ფიბონაჩის მიმდევრობა და ოქროს თანაფარდობის პრინციპები. ფიბონაჩის სერია

თუმცა, ეს არ არის ყველაფერი, რისი გაკეთებაც შესაძლებელია ოქროს თანაფარდობით. თუ ერთს გავყოფთ 0,618-ზე, მივიღებთ 1,618-ს, თუ კვადრატში მივიღებთ 2,618-ს, თუ კუბიკებს მივიღებთ 4,236-ს. ეს არის ფიბონაჩის გაფართოების კოეფიციენტები. ერთადერთი გამოტოვებული რიცხვი აქ არის 3236, რომელიც შემოგვთავაზა ჯონ მერფიმ.

რას ფიქრობენ ექსპერტები თანმიმდევრულობაზე?

ზოგიერთმა შეიძლება თქვას, რომ ეს რიცხვები უკვე ნაცნობია, რადგან ისინი გამოიყენება ტექნიკური ანალიზის პროგრამებში შესწორებებისა და გაფართოებების სიდიდის დასადგენად. გარდა ამისა, იგივე სერიები მნიშვნელოვან როლს თამაშობს ელიოტის ტალღის თეორიაში. ისინი მისი რიცხვითი საფუძველია.

ჩვენი ექსპერტი ნიკოლაი არის დადასტურებული პორტფელის მენეჯერი Vostok საინვესტიციო კომპანიაში.

• — ნიკოლაი, როგორ ფიქრობთ, შემთხვევითია თუ არა ფიბონაჩის რიცხვების და მისი წარმოებულების გამოჩენა სხვადასხვა ინსტრუმენტის სქემებზე? და შესაძლებელია თუ არა იმის თქმა: „ფიბონაჩის სერიის პრაქტიკული გამოყენება“ ხდება?
• — მისტიკისადმი ცუდი დამოკიდებულება მაქვს. და კიდევ უფრო მეტი საფონდო ბირჟის სქემებზე. ყველაფერს თავისი მიზეზი აქვს. წიგნში "ფიბონაჩის დონეები" მან ლამაზად აღწერა, თუ სად ჩანს ოქროს თანაფარდობა, რომ მას არ გაუკვირდა, რომ იგი გამოჩნდა საფონდო ბირჟის ციტირების გრაფიკებზე. მაგრამ ამაოდ! მის მიერ მოყვანილ ბევრ მაგალითში რიცხვი Pi ხშირად ჩნდება. მაგრამ რატომღაც ის არ შედის ფასების კოეფიციენტებში.
• — მაშ, თქვენ არ გჯერათ ელიოტის ტალღის პრინციპის ეფექტურობის?
• - არა, ეს არ არის მთავარი. ტალღის პრინციპი ერთია. რიცხვითი თანაფარდობა განსხვავებულია. და ფასების სქემებზე მათი გამოჩენის მიზეზები მესამეა
• — თქვენი აზრით, რა არის საფონდო სქემებზე ოქროს კოეფიციენტის გამოჩენის მიზეზები?
• — ამ კითხვაზე სწორმა პასუხმა შეიძლება მოგანიჭოთ ნობელის პრემია ეკონომიკაში. ამ დროისთვის შეგვიძლია გამოვიცნოთ ნამდვილი მიზეზები. ისინი აშკარად არ არიან ჰარმონიაში ბუნებასთან. გაცვლითი ფასების მრავალი მოდელი არსებობს. ისინი არ ხსნიან დანიშნულ ფენომენს. მაგრამ ფენომენის ბუნების გაუგებრობამ არ უნდა უარყოს ფენომენი, როგორც ასეთი.
• — და ეს კანონი თუ ოდესმე გაიხსნება, შეძლებს თუ არა გაცვლის პროცესის დანგრევას?
• — როგორც იგივე ტალღის თეორია აჩვენებს, აქციების ფასების ცვლილების კანონი წმინდა ფსიქოლოგიაა. მეჩვენება, რომ ამ კანონის ცოდნა ვერაფერს შეცვლის და ვერ დაანგრევს ბირჟას.

მასალა მოწოდებულია ვებმასტერ Maxim-ის ბლოგის მიერ.

მათემატიკის ფუნდამენტური პრინციპების დამთხვევა მრავალფეროვან თეორიებში წარმოუდგენელია. შესაძლოა ეს ფანტასტიკაა ან მორგებულია საბოლოო შედეგისთვის. Მოიცადე და ნახავ. ბევრი რამ, რაც ადრე უჩვეულოდ ითვლებოდა ან შეუძლებელი იყო: მაგალითად, კოსმოსის კვლევა ჩვეულებრივი გახდა და არავის აკვირვებს. ასევე, ტალღის თეორია, რომელიც შესაძლოა გაუგებარი იყოს, დროთა განმავლობაში უფრო ხელმისაწვდომი და გასაგები გახდება. ის, რაც ადრე არასაჭირო იყო, გამოცდილი ანალიტიკოსის ხელში გახდება მომავალი ქცევის პროგნოზირების მძლავრი ინსტრუმენტი.

ფიბონაჩის რიცხვები ბუნებაში.

შეხედე

ახლა მოდით ვისაუბროთ იმაზე, თუ როგორ შეგიძლიათ უარყოთ ის ფაქტი, რომ ფიბონაჩის ციფრული სერია ჩართულია ბუნებაში არსებულ ნებისმიერ შაბლონში.

ავიღოთ ნებისმიერი სხვა ორი რიცხვი და ავაშენოთ მიმდევრობა იგივე ლოგიკით, როგორც ფიბონაჩის რიცხვები. ანუ მიმდევრობის შემდეგი წევრი უდრის წინა ორის ჯამს. მაგალითად, ავიღოთ ორი რიცხვი: 6 და 51. ახლა ავაშენებთ მიმდევრობას, რომელსაც დავასრულებთ ორი რიცხვით 1860 და 3009. გაითვალისწინეთ, რომ ამ რიცხვების გაყოფისას მივიღებთ ოქროს თანაფარდობასთან მიახლოებულ რიცხვს.

ამავდროულად, რიცხვები, რომლებიც მიიღეს სხვა წყვილების გაყოფისას, პირველიდან ბოლომდე შემცირდა, რაც საშუალებას გვაძლევს ვთქვათ, რომ თუ ეს სერია გაგრძელდება განუსაზღვრელი ვადით, მაშინ მივიღებთ ოქროს თანაფარდობის ტოლ რიცხვს.

ამრიგად, ფიბონაჩის რიცხვები არანაირად არ გამოირჩევა. არსებობს რიცხვების სხვა მიმდევრობა, რომელთაგან არის უსასრულო რიცხვი, რომელიც იგივე მოქმედებების შედეგად იძლევა ოქროს რიცხვს phi.

ფიბონაჩი არ იყო ეზოთერიკოსი. მას არ სურდა ციფრებში რაიმე მისტიკა, უბრალოდ აგვარებდა ჩვეულებრივ პრობლემას კურდღლებზე. და მან დაწერა რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელიც მოჰყვა მის პრობლემას, პირველ, მეორე და სხვა თვეებში, რამდენი კურდღელი იქნებოდა გამრავლების შემდეგ. ერთი წლის განმავლობაში მან მიიღო იგივე თანმიმდევრობა. და მე არ მქონია ურთიერთობა. არ იყო საუბარი რაიმე ოქროს პროპორციაზე ან ღვთაებრივ ურთიერთობაზე. ეს ყველაფერი მის შემდეგ გამოიგონეს რენესანსის დროს.

მათემატიკასთან შედარებით, ფიბონაჩის უპირატესობები უზარმაზარია. მან არაბებისგან მიიღო რიცხვითი სისტემა და დაამტკიცა მისი მართებულობა. ეს იყო რთული და ხანგრძლივი ბრძოლა. რომაული რიცხვების სისტემიდან: მძიმე და მოუხერხებელია დათვლისთვის. საფრანგეთის რევოლუციის შემდეგ გაქრა. ფიბონაჩის არაფერი აქვს საერთო ოქროს თანაფარდობასთან.

სპირალების უსასრულო რაოდენობაა, ყველაზე პოპულარულია: ბუნებრივი ლოგარითმის სპირალი, არქიმედეს სპირალი და ჰიპერბოლური სპირალი.

ახლა მოდით შევხედოთ ფიბონაჩის სპირალს. ეს ცალმხრივი კომპოზიტური ერთეული შედგება რამდენიმე მეოთხედის წრისგან. და ეს არ არის სპირალი, როგორც ასეთი.

დასკვნა

არ აქვს მნიშვნელობა რამდენ ხანს ვეძებთ ფიბონაჩის სერიის გამოყენებადობის დადასტურებას ან უარყოფას საფონდო ბირჟაზე, ასეთი პრაქტიკა არსებობს.

ხალხის უზარმაზარი მასები მოქმედებს ფიბონაჩის ხაზის მიხედვით, რომელიც გვხვდება ბევრ მომხმარებლის ტერმინალში. ამიტომ, მოგვწონს თუ არა: ფიბონაჩის რიცხვები გავლენას ახდენს და ჩვენ შეგვიძლია ვისარგებლოთ ამ გავლენით.

აუცილებლად წაიკითხეთ სტატია -.

კანალიევა დანა

ამ ნაშრომში ჩვენ შევისწავლეთ და გავაანალიზეთ ფიბონაჩის მიმდევრობის რიცხვების გამოვლინება ჩვენს გარშემო არსებულ რეალობაში. ჩვენ აღმოვაჩინეთ საოცარი მათემატიკური კავშირი მცენარეებში სპირალების რაოდენობას, ტოტების რაოდენობას ნებისმიერ ჰორიზონტალურ სიბრტყეში და ფიბონაჩის მიმდევრობის რიცხვებს შორის. ჩვენ ასევე ვნახეთ მკაცრი მათემატიკა ადამიანის სტრუქტურაში. ადამიანის დნმ-ის მოლეკულა, რომელშიც დაშიფრულია ადამიანის განვითარების მთელი პროგრამა, რესპირატორული სისტემა, ყურის აგებულება – ყველაფერი გარკვეულ რიცხვობრივ მიმართებებს ემორჩილება.

ჩვენ დარწმუნებულები ვართ, რომ ბუნებას აქვს საკუთარი კანონები, რომლებიც გამოხატულია მათემატიკის გამოყენებით.

და მათემატიკა ძალიან შემეცნების მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტიბუნების საიდუმლოებები.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

MBOU "პერვომაისკაიას საშუალო სკოლა"

ორენბურგის რაიონი, ორენბურგის რეგიონი

ᲙᲕᲚᲔᲕᲐ

"რიცხვების საიდუმლო"

ფიბონაჩი"

დაასრულა: კანალიევა დანა

მე-6 კლასის მოსწავლე

სამეცნიერო მრჩეველი:

გაზიზოვა ვალერია ვალერიევნა

უმაღლესი კატეგორიის მათემატიკის მასწავლებელი

n ექსპერიმენტული

2012 წელი

განმარტებითი ჩანაწერი…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

შესავალი. ფიბონაჩის რიცხვების ისტორია…………………………………………………………… 4.

თავი 1. ფიბონაჩის რიცხვები ცოცხალ ბუნებაში............. ………………………………………… 5.

თავი 2. ფიბონაჩის სპირალი............................................ ....... .......................................... 9.

თავი 3. ფიბონაჩის რიცხვები ადამიანის გამოგონებებში................................................................... 13

თავი 4. ჩვენი კვლევა…………………………………………………………………………….. 16.

თავი 5. დასკვნა, დასკვნები……………………………………………………………………………………… 19.

გამოყენებული ლიტერატურისა და ინტერნეტ საიტების სია…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

კვლევის ობიექტი:

ადამიანი, ადამიანის მიერ შექმნილი მათემატიკური აბსტრაქციები, ადამიანის გამოგონებები, მიმდებარე ფლორა და ფაუნა.

კვლევის საგანი:

შესწავლილი ობიექტებისა და ფენომენების ფორმა და სტრუქტურა.

კვლევის მიზანი:

შეისწავლეთ ფიბონაჩის რიცხვების გამოვლინება და ოქროს თანაფარდობის კანონი ცოცხალი და არაცოცხალი ობიექტების სტრუქტურაში,

იპოვნეთ ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენების მაგალითები.

სამუშაო მიზნები:

აღწერეთ ფიბონაჩის სერიის და ფიბონაჩის სპირალის აგების მეთოდი.

იხილეთ მათემატიკური ნიმუშები ადამიანის სტრუქტურაში, ფლორისა და უსულო ბუნების ფენომენის ოქროს თანაფარდობის თვალსაზრისით.

კვლევის სიახლე:

ფიბონაჩის რიცხვების აღმოჩენა ჩვენს გარშემო არსებულ რეალობაში.

პრაქტიკული მნიშვნელობა:

შეძენილი ცოდნისა და კვლევის უნარების გამოყენება სხვა სასკოლო საგნების შესწავლისას.

Უნარები და შესაძლებლობები:

ექსპერიმენტის ორგანიზება და ჩატარება.

სპეციალიზებული ლიტერატურის გამოყენება.

შეგროვებული მასალის განხილვის უნარის შეძენა (მოხსენება, პრეზენტაცია)

ნახაზებით, დიაგრამებით, ფოტოებით მუშაობის დიზაინი.

აქტიური მონაწილეობა თქვენი სამუშაოს განხილვაში.

Კვლევის მეთოდები:

ემპირიული (დაკვირვება, ექსპერიმენტი, გაზომვა).

თეორიული (შემეცნების ლოგიკური ეტაპი).

განმარტებითი შენიშვნა.

”რიცხვები მართავენ სამყაროს! რიცხვი არის ძალა, რომელიც სუფევს ღმერთებზე და მოკვდავებზე!” - ასე ამბობდნენ ძველი პითაგორეელები. არის თუ არა პითაგორას სწავლების ეს საფუძველი დღესაც აქტუალური? სკოლაში რიცხვების მეცნიერების შესწავლისას, ჩვენ გვინდა დავრწმუნდეთ, რომ მართლაც, მთელი სამყაროს ფენომენები ექვემდებარება გარკვეულ რიცხვობრივ ურთიერთობებს, რათა ვიპოვოთ ეს უხილავი კავშირი მათემატიკასა და სიცოცხლეს შორის!

მართლა ყველა ყვავილშია,

როგორც მოლეკულაში, ასევე გალაქტიკაში,

რიცხვითი ნიმუშები

ეს მკაცრი "მშრალი" მათემატიკა?

