განსხვავება სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადებს შორის. ჩვეულებრივი წილადების გამოკლება: წესები, მაგალითები, ამონახსნები

§ 87. წილადების შეკრება.

წილადების შეკრებას ბევრი მსგავსება აქვს მთელი რიცხვების შეკრებასთან. წილადების დამატება არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ რამდენიმე მოცემული რიცხვი (ტერმინი) გაერთიანებულია ერთ რიცხვში (ჯამში), რომელიც შეიცავს ტერმინების ერთეულების ყველა ერთეულს და წილადს.

თანმიმდევრულად განვიხილავთ სამ შემთხვევას:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.
3. შერეული რიცხვების შეკრება.

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრება.

განვიხილოთ მაგალითი: 1/5 + 2/5.

ავიღოთ სეგმენტი AB (ნახ. 17), ავიღოთ როგორც ერთი და გავყოთ 5 ტოლ ნაწილად, მაშინ ამ სეგმენტის AC ნაწილი იქნება AB სეგმენტის 1/5-ის ტოლი, ხოლო იმავე სეგმენტის CD ნაწილი ტოლი იქნება. 2/5 AB.

ნახაზიდან ირკვევა, რომ თუ ავიღებთ AD ​​სეგმენტს, ის უდრის 3/5 AB-ს; მაგრამ სეგმენტი AD არის ზუსტად AC და CD სეგმენტების ჯამი. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

ამ ტერმინებისა და მიღებული ჯამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ჯამის მრიცხველი მიიღეს წევრთა მრიცხველების მიმატებით, ხოლო მნიშვნელი უცვლელი დარჩა.

აქედან ვიღებთ შემდეგ წესს: იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.

მოდით დავამატოთ წილადები: 3 / 4 + 3 / 8 ჯერ ისინი უნდა შევიყვანოთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:

შუალედური ბმული 6/8 + 3/8 ვერ დაიწერა; ჩვენ ეს დავწერეთ აქ სიცხადისთვის.

ამრიგად, სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, ჯერ უნდა შეამციროთ ისინი ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე, დაამატოთ მათი მრიცხველები და დაასახელოთ საერთო მნიშვნელი.

განვიხილოთ მაგალითი (დამატებით ფაქტორებს დავწერთ შესაბამისი წილადების ზემოთ):

3. შერეული რიცხვების შეკრება.

დავამატოთ რიცხვები: 2 3/8 + 3 5/6.

მოდით, ჯერ მივიყვანოთ ჩვენი რიცხვების წილადი ნაწილები საერთო მნიშვნელთან და ხელახლა დავწეროთ ისინი:

ახლა ვამატებთ მთელ და წილად ნაწილებს თანმიმდევრობით:

§ 88. წილადების გამოკლება.

წილადების გამოკლება განისაზღვრება ისევე, როგორც მთელი რიცხვების გამოკლება. ეს არის ქმედება, რომლის დახმარებითაც, ორი წევრისა და ერთი მათგანის ჯამის გათვალისწინებით, გვხვდება მეორე ტერმინი. განვიხილოთ სამი შემთხვევა ზედიზედ:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.
3. შერეული რიცხვების გამოკლება.

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

13 / 15 - 4 / 15

ავიღოთ სეგმენტი AB (სურ. 18), ავიღოთ ერთეული და გავყოთ 15 ტოლ ნაწილად; მაშინ ამ სეგმენტის AC ნაწილი წარმოადგენს AB-ის 1/15-ს, ხოლო ამავე სეგმენტის AD ნაწილი შეესაბამება 13/15 AB-ს. მოდით გამოვყოთ კიდევ ერთი სეგმენტი ED ტოლი 4/15 AB.

13/15-ს უნდა გამოვაკლოთ წილადი 4/15. ნახაზში ეს ნიშნავს, რომ სეგმენტი ED უნდა გამოკლდეს AD სეგმენტს. შედეგად დარჩება სეგმენტი AE, რომელიც არის AB სეგმენტის 9/15. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩვენ მიერ გაკეთებული მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სხვაობის მრიცხველი მიღებული იყო მრიცხველების გამოკლებით, მაგრამ მნიშვნელი იგივე დარჩა.

მაშასადამე, მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლებისთვის, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ქვეტრაენდის მრიცხველი მინუენდის მრიცხველს და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.

2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.

მაგალითი. 3/4 - 5/8

ჯერ ეს წილადები შევამციროთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:

შუალედური 6 / 8 - 5 / 8 აქ არის დაწერილი სიცხადისთვის, მაგრამ შეიძლება მოგვიანებით გამოტოვოთ.

ამრიგად, წილადს რომ გამოვაკლოთ წილადი, ჯერ უნდა შეამციროთ ისინი ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე, შემდეგ გამოაკლოთ წილადის მრიცხველი მრიცხველის მრიცხველს და ხელი მოაწეროთ საერთო მნიშვნელს მათი სხვაობის ქვეშ.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

3. შერეული რიცხვების გამოკლება.

მაგალითი. 10 3/4 - 7 2/3.

მოდით შევამციროთ წილადი ნაწილების minuend და subtrahend ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი:

მთლიანს გამოვაკლეთ მთლიანი და წილადი - წილადი. მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც სუბტრაჰენდის წილადი ნაწილი აღემატება მინუენდის წილად ნაწილს. ასეთ შემთხვევებში, თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ერთეული მინუენდის მთელი ნაწილიდან, გაყოთ ის იმ ნაწილებად, რომლებშიც გამოიხატება წილადი ნაწილი და დაუმატოთ წილადის ნაწილს. და შემდეგ გამოკლება შესრულდება ისევე, როგორც წინა მაგალითში:

§ 89. წილადების გამრავლება.

წილადების გამრავლების შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.
2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.
3. მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლება.
4. წილადის გამრავლება წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გამრავლება.
6. ინტერესის ცნება.
7. მოცემული რიცხვის პროცენტის პოვნა. განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.

1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.

წილადის მთელ რიცხვზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გამრავლებას. წილადის (გამრავლების) გამრავლება მთელ რიცხვზე (ფაქტორზე) ნიშნავს იდენტური წევრთა ჯამის შექმნას, რომელშიც თითოეული წევრი ტოლია ნამრავლის, ხოლო წევრთა რაოდენობა ტოლია გამრავლების.

ეს ნიშნავს, რომ თუ თქვენ გჭირდებათ 1/9 7-ზე გამრავლება, მაშინ ეს შეიძლება გაკეთდეს ასე:

ჩვენ ადვილად მივიღეთ შედეგი, რადგან მოქმედება შემცირდა იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების მიმატებამდე. აქედან გამომდინარე,

ამ მოქმედების გათვალისწინება გვიჩვენებს, რომ წილადის მთელ რიცხვზე გამრავლება უდრის ამ წილადის იმდენჯერ გაზრდას, რამდენჯერაც არის ერთეული მთელ რიცხვში. და რადგან წილადის გაზრდა მიიღწევა მისი მრიცხველის გაზრდით

ან მისი მნიშვნელის შემცირებით , მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ან გავამრავლოთ მრიცხველი მთელ რიცხვზე ან გავყოთ მნიშვნელი მასზე, თუ ასეთი გაყოფა შესაძლებელია.

აქედან ვიღებთ წესს:

წილადის მთელ რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ ამრავლებთ მრიცხველს მთელ რიცხვზე და ტოვებთ მნიშვნელს იგივეს, ან, თუ შესაძლებელია, ყოფთ მნიშვნელს ამ რიცხვზე, მრიცხველი უცვლელი რჩება.

გამრავლებისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.ბევრი პრობლემაა, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ, ან გამოთვალოთ მოცემული რიცხვის ნაწილი. განსხვავება ამ პრობლემებსა და სხვებს შორის არის ის, რომ ისინი იძლევიან ზოგიერთი ობიექტის ან საზომი ერთეულის რაოდენობას და თქვენ უნდა იპოვოთ ამ რიცხვის ნაწილი, რომელიც ასევე მითითებულია აქ გარკვეული წილადით. გაგების გასაადვილებლად ჯერ მოვიყვანთ ასეთი პრობლემების მაგალითებს, შემდეგ კი შემოგთავაზებთ მათი გადაჭრის მეთოდს.

დავალება 1.მე მქონდა 60 მანეთი; ამ თანხის 1/3 დავხარჯე წიგნების შესაძენად. რა დაჯდა წიგნები?

დავალება 2.მატარებელმა A და B ქალაქებს შორის მანძილი უნდა გაიაროს 300 კმ. მან ამ მანძილის 2/3 უკვე დაფარა. ეს რამდენი კილომეტრია?

დავალება 3.სოფელში 400 სახლია, 3/4 აგურისაა, დანარჩენი ხის. რამდენი აგურის სახლია სულ?

ეს არის რამდენიმე პრობლემა, რომელსაც ჩვენ ვაწყდებით მოცემული რიცხვის ნაწილის საპოვნელად. მათ ჩვეულებრივ უწოდებენ პრობლემებს მოცემული რიცხვის წილადის საპოვნელად.

პრობლემის გადაწყვეტა 1. 60 რუბლიდან. 1/3 დავხარჯე წიგნებზე; ეს ნიშნავს, რომ წიგნების ღირებულების საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი 60 3-ზე:

პრობლემის გადაჭრა 2.პრობლემის არსი ის არის, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 300 კმ-ის 2/3. ჯერ გამოვთვალოთ 300-ის 1/3; ეს მიიღწევა 300 კმ 3-ზე გაყოფით:

300: 3 = 100 (ეს არის 300-ის 1/3).

300-ის ორი მესამედის საპოვნელად, თქვენ უნდა გააორმაგოთ მიღებული კოეფიციენტი, ანუ გაამრავლოთ 2-ზე:

100 x 2 = 200 (ეს არის 300-ის 2/3).

პრობლემის გადაჭრა 3.აქ თქვენ უნდა განსაზღვროთ აგურის სახლების რაოდენობა, რომლებიც შეადგენენ 400-დან 3/4-ს. ჯერ ვიპოვოთ 400-დან 1/4.

400: 4 = 100 (ეს არის 400-ის 1/4).

400-ის სამი მეოთხედის გამოსათვლელად მიღებული კოეფიციენტი გასამმაგდება, ანუ გამრავლებული 3-ზე:

100 x 3 = 300 (ეს არის 400-ის 3/4).

