ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი

ჩვენ ვაგრძელებთ ვექტორებთან ურთიერთობას. პირველ გაკვეთილზე ვექტორები დუმებისთვისჩვენ გადავხედეთ ვექტორის კონცეფციას, ვექტორებთან მოქმედებებს, ვექტორულ კოორდინატებს და ვექტორებთან უმარტივეს ამოცანებს. თუ ამ გვერდზე პირველად მოხვედით საძიებო სისტემიდან, გირჩევთ წაიკითხოთ ზემოაღნიშნული შესავალი სტატია, რადგან მასალის ათვისებისთვის საჭიროა გაეცნოთ ჩემს მიერ გამოყენებულ ტერმინებსა და აღნიშვნებს, გქონდეთ საბაზისო ცოდნა ვექტორებისა და შესახებ. შეძლოს ძირითადი პრობლემების გადაჭრა. ეს გაკვეთილი არის თემის ლოგიკური გაგრძელება და მასში დეტალურად გავაანალიზებ ტიპურ ამოცანებს, რომლებიც იყენებენ ვექტორების სკალარული ნამრავლს. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი აქტივობა.. ეცადეთ, არ გამოტოვოთ მაგალითები; მათ მოყვება სასარგებლო ბონუსი - პრაქტიკა დაგეხმარებათ გააერთიანოთ თქვენ მიერ გაშუქებული მასალა და გააუმჯობესოთ ანალიტიკური გეომეტრიის საერთო პრობლემების გადაჭრა.

ვექტორების შეკრება, ვექტორის გამრავლება რიცხვზე.... გულუბრყვილო იქნება ვიფიქროთ, რომ მათემატიკოსებს სხვა რამე არ მოუგონიათ. გარდა უკვე განხილული მოქმედებებისა, არსებობს მრავალი სხვა ოპერაციები ვექტორებით, კერძოდ: ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, ვექტორების ვექტორული ნამრავლიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი. ვექტორების სკალარული ნამრავლი ჩვენთვის ცნობილია სკოლიდან, დანარჩენი ორი პროდუქტი ტრადიციულად უმაღლესი მათემატიკის კურსს მიეკუთვნება. თემები მარტივია, ბევრი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი პირდაპირი და გასაგები. ერთადერთი რამ. არსებობს ინფორმაციის სოლიდური რაოდენობა, ამიტომ არასასურველია ყველაფრის ერთდროულად დაუფლებისა და ამოხსნის მცდელობა. ეს განსაკუთრებით ეხება დუმს; მერწმუნეთ, ავტორს აბსოლუტურად არ სურს თავი იგრძნოს ჩიკატილოში მათემატიკიდან. რა თქმა უნდა, არც მათემატიკიდან =) უფრო მომზადებულ სტუდენტებს შეუძლიათ გამოიყენონ მასალები შერჩევითად, გარკვეული გაგებით, "მიიღონ" დაკარგული ცოდნა; შენთვის მე ვიქნები უვნებელი გრაფი დრაკულა =)

ბოლოს გავაღოთ კარი და ენთუზიაზმით ვუყუროთ რა ხდება, როცა ორი ვექტორი ერთმანეთს ხვდება...

ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტება.
სკალარული პროდუქტის თვისებები. ტიპიური ამოცანები

წერტილი პროდუქტის კონცეფცია

ჯერ შესახებ კუთხე ვექტორებს შორის. ვფიქრობ, ყველას ინტუიციურად ესმის, რა არის კუთხე ვექტორებს შორის, მაგრამ ყოველი შემთხვევისთვის, ცოტა უფრო დეტალურად. განვიხილოთ თავისუფალი არანულოვანი ვექტორები და . თუ ამ ვექტორებს დახაზავთ თვითნებური წერტილიდან, მიიღებთ სურათს, რომელიც ბევრს უკვე გონებრივად წარმოუდგენია:

ვაღიარებ, აქ მე აღვწერე სიტუაცია მხოლოდ გაგების დონეზე. თუ თქვენ გჭირდებათ ვექტორებს შორის კუთხის მკაცრი განსაზღვრა, გთხოვთ, მიმართოთ სახელმძღვანელოს; პრაქტიკული პრობლემებისთვის, პრინციპში, ეს არ გვჭირდება. ასევე აქ და აქ მე იგნორირებას მოვახდენ ნულოვან ვექტორებს ადგილებზე მათი დაბალი პრაქტიკული მნიშვნელობის გამო. მე გავაკეთე დაჯავშნა სპეციალურად საიტის მოწინავე ვიზიტორებისთვის, რომლებმაც შეიძლება მსაყვედურონ ზოგიერთი შემდგომი განცხადების თეორიული არასრულყოფილების გამო.

შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0-დან 180 გრადუსამდე (0-დან რადიანამდე), მათ შორის. ანალიტიკურად, ეს ფაქტი ორმაგი უტოლობის სახით იწერება: ან (რადიანებში).

ლიტერატურაში კუთხის სიმბოლო ხშირად გამოტოვებულია და უბრალოდ იწერება.

განმარტება:ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ამ ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლის:

ახლა ეს საკმაოდ მკაცრი განმარტებაა.

ჩვენ ყურადღებას ვამახვილებთ არსებით ინფორმაციას:

Დანიშნულება:სკალარული პროდუქტი აღინიშნება ან უბრალოდ.

ოპერაციის შედეგი არის NUMBER: ვექტორი მრავლდება ვექტორზე და შედეგი არის რიცხვი. მართლაც, თუ ვექტორების სიგრძე რიცხვებია, კუთხის კოსინუსი არის რიცხვი, მაშინ მათი ნამრავლი ასევე იქნება რიცხვი.

