ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით, მისი თვისებები. ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

ნაწილი II. თავი 6
რიცხვების თანმიმდევრობა

ხარისხის კონცეფცია ირაციონალური მაჩვენებლით

დაე, a იყოს დადებითი რიცხვი და a იყოს ირაციონალური რიცხვი.
რა მნიშვნელობა უნდა მიენიჭოს გამოთქმას a*?
იმისათვის, რომ პრეზენტაცია უფრო გასაგები გახდეს, ჩვენ მას ჩავატარებთ პირადში
მაგალითი. კერძოდ, დავდოთ a - 2 და a = 1, 624121121112. . . .
აქ a არის უსასრულო ათობითი წილადი, რომელიც შედგება შემდეგნაირად
კანონი: მეოთხე ათწილადიდან დაწყებული, სურათისთვის a
გამოიყენება მხოლოდ 1 და 2 რიცხვები, ხოლო რიცხვების რაოდენობა არის 1,
ზედიზედ დაწერილი 2 რიცხვის წინ, მუდმივად იზრდება
ერთი. წილადი a არის არაპერიოდული, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში ციფრების რაოდენობა არის 1,
მის გამოსახულებაში ზედიზედ ჩაწერილი შეზღუდული იქნებოდა.
ამიტომ, a არის ირაციონალური რიცხვი.
მაშ, რა მნიშვნელობა უნდა მიენიჭოს გამოთქმას
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . რ
ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით შევქმნათ მნიშვნელობების თანმიმდევრობა
ხოლო დეფიციტით და სიჭარბით (0.1)* სიზუსტით. ვიღებთ
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
შევქმნათ რიცხვი 2-ის უფლებათა შესაბამისი თანმიმდევრობა:
2 მ. 2 მ*; 21*624; 21’62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Wu 21.6Sh; . (4)
თანმიმდევრობა (3) იზრდება თანმიმდევრობის ზრდასთან ერთად
(1) (თეორემა 2 § 6).
თანმიმდევრობა (4) მცირდება, რადგან თანმიმდევრობა მცირდება
(2).
(3) თანმიმდევრობის თითოეული წევრი ნაკლებია მიმდევრობის თითოეულ წევრზე
(4) და ამით თანმიმდევრობა (3) შეზღუდულია
ზემოდან და თანმიმდევრობა (4) შემოსაზღვრულია ქვემოდან.
მონოტონური შემოსაზღვრული მიმდევრობის თეორემაზე დაყრდნობით
თითოეულ (3) და (4) თანმიმდევრობას აქვს ლიმიტი. თუ

384 ხარისხის ცნება ირაციონალური მაჩვენებლით . .

ახლა გამოდის, რომ სხვაობა (4) და (3) მიმდევრობებს შორის ერთმანეთს ემთხვევა
ნულამდე, მაშინ მოჰყვება, რომ ორივე ეს თანმიმდევრობა,
აქვს საერთო ზღვარი.
(3) და (4) მიმდევრობების პირველი წევრების განსხვავება
21-7 - 21'* = 2|, (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
მეორე ტერმინების განსხვავება
21'63 - 21,62 = 21,62 (2°'01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
n-ე ტერმინების განსხვავება
0,0000. ..0 1
2>.««…(2" - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
თეორემა 3 § 6-ზე დაყრდნობით
ლიმი 10" / 2 = 1.
ამრიგად, (3) და (4) მიმდევრობებს აქვთ საერთო ზღვარი. ეს
ლიმიტი არის ერთადერთი რეალური რიცხვი, რომელიც მეტია
(3) მიმდევრობის ყველა წევრი და მიმდევრობის ყველა წევრზე ნაკლები
(4), მიზანშეწონილია ჩათვალოთ ის 2*-ის ზუსტი მნიშვნელობა.
ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ ზოგადად მიზანშეწონილია მიღება
შემდეგი განმარტება:
განმარტება. თუ a^> 1, მაშინ a-ის ძალა ირაციონალურთან
მაჩვენებელი a არის რეალური რიცხვი
რაც მეტია ამ რიცხვის ყველა ხარისხზე, რომლის მაჩვენებლებიც არიან
რაციონალური მიახლოებები a მინუსით და ყველა ხარისხზე ნაკლები
ეს რიცხვი, რომლის მაჩვენებლებია რაციონალური მიახლოებები და თან
ჭარბი.
Თუ<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
არის რეალური რიცხვი, რომელიც ყველა ძალაზე მეტია
ეს რიცხვი, რომლის მაჩვენებლებია რაციონალური მიახლოებები და
ჭარბი და ნაკლები ამ რიცხვის ყველა უფლებამოსილებით, რომლის მაჩვენებლებიც
- რაციონალური მიახლოებები ა ნაკლოვანებით.
.თუ a- 1, მაშინ მისი ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით a
არის 1.
ლიმიტის კონცეფციის გამოყენებით, ეს განმარტება შეიძლება ჩამოყალიბდეს
Ისე:
დადებითი რიცხვის სიმძლავრე ირაციონალური მაჩვენებლით
და ზღვარი, რომლისკენაც მიდრეკილია მიმდევრობა, ეწოდება
ამ რიცხვის რაციონალური ძალები, იმ პირობით, რომ თანმიმდევრობა
ამ ძალაუფლების მაჩვენებლები მიდრეკილნი არიან ა, ე.ი.
аа = lim аЧ
ბ — *
13 D, K. Fatsheev, I. S. Sominsky

ამ სტატიაში ჩვენ გავარკვევთ რა არის ეს ხარისხი. აქ მივცემთ რიცხვის სიძლიერის განმარტებებს, ხოლო დეტალურად განვიხილავთ ყველა შესაძლო მაჩვენებელს, დაწყებული ბუნებრივი მაჩვენებლით და დამთავრებული ირაციონალურით. მასალაში ნახავთ ხარისხების უამრავ მაგალითს, რომელიც მოიცავს ყველა იმ დახვეწილობას, რომელიც წარმოიქმნება.

