პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა. ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა

არაწრფივი განტოლებები ორი უცნობით

განმარტება 1. დაე იყოს A რიცხვების წყვილთა ნაკრები (x; წ) . ისინი ამბობენ, რომ A სიმრავლეა მოცემული რიცხვითი ფუნქციაზ ორი ცვლადიდან x და y , თუ მითითებულია წესი, რომლის დახმარებით A სიმრავლის რიცხვების თითოეული წყვილი ასოცირდება გარკვეულ რიცხვთან.

ორი x და y ცვლადის z რიცხვითი ფუნქციის მითითება ხშირად ხდება აღნიშნავენᲘსე:

სად ვ (x , წ) - ნებისმიერი ფუნქცია, გარდა ფუნქციისა

ვ (x , წ) = ცული+მით+გ ,

სადაც a, b, c მოცემულია რიცხვები.

განმარტება 3. განტოლების ამოხსნა (2)დარეკეთ წყვილ ნომრებზე ( x; წ), რომლის ფორმულა (2) არის ჭეშმარიტი ტოლობა.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება

ვინაიდან ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი არაუარყოფითია, ფორმულიდან (4) გამომდინარეობს, რომ უცნობი x და y აკმაყოფილებენ განტოლებათა სისტემას.

რომლის ამონახსნი არის რიცხვების წყვილი (6; 3).

პასუხი: (6; 3)

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება

მაშასადამე, (6) განტოლების ამონახსნი არის რიცხვების წყვილის უსასრულო რაოდენობატიპი

(1 + წ ; წ) ,

სადაც y არის ნებისმიერი რიცხვი.

ხაზოვანი

განმარტება 4. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

დარეკეთ წყვილ ნომრებზე ( x; წ) , ამ სისტემის თითოეულ განტოლებაში მათი ჩანაცვლებისას მიიღება სწორი ტოლობა.

ორი განტოლების სისტემას, რომელთაგან ერთი წრფივია, აქვთ ფორმა

გ(x , წ)

მაგალითი 4. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გამოსავალი . მოდით გამოვხატოთ უცნობი y სისტემის პირველი განტოლებიდან (7) უცნობი x-ის მეშვეობით და მიღებული გამოხატულება ჩავანაცვლოთ სისტემის მეორე განტოლებით:

განტოლების ამოხსნა

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

აქედან გამომდინარე,

წ 1 = 8 - x 1 = 9 ,
წ 2 = 8 - x 2 = - 1 .

ორი განტოლების სისტემა, რომელთაგან ერთი ერთგვაროვანია

ორი განტოლების სისტემას, რომელთაგან ერთი ერთგვაროვანია, აქვთ ფორმა

სადაც a, b, c მოცემულია რიცხვები და გ(x , წ) – ორი ცვლადის x და y ფუნქცია.

მაგალითი 6. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გამოსავალი . ამოხსნათ ერთგვაროვანი განტოლება

3x 2 + 2xy - წ 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10წ 2 = 0 ,

მისი განხილვა, როგორც კვადრატული განტოლება უცნობი x-ის მიმართ:

.

Შემთხვევაში x = - 5წ, სისტემის მეორე განტოლებიდან (11) ვიღებთ განტოლებას

5წ 2 = - 20 ,

რომელსაც ფესვები არ აქვს.

Შემთხვევაში

სისტემის მეორე განტოლებიდან (11) ვიღებთ განტოლებას

,

რომლის ფესვები რიცხვებია წ 1 = 3 , წ 2 = - 3 . თითოეული ამ მნიშვნელობისთვის y შესაბამისი მნიშვნელობის x ვიპოვით, ვიღებთ სისტემის ორ ამონახსანს: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

პასუხი: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

სხვა ტიპის განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მაგალითები

მაგალითი 8. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა (MIPT)

გამოსავალი . მოდით შემოვიტანოთ ახალი უცნობი u და v, რომლებიც გამოიხატება x და y მეშვეობით ფორმულების მიხედვით:

იმისათვის, რომ სისტემა (12) გადავიწეროთ ახალი უცნობების მიხედვით, ჯერ გამოვხატავთ უცნობებს x და y-ს u და v. სისტემიდან (13) გამომდინარეობს, რომ

მოდით ამოხსნათ წრფივი სისტემა (14) ამ სისტემის მეორე განტოლებიდან x ცვლადის ამოღებით. ამ მიზნით, ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ გარდაქმნებს სისტემაზე (14):

• სისტემის პირველ განტოლებას უცვლელად დავტოვებთ;
• მეორე განტოლებას გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას და ვცვლით სისტემის მეორე განტოლებას მიღებული სხვაობით.

შედეგად, სისტემა (14) გარდაიქმნება ეკვივალენტურ სისტემად

საიდანაც ვპოულობთ

(13) და (15) ფორმულების გამოყენებით, ჩვენ გადავიწერთ თავდაპირველ სისტემას (12) ფორმაში

სისტემის პირველი განტოლება (16) წრფივია, ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ უცნობი u უცნობი v-ის მეშვეობით და ჩავანაცვლოთ ეს გამონათქვამი სისტემის მეორე განტოლებით.

ამ სტატიაში განვიხილავთ ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდს.

ჰომოგენურ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს აქვთ იგივე სტრუქტურა, რაც ნებისმიერი სხვა ტიპის ერთგვაროვან განტოლებებს. შეგახსენებთ მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნის მეთოდს:

განვიხილოთ ფორმის ერთგვაროვანი განტოლებები

ერთგვაროვანი განტოლებების განმასხვავებელი ნიშნები:

ა) ყველა მონომს აქვს იგივე ხარისხი,

ბ) თავისუფალი ვადა არის ნული,

გ) განტოლება შეიცავს ხარისხებს ორი განსხვავებული ფუძით.

ჰომოგენური განტოლებები წყდება მსგავსი ალგორითმის გამოყენებით.

