განტოლებათა სისტემის შედგენა. პირდაპირი და უკუპროპორციული ურთიერთობები

§ 129. წინასწარი განმარტებები.

ადამიანი მუდმივად ეხება მრავალფეროვან რაოდენობას. თანამშრომელი და თანამშრომელი ცდილობენ სამსახურში მისვლას გარკვეული დროით, ფეხით მოსიარულე ჩქარობს უმოკლეს მარშრუტით მიაღწიოს გარკვეულ ადგილზე, ორთქლის გამათბობელი წუხს, რომ ქვაბში ტემპერატურა ნელ-ნელა მატულობს. ბიზნესის აღმასრულებელი გეგმავს წარმოების ღირებულების შემცირებას და ა.შ.

ასეთი მაგალითების ნებისმიერი რაოდენობის მოყვანა შეიძლება. დრო, მანძილი, ტემპერატურა, ღირებულება - ეს ყველაფერი სხვადასხვა რაოდენობაა. ამ წიგნის პირველ და მეორე ნაწილში ჩვენ გავეცანით ზოგიერთ განსაკუთრებით გავრცელებულ რაოდენობას: ფართობს, მოცულობას, წონას. ფიზიკისა და სხვა მეცნიერებების შესწავლისას ბევრ რაოდენობას ვხვდებით.

წარმოიდგინეთ, რომ მატარებლით მოგზაურობთ. დროდადრო უყურებ შენს საათს და ამჩნევ რამდენი ხანია გზაში ხარ. თქვენ ამბობთ, მაგალითად, რომ 2, 3, 5, 10, 15 საათი გავიდა თქვენი მატარებლის გამგზავრებიდან და ა.შ. ეს რიცხვები წარმოადგენს დროის სხვადასხვა პერიოდს; მათ უწოდებენ ამ სიდიდის მნიშვნელობებს (დროს). ან ფანჯრიდან იყურებით და მიჰყვებით გზის პუნქტებს, რომ ნახოთ რა მანძილი გადის თქვენი მატარებელი. თქვენს თვალწინ ციმციმებს ნომრები 110, 111, 112, 113, 114 კმ. ეს რიცხვები წარმოადგენს სხვადასხვა მანძილს, რომელსაც მატარებელმა გაიარა მისი გამგზავრების ადგილიდან. მათ ასევე უწოდებენ მნიშვნელობებს, ამჯერად განსხვავებული სიდიდის (ბილიკი ან მანძილი ორ წერტილს შორის). ამრიგად, ერთმა რაოდენობამ, მაგალითად, დრო, მანძილი, ტემპერატურა, შეიძლება მიიღოს იმდენივე სხვადასხვა მნიშვნელობა.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ადამიანი თითქმის არასოდეს ითვალისწინებს მხოლოდ ერთ რაოდენობას, მაგრამ ყოველთვის აკავშირებს მას ზოგიერთ სხვა რაოდენობასთან. მას ერთდროულად უწევს საქმე ორ, სამ ან მეტ რაოდენობასთან. წარმოიდგინეთ, რომ სკოლაში 9 საათისთვის გჭირდებათ მისვლა. უყურებ საათს და ხედავ, რომ 20 წუთი გაქვს. შემდეგ სწრაფად ხვდები, უნდა იმგზავრო ტრამვაით თუ შეგიძლია სკოლამდე ფეხით. ფიქრის შემდეგ გადაწყვეტ სიარული. ყურადღება მიაქციეთ, რომ სანამ ფიქრობდით, რაღაც პრობლემას აგვარებდით. ეს ამოცანა გახდა მარტივი და ნაცნობი, რადგან თქვენ აგვარებთ ასეთ პრობლემებს ყოველდღე. მასში თქვენ სწრაფად შეადარეთ რამდენიმე რაოდენობა. სწორედ თქვენ დახედეთ საათს, რაც ნიშნავს, რომ გაითვალისწინეთ დრო, შემდეგ ძალაუნებურად წარმოიდგინეთ მანძილი სახლიდან სკოლამდე; ბოლოს თქვენ შეადარეთ ორი მნიშვნელობა: თქვენი ნაბიჯის სიჩქარე და ტრამვაის სიჩქარე და დაასკვნეთ, რომ მოცემულ დროს (20 წუთში) გექნებათ სიარულის დრო. ამ მარტივი მაგალითიდან ხედავთ, რომ ჩვენს პრაქტიკაში ზოგიერთი რაოდენობა ურთიერთდაკავშირებულია, ანუ ისინი ერთმანეთზეა დამოკიდებული.

მეთორმეტე თავში საუბარი იყო ერთგვაროვანი სიდიდეების ურთიერთობაზე. მაგალითად, თუ ერთი სეგმენტი არის 12 მ, ხოლო მეორე 4 მ, მაშინ ამ სეგმენტების თანაფარდობა იქნება 12: 4.

ჩვენ ვთქვით, რომ ეს არის ორი ერთგვაროვანი სიდიდის თანაფარდობა. ამის თქმის კიდევ ერთი გზა არის ის, რომ ეს არის ორი რიცხვის თანაფარდობა ერთი სახელი.

ახლა, როდესაც ჩვენ უფრო გავეცანით რაოდენობებს და შემოვიღეთ რაოდენობის მნიშვნელობის კონცეფცია, შეგვიძლია გამოვხატოთ თანაფარდობის განმარტება ახლებურად. სინამდვილეში, როდესაც განვიხილეთ ორი სეგმენტი 12 მ და 4 მ, ჩვენ ვსაუბრობდით ერთ მნიშვნელობაზე - სიგრძეზე, ხოლო 12 მ და 4 მ იყო ამ მნიშვნელობის მხოლოდ ორი განსხვავებული მნიშვნელობა.

მაშასადამე, მომავალში, როცა შეფარდებებზე დავიწყებთ საუბარს, განვიხილავთ ერთი სიდიდის ორ მნიშვნელობას, ხოლო რაოდენობის ერთი მნიშვნელობის თანაფარდობას იმავე სიდიდის მეორე მნიშვნელობასთან ეწოდება პირველი მნიშვნელობის გაყოფის კოეფიციენტს. წამით.

§ 130. ღირებულებები პირდაპირპროპორციულია.

განვიხილოთ პრობლემა, რომლის მდგომარეობა მოიცავს ორ რაოდენობას: მანძილს და დროს.

დავალება 1.სწორხაზოვნად და თანაბრად მოძრავი სხეული ყოველ წამში გადის 12 სმ-ს, განსაზღვრეთ სხეულის მიერ გავლილი მანძილი 2, 3, 4, ..., 10 წამში.

მოდით შევქმნათ ცხრილი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას დროისა და მანძილის ცვლილებების თვალყურის დევნებისთვის.

ცხრილი გვაძლევს შესაძლებლობას შევადაროთ მნიშვნელობების ეს ორი სერია. მისგან ვხედავთ, რომ როდესაც პირველი რაოდენობის (დროის) მნიშვნელობები თანდათან იზრდება 2, 3,..., 10-ჯერ, მაშინ მეორე სიდიდის (დისტანციის) მნიშვნელობებიც იზრდება 2, 3-ით, ..., 10-ჯერ. ამრიგად, როდესაც ერთი რაოდენობის მნიშვნელობები რამდენჯერმე იზრდება, მეორე რაოდენობის მნიშვნელობები იზრდება იმავე რაოდენობით, ხოლო როდესაც ერთი რაოდენობის მნიშვნელობები რამდენჯერმე მცირდება, მეორე რაოდენობის მნიშვნელობები მცირდება. იგივე ნომერი.

ახლა განვიხილოთ პრობლემა, რომელიც მოიცავს ორ ასეთ რაოდენობას: მატერიის რაოდენობას და მის ღირებულებას.

დავალება 2. 15 მ ქსოვილი 120 მანეთი ღირს. გამოთვალეთ ამ ქსოვილის ღირებულება ცხრილში მითითებული მეტრის რამდენიმე სხვა რაოდენობით.

ამ ცხრილის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია მივაკვლიოთ, თუ როგორ იზრდება პროდუქტის ღირებულება თანდათან, მისი რაოდენობის გაზრდის მიხედვით. მიუხედავად იმისა, რომ ეს პრობლემა მოიცავს სრულიად განსხვავებულ რაოდენობას (პირველ პრობლემაში - დრო და მანძილი, აქ კი - საქონლის რაოდენობა და მისი ღირებულება), მიუხედავად ამისა, ამ რაოდენობების ქცევაში დიდი მსგავსება შეიძლება მოიძებნოს.