გვერდის ნავიგაცია.

სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით, რიცხვის კვადრატი, რიცხვის კუბი

დავიწყოთ იმით. წინ რომ ვიხედოთ, ვთქვათ, რომ a რიცხვის სიმძლავრის განმარტება n ბუნებრივი მაჩვენებლით მოცემულია a-სთვის, რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ. ხარისხის საფუძველი, და n, რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ ექსპონენტი. ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით განისაზღვრება პროდუქტის საშუალებით, ამიტომ ქვემოთ მოცემული მასალის გასაგებად, თქვენ უნდა გესმოდეთ რიცხვების გამრავლება.

განმარტება.

რიცხვის სიმძლავრე n ბუნებრივი მაჩვენებლითარის a n ფორმის გამოხატულება, რომლის მნიშვნელობა უდრის n ფაქტორების ნამრავლს, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს, ანუ .
კერძოდ, რიცხვი a 1 მაჩვენებლით არის თავად რიცხვი a, ანუ a 1 =a.

დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს ხარისხების წაკითხვის წესები. a n აღნიშვნის წაკითხვის უნივერსალური გზაა: „a n-ის ხარისხამდე“. ზოგიერთ შემთხვევაში, შემდეგი ვარიანტებიც მისაღებია: „a-დან n-ე ხარისხამდე“ და „a-ის n-ე ხარისხამდე“. მაგალითად, ავიღოთ სიმძლავრე 8 12, ეს არის "რვა თორმეტის ხარისხამდე", ან "რვა მეთორმეტე ხარისხამდე", ან "რვის მეთორმეტე ხარისხში".

რიცხვის მეორე ხარისხს, ისევე როგორც რიცხვის მესამე ხარისხს, აქვთ საკუთარი სახელები. რიცხვის მეორე ხარისხს ეწოდება რიცხვის კვადრატშიმაგალითად, 7 2 იკითხება როგორც „შვიდი კვადრატში“ ან „შვიდი რიცხვის კვადრატი“. რიცხვის მესამე ხარისხს უწოდებენ კუბური რიცხვებიმაგალითად, 5 3 შეიძლება წაიკითხოთ როგორც "ხუთი კუბიკი" ან შეგიძლიათ თქვათ "კუბი ნომერი 5".

მოტანის დროა გრადუსების მაგალითები ბუნებრივი მაჩვენებლებით. დავიწყოთ 5 7 ხარისხით, აქ 5 არის ხარისხის საფუძველი, ხოლო 7 არის მაჩვენებლის მაჩვენებელი. მოვიყვანოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 4.32 არის ფუძე, ხოლო ნატურალური რიცხვი 9 არის მაჩვენებლის (4.32) 9 .

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ბოლო მაგალითში 4.32 სიმძლავრის საფუძველი იწერება ფრჩხილებში: შეუსაბამობების თავიდან ასაცილებლად ფრჩხილებში ჩავსვამთ სიმძლავრის ყველა ფუძეს, რომელიც განსხვავდება ნატურალური რიცხვებისგან. მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ შემდეგ ხარისხებს ბუნებრივი მაჩვენებლებით , მათი ფუძეები არ არის ნატურალური რიცხვები, ამიტომ ისინი იწერება ფრჩხილებში. სრული სიცხადისთვის, ამ ეტაპზე ჩვენ ვაჩვენებთ განსხვავებას (−2) 3 და −2 3 ფორმის ჩანაწერებში. გამოსახულება (−2) 3 არის −2-ის სიმძლავრე 3-ის ბუნებრივი მაჩვენებლით, ხოლო გამოსახულება −2 3 (ის შეიძლება დაიწეროს როგორც −(2 3) ) შეესაბამება რიცხვს, 2 3 სიმძლავრის მნიშვნელობას. .

გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს a რიცხვის სიმძლავრის აღნიშვნა a^n ფორმის n მაჩვენებლით. უფრო მეტიც, თუ n არის მრავალმნიშვნელოვანი ნატურალური რიცხვი, მაშინ მაჩვენებელი აღებულია ფრჩხილებში. მაგალითად, 4^9 არის კიდევ ერთი აღნიშვნა 4 9-ის ხარისხზე. და აი, კიდევ რამდენიმე მაგალითი, თუ როგორ დაწეროთ გრადუსი სიმბოლოს "^" გამოყენებით: 14^(21) , (−2,1)^(155) . შემდეგში, ჩვენ პირველ რიგში გამოვიყენებთ a n ფორმის ხარისხობრივ აღნიშვნას.

ბუნებრივი მაჩვენებლით სიმძლავრის ამაღლების ერთ-ერთი პრობლემა არის სიმძლავრის საფუძვლის პოვნის პრობლემა სიმძლავრის ცნობილი მნიშვნელობიდან და ცნობილი მაჩვენებლისგან. ეს ამოცანა იწვევს.

ცნობილია, რომ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე შედგება მთელი რიცხვებისგან და წილადებისგან და თითოეული წილადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დადებითი ან უარყოფითი ჩვეულებრივი წილადი. წინა აბზაცში განვსაზღვრეთ ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ამიტომ, რომ დავასრულოთ ხარისხის განსაზღვრება რაციონალური მაჩვენებლით, უნდა მივცეთ მნიშვნელობა a რიცხვის ხარისხს წილადის მაჩვენებლით m/n, სადაც m არის მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

განვიხილოთ ხარისხი ფორმის წილადი მაჩვენებლით. იმისათვის, რომ ძალაუფლება ძალაუფლების თვისება დარჩეს ძალაში, თანასწორობა უნდა იყოს . თუ გავითვალისწინებთ მიღებულ თანასწორობას და იმას, თუ როგორ დავადგინეთ , მაშინ ლოგიკურია მისი მიღება იმ პირობით, რომ მოცემული m, n და a გამოსახულებას აქვს აზრი.

ადვილია იმის შემოწმება, რომ მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ყველა თვისება მართებულია (ეს გაკეთდა რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების განყოფილებაში).