ამ ტიპის განტოლების ამოსახსნელად, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს (შეიძლება გაიყოს ან ზე)

ყურადღება! განტოლების მარჯვენა და მარცხენა გვერდების გაყოფისას გამოსახულებით, რომელიც შეიცავს უცნობის, შეიძლება დაკარგოთ ფესვები. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია შევამოწმოთ, არის თუ არა იმ გამონათქვამის ფესვები, რომლითაც ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს, არის თუ არა თავდაპირველი განტოლების ფესვები.

თუ ასეა, მაშინ ჩვენ ვწერთ ამ ფესვს, რომ მოგვიანებით არ დავივიწყოთ და შემდეგ ვყოფთ გამონათქვამს ამაზე.

ზოგადად, პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ ნებისმიერი განტოლების ამოხსნისას, რომელსაც აქვს ნული მარჯვენა მხარეს, არის განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორირება ნებისმიერი ხელმისაწვდომი გზით. და შემდეგ გაათანაბრეთ თითოეული ფაქტორი ნულთან. ამ შემთხვევაში ფესვებს აუცილებლად არ დავკარგავთ.

ასე რომ, ყურადღებით გაყავით განტოლების მარცხენა მხარე გამოსახულებად ტერმინით. ჩვენ ვიღებთ:

შევამციროთ მეორე და მესამე წილადების მრიცხველი და მნიშვნელი:

წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას:

ჩვენ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას:

მოდით ამოვხსნათ კვადრატული განტოლება, ვიპოვოთ მნიშვნელობები და შემდეგ დავუბრუნდეთ საწყის უცნობს.

ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ რამდენიმე მნიშვნელოვანი რამ:

1. მოჩვენებითი ტერმინი შეიძლება გარდაიქმნას სინუსის და კოსინუსის კვადრატში ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით:

2. ორმაგი არგუმენტის სინუსი და კოსინუსი მეორე ხარისხის მონომებია - ორმაგი არგუმენტის სინუსი ადვილად გარდაიქმნება სინუსისა და კოსინუსის ნამრავლში, ხოლო ორმაგი არგუმენტის კოსინუსი სინუსის ან კოსინუსის კვადრატში:

მოდით შევხედოთ ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის რამდენიმე მაგალითს.

1 . მოდით ამოხსნათ განტოლება:

ეს არის პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების კლასიკური მაგალითი: თითოეული მონომის ხარისხი უდრის ერთს, კვეთის წევრი უდრის ნულს.

განტოლების ორივე მხარეს გაყოფამდე უნდა შეამოწმოთ, რომ განტოლების ფესვები არ არის თავდაპირველი განტოლების ფესვები. ვამოწმებთ: if , მაშინ title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

მოდით გავყოთ განტოლების ორივე მხარე.

ჩვენ ვიღებთ:

, სად

, სად

პასუხი: , სად

2. მოდით ამოხსნათ განტოლება:

ეს არის მეორე ხარისხის ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლების მაგალითი. ჩვენ გვახსოვს, რომ თუ ჩვენ შეგვიძლია განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორი, მაშინ მიზანშეწონილია ამის გაკეთება. ამ განტოლებაში შეგვიძლია ჩავსვათ. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

პირველი განტოლების ამოხსნა: , სად

მეორე განტოლება არის პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება. მის ამოსახსნელად, გაყავით განტოლების ორივე მხარე. ჩვენ ვიღებთ:

პასუხი: სად,

3. მოდი ამოვხსნათ განტოლება:

იმისათვის, რომ ეს განტოლება „გახდეს“ ერთგვაროვანი, ჩვენ ვაქცევთ მას ნამრავლად და წარმოვადგენთ რიცხვს 3, როგორც სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი:

გადავიტანოთ ყველა ტერმინი მარცხნივ, გავხსნათ ფრჩხილები და წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები. ჩვენ ვიღებთ:

მოდით გავამრავლოთ მარცხენა მხარე და დავადგინოთ თითოეული ფაქტორი ნულის ტოლი:

პასუხი: სად,

4 . მოდი ამოვხსნათ განტოლება:

ჩვენ ვხედავთ, რისი ამოღება შეგვიძლია ფრჩხილებიდან. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

მოდით გავათანაბროთ თითოეული ფაქტორი ნულთან:

პირველი განტოლების ამოხსნა:

პოპულაციის მეორე განტოლება არის მეორე ხარისხის კლასიკური ერთგვაროვანი განტოლება. განტოლების ფესვები არ არის საწყისი განტოლების ფესვები, ამიტომ განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ:

პირველი განტოლების ამოხსნა:

მეორე განტოლების ამოხსნა.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• აუცილებლობის შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

დღეს ჩვენ შევისწავლით ერთგვაროვან ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს. პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ ტერმინოლოგიას: რა არის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება. მას აქვს შემდეგი მახასიათებლები:

1. ის უნდა შეიცავდეს რამდენიმე ტერმინს;
2. ყველა ტერმინს უნდა ჰქონდეს იგივე ხარისხი;
3. ყველა ფუნქციას, რომელიც შედის ერთგვაროვან ტრიგონომეტრიულ იდენტობაში, აუცილებლად უნდა ჰქონდეს იგივე არგუმენტი.

ამოხსნის ალგორითმი

მოდით შევარჩიოთ პირობები

და თუ ყველაფერი ნათელია პირველი პუნქტით, მაშინ ღირს მეორეზე უფრო დეტალურად საუბარი. რას ნიშნავს ტერმინების იგივე ხარისხი? მოდით შევხედოთ პირველ პრობლემას:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

პირველი წევრი ამ განტოლებაში არის 3 cosx 3\cos x. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ აქ მხოლოდ ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციაა - cosx\cos x - და აქ სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები არ არის წარმოდგენილი, ამიტომ ამ ტერმინის ხარისხი არის 1. იგივეა მეორე - 5sinx 5\sin x - აქ მხოლოდ სინუსია, ანუ ამ ტერმინის ხარისხიც ერთის ტოლია. ასე რომ, ჩვენ წინაშე გვაქვს იდენტობა, რომელიც შედგება ორი ელემენტისგან, რომელთაგან თითოეული შეიცავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას და მხოლოდ ერთს. ეს არის პირველი ხარისხის განტოლება.