ამ პრობლემების გადაჭრის საფუძველზე შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი წესი:

მოცემული რიცხვიდან წილადის მნიშვნელობის საპოვნელად საჭიროა ეს რიცხვი გაყოთ წილადის მნიშვნელზე და მიღებული კოეფიციენტი გაამრავლოთ მის მრიცხველზე.

3. მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლება.

ადრე (§ 26) დადგინდა, რომ მთელი რიცხვების გამრავლება უნდა გავიგოთ, როგორც იდენტური ტერმინების დამატება (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). ამ პუნქტში (პუნქტი 1) დადგინდა, რომ წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე ნიშნავს ამ წილადის ტოლი იდენტური წევრთა ჯამის პოვნას.

ორივე შემთხვევაში გამრავლება შედგებოდა იდენტური ტერმინების ჯამის პოვნაში.

ახლა გადავდივართ მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებაზე. აქ შევხვდებით, მაგალითად, გამრავლებას: 9 2/3. ნათელია, რომ გამრავლების წინა განმარტება ამ შემთხვევაში არ ვრცელდება. ეს აშკარაა იმ ფაქტიდან, რომ ჩვენ ვერ შევცვლით ასეთ გამრავლებას თანაბარი რიცხვების მიმატებით.

ამის გამო მოგვიწევს გამრავლების ახალი განმარტების მიცემა, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვუპასუხოთ კითხვას, თუ რა უნდა გავიგოთ წილადზე გამრავლებით, როგორ უნდა გავიგოთ ეს მოქმედება.

მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლების მნიშვნელობა ნათელია შემდეგი განმარტებიდან: მთელი რიცხვის (გამრავლების) გამრავლება წილადზე (გამრავლება) ნიშნავს გამრავლების ამ წილადის პოვნას.

კერძოდ, 9-ის 2/3-ზე გამრავლება ნიშნავს ცხრა ერთეულის 2/3-ის პოვნას. წინა პუნქტში ასეთი პრობლემები მოგვარდა; ასე რომ, ადვილია იმის გარკვევა, რომ ჩვენ მივიღებთ 6-ს.

მაგრამ ახლა ჩნდება საინტერესო და მნიშვნელოვანი კითხვა: რატომ უწოდებენ არითმეტიკაში ერთი და იგივე სიტყვით „გამრავლება“ ისეთ ერთი შეხედვით განსხვავებულ მოქმედებებს, როგორიცაა ტოლი რიცხვების ჯამის პოვნა და რიცხვის წილადის პოვნა?

ეს იმიტომ ხდება, რომ წინა მოქმედება (რიცხვის გამეორება ტერმინებით რამდენჯერმე) და ახალი მოქმედება (რიცხვის წილადის პოვნა) პასუხობს ერთგვაროვან კითხვებზე. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ აქ გამოვდივართ იმ მოსაზრებებიდან, რომ ერთგვაროვანი კითხვები ან ამოცანები წყდება ერთი და იგივე მოქმედებით.

ამის გასაგებად, განიხილეთ შემდეგი პრობლემა: „1 მ ქსოვილი 50 მანეთი ღირს. რა დაჯდება 4 მ ასეთი ქსოვილი?

ეს პრობლემა მოგვარებულია რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის (4) რაოდენობის გამრავლებით, ანუ 50 x 4 = 200 (რუბლი).

ავიღოთ იგივე პრობლემა, მაგრამ მასში ტანსაცმლის რაოდენობა გამოიხატება წილადად: „1 მ ქსოვილი ღირს 50 მანეთი. რა დაჯდება 3/4 მ ასეთი ქსოვილი?”

ეს პრობლემა ასევე უნდა გადაწყდეს რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის რაოდენობაზე (3/4) გამრავლებით.

თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ რიცხვები მასში კიდევ რამდენჯერმე, პრობლემის მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე, მაგალითად, აიღეთ 9/10 მ ან 2 3/10 მ და ა.შ.

ვინაიდან ამ ამოცანებს ერთი და იგივე შინაარსი აქვთ და მხოლოდ რიცხვებით განსხვავდებიან, მათი ამოხსნისას გამოყენებულ მოქმედებებს ერთსა და იმავე სიტყვას - გამრავლებას ვუწოდებთ.

როგორ გავამრავლოთ მთელი რიცხვი წილადზე?

ავიღოთ ბოლო ამოცანისას შეხვედრილი რიცხვები:

განმარტების მიხედვით უნდა ვიპოვოთ 50-ის 3/4. ჯერ ვიპოვოთ 50-ის 1/4, შემდეგ კი 3/4.

50-დან 1/4 არის 50/4;

50 რიცხვის 3/4 არის .

აქედან გამომდინარე.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 12 5 / 8 =?

12 რიცხვის 1/8 არის 12/8,

12 რიცხვის 5/8 არის .

აქედან გამომდინარე,

აქედან ვიღებთ წესს:

მთელი რიცხვის წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი რიცხვი წილადის მრიცხველზე და ეს ნამრავლი აქციოთ მრიცხველად, ხოლო ამ წილადის მნიშვნელს მოაწეროთ მნიშვნელი.

მოდით დავწეროთ ეს წესი ასოების გამოყენებით:

ამ წესის სრულად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გამრავლების წესთან, რომელიც მოცემულია § 38-ში.

მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ გამრავლების შესრულებამდე უნდა გააკეთოთ (თუ შესაძლებელია) შემცირება, Მაგალითად:

4. წილადის გამრავლება წილადზე.წილადის წილადზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებისას, ანუ წილადზე გამრავლებისას უნდა იპოვო წილადი, რომელიც არის წილადში პირველი წილადიდან (მამრავლი).

კერძოდ, 3/4-ის გამრავლება 1/2-ზე (ნახევარზე) ნიშნავს 3/4-ის ნახევრის პოვნას.

როგორ გავამრავლოთ წილადი წილადზე?

ავიღოთ მაგალითი: 3/4 გამრავლებული 5/7-ზე. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 3/4-ის 5/7. ჯერ ვიპოვოთ 3/4-ის 1/7, შემდეგ კი 5/7

3/4 რიცხვის 1/7 გამოისახება შემდეგნაირად:

5/7 რიცხვები 3/4 გამოისახება შემდეგნაირად:

ამრიგად,

კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8 გამრავლებული 4/9-ზე.

5/8-ის 1/9 არის,

5/8 რიცხვის 4/9 არის .

ამრიგად,

ამ მაგალითებიდან შეიძლება გამოვიდეს შემდეგი წესი:

წილადის წილადზე გასამრავლებლად მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ მრიცხველზე, მნიშვნელი კი მნიშვნელზე და პირველი ნამრავლი მრიცხველად აქციოთ, ხოლო მეორე ნამრავლი ნამრავლის მნიშვნელად.

ეს წესი შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმით შემდეგნაირად:

გამრავლებისას აუცილებელია (თუ შესაძლებელია) შემცირება. მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

5. შერეული რიცხვების გამრავლება.ვინაიდან შერეული რიცხვები ადვილად შეიძლება შეიცვალოს არასწორი წილადებით, ეს გარემოება ჩვეულებრივ გამოიყენება შერეული რიცხვების გამრავლებისას. ეს ნიშნავს, რომ იმ შემთხვევებში, როდესაც მრავლობითი, ან მამრავლი, ან ორივე ფაქტორი გამოიხატება შერეული რიცხვებით, ისინი იცვლება არასწორი წილადებით. გავამრავლოთ, მაგალითად, შერეული რიცხვები: 2 1/2 და 3 1/5. ვაქციოთ თითოეული მათგანი არასწორ წილადად და შემდეგ გავამრავლოთ მიღებული წილადები წილადის წილადზე გამრავლების წესის მიხედვით:

წესი.შერეული რიცხვების გასამრავლებლად ჯერ უნდა გადაიყვანოთ ისინი არასწორ წილადებად და შემდეგ გაამრავლოთ წილადების წილადებზე გამრავლების წესის მიხედვით.

Შენიშვნა.თუ ერთ-ერთი ფაქტორი არის მთელი რიცხვი, მაშინ გამრავლება შეიძლება განხორციელდეს განაწილების კანონის საფუძველზე შემდეგნაირად:

6. ინტერესის ცნება.ამოცანების ამოხსნის და სხვადასხვა პრაქტიკული გამოთვლების შესრულებისას ვიყენებთ ყველა სახის წილადს. მაგრამ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ბევრი რაოდენობა მათ საშუალებას აძლევს არა რომელიმე, არამედ ბუნებრივ დაყოფას. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეასედი (1/100), ეს იქნება კაპიკი, ორი მეასედი არის 2 კაპიკი, სამი მეასედი არის 3 კაპიკი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის 1/10, ეს იქნება "10 კაპიკი, ან ათი კაპიკი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეოთხედი, ანუ 25 კაპიკი, ნახევარი მანეთი, ანუ 50 კაპიკი (ორმოცდაათი კაპიკი). მაგრამ. ისინი პრაქტიკულად არ იღებენ მას, მაგალითად, რუბლის 2/7, რადგან რუბლი არ იყოფა მეშვიდედ.

წონის ერთეული, ანუ კილოგრამი, უპირველეს ყოვლისა იძლევა ათობითი გაყოფის საშუალებას, მაგალითად 1/10 კგ, ან 100 გ. და კილოგრამის ისეთი წილადები, როგორიცაა 1/6, 1/11, 1/13 არ არის გავრცელებული.

ზოგადად, ჩვენი (მეტრული) ზომები არის ათობითი და ათწილადის გაყოფის საშუალებას იძლევა.

თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ უაღრესად სასარგებლო და მოსახერხებელია მრავალფეროვან შემთხვევებში, რაოდენობების დაყოფის იგივე (ერთგვაროვანი) მეთოდის გამოყენება. მრავალწლიანმა გამოცდილებამ აჩვენა, რომ ასეთი კარგად გამართლებული დაყოფა არის "მეასე" განყოფილება. განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც ეხება ადამიანის პრაქტიკის ყველაზე მრავალფეროვან სფეროებს.

1. წიგნების ფასი წინა ფასის 12/100-ით შემცირდა.

მაგალითი. წიგნის წინა ფასი 10 მანეთი იყო. 1 რუბლით შემცირდა. 20 კაპიკი

2. შემნახველი ბანკები მეანაბრეებს უხდიან წლის განმავლობაში დანაზოგად შეტანილი თანხის 2/100-ს.