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს გავაკეთოთ შემდეგი დასკვნა: თუ მოცემულია m, n და a გამოთქმა აზრი აქვს, მაშინ a-ის ხარისხს წილადი მაჩვენებლით m/n ეწოდება a-ს n-ე ფესვი m-ის ხარისხში.

ეს დებულება გვაახლოებს წილადის მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრებასთან. რჩება მხოლოდ იმის აღწერა, თუ რაში აქვს m, n და a გამოხატულებას აზრი. m, n და a-ზე დაყენებული შეზღუდვებიდან გამომდინარე, არსებობს ორი ძირითადი მიდგომა.

უმარტივესი გზაა a-ზე შეზღუდვის დაწესება a≥0 დადებითი m-ისთვის და a>0 უარყოფითი m-ისთვის (რადგან m≤0-სთვის m-ის 0 ხარისხი არ არის განსაზღვრული). შემდეგ მივიღებთ ხარისხის შემდეგ განმარტებას წილადის მაჩვენებლით.

განმარტება.

დადებითი რიცხვი a წილადი მ/ნ მაჩვენებლით, სადაც m არის მთელი რიცხვი და n ნატურალური რიცხვი, ეწოდება a რიცხვის n-ე ფესვი m-ის ხარისხზე, ანუ .

ნულის წილადური სიმძლავრე ასევე განისაზღვრება ერთადერთი გაფრთხილებით, რომ ინდიკატორი დადებითი უნდა იყოს.

განმარტება.

ნულის სიმძლავრე წილადი დადებითი მაჩვენებლით m/n, სადაც m არის დადებითი მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი, განისაზღვრება როგორც .
როდესაც ხარისხი არ არის განსაზღვრული, ანუ ნულის რიცხვის ხარისხს წილადი უარყოფითი მაჩვენებლით აზრი არ აქვს.

უნდა აღინიშნოს, რომ წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ამ განმარტებით, არსებობს ერთი გამოხმაურება: ზოგიერთ უარყოფითს a და ზოგს m და n-სთვის გამოთქმა აზრი აქვს და ეს შემთხვევები გავაუქმეთ a≥0 პირობის შემოღებით. მაგალითად, ჩანაწერებს აზრი აქვს ან , და ზემოთ მოცემული განმარტება გვაიძულებს ვთქვათ, რომ ძალები ფორმის წილადი მაჩვენებლით აზრი არ აქვს, რადგან ბაზა არ უნდა იყოს უარყოფითი.

კიდევ ერთი მიდგომა წილადის მაჩვენებლით m/n-ით ხარისხის დასადგენად არის ფესვის ლუწი და კენტი მაჩვენებლების ცალკე განხილვა. ეს მიდგომა მოითხოვს დამატებით პირობას: a რიცხვის სიმძლავრე, რომლის მაჩვენებელია , ითვლება a რიცხვის ხარისხად, რომლის მაჩვენებელია შესაბამისი შეუქცევადი წილადი (ამ პირობის მნიშვნელობას ქვემოთ ავხსნით. ). ანუ, თუ m/n არის შეუქცევადი წილადი, მაშინ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის k ხარისხი ჯერ შეიცვლება .

ლუწი n-სთვის და დადებითი m-სთვის, გამოხატულებას აქვს აზრი ნებისმიერი არაუარყოფითი a-სთვის (უარყოფითი რიცხვის ლუწი ფესვს აზრი არ აქვს); უარყოფითი m-ისთვის, რიცხვი a მაინც უნდა განსხვავდებოდეს ნულისაგან (წინააღმდეგ შემთხვევაში იქნება გაყოფა. ნულით). ხოლო კენტი n-სთვის და დადებითი m-ისთვის, რიცხვი a შეიძლება იყოს ნებისმიერი (კენტი ხარისხის ფესვი განისაზღვრება ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის), ხოლო უარყოფითი m-ისთვის, რიცხვი a უნდა განსხვავდებოდეს ნულისაგან (ისე რომ არ იყოს გაყოფა. ნული).

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა მიგვიყვანს წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ამ განსაზღვრებამდე.

განმარტება.

მოდით m/n იყოს შეუქცევადი წილადი, m მთელი რიცხვი და n ნატურალური რიცხვი. ნებისმიერი რედუცირებადი წილადისთვის, ხარისხი იცვლება . რიცხვის სიმძლავრე შეუმცირებელი წილადის მაჩვენებლით m/n არის for



მოდით ავხსნათ, თუ რატომ შეიცვალა ხარისხი შემცირებადი წილადის მაჩვენებლით ჯერ შეუქცევადი მაჩვენებლით. თუ ჩვენ უბრალოდ განვსაზღვრავდით ხარისხს, როგორც , და არ გავაკეთებდით დათქმას m/n წილადის შეუქცევადობის შესახებ, მაშინ აღმოვჩნდით მსგავსი სიტუაციების წინაშე: ვინაიდან 6/10 = 3/5, მაშინ ტოლობა უნდა შენარჩუნდეს. , მაგრამ , ა .

რიცხვის სიმძლავრის დადგენის შემდეგ ლოგიკურია საუბარი ხარისხის თვისებები. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ რიცხვის სიმძლავრის ძირითად თვისებებს, ხოლო ყველა შესაძლო მაჩვენებელს შევეხებით. აქ ჩვენ მოგაწვდით ხარისხების ყველა თვისების მტკიცებულებას და ასევე ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენება ეს თვისებები მაგალითების ამოხსნისას.

გვერდის ნავიგაცია.

