მრავალწევრების ფაქტორინგი. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი

Რა მოხდა ფაქტორიზაცია?ეს არის გზა მოუხერხებელი და რთული მაგალითის მარტივ და მიმზიდველად გადაქცევად.) ძალიან ძლიერი ტექნიკა! ის გვხვდება ყოველ საფეხურზე, როგორც დაწყებით, ისე უმაღლეს მათემატიკაში.

ასეთ გარდაქმნებს მათემატიკური ენაში ეწოდება გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები. ვინც არ იცის, გადახედეთ ლინკს. იქ ძალიან ცოტაა, მარტივი და სასარგებლო.) ნებისმიერი იდენტობის ტრანსფორმაციის მნიშვნელობა არის გამოხატვის ჩაწერა სხვა ფორმითმისი არსის შენარჩუნებისას.

მნიშვნელობა ფაქტორიზაციაუკიდურესად მარტივი და გასაგები. თავად სახელიდან. შეიძლება დაგავიწყდეთ (ან არ იცოდეთ) რა არის მულტიპლიკატორი, მაგრამ შეგიძლიათ გაარკვიოთ, რომ ეს სიტყვა მომდინარეობს სიტყვიდან "გამრავლება"?) ფაქტორინგი ნიშნავს: წარმოადგენენ გამოხატულებას რაღაცის რაღაცაზე გამრავლების სახით. მაპატიოს მათემატიკა და რუსული ენა...) სულ ესაა.

მაგალითად, თქვენ უნდა გააფართოვოთ რიცხვი 12. შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ:

ასე რომ, ჩვენ წარმოვადგინეთ რიცხვი 12, როგორც 3-ის 4-ზე გამრავლება. გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ მარჯვნივ (3 და 4) რიცხვები სრულიად განსხვავებულია, ვიდრე მარცხნივ (1 და 2). მაგრამ ჩვენ მშვენივრად გვესმის, რომ 12 და 3 4 იგივე.რიცხვი 12-ის არსი ტრანსფორმაციისგან არ შეცვლილა.

შესაძლებელია თუ არა 12-ის სხვაგვარად დაშლა? მარტივად!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

დაშლის ვარიანტები გაუთავებელია.

რიცხვების ფაქტორინგი სასარგებლო რამ არის. ეს ძალიან ეხმარება, მაგალითად, ფესვებთან მუშაობისას. მაგრამ ალგებრული გამონათქვამების ფაქტორინგი არა მხოლოდ სასარგებლოა, არამედ აუცილებელია!უბრალოდ მაგალითად:

გამარტივება:

მათ, ვინც არ იცის, როგორ მოახდინოს გამოთქმის ფაქტორი, ისვენებს გვერდით. ვინც იცის - გაამარტივეთ და მიიღეთ:

ეფექტი საოცარია, არა?) სხვათა შორის, გამოსავალი საკმაოდ მარტივია. თქვენ თვითონ ნახავთ ქვემოთ. ან, მაგალითად, ეს ამოცანა:

ამოხსენით განტოლება:

x 5 - x 4 = 0

სხვათა შორის, გონებაში წყდება. ფაქტორიზაციის გამოყენება. ამ მაგალითს ქვემოთ მოვაგვარებთ. პასუხი: x 1 = 0; x 2 = 1.

ან, იგივე, მაგრამ უფროსებისთვის):

ამოხსენით განტოლება:

ამ მაგალითებში მე ვაჩვენე მთავარი მიზანიფაქტორიზაცია: წილადური გამოსახულებების გამარტივება და ზოგიერთი ტიპის განტოლების ამოხსნა. აქ არის ცერის წესი, რომელიც უნდა გახსოვდეთ:

თუ ჩვენ წინ გვაქვს საშინელი წილადი გამოხატულება, შეგვიძლია სცადოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორინგი. ძალიან ხშირად ფრაქცია მცირდება და გამარტივებულია.

თუ ჩვენ წინ გვაქვს განტოლება, სადაც მარჯვნივ არის ნული, ხოლო მარცხნივ - არ მესმის რა, შეგვიძლია ვცადოთ მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება. ზოგჯერ ეს ეხმარება).

ფაქტორიზაციის ძირითადი მეთოდები.

აქ არის ყველაზე პოპულარული მეთოდები:

4. კვადრატული ტრინომის გაფართოება.

ეს მეთოდები უნდა გვახსოვდეს. ზუსტად ამ თანმიმდევრობით. შემოწმებულია რთული მაგალითები დაშლის ყველა შესაძლო მეთოდისთვის.და ჯობია გადაამოწმოთ თანმიმდევრობით, რომ არ დაიბნეთ... ასე რომ, რიგზე დავიწყოთ.)

1. საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.

მარტივი და საიმედო გზა. მისგან ცუდი არაფერი მოდის! ეს ან კარგად ხდება ან საერთოდ არ ხდება.) ამიტომ ის პირველ ადგილზეა. მოდი გავარკვიოთ.

ყველამ იცის (მჯერა!) წესი:

a(b+c) = ab+ac

ან უფრო ზოგადად:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

ყველა თანასწორობა მუშაობს მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით, მარჯვნიდან მარცხნივ. შეგიძლიათ დაწეროთ:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

ეს არის საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.

Მარცხნივ ა - საერთო მულტიპლიკატორიყველა ტერმინისთვის. გამრავლებული ყველაფერზე რაც არსებობს). მარჯვნივ არის ყველაზე მეტი აუკვე მდებარეობს ფრჩხილების გარეთ.

ჩვენ განვიხილავთ მეთოდის პრაქტიკულ გამოყენებას მაგალითების გამოყენებით. თავდაპირველად ვარიანტი მარტივია, თუნდაც პრიმიტიული.) მაგრამ ამ ვარიანტში მე აღვნიშნავ (მწვანეში) ძალიან მნიშვნელოვან პუნქტებს ნებისმიერი ფაქტორიზაციისთვის.

ფაქტორიზაცია:

აჰ+9x

რომელიც გენერალიმულტიპლიკატორი ორივე ტერმინში ჩანს? X, რა თქმა უნდა! ფრჩხილებიდან გამოვყოფთ. Მოდი გავაკეთოთ ეს. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ X-ს ფრჩხილების გარეთ:

ნაჯახი+9x=x(

ხოლო ფრჩხილებში ვწერთ გაყოფის შედეგს ყოველი ტერმინისწორედ ამ X-ზე. Წესით:

Სულ ეს არის. რა თქმა უნდა, არ არის საჭირო ამის ასე დეტალურად აღწერა, ეს კეთდება გონებაში. მაგრამ მიზანშეწონილია გაიგოთ რა არის). ჩვენ ჩავწერთ მეხსიერებაში:

საერთო ფაქტორს ვწერთ ფრჩხილების გარეთ. ფრჩხილებში ვწერთ ყველა ტერმინის ამ საერთო ფაქტორზე გაყოფის შედეგებს. Წესით.