ჩვენ მივმართეთ ინფორმაციის თანამედროვე წყაროს - ინტერნეტს და წავიკითხეთ ფიბონაჩის რიცხვებზე, ჯადოსნურ რიცხვებზე, რომლებიც სავსეა დიდი საიდუმლოებით. გამოდის, რომ ეს რიცხვები გვხვდება მზესუმზირასა და ფიჭვის გირჩებში, ჭრიჭინას ფრთებსა და ვარსკვლავურ თევზებში, ადამიანის გულის რიტმებში და მუსიკალურ რიტმებში...

რატომ არის რიცხვების ეს თანმიმდევრობა ასე გავრცელებული ჩვენს სამყაროში?

გვინდოდა გაგვეგო ფიბონაჩის რიცხვების საიდუმლოების შესახებ. ეს კვლევითი სამუშაო ჩვენი საქმიანობის შედეგი იყო.

ჰიპოთეზა:

ჩვენს გარშემო არსებულ რეალობაში ყველაფერი აგებულია საოცრად ჰარმონიული კანონების მიხედვით მათემატიკური სიზუსტით.

მსოფლიოში ყველაფერი გააზრებული და გათვლილია ჩვენი ყველაზე მნიშვნელოვანი დიზაინერის - ბუნების მიერ!

შესავალი. ფიბონაჩის სერიის ისტორია.

საოცარი რიცხვები აღმოაჩინა იტალიელმა შუა საუკუნეების მათემატიკოსმა ლეონარდო პიზაელმა, უფრო ცნობილი როგორც ფიბონაჩი. აღმოსავლეთის გარშემო მოგზაურობისას იგი გაეცნო არაბული მათემატიკის მიღწევებს და წვლილი შეიტანა მათ დასავლეთში გადატანაში. ერთ-ერთ ნაშრომში, სახელწოდებით "გამოთვლების წიგნი", მან ევროპას გააცნო ყველა დროის ერთ-ერთი უდიდესი აღმოჩენა - ათობითი რიცხვების სისტემა.

ერთ მშვენიერ დღეს ის ჭკუას ირევდა მათემატიკური ამოცანის ამოხსნაზე. ის ცდილობდა შეექმნა ფორმულა კურდღლების გამრავლების თანმიმდევრობის აღსაწერად.

გამოსავალი იყო რიცხვების სერია, რომლის ყოველი მომდევნო რიცხვი არის ორი წინა რიცხვის ჯამი:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან ამ მიმდევრობას, ეწოდება "ფიბონაჩის რიცხვები", ხოლო თავად მიმდევრობას ეწოდება ფიბონაჩის მიმდევრობა.

"Მერე რა?" - თქვენ ამბობთ, „ნამდვილად შეგვიძლია მოვიფიქროთ მსგავსი რიცხვითი სერიები მოცემული პროგრესირების მიხედვით?“ მართლაც, როდესაც ფიბონაჩის სერია გამოჩნდა, არავის, მათ შორის თავადაც, წარმოდგენა არ ჰქონდა, რამდენად ახლოს ახერხებდა სამყაროს ერთ-ერთი უდიდესი საიდუმლოს ამოხსნას!

ფიბონაჩი ეწეოდა თავშეკავებულ ცხოვრების წესს, დიდ დროს ატარებდა ბუნებაში და ტყეში სეირნობისას მან შენიშნა, რომ ამ ციფრებმა სიტყვასიტყვით დაიწყო მისი დევნა. ბუნებაში ყველგან ის ხვდებოდა ამ რიცხვებს ისევ და ისევ. მაგალითად, მცენარეების ფურცლები და ფოთლები მკაცრად ჯდება მოცემულ რიცხვთა სერიაში.

ფიბონაჩის რიცხვებში არის საინტერესო თვისება: მომდევნო ფიბონაჩის რიცხვის წინა რიცხვზე გაყოფის კოეფიციენტი, როგორც თავად რიცხვები იზრდება, მიდრეკილია 1,618-მდე. ეს იყო მუდმივი გაყოფის რიცხვი, რომელსაც შუა საუკუნეებში ეწოდებოდა ღვთაებრივი პროპორცია და ახლა მას უწოდებენ ოქროს მონაკვეთს ან ოქროს პროპორციას.

ალგებრაში ეს რიცხვი აღინიშნება ბერძნული ასო ფი (Ф)-ით.

ასე რომ, φ = 1.618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

რამდენჯერაც არ უნდა გავყოთ ერთი მეორეზე, მის მიმდებარე რიცხვს, ყოველთვის მივიღებთ 1,618-ს, ხოლო თუ პირიქით მოვიქცეთ, ანუ გავყოთ პატარა რიცხვი დიდზე, მივიღებთ 0,618, ეს არის 1,618-ის ინვერსია, რომელსაც ასევე უწოდებენ ოქროს თანაფარდობას.

ფიბონაჩის სერია შეიძლებოდა დარჩენილიყო მხოლოდ მათემატიკურ ინციდენტად, რომ არა ის ფაქტი, რომ მცენარეთა და ცხოველთა სამყაროში ოქროს დაყოფის ყველა მკვლევარი, რომ აღარაფერი ვთქვათ ხელოვნებაზე, უცვლელად მოვიდა ამ სერიაში, როგორც ოქროს კანონის არითმეტიკული გამოხატულება. დაყოფა.

მეცნიერებმა, ამ რიცხვების სერიის შემდგომი გამოყენების ანალიზით ბუნებრივ მოვლენებსა და პროცესებში, აღმოაჩინეს, რომ ეს რიცხვები შეიცავს ცოცხალი ბუნების ფაქტიურად ყველა ობიექტს, მცენარეებს, ცხოველებსა და ადამიანებში.

საოცარი მათემატიკური სათამაშო აღმოჩნდა უნიკალური კოდი, რომელიც ჩაშენებულია ყველა ბუნებრივ ობიექტში თავად სამყაროს შემოქმედის მიერ.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს, სადაც ფიბონაჩის რიცხვები გვხვდება ცოცხალ და უსულო ბუნებაში.

ფიბონაჩის რიცხვები ცოცხალ ბუნებაში.

თუ ჩვენს ირგვლივ არსებულ მცენარეებსა და ხეებს დააკვირდებით, ხედავთ, რამდენი ფოთოლია თითოეულ მათგანზე. შორიდან ჩანს, რომ მცენარეებზე ტოტები და ფოთლები განლაგებულია შემთხვევით, განსაკუთრებული თანმიმდევრობით. თუმცა, ყველა მცენარეში, სასწაულებრივად, მათემატიკურად ზუსტი გზით, რომელი ტოტი საიდან გაიზრდება, როგორ განლაგდება ტოტები და ფოთლები ღეროსთან ან ღეროსთან. მცენარე გამოჩენის პირველივე დღიდან ზუსტად იცავს ამ კანონებს თავის განვითარებაში, ანუ შემთხვევით არც ერთი ფოთოლი, არც ერთი ყვავილი არ ჩნდება. ჯერ კიდევ მის გამოჩენამდე, მცენარე უკვე ზუსტად არის დაპროგრამებული. რამდენი ტოტი იქნება მომავალ ხეზე, სად გაიზრდება ტოტები, რამდენი ფოთოლი იქნება თითოეულ ტოტზე და როგორ და რა თანმიმდევრობით განლაგდება ფოთლები. ბოტანიკოსებისა და მათემატიკოსების ერთობლივმა მუშაობამ ნათელი მოჰფინა ამ საოცარ ბუნებრივ მოვლენებს. აღმოჩნდა, რომ ფიბონაჩის სერია ვლინდება ტოტზე ფოთლების განლაგებაში (ფილოტაქსისი), ღეროზე შემობრუნების რაოდენობაში, ციკლში ფოთლების რაოდენობაში და, შესაბამისად, ოქროს თანაფარდობის კანონიც ვლინდება. თავად.

თუ ცოცხალ ბუნებაში რიცხვითი ნიმუშების მოძიებას აპირებთ, შეამჩნევთ, რომ ეს რიცხვები ხშირად გვხვდება სხვადასხვა სპირალურ ფორმებში, რომლებიც იმდენად მდიდარია მცენარეთა სამყაროში. მაგალითად, ფოთლის კალმები ღეროს გვერდით არის სპირალურად, რომელიც გადის მათ შორისორი მიმდებარე ფოთოლი:სრული ბრუნვა - თხილის ხეზე,- მუხის ხესთან, - ალვისა და მსხლის ხეებზე,- ტირიფთან.

მზესუმზირის, Echinacea purpurea-ს და სხვა მრავალი მცენარის თესლები სპირალურადაა განლაგებული და თითოეული მიმართულებით სპირალების რაოდენობა ფიბონაჩის რიცხვია.

მზესუმზირა, 21 და 34 სპირალი. Echinacea, 34 და 55 სპირალები.

ყვავილების ნათელი, სიმეტრიული ფორმა ასევე ექვემდებარება მკაცრ კანონს.

ბევრი ყვავილისთვის, ფურცლების რაოდენობა არის ზუსტად ფიბონაჩის სერიიდან. Მაგალითად:

ირისი, 3p. კარაქი, 5 ლეპ. ოქროს ყვავილი, 8 ლეპ. დელფინიუმი,

13 ლეპი.

ვარდკაჭაჭა, 21 ლეპი. ასტერი, 34 ლეპ. გვირილა, 55 ლეპი.

ფიბონაჩის სერია ახასიათებს მრავალი ცოცხალი სისტემის სტრუქტურულ ორგანიზაციას.

ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ ფიბონაჩის სერიაში მეზობელი რიცხვების შეფარდება არის რიცხვი φ = 1,618. გამოდის, რომ თავად ადამიანი უბრალოდ ფი ნომრების საწყობია.

ჩვენი სხეულის სხვადასხვა ნაწილების პროპორციები ძალიან ახლოს არის ოქროს თანაფარდობასთან. თუ ეს პროპორციები ემთხვევა ოქროს თანაფარდობის ფორმულას, მაშინ ადამიანის გარეგნობა ან სხეული იდეალურად პროპორციულად ითვლება. ადამიანის სხეულზე ოქროს ზომების გაანგარიშების პრინციპი შეიძლება გამოსახული იყოს დიაგრამის სახით.

მ/მ=1.618

ოქროს თანაფარდობის პირველი მაგალითი ადამიანის სხეულის სტრუქტურაში:

თუ ჭიპის წერტილს ავიღებთ ადამიანის სხეულის ცენტრად, ხოლო ადამიანის ტერფსა და ჭიპის წერტილს შორის, როგორც საზომ ერთეულს, მაშინ ადამიანის სიმაღლე უდრის რიცხვს 1.618.

ადამიანის ხელი

საკმარისია მხოლოდ ხელისგულები მოგაახლოოთ და ყურადღებით დააკვირდეთ საჩვენებელ თითს და მაშინვე იპოვით მასში ოქროს თანაფარდობის ფორმულას. ჩვენი ხელის თითოეული თითი შედგება სამი ფალანგისგან.
თითის პირველი ორი ფალანგების ჯამი თითის მთელ სიგრძესთან მიმართებაში იძლევა ოქროს თანაფარდობის რაოდენობას (ცერის გარდა).

გარდა ამისა, თანაფარდობა შუა თითსა და პატარა თითს შორის ასევე ოქროს თანაფარდობის ტოლია.

ადამიანს აქვს 2 ხელი, თითოეულ ხელზე თითები შედგება 3 ფალანგისგან (ცერის გარდა). თითოეულ ხელზე არის 5 თითი, ანუ სულ 10, მაგრამ ორი ორფალანქსიანი ცერა თითის გამოკლებით, მხოლოდ 8 თითი იქმნება ოქროს თანაფარდობის პრინციპით. მაშინ როცა ყველა ეს რიცხვი 2, 3, 5 და 8 არის ფიბონაჩის მიმდევრობის რიცხვები.

ოქროს თანაფარდობა ადამიანის ფილტვების სტრუქტურაში

ამერიკელი ფიზიკოსი B.D. West და Dr. A.L. გოლდბერგერმა ფიზიკური და ანატომიური კვლევების დროს დაადგინა, რომ ოქროს თანაფარდობა არსებობს ადამიანის ფილტვების სტრუქტურაშიც.

ადამიანის ფილტვების შემადგენელი ბრონქების თავისებურება მდგომარეობს მათ ასიმეტრიაში. ბრონქები შედგება ორი ძირითადი სასუნთქი გზებისგან, რომელთაგან ერთი (მარცხნივ) გრძელია, ხოლო მეორე (მარჯვნივ) უფრო მოკლე.

აღმოჩნდა, რომ ეს ასიმეტრია გრძელდება ბრონქების ტოტებში, ყველა პატარა სასუნთქ გზებში. უფრო მეტიც, მოკლე და გრძელი ბრონქების სიგრძის თანაფარდობა ასევე ოქროს თანაფარდობაა და უდრის 1:1,618.

მხატვრები, მეცნიერები, მოდის დიზაინერები, დიზაინერები თავიანთ გამოთვლებს, ნახატებს ან ჩანახატებს აკეთებენ ოქროს თანაფარდობის მიხედვით. ისინი იყენებენ ზომებს ადამიანის სხეულისგან, რომელიც ასევე შეიქმნა ოქროს თანაფარდობის პრინციპით. ლეონარდო და ვინჩიმ და ლე კორბუზიემ თავიანთი შედევრების შექმნამდე აიღეს ადამიანის სხეულის პარამეტრები, შექმნილი ოქროს პროპორციის კანონის მიხედვით.
არსებობს ადამიანის სხეულის პროპორციების კიდევ ერთი, უფრო პროზაული გამოყენება. მაგალითად, ამ ურთიერთობების გამოყენებით, დანაშაულის ანალიტიკოსები და არქეოლოგები იყენებენ ადამიანის სხეულის ნაწილების ფრაგმენტებს მთლიანი გარეგნობის აღსადგენად.

ოქროს პროპორციები დნმ-ის მოლეკულის სტრუქტურაში.

ცოცხალი არსებების ფიზიოლოგიური მახასიათებლების შესახებ ყველა ინფორმაცია, იქნება ეს მცენარე, ცხოველი თუ ადამიანი, ინახება მიკროსკოპული დნმ-ის მოლეკულაში, რომლის სტრუქტურაც შეიცავს ოქროს პროპორციის კანონს. დნმ-ის მოლეკულა შედგება ორი ვერტიკალურად გადახლართული სპირალისგან. თითოეული ამ სპირალის სიგრძეა 34 ანგსტრომი, ხოლო სიგანე 21 ანგსტრომი. (1 ანგსტრომი არის სანტიმეტრის ას მემილიონედი).