გრადუსების თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლებით

ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის განმარტებით, სიმძლავრე a n არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ამ განმარტებაზე დაყრდნობით და ასევე გამოყენებით ნამდვილ რიცხვთა გამრავლების თვისებები, შეგვიძლია მივიღოთ და დავასაბუთოთ შემდეგი ხარისხის თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლით:

1. a m ·a n =a m+n ხარისხის ძირითადი თვისება, მისი განზოგადება;
2. იდენტური საფუძვლების კოეფიციენტთა თვისება a m:a n =a m−n ;
3. პროდუქტის სიმძლავრის თვისება (a·b) n =a n ·b n , მისი გაფართოება;
4. კოეფიციენტის თვისება ბუნებრივ ხარისხზე (a:b) n =a n:b n ;
5. ხარისხის ამაღლება ხარისხამდე (a m) n =a m·n, მისი განზოგადება ((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. ხარისხის შედარება ნულთან:
   • თუ a>0, მაშინ n>0 ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n;
   • თუ a=0, მაშინ a n =0;
   • თუ<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 თუ ა<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. თუ a და b დადებითი რიცხვებია და a
8. თუ m და n ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ m>n, მაშინ 0-ზე 0 უტოლობა a m >a n მართალია.

დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ ყველა წერილობითი თანასწორობა არის იდენტურიმითითებული პირობების გათვალისწინებით, მათი მარჯვენა და მარცხენა ნაწილების შეცვლა შესაძლებელია. მაგალითად, a m ·a n =a m+n წილადის მთავარი თვისება გამონათქვამების გამარტივებახშირად გამოიყენება m+n =a m ·a n სახით.

ახლა მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი დეტალურად.

დავიწყოთ ერთი და იგივე ფუძის მქონე ორი სიმძლავრის ნამრავლის თვისებით, რომელსაც ე.წ ხარისხის მთავარი თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, ტოლობა a m ·a n =a m+n არის ჭეშმარიტი.

მოდით დავამტკიცოთ ხარისხის ძირითადი თვისება. ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის განმარტებით, a m ·a n ფორმის იგივე ფუძეების მქონე ძალების ნამრავლი შეიძლება ჩაიწეროს ნამრავლად. გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე, მიღებული გამოხატულება შეიძლება დაიწეროს როგორც და ეს ნამრავლი არის a რიცხვის სიმძლავრე m+n ბუნებრივი მაჩვენებლით, ანუ m+n. ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

მოდით მივცეთ მაგალითი, რომელიც ადასტურებს ხარისხის ძირითად თვისებას. ავიღოთ გრადუსები იგივე საფუძვლებით 2 და ბუნებრივი ხარისხებით 2 და 3, გრადუსების ძირითადი თვისების გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. მოდით შევამოწმოთ მისი ვალიდობა 2 2 · 2 3 და 2 5 გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოთვლით. ჩვენ გვაქვს ექსპონენტაციის შესრულება 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32და 2 5 =2·2·2·2·2=32, ვინაიდან მიიღება თანაბარი მნიშვნელობები, მაშინ ტოლობა 2 2 ·2 3 =2 5 სწორია და ის ადასტურებს ხარისხის ძირითად თვისებას.

ხარისხის ძირითადი თვისება, რომელიც დაფუძნებულია გამრავლების თვისებებზე, შეიძლება განზოგადდეს სამი ან მეტი სიმძლავრის ნამრავლზე ერთი და იგივე ფუძეებით და ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ასე რომ, ნებისმიერი k რიცხვისთვის ნატურალური რიცხვები n 1, n 2, …, n k შემდეგი ტოლობა მართალია: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Მაგალითად, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

ჩვენ შეგვიძლია გადავიდეთ ძალების შემდეგ თვისებაზე ბუნებრივი მაჩვენებლით - ერთნაირი ფუძეების კოეფიციენტის ხარისხების თვისება: ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვისთვის და m და n თვითნებური ნატურალური რიცხვებისთვის, რომლებიც აკმაყოფილებს m>n პირობას, ტოლობა a m:a n =a m−n არის ჭეშმარიტი.

სანამ ამ თვისების მტკიცებულებას წარმოვადგენთ, განვიხილოთ ფორმულირებაში არსებული დამატებითი პირობების მნიშვნელობა. პირობა a≠0 აუცილებელია, რათა თავიდან ავიცილოთ გაყოფა ნულზე, რადგან 0 n =0, და როცა გავეცანით გაყოფას, შევთანხმდით, რომ ნულზე ვერ გავყოფთ. პირობა m>n შემოტანილია ისე, რომ ბუნებრივ მაჩვენებლებს არ გავცდეთ. მართლაც, m>n-სთვის მაჩვენებლის m−n არის ნატურალური რიცხვი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის იქნება ან ნული (რაც ხდება m−n) ან უარყოფითი რიცხვი (რაც ხდება m-სთვის.

მტკიცებულება. წილადის მთავარი თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობა a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. მიღებული ტოლობიდან a m−n ·a n =a m და გამოდის, რომ m−n არის a m და a n ხარისხების კოეფიციენტი. ეს ადასტურებს იდენტური ფუძის მქონე კოეფიციენტების ხარისხებს.

მოვიყვანოთ მაგალითი. ავიღოთ ორი გრადუსი ერთი და იგივე ფუძეებით π და ბუნებრივი მაჩვენებლებით 5 და 2, ტოლობა π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 შეესაბამება ხარისხის განხილულ თვისებას.

ახლა განვიხილოთ პროდუქტის სიმძლავრის თვისება: ნებისმიერი ორი რეალური რიცხვის ნამრავლის n ბუნებრივი სიძლიერე a და b ტოლია a n და b n ხარისხების ნამრავლის, ანუ (a·b) n =a n ·b n .

მართლაც, ხარისხის განსაზღვრებით ბუნებრივი მაჩვენებლით გვაქვს . გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე, ბოლო ნამრავლი შეიძლება გადაიწეროს როგორც , რომელიც უდრის a n · b n .

აი მაგალითი: .

ეს თვისება ვრცელდება სამი ან მეტი ფაქტორის პროდუქტის ძალაზე. ანუ k ფაქტორების ნამრავლის ბუნებრივი ხარისხის n თვისება იწერება როგორც (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ ამ თვისებას მაგალითით. სამი ფაქტორის ნამრავლისთვის 7-ის ხარისხზე გვაქვს .