ასე რომ, ჩვენ გავაფართოვეთ გამოხატულება აჰ+9xმულტიპლიკატორებით. გადააქციე ის x-ზე გამრავლებით (a+9).მე აღვნიშნავ, რომ თავდაპირველ გამონათქვამში ასევე იყო გამრავლება, თუნდაც ორი: A·x და 9·x.Მაგრამ ეს არ იყო ფაქტორიზებული!რადგან ეს გამოთქმა გამრავლების გარდა შეიცავდა შეკრებას, „+“ ნიშანს! და გამოხატვისას x(a+9) გამრავლების გარდა არაფერია!

Როგორ თუ!? - მესმის ხალხის აღშფოთებული ხმა - და ფრჩხილებში!?)

დიახ, არის დამატება ფრჩხილებში. მაგრამ ხრიკი ის არის, რომ სანამ ფრჩხილები არ არის გახსნილი, ჩვენ მათ განვიხილავთ როგორც ერთი ასო.და ჩვენ ყველა მოქმედებას ვაკეთებთ მთლიანად ფრჩხილებით, როგორც ერთი ასოთი.ამ თვალსაზრისით გამოხატულებაში x(a+9)გამრავლების გარდა არაფერია. ეს არის ფაქტორიზაციის მთელი აზრი.

სხვათა შორის, შესაძლებელია თუ არა როგორმე შევამოწმოთ ყველაფერი სწორად გავაკეთეთ? მარტივად! საკმარისია გაამრავლოთ ის, რაც გამოიტანეთ (x) ფრჩხილებით და ნახოთ, მუშაობდა თუ არა ორიგინალურიგამოხატულება? თუ მუშაობს, ყველაფერი მშვენიერია!)

x(a+9)=ax+9x

მოხდა.)

ამ პრიმიტიულ მაგალითში პრობლემები არ არის. მაგრამ თუ რამდენიმე ტერმინია, თანაც განსხვავებული ნიშნით... მოკლედ, ყოველი მესამე სტუდენტი აფუჭებს). ამიტომ:

საჭიროების შემთხვევაში, შეამოწმეთ ფაქტორიზაცია შებრუნებული გამრავლებით.

ფაქტორიზაცია:

3ax+9x

ჩვენ ვეძებთ საერთო ფაქტორს. ისე, X-ით ყველაფერი გასაგებია, მისი ამოღება შესაძლებელია. არის კიდევ გენერალიფაქტორი? დიახ! ეს არის სამი. გამოთქმა შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

3ax+3 3x

აქ მაშინვე ნათელია, რომ საერთო ფაქტორი იქნება 3x. აქ ჩვენ ამოვიღებთ:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Გავრცელება.

რა მოხდება, თუ ამოიღებ მხოლოდ x?Არაფერი განსაკუთრებული:

3ax+9x=x(3a+9)

ესეც ფაქტორიზაცია იქნება. მაგრამ ამ მომხიბლავ პროცესში, ჩვეულებრივად არის ყველაფერი ზღვრამდე ჩამოყალიბება, სანამ არსებობს შესაძლებლობა. აქ ფრჩხილებში არის სამის გამოტანის შესაძლებლობა. გამოვა:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

იგივე, მხოლოდ ერთი დამატებითი მოქმედებით.) გახსოვდეთ:

ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღებისას ვცდილობთ ამოვიღოთ მაქსიმუმსაერთო ფაქტორი.

გავაგრძელოთ გართობა?)

გააქტიურეთ გამოხატულება:

3ახ+9х-8а-24

რას წავართმევთ? სამი, X? არა... არ შეგიძლია. შეგახსენებთ, რომ მხოლოდ გატანა შეგიძლიათ გენერალიმულტიპლიკატორი ანუ სულგამოხატვის პირობები. ამიტომაც ის გენერალი.აქ ასეთი მულტიპლიკატორი არ არის... რა, არ უნდა გააფართოოთ!? ჰო, ძალიან გაგვიხარდა... გაიცანით:

2. დაჯგუფება.

სინამდვილეში, დაჯგუფებას ძნელად შეიძლება ეწოდოს ფაქტორიზაციის დამოუკიდებელი მეთოდი. ეს უფრო რთული მაგალითიდან გამოსვლის საშუალებაა.) თქვენ უნდა დააჯგუფოთ ტერმინები ისე, რომ ყველაფერი გამოვიდეს. ამის ჩვენება მხოლოდ მაგალითით შეიძლება. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს გამოთქმა:

3ახ+9х-8а-24

ჩანს, რომ არსებობს რამდენიმე საერთო ასო და რიცხვი. მაგრამ... გენერალიარ არსებობს მულტიპლიკატორი ყველა თვალსაზრისით. გული არ გავიტეხოთ და დაარღვიე გამოთქმა ნაწილებად.დაჯგუფება. ისე, რომ თითოეულ ნაწილს ჰქონდეს საერთო ფაქტორი, არის რაღაც წასაღებად. როგორ გავტეხოთ? დიახ, ჩვენ უბრალოდ ვდებთ ფრჩხილებს.

შეგახსენებთ, რომ ფრჩხილების განთავსება შესაძლებელია ყველგან და როგორც გინდათ. მხოლოდ მაგალითის არსი არ შეცვლილა.მაგალითად, შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს:

3ახ+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ მეორე ფრჩხილებს! მათ წინ უძღვის მინუს ნიშანი და 8ადა 24 პოზიტიური აღმოჩნდა! თუ შესამოწმებლად გავხსნით ფრჩხილებს უკან, ნიშნები შეიცვლება და მივიღებთ ორიგინალურიგამოხატულება. იმათ. ფრჩხილებიდან გამოთქმის არსი არ შეცვლილა.

მაგრამ თუ თქვენ უბრალოდ ჩადეთ ფრჩხილები ნიშნის ცვლილების გათვალისწინების გარეშე, მაგალითად, ასე:

3ახ+9х-8а-24=(3ax+9x) - (8a-24 )

ეს იქნებოდა შეცდომა. მარჯვნივ - უკვე სხვაგამოხატულება. გახსენით ფრჩხილები და ყველაფერი ხილული გახდება. თქვენ არ გჭირდებათ მეტი გადაწყვეტილების მიღება, დიახ...)