გახურების რამდენიმე მაგალითი:

მაგალითი 1

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას . Ამ შემთხვევაში:

პასუხი:

კოსინუსების მნიშვნელობები შეგიძლიათ იხილოთ ტრიგონომეტრიული ცხრილი. მის დაბეჭდვას გირჩევთ - კოშკის თითქმის ყველა მონაკვეთში იქნება საჭირო და ბევრჯერ დასჭირდება.

წმინდა მათემატიკური თვალსაზრისით, სკალარული პროდუქტი არის განზომილებიანი, ანუ შედეგი, ამ შემთხვევაში, მხოლოდ რიცხვია და ეს არის ის. ფიზიკის პრობლემების თვალსაზრისით, სკალარული პროდუქტი ყოველთვის აქვს გარკვეული ფიზიკური მნიშვნელობა, ანუ შედეგის შემდეგ უნდა იყოს მითითებული ერთი ან სხვა ფიზიკური ერთეული. ძალის მუშაობის გამოთვლის კანონიკური მაგალითი შეგიძლიათ ნახოთ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში (ფორმულა არის ზუსტად სკალარული ნამრავლი). ძალის მუშაობა იზომება ჯოულებში, შესაბამისად, პასუხი დაიწერება საკმაოდ კონკრეტულად, მაგალითად, .

მაგალითი 2

იპოვეთ თუ , ხოლო ვექტორებს შორის კუთხე უდრის .

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომლითაც შეგიძლიათ თავად გადაჭრათ პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

კუთხე ვექტორებსა და წერტილოვანი პროდუქტის მნიშვნელობას შორის

მაგალით 1-ში სკალარული პროდუქტი აღმოჩნდა დადებითი, ხოლო მაგალით 2-ში უარყოფითი. მოდით გავარკვიოთ, რაზეა დამოკიდებული სკალარული პროდუქტის ნიშანი. მოდით შევხედოთ ჩვენს ფორმულას: . არანულოვანი ვექტორების სიგრძე ყოველთვის დადებითია: , ასე რომ ნიშანი შეიძლება მხოლოდ კოსინუსის მნიშვნელობაზე იყოს დამოკიდებული.

Შენიშვნა: ქვემოთ მოყვანილი ინფორმაციის უკეთ გასაგებად, უმჯობესია შეისწავლოთ სახელმძღვანელოში მოცემული კოსინუს გრაფიკი ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. ნახეთ, როგორ იქცევა კოსინუსი სეგმენტზე.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ვექტორებს შორის კუთხე შეიძლება განსხვავდებოდეს შიგნით და შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები:

1) თუ კუთხევექტორებს შორის ცხარე: (0-დან 90 გრადუსამდე), შემდეგ , და წერტილის პროდუქტი დადებითი იქნება თანარეჟისორი, მაშინ მათ შორის კუთხე განიხილება ნულოვანი და სკალარული პროდუქტი ასევე დადებითი იქნება. ვინაიდან ფორმულა ამარტივებს: .

2) თუ კუთხევექტორებს შორის ბლაგვი: (90-დან 180 გრადუსამდე), შემდეგ და შესაბამისად, წერტილოვანი პროდუქტი უარყოფითია: . განსაკუთრებული შემთხვევა: თუ ვექტორები საპირისპირო მიმართულებები, მაშინ განიხილება მათ შორის კუთხე გაფართოვდა: (180 გრადუსი). სკალარული პროდუქტი ასევე უარყოფითია, ვინაიდან

საპირისპირო განცხადებები ასევე მართალია:

1) თუ , მაშინ ამ ვექტორებს შორის კუთხე მკვეთრია. ალტერნატიულად, ვექტორები თანამიმართულია.

2) თუ , მაშინ ამ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია. გარდა ამისა, ვექტორები საპირისპირო მიმართულებით არიან.

მაგრამ მესამე შემთხვევა განსაკუთრებით საინტერესოა:

3) თუ კუთხევექტორებს შორის სწორი: (90 გრადუსი), მაშინ სკალარული პროდუქტი ნულის ტოლია: . პირიქითაც მართალია: თუ , მაშინ . განცხადება შეიძლება კომპაქტურად ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები ორთოგონალურია. მოკლე მათემატიკური აღნიშვნა:

! შენიშვნა : გავიმეოროთ მათემატიკური ლოგიკის საფუძვლები: ორმხრივი ლოგიკური შედეგის ხატულა ჩვეულებრივ იკითხება "თუ და მხოლოდ თუ", "თუ და მხოლოდ თუ". როგორც ხედავთ, ისრები მიმართულია ორივე მიმართულებით - ”აქედან მოჰყვება ეს და პირიქით - აქედან მოჰყვება ამას”. სხვათა შორის, რა განსხვავებაა ცალმხრივი მიმდევრობის ხატულისგან? ხატი აცხადებს მხოლოდ ის, რომ „აქედან გამომდინარეობს ეს“, და ფაქტი არ არის, რომ პირიქითაა. მაგალითად: , მაგრამ ყველა ცხოველი არ არის პანტერა, ამიტომ ამ შემთხვევაში ხატის გამოყენება არ შეიძლება. ამავე დროს, ხატის ნაცვლად შეუძლიაგამოიყენეთ ცალმხრივი ხატულა. მაგალითად, ამოცანის ამოხსნისას გავარკვიეთ, რომ დავასკვენით, რომ ვექტორები ორთოგონალურია: - ასეთი ჩანაწერი იქნება სწორი და უფრო შესაბამისიც .

