დამატების წესი- თუ ელემენტის A არჩევა შესაძლებელია n გზით, ხოლო B ელემენტის არჩევა შესაძლებელია m გზით, მაშინ A ან B შეიძლება არჩეული იყოს n + m გზით.
^ გამრავლების წესი - თუ ელემენტის A არჩევა შესაძლებელია n გზით და A-ს ნებისმიერი არჩევანისთვის, ელემენტი B შეიძლება აირჩეს m გზით, მაშინ წყვილი (A, B) შეიძლება აირჩეს n·m გზით.
გადაწყობა.ელემენტების სიმრავლის პერმუტაცია არის ელემენტების განლაგება გარკვეული თანმიმდევრობით. ამრიგად, სამი ელემენტის ნაკრების ყველა განსხვავებული პერმუტაცია არის
ელემენტების ყველა პერმუტაციის რაოდენობა აღინიშნება . ამრიგად, ყველა განსხვავებული პერმუტაციის რაოდენობა გამოითვლება ფორმულით
განთავსება.ელემენტების მიხედვით ელემენტების სიმრავლის განლაგების რაოდენობა უდრის
^ განმეორებით განთავსება. თუ არსებობს n ტიპის ელემენტების ნაკრები და თქვენ უნდა მოათავსოთ რაიმე ტიპის ელემენტი თითოეულ m ადგილზე (ელემენტების ტიპები შეიძლება ემთხვეოდეს სხვადასხვა ადგილას), მაშინ ამ ვარიანტების რაოდენობა იქნება n m. .
^ კომბინაცია. განმარტება. კომბინაციები სხვადასხვა ელემენტების მიხედვითელემენტებს უწოდებენ კომბინაციებს, რომლებიც შედგება მონაცემებისგანელემენტების მიერ ელემენტები და განსხვავდება მინიმუმ ერთი ელემენტით (სხვა სიტყვებით,- ელემენტის ქვესიმრავლეები მოცემული სიმრავლისაელემენტები). butback="" onclick="goback(684168)">^ " ALIGN=ქვემო სიგანე=230 HEIGHT=26 BORDER=0>
ელემენტარული მოვლენების სივრცე. შემთხვევითი მოვლენა. სანდო მოვლენა. შეუძლებელი მოვლენა.
შემთხვევითი მოვლენა -ელემენტარული მოვლენათა სივრცის ნებისმიერი ქვეჯგუფი.
^ სანდო მოვლენა - აუცილებლად მოხდება ექსპერიმენტის შედეგად.
შეუძლებელი მოვლენა -არ მოხდება ექსპერიმენტის შედეგად.
მოქმედებები მოვლენებზე: მოვლენათა ჯამი, პროდუქტი და განსხვავება. საპირისპირო მოვლენა. ერთობლივი და არაერთობლივი ღონისძიებები. ღონისძიებების სრული ჯგუფი.
^ შეუთავსებელი მოვლენები - თუ ისინი ერთდროულად ვერ მოხდება ექსპერიმენტის შედეგად. ისინი ამბობენ, რომ რამდენიმე შეუთავსებელი მოვლენა იქმნება მოვლენების სრული ჯგუფი, თუ რომელიმე მათგანი გამოჩნდება ექსპერიმენტის შედეგად.
თუ პირველი მოვლენა შედგება ყველა ელემენტარული შედეგისგან, გარდა მეორე მოვლენაში ჩართული, მაშინ ასეთი მოვლენები ეწოდება საწინააღმდეგო.
ორი მოვლენის A და B ჯამი არისმოვლენა, რომელიც შედგება ელემენტარული მოვლენებისგან, რომლებიც მიეკუთვნება ერთ-ერთ მოვლენას მაინც A ან B. ^ ორი მოვლენის A და B პროდუქტი - მოვლენა, რომელიც შედგება ელემენტარული მოვლენებისგან, რომლებიც ერთდროულად მიეკუთვნება A და B-ს. განსხვავება A და B -მოვლენა, რომელიც შედგება A-ს ელემენტებისაგან, რომლებიც არ მიეკუთვნება B მოვლენას.
ალბათობის კლასიკური, სტატისტიკური და გეომეტრიული განმარტებები. მოვლენის ალბათობის ძირითადი თვისებები.
, გ – ფიგურის G ნაწილი. ^ ალბათობის ძირითადი თვისებები: 1) 0≤Р(А)≤1, 2) სანდო მოვლენის ალბათობა არის 1, 3) შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა არის 0.
შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემა და მისი შედეგები.
პირობითი ალბათობა. დამოუკიდებელი მოვლენები. დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლება.
^ გამრავლების ალბათობა: ნარკომანებისთვის. თეორემა. P(A∙B) = P(A)∙P A (B). კომენტარი. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). შედეგი. P(A 1 ∙…∙A k) = P(A 1)∙P A1 (A 2)∙…∙P A1-Ak-1 (A k). დამოუკიდებელებისთვის. P(A∙B) = P(A)∙P(B).
^ ტერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემა. თეორემა . მინიმუმ ორი ერთობლივი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს მათი ერთობლივი მოვლენის ალბათობის გარეშე.
საერთო ალბათობის ფორმულა. ბეისის ფორმულები.
H 1, H 2 ...H n - შექმენით სრული ჯგუფი - ჰიპოთეზები.
მოვლენა A შეიძლება მოხდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გამოჩნდება H 1, H 2 ...H n,
შემდეგ P(A)=P(N 1)*P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)
^ ბეიზის ფორმულა
დაე, N 1, N 2 ...H n იყოს ჰიპოთეზა, მოვლენა A შეიძლება მოხდეს ერთ-ერთი ჰიპოთეზის ქვეშ
P(A)= P(N 1)* Pn1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)
დავუშვათ, რომ A მოვლენა მოხდა.
როგორ შეიცვალა ალბათობა H 1 იმის გამო, რომ მოხდა A? იმათ. R A (H 1)
P(A* N 1)=P(A)* P A (N 1)= P(N 1)* P n1 (A) => P A (N 1)= (P(N 1)* P n1 (A) )/ P(A)
H 2, H 3 ...H n განისაზღვრება ანალოგიურად
ზოგადი ფორმა:
P A (N i)= (P (N i)* P n i (A))/ P (A) , სადაც i=1,2,3…n.
ფორმულები შესაძლებელს ხდის ჰიპოთეზების ალბათობის ხელახლა შეფასებას იმის შედეგად, რომ ცნობილი ხდება ტესტების შედეგი, რომლებიც მოჰყვა A მოვლენის დადგომას.
ტესტირებამდე – აპრიორი ალბათობები - P(N 1), P(N 2)…P(N n)
ტესტის „შემდეგ“ - უკანა ალბათობები - P A (N 1), P A (N 2) ... P A (N n)
უკანა ალბათობა, ისევე როგორც წინა, 1-მდეა.
9.ბერნულის და პუასონის ფორმულები.
ბერნულის ფორმულა
მოდით ჩატარდეს n ცდები, რომელთაგან თითოეულში A შეიძლება გამოჩნდეს ან არ გამოჩნდეს მოვლენა. თუ A მოვლენის ალბათობა თითოეულ ამ ცდაში მუდმივია, მაშინ ეს ცდები დამოუკიდებელია A-სთან მიმართებაში.
განვიხილოთ n დამოუკიდებელი ცდა, რომელთაგან თითოეულში A შეიძლება მოხდეს p ალბათობით. ტესტების ამ თანმიმდევრობას ბერნულის წრე ეწოდება.
თეორემა: ალბათობა იმისა, რომ n ცდაში A მოვლენა ზუსტად m-ჯერ მოხდება, უდრის: P n (m)=C n m *p m *q n - m
რიცხვი m 0 - A მოვლენის შემთხვევას უწოდებენ ყველაზე სავარაუდოს, თუ შესაბამისი ალბათობა P n (m 0) არ არის სხვა P n (m)-ზე ნაკლები.
P n (მ 0)≥ P n (მ), მ 0 ≠ მ
m 0-ის საპოვნელად გამოიყენეთ:
np-q≤ m 0 ≤np+q
^ პუასონის ფორმულა
განვიხილოთ ბერნულის ტესტი:
n არის ტესტების რაოდენობა, p არის წარმატების ალბათობა
მოდით p იყოს პატარა (p→0) და n იყოს დიდი (n→∞)
n ცდაში წარმატების შემთხვევების საშუალო რაოდენობა
ჩვენ ვამატებთ λ=n*p → p= λ ბერნულის ფორმულაში:
P n (m)=C n m *p m *(1-q) n-m; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →
→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (პუასონი)
თუ p≤0.1 და λ=n*p≤10, მაშინ ფორმულა იძლევა კარგ შედეგებს.