შემდეგი ქონება არის კოეფიციენტის თვისება ნატურით: a და b, b≠0 რეალური რიცხვების კოეფიციენტი n ნატურალურ ხარისხზე უდრის a n და b n ხარისხების კოეფიციენტს, ანუ (a:b) n =a n:b n.

მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს წინა ქონების გამოყენებით. Ისე (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, და (a:b) n ·b n =a n ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ (a:b) n არის a n-ის კოეფიციენტი გაყოფილი b n-ზე.

მოდით დავწეროთ ეს თვისება კონკრეტული რიცხვების გამოყენებით, როგორც მაგალითი: .

ახლა გავახმოვანოთ ძალაუფლების ძალაუფლებაზე აყვანის თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, a m სიძლიერე n-ის ხარისხზე უდრის a რიცხვის ხარისხს m·n მაჩვენებლით, ანუ (a m) n =a m·n.

მაგალითად, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

სიმძლავრე-ხარისხის თვისების მტკიცებულება არის თანასწორობის შემდეგი ჯაჭვი: .

განხილული ქონება შეიძლება გაფართოვდეს ხარისხიდან ხარისხამდე და ა.შ. მაგალითად, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის p, q, r და s, ტოლობა . უფრო მეტი სიცხადისთვის, აქ არის მაგალითი კონკრეტული რიცხვებით: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

რჩება შეჩერება ხარისხების ბუნებრივ მაჩვენებელთან შედარების თვისებებზე.

დავიწყოთ ბუნებრივ მაჩვენებელთან ნულისა და სიმძლავრის შედარების თვისების დამტკიცებით.

ჯერ დავამტკიცოთ, რომ a n >0 ნებისმიერი a>0-სთვის.

ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი, როგორც ჩანს გამრავლების განმარტებიდან. ეს ფაქტი და გამრავლების თვისებები ვარაუდობს, რომ დადებითი რიცხვების ნებისმიერი რაოდენობის გამრავლების შედეგი ასევე იქნება დადებითი რიცხვი. ხოლო რიცხვი a-ს სიმძლავრე n ბუნებრივი მაჩვენებლით, განსაზღვრებით, არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ეს არგუმენტები საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი საფუძვლისთვის, a n ხარისხი დადებითი რიცხვია. დადასტურებული ქონების გამო 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 და .

სავსებით აშკარაა, რომ ნებისმიერი n ნატურალური რიცხვისთვის a=0-ით a n-ის ხარისხი არის ნული. მართლაც, 0 n =0·0·…·0=0 . მაგალითად, 0 3 = 0 და 0 762 = 0.

მოდით გადავიდეთ ხარისხის უარყოფით საფუძვლებზე.

დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია, ავღნიშნოთ 2·m, სადაც m არის ნატურალური რიცხვი. მერე . a·a ფორმის თითოეული ნამრავლისთვის უდრის a და a რიცხვების მოდულის ნამრავლს, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის დადებითი რიცხვი. შესაბამისად, პროდუქტიც დადებითი იქნება და ხარისხი a 2·მ. მოვიყვანოთ მაგალითები: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 და .

დაბოლოს, როდესაც a ფუძე უარყოფითი რიცხვია და მაჩვენებელი კენტი რიცხვი 2 m−1, მაშინ . ყველა ნამრავლი a·a დადებითი რიცხვია, ამ დადებითი რიცხვების ნამრავლი ასევე დადებითია და მისი გამრავლება დარჩენილ უარყოფით რიცხვზე a იწვევს უარყოფით რიცხვს. ამ თვისების გამო (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

მოდით გადავიდეთ იმავე ბუნებრივ მაჩვენებლებთან ძალების შედარების თვისებაზე, რომელსაც აქვს შემდეგი ფორმულირება: ორი სიმძლავრის ერთი და იგივე ბუნებრივი მაჩვენებლების მქონე n ნაკლებია ვიდრე ის, ვისი ფუძეც უფრო მცირეა და დიდია ის, ვისი ფუძეც უფრო დიდია. . დავამტკიცოთ.

უტოლობა a n უტოლობების თვისებებიასევე მართებულია a n ფორმის დასამტკიცებელი უტოლობა .

რჩება ძალაუფლების ჩამოთვლილი თვისებების ბოლო დამტკიცება ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ჩამოვაყალიბოთ. ორი ძლევამოსილებიდან ერთზე ნაკლები ბუნებრივი მაჩვენებლებით და იდენტური დადებითი ფუძეებით, უფრო დიდია ის, ვისი მაჩვენებლებიც უფრო მცირეა; და ორი სიძლიერის მქონე ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ერთზე მეტი იდენტური ფუძეებით, ის, ვისი მაჩვენებელიც მეტია, უფრო დიდია. მოდით გადავიდეთ ამ ქონების მტკიცებულებაზე.

დავამტკიცოთ, რომ m>n და 0 0 საწყისი პირობის m>n გამო, რაც ნიშნავს, რომ 0-ზე

რჩება ქონების მეორე ნაწილის დამტკიცება. დავამტკიცოთ, რომ m>n და a>1 a m >a n მართალია. სხვაობა a m −a n ფრჩხილებიდან n-ის ამოღების შემდეგ იღებს n ·(a m−n −1) ფორმას. ეს ნამრავლი დადებითია, რადგან a>1-სთვის a n ხარისხი დადებითი რიცხვია, ხოლო სხვაობა a m−n −1 დადებითი რიცხვია, ვინაიდან m−n>0 საწყისი პირობის გამო, ხოლო a>1-ისთვის ხარისხი m−n ერთზე მეტია. შესაბამისად, a m −a n >0 და a m >a n, რაც დამტკიცებას საჭიროებდა. ეს თვისება ილუსტრირებულია უტოლობით 3 7 >3 2.