მაგრამ დავუბრუნდეთ ფაქტორიზაციას. მოდით შევხედოთ პირველ ფრჩხილებს (3ax+9x)და ჩვენ ვფიქრობთ, არის თუ არა რაიმე რისი ამოღება? კარგად, ეს მაგალითი ზემოთ მოვაგვარეთ, შეგვიძლია ავიღოთ 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

მოდით შევისწავლოთ მეორე ფრჩხილები, იქ შეგვიძლია დავამატოთ რვა:

(8a+24)=8(a+3)

მთელი ჩვენი გამოთქმა იქნება:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

ფაქტორირებული? არა. დაშლის შედეგი უნდა იყოს მხოლოდ გამრავლებამაგრამ ჩვენთან მინუს ნიშანი ყველაფერს აფუჭებს. მაგრამ... ორივე ტერმინს აქვს საერთო ფაქტორი! ეს (a+3). ტყუილად არ ვთქვი, რომ მთელი ფრჩხილები, თითქოს, ერთი ასოა. ეს ნიშნავს, რომ ამ ფრჩხილების ამოღება შესაძლებელია ფრჩხილებიდან. დიახ, ზუსტად ასე ჟღერს.)

ჩვენ ვაკეთებთ როგორც ზემოთ აღწერილი. ჩვენ ვწერთ საერთო ფაქტორს (a+3), მეორე ფრჩხილებში ვწერთ ტერმინების გაყოფის შედეგებს (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

ყველა! გამრავლების გარდა მარჯვნივ არაფერია! ეს ნიშნავს, რომ ფაქტორიზაცია წარმატებით დასრულდა!) აი:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

მოკლედ გავიმეოროთ ჯგუფის არსი.

თუ გამოთქმა არა გენერალიმულტიპლიკატორი ამისთვის ყველასთვალსაზრისით, ჩვენ ვყოფთ გამონათქვამს ფრჩხილებში ისე, რომ ფრჩხილების შიგნით არის საერთო ფაქტორი იყო.ამოვიღებთ და ვნახოთ რა მოხდება. თუ გაგიმართლათ და ფრჩხილებში დარჩა აბსოლუტურად იდენტური გამონათქვამები, ამ ფრჩხილებს ფრჩხილებიდან ამოვიყვანთ.

დავამატებ, რომ დაჯგუფება შემოქმედებითი პროცესია). ეს ყოველთვის არ გამოდის პირველად. Ყველაფერი კარგადაა. ზოგჯერ თქვენ უნდა შეცვალოთ პირობები და განიხილოთ სხვადასხვა დაჯგუფების ვარიანტები, სანამ არ იპოვით წარმატებულს. აქ მთავარია გული არ დაკარგო!)

მაგალითები.

ახლა, ცოდნით გამდიდრებით, შეგიძლიათ ამოხსნათ რთული მაგალითები.) გაკვეთილის დასაწყისში სამი ასეთი იყო...

გამარტივება:

არსებითად, ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ ეს მაგალითი. ჩვენთვის არ ვიცით.) შეგახსენებთ: თუ საშინელ წილადს გვაძლევენ, ვცდილობთ, მრიცხველი და მნიშვნელი გავანაწილოთ. სხვა გამარტივების ვარიანტები უბრალოდ არა.

ისე, აქ მნიშვნელი არ არის გაფართოებული, არამედ მრიცხველი... გაკვეთილზე უკვე გავაფართოვეთ მრიცხველი! Ამგვარად:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

გაფართოების შედეგს ვწერთ წილადის მრიცხველში:

წილადების (წილადის მთავარი თვისება) შემცირების წესის მიხედვით, მრიცხველი და მნიშვნელი შეგვიძლია გავყოთ (ერთდროულად!) ერთი და იგივე რიცხვზე, ანუ გამოსახულებაზე. ფრაქცია აქედან არ იცვლება.ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ მრიცხველს და მნიშვნელს გამოსახულებით (3x-8). და აქეთ-იქით მივიღებთ. გამარტივების საბოლოო შედეგი:

განსაკუთრებით მინდა ხაზგასმით აღვნიშნო: წილადის შემცირება შესაძლებელია თუ და მხოლოდ მრიცხველში და მნიშვნელში, გამონათქვამების გამრავლების გარდა. იქ არაფერია.ამიტომ ჯამის (განსხვავების) გარდაქმნა გამრავლებაასე მნიშვნელოვანია გამარტივებისთვის. რა თქმა უნდა, თუ გამონათქვამები განსხვავებული,მაშინ არაფერი შემცირდება. ეს მოხდება. მაგრამ ფაქტორიზაცია აძლევს შანსს.ეს შანსი დაშლის გარეშე უბრალოდ არ არსებობს.

მაგალითი განტოლებით:

ამოხსენით განტოლება:

x 5 - x 4 = 0

ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორს x 4ფრჩხილებიდან. ჩვენ ვიღებთ:

x 4 (x-1)=0

ჩვენ ვაცნობიერებთ, რომ ფაქტორების ნამრავლი ნულის ტოლია მაშინ და მხოლოდ მაშინ,როდესაც რომელიმე მათგანი ნულის ტოლია. თუ ეჭვი გეპარებათ, იპოვნეთ რამდენიმე არა-ნულოვანი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ ნულს.) ასე რომ, ჩვენ ვწერთ პირველ ფაქტორს:

ასეთი თანასწორობით მეორე ფაქტორი ჩვენ არ გვეხება. ნებისმიერს შეუძლია იყოს, მაგრამ საბოლოოდ მაინც ნული იქნება. რა რიცხვს აძლევს ნული მეოთხე ხარისხს? მხოლოდ ნული! და სხვა არა... ამიტომ:

ჩვენ გავარკვიეთ პირველი ფაქტორი და ვიპოვეთ ერთი ფესვი. მოდით შევხედოთ მეორე ფაქტორს. ახლა ჩვენ აღარ გვაინტერესებს პირველი ფაქტორი.):

აქ ვიპოვეთ გამოსავალი: x 1 = 0; x 2 = 1. ამ ფესვებიდან რომელიმე შეესაბამება ჩვენს განტოლებას.

ძალიან მნიშვნელოვანი შენიშვნა. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ განტოლება ნაკუწ - ნაკუწ!თითოეული ფაქტორი ნულის ტოლი იყო, განურჩევლად სხვა ფაქტორებისა.სხვათა შორის, თუ ასეთ განტოლებაში არის არა ორი ფაქტორი, როგორიც ჩვენია, არამედ სამი, ხუთი, რამდენიც გინდა, ჩვენ მოვაგვარებთ მსგავსი.Ნაკუწ - ნაკუწ. Მაგალითად:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

ვინც ფრჩხილებს გახსნის და ყველაფერს გაამრავლებს, სამუდამოდ დარჩება ამ განტოლებაზე.) სწორი მოსწავლე მაშინვე დაინახავს, ​​რომ მარცხნივ არაფერია გამრავლების გარდა, ხოლო მარჯვნივ - ნული. და ის დაიწყებს (მისი აზრით!) ყველა ფრჩხილის გათანაბრებას ნულამდე. და ის მიიღებს (10 წამში!) სწორ გამოსავალს: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

მაგარია, არა?) ასეთი ელეგანტური გამოსავალი შესაძლებელია, თუ განტოლების მარცხენა მხარეა ფაქტორიზებული.მინიშნება გაიგე?)