10. მოივრ-ლაპლასის ლოკალური და ინტეგრალური თეორემები.
მოდით n იყოს ტესტების რაოდენობა, p იყოს წარმატების ალბათობა, n იყოს დიდი და მიდრეკილება უსასრულობისკენ. (n->∞)
^ ლოკალური თეორემა
Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2, სადაც f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2
თუ npq≥ 20 – იძლევა კარგ შედეგებს, x=(m-np)/(npg)^ 1/2
^ ინტეგრალური თეორემა
P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),
სადაც ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt – ლაპლასის ფუნქცია
x 1 =(a-np)/(npq)^ 1/2, x 2 =(b-np)/(npq)^ 1/2
ლაპლასის ფუნქციის თვისებები
ȹ(x) – კენტი ფუნქცია: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – მონოტონურად იზრდება
მნიშვნელობები ȹ(x) (-0.5;0.5) და lim x →∞ ȹ(x)=0.5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0.5
P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), სადაც z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)
11. შემთხვევითი ცვლადი. შემთხვევითი ცვლადების ტიპები. შემთხვევითი ცვლადის მითითების მეთოდები.
SV არის ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება ელემენტარული მოვლენების სიმრავლეზე.
X,Y,Z – NE და მისი მნიშვნელობაა x,y,z
შემთხვევითიისინი უწოდებენ რაოდენობას, რომელიც ტესტირების შედეგად მიიღებს ერთ და მხოლოდ ერთ შესაძლო მნიშვნელობას, რომელიც წინასწარ არ არის ცნობილი და დამოკიდებულია შემთხვევით მიზეზებზე, რომელთა წინასწარ გათვალისწინება შეუძლებელია.
NE დისკრეტულითუ მისი მნიშვნელობების სიმრავლე არის სასრული ან თვლადი (მათი შეიძლება დანომრილი იყოს). ის იღებს განსხვავებულ, იზოლირებულ შესაძლო მნიშვნელობებს განსაზღვრული ალბათობით. დისკრეტული SV-ის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო.
NE უწყვეტითუ ის იღებს ყველა შესაძლო მნიშვნელობას გარკვეული ინტერვალიდან (მთელ ღერძზე). მისი მნიშვნელობა შეიძლება ძალიან ცოტა განსხვავდებოდეს.
^ დისკრეტული SV-ის განაწილების კანონი მ.ბ. მიერ მოცემული:
1.მაგიდა
| X | x 1 | x 2 | … | x n |
| P(X) | გვ 1 | გვ 2 | … | p n |
(დისტრიბუციის სერია)
X=x 1) არათანმიმდევრულია
р 1 + р 2 +… p n =1= ∑p i
2.გრაფიკული
ალბათობის განაწილების პოლიგონი
3.ანალიტიკური
P=P(X)
12. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია. განაწილების ფუნქციის ძირითადი თვისებები.
SV X-ის განაწილების ფუნქცია არის ფუნქცია F(X), რომელიც განსაზღვრავს ალბათობას, რომ SV X მიიღებს x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას, ე.ი.
x x = კუმულაციური განაწილების ფუნქცია
უწყვეტ SV-ს აქვს უწყვეტი, ნაწილებად დიფერენცირებადი ფუნქცია.
ერთობლივი და არაერთობლივი ღონისძიებები.
ორ მოვლენას ე.წ ერთობლივიმოცემულ ექსპერიმენტში, თუ ერთი მათგანის გარეგნობა არ გამორიცხავს მეორის გარეგნობას. მაგალითები : ორი განსხვავებული ისრით დარტყმა ურღვევ სამიზნეს და ორივე კამათელზე ერთნაირი რაოდენობის ქულების მიღება.
ორ მოვლენას ე.წ შეუთავსებელი(შეუთავსებელია) მოცემულ ექსპერიმენტში, თუ ისინი არ შეიძლება მოხდეს ერთსა და იმავე ცდაში. რამდენიმე მოვლენას ეწოდება შეუთავსებელი, თუ ისინი წყვილში შეუთავსებელია. შეუთავსებელი მოვლენების მაგალითები: ა) დარტყმა და აცილება ერთი გასროლით; ბ) ნაწილების ყუთიდან შემთხვევით ამოღებულია ნაწილი - მოვლენები „აიღეს სტანდარტული ნაწილი“ და „არასტანდარტული ნაწილი ამოიღეს“ გ) კომპანიის დანგრევა და მისი მოგება.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოვლენები ადა INთავსებადია, თუ შესაბამისი კომპლექტები ადა INაქვს საერთო ელემენტები და არათანმიმდევრულია, თუ შესაბამისი კომპლექტები ადა INარ აქვს საერთო ელემენტები.