მესამე შემთხვევას დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს, რადგან ის საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ ვექტორები ორთოგონალურია თუ არა. ამ პრობლემას გაკვეთილის მეორე ნაწილში მოვაგვარებთ.

წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

დავუბრუნდეთ სიტუაციას, როდესაც ორი ვექტორია თანარეჟისორი. ამ შემთხვევაში, მათ შორის კუთხე არის ნული, და სკალარული პროდუქტის ფორმულა იღებს ფორმას: .

რა მოხდება, თუ ვექტორი თავის თავზე მრავლდება? ნათელია, რომ ვექტორი შეესაბამება საკუთარ თავს, ამიტომ ვიყენებთ ზემოთ გამარტივებულ ფორმულას:

ნომერზე იწოდება სკალარული კვადრატივექტორი და აღინიშნება როგორც .

ამრიგად, ვექტორის სკალარული კვადრატი უდრის მოცემული ვექტორის სიგრძის კვადრატს:

ამ თანასწორობიდან შეგვიძლია მივიღოთ ვექტორის სიგრძის გამოსათვლელი ფორმულა:

ჯერჯერობით გაურკვეველი ჩანს, მაგრამ გაკვეთილის მიზნები ყველაფერს თავის ადგილზე დააყენებს. პრობლემების გადასაჭრელად ჩვენც გვჭირდება წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები.

თვითნებური ვექტორებისთვის და ნებისმიერი რიცხვისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) – შემცვლელი ან შემცვლელისკალარული პროდუქტის კანონი.

2) – განაწილება ან გამანაწილებელისკალარული პროდუქტის კანონი. უბრალოდ, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები.

3) – ასოციაციური ან ასოციაციურისკალარული პროდუქტის კანონი. მუდმივი შეიძლება იყოს მიღებული სკალარული პროდუქტიდან.

ხშირად, ყველა სახის თვისება (რომელიც ასევე საჭიროებს დამტკიცებას!) სტუდენტების მიერ აღიქმება, როგორც არასაჭირო ნაგავი, რომლის დამახსოვრება და უსაფრთხოდ დავიწყება მხოლოდ გამოცდის შემდეგ დაუყოვნებლივ უნდა. როგორც ჩანს, რაც აქ მნიშვნელოვანია, ყველამ უკვე პირველი კლასიდან იცის, რომ ფაქტორების გადალაგება პროდუქტს არ ცვლის: . უნდა გაგაფრთხილო, რომ უმაღლეს მათემატიკაში ასეთი მიდგომით საქმის არევა ადვილია. ასე რომ, მაგალითად, კომუტაციური თვისება არ შეესაბამება სიმართლეს ალგებრული მატრიცები. ის ასევე არ შეესაბამება სიმართლეს ვექტორების ვექტორული ნამრავლი. ამიტომ, მინიმუმ, უმჯობესია ჩავუღრმავდეთ ნებისმიერ თვისებას, რომელსაც შეგხვდებათ უმაღლესი მათემატიკის კურსზე, რათა გაიგოთ, რისი გაკეთება შეგიძლიათ და რისი გაკეთება არ შეგიძლიათ.

მაგალითი 3

.

გამოსავალი:ჯერ განვმარტოთ სიტუაცია ვექტორთან დაკავშირებით. ეს მაინც რა არის? ვექტორთა ჯამი არის კარგად განსაზღვრული ვექტორი, რომელიც აღინიშნება . ვექტორებთან მოქმედებების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში ვექტორები დუმებისთვის. იგივე ოხრახუში ვექტორთან არის ვექტორების ჯამი და .

ასე რომ, პირობის მიხედვით, საჭიროა სკალარული პროდუქტის პოვნა. თეორიულად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სამუშაო ფორმულა , მაგრამ უბედურება ის არის, რომ ჩვენ არ ვიცით ვექტორების სიგრძე და მათ შორის კუთხე. მაგრამ პირობა იძლევა მსგავს პარამეტრებს ვექტორებისთვის, ამიტომ ჩვენ სხვა მარშრუტს მივიღებთ:

(1) ჩაანაცვლეთ ვექტორების გამოსახულებები.

(2) ფრჩხილებს ვხსნით მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით; ვულგარული ენის ტრიალი შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში. რთული რიცხვებიან წილადი-რაციონალური ფუნქციის ინტეგრირება. არ გავიმეორო =) სხვათა შორის, სკალარული პროდუქტის გამანაწილებელი თვისება საშუალებას გვაძლევს გავხსნათ ფრჩხილები. ჩვენ გვაქვს უფლება.

(3) პირველ და ბოლო ტერმინებში ჩვენ კომპაქტურად ვწერთ ვექტორების სკალარული კვადრატებს: . მეორე ტერმინში ვიყენებთ სკალარული ნამრავლის ცვალებადობას: .

(4) წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს: .

(5) პირველ ტერმინში ვიყენებთ სკალარული კვადრატის ფორმულას, რომელიც არც ისე დიდი ხნის წინ იყო ნახსენები. ბოლო ტერმინში, შესაბამისად, იგივე მუშაობს: . მეორე ტერმინს ვაფართოვებთ სტანდარტული ფორმულის მიხედვით .

(6) ჩაანაცვლეთ ეს პირობები , და ფრთხილად განახორციელეთ საბოლოო გამოთვლები.

