ პროგრამები მოცულობის გამოსათვლელად

მოცულობის ფორმულა.

მოცულობის ფორმულააუცილებელია გეომეტრიული ფიგურის პარამეტრებისა და მახასიათებლების გამოსათვლელად.

ფიგურის მოცულობაარის სხეულის ან ნივთიერების მიერ დაკავებული სივრცის რაოდენობრივი მახასიათებელი. უმარტივეს შემთხვევებში, მოცულობა იზომება ერთეული კუბების რაოდენობით, რომლებიც ჯდება სხეულში, ანუ კუბები, რომელთა კიდეები ტოლია ერთეული სიგრძის. სხეულის მოცულობა ან ჭურჭლის მოცულობა განისაზღვრება მისი ფორმისა და ხაზოვანი ზომებით.

პარალელეპიპედი.

მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა უდრის ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს.

ცილინდრი.

ცილინდრის მოცულობა უდრის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლს.

ცილინდრის მოცულობა უდრის პი (3,1415) ნამრავლს ფუძისა და სიმაღლის რადიუსის კვადრატზე.

პირამიდა.

პირამიდის მოცულობა უდრის S ფუძის ფართობის ნამრავლის მესამედს (ABCDE) და სიმაღლეს h (OS).

სწორი პირამიდა- ეს არის პირამიდა, რომლის ძირში დევს რეგულარული მრავალკუთხედი და სიმაღლე გადის ძირში ჩაწერილი წრის ცენტრში.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდაარის პირამიდა, რომლის ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი და მისი გვერდები ტოლი ტოლგვერდა სამკუთხედები.

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდაარის პირამიდა, რომლის ფუძე არის კვადრატი და მისი გვერდები ტოლი ტოლფერდა სამკუთხედები.

ტეტრაედონიარის პირამიდა, რომლის ყველა სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია.

დამსხვრეული პირამიდა.

დამსხვრეული პირამიდის მოცულობა უდრის h (OS) სიმაღლის ნამრავლის მესამედს ზედა ფუძის S 1 (abcde), ჩამოკვეთილი პირამიდის S 2 (ABCDE) ქვედა ფუძის ფართობების ჯამით და მათ შორის საშუალო პროპორციული.

კუბის მოცულობის გამოთვლა მარტივია - თქვენ უნდა გაამრავლოთ სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე. ვინაიდან კუბის სიგრძე უდრის სიგანეს და უდრის სიმაღლეს, კუბის მოცულობა უდრის s 3-ს.

კონუსიარის სხეული ევკლიდეს სივრცეში, რომელიც მიღებულია ერთი წერტილიდან (კონუსის წვეროდან) გამომავალი ყველა სხივის გაერთიანებით და ბრტყელ ზედაპირზე გადის.

ფრუსტუმიიმუშავებს, თუ კონუსში ძირის პარალელურად დახაზავთ მონაკვეთს.

V = 1/3 πსთ (R 2 + Rr + r 2)

სფეროს მოცულობა ერთნახევარჯერ ნაკლებია მის გარშემო შემოხაზული ცილინდრის მოცულობაზე.

პრიზმა.

პრიზმის მოცულობა ტოლია პრიზმის ფუძის ფართობისა და მისი სიმაღლის ნამრავლის.

ბურთის სექტორი.

სფერული სექტორის მოცულობა უდრის პირამიდის მოცულობას, რომლის ფუძეს აქვს იგივე ფართობი, როგორც სექტორის მიერ ამოჭრილი სფერული ზედაპირის ნაწილი, ხოლო სიმაღლე უდრის ბურთის რადიუსს.

ბურთის ფენა- ეს არის ბურთის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია ორ სეკანტურ პარალელურ სიბრტყეს შორის.

ბურთის სეგმენტი- ბურთის ამ ნაწილს, მისგან მოწყვეტილი რაღაც სიბრტყით, ეწოდება სფერული ან სფერული სეგმენტი

მოცულობის ფორმულა
კუბის, სფეროს, პირამიდის, პარალელოგრამის, ცილინდრის, ტეტრაედრის, კონუსის, პრიზმის და სხვა გეომეტრიული ფორმების მოცულობის ფორმულა.

სტერეომეტრიის კურსში, ერთ-ერთი მთავარი კითხვაა, როგორ გამოვთვალოთ კონკრეტული გეომეტრიული სხეულის მოცულობა. ეს ყველაფერი მარტივი პარალელეპიპედით იწყება და ბურთით მთავრდება.