ისე, ერთი ბოლო მაგალითი, უფროსებისთვის):

ამოხსენით განტოლება:

ის გარკვეულწილად წააგავს წინას, არ გგონიათ?) რა თქმა უნდა. დროა გავიხსენოთ, რომ მეშვიდე კლასის ალგებრაში ასოების ქვეშ შეიძლება დაიმალოს სინუსები, ლოგარითმები და სხვა ყველაფერი! ფაქტორინგი მუშაობს მათემატიკაში.

ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორს lg 4 xფრჩხილებიდან. ჩვენ ვიღებთ:

ჟურნალი 4 x=0

ეს არის ერთი ფესვი. მოდით შევხედოთ მეორე ფაქტორს.

აქ არის საბოლოო პასუხი: x 1 = 1; x 2 = 10.

იმედი მაქვს, თქვენ გააცნობიერეთ ფაქტორინგის ძალა წილადების გამარტივებაში და განტოლებების ამოხსნაში.)

ამ გაკვეთილზე ვისწავლეთ საერთო ფაქტორინგი და დაჯგუფება. რჩება მოკლედ გამრავლებისა და კვადრატული ტრინომის ფორმულების გაგება.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

რა უნდა გააკეთოთ, თუ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან ან მათემატიკაში მისაღებ გამოცდებზე პრობლემის გადაჭრის პროცესში მიიღეთ პოლინომი, რომლის ფაქტორიზაცია შეუძლებელია იმ სტანდარტული მეთოდების გამოყენებით, რომლებიც სკოლაში ისწავლეთ? ამ სტატიაში მათემატიკის დამრიგებელი მოგიყვებათ ერთ ეფექტურ მეთოდზე, რომლის შესწავლა სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებს სცილდება, მაგრამ რომლის დახმარებით მრავალწევრის ფაქტორინგი არ არის რთული. წაიკითხეთ ეს სტატია ბოლომდე და ნახეთ თანდართული ვიდეო გაკვეთილი. მიღებული ცოდნა დაგეხმარებათ გამოცდაში.

მრავალწევრის ფაქტორირება გაყოფის მეთოდის გამოყენებით

იმ შემთხვევაში, თუ თქვენ მიიღეთ მეორე ხარისხზე მეტი პოლინომი და შეძლეთ გამოიცნოთ ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ეს მრავალწევრი ხდება ნულის ტოლი (მაგალითად, ეს მნიშვნელობა უდრის ), იცოდეთ! ეს მრავალწევრი შეიძლება დაიყოს .

მაგალითად, ადვილი მისახვედრია, რომ მეოთხე ხარისხის მრავალწევრი ქრება ზე. ეს ნიშნავს, რომ ის შეიძლება დაიყოს ნარჩენების გარეშე ზე, რითაც მიიღება მესამე ხარისხის პოლინომი (ერთით ნაკლები). ანუ წარმოადგინეთ იგი სახით:

სად ა, ბ, Cდა დ- რამდენიმე რიცხვი. მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:

ვინაიდან იგივე ხარისხების კოეფიციენტები უნდა იყოს იგივე, მივიღებთ:

ასე რომ, მივიღეთ:

Განაგრძე. საკმარისია გავიაროთ რამდენიმე პატარა მთელი რიცხვი, რათა დავინახოთ, რომ მესამე ხარისხის მრავალწევრი ისევ იყოფა . ეს იწვევს მეორე ხარისხის პოლინომს (ერთით ნაკლები). შემდეგ გადადით ახალ ჩანაწერზე:

სად ე, ფდა გ- რამდენიმე რიცხვი. ჩვენ კვლავ ვხსნით ფრჩხილებს და მივდივართ შემდეგ გამოთქმამდე:

ისევ, იგივე ხარისხების კოეფიციენტების ტოლობის პირობიდან ვიღებთ:

შემდეგ მივიღებთ:

ანუ, თავდაპირველი პოლინომი შეიძლება გამრავლდეს შემდეგნაირად:

პრინციპში, თუ სასურველია, კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით, შედეგი ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმით:

აქ არის მარტივი და ეფექტური გზა მრავალწევრების ფაქტორირებისთვის. დაიმახსოვრეთ, ის შეიძლება გამოგადგეთ გამოცდებში ან მათემატიკის კონკურსში. შეამოწმეთ, ისწავლეთ თუ არა ამ მეთოდის გამოყენება. შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ შემდეგი ამოცანა.

ფაქტორზე მრავალწევრი:

დაწერეთ თქვენი პასუხები კომენტარებში.

მასალა მოამზადა სერგეი ვალერიევიჩმა

ფაქტორიზაციისთვის აუცილებელია გამონათქვამების გამარტივება. ეს აუცილებელია იმისათვის, რომ კიდევ უფრო შემცირდეს. მრავალწევრის გაფართოებას აქვს აზრი, როდესაც მისი ხარისხი არ არის ორზე დაბალი. პირველი ხარისხის მრავალწევრს წრფივი ეწოდება.

Yandex.RTB R-A-339285-1

სტატიაში განხილული იქნება დაშლის ყველა ცნება, თეორიული საფუძვლები და მრავალწევრის ფაქტორინგის მეთოდები.

თეორია

თეორემა 1

როდესაც ნებისმიერი მრავალწევრი n ხარისხით, რომელსაც აქვს ფორმა P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, წარმოდგენილია როგორც პროდუქტი მუდმივი ფაქტორით, უმაღლესი ხარისხით a n და n წრფივი ფაქტორებით (x - x i), i = 1, 2, ..., n, შემდეგ P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , სადაც x i, i = 1, 2, ..., n არის მრავალწევრის ფესვები.

თეორემა განკუთვნილია კომპლექსური ტიპის ფესვებისთვის x i, i = 1, 2, …, n და რთული კოეფიციენტებისთვის a k, k = 0, 1, 2, …, n. ეს არის ნებისმიერი დაშლის საფუძველი.

როდესაც a k, k = 0, 1, 2, ..., n ფორმის კოეფიციენტები რეალური რიცხვებია, მაშინ რთული ფესვები წარმოიქმნება კონიუგატ წყვილებში. მაგალითად, ფესვები x 1 და x 2 დაკავშირებულია P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მრავალწევრთან. . . + a 1 x + a 0 ითვლება რთულ კონიუგატად, მაშინ სხვა ფესვები რეალურია, საიდანაც ვიღებთ, რომ მრავალწევრი იღებს ფორმას P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, სადაც x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

კომენტარი

მრავალწევრის ფესვები შეიძლება განმეორდეს. განვიხილოთ ალგებრის თეორემის დადასტურება, ბეზუტის თეორემის შედეგი.

ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა

თეორემა 2

n ხარისხის მქონე ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი.

ბეზუტის თეორემა

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მრავალწევრის გაყოფის შემდეგ. . . + a 1 x + a 0 on (x - s), შემდეგ მივიღებთ ნაშთს, რომელიც უდრის მრავალწევრს s წერტილში, მაშინ მივიღებთ

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , სადაც Q n - 1 (x) არის მრავალწევრი n - 1 ხარისხით.

ბეზუტის თეორემის დასკვნა

როდესაც P n (x) მრავალწევრის ფესვად ითვლება s, მაშინ P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . ეს დასკვნა საკმარისია გამოსავლის აღწერისთვის.

კვადრატული ტრინომის ფაქტორირება

a x 2 + b x + c ფორმის კვადრატული ტრინომი შეიძლება დაიყოს წრფივ ფაქტორებად. მაშინ მივიღებთ, რომ a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , სადაც x 1 და x 2 არის ფესვები (რთული ან რეალური).

ეს გვიჩვენებს, რომ გაფართოება მცირდება შემდგომში კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე.

მაგალითი 1

კვადრატული ტრინომის ფაქტორი.

გამოსავალი

აუცილებელია ვიპოვოთ განტოლების ფესვები 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა ფორმულის გამოყენებით, შემდეგ მივიღებთ D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. აქედან გვაქვს ეს

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

აქედან მივიღებთ, რომ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

შემოწმების შესასრულებლად, თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები. შემდეგ მივიღებთ ფორმის გამოხატვას:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

შემოწმების შემდეგ მივდივართ თავდაპირველ გამონათქვამამდე. ანუ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ დაშლა სწორად შესრულდა.

მაგალითი 2

3 x 2 - 7 x - 11 ფორმის კვადრატული ტრინომილის ფაქტორზე.

გამოსავალი

ჩვენ ვხვდებით, რომ აუცილებელია გამოვთვალოთ 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 ფორმის შედეგად მიღებული კვადრატული განტოლება.

ფესვების მოსაძებნად, თქვენ უნდა დაადგინოთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა. ჩვენ ამას მივიღებთ

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

აქედან მივიღებთ, რომ 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

მაგალითი 3

გაამრავლეთ მრავალწევრი 2 x 2 + 1.

გამოსავალი

ახლა ჩვენ უნდა ამოხსნათ კვადრატული განტოლება 2 x 2 + 1 = 0 და ვიპოვოთ მისი ფესვები. ჩვენ ამას მივიღებთ

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

ამ ფესვებს უწოდებენ კომპლექსურ კონიუგატს, რაც ნიშნავს, რომ თავად გაფართოება შეიძლება გამოსახული იყოს როგორც 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

მაგალითი 4

დაშალეთ კვადრატული ტრინომი x 2 + 1 3 x + 1 .

გამოსავალი

ჯერ უნდა ამოხსნათ x 2 + 1 3 x + 1 = 0 ფორმის კვადრატული განტოლება და იპოვოთ მისი ფესვები.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

ფესვების მოპოვების შემდეგ, ჩვენ ვწერთ

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

კომენტარი

თუ დისკრიმინაციული მნიშვნელობა უარყოფითია, მაშინ მრავალწევრები დარჩება მეორე რიგის პოლინომებად. აქედან გამომდინარეობს, რომ ჩვენ არ გავაფართოვებთ მათ ხაზოვან ფაქტორებად.

ორზე მაღალი ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორინგის მეთოდები

დაშლისას გათვალისწინებულია უნივერსალური მეთოდი. ყველა შემთხვევა დაფუძნებულია ბეზოუთის თეორემის დასკვნაზე. ამისათვის თქვენ უნდა აირჩიოთ ფესვის მნიშვნელობა x 1 და შეამციროთ მისი ხარისხი მრავალწევრზე 1-ზე გაყოფით (x - x 1-ზე). მიღებულ პოლინომს უნდა მოძებნოს ფესვი x 2 და ძიების პროცესი ციკლურია, სანამ არ მივიღებთ სრულ გაფართოებას.

თუ ფესვი არ არის ნაპოვნი, მაშინ გამოიყენება ფაქტორიზაციის სხვა მეთოდები: დაჯგუფება, დამატებითი ტერმინები. ეს თემა მოიცავს განტოლებების ამოხსნას უფრო მაღალი სიმძლავრით და მთელი რიცხვების კოეფიციენტებით.

საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებიდან

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია, მაშინ მრავალწევრის ფორმა ხდება P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.

ჩანს, რომ ასეთი მრავალწევრის ფესვი ტოლი იქნება x 1 = 0, მაშინ მრავალწევრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გამოსახულებით P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

ეს მეთოდი ითვლება საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღებად.

მაგალითი 5

მესამე ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორზე 4 x 3 + 8 x 2 - x.

გამოსავალი

ჩვენ ვხედავთ, რომ x 1 = 0 არის მოცემული მრავალწევრის ფესვი, შემდეგ შეგვიძლია ამოიღოთ x მთელი გამოხატვის ფრჩხილებიდან. ჩვენ ვიღებთ:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

მოდით გადავიდეთ კვადრატული ტრინომალური 4 x 2 + 8 x - 1 ფესვების პოვნაზე. მოდი ვიპოვოთ დისკრიმინანტი და ფესვები:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

შემდეგ ამას მოჰყვება

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

დასაწყისისთვის, მოდით გავითვალისწინოთ დაშლის მეთოდი, რომელიც შეიცავს P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მთელი რიცხვების კოეფიციენტებს. . . + a 1 x + a 0, სადაც უმაღლესი ხარისხის კოეფიციენტი არის 1.

როდესაც მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ ისინი განიხილება თავისუფალი წევრის გამყოფებად.

მაგალითი 6

დაშალეთ გამონათქვამი f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

გამოსავალი

მოდით განვიხილოთ, არის თუ არა სრული ფესვები. აუცილებელია ჩაწეროთ რიცხვის გამყოფები - 18. ვიღებთ, რომ ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები. შეგიძლიათ შეამოწმოთ ჰორნერის სქემის გამოყენებით. ეს ძალიან მოსახერხებელია და საშუალებას გაძლევთ სწრაფად მიიღოთ მრავალწევრის გაფართოების კოეფიციენტები:

აქედან გამომდინარეობს, რომ x = 2 და x = - 3 არის თავდაპირველი მრავალწევრის ფესვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმის ნამრავლად:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

ჩვენ ვაგრძელებთ x 2 + 2 x + 3 ფორმის კვადრატული ტრინომის გაფართოებას.