პასუხი:

სკალარული პროდუქტის უარყოფითი მნიშვნელობა მიუთითებს იმაზე, რომ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია.

პრობლემა ტიპიურია, აქ არის მაგალითი საკუთარი თავის გადასაჭრელად:

მაგალითი 4

იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი და თუ ცნობილია, რომ .

ახლა კიდევ ერთი საერთო დავალება, მხოლოდ ვექტორის სიგრძის ახალი ფორმულისთვის. აქ აღნიშვნა ოდნავ გადაფარვითი იქნება, ამიტომ სიცხადისთვის მას სხვა ასოთი გადავწერ:

მაგალითი 5

იპოვეთ ვექტორის სიგრძე თუ .

გამოსავალიიქნება შემდეგი:

(1) ჩვენ ვაძლევთ გამონათქვამს ვექტორისთვის.

(2) ჩვენ ვიყენებთ სიგრძის ფორმულას: , და მთელი გამოხატულება ve მოქმედებს როგორც ვექტორი "ve".

(3) ვიყენებთ სკოლის ფორმულას ჯამის კვადრატისთვის. დააკვირდით, როგორ მუშაობს აქ კურიოზულად: - სინამდვილეში, ეს არის განსხვავების კვადრატი და, ფაქტობრივად, ასეა. მსურველებს შეუძლიათ ვექტორების გადაწყობა: - იგივე ხდება, ტერმინების გადალაგებამდე.

(4) რაც შემდეგშია უკვე ნაცნობი ორი წინა პრობლემისგან.

პასუხი:

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ სიგრძეზე, არ უნდა დაგვავიწყდეს მიუთითოთ განზომილება - "ერთეულები".

მაგალითი 6

იპოვეთ ვექტორის სიგრძე თუ .

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ ვაგრძელებთ სასარგებლო ნივთების გამოწურვას წერტილოვანი პროდუქტიდან. მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჩვენს ფორმულას . პროპორციის წესის გამოყენებით, ჩვენ ვაბრუნებთ ვექტორების სიგრძეს მარცხენა მხარის მნიშვნელზე:

მოდით გავცვალოთ ნაწილები:

რა აზრი აქვს ამ ფორმულას? თუ ცნობილია ორი ვექტორის სიგრძე და მათი სკალარული ნამრავლი, მაშინ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი და, შესაბამისად, თავად კუთხე.

წერტილოვანი პროდუქტი რიცხვია? ნომერი. არის თუ არა ვექტორული სიგრძე რიცხვები? ნომრები. ეს ნიშნავს, რომ წილადიც არის რიცხვი. და თუ ცნობილია კუთხის კოსინუსი: , შემდეგ ინვერსიული ფუნქციის გამოყენებით ადვილია თავად კუთხის პოვნა: .

მაგალითი 7

იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის და თუ ცნობილია, რომ .

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

გამოთვლების დასკვნით ეტაპზე გამოიყენეს ტექნიკური ტექნიკა - მნიშვნელში ირაციონალურობის აღმოფხვრა. ირაციონალურობის აღმოსაფხვრელად მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლე.

ასე რომ, თუ , ეს:

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების პოვნა შესაძლებელია ტრიგონომეტრიული ცხრილი. მიუხედავად იმისა, რომ ეს იშვიათად ხდება. ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში ბევრად უფრო ხშირად რაღაც მოუხერხებელი დათვი მოსწონს და კუთხის მნიშვნელობა დაახლოებით კალკულატორის გამოყენებით უნდა მოიძებნოს. სინამდვილეში, ასეთ სურათს არაერთხელ ვიხილავთ.

პასუხი:

კიდევ ერთხელ, არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ ზომები - რადიანები და გრადუსები. პირადად, იმისთვის, რომ აშკარად "ყველა კითხვა გადაჭრას", მირჩევნია ორივე მივუთითო (თუ პირობა, რა თქმა უნდა, არ მოითხოვს პასუხის წარმოდგენას მხოლოდ რადიანებით ან მხოლოდ გრადუსით).

ახლა თქვენ შეგიძლიათ დამოუკიდებლად გაუმკლავდეთ უფრო რთულ ამოცანას:

მაგალითი 7*

მოცემულია ვექტორების სიგრძე და მათ შორის კუთხე. იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის, .

ამოცანა არც ისე რთულია, რამდენადაც მრავალსაფეხურიანია.
მოდით შევხედოთ ამოხსნის ალგორითმს:

1) პირობის მიხედვით, თქვენ უნდა იპოვოთ კუთხე ვექტორებს შორის და ასე რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა .

2) იპოვეთ სკალარული ნამრავლი (იხ. მაგალითები No3, 4).

3) იპოვეთ ვექტორის სიგრძე და ვექტორის სიგრძე (იხ. მაგალითები No5, 6).

4) ამოხსნის დასასრული ემთხვევა მაგალითს No7 - ჩვენ ვიცით რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ ადვილია თავად კუთხის პოვნა:

მოკლე გამოსავალი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

გაკვეთილის მეორე ნაწილი ეთმობა იმავე სკალარულ პროდუქტს. კოორდინატები. ეს კიდევ უფრო ადვილი იქნება, ვიდრე პირველ ნაწილში.

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი,
კოორდინატებით მოცემულია ორთონორმალური საფუძველზე

პასუხი:

ზედმეტია იმის თქმა, რომ კოორდინატებთან ურთიერთობა გაცილებით სასიამოვნოა.

