კვადრატული განტოლება - ადვილად ამოსახსნელი! *შემდგომში მოხსენიებული, როგორც „KU“.მეგობრებო, როგორც ჩანს, მათემატიკაში არაფერია მარტივი, ვიდრე ასეთი განტოლების ამოხსნა. მაგრამ რაღაცამ მითხრა, რომ ბევრს აქვს მასთან პრობლემები. გადავწყვიტე მენახა, რამდენ შთაბეჭდილებას აწვდის Yandex-ს მოთხოვნით თვეში. აი რა მოხდა, ნახეთ:

Რას ნიშნავს? ეს ნიშნავს, რომ თვეში დაახლოებით 70 000 ადამიანი ეძებს ამ ინფორმაციას და ეს ზაფხულია და რა იქნება სასწავლო წლის განმავლობაში - ორჯერ მეტი მოთხოვნა იქნება. ეს გასაკვირი არ არის, რადგან ის ბიჭები და გოგოები, რომლებმაც სკოლა დიდი ხნის წინ დაამთავრეს და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ემზადებიან, ამ ინფორმაციას ეძებენ და სკოლის მოსწავლეებიც ცდილობენ მეხსიერების განახლებას.

იმისდა მიუხედავად, რომ უამრავი საიტია, რომელიც გეტყვით, როგორ ამოხსნათ ეს განტოლება, მე გადავწყვიტე მეც შემეტანა წვლილი და გამოვაქვეყნო მასალა. უპირველეს ყოვლისა, მინდა, რომ ვიზიტორები მოვიდნენ ჩემს საიტზე ამ მოთხოვნის საფუძველზე; მეორეც, სხვა სტატიებში, როცა „KU“-ს თემა გაჩნდება, ამ სტატიის ბმულს მივცემ; მესამე, მე გეტყვით ცოტა მეტს მისი გადაწყვეტის შესახებ, ვიდრე ჩვეულებრივ ნათქვამია სხვა საიტებზე. Დავიწყოთ!სტატიის შინაარსი:

კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება:

სადაც კოეფიციენტები a,ბდა c არის თვითნებური რიცხვები, a≠0-ით.

სასკოლო კურსში მასალა მოცემულია შემდეგი ფორმით - განტოლებები იყოფა სამ კლასად:

1. მათ აქვთ ორი ფესვი.

2. *ჰქონდეთ მხოლოდ ერთი ფესვი.

3. ფესვები არ აქვთ. აქ განსაკუთრებით უნდა აღინიშნოს, რომ მათ არ აქვთ რეალური ფესვები

როგორ გამოითვლება ფესვები? Უბრალოდ!

ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს. ამ "საშინელი" სიტყვის ქვეშ არის ძალიან მარტივი ფორმულა:

ფესვის ფორმულები შემდეგია:

*ეს ფორმულები ზეპირად უნდა იცოდეთ.

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ და გადაჭრათ:

მაგალითი:

1. თუ D > 0, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

2. თუ D = 0, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

3. თუ დ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

მოდით შევხედოთ განტოლებას:

ამასთან დაკავშირებით, როცა დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, სასკოლო კურსში ნათქვამია, რომ მიღებულია ერთი ფესვი, აქ უდრის ცხრას. ყველაფერი სწორია, ასეა, მაგრამ...

ეს აზრი გარკვეულწილად არასწორია. სინამდვილეში, არსებობს ორი ფესვი. დიახ, დიახ, ნუ გაგიკვირდებათ, თქვენ მიიღებთ ორ თანაბარ ფესვს და მათემატიკურად ზუსტი რომ ვიყოთ, მაშინ პასუხი უნდა დაწეროს ორი ფესვი:

x 1 = 3 x 2 = 3

მაგრამ ეს ასეა - მცირე გადახვევა. სკოლაში შეგიძლიათ დაწეროთ და თქვათ, რომ ერთი ფესვია.

ახლა შემდეგი მაგალითი:

როგორც ვიცით, უარყოფითი რიცხვის ფესვის აღება შეუძლებელია, ამიტომ ამ შემთხვევაში გამოსავალი არ არის.

ეს არის გადაწყვეტილების მთელი პროცესი.

კვადრატული ფუნქცია.

ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება გამოსავალი გეომეტრიულად. ამის გაგება ძალზე მნიშვნელოვანია (მომავალში, ერთ-ერთ სტატიაში დეტალურად გავაანალიზებთ კვადრატული უტოლობის ამოხსნას).

ეს არის ფორმის ფუნქცია:

სადაც x და y არის ცვლადები

a, b, c – მოცემული რიცხვები, a ≠ 0-ით

გრაფიკი არის პარაბოლა:

ანუ, გამოდის, რომ კვადრატული განტოლების ამოხსნით „y“ ნულის ტოლი, ვპოულობთ პარაბოლას x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებს. ამ წერტილებიდან შეიძლება იყოს ორი (დისკრიმინანტი დადებითია), ერთი (დისკრიმინანტი არის ნული) და არცერთი (დისკრიმინანტი უარყოფითია). დეტალები კვადრატული ფუნქციის შესახებ შეგიძლიათ ნახოთინა ფელდმანის სტატია.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

მაგალითი 1: ამოხსნა 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

პასუხი: x 1 = 8 x 2 = –12

*შესაძლებელია განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარის დაუყოვნებლივ გაყოფა 2-ზე, ანუ მისი გამარტივება. გათვლები უფრო ადვილი იქნება.

მაგალითი 2: გადაწყვიტე x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ x 1 = 11 და x 2 = 11

დასაშვებია პასუხში x = 11 ჩაწერა.

პასუხი: x = 11

მაგალითი 3: გადაწყვიტე x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

დისკრიმინანტი უარყოფითია, რეალურ რიცხვებში გამოსავალი არ არის.

პასუხი: გამოსავალი არ არის

დისკრიმინანტი უარყოფითია. არსებობს გამოსავალი!

აქ ვისაუბრებთ განტოლების ამოხსნაზე იმ შემთხვევაში, როდესაც მიიღება უარყოფითი დისკრიმინანტი. კომპლექსური რიცხვების შესახებ იცით რამე? მე არ განვიხილავ აქ დეტალებს იმის შესახებ, თუ რატომ და სად გაჩნდა ისინი და რა არის მათი კონკრეტული როლი და აუცილებლობა მათემატიკაში; ეს არის დიდი ცალკე სტატიის თემა.

რთული რიცხვის კონცეფცია.

ცოტა თეორია.

რთული რიცხვი z არის ფორმის რიცხვი

z = a + bi

სადაც a და b რეალური რიცხვებია, i არის ეგრეთ წოდებული წარმოსახვითი ერთეული.