ასე რომ, 21 და 34 არის რიცხვები, რომლებიც მიჰყვებიან ერთმანეთს ფიბონაჩის რიცხვების თანმიმდევრობით, ანუ დნმ-ის მოლეკულის ლოგარითმული სპირალის სიგრძისა და სიგანის თანაფარდობა ატარებს ოქროს თანაფარდობის ფორმულას 1:1.618.

არა მხოლოდ აღმართული მოსიარულეები, არამედ ყველა მოცურავე, მცოცავი, მფრინავი და ხტუნვადი არსება არ გაურბოდა ფი ნომრის დაქვემდებარებას. ადამიანის გულის კუნთი იკუმშება მისი მოცულობის 0,618-მდე. ლოკოკინას ჭურვის სტრუქტურა შეესაბამება ფიბონაჩის პროპორციებს. და ასეთი მაგალითები უხვად შეიძლება მოიძებნოს - თუ გაჩნდა სურვილი ბუნებრივი ობიექტებისა და პროცესების შესწავლის. სამყარო იმდენად არის გაჟღენთილი ფიბონაჩის რიცხვებით, რომ ზოგჯერ ჩანს, რომ სამყარო მხოლოდ მათით არის ახსნილი.

ფიბონაჩის სპირალი.

მათემატიკაში არ არსებობს სხვა ფორმა, რომელსაც აქვს იგივე უნიკალური თვისებები, როგორც სპირალი, რადგან
სპირალის სტრუქტურა ეფუძნება ოქროს თანაფარდობის წესს!

სპირალის მათემატიკური კონსტრუქციის გასაგებად, გავიმეოროთ რა არის ოქროს თანაფარდობა.

ოქროს თანაფარდობა არის სეგმენტის ისეთი პროპორციული დაყოფა არათანაბარ ნაწილებად, რომელშიც მთელი სეგმენტი დაკავშირებულია უფრო დიდ ნაწილთან, როგორც თავად უფრო დიდი ნაწილი დაკავშირებულია პატარასთან, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პატარა სეგმენტი დაკავშირებულია რაც უფრო დიდია მთელს.

ანუ (a+b) /a = a/b

ზუსტად ამ თანაფარდობის მქონე ოთხკუთხედს ოქროს მართკუთხედი ეწოდა. მისი გრძელი მხარეები მოკლე გვერდებთან მიმართებაშია 1,168:1 თანაფარდობით.
ოქროს მართკუთხედს ბევრი უჩვეულო თვისება აქვს. ოქროს მართკუთხედიდან კვადრატის ამოჭრა, რომლის გვერდი ტოლია მართკუთხედის პატარა გვერდის,

ჩვენ კვლავ მივიღებთ უფრო პატარა ოქროს ოთხკუთხედს.

ეს პროცესი შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. როგორც ვაგრძელებთ კვადრატების ამოჭრას, ჩვენ მივიღებთ უფრო და უფრო პატარა ოქროს ოთხკუთხედებს. უფრო მეტიც, ისინი განლაგდებიან ლოგარითმულ სპირალში, რაც მნიშვნელოვანია ბუნებრივი ობიექტების მათემატიკურ მოდელებში.

მაგალითად, სპირალის ფორმა ჩანს მზესუმზირის თესლების განლაგებაში, ანანასში, კაქტუსებში, ვარდის ფურცლების აგებულებაში და ა.შ.

ჩვენ გაკვირვებული და აღფრთოვანებული ვართ ჭურვების სპირალური სტრუქტურით.

ლოკოკინების უმეტესობაში, რომლებსაც აქვთ ჭურვი, ნაჭუჭი იზრდება სპირალური ფორმით. თუმცა, ეჭვგარეშეა, რომ ამ უგუნურ არსებებს არათუ წარმოდგენა არ აქვთ სპირალის შესახებ, არამედ უმარტივესი მათემატიკური ცოდნაც კი არ გააჩნიათ, რომ საკუთარი თავისთვის სპირალის ფორმის გარსი შექმნან.
მაგრამ მაშინ როგორ შეძლეს ამ უგუნურმა არსებებმა თავად განსაზღვრონ და აირჩიონ ზრდისა და არსებობის იდეალური ფორმა სპირალური გარსის სახით? შეუძლიათ თუ არა ამ ცოცხალ არსებებს, რომლებსაც სამეცნიერო სამყარო უწოდებს ცხოვრების პირველყოფილ ფორმებს, გამოთვალონ, რომ ჭურვის სპირალური ფორმა იდეალური იქნებოდა მათი არსებობისთვის?

ცხოვრების ასეთი, თუნდაც ყველაზე პრიმიტიული ფორმის წარმოშობის ახსნის მცდელობა გარკვეული ბუნებრივი გარემოებების შემთხვევითი კომბინაციით, რბილად რომ ვთქვათ, აბსურდია. გასაგებია, რომ ეს პროექტი გაცნობიერებული შემოქმედებაა.

სპირალები ადამიანებშიც არსებობს. სპირალების დახმარებით გვესმის:

ასევე, ადამიანის შიდა ყურში არის ორგანო სახელწოდებით კოხლეა ("ლოკოკინა"), რომელიც ასრულებს ხმის ვიბრაციის გადაცემის ფუნქციას. ეს ძვლოვანი სტრუქტურა ივსება სითხით და იქმნება ოქროს პროპორციების მქონე ლოკოკინის სახით.

ჩვენს ხელებსა და თითებზე არის სპირალები:

ცხოველთა სამეფოში სპირალების მრავალი მაგალითიც შეგვიძლია ვიპოვოთ.

ცხოველების რქები და ტოტები ვითარდება სპირალურ ფორმაში; ლომების კლანჭები და თუთიყუშების წვერები ლოგარითმული ფორმებია და წააგავს ღერძის ფორმას, რომელიც მიდრეკილია გადაიქცეს სპირალურად.

საინტერესოა, რომ ქარიშხალი და ციკლონის ღრუბლები სპირალივით ტრიალებენ და ეს აშკარად ჩანს კოსმოსიდან:

ოკეანისა და ზღვის ტალღებში სპირალი შეიძლება მათემატიკურად იყოს წარმოდგენილი გრაფიკზე 1,1,2,3,5,8,13,21,34 და 55 წერტილებით.

ყველა ასევე ამოიცნობს ასეთ "ყოველდღიურ" და "პროზაულ" სპირალს.

ბოლოს და ბოლოს, წყალი აბაზანიდან სპირალურად გამოდის:

დიახ, და ჩვენ ვცხოვრობთ სპირალში, რადგან გალაქტიკა არის ოქროს თანაფარდობის ფორმულის შესაბამისი სპირალი!

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ, რომ თუ ავიღებთ ოქროს ოთხკუთხედს და დავყოფთ მას უფრო პატარა მართკუთხედებადზუსტად ფიბონაჩის მიმდევრობით და შემდეგ გაყავით თითოეული მათგანი ასეთი პროპორციებით ისევ და ისევ, მიიღებთ სისტემას, რომელსაც ფიბონაჩის სპირალი ეწოდება.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ ეს სპირალი ყველაზე მოულოდნელ ობიექტებსა და მოვლენებში. ახლა გასაგებია, რატომ უწოდებენ სპირალს "სიცოცხლის მრუდი".
სპირალი ევოლუციის სიმბოლოდ იქცა, რადგან ყველაფერი სპირალურად ვითარდება.

ფიბონაჩის რიცხვები ადამიანის გამოგონებებში.

ფიბონაჩის რიცხვების თანმიმდევრობით გამოხატული ბუნების კანონს, მეცნიერები და მხატვრები ცდილობენ მიბაძონ მას და განასახიერონ ეს კანონი თავიანთ შემოქმედებაში.

ფი პროპორცია საშუალებას გაძლევთ შექმნათ ფერწერის შედევრები და სწორად მოათავსოთ არქიტექტურული სტრუქტურები სივრცეში.

არა მხოლოდ მეცნიერები, არამედ არქიტექტორები, დიზაინერები და მხატვრები გაოცებულები არიან ნაუტილუსის ჭურვის ამ შესანიშნავი სპირალით,

იკავებს ყველაზე ნაკლებ ადგილს და უზრუნველყოფს სითბოს ნაკლებ დანაკარგს. ამერიკელი და ტაილანდელი არქიტექტორები, „კამერული ნაუტილუსის“ მაგალითით შთაგონებული მაქსიმუმის მინიმალურ სივრცეში მოთავსების საკითხში, შესაბამისი პროექტების შემუშავებით არიან დაკავებულნი.

უხსოვარი დროიდან ოქროს თანაფარდობა ითვლებოდა სრულყოფილების, ჰარმონიისა და ღვთაებრიობის უმაღლეს პროპორციად. ოქროს თანაფარდობა გვხვდება სკულპტურებში და მუსიკაშიც კი. ამის მაგალითია მოცარტის მუსიკალური ნაწარმოებები. საფონდო კურსები და ებრაული ანბანიც კი ოქროს თანაფარდობას შეიცავს.

მაგრამ ჩვენ გვინდა ყურადღება გავამახვილოთ ეფექტური მზის ინსტალაციის შექმნის უნიკალურ მაგალითზე. ამერიკელმა სკოლის მოსწავლემ ნიუ-იორკიდან, ეიდან დუიერმა, გააერთიანა თავისი ცოდნა ხეების შესახებ და აღმოაჩინა, რომ მზის ელექტროსადგურების ეფექტურობა შეიძლება გაიზარდოს მათემატიკის გამოყენებით. ზამთრის სეირნობისას დუიერს აინტერესებდა, რატომ სჭირდებოდათ ხეებს ტოტებისა და ფოთლების ასეთი „ნიმუში“. მან იცოდა, რომ ხეებზე ტოტები განლაგებულია ფიბონაჩის მიმდევრობის მიხედვით და ფოთლები ახორციელებენ ფოტოსინთეზს.

რაღაც მომენტში ჭკვიანმა ბიჭმა გადაწყვიტა შეემოწმებინა, ეხმარება თუ არა ტოტების ეს პოზიცია მზის მეტი შუქის შეგროვებას. ეიდანმა ააშენა საპილოტე ქარხანა თავის ეზოში ფოთლების ნაცვლად პატარა მზის პანელების გამოყენებით და გამოსცადა მოქმედებაში. აღმოჩნდა, რომ ჩვეულებრივ ბრტყელ მზის პანელთან შედარებით, მისი „ხე“ 20%-ით მეტ ენერგიას აგროვებს და ეფექტურად მუშაობს 2,5 საათის განმავლობაში.

Dwyer-ის მზის ხის მოდელი და მოსწავლის მიერ შედგენილი გრაფიკები.

”ეს ინსტალაცია ასევე იკავებს ნაკლებ ადგილს, ვიდრე ბრტყელ პანელს, აგროვებს 50% მეტ მზეს ზამთარში მაშინაც კი, როდესაც ის სამხრეთისკენ არ არის მიმართული და არ აგროვებს იმდენ თოვლს. გარდა ამისა, ხის ფორმის დიზაინი ბევრად უფრო შესაფერისია. ურბანული ლანდშაფტი“, - აღნიშნავს ახალგაზრდა გამომგონებელი.

აიდანი აღიარეს 2011 წლის ერთ-ერთი საუკეთესო ახალგაზრდა ნატურალისტი. 2011 წლის ახალგაზრდა ნატურალისტთა კონკურსს ნიუ-იორკის ბუნების ისტორიის მუზეუმმა უმასპინძლა. ეიდანმა შეიტანა დროებითი საპატენტო განაცხადი მისი გამოგონებისთვის.

მეცნიერები აგრძელებენ ფიბონაჩის რიცხვებისა და ოქროს თანაფარდობის თეორიის აქტიურ განვითარებას.

იუ მათიასევიჩი ხსნის ჰილბერტის მე-10 ამოცანას ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენებით.

ჩნდება ელეგანტური მეთოდები რიგი კიბერნეტიკური პრობლემების გადასაჭრელად (ძიების თეორია, თამაშები, პროგრამირება) ფიბონაჩის ნომრებისა და ოქროს თანაფარდობის გამოყენებით.

აშშ-ში იქმნება მათემატიკური ფიბონაჩის ასოციაციაც კი, რომელიც 1963 წლიდან აქვეყნებს სპეციალურ ჟურნალს.

ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვების ფიბონაჩის მიმდევრობის ფარგლები ძალიან მრავალმხრივია:

ბუნებაში მომხდარ ფენომენებზე დაკვირვებით, მეცნიერებმა გააკეთეს გასაოცარი დასკვნები, რომ ცხოვრებაში მომხდარი მოვლენების მთელი თანმიმდევრობა, რევოლუციები, ავარიები, გაკოტრებები, აყვავების პერიოდები, კანონები და განვითარების ტალღები საფონდო და სავალუტო ბაზრებზე, ოჯახური ცხოვრების ციკლები. და ასე შემდეგ, ორგანიზებულია დროის მასშტაბით ციკლებისა და ტალღების სახით. ეს ციკლები და ტალღები ასევე განაწილებულია ფიბონაჩის რიცხვების სერიის მიხედვით!

ამ ცოდნის საფუძველზე ადამიანი ისწავლის მომავალში სხვადასხვა მოვლენის წინასწარმეტყველებას და მართვას.

4. ჩვენი კვლევა.

ჩვენ გავაგრძელეთ დაკვირვება და შევისწავლეთ სტრუქტურა

ფიჭვის გირჩი

იაროს

კოღო

პირი

და ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ამ, ერთი შეხედვით ასე განსხვავებულ ობიექტებში, ფიბონაჩის მიმდევრობის ერთი და იგივე რიცხვები უხილავად იყო.

ასე რომ, ნაბიჯი 1.

ავიღოთ ფიჭვის გირჩი:

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მას:

ჩვენ ვამჩნევთ ფიბონაჩის სპირალების ორ სერიას: ერთი - საათის ისრის მიმართულებით, მეორე - საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მათი რიცხვი. 8 და 13.

ნაბიჯი 2.

ავიღოთ იარო:

მოდით ყურადღებით განვიხილოთ ღეროების და ყვავილების სტრუქტურა:

გაითვალისწინეთ, რომ იაროს ყოველი ახალი ტოტი ამოდის ღერძიდან, ხოლო ახალი ტოტები – ახალი ტოტიდან. ძველი და ახალი ტოტების შეკრებით, ჩვენ ვიპოვეთ ფიბონაჩის რიცხვი თითოეულ ჰორიზონტალურ სიბრტყეში.