სინამდვილეში, ცხრილის ზედა ხაზში არის ნომრები, რომლებიც მიუთითებს ქსოვილის მეტრის რაოდენობაზე; თითოეული მათგანის ქვეშ არის რიცხვი, რომელიც გამოხატავს საქონლის შესაბამისი რაოდენობის ღირებულებას. ამ ცხრილის სწრაფი გადახედვაც კი გვიჩვენებს, რომ რიცხვები ორივე ზედა და ქვედა რიგებში იზრდება; ცხრილის უფრო მჭიდრო შესწავლისას და ცალკეული სვეტების შედარებისას აღმოჩენილია, რომ ყველა შემთხვევაში მეორე რაოდენობის მნიშვნელობები იზრდება იმდენჯერ, რამდენჯერაც იზრდება პირველის მნიშვნელობები, ე.ი. პირველი რაოდენობა იზრდება, ვთქვათ, 10-ჯერ, შემდეგ მეორე რაოდენობის ღირებულებაც 10-ჯერ გაიზარდა.

თუ გადავხედავთ ცხრილს მარჯვნიდან მარცხნივ, აღმოვაჩენთ, რომ რაოდენობების მითითებული მნიშვნელობები შემცირდება იმავე რაოდენობით. ამ თვალსაზრისით, უპირობო მსგავსებაა პირველსა და მეორეს შორის.

სიდიდეების წყვილი, რომლებიც შეგვხვდა პირველ და მეორე ამოცანებში, ეწოდება პირდაპირპროპორციულია.

ამრიგად, თუ ორი სიდიდე ერთმანეთთან არის დაკავშირებული ისე, რომ როდესაც ერთის ღირებულება რამდენჯერმე იზრდება (მცირდება), მეორის ღირებულება იზრდება (მცირდება) იმავე ოდენობით, მაშინ ასეთ სიდიდეებს პირდაპირპროპორციული ეწოდება. .

ასევე ამბობენ, რომ ასეთი სიდიდეები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული პირდაპირპროპორციული ურთიერთობით.

არსებობს მრავალი მსგავსი რაოდენობა ბუნებაში და ჩვენს გარშემო არსებულ ცხოვრებაში. Აი ზოგიერთი მაგალითი:

1. დროსამუშაო (დღე, ორი დღე, სამი დღე და ა.შ.) და მოგება, მიღებული ამ ხნის განმავლობაში დღიური ანაზღაურებით.

2. მოცულობაერთგვაროვანი მასალისგან დამზადებული ნებისმიერი საგანი და წონაამ ნივთს.

§ 131. პირდაპირპროპორციული სიდიდეების თვისება.

ავიღოთ პრობლემა, რომელიც მოიცავს შემდეგ ორ რაოდენობას: სამუშაო დროს და შემოსავალს. თუ ყოველდღიური შემოსავალი არის 20 რუბლი, მაშინ 2 დღის შემოსავალი იქნება 40 რუბლი და ა.შ. ყველაზე მოსახერხებელია ცხრილის შექმნა, რომელშიც დღეების გარკვეული რაოდენობა შეესაბამება გარკვეულ შემოსავალს.

ამ ცხრილის დათვალიერებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე რაოდენობამ მიიღო 10 განსხვავებული მნიშვნელობა. პირველი მნიშვნელობის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება მეორე მნიშვნელობის გარკვეულ მნიშვნელობას, მაგალითად, 2 დღე შეესაბამება 40 რუბლს; 5 დღე შეესაბამება 100 რუბლს. ცხრილში ეს რიცხვები იწერება ერთმანეთის ქვემოთ.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ თუ ორი სიდიდე პირდაპირპროპორციულია, მაშინ თითოეული მათგანი, მისი ცვლილების პროცესში, იმდენჯერ იზრდება, რამდენჯერაც მეორე იზრდება. აქედან დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს: თუ ავიღებთ პირველი სიდიდის ნებისმიერი ორი მნიშვნელობის თანაფარდობას, მაშინ ის უდრის მეორე სიდიდის ორი შესაბამისი მნიშვნელობის თანაფარდობას. Ნამდვილად:

Რატომ ხდება ეს? მაგრამ იმის გამო, რომ ეს მნიშვნელობები პირდაპირპროპორციულია, ანუ როდესაც ერთი მათგანი (დრო) გაიზარდა 3-ჯერ, მაშინ მეორე (მოგება) გაიზარდა 3-ჯერ.

ამრიგად, ჩვენ მივედით შემდეგ დასკვნამდე: თუ ავიღებთ პირველი სიდიდის ორ მნიშვნელობას და გავყოფთ ერთ მეორეზე, შემდეგ კი ერთზე გავყოფთ მეორე სიდიდის შესაბამის მნიშვნელობებს, მაშინ ორივე შემთხვევაში მივიღებთ იგივე რიცხვი, ანუ იგივე ურთიერთობა. ეს ნიშნავს, რომ ორი მიმართება, რომელიც ზემოთ დავწერეთ, შეიძლება უკავშირდებოდეს თანაბარ ნიშანს, ე.ი.

ეჭვგარეშეა, რომ თუ ჩვენ მივიღებთ არა ამ ურთიერთობებს, არამედ სხვებს და არა იმ თანმიმდევრობით, არამედ საპირისპირო თანმიმდევრობით, ჩვენ ასევე მივიღებდით ურთიერთობების თანასწორობას. სინამდვილეში, ჩვენ განვიხილავთ ჩვენი რაოდენობების მნიშვნელობებს მარცხნიდან მარჯვნივ და ვიღებთ მესამე და მეცხრე მნიშვნელობებს:

60:180 = 1 / 3 .

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

ეს იწვევს შემდეგ დასკვნას: თუ ორი რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია, მაშინ პირველი რაოდენობის ორი თვითნებურად მიღებული მნიშვნელობის თანაფარდობა უდრის მეორე სიდიდის ორი შესაბამისი მნიშვნელობის თანაფარდობას.

§ 132. პირდაპირი პროპორციულობის ფორმულა.

მოდით გავაკეთოთ ცხრილი სხვადასხვა რაოდენობის ტკბილეულის ღირებულების შესახებ, თუ მათი 1 კგ ღირს 10,4 რუბლი.

ახლა მოდით ასე მოვიქცეთ. აიღეთ ნებისმიერი რიცხვი მეორე სტრიქონში და გაყავით იგი პირველ რიგში შესაბამის რიცხვზე. Მაგალითად:

ხედავთ, რომ კოეფიციენტში ყოველთვის ერთი და იგივე რიცხვი მიიღება. შესაბამისად, პირდაპირპროპორციული სიდიდეების მოცემული წყვილისთვის, ერთი სიდიდის ნებისმიერი მნიშვნელობის სხვა სიდიდის შესაბამის მნიშვნელობაზე გაყოფის კოეფიციენტი არის მუდმივი რიცხვი (ე.ი. არ იცვლება). ჩვენს მაგალითში ეს კოეფიციენტია 10.4. ამ მუდმივ რიცხვს პროპორციულობის კოეფიციენტი ეწოდება. ამ შემთხვევაში, იგი გამოხატავს საზომი ერთეულის ფასს, ანუ ერთი კილოგრამი საქონლის.

როგორ მოვძებნოთ ან გამოვთვალოთ პროპორციულობის კოეფიციენტი? ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ ერთი სიდიდის ნებისმიერი მნიშვნელობა და გაყოთ იგი მეორის შესაბამის მნიშვნელობაზე.

ერთი სიდიდის ეს თვითნებური მნიშვნელობა ასოებით ავღნიშნოთ ზე , ხოლო სხვა სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობა - ასო X , შემდეგ პროპორციულობის კოეფიციენტი (ჩვენ აღვნიშნავთ მას TO) გაყოფის მიხედვით ვპოულობთ:

ამ თანასწორობაში ზე - გაყოფადი, X - გამყოფი და TO- კოეფიციენტი და რადგან, გაყოფის თვისებით, დივიდენდი უდრის გამყოფს, რომელიც გამრავლებულია კოეფიციენტზე, შეგვიძლია დავწეროთ:

y =კ x

შედეგად მიღებული თანასწორობა ეწოდება პირდაპირი პროპორციულობის ფორმულა.ამ ფორმულის გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ერთ-ერთი პირდაპირპროპორციული სიდიდის ნებისმიერი რაოდენობის მნიშვნელობა, თუ ვიცით მეორე სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობები და პროპორციულობის კოეფიციენტი.