ა+ბი - ეს არის ერთი რიცხვი და არა დამატება.

წარმოსახვითი ერთეული უდრის მინუს ერთის ფესვს:

ახლა განიხილეთ განტოლება:

ვიღებთ ორ კონიუგატულ ფესვს.

არასრული კვადრატული განტოლება.

განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევები, როდესაც კოეფიციენტი “b” ან “c” უდრის ნულს (ან ორივე ტოლია ნულის). მათი მოგვარება მარტივად შეიძლება ყოველგვარი დისკრიმინაციის გარეშე.

შემთხვევა 1. კოეფიციენტი b = 0.

განტოლება ხდება:

მოდით გარდავქმნათ:

მაგალითი:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

შემთხვევა 2. კოეფიციენტი c = 0.

განტოლება ხდება:

მოდით ტრანსფორმირება და ფაქტორიზაცია:

* ნამრავლი ნულის ტოლია, როცა ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

მაგალითი:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ან x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

შემთხვევა 3. კოეფიციენტები b = 0 და c = 0.

აქ ცხადია, რომ განტოლების ამონახსნი ყოველთვის იქნება x = 0.

სასარგებლო თვისებები და კოეფიციენტების ნიმუშები.

არსებობს თვისებები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ განტოლებები დიდი კოეფიციენტებით.

აx 2 + bx+ გ=0 თანასწორობა მოქმედებს

ა + ბ+ c = 0,რომ

- თუ განტოლების კოეფიციენტებისთვის აx 2 + bx+ გ=0 თანასწორობა მოქმედებს

ა+ c =ბ, რომ

ეს თვისებები ხელს უწყობს გარკვეული ტიპის განტოლების ამოხსნას.

მაგალითი 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

შანსების ჯამი არის 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, რაც ნიშნავს

მაგალითი 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

თანასწორობა მოქმედებს ა+ c =ბ, ნიშნავს

კოეფიციენტების კანონზომიერებები.

1. თუ განტოლებაში ax 2 + bx + c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 +1), ხოლო კოეფიციენტი „c“ რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. თუ განტოლებაში ax 2 – bx + c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 +1), ხოლო კოეფიციენტი „c“ რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. თუ განტოლებაში. ax 2 + bx – c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 - 1) და კოეფიციენტი "c" რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს "a", მაშინ მისი ფესვები თანაბარია

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. თუ განტოლებაში ax 2 – bx – c = 0 კოეფიციენტი „b“ უდრის (a 2 – 1), ხოლო c კოეფიციენტი რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს „a“, მაშინ მისი ფესვები ტოლია.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

ვიეტას თეორემა.

ვიეტას თეორემა ცნობილი ფრანგი მათემატიკოსის ფრანსუა ვიეტას სახელს ატარებს. ვიეტას თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია გამოვხატოთ თვითნებური KU-ს ფესვების ჯამი და ნამრავლი მისი კოეფიციენტების მიხედვით.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

საერთო ჯამში რიცხვი 14 იძლევა მხოლოდ 5-ს და 9-ს. ეს ფესვებია. გარკვეული ოსტატობით, წარმოდგენილი თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ამოხსნათ მრავალი კვადრატული განტოლება ზეპირად.

გარდა ამისა, ვიეტას თეორემა. მოსახერხებელია იმით, რომ კვადრატული განტოლების ჩვეული გზით ამოხსნის შემდეგ (დისკრიმინანტის საშუალებით) შესაძლებელია მიღებული ფესვების შემოწმება. გირჩევთ ამის გაკეთებას ყოველთვის.

ტრანსპორტირების მეთოდი

ამ მეთოდით კოეფიციენტი „ა“ მრავლდება თავისუფალ წევრზე, თითქოს „გააგდეს“ მასზე, რის გამოც მას ე.წ. "გადაცემის" მეთოდი.ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც განტოლების ფესვები ადვილად იპოვება ვიეტას თეორემის გამოყენებით და რაც მთავარია, როცა დისკრიმინანტი არის ზუსტი კვადრატი.

თუ ა± ბ+გ≠ 0, შემდეგ გამოიყენება გადაცემის ტექნიკა, მაგალითად:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

ვიეტას თეორემის გამოყენებით (2) განტოლებაში ადვილია იმის დადგენა, რომ x 1 = 10 x 2 = 1

განტოლების შედეგად მიღებული ფესვები უნდა გაიყოს 2-ზე (რადგან ეს ორი "გადააგდეს" x 2-დან), მივიღებთ

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

რა არის დასაბუთება? შეხედე რა ხდება.

(1) და (2) განტოლებების დისკრიმინანტები ტოლია:

თუ გადავხედავთ განტოლებების ფესვებს, მიიღებთ მხოლოდ სხვადასხვა მნიშვნელებს და შედეგი დამოკიდებულია ზუსტად x 2 კოეფიციენტზე:

მეორეს (შეცვლილ) აქვს 2-ჯერ დიდი ფესვები.

აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვყოფთ შედეგს 2-ზე.

*თუ სამს გადავატრიალებთ, შედეგს გავყოფთ 3-ზე და ა.შ.

პასუხი: x 1 = 5 x 2 = 0.5

კვ. ur-ie და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა.

მოკლედ გეტყვით მის მნიშვნელობაზე - თქვენ უნდა შეძლოთ გადაწყვეტილების მიღება სწრაფად და დაუფიქრებლად, თქვენ ზეპირად უნდა იცოდეთ ფესვებისა და დისკრიმინანტების ფორმულები. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებში შეტანილი ბევრი პრობლემა კვადრატული განტოლების ამოხსნას უკავშირდება (გეომეტრიულიც).

აღნიშვნის ღირსი რამეა!

1. განტოლების დაწერის ფორმა შეიძლება იყოს „იმპლიციტური“. მაგალითად, შესაძლებელია შემდეგი ჩანაწერი:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ან 15x+42+9x 2 - 45x=0 ან 15 -5x+10x 2 = 0.

თქვენ უნდა მიიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში (ისე, რომ არ დაიბნეთ ამოხსნისას).

2. გახსოვდეთ, რომ x უცნობი სიდიდეა და მისი აღნიშვნა შესაძლებელია ნებისმიერი სხვა ასოთი - t, q, p, h და სხვა.

ამ მათემატიკის პროგრამით შეგიძლიათ კვადრატული განტოლების ამოხსნა.

პროგრამა არა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ აჩვენებს გადაჭრის პროცესს ორი გზით:
- დისკრიმინანტის გამოყენებით
- ვიეტას თეორემის გამოყენებით (თუ შესაძლებელია).

