წრეში ჩაწერილი ტოლფერდა ტრაპეცია. ტრაპეციის საინტერესო თვისებები

- (ბერძნული ტრაპეცია). 1) გეომეტრიაში, ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი პარალელურია და ორი არა. 2) ტანვარჯიშის ვარჯიშებისთვის ადაპტირებული ფიგურა. რუსულ ენაში შეტანილი უცხო სიტყვების ლექსიკონი. ჩუდინოვი A.N., 1910. TRAPEZE... ... რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონი

ტრაპეცია- ტრაპეცია. ტრაპეცია (ბერძნული ტრაპეციიდან, სიტყვასიტყვით ცხრილი), ამოზნექილი ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი პარალელურია (ტრაპეციის ფუძეები). ტრაპეციის ფართობი უდრის ფუძეების ჯამის (შუა ხაზი) ​​და სიმაღლის ნამრავლის ნამრავლს. ... ილუსტრირებული ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ოთხკუთხედი, ჭურვი, ჯვარი რუსული სინონიმების ლექსიკონი. ტრაპეციის არსებითი სახელი, სინონიმების რაოდენობა: 3 ჯვარი (21) ... სინონიმური ლექსიკონი

- (ბერძნული ტრაპეციიდან, სიტყვასიტყვით ცხრილი), ამოზნექილი ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი პარალელურია (ტრაპეციის ფუძეები). ტრაპეციის ფართობი უდრის ფუძეების ჯამის ნახევრის (შუა ხაზი) ​​და სიმაღლის ნამრავლს... თანამედროვე ენციკლოპედია

- (ბერძნული ტრაპეციონიდან, ლიტ. ცხრილი), ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი მოპირდაპირე გვერდი, რომელსაც ტრაპეციის ფუძეები ეწოდება, პარალელურია (სურათზე AD და BC), ხოლო დანარჩენი ორი არაპარალელურია. ფუძეებს შორის მანძილს ტრაპეციის სიმაღლე ეწოდება (... ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ტრაპეცია, ოთხკუთხა ბრტყელი ფიგურა, რომელშიც ორი მოპირდაპირე გვერდი პარალელურია. ტრაპეციის ფართობი უდრის პარალელური გვერდების ჯამის ნახევარს, გამრავლებული მათ შორის პერპენდიკულარულის სიგრძეზე... სამეცნიერო და ტექნიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ტრაპეცია, ტრაპეცია, ქალური (ბერძნული ტრაპეციის ცხრილიდან). 1. ოთხკუთხედი ორი პარალელური და ორი არაპარალელური გვერდით (მათ.). 2. ტანვარჯიშის აპარატი, რომელიც შედგება ორ თოკზე დაკიდებული ჯვრისაგან (სპორტი). აკრობატული...... უშაკოვის განმარტებითი ლექსიკონი

ტრაპეცია და, ქალი. 1. ოთხკუთხედი ორი პარალელური და ორი არაპარალელური გვერდით. ტრაპეციის ფუძეები (მისი პარალელური მხარეები). 2. ცირკის ან ტანვარჯიშის აპარატი არის ორ კაბელზე დაკიდებული ჯვარი. ოჟეგოვის განმარტებითი ლექსიკონი. თან… ოჟეგოვის განმარტებითი ლექსიკონი

ქალი, გეომ. ოთხკუთხედი არათანაბარი გვერდებით, რომელთაგან ორი პარალელურია (პარალელური). ტრაპეცია, მსგავსი ოთხკუთხედი, რომელშიც ყველა მხარე ერთმანეთს ეშვება. ტრაპეციონერი, სხეული ტრაპეციებით. დალის განმარტებითი ლექსიკონი. და. დალი. 1863 1866… დალის განმარტებითი ლექსიკონი

- (ტრაპეცია), აშშ, 1956 წ., 105 წთ. მელოდრამა. დამწყები აკრობატი ტინო ორსინი უერთდება ცირკის ჯგუფს, სადაც მუშაობს მაიკ რიბლი, ცნობილი ყოფილი ტრაპეციის მხატვარი. მაიკი ერთხელ თინოს მამასთან ერთად გამოვიდა. ახალგაზრდა ორსინს უნდა მაიკი... კინოს ენციკლოპედია

ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი პარალელურია, ხოლო დანარჩენი ორი გვერდი არ არის პარალელური. პარალელურ გვერდებს შორის მანძილი ეწოდება. სიმაღლე T. თუ პარალელური მხარეები და სიმაღლე შეიცავს a, b და h მეტრს, მაშინ T-ის ფართობი შეიცავს კვადრატულ მეტრს ... ბროკჰაუზისა და ეფრონის ენციკლოპედია

\[(\დიდი(\ტექსტი(თავისუფალი ტრაპეცია)))\]

განმარტებები

ტრაპეცია არის ამოზნექილი ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი პარალელურია, ხოლო დანარჩენი ორი გვერდი არ არის პარალელური.

ტრაპეციის პარალელურ გვერდებს მის ფუძეებს უწოდებენ, დანარჩენ ორ მხარეს კი მის გვერდით გვერდებს.

ტრაპეციის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც გაყვანილია ერთი ფუძის ნებისმიერი წერტილიდან მეორე ფუძემდე.

თეორემები: ტრაპეციის თვისებები

1) გვერდის კუთხეების ჯამი არის \(180^\circ\) .

2) დიაგონალები ყოფენ ტრაპეციას ოთხ სამკუთხედად, რომელთაგან ორი მსგავსია, ხოლო დანარჩენი ორი ტოლია ზომით.