ცხოვრებაშიც ხშირად გიწევთ მსგავსი პრობლემების წინაშე. მაგალითად, წყლის მოცულობის გამოთვლა, რომელიც ჯდება ვედროში ან კასრში.

თვისებები მოქმედებს თითოეული სხეულის მოცულობაზე

1. ეს მნიშვნელობა ყოველთვის დადებითი რიცხვია.
2. თუ სხეული შეიძლება დაიყოს ნაწილებად ისე, რომ არ იყოს კვეთა, მაშინ მთლიანი მოცულობა აღმოჩნდება ნაწილების მოცულობების ჯამის ტოლი.
3. თანაბარ სხეულებს აქვთ თანაბარი მოცულობა.
4. თუ პატარა სხეული მთლიანად შეიცავს უფრო დიდს, მაშინ პირველის მოცულობა მეორეზე ნაკლებია.

ზოგადი აღნიშვნები ყველა ორგანოსთვის

თითოეულ მათგანს აქვს კიდეები და ფუძეები და მათში ჩაშენებულია სიმაღლეები. ამიტომ, ასეთი ელემენტები მათთვის თანაბრად არის დანიშნული. ზუსტად ასე იწერება ფორმულებში. ჩვენ შემდგომში ვისწავლით თუ როგორ გამოვთვალოთ თითოეული სხეულის მოცულობა და გამოვიყენოთ ახალი უნარები პრაქტიკაში.

ზოგიერთ ფორმულას აქვს სხვა რაოდენობა. მათი აღნიშვნა განიხილება, როდესაც ასეთი საჭიროება გაჩნდება.

პრიზმა, პარალელეპიპედი (სწორი და დახრილი) და კუბი

ეს სხეულები გაერთიანებულია, რადგან ისინი ძალიან ჰგვანან და ფორმულები, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ მოცულობა, იდენტურია:

V = S * სთ.

მხოლოდ S იქნება განსხვავებული. პარალელეპიპედის შემთხვევაში ის გამოითვლება როგორც მართკუთხედის ან კვადრატისთვის. პრიზმაში ფუძე შეიძლება იყოს სამკუთხედი, პარალელოგრამი, თვითნებური ოთხკუთხედი ან სხვა მრავალკუთხედი.

კუბისთვის, ფორმულა მნიშვნელოვნად გამარტივებულია, რადგან მისი ყველა ზომა თანაბარია:

V = a 3.

პირამიდა, ტეტრაედონი, დამსხვრეული პირამიდა

ამ ორგანოებიდან პირველისთვის არსებობს მოცულობის გამოსათვლელი ფორმულა:

V = 1/3 * S * n.

ტეტრაედონი არის სამკუთხა პირამიდის განსაკუთრებული შემთხვევა. მასში ყველა კიდე თანაბარია. ამრიგად, კვლავ ვიღებთ გამარტივებულ ფორმულას:

V = (a 3 * √2) / 12, ან V = 1/3 სთ

პირამიდა იჭრება, როდესაც მისი ზედა ნაწილი იჭრება. მაშასადამე, მისი მოცულობა უდრის განსხვავებას ორ პირამიდას შორის: ერთი, რომელიც ხელუხლებელი იქნებოდა და ამოღებული ზედა. თუ შესაძლებელია ასეთი პირამიდის ორივე ფუძის გარკვევა (S 1 - უფრო დიდი და S 2 - უფრო პატარა), მაშინ მოსახერხებელია გამოიყენოთ ეს ფორმულა მოცულობის გამოსათვლელად:

ცილინდრი, კონუსი და დამსხვრეული კონუსი

V =π * r 2 * სთ.

კონუსთან დაკავშირებით სიტუაცია გარკვეულწილად უფრო რთულია. ამისათვის არსებობს ფორმულა:

V = 1/3 π * r 2 * სთ.ის ძალიან ჰგავს ცილინდრისთვის მითითებულს, მხოლოდ მნიშვნელობა მცირდება სამჯერ.

ისევე, როგორც დამსხვრეული პირამიდის შემთხვევაში, სიტუაცია არ არის ადვილი კონუსის შემთხვევაში, რომელსაც ორი საფუძველი აქვს. შეკვეცილი კონუსის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა ასე გამოიყურება:

V = 1/3 π * სთ * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2).აქ r 1 არის ქვედა ფუძის რადიუსი, r 2 არის ზედა (უფრო მცირე) რადიუსი.

ბურთი, ბურთის სეგმენტები და სექტორი

ეს არის ყველაზე რთული დასამახსოვრებელი ფორმულები. ბურთის მოცულობისთვის ასე გამოიყურება:

V = 4/3 π *r 3 .