უფრო მეტიც, პასუხი ნაჩვენებია როგორც ზუსტი და არა მიახლოებითი.
მაგალითად, განტოლებისთვის \(81x^2-16x-1=0\) პასუხი ნაჩვენებია შემდეგი ფორმით:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ და არა ასე: \(x_1 = 0.247; \ოთხი x_2 = -0.05\)

ეს პროგრამა შეიძლება გამოადგეს ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლების საშუალო სკოლის მოსწავლეებს ტესტებისა და გამოცდებისთვის მომზადებისას, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წინ და მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად დაასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტილებებით.

ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი სწავლება ან/და უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე იზრდება პრობლემების გადაჭრის სფეროში.

თუ არ იცნობთ კვადრატულ მრავალწევრში შეყვანის წესებს, გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

კვადრატულ მრავალწევრში შესვლის წესები

ნებისმიერი ლათინური ასო შეიძლება იყოს ცვლადის როლი.
მაგალითად: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) და ა.შ.

რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ როგორც მთელი ან წილადი რიცხვები.
უფრო მეტიც, წილადი რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ არა მხოლოდ ათობითი, არამედ ჩვეულებრივი წილადის სახით.

ათობითი წილადების შეყვანის წესები.
ათობითი წილადებში, წილადი ნაწილი შეიძლება გამოიყოს მთელი ნაწილისგან წერტილით ან მძიმით.
მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ ათობითი წილადები ასე: 2.5x - 3.5x^2

ჩვეულებრივი წილადების შეყვანის წესები.
მხოლოდ მთელ რიცხვს შეუძლია წილადის მრიცხველის, მნიშვნელის და მთელი რიცხვის ნაწილის როლი.

მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

რიცხვითი წილადის შეყვანისას მრიცხველი გამოყოფილია მნიშვნელისგან გაყოფის ნიშნით: /
მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადისგან ამპერსანტის ნიშნით: &
შეყვანა: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
შედეგი: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

გამოხატვის შეყვანისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები. ამ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლების ამოხსნისას, პირველად გამარტივებულია შემოტანილი გამოხატულება.
მაგალითად: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

გადაწყვიტე

გაირკვა, რომ ამ პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და პროგრამამ შეიძლება არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.

JavaScript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.
გამოსავალი რომ გამოჩნდეს, უნდა ჩართოთ JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.

იმიტომ რომ პრობლემის გადაჭრის მსურველი ბევრია, თქვენი მოთხოვნა რიგში დადგა.
რამდენიმე წამში გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...

Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალში, მაშინ შეგიძლიათ დაწეროთ ამის შესახებ გამოხმაურების ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.

ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:

ცოტა თეორია.

კვადრატული განტოლება და მისი ფესვები. არასრული კვადრატული განტოლებები

თითოეული განტოლება
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
როგორც ჩანს
\(ax^2+bx+c=0, \)
სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რიცხვები.
პირველ განტოლებაში a = -1, b = 6 და c = 1,4, მეორეში a = 8, b = -7 და c = 0, მესამეში a = 1, b = 0 და c = 4/9. ასეთ განტოლებებს უწოდებენ კვადრატული განტოლებები.

განმარტება.
Კვადრატული განტოლებაეწოდება ax 2 +bx+c=0 ფორმის განტოლება, სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და \(a \neq 0 \).

რიცხვები a, b და c არის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები. რიცხვს a ეწოდება პირველი კოეფიციენტი, რიცხვი b არის მეორე კოეფიციენტი და რიცხვი c არის თავისუფალი წევრი.

ax 2 +bx+c=0 ფორმის თითოეულ განტოლებაში, სადაც \(a\neq 0\), x ცვლადის უდიდესი ძალა არის კვადრატი. აქედან მოდის სახელწოდება: კვადრატული განტოლება.

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატულ განტოლებას ასევე უწოდებენ მეორე ხარისხის განტოლებას, რადგან მისი მარცხენა მხარე არის მეორე ხარისხის პოლინომი.

კვადრატული განტოლება, რომელშიც x 2 კოეფიციენტი 1-ის ტოლია, ეწოდება მოცემული კვადრატული განტოლება. მაგალითად, მოცემული კვადრატული განტოლებები არის განტოლებები
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

თუ კვადრატულ განტოლებაში ax 2 +bx+c=0 b ან c კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი განტოლება ე.წ. არასრული კვადრატული განტოლება. ამრიგად, განტოლებები -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 არასრული კვადრატული განტოლებებია. პირველში b=0, მეორეში c=0, მესამეში b=0 და c=0.

არასრული კვადრატული განტოლებების სამი ტიპი არსებობს:
1) ax 2 +c=0, სადაც \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, სადაც \(b \neq 0 \);
3) ცული 2 =0.

განვიხილოთ თითოეული ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნა.

ax 2 +c=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად \(c \neq 0 \"-ისთვის, გადაიტანეთ მისი თავისუფალი წევრი მარჯვენა მხარეს და გაყავით განტოლების ორივე მხარე a-ზე:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \მარჯვენა ისარი x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

ვინაიდან \(c \neq 0 \), მაშინ \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

თუ \(-\frac(c)(a)>0\), მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

თუ \(-\frac(c)(a) ამოხსნათ ax 2 +bx=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება \(b \neq 0 \(b \neq 0\) შეადარეთ მისი მარცხენა მხარე და მიიღეთ განტოლება.
\(x(ax+b)=0 \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(მასივი) \მარჯვნივ. \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება (მასივი)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (მაივი) \მარჯვნივ. \)

ეს ნიშნავს, რომ ax 2 +bx=0 ფორმის არასრულ კვადრატულ განტოლებას \(b \neq 0 \) ყოველთვის აქვს ორი ფესვი.

ax 2 =0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება უდრის განტოლებას x 2 =0 და, შესაბამისად, აქვს ერთი ფესვი 0.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

ახლა განვიხილოთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები, რომლებშიც უცნობის და თავისუფალი წევრის კოეფიციენტები ნულოვანია.

