წრფივი კუთხის გვერდებით წარმოქმნილი სიბრტყის თვისება. გაკვეთილი "დიჰედრული კუთხე"

სტუდენტების მომზადება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად, როგორც წესი, იწყება ძირითადი ფორმულების გამეორებით, მათ შორის, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ კუთხე სიბრტყეებს შორის. იმისდა მიუხედავად, რომ გეომეტრიის ეს განყოფილება საკმარისად დეტალურად არის დაფარული სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებში, ბევრ კურსდამთავრებულს სჭირდება ძირითადი მასალის გამეორება. იმის გაგება, თუ როგორ უნდა იპოვოთ კუთხე სიბრტყეებს შორის, საშუალო სკოლის მოსწავლეებს შეეძლებათ სწრაფად გამოთვალონ სწორი პასუხი პრობლემის გადაჭრისას და დაითვალონ ღირსეული ქულების მიღება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარების შედეგებზე.

ძირითადი ნიუანსი

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ კითხვა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ დიჰედრული კუთხე, არ იწვევს სირთულეებს, ჩვენ გირჩევთ მიჰყვეთ ამოხსნის ალგორითმს, რომელიც დაგეხმარებათ გაუმკლავდეთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებს.

ჯერ უნდა დაადგინოთ სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივაც თვითმფრინავები კვეთენ.

შემდეგ თქვენ უნდა აირჩიოთ წერტილი ამ ხაზზე და დახაზოთ მასზე ორი პერპენდიკულარი.

შემდეგი ნაბიჯი არის პერპენდიკულარებით წარმოქმნილი დიედრული კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის პოვნა. ამის გაკეთების ყველაზე მოსახერხებელი გზაა მიღებული სამკუთხედის დახმარებით, რომლის ნაწილიც კუთხეა.

პასუხი იქნება კუთხის მნიშვნელობა ან მისი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

შკოლკოვოს საგამოცდო ტესტისთვის მომზადება თქვენი წარმატების გასაღებია

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარების წინა დღეს გაკვეთილების დროს, ბევრ სკოლის მოსწავლეს ექმნება პრობლემა, იპოვონ განმარტებები და ფორმულები, რომლებიც საშუალებას აძლევს მათ გამოთვალონ კუთხე 2 სიბრტყეს შორის. სასკოლო სახელმძღვანელო ყოველთვის არ არის ხელთ ზუსტად მაშინ, როცა საჭიროა. და იმისათვის, რომ იპოვოთ საჭირო ფორმულები და მათი სწორი გამოყენების მაგალითები, მათ შორის ინტერნეტში თვითმფრინავებს შორის კუთხის პოვნა ინტერნეტში, ზოგჯერ საჭიროა დიდი დროის დახარჯვა.

შკოლკოვოს მათემატიკური პორტალი გთავაზობთ ახალ მიდგომას სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადებისთვის. ჩვენს ვებ-გვერდზე გაკვეთილები დაეხმარება სტუდენტებს გამოავლინონ ყველაზე რთული სექციები და შეავსონ ცოდნის ხარვეზები.

ჩვენ მოვამზადეთ და ნათლად წარმოვადგინეთ ყველა საჭირო მასალა. ძირითადი განმარტებები და ფორმულები წარმოდგენილია განყოფილებაში „თეორიული ინფორმაცია“.

მასალის უკეთ გასაგებად, ასევე გთავაზობთ შესაბამისი სავარჯიშოების შესრულებას. სხვადასხვა სირთულის დავალებების დიდი არჩევანი, მაგალითად, on, წარმოდგენილია "კატალოგის" განყოფილებაში. ყველა დავალება შეიცავს დეტალურ ალგორითმს სწორი პასუხის საპოვნელად. სავარჯიშოების სია საიტზე მუდმივად ავსებს და განახლდება.