პრობლემებში ხშირად ჩნდება კითხვა იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ სფერული სეგმენტის მოცულობა - სფეროს ნაწილი, რომელიც, როგორც იყო, დიამეტრის პარალელურად არის მოჭრილი. ამ შემთხვევაში, შემდეგი ფორმულა მოვა სამაშველოში:

V = π h 2 * (r - h/3).მასში სეგმენტის სიმაღლე აღებულია როგორც h, ანუ ის ნაწილი, რომელიც გადის ბურთის რადიუსზე.

სექტორი იყოფა ორ ნაწილად: კონუსი და სფერული სეგმენტი. აქედან გამომდინარე, მისი მოცულობა განისაზღვრება, როგორც ამ ორგანოების ჯამი. გარდაქმნების შემდეგ ფორმულა ასე გამოიყურება:

V = 2/3 πr 2 * სთ.აქ h ასევე არის სეგმენტის სიმაღლე.

პრობლემების ნიმუში

ცილინდრის, სფეროს და კონუსის მოცულობების შესახებ

მდგომარეობა:ცილინდრის დიამეტრი (1 სხეული) უდრის მის სიმაღლეს, ბურთის დიამეტრს (მე-2 სხეული) და კონუსის სიმაღლეს (მე-3 სხეული), შეამოწმეთ მოცულობების პროპორციულობა V 1: V 2: V 3 = 3:2:1

გამოსავალი.ჯერ უნდა ჩამოწეროთ სამი ფორმულა ტომებისთვის. შემდეგ ჩათვალეთ, რომ რადიუსი არის დიამეტრის ნახევარი. ანუ სიმაღლე იქნება ორი რადიუსის ტოლი: h = 2r. მარტივი ჩანაცვლებით, აღმოჩნდება, რომ მოცულობის ფორმულები ასე გამოიყურება:

V 1 = 2 π r 3, V 3 = 2/3 π r 3. ბურთის მოცულობის ფორმულა არ იცვლება, რადგან მასში სიმაღლე არ ჩანს.

ახლა რჩება მოცულობის კოეფიციენტების ჩაწერა და შემცირება 2π და r 3. გამოდის, რომ V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. ეს რიცხვები მარტივად შეიძლება დაიწეროს 3:2:1.

ბურთის მოცულობის შესახებ

მდგომარეობა:არის ორი საზამთრო 15 და 20 სმ რადიუსით, რომელი უფრო მომგებიანია მათი ჭამა: პირველი ოთხი კაცით თუ მეორე რვა?

გამოსავალი.ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, თქვენ უნდა იპოვოთ ნაწილების მოცულობების თანაფარდობა, რომლებიც გამოვა თითოეული საზამთროდან. იმის გათვალისწინებით, რომ ისინი სფეროებია, ჩვენ უნდა ჩამოვწეროთ ტომების ორი ფორმულა. მაშინ გაითვალისწინეთ, რომ პირველიდან ყველა მიიღებს მხოლოდ მეოთხე ნაწილს, ხოლო მეორედან - მერვეს.

რჩება ნაწილების მოცულობის თანაფარდობის ჩაწერა. ეს ასე გამოიყურება:

(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). ტრანსფორმაციის შემდეგ რჩება მხოლოდ წილადი: (2 r 1 3) / r 2 3. მნიშვნელობების ჩანაცვლებისა და გაანგარიშების შემდეგ მიიღება ფრაქცია 6750/8000. მისგან ირკვევა, რომ ნაწილი პირველი საზამთროდან ნაკლები იქნება, ვიდრე მეორე.

უპასუხე.უფრო მომგებიანია საზამთროს მერვედ ჭამა 20 სმ რადიუსით.

პირამიდისა და კუბის მოცულობების შესახებ

მდგომარეობა:არის თიხის პირამიდა მართკუთხა ფუძით 8X9 სმ და სიმაღლით 9 სმ, იგივე თიხის ნაჭრისგან კუბი გაკეთდა, როგორია მისი კიდე?

გამოსავალი.თუ მართკუთხედის გვერდებს ვნიშნავთ b და c ასოებით, მაშინ პირამიდის ფუძის ფართობი გამოითვლება მათ ნამრავლად. მაშინ მისი მოცულობის ფორმულა არის:

კუბის მოცულობის ფორმულა დაწერილია ზემოთ მოცემულ სტატიაში. ეს ორი მნიშვნელობა ტოლია: V 1 = V 2 . რჩება მხოლოდ ფორმულების მარჯვენა მხარეების გათანაბრება და საჭირო გამოთვლების გაკეთება. გამოდის, რომ კუბის კიდე 6 სმ-ის ტოლი იქნება.