მტკიცებულება

1) იმიტომ \(AD\პარალელური BC\), შემდეგ კუთხეები \(\კუთხე BAD\) და \(\კუთხე ABC\) ცალმხრივია ამ წრფეებისთვის და განივი \(AB\), შესაბამისად, \(\კუთხე BAD +\კუთხე ABC=180^\circ\).

2) იმიტომ \(AD\პარალელური BC\) და \(BD\) არის სეკანტი, შემდეგ \(\კუთხე DBC=\კუთხე BDA\) დევს ჯვარედინად.
ასევე \(\კუთხე BOC=\კუთხე AOD\) ვერტიკალურად.
ამიტომ, ორი კუთხით \(\სამკუთხედი BOC \sim \სამკუთხედი AOD\).

ეს დავამტკიცოთ \(S_(\სამკუთხედი AOB)=S_(\სამკუთხედი COD)\). დაე, \(h\) იყოს ტრაპეციის სიმაღლე. მერე \(S_(\სამკუთხედი ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\სამკუთხედი ACD)\). შემდეგ: \

განმარტება

ტრაპეციის შუა ხაზი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს გვერდების შუა წერტილებს.

თეორემა

ტრაპეციის შუა ხაზი ფუძეების პარალელურია და მათი ნახევრად ჯამის ტოლია.

მტკიცებულება*

1) დავამტკიცოთ პარალელიზმი.

მოდით გავავლოთ \(M\) წერტილიდან სწორი ხაზი \(MN"\პარალელური AD\) (\(N"\CD-ში\) ). შემდეგ, თალესის თეორემის მიხედვით (მას შემდეგ \(MN"\პარალელური AD\პარალელური BC, AM=MB\)) წერტილი \(N"\) არის \(CD\) სეგმენტის შუა. ეს ნიშნავს, რომ \(N\) და \(N"\) წერტილები ერთმანეთს დაემთხვევა.

2) დავამტკიცოთ ფორმულა.

მოდით გავაკეთოთ \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . დაე \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

შემდეგ, თალესის თეორემით, \(M"\) და \(N"\) არის შესაბამისად \(BB"\) და \(CC"\ სეგმენტების შუა წერტილები. ეს ნიშნავს, რომ \(MM"\) არის \(\სამკუთხედის ABB"\) შუა ხაზი, \(NN"\) არის \(\სამკუთხედის DCC"\) შუა ხაზი. Ამიტომაც: \

იმიტომ რომ \(MN\პარალელური AD\პარალელური BC\)და \(BB", CC"\perp AD\), შემდეგ \(B"M"N"C"\) და \(BM"N"C\) არის მართკუთხედები. თალესის თეორემის მიხედვით, \(MN\პარალელური AD\) და \(AM=MB\)დან გამომდინარეობს, რომ \(B"M"=M"B\) . მაშასადამე, \(B"M"N"C "\) და \(BM"N"C\) ტოლი მართკუთხედებია, შესაბამისად, \(M"N"=B"C"=BC\) .

ამრიგად:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\მარჯვნივ)\]

თეორემა: თვითნებური ტრაპეციის თვისება

ფუძეების შუა წერტილები, ტრაპეციის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი და გვერდითი გვერდების გაფართოების გადაკვეთის წერტილი ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს.

მტკიცებულება*
მიზანშეწონილია გაეცნოთ მტკიცებულებას თემის „სამკუთხედების მსგავსება“ შესწავლის შემდეგ.

1) დავამტკიცოთ, რომ წერტილები \(P\) , \(N\) და \(M\) დევს ერთ წრფეზე.

დავხაზოთ სწორი ხაზი \(PN\) (\(P\) არის გვერდითი გვერდების გაფართოების გადაკვეთის წერტილი, \(N\) არის \(BC\) შუა). დაე, მან გადაკვეთოს \(AD\) გვერდი \(M\) წერტილში. მოდით დავამტკიცოთ, რომ \(M\) არის \(AD\)-ის შუა წერტილი.

განვიხილოთ \(\სამკუთხედი BPN\) და \(\სამკუთხედი APM\) . ისინი მსგავსია ორი კუთხით (\(\კუთხე APM\) - ზოგადი, \(\კუთხე PAM=\კუთხე PBN\), როგორც შესაბამისი \(AD\პარალელური BC\) და \(AB\) სეკანტზე). ნიშნავს: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

განვიხილოთ \(\სამკუთხედი CPN\) და \(\სამკუთხედი DPM\) . ისინი მსგავსია ორი კუთხით (\(\კუთხე DPM\) – ზოგადი, \(\კუთხე PDM=\კუთხე PCN\), როგორც შესაბამისი \(AD\პარალელური BC\) და \(CD\) სეკანტით). ნიშნავს: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

აქედან \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). მაგრამ \(BN=NC\) ამიტომ \(AM=DM\) .

2) დავამტკიცოთ, რომ \(N, O, M\) წერტილები დევს იმავე წრფეზე.

მოდით \(N\) იყოს \(BC\) შუა წერტილი და \(O\) იყოს დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. დავხაზოთ სწორი ხაზი \(NO\) , ის გადაკვეთს \(AD\) მხარეს \(M\) წერტილში. მოდით დავამტკიცოთ, რომ \(M\) არის \(AD\)-ის შუა წერტილი.