ვინაიდან დისკრიმინანტი უარყოფითია, ეს ნიშნავს, რომ არ არსებობს რეალური ფესვები.

პასუხი: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

კომენტარი

დასაშვებია ჰორნერის სქემის ნაცვლად ძირეული შერჩევისა და მრავალწევრის მრავალწევრზე დაყოფის გამოყენება. გადავიდეთ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მთელი რიცხვითი კოეფიციენტების შემცველი მრავალწევრის გაფართოების განხილვაზე. . . + a 1 x + a 0, რომელთაგან ყველაზე მაღალი უდრის ერთს.

ეს შემთხვევა ხდება რაციონალურ წილადებზე.

მაგალითი 7

ფაქტორიზაცია f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

გამოსავალი

აუცილებელია ცვლადის შეცვლა y = 2 x, უნდა გადახვიდეთ მრავალწევრზე, რომლის კოეფიციენტები ტოლია 1-ის უმაღლესი ხარისხით. თქვენ უნდა დაიწყოთ გამოხატვის 4-ზე გამრავლებით. ჩვენ ამას მივიღებთ

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

როდესაც ფორმის შედეგად მიღებულ ფუნქციას g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 აქვს მთელი ფესვები, მაშინ მათი მდებარეობა თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორისაა. ჩანაწერი ასე გამოიყურება:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

გადავიდეთ ამ წერტილებში g (y) ფუნქციის გამოთვლაზე, რათა შედეგად მივიღოთ ნული. ჩვენ ამას მივიღებთ

გ (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 გ (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 გ (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 გ (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 გ (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 გ (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 გ (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 გ (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 გ (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 გ (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

ჩვენ ვხვდებით, რომ y = - 5 არის y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ფორმის განტოლების ფესვი, რაც ნიშნავს x = y 2 = - 5 2 არის საწყისი ფუნქციის ფესვი.

მაგალითი 8

აუცილებელია სვეტით გაყოფა 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2-ზე.

გამოსავალი

მოდით დავწეროთ და მივიღოთ:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

გამყოფების შემოწმებას დიდი დრო დასჭირდება, ამიტომ უფრო მომგებიანია x 2 + 7 x + 3 ფორმის შედეგად მიღებული კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია. ნულის ტოლობით ვპოულობთ დისკრიმინანტს.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Აქედან გამომდინარეობს, რომ

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

მრავალწევრის ფაქტორინგის ხელოვნური ტექნიკა

რაციონალური ფესვები არ არის თანდაყოლილი ყველა მრავალწევრში. ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ სპეციალური მეთოდები ფაქტორების მოსაძებნად. მაგრამ ყველა პოლინომი არ შეიძლება გაფართოვდეს ან წარმოდგენილი იყოს როგორც პროდუქტი.

დაჯგუფების მეთოდი

არის შემთხვევები, როდესაც შეგიძლიათ დააჯგუფოთ მრავალწევრის ტერმინები, რათა იპოვოთ საერთო ფაქტორი და ამოიღოთ იგი ფრჩხილებში.

მაგალითი 9

შეადგინეთ მრავალწევრი x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

გამოსავალი

იმის გამო, რომ კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია, ფესვებიც შეიძლება იყოს მთელი რიცხვები. შესამოწმებლად, აიღეთ მნიშვნელობები 1, - 1, 2 და - 2, რათა გამოვთვალოთ მრავალწევრის მნიშვნელობა ამ წერტილებში. ჩვენ ამას მივიღებთ

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

ეს გვიჩვენებს, რომ არ არსებობს ფესვები, აუცილებელია გაფართოების და გადაწყვეტის სხვა მეთოდის გამოყენება.

აუცილებელია დაჯგუფება:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

თავდაპირველი მრავალწევრის დაჯგუფების შემდეგ, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ იგი ორი კვადრატული ტრინომის ნამრავლად. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ფაქტორიზაცია. ჩვენ ამას ვიღებთ

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

კომენტარი

დაჯგუფების სიმარტივე არ ნიშნავს იმას, რომ ტერმინების არჩევა საკმაოდ მარტივია. გადაწყვეტის კონკრეტული მეთოდი არ არსებობს, ამიტომ აუცილებელია სპეციალური თეორემებისა და წესების გამოყენება.

მაგალითი 10

შეადგინეთ მრავალწევრი x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

გამოსავალი

მოცემულ მრავალწევრს არ აქვს მთელი რიცხვი ფესვები. ტერმინები უნდა იყოს დაჯგუფებული. ჩვენ ამას მივიღებთ

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

ფაქტორიზაციის შემდეგ მივიღებთ ამას

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

შემოკლებული გამრავლების ფორმულებისა და ნიუტონის ბინომის გამოყენებით მრავალწევრის ფაქტორირებისთვის

გარეგნობა ხშირად ყოველთვის არ ცხადყოფს, რომელი მეთოდი უნდა იქნას გამოყენებული დაშლის დროს. გარდაქმნების განხორციელების შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ ააგოთ ხაზი, რომელიც შედგება პასკალის სამკუთხედისგან, წინააღმდეგ შემთხვევაში მათ ნიუტონის ბინომიალს უწოდებენ.

მაგალითი 11

შეადგინეთ მრავალწევრი x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

გამოსავალი

აუცილებელია გამოხატვის ფორმაში გადაყვანა

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

ფრჩხილებში ჩასმული ჯამის კოეფიციენტების თანმიმდევრობა მითითებულია გამოხატულებით x + 1 4 .

ეს ნიშნავს, რომ გვაქვს x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

კვადრატების განსხვავების გამოყენების შემდეგ ვიღებთ

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

განვიხილოთ გამონათქვამი, რომელიც არის მეორე ფრჩხილში. გასაგებია, რომ იქ რაინდები არ არიან, ამიტომ კვადრატების სხვაობის ფორმულა ისევ უნდა გამოვიყენოთ. ვიღებთ ფორმის გამოხატულებას

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

მაგალითი 12

ფაქტორიზაცია x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

გამოსავალი

დავიწყოთ გამოხატვის ტრანსფორმაცია. ჩვენ ამას მივიღებთ

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

აუცილებელია კუბურების სხვაობის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენება. ჩვენ ვიღებთ:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი მრავალწევრის ფაქტორინგისას

ცვლადის ჩანაცვლებისას ხარისხი მცირდება და მრავალწევრი ფაქტორდება.

მაგალითი 13

შეადგინეთ x 6 + 5 x 3 + 6 ფორმის მრავალწევრი.