მაგალითი. 500 რუბლი ირიცხება სალაროში, ამ თანხიდან შემოსავალი წელიწადში 10 რუბლია.

3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა მოსწავლეთა საერთო რაოდენობის 5/100-ს.

მაგალითი სკოლაში მხოლოდ 1200 მოსწავლე იყო, აქედან 60-მა დაამთავრა.

რიცხვის მეასედ ნაწილს პროცენტი ეწოდება.

სიტყვა "პროცენტი" ნასესხებია ლათინურიდან და მისი ძირი "ცენტი" ნიშნავს ასს. წინადადებასთან ერთად (pro centum), ეს სიტყვა ნიშნავს "ასს". ამ გამოთქმის მნიშვნელობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ თავდაპირველად ძველ რომში პროცენტი ეწოდებოდა ფულს, რომელსაც მოვალე უხდიდა გამსესხებელს „ყოველ ასეულზე“. სიტყვა "ცენტი" ისმის ასეთ ნაცნობ სიტყვებში: ცენტნერი (ასი კილოგრამი), სანტიმეტრი (ვთქვათ სანტიმეტრი).

მაგალითად, იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ, რომ გასულ თვეში ქარხანა აწარმოებდა მის მიერ წარმოებული პროდუქციის 1/100-ს, ჩვენ ვიტყვით ასე: გასულ თვეში ქარხანამ წარმოადგინა დეფექტების ერთი პროცენტი. იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ: ქარხანამ დადგენილ გეგმაზე 4/100-ით მეტი პროდუქტი გამოუშვა, ჩვენ ვიტყვით: ქარხანამ გეგმას 4 პროცენტით გადააჭარბა.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითები შეიძლება განსხვავებულად გამოითქვას:

1. წიგნების ფასი წინა ფასის 12 პროცენტით შემცირდა.

2. შემნახველი ბანკები უხდიან მეანაბრეებს შემნახველში შეტანილი თანხის 2 პროცენტს წელიწადში.

3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა ყველა სკოლის მოსწავლეთა 5 პროცენტს.

ასოს შესამცირებლად ჩვეულებრივია სიტყვის „პროცენტის“ ნაცვლად დაწეროთ % სიმბოლო.

ამასთან, უნდა გახსოვდეთ, რომ გამოთვლებში % ნიშანი ჩვეულებრივ არ იწერება; ის შეიძლება ჩაიწეროს პრობლემის განცხადებაში და საბოლოო შედეგში. გამოთვლების შესრულებისას ამ სიმბოლოთი მთელი რიცხვის ნაცვლად უნდა დაწეროთ წილადი 100 მნიშვნელით.

თქვენ უნდა შეგეძლოთ შეცვალოთ მთელი რიცხვი მითითებული ხატით წილადით 100 მნიშვნელით:

პირიქით, თქვენ უნდა მიეჩვიოთ მთელი რიცხვის დაწერას მითითებული სიმბოლოთი წილადის ნაცვლად 100 მნიშვნელით:

7. მოცემული რიცხვის პროცენტის პოვნა.

დავალება 1.სკოლამ მიიღო 200 კუბური მეტრი. მ შეშა, არყის შეშა შეადგენს 30%-ს. რამდენი არყის შეშა იყო?

ამ პრობლემის აზრი ის არის, რომ არყის შეშა შეადგენდა სკოლას მიტანილი შეშის მხოლოდ ნაწილს და ეს ნაწილი გამოიხატება წილადში 30/100. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს დავალება, ვიპოვოთ რიცხვის წილადი. მის ამოსახსნელად 200 უნდა გავამრავლოთ 30/100-ზე (რიცხვის წილადის პოვნის პრობლემები წყდება რიცხვის წილადზე გამრავლებით.).

ეს ნიშნავს, რომ 200-დან 30% უდრის 60-ს.

წილადი 30/100, რომელიც გვხვდება ამ პრობლემაში, შეიძლება შემცირდეს 10-ით. ამ შემცირების გაკეთება თავიდანვე იქნებოდა შესაძლებელი; პრობლემის გადაწყვეტა არ შეიცვლებოდა.

დავალება 2.ბანაკში სხვადასხვა ასაკის 300 ბავშვი იყო. 11 წლის ბავშვები შეადგენდნენ 21%, 12 წლის ბავშვები შეადგენდნენ 61% და ბოლოს 13 წლის ბავშვები შეადგენდნენ 18%. თითოეული ასაკის რამდენი ბავშვი იყო ბანაკში?

ამ პრობლემაში თქვენ უნდა შეასრულოთ სამი გამოთვლა, ანუ თანმიმდევრულად იპოვოთ 11 წლის, შემდეგ 12 წლის და ბოლოს 13 წლის ბავშვების რაოდენობა.

ეს ნიშნავს, რომ აქ თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვის წილადი სამჯერ. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

1) რამდენი 11 წლის ბავშვი იყო?

2) რამდენი 12 წლის ბავშვი იყო?

3) რამდენი 13 წლის ბავშვი იყო?

პრობლემის გადაჭრის შემდეგ სასარგებლოა ნაპოვნი რიცხვების დამატება; მათი ჯამი უნდა იყოს 300:

63 + 183 + 54 = 300

ასევე უნდა აღინიშნოს, რომ პრობლემის დებულებაში მოცემული პროცენტების ჯამი არის 100:

21% + 61% + 18% = 100%

ეს იმაზე მეტყველებს, რომ ბანაკში ბავშვების საერთო რაოდენობა აღებულია 100%.

3 და სთ 3.მუშა თვეში 1200 მანეთს იღებდა. აქედან 65% კვებაზე დახარჯა, 6% ბინებსა და გათბობაზე, 4% გაზზე, ელექტროენერგიასა და რადიოზე, 10% კულტურულ საჭიროებებზე და 15% დაზოგა. რა თანხა დაიხარჯა დავალებაში მითითებულ საჭიროებებზე?

ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭიროა 1200-ის წილადის პოვნა 5-ჯერ.მოდით ასე გავაკეთოთ.

1) რა თანხა დაიხარჯა საკვებზე? პრობლემა ამბობს, რომ ეს ხარჯი არის მთლიანი შემოსავლის 65%, ანუ 1200 რიცხვის 65/100. მოდით გამოვთვალოთ:

2) რა თანხა გადაიხადე გათბობით ბინაში? წინა მსჯელობის მსგავსად, მივდივართ შემდეგ გაანგარიშებამდე:

3) რა თანხა გადაიხადე გაზზე, ელექტროენერგიაში და რადიოში?

4) რა თანხა დაიხარჯა კულტურულ საჭიროებებზე?

5) რა თანხა დაზოგა მუშამ?

შესამოწმებლად, სასარგებლოა ამ 5 კითხვაში ნაპოვნი რიცხვების დამატება. თანხა უნდა იყოს 1200 რუბლი. ყველა შემოსავალი აღებულია როგორც 100%, რისი შემოწმება მარტივია პრობლემურ განცხადებაში მოცემული პროცენტული რიცხვების დამატებით.

სამი პრობლემა მოვაგვარეთ. მიუხედავად იმისა, რომ ეს პრობლემები განსხვავებულ საკითხებს ეხებოდა (სკოლისთვის შეშის მიწოდება, სხვადასხვა ასაკის ბავშვების რაოდენობა, მუშის ხარჯები), ისინი ერთნაირად მოგვარდა. ეს იმიტომ მოხდა, რომ ყველა პრობლემაში საჭირო იყო მოცემული რიცხვების რამდენიმე პროცენტის პოვნა.

§ 90. წილადების დაყოფა.

წილადების დაყოფის შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.
2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე
3. მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფა.
4. წილადის გაყოფა წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გაყოფა.
6. რიცხვის პოვნა მისი მოცემული წილადიდან.
7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.

1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.

როგორც აღინიშნა მთელი რიცხვების განყოფილებაში, გაყოფა არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ ორი ფაქტორის (დივიდენდის) და ამ ფაქტორებიდან ერთის (გამყოფის) ნამრავლის გათვალისწინებით, სხვა ფაქტორი გვხვდება.

ჩვენ შევხედეთ მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე დაყოფას მთელი რიცხვების განყოფილებაში. იქ დაყოფის ორ შემთხვევას შევხვდით: გაყოფა ნარჩენების გარეშე, ან „მთლიანად“ (150: 10 = 15) და გაყოფა ნაშთით (100: 9 = 11 და 1 ნაშთი). ამიტომ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მთელი რიცხვების სფეროში ზუსტი გაყოფა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, რადგან დივიდენდი ყოველთვის არ არის გამყოფის პროდუქტი მთელი რიცხვით. წილადზე გამრავლების შემოღების შემდეგ შეგვიძლია განვიხილოთ მთელი რიცხვების გაყოფის ნებისმიერი შემთხვევა (გამორიცხულია მხოლოდ ნულზე გაყოფა).

მაგალითად, 7-ის 12-ზე გაყოფა ნიშნავს რიცხვის პოვნას, რომლის ნამრავლი 12-ზე იქნება 7-ის ტოლი. ასეთი რიცხვია წილადი 7/12, რადგან 7 / 12 12 = 7. კიდევ ერთი მაგალითი: 14: 25 = 14 / 25, რადგან 14 / 25 25 = 14.

ამრიგად, მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა შექმნათ წილადი, რომლის მრიცხველი დივიდენდის ტოლია, ხოლო მნიშვნელი გამყოფის ტოლია.

2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე.

გაყავით წილადი 6/7 3-ზე. ზემოთ მოცემული გაყოფის განმარტების მიხედვით, აქ გვაქვს ნამრავლი (6/7) და ერთ-ერთი ფაქტორი (3); საჭიროა მეორე კოეფიციენტის პოვნა, რომელიც 3-ზე გამრავლებისას მისცემს მოცემულ ნამრავლს 6/7. ცხადია, ის ამ პროდუქტზე სამჯერ მცირე უნდა იყოს. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ წინაშე დასახული ამოცანა იყო წილადის 6/7-ით 3-ჯერ შემცირება.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ წილადის შემცირება შეიძლება მოხდეს მისი მრიცხველის შემცირებით ან მნიშვნელის გაზრდით. ამიტომ შეგიძლიათ დაწეროთ:

ამ შემთხვევაში მრიცხველი 6 იყოფა 3-ზე, ამიტომ მრიცხველი უნდა შემცირდეს 3-ჯერ.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8 გაყოფილი 2-ზე. აქ მრიცხველი 5 არ იყოფა 2-ზე, რაც ნიშნავს, რომ მნიშვნელი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე:

ამის საფუძველზე შეიძლება დადგინდეს წესი: წილადის მთელ რიცხვზე გასაყოფად საჭიროა წილადის მრიცხველი მთელ რიცხვზე გაყოთ.(თუ შესაძლებელია), დატოვეთ ერთი და იგივე მნიშვნელი, ან გაამრავლეთ წილადის მნიშვნელი ამ რიცხვზე და დატოვეთ იგივე მრიცხველი.

3. მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფა.

დაე, საჭირო იყოს 5-ის 1/2-ზე გაყოფა, ანუ ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 1/2-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 5. ცხადია, ეს რიცხვი 5-ზე მეტი უნდა იყოს, რადგან 1/2 სწორი წილადია. და რიცხვის გამრავლებისას სათანადო წილადის ნამრავლი უნდა იყოს გამრავლებულ ნამრავლზე ნაკლები. ამის გასაგებად, მოდით დავწეროთ ჩვენი მოქმედებები შემდეგნაირად: 5: 1 / 2 = X , რაც ნიშნავს x 1/2 = 5.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი რიცხვი X , რომელიც 1/2-ზე გამრავლების შემთხვევაში მივიღებთ 5-ს. ვინაიდან გარკვეული რიცხვის 1/2-ზე გამრავლება ნიშნავს ამ რიცხვის 1/2-ის პოვნას, მაშასადამე, უცნობი რიცხვის 1/2. X უდრის 5-ს და მთელი რიცხვი X ორჯერ მეტი, ანუ 5 2 = 10.

ასე რომ 5: 1/2 = 5 2 = 10

მოდით შევამოწმოთ:

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. ვთქვათ, გსურთ 6-ის გაყოფა 2/3-ზე. ჯერ ვცადოთ სასურველი შედეგის პოვნა ნახატის გამოყენებით (სურ. 19).

სურ.19

დავხატოთ AB სეგმენტი 6 ერთეულის ტოლი და თითოეული ერთეული გავყოთ 3 ტოლ ნაწილად. თითოეულ ერთეულში, მთელი AB სეგმენტის სამი მესამედი (3/3) 6-ჯერ დიდია, ე.ი. ე. 18/3. მცირე ფრჩხილების გამოყენებით, ჩვენ ვაკავშირებთ 2-ის 18 მიღებულ სეგმენტს; იქნება მხოლოდ 9 სეგმენტი. ეს ნიშნავს, რომ წილადი 2/3 შეიცავს 6 ერთეულში 9-ჯერ, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადი 2/3 9-ჯერ ნაკლებია 6 მთლიან ერთეულზე. აქედან გამომდინარე,

როგორ მივიღოთ ეს შედეგი ნახაზის გარეშე მხოლოდ გამოთვლების გამოყენებით? მოდით ვიმსჯელოთ ასე: უნდა გავყოთ 6 2/3-ზე, ანუ უნდა ვუპასუხოთ კითხვას რამდენჯერ შეიცავს 2/3 6-ში. ჯერ გავარკვიოთ: რამდენჯერ შეიცავს 1/3 6-ში? მთლიან ერთეულში არის 3 მესამედი, ხოლო 6 ერთეულში 6-ჯერ მეტი, ანუ 18 მესამედი; ამ რიცხვის საპოვნელად უნდა გავამრავლოთ 6 3-ზე. ეს ნიშნავს, რომ 1/3 შეიცავს b ერთეულებში 18-ჯერ, ხოლო 2/3 შეიცავს b ერთეულებში არა 18-ჯერ, არამედ იმდენივეჯერ ნახევარზე, ანუ 18: 2 = 9. ამიტომ, 6-ის 2/3-ზე გაყოფისას ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

აქედან ვიღებთ მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფის წესს. მთელი რიცხვის წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს მთელი რიცხვი მოცემული წილადის მნიშვნელზე და ამ ნამრავლის მრიცხველად აქციოთ, გაყოთ იგი მოცემული წილადის მრიცხველზე.

მოდით დავწეროთ წესი ასოების გამოყენებით:

ამ წესის სრულად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გაყოფის წესთან, რომელიც მოცემულია § 38-ში. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ იქაც იგივე ფორმულა იქნა მიღებული.

გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

4. წილადის გაყოფა წილადზე.

ვთქვათ, უნდა გავყოთ 3/4 3/8-ზე. რას ნიშნავს რიცხვი, რომელიც გამოდის გაყოფით? ის უპასუხებს კითხვას რამდენჯერ შეიცავს წილადი 3/8 წილადში 3/4. ამ საკითხის გასაგებად დავხატოთ ნახატი (სურ. 20).

ავიღოთ AB სეგმენტი, ავიღოთ როგორც ერთი, გავყოთ 4 ტოლ ნაწილად და მოვნიშნოთ 3 ასეთი ნაწილი. სეგმენტი AC უდრის AB სეგმენტის 3/4-ს. მოდით, ახლა გავყოთ ოთხი თავდაპირველი სეგმენტიდან თითოეული ნახევრად, შემდეგ AB სეგმენტი დაიყოფა 8 ტოლ ნაწილად და თითოეული ასეთი ნაწილი AB სეგმენტის 1/8-ის ტოლი იქნება. დავუკავშიროთ 3 ასეთი სეგმენტი რკალებით, მაშინ თითოეული სეგმენტი AD და DC იქნება AB სეგმენტის 3/8-ის ტოლი. ნახაზზე ჩანს, რომ 3/8-ის ტოლი სეგმენტი შეიცავს 3/4-ის ტოლ სეგმენტში ზუსტად 2-ჯერ; ეს ნიშნავს, რომ გაყოფის შედეგი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

3 / 4: 3 / 8 = 2

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. ვთქვათ, უნდა გავყოთ 15/16 3/32-ზე:

შეგვიძლია ასე ვიმსჯელოთ: უნდა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 3/32-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 15/16-ის ტოლი. მოდით დავწეროთ გამოთვლები ასე:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 უცნობი ნომერი X არის 15/16

უცნობი ნომრის 1/32 X არის,

32/32 ნომრები X კოსმეტიკა .

აქედან გამომდინარე,

ამრიგად, წილადის წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორის მნიშვნელზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი გავამრავლოთ მეორის მრიცხველზე და პირველი ნამრავლი გააკეთოთ მრიცხველი. ხოლო მეორე მნიშვნელი.

მოდით დავწეროთ წესი ასოების გამოყენებით:

გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

5. შერეული რიცხვების გაყოფა.

შერეული რიცხვების გაყოფისას ისინი ჯერ უნდა გადაკეთდეს არასწორ წილადებად, შემდეგ კი მიღებული წილადები უნდა დაიყოს წილადების გაყოფის წესების მიხედვით. მოდით შევხედოთ მაგალითს:

გადავიყვანოთ შერეული რიცხვები არასწორ წილადებად:

ახლა გავყოთ:

ამრიგად, შერეული რიცხვების გასაყოფად, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ ისინი არასწორ წილადებად და შემდეგ გაყოთ წილადების გაყოფის წესის გამოყენებით.

6. რიცხვის პოვნა მისი მოცემული წილადიდან.

წილადის სხვადასხვა ამოცანებს შორის, ზოგჯერ არის ისეთებიც, რომლებშიც მოცემულია უცნობი რიცხვის ზოგიერთი წილადის მნიშვნელობა და თქვენ უნდა იპოვოთ ეს რიცხვი. ამ ტიპის ამოცანები იქნება მოცემული რიცხვის წილადის პოვნის ამოცანის შებრუნებული; იქ იყო მოცემული რიცხვი და საჭირო იყო ამ რიცხვის რაღაც წილადის პოვნა, აქ მოცემულია რიცხვის წილადი და საჭირო იყო თავად ამ რიცხვის პოვნა. ეს იდეა კიდევ უფრო ნათელი გახდება, თუ ამ ტიპის პრობლემის გადაჭრას მივმართავთ.

დავალება 1.პირველ დღეს მინაშენებმა 50 სარკმელი შეამინეს, რაც აშენებული სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ია. რამდენი ფანჯარაა ამ სახლში?

გამოსავალი.პრობლემა ამბობს, რომ 50 მინის ფანჯარა შეადგენს სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ს, რაც ნიშნავს, რომ სულ 3-ჯერ მეტი ფანჯარაა, ე.ი.

სახლს 150 ფანჯარა ჰქონდა.

დავალება 2.მაღაზიაში გაიყიდა 1500 კგ ფქვილი, რაც მაღაზიაში არსებული ფქვილის მთლიანი მარაგის 3/8-ია. როგორი იყო მაღაზიის ფქვილის საწყისი მარაგი?

გამოსავალი.პრობლემის პირობებიდან ირკვევა, რომ გაყიდული 1500 კგ ფქვილი მთლიანი მარაგის 3/8-ს შეადგენს; ეს ნიშნავს, რომ ამ რეზერვის 1/8 იქნება 3-ჯერ ნაკლები, ანუ მისი გამოსათვლელად საჭიროა 1500-ის შემცირება 3-ჯერ:

1500: 3 = 500 (ეს არის რეზერვის 1/8).

ცხადია, მთლიანი მარაგი 8-ჯერ მეტი იქნება. აქედან გამომდინარე,

500 8 = 4000 (კგ).

მაღაზიაში ფქვილის საწყისი მარაგი 4000 კგ იყო.

ამ პრობლემის გათვალისწინებით, შემდეგი წესი შეიძლება გამოვიდეს.

მისი წილადის მოცემული მნიშვნელობიდან რიცხვის საპოვნელად საკმარისია ეს მნიშვნელობა გავყოთ წილადის მრიცხველზე და გავამრავლოთ შედეგი წილადის მნიშვნელზე.

ჩვენ გადავწყვიტეთ ორი ამოცანა რიცხვის პოვნის შესახებ მისი წილადის მიხედვით. ასეთი ამოცანები, როგორც განსაკუთრებით ნათლად ჩანს ბოლოდან, წყდება ორი მოქმედებით: გაყოფით (როდესაც იპოვეს ერთი ნაწილი) და გამრავლებით (როდესაც იპოვეს მთელი რიცხვი).