\(\სამკუთხედი BNO\sim \სამკუთხედი DMO\)ორი კუთხის გასწვრივ (\(\კუთხე OBN=\კუთხე ODM\) ჯვარედინად დევს \(BC\პარალელური AD\) და \(BD\) სეკანტი; \(\კუთხე BON=\კუთხე DOM\) ვერტიკალურად). ნიშნავს: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

ანალოგიურად \(\სამკუთხედი CON\sim \სამკუთხედი AOM\). ნიშნავს: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

აქედან \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). მაგრამ \(BN=CN\) ამიტომ \(AM=MD\) .

\[(\დიდი(\ტექსტი(სწორი ტრაპეცია)))\]

განმარტებები

ტრაპეციას მართკუთხა ეწოდება, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხე სწორია.

ტრაპეციას უწოდებენ ტოლფერს, თუ მისი გვერდები ტოლია.

თეორემები: ტოლფერდა ტრაპეციის თვისებები

1) ტოლფერდა ტრაპეციას აქვს თანაბარი ფუძის კუთხეები.

2) ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალები ტოლია.

3) დიაგონალითა და ფუძით წარმოქმნილი ორი სამკუთხედი ტოლფერდაა.

მტკიცებულება

1) განვიხილოთ ტოლფერდა ტრაპეცია \(ABCD\) .

\(B\) და \(C\) წვეროებიდან ჩვენ ჩამოვთვლით პერპენდიკულარებს \(BM\) და \(CN\) შესაბამისად \(AD\) მხარეს. ვინაიდან \(BM\perp AD\) და \(CN\perp AD\) , მაშინ \(BM\პარალელური CN\) ; \(AD\პარალელური BC\) , მაშინ \(MBCN\) არის პარალელოგრამი, შესაბამისად, \(BM = CN\) .

განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედები \(ABM\) და \(CDN\) . ვინაიდან მათი ჰიპოტენუსები ტოლია და ფეხი \(BM\) ტოლია ფეხის \(CN\) , მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია, შესაბამისად, \(\კუთხე DAB = \კუთხე CDA\) .

2)

იმიტომ რომ \(AB=CD, \კუთხე A=\კუთხე D, AD\)- გენერალური, მაშინ პირველი ნიშნის მიხედვით. ამიტომ, \(AC=BD\) .

3) იმიტომ \(\სამკუთხედი ABD=\სამკუთხედი ACD\), შემდეგ \(\კუთხე BDA=\კუთხე CAD\) . მაშასადამე, სამკუთხედი \(\სამკუთხედი AOD\) არის ტოლფერდა. ანალოგიურად, დადასტურდა, რომ \(\სამკუთხედი BOC\) არის ტოლფერდა.

თეორემები: ტოლფერდა ტრაპეციის ნიშნები

1) თუ ტრაპეციას აქვს თანაბარი ფუძის კუთხეები, მაშინ ის არის ტოლფერდა.

2) თუ ტრაპეციას აქვს თანაბარი დიაგონალები, მაშინ ის ტოლფერდაა.

მტკიცებულება

განვიხილოთ ტრაპეცია \(ABCD\) ისე, რომ \(\კუთხე A = \კუთხე D\) .

მოდით დავასრულოთ ტრაპეცია სამკუთხედამდე \(AED\), როგორც ნაჩვენებია სურათზე. ვინაიდან \(\კუთხე 1 = \კუთხე 2\) , მაშინ სამკუთხედი \(AED\) არის ტოლფერდა და \(AE = ED\) . კუთხეები \(1\) და \(3\) ტოლია, როგორც შესაბამისი კუთხეები პარალელური წრფეებისთვის \(AD\) და \(BC\) და სეკანტი \(AB\). ანალოგიურად, კუთხეები \(2\) და \(4\) ტოლია, მაგრამ \(\კუთხე 1 = \კუთხე 2\), მაშინ \(\კუთხე 3 = \კუთხე 1 = \კუთხე 2 = \კუთხე 4\), შესაბამისად, სამკუთხედი \(BEC\) ასევე არის ტოლფერდა და \(BE = EC\) .

საბოლოოდ \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), ანუ \(AB = CD\), რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

2) მოდით \(AC=BD\) . იმიტომ რომ \(\სამკუთხედი AOD\sim \სამკუთხედი BOC\), მაშინ მათი მსგავსების კოეფიციენტს აღვნიშნავთ როგორც \(k\) . მაშინ თუ \(BO=x\) , მაშინ \(OD=kx\) . მსგავსია \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

იმიტომ რომ \(AC=BD\) , შემდეგ \(x+kx=y+ky \მარჯვენა ისარი x=y\) . ეს ნიშნავს, რომ \(\სამკუთხედი AOD\) არის ტოლფერდა და \(\კუთხე OAD=\კუთხე ODA\) .

ამრიგად, პირველი ნიშნის მიხედვით \(\სამკუთხედი ABD=\სამკუთხედი ACD\) (\(AC=BD, \კუთხე OAD=\კუთხე ODA, AD\)- გენერალური). ასე რომ, \(AB=CD\) რატომ.

ამ სტატიაში შევეცდებით ტრაპეციის თვისებები მაქსიმალურად სრულად ასახოთ. კერძოდ, ვისაუბრებთ ტრაპეციის ზოგად მახასიათებლებზე და თვისებებზე, აგრეთვე წარწერიანი ტრაპეციისა და ტრაპეციაში ჩაწერილი წრის თვისებებზე. ასევე შევეხებით ტოლკუთხა და მართკუთხა ტრაპეციის თვისებებს.

განხილული თვისებების გამოყენებით პრობლემის გადაჭრის მაგალითი დაგეხმარებათ დაალაგოთ ის თქვენს თავში ადგილებად და უკეთ დაიმახსოვროთ მასალა.