მოვლენების ალბათობის დადგენისას ცნება ხშირად გამოიყენება თანაბრად შესაძლებელია ივენთი. მოცემულ ექსპერიმენტში რამდენიმე მოვლენას უწოდებენ თანაბრად შესაძლებელს, თუ სიმეტრიის პირობების მიხედვით, არსებობს საფუძველი ვიფიქროთ, რომ არცერთი მათგანი არ არის ობიექტურად უფრო შესაძლებელი ვიდრე სხვები (თავებისა და კუდების დაკარგვა, ნებისმიერი ბარათის გამოჩენა. კოსტუმი, ბურთის არჩევა ურნადან და ა.შ.)
თითოეული ცდა დაკავშირებულია უამრავ მოვლენასთან, რომლებიც, ზოგადად, შეიძლება ერთდროულად მოხდეს. მაგალითად, კამათლის სროლისას მოვლენა არის ორის გაგორება, ხოლო მოვლენა არის ლუწი რიცხვის გაგორება. ცხადია, ეს მოვლენები ურთიერთგამომრიცხავი არ არის.
მოდით, ყველა შესაძლო ტესტის შედეგი განხორციელდეს რიგ ცალსახად შესაძლო კონკრეტულ შემთხვევებში, რომლებიც ურთიერთგამომრიცხავია. მერე
ü თითოეული ტესტის შედეგი წარმოდგენილია ერთი და მხოლოდ ერთი ელემენტარული მოვლენით;
ü ამ ტესტთან დაკავშირებული ყველა მოვლენა არის ელემენტარული მოვლენების სასრული ან უსასრულო რაოდენობის სიმრავლე;
ü მოვლენა ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ კომპლექტში შემავალი ერთ-ერთი ელემენტარული მოვლენა რეალიზდება.
ელემენტარული მოვლენების თვითნებური, მაგრამ ფიქსირებული სივრცე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც გარკვეული ფართობი სიბრტყეზე. ამ შემთხვევაში, ელემენტარული მოვლენები არის თვითმფრინავის წერტილები, რომლებიც მდებარეობს შიგნით. ვინაიდან მოვლენა იდენტიფიცირებულია სიმრავლით, ყველა ოპერაცია, რომელიც შეიძლება შესრულდეს კომპლექტებზე, შეიძლება შესრულდეს მოვლენებზე. სიმრავლეების თეორიის ანალოგიით, ჩვენ ვაშენებთ მოვლენათა ალგებრა. ამ შემთხვევაში შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი ოპერაციები და ურთიერთობები მოვლენებს შორის:
აÌ ბ(სიმრავლის ჩართვის მიმართება: კომპლექტი აარის ნაკრების ქვეჯგუფი IN) – მოვლენა A იწვევს მოვლენას B. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოვლენა INხდება, როდესაც ხდება მოვლენა ა. მაგალითი - ორის გადახვევა იწვევს ქულების ლუწი რიცხვის გადატანას.
(დაადგინეთ ეკვივალენტობის მიმართება) – ღონისძიება იდენტურადან ექვივალენტიღონისძიება. ეს შესაძლებელია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ და ერთდროულად, ე.ი. თითოეული ხდება მაშინ, როცა მეორე ხდება. მაგალითი – მოვლენა A – მოწყობილობის დაშლა, მოვლენა B – მოწყობილობის მინიმუმ ერთი ბლოკის (ნაწილის) დაშლა.
() – მოვლენების ჯამი. ეს არის მოვლენა, რომელიც შედგება იმაში, რომ მინიმუმ ერთი ორი მოვლენა ან (ლოგიკური "ან") მოხდა. ზოგადად, რამდენიმე მოვლენის ჯამი გაგებულია, როგორც მოვლენა, რომელიც შედგება ამ მოვლენებიდან მინიმუმ ერთის დადგომისგან. მაგალითი – მიზანს ურტყამს პირველი, მეორე ან ორივე ერთდროულად.