იმ პრობლემების გადაჭრის დროს, რომლებიც მოითხოვს ორ სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნას, სტუდენტებს აქვთ შესაძლებლობა შეინახონ ნებისმიერი დავალება ინტერნეტში, როგორც „რჩეულები“. ამის წყალობით, ისინი შეძლებენ დაუბრუნდნენ მას საჭირო რაოდენობის ჯერ და განიხილონ მისი გადაწყვეტის პროგრესი სკოლის მასწავლებელთან ან დამრიგებელთან.

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდების გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შესაძლოა არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის ყველა მახასიათებელს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ გადმოწეროთ სრული ვერსია.

გაკვეთილის მიზნები: გააცნოს დიედრული კუთხის ცნება და მისი წრფივი კუთხე;

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი.

აცნობეთ გაკვეთილის თემას, ჩამოაყალიბეთ გაკვეთილის მიზნები.

II. მოსწავლეთა ცოდნის განახლება (სლაიდი 2, 3).

1. მზადება ახალი მასალის შესასწავლად.

რა ჰქვია კუთხეს სიბრტყეში?

რა ჰქვია სივრცეში ხაზებს შორის კუთხეს?

რა ჰქვია კუთხეს სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის?

ჩამოთვალეთ სამი პერპენდიკულარული თეორემა

III. ახალი მასალის სწავლა.

• დიედრული კუთხის კონცეფცია.

MN წრფეზე გამავალი ორი ნახევრად სიბრტყით წარმოქმნილ ფიგურას დიედრული კუთხე ეწოდება (სლაიდი 4).

ნახევრად სიბრტყეები არის სახეები, სწორი ხაზი MN არის დიედრული კუთხის კიდე.

ყოველდღიურ ცხოვრებაში რომელ ობიექტებს აქვთ დიედრული კუთხის ფორმა? (სლაიდი 5)

• კუთხე АСН და СНD სიბრტყეებს შორის არის დიედრული კუთხე АСНD, სადაც СН არის კიდე. A და D წერტილები დევს ამ კუთხის სახეებზე. კუთხე AFD არის დიედრული კუთხის ACHD წრფივი კუთხე (სლაიდი 6).

• წრფივი კუთხის აგების ალგორითმი (სლაიდი 7).

1 გზა. კიდეზე აიღეთ ნებისმიერი წერტილი O და დახაზეთ პერპენდიკულარები ამ წერტილზე (PO DE, KO DE), რათა მიიღოთ კუთხე ROK - წრფივი.

მეთოდი 2. ერთ ნახევარ სიბრტყეში აიღეთ K წერტილი და ჩამოაგდეთ მისგან ორი პერპენდიკულარი მეორე ნახევარსიბრტყეზე და კიდეზე (KO და KR), შემდეგ შებრუნებული TTP თეორემა PODE

• დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ტოლია (სლაიდი 8). დადასტურება: სხივები OA და O 1 A 1 ერთდროულია, OB და O 1 B 1 სხივები ასევე ერთდროული მიმართულია, კუთხეები BOA და B 1 O 1 A 1 ტოლია როგორც კუთხეები თანამიმართულ გვერდებთან.

• დიედრული კუთხის გრადუსული ზომა არის მისი წრფივი კუთხის ხარისხი (სლაიდი 9).

IV. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია.

• ამოცანების ამოხსნა (ზეპირად მზა ნახატების გამოყენებით). (სლაიდები 10-12)

1. RAVS – პირამიდა; კუთხე ACB უდრის 90°-ს, სწორი PB არის ABC სიბრტყის პერპენდიკულარული. დაამტკიცეთ, რომ კუთხე RSV არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე

2. RAVS - პირამიდა; AB = BC, D არის AC სეგმენტის შუა, სწორი ხაზი PB არის ABC სიბრტყის პერპენდიკულარული. დაამტკიცეთ, რომ კუთხე PDB არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე AC კიდესთან.