გადავიდეთ მეორე გამოთქმაზე:

4ცოდვა2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

ამ კონსტრუქციის პირველი წევრია 4ცოდვა2 x 4((\sin )^(2))x.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი გამოსავალი:

ცოდვა2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პირველი ტერმინი შეიცავს ორ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას, ანუ მისი ხარისხი არის ორი. მოდით გაუმკლავდეთ მეორე ელემენტს - sin2x\ sin 2x. გავიხსენოთ ეს ფორმულა - ორმაგი კუთხის ფორმულა:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

და ისევ, მიღებულ ფორმულაში გვაქვს ორი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია - სინუსი და კოსინუსი. ამრიგად, ამ სამშენებლო ტერმინის სიმძლავრის ღირებულება ასევე უდრის ორს.

გადავიდეთ მესამე ელემენტზე - 3. საშუალო სკოლის მათემატიკის კურსიდან გვახსოვს, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გამრავლდეს 1-ზე, ამიტომ ვწერთ:

˜ 3=3⋅1

და ერთეული შეიძლება დაიწეროს ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით შემდეგი ფორმით:

1=ცოდვა2 x⋅ cos2 x

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x

აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია გადავიწეროთ 3 შემდეგნაირად:

3=3(ცოდვა2 x⋅ cos2 x)=3ცოდვა2 x+3 cos2 x

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x \მარჯვნივ)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

ამრიგად, ჩვენი ტერმინი 3 იყოფა ორ ელემენტად, რომელთაგან თითოეული ერთგვაროვანია და აქვს მეორე ხარისხი. პირველ წევრში სინუსი ორჯერ ჩნდება, მეორეში კოსინუსი ასევე ორჯერ. ამრიგად, 3 ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ტერმინი, რომლის სიმძლავრე ორია.

იგივეა მესამე გამონათქვამი:

ცოდვა3 x+ ცოდვა2 xcosx=2 cos3 x

მოდით შევხედოთ. პირველი ტერმინი არის ცოდვა3 x((\sin )^(3))x არის მესამე ხარისხის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია. მეორე ელემენტი - ცოდვა2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

ცოდვა2 ((\sin )^(2)) არის ბმული, რომლის სიმძლავრე არის ორი გამრავლებული cosx\cos x არის პირველი ტერმინი. საერთო ჯამში, მესამე ტერმინს ასევე აქვს სიმძლავრის მნიშვნელობა სამი. და ბოლოს, მარჯვნივ არის კიდევ ერთი ბმული - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x არის მესამე ხარისხის ელემენტი. ამრიგად, ჩვენ წინაშე გვაქვს მესამე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება.

ჩვენ გვაქვს ჩაწერილი სამი სხვადასხვა ხარისხის იდენტობა. კიდევ ერთხელ მიაქციეთ ყურადღება მეორე გამონათქვამს. თავდაპირველ ჩანაწერში ერთ-ერთ წევრს აქვს კამათი 2x 2x. ჩვენ იძულებულნი ვართ ამ არგუმენტს თავი დავაღწიოთ მისი გარდაქმნით ორმაგი კუთხის სინუს ფორმულის გამოყენებით, რადგან ჩვენს იდენტობაში შემავალ ყველა ფუნქციას აუცილებლად უნდა ჰქონდეს ერთი და იგივე არგუმენტი. და ეს არის მოთხოვნა ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებისთვის.

ვიყენებთ მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტობის ფორმულას და ვწერთ საბოლოო ამონახსნებს

ჩვენ დავალაგეთ პირობები, გადავიდეთ გადაწყვეტაზე. სიმძლავრის მაჩვენებლის მიუხედავად, ამ ტიპის ტოლობების ამოხსნა ყოველთვის ხორციელდება ორ ეტაპად:

1) დაამტკიცეთ ეს

cosx≠0

\cos x\ne 0. ამისათვის საკმარისია გავიხსენოთ მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტობის ფორმულა. (ცოდვა2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \მარჯვნივ) და ჩაანაცვლეთ ამ ფორმულაში cosx=0\cos x=0. მივიღებთ შემდეგ გამოთქმას:

ცოდვა2 x=1sinx=±1

\ დასაწყისი (გასწორება)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end (გასწორება)

მიღებული მნიშვნელობების ჩანაცვლება, ანუ ნაცვლად cosx\cos x არის ნული და ამის ნაცვლად სინქსი\sin x — 1 ან -1, თავდაპირველ გამოსახულებაში მივიღებთ არასწორ რიცხვით ტოლობას. ეს არის გამართლება იმისა

cosx≠0

2) მეორე ნაბიჯი ლოგიკურად გამომდინარეობს პირველიდან. Იმიტომ რომ

cosx≠0

\cos x\ne 0, ჩვენ ვყოფთ სტრუქტურის ორივე მხარეს cosნ x((\cos )^(n))x, სადაც ნ n არის თვით ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების სიმძლავრის მაჩვენებელი. რას გვაძლევს ეს:

\[\ დასაწყისი(მასივი)(·(35)(l))

სინქსიcosx= tgxcosxcosx=1

\ დასაწყისი(გასწორება)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\ბოლო(გასწორება) \\() \\ \ბოლო(მასივი)\]

ამის წყალობით, ჩვენი რთული საწყისი კონსტრუქცია მცირდება განტოლებამდე ნ n-ხარისხი ტანგენტის მიმართ, რომლის ამონახსნები ადვილად შეიძლება დაიწეროს ცვლადის ცვლილების გამოყენებით. ეს არის მთელი ალგორითმი. ვნახოთ, როგორ მუშაობს პრაქტიკაში.