მოდით გადავჭრათ კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმით და შედეგად მივიღოთ ფესვების ფორმულა. შემდეგ ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი კვადრატული განტოლების გადასაჭრელად.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება ax 2 +bx+c=0

ორივე მხარის a-ზე გაყოფით მივიღებთ ეკვივალენტურ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

მოდით გარდავქმნათ ეს განტოლება ბინომის კვადრატის არჩევით:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \მარჯვენა ისარი \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^ 2 - \frac(c)(a) \მარჯვენა ისარი \) \(\მარცხნივ(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( გ)(ა) \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(x+\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \მარჯვენა ისარი \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \მარჯვენა ისარი x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \მარჯვენა ისარი \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

რადიკალური გამოხატულება ე.წ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი ax 2 +bx+c=0 („დისკრიმინანტი“ ლათინურად - დისკრიმინატორი). იგი აღინიშნება ასო D, ე.ი.
\(D = b^2-4ac\)

ახლა, დისკრიმინაციული აღნიშვნის გამოყენებით, ჩვენ ხელახლა ვწერთ ფორმულას კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), სადაც \(D= b^2-4ac \)

აშკარაა, რომ:
1) თუ D>0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.
2) თუ D=0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) თუ D ამრიგად, დისკრიმინანტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, კვადრატულ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ორი ფესვი (D > 0-ისთვის), ერთი ფესვი (D = 0-ისთვის) ან არ ჰქონდეს ფესვები (D-სთვის კვადრატული განტოლების ამოხსნისას ამის გამოყენებით ფორმულა, მიზანშეწონილია შემდეგი გზით:
1) გამოთვალეთ დისკრიმინანტი და შეადარე ნულთან;
2) თუ დისკრიმინანტი დადებითია ან ნულის ტოლია, მაშინ გამოიყენეთ ფესვის ფორმულა; თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, ჩაწერეთ, რომ ფესვები არ არსებობს.

ვიეტას თეორემა

მოცემულ კვადრატულ განტოლებას ax 2 -7x+10=0 აქვს ფესვები 2 და 5. ფესვების ჯამი არის 7, ნამრავლი კი 10. ვხედავთ, რომ ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, რომელიც აღებულია საპირისპიროდ. ნიშანი და ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ ტერმინს. ნებისმიერ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას, რომელსაც აქვს ფესვები, აქვს ეს თვისება.

ზემოაღნიშნული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ მეორე კოეფიციენტს, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს.

იმათ. ვიეტას თეორემაში ნათქვამია, რომ შემცირებული კვადრატული განტოლების x 1 და x 2 ფესვებს აქვთ თვისება:
\(\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end (მასივი) \მარჯვნივ. \)

ფორმის განტოლება

გამოხატულება დ= ბ 2 - 4 ცდაურეკა დისკრიმინანტიკვადრატული განტოლება. თუდ = 0, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი რეალური ფესვი; თუ დ> 0, მაშინ განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს.
Შემთხვევაში დ = 0 , ზოგჯერ ამბობენ, რომ კვადრატულ განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს.
ნოტაციის გამოყენებით დ= ბ 2 - 4 ცჩვენ შეგვიძლია გადავიწეროთ ფორმულა (2) ფორმაში

თუ ბ= 2 კ, შემდეგ ფორმულა (2) იღებს ფორმას:

სად კ= ბ / 2 .
ეს უკანასკნელი ფორმულა განსაკუთრებით მოსახერხებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც ბ / 2 - მთელი რიცხვი, ე.ი. კოეფიციენტი ბ- ლუწი რიცხვი.
მაგალითი 1:ამოხსენით განტოლება 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Აქ a = 2, b = -5, c = 2. Ჩვენ გვაქვს დ= ბ 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . იმიტომ რომ დ > 0 , მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი ფორმულის გამოყენებით (2)

Ისე x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
ანუ x 1 = 2 და x 2 = 1 / 2 - მოცემული განტოლების ფესვები.
მაგალითი 2:ამოხსენით განტოლება 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Აქ a = 2, b = -3, c = 5. დისკრიმინანტის პოვნა დ= ბ 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . იმიტომ რომ დ 0 , მაშინ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.

არასრული კვადრატული განტოლებები. თუ კვადრატულ განტოლებაში ნაჯახი 2 +bx+გ =0 მეორე კოეფიციენტი ბან თავისუფალი წევრი გნულის ტოლია, მაშინ კვადრატული განტოლება იწოდება არასრული. არასრული განტოლებები გამოყოფილია, რადგან მათი ფესვების საპოვნელად არ არის საჭირო კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენება - განტოლების ამოხსნა უფრო ადვილია მისი მარცხენა მხარის ფაქტორირებით.
მაგალითი 1:განტოლების ამოხსნა 2 x 2 - 5 x = 0 .
Ჩვენ გვაქვს x(2 x - 5) = 0 . ასე რომ ან x = 0 , ან 2 x - 5 = 0 , ანუ x = 2.5 . ასე რომ, განტოლებას ორი ფესვი აქვს: 0 და 2.5
მაგალითი 2:განტოლების ამოხსნა 3 x 2 - 27 = 0 .
Ჩვენ გვაქვს 3 x 2 = 27 . ამრიგად, ამ განტოლების ფესვებია 3 და -3 .

ვიეტას თეორემა. თუ შემცირებული კვადრატული განტოლება x 2 + px+q =0 აქვს ნამდვილი ფესვები, მაშინ მათი ჯამი უდრის - გვდა პროდუქტი ტოლია ქ, ანუ

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(ზემოხსენებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ მეორე კოეფიციენტს, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს).

კოპიევსკაიას სოფლის საშუალო სკოლა

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის 10 გზა

ხელმძღვანელი: პატრიკეევა გალინა ანატოლიევნა,

მათემატიკის მასწავლებელი

სოფელი კოპევო, 2007 წ

1. კვადრატული განტოლებების განვითარების ისტორია

1.1 კვადრატული განტოლებები ძველ ბაბილონში

1.2 როგორ შეადგინა და ამოხსნა დიოფანტე კვადრატული განტოლებები

1.3 კვადრატული განტოლებები ინდოეთში

1.4 კვადრატული განტოლებები ალ-ხორეზმის მიერ

1.5 კვადრატული განტოლებები ევროპაში XIII - XVII სს

1.6 ვიეტას თეორემის შესახებ

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

დასკვნა

ლიტერატურა

1. კვადრატული განტოლებების განვითარების ისტორია

1.1 კვადრატული განტოლებები ძველ ბაბილონში

არა მხოლოდ პირველი, არამედ მეორე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა ჯერ კიდევ უძველეს დროში გამოწვეული იყო მიწის ნაკვეთების ტერიტორიების მოძიებასთან და სამხედრო ხასიათის გათხრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრის აუცილებლობით. როგორც თავად ასტრონომიისა და მათემატიკის განვითარებასთან ერთად. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2000 წელს. ე. ბაბილონელები.