3. PABCD – პირამიდა; სწორი ხაზი PB პერპენდიკულარულია ABC სიბრტყეზე, BC არის პერპენდიკულარული DC-ზე. დაამტკიცეთ, რომ კუთხე RKB არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე CD კიდეებით.

• ამოცანები წრფივი კუთხის აგების შესახებ (სლაიდები 13-14).

1. ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე AC კიდით, თუ პირამიდაში RABC პირამიდა ABC არის რეგულარული სამკუთხედი, O არის მედიანების გადაკვეთის წერტილი, სწორი ხაზი PO არის ABC სიბრტყის პერპენდიკულარული.

2. მოცემულია რომბი ABCD სწორი ხაზი RS არის ABCD სიბრტყის პერპენდიკულარული.

ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე ВD კიდით და დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე AD კიდით.

• გამოთვლითი დავალება. (სლაიდი 15)

ABCD პარალელოგრამში კუთხე ADC უდრის 120 0, AD = 8 სმ.

DC = 6 სმ, სწორი ხაზი RS არის ABC სიბრტყის პერპენდიკულარული, RS = 9 სმ.

იპოვეთ დიედრული კუთხის ზომა AD კიდით და პარალელოგრამის ფართობი.

V. საშინაო დავალება (სლაიდი 16).

გვ 22, No168, 171.

გამოყენებული წიგნები:

1. გეომეტრია 10-11 L.S.Atanasyan.
2. ამოცანების სისტემა თემაზე "დიჰედრული კუთხეები" მ.ვ. სევოსტიანოვას (მურმანსკი), ჟურნალი მათემატიკა სკოლაში 198...

დიჰედრული კუთხე. ხაზოვანი დიჰედრული კუთხე. დიედრული კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ორი ნახევრად სიბრტყით, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთ სიბრტყეს და აქვთ საერთო საზღვარი - სწორი ხაზი a. ნახევრად სიბრტყეებს, რომლებიც ქმნიან ორთავიან კუთხეს, ეწოდება მის სახეებს, ხოლო ამ ნახევრად სიბრტყეების საერთო საზღვარს - დიედრული კუთხის კიდე. ორწახნაგოვანი კუთხის წრფივი კუთხე არის კუთხე, რომლის გვერდები არის სხივები, რომლებზეც დიედრული კუთხის სახეები იკვეთება დიედრული კუთხის კიდეზე პერპენდიკულარული სიბრტყით. თითოეულ დიჰედრულ კუთხეს აქვს წრფივი კუთხეების ნებისმიერი რაოდენობა: კიდის თითოეული წერტილის მეშვეობით შეიძლება ამ კიდეზე პერპენდიკულარული სიბრტყის დახატვა; სხივები, რომლებზეც ეს სიბრტყე კვეთს ორმხრივი კუთხის სახეებს, ქმნის წრფივ კუთხეებს.

დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ერთმანეთის ტოლია. დავამტკიცოთ, რომ თუ KABC პირამიდის ფუძის სიბრტყით წარმოქმნილი ორმხრივი კუთხეები და მისი გვერდითი სახეების სიბრტყეები ტოლია, მაშინ K წვეროდან გამოყვანილი პერპენდიკულურის ფუძე არის ABC სამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი.