გამოსავალი

პირობის მიხედვით, ცხადია, რომ აუცილებელია ჩანაცვლება y = x 3. ჩვენ ვიღებთ:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

მიღებული კვადრატული განტოლების ფესვებია y = - 2 და y = - 3, მაშინ

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

აუცილებელია კუბურების ჯამის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენება. ჩვენ ვიღებთ ფორმის გამონათქვამებს:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

ანუ მივიღეთ სასურველი დაშლა.

ზემოთ განხილული შემთხვევები დაგეხმარებათ მრავალწევრის განხილვასა და ფაქტორირებაში სხვადასხვა გზით.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ზოგადად, ეს ამოცანა მოითხოვს შემოქმედებით მიდგომას, რადგან არ არსებობს მისი გადაჭრის უნივერსალური მეთოდი. მაგრამ შევეცადოთ მოგცეთ რამდენიმე რჩევა.

შემთხვევების აბსოლუტურ უმრავლესობაში, მრავალწევრის ფაქტორიზაცია ეფუძნება ბეზუტის თეორემის დასკვნას, ანუ ფესვის პოვნა ან შერჩევა და მრავალწევრის ხარისხი მცირდება ერთით გაყოფით. მიღებული მრავალწევრის ფესვი იძებნება და პროცესი მეორდება სრულ გაფართოებამდე.

თუ ფესვი ვერ მოიძებნა, მაშინ გამოიყენება გაფართოების სპეციფიკური მეთოდები: დაჯგუფებიდან დამატებითი ურთიერთგამომრიცხავი ტერმინების დანერგვამდე.

შემდგომი პრეზენტაცია ეფუძნება უმაღლესი ხარისხის განტოლებების მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით ამოხსნის უნარს.

საერთო ფაქტორის ბრეკეტინგი.

დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით, როცა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია, ანუ მრავალწევრს აქვს ფორმა .

ცხადია, ასეთი მრავალწევრის ფესვი არის , ანუ ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ მრავალწევრი სახით .

ეს მეთოდი სხვა არაფერია საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.

მაგალითი.

მესამე ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორი.

გამოსავალი.

ცხადია, რა არის მრავალწევრის ფესვი, ე.ი Xშეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილებიდან:

ვიპოვოთ კვადრატული ტრინომის ფესვები

ამრიგად,

გვერდის ზედა

რაციონალური ფესვებით მრავალწევრის ფაქტორირება.

პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ მრავალწევრის გაფართოების მეთოდი ფორმის მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით, უმაღლესი ხარისხის კოეფიციენტი უდრის ერთს.

ამ შემთხვევაში, თუ მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ ისინი თავისუფალი წევრის გამყოფები არიან.

მაგალითი.

გამოსავალი.

მოდით შევამოწმოთ, არის თუ არა ხელუხლებელი ფესვები. ამისათვის ჩაწერეთ რიცხვის გამყოფები -18 : . ანუ, თუ მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ ისინი ჩაწერილ რიცხვებს შორის არიან. მოდით შევამოწმოთ ეს რიცხვები თანმიმდევრულად ჰორნერის სქემის გამოყენებით. მისი მოხერხებულობა ასევე მდგომარეობს იმაში, რომ საბოლოოდ ვიღებთ მრავალწევრის გაფართოების კოეფიციენტებს:

ანუ x=2და x=-3არის თავდაპირველი მრავალწევრის ფესვები და ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ იგი როგორც პროდუქტი:

რჩება კვადრატული ტრინომის გაფართოება.

ამ ტრინომის დისკრიმინანტი უარყოფითია, ამიტომ მას არ აქვს რეალური ფესვები.

პასუხი:

კომენტარი:

ჰორნერის სქემის ნაცვლად, შეიძლება გამოვიყენოთ ფესვის შერჩევა და მრავალწევრის შემდგომი გაყოფა მრავალწევრზე.

ახლა განვიხილოთ მრავალწევრის გაფართოება ფორმის მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით და უმაღლესი ხარისხის კოეფიციენტი არ არის ერთის ტოლი.

ამ შემთხვევაში, მრავალწევრს შეიძლება ჰქონდეს წილადი რაციონალური ფესვები.

მაგალითი.

გამოთქმის ფაქტორი.

გამოსავალი.

ცვლადის ცვლილების შესრულებით y=2x, გადავიდეთ მრავალწევრზე, რომლის კოეფიციენტი უდრის ერთს უმაღლესი ხარისხით. ამისათვის ჯერ გაამრავლეთ გამოხატულება 4 .

თუ მიღებულ ფუნქციას აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ ისინი თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის არიან. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი:

მოდით თანმიმდევრულად გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები g(y)ამ წერტილებში ნულის მიღწევამდე.

განტოლების ფაქტორინგი არის იმ ტერმინების ან გამონათქვამების პოვნის პროცესი, რომლებიც გამრავლებისას მიგვიყვანს საწყის განტოლებამდე. ფაქტორინგი არის სასარგებლო უნარი ძირითადი ალგებრის ამოცანების გადასაჭრელად და თითქმის აუცილებელი ხდება კვადრატულ განტოლებებთან და სხვა მრავალწევრებთან მუშაობისას. ფაქტორინგი გამოიყენება ალგებრული განტოლებების გასამარტივებლად მათი ამოხსნის გასაადვილებლად. ფაქტორინგი დაგეხმარებათ გარკვეული შესაძლო პასუხების აღმოფხვრაში უფრო სწრაფად, ვიდრე განტოლების ხელით ამოხსნით.

ნაბიჯები

რიცხვების ფაქტორინგი და ძირითადი ალგებრული გამონათქვამები

1. ფაქტორინგის რიცხვები.ფაქტორინგის კონცეფცია მარტივია, მაგრამ პრაქტიკაში ფაქტორინგი შეიძლება იყოს რთული (თუ რთული განტოლებაა მოცემული). ასე რომ, პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ ფაქტორების კონცეფციას რიცხვების გამოყენებით, გავაგრძელოთ მარტივი განტოლებები და შემდეგ გადავიდეთ რთულ განტოლებაზე. მოცემული რიცხვის ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა თავდაპირველ რიცხვს. მაგალითად, 12 რიცხვის ფაქტორებია რიცხვები: 1, 12, 2, 6, 3, 4, ვინაიდან 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ რიცხვის ფაქტორები, როგორც მისი გამყოფები, ანუ რიცხვები, რომლებზეც რიცხვი იყოფა.
   • იპოვეთ რიცხვი 60-ის ყველა ფაქტორი. ჩვენ ხშირად ვიყენებთ რიცხვს 60 (მაგალითად, საათში 60 წუთი, წუთში 60 წამი და ა.შ.) და ამ რიცხვს აქვს საკმაოდ დიდი რაოდენობის ფაქტორები.
     • 60 მამრავლი: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 და 60.