თუმცა მას შემდეგ რაც ვისწავლეთ წილადების დაყოფა, ზემოაღნიშნული ამოცანების ამოხსნა შესაძლებელია ერთი მოქმედებით, კერძოდ: წილადზე გაყოფა.

მაგალითად, ბოლო დავალება შეიძლება გადაწყდეს ერთი მოქმედებით ასე:

სამომავლოდ მისი წილადიდან რიცხვის პოვნის ამოცანებს ერთი მოქმედებით - გაყოფით მოვაგვარებთ.

7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

ამ პრობლემებში თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც იცის ამ რიცხვის რამდენიმე პროცენტი.

დავალება 1.ამ წლის დასაწყისში შემნახველი ბანკიდან ავიღე 60 მანეთი. შემოსავალი იმ თანხიდან, რომელიც მე ჩავდე დანაზოგში ერთი წლის წინ. რამდენი ფული ჩავდე შემნახველ ბანკში? (სალაროები აძლევენ მეანაბრეებს წელიწადში 2%-იან ანაზღაურებას.)

პრობლემა ის არის, რომ შემნახველ ბანკში ჩავდე გარკვეული თანხა და ერთი წელი დავრჩი. ერთი წლის შემდეგ მისგან 60 მანეთი მივიღე. შემოსავალი, რაც ჩემს მიერ შეტანილი თანხის 2/100-ია. რამდენი ფული ჩავდე?

შესაბამისად, ვიცოდეთ ამ ფულის ნაწილი, ორი გზით გამოხატული (რუბლით და წილადებით), უნდა ვიპოვოთ მთელი, ჯერ უცნობი, თანხა. ეს რიგითი პრობლემაა რიცხვის პოვნისას მისი წილადის მიხედვით. გაყოფით წყდება შემდეგი პრობლემები:

ეს ნიშნავს, რომ შემნახველ ბანკში 3000 მანეთი ჩაირიცხა.

დავალება 2.მეთევზეებმა თვიური გეგმა ორ კვირაში 64%-ით შეასრულეს და 512 ტონა თევზი მოაგროვეს. რა იყო მათი გეგმა?

პრობლემის პირობებიდან ცნობილია, რომ მეთევზეებმა გეგმის ნაწილი დაასრულეს. ეს ნაწილი უდრის 512 ტონას, რაც გეგმის 64%-ია. ჩვენ არ ვიცით რამდენი ტონა თევზი უნდა მომზადდეს გეგმის მიხედვით. ამ ნომრის პოვნა იქნება პრობლემის გადაწყვეტა.

ასეთი პრობლემები წყდება გაყოფით:

ეს ნიშნავს, რომ გეგმის მიხედვით 800 ტონა თევზის მომზადებაა საჭირო.

დავალება 3.მატარებელი რიგადან მოსკოვში წავიდა. როდესაც მან 276-ე კილომეტრი გაიარა, ერთ-ერთმა მგზავრმა გამვლელ კონდუქტორს ჰკითხა, რამდენი გზა გაიარეს. ამაზე კონდუქტორმა უპასუხა: „ჩვენ უკვე დავფარეთ მთელი მოგზაურობის 30%. რა მანძილია რიგადან მოსკოვამდე?

პრობლემური პირობებიდან ირკვევა, რომ რიგიდან მოსკოვამდე მარშრუტის 30% 276 კმ-ია. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მთელი მანძილი ამ ქალაქებს შორის, ანუ ამ ნაწილისთვის ვიპოვოთ მთელი:

§ 91. საპასუხო რიცხვები. გაყოფის შეცვლა გამრავლებით.

ავიღოთ წილადი 2/3 და შევცვალოთ მრიცხველი მნიშვნელის ნაცვლად, მივიღებთ 3/2. მივიღეთ ამ წილადის შებრუნებული.

მოცემული წილადის ინვერსიის მისაღებად, თქვენ უნდა დააყენოთ მისი მრიცხველი მნიშვნელის ნაცვლად, ხოლო მნიშვნელი მრიცხველის ნაცვლად. ამ გზით ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ ნებისმიერი წილადის ორმხრივი. Მაგალითად:

3/4, საპირისპირო 4/3; 5/6, საპირისპირო 6/5

ორ წილადს, რომელსაც აქვს თვისება, რომ პირველის მრიცხველი არის მეორის მნიშვნელი, ხოლო პირველის მნიშვნელი მეორის მრიცხველი, ე.წ. ურთიერთშებრუნებული.

ახლა მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რომელი წილადი იქნება 1/2-ის საპასუხო. ცხადია, ეს იქნება 2/1, ან უბრალოდ 2. მოცემულის შებრუნებული წილადის ძიებით მივიღეთ მთელი რიცხვი. და ეს შემთხვევა არ არის იზოლირებული; პირიქით, ყველა წილადისთვის, რომელთა მრიცხველია 1 (ერთი), საპასუხო რიცხვები იქნება მთელი რიცხვები, მაგალითად:

1/3, საპირისპირო 3; 1/5, საპირისპირო 5

ვინაიდან საპასუხო წილადების პოვნისას ჩვენ ასევე შევხვდით მთელ რიცხვებს, შემდეგში ვისაუბრებთ არა საპასუხო წილადებზე, არამედ საპასუხო რიცხვებზე.

მოდით გავარკვიოთ, როგორ დავწეროთ მთელი რიცხვის ინვერსია. წილადებისთვის, ეს შეიძლება მარტივად გადაწყდეს: მრიცხველის ნაცვლად უნდა დააყენოთ მნიშვნელი. ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ მთელი რიცხვის ინვერსია, ვინაიდან ნებისმიერ მთელ რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელი 1. ეს ნიშნავს, რომ 7-ის შებრუნებული იქნება 1/7, რადგან 7 = 7/1; 10 რიცხვისთვის შებრუნებული იქნება 1/10, ვინაიდან 10 = 10/1

ეს აზრი შეიძლება განსხვავებულად გამოითქვას: მოცემული რიცხვის საპასუხოობა მიიღება ერთის მოცემულ რიცხვზე გაყოფით. ეს განცხადება მართალია არა მხოლოდ მთელი რიცხვებისთვის, არამედ წილადებისთვისაც. ფაქტობრივად, თუ დაგვჭირდება 5/9 წილადის შებრუნებული ჩაწერა, მაშინ შეგვიძლია ავიღოთ 1 და გავყოთ 5/9-ზე, ე.ი.

ახლა ერთი რამ აღვნიშნოთ ქონებასაპასუხო ნომრები, რომლებიც გამოგვადგება: საპასუხო რიცხვების ნამრავლი უდრის ერთს.Ნამდვილად:

ამ თვისების გამოყენებით შეგვიძლია ვიპოვოთ საპასუხო რიცხვები შემდეგი გზით. ვთქვათ, უნდა ვიპოვოთ 8-ის შებრუნებული.

ასოებით აღვნიშნოთ X , შემდეგ 8 X = 1, შესაბამისად X = 1/8. ვიპოვოთ სხვა რიცხვი, რომელიც არის 7/12-ის შებრუნებული და ავღნიშნოთ ასოთი X , შემდეგ 7/12 X = 1, შესაბამისად X = 1: 7 / 12 ან X = 12 / 7 .

ჩვენ აქ შემოვიღეთ საპასუხო რიცხვების კონცეფცია, რათა ოდნავ შევავსოთ ინფორმაცია წილადების გაყოფის შესახებ.

როდესაც 6-ს ვყოფთ 3/5-ზე, ვაკეთებთ შემდეგს:

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ გამოთქმას და შეადარეთ მოცემულს: .

თუ გამოთქმას ცალ-ცალკე ავიღებთ, წინასთან კავშირის გარეშე, მაშინ შეუძლებელია ამოხსნათ კითხვა, საიდან გაჩნდა: 6-ის 3/5-ზე გაყოფით თუ 6-ის 5/3-ზე გამრავლებიდან. ორივე შემთხვევაში ერთი და იგივე ხდება. ამიტომ შეგვიძლია ვთქვათ რომ ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფა შეიძლება შეიცვალოს დივიდენდის გამყოფის შებრუნებულზე გამრავლებით.

ქვემოთ მოყვანილი მაგალითები სრულად ადასტურებს ამ დასკვნას.

ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მეცნიერება, რომლის გამოყენებაც ჩანს ისეთ დისციპლინებში, როგორიცაა ქიმია, ფიზიკა და ბიოლოგიაც კი, არის მათემატიკა. ამ მეცნიერების შესწავლა საშუალებას გაძლევთ განავითაროთ გარკვეული გონებრივი თვისებები და გააუმჯობესოთ კონცენტრირების უნარი. ერთ-ერთი თემა, რომელიც განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს მათემატიკის კურსში, არის წილადების შეკრება და გამოკლება. ბევრ სტუდენტს უჭირს სწავლა. შესაძლოა, ჩვენი სტატია დაგეხმაროთ ამ თემის უკეთ გაგებაში.

როგორ გამოვაკლოთ წილადები, რომელთა მნიშვნელები ერთნაირია

წილადები არის იგივე რიცხვები, რომლითაც შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა ოპერაციები. მათი განსხვავება მთელი რიცხვებისგან მდგომარეობს მნიშვნელის არსებობაში. სწორედ ამიტომ, წილადებთან ოპერაციების შესრულებისას საჭიროა მათი ზოგიერთი მახასიათებლისა და წესის შესწავლა. უმარტივესი შემთხვევაა ჩვეულებრივი წილადების გამოკლება, რომელთა მნიშვნელები წარმოდგენილია როგორც ერთი და იგივე რიცხვი. ამ მოქმედების შესრულება არ იქნება რთული, თუ იცით მარტივი წესი:

• იმისთვის, რომ ერთ წილადს გამოვაკლოთ წამი, საჭიროა გამოკლებული წილადის მრიცხველი გამოვაკლოთ შემცირებული წილადის მრიცხველს. ამ რიცხვს სხვაობის მრიცხველში ვწერთ, ხოლო მნიშვნელს იგივე ვტოვებთ: k/m - b/m = (k-b)/m.

წილადების გამოკლების მაგალითები, რომელთა მნიშვნელები ერთნაირია

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

წილადი „7“-ის მრიცხველს გამოვაკლებთ წილად „3“-ის მრიცხველს, მივიღებთ „4“. ამ რიცხვს ვწერთ პასუხის მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში ვსვამთ იმავე რიცხვს, რაც იყო პირველი და მეორე წილადების მნიშვნელებში - ”19”.