მაგალითი.ფიზიკიდან ვიცით ეს წონა რნებისმიერი სხეულის ტოლია მისი სპეციფიკური სიმძიმისა დ , გამრავლებული ამ სხეულის მოცულობაზე ვ, ე.ი. რ = დვ.

ავიღოთ სხვადასხვა მოცულობის ხუთი რკინის ზოდი; რკინის სპეციფიკური სიმძიმის ცოდნა (7.8), ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ ზეთების წონა ფორმულის გამოყენებით:

რ = 7,8 ვ.

ამ ფორმულის შედარება ფორმულასთან ზე = TO X , ჩვენ ამას ვხედავთ y = რ, x = ვდა პროპორციულობის კოეფიციენტი TO= 7.8. ფორმულა იგივეა, მხოლოდ ასოებია განსხვავებული.

ამ ფორმულის გამოყენებით შევადგინოთ ცხრილი: პირველი ცარიელის მოცულობა იყოს 8 კუბური მეტრი. სმ, მაშინ მისი წონაა 7.8 8 = 62.4 (გ). მე-2 ბლანკის მოცულობა 27 კუბური მეტრია. სმ მისი წონაა 7,8 27 = 210,6 (გ). ცხრილი ასე გამოიყურება:

გამოთვალეთ ამ ცხრილში გამოტოვებული რიცხვები ფორმულის გამოყენებით რ= დვ.

§ 133. პირდაპირპროპორციული სიდიდეებით ამოცანების ამოხსნის სხვა მეთოდები.

წინა აბზაცში ჩვენ გადავწყვიტეთ პრობლემა, რომლის პირობა მოიცავდა პირდაპირ პროპორციულ სიდიდეებს. ამ მიზნით, ჩვენ ჯერ გამოვიყვანეთ პირდაპირი პროპორციულობის ფორმულა და შემდეგ გამოვიყენეთ ეს ფორმულა. ახლა ჩვენ გაჩვენებთ მსგავსი პრობლემების გადაჭრის ორ სხვა გზას.

შევქმნათ პრობლემა წინა აბზაცის ცხრილში მოცემული რიცხვითი მონაცემების გამოყენებით.

დავალება.ცარიელი 8 კუბური მეტრი მოცულობით. სმ იწონის 62,4 გ რამდენს იწონის 64 კუბური მეტრი მოცულობის ბლანკი? სმ?

გამოსავალი.რკინის წონა, როგორც ცნობილია, მისი მოცულობის პროპორციულია. თუ 8 კუ. სმ იწონის 62,4 გ, შემდეგ 1 კუბ. სმ 8-ჯერ ნაკლები იქნება, ე.ი.

62.4:8 = 7.8 (გ).

ბლანკი მოცულობით 64 კუბური მეტრი. სმ 64-ჯერ მეტს იწონის, ვიდრე 1 კუბური მეტრიანი ცარიელი. სმ, ე.ი.

7.8 64 = 499.2 (გ).

ჩვენი პრობლემა ერთიანობამდე დაყვანით გადავწყვიტეთ. ამ სახელის მნიშვნელობა გამართლებულია იმით, რომ მის ამოსახსნელად პირველ კითხვაში მოცულობის ერთეულის წონა უნდა გვეპოვა.

2. პროპორციის მეთოდი.მოდით გადავჭრათ იგივე პრობლემა პროპორციის მეთოდის გამოყენებით.

ვინაიდან რკინის წონა და მისი მოცულობა პირდაპირპროპორციული სიდიდეებია, ერთი რაოდენობის (მოცულობის) ორი მნიშვნელობის თანაფარდობა უდრის მეორე რაოდენობის (წონის) ორი შესაბამისი მნიშვნელობის თანაფარდობას, ე.ი.

(წერილი რჩვენ აღვნიშნეთ ბლანკის უცნობი წონა). აქედან:

(G).

პრობლემა მოგვარდა პროპორციების მეთოდით. ეს ნიშნავს, რომ მის გადასაჭრელად შედგენილი იყო პროპორცია პირობაში შეტანილი რიცხვებიდან.

§ 134. ღირებულებები უკუპროპორციულია.

განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა: „ხუთ კედელს შეუძლია სახლის აგურის კედლები 168 დღეში დააგოს. დაადგინეთ, რამდენ დღეში შეძლებდნენ 10, 8, 6 და ა.შ. მასონებს ერთი და იგივე სამუშაოს შესრულება“.

თუ 168 დღეში სახლის კედელს 5 მაზონი ააგებს, მაშინ (იგივე შრომის პროდუქტიულობით) 10 მასონს შეუძლია ამის გაკეთება ნახევარ დროში, რადგან საშუალოდ 10 ადამიანი ორჯერ მეტ სამუშაოს ასრულებს ვიდრე 5 ადამიანი.

მოდით შევადგინოთ ცხრილი, რომლითაც შეგვიძლია დავაკვირდეთ მუშაკთა რაოდენობისა და სამუშაო საათების ცვლილებას.

მაგალითად, იმის გასარკვევად, თუ რამდენი დღე სჭირდება 6 მუშას, ჯერ უნდა გამოთვალოთ რამდენი დღე სჭირდება ერთ მუშას (168 5 = 840), შემდეგ კი რამდენი დღე სჭირდება ექვს მუშას (840: 6 = 140). ამ ცხრილის დათვალიერებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე რაოდენობამ მიიღო ექვსი განსხვავებული მნიშვნელობა. პირველი სიდიდის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება კონკრეტულს; მეორე მნიშვნელობის მნიშვნელობა, მაგალითად, 10 შეესაბამება 84-ს, რიცხვი 8 შეესაბამება რიცხვს 105 და ა.შ.

თუ გავითვალისწინებთ ორივე რაოდენობის მნიშვნელობებს მარცხნიდან მარჯვნივ, დავინახავთ, რომ ზედა რაოდენობის მნიშვნელობები იზრდება, ხოლო ქვედა რაოდენობის მნიშვნელობები მცირდება. ზრდა და შემცირება ექვემდებარება შემდეგ კანონს: მუშაკთა რაოდენობის მნიშვნელობები იზრდება იმდენჯერ, რაც მცირდება დახარჯული სამუშაო დროის მნიშვნელობები. ეს აზრი კიდევ უფრო მარტივად შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად: რაც უფრო მეტი მუშა არის დაკავებული რაიმე დავალების შესრულებაში, მით ნაკლები დრო სჭირდება მათ გარკვეული სამუშაოს შესასრულებლად. ორ რაოდენობას, რომელსაც ამ პრობლემაში შევხვდით, ეწოდება უკუპროპორციულია.

ამრიგად, თუ ორი სიდიდე ერთმანეთთან არის დაკავშირებული ისე, რომ როდესაც ერთის ღირებულება რამდენჯერმე იზრდება (მცირდება), მეორის ღირებულება მცირდება (იზრდება) იმავე რაოდენობით, მაშინ ასეთ სიდიდეებს უკუპროპორციული ეწოდება. .

ცხოვრებაში ბევრი მსგავსი რაოდენობაა. მოვიყვანოთ მაგალითები.

1. თუ 150 რუბლისთვის. თუ რამდენიმე კილოგრამი ტკბილეულის ყიდვა გჭირდებათ, ტკბილეულის რაოდენობა ერთი კილოგრამის ფასზე იქნება დამოკიდებული. რაც უფრო მაღალია ფასი, მით ნაკლები საქონლის შეძენა შეგიძლიათ ამ ფულით; ეს ჩანს ცხრილიდან:

რამდენადაც ტკბილეულის ფასი რამდენჯერმე იზრდება, ამდენივე კლებულობს კანფეტის კილოგრამების რაოდენობა, რომლის ყიდვაც შესაძლებელია 150 მანეთად. ამ შემთხვევაში, ორი რაოდენობა (პროდუქტის წონა და მისი ფასი) უკუპროპორციულია.

2. თუ ორ ქალაქს შორის მანძილი 1200 კმ-ია, მაშინ მისი დაფარვა შესაძლებელია სხვადასხვა დროს მოძრაობის სიჩქარის მიხედვით. მგზავრობის სხვადასხვა გზა არსებობს: ფეხით, ცხენით, ველოსიპედით, ნავით, მანქანით, მატარებლით, თვითმფრინავით. რაც უფრო დაბალია სიჩქარე, მით მეტი დრო სჭირდება გადაადგილებას. ეს ჩანს ცხრილიდან:

სიჩქარის რამდენჯერმე მატებასთან ერთად, მგზავრობის დრო იგივე რაოდენობით მცირდება. ეს ნიშნავს, რომ ამ პირობებში სიჩქარე და დრო უკუპროპორციული სიდიდეებია.