ჩვენ ვაგვარებთ რეალურ პრობლემებს

დავალება No1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

ჩვენ უკვე გავარკვიეთ, რომ ეს არის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება ერთის ტოლი სიმძლავრის მაჩვენებლით. ამიტომ, პირველ რიგში, მოდით გავარკვიოთ cosx≠0\cos x\ne 0. დავუშვათ პირიქით, რომ

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\ to \sin x=\pm 1.

ჩვენ ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას ჩვენს გამონათქვამში, ვიღებთ:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\ დასაწყისი (გასწორება)& 3\cdot 0+5\cdot \მარცხნივ(\pm 1 \მარჯვნივ)=0 \\& \pm 5=0 \\\ბოლო (გასწორება)

ამის საფუძველზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ cosx≠0\cos x\ne 0. ჩვენი განტოლება გავყოთ cosx\cos x რადგან მთელ ჩვენს გამოსახულებას აქვს სიმძლავრის მნიშვნელობა ერთი. ჩვენ ვიღებთ:

3(cosxcosx) +5(სინქსიcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\ დასაწყისი(გასწორება)& 3\ მარცხნივ(\frac(\cos x)(\cos x) \მარჯვნივ)+5\მარცხნივ(\frac(\sin x)(\cos x) \მარჯვნივ)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end (გასწორება)

ეს არ არის ცხრილის მნიშვნელობა, ამიტომ პასუხი მოიცავს arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\Z-ში

Იმიტომ რომ arctg arctg arctg არის კენტი ფუნქცია, შეგვიძლია არგუმენტიდან ამოიღოთ „მინუსი“ და დავდოთ arctg-ის წინ. ჩვენ ვიღებთ საბოლოო პასუხს:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text()n,n\in Z

დავალება No2

4ცოდვა2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

როგორც გახსოვთ, სანამ მის ამოხსნას დაიწყებდეთ, გარკვეული ტრანსფორმაციები უნდა შეასრულოთ. ჩვენ ვახორციელებთ გარდაქმნებს:

4ცოდვა2 x+2sinxcosx−3 (ცოდვა2 x+ cos2 x)=0 4ცოდვა2 x+2sinxcosx−3 ცოდვა2 x−3 cos2 x=0ცოდვა2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0

\ დასაწყისი(გასწორება)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos)^(2 ))x \მარჯვნივ)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3(\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos)^(2)x=0 \\\ბოლო (გასწორება)

მივიღეთ სტრუქტურა, რომელიც შედგება სამი ელემენტისგან. პირველ ტერმინში ჩვენ ვხედავთ ცოდვა2 ((\sin )^(2)), ანუ მისი სიმძლავრის მნიშვნელობა არის ორი. მეორე ტერმინში ჩვენ ვხედავთ სინქსი\sin x და cosx\cos x - ისევ არის ორი ფუნქცია, ისინი მრავლდება, ამიტომ ჯამური ხარისხი ისევ ორია. მესამე ბმულზე ვხედავთ cos2 x((\cos )^(2))x - პირველი მნიშვნელობის მსგავსი.

ეს დავამტკიცოთ cosx=0\cos x=0 არ არის ამ კონსტრუქციის გამოსავალი. ამისათვის დავუშვათ პირიქით:

\[\ დასაწყისი(მასივი)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \მარჯვნივ)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\ბოლო (მასივი)\]

ჩვენ ეს დავამტკიცეთ cosx=0\cos x=0 არ შეიძლება იყოს გამოსავალი. გადავიდეთ მეორე საფეხურზე - გავყოთ მთელი ჩვენი გამოთქმა cos2 x((\cos )^(2))x. რატომ კვადრატში? რადგან ამ ერთგვაროვანი განტოლების სიმძლავრის მაჩვენებელი უდრის ორს:

ცოდვა2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 ტ გ2 x+2tgx−3=0

\ დასაწყისი(გასწორება)& \frac(((\sin )^(2))x)((\cos)^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((გ)^(2))x+2tgx-3=0 \\\ბოლო (გასწორება)

შესაძლებელია თუ არა ამ გამოთქმის ამოხსნა დისკრიმინანტის გამოყენებით? Რა თქმა უნდა შეგიძლიათ. მაგრამ მე ვთავაზობ გავიხსენოთ ვიეტას თეორემის საპირისპირო თეორემა და მივიღებთ, რომ ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ეს პოლინომი ორი მარტივი მრავალწევრის სახით, კერძოდ:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\ დასაწყისი(გასწორება)& \მარცხნივ(tgx+3 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(tgx-1 \მარჯვნივ)=0 \\& tgx=-3\ x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(გასწორება)

ბევრი სტუდენტი სვამს კითხვას, ღირს თუ არა იდენტობების ამონახსნების თითოეული ჯგუფისთვის ცალკე კოეფიციენტების დაწერა, თუ არ შეწუხება და ყველგან ერთი და იგივეს დაწერა. პირადად მე მიმაჩნია, რომ უკეთესი და სანდოა სხვადასხვა ასოების გამოყენება, რათა მათემატიკაში დამატებითი ტესტებით სერიოზულ ტექნიკურ უნივერსიტეტში რომ შეხვალ, გამომცდელებმა პასუხის ბრალი არ დაამტკიცონ.