მტკიცებულება. უპირველეს ყოვლისა, ავაშენოთ თანაბარი დიედრული კუთხების წრფივი კუთხეები. განმარტებით, წრფივი კუთხის სიბრტყე უნდა იყოს პერპენდიკულარული დიედრული კუთხის კიდეზე. ამიტომ, დიედრული კუთხის კიდე უნდა იყოს პერპენდიკულარული წრფივი კუთხის გვერდებზე. თუ KO არის საბაზისო სიბრტყის პერპენდიკულარული, მაშინ შეგვიძლია დავხატოთ OR პერპენდიკულარული AC, OR პერპენდიკულარული SV, OQ პერპენდიკულარული AB და შემდეგ შევაერთოთ P, Q, R წერტილები K წერტილით. ამრიგად, ჩვენ ავაშენებთ დახრილ RK, QK პროექციას. , RK ისე, რომ AC, NE, AB კიდეები პერპენდიკულარული იყოს ამ პროექციებზე. შესაბამისად, ეს კიდეები პერპენდიკულარულია თავად დახრილების მიმართ. და, შესაბამისად, ROK, QOK, ROK სამკუთხედების სიბრტყეები პერპენდიკულარულია დიედრული კუთხის შესაბამისი კიდეების მიმართ და ქმნიან იმ თანაბარ წრფივ კუთხეებს, რომლებიც აღნიშნულია პირობით. მართკუთხა სამკუთხედები ROK, QOK, ROK თანმიმდევრულია (რადგან მათ აქვთ საერთო ფეხი OK და ამ ფეხის მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია). ამიტომ, OR = OR = OQ. თუ დავხატავთ წრეს O ცენტრით და რადიუსით OP, მაშინ ABC სამკუთხედის გვერდები პერპენდიკულარულია OP, OR და OQ რადიუსებზე და შესაბამისად ტანგენტები არიან ამ წრეზე.

სიბრტყეების პერპენდიკულურობა. ალფა და ბეტა სიბრტყეებს უწოდებენ პერპენდიკულურებს, თუ მათ გადაკვეთაზე წარმოქმნილი ერთ-ერთი ორმხრივი კუთხის წრფივი კუთხე უდრის 90-ს." ორი სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშნები თუ ორი სიბრტყედან ერთი გადის წრფეზე მეორე სიბრტყის პერპენდიკულარულზე, მაშინ ეს სიბრტყეები პერპენდიკულარულია.

ნახატზე ნაჩვენებია მართკუთხა პარალელეპიპედი. მისი ფუძეებია ABCD და A1B1C1D1 მართკუთხედები. ხოლო გვერდითი ნეკნები AA1 BB1, CC1, DD1 არის ფუძეების პერპენდიკულარული. აქედან გამომდინარეობს, რომ AA1 არის AB-ის პერპენდიკულარული, ანუ გვერდითი სახე არის მართკუთხედი. ამრიგად, შეგვიძლია გავამართლოთ მართკუთხა პარალელეპიპედის თვისებები: მართკუთხა პარალელეპიპედში ექვსივე სახე მართკუთხედია. მართკუთხა პარალელეპიპედში ექვსივე სახე მართკუთხედია. მართკუთხა პარალელეპიპედის ყველა ორმხრივი კუთხე მართკუთხაა. მართკუთხა პარალელეპიპედის ყველა ორმხრივი კუთხე მართკუთხაა.

თეორემა მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამს. მოდით კვლავ მივმართოთ ფიგურას და დავამტკიცოთ, რომ AC12 = AB2 + AD2 + AA12 ვინაიდან CC1 კიდე ABCD ფუძის პერპენდიკულარულია, ACC1 კუთხე სწორია. ACC1 მართკუთხა სამკუთხედიდან, პითაგორას თეორემის გამოყენებით, ვიღებთ AC12 = AC2 + CC12. მაგრამ AC არის ABCD მართკუთხედის დიაგონალი, ამიტომ AC2 = AB2 + AD2. გარდა ამისა, CC1 = AA1. ამიტომ AC12= AB2+AD2+AA12 თეორემა დადასტურებულია.

გაკვეთილის ტექსტის ტრანსკრიპტი:

პლანიმეტრიაში მთავარი ობიექტებია ხაზები, სეგმენტები, სხივები და წერტილები. ერთი წერტილიდან გამომავალი სხივები ქმნიან მათ ერთ-ერთ გეომეტრიულ ფორმას - კუთხეს.

ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი კუთხე იზომება გრადუსით და რადიანებით.