§ 135. უკუპროპორციული სიდიდეების თვისება.

ავიღოთ მეორე მაგალითი, რომელიც განვიხილეთ წინა აბზაცში. იქ ჩვენ საქმე გვაქვს ორ რაოდენობასთან - სიჩქარესა და დროს. თუ გადავხედავთ ამ რაოდენობების მნიშვნელობების ცხრილს მარცხნიდან მარჯვნივ, დავინახავთ, რომ პირველი რაოდენობის (სიჩქარის) მნიშვნელობები იზრდება, ხოლო მეორე (დრო) მნიშვნელობები მცირდება და სიჩქარე იზრდება იმავე რაოდენობით, როგორც დრო მცირდება.ძნელი არ არის იმის გაგება, რომ თუ დაწერთ ერთი რაოდენობის ზოგიერთი მნიშვნელობის თანაფარდობას, მაშინ ის არ იქნება ტოლი სხვა რაოდენობის შესაბამისი მნიშვნელობების თანაფარდობასთან. სინამდვილეში, თუ ავიღებთ ზედა მნიშვნელობის მეოთხე მნიშვნელობის თანაფარდობას მეშვიდე მნიშვნელობასთან (40: 80), მაშინ ის არ იქნება ტოლი ქვედა მნიშვნელობის მეოთხე და მეშვიდე მნიშვნელობების (30: 15). შეიძლება ასე დაიწეროს:

40:80 არ უდრის 30:15, ან 40:80 =/=30:15.

მაგრამ თუ რომელიმე ამ მიმართების ნაცვლად ავიღებთ საპირისპიროს, მაშინ მივიღებთ თანასწორობას, ანუ ამ მიმართებებიდან შესაძლებელი იქნება პროპორციის შექმნა. Მაგალითად:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნა: თუ ორი რაოდენობა უკუპროპორციულია, მაშინ ერთი რაოდენობის ორი თვითნებურად მიღებული მნიშვნელობის თანაფარდობა უდრის სხვა რაოდენობის შესაბამისი მნიშვნელობების შებრუნებულ თანაფარდობას.

§ 136. შებრუნებული პროპორციულობის ფორმულა.

განვიხილოთ პრობლემა: „არის 6 ცალი აბრეშუმის ქსოვილი სხვადასხვა ზომის და სხვადასხვა ხარისხის. ყველა ცალი ერთნაირი ღირს. ერთი ცალი შეიცავს 100 მ ქსოვილს, ფასი 20 რუბლია. მეტრზე რამდენი მეტრია თითოეულ დანარჩენ ხუთ ნაწილად, თუ ამ ნაჭრებში ქსოვილის მეტრი ღირს, შესაბამისად, 25, 40, 50, 80, 100 მანეთი?” ამ პრობლემის გადასაჭრელად შევქმნათ ცხრილი:

ჩვენ უნდა შეავსოთ ცარიელი უჯრები ამ ცხრილის ზედა მწკრივში. ჯერ ვცადოთ განვსაზღვროთ რამდენი მეტრია მეორე ნაჭერში. ეს შეიძლება გაკეთდეს შემდეგნაირად. პრობლემის პირობებიდან ცნობილია, რომ ყველა ნაწილის ღირებულება ერთნაირია. პირველი ნაწილის ღირებულების დადგენა მარტივია: ის შეიცავს 100 მეტრს და თითო მეტრი 20 მანეთი ღირს, რაც იმას ნიშნავს, რომ აბრეშუმის პირველი ნაჭერი 2000 მანეთი ღირს. ვინაიდან აბრეშუმის მეორე ნაჭერი შეიცავს იმავე რაოდენობის რუბლს, მაშინ 2000 რუბლის გაყოფა. ერთი მეტრის ფასად, ანუ 25, ვპოულობთ მეორე ნაწილის ზომას: 2000: 25 = 80 (მ). ანალოგიურად ვიპოვით ყველა სხვა ნაწილის ზომას. ცხრილი ასე გამოიყურება:

ადვილი მისახვედრია, რომ მრიცხველების რაოდენობასა და ფასს შორის უკუპროპორციული ურთიერთობაა.

თუ თქვენ თვითონ გააკეთებთ საჭირო გამოთვლებს, შეამჩნევთ, რომ ყოველ ჯერზე უნდა გაყოთ რიცხვი 2000 1 მ ფასზე, პირიქით, თუ ახლა დაიწყებთ ნაჭრის ზომის მეტრებში გამრავლებას 1 მ ფასზე. , თქვენ ყოველთვის მიიღებთ ნომერს 2000. ეს და საჭირო იყო ლოდინი, ვინაიდან თითოეული ცალი 2000 მანეთი ღირს.

აქედან შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნა: უკუპროპორციული სიდიდეების მოცემული წყვილისთვის, ერთი სიდიდის ნებისმიერი მნიშვნელობის ნამრავლი მეორე სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობით არის მუდმივი რიცხვი (ე.ი. არ იცვლება).

ჩვენს პრობლემაში ეს ნამრავლი უდრის 2000-ს, შეამოწმეთ, რომ წინა ამოცანაში, სადაც საუბარი იყო მოძრაობის სიჩქარეზე და ერთი ქალაქიდან მეორეში გადასასვლელად საჭირო დროს, იყო ამ პრობლემის მუდმივი რიცხვიც (1200).

ყველაფრის გათვალისწინებით, მარტივია შებრუნებული პროპორციულობის ფორმულის გამოტანა. ასოთი ავღნიშნოთ ერთი სიდიდის გარკვეული მნიშვნელობა X , ხოლო სხვა რაოდენობის შესაბამისი მნიშვნელობა წარმოდგენილია ასოთი ზე . შემდეგ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, სამუშაო X on ზე ტოლი უნდა იყოს რაღაც მუდმივ მნიშვნელობას, რომელსაც ასოთი აღვნიშნავთ TO, ე.ი.

x წ = TO.

ამ თანასწორობაში X - მრავლობითი ზე - მულტიპლიკატორი და კ- სამუშაო. გამრავლების თვისების მიხედვით, მამრავლი ტოლია ნამრავლის გაყოფაზე. ნიშნავს,

ეს არის უკუპროპორციულობის ფორმულა. მისი გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ერთი უკუპროპორციული სიდიდის ნებისმიერი რაოდენობის მნიშვნელობა, მეორის მნიშვნელობებისა და მუდმივი რიცხვის ცოდნა. TO.

განვიხილოთ კიდევ ერთი პრობლემა: „ერთი ნარკვევის ავტორმა გამოთვალა, რომ თუ მისი წიგნი ჩვეულებრივი ფორმატია, მაშინ 96 გვერდი იქნება, ხოლო თუ ჯიბის ფორმატი, მაშინ 300 გვერდი. მან სცადა სხვადასხვა ვარიანტები, დაიწყო 96 გვერდით, შემდეგ კი დაასრულა 2500 ასო თითო გვერდზე. შემდეგ მან აიღო ქვემოთ მოცემულ ცხრილში ნაჩვენები გვერდის ნომრები და კვლავ გამოთვალა რამდენი ასო იქნებოდა გვერდზე“.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ რამდენი ასო იქნება გვერდზე, თუ წიგნს აქვს 100 გვერდი.

მთელ წიგნში 240 000 ასოა, ვინაიდან 2500 96 = 240 000.

ამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვიყენებთ უკუპროპორციულობის ფორმულას ( ზე - ასოების რაოდენობა გვერდზე, X - გვერდების რაოდენობა):

ჩვენს მაგალითში TO= 240000 შესაბამისად

ასე რომ, გვერდზე 2400 ასოა.

ანალოგიურად, ჩვენ ვიგებთ, რომ თუ წიგნს აქვს 120 გვერდი, მაშინ გვერდზე ასოების რაოდენობა იქნება:

ჩვენი მაგიდა ასე გამოიყურება:

შეავსეთ დარჩენილი უჯრედები თავად.

§ 137. უკუპროპორციული სიდიდეებით ამოცანების ამოხსნის სხვა მეთოდები.

წინა აბზაცში ჩვენ გადავწყვიტეთ ამოცანები, რომელთა პირობები მოიცავდა უკუპროპორციულ სიდიდეებს. ჩვენ ჯერ გამოვიყვანეთ უკუპროპორციულობის ფორმულა და შემდეგ გამოვიყენეთ ეს ფორმულა. ახლა ჩვენ გაჩვენებთ ორ სხვა გამოსავალს ასეთი პრობლემებისთვის.

1. ერთიანობამდე შემცირების მეთოდი.