ძალაუფლების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით

ვინაიდან დადებითი მთელი რიცხვები ნატურალური რიცხვებია, მაშინ დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლების მქონე ხარისხების ყველა თვისება ზუსტად ემთხვევა წინა აბზაცში ჩამოთვლილ და დადასტურებულ ნატურალური მაჩვენებლების ხარისხების თვისებებს.

ჩვენ განვსაზღვრეთ ხარისხი მთელი რიცხვით უარყოფითი მაჩვენებლით, ისევე როგორც ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით, ისე, რომ ტოლობებით გამოხატული ხარისხების ბუნებრივი მაჩვენებლების ყველა თვისება ძალაში დარჩა. მაშასადამე, ყველა ეს თვისება მოქმედებს როგორც ნულოვანი მაჩვენებლების, ასევე უარყოფითი მაჩვენებლების მიმართ, მაშინ როცა, რა თქმა უნდა, ხარისხების საფუძვლები განსხვავდება ნულისაგან.

ასე რომ, ნებისმიერი რეალური და არანულოვანი რიცხვებისთვის a და b, ისევე როგორც ნებისმიერი მთელი რიცხვი m და n, შემდეგი ჭეშმარიტია: ძალაუფლების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. თუ n დადებითი მთელი რიცხვია, a და b დადებითი რიცხვებია და a b−n ;
7. თუ m და n მთელი რიცხვებია და m>n, მაშინ 0-ზე 1 მოქმედებს a m >a n უტოლობა.

როდესაც a=0, a m და a n ხარისხებს აქვთ აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც m და n დადებითი მთელი რიცხვებია, ანუ ნატურალური რიცხვები. ამრიგად, ახლად დაწერილი თვისებები ასევე მოქმედებს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც a=0 და რიცხვები m და n დადებითი მთელი რიცხვებია.

თითოეული ამ თვისების დამტკიცება არ არის რთული; ამისათვის საკმარისია გამოვიყენოთ გრადუსების განმარტებები ბუნებრივი და მთელი რიცხვების მაჩვენებლებით, ასევე მოქმედებების თვისებები რეალურ რიცხვებთან. მაგალითად, დავამტკიცოთ, რომ ძალაუფლების ძალაუფლების თვისება მოქმედებს როგორც დადებით, ასევე არაპოზიტიურ რიცხვებზე. ამისათვის თქვენ უნდა აჩვენოთ, რომ თუ p არის ნული ან ნატურალური რიცხვი და q არის ნული ან ნატურალური რიცხვი, მაშინ ტოლობები (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) და (a −p) −q =a (−p)·(−q). Მოდი გავაკეთოთ ეს.

დადებითი p და q-სთვის წინა აბზაცში დადასტურდა ტოლობა (a p) q =a p·q. თუ p=0, მაშინ გვაქვს (a 0) q =1 q =1 და a 0·q =a 0 =1, საიდანაც (a 0) q =a 0·q. ანალოგიურად, თუ q=0, მაშინ (a p) 0 =1 და a p·0 =a 0 =1, საიდანაც (a p) 0 =a p·0. თუ ორივე p=0 და q=0, მაშინ (a 0) 0 =1 0 =1 და a 0·0 =a 0 =1, საიდანაც (a 0) 0 =a 0·0.

ახლა ვამტკიცებთ, რომ (a −p) q =a (−p)·q . უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის განმარტებით, მაშინ . ძალაუფლების კოეფიციენტების თვისებით გვაქვს . ვინაიდან 1 p =1·1·…·1=1 და , მაშინ . ბოლო გამონათქვამი, განსაზღვრებით, არის a −(p·q) ფორმის ხარისხში, რომელიც გამრავლების წესების გამო შეიძლება დაიწეროს როგორც (−p)·q.

ანალოგიურად .

და .

იგივე პრინციპის გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ დაამტკიცოთ ხარისხის ყველა სხვა თვისება მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, დაწერილი ტოლობის სახით.

ჩაწერილი თვისებებიდან წინაბოლოში ღირს შეჩერება a −n >b −n უტოლობის მტკიცებულებაზე, რომელიც მოქმედებს ნებისმიერ უარყოფით მთელ რიცხვზე −n და ნებისმიერ პოზიტიურ a და b-ზე, რომლისთვისაც a პირობა დაკმაყოფილებულია. . ვინაიდან პირობით ა 0 . ნამრავლი a n · b n ასევე დადებითია, როგორც a n და b n დადებითი რიცხვების ნამრავლი. მაშინ მიღებული წილადი დადებითია, როგორც b n −a n და a n ·b n დადებითი რიცხვების კოეფიციენტი. მაშასადამე, საიდანაც a −n >b −n, რისი დამტკიცებაც სჭირდებოდა.

ძალაუფლების უკანასკნელი თვისება მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით დასტურდება ისევე, როგორც სიმძლავრეების მსგავსი თვისება ბუნებრივი მაჩვენებლებით.

ძალაუფლების თვისებები რაციონალური მაჩვენებლებით

ჩვენ განვსაზღვრეთ ხარისხი წილადის მაჩვენებლით, მასზე მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების გაფართოებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადი მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს აქვთ იგივე თვისებები, რაც ხარისხებს მთელი რიცხვების მაჩვენებლებით. კერძოდ:

წილადის მაჩვენებლებით გრადუსების თვისებების დადასტურება ემყარება წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრას და მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებებს. მოვიყვანოთ მტკიცებულებები.

სიმძლავრის განმარტებით წილადის მაჩვენებლით და , მაშინ . არითმეტიკული ფესვის თვისებები საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ შემდეგი ტოლობები. გარდა ამისა, მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისების გამოყენებით, ვიღებთ , ხოლო მიღებული ხარისხის მაჩვენებელი შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგნაირად: . ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

წილადი მაჩვენებლების მქონე ძალების მეორე თვისება დადასტურებულია აბსოლუტურად ანალოგიურად:

დარჩენილი თანასწორობები დადასტურებულია მსგავსი პრინციპების გამოყენებით:

გადავიდეთ შემდეგი ქონების დამტკიცებაზე. დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი a და b, a ბ პ . რაციონალური რიცხვი p ჩავწეროთ m/n სახით, სადაც m არის მთელი რიცხვი, n კი ნატურალური რიცხვი. პირობები გვ<0 и p>0 ამ შემთხვევაში პირობები m<0 и m>0 შესაბამისად. იყიდება m>0 და a

ანალოგიურად, მ<0 имеем a m >b m, საიდანაც არის, და a p >b p.