მაგალითი 14

იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი და თუ

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ოპერაციების ასოციაციურობა, ანუ არ დათვალოთ, მაგრამ დაუყოვნებლივ აიღოთ სამმაგი სკალარული პროდუქტის გარეთ და გაამრავლოთ მასზე ბოლოს. გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

განყოფილების ბოლოს, პროვოკაციული მაგალითი ვექტორის სიგრძის გამოთვლის შესახებ:

მაგალითი 15

იპოვეთ ვექტორების სიგრძე , თუ

გამოსავალი:წინა ნაწილის მეთოდი კიდევ ერთხელ გვთავაზობს თავის თავს: მაგრამ არსებობს სხვა გზა:

ვიპოვოთ ვექტორი:

და მისი სიგრძე ტრივიალური ფორმულის მიხედვით :

წერტილოვანი პროდუქტი აქ საერთოდ არ არის აქტუალური!

ასევე არ არის გამოსადეგი ვექტორის სიგრძის გაანგარიშებისას:
გაჩერდი. არ უნდა ვისარგებლოთ ვექტორის სიგრძის აშკარა თვისებით? რას იტყვით ვექტორის სიგრძეზე? ეს ვექტორი ვექტორზე 5-ჯერ გრძელია. მიმართულება საპირისპიროა, მაგრამ ამას არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან ჩვენ ვსაუბრობთ სიგრძეზე. ცხადია, ვექტორის სიგრძე ნამრავლის ტოლია მოდულირიცხვები ვექტორის სიგრძეზე:
– მოდულის ნიშანი „ჭამს“ რიცხვის შესაძლო მინუსს.

ამრიგად:

პასუხი:

ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულა, რომლებიც მითითებულია კოორდინატებით

ახლა ჩვენ გვაქვს სრული ინფორმაცია ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსისთვის ადრე მიღებული ფორმულის გამოსახატავად ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით:

სიბრტყის ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსიდა, მითითებული ორთონორმალურ საფუძველზე, გამოხატული ფორმულით:
.

სივრცის ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი, მითითებული ორთონორმალურ საფუძველზე, გამოხატული ფორმულით:

მაგალითი 16

მოცემულია სამკუთხედის სამი წვერო. იპოვეთ (ვერტექსის კუთხე).

გამოსავალი:პირობების მიხედვით, ნახაზი არ არის საჭირო, მაგრამ მაინც:

საჭირო კუთხე აღინიშნება მწვანე რკალით. დაუყოვნებლივ გავიხსენოთ კუთხის სკოლის აღნიშვნა: – განსაკუთრებული ყურადღება საშუალოასო - ეს არის ჩვენთვის საჭირო კუთხის წვერო. მოკლედ, შეგიძლიათ უბრალოდ დაწეროთ.

ნახაზიდან აშკარად ჩანს, რომ სამკუთხედის კუთხე ემთხვევა ვექტორებს შორის კუთხეს და სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: .

მიზანშეწონილია ისწავლოთ ანალიზის გონებრივად ჩატარება.

მოდი ვიპოვოთ ვექტორები:

მოდით გამოვთვალოთ სკალარული პროდუქტი:

და ვექტორების სიგრძე:

კუთხის კოსინუსი:

ზუსტად ეს არის დავალების შესრულების თანმიმდევრობა, რომელსაც მე გირჩევ დუიმებს. უფრო მოწინავე მკითხველებს შეუძლიათ დაწერონ გამოთვლები "ერთ ხაზზე":

აქ არის "ცუდი" კოსინუსური მნიშვნელობის მაგალითი. შედეგად მიღებული მნიშვნელობა არ არის საბოლოო, ამიტომ მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორებას აზრი არ აქვს.

მოდი ვიპოვოთ თავად კუთხე:

თუ ნახატს დააკვირდებით, შედეგი საკმაოდ დამაჯერებელია. შესამოწმებლად, კუთხე ასევე შეიძლება გაიზომოს პროტრატორით. არ დააზიანოთ მონიტორის საფარი =)

პასუხი:

პასუხში ეს არ გვავიწყდება იკითხა სამკუთხედის კუთხის შესახებ(და არა ვექტორებს შორის კუთხის შესახებ), არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ ზუსტი პასუხი: და კუთხის სავარაუდო მნიშვნელობა: , ნაპოვნია კალკულატორის გამოყენებით.

მათ, ვინც სარგებლობდა პროცესით, შეუძლია გამოთვალოს კუთხეები და გადაამოწმოს კანონიკური თანასწორობის მართებულობა

მაგალითი 17

სამკუთხედი სივრცეში განისაზღვრება მისი წვეროების კოორდინატებით. იპოვეთ კუთხე გვერდებს შორის და

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს

მოკლე საბოლოო განყოფილება დაეთმობა პროგნოზებს, რომლებიც ასევე მოიცავს სკალარულ პროდუქტს:

ვექტორის პროექცია ვექტორზე. ვექტორის პროექცია კოორდინატულ ღერძებზე.
ვექტორის მიმართულების კოსინუსები

განვიხილოთ ვექტორები და:

მოდით დავგეგმოთ ვექტორი ვექტორზე; ამისათვის ჩვენ გამოვტოვებთ ვექტორის დასაწყისიდან და ბოლოდან. პერპენდიკულარებივექტორამდე (მწვანე წერტილოვანი ხაზები). წარმოიდგინეთ, რომ სინათლის სხივები პერპენდიკულარულად ეცემა ვექტორზე. მაშინ სეგმენტი (წითელი ხაზი) ​​იქნება ვექტორის "ჩრდილი". ამ შემთხვევაში, ვექტორის პროექცია ვექტორზე არის სეგმენტის სიგრძე. ანუ პროექცია არის რიცხვი.