დავალება. 5 შემხვევს შეუძლია გარკვეული სამუშაოს შესრულება 16 დღეში. რამდენ დღეში შეუძლია ამ სამუშაოს დასრულება 8 ტურნერს?

გამოსავალი.არსებობს საპირისპირო კავშირი შემბრუნებელთა რაოდენობასა და სამუშაო საათებს შორის. თუ სამუშაოს 16 დღეში 5 შემომბრუნებელი გააკეთებს, მაშინ ერთ ადამიანს ამისთვის 5-ჯერ მეტი დრო დასჭირდება, ე.ი.

5 ტერნერი ასრულებს სამუშაოს 16 დღეში,

1 ტერნერი დაასრულებს მას 16 5 = 80 დღეში.

პრობლემა სვამს კითხვას, რამდენი დღე დასჭირდება 8 ტურნერს სამუშაოს დასასრულებლად. ცხადია, ისინი გაუმკლავდებიან სამუშაოს 8-ჯერ უფრო სწრაფად, ვიდრე 1 ტურნერი, ე.ი.

80: 8 = 10 (დღე).

ეს არის პრობლემის გადაწყვეტა მისი ერთიანობამდე დაყვანით. აქ პირველ რიგში საჭირო იყო ერთი მუშის მიერ სამუშაოს დასასრულებლად საჭირო დროის განსაზღვრა.

2. პროპორციის მეთოდი.მოდი იგივე პრობლემა გადავჭრათ მეორე გზით.

იმის გამო, რომ არსებობს უკუპროპორციული კავშირი მუშაკთა რაოდენობასა და სამუშაო დროს შორის, შეგვიძლია დავწეროთ: 5 გადამხვევის მუშაობის ხანგრძლივობა ახალი რაოდენობის შემხვევის (8) სამუშაოს ხანგრძლივობა 8 მბრუნავების წინა რაოდენობა შემობრუნების რაოდენობა (5) მოდით აღვნიშნოთ სამუშაოს საჭირო ხანგრძლივობა წერილით X და ჩაანაცვლეთ საჭირო რიცხვები სიტყვებით გამოხატული პროპორციით:

იგივე პრობლემა წყდება პროპორციების მეთოდით. მის გადასაჭრელად პროპორცია უნდა შეგვექმნა პრობლემის დებულებაში შეტანილი რიცხვებიდან.

Შენიშვნა.წინა აბზაცებში განვიხილეთ პირდაპირი და უკუპროპორციულობის საკითხი. ბუნება და სიცოცხლე მრავალ მაგალითს გვაძლევს რაოდენობების პირდაპირი და უკუპროპორციული დამოკიდებულების შესახებ. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ დამოკიდებულების ეს ორი ტიპი მხოლოდ ყველაზე მარტივია. მათთან ერთად არის სხვა, უფრო რთული დამოკიდებულებები რაოდენობებს შორის. გარდა ამისა, არ უნდა ვიფიქროთ, რომ თუ რომელიმე ორი რაოდენობა ერთდროულად იზრდება, მაშინ მათ შორის აუცილებლად არის პირდაპირი პროპორციულობა. ეს შორს არის სიმართლისგან. მაგალითად, რკინიგზის საფასური იზრდება მანძილის მიხედვით: რაც უფრო შორს მივდივართ, მით მეტს ვიხდით, მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ მგზავრობის საფასური მანძილის პროპორციულია.

პირდაპირი პროპორციულობის ცნება

წარმოიდგინეთ, რომ აპირებთ თქვენი საყვარელი კანფეტების შეძენას (ან რაიმეს, რაც ნამდვილად მოგწონთ). მაღაზიაში ტკბილეულს თავისი ფასი აქვს. ვთქვათ 300 მანეთი თითო კილოგრამზე. რაც უფრო მეტ კანფეტს იყიდით, მით მეტ ფულს იხდით. ანუ, თუ გინდა 2 კილოგრამი, გადაიხადე 600 მანეთი, ხოლო თუ გინდა 3 კილოგრამი გადაიხადე 900 მანეთი. როგორც ჩანს, ეს ყველაფერი გასაგებია, არა?

თუ კი, მაშინ ახლა თქვენთვის გასაგებია, რა არის პირდაპირი პროპორციულობა - ეს არის კონცეფცია, რომელიც აღწერს ერთმანეთზე დამოკიდებულ ორი სიდიდის ურთიერთობას. და ამ რაოდენობების თანაფარდობა რჩება უცვლელი და მუდმივი: რამდენი ნაწილით იზრდება ან მცირდება ერთი მათგანი, ნაწილის იგივე რაოდენობით მეორე იზრდება ან მცირდება პროპორციულად.

პირდაპირი პროპორციულობა შეიძლება აღწერილი იყოს შემდეგი ფორმულით: f(x) = a*x და a ამ ფორმულაში არის მუდმივი მნიშვნელობა (a = const). ჩვენს მაგალითში ტკბილეულის შესახებ, ფასი არის მუდმივი მნიშვნელობა, მუდმივი. ის არ იზრდება და არც მცირდება, რამდენი კანფეტის ყიდვაც არ უნდა გადაწყვიტოთ. დამოუკიდებელი ცვლადი (არგუმენტი)x არის რამდენი კილოგრამი კანფეტის შეძენას აპირებთ. და დამოკიდებული ცვლადი f(x) (ფუნქცია) არის რამდენ ფულს იხდით თქვენი შესყიდვისთვის. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ რიცხვები ფორმულაში და მივიღოთ: 600 რუბლი. = 300 რუბლი. * 2 კგ.

შუალედური დასკვნა ასეთია: თუ არგუმენტი იზრდება, ფუნქციაც იზრდება, თუ არგუმენტი მცირდება, ფუნქციაც მცირდება.

ფუნქცია და მისი თვისებები

პირდაპირი პროპორციული ფუნქციაწრფივი ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევაა. თუ წრფივი ფუნქციაა y = k*x + b, მაშინ პირდაპირი პროპორციულობისთვის ის ასე გამოიყურება: y = k*x, სადაც k-ს პროპორციულობის კოეფიციენტი ეწოდება და ის ყოველთვის არა ნულოვანი რიცხვია. მარტივია კ-ის გამოთვლა - ის გვხვდება ფუნქციისა და არგუმენტის კოეფიციენტად: k = y/x.

უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, ავიღოთ სხვა მაგალითი. წარმოიდგინეთ, რომ მანქანა მოძრაობს A წერტილიდან B წერტილამდე. მისი სიჩქარე 60 კმ/სთ-ია. თუ ჩავთვლით, რომ მოძრაობის სიჩქარე მუდმივი რჩება, მაშინ ის შეიძლება მივიღოთ მუდმივად. შემდეგ ჩვენ ვწერთ პირობებს სახით: S = 60*t და ეს ფორმულა მსგავსია პირდაპირი პროპორციულობის ფუნქციის y = k *x. გავავლოთ პარალელი შემდგომში: თუ k = y/x, მაშინ მანქანის სიჩქარე შეიძლება გამოითვალოს A-სა და B-ს შორის მანძილისა და გზაზე გატარებული დროის ცოდნით: V = S/t.

ახლა კი, პირდაპირი პროპორციულობის შესახებ ცოდნის გამოყენებითი გამოყენებით, დავუბრუნდეთ მის ფუნქციას. რომელთა თვისებები მოიცავს:

მისი განმარტების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე (ისევე, როგორც მისი ქვესიმრავლეები);

ფუნქცია უცნაურია;

ცვლადების ცვლილება პირდაპირპროპორციულია რიცხვითი წრფის მთელ სიგრძეზე.

პირდაპირი პროპორციულობა და მისი გრაფიკი

პირდაპირი პროპორციულობის ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს საწყისს. მის ასაგებად საკმარისია მხოლოდ ერთი წერტილის მონიშვნა. და დააკავშირეთ იგი და კოორდინატების წარმოშობა სწორი ხაზით.

გრაფის შემთხვევაში k არის დახრილობა. თუ დახრილობა ნულზე ნაკლებია (კ< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), გრაფიკი და x-ღერძი ქმნიან მახვილ კუთხეს და ფუნქცია იზრდება.

და პირდაპირი პროპორციულობის ფუნქციის გრაფიკის კიდევ ერთი თვისება პირდაპირ კავშირშია k დახრილობასთან. დავუშვათ, გვაქვს ორი არაიდენტური ფუნქცია და, შესაბამისად, ორი გრაფიკი. ასე რომ, თუ ამ ფუნქციების k კოეფიციენტები ტოლია, მათი გრაფიკები განლაგებულია კოორდინატთა ღერძის პარალელურად. ხოლო თუ k კოეფიციენტები ერთმანეთის ტოლი არ არის, გრაფიკები იკვეთება.