დავალება No3

ცოდვა3 x+ ცოდვა2 xcosx=2 cos3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ ეს არის მესამე ხარისხის ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლება, არ არის საჭირო სპეციალური ფორმულები და ჩვენგან მხოლოდ ტერმინის გადატანაა საჭირო. 2cos3 x 2((\cos )^(3))x მარცხნივ. გადავიწეროთ:

ცოდვა3 x+ ცოდვა2 xcosx−2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

ჩვენ ვხედავთ, რომ თითოეული ელემენტი შეიცავს სამ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას, ამიტომ ამ განტოლებას აქვს სიმძლავრის მნიშვნელობა სამი. მოვაგვაროთ. პირველ რიგში ეს უნდა დავამტკიცოთ cosx=0\cos x=0 არ არის ფესვი:

\[\ დასაწყისი(მასივი)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\ბოლო(მასივი)\]

მოდით ჩავანაცვლოთ ეს რიცხვები ჩვენს თავდაპირველ კონსტრუქციაში:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\დაწყება(გასწორება)& ((\მარცხნივ(\pm 1 \მარჯვნივ))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end (გასწორება)

აქედან გამომდინარე, cosx=0\cos x=0 არ არის გამოსავალი. ჩვენ ეს დავამტკიცეთ cosx≠0\cos x\ne 0. ახლა, როცა ეს დავამტკიცეთ, მოდით გავყოთ ჩვენი საწყისი განტოლება cos3 x((\cos )^(3))x. რატომ კუბში? რადგან ჩვენ ახლახან დავამტკიცეთ, რომ ჩვენს თავდაპირველ განტოლებას აქვს მესამე ძალა:

ცოდვა3 xcos3 x+ცოდვა2 xcosxcos3 x−2=0 ტ გ3 x+t გ2 x−2=0

\ დასაწყისი(გასწორება)& \frac(((\sin )^(3))x)((\cos)^(3))x)+\frac((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos)^(3))x)-2=0 \\& t((გ)^(3))x+t((გ)^(2))x-2=0 \\\ბოლო (გასწორება)

მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი:

tgx=t

მოდით გადავიწეროთ კონსტრუქცია:

ტ3 +ტ2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

ჩვენ გვაქვს კუბური განტოლება. როგორ მოვაგვაროთ? თავდაპირველად, როდესაც ახლახან ვაწყობდი ამ ვიდეო გაკვეთილს, ვგეგმავდი პირველად მესაუბრა მრავალწევრების ფაქტორინგზე და სხვა ტექნიკაზე. მაგრამ ამ შემთხვევაში ყველაფერი გაცილებით მარტივია. შეხედეთ ჩვენს მოცემულ იდენტობას, უმაღლესი ხარისხის ტერმინით 1. გარდა ამისა, ყველა კოეფიციენტი არის მთელი რიცხვი. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ დასკვნა ბეზუტის თეორემიდან, რომელიც ამბობს, რომ ყველა ფესვი არის -2 რიცხვის გამყოფი, ანუ თავისუფალი წევრი.

ჩნდება კითხვა: რაზე იყოფა -2? ვინაიდან 2 არის მარტივი რიცხვი, ბევრი ვარიანტი არ არის. ეს შეიძლება იყოს შემდეგი რიცხვები: 1; 2; -1; -2. ნეგატიური ფესვები მაშინვე ქრება. რატომ? რადგან ორივე მათგანი აბსოლუტური მნიშვნელობით 0-ზე მეტია, ამიტომ ტ3 ((t)^(3)) მოდულით მეტი იქნება ვიდრე ტ2 ((t)^(2)). და რადგან კუბი კენტი ფუნქციაა, ამიტომ კუბში რიცხვი უარყოფითი იქნება და ტ2 ((t)^(2)) - დადებითი და მთელი ეს კონსტრუქცია, თან t=−1 t=-1 და t=−2 t=-2, არ იქნება 0-ზე მეტი. გამოვაკლოთ მას -2 და მივიღოთ რიცხვი, რომელიც, რა თქმა უნდა, 0-ზე ნაკლებია. დარჩეს მხოლოდ 1 და 2 ჩანაცვლება.

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\text( )1+1-2=0\ to 0=0

ჩვენ მივიღეთ სწორი რიცხვითი ტოლობა. აქედან გამომდინარე, t=1 t=1 არის ფესვი.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\ to 8+4-2=0\ to 10\ne 0

t=2 t=2 არ არის ფესვი.

დასკვნისა და იგივე ბეზუტის თეორემის მიხედვით, ნებისმიერი მრავალწევრი, რომლის ფესვი არის x0 ((x)_(0)), წარმოადგინეთ იგი სახით:

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

ჩვენს შემთხვევაში, როლში x x მოქმედებს როგორც ცვლადი ტტ და როლში x0 ((x)_(0)) არის ფესვი 1-ის ტოლი. მივიღებთ:

ტ3 +ტ2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

როგორ მოვძებნოთ მრავალწევრი პ (ტ) P\მარცხენა(t\მარჯვნივ)? ცხადია, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

P(t)= ტ3 +ტ2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

ჩავანაცვლოთ:

ტ3 +ტ2 +0⋅t−2t−1=ტ2 +2ტ+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

ამრიგად, ჩვენი თავდაპირველი მრავალწევრი იყოფა ნაშთის გარეშე. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გადავიწეროთ ჩვენი თავდაპირველი თანასწორობა, როგორც:

(t−1)( ტ2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულია. ჩვენ უკვე განვიხილეთ პირველი მულტიპლიკატორი. მოდით შევხედოთ მეორეს:

ტ2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

გამოცდილმა სტუდენტებმა ალბათ უკვე გააცნობიერეს, რომ ამ კონსტრუქციას ფესვები არ აქვს, მაგრამ მაინც გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

დისკრიმინანტი 0-ზე ნაკლებია, ამიტომ გამოხატვას არ აქვს ფესვები. საერთო ჯამში, უზარმაზარი მშენებლობა შემცირდა ჩვეულებრივ თანასწორობამდე:

\[\ დასაწყისი(მასივი)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text()k,k\in Z \\\end(მაივი)\]

დასასრულს, მინდა დავამატო რამდენიმე კომენტარი ბოლო დავალებაზე:

1. პირობა ყოველთვის დაკმაყოფილდება? cosx≠0\cos x\ne 0 და ღირს საერთოდ ამ შემოწმების ჩატარება? რა თქმა უნდა, ყოველთვის არა. იმ შემთხვევებში, როდესაც cosx=0\cos x=0 არის ჩვენი ტოლობის ამონახსნი, ის უნდა ამოვიღოთ ფრჩხილებში, შემდეგ კი სრული ერთგვაროვანი განტოლება დარჩება ფრჩხილებში.
2. რა არის მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფა. მართლაც, სკოლების უმეტესობა ამას არ სწავლობს და როდესაც მოსწავლეები პირველად ხედავენ ასეთ დიზაინს, ისინი განიცდიან მცირე შოკს. მაგრამ, სინამდვილეში, ეს არის მარტივი და ლამაზი ტექნიკა, რომელიც მნიშვნელოვნად უწყობს ხელს უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნას. რა თქმა უნდა, მას ცალკე ვიდეო ტუტორიალი დაეთმობა, რომელსაც უახლოეს მომავალში გამოვაქვეყნებ.

საკვანძო პუნქტები

ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები საყვარელი თემაა ყველა სახის ტესტში. მათი გადაჭრა შესაძლებელია ძალიან მარტივად - მხოლოდ ერთხელ ივარჯიშეთ. იმის გასაგებად, რაზე ვსაუბრობთ, შემოვიტანოთ ახალი განმარტება.

ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება არის ის, რომელშიც ყოველი არანულოვანი წევრი შედგება ტრიგონომეტრიული ფაქტორების იგივე რაოდენობისგან. ეს შეიძლება იყოს სინუსები, კოსინუსები ან მათი კომბინაციები - ამოხსნის მეთოდი ყოველთვის ერთი და იგივეა.

ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლების ხარისხი არის ტრიგონომეტრიული ფაქტორების რაოდენობა, რომლებიც შედის არანულოვან წევრებში:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - 1-ლი ხარისხის ვინაობა;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - მე-2 ხარისხი;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - მე-3 ხარისხი;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - და ეს განტოლება არ არის ერთგვაროვანი, რადგან მარჯვნივ არის ერთეული - არანულოვანი წევრი, რომელშიც არ არის ტრიგონომეტრიული ფაქტორები;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 ასევე არაერთგვაროვანი განტოლებაა. ელემენტი sin2x\sin 2x არის მეორე ხარისხის (რადგან ის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x არის პირველი და ტერმინი 3 ზოგადად ნულია, რადგან მასში არ არის სინუსი ან კოსინუსი.

გადაწყვეტის ზოგადი სქემა

გადაწყვეტის სქემა ყოველთვის იგივეა:

მოდი ვიჩვენოთ, რომ cosx=0\cos x=0. მერე sinx=±1\sin x=\pm 1 - ეს გამომდინარეობს მთავარი იდენტობიდან. შევცვალოთ სინქსი\sin x და cosx\cos x შევიდა თავდაპირველ გამოსახულებაში და თუ შედეგი სისულელეა (მაგალითად, გამოხატულება 5=0 5=0), გადადით მეორე პუნქტზე;

ყველაფერს ვყოფთ კოსინუსის სიმძლავრეზე: cosx, cos2x, cos3x... - დამოკიდებულია განტოლების სიმძლავრის მნიშვნელობაზე. ჩვენ ვიღებთ ჩვეულებრივ ტოლობას ტანგენტებთან, რომელიც შეიძლება უსაფრთხოდ ამოხსნას tgx=t ჩანაცვლების შემდეგ.

tgx=t აღმოჩენილი ფესვები იქნება ორიგინალური გამოხატვის პასუხი.

ამ ვიდეოგაკვეთილით მოსწავლეები შეძლებენ ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების თემის შესწავლას.

მოდით მივცეთ განმარტებები:

1) პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება ჰგავს sin x + b cos x = 0;

2) მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება ჰგავს sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

განვიხილოთ განტოლება a sin x + b cos x = 0. თუ a უდრის ნულს, მაშინ განტოლება გამოიყურება b cos x = 0; თუ b უდრის ნულს, მაშინ განტოლება ჰგავს sin x = 0. ეს ის განტოლებებია, რომლებიც ჩვენ უმარტივესები ვუწოდეთ და წინა თემებში ადრე გადავწყვიტეთ.

ახლა განიხილეთ ვარიანტი, როდესაც a და b არ არის ნულის ტოლი. განტოლების ნაწილების x კოსინუსზე გაყოფით ვახორციელებთ ტრანსფორმაციას. მივიღებთ tg x + b = 0, მაშინ tg x ტოლი იქნება - b/a.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ განტოლება a sin mx + b cos mx = 0 არის პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება. განტოლების ამოსახსნელად მისი ნაწილები გაყავით cos mx-ზე.

ვნახოთ მაგალითი 1. ამოხსენით 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. ჯერ განტოლების ნაწილები გავყოთ კოსინუსზე (x/2). იმის ცოდნა, რომ კოსინუსზე გაყოფილი სინუსი ტანგენტია, მივიღებთ 7 tan (x/2) - 5 = 0. გამონათქვამის გარდაქმნით ვხვდებით, რომ რუნის (x/2) მნიშვნელობა უდრის 5/7-ს. ამ განტოლების ამონახსნის ფორმა აქვს x = arctan a + πn, ჩვენს შემთხვევაში x = 2 actan (5/7) + 2πn.

განვიხილოთ განტოლება a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) ნულის ტოლობით, განტოლება გამოიყურება b sin x cos x + c cos 2 x = 0. გარდაქმნით მივიღებთ გამონათქვამს cos x (b sin x + c cos x) = 0 და ვაგრძელებთ ორის ამოხსნას. განტოლებები. განტოლების ნაწილების x კოსინუსზე გაყოფის შემდეგ მივიღებთ b tg x + c = 0, რაც ნიშნავს tg x = - c/b. იმის ცოდნა, რომ x = არქტანი a + πn, მაშინ გამოსავალი ამ შემთხვევაში იქნება x = არქტანი (- с/b) + πn.