() – მოვლენების პროდუქტი. ეს არის მოვლენა, რომელიც შედგება მოვლენებისა და (ლოგიკური „და“) ერთობლივი წარმოშობისგან. ზოგადად, რამდენიმე მოვლენის წარმოება გაგებულია, როგორც მოვლენა, რომელიც შედგება ყველა ამ მოვლენის ერთდროული წარმოშობისგან. ამრიგად, მოვლენები შეუთავსებელია, თუ მათი წარმოება შეუძლებელი მოვლენაა, ე.ი. . მაგალითი – მოვლენა A არის ბრილიანტის კოსტუმის კარტის ამოღება გემბანიდან, მოვლენა B არის ტუზის ამოღება, მაშინ ბრილიანტის ტუზის გამოჩენა არ მომხდარა.
მოვლენებზე მოქმედებების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია ხშირად სასარგებლოა. ოპერაციების გრაფიკულ ილუსტრაციებს ვენის დიაგრამები ეწოდება.
Ივენთი
ღონისძიება. ელემენტარული ღონისძიება.
ელემენტარული მოვლენების სივრცე.
სანდო მოვლენა. შეუძლებელი მოვლენა.
იდენტური მოვლენები.
ჯამი, პროდუქტი, მოვლენათა სხვაობა.
საპირისპირო მოვლენები. შეუთავსებელი მოვლენები.
თანაბრად შესაძლო მოვლენები.
ქვეშ ღონისძიება ალბათობის თეორიაში ჩვენ გვესმის ნებისმიერი ფაქტი, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს გამოცდილების შედეგადშემთხვევითი შედეგი. ასეთი ექსპერიმენტის უმარტივესი შედეგი (მაგალითად, „თავების“ ან „კუდების“ გამოჩენა მონეტის სროლისას, მიზანში დარტყმის დროს, ტუზის გამოჩენა ბანქოდან კარტის ამოღებისას, რიცხვის შემთხვევითი გამოჩენა კუბის სროლისას.და სხვ.) ე.წელემენტარული მოვლენა .
კომპლექტი ყველა ელემენტარულიივენთი ედაურეკა სივრცის ელემენტები შეფუთვის ღონისძიებები . დიახ, როდის ჯაგრისის სროლისას ეს სივრცე ექვსისგან შედგებაელემენტარული მოვლენები, ხოლო დაფიდან კარტის ამოღებისას - 52-დან. ღონისძიება შეიძლება შედგებოდეს ერთი ან მეტი ელემენტარული მოვლენისგან, მაგალითად, ზედიზედ ორი ტუზის გამოჩენა გემბანიდან კარტის ამოღებისას, ან გარეგნობა. იგივე რიცხვი სამჯერ სროლისას. შემდეგ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ღონისძიება როგორც ელემენტარული მოვლენათა სივრცის თვითნებური ქვესიმრავლე.
სანდო მოვლენა ელემენტარული მოვლენების მთელ სივრცეს უწოდებენ. ამრიგად, გარკვეული მოვლენა არის მოვლენა, რომელიც აუცილებლად უნდა მოხდეს მოცემული გამოცდილების შედეგად. კამათლის სროლისას ასეთი მოვლენაა, როდესაც ის ერთ-ერთ სახეზე ეცემა.
შეუძლებელი მოვლენა () ელემენტარული მოვლენათა სივრცის ცარიელი ქვესიმრავლე ეწოდება. ანუ შეუძლებელი მოვლენა არ შეიძლება მოხდეს მოცემული გამოცდილების შედეგად. ასე რომ, კვარცხლბეკის სროლისას შეუძლებელი მოვლენა ის არის, რომ ის მის კიდეზე დაეშვება.
Ივენთი ადა INუწოდებენიდენტური (ა= IN), თუ მოვლენა ახდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოხდება მოვლენაIN .
ისინი ამბობენ, რომ ღონისძიება ა იწვევს მოვლენას IN ( ა IN), თუ მდგომარეობიდან"მოხდა A მოვლენა" უნდა "მოვლენა B მოხდა".
ღონისძიება თანდაურეკა მოვლენების ჯამი ადა IN (თან = ა IN), თუ მოვლენა თანხდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რომელიმე მოხდება ა, ან IN.
ღონისძიება თანდაურეკა მოვლენების პროდუქტი ადა IN (თან = ა IN), თუ მოვლენა თანხდება თუ და მხოლოდ თუ მოხდებაა, და IN.