ტრაპეცია და ყველა-ყველა-ყველა

დასაწყისისთვის, მოკლედ გავიხსენოთ რა არის ტრაპეცია და რა სხვა ცნებები უკავშირდება მას.

ასე რომ, ტრაპეცია არის ოთხკუთხა ფიგურა, რომლის ორი გვერდი ერთმანეთის პარალელურია (ეს არის ფუძეები). და ეს ორი არ არის პარალელური - ეს არის მხარეები.

ტრაპეციაში სიმაღლე შეიძლება დაიწიოს - ფუძეების პერპენდიკულარულად. შედგენილია ცენტრის ხაზი და დიაგონალები. ასევე შესაძლებელია ბისექტრის დახატვა ტრაპეციის ნებისმიერი კუთხიდან.

ჩვენ ახლა ვისაუბრებთ ყველა ამ ელემენტთან დაკავშირებულ სხვადასხვა თვისებებზე და მათ კომბინაციებზე.

ტრაპეციის დიაგონალების თვისებები

უფრო გასაგებად რომ კითხულობთ, დახაზეთ ტრაპეცია ACME ფურცელზე და დახაზეთ მასში დიაგონალები.

1. თუ იპოვით თითოეული დიაგონალის შუა წერტილებს (მოდით დავარქვათ ამ წერტილებს X და T) და დააკავშირებთ მათ, მიიღებთ სეგმენტს. ტრაპეციის დიაგონალების ერთ-ერთი თვისებაა ის, რომ სეგმენტი HT დევს შუა ხაზზე. და მისი სიგრძე შეიძლება მივიღოთ ფუძეების სხვაობის ორზე გაყოფით: ХТ = (a – b)/2.
2. ჩვენს წინაშე არის იგივე ტრაპეცია ACME. დიაგონალები იკვეთება O წერტილში. მოდით შევხედოთ სამკუთხედებს AOE და MOK, რომლებიც წარმოიქმნება დიაგონალების სეგმენტებით ტრაპეციის ფუძეებთან ერთად. ეს სამკუთხედები მსგავსია. სამკუთხედების მსგავსების კოეფიციენტი k გამოიხატება ტრაპეციის ფუძეების თანაფარდობით: k = AE/KM.
   სამკუთხედების AOE და MOK ფართობების თანაფარდობა აღწერილია k 2 კოეფიციენტით.
3. იგივე ტრაპეცია, იგივე დიაგონალები, რომლებიც იკვეთება O წერტილში. მხოლოდ ამჯერად განვიხილავთ სამკუთხედებს, რომლებსაც დიაგონალების სეგმენტები ტრაპეციის გვერდებთან ერთად ქმნიდნენ. სამკუთხედების არეები AKO და EMO ტოლია ზომით - მათი ფართობი ერთნაირია.
4. ტრაპეციის კიდევ ერთი თვისებაა დიაგონალების აგება. ასე რომ, თუ თქვენ გააგრძელებთ AK და ME გვერდებს პატარა ფუძის მიმართულებით, მაშინ ადრე თუ გვიან ისინი გადაიკვეთებიან გარკვეულ წერტილში. შემდეგი, დახაზეთ სწორი ხაზი ტრაპეციის ფუძის შუაში. ის კვეთს ფუძეებს X და T წერტილებში.
   თუ ახლა გავაგრძელებთ XT ხაზს, მაშინ ის ერთმანეთთან დააკავშირებს O ტრაპეციის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს, იმ წერტილს, სადაც იკვეთება გვერდების გაფართოებები და X და T ფუძეების შუა.
5. დიაგონალების გადაკვეთის წერტილის გავლით დავხაზავთ სეგმენტს, რომელიც დააკავშირებს ტრაპეციის ფუძეებს (T დევს პატარა ფუძე KM-ზე, X უფრო დიდ AE-ზე). დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი ამ სეგმენტს ყოფს შემდეგი თანაფარდობით: TO/OX = KM/AE.
6. ახლა, დიაგონალების გადაკვეთის წერტილის გავლით, ჩვენ დავხატავთ სეგმენტს ტრაპეციის ფუძეების პარალელურად (a და b). გადაკვეთის წერტილი მას ორ თანაბარ ნაწილად გაყოფს. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ სეგმენტის სიგრძე ფორმულის გამოყენებით 2ab/(a + b).

ტრაპეციის შუა ხაზის თვისებები

დახაზეთ შუა ხაზი ტრაპეციაში მისი ფუძეების პარალელურად.

1. ტრაპეციის შუა ხაზის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს ფუძეების სიგრძის დამატებით და შუაზე გაყოფით: m = (a + b)/2.
2. თუ რომელიმე სეგმენტს (სიმაღლე, მაგალითად) ტრაპეციის ორივე ძირში დახაზავთ, შუა ხაზი მას ორ თანაბარ ნაწილად გაყოფს.

ტრაპეციის ბისექტრის თვისება

აირჩიეთ ტრაპეციის ნებისმიერი კუთხე და დახაზეთ ბისექტორი. ავიღოთ, მაგალითად, ჩვენი ტრაპეციის ACME კუთხე KAE. თავად დაასრულეთ კონსტრუქცია, შეგიძლიათ მარტივად გადაამოწმოთ, რომ ბისექტორი წყვეტს ფუძიდან (ან მის გაგრძელებას სწორ ხაზზე თავად ფიგურის გარეთ) იმავე სიგრძის სეგმენტს, როგორც გვერდი.