2) თუ a არ არის ნულის ტოლი, მაშინ განტოლების ნაწილების კოსინუსზე კვადრატზე გაყოფით მივიღებთ ტანგენსის შემცველ განტოლებას, რომელიც იქნება კვადრატული. ამ განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია ახალი ცვლადის შემოღებით.

3) როცა c უდრის ნულს, განტოლება მიიღებს a sin 2 x + b sin x cos x = 0. ამ განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია ფრჩხილიდან x-ის ამოღებით.

1. ნახეთ, შეიცავს თუ არა განტოლება ცოდვას 2 x;

2. თუ განტოლება შეიცავს ტერმინს a sin 2 x, მაშინ განტოლება შეიძლება ამოიხსნას ორივე მხარის კოსინუს კვადრატზე გაყოფით და შემდეგ ახალი ცვლადის შემოღებით.

3. თუ განტოლება არ შეიცავს sin 2 x, მაშინ განტოლება შეიძლება ამოხსნას cosx-ის ფრჩხილებიდან ამოღებით.

განვიხილოთ მაგალითი 2. ავიღოთ კოსინუსი ფრჩხილებიდან და მივიღოთ ორი განტოლება. პირველი განტოლების ფესვი არის x = π/2 + πn. მეორე განტოლების ამოსახსნელად ამ განტოლების ნაწილებს ვყოფთ x კოსინუსზე და გარდაქმნით ვიღებთ x = π/3 + πn. პასუხი: x = π/2 + πn და x = π/3 + πn.

ავხსნათ მაგალითი 3, 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 ფორმის განტოლება და ვიპოვოთ მისი ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება სეგმენტს - π-დან π-მდე. იმიტომ რომ ეს განტოლება არაერთგვაროვანია, აუცილებელია მისი ერთგვაროვან ფორმამდე მიყვანა. ფორმულის გამოყენებით sin 2 x + cos 2 x = 1, მივიღებთ განტოლებას sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. განტოლების ყველა ნაწილის გაყოფით cos 2 x-ზე მივიღებთ tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 ახალი ცვლადის შეყვანის გამოყენებით z = tan 2x, ჩვენ ვხსნით განტოლებას, რომლის ფესვი არის z = 1. შემდეგ tan 2x = 1, რაც გულისხმობს, რომ x = π/8 + (πn)/2. . იმიტომ რომ პრობლემის პირობების მიხედვით, თქვენ უნდა იპოვოთ ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება სეგმენტს - π-დან π-მდე, ამოხსნას ექნება ფორმა - π.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

ტექსტის გაშიფვრა:

ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები

დღეს ჩვენ გადავხედავთ, თუ როგორ არის ამოხსნილი "ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები". ეს არის სპეციალური ტიპის განტოლებები.

მოდით გავეცნოთ განმარტებას.

ფორმის განტოლება და sin x+ბcosx = 0 (და სინუს x პლუს be კოსინუსი x უდრის ნულს) ეწოდება პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება;

ფორმის განტოლება და ცოდვა 2 x+ბცოდვა xcosx+scos 2 x= 0 (და სინუს კვადრატი x პლუს იყოს sine x კოსინუსი x პლუს se კოსინუსი კვადრატი x უდრის ნულს) ეწოდება მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება.

თუ a=0, მაშინ განტოლება იღებს ფორმას ბcosx = 0.

თუ ბ = 0 , შემდეგ მივიღებთ და sin x=0.

ეს განტოლებები ელემენტარული ტრიგონომეტრიულია და მათი ამოხსნა განვიხილეთ წინა თემებში

განვიხილოთშემთხვევა, როდესაც ორივე კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი. გავყოთ განტოლების ორივე მხარე აცოდვაx+ ბcosx = 0 წევრი წევრად cosx.

ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება, რადგან x-ის კოსინუსი არ არის ნულოვანი. ბოლოს და ბოლოს, თუ cosx = 0 , შემდეგ განტოლება აცოდვაx+ ბcosx = 0 ფორმას მიიღებს აცოდვაx = 0 , ა≠ 0, შესაბამისად ცოდვაx = 0 . რაც შეუძლებელია, რადგან ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით ცოდვა 2 x+cos 2 x=1 .

განტოლების ორივე მხარის გაყოფა აცოდვაx+ ბcosx = 0 წევრი წევრად cosx, ვიღებთ: + =0

განვახორციელოთ ტრანსფორმაციები:

1. ვინაიდან = tg x, მაშინ =და tg x

2 შემცირება მიერ cosx, მაშინ

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ გამონათქვამს და tg x + b =0.

მოდით განვახორციელოთ ტრანსფორმაცია:

1. გადაიტანეთ b გამოხატვის მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით

და tg x =- ბ

2. დავაღწიოთ მამრავლს და განტოლების ორივე მხარის გაყოფა a-ზე

tan x= -.

დასკვნა: ფორმის განტოლება როგორცმx+ბcosmx = 0 (და sine em x პლუს be კოსინუსი em x უდრის ნულს) ასევე უწოდებენ პირველი ხარისხის ერთგვაროვან ტრიგონომეტრიულ განტოლებას. მის ამოსახსნელად გაყავით ორივე მხარე cosmx.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება 7 sin - 5 cos = 0 (შვიდი სინუსი x ორზე გამოკლებული ხუთი კოსინუსი x ორზე უდრის ნულს)

გამოსავალი. განტოლების წევრის ორივე მხარეს cos-ზე გავყოფთ, მივიღებთ

1. = 7 tan (რადგან სინუსსა და კოსინუსს თანაფარდობა არის ტანგენსი, მაშინ შვიდი სინუს x ორზე გაყოფილი კოსინუსზე x ორზე უდრის 7 tan x ორზე)

2. -5 = -5 (cos აბრევიატურა)

ამ გზით მივიღეთ განტოლება

7ტგ - 5 = 0, გადავცვალოთ გამონათქვამი, გადავიტანოთ მინუს ხუთი მარჯვენა მხარეს, ნიშნის შეცვლა.