ღონისძიება თანდაურეკა მოვლენების განსხვავება ადა IN (თან = ა – IN), თუ მოვლენა თანხდება მაშინᲛხოლოდ მაშინ, როდესაც ეს მოხდებაღონისძიება ა, და მოვლენა არ ხდება IN.
ღონისძიება A"დაურეკა საწინააღმდეგო ღონისძიებაათუ მოვლენა არ მოხდა ა. ასე რომ, გაცდენა და დარტყმა სროლისას საპირისპირო მოვლენაა.
Ივენთი ადა INუწოდებენშეუთავსებელი (ა IN = ) , თუ მათი ერთდროული გამოჩენა შეუძლებელია. მაგალითად, ორივე "კუდების" მიღება და„თავები“ მონეტის სროლისას.
თუ ექსპერიმენტის დროს შეიძლება მოხდეს რამდენიმე მოვლენა და თითოეული მათგანი, ობიექტური პირობების მიხედვით, არ არის უფრო შესაძლებელი, ვიდრე მეორე, მაშინ ასეთი მოვლენები ე.წ.თანაბრად შესაძლებელია . თანაბრად შესაძლო მოვლენების მაგალითები: დუსის, ტუზის და ჯეკის გამოჩენა, როდესაც კარტი იშლება გემბანიდან, 1-დან 6-მდე ნებისმიერი რიცხვის გაჩენა სამაჯურის სროლისას და ა.შ.
შემთხვევითი მოვლენების სახეები
მოვლენებს უწოდებენ შეუთავსებელი, თუ ერთი მათგანის დადგომა გამორიცხავს იმავე სასამართლო პროცესზე სხვა მოვლენების დადგომას.
მაგალითი 1.10.ნაწილი შედგენილია შემთხვევითად ნაწილების ყუთიდან. სტანდარტული ნაწილის გამოჩენა გამორიცხავს არასტანდარტული ნაწილის გარეგნობას. მოვლენები (გამოჩნდა სტანდარტული ნაწილი) და (გამოჩნდა არასტანდარტული ნაწილი) - შეუთავსებელი .
მაგალითი 1.11.მონეტა ისროლება. „გერბის“ გარეგნობა გამორიცხავს ნომრის გარეგნობას. მოვლენები (გამოჩნდა გერბი) და (გამოჩნდა რიცხვი) - შეუთავსებელი .
რამდენიმე მოვლენა იქმნება სრული ჯგუფი, თუ ერთი მათგანი მაინც გამოჩნდება ტესტის შედეგად.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სრული ჯგუფის ერთ-ერთი მოვლენის შემთხვევა მაინც არის საიმედო ღონისძიება. Კერძოდ, თუ მოვლენები, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს, წყვილში შეუთავსებელია, მაშინ ტესტი გამოიწვევს ამ მოვლენათაგან ერთს და მხოლოდ ერთს.ეს კონკრეტული შემთხვევა ჩვენთვის ყველაზე დიდ ინტერესს იწვევს, ვინაიდან შემდგომში იქნება გამოყენებული.
მაგალითი 1.12.შეძენილია ორი ნაღდი ფული და ტანსაცმლის ლატარიის ბილეთი. შემდეგი მოვლენებიდან ერთი და მხოლოდ ერთი აუცილებლად მოხდება: (მოგება დაეცა პირველ ბილეთზე და არ დაეცა მეორეზე), (მოგება არ დაეცა პირველ ბილეთზე და დაეცა მეორეზე), (მოგება დაეცა. ორივე ბილეთზე), (მოგება არ დაეცა ორივე ბილეთზე). ეს მოვლენები ყალიბდება სრული ჯგუფი შეუთავსებელი მოვლენების წყვილი.
მაგალითი 1.13.მსროლელმა მიზანში გაისროლა. შემდეგი ორიდან ერთი აუცილებლად მოხდება: დარტყმა ან გაცდენა. ეს ორი შეუთავსებელი მოვლენა ყალიბდება სრული ჯგუფი .
მოვლენებს უწოდებენ თანაბრად შესაძლებელია თუ არსებობს ამის დასაჯერებელი საფუძველი არცერთი მათგანისხვაზე მეტად არ არის შესაძლებელი.
3. ოპერაციები მოვლენებზე: ჯამი (კავშირი), პროდუქტი (გადაკვეთა) და მოვლენათა სხვაობა; ვიენის დიაგრამები.