პარალელეპიპედის მოცულობის შესახებ

მდგომარეობა:თქვენ უნდა გააკეთოთ ყუთი 0,96 მ 3 ტევადობით, მისი სიგანე და სიგრძე ცნობილია - 1,2 და 0,8 მეტრი, როგორი უნდა იყოს მისი სიმაღლე?

გამოსავალი.ვინაიდან პარალელეპიპედის ფუძე არის მართკუთხედი, მისი ფართობი განისაზღვრება, როგორც სიგრძის (a) და სიგანის (b) ნამრავლი. ამრიგად, მოცულობის ფორმულა ასე გამოიყურება:

მისგან ადვილია სიმაღლის დადგენა მოცულობის ფართობზე გაყოფით. გამოდის, რომ სიმაღლე უნდა იყოს 1 მ.

უპასუხე.ყუთის სიმაღლე ერთი მეტრია.

როგორ გამოვთვალოთ სხვადასხვა გეომეტრიული სხეულების მოცულობა?
სტერეომეტრიის კურსში, ერთ-ერთი მთავარი ამოცანაა, როგორ გამოვთვალოთ კონკრეტული გეომეტრიული სხეულის მოცულობა. ეს ყველაფერი მარტივი პარალელეპიპედით იწყება და ბურთით მთავრდება.

ინსტრუქციები

თუ მოსწავლე ცდილობს გამოთვალოს მართკუთხედის მოცულობა, მაშინ განმარტეთ: საუბარია კონკრეტულ ფიგურაზე - ან მის მოცულობით ანალოგზე, მართკუთხაზე. შეიტყვეთ ასევე: ზუსტად რა უნდა მოიძებნოს პრობლემის პირობების მიხედვით - მოცულობა თუ სიგრძე. გარდა ამისა, გაარკვიეთ: ფიგურის რა ნაწილი იგულისხმება - მთელი ფიგურა, სახე, კიდე, წვერო, გვერდი თუ.

მართკუთხა მოცულობის გამოსათვლელად, გაამრავლეთ მისი სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე (). ანუ გამოიყენეთ ფორმულა:

სადაც: a, b და c არის პარალელეპიპედის სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე (შესაბამისად), ხოლო V არის მისი მოცულობა.

ჯერ შეამცირეთ ყველა მხარის სიგრძე ერთი საზომი ერთეულით, შემდეგ პარალელეპიპედის მოცულობა მიიღება შესაბამის "კუბურ" ერთეულებში.

რა იქნება წყლის ავზის მოცულობა, რომელსაც აქვს ზომები:
სიგრძე – 2 მეტრი;
სიგანე – 1 მეტრი 50 სანტიმეტრი;
სიმაღლე - 200 სანტიმეტრი.

1. გვერდების სიგრძეებს ვამცირებთ მეტრამდე: 2; 1.5; 2.
2. გაამრავლეთ მიღებული რიცხვები: 2 * 1.5 * 2 = 6 (კუბური).

თუ პრობლემა ეხება მართკუთხედს, მაშინ ალბათ უნდა გამოთვალოთ მისი ფართობი. ამისათვის უბრალოდ გაამრავლეთ მართკუთხედის სიგრძე მის სიგანეზე. ანუ გამოიყენეთ ფორმულა:

სად:
a და b არის მართკუთხედის გვერდების სიგრძე,
S არის მართკუთხედის ფართობი.

გამოიყენეთ იგივე ფორმულა, თუ პრობლემა არის მართკუთხა პარალელეპიპედის სახე - განმარტების მიხედვით, მას ასევე აქვს მართკუთხედის ფორმა.

კუბის მოცულობა არის 27 მ³. რა არის კუბის პირის მიერ წარმოქმნილი ოთხკუთხედის ფართობი?

დახრილი პარალელეპიპედი არის პარალელეპიპედი, რომლის გვერდითი მხარეები არ არის პერპენდიკულარული ფუძეების მიმართ. ამ შემთხვევაში, მოცულობა უდრის ფუძის ფართობის და სიმაღლის ნამრავლს - V=Sh. დახრილი სიმაღლე პარალელეპიპედი- პერპენდიკულარული სეგმენტი, რომელიც ეშვება ნებისმიერი ზედა წვეროდან სახის ფუძის შესაბამის მხარეს (ანუ ნებისმიერი გვერდითი სახის სიმაღლეზე).