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს კიდევ რამდენიმე მსგავს მაგალითს.

მოდით განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი, სადაც წილადები გამოკლებულია მსგავსი მნიშვნელებით:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

წილადის „29“-ის მრიცხველიდან მცირდება ყველა მომდევნო წილადის მრიცხველების რიგრიგობით გამოკლებით - „3“, „8“, „2“, „7“. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ შედეგს "9", რომელსაც ვწერთ პასუხის მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში ვწერთ რიცხვს, რომელიც არის ყველა ამ წილადის მნიშვნელებში - "47".

წილადების დამატება, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი

ჩვეულებრივი წილადების შეკრება და გამოკლება იგივე პრინციპით ხდება.

• იმისათვის, რომ დაამატოთ წილადები, რომელთა მნიშვნელები ერთნაირია, თქვენ უნდა დაამატოთ მრიცხველები. მიღებული რიცხვი არის ჯამის მრიცხველი, ხოლო მნიშვნელი იგივე დარჩება: k/m + b/m = (k + b)/m.

ვნახოთ, როგორ გამოიყურება ეს მაგალითის გამოყენებით:

1/4 + 2/4 = 3/4.

წილადის პირველი წევრის მრიცხველს - "1" - დაამატეთ წილადის მეორე წევრის მრიცხველი - "2". შედეგი - "3" - იწერება ჯამის მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება, რაც წილადებში - "4".

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადები და მათი გამოკლება

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ოპერაცია წილადებთან, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელი. როგორც ხედავთ, მარტივი წესების ცოდნა, ასეთი მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია. მაგრამ რა მოხდება, თუ დაგჭირდებათ ოპერაციის შესრულება წილადებით, რომლებსაც აქვთ სხვადასხვა მნიშვნელი? ბევრი საშუალო სკოლის მოსწავლე დაბნეულია ასეთი მაგალითებით. მაგრამ აქაც თუ იცით ამოხსნის პრინციპი, მაგალითები აღარ გაგიჭირდებათ. აქაც არის წესი, რომლის გარეშეც ასეთი წილადების ამოხსნა უბრალოდ შეუძლებელია.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის, ისინი უნდა შემცირდეს ერთსა და იმავე უმცირეს მნიშვნელამდე.



ჩვენ უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს.

წილადის თვისება

იმისთვის, რომ რამდენიმე წილადი ერთსა და იმავე მნიშვნელზე მივიყვანოთ, ამონახსნში უნდა გამოიყენოთ წილადის ძირითადი თვისება: მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთსა და იმავე რიცხვზე გაყოფის ან გამრავლების შემდეგ მიიღებთ მოცემულის ტოლ წილადს.

მაგალითად, წილადს 2/3 შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელები, როგორიცაა "6", "9", "12" და ა.შ., ანუ მას შეიძლება ჰქონდეს ნებისმიერი რიცხვის ფორმა, რომელიც არის "3"-ის ნამრავლი. მას შემდეგ რაც გავამრავლებთ მრიცხველს და მნიშვნელს „2“-ზე, მივიღებთ წილადს 4/6. მას შემდეგ რაც გავამრავლებთ საწყისი წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს „3“-ზე, მივიღებთ 6/9-ს, ხოლო თუ მსგავს ოპერაციას შევასრულებთ რიცხვით „4“ მივიღებთ 8/12-ს. ერთი თანასწორობა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

როგორ გადავიყვანოთ მრავალი წილადი ერთსა და იმავე მნიშვნელზე

მოდით შევხედოთ როგორ შევამციროთ რამდენიმე წილადი ერთსა და იმავე მნიშვნელზე. მაგალითად, ავიღოთ ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენები წილადები. ჯერ უნდა დაადგინოთ რომელი რიცხვი შეიძლება გახდეს ყველა მათგანის მნიშვნელი. საქმეების გასაადვილებლად, მოდით, არსებული მნიშვნელების ფაქტორიზირება მოვახდინოთ.

წილადის 1/2 და წილადის 2/3 მნიშვნელის ფაქტორიზაცია შეუძლებელია. 7/9 მნიშვნელს აქვს ორი ფაქტორი 7/9 = 7/(3 x 3), წილადის მნიშვნელი 5/6 = 5/(2 x 3). ახლა ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ რომელი ფაქტორები იქნება ყველაზე პატარა ამ ოთხივე წილადისთვის. ვინაიდან პირველ წილადს მნიშვნელში აქვს რიცხვი „2“, ეს ნიშნავს, რომ ის უნდა იყოს ყველა მნიშვნელში; 7/9 წილადში არის ორი სამეული, რაც ნიშნავს, რომ ორივე მათგანი ასევე უნდა იყოს მნიშვნელში. ზემოაღნიშნულის გათვალისწინებით ვადგენთ, რომ მნიშვნელი შედგება სამი ფაქტორისაგან: 3, 2, 3 და უდრის 3 x 2 x 3 = 18-ს.



განვიხილოთ პირველი წილადი - 1/2. მის მნიშვნელში არის "2", მაგრამ არ არის ერთი "3" ციფრი, მაგრამ უნდა იყოს ორი. ამისათვის ვამრავლებთ მნიშვნელს ორ სამჯერ, მაგრამ, წილადის თვისების მიხედვით, მრიცხველი უნდა გავამრავლოთ ორ სამჯერ:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

იგივე მოქმედებებს ვასრულებთ დარჩენილი წილადებით.

• 2/3 - ერთი სამი და ერთი ორი აკლია მნიშვნელში:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ან 7/(3 x 3) - მნიშვნელს აკლია ორი:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ან 5/(2 x 3) - მნიშვნელს აკლია სამი:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

ყველა ერთად ასე გამოიყურება:



როგორ გამოვაკლოთ და დავამატოთ წილადები, რომლებსაც აქვთ სხვადასხვა მნიშვნელი

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად ან გამოკლების მიზნით, ისინი უნდა შემცირდეს ერთსა და იმავე მნიშვნელზე და შემდეგ გამოიყენონ ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლების წესები, რომლებიც უკვე განვიხილეთ.

მოდით შევხედოთ ამას, როგორც მაგალითი: 4/18 - 3/15.

18 და 15 რიცხვების ჯერადის პოვნა:

• რიცხვი 18 შედგება 3 x 2 x 3.
• რიცხვი 15 შედგება 5 x 3-ისგან.
• საერთო ჯერადი იქნება შემდეგი ფაქტორები: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

მნიშვნელის აღმოჩენის შემდეგ აუცილებელია გამოვთვალოთ ის ფაქტორი, რომელიც განსხვავებული იქნება თითოეული წილადისთვის, ანუ რიცხვი, რომლითაც საჭირო იქნება არა მხოლოდ მნიშვნელის, არამედ მრიცხველის გამრავლებაც. ამისათვის ჩვენ მიერ ნაპოვნი რიცხვი (საერთო ჯერადი) გავყოთ იმ წილადის მნიშვნელზე, რომლისთვისაც საჭიროა დამატებითი ფაქტორების დადგენა.

• 90 გაყოფილი 15-ზე. შედეგად მიღებული რიცხვი "6" იქნება მამრავლი 3/15-ისთვის.
• 90 გაყოფილი 18-ზე. შედეგად მიღებული რიცხვი "5" იქნება მამრავლი 4/18-ისთვის.

ჩვენი ამოხსნის შემდეგი ეტაპი არის თითოეული წილადის შემცირება მნიშვნელამდე "90".

ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ იმაზე, თუ როგორ კეთდება ეს. ვნახოთ, როგორ წერია ეს მაგალითში:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

თუ წილადებს აქვთ მცირე რიცხვები, მაშინ შეგიძლიათ განსაზღვროთ საერთო მნიშვნელი, როგორც ეს მოცემულია ქვემოთ მოცემულ სურათზე.



იგივე ეხება მათ, ვისაც განსხვავებული მნიშვნელი აქვს.

გამოკლება და მთელი ნაწილების მქონე

ჩვენ უკვე დეტალურად განვიხილეთ წილადების გამოკლება და მათი შეკრება. მაგრამ როგორ გამოვაკლოთ თუ წილადს აქვს მთელი რიცხვი? კიდევ ერთხელ გამოვიყენოთ რამდენიმე წესი:

• გადააქციეთ ყველა წილადი, რომელსაც აქვს მთელი რიცხვი არასწორად. მარტივი სიტყვებით, ამოიღეთ მთელი ნაწილი. ამისათვის გაამრავლეთ მთელი ნაწილის რაოდენობა წილადის მნიშვნელზე და მიღებული ნამრავლი დაამატეთ მრიცხველს. რიცხვი, რომელიც გამოდის ამ მოქმედებების შემდეგ, არის არასწორი წილადის მრიცხველი. მნიშვნელი უცვლელი რჩება.
• თუ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ისინი უნდა დაიკლოთ ერთსა და იმავე მნიშვნელზე.
• შეასრულეთ შეკრება ან გამოკლება იგივე მნიშვნელებით.
• არასწორი წილადის მიღებისას აირჩიეთ მთელი ნაწილი.



არსებობს კიდევ ერთი გზა, რომლითაც შეგიძლიათ დაამატოთ და გამოკლოთ წილადები მთელი ნაწილებით. ამისათვის მოქმედებები ცალ-ცალკე სრულდება მთლიანი ნაწილებით, ხოლო მოქმედებები წილადებთან ცალკე და შედეგები ერთად ჩაიწერება.



მოცემული მაგალითი შედგება წილადებისგან, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელი. იმ შემთხვევაში, როდესაც მნიშვნელები განსხვავებულია, ისინი უნდა მიიყვანონ იმავე მნიშვნელობამდე და შემდეგ შეასრულონ მოქმედებები, როგორც ნაჩვენებია მაგალითში.