ოპერაციები მოვლენებზე
მოვლენები აღინიშნება ლათინური ანბანის დასაწყისის A, B, C, D, ... დიდი ასოებით, საჭიროების შემთხვევაში მათ აწვდიან ინდექსებს. ის ფაქტი, რომ ელემენტარული შედეგი X A მოვლენას შეიცავს, აღვნიშნავთ.
ვიენის დიაგრამების გამოყენებით გეომეტრიული ინტერპრეტაცია მოსახერხებელია გასაგებად: მოდით წარმოვიდგინოთ ელემენტარული მოვლენების სივრცე Ω კვადრატის სახით, რომლის თითოეული წერტილი შეესაბამება ელემენტარულ მოვლენას. შემთხვევითი მოვლენები A და B, რომელიც შედგება ელემენტარული მოვლენების სიმრავლისგან x iდა y j, შესაბამისად, გეომეტრიულად არის გამოსახული ზოგიერთი ფიგურის სახით, რომელიც მდებარეობს Ω კვადრატში (ნახ. 1-a, 1-b).
დაე, ექსპერიმენტი შედგებოდეს 1-ა-ში ნაჩვენები კვადრატის შიგნით წერტილის შემთხვევით არჩევაში. A-ით ავღნიშნოთ მოვლენა, რომელიც (შერჩეული წერტილი დევს მარცხენა წრის შიგნით) (სურ. 1-a), B-ით ავღნიშნოთ მოვლენა, რომელიც (შერჩეული წერტილი მდებარეობს მარჯვენა წრის შიგნით) (სურ. 1-ბ).
სანდო მოვლენას ანიჭებს უპირატესობა ნებისმიერს, ამიტომ ჩვენ აღვნიშნავთ სანდო მოვლენას იგივე სიმბოლოთი Ω.
ორი მოვლენები იდენტურიაერთმანეთი (A=B) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს მოვლენები შედგება ერთი და იგივე ელემენტარული მოვლენებისგან (პუნქტები).
ორი მოვლენის ჯამი (ან გაერთიანება). A და B ეწოდება მოვლენას A+B (ან), რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ხდება A ან B. A და B მოვლენების ჯამი შეესაბამება A და B სიმრავლეთა გაერთიანებას (ნახ. 1-ე). .
მაგალითი 1.15.ლუწი რიცხვის გადახვევის მოვლენა არის მოვლენების ჯამი: 2 იცვლება, 4-ს ახვევს, 6-ს. ანუ (x = თუნდაც }= {x=2}+{x=4 }+{x=6 }.
ორი მოვლენის პროდუქტი (ან გადაკვეთა). A და B ეწოდება მოვლენას AB (ან), რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოხდება ორივე A და B. A და B მოვლენების ნამრავლი შეესაბამება A და B სიმრავლეთა კვეთას (ნახ. 1).
მაგალითი 1.16. 5-ის გადახვევის მოვლენა არის მოვლენათა გადაკვეთა: კენტი რიცხვი შემოვიდა და 3-ზე მეტი შემოვიდა, ანუ A(x=5)=B(x-კენტი)∙C(x>3).
მოდით აღვნიშნოთ აშკარა ურთიერთობები:
ღონისძიება ე.წ საწინააღმდეგო A-მდე, თუ ეს ხდება, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A არ ხდება. გეომეტრიულად, ეს არის კვადრატის წერტილების ნაკრები, რომელიც არ შედის A ქვეჯგუფში (ნახ. 1-გ). მოვლენა ასევე განისაზღვრება (ნახ. 1-დ).
მაგალითი 1.14.. ლუწი და კენტი რიცხვებისგან შემდგარი მოვლენები საპირისპირო მოვლენებია.
მოდით აღვნიშნოთ აშკარა ურთიერთობები:
ორ მოვლენას ე.წ შეუთავსებელი, თუ მათი ერთდროული გამოჩენა გამოცდილებაში შეუძლებელია. ამიტომ, თუ A და B შეუთავსებელია, მაშინ მათი პროდუქტი შეუძლებელი მოვლენაა:
ადრე შემოღებული ელემენტარული მოვლენები აშკარად წყვილში შეუთავსებელია, ანუ
მაგალითი 1.17. მოვლენები, რომლებიც შედგება ლუწი და კენტი რიცხვისგან, შეუთავსებელი მოვლენებია.