ეს რიცხვი შემდეგნაირად აღინიშნება: , „დიდი ვექტორი“ აღნიშნავს ვექტორს რომელიპროექტი, „მცირე ქვესკრიპტის ვექტორი“ აღნიშნავს ვექტორს ჩართულიარომელიც დაპროექტებულია.

თავად ჩანაწერი ასე იკითხება: "ვექტორის "a" პროექცია ვექტორზე "be".

რა მოხდება, თუ ვექტორი "be" არის "ძალიან მოკლე"? ვხატავთ სწორ ხაზს, რომელიც შეიცავს ვექტორს "be". და ვექტორი "a" უკვე დაპროექტებული იქნება ვექტორის "იყოს" მიმართულებით, უბრალოდ - სწორ ხაზამდე, რომელიც შეიცავს ვექტორს "be". იგივე მოხდება, თუ ვექტორი "a" გადაიდება ოცდამეათე სამეფოში - ის მაინც ადვილად იქნება დაპროექტებული სწორ ხაზზე, რომელიც შეიცავს ვექტორს "be".

თუ კუთხევექტორებს შორის ცხარე(როგორც სურათზე), მაშინ

თუ ვექტორები ორთოგონალური, მაშინ (პროექცია არის წერტილი, რომლის ზომები ითვლება ნულამდე).

თუ კუთხევექტორებს შორის ბლაგვი(სურათზე, გონებრივად გადაასწორეთ ვექტორული ისარი), შემდეგ (იგივე სიგრძე, მაგრამ აღებული მინუს ნიშნით).

მოდით გამოვსახოთ ეს ვექტორები ერთი წერტილიდან:

ცხადია, როდესაც ვექტორი მოძრაობს, მისი პროექცია არ იცვლება

ასევე იქნება თქვენთვის გადასაჭრელი პრობლემები, რომლებზეც შეგიძლიათ ნახოთ პასუხები.

თუ პრობლემაში ვექტორების სიგრძეც და კუთხეც მათ შორისაა წარმოდგენილი "ვერცხლის ლანგარზე", მაშინ პრობლემის მდგომარეობა და მისი ამოხსნა ასე გამოიყურება:

მაგალითი 1.მოცემულია ვექტორები. იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი, თუ მათი სიგრძე და მათ შორის კუთხე წარმოდგენილია შემდეგი მნიშვნელობებით:

ასევე მოქმედებს სხვა განმარტება, რომელიც სრულიად ექვივალენტურია 1-ლი განმარტებისა.

განმარტება 2. ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი (სკალარული) ტოლი ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთის სიგრძისა და მეორე ვექტორის პროექციის ღერძზე, რომელიც განსაზღვრულია ამ ვექტორებიდან პირველით. ფორმულა მე-2 განმარტების მიხედვით:

ამოცანას ამ ფორმულის გამოყენებით მოვაგვარებთ შემდეგი მნიშვნელოვანი თეორიული პუნქტის შემდეგ.

ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტება კოორდინატების მიხედვით

იგივე რიცხვი შეიძლება მივიღოთ, თუ გამრავლებულ ვექტორებს მიეცემათ მათი კოორდინატები.

განმარტება 3.ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი არის რიცხვი, რომელიც ტოლია მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების ჯამს.

ზედაპირზე

თუ ორი ვექტორი და სიბრტყეზე განისაზღვრება მათი ორით დეკარტის მართკუთხა კოორდინატები

მაშინ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების ჯამს:

.

მაგალითი 2.იპოვეთ ვექტორის პროექციის რიცხვითი მნიშვნელობა ვექტორის პარალელურ ღერძზე.

გამოსავალი. ვექტორების სკალარული ნამრავლს ვპოულობთ მათი კოორდინატების წყვილი ნამრავლის დამატებით:

ახლა ჩვენ უნდა გავაიგივოთ მიღებული სკალარული ნამრავლი ვექტორის სიგრძის ნამრავლთან და ვექტორის პროექცია ვექტორის პარალელურ ღერძზე (ფორმულის შესაბამისად).

ვექტორის სიგრძეს ვპოულობთ, როგორც მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი:

.

ჩვენ ვქმნით განტოლებას და ვხსნით მას:

უპასუხე. საჭირო რიცხვითი მნიშვნელობა არის მინუს 8.

Კოსმოსში

თუ ორი ვექტორი და სივრცეში განისაზღვრება მათი სამი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატით

,

მაშინ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი ასევე უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლის ჯამს, მხოლოდ იქ უკვე სამი კოორდინატია:

.

განხილული მეთოდის გამოყენებით სკალარული პროდუქტის პოვნის ამოცანაა სკალარული პროდუქტის თვისებების ანალიზი. რადგან პრობლემაში დაგჭირდებათ განსაზღვროთ რა კუთხეს ქმნის გამრავლებული ვექტორები.

ვექტორების სკალარული ნამრავლის თვისებები

ალგებრული თვისებები

1. (კომუტაციური თვისება: გამრავლებული ვექტორების ადგილების შებრუნება არ ცვლის მათი სკალარული ნამრავლის მნიშვნელობას).

2. (ასოციაციური თვისება რიცხვითი ფაქტორის მიმართ: ვექტორის სკალარული ნამრავლი გამრავლებული გარკვეულ ფაქტორზე და სხვა ვექტორი ტოლია ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამრავლებული იმავე კოეფიციენტზე).