კუბი არის სწორი პარალელეპიპედი, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია და ექვსივე სახე არის. მოცულობა უდრის ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს - V=შ. ფუძე არის კვადრატი, ფუძის ფართობი უდრის მისი ორი მხარის ნამრავლს, ანუ გვერდის ზომა არის . კუბის სიმაღლე იგივე მნიშვნელობაა, ამიტომ ამ შემთხვევაში მოცულობა იქნება მესამემდე აწეული კუბის კიდის მნიშვნელობა - V=a³.

შენიშვნა

პარალელეპიპედის ფუძეები ყოველთვის ერთმანეთის პარალელურია, ეს გამომდინარეობს პრიზმის განმარტებიდან.

სასარგებლო რჩევა

პარალელეპიპედის ზომები არის მისი კიდეების სიგრძე.

მოცულობა ყოველთვის უდრის ფუძის ფართობისა და პარალელეპიპედის სიმაღლის ნამრავლს.

დახრილი პარალელეპიპედის მოცულობა შეიძლება გამოითვალოს გვერდითი კიდის ზომისა და მასზე პერპენდიკულარული მონაკვეთის ფართობის ნამრავლით.

ნებისმიერი სხეულის მოცულობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ხაზოვანი ზომები. ეს ეხება ისეთ ფიგურებს, როგორიცაა პრიზმა, პირამიდა, სფერო, ცილინდრი და კონუსი. თითოეულ ამ ფიგურას აქვს მოცულობის საკუთარი განმარტება.

დაგჭირდებათ

• - მმართველი;
• - მოცულობითი ფიგურების თვისებების ცოდნა;
• - ფორმულები მრავალკუთხედის ფართობისთვის.

ინსტრუქციები

მაგალითად, იმისთვის, რომ იპოვოთ მოცულობა, რომლის ფუძეა მართკუთხა სამკუთხედი 4 და 3 სმ ფეხებით და 7 სმ სიმაღლით, გააკეთეთ შემდეგი გამოთვლები:
გამოთვალეთ მართკუთხა ფართობი, რომელიც არის პრიზმის საფუძველი. ამისთვის გაამრავლეთ ფეხების სიგრძე და შედეგი გაყავით 2-ზე. Sbasn=3∙4/2=6 სმ²;
გავამრავლოთ ფუძის ფართობი სიმაღლეზე, ეს იქნება პრიზმის მოცულობა V=6∙7=42 სმ³.

პირამიდის მოცულობის გამოსათვლელად იპოვეთ მისი ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლი და გაამრავლეთ შედეგი 1/3 V=1/3∙Sobas∙H-ზე. პირამიდის სიმაღლე არის სეგმენტი, რომელიც დაშვებულია მისი ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე. ყველაზე გავრცელებულია ეგრეთ წოდებული რეგულარული პირამიდები, ზედა არის დაპროექტებული ბაზის ცენტრში, რომელიც არის რეგულარული.

მაგალითად, იმისათვის, რომ იპოვოთ პირამიდის მოცულობა, რომელიც დაფუძნებულია ჩვეულებრივ ექვსკუთხედზე, რომლის გვერდია 2 სმ და სიმაღლე 5 სმ, გააკეთეთ შემდეგი:
ფორმულის გამოყენებით S=(n/4) a² ctg(180º/n), სადაც n არის რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდები და არის ერთ-ერთი გვერდის სიგრძე, იპოვეთ ფუძის ფართობი. S=(6/4) 2² ctg (180º/6)≈10.4 სმ²;
გამოთვალეთ პირამიდის მოცულობა ფორმულით V=1/3∙Sbas∙H=1/3∙10.4∙5≈17.33 სმ³.

იპოვეთ მოცულობა ისევე, როგორც პრიზმა, ერთ-ერთი ფუძის ფართობის და მისი სიმაღლის ნამრავლის მეშვეობით V=Sbas∙H. გამოთვლების გაკეთებისას გაითვალისწინეთ, რომ ცილინდრის საფუძველი არის წრე, რომლის ფართობია Sbasn=2∙π∙R², სადაც π≈3.14 და R არის წრის რადიუსი, რომელიც არის ფუძე. ცილინდრის.

პირამიდის ანალოგიით იპოვეთ კონუსის მოცულობა V=1/3∙Sbas∙H ფორმულით. კონუსის საფუძველი არის წრე, რომლის ფართობიც ცილინდრისთვის აღწერილია.