თანამედროვე ალგებრული აღნიშვნის გამოყენებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მათ ლურსმული ტექსტებში, არასრული ტექსტების გარდა, არის ასეთი, მაგალითად, სრული კვადრატული განტოლებები:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ამ განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც მოცემულია ბაბილონურ ტექსტებში, არსებითად ემთხვევა თანამედროვეს, მაგრამ უცნობია, როგორ მივიდნენ ბაბილონელები ამ წესამდე. აქამდე ნაპოვნი თითქმის ყველა ლურსმული ტექსტი იძლევა მხოლოდ რეცეპტების სახით ასახულ გადაწყვეტილებებს და არ მიუთითებს იმაზე, თუ როგორ იქნა ისინი ნაპოვნი.

ბაბილონში ალგებრის განვითარების მაღალი დონის მიუხედავად, ლურსმული ტექსტები მოკლებულია უარყოფითი რიცხვის კონცეფციას და კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგად მეთოდებს.

1.2 როგორ შეადგინა და ამოხსნა დიოფანტე კვადრატული განტოლებები.

დიოფანტეს არითმეტიკა არ შეიცავს ალგებრის სისტემატურ პრეზენტაციას, მაგრამ შეიცავს ამოცანების სისტემატურ სერიას, რომელსაც ახლავს განმარტებები და ამოხსნილია სხვადასხვა ხარისხის განტოლებების აგებით.

განტოლებების შედგენისას დიოფანტი ოსტატურად არჩევს უცნობებს ამოხსნის გასამარტივებლად.

აი, მაგალითად, მისი ერთ-ერთი ამოცანა.

პრობლემა 11."იპოვეთ ორი რიცხვი, იცოდეთ, რომ მათი ჯამი არის 20 და მათი ნამრავლი არის 96"

დიოფანტე ასე მსჯელობს: პრობლემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ საჭირო რიცხვები არ არის ტოლი, რადგან ტოლი რომ იყოს, მაშინ მათი ნამრავლი იქნება არა 96-ის, არამედ 100-ის ტოლი. ამრიგად, ერთ-ერთი მათგანი იქნება მეტი. მათი ჯამის ნახევარი, ე.ი. 10 + x, მეორე ნაკლებია, ე.ი. 10-იანი წლები. განსხვავება მათ შორის 2x .

აქედან გამომდინარეობს განტოლება:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

აქედან x = 2. ერთ-ერთი საჭირო რიცხვი უდრის 12 , სხვა 8 . გამოსავალი x = -2რადგან დიოფანტე არ არსებობს, რადგან ბერძნულმა მათემატიკამ მხოლოდ დადებითი რიცხვები იცოდა.

თუ ამ პრობლემას მოვაგვარებთ ერთ-ერთი საჭირო რიცხვის არჩევით, როგორც უცნობი, მაშინ მივალთ განტოლების ამონახსნით.

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ცხადია, რომ საჭირო რიცხვების ნახევრად განსხვავების ამორჩევით უცნობად დიოფანტი ამარტივებს ამოხსნას; ის ახერხებს ამოცანის შემცირებას არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე (1).

1.3 კვადრატული განტოლებები ინდოეთში

კვადრატულ განტოლებათა პრობლემები უკვე გვხვდება ასტრონომიულ ტრაქტატში "არიაბჰატიამი", რომელიც შედგენილია 499 წელს ინდოელი მათემატიკოსისა და ასტრონომის არიაბჰატას მიერ. კიდევ ერთმა ინდოელმა მეცნიერმა, ბრაჰმაგუპტამ (VII საუკუნე), გამოაქვეყნა ზოგადი წესი კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ერთი კანონიკური ფორმით:

აჰ 2 + ბ x = c, a > 0. (1)

განტოლებაში (1) კოეფიციენტები, გარდა ა, ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი. ბრაჰმაგუპტას წესი არსებითად იგივეა, რაც ჩვენი.

ძველ ინდოეთში გავრცელებული იყო საჯარო კონკურსები რთული პრობლემების გადაჭრაში. ერთ-ერთ ძველ ინდურ წიგნში ასეთი შეჯიბრებების შესახებ ნათქვამია: „როგორც მზე აჭარბებს ვარსკვლავებს თავისი ბრწყინვალებით, ისე სწავლული ადამიანი გადააჭარბებს სხვის დიდებას საზოგადოებრივ შეკრებებზე, ალგებრული ამოცანების შეთავაზებითა და გადაწყვეტით“. პრობლემები ხშირად პოეტური სახით იყო წარმოდგენილი.

ეს არის მე-12 საუკუნის ცნობილი ინდოელი მათემატიკოსის ერთ-ერთი პრობლემა. ბჰასკარები.

პრობლემა 13.

"ცხელი მაიმუნების ფარა და თორმეტი ვაზის გასწვრივ...

ხელისუფლებამ, ჭამის შემდეგ, გართობა. დაიწყეს ხტუნვა, ჩამოკიდება...

სკვერში არიან მერვე ნაწილი რამდენი მაიმუნი იყო?

გაწმენდაში ვხალისობდი. მითხარი, ამ პაკეტში?

ბჰასკარას ამონახსნი მიუთითებს, რომ მან იცოდა, რომ კვადრატული განტოლებების ფესვები ორმნიშვნელოვანია (ნახ. 3).

მე-13 ამოცანის შესაბამისი განტოლება არის:

( x /8) 2 + 12 = x

ბჰასკარა ნიღბის ქვეშ წერს:

x 2 - 64x = -768

და ამ განტოლების მარცხენა მხარის კვადრატად დასასრულებლად, ორივე მხარეს ემატება 32 2 , შემდეგ მიიღეთ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 კვადრატული განტოლებები ალ-ხორეზმში

ალ-ხორეზმის ალგებრულ ტრაქტატში მოცემულია წრფივი და კვადრატული განტოლებათა კლასიფიკაცია. ავტორი ითვლის 6 ტიპის განტოლებებს და გამოთქვამს შემდეგნაირად:

1) „კვადრატები ფესვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 + c = ბ X.

2) „კვადრატები რიცხვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 = გ.

3) „ფესვები რიცხვის ტოლია“, ე.ი. აჰ = ს.

4) „კვადრატები და რიცხვები ფესვების ტოლია“, ე.ი. ცული 2 + c = ბ X.

5) „კვადრატები და ფესვები რიცხვების ტოლია“, ე.ი. აჰ 2 + bx = ს.

6) „ფესვები და რიცხვები უდრის კვადრატებს“, ე.ი. bx + c = ცული 2 .