3. (გამანაწილებელი თვისება ვექტორთა ჯამის მიმართ: მესამე ვექტორის მიერ ორი ვექტორის ჯამის სკალარული ნამრავლი უდრის პირველი ვექტორის სკალარული ნამრავლების ჯამს მესამე ვექტორზე და მეორე ვექტორის მესამე ვექტორზე).

4. (ნულზე მეტი ვექტორის სკალარული კვადრატი), თუ არის არანულოვანი ვექტორი და, თუ არის ნულოვანი ვექტორი.

გეომეტრიული თვისებები

შესასწავლი ოპერაციის განმარტებებში უკვე შევეხეთ ორ ვექტორს შორის კუთხის ცნებას. დროა განვმარტოთ ეს კონცეფცია.

ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი ვექტორი, რომლებიც მიყვანილია საერთო საწყისამდე. და პირველი, რასაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ არის ის, რომ ამ ვექტორებს შორის არის ორი კუთხე - φ 1 და φ 2 . ამ კუთხიდან რომელი ჩნდება ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტებებსა და თვისებებში? განხილული კუთხეების ჯამი არის 2 π და ამიტომ ამ კუთხეების კოსინუსები ტოლია. წერტილოვანი პროდუქტის განმარტება მოიცავს მხოლოდ კუთხის კოსინუსს და არა მისი გამოხატვის მნიშვნელობას. მაგრამ თვისებები მხოლოდ ერთ კუთხეს ითვალისწინებს. და ეს არის ერთი ორი კუთხიდან, რომელიც არ აღემატება π ანუ 180 გრადუსი. ფიგურაში ეს კუთხე მითითებულია როგორც φ 1 .

1. ორი ვექტორი ეწოდება ორთოგონალური და ამ ვექტორებს შორის კუთხე სწორია (90 გრადუსი ან π /2), თუ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის ნული :

.

ორთოგონალობა ვექტორულ ალგებრაში არის ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობა.

2. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება მკვეთრი კუთხე (0-დან 90 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა - ნაკლები π წერტილოვანი პროდუქტი დადებითია .

3. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება ბლაგვი კუთხე (90-დან 180 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა - მეტი π /2) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი წერტილოვანი პროდუქტი უარყოფითია .

მაგალითი 3.კოორდინატები მოცემულია ვექტორებით:

.

გამოთვალეთ მოცემული ვექტორების ყველა წყვილის სკალარული ნამრავლები. რა კუთხეს (მწვავე, მარჯვენა, ბლაგვი) ქმნიან ვექტორების ეს წყვილი?

გამოსავალი. გამოვთვლით შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების მიმატებით.

მივიღეთ უარყოფითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან ბლაგვ კუთხეს.

მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.

მივიღეთ ნული, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მართ კუთხეს.

მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.

.

მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .

მაგალითი 4.მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე:

.

დაადგინეთ რიცხვის რომელ მნიშვნელობზეა ვექტორები და არიან ორთოგონალური (პერპენდიკულარული).

გამოსავალი. მოდით გავამრავლოთ ვექტორები მრავალწევრების გამრავლების წესის გამოყენებით:

ახლა მოდით გამოვთვალოთ თითოეული ტერმინი:

.

შევქმნათ განტოლება (ნამრავლი ტოლია ნულის), დავამატოთ მსგავსი ტერმინები და ამოხსნათ განტოლება:

პასუხი: ჩვენ მივიღეთ ღირებულება λ = 1.8, სადაც ვექტორები ორთოგონალურია.

მაგალითი 5.დაამტკიცეთ რომ ვექტორი ვექტორთან ორთოგონალური (პერპენდიკულარული).

გამოსავალი. ორთოგონალურობის შესამოწმებლად, ჩვენ ვამრავლებთ ვექტორებს და როგორც მრავალწევრებს, ჩაანაცვლებს პრობლემის დებულებაში მოცემულ გამოსახულებას:

.

ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი მრავალწევრის თითოეული წევრი (ტერმინი) მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქტები:

.

შედეგად, ფრაქცია მცირდება. მიიღება შემდეგი შედეგი:

დასკვნა: გამრავლების შედეგად მივიღეთ ნული, შესაბამისად, დადასტურებულია ვექტორების ორთოგონალურობა (პერპენდიკულარულობა).

თავად მოაგვარეთ პრობლემა და შემდეგ იხილეთ გამოსავალი

მაგალითი 6.ვექტორების სიგრძე და მოცემულია და კუთხე ამ ვექტორებს შორის არის π /4. განსაზღვრეთ რა ღირებულებით μ ვექტორები და ერთმანეთის პერპენდიკულარულია.

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის მატრიცული წარმოდგენა და n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლი

ზოგჯერ სიცხადისთვის ხელსაყრელია ორი გამრავლებული ვექტორის წარმოდგენა მატრიცების სახით. შემდეგ პირველი ვექტორი წარმოდგენილია მწკრივის მატრიცის სახით, ხოლო მეორე - სვეტის მატრიცის სახით:

მაშინ ვექტორების სკალარული ნამრავლი იქნება ამ მატრიცების პროდუქტი :

შედეგი იგივეა, რაც ჩვენ მიერ უკვე განხილული მეთოდით მიღებული. ჩვენ მივიღეთ ერთი რიცხვი, ხოლო მწკრივის მატრიცის ნამრავლი სვეტის მატრიცით არის ასევე ერთი რიცხვი.