ვიდეო თემაზე

ბურთი არის გეომეტრიულად რეგულარული ფორმის უმარტივესი სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომლის საზღვრებში არსებული სივრცის ყველა წერტილი ამოღებულია მისი ცენტრიდან რადიუსს არ აღემატება. ცენტრიდან მაქსიმალურად დაშორებული წერტილების სიმრავლით წარმოქმნილ ზედაპირს სფერო ეწოდება. სფეროს შიგნით არსებული სივრცის რაოდენობრივად გასაზომად გამოიყენება პარამეტრი, რომელსაც ბურთის მოცულობა ეწოდება.

ინსტრუქციები

თუ გსურთ გაზომოთ ბურთის მოცულობა არა თეორიულად, არამედ მხოლოდ იმპროვიზირებული საშუალებებით, მაშინ ეს შეიძლება გაკეთდეს, მაგალითად, მის მიერ გადაადგილებული წყლის მოცულობის განსაზღვრით. ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც შესაძლებელია ბურთის მოთავსება მის შესაბამის ნებისმიერ ჭურჭელში - ჭიქა, ჭიქა, ქილა, ვედრო, კასრი, აუზი და ა.შ. ამ შემთხვევაში, ბურთის დადებამდე მონიშნეთ წყლის დონე, გაიმეორეთ ეს მას შემდეგ რაც მთლიანად ჩაეფლო და შემდეგ იპოვნეთ განსხვავება ნიშნებს შორის. როგორც წესი, ქარხანაში წარმოებულ საზომ კონტეინერს აქვს განყოფილებები, რომლებიც აჩვენებენ მოცულობას ლიტრებში და მისგან წარმოებულ ერთეულებში - და ა.შ. თუ მიღებული მნიშვნელობა საჭიროა მოცულობის ერთეულებში, რომლებიც მისი მრავლობითია, მაშინ გააგრძელეთ ის ფაქტი, რომ ერთი ლიტრი შეესაბამება ერთ კუბურ დეციმეტრს ან კუბური მეტრის მეათასედს.

თუ იცით მასალა, საიდანაც ბურთი მზადდება და ამ მასალის სიმკვრივე შეგიძლიათ ნახოთ, მაგალითად, საცნობარო წიგნიდან, მაშინ მოცულობა შეიძლება განისაზღვროს ამ ობიექტის აწონით. უბრალოდ გაყავით აწონვის შედეგი საცნობარო წარმოების სიმკვრივეზე: V=m/p.

თუ ბურთის რადიუსი ცნობილია ამოცანის პირობებიდან ან მისი გაზომვა შესაძლებელია, მაშინ შესაბამისი მათემატიკური ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მოცულობის გამოსათვლელად. გავამრავლოთ ოთხმაგი რიცხვი Pi რადიუსის მესამე ხარისხზე და მიღებული შედეგი გავყოთ სამზე: V=4*π*r³/3. მაგალითად, 40 სმ რადიუსით, ბურთის მოცულობა იქნება 4 * 3.14 * 40³/3 = 267946.67 სმ³ ≈ 0.268 მ³.

დიამეტრის გაზომვა ხშირად უფრო ადვილია, ვიდრე რადიუსი. ამ შემთხვევაში, არ არის საჭირო მისი გაყოფა შუაზე, რათა გამოიყენოთ წინა საფეხურის ფორმულა - თავად ფორმულა უკეთესია. გარდაქმნილი ფორმულის შესაბამისად გავამრავლოთ Pi რიცხვი დიამეტრზე მესამე ხარისხზე და შედეგი გავყოთ ექვსზე: V=π*d³/6. მაგალითად, 50 სმ-ს უნდა ჰქონდეს მოცულობა 3,14 * 50³/6 = 65416,67 სმ³ ≈ 0,654 მ³.

გარკვეული გარემოებების გამო, შეიძლება საჭირო გახდეს მართკუთხა ფურცლის დამზადება კვადრატიმაგალითად, მრავალი ქაღალდის ხელნაკეთობის დამზადების დროს ორიგამის ტექნიკის გამოყენებით. მაგრამ თქვენ ყოველთვის არ გაქვთ ხელთ ფანქარი და სახაზავი. თუმცა, არსებობს გზები, რომლითაც შეგიძლიათ მიიღოთ კვადრატიჭკუის გარდა არაფერი აქვს.

დაგჭირდებათ

• - მართკუთხედი;
• - მმართველი;
• - ფანქარი;
• - მაკრატელი.