სტერეომეტრიაში თვითმფრინავი ემატება ობიექტებს. ფიგურას, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზით a და ორი ნახევარსიბრტყით საერთო a საზღვრით, რომლებიც გეომეტრიაში არ მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს, ეწოდება დიედრული კუთხე. ნახევრად სიბრტყეები არის დიედრული კუთხის სახეები. სწორი ხაზი a არის დიედრული კუთხის კიდე.

დიედრული კუთხე, ისევე როგორც წრფივი კუთხე, შეიძლება იყოს დასახელებული, გაზომილი და აგებული. ეს არის ის, რაც ჩვენ უნდა გავარკვიოთ ამ გაკვეთილზე.

მოდი ვიპოვოთ დიჰედრული კუთხე ABCD ტეტრაედრონის მოდელზე.

დიედრალურ კუთხეს AB კიდით ეწოდება CABD, სადაც C და D წერტილები ეკუთვნის კუთხის სხვადასხვა სახეებს და კიდე AB ეწოდება შუაში.

ჩვენს ირგვლივ საკმაოდ ბევრი ობიექტია დიედრული კუთხის სახით ელემენტებით.

ბევრ ქალაქში პარკებში დამონტაჟებულია სპეციალური სკამები შერიგებისთვის. სკამი დამზადებულია ორი დახრილი სიბრტყის სახით, რომლებიც გადადიან ცენტრისკენ.

სახლების აშენებისას ხშირად გამოიყენება ე.წ. ამ სახლზე სახურავი გაკეთებულია 90 გრადუსიანი დიჰედრული კუთხის სახით.

დიჰედრული კუთხე ასევე იზომება გრადუსებში ან რადიანებში, მაგრამ როგორ გავზომოთ იგი.

საინტერესოა, რომ სახლების სახურავები ეყრდნობა რაფებს. და რაფტერის გარსი ქმნის სახურავის ორ ფერდობს მოცემული კუთხით.

გადავიტანოთ სურათი ნახატზე. ნახაზზე ორწახნაგოვანი კუთხის საპოვნელად მის კიდეზე აღინიშნება B წერტილი.ამ წერტილიდან კუთხის კიდეს პერპენდიკულარულად გამოყვანილია ორი სხივი BA და BC. ამ სხივების მიერ წარმოქმნილ კუთხეს ABC ეწოდება წრფივი დიედრული კუთხე.

დიედრული კუთხის გრადუსული ზომა უდრის მისი წრფივი კუთხის გრადუსულ ზომას.

გავზომოთ კუთხე AOB.

მოცემული დიჰედრული კუთხის გრადუსული ზომა არის სამოცი გრადუსი.

წრფივი კუთხეების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება დაიხაზოს დიედრული კუთხისთვის; მნიშვნელოვანია იცოდეთ, რომ ისინი ყველა ტოლია.

განვიხილოთ ორი წრფივი კუთხე AOB და A1O1B1. სხივები OA და O1A1 დევს ერთსა და იმავე სახეზე და პერპენდიკულარულია სწორი ხაზის OO1-ზე, ამიტომ ისინი თანამიმართულნი არიან. სხივები OB და O1B1 ასევე ერთობლივად არის მიმართული. მაშასადამე, AOB კუთხე უდრის A1O1B1 კუთხეს, როგორც კუთხეები თანამიმართულ გვერდებთან.

ასე რომ, დიედრულ კუთხეს ახასიათებს წრფივი კუთხე, ხოლო ხაზოვანი კუთხეები არის მკვეთრი, ბლაგვი და მართი. განვიხილოთ დიედრული კუთხეების მოდელები.

ბლაგვი კუთხეა, თუ მისი წრფივი კუთხე არის 90-დან 180 გრადუსამდე.

მართი კუთხე, თუ მისი წრფივი კუთხე 90 გრადუსია.

მწვავე კუთხე, თუ მისი წრფივი კუთხე არის 0-დან 90 გრადუსამდე.

მოდით დავამტკიცოთ წრფივი კუთხის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისება.