პრობლემების ნიმუში

ახლა მოვაგვაროთ წყვილი პირდაპირი პროპორციულობის პრობლემები

დავიწყოთ რაღაც მარტივით.

პრობლემა 1: წარმოიდგინეთ, რომ 5 ქათამმა დადო 5 კვერცხი 5 დღეში. და თუ 20 ქათამია, რამდენ კვერცხს დადებენ 20 დღეში?

ამოხსნა: უცნობი ავღნიშნოთ kx-ით. და ჩვენ ასე ვიმსჯელებთ: რამდენჯერ მეტი ქათამი გახდა? გაყავით 20 5-ზე და გაარკვიეთ, რომ არის 4-ჯერ. რამდენჯერ მეტ კვერცხს დადებს 20 ქათამი იმავე 5 დღეში? ასევე 4-ჯერ მეტი. მაშ ასე, ჩვენც ასე ვხვდებით: 5*4*4 = 80 კვერცხს 20 ქათამი დადებს 20 დღეში.

ახლა მაგალითი ცოტა უფრო რთულია, მოდით გამოვყოთ პრობლემა ნიუტონის "ზოგადი არითმეტიკიდან". პრობლემა 2: მწერალს შეუძლია 8 დღეში შეადგინოს ახალი წიგნის 14 გვერდი. ასისტენტები რომ ჰყოლოდა, რამდენი ადამიანი დასჭირდებოდა 12 დღეში 420 გვერდის დაწერას?

გამოსავალი: ჩვენ ვიმსჯელებთ, რომ ადამიანების რაოდენობა (მწერალი + ასისტენტები) იზრდება სამუშაოს მოცულობასთან ერთად, თუ ის უნდა შესრულებულიყო იმავე დროს. მაგრამ რამდენჯერ? 420-ის 14-ზე გაყოფით აღმოვაჩენთ, რომ ის იზრდება 30-ჯერ. მაგრამ რადგან, დავალების პირობების მიხედვით, მეტი დრო ეძლევა სამუშაოს, ასისტენტების რაოდენობა იზრდება არა 30-ჯერ, არამედ ამ გზით: x = 1 (მწერი) * 30 (ჯერ): 12/8 ( დღეები). მოდით გარდავქმნათ და გავარკვიოთ, რომ x = 20 ადამიანი დაწერს 420 გვერდს 12 დღეში.

მოდით გადავჭრათ კიდევ ერთი პრობლემა, რომელიც ჩვენს მაგალითებშია.

პრობლემა 3: ორი მანქანა დაიძრა ერთსა და იმავე გზაზე. ერთი მოძრაობდა 70 კმ/სთ სიჩქარით და 2 საათში დაფარა იგივე მანძილი, რაც მეორეს 7 საათი დასჭირდა. იპოვნეთ მეორე მანქანის სიჩქარე.

ამოხსნა: როგორც გახსოვთ, გზა განისაზღვრება სიჩქარისა და დროის მიხედვით - S = V *t. ვინაიდან ორივე მანქანამ გაიარა ერთი და იგივე მანძილი, შეგვიძლია გავაიგივოთ ორი გამონათქვამი: 70*2 = V*7. როგორ გავიგოთ, რომ მეორე მანქანის სიჩქარე არის V = 70*2/7 = 20 კმ/სთ.

და კიდევ რამდენიმე მაგალითი დავალებების პირდაპირი პროპორციულობის ფუნქციებით. ზოგჯერ პრობლემები მოითხოვს k კოეფიციენტის პოვნას.

დავალება 4: მოცემულია y = - x/16 და y = 5x/2 ფუნქციები, დაადგინეთ მათი პროპორციულობის კოეფიციენტები.

ამოხსნა: როგორც გახსოვთ, k = y/x. ეს ნიშნავს, რომ პირველი ფუნქციისთვის კოეფიციენტი უდრის -1/16, ხოლო მეორეს k = 5/2.

ასევე შეიძლება შეგხვდეთ დავალება, როგორიცაა ამოცანა 5: ჩამოწერეთ პირდაპირი პროპორციულობა ფორმულით. მისი გრაფიკი და y = -5x + 3 ფუნქციის გრაფიკი განლაგებულია პარალელურად.

ამოხსნა: ფუნქცია, რომელიც მოცემულია პირობით, არის წრფივი. ჩვენ ვიცით, რომ პირდაპირი პროპორციულობა არის წრფივი ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა. ჩვენ ასევე ვიცით, რომ თუ k ფუნქციების კოეფიციენტები ტოლია, მათი გრაფიკები პარალელურია. ეს ნიშნავს, რომ საჭიროა მხოლოდ ცნობილი ფუნქციის კოეფიციენტის გამოთვლა და პირდაპირი პროპორციულობის ჩვენთვის ნაცნობი ფორმულის გამოყენებით: y = k *x. კოეფიციენტი k = -5, პირდაპირი პროპორციულობა: y = -5*x.

დასკვნა

ახლა თქვენ გაიგეთ (ან დაიმახსოვრე, თუ უკვე გაშუქებული გაქვთ ეს თემა) რა ჰქვია პირდაპირი პროპორციულობადა შეხედა მას მაგალითები. ასევე ვისაუბრეთ პირდაპირპროპორციულობის ფუნქციაზე და მის გრაფიკზე და მოვაგვარეთ რამდენიმე მაგალითი ამოცანა.

თუ ეს სტატია სასარგებლო იყო და დაგეხმარა თემის გაგებაში, გვითხარით ამის შესახებ კომენტარებში. რათა ვიცოდეთ, შეგვეძლო თუ არა თქვენთვის სარგებელი.

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.

მაგალითი

1.6 / 2 = 0.8; 4 / 5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 და ა.შ.

პროპორციულობის ფაქტორი

პროპორციული სიდიდეების მუდმივი ურთიერთობა ეწოდება პროპორციულობის ფაქტორი. პროპორციულობის კოეფიციენტი გვიჩვენებს ერთი სიდიდის რამდენი ერთეულია მეორის ერთეულზე.

პირდაპირი პროპორციულობა

პირდაპირი პროპორციულობა- ფუნქციური დამოკიდებულება, რომლის დროსაც გარკვეული რაოდენობა დამოკიდებულია სხვა რაოდენობაზე ისე, რომ მათი თანაფარდობა რჩება მუდმივი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს ცვლადები იცვლება პროპორციულად, თანაბარ წილებში, ანუ თუ არგუმენტი ორჯერ იცვლება რომელიმე მიმართულებით, მაშინ ფუნქციაც იცვლება ორჯერ იმავე მიმართულებით.

მათემატიკურად, პირდაპირი პროპორციულობა იწერება ფორმულის სახით:

ვ(x) = აx,ა = გონსტ

უკუპროპორციულობა

უკუპროპორციულობა- ეს არის ფუნქციური დამოკიდებულება, რომელშიც დამოუკიდებელი მნიშვნელობის (არგუმენტის) ზრდა იწვევს დამოკიდებული მნიშვნელობის (ფუნქციის) პროპორციულ შემცირებას.

მათემატიკურად, შებრუნებული პროპორციულობა იწერება ფორმულის სახით:

ფუნქციის თვისებები:

წყაროები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

• ნიუტონის მეორე კანონი
• კულონის ბარიერი

ნახეთ, რა არის „პირდაპირი პროპორციულობა“ სხვა ლექსიკონებში:

პირდაპირი პროპორციულობა- - [A.S. Goldberg. ინგლისურ-რუსული ენერგეტიკული ლექსიკონი. 2006] ენერგეტიკული თემები ზოგადად EN პირდაპირი თანაფარდობა ... ტექნიკური მთარგმნელის გზამკვლევი

პირდაპირი პროპორციულობა- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: ინგლ. პირდაპირი პროპორციულობა vok. direkte Proportionalität, f rus. პირდაპირი პროპორციულობა, f pranc. პროპორციული პირდაპირი, ვ … Fizikos Terminų žodynas

პროპორციულობა- (ლათინური პროპორციულიდან პროპორციული, პროპორციული). პროპორციულობა. რუსულ ენაში შეტანილი უცხო სიტყვების ლექსიკონი. ჩუდინოვი A.N., 1910. პროპორციულობა ლათ. პროპორციული, პროპორციული. პროპორციულობა. ახსნა 25000...... რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონი

პროპორციულობა- პროპორციულობა, პროპორციულობა, მრავლობითი. არა, ქალი (წიგნი). 1. აბსტრაქტული არსებითი სახელი პროპორციულამდე. ნაწილების პროპორციულობა. სხეულის პროპორციულობა. 2. სიდიდეებს შორის ასეთი ურთიერთობა, როცა ისინი პროპორციულია (იხ. პროპორციული ... უშაკოვის განმარტებითი ლექსიკონი

პროპორციულობა- ორ ურთიერთდამოკიდებულ რაოდენობას ეწოდება პროპორციული, თუ მათი მნიშვნელობების თანაფარდობა უცვლელი რჩება. შინაარსი 1 მაგალითი 2 პროპორციულობის კოეფიციენტი ... ვიკიპედია

პროპორციულობა- პროპორციულობა და, ქალი. 1. იხილეთ პროპორციული. 2. მათემატიკაში: სიდიდეებს შორის ისეთი ურთიერთობა, რომლის დროსაც ერთის ზრდა იწვევს მეორის ცვლილებას იმავე რაოდენობით. სწორი ხაზი (ნაჭრით ერთი მნიშვნელობის ზრდით... ... ოჟეგოვის განმარტებითი ლექსიკონი

პროპორციულობა- და; და. 1. პროპორციულამდე (1 მნიშვნელობა); პროპორციულობა. პ ნაწილები. პ ფიზიკა. პ წარმომადგენლობა პარლამენტში. 2. მათემატიკა. დამოკიდებულება პროპორციულად ცვალებად რაოდენობას შორის. პროპორციულობის ფაქტორი. პირდაპირი ხაზი (რომელშიც ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

დღეს ჩვენ გადავხედავთ რა სიდიდეებს უწოდებენ უკუპროპორციულს, როგორ გამოიყურება შებრუნებული პროპორციულობის გრაფიკი და როგორ შეიძლება ეს ყველაფერი გამოგადგეთ არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე, არამედ სკოლის გარეთაც.

ასეთი განსხვავებული პროპორციები

პროპორციულობადაასახელეთ ორი სიდიდე, რომლებიც ურთიერთდამოკიდებულნი არიან ერთმანეთზე.

დამოკიდებულება შეიძლება იყოს პირდაპირი და ინვერსიული. შესაბამისად, რაოდენობებს შორის ურთიერთობა აღწერილია პირდაპირი და უკუპროპორციულობით.

პირდაპირი პროპორციულობა- ეს არის ისეთი ურთიერთობა ორ რაოდენობას შორის, რომლის დროსაც ერთის მატება ან შემცირება იწვევს მეორის ზრდას ან შემცირებას. იმათ. მათი დამოკიდებულება არ იცვლება.

მაგალითად, რაც უფრო მეტ ძალისხმევას დახარჯავთ გამოცდებზე სწავლისთვის, მით უფრო მაღალია თქვენი ქულები. ან რაც უფრო მეტ ნივთს წაიღებთ ლაშქრობისას, მით უფრო მძიმე იქნება თქვენი ზურგჩანთა სატარებელი. იმათ. გამოცდებისთვის მომზადებისთვის დახარჯული ძალისხმევის ოდენობა პირდაპირპროპორციულია მიღებული ქულებისა. ზურგჩანთაში შეფუთული ნივთების რაოდენობა კი მისი წონის პირდაპირპროპორციულია.

უკუპროპორციულობა- ეს არის ფუნქციური დამოკიდებულება, რომლის დროსაც დამოუკიდებელ მნიშვნელობაში რამდენჯერმე შემცირება ან ზრდა (მას არგუმენტი ეწოდება) იწვევს დამოკიდებული მნიშვნელობის პროპორციულ (ანუ რამდენჯერმე) ზრდას ან შემცირებას (მას უწოდებენ ფუნქცია).

მოდით ილუსტრაციით მარტივი მაგალითით. გსურთ შეიძინოთ ვაშლი ბაზარში. დახლზე არსებული ვაშლები და თქვენს საფულეში არსებული თანხის რაოდენობა შებრუნებული პროპორციულია. იმათ. რაც უფრო მეტ ვაშლს იყიდით, მით ნაკლები თანხა დარჩება.

ფუნქცია და მისი გრაფიკი

უკუპროპორციულობის ფუნქცია შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც y = k/x. Რომელშიც x≠ 0 და კ≠ 0.

ამ ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:

1. მისი განმარტების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე გარდა x = 0. დ(წ): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. დიაპაზონი არის ყველა რეალური რიცხვი გარდა წ= 0. E(y): (-∞; 0) უ (0; +∞) .
3. არ აქვს მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობები.
4. ის უცნაურია და მისი გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.
5. არაპერიოდული.
6. მისი გრაფიკი არ კვეთს კოორდინატთა ღერძებს.
7. არ აქვს ნულები.
8. თუ კ> 0 (ანუ არგუმენტი იზრდება), ფუნქცია პროპორციულად მცირდება მის თითოეულ ინტერვალზე. თუ კ< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. რაც უფრო იზრდება არგუმენტი ( კ> 0) ფუნქციის უარყოფითი მნიშვნელობები არის ინტერვალში (-∞; 0), ხოლო დადებითი მნიშვნელობები არის ინტერვალში (0; +∞). როდესაც არგუმენტი მცირდება ( კ< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

უკუპროპორციულობის ფუნქციის გრაფიკს ჰიპერბოლა ეწოდება. ნაჩვენებია შემდეგნაირად:

შებრუნებული პროპორციულობის პრობლემები

უფრო გასაგებად, მოდით შევხედოთ რამდენიმე ამოცანას. ისინი არც თუ ისე რთულია და მათი ამოხსნა დაგეხმარებათ წარმოიდგინოთ რა არის შებრუნებული პროპორციულობა და როგორ შეიძლება ეს ცოდნა სასარგებლო იყოს თქვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

დავალება No1. მანქანა მოძრაობს 60 კმ/სთ სიჩქარით. დანიშნულების ადგილზე მისასვლელად მას 6 საათი დასჭირდა. რამდენი დრო დასჭირდება მას იმავე მანძილის დასაფარად, თუ ორჯერ მეტი სიჩქარით მოძრაობს?

ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ ფორმულის ჩაწერით, რომელიც აღწერს ურთიერთობას დროს, მანძილსა და სიჩქარეს შორის: t = S/V. დამეთანხმებით, ის ძალიან გვახსენებს უკუპროპორციულობის ფუნქციას. და ეს მიუთითებს იმაზე, რომ მანქანის გატარებული დრო და სიჩქარე, რომლითაც ის მოძრაობს, უკუპროპორციულია.

ამის გადასამოწმებლად ვიპოვოთ V 2, რომელიც პირობის მიხედვით 2-ჯერ მეტია: V 2 = 60 * 2 = 120 კმ/სთ. შემდეგ ჩვენ ვიანგარიშებთ მანძილს ფორმულის გამოყენებით S = V * t = 60 * 6 = 360 კმ. ახლა ძნელი არ არის დროის t 2-ის გარკვევა, რომელიც საჭიროა ჩვენგან პრობლემის პირობების მიხედვით: t 2 = 360/120 = 3 საათი.

როგორც ხედავთ, მგზავრობის დრო და სიჩქარე მართლაც უკუპროპორციულია: თავდაპირველ სიჩქარეზე 2-ჯერ მეტი სიჩქარით, მანქანა გზაზე 2-ჯერ ნაკლებ დროს დაატარებს.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა ასევე შეიძლება დაიწეროს პროპორციულად. მოდით, ჯერ შევქმნათ ეს დიაგრამა:

↓ 60 კმ/სთ – 6 სთ

↓120 კმ/სთ – x სთ

ისრები მიუთითებს უკუპროპორციულ ურთიერთობაზე. ისინი ასევე ვარაუდობენ, რომ პროპორციის შედგენისას, ჩანაწერის მარჯვენა მხარე უნდა გადატრიალდეს: 60/120 = x/6. სად მივიღოთ x = 60 * 6/120 = 3 საათი.

დავალება No2. სახელოსნოში დასაქმებულია 6 თანამშრომელი, რომელთაც შეუძლიათ დაასრულონ სამუშაოს მოცემული მოცულობა 4 საათში. თუ მუშათა რაოდენობა განახევრდება, რამდენი დრო დასჭირდება დარჩენილ მუშაკებს იგივე რაოდენობის სამუშაოს შესრულებას?