ნაბიჯი 3.

ჩნდება თუ არა ფიბონაჩის რიცხვები სხვადასხვა ორგანიზმების მორფოლოგიაში? განვიხილოთ ცნობილი კოღო:

ჩვენ ვხედავთ: 3 წყვილი ფეხები, თავი 5 ანტენები, მუცელი იყოფა 8 სეგმენტი.

დასკვნა:

ჩვენს კვლევაში დავინახეთ, რომ ჩვენს ირგვლივ არსებულ მცენარეებში, ცოცხალ ორგანიზმებში და ადამიანის სტრუქტურაშიც კი ფიბონაჩის მიმდევრობის რიცხვები თავს იჩენს, რაც ასახავს მათი სტრუქტურის ჰარმონიას.

მათემატიკური სიზუსტით დალაგებულია ფიჭვის გირჩი, იარუსი, კოღო და ადამიანი.

ჩვენ ვეძებდით პასუხს კითხვაზე: როგორ ვლინდება ფიბონაჩის სერია ჩვენს გარშემო არსებულ რეალობაში? მაგრამ, მასზე პასუხის გაცემით, უფრო და უფრო მეტი კითხვა მივიღეთ.

საიდან გაჩნდა ეს რიცხვები? ვინ არის სამყაროს ეს არქიტექტორი, რომელიც ცდილობდა მისი იდეალური გახადა? სპირალი იხვევა თუ იხსნება?

რა საოცარია ადამიანისთვის ამ სამყაროს გამოცდილება!!!

ერთ კითხვაზე პასუხი რომ იპოვა, ის იღებს შემდეგს. თუ მოაგვარებს, ორ ახალს იღებს. როგორც კი ის მათთან გაუმკლავდება, კიდევ სამი გამოჩნდება. მათაც რომ მოაგვაროს, ხუთი მოუგვარებელი ეყოლება. მერე რვა, მერე ცამეტი, 21, 34, 55...

ცნობთ?

დასკვნა.

თავად შემოქმედის მიერ ყველა ობიექტში

მოწოდებულია უნიკალური კოდი

და ვინც მეგობრობს მათემატიკასთან,

გაიგებს და გაიგებს!

ჩვენ შევისწავლეთ და გავაანალიზეთ ფიბონაჩის მიმდევრობის რიცხვების გამოვლინება ჩვენს გარშემო არსებულ რეალობაში. ჩვენ ასევე გავიგეთ, რომ ამ რიცხვების სერიის ნიმუშები, მათ შორის „ოქროს“ სიმეტრიის ნიმუშები, ვლინდება ელემენტარული ნაწილაკების ენერგეტიკულ გადასვლებში, პლანეტურ და კოსმიურ სისტემებში, ცოცხალი ორგანიზმების გენის სტრუქტურებში.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ გასაკვირი მათემატიკური კავშირი მცენარეებში სპირალების რაოდენობას, ტოტების რაოდენობას ნებისმიერ ჰორიზონტალურ სიბრტყეში და რიცხვებს შორის ფიბონაჩის მიმდევრობაში. ჩვენ ვნახეთ, თუ როგორ ემორჩილება ამ იდუმალ კანონს სხვადასხვა ორგანიზმების მორფოლოგიაც. ჩვენ ასევე ვნახეთ მკაცრი მათემატიკა ადამიანის სტრუქტურაში. ადამიანის დნმ-ის მოლეკულა, რომელშიც დაშიფრულია ადამიანის განვითარების მთელი პროგრამა, რესპირატორული სისტემა, ყურის აგებულება – ყველაფერი გარკვეულ რიცხვობრივ მიმართებებს ემორჩილება.

ჩვენ გავიგეთ, რომ ფიჭვის გირჩები, ლოკოკინების ნაჭუჭები, ოკეანის ტალღები, ცხოველების რქები, ციკლონის ღრუბლები და გალაქტიკები ქმნიან ლოგარითმულ სპირალებს. ადამიანის თითიც კი, რომელიც ერთმანეთის მიმართ ოქროს თანაფარდობის სამი ფალანგისგან შედგება, დაჭიმვისას იღებს სპირალურ ფორმას.

დროის მარადიულობა და სივრცის სინათლის წლები ჰყოფს ფიჭვის გირჩს და სპირალურ გალაქტიკას, მაგრამ სტრუქტურა იგივე რჩება: კოეფიციენტი 1,618 ! შესაძლოა, ეს არის ბუნების მოვლენის მარეგულირებელი პირველადი კანონი.

ამრიგად, დადასტურებულია ჩვენი ჰიპოთეზა სპეციალური რიცხვითი შაბლონების არსებობის შესახებ, რომლებიც პასუხისმგებელნი არიან ჰარმონიაზე.

მართლაც, მსოფლიოში ყველაფერი გააზრებული და გათვლილია ჩვენი ყველაზე მნიშვნელოვანი დიზაინერის - ბუნების მიერ!

ჩვენ დარწმუნებულები ვართ, რომ ბუნებას აქვს საკუთარი კანონები, რომლებიც გამოხატულია გამოყენებითმათემატიკა. და მათემატიკა ძალიან მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტია

ბუნების საიდუმლოებების შესასწავლად.

ლიტერატურისა და ინტერნეტ საიტების სია:

1. ვორობიოვი N.N. ფიბონაჩის რიცხვები. - მ., ნაუკა, 1984 წ.
2. ღიკა მ. პროპორციების ესთეტიკა ბუნებასა და ხელოვნებაში. - მ., 1936 წ.

3. დიმიტრიევი ა. ქაოსი, ფრაქტალები და ინფორმაცია. // მეცნიერება და ცხოვრება, No5, 2001 წ.
4. Kashnitsky S. E. პარადოქსებისგან ნაქსოვი ჰარმონია // კულტურა და

ცხოვრება. - 1982.- No10.
5. მალაიზი გ.ჰარმონია - პარადოქსების იდენტურობა // MN. - 1982.- No19.
6. სოკოლოვი ა. ოქროს განყოფილების საიდუმლოებები // ახალგაზრდული ტექნოლოგია. - 1978.- No5.
7. Stakhov A.P. ოქროს პროპორციის კოდები. - მ., 1984 წ.
8. Urmantsev Yu. A. ბუნების სიმეტრია და სიმეტრიის ბუნება. - მ., 1974 წ.
9. Urmantsev Yu. A. ოქროს განყოფილება // ბუნება. - 1968.- No11.

10. შეველევი ი.შ., მარუტაევი მ.ა., შმელევი ი.პ. ოქროს თანაფარდობა/სამი

თვალი ჰარმონიის ბუნებაზე.-მ., 1990 წ.

11. შუბნიკოვი A.V., Koptsik V. A. სიმეტრია მეცნიერებასა და ხელოვნებაში. -მ.:

იტალიელი მათემატიკოსი ლეონარდო ფიბონაჩი მე-13 საუკუნეში ცხოვრობდა და ერთ-ერთი პირველი იყო ევროპაში, ვინც გამოიყენა არაბული (ინდური) ციფრები. მან გამოთქვა გარკვეულწილად ხელოვნური პრობლემა ფერმაში გაზრდილი კურდღლების შესახებ, რომლებიც ყველა ითვლება მდედრად, ხოლო მამრები იგნორირებულია. კურდღლები გამრავლებას ორი თვის შემდეგ იწყებენ და შემდეგ ყოველთვიურად აჩენენ კურდღელს. კურდღლები არასოდეს კვდებიან.

ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ რამდენი კურდღელი იქნება ფერმაში ნთვეებში, თუ თავდაპირველად მხოლოდ ერთი ახალშობილი კურდღელი იყო.

ცხადია, ფერმერს პირველ თვეში ერთი კურდღელი ჰყავს, მეორე თვეში კი ერთი კურდღელი. მესამე თვეში ორი კურდღელი იქნება, მეოთხე თვეში სამი და ა.შ. მოდით აღვნიშნოთ კურდღლების რაოდენობა ნთვე მოსწონს. ამრიგად,
,
,
,
,
, …

საპოვნელად შესაძლებელია ალგორითმის აგება ნებისმიერ ნ.

პრობლემური განცხადების მიხედვით, კურდღლების საერთო რაოდენობა
ვ ნ+1 თვე დაყოფილია სამ კომპონენტად:

გამრავლების უუნარო ერთი თვის კურდღელი ოდენობით

;

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ

. (8.1)

ფორმულა (8.1) საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ რიცხვების სერია: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

ამ თანმიმდევრობის რიცხვებს უწოდებენ ფიბონაჩის რიცხვები .

თუ მივიღებთ
და
, შემდეგ ფორმულის გამოყენებით (8.1) შეგიძლიათ განსაზღვროთ ყველა სხვა ფიბონაჩის რიცხვი. ფორმულა (8.1) ე.წ განმეორებადი ფორმულა ( განმეორება – „დაბრუნება“ ლათინურად).

მაგალითი 8.1.დავუშვათ, რომ შიგნით არის კიბე ნნაბიჯები. ჩვენ შეგვიძლია მასზე ასვლა ერთი საფეხურით, ან ორი საფეხურით. აწევის სხვადასხვა მეთოდის რამდენი კომბინაცია არსებობს?

თუ ნ= 1, პრობლემის მხოლოდ ერთი გამოსავალია. ამისთვის ნ= 2 არის 2 ვარიანტი: ორი ერთჯერადი ნაბიჯი ან ერთი ორმაგი. ამისთვის ნ= 3 არის 3 ვარიანტი: სამი ერთჯერადი ნაბიჯი, ან ერთი და ერთი ორმაგი, ან ერთი ორმაგი და ერთი.

შემდეგ შემთხვევაში ნ= 4, გვაქვს 5 შესაძლებლობა (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

შემთხვევით დასმულ კითხვაზე პასუხის გასაცემად ნ, მოდით აღვნიშნოთ ვარიანტების რაოდენობა როგორც და შევეცადოთ განვსაზღვროთ
ცნობილის მიხედვით და
. თუ დავიწყებთ ერთი ნაბიჯით, მაშინ გვაქვს კომბინაციები დანარჩენისთვის ნნაბიჯები. თუ ორმაგი ნაბიჯით დავიწყებთ, მაშინ გვაქვს
კომბინაციები დანარჩენისთვის ნ- 1 ნაბიჯი. ვარიანტების საერთო რაოდენობა ნ+1 ნაბიჯი უდრის

. (8.2)

შედეგად მიღებული ფორმულა წააგავს ფორმულას (8.1), როგორც ტყუპი. თუმცა ეს არ გვაძლევს საშუალებას დავადგინოთ კომბინაციების რაოდენობა ფიბონაჩის რიცხვებით . ჩვენ ვხედავთ, მაგალითად, რომ
, მაგრამ
. თუმცა, შემდეგი დამოკიდებულება ხდება:

.

ეს მართალია ნ= 1, 2 და ასევე ყველასთვის ნ. ფიბონაჩის რიცხვები და კომბინაციების რაოდენობა გამოითვლება იგივე ფორმულით, მაგრამ საწყისი მნიშვნელობებით
,
და
,
ისინი განსხვავდებიან.

მაგალითი 8.2.ამ მაგალითს პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს შეცდომის გამოსწორების კოდირების პრობლემებისთვის. იპოვეთ სიგრძის ყველა ორობითი სიტყვის რაოდენობა ნ, რომელიც არ შეიცავს ზედიზედ რამდენიმე ნულს. ავღნიშნოთ ეს რიცხვი . ცხადია,
და 2 სიგრძის სიტყვები, რომლებიც აკმაყოფილებს ჩვენს შეზღუდვას, არის: 10, 01, 11, ე.ი.
. დაე
- ასეთი სიტყვა ნპერსონაჟები. თუ სიმბოლო
, ეს
შეიძლება იყოს თვითნებური (
)-პირდაპირი სიტყვა, რომელიც არ შეიცავს ზედიზედ რამდენიმე ნულს. ეს ნიშნავს, რომ ერთზე დამთავრებული სიტყვების რაოდენობა არის
.

თუ სიმბოლო
, მაშინ აუცილებლად
, და პირველი
სიმბოლო
შეიძლება იყოს თვითნებური, განხილული შეზღუდვების გათვალისწინებით. აქედან გამომდინარე, არსებობს
სიტყვების სიგრძე ნბოლოს ნულით. ამრიგად, ჩვენთვის საინტერესო სიტყვების საერთო რაოდენობა უდრის

.

Იმის გათვალისწინებით
და
, რიცხვების შედეგად მიღებული თანმიმდევრობა არის ფიბონაჩის რიცხვები.

მაგალითი 8.3.მაგალით 7.6-ში აღმოვაჩინეთ, რომ მუდმივი წონის ორობითი სიტყვების რაოდენობა ტ(და სიგრძე კ) უდრის . ახლა ვიპოვოთ მუდმივი წონის ორობითი სიტყვების რაოდენობა ტ, რომელიც არ შეიცავს ზედიზედ რამდენიმე ნულს.

შეგიძლია ასე იფიქრო. დაე
ნულების რაოდენობა მოცემულ სიტყვებში. ნებისმიერ სიტყვას აქვს
სივრცეები უახლოეს ნულებს შორის, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ერთ ან მეტ ერთს. ვარაუდობენ, რომ
. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არც ერთი სიტყვა არ არის მიმდებარე ნულების გარეშე.

თუ თითოეული ინტერვალიდან ზუსტად ერთ ერთეულს ამოვიღებთ, მივიღებთ სიგრძის სიტყვას
შემცველი ნულები. ნებისმიერი ასეთი სიტყვის მიღება შესაძლებელია მითითებული გზით ზოგიერთიდან (და მხოლოდ ერთიდან) კ- პირდაპირი სიტყვის შემცველი ნულები, რომელთაგან ორი არ არის მიმდებარე. ეს ნიშნავს, რომ საჭირო რიცხვი ემთხვევა ყველა სიგრძის სიტყვის რაოდენობას
, შეიცავს ზუსტად ნულები, ე.ი. უდრის
.

მაგალითი 8.4.დავამტკიცოთ, რომ ჯამი
ფიბონაჩის რიცხვების ტოლია ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის . სიმბოლო
დგას უმცირესი მთელი რიცხვი მეტი ან ტოლი . მაგალითად, თუ
, ეს
; და თუ
, ეს
ჭერი("ჭერი"). ასევე არის სიმბოლო
, რომელიც აღნიშნავს უდიდესი მთელი რიცხვი ნაკლები ან ტოლი . ინგლისურად ამ ოპერაციას უწოდებენ იატაკი ("სართული").