წრფივი კუთხის სიბრტყე პერპენდიკულარულია დიედრული კუთხის კიდეზე.

მოდით კუთხე AOB იყოს მოცემული დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე. აგებულებით, სხივები AO და OB პერპენდიკულარულია a სწორი ხაზის მიმართ.

სიბრტყე AOB გადის ორ გადამკვეთ წრფეზე AO და OB თეორემის მიხედვით: სიბრტყე გადის ორ გადამკვეთ წრფეზე და მხოლოდ ერთს.

წრფე a პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ორი გადამკვეთი წრფის მიმართ, რაც ნიშნავს, რომ წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობაზე დაყრდნობით, სწორი ხაზი a არის AOB სიბრტყის პერპენდიკულარული.

პრობლემების გადასაჭრელად მნიშვნელოვანია, რომ შეძლოთ მოცემული დიედრული კუთხის წრფივი კუთხის აგება. ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე AB კიდით ტეტრაედრისთვის ABCD.

საუბარია დიედრალურ კუთხეზე, რომელიც წარმოიქმნება, პირველ რიგში, AB კიდით, ერთი სახე ABD და მეორე სახე ABC.

აქ არის მისი აშენების ერთი გზა.

დავხატოთ პერპენდიკულარი D წერტილიდან ABC სიბრტყემდე.მოვნიშნოთ წერტილი M პერპენდიკულას ფუძედ. შეგახსენებთ, რომ ტეტრაედრონში პერპენდიკულარულის ფუძე ემთხვევა ტეტრაედრის ძირში ჩაწერილი წრის ცენტრს.

დავხაზოთ დახრილი ხაზი D წერტილიდან პერპენდიკულარულად AB კიდესამდე, მოვნიშნოთ წერტილი N დახრილი ხაზის ფუძედ.

სამკუთხედში DMN სეგმენტი NM იქნება დახრილი DN-ის პროექცია ABC სიბრტყეზე. სამი პერპენდიკულარულის თეორემის მიხედვით კიდე AB იქნება NM პროექციის პერპენდიკულარული.

ეს ნიშნავს, რომ DNM კუთხის გვერდები პერპენდიკულარულია AB კიდეზე, რაც ნიშნავს, რომ აგებული კუთხე DNM არის სასურველი წრფივი კუთხე.

განვიხილოთ დიედრული კუთხის გამოთვლის ამოცანის ამოხსნის მაგალითი.

ტოლფერდა სამკუთხედი ABC და რეგულარული სამკუთხედი ADB არ დევს ერთ სიბრტყეში. CD სეგმენტი ADB სიბრტყის პერპენდიკულარულია. იპოვეთ დიედრული კუთხე DABC, თუ AC=CB=2 სმ, AB= 4 სმ.

DABC-ის დიედრული კუთხე უდრის მის წრფივ კუთხეს. მოდით ავაშენოთ ეს კუთხე.

დავხატოთ დახრილი CM AB კიდეზე პერპენდიკულურად, რადგან სამკუთხედი ACB არის ტოლკუთხედი, მაშინ M წერტილი დაემთხვევა AB კიდის შუას.

სწორი ხაზი CD არის ADB სიბრტყის პერპენდიკულარული, რაც ნიშნავს, რომ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე მართ ხაზთან DM. და სეგმენტი MD არის დახრილი CM-ის პროექცია ADV სიბრტყეზე.

სწორი ხაზი AB კონსტრუქციით არის დახრილი CM-ის პერპენდიკულარული, რაც ნიშნავს, რომ სამი პერპენდიკულარულის თეორემით იგი პერპენდიკულარულია პროექციის MD-ზე.

ასე რომ, ორი პერპენდიკულარი CM და DM გვხვდება AB კიდესთან. ეს ნიშნავს, რომ ისინი ქმნიან DABC დიედრული კუთხის CMD ხაზოვან კუთხეს. და ყველაფერი რაც ჩვენ უნდა გავაკეთოთ არის ის ვიპოვოთ მარჯვენა სამკუთხედიდან CDM.