წილადების გამოკლება მთელი რიცხვებიდან

წილადებთან მოქმედების სხვა სახეობაა ის შემთხვევა, როცა წილადს უნდა გამოვაკლოთ.ერთი შეხედვით ასეთი მაგალითი ძნელად ამოსახსნელი ჩანს. თუმცა, აქ ყველაფერი საკმაოდ მარტივია. მის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ მთელი რიცხვი წილადად და იგივე მნიშვნელით, რაც გამოკლებულ წილადშია. შემდეგი, ჩვენ ვასრულებთ გამოკლების მსგავს გამოკლებას იდენტური მნიშვნელებით. მაგალითში ასე გამოიყურება:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

ამ სტატიაში წარმოდგენილი წილადების გამოკლება (მე-6 კლასი) არის უფრო რთული მაგალითების ამოხსნის საფუძველი, რომლებიც განიხილება შემდგომ კლასებში. ამ თემის ცოდნა შემდგომში გამოიყენება ფუნქციების, წარმოებულების და ა.შ. აქედან გამომდინარე, ძალიან მნიშვნელოვანია ზემოთ განხილული წილადების მოქმედებების გაგება და გაგება.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების წესები ძალიან მარტივია.

მოდით შევხედოთ ეტაპობრივად სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების წესებს:

1. იპოვეთ მნიშვნელების LCM (უმცირესი საერთო ჯერადი). შედეგად მიღებული LCM იქნება წილადების საერთო მნიშვნელი;

2. წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელამდე;

3. საერთო მნიშვნელზე შემცირებული წილადების დამატება.

მარტივი მაგალითის გამოყენებით ვისწავლით როგორ გამოვიყენოთ სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების წესები.

მაგალითი

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების მაგალითი.

დაამატეთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით:

1	+	5
6		12

ჩვენ გადავწყვეტთ ეტაპობრივად.

1. იპოვეთ მნიშვნელების LCM (უმცირესი საერთო ჯერადი).

რიცხვი 12 იყოფა 6-ზე.

აქედან ვასკვნით, რომ 12 არის 6 და 12 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

პასუხი: 6 და 12 რიცხვების რიცხვია 12:

LCM(6, 12) = 12

შედეგად მიღებული LCM იქნება ორი წილადის საერთო მნიშვნელი 1/6 და 5/12.

2. წილადების შემცირება საერთო მნიშვნელამდე.

ჩვენს მაგალითში საჭიროა მხოლოდ პირველი წილადის შემცირება 12-ის საერთო მნიშვნელამდე, რადგან მეორე წილადს უკვე აქვს მნიშვნელი 12.

12-ის საერთო მნიშვნელი გავყოთ პირველი წილადის მნიშვნელზე:

2-ს აქვს დამატებითი მულტიპლიკატორი.

გავამრავლოთ პირველი წილადის (1/6) მრიცხველი და მნიშვნელი დამატებით 2-ზე.

თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა მოქმედებები წილადებით, მაგალითად, წილადების დამატება. წილადების დამატება შეიძლება დაიყოს რამდენიმე ტიპად. წილადების დამატების თითოეულ ტიპს აქვს თავისი წესები და მოქმედებების ალგორითმი. მოდით შევხედოთ თითოეული ტიპის დამატებას დეტალურად.

მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატება.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ უნდა დავამატოთ წილადები საერთო მნიშვნელით.

ტურისტები ლაშქრობდნენ A წერტილიდან E წერტილამდე. პირველ დღეს ფეხით გაიარეს A წერტილიდან B ან \(\frac(1)(5)\) მთელი ბილიკი. მეორე დღეს B წერტილიდან D-მდე ან \(\frac(2)(5)\) მთელი გზა გაიარეს. რა მანძილი გაიარეს მოგზაურობის დასაწყისიდან D წერტილამდე?

A წერტილიდან D წერტილამდე მანძილის დასადგენად, თქვენ უნდა დაამატოთ წილადები \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატება ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა დაამატოთ ამ წილადების მრიცხველები, მაგრამ მნიშვნელი იგივე დარჩება.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

პირდაპირი ფორმით, იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების ჯამი ასე გამოიყურება:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

პასუხი: ტურისტებმა ფეხით გაიარეს \(\frac(3)(5)\) მთელი გზა.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

თქვენ უნდა დაამატოთ ორი წილადი \(\frac(3)(4)\) და \(\frac(2)(7)\).

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად ჯერ უნდა იპოვოთდა შემდეგ გამოიყენეთ მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატების წესი.

4 და 7 მნიშვნელებისთვის საერთო მნიშვნელი იქნება რიცხვი 28. პირველი წილადი \(\frac(3)(4)\) უნდა გამრავლდეს 7-ზე. მეორე წილადი \(\frac(2)(7)\ ) უნდა გამრავლდეს 4-ზე.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (7) + 2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (4))(4 \ ჯერ \ფერი (წითელი) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

პირდაპირი ფორმით ვიღებთ შემდეგ ფორმულას:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \ჯერ d + c \ჯერ b)(b \ჯერ d)\)

შერეული რიცხვების ან შერეული წილადების დამატება.

დამატება ხდება დამატების კანონის მიხედვით.

შერეულ წილადებს ვამატებთ მთელ ნაწილებს მთელ ნაწილებთან და წილადებს წილადებთან.

თუ შერეული რიცხვების წილად ნაწილებს აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელები, მაშინ ვამატებთ მრიცხველებს, მაგრამ მნიშვნელი იგივე რჩება.

დავუმატოთ შერეული რიცხვები \(3\frac(6)(11)\) და \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(წითელი) (3) + \color(ლურჯი) (\frac(6)(11))) + ( \color(წითელი) (1) + \color(ლურჯი) (\frac(3)(11))) = (\color(წითელი) (3) + \color(წითელი) (1)) + (\color( ლურჯი) (\frac(6)(11)) + \color(ლურჯი) (\frac(3)(11))) = \color(წითელი)(4) + (\color(ლურჯი) (\frac(6) + 3)(11))) = \ფერი(წითელი)(4) + \ფერი(ლურჯი) (\frac(9)(11)) = \ფერი(წითელი)(4) \ფერი(ლურჯი) (\frac (9)(11))\)

თუ შერეული რიცხვების წილად ნაწილებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, მაშინ ვპოულობთ საერთო მნიშვნელს.

შევასრულოთ შერეული რიცხვების შეკრება \(7\frac(1)(8)\) და \(2\frac(1)(6)\).

მნიშვნელი განსხვავებულია, ამიტომ უნდა ვიპოვოთ საერთო მნიშვნელი, ის უდრის 24-ს. გავამრავლოთ პირველი წილადი \(7\frac(1)(8)\) დამატებით 3-ზე, ხოლო მეორე წილადი \( 2\frac(1)(6)\) 4-ით.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \ჯერ \ფერი (წითელი) (3))(8 \ჯერ \ფერი (წითელი) (3) ) = 2\frac(1\ჯერ \ფერი(წითელი) (4))(6\ჯერ \ფერი(წითელი) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

დაკავშირებული კითხვები:
როგორ დავამატოთ წილადები?
პასუხი: ჯერ უნდა გადაწყვიტოთ რა ტიპის გამოხატულებაა ეს: წილადებს აქვთ იგივე მნიშვნელი, განსხვავებული მნიშვნელი ან შერეული წილადები. გამოხატვის ტიპებიდან გამომდინარე, ჩვენ მივდივართ ამოხსნის ალგორითმზე.

როგორ ამოხსნათ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით?
პასუხი: თქვენ უნდა იპოვოთ საერთო მნიშვნელი და შემდეგ დაიცვათ იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების წესი.

როგორ ამოხსნათ შერეული წილადები?
პასუხი: ვამატებთ მთელ ნაწილებს მთელი რიცხვებით და წილადი ნაწილებს წილადებით.

მაგალითი #1:
შეიძლება თუ არა ორის ჯამით გამოვიდეს სათანადო წილადი? არასწორი წილადი? მიეცით მაგალითები.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

წილადი \(\frac(5)(7)\) არის სწორი წილადი, ეს არის ორი სწორი წილადის ჯამის შედეგი \(\frac(2)(7)\) და \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \ჯერ 9 + 8 \ჯერ 5)(5 \ჯერ 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

წილადი \(\frac(58)(45)\) არის არასწორი წილადი, ეს არის შესაბამისი წილადების ჯამის შედეგი \(\frac(2)(5)\) და \(\frac(8) (9)\).

პასუხი: ორივე კითხვაზე პასუხი არის დიახ.

მაგალითი #2:
დაამატეთ წილადები: ა) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) ბ) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

ა) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

ბ) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \ჯერ \ფერი(წითელი) (3))(3 \ჯერ \ფერი(წითელი) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

მაგალითი #3:
ჩაწერეთ შერეული წილადი ნატურალური რიცხვისა და სწორი წილადის ჯამის სახით: ა) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

ა) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

ბ) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

მაგალითი #4:
გამოთვალეთ ჯამი: ა) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) ბ) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) გ) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

ა) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

ბ) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)

გ) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\ჯერ 3)(5\ჯერ 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

დავალება #1:
ლანჩზე ვჭამეთ \(\frac(8)(11)\) ტორტიდან, საღამოს კი ვახშამზე ვჭამეთ \(\frac(3)(11)\). როგორ ფიქრობთ, ნამცხვარი მთლიანად შეჭამეს თუ არა?

გამოსავალი:
წილადის მნიშვნელი არის 11, ეს მიუთითებს რამდენ ნაწილად იყო დაყოფილი ნამცხვარი. ლანჩზე ვჭამეთ 8 ცალი ნამცხვარი 11-დან. ვახშამზე ვჭამეთ 3 ცალი ნამცხვარი 11-დან. დავამატოთ 8 + 3 = 11, ვჭამეთ ტორტის ნაჭრები 11-დან, ანუ მთლიანი ნამცხვარი.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

პასუხი: მთელი ნამცხვარი შეჭამეს.

შემდეგი მოქმედება, რომელიც შეიძლება შესრულდეს ჩვეულებრივი წილადებით, არის გამოკლება. ამ მასალაში განვიხილავთ, თუ როგორ სწორად გამოვთვალოთ სხვაობა მსგავსი და განსხვავებული მნიშვნელების მქონე წილადებს შორის, როგორ გამოვაკლოთ წილადი ნატურალურ რიცხვს და პირიქით. ყველა მაგალითი ილუსტრირებული იქნება პრობლემებით. წინასწარ განვმარტოთ, რომ ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ შემთხვევებს, როდესაც წილადთა სხვაობა დადებით რიცხვს იძლევა.