თუ
, ეს
. თუ
, ეს
. თუ
, ეს
.

ამრიგად, განხილული შემთხვევებისთვის, ჯამი მართლაც უდრის ფიბონაჩის რიცხვებს. ახლა ჩვენ წარმოგიდგენთ მტკიცებულებას ზოგადი საქმისთვის. ვინაიდან ფიბონაჩის რიცხვების მიღება შესაძლებელია განმეორებითი განტოლების (8.1) გამოყენებით, ტოლობა უნდა დაკმაყოფილდეს:

.

და ის რეალურად მუშაობს:

აქ ჩვენ გამოვიყენეთ ადრე მიღებული ფორმულა (4.4):
.

ფიბონაჩის რიცხვების ჯამი

მოდით განვსაზღვროთ პირველის ჯამი ნფიბონაჩის რიცხვები.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

ადვილი მისახვედრია, რომ თითოეული განტოლების მარჯვენა მხარეს ერთის მიმატებით ჩვენ კვლავ მივიღებთ ფიბონაჩის რიცხვს. პირველის ჯამის განსაზღვრის ზოგადი ფორმულა ნფიბონაჩის რიცხვებს აქვთ ფორმა:

დავამტკიცოთ ეს მათემატიკური ინდუქციის მეთოდით. ამისათვის დავწეროთ:

ეს თანხა თანაბარი უნდა იყოს
.

განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეების შემცირება –1-ით, მივიღებთ განტოლებას (6.1).

ფიბონაჩის რიცხვების ფორმულა

თეორემა 8.1. ფიბონაჩის რიცხვები შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

.

მტკიცებულება. მოდით გადავამოწმოთ ამ ფორმულის მართებულობა ნ= 0, 1 და შემდეგ ჩვენ დავამტკიცებთ ამ ფორმულის მართებულობას თვითნებობისთვის ნინდუქციით. მოდით გამოვთვალოთ ფიბონაჩის ორი უახლოესი რიცხვის თანაფარდობა:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ რიცხვების თანაფარდობა მერყეობს 1.618-ის გარშემო (თუ პირველ რამდენიმე მნიშვნელობას უგულებელვყოფთ). ფიბონაჩის რიცხვების ეს თვისება წააგავს გეომეტრიული პროგრესიის პირობებს. მივიღოთ
, (
). მერე გამოთქმა

გადაკეთდა

რომელიც გამარტივების შემდეგ ასე გამოიყურება

.

ჩვენ მივიღეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები ტოლია:

ახლა შეგვიძლია დავწეროთ:

(სად გარის მუდმივი). ორივე წევრი და არ მივცეთ ფიბონაჩის რიცხვები, მაგალითად
, ხოლო
. თუმცა განსხვავება
აკმაყოფილებს განმეორების განტოლებას:

ამისთვის ნ=0 ეს განსხვავება იძლევა , ანუ:
. თუმცა, როცა ნ=1 გვაქვს
. მისაღებად
, თქვენ უნდა მიიღოთ:
.

ახლა ჩვენ გვაქვს ორი თანმიმდევრობა: და
, რომელიც იწყება ერთი და იგივე ორი რიცხვით და აკმაყოფილებს იგივე განმეორების ფორმულას. ისინი უნდა იყოს თანაბარი:
. თეორემა დადასტურდა.

როდესაც იზრდება ნწევრი ხდება ძალიან დიდი ხოლო
და წევრის როლი განსხვავება მცირდება. ამიტომ, ზოგადად ნდაახლოებით შეგვიძლია დავწეროთ

.

ჩვენ უგულებელყოფთ 1/2-ს (რადგან ფიბონაჩის რიცხვები იზრდება უსასრულობამდე როგორც ნუსასრულობამდე).

დამოკიდებულება
დაურეკა ოქროს რადიო, იგი გამოიყენება მათემატიკის მიღმა (მაგალითად, ქანდაკებასა და არქიტექტურაში). ოქროს თანაფარდობა არის თანაფარდობა დიაგონალსა და მხარეს შორის რეგულარული ხუთკუთხედი(ნახ. 8.1).

ბრინჯი. 8.1. რეგულარული ხუთკუთხედი და მისი დიაგონალები

ოქროს თანაფარდობის აღსანიშნავად, ჩვეულებრივად გამოიყენება ასო
ცნობილი ათენელი მოქანდაკის ფიდიასის პატივსაცემად.

მარტივი რიცხვები

ყველა ნატურალური რიცხვი, დიდი, იყოფა ორ კლასად. პირველი მოიცავს რიცხვებს, რომლებსაც აქვთ ზუსტად ორი ბუნებრივი გამყოფი, ერთი და თავად, მეორე მოიცავს ყველა დანარჩენს. იწოდება პირველი კლასის ნომრები მარტივიდა მეორე - კომპოზიტური. მარტივი რიცხვები პირველ სამ ათეულში: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

მარტივი რიცხვების თვისებები და მათი კავშირი ყველა ნატურალურ რიცხვთან შეისწავლა ევკლიდემ (ძვ. წ. III ს.). თუ პირველ რიცხვებს ზედიზედ ჩაწერთ, შეამჩნევთ, რომ მათი ფარდობითი სიმკვრივე მცირდება. პირველი ათეულისთვის არის 4, ანუ 40%, ასისთვის – 25, ე.ი. 25%, ათასზე – 168, ე.ი. 17%-ზე ნაკლები, მილიონზე – 78498, ე.ი. 8%-ზე ნაკლები და ა.შ. თუმცა მათი საერთო რაოდენობა უსასრულოა.

მარტივ რიცხვებს შორის არის ისეთი რიცხვების წყვილი, რომელთა სხვაობა უდრის ორს (ე.წ. უბრალო ტყუპები), თუმცა, ასეთი წყვილების სასრულობა ან უსასრულობა არ არის დადასტურებული.

ევკლიდმა ცხადად მიიჩნია, რომ მხოლოდ მარტივი რიცხვების გამრავლებით შეიძლება მივიღოთ ყველა ნატურალური რიცხვი და თითოეული ნატურალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი რიცხვების ნამრავლად უნიკალური გზით (ფაქტორების რიგითობამდე). ამრიგად, მარტივი რიცხვები ქმნიან ნატურალური რიგის გამრავლების საფუძველს.

მარტივი რიცხვების განაწილების შესწავლამ გამოიწვია ალგორითმის შექმნა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ მარტივი რიცხვების ცხრილები. ასეთი ალგორითმია ერატოსთენეს საცერი(ძვ. წ. III საუკუნე). ეს მეთოდი შედგება მოცემული მიმდევრობის მთელი რიცხვების აღმოფხვრაში (მაგალითად, ამოკვეთით).
, რომლებიც იყოფა სულ მცირე ერთ მარტივ რიცხვზე
.

თეორემა 8 . 2 . (ევკლიდეს თეორემა). მარტივი რიცხვების რაოდენობა უსასრულოა.

მტკიცებულება. ჩვენ დავამტკიცებთ ევკლიდეს თეორემას მარტივი რიცხვების უსასრულობის შესახებ ლეონჰარდ ეილერის (1707–1783) მიერ შემოთავაზებული მეთოდის გამოყენებით. ეილერმა განიხილა ნამრავლი ყველა მარტივ რიცხვზე გვ:

ზე
. ეს ნამრავლი იყრის თავს და თუ გაფართოვდა, მაშინ, ნატურალური რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის უნიკალურობის გამო, გამოდის, რომ ის უდრის სერიის ჯამს. , საიდანაც ეილერის ვინაობა შემდეგია:

.

როდიდან
მარჯვენა სერიები განსხვავდება (ჰარმონიული სერია), შემდეგ ევკლიდეს თეორემა გამომდინარეობს ეილერის იდენტობიდან.

რუსი მათემატიკოსი პ.ლ. ჩებიშევმა (1821-1894) გამოიყვანა ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს იმ საზღვრებს, რომლებშიც დევს მარტივი რიცხვები.
, არ აღემატება X:

,

სად
,
.

გსმენიათ ოდესმე, რომ მათემატიკას უწოდებენ "ყველა მეცნიერების დედოფალს"? ეთანხმებით ამ განცხადებას? სანამ მათემატიკა დარჩება თქვენთვის მოსაწყენი ამოცანების ერთობლიობაში სახელმძღვანელოში, თქვენ ძნელად შეგიძლიათ განიცადოთ ამ მეცნიერების სილამაზე, მრავალფეროვნება და თუნდაც იუმორი.

მაგრამ მათემატიკაში არის თემები, რომლებიც გვეხმარება საინტერესო დაკვირვების გაკეთებაში ჩვენთვის საერთო საგნებსა და ფენომენებზე. და კიდევ შეეცადეთ შეაღწიოთ ჩვენი სამყაროს შექმნის საიდუმლოს ფარდას. მსოფლიოში არის საინტერესო ნიმუშები, რომელთა აღწერაც შესაძლებელია მათემატიკის გამოყენებით.

ფიბონაჩის რიცხვების გაცნობა

ფიბონაჩის რიცხვებიდაასახელეთ რიცხვითი მიმდევრობის ელემენტები. მასში სერიების ყოველი შემდეგი რიცხვი მიიღება ორი წინა რიცხვის შეჯამებით.

მაგალითის თანმიმდევრობა: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

თქვენ შეგიძლიათ დაიწყოთ ფიბონაჩის რიცხვების სერია უარყოფითი მნიშვნელობებით ნ. უფრო მეტიც, მიმდევრობა ამ შემთხვევაში ორმხრივია (ანუ ფარავს უარყოფით და დადებით რიცხვებს) და მიდრეკილია უსასრულობისკენ ორივე მიმართულებით.

ასეთი თანმიმდევრობის მაგალითი: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

ფორმულა ამ შემთხვევაში ასე გამოიყურება:

F n = F n+1 - F n+2ან შეგიძლიათ ამის გაკეთება: F -n = (-1) n+1 Fn.

ის, რაც ჩვენ ახლა ვიცით, როგორც "ფიბონაჩის რიცხვები", ცნობილი იყო ძველი ინდოელი მათემატიკოსებისთვის, ევროპაში მათი გამოყენებამდე დიდი ხნით ადრე. და ეს სახელი ზოგადად ერთი უწყვეტი ისტორიული ანეგდოტია. დავიწყოთ იმით, რომ თავად ფიბონაჩის სიცოცხლეში არასოდეს უწოდებია თავს ფიბონაჩი - ამ სახელის გამოყენება ლეონარდო პიზას მხოლოდ მისი გარდაცვალებიდან რამდენიმე საუკუნის შემდეგ დაიწყო. მაგრამ მოდით ვისაუბროთ ყველაფერზე თანმიმდევრობით.

ლეონარდო პიზაელი, იგივე ფიბონაჩი

ვაჭრის ვაჟი, რომელიც გახდა მათემატიკოსი და შემდგომში აღიარება მიიღო შთამომავლებისგან, როგორც ევროპის პირველი მთავარი მათემატიკოსი შუა საუკუნეებში. არანაკლებ ფიბონაჩის რიცხვების წყალობით (რომლებსაც, გვახსოვდეს, ჯერ ასე არ ერქვა). რაც მან აღწერა XIII საუკუნის დასაწყისში თავის ნაშრომში „Liber abaci“ („წიგნი აბაკუსი“, 1202 წ.).

მამაჩემთან ერთად ვიმოგზაურე აღმოსავლეთში, ლეონარდო მათემატიკას სწავლობდა არაბულ მასწავლებლებთან (და იმ დღეებში ისინი იყვნენ საუკეთესო სპეციალისტები ამ საკითხში და ბევრ სხვა მეცნიერებაში). მან წაიკითხა ანტიკურობისა და ძველი ინდოეთის მათემატიკოსთა ნაშრომები არაბულ თარგმანებში.

ზედმიწევნით გაიაზრა ყველაფერი, რაც წაიკითხა და გამოიყენა საკუთარი ცნობისმოყვარე გონება, ფიბონაჩმა დაწერა რამდენიმე სამეცნიერო ტრაქტატი მათემატიკაზე, მათ შორის ზემოხსენებულ „აბაკუს წიგნი“. ამის გარდა შევქმენი:

• „Practica geometriae“ („პრაქტიკა გეომეტრიისა“, 1220 წ.);
• „ფლოსი“ („ყვავილი“, 1225 – კვლევა კუბურ განტოლებათა შესახებ);
• "Liber quadratorum" ("წიგნი კვადრატების", 1225 - ამოცანები განუსაზღვრელი კვადრატულ განტოლებებზე).

მათემატიკური ტურნირების დიდი მოყვარული იყო, ამიტომ თავის ტრაქტატებში დიდ ყურადღებას აქცევდა სხვადასხვა მათემატიკური ამოცანების ანალიზს.

ლეონარდოს ცხოვრების შესახებ ძალიან ცოტა ბიოგრაფიული ინფორმაციაა შემორჩენილი. რაც შეეხება სახელს ფიბონაჩი, რომლითაც იგი შევიდა მათემატიკის ისტორიაში, იგი მას მხოლოდ მე-19 საუკუნეში მიენიჭა.

ფიბონაჩი და მისი პრობლემები

ფიბონაჩის შემდეგ დარჩა პრობლემების დიდი რაოდენობა, რომლებიც ძალიან პოპულარული იყო მათემატიკოსებს შორის მომდევნო საუკუნეებში. ჩვენ გადავხედავთ კურდღლის პრობლემას, რომელიც მოგვარებულია ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენებით.

კურდღელი არა მხოლოდ ღირებული ბეწვია

ფიბონაჩის შემდეგი პირობები დაუწესა: არის ისეთი საინტერესო ჯიშის ახალშობილი კურდღლების წყვილი (მამაკაცი და მდედრი), რომ ისინი რეგულარულად (მეორე თვიდან დაწყებული) შთამომავლობას გამოიმუშავებენ - ყოველთვის ერთი ახალი წყვილი კურდღელი. ასევე, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდით, მამაკაცი და ქალი.

ეს პირობითი კურდღელი მოთავსებულია შეზღუდულ სივრცეში და მრავლდება ენთუზიაზმით. ასევე დადგენილია, რომ არც ერთი კურდღელი არ კვდება კურდღლის იდუმალი დაავადებით.

უნდა გამოვთვალოთ რამდენ კურდღელს მივიღებთ წელიწადში.