მოსახერხებელია აბსტრაქტული n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლის წარმოდგენა მატრიცის სახით. ამრიგად, ორი ოთხგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ოთხი ელემენტით სვეტის მატრიცით ასევე ოთხი ელემენტით, ორი ხუთგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ხუთი ელემენტით. სვეტის მატრიცა ასევე ხუთი ელემენტით და ა.შ.

მაგალითი 7.იპოვნეთ ვექტორთა წყვილის სკალარული ნამრავლი

,

მატრიცული წარმოდგენის გამოყენებით.

გამოსავალი. ვექტორების პირველი წყვილი. ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ ვექტორს, როგორც მწკრივის მატრიცას, ხოლო მეორეს, როგორც სვეტის მატრიცას. ჩვენ ვპოულობთ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლს, როგორც მწკრივის მატრიცის და სვეტის მატრიცის ნამრავლს:

ჩვენ ანალოგიურად წარმოვადგენთ მეორე წყვილს და ვპოულობთ:

როგორც ხედავთ, შედეგები იგივე იყო, რაც იგივე წყვილებისთვის მე-2 მაგალითიდან.

კუთხე ორ ვექტორს შორის

ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულის წარმოშობა ძალიან ლამაზი და ლაკონურია.

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის გამოხატვა

(1)

კოორდინატთა სახით, პირველ რიგში ვიპოვით ერთეული ვექტორების სკალარული ნამრავლს. ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან განსაზღვრებით:

რაც წერია ზემოთ მოცემულ ფორმულაში ნიშნავს: ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან უდრის მისი სიგრძის კვადრატს. ნულის კოსინუსი უდრის ერთს, ამიტომ თითოეული ერთეულის კვადრატი იქნება ერთის ტოლი:

ვინაიდან ვექტორები

არის წყვილი პერპენდიკულარული, მაშინ ერთეული ვექტორების წყვილი ნამრავლი იქნება ნულის ტოლი:

ახლა შევასრულოთ ვექტორული მრავალწევრების გამრავლება:

ჩვენ ვცვლით ერთეული ვექტორების შესაბამისი სკალარული პროდუქტების მნიშვნელობებს ტოლობის მარჯვენა მხარეს:

ჩვენ ვიღებთ ფორმულას ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსისთვის:

მაგალითი 8.სამი ქულაა მოცემული ა(1;1;1), ბ(2;2;1), C(2;1;2).

იპოვეთ კუთხე.

გამოსავალი. ვექტორების კოორდინატების პოვნა:

,

.

კოსინუსების კუთხის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

აქედან გამომდინარე,.

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .

მაგალითი 9.მოცემულია ორი ვექტორი

იპოვეთ ჯამი, განსხვავება, სიგრძე, წერტილოვანი ნამრავლი და კუთხე მათ შორის.

2.განსხვავება

I. სკალარული ნამრავლი ქრება, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ვექტორებიდან ერთი მაინც არის ნული ან თუ ვექტორები პერპენდიკულარულია. სინამდვილეში, თუ ან, ან მაშინ.

პირიქით, თუ გამრავლებული ვექტორები არ არის ნული, მაშინ იმიტომ, რომ მდგომარეობიდან

როცა მოჰყვება:

ვინაიდან ნულოვანი ვექტორის მიმართულება გაურკვეველია, ნულოვანი ვექტორი შეიძლება ჩაითვალოს ნებისმიერი ვექტორის პერპენდიკულურად. მაშასადამე, სკალარული პროდუქტის მითითებული თვისება შეიძლება უფრო მოკლედ ჩამოყალიბდეს: სკალარული პროდუქტი ქრება, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები პერპენდიკულურია.

II. სკალარულ პროდუქტს აქვს კომუტაციური თვისება:

ეს თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს განმარტებიდან:

რადგან ერთი და იგივე კუთხის სხვადასხვა აღნიშვნა.

III. სადისტრიბუციო კანონი ძალზე მნიშვნელოვანია. მისი გამოყენება ისეთივე დიდია, როგორც ჩვეულებრივ არითმეტიკაში ან ალგებრაში, სადაც ის შემდეგნაირად არის ჩამოყალიბებული: ჯამის გასამრავლებლად საჭიროა თითოეული წევრის გამრავლება და მიღებული პროდუქციის დამატება, ე.ი.

ცხადია, არითმეტიკაში მრავალმნიშვნელოვანი რიცხვების ან ალგებრაში მრავალწევრების გამრავლება გამრავლების ამ თვისებას ეფუძნება.

ამ კანონს იგივე ძირითადი მნიშვნელობა აქვს ვექტორულ ალგებრაში, ვინაიდან მის საფუძველზე შეგვიძლია გამოვიყენოთ ვექტორებზე მრავალწევრების გამრავლების ჩვეულებრივი წესი.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი სამი ვექტორისთვის A, B, C სწორია შემდეგი ტოლობა:

სკალარული პროდუქტის მეორე განმარტების მიხედვით, რომელიც გამოხატულია ფორმულით, ვიღებთ:

ახლა § 5-დან 2 პროგნოზის თვისების გამოყენებისას, ჩვენ ვპოულობთ:

ქ.ე.დ.

IV. სკალარული პროდუქტი აქვს კომბინირებულობის თვისებას რიცხვითი ფაქტორის მიმართ; ეს თვისება გამოიხატება შემდეგი ფორმულით:

ანუ ვექტორების სკალარული ნამრავლის რიცხვზე გასამრავლებლად საკმარისია ერთ-ერთი ფაქტორი ამ რიცხვზე გავამრავლოთ.