2. გახსოვდეთ:კოეფიციენტის (რიცხვის) და ცვლადის შემცველი გამოხატვის ტერმინები ასევე შეიძლება იყოს ფაქტორიზირებული. ამისათვის იპოვეთ ცვლადის კოეფიციენტის ფაქტორები. იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა მოხდეს განტოლების პირობების ფაქტორი, შეგიძლიათ მარტივად გაამარტივოთ ეს განტოლება.

   • მაგალითად, ტერმინი 12x შეიძლება დაიწეროს 12-ისა და x-ის ნამრავლად. თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაწეროთ 12x როგორც 3(4x), 2(6x) და ა.შ., დაყავით 12 იმ ფაქტორებად, რომლებიც საუკეთესოდ მუშაობს თქვენთვის.
     • შეგიძლიათ ზედიზედ 12x რამდენჯერმე გარიგება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ არ უნდა გაჩერდეთ 3(4x) ან 2(6x); გააგრძელეთ გაფართოება: 3(2(2x)) ან 2(3(2x)) (ცხადია 3(4x)=3(2(2x)) და ა.შ.)

3. გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენება ფაქტორების ალგებრულ განტოლებებზე.იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა შეაფასოთ რიცხვები და გამოსახულებები (კოეფიციენტები ცვლადებთან ერთად), შეგიძლიათ გაამარტივოთ მარტივი ალგებრული განტოლებები რიცხვისა და გამოხატვის ტერმინის საერთო კოეფიციენტის მოძიებით. როგორც წესი, განტოლების გასამარტივებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ ყველაზე დიდი საერთო ფაქტორი (GCD). ეს გამარტივება შესაძლებელია გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამო: ნებისმიერი რიცხვისთვის a, b, c, ტოლობა a(b+c) = ab+ac მართალია.

   • მაგალითი. განათავსეთ განტოლება 12x + 6. პირველი, იპოვეთ 12x-ისა და 6-ის gcd. 6 არის უდიდესი რიცხვი, რომელიც ყოფს 12x-ს და 6-ს, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ განათავსოთ ეს განტოლება: 6(2x+1-ზე).
   • ეს პროცესი ასევე ეხება განტოლებებს, რომლებსაც აქვთ უარყოფითი და წილადი წევრები. მაგალითად, x/2+4 შეიძლება გამრავლდეს 1/2(x+8); მაგალითად, -7x+(-21) შეიძლება გადაიზარდოს -7(x+3-ად).

   კვადრატული განტოლებების ფაქტორინგი

   1. დარწმუნდით, რომ განტოლება მოცემულია კვადრატული ფორმით (ax 2 + bx + c = 0).კვადრატულ განტოლებებს აქვს ფორმა: ax 2 + bx + c = 0, სადაც a, b, c არის რიცხვითი კოეფიციენტები, გარდა 0-ისა. თუ თქვენ გეძლევათ განტოლება ერთი ცვლადით (x) და ამ განტოლებაში არის ერთი ან მეტი წევრი. მეორე რიგის ცვლადით, შეგიძლიათ განტოლების ყველა პირობა გადაიტანოთ განტოლების ერთ მხარეს და დააყენოთ ნულის ტოლი.

      • მაგალითად, მოცემული განტოლება: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. ეს შეიძლება გარდაიქმნას განტოლებაში x 2 + 6x + 9 = 0, რომელიც არის კვადრატული განტოლება.
      • განტოლებები დიდი რიგის x ცვლადით, მაგალითად, x 3, x 4 და ა.შ. არ არის კვადრატული განტოლებები. ეს არის კუბური განტოლებები, მეოთხე რიგის განტოლებები და ა.შ. (თუ ასეთი განტოლებები არ შეიძლება გამარტივდეს კვადრატულ განტოლებამდე x ცვლადი 2-ის ხარისხზე).

   2. კვადრატული განტოლებები, სადაც a = 1, გაფართოებულია (x+d)(x+e), სადაც d*e=c და d+e=b.თუ თქვენთვის მოცემულ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა: x 2 + bx + c = 0 (ანუ x 2-ის კოეფიციენტი არის 1), მაშინ ასეთი განტოლება შეიძლება (მაგრამ არ არის გარანტირებული) გაფართოვდეს ზემოაღნიშნულ ფაქტორებში. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ ორი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას მისცემს "c", ხოლო დამატებისას "b". როგორც კი იპოვით ამ ორ რიცხვს (d და e), ჩაანაცვლეთ ისინი შემდეგი გამოსახულებით: (x+d)(x+e), რომელიც ფრჩხილების გახსნისას მივყავართ თავდაპირველ განტოლებამდე.

      • მაგალითად, მოცემული კვადრატული განტოლება x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 და 3+2=5, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ ეს განტოლება შეაფასოთ (x+3)(x+2).
      • უარყოფითი პირობებისთვის, შეიტანეთ შემდეგი მცირე ცვლილებები ფაქტორიზაციის პროცესში:
        • თუ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 -bx+c, მაშინ ის ფართოვდება: (x-_)(x-_).
        • თუ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 -bx-c, მაშინ ის ფართოვდება: (x+_)(x-_).
      • შენიშვნა: სივრცეები შეიძლება შეიცვალოს წილადებით ან ათწილადებით. მაგალითად, განტოლება x 2 + (21/2)x + 5 = 0 გაფართოვდა (x+10) (x+1/2).

   3. ფაქტორიზაცია საცდელი და შეცდომით.მარტივი კვადრატული განტოლებების ფაქტორირება შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვების ჩანაცვლებით შესაძლო ამონახსნებით, სანამ არ იპოვით სწორ ამონახსნებს. თუ განტოლებას აქვს ფორმა ax 2 +bx+c, სადაც a>1, შესაძლო ამონახსნები იწერება ფორმით (dx +/- _) (ex +/- _), სადაც d და e არის არანულოვანი რიცხვითი კოეფიციენტები. , რომელიც გამრავლებისას იძლევა ა. ან d ან e (ან ორივე კოეფიციენტი) შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი. თუ ორივე კოეფიციენტი უდრის 1-ს, მაშინ გამოიყენეთ ზემოთ აღწერილი მეთოდი.

      • მაგალითად, მოცემული განტოლების 3x 2 - 8x + 4. აქ 3-ს აქვს მხოლოდ ორი ფაქტორი (3 და 1), ამიტომ შესაძლო ამონახსნები იწერება როგორც (3x +/- _)(x +/- _). ამ შემთხვევაში, -2-ის ინტერვალით, იპოვით სწორ პასუხს: -2*3x=-6x და -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x და -2*-2=4, ანუ ასეთი გაფართოება ფრჩხილების გახსნისას გამოიწვევს საწყისი განტოლების ტერმინებს.