ტრაპეციის კუთხეების თვისებები

1. გვერდის მიმდებარე ორი წყვილი კუთხიდან რომელს აირჩევთ, წყვილში კუთხეების ჯამი ყოველთვის არის 180 0: α + β = 180 0 და γ + δ = 180 0.
2. დავუკავშიროთ ტრაპეციის ფუძეების შუა წერტილები TX სეგმენტს. ახლა მოდით შევხედოთ კუთხეებს ტრაპეციის ფუძეებზე. თუ რომელიმე მათგანის კუთხეების ჯამი არის 90 0, TX სეგმენტის სიგრძე მარტივად შეიძლება გამოითვალოს ფუძეების სიგრძის სხვაობის საფუძველზე, გაყოფილი ნახევარზე: TX = (AE – KM)/2.
3. თუ პარალელური ხაზები გაივლება ტრაპეციის კუთხის გვერდებზე, ისინი დაყოფენ კუთხის გვერდებს პროპორციულ სეგმენტებად.

ტოლგვერდა (ტოლგვერდა) ტრაპეციის თვისებები

1. ტოლფეროვან ტრაპეციაში კუთხეები ნებისმიერ ფუძეზე ტოლია.
2. ახლა ისევ ააგეთ ტრაპეცია, რათა გაადვილოთ წარმოდგენა იმაზე, რაზეც ვსაუბრობთ. დააკვირდით AE ფუძეს - მოპირდაპირე ფუძის M წვერო დაპროექტებულია ხაზის გარკვეულ წერტილში, რომელიც შეიცავს AE-ს. მანძილი A წვეროდან M წვეროს პროექციის წერტილამდე და ტოლფერდა ტრაპეციის შუა ხაზი ტოლია.
3. ორიოდე სიტყვა ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალების თვისების შესახებ - მათი სიგრძე ტოლია. და ასევე ამ დიაგონალების დახრილობის კუთხეები ტრაპეციის ფუძესთან იგივეა.
4. მხოლოდ ტოლფერდა ტრაპეციის გარშემო შეიძლება იყოს წრე, რადგან ოთხკუთხედის საპირისპირო კუთხეების ჯამი არის 180 0 - ამის წინაპირობა.
5. ტოლფერდა ტრაპეციის თვისება გამომდინარეობს წინა აბზაციდან - თუ წრის აღწერა შესაძლებელია ტრაპეციის მახლობლად, ეს არის ტოლფერდა.
6. ტოლფერდა ტრაპეციის თვისებებიდან გამომდინარეობს ტრაპეციის სიმაღლის თვისება: თუ მისი დიაგონალები იკვეთება სწორი კუთხით, მაშინ სიმაღლის სიგრძე უდრის ფუძეების ჯამის ნახევარს: h = (a + b)/2.
7. ისევ დახაზეთ TX სეგმენტი ტრაპეციის ფუძეების შუა წერტილებში - ტოლფერდა ტრაპეციაში ის ფუძეების პერპენდიკულარულია. და ამავე დროს TX არის ტოლფერდა ტრაპეციის სიმეტრიის ღერძი.
8. ამჯერად ჩამოწიეთ სიმაღლე ტრაპეციის საპირისპირო წვეროდან უფრო დიდ ფუძეზე (მოდით დავარქვათ ა). თქვენ მიიღებთ ორ სეგმენტს. ერთის სიგრძე შეიძლება მოიძებნოს, თუ ბაზების სიგრძე დაემატება და იყოფა ნახევარზე: (a + b)/2. მეორეს ვიღებთ, როცა პატარას გამოვაკლებთ უფრო დიდ ფუძეს და მიღებულ განსხვავებას გავყოფთ ორზე: (ა – ბ)/2.

წრეში ჩაწერილი ტრაპეციის თვისებები

ვინაიდან უკვე ვსაუბრობთ წრეში ჩაწერილ ტრაპეციაზე, ამ საკითხზე უფრო დეტალურად ვისაუბროთ. კერძოდ, სად არის წრის ცენტრი ტრაპეციის მიმართ. აქაც რეკომენდირებულია დრო დაუთმოთ ფანქრის აღებას და დახატოთ ის, რაც ქვემოთ იქნება განხილული. ასე უფრო სწრაფად გაიგებთ და უკეთ დაიმახსოვრებთ.

1. წრის ცენტრის მდებარეობა განისაზღვრება ტრაპეციის დიაგონალის დახრილობის კუთხით მის მხარეს. მაგალითად, დიაგონალი შეიძლება გაგრძელდეს ტრაპეციის ზემოდან მარჯვენა კუთხით გვერდით. ამ შემთხვევაში, უფრო დიდი ფუძე კვეთს წრეწირის ცენტრს ზუსტად შუაში (R = ½AE).
2. დიაგონალი და გვერდი ასევე შეიძლება შეხვდეს მწვავე კუთხით - მაშინ წრის ცენტრი ტრაპეციის შიგნითაა.
3. შემოხაზული წრის ცენტრი შეიძლება იყოს ტრაპეციის გარეთ, მისი უფრო დიდი ფუძის მიღმა, თუ ტრაპეციის დიაგონალსა და გვერდს შორის არის ბლაგვი კუთხე.
4. ACME ტრაპეციის დიაგონალითა და დიდი ფუძით ჩამოყალიბებული კუთხე არის ცენტრალური კუთხის ნახევარი, რომელიც შეესაბამება მას: MAE = ½ MOE.
5. მოკლედ შემოხაზული წრის რადიუსის პოვნის ორი გზა. მეთოდი პირველი: ყურადღებით დააკვირდით თქვენს ნახატს - რას ხედავთ? თქვენ შეგიძლიათ მარტივად შეამჩნიოთ, რომ დიაგონალი ყოფს ტრაპეციას ორ სამკუთხედად. რადიუსის პოვნა შესაძლებელია სამკუთხედის გვერდის შეფარდებით მოპირდაპირე კუთხის სინუსთან, გამრავლებული ორზე. Მაგალითად, R = AE/2*sinAME. ანალოგიურად, ფორმულა შეიძლება დაიწეროს ორივე სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდისთვის.
6. მეთოდი მეორე: იპოვნეთ შემოხაზული წრის რადიუსი სამკუთხედის ფართობზე, რომელიც ჩამოყალიბებულია ტრაპეციის დიაგონალით, გვერდით და ფუძით: R = AM*ME*AE/4*S AME.