• 1 თვის დასაწყისში გვყავს 1 წყვილი კურდღელი. თვის ბოლოს ისინი წყვილდებიან.
• მეორე თვე - უკვე გვყავს 2 წყვილი კურდღელი (წყვილს ჰყავს მშობლები + 1 წყვილი მათი შთამომავლობაა).
• მესამე თვე: პირველი წყვილი შობს ახალ წყვილს, მეორე წყვილი წყვილდება. სულ - 3 წყვილი კურდღელი.
• მეოთხე თვე: პირველი წყვილი შობს ახალ წყვილს, მეორე წყვილი დროს არ კარგავს და ასევე შობს ახალ წყვილს, მესამე წყვილი ჯერ კიდევ მხოლოდ წყვილდება. სულ - 5 წყვილი კურდღელი.

კურდღლების რაოდენობა ნ th თვე = წინა თვიდან კურდღლების წყვილების რაოდენობა + ახალშობილი წყვილების რაოდენობა (არის იგივე რაოდენობის კურდღლის წყვილი, რამდენიც იყო კურდღლის წყვილი 2 თვის წინ). და ეს ყველაფერი აღწერილია ფორმულით, რომელიც ზემოთ უკვე მივიღეთ: F n = F n-1 + F n-2.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ განმეორებით (ახსნა შესახებ რეკურსიას– ქვემოთ) რიცხვთა თანმიმდევრობა. რომელშიც ყოველი შემდეგი რიცხვი უდრის წინა ორის ჯამს:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

თქვენ შეგიძლიათ გააგრძელოთ თანმიმდევრობა დიდი ხნის განმავლობაში: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. მაგრამ რადგან ჩვენ დავაწესეთ კონკრეტული პერიოდი - წელი, ჩვენ გვაინტერესებს მე-12 "სვლაზე" მიღებული შედეგი. იმათ. რიგის მე-13 წევრი: 377.

პასუხი პრობლემაზე: 377 კურდღელი მიიღება, თუ ყველა მითითებული პირობა დაკმაყოფილდება.

ფიბონაჩის რიცხვთა მიმდევრობის ერთ-ერთი თვისება ძალიან საინტერესოა. თუ აიღებთ ზედიზედ ორ წყვილს სერიიდან და უფრო დიდ რიცხვს გაყოფთ მცირე რიცხვზე, შედეგი თანდათან მიუახლოვდება ოქროს რადიო(დაწვრილებით ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ მოგვიანებით სტატიაში).

მათემატიკური თვალსაზრისით, "ურთიერთობების ზღვარი a n+1რომ a nოქროს პროპორციის ტოლია".

რიცხვების თეორიის მეტი პრობლემა

1. იპოვეთ რიცხვი, რომელიც შეიძლება გაიყოს 7-ზე. ასევე, თუ მას გაყოფთ 2-ზე, 3-ზე, 4-ზე, 5-ზე, 6-ზე, დარჩენილი იქნება ერთი.
2. იპოვეთ კვადრატის ნომერი. ცნობილია, რომ თუ მას 5-ს დაუმატებთ ან 5-ს გამოაკლებთ, ისევ მიიღებთ კვადრატულ რიცხვს.

ჩვენ გირჩევთ, თავად მოძებნოთ პასუხები ამ პრობლემებზე. თქვენ შეგიძლიათ დაგვიტოვოთ თქვენი ვარიანტები ამ სტატიის კომენტარებში. და შემდეგ ჩვენ გეტყვით იყო თუ არა თქვენი გამოთვლები სწორი.

რეკურსიის ახსნა

რეკურსია- ობიექტის ან პროცესის განმარტება, აღწერა, სურათი, რომელიც შეიცავს ამ ობიექტს ან თავად პროცესს. ანუ, არსებითად, ობიექტი ან პროცესი არის მისი ნაწილი.

რეკურსიას ფართოდ იყენებენ მათემატიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში, ხელოვნებასა და პოპულარულ კულტურაშიც კი.

ფიბონაჩის რიცხვები განისაზღვრება განმეორებითი ურთიერთობის გამოყენებით. ნომრისთვის n>2 n- e რიცხვი ტოლია (n – 1) + (n – 2).

ოქროს კვეთის ახსნა

ოქროს რადიო- მთლიანის (მაგალითად, სეგმენტის) დაყოფა ნაწილებად, რომლებიც დაკავშირებულია შემდეგი პრინციპით: უფრო დიდი ნაწილი დაკავშირებულია პატარასთან ისევე, როგორც მთელი მნიშვნელობა (მაგალითად, ორი სეგმენტის ჯამი). უფრო დიდ ნაწილს.

ოქროს თანაფარდობის პირველი ნახსენები გვხვდება ევკლიდეში მის ტრაქტატში „ელემენტები“ (დაახლოებით ძვ. წ. 300 წ.). რეგულარული მართკუთხედის აგების კონტექსტში.

ჩვენთვის ნაცნობი ტერმინი მიმოქცევაში შემოვიდა 1835 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა მარტინ ომმა.

თუ ოქროს თანაფარდობას დაახლოებით აღვწერთ, ის წარმოადგენს პროპორციულ დაყოფას ორ არათანაბარ ნაწილად: დაახლოებით 62% და 38%. რიცხობრივი თვალსაზრისით, ოქროს თანაფარდობა არის რიცხვი 1,6180339887 .

ოქროს თანაფარდობა პრაქტიკულ გამოყენებას პოულობს სახვით ხელოვნებაში (ლეონარდო და ვინჩის და სხვა რენესანსის მხატვრების ნახატები), არქიტექტურაში, კინოში (ს. ესენშტეინის „საბრძოლო ხომალდი პოტემკინი“) და სხვა სფეროებში. დიდი ხნის განმავლობაში ითვლებოდა, რომ ოქროს თანაფარდობა ყველაზე ესთეტიკური პროპორციაა. ეს მოსაზრება დღესაც პოპულარულია. თუმცა, კვლევის შედეგების მიხედვით, ვიზუალურად ადამიანების უმეტესობა არ აღიქვამს ამ პროპორციას, როგორც ყველაზე წარმატებულ ვარიანტს და მას ძალიან წაგრძელებულად (არაპროპორციულად) თვლის.

• მონაკვეთის სიგრძე თან = 1, ა = 0,618, ბ = 0,382.
• დამოკიდებულება თანრომ ა = 1, 618.
• დამოკიდებულება თანრომ ბ = 2,618

ახლა დავუბრუნდეთ ფიბონაჩის ციფრებს. ავიღოთ ზედიზედ ორი წევრი მისი თანმიმდევრობიდან. გაყავით დიდი რიცხვი პატარაზე და მიიღეთ დაახლოებით 1,618. და ახლა ჩვენ ვიყენებთ იგივე უფრო დიდ რიცხვს და სერიის მომდევნო წევრს (ანუ კიდევ უფრო დიდ რიცხვს) - მათი თანაფარდობა არის ადრეული 0,618.

აი მაგალითად: 144, 233, 377.

233/144 = 1.618 და 233/377 = 0.618

სხვათა შორის, თუ თქვენ ცდილობთ იგივე ექსპერიმენტის გაკეთებას რიცხვებთან მიმდევრობის დასაწყისიდან (მაგალითად, 2, 3, 5), არაფერი გამოვა. თითქმის. ოქროს თანაფარდობის წესი ძნელად დაცულია მიმდევრობის დასაწყისისთვის. მაგრამ როცა სერიების გასწვრივ მოძრაობთ და რიცხვები იზრდება, ის მშვენივრად მუშაობს.

და იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ ფიბონაჩის რიცხვების მთელი სერია, საკმარისია ვიცოდეთ მიმდევრობის სამი წევრი, რომლებიც ერთმანეთის მიყოლებით მოდის. თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ ეს თქვენთვის!

ოქროს მართკუთხედი და ფიბონაჩის სპირალი

ფიბონაჩის რიცხვებსა და ოქროს თანაფარდობას შორის კიდევ ერთი საინტერესო პარალელი არის ეგრეთ წოდებული „ოქროს მართკუთხედი“: მისი გვერდები პროპორციულია 1,618-ის მიმართ. მაგრამ ჩვენ უკვე ვიცით რა არის რიცხვი 1,618, არა?

მაგალითად, ავიღოთ ფიბონაჩის სერიის ორი თანმიმდევრული წევრი - 8 და 13 - და ავაშენოთ მართკუთხედი შემდეგი პარამეტრებით: სიგანე = 8, სიგრძე = 13.

შემდეგ კი დიდ მართკუთხედს გავყოფთ პატარაებად. სავალდებულო პირობა: მართკუთხედების გვერდების სიგრძე უნდა შეესაბამებოდეს ფიბონაჩის რიცხვებს. იმათ. უფრო დიდი მართკუთხედის გვერდის სიგრძე უნდა იყოს ორი პატარა მართკუთხედის გვერდების ჯამის ტოლი.

როგორც ეს კეთდება ამ ფიგურაში (მოხერხებულობისთვის, ფიგურები ხელმოწერილია ლათინური ასოებით).

სხვათა შორის, თქვენ შეგიძლიათ მართკუთხედების აშენება საპირისპირო მიზნით. იმათ. დაიწყეთ აშენება კვადრატებით 1-ის გვერდით. რაზეც, ზემოთ ჩამოთვლილი პრინციპით ხელმძღვანელობით, სრულდება ფიბონაჩის რიცხვების ტოლი გვერდების მქონე ფიგურები. თეორიულად, ეს შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით - ბოლოს და ბოლოს, ფიბონაჩის სერია ფორმალურად უსასრულოა.

თუ ფიგურაში მიღებული ოთხკუთხედების კუთხეებს გლუვი ხაზით დავაკავშირებთ, მივიღებთ ლოგარითმულ სპირალს. უფრო სწორად, მისი განსაკუთრებული შემთხვევაა ფიბონაჩის სპირალი. იგი ხასიათდება, კერძოდ, იმით, რომ მას არ აქვს საზღვრები და არ იცვლის ფორმას.

მსგავსი სპირალი ხშირად გვხვდება ბუნებაში. Clam ჭურვები არის ერთ-ერთი ყველაზე ნათელი მაგალითი. უფრო მეტიც, ზოგიერთ გალაქტიკას, რომელიც დედამიწიდან ჩანს, სპირალური ფორმა აქვს. თუ ყურადღებას მიაქცევთ ტელევიზორში ამინდის პროგნოზს, შესაძლოა შეამჩნიეთ, რომ ციკლონებს მსგავსი სპირალური ფორმა აქვთ თანამგზავრიდან გადაღებისას.

საინტერესოა, რომ დნმ-ის სპირალი ასევე ემორჩილება ოქროს მონაკვეთის წესს - შესაბამისი ნიმუში ჩანს მისი მოსახვევების ინტერვალებში.

ასეთი საოცარი „დამთხვევები“ არ შეიძლება არ აღაგზნოთ გონება და საფუძვლად დაედო საუბარს რომელიმე ცალკეულ ალგორითმზე, რომელსაც სამყაროს ცხოვრების ყველა ფენომენი ემორჩილება. ახლა გესმით, რატომ ჰქვია ამ სტატიას ასე? და როგორი საოცარი სამყაროს გახსნა შეუძლია მათემატიკას თქვენთვის?

ფიბონაჩის რიცხვები ბუნებაში

ფიბონაჩის რიცხვებსა და ოქროს თანაფარდობას შორის კავშირი საინტერესო ნიმუშებს გვთავაზობს. იმდენად საინტერესოა, რომ მაცდურია ბუნებაში და ისტორიული მოვლენების დროსაც კი ფიბონაჩის რიცხვების მსგავსი მიმდევრობების პოვნა. და ბუნება მართლაც ბადებს ასეთ ვარაუდებს. მაგრამ შეიძლება თუ არა ყველაფერი ჩვენს ცხოვრებაში ახსნა და აღწერა მათემატიკის გამოყენებით?

ცოცხალი არსებების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება აღწერილი იყოს ფიბონაჩის მიმდევრობით:

• ფოთლების (და ტოტების) განლაგება მცენარეებში - მათ შორის მანძილი კორელაციაშია ფიბონაჩის რიცხვებთან (ფილოტაქსისი);

• მზესუმზირის მარცვლების განლაგება (თესლები დალაგებულია სპირალის ორ მწკრივად გადახვევა სხვადასხვა მიმართულებით: ერთი რიგი საათის ისრის მიმართულებით, მეორე ისრის საწინააღმდეგოდ);

• ფიჭვის სასწორების მოწყობა;
• ყვავილების ფურცლები;
• ანანასის უჯრედები;
• ადამიანის ხელზე თითების ფალანგების სიგრძის თანაფარდობა (დაახლოებით) და ა.შ.

კომბინატორიკის პრობლემები

ფიბონაჩის რიცხვები ფართოდ გამოიყენება კომბინატორიკის ამოცანების გადასაჭრელად.

კომბინატორიკაარის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს გარკვეული რაოდენობის ელემენტების შერჩევას განსაზღვრული სიმრავლიდან, ჩამოთვლა და ა.შ.

მოდით შევხედოთ კომბინატორიკის ამოცანების მაგალითებს, რომლებიც შექმნილია საშუალო სკოლის დონეზე (წყარო - http://www.problems.ru/).

დავალება #1:

ლეშა 10 საფეხურიანი კიბეზე ადის. ერთ დროს ის ხტება ან ერთი ან ორი საფეხურით. რამდენი გზით შეუძლია ლეშას კიბეებზე ასვლა?

გზების რაოდენობა, რომლითაც ლეშას შეუძლია კიბეებზე ასვლა ნნაბიჯები, აღვნიშნოთ და ნ.Აქედან გამომდინარეობს, რომ a 1 = 1, a 2= 2 (ბოლოს და ბოლოს, ლეშა ხტება ერთი ან ორი ნაბიჯით).

ასევე შეთანხმებულია, რომ ლეშა ხტება კიბეებიდან n> 2 ნაბიჯები. ვთქვათ, მან პირველად გადახტა ორი ნაბიჯი. ეს ნიშნავს, რომ პრობლემის პირობების მიხედვით, მას სჭირდება სხვა გადახტომა n – 2ნაბიჯები. შემდეგ ასვლის დასრულების გზების რაოდენობა აღწერილია, როგორც a n–2. და თუ ვივარაუდებთ, რომ პირველად ლეშამ გადახტა მხოლოდ ერთი ნაბიჯი, მაშინ აღვწერთ ასვლის დასრულების გზების რაოდენობას, როგორც a n–1.