Yandex.RTB R-A-339285-1

როგორ მოვძებნოთ სხვაობა მსგავსი მნიშვნელის მქონე წილადებს შორის

დავიწყოთ მაშინვე ნათელი მაგალითით: ვთქვათ, გვაქვს ვაშლი, რომელიც რვა ნაწილად იყო დაყოფილი. თეფშზე დავტოვოთ ხუთი ნაწილი და ავიღოთ ორი. ეს მოქმედება შეიძლება დაიწეროს ასე:

შედეგად, გვრჩება 3 მერვედი, ვინაიდან 5 − 2 = 3. გამოდის, რომ 5 8 - 2 8 = 3 8.

ამ მარტივი მაგალითით ჩვენ ზუსტად დავინახეთ, თუ როგორ მუშაობს გამოკლების წესი იმ წილადებზე, რომელთა მნიშვნელები ერთნაირია. ჩამოვაყალიბოთ.

განმარტება 1

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადებს შორის სხვაობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ მეორის მრიცხველი ერთის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი იგივე. ეს წესი შეიძლება დაიწეროს როგორც b - c b = a - c b.

ამ ფორმულას მომავალში გამოვიყენებთ.

ავიღოთ კონკრეტული მაგალითები.

მაგალითი 1

გამოვაკლოთ საერთო წილადი 17 15 წილადს 24 15.

გამოსავალი

ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ წილადებს აქვთ იგივე მნიშვნელები. ასე რომ, ყველაფერი რაც უნდა გავაკეთოთ არის 24-ს გამოვაკლოთ 17. ვიღებთ 7-ს და ვუმატებთ მას მნიშვნელს, მივიღებთ 7 15-ს.

ჩვენი გამოთვლები შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ შეამოკლოთ რთული წილადი ან აირჩიოთ მთელი ნაწილი არასწორი წილადიდან, რათა დათვლა უფრო მოსახერხებელი იყოს.

მაგალითი 2

იპოვეთ განსხვავება 37 12 - 15 12.

გამოსავალი

გამოვიყენოთ ზემოთ აღწერილი ფორმულა და გამოვთვალოთ: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

ადვილი შესამჩნევია, რომ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გაიყოს 2-ზე (ამაზე ადრე უკვე ვისაუბრეთ, როცა გაყოფის ნიშნები გამოვიკვლიეთ). პასუხის შემოკლებით მივიღებთ 11 6-ს. ეს არის არასწორი წილადი, საიდანაც გამოვარჩევთ მთელ ნაწილს: 11 6 = 1 5 6.

როგორ მოვძებნოთ წილადების სხვაობა სხვადასხვა მნიშვნელით

ეს მათემატიკური ოპერაცია შეიძლება შემცირდეს იმაზე, რაც ზემოთ უკვე აღვწერეთ. ამისათვის ჩვენ უბრალოდ ვამცირებთ საჭირო წილადებს იმავე მნიშვნელზე. ჩამოვაყალიბოთ განმარტება:

განმარტება 2

იმ წილადებს შორის სხვაობის საპოვნელად, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, თქვენ უნდა შეამციროთ ისინი ერთსა და იმავე მნიშვნელზე და იპოვოთ სხვაობა მრიცხველებს შორის.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ კეთდება ეს.

მაგალითი 3

გამოვაკლოთ წილადი 1 15 2 9-ს.

გამოსავალი

მნიშვნელები განსხვავებულია და თქვენ უნდა შეამციროთ ისინი უმცირეს საერთო მნიშვნელობამდე. ამ შემთხვევაში, LCM არის 45. პირველ წილადს დამატებითი კოეფიციენტი სჭირდება 5, ხოლო მეორე - 3.

მოდით გამოვთვალოთ: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

ჩვენ გვაქვს ორი წილადი ერთი და იგივე მნიშვნელით და ახლა ჩვენ შეგვიძლია ადვილად ვიპოვოთ მათი განსხვავება ზემოთ აღწერილი ალგორითმის გამოყენებით: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

ამოხსნის მოკლე შეჯამება ასე გამოიყურება: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.

ნუ უგულებელყოფთ შედეგის შემცირებას ან მისგან მთლიანი ნაწილის გამოყოფას, საჭიროების შემთხვევაში. ამ მაგალითში ჩვენ არ გვჭირდება ამის გაკეთება.

მაგალითი 4

იპოვეთ განსხვავება 19 9 - 7 36.

გამოსავალი

შევამციროთ პირობითში მითითებული წილადები ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელზე 36 და მივიღოთ შესაბამისად 76 9 და 7 36.

ჩვენ ვიანგარიშებთ პასუხს: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

შედეგი შეიძლება შემცირდეს 3-ით და მიიღოთ 23 12. მრიცხველი აღემატება მნიშვნელს, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია შევარჩიოთ მთელი ნაწილი. საბოლოო პასუხი არის 1 11 12.

მთელი ამოხსნის მოკლე შეჯამება არის 19 9 - 7 36 = 1 11 12.

როგორ გამოვაკლოთ ნატურალური რიცხვი საერთო წილადს

ეს მოქმედება ასევე შეიძლება ადვილად შემცირდეს ჩვეულებრივი წილადების მარტივ გამოკლებამდე. ეს შეიძლება გაკეთდეს ნატურალური რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენით. მაგალითით ვაჩვენოთ.

მაგალითი 5

იპოვეთ განსხვავება 83 21 – 3 .

გამოსავალი

3 იგივეა, რაც 3 1. შემდეგ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ასე: 83 21 - 3 = 20 21.

თუ პირობა მოითხოვს არასწორ წილადს მთელი რიცხვის გამოკლებას, უფრო მოსახერხებელია მისგან მთელი რიცხვის გამოყოფა შერეული რიცხვის სახით ჩაწერით. მაშინ წინა მაგალითი შეიძლება სხვაგვარად გადაწყდეს.

83 21 წილადიდან მთელი ნაწილის გამოყოფისას მიიღებთ 83 21 = 3 20 21.

ახლა უბრალოდ გამოვაკლოთ 3: 3 20 21 - 3 = 20 21.

როგორ გამოვაკლოთ წილადი ნატურალურ რიცხვს

ეს მოქმედება წინას მსგავსად კეთდება: ნატურალურ რიცხვს ვწერთ წილადის სახით, ორივეს მივყავართ ერთ მნიშვნელთან და ვპოულობთ განსხვავებას. მოდი ეს მაგალითით ავხსნათ.

მაგალითი 6

იპოვეთ განსხვავება: 7 - 5 3 .

გამოსავალი

7 წილად გავხადოთ 7 1. ვაკეთებთ გამოკლებას და გარდაქმნით საბოლოო შედეგს, გამოვყოფთ მისგან მთელ ნაწილს: 7 - 5 3 = 5 1 3.

გამოთვლების გაკეთების კიდევ ერთი გზა არსებობს. მას აქვს გარკვეული უპირატესობები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმ შემთხვევებში, როდესაც ამოცანაში წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები დიდი რიცხვია.

განმარტება 3

თუ წილადი, რომელიც უნდა გამოვაკლოთ, სწორია, მაშინ ნატურალური რიცხვი, რომელსაც ვაკლებთ, უნდა იყოს წარმოდგენილი, როგორც ორი რიცხვის ჯამი, რომელთაგან ერთი უდრის 1-ს. ამის შემდეგ თქვენ უნდა გამოაკლოთ სასურველი წილადი ერთიანობას და მიიღოთ პასუხი.

მაგალითი 7

გამოთვალეთ სხვაობა 1 065 - 13 62.

გამოსავალი

გამოკლებული წილადი სწორი წილადია, რადგან მისი მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია. ამიტომ, ჩვენ უნდა გამოვაკლოთ ერთი 1065-ს და გამოვაკლოთ სასურველი წილადი: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ პასუხი. გამოკლების თვისებების გამოყენებით, მიღებული გამოხატულება შეიძლება დაიწეროს როგორც 1064 + 1 - 13 62. გამოვთვალოთ სხვაობა ფრჩხილებში. ამისათვის წარმოვიდგინოთ ერთეული, როგორც წილადი 1 1.

გამოდის, რომ 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62.

ახლა გავიხსენოთ 1064 და ჩამოვაყალიბოთ პასუხი: 1064 49 62.

ჩვენ ვიყენებთ ძველ მეთოდს იმის დასამტკიცებლად, რომ ის ნაკლებად მოსახერხებელია. ეს არის გამოთვლები, რომლებსაც ჩვენ გამოვიტანდით:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064

პასუხი იგივეა, მაგრამ გამოთვლები აშკარად უფრო რთულია.

ჩვენ შევხედეთ შემთხვევას, როდესაც უნდა გამოვაკლოთ სათანადო წილადი. თუ ის არასწორია, ვცვლით შერეული რიცხვით და ვაკლებთ ნაცნობი წესების მიხედვით.

მაგალითი 8

გამოთვალეთ სხვაობა 644 - 73 5.

გამოსავალი

მეორე წილადი არის არასათანადო წილადი და მისგან მთელი ნაწილი უნდა იყოს გამოყოფილი.

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ წინა მაგალითის მსგავსად: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

გამოკლების თვისებები წილადებთან მუშაობისას

ნატურალური რიცხვების გამოკლების თვისებები ასევე ეხება ჩვეულებრივი წილადების გამოკლების შემთხვევებს. მოდით შევხედოთ როგორ გამოვიყენოთ ისინი მაგალითების ამოხსნისას.

მაგალითი 9

იპოვეთ განსხვავება 24 4 - 3 2 - 5 6.

გამოსავალი

ჩვენ უკვე მოვაგვარეთ მსგავსი მაგალითები, როცა ვუყურებდით რიცხვიდან ჯამის გამოკლებას, ამიტომ მივყვებით ცნობილ ალგორითმს. ჯერ გამოვთვალოთ სხვაობა 25 4 - 3 2 და შემდეგ გამოვაკლოთ ბოლო წილადი:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

მოდით გადავცვალოთ პასუხი მისგან მთლიანი ნაწილის გამოყოფით. შედეგი - 3 11 12.

მთლიანი გადაწყვეტის მოკლე მიმოხილვა:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

თუ გამონათქვამი შეიცავს წილადებსაც და ნატურალურ რიცხვებსაც, გამოთვლისას რეკომენდებულია მათი ტიპების მიხედვით დაჯგუფება.

მაგალითი 10

იპოვეთ განსხვავება 98 + 17 20 - 5 + 3 5.

გამოსავალი

გამოკლებისა და შეკრების ძირითადი თვისებების ცოდნით შეგვიძლია დავაჯგუფოთ რიცხვები შემდეგნაირად: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

მოდით დავასრულოთ გამოთვლები: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter