ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ ალგებრული წილადების შემცირება. ჯერ გავარკვიოთ, რას ნიშნავს ტერმინი „ალგებრული წილადის შემცირება“ და გავარკვიოთ არის თუ არა ალგებრული წილადი ყოველთვის შემცირებადი. ქვემოთ წარმოგიდგენთ წესს, რომელიც ამ ტრანსფორმაციის განხორციელების საშუალებას იძლევა. და ბოლოს, განვიხილავთ ტიპიური მაგალითების გადაწყვეტილებებს, რომლებიც საშუალებას მოგვცემს გავიგოთ პროცესის ყველა სირთულე.

გვერდის ნავიგაცია.

რას ნიშნავს ალგებრული წილადის შემცირება?

სწავლისას ვისაუბრეთ მათ შემცირებაზე. მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორზე გაყოფა დავარქვით. მაგალითად, საერთო წილადი 30/54 შეიძლება შემცირდეს 6-ით (ანუ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ 6-ზე), რაც მიგვიყვანს წილადამდე 5/9-მდე.

ალგებრული წილადის შემცირებაში ვგულისხმობთ მსგავს მოქმედებას. ალგებრული წილადის შემცირება- ეს ნიშნავს მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფას საერთო ფაქტორზე. მაგრამ თუ ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი შეიძლება იყოს მხოლოდ რიცხვი, მაშინ ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი შეიძლება იყოს პოლინომი, კერძოდ, მონომი ან რიცხვი.

მაგალითად, ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს 3-ით, რაც იძლევა წილადს . ასევე შესაძლებელია x ცვლადთან შეკუმშვა, რის შედეგადაც გამოსახვა . თავდაპირველი ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს მონომამდე 3 x, ისევე როგორც ნებისმიერ მრავალწევრამდე x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y ან 3 x 2 +6 x y.

ალგებრული წილადის შემცირების საბოლოო მიზანი არის უფრო მარტივი ფორმის, საუკეთესო შემთხვევაში შეუქცევადი წილადის მიღება.

შეიძლება ნებისმიერი ალგებრული წილადის შემცირება?

ჩვენ ვიცით, რომ ჩვეულებრივი წილადები იყოფა . შეუქცევად წილადებს არ აქვთ საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში, გარდა ერთისა და ამიტომ მათი შემცირება შეუძლებელია.

ალგებრულ წილადებს შეიძლება ჰქონდეთ ან არ ჰქონდეთ საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში. თუ არსებობს საერთო ფაქტორები, შესაძლებელია ალგებრული წილადის შემცირება. თუ არ არსებობს საერთო ფაქტორები, მაშინ შეუძლებელია ალგებრული წილადის გამარტივება მისი შემცირებით.

ზოგადად, საკმაოდ რთულია ალგებრული წილადის გარეგნობიდან დადგენა შესაძლებელია თუ არა მისი შემცირება. რა თქმა უნდა, ზოგიერთ შემთხვევაში მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები აშკარაა. მაგალითად, აშკარად ჩანს, რომ ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვს საერთო კოეფიციენტი 3. ასევე ადვილი შესამჩნევია, რომ ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს x-ით, y-ით ან პირდაპირ x·y-ით. მაგრამ ბევრად უფრო ხშირად, ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორი დაუყოვნებლივ არ ჩანს და უფრო ხშირად ის უბრალოდ არ არსებობს. მაგალითად, შესაძლებელია წილადის შემცირება x−1-ით, მაგრამ ეს საერთო ფაქტორი აშკარად არ არის წარმოდგენილი აღნიშვნაში. და ალგებრული წილადი მისი შემცირება შეუძლებელია, რადგან მის მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო ფაქტორები.

ზოგადად, ალგებრული წილადის შემცირების საკითხი ძალიან რთულია. და ზოგჯერ უფრო ადვილია პრობლემის გადაჭრა ალგებრული წილადის თავდაპირველი ფორმით მუშაობის გზით, ვიდრე იმის გარკვევა, შეიძლება თუ არა ეს წილადის შემცირება ჯერ. მაგრამ ჯერ კიდევ არსებობს გარდაქმნები, რომლებიც ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელს ხდის, შედარებით მცირე ძალისხმევით, ვიპოვოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, ან დავასკვნათ, რომ საწყისი ალგებრული წილადი შეუქცევადია. ეს ინფორმაცია გამოქვეყნდება მომდევნო პუნქტში.

ალგებრული წილადების შემცირების წესი

წინა აბზაცებიდან მიღებული ინფორმაცია საშუალებას გაძლევთ ბუნებრივად აღიქვათ შემდეგი ალგებრული წილადების შემცირების წესი, რომელიც შედგება ორი ეტაპისგან:

• პირველ რიგში, გვხვდება საწყისი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები;
• თუ არსებობს, მაშინ შემცირება ხდება ამ ფაქტორებით.

დაზუსტებას საჭიროებს გამოცხადებული წესის მითითებული საფეხურები.

ყველაზე მოსახერხებელი გზა საერთოთა საპოვნელად არის მრავალწევრების გაანგარიშება ორიგინალური ალგებრული წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში. ამ შემთხვევაში მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები მაშინვე ხილული ხდება, ან ცხადი ხდება, რომ საერთო ფაქტორები არ არსებობს.

თუ არ არსებობს საერთო ფაქტორები, მაშინ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ალგებრული წილადი შეუქცევადია. თუ საერთო ფაქტორები იქნა ნაპოვნი, მაშინ მეორე ეტაპზე ისინი მცირდება. შედეგი არის უფრო მარტივი ფორმის ახალი ფრაქცია.

ალგებრული წილადების შემცირების წესი ემყარება ალგებრული წილადის ძირითად თვისებას, რომელიც გამოიხატება ტოლობით, სადაც a, b და c არის რამდენიმე მრავალწევრი, ხოლო b და c არ არის ნულოვანი. პირველ საფეხურზე თავდაპირველი ალგებრული წილადი მცირდება იმ ფორმამდე, საიდანაც ხილული ხდება საერთო ფაქტორი c, ხოლო მეორე საფეხურზე ხდება შემცირება - გადასვლა წილადზე.

მოდით გადავიდეთ მაგალითების ამოხსნაზე ამ წესის გამოყენებით. მათზე ჩვენ გავაანალიზებთ ყველა შესაძლო ნიუანსს, რომელიც წარმოიქმნება ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორებად დაყვანისას და შემდგომი შემცირებისას.

ტიპიური მაგალითები

პირველ რიგში, უნდა ვისაუბროთ ალგებრული წილადების შემცირებაზე, რომელთა მრიცხველი და მნიშვნელი ერთნაირია. ასეთი წილადები ერთნაირად უდრის მასში შემავალი ცვლადების მთელ ODZ-ს, მაგალითად,
და ასე შემდეგ.

ახლა ცუდი არ არის იმის გახსენება, თუ როგორ უნდა შევამციროთ ჩვეულებრივი წილადები - ბოლოს და ბოლოს, ისინი ალგებრული წილადების განსაკუთრებული შემთხვევაა. ნატურალური რიცხვები საერთო წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში, რის შემდეგაც საერთო ფაქტორები უქმდება (ასეთის არსებობის შემთხვევაში). Მაგალითად, . იდენტური ძირითადი ფაქტორების ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს სიმძლავრის სახით და გამოიყენოს შემოკლებისას. ამ შემთხვევაში გამოსავალი ასე გამოიყურება: , აქ მრიცხველი და მნიშვნელი გავყავით საერთო კოეფიციენტზე 2 2 3. ან, მეტი სიცხადისთვის, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებზე დაყრდნობით, გამოსავალი წარმოდგენილია ფორმით.

აბსოლუტურად მსგავსი პრინციპები გამოიყენება ალგებრული წილადების შესამცირებლად, რომელთა მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს მონომებს მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.

მაგალითი.

გააუქმეთ ალგებრული წილადი .

გამოსავალი.

თქვენ შეგიძლიათ წარმოადგინოთ ორიგინალური ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი, როგორც მარტივი ფაქტორების და ცვლადების ნამრავლი, შემდეგ კი განახორციელოთ შემცირება:

მაგრამ უფრო რაციონალურია გამოსავლის დაწერა გრადუსით გამოხატვის სახით:

პასუხი:

.

რაც შეეხება იმ ალგებრული წილადების შემცირებას, რომლებსაც აქვთ წილადი რიცხვითი კოეფიციენტები მრიცხველში და მნიშვნელში, შეგიძლიათ გააკეთოთ ორი რამ: ან გაყავით ეს წილადი კოეფიციენტები ცალ-ცალკე, ან ჯერ გაათავისუფლეთ წილადი კოეფიციენტები მრიცხველისა და მნიშვნელის რაიმე ბუნებრივ რიცხვზე გამრავლებით. ჩვენ ვისაუბრეთ სტატიაში ბოლო ტრანსფორმაციის შესახებ, რომელიც ალგებრულ წილადს ახალ მნიშვნელამდე მიჰყავს; ის შეიძლება განხორციელდეს ალგებრული წილადის ძირითადი თვისების გამო. მოდით გავიგოთ ეს მაგალითით.

მაგალითი.

შეასრულეთ წილადის შემცირება.

გამოსავალი.

თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი შემდეგნაირად: .

და შესაძლებელი იყო ჯერ წილადი კოეფიციენტებისგან თავის დაღწევა მრიცხველისა და მნიშვნელის ამ კოეფიციენტების მნიშვნელებზე გამრავლებით, ანუ LCM(5, 10)=10-ზე. ამ შემთხვევაში გვაქვს .

პასუხი:

.

შეგიძლიათ გადახვიდეთ ზოგადი ფორმის ალგებრულ წილადებზე, რომლებშიც მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შეიცავდეს როგორც რიცხვებს, ასევე მონომებს, ასევე მრავალწევრებს.

ასეთი წილადების შემცირებისას მთავარი პრობლემა ის არის, რომ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორი ყოველთვის არ ჩანს. უფრო მეტიც, ის ყოველთვის არ არსებობს. იმისათვის, რომ იპოვოთ საერთო კოეფიციენტი ან გადაამოწმოთ მისი არარსებობა, თქვენ უნდა შეაფასოთ ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი.

მაგალითი.

რაციონალური წილადის შემცირება .

გამოსავალი.

ამისათვის აკრიფეთ პოლინომები მრიცხველში და მნიშვნელში. დავიწყოთ ფრჩხილებიდან გამოყვანით: . ცხადია, ფრჩხილებში გამოსახულებები შეიძლება გარდაიქმნას გამოყენებით

მოდით გავიგოთ, რა არის წილადები, რატომ და როგორ შევამციროთ წილადები და მივცეთ წილადების შემცირების წესი და მისი გამოყენების მაგალითები.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რა არის "მცირე წილადები"

წილადის შემცირება ნიშნავს მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფას საერთო ფაქტორზე, რომელიც არის დადებითი და ერთისგან განსხვავებული.

ამ მოქმედების შედეგად მიიღება წილადი ახალი მრიცხველით და მნიშვნელით, ორიგინალური წილადის ტოლი.

მაგალითად, ავიღოთ საერთო წილადი 6 24 და შევამციროთ. მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. ამ მაგალითში, ჩვენ შევამცირეთ საწყისი წილადი 2-ით.

წილადების შემცირება შეუქცევად ფორმამდე

წინა მაგალითში ჩვენ შევამცირეთ წილადი 6 24 2-ით, შედეგად მივიღეთ წილადი 3 12. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს ფრაქცია შეიძლება კიდევ უფრო შემცირდეს. როგორც წესი, წილადების შემცირების მიზანია დასრულდეს შეუქცევადი წილადი. როგორ შევიყვანოთ წილადი შეუქცევად ფორმამდე?

ეს შეიძლება გაკეთდეს მრიცხველისა და მნიშვნელის შემცირებით მათი უდიდესი საერთო ფაქტორით (GCD). მაშინ, უდიდესი საერთო გამყოფის თვისებით, მრიცხველსა და მნიშვნელს ექნებათ ერთმანეთის მარტივი რიცხვები, ხოლო წილადი შეუქცევადი იქნება.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

წილადის შემცირება შეუქცევად ფორმამდე

წილადის შეუქცევად ფორმამდე დასაყვანად, თქვენ უნდა გაყოთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი მათ gcd-ზე.

დავუბრუნდეთ წილადს 6 24 პირველი მაგალითიდან და მივიყვანოთ მის შეუქცევად ფორმამდე. 6 და 24 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი არის 6. შევამციროთ წილადი:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

წილადების შემცირება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, რათა არ იმუშაოს დიდ რიცხვებთან. ზოგადად, მათემატიკაში არის გამოუთქმელი წესი: თუ რაიმე გამოთქმის გამარტივება შეგიძლია, მაშინ ეს უნდა გააკეთო. წილადის შემცირება ყველაზე ხშირად ნიშნავს მის შემცირებას შეუქცევად ფორმამდე და არა უბრალოდ შემცირებას მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო გამყოფით.

წილადების შემცირების წესი

წილადების შესამცირებლად, უბრალოდ გახსოვდეთ წესი, რომელიც შედგება ორი ნაბიჯისგან.

წილადების შემცირების წესი

წილადის შესამცირებლად გჭირდებათ:

1. იპოვეთ მრიცხველისა და მნიშვნელის gcd.
2. გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი მათ gcd-ზე.

მოდით შევხედოთ პრაქტიკულ მაგალითებს.

მაგალითი 1. შევამციროთ წილადი.

მოცემულია წილადი 182 195. დავამოკლოთ.

ვიპოვოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის gcd. ამისათვის ამ შემთხვევაში ყველაზე მოსახერხებელია ევკლიდეს ალგორითმის გამოყენება.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი 13-ზე. ჩვენ ვიღებთ:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

მზადაა. ჩვენ მივიღეთ შეუქცევადი წილადი, რომელიც უდრის თავდაპირველ წილადს.

სხვაგვარად როგორ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადები? ზოგიერთ შემთხვევაში, მოსახერხებელია მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორები მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ კი ყველა საერთო ფაქტორების ამოღება წილადის ზედა და ქვედა ნაწილებიდან.

მაგალითი 2. წილადის შემცირება

მოცემულია წილადი 360 2940. დავამოკლოთ.

ამისათვის წარმოიდგინეთ ორიგინალური წილადი სახით:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 2 3 5 7 7

მოვიშოროთ საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში, რის შედეგადაც:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

და ბოლოს, მოდით შევხედოთ წილადების შემცირების სხვა ხერხს. ეს არის ეგრეთ წოდებული თანმიმდევრული შემცირება. ამ მეთოდის გამოყენებით, შემცირება ხორციელდება რამდენიმე ეტაპად, რომელთაგან თითოეულში ფრაქცია მცირდება რაიმე აშკარა საერთო ფაქტორით.

მაგალითი 3. წილადის შემცირება

შევამციროთ წილადი 2000 4400.

მაშინვე ცხადი ხდება, რომ მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვს საერთო კოეფიციენტი 100. წილადს ვამცირებთ 100-ით და ვიღებთ:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

მიღებულ შედეგს კვლავ ვამცირებთ 2-ით და ვიღებთ შეუქცევად წილადს:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

იგი ეფუძნება მათ ძირითად თვისებას: თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა იმავე არანულოვანი მრავალწევრით, მაშინ მიიღება ტოლი წილადი.

თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ მულტიპლიკატორების შემცირება!

მრავალწევრების წევრების შემოკლება შეუძლებელია!

ალგებრული წილადის შესამცირებლად ჯერ მრიცხველსა და მნიშვნელში მყოფი მრავალწევრები უნდა გამრავლდეს.

მოდით შევხედოთ წილადების შემცირების მაგალითებს.

წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს მონომებს. ისინი წარმოადგენენ მუშაობა(რიცხვები, ცვლადები და მათი სიმძლავრეები), მამრავლებიშეგვიძლია შევამციროთ.

ჩვენ ვამცირებთ რიცხვებს მათი უდიდესი საერთო გამყოფით, ანუ უდიდესი რიცხვით, რომლითაც იყოფა თითოეული ეს რიცხვი. 24-ისთვის და 36-ისთვის ეს არის 12. შემცირების შემდეგ 24-დან რჩება 2 და 36-დან 3.

ჩვენ ვამცირებთ ხარისხებს ყველაზე დაბალი ინდექსის ხარისხით. წილადის შემცირება ნიშნავს მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფას ერთიდაიმავე გამყოფზე და გამოვაკლოთ მაჩვენებლები.

a² და a⁷ მცირდება a²-მდე. ამ შემთხვევაში ერთი რჩება a²-ის მრიცხველში (1-ს ვწერთ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც შემცირების შემდეგ სხვა ფაქტორები აღარ რჩება. 24-დან რჩება 2, ამიტომ არ ვწერთ a²-დან დარჩენილ 1-ს). a7-დან, შემცირების შემდეგ, რჩება a5.

b და b მცირდება b-ით, მიღებული ერთეულები არ იწერება.

c³º და c5 შემცირებულია c5-მდე. რაც რჩება c³º-დან არის c25, c5-დან არის ერთი (ჩვენ არ ვწერთ). ამრიგად,

ამ ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია. თქვენ არ შეგიძლიათ გააუქმოთ მრავალწევრების პირობები! (თქვენ არ შეგიძლიათ შეამციროთ, მაგალითად, 8x² და 2x!). ამ წილადის შესამცირებლად საჭიროა. მრიცხველს აქვს საერთო კოეფიციენტი 4x. ამოვიღოთ ფრჩხილებიდან:

მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც აქვს ერთი და იგივე ფაქტორი (2x-3). ამ ფაქტორით ვამცირებთ წილადს. მრიცხველში მივიღეთ 4x, მნიშვნელში - 1. ალგებრული წილადების 1 თვისების მიხედვით წილადი 4x-ის ტოლია.

თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ ფაქტორების შემცირება (ამ წილადს 25x²-ით ვერ შეამცირებთ!). მაშასადამე, წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში მრავალწევრები უნდა იყოს გამრავლებული.

მრიცხველი არის ჯამის სრული კვადრატი, მნიშვნელი არის კვადრატების სხვაობა. გამრავლების შემოკლებული ფორმულების გამოყენებით დაშლის შემდეგ ვიღებთ:

ჩვენ ვამცირებთ წილადს (5x+1)-ით (ამისთვის, მრიცხველში გადახაზეთ ორი მაჩვენებლის სახით, დატოვეთ (5x+1)² (5x+1)):

მრიცხველს აქვს საერთო კოეფიციენტი 2, ამოვიღოთ იგი ფრჩხილებიდან. მნიშვნელი არის ფორმულა კუბების სხვაობისთვის:

გაფართოების შედეგად მრიცხველმა და მნიშვნელმა მიიღეს იგივე ფაქტორი (9+3a+a²). ჩვენ ვამცირებთ წილადს:

მრიცხველში მრავალწევრი შედგება 4 წევრისაგან. პირველი წევრი მეორესთან ერთად, მესამე - მეოთხე და ამოიღეთ საერთო ფაქტორი x² პირველი ფრჩხილებიდან. ჩვენ ვხსნით მნიშვნელს კუბურების ჯამის ფორმულის გამოყენებით:

მრიცხველში ავიღოთ საერთო ფაქტორი (x+2) ფრჩხილებიდან:

წილადის შემცირება (x+2):

ბავშვები სკოლაში მე-6 კლასში სწავლობენ წილადების შემცირების წესებს. ამ სტატიაში ჯერ გეტყვით რას ნიშნავს ეს მოქმედება, შემდეგ კი აგიხსნით, თუ როგორ გადავიყვანოთ შემცირებადი წილადი შეუქცევად წილადად. შემდეგი პუნქტი იქნება წილადების შემცირების წესები და შემდეგ თანდათან მივალთ მაგალითებამდე.

რას ნიშნავს "წილადის შემცირება"?

ასე რომ, ჩვენ ყველამ ვიცით, რომ ჩვეულებრივი წილადები იყოფა ორ ჯგუფად: შემცირებადი და შეუქცევადი. უკვე სახელებით შეგიძლიათ გაიგოთ, რომ ის, რაც კუმშვადია, არის შეკუმშული, ხოლო ის, რაც შეუმცირებელია, არ არის შეკუმშული.

• წილადის შემცირება ნიშნავს მისი მნიშვნელის და მრიცხველის გაყოფას მათ (ერთის გარდა) დადებით გამყოფზე. შედეგი, რა თქმა უნდა, არის ახალი წილადი უფრო მცირე მნიშვნელით და მრიცხველით. მიღებული წილადი ტოლი იქნება თავდაპირველი წილადისა.

აღსანიშნავია, რომ მათემატიკის წიგნებში დავალებით "შეამცირე წილადი", ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა შეამციროთ საწყისი წილადი ამ შეუქცევად ფორმამდე. მარტივი სიტყვებით, მნიშვნელისა და მრიცხველის გაყოფა მათ უდიდეს საერთო გამყოფზე არის შემცირება.

როგორ შევამციროთ წილადი. წილადების შემცირების წესები (მე-6 კლასი)

ასე რომ, აქ მხოლოდ ორი წესია.

1. წილადების შემცირების პირველი წესი ისაა, რომ ჯერ იპოვოთ თქვენი წილადის მნიშვნელისა და მრიცხველის უდიდესი საერთო კოეფიციენტი.
2. მეორე წესი: მნიშვნელი და მრიცხველი გავყოთ უდიდეს საერთო გამყოფზე, საბოლოოდ მივიღოთ შეუქცევადი წილადი.

როგორ შევამციროთ არასწორი ფრაქცია?

წილადების შემცირების წესები იდენტურია არასწორი წილადების შემცირების წესების.

არასათანადო წილადის შესამცირებლად, ჯერ დაგჭირდებათ მნიშვნელი და მრიცხველი გადაანაწილოთ მარტივ ფაქტორებად და მხოლოდ ამის შემდეგ შეამციროთ საერთო ფაქტორები.

შერეული ფრაქციების შემცირება

წილადების შემცირების წესები ასევე ვრცელდება შერეული წილადების შემცირებისას. მხოლოდ მცირე განსხვავებაა: ჩვენ არ შეგვიძლია შევეხოთ მთელ ნაწილს, არამედ შევამციროთ წილადი ან გადავაკეთოთ შერეული წილადი არასათანადო წილადად, შემდეგ შევამციროთ და კვლავ გადავიყვანოთ სწორ წილადად.

შერეული ფრაქციების შემცირების ორი გზა არსებობს.

პირველი: ჩაწერეთ წილადი ნაწილი მარტივ ფაქტორებად და შემდეგ დატოვეთ მთელი ნაწილი მარტო.

მეორე გზა: ჯერ გადაიყვანეთ არასწორ წილადად, ჩაწერეთ ჩვეულებრივ ფაქტორებად, შემდეგ შეამცირეთ წილადი. უკვე მიღებული არაწესიერი წილადი გადააქციეთ სწორ წილადად.

მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ ზემოთ მოცემულ ფოტოში.

ჩვენ ნამდვილად ვიმედოვნებთ, რომ ჩვენ შევძელით თქვენ და თქვენი შვილების დახმარება. კლასში ხომ ხშირად უყურადღებოები არიან, ამიტომ სახლში უფრო ინტენსიურად უწევთ სწავლა საკუთარ თავზე.

ფრაქციები

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ფრაქციები დიდად არ აწუხებს საშუალო სკოლაში. Აქამდე. სანამ არ წააწყდებით ძალებს რაციონალური მაჩვენებლებით და ლოგარითმებით. და იქ... თქვენ დააჭირეთ და დააჭირეთ კალკულატორს და ის აჩვენებს ზოგიერთი რიცხვის სრულ ჩვენებას. თავი ისე უნდა იფიქრო, როგორც მესამე კლასში.

მოდით საბოლოოდ გამოვთვალოთ წილადები! აბა, რამდენად შეიძლება მათში დაბნეულობა!? უფრო მეტიც, ეს ყველაფერი მარტივი და ლოგიკურია. Ისე, რა არის წილადების ტიპები?

წილადების სახეები. ტრანსფორმაციები.

არსებობს სამი სახის წილადი.

1. საერთო წილადები , Მაგალითად:

ხანდახან ჰორიზონტალური ხაზის ნაცვლად სვამენ ხაზს: 1/2, 3/4, 19/5, კარგად და ა.შ. აქ ხშირად გამოვიყენებთ ამ მართლწერას. ზედა ნომერს ეძახიან მრიცხველი, ქვედა - მნიშვნელი.თუ გამუდმებით ურევთ ამ სახელებს (ეს ხდება...), უთხარით საკუთარ თავს ფრაზა: " ზზზზგახსოვდეს! ზზზზმნიშვნელი - შეხედე ზზზზუჰ!" შეხედე, ყველაფერი დაიმახსოვრდება.)

ტირე, ჰორიზონტალური ან დახრილი, ნიშნავს დაყოფაზედა რიცხვი (მრიცხველი) ქვევით (მნიშვნელი). Სულ ეს არის! ტირის ნაცვლად სავსებით შესაძლებელია გაყოფის ნიშნის დადება - ორი წერტილი.

როდესაც შესაძლებელია სრული გაყოფა, ეს უნდა გაკეთდეს. ასე რომ, წილადის "32/8" ნაცვლად გაცილებით სასიამოვნოა რიცხვის "4" ჩაწერა. იმათ. 32 უბრალოდ იყოფა 8-ზე.

32/8 = 32: 8 = 4

წილად „4/1“-ზეც კი არ მაქვს საუბარი. რომელიც ასევე არის მხოლოდ "4". და თუ ის მთლიანად არ იყოფა, ვტოვებთ წილადად. ზოგჯერ საპირისპირო ოპერაციის გაკეთება გიწევთ. მთელი რიცხვის წილადად გადაქცევა. მაგრამ უფრო ამის შესახებ მოგვიანებით.

2. ათწილადები , Მაგალითად:

სწორედ ამ ფორმით მოგიწევთ ჩაწეროთ პასუხები დავალებებზე „B“.

3. შერეული რიცხვები , Მაგალითად:

საშუალო სკოლაში შერეული რიცხვები პრაქტიკულად არ გამოიყენება. მათთან მუშაობისთვის ისინი უნდა გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. მაგრამ თქვენ აუცილებლად უნდა შეძლოთ ამის გაკეთება! თორემ პრობლემაში წააწყდებით ასეთ რიცხვს და გაიყინებით... არსაიდან. მაგრამ ჩვენ გვახსოვს ეს პროცედურა! ცოტა დაბლა.

ყველაზე მრავალმხრივი საერთო წილადები. დავიწყოთ მათთან. სხვათა შორის, თუ წილადი შეიცავს ყველა სახის ლოგარითმს, სინუსს და სხვა ასოებს, ეს არაფერს ცვლის. იმ გაგებით, რომ ყველაფერი წილადი გამონათქვამებით მოქმედებები არაფრით განსხვავდება ჩვეულებრივი წილადების მოქმედებებისგან!

წილადის მთავარი თვისება.

მაშ, წავიდეთ! დასაწყისისთვის მე გაგაოცებთ. წილადების გარდაქმნების მთელი მრავალფეროვნება მოცემულია ერთი თვისებით! ასე ჰქვია წილადის მთავარი თვისება. გახსოვდეთ: თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება (იყოფა) ერთ რიცხვზე, წილადი არ იცვლება.ესენი:

გასაგებია, რომ შეგიძლია გააგრძელო წერა, სანამ სახეზე არ გალურჯდები. ნუ მისცემთ უფლებას სინუსებმა და ლოგარითმებმა შეგაწუხოთ, ჩვენ მათთან შემდგომში გავეცნობით. მთავარია გვესმოდეს, რომ ყველა ეს განსხვავებული გამოთქმა არის იგივე წილადი . 2/3.

გვჭირდება ეს, ყველა ეს ტრანსფორმაცია? Და როგორ! ახლა თქვენ თვითონ ნახავთ. დასაწყისისთვის, მოდით გამოვიყენოთ წილადის ძირითადი თვისება წილადების შემცირება. ელემენტარულ რამედ მოეჩვენება. გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვზე და ეს არის! შეცდომის დაშვება შეუძლებელია! მაგრამ... ადამიანი შემოქმედებითი არსებაა. შეცდომის დაშვება ყველგან შეიძლება! მით უმეტეს, თუ თქვენ უნდა შეამციროთ არა წილადი, როგორიცაა 5/10, არამედ წილადური გამოხატულება ყველა სახის ასოებით.

როგორ სწორად და სწრაფად შევამციროთ წილადები დამატებითი სამუშაოს გარეშე, შეგიძლიათ წაიკითხოთ 555-ე სპეციალურ ნაწილში.

ნორმალურ სტუდენტს არ აწუხებს მრიცხველის და მნიშვნელის გაყოფა იმავე რიცხვზე (ან გამოსახულებაზე)! ის უბრალოდ კვეთს ყველაფერს, რაც ერთნაირია ზემოთ და ქვემოთ! სწორედ აქ იმალება ტიპიური შეცდომა, შეცდომა, თუ გნებავთ.

მაგალითად, თქვენ უნდა გაამარტივოთ გამოთქმა:

აქ საფიქრალი არაფერია, გადახაზეთ ასო "a" ზემოდან და "2" ქვემოთ! ჩვენ ვიღებთ:

ყველაფერი სწორია. მაგრამ მართლა გაიყო ყველა მრიცხველი და ყველა მნიშვნელი არის "a". თუ თქვენ მიჩვეული ხართ მხოლოდ გადაკვეთას, მაშინ ჩქარობთ შეგიძლიათ გადაკვეთოთ "ა" გამოხატვაში

და ისევ მიიღეთ

რაც კატეგორიულად არ შეესაბამება სიმართლეს. რადგან აქ ყველამრიცხველი "ა"-ზე უკვე არის არ არის გაზიარებული! ამ ფრაქციის შემცირება შეუძლებელია. სხვათა შორის, ასეთი შემცირება მასწავლებლისთვის სერიოზული გამოწვევაა. ეს არ ეპატიება! Გახსოვს? შემცირებისას საჭიროა გაყოფა ყველა მრიცხველი და ყველა მნიშვნელი!

წილადების შემცირება ცხოვრებას ბევრად აადვილებს. სადღაც მიიღებთ წილადს, მაგალითად 375/1000. როგორ გავაგრძელო ახლა მასთან მუშაობა? კალკულატორის გარეშე? გამრავლება, თქვი, დამატება, კვადრატი!? და თუ ძალიან არ ხარ ზარმაცი და ფრთხილად ჩამოაწიე ხუთით და კიდევ ხუთით და კიდევ... შემცირებისას მოკლედ. ავიღოთ 3/8! ბევრად უფრო ლამაზი, არა?

წილადის მთავარი თვისება საშუალებას გაძლევთ გადაიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადები ათწილადებად და პირიქით კალკულატორის გარეშე! ეს მნიშვნელოვანია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის, არა?

როგორ გადავიტანოთ წილადები ერთი ტიპიდან მეორეზე.

ათობითი წილადებით ყველაფერი მარტივია. როგორც ისმის, ისე წერია! ვთქვათ 0.25. ეს არის ნულოვანი წერტილი ოცდახუთი მეასედი. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ: 25/100. ვამცირებთ (მრიცხველს და მნიშვნელს ვყოფთ 25-ზე), ვიღებთ ჩვეულებრივ წილადს: 1/4. ყველა. ეს ხდება და არაფერი მცირდება. მოსწონს 0.3. ეს არის სამი მეათედი, ე.ი. 3/10.

რა მოხდება, თუ მთელი რიცხვები არ არის ნული? Ყველაფერი კარგადაა. ჩვენ ვწერთ მთელ წილადს ყოველგვარი მძიმეების გარეშემრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში – რაც ისმის. მაგალითად: 3.17. ეს არის სამი ქულა ჩვიდმეტი მეასედი. მრიცხველში ვწერთ 317-ს, ხოლო მნიშვნელში 100-ს ვიღებთ 317/100. არაფერი მცირდება, ეს ნიშნავს ყველაფერს. ეს არის პასუხი. ელემენტარული უოტსონი! ყოველივე ნათქვამიდან, სასარგებლო დასკვნა: ნებისმიერი ათობითი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას საერთო წილადად .

მაგრამ ზოგიერთს არ შეუძლია საპირისპირო გადაქცევა ჩვეულებრივიდან ათწილადში კალკულატორის გარეშე. და ეს აუცილებელია! როგორ ჩაწერთ პასუხს ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე!? ყურადღებით წაიკითხეთ და დაეუფლეთ ამ პროცესს.

რა ახასიათებს ათობითი წილადს? მისი მნიშვნელი არის ყოველთვისღირს 10, ან 100, ან 1000, ან 10000 და ასე შემდეგ. თუ თქვენს საერთო წილადს აქვს ასეთი მნიშვნელი, პრობლემა არ არის. მაგალითად, 4/10 = 0.4. ან 7/100 = 0.07. ან 12/10 = 1.2. რა მოხდება, თუ "B" განყოფილებაში მოცემული დავალების პასუხი 1/2 აღმოჩნდა? რას დავწერთ პასუხად? ათწილადები აუცილებელია...

გავიხსენოთ წილადის მთავარი თვისება ! მათემატიკა ხელსაყრელი საშუალებას გაძლევთ გაამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვზე. სხვათა შორის, არაფერი! ნულის გარდა, რა თქმა უნდა. მოდით, გამოვიყენოთ ეს ქონება ჩვენს სასარგებლოდ! რაზე შეიძლება გამრავლდეს მნიშვნელი, ე.ი. 2 რომ გახდეს 10, ან 100, ან 1000 (რათქმაუნდა პატარა უკეთესია...)? 5ზე აშკარად. თავისუფლად გაამრავლეთ მნიშვნელი (ეს არის ჩვენაუცილებელია) 5-ზე. მაგრამ მაშინ მრიცხველიც უნდა გავამრავლოთ 5-ზე. ეს უკვე მათემატიკამოითხოვს! ჩვენ ვიღებთ 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5. Სულ ეს არის.

თუმცა, ყველა სახის მნიშვნელი გვხვდება. შეგხვდებათ, მაგალითად, წილადი 3/16. სცადეთ და გაარკვიეთ რაზე გაამრავლოთ 16, რომ მიიღოთ 100, ან 1000... არ მუშაობს? შემდეგ შეგიძლიათ უბრალოდ გაყოთ 3 16-ზე. კალკულატორის არარსებობის შემთხვევაში მოგიწევთ გაყოფა კუთხით, ფურცელზე, როგორც დაწყებით სკოლაში ასწავლიდნენ. ჩვენ ვიღებთ 0.1875.

და ასევე არის ძალიან ცუდი მნიშვნელები. მაგალითად, არ არსებობს წილადი 1/3 კარგ ათწილადად გადაქცევის საშუალება. როგორც კალკულატორზე ასევე ფურცელზე ვიღებთ 0.3333333... ეს ნიშნავს, რომ 1/3 არის ზუსტი ათობითი წილადი. არ თარგმნის. იგივეა, რაც 1/7, 5/6 და ასე შემდეგ. ბევრი მათგანია, უთარგმნელი. ეს კიდევ ერთ სასარგებლო დასკვნამდე მიგვიყვანს. ყველა წილადი არ შეიძლება გადაიზარდოს ათწილადში !

სხვათა შორის, ეს არის სასარგებლო ინფორმაცია თვითშემოწმებისთვის. განყოფილებაში "B" თქვენ უნდა ჩაწეროთ ათწილადი წილადი თქვენს პასუხში. და თქვენ მიიღეთ, მაგალითად, 4/3. ეს წილადი არ გარდაიქმნება ათწილადში. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ დაუშვით შეცდომა სადღაც გზაზე! დაბრუნდით და შეამოწმეთ გამოსავალი.

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები. რჩება მხოლოდ შერეულ რიცხვებთან გამკლავება. მათთან მუშაობისთვის, ისინი უნდა გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. Როგორ გავაკეთო ეს? შეგიძლიათ მეექვსეკლასელი დაიჭიროთ და ჰკითხოთ. მაგრამ მეექვსე კლასელი ყოველთვის ხელთ არ იქნება... თქვენ თვითონ მოგიწევთ ამის გაკეთება. არ არის რთული. თქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადი ნაწილის მნიშვნელი მთელ ნაწილზე და დაამატოთ წილადი ნაწილის მრიცხველი. ეს იქნება საერთო წილადის მრიცხველი. რაც შეეხება მნიშვნელს? მნიშვნელი იგივე დარჩება. რთულად ჟღერს, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი მარტივია. მოდით შევხედოთ მაგალითს.