აქედან ვიღებთ შემდეგ თანასწორობას: a n = a n–1 + a n–2(ნაცნობი ჩანს, არა?).

რადგან ვიცით a 1და a 2და გახსოვდეთ, რომ პრობლემის პირობების მიხედვით არის 10 ნაბიჯი, გამოთვალეთ ყველაფერი თანმიმდევრობით და ნ: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, ა 10 = 89.

პასუხი: 89 გზა.

დავალება #2:

თქვენ უნდა იპოვოთ 10 ასო სიგრძის სიტყვების რაოდენობა, რომლებიც შედგება მხოლოდ ასოები "a" და "b" და არ უნდა შეიცავდეს ზედიზედ ორ ასო "b".

მოდი აღვნიშნოთ a nსიტყვების სიგრძის რაოდენობა ნასოები, რომლებიც შედგება მხოლოდ ასოები "a" და "b" და არ შეიცავს ორ ასო "b" ზედიზედ. ნიშნავს, a 1= 2, a 2= 3.

თანმიმდევრობით a 1, a 2, <…>, a nჩვენ გამოვხატავთ მის თითოეულ მომდევნო წევრს წინა პირების მეშვეობით. აქედან გამომდინარე, სიგრძის სიტყვების რაოდენობა არის ნასოები, რომლებიც ასევე არ შეიცავს ორმაგ ასო „ბ“-ს და იწყება ასო „a“-ით არის a n–1. ხოლო თუ სიტყვა გრძელია ნასოები იწყება ასო "ბ"-ით, ლოგიკურია, რომ ასეთი სიტყვის შემდეგი ასო არის "a" (ბოლოს და ბოლოს, პრობლემის პირობების მიხედვით არ შეიძლება იყოს ორი "b"). აქედან გამომდინარე, სიგრძის სიტყვების რაოდენობა არის ნამ შემთხვევაში ასოებს აღვნიშნავთ როგორც a n–2. როგორც პირველ, ასევე მეორე შემთხვევაში, ნებისმიერი სიტყვა (სიგრძე n – 1და n – 2ასოები შესაბამისად) ორმაგი „ბ“-ის გარეშე.

ჩვენ შევძელით იმის დასაბუთება, თუ რატომ a n = a n–1 + a n–2.

მოდით ახლა გამოვთვალოთ a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, ა 10= a 9+ a 8= 144. და მივიღებთ ნაცნობ ფიბონაჩის მიმდევრობას.

პასუხი: 144.

დავალება #3:

წარმოიდგინეთ, რომ არის უჯრედებად დაყოფილი ლენტი. ის მიდის მარჯვნივ და გრძელდება განუსაზღვრელი ვადით. ფირის პირველ მოედანზე მოათავსეთ ბალახი. ფირის რომელ უჯრედზეც არ უნდა იყოს, მას შეუძლია მხოლოდ მარჯვნივ გადაადგილება: ან ერთი, ან ორი. რამდენი გზა არსებობს, რომლითაც ბალახს შეუძლია გადახტეს ლენტის დასაწყისიდან ნ- უჯრედები?

მოდით აღვნიშნოთ ქამრის გასწვრივ ბალახის გადაადგილების გზების რაოდენობა ნ-ე უჯრედი მოსწონს a n. Ამ შემთხვევაში a 1 = a 2= 1. ასევე ში n+1ბალიშს შეუძლია შევიდეს მე-ე უჯრედში ან დან ნ-ე უჯრედი, ან მასზე გადახტომით. აქედან a n + 1 = a n – 1 + a n. სად a n = Fn - 1.

პასუხი: Fn - 1.

შეგიძლიათ თავად შექმნათ მსგავსი პრობლემები და სცადოთ მათი მოგვარება მათემატიკის გაკვეთილებზე თანაკლასელებთან ერთად.

ფიბონაჩის რიცხვები პოპულარულ კულტურაში

რა თქმა უნდა, ისეთი უჩვეულო ფენომენი, როგორიცაა ფიბონაჩის რიცხვები, არ შეიძლება არ მიიპყრო ყურადღება. ჯერ კიდევ არის რაღაც მიმზიდველი და თუნდაც იდუმალი ამ მკაცრად დამოწმებულ ნიმუშში. გასაკვირი არ არის, რომ ფიბონაჩის თანმიმდევრობა რატომღაც "ანათებს" სხვადასხვა ჟანრის თანამედროვე პოპულარული კულტურის ბევრ ნაწარმოებში.

ზოგიერთ მათგანზე მოგიყვებით. და ისევ ცდილობ საკუთარი თავის ძიებას. თუ იპოვეთ, გაგვიზიარეთ კომენტარებში - ჩვენც გვაინტერესებს!

• ფიბონაჩის ნომრები ნახსენებია დენ ბრაუნის ბესტსელერში „და ვინჩის კოდში“: ფიბონაჩის თანმიმდევრობა ემსახურება როგორც კოდი, რომელსაც წიგნის მთავარი გმირები იყენებენ სეიფის გასახსნელად.
• 2009 წლის ამერიკულ ფილმში ბატონი არავინ, ერთ ეპიზოდში სახლის მისამართი ფიბონაჩის მიმდევრობის ნაწილია - 12358. გარდა ამისა, მეორე ეპიზოდში მთავარმა გმირმა უნდა დარეკოს ტელეფონის ნომერზე, რომელიც არსებითად იგივეა, მაგრამ ოდნავ დამახინჯებული. (დამატებითი ციფრი 5 რიცხვის შემდეგ) თანმიმდევრობა: 123-581-1321.
• 2012 წლის სერიალში "Connection", მთავარ გმირს, აუტიზმით დაავადებული ბიჭი, შეუძლია სამყაროში მომხდარი მოვლენების ნიმუშების გარჩევა. ფიბონაჩის რიცხვების ჩათვლით. და მართეთ ეს მოვლენები ასევე ციფრებით.
• მობილური ტელეფონებისთვის java თამაშის შემქმნელებმა Doom RPG ერთ-ერთ დონეზე მოათავსეს საიდუმლო კარი. კოდი, რომელიც ხსნის მას არის ფიბონაჩის თანმიმდევრობა.
• 2012 წელს რუსულმა როკ ჯგუფმა Splin-მა გამოუშვა კონცეპტუალური ალბომი "ოპტიკური მოტყუება". მერვე ტრეკს ჰქვია "ფიბონაჩი". ჯგუფის ლიდერის ალექსანდრე ვასილიევის ლექსები თამაშობს ფიბონაჩის რიცხვების მიმდევრობაზე. ზედიზედ ცხრა ტერმინისთვის არის ხაზების შესაბამისი რაოდენობა (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 მატარებელი დაიძრა

1 ერთი სახსარი გატყდა

1 ერთი ყდის კანკალებდა

2 ესე იგი, მიიღეთ ნივთები

ესე იგი, მიიღეთ ნივთები

3 მდუღარე წყლის მოთხოვნა

მატარებელი მიდის მდინარისკენ

მატარებელი ტაიგაში გადის<…>.

• ჯეიმს ლინდონის ლიმერიკი (კონკრეტული ფორმის მოკლე ლექსი - ჩვეულებრივ ხუთი სტრიქონი, სპეციფიკური რითმის სქემით, იუმორისტული შინაარსით, რომელშიც პირველი და ბოლო სტრიქონები მეორდება ან ნაწილობრივ იმეორებს ერთმანეთს) ასევე იყენებს ფიბონაჩის მითითებას. თანმიმდევრობა, როგორც იუმორისტული მოტივი:

ფიბონაჩის ცოლების მკვრივი საკვები

ეს მხოლოდ მათთვის იყო და მეტი არაფერი.

ცოლებმა ჭორების მიხედვით იწონეს,

თითოეული წინა ორს ჰგავს.

მოდით შევაჯამოთ

ვიმედოვნებთ, რომ დღეს ბევრი საინტერესო და სასარგებლო რამის თქმა შევძელით. მაგალითად, ახლა შეგიძლიათ მოძებნოთ ფიბონაჩის სპირალი თქვენს გარშემო არსებულ ბუნებაში. შესაძლოა, თქვენ იყოთ ის, ვინც შეძლებთ ამოიცნოთ „სიცოცხლის, სამყაროს და საერთოდ, საიდუმლოება“.

გამოიყენეთ ფიბონაჩის რიცხვების ფორმულა კომბინატორიკის ამოცანების ამოხსნისას. შეგიძლიათ დაეყრდნოთ ამ სტატიაში აღწერილ მაგალითებს.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

სამყაროში ჯერ კიდევ ბევრი ამოუხსნელი საიდუმლოა, რომელთაგან ზოგიერთის ამოცნობა და აღწერა მეცნიერებმა უკვე შეძლეს. ფიბონაჩის რიცხვები და ოქროს თანაფარდობა ქმნიან ჩვენს ირგვლივ სამყაროს ამოხსნის საფუძველს, ადამიანის მიერ მისი ფორმისა და ოპტიმალური ვიზუალური აღქმის აგებას, რისი დახმარებითაც მას შეუძლია იგრძნოს სილამაზე და ჰარმონია.

ოქროს რადიო

ოქროს თანაფარდობის განზომილებების განსაზღვრის პრინციპი საფუძვლად უდევს მთელი სამყაროს და მისი ნაწილების სრულყოფილებას მის სტრუქტურასა და ფუნქციებში, მისი გამოვლინება ჩანს ბუნებაში, ხელოვნებაში და ტექნოლოგიაში. ოქროს პროპორციის დოქტრინა დაარსდა ძველი მეცნიერების მიერ რიცხვების ბუნების კვლევის შედეგად.

იგი დაფუძნებულია სეგმენტების დაყოფის პროპორციებისა და თანაფარდობების თეორიაზე, რომელიც შეიქმნა უძველესი ფილოსოფოსისა და მათემატიკოსის პითაგორას მიერ. მან დაამტკიცა, რომ სეგმენტის ორ ნაწილად გაყოფისას: X (პატარა) და Y (უფრო დიდი), უფრო დიდისა და პატარას თანაფარდობა ტოლი იქნება მათი ჯამის თანაფარდობის (მთელი სეგმენტი):

შედეგი არის განტოლება: x 2 - x - 1=0,რომელიც იხსნება როგორც x=(1±√5)/2.

თუ განვიხილავთ თანაფარდობას 1/x, მაშინ ის უდრის 1,618…

უძველესი მოაზროვნეების მიერ ოქროს თანაფარდობის გამოყენების მტკიცებულება მოცემულია ევკლიდეს წიგნში "ელემენტები", რომელიც დაწერილია ჯერ კიდევ III საუკუნეში. BC, რომელმაც გამოიყენა ეს წესი რეგულარული ხუთკუთხედების ასაგებად. პითაგორელთა შორის ეს ფიგურა წმინდად ითვლება, რადგან არის სიმეტრიულიც და ასიმეტრიულიც. პენტაგრამა სიმბოლოა სიცოცხლე და ჯანმრთელობა.

ფიბონაჩის რიცხვები

იტალიელი მათემატიკოსის ლეონარდო პიზაელის ცნობილი წიგნი Liber abaci, რომელიც მოგვიანებით გახდა ცნობილი როგორც ფიბონაჩი, გამოიცა 1202 წელს. მასში მეცნიერი პირველად მოჰყავს რიცხვების ნიმუში, რომლის სერიებში თითოეული რიცხვი არის ჯამი. 2 წინა ციფრი. ფიბონაჩის რიცხვების თანმიმდევრობა ასეთია:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 და ა.შ.

მეცნიერმა ასევე მოიყვანა რამდენიმე ნიმუში:

• ნებისმიერი რიცხვი სერიიდან გაყოფილი შემდეგზე ტოლი იქნება 0,618-ისკენ მიდრეკილი მნიშვნელობის. უფრო მეტიც, პირველი ფიბონაჩის რიცხვები არ იძლევა ასეთ რიცხვს, მაგრამ რაც უფრო მივდივართ მიმდევრობის დასაწყისიდან, ეს თანაფარდობა უფრო და უფრო ზუსტი გახდება.
• თუ სერიიდან რიცხვს წინაზე გაყოფთ, შედეგი 1,618-მდე იქნება.
• ერთი რიცხვი გაყოფილი მეორეზე ერთზე აჩვენებს მნიშვნელობას 0,382-მდე.

ოქროს მონაკვეთის კავშირისა და ნიმუშების გამოყენება, ფიბონაჩის რიცხვი (0,618) გვხვდება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ ბუნებაში, ისტორიაში, არქიტექტურასა და მშენებლობაში და ბევრ სხვა მეცნიერებაში.

არქიმედეს სპირალი და ოქროს მართკუთხედი

ბუნებით ძალიან გავრცელებული სპირალები შეისწავლა არქიმედესმა, რომელმაც გამოიტანა მისი განტოლებაც კი. სპირალის ფორმა ეფუძნება ოქროს თანაფარდობის კანონებს. მისი გახსნისას მიიღება სიგრძე, რომელზედაც შესაძლებელია პროპორციების და ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენება; ნაბიჯი თანაბრად იზრდება.

პარალელი ფიბონაჩის რიცხვებსა და ოქროს თანაფარდობას შორის ჩანს „ოქროს მართკუთხედის“ აგებით, რომლის გვერდები პროპორციულია 1,618:1. იგი აგებულია უფრო დიდი მართკუთხედიდან პატარაზე გადაადგილებით ისე, რომ გვერდების სიგრძე ტოლი იყოს სერიიდან გამოსულ რიცხვებთან. ის ასევე შეიძლება აშენდეს საპირისპირო მიზნით, დაწყებული კვადრატიდან "1". როდესაც ამ მართკუთხედის კუთხეები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული ხაზებით მათი გადაკვეთის ცენტრში, მიიღება ფიბონაჩის ან ლოგარითმული სპირალი.

ოქროს პროპორციების გამოყენების ისტორია

ეგვიპტის მრავალი უძველესი არქიტექტურული ძეგლი აშენდა ოქროს პროპორციებით: კეოპსის ცნობილი პირამიდები და ა.შ. ძველი საბერძნეთის არქიტექტორები ფართოდ იყენებდნენ მათ ისეთი არქიტექტურული ობიექტების მშენებლობაში, როგორიცაა ტაძრები, ამფითეატრები და სტადიონები. მაგალითად, ასეთი პროპორციები გამოიყენებოდა პართენონის უძველესი ტაძრის, (ათენი) და სხვა ობიექტების მშენებლობაში, რომლებიც გახდნენ უძველესი არქიტექტურის შედევრები, მათემატიკური ნიმუშების საფუძველზე ჰარმონიის დემონსტრირებაში.