მოდით ჩამოვწეროთ პრობლემის პირობები ვიზუალური დიაგრამის სახით:

↓ 6 მუშა – 4 საათი

↓ 3 მუშა – x სთ

მოდით ჩავწეროთ ეს პროპორციულად: 6/3 = x/4. და ვიღებთ x = 6 * 4/3 = 8 სთ. თუ 2-ჯერ ნაკლები მუშა იქნება, დანარჩენები 2-ჯერ მეტ დროს დახარჯავს მთელი სამუშაოს შესრულებაზე.

დავალება No3. აუზში ორი მილი გადის. ერთი მილით წყალი 2 ლ/წმ სიჩქარით მოედინება და აუზი 45 წუთში ივსება. სხვა მილის მეშვეობით აუზი 75 წუთში ივსება. რა სიჩქარით შედის წყალი აუზში ამ მილით?

დასაწყისისთვის, მოდით შევამციროთ ყველა სიდიდე, რომელიც მოცემულია პრობლემის პირობების მიხედვით, იმავე საზომ ერთეულებზე. ამისთვის აუზის შევსების სიჩქარეს გამოვხატავთ ლიტრებში წუთში: 2 ლ/წ = 2 * 60 = 120 ლ/წთ.

ვინაიდან ეს გამომდინარეობს იმ პირობიდან, რომ აუზი უფრო ნელა ივსება მეორე მილით, ეს ნიშნავს, რომ წყლის ნაკადის სიჩქარე უფრო დაბალია. პროპორციულობა საპირისპიროა. გამოვხატოთ უცნობი სიჩქარე x-ით და შევადგინოთ შემდეგი დიაგრამა:

↓ 120 ლ/წთ – 45 წთ

↓ x ლ/წთ – 75 წთ

შემდეგ ჩვენ ვადგენთ პროპორციას: 120/x = 75/45, საიდანაც x = 120 * 45/75 = 72 ლ/წთ.

პრობლემაში აუზის შევსების სიჩქარე გამოიხატება ლიტრებში წამში, მივიღეთ პასუხი იმავე ფორმამდე: 72/60 = 1,2 ლ/წმ.

დავალება No4. პატარა კერძო სტამბა ბეჭდავს სავიზიტო ბარათებს. სტამბის თანამშრომელი მუშაობს საათში 42 სავიზიტო ბარათის სიჩქარით და მუშაობს მთელი დღე - 8 საათი. თუ ის უფრო სწრაფად მუშაობდა და ერთ საათში 48 სავიზიტო ბარათი დაბეჭდა, რამდენად ადრე შეეძლო სახლში წასვლა?

ჩვენ მივყვებით დადასტურებულ გზას და ვადგენთ დიაგრამას პრობლემის პირობების მიხედვით, სადაც ვნიშნავთ სასურველ მნიშვნელობას, როგორც x:

↓ 42 სავიზიტო ბარათი/საათში – 8 საათი

↓ 48 სავიზიტო ბარათი/სთ – x სთ

ჩვენ გვაქვს უკუპროპორციული ურთიერთობა: რამდენჯერ მეტ სავიზიტო ბარათს ბეჭდავს სტამბის თანამშრომელი საათში, იმდენივე ჯერ ნაკლები დრო დასჭირდება ერთი და იგივე სამუშაოს შესასრულებლად. ამის გაგებით, მოდით შევქმნათ პროპორცია:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 საათი.

ამრიგად, 7 საათში სამუშაოს დასრულების შემდეგ, სტამბის თანამშრომელს შეეძლო სახლში წასვლა ერთი საათით ადრე.

დასკვნა

გვეჩვენება, რომ ეს შებრუნებული პროპორციულობის ამოცანები მართლაც მარტივია. ვიმედოვნებთ, რომ ახლა თქვენც ასე ფიქრობთ მათზე. და მთავარი ის არის, რომ ცოდნა რაოდენობების უკუპროპორციული დამოკიდებულების შესახებ შეიძლება მართლაც გამოგადგეს არაერთხელ.

არა მარტო მათემატიკის გაკვეთილებზე და გამოცდებზე. მაგრამ მაშინაც კი, როცა სამოგზაუროდ წასასვლელად მოემზადებით, წადით საყიდლებზე, გადაწყვიტეთ ცოტა ზედმეტი ფულის გამომუშავება არდადეგების დროს და ა.შ.

გვითხარით კომენტარებში შებრუნებული და პირდაპირპროპორციული ურთიერთობის რა მაგალითებს ამჩნევთ თქვენს გარშემო. დაე იყოს ასეთი თამაში. ნახავთ, რამდენად ამაღელვებელია. არ დაგავიწყდეთ ამ სტატიის სოციალურ ქსელებში გაზიარება, რათა თქვენმა მეგობრებმა და კლასელებმაც შეძლონ თამაში.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

I. პირდაპირპროპორციული სიდიდეები.

მიეცით ღირებულება წდამოკიდებულია ზომაზე X. თუ გაზრდისას Xრამდენჯერმე ზომის ზეიზრდება იმავე რაოდენობით, შემდეგ ასეთი მნიშვნელობები Xდა ზეპირდაპირპროპორციულს უწოდებენ.

მაგალითები.

1 . შეძენილი საქონლის რაოდენობა და შესყიდვის ფასი (ერთი ერთეული საქონლის ფიქსირებული ფასით - 1 ცალი ან 1 კგ და ა.შ.) რამდენჯერ მეტი საქონელი იყიდა, რამდენჯერ მეტი გადაიხადეს.

2 . გავლილი მანძილი და მასზე გატარებული დრო (მუდმივი სიჩქარით). რამდენჯერ გრძელია გზა, რამდენჯერ მეტი დრო დასჭირდება მის დასრულებას.

3 . სხეულის მოცულობა და მისი მასა. ( თუ ერთი საზამთრო მეორეზე 2-ჯერ დიდია, მაშინ მისი მასა 2-ჯერ დიდი იქნება)

II. რაოდენობათა პირდაპირპროპორციულობის თვისება.

თუ ორი რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია, მაშინ პირველი რაოდენობის ორი თვითნებურად მიღებული მნიშვნელობის თანაფარდობა უდრის მეორე რაოდენობის ორი შესაბამისი მნიშვნელობის თანაფარდობას.

დავალება 1.ჟოლოს ჯემისთვის ავიღეთ 12 კგჟოლო და 8 კგსაჰარა. რამდენი შაქარი დაგჭირდებათ თუ მიიღებთ? 9 კგჟოლო?

გამოსავალი.

ჩვენ ასე ვმსჯელობთ: დაე, საჭირო იყოს x კგშაქარი ამისთვის 9 კგჟოლო ჟოლოს მასა და შაქრის მასა პირდაპირპროპორციული რაოდენობებია: რამდენჯერ ნაკლებია ჟოლო, იმდენჯერ ნაკლები შაქარია საჭირო. ამიტომ, მიღებული ჟოლოს თანაფარდობა (წონის მიხედვით) ( 12:9 ) უდრის მიღებული შაქრის თანაფარდობას ( 8: x). ჩვენ ვიღებთ პროპორციას:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. პასუხი: on 9 კგჟოლოს მიღებაა საჭირო 6 კგსაჰარა.

პრობლემის გადაწყვეტაეს შეიძლება გაკეთდეს ასე:

მოდით 9 კგჟოლოს მიღებაა საჭირო x კგსაჰარა.

(სურათზე ისრები მიმართულია ერთი მიმართულებით და ზევით ან ქვევით არ აქვს მნიშვნელობა. მნიშვნელობა: რამდენჯერ არის რიცხვი. 12 მეტი ნომერი 9 , იმდენივე ჯერ 8 მეტი ნომერი X, ანუ აქ არის პირდაპირი ურთიერთობა).

პასუხი: on 9 კგჟოლო უნდა წავიღო 6 კგსაჰარა.

დავალება 2.მანქანა ამისთვის 3 საათიმანძილი გაიარა 264 კმ. რამდენი დრო დასჭირდება მას მოგზაურობას? 440 კმთუ ის იმავე სიჩქარით ატარებს?

გამოსავალი.

ნება ამისთვის x საათიმანქანა დაფარავს მანძილს 440 კმ.

პასუხი:მანქანა გაივლის 440 კმ 5 საათში.

დავალება 3.წყალი მიედინება მილიდან აუზში. უკან 2 საათიის ავსებს 1/5 საცურაო აუზი აუზის რომელი ნაწილია წყლით სავსე 5 საათი?

გამოსავალი.

ჩვენ ვპასუხობთ დავალების კითხვას: ამისთვის 5 საათიშეივსება 1/xაუზის ნაწილი. (მთელი აუზი აღებულია როგორც ერთი მთლიანი).