რჩება ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. დავამტკიცოთ, რომ რაციონალური რიცხვებისთვის p და q, p>q 0-ზე 0 – უტოლობა a p >a q . ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია რაციონალური რიცხვები p და q შევამციროთ საერთო მნიშვნელამდე, თუნდაც მივიღოთ ჩვეულებრივი წილადები და , სადაც m 1 და m 2 არის მთელი რიცხვები, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. ამ შემთხვევაში, პირობა p>q შეესაბამება m 1 >m 2 პირობას, რომელიც გამომდინარეობს. შემდეგ, ძალაუფლების შედარების თვისებით იგივე ფუძეებით და ბუნებრივი მაჩვენებლებით 0-ზე 1 – უტოლობა a m 1 >a m 2 . ეს უტოლობები ფესვების თვისებებში შეიძლება გადაიწეროს შესაბამისად როგორც და . და რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრა საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ უტოლობებზე და შესაბამისად. აქედან გამოვიტანთ საბოლოო დასკვნას: p>q და 0-სთვის 0 – უტოლობა a p >a q .

ძალაუფლების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით

თუ როგორ არის განსაზღვრული ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მას აქვს რაციონალური მაჩვენებლების მქონე გრადუსების ყველა თვისება. ასე რომ, ნებისმიერი a>0, b>0 და ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q სწორია ძალაუფლების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b, a 0 უტოლობა a p b p ;
7. ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q, p>q 0-ზე 0 – უტოლობა a p >a q .

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ p და q ნებისმიერი რეალური მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს a>0-ისთვის აქვთ იგივე თვისებები.

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს., შვარცბურდი ს.ი. მათემატიკის სახელმძღვანელო მე-5 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-7 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის).

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით, მისი თვისებები.

გამოხატვა a n განისაზღვრება ყველა a და n-სთვის, გარდა a=0 შემთხვევისა n≤0-ისთვის. გავიხსენოთ ასეთი ძალების თვისებები.

ნებისმიერი a, b და ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის m და n ტოლობები მოქმედებს:

A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

ასევე გაითვალისწინეთ შემდეგი თვისება:

თუ m>n, მაშინ m >a n a>1-ისთვის და a m<а n при 0<а<1.

ამ განყოფილებაში განვაზოგადებთ რიცხვის ძალაუფლების ცნებას, რაც მნიშვნელობას მივცემთ ტიპის 2 გამონათქვამებს 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 და ა.შ. ბუნებრივია განმარტების მიცემა იმგვარად, რომ რაციონალური მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს აქვთ იგივე თვისებები (ან მათი ნაწილი მაინც), რაც ძალაუფლებას მთელი რიცხვის მაჩვენებლით. შემდეგ, კერძოდ, რიცხვის n-ე ხარისხშიუნდა იყოს ტოლი aმ . მართლაც, თუ ქონება

(a p) q =a pq

შესრულებულია, მაშინ

ბოლო ტოლობა ნიშნავს (n-ე ძირის განმარტებით) რომ რიცხვიუნდა იყოს a-ს n-ე ფესვიმ.

განმარტება.

რიცხვის სიმძლავრე a>0 რაციონალური მაჩვენებლით r=, სადაც m არის მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი (n > 1), არის რიცხვი.

ასე რომ, განსაზღვრებით

(1)

0-ის სიმძლავრე განისაზღვრება მხოლოდ დადებითი მაჩვენებლებისთვის; განმარტებით 0 r = 0 ნებისმიერი r>0-სთვის.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.

ირაციონალური რიცხვიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმითრაციონალური რიცხვების მიმდევრობის ზღვარი: .

დაე . შემდეგ არის ძალები რაციონალური მაჩვენებლით. შეიძლება დადასტურდეს, რომ ამ ძალების თანმიმდევრობა კონვერგენტულია. ამ მიმდევრობის ზღვარი ე.წ ხარისხი ფუძე და ირაციონალური მაჩვენებლით: .

დავაფიქსიროთ დადებითი რიცხვი a და მივანიჭოთ ის თითოეულ რიცხვს. ამგვარად ვიღებთ f(x) = a რიცხვით ფუნქციას x , განსაზღვრულია რაციონალური რიცხვების Q სიმრავლეზე და ფლობს ადრე ჩამოთვლილ თვისებებს. როცა a=1 ფუნქცია f(x) = a x მუდმივია, რადგან 1 x =1 ნებისმიერი რაციონალური x-ისთვის.

y = 2 ფუნქციის გრაფიკზე გამოვსახოთ რამდენიმე წერტილი x კალკულატორის გამოყენებით მანამდე გამოთვალა მნიშვნელობა 2 x სეგმენტზე [-2; 3] 1/4 ნაბიჯით (ნახ. 1, ა), შემდეგ კი 1/8 საფეხურით (ნახ. 1, ბ). გონებრივად იგივე კონსტრუქციების გაგრძელება 1/16, 1/32 ნაბიჯებით, და ა.შ., ჩვენ ვხედავთ, რომ მიღებული წერტილები შეიძლება იყოს დაკავშირებული გლუვი მრუდით, რომელიც ბუნებრივად შეიძლება ჩაითვალოს რაიმე ფუნქციის გრაფიკად, რომელიც განისაზღვრება და იზრდება მთელი რიცხვითი ხაზის გასწვრივ და იღებს მნიშვნელობებს.რაციონალურ წერტილებზე(ნახ. 1, გ). ფუნქციის გრაფიკზე საკმარისად დიდი რაოდენობის წერტილების აგება, შეგიძლიათ დარწმუნდეთ, რომ ამ ფუნქციას აქვს მსგავსი თვისებები (განსხვავება ის არის, რომ ფუნქციამცირდება R-ზე).