ალ-ხორეზმისთვის, რომელიც თავს არიდებდა უარყოფითი რიცხვების გამოყენებას, თითოეული ამ განტოლების ტერმინები არის დამატებები და არა გამოკლებადი. ამ შემთხვევაში, განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ დადებითი ამონახსნები, აშკარად არ არის გათვალისწინებული. ავტორი ადგენს ამ განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს ალ-ჯაბრისა და ალ-მუქაბალას ტექნიკის გამოყენებით. მისი გადაწყვეტილებები, რა თქმა უნდა, სრულიად არ ემთხვევა ჩვენსას. რომ აღარაფერი ვთქვათ, რომ ის წმინდა რიტორიკულია, უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითად, პირველი ტიპის არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნისას

ალ-ხორეზმი, ისევე როგორც ყველა მათემატიკოსი მე-17 საუკუნემდე, არ ითვალისწინებს ნულოვან ამონახსნებს, ალბათ იმიტომ, რომ კონკრეტულ პრაქტიკულ ამოცანებში ამას მნიშვნელობა არ აქვს. სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ალ-ხორეზმი ადგენს მათი ამოხსნის წესებს კონკრეტული რიცხვითი მაგალითების, შემდეგ კი გეომეტრიული მტკიცებულებების გამოყენებით.

პრობლემა 14.„კვადრატი და რიცხვი 21 უდრის 10 ფესვს. იპოვე ფესვი" (იგულისხმება x 2 + 21 = 10x განტოლების ფესვი).

ავტორის ამონახსნი დაახლოებით ასე გამოიყურება: ფესვების რაოდენობა გაყავით შუაზე, მიიღებთ 5-ს, გაამრავლეთ 5 თავისთავად, გამოაკელით 21 ნამრავლს, რაც რჩება არის 4. აიღეთ ფესვი 4-დან, მიიღებთ 2-ს. გამოაკლებთ 2-ს 5-ს. , მიიღებთ 3, ეს იქნება სასურველი ფესვი. ან დაამატეთ 2 5-ს, რაც იძლევა 7-ს, ესეც ფესვია.

ალ-ხორეზმის ტრაქტატი ჩვენამდე მოღწეული პირველი წიგნია, რომელიც სისტემატურად აყალიბებს კვადრატულ განტოლებათა კლასიფიკაციას და იძლევა მათი ამოხსნის ფორმულებს.

1.5 კვადრატული განტოლებები ევროპაში XIII - XVII ბბ

ევროპაში ალ-ხორეზმის ხაზების გასწვრივ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები პირველად ჩამოყალიბდა აბაკუსის წიგნში, რომელიც დაიწერა 1202 წელს იტალიელმა მათემატიკოსმა ლეონარდო ფიბონაჩის მიერ. ეს მოცულობითი ნაშრომი, რომელიც ასახავს მათემატიკის გავლენას, როგორც ისლამის ქვეყნებიდან, ისე ძველი საბერძნეთიდან, გამოირჩევა სისრულითა და წარმოდგენის სიცხადით. ავტორმა დამოუკიდებლად შეიმუშავა ამოცანების ამოხსნის რამდენიმე ახალი ალგებრული მაგალითი და პირველი იყო ევროპაში, ვინც მიუახლოვდა უარყოფითი რიცხვების შემოღებას. მისმა წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მხოლოდ იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში. აბაკუსის წიგნიდან მრავალი პრობლემა გამოიყენებოდა XVI-XVII საუკუნეების თითქმის ყველა ევროპულ სახელმძღვანელოში. და ნაწილობრივ XVIII.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი დაყვანილი ერთი კანონიკური ფორმით:

x 2 + bx = გ,

კოეფიციენტის ნიშნების ყველა შესაძლო კომბინაციისთვის ბ , თანჩამოყალიბდა ევროპაში მხოლოდ 1544 წელს მ.შტიფელის მიერ.

კვადრატული განტოლების ზოგადი ფორმით ამოხსნის ფორმულის წარმოშობა ხელმისაწვდომია Viète-დან, მაგრამ ვიეტმა აღიარა მხოლოდ დადებითი ფესვები. მე-16 საუკუნეში პირველთა შორის იყვნენ იტალიელი მათემატიკოსები ტარტალია, კარდანო, ბომბელი. გარდა დადებითისა, მხედველობაში მიიღება უარყოფითი ფესვებიც. მხოლოდ მე-17 საუკუნეში. ჟირარის, დეკარტის, ნიუტონის და სხვა მეცნიერების ნაშრომების წყალობით, კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდი თანამედროვე სახეს იღებს.

1.6 ვიეტას თეორემის შესახებ

ვიეტას სახელობის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებსა და მის ფესვებს შორის კავშირის გამომხატველი თეორემა პირველად ჩამოაყალიბა მის მიერ 1591 წელს შემდეგნაირად: „თუ ბ + დ, გამრავლებული ა - ა 2 , უდრის BD, ეს აუდრის INდა თანაბარი დ ».

ვიეტას გასაგებად ეს უნდა გვახსოვდეს ა, ისევე როგორც ნებისმიერი ხმოვანი ასო, ნიშნავდა უცნობს (ჩვენს X), ხმოვნები IN, დ- კოეფიციენტები უცნობისთვის. თანამედროვე ალგებრის ენაზე ზემოთ მოყვანილი Vieta ფორმულირება ნიშნავს: თუ არსებობს

(ა + ბ )x - x 2 = აბ ,

x 2 - (a + ბ )x + ა ბ = 0,

x 1 = a, x 2 = ბ .

განტოლებების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირის გამოხატვით სიმბოლოების გამოყენებით დაწერილი ზოგადი ფორმულებით, ვიეტმა დაადგინა ერთგვაროვნება განტოლებების ამოხსნის მეთოდებში. თუმცა, ვიეტის სიმბოლიზმი ჯერ კიდევ შორს არის მისი თანამედროვე ფორმისგან. ის არ ცნობდა უარყოფით რიცხვებს და ამიტომ, განტოლებების ამოხსნისას განიხილავდა მხოლოდ შემთხვევებს, როდესაც ყველა ფესვი დადებითი იყო.

2. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

კვადრატული განტოლებები არის საფუძველი, რომელზეც ეყრდნობა ალგებრის დიდებული შენობა. კვადრატული განტოლებები ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ირაციონალური და ტრანსცენდენტული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. ჩვენ ყველამ ვიცით როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები სკოლიდან (მე-8 კლასი) დამთავრებამდე.

ტოლობების ზოგადი წარმოდგენის მიღების შემდეგ და მათი ერთ-ერთი ტიპის - რიცხვითი თანასწორობის გაცნობის შემდეგ, შეგიძლიათ დაიწყოთ საუბარი სხვა ტიპის თანასწორობაზე, რომელიც ძალიან მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით - განტოლებები. ამ სტატიაში განვიხილავთ რა არის განტოლებადა რასაც განტოლების ფესვი ჰქვია. აქ მივცემთ შესაბამის განმარტებებს, ასევე განტოლებებისა და მათი ფესვების სხვადასხვა მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის განტოლება?