ასე რომ, SM სეგმენტი არის ACB ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა და სიმაღლე, მაშინ პითაგორას თეორემის მიხედვით, ფეხი SM უდრის 4 სმ.

მართკუთხა სამკუთხედიდან DMB, პითაგორას თეორემის მიხედვით, ფეხი DM უდრის სამის ორ ფესვს.

მართკუთხა სამკუთხედიდან კუთხის კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის MD შეფარდებას CM ჰიპოტენუზასთან და უდრის სამ ფესვს სამჯერ ორზე. ეს ნიშნავს, რომ კუთხე CMD არის 30 გრადუსი.

თავი პირველი სწორი და თვითმფრინავები

V. ორმხრივი კუთხეები, მართი კუთხე სიბრტყით,
ორი გადაკვეთის მარჯვენა მართკუთხა კუთხე, მრავალსაფეხურიანი კუთხეები

დიჰედრული კუთხეები

38. განმარტებები.თვითმფრინავის ნაწილს, რომელიც დევს ამ სიბრტყეში ნებისმიერი სწორი ხაზის ერთ მხარეს, ეწოდება ნახევრად თვითმფრინავი. ერთი სწორი ხაზიდან (AB) წარმოქმნილი ორი ნახევრად სიბრტყით (P და Q, სურ. 26) წარმოქმნილ ფიგურას ე.წ. დიედრული კუთხე. პირდაპირი AB ეწოდება ზღვარიდა ნახევრად სიბრტყეები P და Q - პარტიებიან კიდეებიდიედრული კუთხე.

ასეთი კუთხე ჩვეულებრივ აღინიშნება ორი ასოებით, რომლებიც მოთავსებულია მის კიდეზე (დიჰედრული კუთხე AB). მაგრამ თუ ერთ კიდეზე არის რამდენიმე დიედრული კუთხე, მაშინ თითოეული მათგანი აღინიშნება ოთხი ასოთი, რომელთაგან შუა ორი არის კიდეზე, ხოლო გარე ორი არის სახეებზე (მაგალითად, დიედრული კუთხე SCDR) (ნახ. 27).

თუ თვითნებური D წერტილიდან AB კიდეები (ნახ. 28) დახაზულია კიდეზე პერპენდიკულარულ თითოეულ სახეზე, მაშინ მათ მიერ წარმოქმნილი CDE კუთხე ე.წ. ხაზოვანი კუთხედიედრული კუთხე.

წრფივი კუთხის სიდიდე არ არის დამოკიდებული მისი წვერის პოზიციაზე კიდეზე. ამრიგად, CDE და C 1 D 1 E 1 წრფივი კუთხეები ტოლია, რადგან მათი გვერდები, შესაბამისად, პარალელურია და იმავე მიმართულებით.

წრფივი კუთხის სიბრტყე კიდეზე პერპენდიკულარულია, ვინაიდან მასზე პერპენდიკულარული ორი წრფეა. ამიტომ წრფივი კუთხის მისაღებად საკმარისია მოცემული დიედრული კუთხის პირი გადავკვეთოთ კიდეზე პერპენდიკულარულ სიბრტყეს და მივიჩნიოთ მიღებული კუთხე ამ სიბრტყეში.

39. ორწახნაგოვანი კუთხეების ტოლობა და უტოლობა.ორი დიჰედრული კუთხე ითვლება ტოლად, თუ მათი შეთავსებისას შეიძლება გაერთიანდეს; წინააღმდეგ შემთხვევაში, რომელი ორთავიანი კუთხე ჩაითვლება უფრო მცირედ, ის მეორე კუთხის ნაწილს წარმოადგენს.

პლანიმეტრიის კუთხეების მსგავსად, დიედრული კუთხეები შეიძლება იყოს მიმდებარე, ვერტიკალურიდა ა.შ.