ეს დაკვირვებები ვარაუდობს, რომ რიცხვები 2 შეიძლება განისაზღვროს ამ გზითα და ყოველი ირაციონალური α, რომ ფორმულებით მოცემული ფუნქციები y=2 x და იქნება უწყვეტი და ფუნქცია y=2 x იზრდება და ფუნქციამცირდება მთელი რიცხვითი ხაზის გასწვრივ.

მოდით აღვწეროთ ზოგადი თვალსაზრისით, თუ როგორ განისაზღვრება რიცხვი a α ირაციონალური α-სთვის a>1-ისთვის. ჩვენ გვინდა დავრწმუნდეთ, რომ ფუნქცია y = a x იზრდებოდა. მაშინ ნებისმიერი რაციონალური რ 1 და r 2 ისეთი, რომ r 1<αუნდა აკმაყოფილებდეს უტოლობა ა r 1<а α <а r 1 .

r მნიშვნელობების არჩევა 1 და r 2 x-თან მიახლოებით, შეიძლება შეამჩნიოთ, რომ a-ს შესაბამისი მნიშვნელობები r 1 და a r 2 ცოტათი განსხვავდება. შეიძლება დადასტურდეს, რომ არსებობს მხოლოდ ერთი რიცხვი y, რომელიც ყველა a-ზე მეტია r 1 ყველა რაციონალური რ 1 და მინიმუმ r 2 ყველა რაციონალური რ 2 . ეს რიცხვი y განსაზღვრებით არის a α .

მაგალითად, კალკულატორის გამოყენებით 2 მნიშვნელობის გამოსათვლელად x წერტილებში x n და x` n, სადაც x n და x` n - რიცხვების ათობითი მიახლოებებიჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ რაც უფრო ახლოს არის x n და x`n k , რაც უფრო ნაკლებად განსხვავდება 2 x n და 2 x` n .

Მას შემდეგ

და, შესაბამისად,

ანალოგიურად, შემდეგი ათობითი მიახლოებების გათვალისწინებითნაკლოვანებისა და სიჭარბის მიხედვით მივდივართ ურთიერთობებამდე

;

;

;

;

.

მნიშვნელობა კალკულატორზე გათვლილი არის:

.

რიცხვი a განისაზღვრება ანალოგიურად α 0-ისთვის<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 ნებისმიერი α და 0α =0 α>0-სთვის.

ექსპონენციალური ფუნქცია.

ზე ა > 0, ა = 1, ფუნქცია განსაზღვრულია y = a xმუდმივისაგან განსხვავებული. ეს ფუნქცია ე.წ ექსპონენციალური ფუნქციაბაზითა.

წ= ა xზე ა> 1:

ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები 0 ფუძით< ა < 1 и ა> 1 ნაჩვენებია სურათზე.

ექსპონენციალური ფუნქციის ძირითადი თვისებები წ= ა x 0-ზე< ა < 1:

• ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის მთელი რიცხვითი ხაზი.
• ფუნქციის დიაპაზონი - ინტერვალი (0; + ) .
• ფუნქცია მკაცრად მონოტონურად იზრდება მთელ რიცხვთა წრფეზე, ანუ თუ x 1 < x 2, მაშინ ნაჯახი 1 > a x 2 .
• ზე x= 0 ფუნქციის მნიშვნელობა არის 1.
• თუ x> 0, შემდეგ 0< ა < 1 და თუ x < 0, то ნაჯახი > 1.
ექსპონენციალური ფუნქციის ზოგად თვისებებზე, როგორც 0-ზე< a < 1, так и при a > 1 მოიცავს:
• ა x 1 ა x 2 = ა x 1 + x 2, ყველასთვის x 1 და x 2.
• ა − x= ( ა x) − 1 = 1 აxვინმესთვის x.
• ნა x= ა

საინფორმაციო ბუმი ბიოლოგიაში - მიკრობების კოლონიები პეტრის ჭურჭელში კურდღლები ავსტრალიაში ჯაჭვური რეაქციები - ქიმიაში ფიზიკაში - რადიოაქტიური დაშლა, ატმოსფერული წნევის ცვლილება სიმაღლეში, სხეულის გაგრილება. ფიზიკაში - რადიოაქტიური დაშლა, ცვლილება ატმოსფეროში წნევა სიმაღლის ცვლილებით, სხეულის გაგრილებით. სისხლში ადრენალინის გამოყოფა და მისი განადგურება.ასევე აცხადებენ, რომ ინფორმაციის რაოდენობა ყოველ 10 წელიწადში ორმაგდება.ასევე ამტკიცებენ, რომ ინფორმაციის რაოდენობა ორმაგდება ყოველ 10 წელიწადში.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5

გამოხატულება 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1,7 1,73; 1.732;1.73205; 1, ;… თანმიმდევრობა იზრდება 2 1 ; 2 1.7; 2 1.73;2 1.732; 2 1.73205; 2 1, ;… თანმიმდევრობა იზრდება Bounded, რაც ნიშნავს, რომ ის გადადის ერთ ზღვარზე - მნიშვნელობა 2 3

შეიძლება განისაზღვროს π 0

10 10 18 y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 ფუნქციის თვისებები y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="y ფუნქციის თვისებები = a x n \ n a >10 21

ინფორმაციის რაოდენობა ორმაგდება ყოველ 10 წელიწადში Ox ღერძის გასწვრივ - არითმეტიკული პროგრესიის კანონის მიხედვით: 1,2,3,4…. Oy ღერძის გასწვრივ - გეომეტრიული პროგრესიის კანონის მიხედვით: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი, მას ეწოდება ექსპონენციალური (ლათინური exponere-დან - ჩვენება)