ინსტრუქციები

მართკუთხედი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელშიც ოთხივე კუთხე სწორია და წყვილი გვერდი ერთმანეთის პარალელურია. მოპირდაპირე მხარეები მართკუთხედისიგრძეში ერთმანეთს შორის, ხოლო წყვილებს შორის - განსხვავებული. კვადრატი წინა ფიგურისგან განსხვავდება მხოლოდ იმით, რომ ოთხივე მხარე ერთნაირია.

Იმისათვის, რომ კვადრატისაწყისი მართკუთხედი, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფანქარი. მაგალითად, მხარეები მართკუთხედიუდრის 30 სმ (სიგრძე) და 20 სმ (სიგანე). მერე კვადრატიექნება გვერდები უფრო მცირე მნიშვნელობით, ანუ 20 სმ. გაზომეთ ზევით გრძელ მხარეს მართკუთხედი 20 სმ.შეასრულეთ იგივე მოქმედება, მაგრამ მხოლოდ ქვედა მხრიდან. შეაერთეთ მიღებული წერტილები მმართველის გამოყენებით. საჭიროების შემთხვევაში, შეწყვიტე ჭარბი, რის შედეგადაც კვადრატიგვერდებით 20 სმ.

Კეთება კვადრატისაწყისი მართკუთხედიშესაძლებელია მაშინაც კი, თუ არ არის სახატავი აქსესუარები. მოათავსეთ იგი თქვენს წინ და მოხარეთ მისი ერთ-ერთი მარჯვენა კუთხე (ის შეიძლება იყოს ნებისმიერი კუთხე) მკაცრად შუაზე. თუ მიღებულ ფიგურას გრძელ მხარეს მოათავსებთ, მაშინ იქნება მართკუთხა ტრაპეცია, რომელიც ვიზუალურად შედგება სამკუთხედისა და სხვაგან. მართკუთხედი. მიღებული მართკუთხედი გადაკეცეთ სამკუთხედად (დაკეცილის გამო ორმაგი იქნება), თითებით გაასწორეთ და ამოაჭერით ან ფრთხილად ამოიღეთ. გაშალეთ ქაღალდი, რომელიც წარმოადგენს კვადრატი. მცირე ნარჩენებიდან მართკუთხედიშეგიძლიათ ისევ მიიღოთ კვადრატი, მხოლოდ მცირე ზომის. დასაშვებია იგივე მეთოდების გამოყენება.

მართკუთხედი შეიძლება ოდნავ განსხვავებული იყოს

ზოგადი მიმოხილვა. სტერეომეტრიის ფორმულები!

გამარჯობა, ძვირფასო მეგობრებო! ამ სტატიაში მე გადავწყვიტე ზოგადი მიმოხილვა გამეკეთებინა სტერეომეტრიის პრობლემებზე, რომლებიც იქნება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა მათემატიკაშიე) უნდა ითქვას, რომ ამ ჯგუფის ამოცანები საკმაოდ მრავალფეროვანია, მაგრამ არა რთული. ეს არის გეომეტრიული სიდიდეების პოვნის პრობლემები: სიგრძე, კუთხე, ფართობი, მოცულობა.

განიხილება: კუბი, კუბოიდი, პრიზმა, პირამიდა, რთული პოლიედონი, ცილინდრი, კონუსი, ბურთი. სამწუხარო ფაქტია, რომ ზოგიერთ კურსდამთავრებულს თავად გამოცდაზეც კი არ უდგება ასეთი პრობლემები, თუმცა 50%-ზე მეტი წყდება უბრალოდ, თითქმის ზეპირად.

დანარჩენი მოითხოვს მცირე ძალისხმევას, ცოდნას და სპეციალურ ტექნიკას. მომავალ სტატიებში განვიხილავთ ამ ამოცანებს, არ გამოტოვოთ, გამოიწერეთ ბლოგის განახლებები.

გადაჭრისთვის საჭიროა იცოდეთ ზედაპირის ფართობისა და მოცულობის ფორმულებიპარალელეპიპედი, პირამიდა, პრიზმა, ცილინდრი, კონუსი და სფერო. არ არსებობს რთული პრობლემები, ისინი ყველა მოგვარებულია 2-3 ნაბიჯში, მნიშვნელოვანია „დანახვა“ რა ფორმულის გამოყენებაა საჭირო.

ყველა საჭირო ფორმულა წარმოდგენილია ქვემოთ:

ბურთი ან სფერო. სფერული ან სფერული ზედაპირი (ზოგჯერ უბრალოდ სფერო) არის წერტილების გეომეტრიული ადგილი სივრცეში, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული ერთი წერტილიდან - ბურთის ცენტრიდან.