დავუშვათ, რომ შეშინებული ხართ პრობლემაში ნომრის დანახვით:

მშვიდად, პანიკის გარეშე, ვფიქრობთ. მთელი ნაწილი არის 1. ერთეული. წილადი ნაწილია 3/7. მაშასადამე, წილადი ნაწილის მნიშვნელი არის 7. ეს მნიშვნელი იქნება ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი. ჩვენ ვითვლით მრიცხველს. ვამრავლებთ 7-ს 1-ზე (მთლიანი ნაწილი) და ვამატებთ 3-ს (წილადი ნაწილის მრიცხველი). მივიღებთ 10. ეს იქნება საერთო წილადის მრიცხველი. Სულ ეს არის. ეს კიდევ უფრო მარტივი ჩანს მათემატიკური აღნიშვნით:

გასაგებია? მაშინ დაიცავით თქვენი წარმატება! გადაიყვანეთ ჩვეულებრივ წილადებად. თქვენ უნდა მიიღოთ 10/7, 7/2, 23/10 და 21/4.

საპირისპირო ოპერაცია - არასწორი წილადის შერეულ რიცხვად გადაქცევა - იშვიათად არის საჭირო საშუალო სკოლაში. თუ ასეა... და თუ არ ხართ საშუალო სკოლაში, შეგიძლიათ გადახედოთ სპეციალურ განყოფილებას 555. სხვათა შორის, იქაც გაიგებთ არასწორ წილადებს.

ისე, ეს პრაქტიკულად ყველაფერია. გაიხსენე წილადების ტიპები და გაიგე Როგორ მათი გადატანა ერთი ტიპიდან მეორეზე. კითხვა რჩება: Რისთვის გააკეთე? სად და როდის გამოვიყენოთ ეს ღრმა ცოდნა?

Მე ვპასუხობ. ნებისმიერი მაგალითი თავად გვთავაზობს აუცილებელ მოქმედებებს. თუ მაგალითში ჩვეულებრივი წილადები, ათწილადები და თუნდაც შერეული რიცხვები ერთმანეთშია შერეული, ყველაფერს ჩვეულებრივ წილადებად ვაქცევთ. ეს ყოველთვის შეიძლება გაკეთდეს. ისე, თუ ის ამბობს რაღაც 0.8 + 0.3, მაშინ ჩვენ ვითვლით მას ისე, ყოველგვარი თარგმანის გარეშე. რატომ გვჭირდება დამატებითი სამუშაო? ჩვენ ვირჩევთ გამოსავალს, რომელიც მოსახერხებელია ჩვენ !

თუ დავალება არის ყველა ათობითი წილადი, მაგრამ ჰმ... რაღაც ბოროტები, გადადით ჩვეულებრივებთან და სცადეთ! შეხედე, ყველაფერი გამოვა. მაგალითად, თქვენ მოგიწევთ რიცხვის კვადრატში 0.125. ეს არც ისე ადვილია, თუ კალკულატორის გამოყენებას არ მიეჩვიე! თქვენ არა მხოლოდ უნდა გაამრავლოთ რიცხვები სვეტში, თქვენ ასევე უნდა იფიქროთ იმაზე, თუ სად ჩასვათ მძიმით! ეს ნამდვილად არ იმუშავებს თქვენს თავში! რა მოხდება, თუ გადავალთ ჩვეულებრივ წილადზე?

0,125 = 125/1000. ვამცირებთ 5-ით (ეს არის დამწყებთათვის). ვიღებთ 25/200. კიდევ ერთხელ 5-ით. ვიღებთ 5/40-ს. ოჰ, მაინც იკლებს! 5-ზე დაბრუნება! ჩვენ ვიღებთ 1/8. ჩვენ ადვილად ვასწორებთ მას (ჩვენს გონებაში!) და ვიღებთ 1/64-ს. ყველა!

მოდით შევაჯამოთ ეს გაკვეთილი.

1. არსებობს სამი სახის წილადი. საერთო, ათობითი და შერეული რიცხვები.

2. ათწილადები და შერეული რიცხვები ყოველთვისშეიძლება გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. საპირისპირო გადაცემა ყოველთვის არახელმისაწვდომი.

3. წილადების ტიპის არჩევანი დავალებაზეა დამოკიდებული. თუ ერთ ამოცანაში არის სხვადასხვა ტიპის წილადები, ყველაზე საიმედოა ჩვეულებრივ წილადებზე გადასვლა.

ახლა შეგიძლიათ ივარჯიშოთ. პირველი, გადააქციეთ ეს ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

თქვენ უნდა მიიღოთ ასეთი პასუხები (არეულად!):

აქ დავასრულოთ. ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვაახლეთ მეხსიერება წილადების შესახებ საკვანძო პუნქტებზე. თუმცა ხდება ისე, რომ გასაახლებელი არაფერია განსაკუთრებული...) თუ ვინმეს სრულიად დაავიწყდა, ან ჯერ არ დაეუფლა... მაშინ შეგიძლიათ გადახვიდეთ სპეციალურ 555-ე განყოფილებაში. ყველა საფუძვლები დეტალურად არის აღწერილი იქ. ბევრი მოულოდნელად ყველაფრის გაგებაიწყებენ. და ისინი წყვეტენ წილადებს ფრენის დროს).

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.