მოგვიანებით საუკუნეებში ოქროს თანაფარდობისადმი ინტერესი შემცირდა და ნიმუშები დავიწყებას მიეცა, მაგრამ ის კვლავ განახლდა რენესანსში ფრანცისკანელი ბერის ლ. პაჩიოლი დი ბორგოს წიგნით „ღვთაებრივი პროპორცია“ (1509). იგი შეიცავდა ლეონარდო და ვინჩის ილუსტრაციებს, რომელმაც დააარსა ახალი სახელი "ოქროს თანაფარდობა". ოქროს თანაფარდობის 12 თვისება ასევე მეცნიერულად დადასტურდა და ავტორმა ისაუბრა იმაზე, თუ როგორ ვლინდება იგი ბუნებაში, ხელოვნებაში და უწოდა მას "სამყაროსა და ბუნების აგების პრინციპი".

ვიტრუვიანი კაცი ლეონარდო

ნახატზე, რომელიც ლეონარდო და ვინჩიმ გამოიყენა ვიტრუვიუსის წიგნის საილუსტრაციოდ 1492 წელს, ასახავს ადამიანის ფიგურას 2 პოზიციაზე, გვერდებზე გაშლილი ხელებით. ფიგურა ჩაწერილია წრეში და კვადრატში. ეს ნახატი ითვლება ადამიანის სხეულის კანონიკურ პროპორციებად (მამაკაცი), რომელიც აღწერილია ლეონარდოს მიერ რომაელი არქიტექტორის ვიტრუვიუსის ტრაქტატებში მათი შესწავლის საფუძველზე.

სხეულის ცენტრი, როგორც ხელებისა და ფეხების ბოლოდან თანაბარი დაშორებული წერტილი, არის ჭიპი, ხელების სიგრძე უდრის ადამიანის სიმაღლეს, მხრების მაქსიმალური სიგანე = სიმაღლის 1/8, მანძილი მკერდის ზემოდან თმამდე = 1/7, მკერდის ზემოდან თავის ზევით = 1/6 და ა.შ.

მას შემდეგ ნახატი გამოიყენებოდა როგორც სიმბოლო, რომელიც აჩვენებს ადამიანის სხეულის შინაგან სიმეტრიას.

ლეონარდომ გამოიყენა ტერმინი „ოქროს თანაფარდობა“ ადამიანის ფიგურაში პროპორციული ურთიერთობების აღსანიშნავად. მაგალითად, მანძილი წელიდან ფეხებამდე დაკავშირებულია იმავე მანძილთან ჭიპიდან თავის ზევით, ისევე, როგორც სიმაღლე პირველ სიგრძემდე (წელიდან ქვემოთ). ეს გაანგარიშება ხდება ოქროს პროპორციის გაანგარიშებისას სეგმენტების თანაფარდობის მსგავსად და მიდრეკილია 1,618-მდე.

ყველა ამ ჰარმონიულ პროპორციებს ხშირად იყენებენ მხატვრები ლამაზი და შთამბეჭდავი ნამუშევრების შესაქმნელად.

ოქროს კვეთის კვლევა მე-16-მე-19 საუკუნეებში

ოქროს თანაფარდობისა და ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენებით, პროპორციების საკითხზე კვლევა საუკუნეების განმავლობაში მიმდინარეობდა. ლეონარდო და ვინჩის პარალელურად გერმანელი მხატვარი ალბრეხტ დიურერიც მუშაობდა ადამიანის სხეულის სწორი პროპორციების თეორიის შემუშავებაზე. ამ მიზნით მან სპეციალური კომპასიც კი შექმნა.

მე-16 საუკუნეში ფიბონაჩის რიცხვსა და ოქროს თანაფარდობას შორის კავშირის საკითხი მიეძღვნა ასტრონომ ი.კეპლერის მუშაობას, რომელმაც პირველად გამოიყენა ეს წესები ბოტანიკაში.

მე-19 საუკუნეში ოქროს თანაფარდობას ახალი „აღმოჩენა“ ელოდა. გერმანელი მეცნიერის პროფესორ ზეისიგის „ესთეტიკური გამოკვლევის“ გამოცემით. მან ეს პროპორციები აბსოლუტურებამდე აიყვანა და განაცხადა, რომ ისინი უნივერსალურია ყველა ბუნებრივი ფენომენისთვის. მან ჩაატარა კვლევები უამრავ ადამიანზე, უფრო სწორად, მათი სხეულის პროპორციებზე (დაახლოებით 2 ათასი), რომლის შედეგების საფუძველზე გაკეთდა დასკვნები სტატისტიკურად დადასტურებული შაბლონების შესახებ სხეულის სხვადასხვა ნაწილების შეფარდებაში: მხრების სიგრძე, წინამხრები, ხელები, თითები და ა.შ.

ასევე შეისწავლეს ხელოვნების საგნები (ვაზები, არქიტექტურული სტრუქტურები), მუსიკალური ტონები და ზომები ლექსების წერისას - ზეისიგმა ეს ყველაფერი აჩვენა სეგმენტებისა და რიცხვების სიგრძით და ასევე შემოიღო ტერმინი "მათემატიკური ესთეტიკა". შედეგების მიღების შემდეგ აღმოჩნდა, რომ ფიბონაჩის სერია იყო მიღებული.

ფიბონაჩის რიცხვი და ოქროს თანაფარდობა ბუნებაში

მცენარეთა და ცხოველთა სამყაროში შეიმჩნევა მორფოლოგიისკენ მიდრეკილება სიმეტრიის სახით, რაც შეინიშნება ზრდისა და მოძრაობის მიმართულებით. დაყოფა სიმეტრიულ ნაწილებად, რომლებშიც შეინიშნება ოქროს პროპორციები - ეს ნიმუში თანდაყოლილია ბევრ მცენარესა და ცხოველში.

ჩვენს ირგვლივ ბუნება შეიძლება აღწერილი იყოს ფიბონაჩის რიცხვების გამოყენებით, მაგალითად:

• ნებისმიერი მცენარის ფოთლების ან ტოტების განლაგება, ისევე როგორც მანძილი, შეესაბამება მოცემული რიცხვების სერიას 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 და ასე შემდეგ;
• მზესუმზირის თესლი (მასშტაბები გირჩებზე, ანანასის უჯრედები), დალაგებული ორ რიგად დახვეული სპირალის გასწვრივ სხვადასხვა მიმართულებით;
• კუდის სიგრძისა და ხვლიკის მთელი სხეულის თანაფარდობა;
• კვერცხის ფორმა, თუ ხაზს გაავლებთ მის ფართო ნაწილზე;
• თითის ზომის თანაფარდობა ადამიანის ხელზე.

და, რა თქმა უნდა, ყველაზე საინტერესო ფორმებს მიეკუთვნება სპირალური ლოკოკინების ჭურვები, ნიმუშები ობობის ქსელებზე, ქარის მოძრაობა ქარიშხლის შიგნით, ორმაგი სპირალი დნმ-ში და გალაქტიკების სტრუქტურა - ეს ყველაფერი მოიცავს ფიბონაჩის მიმდევრობას.

ოქროს თანაფარდობის გამოყენება ხელოვნებაში

მკვლევარები, რომლებიც ეძებენ ხელოვნებაში ოქროს თანაფარდობის გამოყენების მაგალითებს, დეტალურად სწავლობენ სხვადასხვა არქიტექტურულ ობიექტს და ფერწერის ნამუშევრებს. აქ არის ცნობილი სკულპტურული ნამუშევრები, რომელთა შემქმნელები ოქროს პროპორციებს იცავდნენ - ოლიმპიელი ზევსის, აპოლონ ბელვედერის ქანდაკებები და

ლეონარდო და ვინჩის ერთ-ერთი ქმნილება "მონა ლიზას პორტრეტი" მრავალი წლის განმავლობაში მეცნიერთა კვლევის საგანია. მათ აღმოაჩინეს, რომ ნაწარმოების კომპოზიცია მთლიანად შედგება „ოქროს სამკუთხედებისგან“, რომლებიც გაერთიანებულია ჩვეულებრივ ხუთკუთხედ-ვარსკვლავად. და ვინჩის ყველა ნამუშევარი იმის მტკიცებულებაა, თუ რამდენად ღრმა იყო მისი ცოდნა ადამიანის სხეულის სტრუქტურასა და პროპორციებში, რისი წყალობითაც მან შეძლო მონა ლიზას წარმოუდგენლად იდუმალი ღიმილის დაფიქსირება.

ოქროს თანაფარდობა არქიტექტურაში

მაგალითად, მეცნიერებმა შეისწავლეს „ოქროს თანაფარდობის“ წესებით შექმნილი არქიტექტურული შედევრები: ეგვიპტური პირამიდები, პანთეონი, პართენონი, პარიზის ღვთისმშობლის ტაძარი, წმინდა ბასილის ტაძარი და ა.შ.

პართენონი - ერთ-ერთი ულამაზესი ნაგებობა ძველ საბერძნეთში (ძვ. წ. V ს.) - აქვს 8 სვეტი და 17 სხვადასხვა მხარეს, მისი სიმაღლის შეფარდება გვერდების სიგრძესთან არის 0,618. მის ფასადებზე გამონაზარდები დამზადებულია "ოქროს თანაფარდობის" მიხედვით (ფოტო ქვემოთ).

ერთ-ერთი მეცნიერი, რომელმაც მოიფიქრა და წარმატებით გამოიყენა არქიტექტურული ობიექტების პროპორციების მოდულური სისტემის გაუმჯობესება (ე.წ. „მოდულორი“) იყო ფრანგი არქიტექტორი ლე კორბუზიე. მოდულატორი ეფუძნება საზომ სისტემას, რომელიც დაკავშირებულია ადამიანის სხეულის ნაწილებად პირობით დაყოფასთან.

რუსი არქიტექტორი მ. კაზაკოვი, რომელმაც ააშენა რამდენიმე საცხოვრებელი კორპუსი მოსკოვში, ასევე სენატის შენობა კრემლში და გოლიცინის საავადმყოფო (ამჟამად ნ.ი. პიროგოვის სახელობის პირველი კლინიკური), იყო ერთ-ერთი არქიტექტორი, რომელმაც გამოიყენა კანონები დიზაინსა და დიზაინში. მშენებლობა ოქროს კვეთის შესახებ.

პროპორციების გამოყენება დიზაინში

ტანსაცმლის დიზაინში ყველა მოდის დიზაინერი ქმნის ახალ სურათებსა და მოდელებს ადამიანის სხეულის პროპორციებისა და ოქროს თანაფარდობის წესების გათვალისწინებით, თუმცა ბუნებით ყველა ადამიანს არ აქვს იდეალური პროპორციები.

ლანდშაფტის დიზაინის დაგეგმვისას და მცენარეების (ხეების და ბუჩქების), შადრევნების და მცირე არქიტექტურული ობიექტების დახმარებით სამგანზომილებიანი პარკის კომპოზიციების შექმნისას, ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას „ღვთაებრივი პროპორციების“ კანონები. პარკის კომპოზიცია ხომ ფოკუსირებული უნდა იყოს მნახველზე შთაბეჭდილების შექმნაზე, რომელიც თავისუფლად შეძლებს მასზე ნავიგაციას და კომპოზიციური ცენტრის პოვნას.

პარკის ყველა ელემენტი არის ისეთი პროპორციებით, რომ გეომეტრიული სტრუქტურის, ფარდობითი პოზიციის, განათებისა და სინათლის დახმარებით ქმნის ჰარმონიისა და სრულყოფილების შთაბეჭდილებას.

ოქროს თანაფარდობის გამოყენება კიბერნეტიკასა და ტექნოლოგიაში

ოქროს მონაკვეთის კანონები და ფიბონაჩის რიცხვები ასევე ჩნდება ენერგეტიკულ გადასვლებში, პროცესებში, რომლებიც მიმდინარეობს ელემენტარულ ნაწილაკებთან, რომლებიც ქმნიან ქიმიურ ნაერთებს, კოსმოსურ სისტემებში და დნმ-ის გენეტიკურ სტრუქტურაში.

მსგავსი პროცესები ხდება ადამიანის სხეულში, რაც ვლინდება მისი ცხოვრების ბიორიტმებში, ორგანოების მოქმედებაში, მაგალითად, ტვინი ან მხედველობა.

ოქროს პროპორციების ალგორითმები და ნიმუშები ფართოდ გამოიყენება თანამედროვე კიბერნეტიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში. ერთ-ერთი მარტივი ამოცანა, რომლის გადაჭრაც ახალბედა პროგრამისტებს ეძლევათ, არის ფორმულის დაწერა და ფიბონაჩის რიცხვების ჯამის განსაზღვრა პროგრამირების ენების გამოყენებით გარკვეულ რიცხვამდე.

ოქროს თანაფარდობის თეორიის თანამედროვე კვლევა

მე-20 საუკუნის შუა ხანებიდან მკვეთრად გაიზარდა ინტერესი ადამიანის ცხოვრებაზე ოქროს პროპორციების კანონების პრობლემებისა და გავლენისადმი და სხვადასხვა პროფესიის მრავალი მეცნიერის: მათემატიკოსების, ეთნიკური მკვლევარების, ბიოლოგების, ფილოსოფოსების, სამედიცინო მუშაკების, ეკონომისტების, მუსიკოსების, და ა.შ.

შეერთებულ შტატებში ჟურნალმა The Fibonacci Quarterly-მა გამოცემა დაიწყო 1970-იან წლებში, სადაც გამოქვეყნდა ნაშრომები ამ თემაზე. პრესაში ჩნდება ნამუშევრები, რომლებშიც ოქროს თანაფარდობის და ფიბონაჩის სერიების განზოგადებული წესები გამოიყენება ცოდნის სხვადასხვა სფეროში. მაგალითად, ინფორმაციის კოდირებისთვის, ქიმიური კვლევისთვის, ბიოლოგიური კვლევისთვის და ა.შ.

ეს ყველაფერი ადასტურებს ძველი და თანამედროვე მეცნიერების დასკვნებს, რომ ოქროს პროპორცია მრავალმხრივ არის დაკავშირებული მეცნიერების ფუნდამენტურ საკითხებთან და გამოიხატება ჩვენს გარშემო არსებული სამყაროს მრავალი ქმნილებისა და ფენომენის სიმეტრიაში.