განტოლება შევამცირეთ სახით tg t = a, სადაც t=, a =. და რადგან ამ განტოლებას აქვს გამოსავალი ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ა და ამ ხსნარებს აქვთ ფორმა

x = არქტანი a + πn, მაშინ ჩვენი განტოლების ამოხსნა ექნება ფორმა:

Arctg + πn, იპოვეთ x

x=2 არქტანი + 2πn.

პასუხი: x=2 არქტანი + 2πn.

გადავიდეთ მეორე ხარისხის ერთგვაროვან ტრიგონომეტრიულ განტოლებაზე

აsin 2 x+b sin x cos x +თანcos 2 x= 0.

განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა.

I. თუ a=0, მაშინ განტოლება იღებს ფორმას ბცოდვაxcosx+scos 2 x= 0.

ამოხსნისას ეშემდეგ ვიყენებთ განტოლებების ფაქტორილიზაციის მეთოდს. ამოვიღებთ cosxფრჩხილების მიღმა ვიღებთ: cosx(ბცოდვაx+scosx)= 0 . სად cosx= 0 ან

b sin x +თანcos x= 0.და ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ამოხსნათ ეს განტოლებები.

მოდით გავყოთ განტოლების წევრის ორივე მხარე cosх-ზე, მივიღებთ

1 (რადგან სინუსსა და კოსინუსს შეფარდება არის ტანგენსი).

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას: ბ tg x+c=0

განტოლება შევამცირეთ ფორმამდე tg t = a, სადაც t= x, a =. და რადგან ამ განტოლებას აქვს გამოსავალი ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ადა ამ ხსნარებს აქვთ ფორმა

x = არქტანი a + πn, მაშინ ჩვენი განტოლების ამონახსნი იქნება:

x = არქტანი + πn, .

II. თუ a≠0, შემდეგ განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ ტერმინების მიხედვით cos 2 x.

(მსგავსი ხერხით კამათი, როგორც პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების შემთხვევაში, კოსინუსი x ვერ გადადის ნულზე).

III. თუ c=0, მაშინ განტოლება იღებს ფორმას აცოდვა 2 x+ ბცოდვაxcosx= 0. ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას ფაქტორიზაციის მეთოდით (ჩვენ ამოვიღებთ ცოდვაxფრჩხილის მიღმა).

ეს ნიშნავს, რომ განტოლების ამოხსნისას აცოდვა 2 x+ ბცოდვაxcosx+scos 2 x= 0 შეგიძლიათ დაიცვას ალგორითმი:

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება sinxcosx - cos 2 x= 0 (sine x გამრავლებული კოსინუს x გამოკლებული ფესვი სამჯერ კოსინუსზე კვადრატში x უდრის ნულს).

გამოსავალი. მოდი ფაქტორიზაცია მოვახდინოთ (ფრჩხილებიდან ამოვაგდოთ cosx). ვიღებთ

cos x(sin x - cos x)= 0, ე.ი. cos x=0 ან sin x - cos x= 0.

პასუხი: x =+ πn, x= + πn.

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (სამი სინუსი კვადრატში ორი x გამოკლებული ორჯერ სინუსის ნამრავლი ორი x გამრავლებული კოსინუსი ორი x პლუს სამი კოსინუსი კვადრატში ორი x) და იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალი (- π;

გამოსავალი. ეს განტოლება არ არის ერთგვაროვანი, ასე რომ, მოდით გავაკეთოთ გარკვეული გარდაქმნები. ჩვენ ვცვლით რიცხვს 2, რომელიც შეიცავს განტოლების მარჯვენა მხარეს ნამრავლით 2 1

ვინაიდან მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტობით sin 2 x + cos 2 x =1, მაშინ

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = ფრჩხილების გახსნით მივიღებთ: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (ცოდვა 2 x + cos 2 x) =2 ცოდვა 2 x + 2 cos 2 x

ეს ნიშნავს, რომ განტოლება 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 მიიღებს ფორმას:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

მივიღეთ მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება. მოდით გამოვიყენოთ cos 2 2x-ზე ტერმინებით გაყოფის მეთოდი:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

შემოვიღოთ ახალი ცვლადი z= tan2x.

გვაქვს z 2 - 2 z + 1 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება. შეამჩნია გამრავლების შემოკლებული ფორმულა მარცხენა მხარეს - სხვაობის კვადრატი (), ვიღებთ (z - 1) 2 = 0, ე.ი. z = 1. დავუბრუნდეთ საპირისპირო ჩანაცვლებას:

განტოლება შევამცირეთ ფორმამდე tg t = a, სადაც t= 2x, a =1. და რადგან ამ განტოლებას აქვს გამოსავალი ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ადა ამ ხსნარებს აქვთ ფორმა

x = არქტანი x a + πn, მაშინ ჩვენი განტოლების ამონახსნი იქნება:

2х= არქტანი1 + πn,

x = + , (x უდრის pi-ის ჯამს რვაზე და pi en-ჯერ ორზე).

ჩვენ მხოლოდ უნდა ვიპოვოთ x-ის მნიშვნელობები, რომლებიც შეიცავს ინტერვალს

(- π; π), ე.ი. დააკმაყოფილეთ ორმაგი უტოლობა - π x π. იმიტომ რომ

x= +, შემდეგ - π + π. ამ უტოლობის ყველა ნაწილი გავყოთ π-ზე და გავამრავლოთ 8-ზე, მივიღებთ

გადაიტანეთ ერთი მარჯვნივ და მარცხნივ, შეცვალეთ ნიშანი მინუს ერთი

გავყოთ ოთხზე მივიღებთ,

მოხერხებულობისთვის მთელ ნაწილებს ვყოფთ წილადებად

-

ეს უტოლობა კმაყოფილდება შემდეგი მთელი რიცხვით n: -2, -1, 0, 1