განტოლებების მიზნობრივი შესავალი ჩვეულებრივ იწყება მე-2 კლასის მათემატიკის გაკვეთილებზე. ამ დროს მოცემულია შემდეგი განტოლების განსაზღვრა:

განმარტება.

განტოლებაარის ტოლობა, რომელიც შეიცავს უცნობ რიცხვს, რომელიც უნდა მოიძებნოს.

განტოლებებში უცნობი რიცხვები ჩვეულებრივ აღინიშნება მცირე ლათინური ასოებით, მაგალითად, p, t, u და ა.შ., მაგრამ ასოები x, y და z ყველაზე ხშირად გამოიყენება.

ამრიგად, განტოლება განისაზღვრება დამწერლობის ფორმის თვალსაზრისით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თანასწორობა არის განტოლება, როდესაც ის ემორჩილება მითითებულ წერის წესებს - შეიცავს ასოს, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს.

მოვიყვანოთ პირველი და უმარტივესი განტოლებების მაგალითები. დავიწყოთ x=8, y=3 და ა.შ. ფორმის განტოლებებით. განტოლებები, რომლებიც ციფრებთან და ასოებთან ერთად შეიცავს არითმეტიკულ ნიშნებს, ცოტა უფრო რთულად გამოიყურება, მაგალითად, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

განტოლებათა მრავალფეროვნება იზრდება გაცნობის შემდეგ - ფრჩხილებით იწყება განტოლებები, მაგალითად, 2·(x−1)=18 და x+3·(x+2·(x−2))=3. განტოლებაში უცნობი ასო შეიძლება გამოჩნდეს რამდენჯერმე, მაგალითად, x+3+3·x−2−x=9, ასევე ასოები შეიძლება იყოს განტოლების მარცხენა მხარეს, მის მარჯვენა მხარეს ან ორივე მხარეს. განტოლება, მაგალითად, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 ან 3·x−4=2·(x+12) .

გარდა ამისა, ნატურალური რიცხვების შესწავლის შემდეგ, ადამიანი ეცნობა მთელ რიცხვებს, რაციონალურ, ნამდვილ რიცხვებს, შეისწავლება ახალი მათემატიკური ობიექტები: ძალები, ფესვები, ლოგარითმები და ა.შ. მათი მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში განტოლებების ძირითადი ტიპებისკოლაში სწავლა.

მე-7 კლასში ასოებთან ერთად, რომლებიც გარკვეულ რიცხვებს ნიშნავს, იწყებენ განიხილონ ასოები, რომლებსაც შეუძლიათ სხვადასხვა მნიშვნელობების მიღება; მათ ცვლადებს უწოდებენ (იხ. სტატია). ამავდროულად, სიტყვა "ცვლადი" შედის განტოლების განმარტებაში და ხდება ასე:

განმარტება.

განტოლებაეწოდება ტოლობა, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს.

მაგალითად, განტოლება x+3=6·x+7 არის განტოლება x ცვლადთან, ხოლო 3·z−1+z=0 არის განტოლება z ცვლადთან.

იმავე მე-7 კლასში ალგებრის გაკვეთილების დროს ვხვდებით განტოლებებს, რომლებიც შეიცავს არა ერთ, არამედ ორ სხვადასხვა უცნობ ცვლადს. მათ უწოდებენ განტოლებებს ორ ცვლადში. მომავალში ნებადართულია სამი ან მეტი ცვლადის არსებობა განტოლებებში.

განმარტება.

განტოლებები ერთი, ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები– ეს არის განტოლებები, რომლებიც შეიცავს, შესაბამისად, ერთ, ორ, სამ, ... უცნობ ცვლადებს.

მაგალითად, განტოლება 3.2 x+0.5=1 არის განტოლება x ერთი ცვლადით, თავის მხრივ, x−y=3 ფორმის განტოლება არის განტოლება ორი ცვლადით x და y. და კიდევ ერთი მაგალითი: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. ნათელია, რომ ასეთი განტოლება არის განტოლება სამი უცნობი ცვლადით x, y და z.

რა არის განტოლების ფესვი?

განტოლების განმარტება პირდაპირ კავშირშია ამ განტოლების ფესვის განსაზღვრასთან. მოდით განვახორციელოთ რამდენიმე მსჯელობა, რომელიც დაგვეხმარება გავიგოთ რა არის განტოლების ფესვი.

ვთქვათ, გვაქვს განტოლება ერთი ასოთი (ცვლადი). თუ ამ განტოლების ჩანაწერში შეტანილი ასოს ნაცვლად ჩანაცვლებულია გარკვეული რიცხვი, მაშინ განტოლება იქცევა რიცხვით ტოლობაში. უფრო მეტიც, შედეგად მიღებული თანასწორობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი ან მცდარი. მაგალითად, თუ a+1=5 განტოლებაში a ასოს ნაცვლად ჩაანაცვლებთ რიცხვს 2, მიიღებთ არასწორ რიცხვით ტოლობას 2+1=5. თუ ამ განტოლებაში a-ის ნაცვლად რიცხვს 4 შევცვლით, მივიღებთ სწორ ტოლობას 4+1=5.

პრაქტიკაში, უმეტეს შემთხვევაში, ინტერესი არის ცვლადის ის მნიშვნელობები, რომელთა განტოლებაში ჩანაცვლება იძლევა სწორ ტოლობას; ამ მნიშვნელობებს უწოდებენ ამ განტოლების ფესვებს ან ამონახსნებს.

განმარტება.

განტოლების ფესვი- ეს არის ასოს (ცვლადის) მნიშვნელობა, რომლის ჩანაცვლებისას განტოლება იქცევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში.

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლების ფესვს ერთ ცვლადში ასევე უწოდებენ განტოლების ამოხსნას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლების ამონახსნი და განტოლების ფესვი ერთი და იგივეა.

მოდით ავხსნათ ეს განმარტება მაგალითით. ამისათვის დავუბრუნდეთ a+1=5 ზემოთ დაწერილ განტოლებას. განტოლების ფესვის მითითებული განმარტების მიხედვით, რიცხვი 4 არის ამ განტოლების ფესვი, რადგან ამ რიცხვის ჩანაცვლებისას ასო a-ს ნაცვლად მივიღებთ სწორ ტოლობას 4+1=5, ხოლო რიცხვი 2 არ არის მისი. ფესვი, ვინაიდან იგი შეესაბამება 2+1= 5 ფორმის არასწორ ტოლობას.