წრის გარშემო შემოხაზული ტრაპეციის თვისებები

თქვენ შეგიძლიათ მოათავსოთ წრე ტრაპეციაში, თუ ერთი პირობა დაკმაყოფილებულია. წაიკითხეთ მეტი ამის შესახებ ქვემოთ. და ერთად ფიგურების ამ კომბინაციას აქვს არაერთი საინტერესო თვისება.

1. თუ წრე ტრაპეციაშია ჩაწერილი, მისი შუა ხაზის სიგრძე ადვილად იპოვება გვერდების სიგრძის დამატებით და მიღებული ჯამის შუაზე გაყოფით: m = (c + d)/2.
2. ტრაპეციული ACME-სთვის, რომელიც აღწერილია წრეზე, ფუძეების სიგრძის ჯამი უდრის გვერდების სიგრძის ჯამს: AK + ME = KM + AE.
3. ტრაპეციის ფუძეების ამ თვისებიდან გამომდინარეობს საპირისპირო დებულება: ტრაპეციაში შეიძლება ჩაიწეროს წრე, რომლის ფუძეების ჯამი უდრის მისი გვერდების ჯამს.
4. ტრაპეციაში ჩაწერილი r რადიუსის მქონე წრის ტანგენტური წერტილი გვერდს ყოფს ორ სეგმენტად, დავარქვათ a და b. წრის რადიუსი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით: r = √ab.
5. და კიდევ ერთი ქონება. დაბნეულობის თავიდან აცილების მიზნით, თქვენც დახატეთ ეს მაგალითი. ჩვენ გვაქვს კარგი ძველი ტრაპეცია ACME, აღწერილი წრის გარშემო. იგი შეიცავს დიაგონალებს, რომლებიც იკვეთება O წერტილში. სამკუთხედები AOK და EOM, რომლებიც წარმოიქმნება დიაგონალების სეგმენტებით და გვერდითი გვერდებით, მართკუთხაა.
   ამ სამკუთხედების სიმაღლეები, რომლებიც დაშვებულია ჰიპოტენუსებამდე (ანუ ტრაპეციის გვერდითი მხარეები), ემთხვევა ჩაწერილი წრის რადიუსებს. ხოლო ტრაპეციის სიმაღლე ემთხვევა ჩაწერილი წრის დიამეტრს.

მართკუთხა ტრაპეციის თვისებები

ტრაპეციას მართკუთხა ეწოდება, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხე სწორია. და მისი თვისებები გამომდინარეობს ამ გარემოებიდან.

1. მართკუთხა ტრაპეციას ერთი გვერდი აქვს ძირზე პერპენდიკულარული.
2. მართი კუთხის მიმდებარე ტრაპეციის სიმაღლე და მხარე ტოლია. ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მართკუთხა ტრაპეციის ფართობი (ზოგადი ფორმულა S = (a + b) * h/2) არა მხოლოდ სიმაღლის, არამედ მარჯვენა კუთხის მიმდებარე მხარის მეშვეობით.
3. მართკუთხა ტრაპეციისთვის, ზემოთ აღწერილი ტრაპეციის დიაგონალების ზოგადი თვისებები შესაბამისია.

ტრაპეციის ზოგიერთი თვისების მტკიცებულება

კუთხეების ტოლობა ტოლფერდა ტრაპეციის ფუძესთან:

• ალბათ უკვე მიხვდით, რომ აქ ისევ დაგვჭირდება AKME ტრაპეცია - დახაზეთ ტოლფერდა ტრაპეცია. დახაზეთ სწორი ხაზი MT წვეროდან M, AK-ის მხარის პარალელურად (MT || AK).

შედეგად მიღებული ოთხკუთხედი AKMT არის პარალელოგრამი (AK || MT, KM || AT). ვინაიდან ME = KA = MT, ∆ MTE არის ტოლფერდა და MET = MTE.

AK || MT, შესაბამისად MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

სად არის AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

ქ.ე.დ.

ახლა, ტოლფერდა ტრაპეციის თვისებიდან გამომდინარე (დიაგონალების ტოლობა), ვამტკიცებთ, რომ ტრაპეცია ACME არის ტოლფერდა:

• პირველი, მოდით დავხატოთ სწორი ხაზი MX – MX || KE. ვიღებთ პარალელოგრამს KMHE (ფუძე – MX || KE და KM || EX).

∆AMX არის ტოლფერდა, ვინაიდან AM = KE = MX და MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, შესაბამისად MAE = MXE.

აღმოჩნდა, რომ სამკუთხედები AKE და EMA ერთმანეთის ტოლია, ვინაიდან AM = KE და AE ორი სამკუთხედის საერთო გვერდია. და ასევე MAE = MXE. შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ AK = ME და აქედან გამომდინარეობს, რომ ტრაპეცია AKME არის ტოლფერდა.