თუ ორი მიმდებარე დიედრული კუთხე ერთმანეთის ტოლია, მაშინ თითოეულ მათგანს ეწოდება მარჯვენა დიჰედრული კუთხე.

თეორემები. 1) თანაბარი დიედრული კუთხეები შეესაბამება თანაბარ წრფივ კუთხეებს.

2) უფრო დიდი დიედრული კუთხე შეესაბამება უფრო დიდ ხაზოვან კუთხეს.

მოდით PABQ, და P 1 A 1 B 1 Q 1 (ნახ. 29) იყოს ორი დიჰედრული კუთხე. A 1 B 1 კუთხეს ჩავსვამთ AB კუთხეში ისე, რომ A 1 B 1 კიდე ემთხვეოდეს AB კიდეს და პირი P 1 სახე P.

მაშინ თუ ეს ორმხრივი კუთხეები ტოლია, მაშინ სახე Q 1 დაემთხვევა სახე Q-ს; თუ კუთხე A 1 B 1 არის AB კუთხეზე ნაკლები, მაშინ სახე Q 1 დაიკავებს გარკვეულ პოზიციას დიედრული კუთხის შიგნით, მაგალითად Q 2.

ეს რომ შევნიშნეთ, ავიღოთ B წერტილი საერთო კიდეზე და დავხატოთ სიბრტყე R მასში, კიდეზე პერპენდიკულარული. ამ სიბრტყის გადაკვეთიდან დიედრული კუთხეების სახეებთან მიიღება წრფივი კუთხეები. გასაგებია, რომ თუ დიედრული კუთხეები ემთხვევა, მაშინ მათ ექნებათ იგივე წრფივი კუთხე CBD; თუ დიედრული კუთხეები არ ემთხვევა ერთმანეთს, თუ, მაგალითად, სახე Q 1 იკავებს პოზიციას Q 2, მაშინ უფრო დიდ დიედრალურ კუთხეს ექნება უფრო დიდი ხაზოვანი კუთხე (კერძოდ: / CBD > / C 2 BD).

40. საპირისპირო თეორემები. 1) თანაბარი წრფივი კუთხეები შეესაბამება თანაბარ დიედრალურ კუთხეებს.

2) უფრო დიდი ხაზოვანი კუთხე შეესაბამება უფრო დიდ დიედრალურ კუთხეს .

ეს თეორემები მარტივად შეიძლება დადასტურდეს წინააღმდეგობებით.

41. შედეგები. 1) მართი დიედრული კუთხე შეესაბამება სწორ ხაზოვან კუთხეს და პირიქით.

მოდით (სურ. 30) დიედრული კუთხე PABQ სწორი იყოს. ეს ნიშნავს, რომ ის ტოლია მიმდებარე კუთხის QABP 1-ის. მაგრამ ამ შემთხვევაში, წრფივი კუთხეები CDE და CDE 1 ასევე ტოლია; და რადგან ისინი მიმდებარედ არიან, თითოეული მათგანი სწორი უნდა იყოს. პირიქით, თუ მიმდებარე წრფივი კუთხეები CDE და CDE 1 ტოლია, მაშინ მიმდებარე დიედრული კუთხეები ტოლია, ანუ თითოეული მათგანი სწორი უნდა იყოს.

2) ყველა სწორი დიედრული კუთხე ტოლია,რადგან მათი წრფივი კუთხეები ტოლია .

ანალოგიურად, ადვილია იმის დამტკიცება, რომ:

3) ვერტიკალური დიჰედრული კუთხეები ტოლია.

4) დიჰედრული კუთხეები შესაბამისად პარალელური და იდენტური (ან საპირისპირო) მიმართული კიდეებით ტოლია.

5) თუ ორწახნაგოვანი კუთხეების ერთეულად ავიღებთ დიედრალურ კუთხეს, რომელიც შეესაბამება წრფივი კუთხეების ერთეულს, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ დიედრული კუთხე იზომება მისი წრფივი კუთხით.