ბურთის მოცულობაუდრის პირამიდის მოცულობას, რომლის ფუძეს აქვს იგივე ფართობი, როგორც ბურთის ზედაპირი, ხოლო სიმაღლე არის ბურთის რადიუსი.

სფეროს მოცულობა ერთნახევარჯერ ნაკლებია მის გარშემო შემოხაზული ცილინდრის მოცულობაზე.

წრიული კონუსის მიღება შესაძლებელია მისი ერთ-ერთი ფეხის გარშემო მართკუთხა სამკუთხედის მობრუნებით, რის გამოც წრიულ კონუსს რევოლუციის კონუსსაც უწოდებენ. აგრეთვე იხილეთ წრიული კონუსის ზედაპირის ფართობი

მრგვალი კონუსის მოცულობაუდრის S ფუძის ფართობის ნამრავლის მესამედს და H სიმაღლეს:

(H არის კუბის კიდის სიმაღლე)

პარალელეპიპედი არის პრიზმა, რომლის ფუძე არის პარალელოგრამი. პარალელეპიპედს აქვს ექვსი სახე და ყველა მათგანი პარალელოგრამია. პარალელეპიპედს, რომლის ოთხი გვერდითი მხარე მართკუთხედია, სწორი პარალელეპიპედი ეწოდება. მართკუთხა პარალელეპიპედს, რომლის ექვსი სახე ყველა მართკუთხედია, მართკუთხა ეწოდება.

მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობაფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის ტოლია:

(S არის პირამიდის ფუძის ფართობი, h არის პირამიდის სიმაღლე)

პირამიდა არის პოლიედონი, რომელსაც აქვს ერთი სახე - პირამიდის ფუძე - თვითნებური მრავალკუთხედი, ხოლო დანარჩენს - გვერდითი სახეები - სამკუთხედები საერთო წვერით, რომელსაც პირამიდის მწვერვალი ეწოდება.

პირამიდის ფუძის პარალელური მონაკვეთი პირამიდას ორ ნაწილად ყოფს. პირამიდის ნაწილი მის ფუძესა და ამ მონაკვეთს შორის არის ჩამოჭრილი პირამიდა.

შეკვეცილი პირამიდის მოცულობასიმაღლის ნამრავლის მესამედის ტოლია h(OS)ზედა ფუძის ფართობების ჯამით S1 (abcde), დამსხვრეული პირამიდის ქვედა ფუძე S2 (ABCDE)და მათ შორის საშუალო პროპორციულობა.

1.

ვ=

n - რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა - რეგულარული პირამიდის ფუძე
a - რეგულარული მრავალკუთხედის მხარე - რეგულარული პირამიდის ფუძე
h - რეგულარული პირამიდის სიმაღლე

რეგულარული სამკუთხა პირამიდა არის პოლიედონი, რომელსაც აქვს ერთი სახე - პირამიდის ფუძე - რეგულარული სამკუთხედი, ხოლო დანარჩენი - გვერდითი სახეები - ტოლი სამკუთხედები საერთო წვერით. სიმაღლე ზემოდან ეშვება ფუძის ცენტრში.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის მოცულობაუდრის რეგულარული სამკუთხედის ფართობის ნამრავლის მესამედს, რომელიც არის საფუძველი S (ABC)სიმაღლემდე h(OS)

a - რეგულარული სამკუთხედის მხარე - რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ფუძე
h - რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმაღლე

ტეტრაედრის მოცულობის ფორმულის წარმოშობა

ტეტრაედრის მოცულობა გამოითვლება პირამიდის მოცულობის კლასიკური ფორმულით. აუცილებელია ტეტრაედრის სიმაღლისა და რეგულარული (ტოლგვერდა) სამკუთხედის ფართობის ჩანაცვლება.

ტეტრაედრის მოცულობა- ტოლია იმ წილადისა, რომლის მრიცხველში ორი ფესვის კვადრატული ფესვი არის თორმეტი, გამრავლებული ტეტრაედონის კიდის სიგრძის კუბზე.

(h არის რომბის მხარის სიგრძე)

გარშემოწერილობა გვარის დაახლოებით სამი მთელი და წრის დიამეტრის სიგრძის ერთი მეშვიდე. წრის წრეწირის ზუსტი თანაფარდობა მის დიამეტრთან მითითებულია ბერძნული ასოებით π

შედეგად, წრის ან წრეწირის პერიმეტრი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

π r n

(r არის რკალის რადიუსი, n არის რკალის ცენტრალური კუთხე გრადუსებში.)