დავალების გადახედვა

ტრაპეციის ACME ფუძეები არის 9 სმ და 21 სმ, გვერდითი მხარე KA, 8 სმ-ის ტოლი, ქმნის 150 0 კუთხეს პატარა ფუძით. თქვენ უნდა იპოვოთ ტრაპეციის ფართობი.

ამოხსნა: K წვეროდან ვამცირებთ სიმაღლეს ტრაპეციის უფრო დიდ ფუძემდე. და დავიწყოთ ტრაპეციის კუთხეების დათვალიერება.

AEM და KAN კუთხეები ცალმხრივია. ეს ნიშნავს, რომ ჯამში ისინი აძლევენ 180 0-ს. აქედან გამომდინარე, KAN = 30 0 (ტრაპეციული კუთხეების თვისებაზე დაყრდნობით).

ახლა განვიხილოთ მართკუთხა ∆ANC (მჯერა, რომ ეს პუნქტი აშკარაა მკითხველისთვის დამატებითი მტკიცებულების გარეშე). მისგან ვიპოვით KH ტრაპეციის სიმაღლეს - სამკუთხედში ეს არის ფეხი, რომელიც მდებარეობს 30 0 კუთხის საპირისპიროდ. აქედან გამომდინარე, KH = ½AB = 4 სმ.

ჩვენ ვპოულობთ ტრაპეციის ფართობს ფორმულის გამოყენებით: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 სმ 2.

შემდგომი სიტყვა

თუ თქვენ ყურადღებით და გააზრებულად შეისწავლეთ ეს სტატია, არ გეზარებათ ფანქრით ხელში დახატოთ ტრაპეცია ყველა მოცემული თვისებისთვის და გააანალიზოთ ისინი პრაქტიკაში, კარგად უნდა გქონოდათ ათვისებული მასალა.

რა თქმა უნდა, აქ ბევრი ინფორმაციაა, მრავალფეროვანი და ზოგჯერ დამაბნეველიც: არც ისე რთულია აღწერილი ტრაპეციის თვისებები წარწერის თვისებებთან აგრევა. მაგრამ თქვენ თვითონ ნახეთ, რომ განსხვავება დიდია.

ახლა თქვენ გაქვთ დეტალური მონახაზი ტრაპეციის ყველა ზოგადი თვისების შესახებ. ასევე ტოლკუთხა და მართკუთხა ტრაპეციის სპეციფიკური თვისებები და მახასიათებლები. ძალიან მოსახერხებელია გამოსაყენებლად ტესტებისა და გამოცდებისთვის მოსამზადებლად. სცადეთ თავად და გაუზიარეთ ბმული თქვენს მეგობრებს!

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

შემოხაზული წრე და ტრაპეცია. გამარჯობა! თქვენთვის არის კიდევ ერთი პუბლიკაცია, რომელშიც განვიხილავთ ტრაპეციის პრობლემებს. დავალებები მათემატიკის გამოცდის ნაწილია. აქ ისინი გაერთიანებულია ჯგუფში; მოცემულია არა მხოლოდ ერთი ტრაპეცია, არამედ სხეულების კომბინაცია - ტრაპეცია და წრე. ამ პრობლემების უმეტესობა წყდება ზეპირად. მაგრამ არის ისეთებიც, რომლებსაც განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს, მაგალითად, დავალება 27926.

რა თეორია უნდა გახსოვდეთ? ეს:

ბლოგზე არსებული ტრაპეციების პრობლემების ნახვა შესაძლებელია Აქ.

27924. ტრაპეციის გარშემო აღწერილია წრე. ტრაპეციის პერიმეტრი არის 22, შუა ხაზი 5. იპოვეთ ტრაპეციის მხარე.

გაითვალისწინეთ, რომ წრის აღწერა შესაძლებელია მხოლოდ ტოლფერდა ტრაპეციის გარშემო. ჩვენ გვეძლევა შუა ხაზი, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ფუძეების ჯამი, ანუ:

ეს ნიშნავს, რომ გვერდების ჯამი იქნება 22–10=12 (პერიმეტრი ფუძის გამოკლებით). ვინაიდან ტოლფერდა ტრაპეციის გვერდები ტოლია, ერთი გვერდი ექვსს უდრის.

27925. ტოლფერდა ტრაპეციის გვერდითი მხარე უდრის მის პატარა ფუძეს, ფუძესთან კუთხე 60 0, დიდი ფუძე 12. იპოვეთ ამ ტრაპეციის წრეწირი.

თუ ამოცანები ამოხსნით წრეზე და მასში ჩაწერილ ექვსკუთხედზე, მაშინვე გამოთქვამთ პასუხს - რადიუსი არის 6. რატომ?

შეხედეთ: ტოლფერდა ტრაპეცია, რომლის ფუძის კუთხე ტოლია 60 0 და ტოლი გვერდები AD, DC და CB, არის რეგულარული ექვსკუთხედის ნახევარი:

ასეთ ექვსკუთხედში მოპირდაპირე წვეროების დამაკავშირებელი სეგმენტი გადის წრის ცენტრში. *ექვსკუთხედის ცენტრი და წრის ცენტრი ერთმანეთს ემთხვევა, მეტი დეტალი

ანუ ამ ტრაპეციის უფრო დიდი ფუძე ემთხვევა შემოხაზული წრის დიამეტრს. ასე რომ, რადიუსი არის ექვსი.