ამ დროს ჩნდება მთელი რიგი ბუნებრივი კითხვები: "აქვს თუ არა რომელიმე განტოლებას ფესვი და რამდენი ფესვი აქვს მოცემულ განტოლებას?" ჩვენ მათ ვუპასუხებთ.

არსებობს ორივე განტოლება, რომელსაც აქვს ფესვები და განტოლებები, რომლებსაც ფესვები არ აქვთ. მაგალითად, განტოლებას x+1=5 აქვს ფესვი 4, მაგრამ განტოლებას 0 x=5 არ აქვს ფესვები, რადგან არ აქვს მნიშვნელობა რა რიცხვი ჩავანაცვლოთ ამ განტოლებაში x ცვლადის ნაცვლად, მივიღებთ არასწორ ტოლობას 0=5. .

რაც შეეხება განტოლების ფესვების რაოდენობას, არსებობს როგორც განტოლებები, რომლებსაც აქვთ ფესვების გარკვეული სასრული რაოდენობა (ერთი, ორი, სამი და ა.შ.) და განტოლებები, რომლებსაც აქვთ ფესვების უსასრულო რაოდენობა. მაგალითად, განტოლებას x−2=4 აქვს ერთი ფესვი 6, განტოლების ფესვები x 2 =9 არის ორი რიცხვი −3 და 3, განტოლება x·(x−1)·(x−2)=0. აქვს სამი ფესვი 0, 1 და 2, ხოლო x=x განტოლების ამონახსნი არის ნებისმიერი რიცხვი, ანუ მას აქვს ფესვების უსასრულო რაოდენობა.

რამდენიმე სიტყვა უნდა ითქვას განტოლების ფესვების მიღებულ აღნიშვნაზე. თუ განტოლებას არ აქვს ფესვები, მაშინ ისინი ჩვეულებრივ წერენ „განტოლებას არ აქვს ფესვები“ ან იყენებენ ცარიელი სიმრავლის ნიშანს ∅. თუ განტოლებას აქვს ფესვები, მაშინ ისინი იწერება მძიმით გამოყოფილი, ან იწერება როგორც ნაკრების ელემენტებიხვეული ფრჩხილებში. მაგალითად, თუ განტოლების ფესვებია −1, 2 და 4 რიცხვები, მაშინ ჩაწერეთ −1, 2, 4 ან (−1, 2, 4). ასევე დასაშვებია განტოლების ფესვების ჩაწერა მარტივი ტოლობების სახით. მაგალითად, თუ განტოლება მოიცავს ასო x და ამ განტოლების ფესვები არის რიცხვები 3 და 5, მაშინ შეგიძლიათ დაწეროთ x=3, x=5 და ხშირად ემატება ხელმოწერები x 1 =3, x 2 =5. ცვლადს, თითქოს მიუთითებს განტოლების რიცხვების ფესვებს. განტოლების ფესვების უსასრულო სიმრავლე ჩვეულებრივ იწერება ფორმით; თუ ეს შესაძლებელია, ასევე გამოიყენება აღნიშვნა ნატურალური რიცხვების N, მთელი რიცხვების Z და რეალური რიცხვების R. მაგალითად, თუ x ცვლადის მქონე განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი, ჩაწერეთ, ხოლო თუ y ცვლადის მქონე განტოლების ფესვები არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი 1-დან 9-ის ჩათვლით, მაშინ ჩაწერეთ.

ორი, სამი ან მეტი ცვლადის მქონე განტოლებისთვის, როგორც წესი, არ გამოიყენება ტერმინი „განტოლების ფესვი“, ამ შემთხვევებში ამბობენ „განტოლების ამოხსნა“. რას ჰქვია განტოლების ამოხსნა რამდენიმე ცვლადით? მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

განტოლების ამოხსნა ორი, სამი და ა.შ. ცვლადებიმოუწოდა წყვილი, სამი და ა.შ. ცვლადების მნიშვნელობები, აქცევს ამ განტოლებას სწორ რიცხვობრივ თანასწორობაში.

მოდით ვაჩვენოთ განმარტებითი მაგალითები. განვიხილოთ განტოლება ორი ცვლადით x+y=7. ჩავანაცვლოთ რიცხვი 1 x-ის ნაცვლად, ხოლო რიცხვი 2 y-ის ნაცვლად და გვაქვს ტოლობა 1+2=7. ცხადია, ეს არასწორია, შესაბამისად, მნიშვნელობების წყვილი x=1, y=2 არ არის წერილობითი განტოლების ამოხსნა. თუ ავიღებთ x=4, y=3 სიდიდეების წყვილს, მაშინ განტოლებაში ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ სწორ ტოლობას 4+3=7, შესაბამისად, ცვლადი მნიშვნელობების ეს წყვილი, განსაზღვრებით, გამოსავალია. x+y=7 განტოლებამდე.

განტოლებებს რამდენიმე ცვლადით, ისევე როგორც განტოლებებს ერთი ცვლადით, შეიძლება არ ჰქონდეს ფესვები, შეიძლება ჰქონდეს ფესვების სასრული რაოდენობა, ან შეიძლება ჰქონდეს ფესვების უსასრულო რაოდენობა.

წყვილები, სამეულები, ოთხეულები და ა.შ. ცვლადების მნიშვნელობები ხშირად იწერება მოკლედ, ფრჩხილებში მძიმებით გამოყოფილი მათი მნიშვნელობებით. ამ შემთხვევაში, ფრჩხილებში ჩაწერილი რიცხვები შეესაბამება ცვლადებს ანბანური თანმიმდევრობით. მოდით დავაზუსტოთ ეს პუნქტი წინა განტოლებაში x+y=7 დაბრუნებით. ამ განტოლების ამონახსნი x=4, y=3 შეიძლება მოკლედ დაიწეროს როგორც (4, 3).

მათემატიკის, ალგებრის სასკოლო კურსში და ანალიზის საწყისებში უდიდესი ყურადღება ეთმობა განტოლებების ფესვების პოვნას ერთი ცვლადით. ამ პროცესის წესებს დეტალურად განვიხილავთ სტატიაში. განტოლებების ამოხსნა.

ბიბლიოგრაფია.

• მათემატიკა. 2 კლასი სახელმძღვანელო ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები ად. ელექტრონზე გადამზიდავი. 14 საათზე ნაწილი 1 / [მ. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova და სხვ.] - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2012. - 96გვ.: ავად. - (რუსეთის სკოლა). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-7 კლასისთვის ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: საგანმანათლებლო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.