*რა თქმა უნდა, შეგვიძლია განვიხილოთ სამკუთხედების ADO, DOC და OCB ტოლობა. დაამტკიცეთ, რომ ისინი ტოლგვერდები არიან. შემდეგ დავასკვნათ, რომ AOB კუთხე უდრის 180 0-ს და O წერტილი თანაბრად არის დაშორებული A, D, C და B წვეროებისგან და შესაბამისად AO=OB=12/2=6.

27926. ტოლფერდა ტრაპეციის ფუძეებია 8 და 6. შემოხაზული წრის რადიუსი არის 5. იპოვეთ ტრაპეციის სიმაღლე.

გაითვალისწინეთ, რომ შემოხაზული წრის ცენტრი სიმეტრიის ღერძზე დევს და თუ ამ ცენტრში გამავალი ტრაპეციის სიმაღლეს ავაშენებთ, მაშინ როცა ის ფუძეებთან გადაიკვეთება, მათ შუაზე გაყოფს. მოდით ვაჩვენოთ ეს ესკიზში და ასევე დავუკავშიროთ ცენტრი წვეროებს:

სეგმენტი EF არის ტრაპეციის სიმაღლე, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ იგი.

მართკუთხა სამკუთხედში OFC ვიცით ჰიპოტენუზა (ეს არის წრის რადიუსი), FC=3 (რადგან DF=FC). პითაგორას თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია გამოვთვალოთ OF:

მართკუთხა სამკუთხედში OEB ჩვენ ვიცით ჰიპოტენუზა (ეს არის წრის რადიუსი), EB=4 (რადგან AE=EB). პითაგორას თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია გამოვთვალოთ OE:

ამრიგად EF=FO+OE=4+3=7.

ახლა მნიშვნელოვანი ნიუანსი!

ამ პრობლემაში ნახატი ნათლად აჩვენებს, რომ ფუძეები წრის ცენტრის მოპირდაპირე მხარეს დევს, ამიტომ პრობლემა ამ გზით წყდება.

რა მოხდება, თუ პირობები არ მოიცავდა ესკიზს?

მაშინ პრობლემას ორი პასუხი ექნებოდა. რატომ? დააკვირდით - ორი ტრაპეცია მოცემული ფუძით შეიძლება ჩაიწეროს ნებისმიერ წრეში:

*ანუ, ტრაპეციის ფუძეებისა და წრის რადიუსის გათვალისწინებით, არსებობს ორი ტრაპეცია.

და "მეორე ვარიანტის" გამოსავალი იქნება შემდეგი.

პითაგორას თეორემის გამოყენებით ჩვენ ვიანგარიშებთ OF-ს:

მოდით ასევე გამოვთვალოთ OE:

ამრიგად EF=FO–OE=4–3=1.

რა თქმა უნდა, ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე მოკლე პასუხის პრობლემაში არ შეიძლება იყოს ორი პასუხი და მსგავსი პრობლემა არ იქნება მოცემული ესკიზის გარეშე. ამიტომ, განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ ესკიზს! კერძოდ: როგორ მდებარეობს ტრაპეციის ფუძეები. მაგრამ დეტალური პასუხის მქონე ამოცანებში ეს იყო გასულ წლებში (ოდნავ უფრო რთული მდგომარეობით). ვინც განიხილავდა ტრაპეციის მდებარეობის მხოლოდ ერთ ვარიანტს, დაკარგა ქულა ამ ამოცანაზე.

27937. ტრაპეცია შემოვლებულია წრის გარშემო, რომლის პერიმეტრია 40. იპოვეთ მისი შუა ხაზი.

აქვე დაუყოვნებლივ უნდა გავიხსენოთ წრეზე შემოხაზული ოთხკუთხედის თვისება:

წრის გარშემო შემოხაზული ნებისმიერი ოთხკუთხედის მოპირდაპირე გვერდების ჯამები ტოლია.

Საღამო მშვიდობისა! ოჰ, ეს შემოხაზული, ან ჩაწერილი წრეები, გეომეტრიული ფიგურები. ძალიან რთულია დაბნეულობა. რა და როდის.

მოდით ვცადოთ ამის გარკვევა ჯერ ფორმულირებით. ჩვენ გვეძლევა გარშემო შემოხაზული წრე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს ტრაპეცია წრეშია ჩაწერილი.

გვახსოვდეს, რომ ჩვენ შეგვიძლია აღვწეროთ მხოლოდ წრე გარშემო. ტოლფერდა ტრაპეცია, თავის მხრივ, არის ტრაპეცია, რომლის გვერდები ტოლია.

შევეცადოთ პრობლემის მოგვარება. ჩვენ ვიცით, რომ ტოლფერდა ტრაპეციის ADCB ფუძეები არის 6 (DC) და 4 (AB). და შემოხაზული წრის რადიუსი არის 4. თქვენ უნდა იპოვოთ FK ტრაპეციის სიმაღლე.

FK არის ტრაპეციის სიმაღლე. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ იგი, მაგრამ მანამდე გახსოვდეთ, რომ წერტილი O არის წრის ცენტრი. და OS, OD, OA, OB ცნობილია რადიუსები.

OFC-ში ვიცით ჰიპოტენუზა, რომელიც არის წრის რადიუსი, და ფეხი FC = ფუძის ნახევარი DC = 3 სმ (რადგან DF = FC).

ახლა ვიპოვოთ OF:

და მართკუთხა სამკუთხედში OKB, ჩვენ ასევე ვიცით ჰიპოტენუზა, რადგან ეს არის წრის რადიუსი. ხოლო KB უდრის ნახევარ AB-ს; KB = 2 სმ. და პითაგორას თეორემის გამოყენებით, ჩვენ გამოვთვლით სეგმენტს OK: