ალბათობის თეორია. პრობლემის გადაჭრა (2019)

ალბათობამოვლენა არის მოცემული მოვლენისთვის ხელსაყრელი ელემენტარული შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა გამოცდილების ყველა თანაბრად შესაძლო შედეგის რაოდენობასთან, რომელშიც ეს მოვლენა შეიძლება გამოჩნდეს. A მოვლენის ალბათობა აღინიშნება P(A)-ით (აქ P არის ფრანგული სიტყვის probabilite - ალბათობის პირველი ასო). განმარტების მიხედვით
(1.2.1)
სად არის A მოვლენისთვის ხელსაყრელი ელემენტარული შედეგების რაოდენობა; - ექსპერიმენტის ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგის რაოდენობა, რომელიც ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს.
ალბათობის ამ განმარტებას კლასიკური ეწოდება. იგი წარმოიშვა ალბათობის თეორიის განვითარების საწყის ეტაპზე.

მოვლენის ალბათობას აქვს შემდეგი თვისებები:
1. სანდო მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს. სანდო მოვლენა ასოთი აღვნიშნოთ. ამიტომ გარკვეული მოვლენისთვის
(1.2.2)
2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია. შეუძლებელი მოვლენა ასოთი აღვნიშნოთ. ამიტომ შეუძლებელი მოვლენისთვის
(1.2.3)
3. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა გამოიხატება ერთზე ნაკლები დადებითი რიცხვით. ვინაიდან შემთხვევითი მოვლენისთვის უტოლობები , ან , დაკმაყოფილებულია, მაშინ
(1.2.4)
4. რაიმე მოვლენის ალბათობა აკმაყოფილებს უტოლობებს
(1.2.5)
ეს გამომდინარეობს ურთიერთობებიდან (1.2.2) - (1.2.4).

მაგალითი 1.ურნა შეიცავს თანაბარი ზომისა და წონის 10 ბურთულას, რომელთაგან 4 წითელია და 6 ლურჯი. ურნადან ერთი ბურთი ამოღებულია. რა არის იმის ალბათობა, რომ დახატული ბურთი ლურჯი იყოს?

გამოსავალი. მოვლენას „გათამაშებული ბურთი ცისფერი აღმოჩნდა“ აღვნიშნავთ ასო A-ით. ამ ტესტს აქვს 10 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი, რომელთაგან 6 უპირატესობას ანიჭებს A მოვლენას. ფორმულის მიხედვით (1.2.1) ვიღებთ.

მაგალითი 2.ყველა ნატურალური რიცხვი 1-დან 30-მდე იწერება იდენტურ ბარათებზე და მოთავსებულია ურნაში. ბარათების საფუძვლიანად შერევის შემდეგ, ერთი კარტი ამოღებულია ურნიდან. რა არის იმის ალბათობა, რომ აღებულ ბარათზე რიცხვი 5-ის ჯერადი იყოს?

გამოსავალი. A-ით ავღნიშნოთ მოვლენა „აღებულ ბარათზე რიცხვი არის 5-ის ნამრავლი“. ამ ტესტში არის 30 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი, რომელთაგან A მოვლენას ხელს უწყობს 6 შედეგი (ნომრები 5, 10, 15, 20, 25, 30). აქედან გამომდინარე,

მაგალითი 3.იყრება ორი კამათელი და გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. იპოვეთ B მოვლენის ალბათობა, რომ კამათლის ზედა ნაწილებს ჰქონდეს სულ 9 ქულა.

გამოსავალი.ამ ტესტში არის მხოლოდ 6 2 = 36 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი. B მოვლენას ხელს უწყობს 4 შედეგი: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), შესაბამისად

მაგალითი 4. შემთხვევით არჩეულია 10-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი.რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი მარტივი იყოს?

გამოსავალი. C ასოთი ავღნიშნოთ მოვლენა „არჩეული რიცხვი მარტივია“. ამ შემთხვევაში, n = 10, m = 4 (პირველი რიცხვები 2, 3, 5, 7). ამიტომ, საჭირო ალბათობა

მაგალითი 5.გადაყრილია ორი სიმეტრიული მონეტა. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ორივე მონეტის ზედა მხარეს არის რიცხვები?

გამოსავალი.ასო D-ით აღვნიშნოთ მოვლენა „თითოეული მონეტის ზედა მხარეს არის რიცხვი“. ამ ტესტში არის 4 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (აღნიშვნა (G, C) ნიშნავს, რომ პირველ მონეტას აქვს გერბი, მეორეს აქვს ნომერი). მოვლენა D ხელს უწყობს ერთი ელემენტარული შედეგით (C, C). ვინაიდან m = 1, n = 4, მაშინ

მაგალითი 6.რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით არჩეულ ორნიშნა რიცხვს იგივე ციფრები ჰქონდეს?

გამოსავალი.ორნიშნა რიცხვები არის 10-დან 99-მდე რიცხვები; სულ ასეთი რიცხვია 90. 9 რიცხვს აქვს იდენტური ციფრი (ეს არის რიცხვები 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). ვინაიდან ამ შემთხვევაში m = 9, n = 90, მაშინ
,
სადაც A არის „რიცხვი იდენტური ციფრებით“ მოვლენა.

მაგალითი 7.სიტყვის ასოებიდან დიფერენციალურიერთი ასო არჩეულია შემთხვევით. რა არის ალბათობა, რომ ეს ასო იყოს: ა) ხმოვანი, ბ) თანხმოვანი, გ) ასო. თ?

გამოსავალი. სიტყვა დიფერენციალს აქვს 12 ასო, საიდანაც 5 ხმოვანია და 7 თანხმოვანი. წერილები თამ სიტყვაში არ არის. აღვნიშნოთ მოვლენები: A - „ხმოვანი ასო“, B - „თანხმოვანი ასო“, C - „ასო. თ". ხელსაყრელი ელემენტარული შედეგების რაოდენობა: - მოვლენისთვის A, - მოვლენისთვის B, - მოვლენისთვის C. ვინაიდან n = 12, მაშინ
, და .

მაგალითი 8.იყრება ორი კამათელი და აღინიშნება ქულების რაოდენობა თითოეული კამათლის თავზე. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორივე კამათელი აჩვენებდეს ქულების ერთსა და იმავე რაოდენობას.

გამოსავალი.მოდი ავღნიშნოთ ეს მოვლენა A ასოთი. A მოვლენას ხელს უწყობს 6 ელემენტარული შედეგი: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6). ;6). თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგების საერთო რაოდენობა, რომლებიც ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს, ამ შემთხვევაში n=6 2 =36. ეს ნიშნავს, რომ საჭირო ალბათობა

მაგალითი 9.წიგნი 300 გვერდიანია. რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით გახსნილ გვერდს ჰქონდეს სერიული ნომერი, რომელიც იყოფა 5-ზე?

გამოსავალი.პრობლემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი, რომელიც ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს, იქნება n = 300. აქედან, m = 60 ხელს უწყობს მითითებული მოვლენის წარმოქმნას. მართლაც, რიცხვს, რომელიც არის 5-ის ნამრავლი, აქვს 5k ფორმა, სადაც k არის ნატურალური რიცხვი და, საიდანაც . აქედან გამომდინარე,
, სადაც A - "გვერდი" მოვლენას აქვს მიმდევრობის ნომერი, რომელიც არის 5"-ის ჯერადი.

მაგალითი 10. იყრება ორი კამათელი და გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. რა არის უფრო სავარაუდო - სულ 7-ის მიღება თუ 8-ის?

გამოსავალი. ავღნიშნოთ მოვლენები: A - 7 ქულა შემოვიდა, B - 8 ქულა შემოვიდა. მოვლენა A ხელს უწყობს 6 ელემენტარულ შედეგს: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) და მოვლენა B არის უპირატესი 5 შედეგით: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგია n = 6 2 = 36. აქედან გამომდინარე, და .

ასე რომ, P(A)>P(B), ანუ სულ 7 ქულის მიღება უფრო სავარაუდო მოვლენაა, ვიდრე სულ 8 ქულის მიღება.

Დავალებები

1. შემთხვევით არჩეულია ნატურალური რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 30-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს 3-ის ნამრავლი?
2. ურნაში აწითელი და ბლურჯი ბურთები, იდენტური ზომით და წონით. რა არის იმის ალბათობა, რომ ამ ურნადან შემთხვევით გამოყვანილი ბურთი ლურჯი იყოს?
3. შემთხვევით არჩეულია რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 30-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს 30-ის გამყოფი?
4. ურნაში ალურჯი და ბწითელი ბურთები, იდენტური ზომით და წონით. ამ ურნადან იღებენ ერთ ბურთულას და დგანან. ეს ბურთი წითელი აღმოჩნდა. ამის შემდეგ, ურნადან კიდევ ერთი ბურთი ამოღებულია. იპოვეთ ალბათობა, რომ მეორე ბურთიც წითელი იყოს.
5. შემთხვევითი წესით არჩეულია ეროვნული რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 50-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს მარტივი?
6. იყრება სამი კამათელი და გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. რა არის უფრო სავარაუდო - სულ 9 თუ 10 ქულის მიღება?
7. იყრება სამი კამათელი და გამოითვლება გაშვებული ქულების ჯამი. რა არის უფრო სავარაუდო - მიიღოთ სულ 11 (მოვლენა A) თუ 12 ქულა (მოვლენა B)?

პასუხები

1. 1/3. 2 . ბ/(ა+ბ). 3 . 0,2. 4 . (ბ-1)/(ა+ბ-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - საერთო ჯამში 9 ქულის მიღების ალბათობა; p 2 = 27/216 - საერთო ჯამში 10 ქულის მიღების ალბათობა; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

კითხვები

1. რა ჰქვია მოვლენის ალბათობას?
2. რა არის სანდო მოვლენის ალბათობა?
3. რა არის შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა?
4. რა არის შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის საზღვრები?
5. რა არის რაიმე მოვლენის ალბათობის საზღვრები?
6. ალბათობის რომელ განმარტებას ეწოდება კლასიკური?

ჩემს ბლოგში, თარგმნა კურსის "თამაშის ბალანსის პრინციპები" შემდეგი ლექციის თარგმანი თამაშის დიზაინერის იან შრაიბერის მიერ, რომელიც მუშაობდა ისეთ პროექტებზე, როგორიცაა Marvel Trading Card Game და Playboy: Mansion.

აქამდე, თითქმის ყველაფერი, რაზეც ჩვენ ვისაუბრეთ, იყო დეტერმინისტული და გასულ კვირას ჩვენ უფრო დეტალურად გადავხედეთ გარდამავალ მექანიკას და შევისწავლეთ იმდენი დეტალი, რამდენადაც შემიძლია ავხსნა. მაგრამ აქამდე ჩვენ ყურადღება არ მიგვიქცევია ბევრი თამაშის სხვა ასპექტზე, კერძოდ არადეტერმინისტულ ასპექტებზე - სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შემთხვევითობას.

შემთხვევითობის ბუნების გაგება ძალიან მნიშვნელოვანია თამაშის დიზაინერებისთვის. ჩვენ ვქმნით სისტემებს, რომლებიც გავლენას ახდენენ მომხმარებლის გამოცდილებაზე მოცემულ თამაშში, ამიტომ უნდა ვიცოდეთ როგორ მუშაობს ეს სისტემები. თუ სისტემაში არის შემთხვევითობა, ჩვენ უნდა გვესმოდეს ამ შემთხვევითობის ბუნება და ვიცოდეთ როგორ შევცვალოთ ის, რათა მივიღოთ საჭირო შედეგები.

კამათელი

დავიწყოთ რაღაც მარტივით - კამათლის გადაგდება. როდესაც ადამიანების უმეტესობა ფიქრობს კამათელზე, ისინი ფიქრობენ ექვსმხრივ კვერზე, რომელიც ცნობილია როგორც d6. მაგრამ გეიმერების უმეტესობას უნახავს ბევრი სხვა კამათელი: ოთხკუთხა (d4), რვაკუთხა (d8), თორმეტმხრივ (d12), ოცი ცალმხრივი (d20). თუ ნამდვილი გიკი ხართ, შესაძლოა სადმე გქონდეთ 30 ან 100 ცალმხრივი კამათელი.

თუ არ იცნობთ ტერმინოლოგიას, d ნიშნავს die-ს, ხოლო რიცხვი მის შემდეგ არის გვერდების რაოდენობა. თუ რიცხვი გამოჩნდება d-მდე, მაშინ ის მიუთითებს გასაგორებელი კამათლების რაოდენობაზე. მაგალითად, მონოპოლიის თამაშში თქვენ გააფართოვეთ 2d6.

ასე რომ, ამ შემთხვევაში, ფრაზა "კამათელი" სიმბოლოა. არსებობს უამრავი სხვა შემთხვევითი რიცხვების გენერატორები, რომლებიც არ ჰგავს პლასტმასის ფიგურებს, მაგრამ ასრულებენ იგივე ფუნქციას - ქმნიან შემთხვევით რიცხვს 1-დან n-მდე. ჩვეულებრივი მონეტა ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც დიედრული კამათელი d2.

მე ვნახე შვიდმხრივი კამათლის ორი დიზაინი: ერთი კამათელს ჰგავდა, მეორე კი უფრო შვიდმხრივ ხის ფანქარს. ტეტრაედრული დრეიდელი, რომელიც ასევე ცნობილია როგორც ტიტოტუმი, მსგავსია ტეტრაედრული ძვლისა. დაწნული ისრის დაფა Chutes & Ladders-ში, სადაც ქულები შეიძლება მერყეობდეს 1-დან 6-მდე, შეესაბამება ექვსმხრივ კვერს.

კომპიუტერის შემთხვევითი რიცხვების გენერატორს შეუძლია შექმნას ნებისმიერი რიცხვი 1-დან 19-მდე, თუ დიზაინერი განსაზღვრავს მას, მიუხედავად იმისა, რომ კომპიუტერს არ აქვს 19-გვერდიანი დიაპაზონი (ზოგადად, მე უფრო მეტს ვისაუბრებ რიცხვების გამოსვლის ალბათობაზე. კომპიუტერი მომავალ კვირას). ყველა ეს ელემენტი განსხვავებულად გამოიყურება, მაგრამ სინამდვილეში ისინი ექვივალენტურია: თქვენ გაქვთ თანაბარი შანსი რამდენიმე შესაძლო შედეგის მისაღწევად.

კამათელს აქვს რამდენიმე საინტერესო თვისება, რომელიც უნდა ვიცოდეთ. ჯერ ერთი, ორივე სახეზე დაჯდომის ალბათობა იგივეა (ვვარაუდობ, რომ თქვენ ააგორებთ ჩვეულებრივი ფორმის საყრდენს). თუ გსურთ იცოდეთ როლის საშუალო მნიშვნელობა (მათთვის, ვინც ალბათობის თეორიაშია, ეს ცნობილია როგორც მოსალოდნელი მნიშვნელობა), დაამატეთ მნიშვნელობები ყველა კიდეზე და გაყავით ეს რიცხვი კიდეების რაოდენობაზე.

ყველა მხარის მნიშვნელობების ჯამი სტანდარტული ექვსმხრივი კალმისთვის არის 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. გაყავით 21 მხარეთა რაოდენობაზე და მიიღეთ რულონის საშუალო მნიშვნელობა: 21. / 6 = 3.5. ეს განსაკუთრებული შემთხვევაა, რადგან ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ყველა შედეგი თანაბრად სავარაუდოა.

რა მოხდება, თუ სპეციალური კამათელი გაქვთ? მაგალითად, მე ვნახე ექვსმხრივი თამაში სპეციალური სტიკერებით გვერდებზე: 1, 1, 1, 2, 2, 3, ასე რომ, ის იქცევა უცნაურ სამმხრივ კვარცხლბეკსავით, რომელიც უფრო მეტად ახვევს 1-ს, ვიდრე ა. 2. და უფრო სავარაუდოა, რომ გააფართოვოს 2, ვიდრე 3. რა არის საშუალო გორგალი ამ ტილოსთვის? ასე რომ, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, გაყოფილი 6-ზე - გამოდის 5/3, ანუ დაახლოებით 1.66. ასე რომ, თუ თქვენ გაქვთ სპეციალური კამათელი და მოთამაშეები აგორებენ სამ კამათელს და შემდეგ შეაგროვებენ შედეგებს - თქვენ იცით, რომ მათი გათამაშება დაახლოებით 5-მდე იქნება და თქვენ შეგიძლიათ დააბალანსოთ თამაში ამ ვარაუდის საფუძველზე.

კამათელი და დამოუკიდებლობა

როგორც უკვე ვთქვი, ჩვენ გამოვდივართ იმ ვარაუდიდან, რომ თითოეული მხარე თანაბრად წავა. არ აქვს მნიშვნელობა რამდენ კამათელს გადააგდებ. თითოეული კამათლის გასროლა დამოუკიდებელია, რაც იმას ნიშნავს, რომ წინა გათამაშებები გავლენას არ მოახდენს შემდგომი გათამაშების შედეგებზე. საკმარისი საცდელების გათვალისწინებით, თქვენ აუცილებლად შეამჩნევთ რიცხვების ნიმუშს - მაგალითად, ძირითადად უფრო მაღალი ან დაბალი მნიშვნელობების გადახვევას - ან სხვა მახასიათებლებს, მაგრამ ეს არ ნიშნავს რომ კამათლები "ცხელია" ან "ცივი". ამაზე მოგვიანებით ვისაუბრებთ.

თუ გადააგორებთ სტანდარტულ ექვსგვერდს და რიცხვი 6 ზედიზედ ორჯერ ამოვა, ალბათობა იმისა, რომ შემდეგი სროლა გამოიწვევს 6-ს, არის ზუსტად 1/6. ალბათობა არ იზრდება, რადგან საძირკველი "გაცხელდა". . ამავდროულად, ალბათობა არ მცირდება: არასწორია იმის მსჯელობა, რომ რიცხვი 6 უკვე ზედიზედ ორჯერ ამოვიდა, რაც ნიშნავს, რომ ახლა სხვა მხარე უნდა გამოვიდეს.

რასაკვირველია, თუ 20-ჯერ ააგორებთ კვარცხლბეკს და ყოველ ჯერზე მიიღებთ 6-ს, შანსი იმისა, რომ ოცდამეერთე ჯერზე 6-ს ააგორებთ, საკმაოდ მაღალია: შესაძლოა, თქვენ უბრალოდ არასწორი კვერი გაქვთ. მაგრამ თუ კვარცხლბეკი სამართლიანია, თითოეულ მხარეს აქვს იგივე დაშვების ალბათობა, მიუხედავად სხვა რულონების შედეგებისა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ, რომ ჩვენ ყოველ ჯერზე ვცვლით კვერს: თუ ნომერი 6 ზედიზედ ორჯერ შემოვიდა, ამოიღეთ თამაშიდან "ცხელი" და შეცვალეთ იგი ახლით. ბოდიშს ვიხდი, თუ რომელიმე თქვენგანმა უკვე იცოდა ამის შესახებ, მაგრამ მე მჭირდებოდა ამის გარკვევა სანამ გადავიდოდი.

როგორ მოვახდინოთ კამათელი მეტ-ნაკლებად შემთხვევით გორება

მოდით ვისაუბროთ იმაზე, თუ როგორ მივიღოთ სხვადასხვა შედეგი სხვადასხვა კამათელზე. ააგორებთ თუ არა სასიძოს მხოლოდ ერთხელ თუ რამდენჯერმე, თამაში უფრო შემთხვევითი იქნება, როდესაც კვერს მეტი მხარე აქვს. რაც უფრო ხშირად გიწევთ კამათლის გაყრა და რაც უფრო მეტ კამათელს აგორებთ, მით უფრო უახლოვდება შედეგები საშუალოს.

მაგალითად, 1d6 + 4-ის შემთხვევაში (ანუ თუ სტანდარტული ექვსმხრივი კუბიკს გადააგორებთ ერთხელ და შედეგს დაუმატებთ 4-ს), საშუალო იქნება რიცხვი 5-დან 10-მდე. თუ გაახვევთ 5d2-ს, საშუალოდ. ასევე იქნება რიცხვი 5-დან 10-მდე. 5d2-ის გადახვევის შედეგები ძირითადად იქნება რიცხვები 7 და 8, ნაკლებად ხშირად სხვა მნიშვნელობები. ერთი და იგივე სერია, თუნდაც ერთი და იგივე საშუალო მნიშვნელობა (ორივე შემთხვევაში 7.5), მაგრამ შემთხვევითობის ბუნება განსხვავებულია.

Ერთი წუთი მაცადე. მე ხომ არ ვთქვი, რომ კამათელი არ "თბება" და "გრილდება"? ახლა მე ვამბობ: თუ ბევრ კამათელს დაყრით, რულონების შედეგები საშუალოს მიუახლოვდება. რატომ?

Ნება მომეცი აგიხსნა. თუ თითო ნაკვთს გადააგორებთ, თითოეულ მხარეს აქვს იგივე დაშვების ალბათობა. ეს ნიშნავს, რომ თუ დროთა განმავლობაში ბევრ კამათელს აგორებთ, თითოეული მხარე დაახლოებით ერთსა და იმავე რაოდენობას გამოვა. რაც უფრო მეტ კამათელს აგორავთ, მით უფრო მიუახლოვდება საერთო შედეგი საშუალოს.

ეს არ არის იმის გამო, რომ შედგენილი რიცხვი "აიძულებს" დახატოს სხვა რიცხვი, რომელიც ჯერ არ არის დახატული. მაგრამ იმის გამო, რომ 6-ის (ან 20-ის, ან სხვა რიცხვის) მცირე სერია ბოლომდე არ იმოქმედებს შედეგზე, თუ კამათელს კიდევ ათი ათასჯერ გადააგდებ და ძირითადად საშუალო რიცხვი გამოვა. ახლა თქვენ მიიღებთ რამდენიმე დიდ რიცხვს, მოგვიანებით კი რამდენიმე პატარას - და დროთა განმავლობაში ისინი მიუახლოვდებიან საშუალოს.

ეს იმიტომ კი არ არის, რომ წინა გასროლა გავლენას ახდენს კამათელზე (სერიოზულად, კამათელი დამზადებულია პლასტმასისგან, მას არ აქვს ტვინი იფიქროს: „ოჰ, დიდი ხანია, რაც 2-ს აგორებ“), არამედ იმიტომ, რომ ეს ჩვეულებრივ ხდება. ხდება მაშინ, როცა ბევრ კამათელს აგორებ

ამდენად, საკმაოდ მარტივია გამოთვლების გაკეთება კამათლის ერთი შემთხვევით გასროლისთვის - ყოველ შემთხვევაში, გასროლის საშუალო მნიშვნელობის გამოთვლა. ასევე არსებობს გზები, რომ გამოვთვალოთ „რამდენად შემთხვევითი“ რამე და ვთქვათ, რომ 1d6+4-ის გადახვევის შედეგები იქნება „უფრო შემთხვევითი“, ვიდრე 5d2. 5d2-ისთვის რულონები უფრო თანაბრად გადანაწილდება. ამისათვის თქვენ უნდა გამოთვალოთ სტანდარტული გადახრა: რაც უფრო დიდია მნიშვნელობა, მით უფრო შემთხვევითი იქნება შედეგები. დღეს ამდენი გამოთვლების გაკეთება არ მინდა, ამ თემას მოგვიანებით აგიხსნით.

ერთადერთი, რისი დამახსოვრებასაც გთხოვ, არის ის, რომ, როგორც წესი, რაც უფრო ნაკლებ კამათელს აგორდები, მით მეტია შემთხვევითობა. და რაც უფრო მეტი მხარე აქვს კვერს, მით უფრო დიდია შემთხვევითობა, რადგან უფრო მეტი შესაძლო ღირებულების ვარიანტებია.

როგორ გამოვთვალოთ ალბათობა დათვლის გამოყენებით

შეიძლება გაინტერესებთ: როგორ გამოვთვალოთ გარკვეული შედეგის მიღების ზუსტი ალბათობა? სინამდვილეში, ეს საკმაოდ მნიშვნელოვანია მრავალი თამაშისთვის: თუ თავდაპირველად კამათელს აგორებთ - სავარაუდოდ, რაიმე სახის ოპტიმალური შედეგი იქნება. ჩემი პასუხია: ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ორი მნიშვნელობა. ჯერ ერთი, ჯამური შედეგების რაოდენობა, როდესაც სროლა ხდება, და მეორე, ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა. მეორე მნიშვნელობის პირველზე გაყოფა მოგცემთ სასურველ ალბათობას. პროცენტის მისაღებად, შედეგი გაამრავლეთ 100-ზე.

მაგალითები

აი ძალიან მარტივი მაგალითი. გსურთ, რიცხვი 4 ან უფრო მაღალი, რომ ექვსმხრივი საყრდენი ერთხელ გადააგოროს. შედეგების მაქსიმალური რაოდენობაა 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). აქედან 3 შედეგი (4, 5, 6) ხელსაყრელია. ეს ნიშნავს, რომ ალბათობის გამოსათვლელად 3 ვყოფთ 6-ზე და ვიღებთ 0,5 ან 50%-ს.

აი მაგალითი ცოტა უფრო რთული. გსურთ ლუწი რიცხვი 2d6-ის გადახვევისას. შედეგების მაქსიმალური რაოდენობაა 36 (თითოეული კვარცხლბეკის 6 ვარიანტი, ერთი სასიკვდილო გავლენას არ ახდენს მეორეზე, ასე რომ გაამრავლეთ 6 6-ზე და მიიღეთ 36). ამ ტიპის კითხვის სირთულე ის არის, რომ ადვილია ორჯერ დათვლა. მაგალითად, 2d6-ის გადახვევისას, არსებობს 3-ის ორი შესაძლო შედეგი: 1+2 და 2+1. ისინი ერთნაირად გამოიყურებიან, მაგრამ განსხვავება იმაშია, თუ რომელი რიცხვია გამოსახული პირველ საყრდენზე და რომელი რიცხვი გამოსახულია მეორეზე.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ, რომ კამათელი სხვადასხვა ფერისაა: ასე, მაგალითად, ამ შემთხვევაში, ერთი კამათელი წითელია, მეორე კი ლურჯი. შემდეგ დათვალეთ ლუწი რიცხვის გადახვევის ვარიანტების რაოდენობა:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

გამოდის, რომ 36-დან არის 18 ვარიანტი ხელსაყრელი შედეგისთვის - როგორც წინა შემთხვევაში, ალბათობა არის 0,5 ან 50%. შესაძლოა მოულოდნელი, მაგრამ საკმაოდ ზუსტი.

მონტე კარლოს სიმულაცია

რა მოხდება, თუ თქვენ გაქვთ ძალიან ბევრი კამათელი ამ გაანგარიშებისთვის? მაგალითად, გსურთ იცოდეთ რა არის ალბათობა იმისა, რომ მიიღოთ სულ 15 ან მეტი 8d6-ის გადახვევისას. რვა კამათლის სხვადასხვა შედეგის დიდი რაოდენობაა და მათი ხელით დათვლას ძალიან დიდი დრო დასჭირდება - მაშინაც კი, თუ ჩვენ შეგვეძლო რაიმე კარგი გამოსავლის პოვნა კამათლების სხვადასხვა ნაკრების დასაჯგუფებლად.

ამ შემთხვევაში უმარტივესი გზაა არა ხელით დათვლა, არამედ კომპიუტერის გამოყენება. კომპიუტერზე ალბათობის გამოთვლის ორი გზა არსებობს. პირველ მეთოდს შეუძლია ზუსტი პასუხის გაცემა, მაგრამ ის მოიცავს ცოტა პროგრამირებას ან სკრიპტირებას. კომპიუტერი შეხედავს თითოეულ შესაძლებლობას, შეაფასებს და დათვლის გამეორებების საერთო რაოდენობას და იმ გამეორებების რაოდენობას, რომლებიც შეესაბამება სასურველ შედეგს, შემდეგ კი გასცემს პასუხებს. თქვენი კოდი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

თუ არ გესმით პროგრამირება და გჭირდებათ მიახლოებითი პასუხი და არა ზუსტი, შეგიძლიათ ამ სიტუაციის სიმულაცია მოახდინოთ Excel-ში, სადაც 8d6-ს რამდენიმე ათასჯერ ახვევთ და პასუხს იღებთ. Excel-ში 1d6-ის დასაბრუნებლად გამოიყენეთ ფორმულა =FLOOR(RAND()*6)+1.

აქვს სახელი იმ სიტუაციას, როდესაც არ იცი პასუხი და უბრალოდ სცადე ისევ და ისევ - მონტე კარლოს სიმულაცია. ეს შესანიშნავი გამოსავალია გამოსაყენებლად, როდესაც ალბათობის გამოთვლა ძალიან რთულია. მთავარი ის არის, რომ ამ შემთხვევაში ჩვენ არ გვჭირდება იმის გაგება, თუ როგორ მუშაობს მათემატიკა და ვიცით, რომ პასუხი იქნება "საკმაოდ კარგი", რადგან, როგორც უკვე ვიცით, რაც მეტი რულონები, მით უფრო უახლოვდება შედეგი საშუალო.

როგორ გავაერთიანოთ დამოუკიდებელი ცდები

თუ თქვენ გეკითხებით მრავალჯერად განმეორებით, მაგრამ დამოუკიდებელ ცდაზე, ერთი როლის შედეგი არ იმოქმედებს სხვა როლების შედეგებზე. ამ სიტუაციის კიდევ ერთი მარტივი ახსნა არსებობს.

როგორ განვასხვავოთ რაღაც დამოკიდებული და დამოუკიდებელი? ძირითადად, თუ თქვენ შეგიძლიათ გამოყოთ კვარცხლბეკის თითოეული სროლა (ან სროლების სერია), როგორც ცალკე მოვლენა, მაშინ ის დამოუკიდებელია. მაგალითად, ვაგორებთ 8d6 და გვინდა სულ 15. ეს მოვლენა არ შეიძლება დაიყოს რამდენიმე დამოუკიდებელ კამათელად. შედეგის მისაღებად, თქვენ გამოთვალეთ ყველა მნიშვნელობის ჯამი, ასე რომ, შედეგი, რომელიც გამოდის ერთ საძირკველზე, გავლენას ახდენს შედეგებზე, რომლებიც უნდა გამოვიდეს სხვებზე.

აი, დამოუკიდებელი გათამაშების მაგალითი: თქვენ თამაშობთ კამათლის თამაშს და აყრით ექვსმხრივ კამათელს რამდენჯერმე. პირველი როლი უნდა იყოს 2 ან მეტი თამაშში დასარჩენად. მეორე სროლისთვის - 3 ან მეტი. მესამეს სჭირდება 4 ან მეტი, მეოთხე მოითხოვს 5 ან მეტს, ხოლო მეხუთე მოითხოვს 6-ს. თუ ხუთივე როლი წარმატებულია, თქვენ მოიგებთ. ამ შემთხვევაში, ყველა სროლა დამოუკიდებელია. დიახ, თუ ერთი სროლა წარუმატებელია, ეს გავლენას მოახდენს მთელი თამაშის შედეგზე, მაგრამ ერთი სროლა არ მოქმედებს მეორეზე. მაგალითად, თუ თქვენი მეორე კამათლის გაგორება ძალიან წარმატებულია, ეს არ ნიშნავს იმას, რომ შემდეგი გასროლაც კარგი იქნება. აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ კამათლის თითოეული გასროლის ალბათობა ცალ-ცალკე.

თუ თქვენ გაქვთ დამოუკიდებელი ალბათობა და გსურთ იცოდეთ რა არის ალბათობა იმისა, რომ ყველა მოვლენა მოხდეს, თქვენ განსაზღვრავთ თითოეულ ინდივიდუალურ ალბათობას და ამრავლებთ მათ ერთად. კიდევ ერთი გზა: თუ იყენებთ კავშირს „და“ რამდენიმე პირობის აღსაწერად (მაგალითად, რა არის რაიმე შემთხვევითი მოვლენის და სხვა დამოუკიდებელი შემთხვევითი მოვლენის დადგომის ალბათობა?) - დაითვალეთ ინდივიდუალური ალბათობები და გაამრავლეთ ისინი.

არ აქვს მნიშვნელობა რას ფიქრობთ, არასოდეს შეაგროვოთ დამოუკიდებელი ალბათობები. ეს ჩვეულებრივი შეცდომაა. იმის გასაგებად, თუ რატომ არის ეს არასწორი, წარმოიდგინეთ სიტუაცია, როდესაც თქვენ აყრით მონეტას და გსურთ იცოდეთ რა არის ზედიზედ ორჯერ თავების მიღების ალბათობა. თითოეული მხარის ჩამოვარდნის ალბათობა 50%-ია. თუ დაამატებთ ამ ორ ალბათობას, თქვენ მიიღებთ 100% შანსს, რომ მიიღოთ თავები, მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ ეს ასე არ არის, რადგან შეიძლება ზედიზედ ორჯერ ყოფილიყო კუდები. თუ სანაცვლოდ გაამრავლებთ ორ ალბათობას, მიიღებთ 50% * 50% = 25% - რაც არის სწორი პასუხი ზედიზედ ორჯერ მიღების ალბათობის გამოსათვლელად.

მაგალითი

მოდით დავუბრუნდეთ ექვსმხრივ კამათლის თამაშს, სადაც ჯერ უნდა გააგოროთ რიცხვი 2-ზე მეტი, შემდეგ 3-ზე მეტი - და ასე შემდეგ 6-მდე. რა არის შანსი, რომ მოცემული ხუთი გასროლის სერიაში ყველა შედეგი იყოს ხელსაყრელი. ?

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ეს არის დამოუკიდებელი ცდები, ამიტომ ჩვენ ვიანგარიშებთ ალბათობას თითოეული ცალკეული რულონისთვის და შემდეგ ვამრავლებთ მათ ერთად. ალბათობა იმისა, რომ პირველი როლის შედეგი იქნება ხელსაყრელი არის 5/6. მეორე - 4/6. მესამე - 3/6. მეოთხე - 2/6, მეხუთე - 1/6. ყველა შედეგს ვამრავლებთ ერთმანეთზე და ვიღებთ დაახლოებით 1,5%-ს. ამ თამაშში მოგება საკმაოდ იშვიათია, ასე რომ, თუ ამ ელემენტს დაამატებთ თქვენს თამაშს, დაგჭირდებათ საკმაოდ დიდი ჯეკპოტი.

უარყოფა

აქ არის კიდევ ერთი სასარგებლო რჩევა: ხანდახან ძნელია გამოთვალო მოვლენის მოხდენის ალბათობა, მაგრამ უფრო ადვილია იმის დადგენა, თუ რა შანსები არ მოხდება. მაგალითად, დავუშვათ, გვაქვს კიდევ ერთი თამაში: თქვენ გაათამაშებთ 6d6-ს და მოიგებთ, თუ ერთხელ მაინც გაათამაშებთ 6-ს. რა არის მოგების ალბათობა?

ამ შემთხვევაში ბევრი ვარიანტია გასათვალისწინებელი. შესაძლებელია, რომ ერთი ნომერი 6 გაისროლოს, ანუ ერთ-ერთმა კამათელმა გამოავლინოს რიცხვი 6, დანარჩენებმა კი 1-დან 5-მდე, შემდეგ არის 6 ვარიანტი, რომელი კამათელი აჩვენებს 6-ს. შეგიძლიათ მიიღოთ რიცხვი 6 ორ კამათელ კამათელზე, ან სამი, ან კიდევ უფრო მეტი, და ყოველ ჯერზე დაგჭირდებათ ცალკე გამოთვლა, ასე რომ აქ ადვილია დაბნეულობა.

მაგრამ მოდით შევხედოთ პრობლემას მეორე მხრიდან. თქვენ დაკარგავთ, თუ არც ერთი კამათელი არ გააგორებს 6-ს. ამ შემთხვევაში გვაქვს 6 დამოუკიდებელი საცდელი. ალბათობა იმისა, რომ თითოეული კამათელი 6-ის გარდა სხვა რიცხვს აგორავს არის 5/6. გაამრავლეთ ისინი და მიიღებთ დაახლოებით 33%. ამრიგად, წაგების ალბათობა სამიდან ერთია. აქედან გამომდინარე, გამარჯვების ალბათობა არის 67% (ან ორიდან სამამდე).

ამ მაგალითიდან აშკარაა: თუ გამოთვლით ალბათობას, რომ მოვლენა არ მოხდება, შედეგი უნდა გამოკლოთ 100%. თუ მოგების ალბათობა არის 67%, მაშინ წაგების ალბათობა არის 100% მინუს 67%, ანუ 33% და პირიქით. თუ ერთი ალბათობის გამოთვლა რთულია, მაგრამ საპირისპიროს გამოთვლა მარტივია, გამოთვალეთ საპირისპირო და შემდეგ გამოაკლეთ ეს რიცხვი 100%-ს.

ჩვენ ვაერთიანებთ ერთი დამოუკიდებელი ტესტის პირობებს

ზემოთ ვთქვი, რომ არასდროს არ უნდა დაამატოთ ალბათობები დამოუკიდებელ ტესტებში. არის შემთხვევები, როცა შესაძლებელია ალბათობების შეჯამება? დიახ, ერთ განსაკუთრებულ სიტუაციაში.

თუ გსურთ გამოთვალოთ ალბათობა რამდენიმე ურთიერთდაკავშირებული ხელსაყრელი შედეგისთვის ერთ ცდაზე, შეაჯამეთ თითოეული ხელსაყრელი შედეგის ალბათობა. მაგალითად, რიცხვების 4, 5 ან 6 გადახვევის ალბათობა 1d6-ზე უდრის რიცხვის 4-ის, 5-ის ალბათობის და რიცხვის 6-ის ალბათობის ჯამს. ეს სიტუაცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შემდეგნაირად: თუ იყენებთ კავშირს „ან“ ალბათობის შესახებ შეკითხვაში (მაგალითად, რა არის ერთი შემთხვევითი მოვლენის ამა თუ იმ შედეგის ალბათობა?) - გამოთვალეთ ინდივიდუალური ალბათობები და შეაჯამეთ ისინი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: როდესაც გამოთვლით თამაშის ყველა შესაძლო შედეგს, მათი დადგომის ალბათობების ჯამი უნდა იყოს 100%-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენი გამოთვლა არასწორად მოხდა. ეს კარგი გზაა თქვენი გამოთვლების ორჯერ შესამოწმებლად. მაგალითად, თქვენ გაანალიზეთ პოკერში ყველა კომბინაციის ალბათობა. თუ შეაგროვებთ თქვენს ყველა შედეგს, უნდა მიიღოთ ზუსტად 100% (ან თუნდაც საკმაოდ ახლოს 100%: თუ იყენებთ კალკულატორს, შეიძლება იყოს მცირე დამრგვალების შეცდომა, მაგრამ თუ ზუსტ ციფრებს ხელით დააგროვებთ, ყველაფერი უნდა დაემატოს). თუ ჯამი არ ემთხვევა, ეს ნიშნავს, რომ თქვენ დიდი ალბათობით არ გაითვალისწინეთ ზოგიერთი კომბინაცია ან არასწორად გამოთვალეთ ზოგიერთი კომბინაციის ალბათობა და გამოთვლები ორჯერ უნდა შემოწმდეს.

არათანაბარი ალბათობები

აქამდე ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ კამათლის თითოეული მხარე ერთნაირი სიხშირით გორდება, რადგან როგორც ჩანს, კამათელი ასე მუშაობს. მაგრამ ხანდახან შეიძლება შეგხვდეთ სიტუაცია, როდესაც შესაძლებელია სხვადასხვა შედეგი და მათ გამოჩენის განსხვავებული შანსი აქვთ.

მაგალითად, ბირთვული ომის კარტის თამაშის ერთ-ერთ გაფართოებაში არის სათამაშო მოედანი ისრებით, რომელზედაც დამოკიდებულია რაკეტის გაშვების შედეგი. ყველაზე ხშირად ის აყენებს ნორმალურ ზიანს, უფრო ძლიერს ან სუსტს, მაგრამ ხანდახან დაზიანება გაორმაგდება ან სამმაგდება, ან რაკეტა აფეთქდება გაშვების ბალიშზე და გტკივა, ან ხდება რაიმე სხვა მოვლენა. ისრის დაფისგან განსხვავებით Chutes & Ladders-ში ან A Game of Life-ში, თამაშის დაფის შედეგები ბირთვულ ომში არათანაბარია. სათამაშო მოედნის ზოგიერთი მონაკვეთი უფრო დიდია და ისრები მათზე უფრო ხშირად ჩერდება, ხოლო სხვა მონაკვეთები ძალიან მცირეა და ისარი მათზე იშვიათად ჩერდება.

ასე რომ, ერთი შეხედვით, კვერი ასე გამოიყურება: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ მასზე, ეს არის რაღაც წონიანი 1d3. ამიტომ, ჩვენ უნდა დავყოთ ყველა ეს მონაკვეთი თანაბარ ნაწილებად, ვიპოვოთ საზომი უმცირესი ერთეული, რომლის გამყოფი ყველაფერი არის ჯერადი და შემდეგ წარმოვადგინოთ სიტუაცია d522 (ან სხვა) სახით, სადაც არის კამათლების ნაკრები. სახეები იქნება იგივე სიტუაცია, მაგრამ მეტი შედეგით. ეს პრობლემის გადაჭრის ერთ-ერთი გზაა და ტექნიკურადაც შესაძლებელია, მაგრამ არსებობს უფრო მარტივი ვარიანტი.

მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენს სტანდარტულ ექვსმხრივ კამათელს. ჩვენ ვთქვით, რომ ნორმალური კვარცხლბეკის საშუალო რულონის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა დაამატოთ მნიშვნელობები ყველა სახეზე და გავყოთ სახეების რაოდენობაზე, მაგრამ როგორ მუშაობს ზუსტად გაანგარიშება? ამის გამოხატვის სხვა გზა არსებობს. ექვსმხრივი კვარცხლბეკისთვის, თითოეული მხარის შემოხვევის ალბათობა არის ზუსტად 1/6. ახლა ჩვენ ვამრავლებთ თითოეული კიდის შედეგს ამ შედეგის ალბათობით (ამ შემთხვევაში, 1/6 თითოეული კიდეზე) და შემდეგ ვაგროვებთ მიღებულ მნიშვნელობებს. ამრიგად, შეჯამება (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), ვიღებთ იგივე შედეგს (3.5), როგორც ზემოთ გაანგარიშებაში. სინამდვილეში, ჩვენ ყოველ ჯერზე ასე ვითვლით: თითოეულ შედეგს ვამრავლებთ ამ შედეგის ალბათობაზე.

შეგვიძლია თუ არა იგივე გამოთვლა ბირთვული ომის სათამაშო მოედანზე ისრისთვის? რა თქმა უნდა შეგვიძლია. და თუ შევაჯამებთ ყველა ნაპოვნი შედეგს, მივიღებთ საშუალო მნიშვნელობას. ჩვენ მხოლოდ უნდა გამოვთვალოთ თითოეული შედეგის ალბათობა თამაშის დაფაზე ისრისთვის და გავამრავლოთ შედეგის მნიშვნელობაზე.

Სხვა მაგალითი

საშუალო გამოთვლის ეს მეთოდი ასევე შესაფერისია იმ შემთხვევაში, თუ შედეგები თანაბრად სავარაუდოა, მაგრამ აქვს განსხვავებული უპირატესობები - მაგალითად, თუ თქვენ გააფართოვებთ თითს და მოიგებთ უფრო მეტს ზოგიერთ მხარეს, ვიდრე სხვები. მაგალითად, ავიღოთ კაზინოს თამაში: თქვენ დადებთ ფსონს და აყენებთ 2d6-ს. თუ სამი დაბალი მნიშვნელობის ნომერი (2, 3, 4) ან ოთხი მაღალი მნიშვნელობის ნომერი (9, 10, 11, 12) შემოვიდა, თქვენ მოიგებთ ფსონის ტოლ თანხას. ყველაზე დაბალი და უმაღლესი მნიშვნელობების მქონე ნომრები განსაკუთრებულია: თუ თქვენ გააფართოვებთ 2-ს ან 12-ს, თქვენ ორჯერ მოიგებთ თქვენს ფსონს. თუ სხვა რიცხვი შემოვიდა (5, 6, 7, 8), თქვენ დაკარგავთ ფსონს. ეს საკმაოდ მარტივი თამაშია. მაგრამ რა არის გამარჯვების ალბათობა?

დავიწყოთ იმით, თუ რამდენჯერ შეგიძლიათ მოიგოთ. შედეგების მაქსიმალური რაოდენობა 2d6-ის გაშვებისას არის 36. რა არის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა?

• არის 1 ვარიანტი, რომ 2 დაიბრუნოს და 1 ვარიანტი, რომ 12 დაიბრუნოს.
• არის 2 ვარიანტი, რომელიც 3 გააფართოვებს და 2 ვარიანტი, რომელიც 11 გააფართოვებს.
• არის 3 ვარიანტი, რომელსაც 4 გააფართოვებს და 3 ვარიანტი, რომელიც 10 გააფართოვებს.
• 9-ის მოძრავი 4 ვარიანტია.

ყველა ვარიანტის შეჯამებით, მივიღებთ 16 ხელსაყრელ შედეგს 36-დან. ამრიგად, ნორმალურ პირობებში თქვენ მოიგებთ 16-ჯერ 36-დან - გამარჯვების ალბათობა 50%-ზე ოდნავ ნაკლებია.

მაგრამ ამ თექვსმეტიდან ორ შემთხვევაში ორჯერ მეტს მოიგებთ – ეს ორჯერ მოგებას ჰგავს. თუ ამ თამაშს 36-ჯერ ითამაშებთ, ყოველ ჯერზე 1$-ს დადებთ ფსონს, და ყველა შესაძლო შედეგი ერთხელ გამოვა, თქვენ მოიგებთ ჯამში $18 (სინამდვილეში მოიგებთ 16-ჯერ, მაგრამ ორი მათგანი ჩაითვლება ორ მოგებად). თუ თამაშობ 36-ჯერ და მოიგებ 18$, ეს არ ნიშნავს რომ შანსები ტოლია?

მიიღეთ დრო. თუ დათვლით რამდენჯერ შეგიძლიათ წაგება, თქვენ მიიღებთ 20-ს და არა 18-ს. თუ ითამაშებთ 36-ჯერ და ყოველ ჯერზე დადებთ 1$-ს, თქვენ მოიგებთ ჯამში $18-ს, თუ ყველა ხელსაყრელ არჩევანს მიაღწევთ. მაგრამ თქვენ დაკარგავთ სულ $20, თუ თქვენ მიიღებთ ყველა 20 არახელსაყრელ შედეგს. შედეგად, ცოტა ჩამორჩებით: ყოველ 36 თამაშზე საშუალოდ კარგავთ $2 წმინდას (შეიძლება ითქვას, რომ დღეში საშუალოდ 1/18 დოლარის ზარალს კარგავთ). ახლა ხედავთ, რა ადვილია ამ შემთხვევაში შეცდომის დაშვება და ალბათობის არასწორად გამოთვლა.

გადაწყობა

აქამდე ვივარაუდეთ, რომ კამათლის სროლისას რიცხვების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს. Rolling 2 + 4 იგივეა, რაც 4 + 2. უმეტეს შემთხვევაში, ჩვენ ხელით ვითვლით ხელსაყრელ შედეგებს, მაგრამ ზოგჯერ ეს მეთოდი არაპრაქტიკულია და უმჯობესია გამოვიყენოთ მათემატიკური ფორმულა.

ამ სიტუაციის მაგალითია Farkle dice თამაშიდან. ყოველი ახალი რაუნდისთვის, თქვენ გააფართოვეთ 6d6. თუ გაგიმართლათ და მიიღებთ ყველა შესაძლო შედეგს 1-2-3-4-5-6 (პირდაპირი), მიიღებთ დიდ ბონუსს. რა არის ამის ალბათობა? ამ შემთხვევაში, ამ კომბინაციის მიღების მრავალი ვარიანტი არსებობს.

გამოსავალი ასეთია: ერთ კამათელს (და მხოლოდ ერთს) უნდა ჰქონდეს ნომერი 1. რამდენი გზით შეიძლება გამოჩნდეს ნომერი 1 ერთ კამათელზე? არსებობს 6 ვარიანტი, რადგან არის 6 კამათელი და ნებისმიერი მათგანი შეიძლება დაეცეს ნომერ 1-ზე. შესაბამისად, აიღეთ ერთი კამათელი და გადადეთ. ახლა დარჩენილი კამათლებიდან ერთმა უნდა გააგოროს ნომერი 2. ამისთვის 5 ვარიანტია. აიღეთ კიდევ ერთი კამათელი და გადადგით. შემდეგ დარჩენილი კამათლებიდან 4 შეიძლება მოხვდეს რიცხვზე 3, დარჩენილი კამათლებიდან 3 შეიძლება მოხვდეს რიცხვზე 4, დარჩენილი კამათლებიდან 2 შეიძლება მოხვდეს ნომრის 5-ზე. შედეგად, თქვენ დარჩებათ ერთი კამათელი, რომელიც უნდა დაეცეს ნომერი. 6 (ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, კამათელი მხოლოდ ერთი ძვალია და არჩევანი არ არის).

სტრიტიზე დარტყმისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის გამოსათვლელად, ჩვენ ვამრავლებთ ყველა სხვადასხვა დამოუკიდებელ შესაძლებლობას: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - როგორც ჩანს, საკმაოდ დიდია ამ კომბინაციის შესაძლებლობა. .

სწორის მიღების ალბათობის გამოსათვლელად, 720 უნდა გავყოთ 6d6-ის მოძრავი ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობაზე. რა არის ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობა? თითოეულ კვერს შეიძლება ჰქონდეს 6 გვერდი, ამიტომ ვამრავლებთ 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (წინადან გაცილებით დიდი რიცხვი). 720 გავყოთ 46656-ზე და მივიღებთ დაახლოებით 1,5%-ის ალბათობას. თუ ამ თამაშს აპროექტებდით, თქვენთვის სასარგებლო იქნებოდა ამის ცოდნა, რათა შესაბამისად შეგექმნათ ქულების სისტემა. ახლა ჩვენ გვესმის, რატომ იღებთ Farkle-ში ასეთ დიდ ბონუსს, თუ თქვენ მიიღებთ პირდაპირ: ეს საკმაოდ იშვიათი სიტუაციაა.

შედეგი საინტერესოა სხვა მიზეზითაც. მაგალითი გვიჩვენებს, რამდენად იშვიათად ხდება მოკლე პერიოდში შედეგი, რომელიც შეესაბამება ალბათობას. რა თქმა უნდა, თუ რამდენიმე ათას კამათელს ვყრით, კამათლის სხვადასხვა მხარე საკმაოდ ხშირად გამოვა. მაგრამ როდესაც მხოლოდ ექვს კამათელს ვყრით, თითქმის არასდროს ხდება, რომ ყველა სახე ამოვიდეს. ცხადი ხდება, რომ სისულელეა იმის მოლოდინი, რომ ახლა გამოჩნდება ხაზი, რომელიც ჯერ არ მომხდარა, რადგან ”ჩვენ დიდი ხანია არ დაგვიბრუნებია ნომერი 6”. მისმინეთ, თქვენი შემთხვევითი რიცხვების გენერატორი გატეხილია.

ეს მიგვიყვანს საერთო მცდარ წარმოდგენამდე, რომ ყველა შედეგი ერთნაირი სიხშირით ხდება მოკლე დროში. თუ კამათელს რამდენჯერმე დავყრით, თითოეული მხარის ამოვარდნის სიხშირე არ იქნება იგივე.

თუ თქვენ ოდესმე გიმუშავიათ ონლაინ თამაშზე რაიმე სახის შემთხვევითი რიცხვების გენერატორით, დიდი ალბათობით შეგხვედრიათ სიტუაცია, როდესაც მოთამაშე წერს ტექნიკურ მხარდაჭერას და უჩივის, რომ შემთხვევითი რიცხვების გენერატორი არ აჩვენებს შემთხვევით რიცხვებს. ის მივიდა ამ დასკვნამდე, რადგან მან მოკლა ზედიზედ 4 მონსტრი და მიიღო 4 ზუსტად იგივე ჯილდო, და ეს ჯილდოები მხოლოდ 10% უნდა გამოჩნდეს, ასე რომ, ცხადია, ეს თითქმის არასოდეს უნდა მოხდეს.

თქვენ აკეთებთ მათემატიკურ გამოთვლას. ალბათობა არის 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, ანუ 1 შედეგი 10 ათასიდან საკმაოდ იშვიათი შემთხვევაა. ეს არის ის, რასაც მოთამაშე ცდილობს გითხრათ. არის ამ შემთხვევაში პრობლემა?

ეს ყველაფერი დამოკიდებულია გარემოებებზე. რამდენი მოთამაშეა ამჟამად თქვენს სერვერზე? ვთქვათ, თქვენ გაქვთ საკმაოდ პოპულარული თამაში და მას ყოველდღიურად 100 ათასი ადამიანი თამაშობს. რამდენ მოთამაშეს შეუძლია ზედიზედ ოთხი მონსტრის მოკვლა? შესაძლოა, დღეში რამდენჯერმე, მაგრამ დავუშვათ, რომ მათი ნახევარი უბრალოდ ცვლის სხვადასხვა ნივთებს აუქციონებზე, ლაპარაკობს RP სერვერებზე ან ახორციელებს სხვა თამაშში არსებულ აქტივობებს - ასე რომ, მათი მხოლოდ ნახევარი ნადირობს მონსტრებზე. რა არის იმის ალბათობა, რომ ვინმე მიიღებს იგივე ჯილდოს? ამ სიტუაციაში, შეგიძლიათ მოელოდეთ, რომ ეს მოხდება დღეში რამდენჯერმე მაინც.

სხვათა შორის, ამიტომ, როგორც ჩანს, ყოველ რამდენიმე კვირაში ვიღაც იგებს ლატარიას, მაშინაც კი, თუ ეს ვინმე არასოდეს ყოფილხართ თქვენ ან ვინმეს, ვისაც იცნობთ. თუ საკმარისი ხალხი თამაშობს რეგულარულად, დიდი შანსია, რომ სადმე მაინც იყოს ერთი იღბლიანი მოთამაშე. მაგრამ თუ თქვენ თვითონ თამაშობთ ლატარიას, მაშინ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ მოიგოთ, არამედ მოგიწვევენ სამუშაოდ Infinity Ward-ში.

ბარათები და დამოკიდებულება

ჩვენ განვიხილეთ დამოუკიდებელ მოვლენებზე, როგორიცაა ჯაგრისების გადაგდება და ახლა ვიცით მრავალი მძლავრი ინსტრუმენტი მრავალ თამაშში შემთხვევითობის გასაანალიზებლად. ალბათობის გამოთვლა ცოტა უფრო რთულია, როდესაც საქმე ეხება გემბანიდან ბარათების გამოტანას, რადგან თითოეული ჩვენ მიერ გათამაშებული კარტი გავლენას ახდენს გემბანზე დარჩენილ კარტებზე.

თუ თქვენ გაქვთ სტანდარტული 52-კარტიანი დასტა, თქვენ ამოიღებთ მისგან 10 გულს და გსურთ იცოდეთ ალბათობა იმისა, რომ შემდეგი კარტი იქნება იგივე კოსტუმი - ალბათობა შეიცვალა ორიგინალისგან, რადგან თქვენ უკვე ამოიღეთ კოსტიუმის ერთი კარტი. გულები გემბანიდან. თქვენ მიერ ამოღებული თითოეული ბარათი ცვლის გემბანზე შემდეგი კარტის გამოჩენის ალბათობას. ამ შემთხვევაში, წინა მოვლენა გავლენას ახდენს შემდეგზე, ამიტომ ამ ალბათობას დამოკიდებულს ვუწოდებთ.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ როდესაც ვამბობ "ბარათებს", მე ვსაუბრობ თამაშის ნებისმიერ მექანიკაზე, სადაც თქვენ გაქვთ ობიექტების ნაკრები და თქვენ ამოიღებთ ერთ-ერთ ობიექტს მისი გამოცვლის გარეშე. „ბანქოს გემბანი“ ამ შემთხვევაში ჩიპების ტომრის ანალოგია, საიდანაც იღებთ ერთ ჩიპს, ან ურნას, საიდანაც იღებენ ფერად ბურთებს (მე არასოდეს მინახავს თამაშები ურნით, საიდანაც ფერადი ბურთები იღება, მაგრამ მასწავლებლები ალბათობის თეორიის მიხედვით, თუ რა მიზეზით არის ეს მაგალითი სასურველი).

დამოკიდებულების თვისებები

მინდა განვმარტო, რომ როდესაც საქმე ეხება ბარათებს, მე ვარაუდობ, რომ თქვენ დახაზავთ ბარათებს, უყურებთ მათ და ამოიღებთ მათ გემბანიდან. თითოეული ეს ქმედება მნიშვნელოვანი თვისებაა. მე რომ მქონდეს დაფა, ვთქვათ, ექვსი კარტიდან 1-დან 6-მდე ნომრებით, ავრევდი მათ და დავხატავდი ერთ ბარათს, შემდეგ ისევ ავრევდი ექვსივე კარტს - ეს იქნება ექვსგვერდიანი ქაღალდის სროლის მსგავსი, რადგან ერთი შედეგი აქვს. არანაირი ეფექტი მომდევნოზე. და თუ მე ამოვიღე ბარათები და არ გამოვცვალე, მაშინ 1-ლი ბარათის ამოღებით ვზრდი ალბათობას, რომ შემდეგ ჯერზე გავათამაშო ბარათი 6 ნომრით. ალბათობა გაიზრდება მანამ, სანამ საბოლოოდ არ ამოვიღებ ამ ბარათს ან აურიეთ გემბანი.

ასევე მნიშვნელოვანია ის ფაქტი, რომ ჩვენ ვათვალიერებთ ბარათებს. თუ ბარათს ამოვიღებ გემბანიდან და არ ვუყურებ, დამატებითი ინფორმაცია არ მექნება და ალბათობა რეალურად არ შეიცვლება. ეს შეიძლება არაინტუიციურად ჟღერდეს. როგორ შეიძლება ბარათის უბრალოდ გადახვევა ჯადოსნურად შეცვალოს შანსები? მაგრამ ეს შესაძლებელია, რადგან თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ უცნობი ნივთების ალბათობა მხოლოდ იმის მიხედვით, რაც იცით.

მაგალითად, თუ აურიეთ კარტების სტანდარტული დასტა და გამოავლინეთ 51 კარტი და არცერთი მათგანი არ არის კლუბების დედოფალი, მაშინ შეგიძლიათ 100%-ით დარწმუნებული იყოთ, რომ დარჩენილი კარტი არის კლუბების დედოფალი. თუ ბანქოს სტანდარტულ დასტას აურიეთ და 51 კარტს ამოიღებთ მათ დაუთვალიერებლად, ალბათობა იმისა, რომ დარჩენილი კარტი კლუბების დედოფალი იყოს, მაინც არის 1/52. თითოეული ბარათის გახსნისას თქვენ მიიღებთ მეტ ინფორმაციას.

დამოკიდებული მოვლენების ალბათობის გამოთვლა იგივე პრინციპებს მიჰყვება, როგორც დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის, გარდა იმისა, რომ ეს ცოტა უფრო რთულია, რადგან ალბათობა იცვლება ბარათების გამოვლენისას. ასე რომ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მრავალი განსხვავებული მნიშვნელობა ერთი და იგივე მნიშვნელობის გამრავლების ნაცვლად. ეს ნამდვილად ნიშნავს იმას, რომ ჩვენ უნდა გავაერთიანოთ ყველა გამოთვლა, რაც გავაკეთეთ ერთ კომბინაციაში.

მაგალითი

თქვენ აურიეთ სტანდარტული 52-კარტიანი გემბანი და იხატავთ ორ კარტს. რა არის იმის ალბათობა, რომ წყვილს დახატავთ? ამ ალბათობის გამოსათვლელად რამდენიმე ხერხი არსებობს, მაგრამ, ალბათ, უმარტივესი არის ეს: რა არის ალბათობა, რომ თუ ერთ კარტს დახატავთ, წყვილის დახატვას ვერ შეძლებთ? ეს ალბათობა ნულის ტოლია, ამიტომ არ აქვს მნიშვნელობა რომელ პირველ კარტს ათამაშებთ, რამდენადაც ის ემთხვევა მეორეს. არ აქვს მნიშვნელობა რომელ კარტს გავართმევთ პირველს, წყვილის გათამაშების შანსი მაინც გვაქვს. ამიტომ, პირველი კარტის გათამაშების შემდეგ წყვილის დახატვის ალბათობა 100%-ია.

რა არის ალბათობა, რომ მეორე კარტი ემთხვევა პირველს? გემბანში დარჩა 51 კარტი და მათგან 3 ემთხვევა პირველ კარტს (რეალურად 52-დან 4 იქნებოდა, მაგრამ პირველი კარტის გათამაშებისას უკვე ამოიღეთ ერთი შესაბამისი კარტი), ასე რომ ალბათობა არის 1/ 17. ასე რომ, შემდეგ ჯერზე, როდესაც თქვენ თამაშობთ Texas Hold'em-ს, ბიჭი თქვენს გვერდით მაგიდაზე ამბობს: „მაგარი, კიდევ ერთი წყვილი? დღეს თავს იღბლიანი ვგრძნობ, ”თქვენ გეცოდინებათ, რომ დიდია ალბათობა იმისა, რომ ის ბლეფს აკეთებს.

რა მოხდება, თუ დავამატებთ ორ ჯოკერს ისე, რომ გემბანზე გვაქვს 54 კარტი და გვინდა ვიცოდეთ, რა არის წყვილის დახატვის ალბათობა? პირველი კარტი შეიძლება იყოს ჯოკერი და შემდეგ გემბანზე მხოლოდ ერთი კარტი იქნება, რომელიც ემთხვევა და არა სამი. როგორ მოვძებნოთ ალბათობა ამ შემთხვევაში? ჩვენ გავყოფთ ალბათობას და გავამრავლებთ თითოეულ შესაძლებლობას.

ჩვენი პირველი ბარათი შეიძლება იყოს ჯოკერი ან სხვა ბარათი. ჯოკერის დახატვის ალბათობა არის 2/54, სხვა კარტის დახატვის ალბათობა 52/54. თუ პირველი კარტი ჯოკერია (2/54), მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მეორე კარტი პირველს ემთხვევა არის 1/53. ჩვენ ვამრავლებთ მნიშვნელობებს (შეგვიძლია გავამრავლოთ ისინი, რადგან ისინი ცალკეული მოვლენებია და გვინდა, რომ ორივე მოვლენა მოხდეს) და მივიღებთ 1/1431 - პროცენტის მეათედზე ნაკლებს.

თუ ჯერ სხვა კარტს დახატავთ (52/54), მეორე კარტის შესატყვისობის ალბათობა არის 3/53. ჩვენ ვამრავლებთ მნიშვნელობებს და ვიღებთ 78/1431 (5,5%-ზე ოდნავ მეტი). რა ვუყოთ ამ ორ შედეგს? ისინი არ იკვეთებიან და ჩვენ გვინდა ვიცოდეთ თითოეული მათგანის ალბათობა, ამიტომ ვამატებთ მნიშვნელობებს. ჩვენ ვიღებთ საბოლოო შედეგს 79/1431 (ჯერ კიდევ დაახლოებით 5.5%).

თუ გვინდოდა პასუხის სიზუსტეში დავრწმუნებულიყავით, შეგვეძლო გამოვთვალოთ ყველა სხვა შესაძლო შედეგის ალბათობა: ჯოკერის დახატვა და მეორე კარტის შეუსაბამობა, ან სხვა კარტის დახატვა და მეორე კარტის შეუსაბამობა. ამ ალბათობების და გამარჯვების ალბათობის შეჯამებით მივიღებთ ზუსტად 100%-ს. მათემატიკას აქ არ მივცემ, მაგრამ შეგიძლიათ სცადოთ მათემატიკა ორჯერ გადაამოწმოთ.

მონტი ჰოლის პარადოქსი

ეს მიგვიყვანს საკმაოდ ცნობილ პარადოქსამდე, რომელიც ხშირად აბნევს ბევრ ადამიანს - მონტი ჰოლის პარადოქსი. პარადოქსს ჰქვია სატელევიზიო შოუს Let's Make a Deal წამყვანის სახელი, მათთვის, ვისაც არასდროს უნახავს ეს სატელევიზიო შოუ, ეს იყო The Price Is Right-ის საპირისპირო.

The Price Is Right-ზე, მასპინძელი (ბობ ბარკერი ადრე მასპინძელი იყო; ვინ არის ახლა, დრიუ ქერი? არაფერ შუაშია) თქვენი მეგობარია. მას სურს, რომ მოიგოთ ფული ან მაგარი პრიზები. ის ცდილობს მოგცეთ მოგების ყველა შესაძლებლობა, რამდენადაც თქვენ შეგიძლიათ გამოიცნოთ რამდენად ღირს სპონსორების მიერ შეძენილი ნივთები.

მონტი ჰოლი სხვანაირად იქცეოდა. ის ბობ ბარკერის ბოროტ ტყუპს ჰგავდა. მისი მიზანი იყო, ნაციონალურ ტელევიზიაში იდიოტად დაგემსგავსებინა. თუ შოუში იყავი, ის შენი მეტოქე იყო, მის წინააღმდეგ თამაშობდი და შანსები მის სასარგებლოდ იყო. ალბათ ზედმეტად მკაცრი ვარ, მაგრამ როცა ვუყურებ შოუს, რომლებშიც უფრო დიდი ალბათობით მოხვდები, თუ სასაცილო კოსტუმი ჩაიცვამ, ზუსტად ამას მივედი.

შოუს ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი მემე იყო ეს: შენს წინ სამი კარია, კარი ნომერი 1, კარი ნომერი 2 და კარი ნომერი 3. ერთი კარი შეგიძლიათ უფასოდ აირჩიოთ. ერთ-ერთი მათგანის უკან არის შესანიშნავი პრიზი - მაგალითად, ახალი მანქანა. დანარჩენი ორი კარის მიღმა პრიზები არ არის, ორივეს არანაირი ღირებულება არ აქვს. მათ უნდა დაგამცირონ, ასე რომ მათ უკან უბრალოდ არაფერია, არამედ რაღაც სისულელეა, მაგალითად, თხა ან კბილის პასტის უზარმაზარი მილი - ყველაფერი, გარდა ახალი მანქანისა.

შენ ირჩევ ერთ-ერთ კარს, მონტი აპირებს მის გაღებას, რომ გააგებინოს მოიგე თუ არა... მაგრამ დაელოდე. სანამ გავარკვევთ, მოდით გადავხედოთ ერთ-ერთ იმ კარს, რომელიც თქვენ არ აირჩიეთ. მონტიმ იცის, რომელი კარის უკან დგას პრიზი და ყოველთვის შეუძლია გააღოს კარი, რომელსაც უკან პრიზი არ აქვს. „აირჩევთ კარს ნომერ 3-ს? მაშინ გავაღოთ ნომერი 1 კარი, რათა დავანახოთ, რომ მის უკან პრიზი არ იყო. ახლა კი, კეთილშობილების გამო, ის გთავაზობთ შესაძლებლობას შეცვალოთ შერჩეული კარის ნომერი 3 იმით, რაც არის მე-2 კარის უკან.

ამ დროს ჩნდება ალბათობის კითხვა: გაზრდის თუ არა ეს შესაძლებლობა გამარჯვების ალბათობას, ამცირებს თუ უცვლელი რჩება? როგორ ფიქრობთ?

სწორი პასუხი: სხვა კარის არჩევის შესაძლებლობა ზრდის მოგების ალბათობას 1/3-დან 2/3-მდე. ეს ალოგიკურია. თუ აქამდე არ შეგხვედრიათ ეს პარადოქსი, მაშინ დიდი ალბათობით ფიქრობთ: მოიცადეთ, როგორ მოხდა, რომ ერთი კარის გაღებით ჩვენ ჯადოსნურად შევცვალეთ ალბათობა? როგორც უკვე ვნახეთ რუკებთან დაკავშირებით, ეს არის ზუსტად ის, რაც ხდება, როდესაც ვიღებთ დამატებით ინფორმაციას. ცხადია, როცა პირველად აირჩევთ, მოგების ალბათობა 1/3-ია. როდესაც ერთი კარი იღება, ეს საერთოდ არ ცვლის პირველი არჩევანის გამარჯვების ალბათობას: ალბათობა მაინც 1/3-ია. მაგრამ ალბათობა იმისა, რომ მეორე კარი სწორია, ახლა არის 2/3.

მოდით შევხედოთ ამ მაგალითს სხვა კუთხით. შენ ირჩევ კარს. გამარჯვების ალბათობა არის 1/3. მე გთავაზობთ შეცვალოთ დანარჩენი ორი კარი, რასაც მონტი ჰოლი აკეთებს. რა თქმა უნდა, ის ხსნის ერთ-ერთ კარს, რათა გამოავლინოს, რომ მის უკან პრიზი არ არის, მაგრამ მას ყოველთვის შეუძლია ამის გაკეთება, ასე რომ ეს ნამდვილად არაფერს ცვლის. რა თქმა უნდა, თქვენ გსურთ აირჩიოთ სხვა კარი.

თუ ბოლომდე არ გესმით კითხვა და გჭირდებათ უფრო დამაჯერებელი ახსნა, დააწკაპუნეთ ამ ბმულზე, რათა გადახვიდეთ შესანიშნავ პატარა Flash აპლიკაციაში, რომელიც საშუალებას მოგცემთ უფრო დეტალურად შეისწავლოთ ეს პარადოქსი. შეგიძლიათ ითამაშოთ დაწყებული დაახლოებით 10 კარით და შემდეგ თანდათანობით აგრძელებთ თამაშს სამი კარით. ასევე არის სიმულატორი, სადაც შეგიძლიათ ითამაშოთ ნებისმიერი რაოდენობის კარით 3-დან 50-მდე, ან აწარმოოთ რამდენიმე ათასი სიმულაცია და ნახოთ რამდენჯერ მოიგებდით თუ ითამაშებდით.

აირჩიეთ სამი კარიდან ერთი - მოგების ალბათობა არის 1/3. ახლა თქვენ გაქვთ ორი სტრატეგია: შეცვალეთ არჩევანი არასწორი კარის გაღების შემდეგ თუ არა. თუ არ შეცვლით თქვენს არჩევანს, მაშინ ალბათობა დარჩება 1/3, რადგან არჩევანი ხდება მხოლოდ პირველ ეტაპზე და დაუყოვნებლივ უნდა გამოიცნოთ. თუ შეიცვალეთ, მაშინ შეგიძლიათ გაიმარჯვოთ, თუ ჯერ არასწორ კარს აირჩევთ (შემდეგ გააღეს მეორე არასწორ კარს, სწორი რჩება - გადაწყვეტილების შეცვლით, თქვენ იღებთ მას). დასაწყისში არასწორი კარის არჩევის ალბათობა არის 2/3 – ასე გამოდის, რომ თქვენი გადაწყვეტილების შეცვლით, გაორმაგებთ გამარჯვების ალბათობას.

უმაღლესი მათემატიკის მასწავლებლისა და თამაშის ბალანსის სპეციალისტის მაქსიმ სოლდატოვის შენიშვნა - რა თქმა უნდა, შრაიბერს ეს არ ჰქონდა, მაგრამ ამის გარეშე საკმაოდ რთულია ამ ჯადოსნური ტრანსფორმაციის გაგება.

და ისევ მონტი ჰოლის პარადოქსის შესახებ

რაც შეეხება თავად შოუს: თუნდაც მონტი ჰოლის ოპონენტები არ იყვნენ კარგად მათემატიკაში, ის კარგად იყო ამაში. აი, რა გააკეთა მან, რომ ცოტა შეცვალა თამაში. თუ თქვენ აირჩევთ კარს, რომელსაც უკან პრიზი აქვს, რაც 1/3-ის შანსი იყო, ის ყოველთვის მოგცემთ შესაძლებლობას აირჩიოთ სხვა კარი. თქვენ აირჩევთ მანქანას და შემდეგ შეცვლით მას თხაში და საკმაოდ სულელად გამოიყურებით - რაც ზუსტად ისაა, რაც გსურთ, რადგან ჰოლი ერთგვარი ბოროტი ბიჭია.

მაგრამ თუ აირჩევთ კარს, რომელსაც უკან პრიზი არ აქვს, ის მოგთხოვთ მხოლოდ ნახევარი დროის მეორე არჩევას, ან უბრალოდ გაჩვენებთ თქვენს ახალ თხას და თქვენ დატოვებთ სცენას. მოდით გავაანალიზოთ ეს ახალი თამაში, სადაც მონტი ჰოლს შეუძლია გადაწყვიტოს, შემოგთავაზოთ თუ არა სხვა კარის არჩევის შანსი.

დავუშვათ, რომ ის მიჰყვება ამ ალგორითმს: თუ კარს პრიზით ირჩევთ, ის ყოველთვის გთავაზობს სხვა კარის არჩევის შესაძლებლობას, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის თანაბრად შემოგთავაზებთ სხვა კარის არჩევას ან თხას. რა არის თქვენი გამარჯვების ალბათობა?

სამი ვარიანტიდან ერთ-ერთში, თქვენ დაუყოვნებლივ ირჩევთ კარს, რომლის მიღმაც მდებარეობს პრიზი, ხოლო წამყვანი გიწვევთ აირჩიოთ სხვა.

სამიდან დარჩენილი ორი ვარიანტიდან (თავდაპირველად ირჩევთ კარს პრიზის გარეშე), ნახევარ შემთხვევაში წამყვანი შემოგთავაზებთ გადაწყვეტილების შეცვლას, ხოლო მეორე ნახევარში - არა.

2/3-ის ნახევარი არის 1/3, ანუ სამიდან ერთ შემთხვევაში მიიღებთ თხას, ერთ შემთხვევაში სამიდან არასწორ კარს აირჩევთ და მასპინძელი მოგთხოვთ მეორეს არჩევას, ხოლო ერთში. სამიდან თქვენ სწორ კარს აირჩევთ, მაგრამ ის კვლავ შემოგთავაზებთ მეორეს.

თუ წამყვანი სხვა კარის არჩევას გვთავაზობს, უკვე ვიცით, რომ სამიდან ერთი შემთხვევა, როცა თხას გვაძლევს და ჩვენ წავალთ, არ მომხდარა. ეს არის სასარგებლო ინფორმაცია: ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი გამარჯვების შანსები შეიცვალა. სამიდან ორი შემთხვევა, როდესაც გვაქვს არჩევანის შესაძლებლობა: ერთ შემთხვევაში ეს ნიშნავს, რომ სწორად გამოვიცანი, მეორეში კი არასწორად გამოვიცნოთ, ასე რომ, თუ საერთოდ შემოგვთავაზეს არჩევანის შესაძლებლობა, მაშინ ჩვენი მოგების ალბათობა. არის 1/2 და მათემატიკური თვალსაზრისით, არ აქვს მნიშვნელობა თქვენს არჩევანს დარჩებით თუ სხვა კარს აირჩევთ.

პოკერის მსგავსად, ეს არის ფსიქოლოგიური თამაში და არა მათემატიკური. რატომ მოგცა მონტიმ არჩევანი? ფიქრობს, რომ უბრალო ადამიანი ხარ, რომელმაც არ იცის, რომ სხვა კარის არჩევა „სწორი“ გადაწყვეტილებაა და ჯიუტად იკავებს თავის არჩევანს (ბოლოს და ბოლოს, ფსიქოლოგიურად უფრო რთული სიტუაციაა, როცა მანქანა აირჩიე და მერე დაკარგე. )?

თუ ის, როცა გადაწყვეტს, რომ ჭკვიანი ხარ და სხვა კარს შეარჩევს, გთავაზობს ამ შანსს, რადგან იცის, რომ თავიდანვე სწორად გამოიცანი და ჩაეჭიდები? ან იქნებ უხასიათოდ კეთილია და გიბიძგებთ გააკეთოთ ისეთი რამ, რაც სარგებელს მოუტანს, რადგან კარგა ხანია მანქანები არ გაჩუქებია და პროდიუსერები ამბობენ, რომ მაყურებელი მობეზრდა და სჯობს მალე გადასცეთ დიდი პრიზი. დაეცა რეიტინგი?

ამ გზით, მონტი ახერხებს დროდადრო შესთავაზოს არჩევანი და მაინც შეინარჩუნოს მოგების საერთო ალბათობა 1/3-ზე. დაიმახსოვრე, რომ ალბათობა იმისა, რომ პირდაპირ დაკარგავ არის 1/3. შანსი იმისა, რომ მაშინვე სწორად გამოიცნოთ არის 1/3 და ამ დროების 50% თქვენ მოიგებთ (1/3 x 1/2 = 1/6).

იმის შანსი, რომ თავიდან არასწორად გამოიცნოთ, მაგრამ შემდეგ გქონდეთ სხვა კარის არჩევის შანსი არის 1/3 და ამ დროის ნახევარი თქვენ მოიგებთ (ასევე 1/6). დაამატეთ ორი დამოუკიდებელი მოგების შესაძლებლობა და მიიღებთ 1/3-ის ალბათობას, ასე რომ არ აქვს მნიშვნელობა თქვენს არჩევანს დაიცავთ თუ სხვა კარს აირჩევთ - თქვენი საერთო მოგების ალბათობა მთელი თამაშის განმავლობაში არის 1/3.

ალბათობა არ ხდება იმაზე დიდი, ვიდრე იმ სიტუაციაში, როდესაც გამოიცანი კარი და წამყვანმა უბრალოდ გაჩვენა, რა იყო მის უკან, მეორეს არჩევის გარეშე. წინადადების მიზანია არა ალბათობის შეცვლა, არამედ გადაწყვეტილების მიღების პროცესი უფრო სახალისო გახდეს ტელევიზიით.

სხვათა შორის, ეს არის ერთ-ერთი მიზეზი, რის გამოც პოკერი შეიძლება იყოს ასე საინტერესო: უმეტეს ფორმატებში, რაუნდებს შორის, როდესაც ფსონები მზადდება (მაგალითად, ფლოპი, თერნი და რივერი ტეხასის ჰოლდემში), ბარათები თანდათან ვლინდება და თუ თამაშის დასაწყისში გაქვთ მოგების ერთი შანსი, მაშინ ფსონების ყოველი რაუნდის შემდეგ, როცა მეტი კარტი გამოვლინდება, ეს ალბათობა იცვლება.

ბიჭისა და გოგოს პარადოქსი

ეს კიდევ ერთ ცნობილ პარადოქსამდე მიგვიყვანს, რომელიც, როგორც წესი, ყველას აწუხებს – ბიჭისა და გოგოს პარადოქსს. ერთადერთი, რაზეც დღეს ვწერ, რომელიც პირდაპირ კავშირში არ არის თამაშებთან (თუმცა, ვფიქრობ, უბრალოდ უნდა მოგაწოდოთ შექმნათ შესაბამისი თამაშის მექანიკა). ეს უფრო თავსატეხია, მაგრამ საინტერესო და მის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გაიგოთ პირობითი ალბათობა, რაზეც ზემოთ ვისაუბრეთ.

პრობლემა: მყავს მეგობარი ორ შვილთან ერთად, მათგან ერთი მაინც გოგოა. რა არის იმის ალბათობა, რომ მეორე შვილიც გოგო იყოს? დავუშვათ, რომ ნებისმიერ ოჯახში გოგოსა და ბიჭის გაჩენის შანსი 50/50-ია და ეს ასეა თითოეული ბავშვისთვის.

სინამდვილეში, ზოგიერთ მამაკაცს აქვს მეტი სპერმა X ქრომოსომით ან Y ქრომოსომით მათ სპერმაში, ამიტომ შანსები ოდნავ იცვლება. თუ იცით, რომ ერთი შვილი გოგოა, მეორე გოგოს გაჩენის ალბათობა ოდნავ მეტია და არის სხვა პირობები, როგორიცაა ჰერმაფროდიტიზმი. მაგრამ ამ პრობლემის გადასაჭრელად ამას არ გავითვალისწინებთ და ვივარაუდებთ, რომ ბავშვის დაბადება დამოუკიდებელი მოვლენაა და ბიჭისა და გოგოს დაბადება თანაბრად სავარაუდოა.

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ 1/2-ის შანსზე, ინტუიციურად ჩვენ ველით, რომ პასუხი, სავარაუდოდ, იქნება 1/2 ან 1/4, ან სხვა რიცხვი, რომელიც მნიშვნელში ორის ნამრავლია. მაგრამ პასუხი არის 1/3. რატომ?

აქ სირთულე იმაში მდგომარეობს, რომ ჩვენს ხელთ არსებული ინფორმაცია ამცირებს შესაძლებლობების რაოდენობას. დავუშვათ, რომ მშობლები სეზამის ქუჩის თაყვანისმცემლები არიან და ბავშვების სქესის მიუხედავად, მათ დაასახელეს A და B. ნორმალურ პირობებში, არსებობს ოთხი თანაბრად სავარაუდო შესაძლებლობა: A და B არის ორი ბიჭი, A და B არის ორი გოგონა, A. არის ბიჭი და B არის გოგო, A არის გოგო და B არის ბიჭი. ვინაიდან ვიცით, რომ მინიმუმ ერთი შვილი გოგოა, შეგვიძლია გამოვრიცხოთ შესაძლებლობა, რომ A და B ორი ბიჭი იყოს. ეს გვიტოვებს სამ შესაძლებლობას - ჯერ კიდევ თანაბრად სავარაუდო. თუ ყველა შესაძლებლობა თანაბრად სავარაუდოა და სამი მათგანია, მაშინ თითოეული მათგანის ალბათობა არის 1/3. ამ სამი ვარიანტიდან მხოლოდ ერთშია ორივე ბავშვი გოგო, ამიტომ პასუხი არის 1/3.

და ისევ ბიჭისა და გოგოს პარადოქსზე

პრობლემის გადაწყვეტა კიდევ უფრო ალოგიკური ხდება. წარმოიდგინეთ, რომ ჩემს მეგობარს ორი შვილი ჰყავს და მათგან ერთი გოგონაა, რომელიც სამშაბათს დაიბადა. დავუშვათ, რომ ნორმალურ პირობებში ბავშვი შეიძლება დაიბადოს კვირის ყოველ შვიდ დღეს თანაბარი ალბათობით. რა არის იმის ალბათობა, რომ მეორე შვილიც გოგო იყოს?

შეიძლება ფიქრობთ, რომ პასუხი მაინც იქნება 1/3: რა მნიშვნელობა აქვს სამშაბათს? მაგრამ ამ შემთხვევაშიც კი, ჩვენი ინტუიცია მარცხდება. პასუხი არის 13/27, რაც არა მხოლოდ არაინტუიციური, არამედ ძალიან უცნაურია. რა არის ამ შემთხვევაში საქმე?

სინამდვილეში, სამშაბათი ცვლის ალბათობას, რადგან ჩვენ არ ვიცით, რომელი ბავშვი დაიბადა სამშაბათს, ან შესაძლოა ორივე დაიბადა სამშაბათს. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიყენებთ იგივე ლოგიკას: ვითვლით ყველა შესაძლო კომბინაციას, როდესაც მინიმუმ ერთი ბავშვი არის სამშაბათს დაბადებული გოგონა. როგორც წინა მაგალითში, დავუშვათ, რომ ბავშვებს ეძახიან A და B. კომბინაციები ასე გამოიყურება:

• A არის გოგონა, რომელიც დაიბადა სამშაბათს, B არის ბიჭი (ამ სიტუაციაში არის 7 შესაძლებლობა, ერთი კვირის თითოეულ დღეს, როდესაც შეიძლებოდა ბიჭის დაბადება).
• B არის სამშაბათს დაბადებული გოგონა, A არის ბიჭი (ასევე 7 შესაძლებლობა).
• A - გოგონა, რომელიც დაიბადა სამშაბათს, B - გოგონა, რომელიც დაიბადა კვირის სხვა დღეს (6 შესაძლებლობა).
• B არის გოგონა, რომელიც დაიბადა სამშაბათს, A არის გოგონა, რომელიც არ დაბადებულა სამშაბათს (ასევე 6 ალბათობა).
• A და B არის ორი გოგონა, რომლებიც დაიბადნენ სამშაბათს (1 შესაძლებლობა, ამას ყურადღება უნდა მიაქციოთ, რომ ორჯერ არ დათვალოთ).

ჩვენ ვაგროვებთ და ვიღებთ 27 სხვადასხვა თანაბრად შესაძლო კომბინაციას ბავშვებისა და დღეების დაბადებიდან მინიმუმ ერთი შესაძლებლობით, რომ გოგონა დაიბადოს სამშაბათს. აქედან 13 შესაძლებლობა არსებობს, როდესაც ორი გოგონა დაიბადება. ეს სრულიად ალოგიკურადაც გვეჩვენება - როგორც ჩანს, ეს ამოცანა მხოლოდ თავის ტკივილის გამოწვევის მიზნით გამოიგონეს. თუ ჯერ კიდევ გაწუხებთ, თამაშის თეორეტიკოსის ჯესპერ ჯულის ვებსაიტს აქვს კარგი ახსნა ამ საკითხის შესახებ.

თუ ამჟამად თამაშზე მუშაობ

თუ თქვენს მიერ შემუშავებულ თამაშში არის შემთხვევითობა, ეს შესანიშნავი დროა მის გასაანალიზებლად. აირჩიეთ ელემენტი, რომლის ანალიზიც გსურთ. ჯერ ჰკითხეთ საკუთარ თავს, როგორი უნდა იყოს მოცემული ელემენტის ალბათობა, როგორი უნდა იყოს ის თამაშის კონტექსტში.

მაგალითად, თუ თქვენ აკეთებთ RPG-ს და გაინტერესებთ, რა უნდა იყოს ალბათობა იმისა, რომ მოთამაშემ დაამარცხოს ურჩხული ბრძოლაში, ჰკითხეთ საკუთარ თავს, რა მოგების პროცენტია თქვენთვის სწორი. როგორც წესი, კონსოლის RPG-ებით, მოთამაშეები ძალიან ნერვიულობენ წაგებისას, ამიტომ უმჯობესია, თუ ისინი იშვიათად წააგებენ - დროის 10% ან ნაკლები. თუ თქვენ RPG დიზაინერი ხართ, თქვენ ალბათ ჩემზე უკეთ იცით, მაგრამ თქვენ უნდა გქონდეთ ძირითადი წარმოდგენა იმის შესახებ, თუ რა უნდა იყოს ალბათობა.

შემდეგ ჰკითხეთ საკუთარ თავს, არის თუ არა თქვენი ალბათობები დამოკიდებული (როგორც ბარათებით) თუ დამოუკიდებელი (როგორც კამათლებით). გაანალიზეთ ყველა შესაძლო შედეგი და მათი ალბათობა. დარწმუნდით, რომ ყველა ალბათობის ჯამი არის 100%. და, რა თქმა უნდა, შეადარეთ მიღებული შედეგები თქვენს მოლოდინებს. შეგიძლიათ კამათლის გადაგდება ან ბარათების დახატვა ისე, როგორც თქვენ აპირებდით, ან გასაგებია, რომ მნიშვნელობების კორექტირებაა საჭირო. და, რა თქმა უნდა, თუ რაიმე ხარვეზს აღმოაჩენთ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე გამოთვლები იმის დასადგენად, თუ რამდენად შეცვალოთ მნიშვნელობები.

საშინაო დავალება

თქვენი საშინაო დავალება ამ კვირაში დაგეხმარებათ თქვენი ალბათობის უნარების დახვეწაში. აქ არის ორი კამათლის თამაში და კარტის თამაში, რომელსაც თქვენ გაანალიზებთ ალბათობის გამოყენებით, ასევე უცნაური თამაშის მექანიკოსი, რომელიც მე შევქმენი, რომელიც შეამოწმებს მონტე კარლოს მეთოდს.

თამაში #1 - დრაკონის ძვლები

ეს არის კამათლის თამაში, რომელიც მე და ჩემმა კოლეგებმა ერთხელ გამოვიმუშავეთ (ჯებ ჰევენსის და ჯესი კინგის წყალობით) - ის კონკრეტულად აფრთხობს ხალხს თავისი ალბათობით. ეს არის მარტივი კაზინო თამაში სახელად Dragon Dice, და ეს არის აზარტული კამათლის შეჯიბრი მოთამაშესა და სახლს შორის.

გეძლევათ ნორმალური 1d6 სასიკვდილო. თამაშის მიზანია გააფართოვოს ნომერი უფრო მაღალი ვიდრე სახლი. ტომს ეძლევა არასტანდარტული 1d6 - იგივე რაც თქვენ, მაგრამ მის ერთ-ერთ სახეზე ერთეულის ნაცვლად არის დრაკონის გამოსახულება (ამგვარად, კაზინოში არის დრაკონის კუბი - 2-3-4-5-6 ). თუ სახლი მიიღებს დრაკონს, ის ავტომატურად იმარჯვებს და თქვენ წააგებთ. თუ ორივე ერთსა და იმავე რიცხვს მიიღებს, ეს არის გათამაშება და თქვენ კვლავ აგორებთ კამათელს. იმარჯვებს ის, ვინც ყველაზე მეტ რაოდენობას ათამაშებს.

რა თქმა უნდა, ყველაფერი არ გამოდის მთლიანად მოთამაშის სასარგებლოდ, რადგან კაზინოს აქვს უპირატესობა დრაკონის კიდის სახით. მაგრამ ეს მართლაც ასეა? ეს არის ის, რაც თქვენ უნდა გამოთვალოთ. მაგრამ ჯერ შეამოწმეთ თქვენი ინტუიცია.

ვთქვათ, შანსები არის 2-დან 1. ასე რომ, თუ მოიგებთ, ინარჩუნებთ ფსონს და მიიღებთ ორმაგ ფსონს. მაგალითად, თუ ფსონს დადებთ 1 დოლარს და მოიგებთ, ინახავთ ამ დოლარს და მიიღებთ დამატებით 2 დოლარს, ჯამში 3 დოლარად. წაგების შემთხვევაში, თქვენ მხოლოდ კარგავთ ფსონს. ითამაშებდი? ინტუიციურად გრძნობთ, რომ ალბათობა 2-დან 1-ზე მეტია, თუ მაინც ფიქრობთ, რომ ის ნაკლებია? სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საშუალოდ 3 თამაშზე მეტი მოგების მოლოდინი გაქვთ ერთზე მეტჯერ, ნაკლებს, თუ ერთხელ?

მას შემდეგ რაც გააცნობიერებთ თქვენს ინტუიციას, გამოიყენეთ მათემატიკა. ორივე კამათელს მხოლოდ 36 შესაძლო პოზიცია აქვს, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ ყველა დათვალოთ უპრობლემოდ. თუ არ ხართ დარწმუნებული 2-1-ის შეთავაზებაში, გაითვალისწინეთ ეს: ვთქვათ, რომ ითამაშეთ თამაში 36-ჯერ (ყოველ ჯერზე 1$-ის დადება). ყოველი მოგებისთვის იღებთ 2 დოლარს, ყოველი წაგებისთვის 1-ს და ფრე არაფერს ცვლის. გამოთვალეთ ყველა თქვენი სავარაუდო მოგება და ზარალი და გადაწყვიტეთ წააგებთ თუ მოიგებთ დოლარს. შემდეგ ჰკითხეთ საკუთარ თავს, რამდენად სწორი იყო თქვენი ინტუიცია. და მერე გააცნობიერე რა ბოროტმოქმედი ვარ.

და, დიახ, თუ თქვენ უკვე გიფიქრიათ ამ კითხვაზე - განზრახ დაგიბნევთ კამათლის თამაშების რეალური მექანიზმის არასწორ წარმოდგენას, მაგრამ დარწმუნებული ვარ, თქვენ შეგიძლიათ გადალახოთ ეს დაბრკოლება მხოლოდ მცირეოდენი ფიქრით. შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ეს პრობლემა.

თამაში No2 - ისროლეთ იღბლისთვის

ეს არის კამათლის აზარტული თამაში, სახელწოდებით "გააგორებს იღბალს" (ასევე უწოდებენ "ჩიტების გალიას", რადგან ზოგჯერ კამათელს არ ისვრიან, არამედ ათავსებენ მავთულის დიდ გალიაში, რომელიც მოგვაგონებს ბინგოს გალიას). თამაში მარტივია და ძირითადად ასე ჩამოყალიბდა: დადეთ, ვთქვათ, $1 რიცხვზე 1-დან 6-მდე. შემდეგ თქვენ გააფართოვეთ 3d6. ყოველი ზარისთვის, რომელიც თქვენს ნომერს ადგენს, თქვენ მიიღებთ $1 (და შეინარჩუნებთ თავდაპირველ ფსონს). თუ თქვენი ნომერი არცერთ კამათელზე არ მოდის, კაზინო მიიღებს თქვენს დოლარს და თქვენ არაფერს მიიღებთ. ასე რომ, თუ ფსონს დადებთ 1-ზე და მიიღებთ 1-ს გვერდებზე სამჯერ, თქვენ მიიღებთ $3-ს.

ინტუიციურად, როგორც ჩანს, ამ თამაშს თანაბარი შანსები აქვს. თითოეული ტილო არის ინდივიდუალური 1 6-დან მოგების შანსები, ასე რომ, სამი რულონის ჯამზე, თქვენი მოგების შანსია 3-დან 6-ში. თუმცა, რა თქმა უნდა, გახსოვდეთ, რომ თქვენ ამატებთ სამ ცალკეულ კამათელს და თქვენ მხოლოდ უფლება გაქვთ. დაამატე, თუ ვსაუბრობთ ერთი და იგივე კვარცხლბეკის ცალკეულ მომგებიან კომბინაციებზე. რაღაცის გამრავლება დაგჭირდებათ.

მას შემდეგ რაც გამოთვლით ყველა შესაძლო შედეგს (ალბათ უფრო ადვილი გასაკეთებელი Excel-ში, ვიდრე ხელით, რადგან 216 მათგანია), თამაში ერთი შეხედვით მაინც უცნაურად გამოიყურება. ფაქტობრივად, კაზინოს ჯერ კიდევ აქვს მოგების უკეთესი შანსი - კიდევ რამდენი? კონკრეტულად, საშუალოდ რამდენ ფულს ელით თამაშის ყოველი რაუნდის წაგებას?

ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის 216-ვე შედეგის მოგება-მარცხის შეკრება და შემდეგ გაყოფა 216-ზე, რაც საკმაოდ მარტივი უნდა იყოს. მაგრამ, როგორც ხედავთ, აქ არის რამდენიმე ხაფანგი, რის გამოც მე ვამბობ: თუ ფიქრობთ, რომ ამ თამაშს აქვს გამარჯვების თანაბარი შანსი, თქვენ ეს ყველაფერი არასწორია.

თამაში #3 - 5 Card Stud Poker

თუ უკვე გაათბეთ წინა თამაშებით, მოდით შევამოწმოთ რა ვიცით პირობითი ალბათობის შესახებ ამ კარტის თამაშის მაგალითის გამოყენებით. წარმოვიდგინოთ პოკერის თამაში 52 კარტიანი გემბანით. ასევე წარმოვიდგინოთ 5 კარტიანი კარტი, სადაც თითოეული მოთამაშე იღებს მხოლოდ 5 ბარათს. თქვენ არ შეგიძლიათ ბარათის გაუქმება, არ შეგიძლიათ ახლის დახატვა, არ არის საერთო გემბანი - თქვენ მიიღებთ მხოლოდ 5 ბარათს.

როიალ ფლეში არის 10-J-Q-K-A ერთ ხელში, სულ ოთხია, ასე რომ, როიალ ფლეშის მისაღებად ოთხი შესაძლო გზა არსებობს. გამოთვალეთ ალბათობა, რომ მიიღებთ ერთ ასეთ კომბინაციას.

ერთი რამ უნდა გაგაფრთხილო: გახსოვდეთ, რომ ამ ხუთი კარტის დახატვა შეგიძლიათ ნებისმიერი თანმიმდევრობით. ანუ, ჯერ შეგიძლია ტუზი ან ათეული დახატო, არ აქვს მნიშვნელობა. ასე რომ, როდესაც მათემატიკას აკეთებთ, გახსოვდეთ, რომ რეალურად არსებობს ოთხზე მეტი გზა როიალ ფლეშის მისაღებად, იმ პირობით, რომ კარტები წესრიგშია დარიგებული.

თამაში No4 - IMF ლატარია

მეოთხე პრობლემა ასე მარტივად ვერ გადაიჭრება იმ მეთოდების გამოყენებით, რაზეც დღეს ვისაუბრეთ, მაგრამ სიტუაციის სიმულაცია მარტივად შეგიძლიათ პროგრამირების ან Excel-ის გამოყენებით. სწორედ ამ პრობლემის მაგალითზე შეგიძლიათ შეიმუშაოთ მონტე კარლოს მეთოდი.

ადრე ვახსენე თამაში Chron X, რომელზეც ერთხელ ვმუშაობდი და იქ იყო ერთი ძალიან საინტერესო ბარათი - IMF-ის ლატარია. აი, როგორ მუშაობდა: თქვენ იყენებდით თამაშში. რაუნდის დასრულების შემდეგ, ბარათები გადანაწილდა და იყო 10% შანსი იმისა, რომ ბარათი გამოსულიყო თამაშიდან და შემთხვევითი მოთამაშე მიიღებდა 5 ერთეულს თითოეული ტიპის რესურსიდან, რომლის ჟეტონიც იყო ამ ბარათზე. კარტი შევიდა თამაშში ერთი ჩიპის გარეშე, მაგრამ ყოველ ჯერზე, როცა ის თამაშში რჩებოდა შემდეგი რაუნდის დასაწყისში, იღებდა თითო ჩიპს.

ასე რომ, იყო 10% შანსი, რომ თუ მას თამაშში ჩადებდით, რაუნდი დამთავრდებოდა, ბარათი თამაშს დატოვებდა და ვერავინ ვერაფერს მიიღებდა. თუ ეს არ მოხდა (90% შანსი), არის 10% შანსი (რეალურად 9%, რადგან ეს არის 10% 90%), რომ შემდეგ რაუნდში ის დატოვებს თამაშს და ვინმე მიიღებს 5 ერთეულ რესურსს. თუ ბარათი ერთი რაუნდის შემდეგ ტოვებს თამაშს (10% ხელმისაწვდომი 81%-დან, ასე რომ, ალბათობა არის 8.1%), ვიღაც მიიღებს 10 ერთეულს, მეორე რაუნდს - 15, მეორეს - 20 და ა.შ. კითხვა: რა არის რესურსების რაოდენობის საერთო მოსალოდნელი მნიშვნელობა, რომელსაც მიიღებთ ამ ბარათიდან, როდესაც ის საბოლოოდ დატოვებს თამაშს?

ჩვეულებრივ, ჩვენ ვცდილობთ ამ პრობლემის გადაჭრას თითოეული შედეგის შესაძლებლობის გამოთვლით და ყველა შედეგის რაოდენობაზე გამრავლებით. არის 10% შანსი, რომ მიიღოთ 0 (0.1 * 0 = 0). 9% რომ თქვენ მიიღებთ რესურსის 5 ერთეულს (9% * 5 = 0.45 რესურსი). 8.1% რასაც მიიღებთ არის 10 (8.1%*10=0.81 რესურსი - საერთო მოსალოდნელი ღირებულება). Და ასე შემდეგ. და შემდეგ ჩვენ შევაჯამებთ ყველაფერს.

ახლა კი პრობლემა თქვენთვის აშკარაა: ყოველთვის არის შანსი, რომ ბარათი არ დატოვოს თამაშში, ის შეიძლება დარჩეს თამაშში სამუდამოდ, უსასრულო რაუნდის განმავლობაში, ასე რომ, არ არსებობს გზა, რომ გამოვთვალოთ ყველა ალბათობა. დღეს ნასწავლი მეთოდები არ გვაძლევს უსასრულო რეკურსიის გამოთვლას, ამიტომ ხელოვნურად მოგვიწევს მისი შექმნა.

თუ საკმარისად კარგად ხართ პროგრამირებაში, დაწერეთ პროგრამა, რომელიც ამ რუქის სიმულაციას მოახდენს. თქვენ უნდა გქონდეთ დროის მარყუჟი, რომელიც მიიყვანს ცვლადს საწყის პოზიციაზე ნულამდე, აჩვენებს შემთხვევით რიცხვს და 10% შანსით, რომ ცვლადი გამოდის ციკლიდან. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ის ამატებს 5-ს ცვლადს და ციკლი მეორდება. როდესაც ის საბოლოოდ გამოდის მარყუჟიდან, გაზარდეთ საცდელი გაშვებების საერთო რაოდენობა 1-ით და რესურსების მთლიანი რაოდენობა (რამდენად არის დამოკიდებული იმაზე, თუ სად მთავრდება ცვლადი). შემდეგ გადატვირთეთ ცვლადი და დაიწყეთ თავიდან.

გაუშვით პროგრამა რამდენჯერმე. საბოლოო ჯამში, გაყავით რესურსების მთლიანი რაოდენობა გაშვებების მთლიან რაოდენობაზე - ეს იქნება თქვენი მოსალოდნელი მონტე კარლოს მნიშვნელობა. გაუშვით პროგრამა რამდენჯერმე, რათა დარწმუნდეთ, რომ მიღებული რიცხვები დაახლოებით იგივეა. თუ სკატერი ჯერ კიდევ დიდია, გაზარდეთ გამეორებების რაოდენობა გარე მარყუჟში, სანამ არ დაიწყებთ მატჩების მიღებას. შეგიძლიათ დარწმუნებული იყოთ, რომ რაც არ უნდა დაასრულოთ რიცხვები, დაახლოებით სწორი იქნება.

თუ თქვენ ახალი ხართ პროგრამირებაში (თუნდაც ხართ), აქ არის სწრაფი სავარჯიშო თქვენი Excel უნარების შესამოწმებლად. თუ თამაშის დიზაინერი ხართ, ეს უნარები არასდროს იქნება ზედმეტი.

ახლა if და rand ფუნქციები ძალიან გამოგადგებათ. რენდს არ სჭირდება მნიშვნელობები, ის უბრალოდ გამოყოფს შემთხვევით ათწილად რიცხვს 0-დან 1-ს შორის. ჩვენ ჩვეულებრივ ვუკავშირდებით მას იატაკს და პლუსებსა და მინუსებს კამათლის გორების სიმულაციისთვის, რაც ადრე აღვნიშნე. თუმცა, ამ შემთხვევაში ჩვენ მხოლოდ 10%-იან შანსს ვტოვებთ, რომ ბარათი თამაშს დატოვებს, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ შევამოწმოთ, არის თუ არა რენდის მნიშვნელობა 0.1-ზე ნაკლები და ამაზე აღარ ინერვიულოთ.

თუ აქვს სამი მნიშვნელობა. თანმიმდევრობით: პირობა, რომელიც არის true ან false, შემდეგ მნიშვნელობა, რომელიც დაბრუნდება, თუ პირობა არის true, და მნიშვნელობა, რომელიც დაბრუნდება, თუ პირობა არის false. ასე რომ, შემდეგი ფუნქცია დააბრუნებს დროის 5%-ს, ხოლო 0, დანარჩენი 90%-ს: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

ამ ბრძანების დაყენების მრავალი გზა არსებობს, მაგრამ მე გამოვიყენებდი ამ ფორმულას უჯრედისთვის, რომელიც წარმოადგენს პირველ რაუნდს, ვთქვათ, ეს არის უჯრედი A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

აქ მე ვიყენებ უარყოფით ცვლადს, რაც ნიშნავს "ეს ბარათი არ გასულა თამაშიდან და ჯერ არ დათმო რესურსები." ასე რომ, თუ პირველი რაუნდი დასრულდა და ბარათი ტოვებს თამაშს, A1 არის 0; წინააღმდეგ შემთხვევაში -1.

შემდეგი უჯრედისთვის, რომელიც წარმოადგენს მეორე ტურს: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . ასე რომ, თუ პირველი რაუნდი დასრულდა და ბარათი დაუყოვნებლივ დატოვა თამაში, A1 არის 0 (რესურსების რაოდენობა) და ეს უჯრედი უბრალოდ დააკოპირებს ამ მნიშვნელობას. წინააღმდეგ შემთხვევაში, A1 არის -1 (ბარათს ჯერ არ გასულა თამაში) და ეს უჯრედი აგრძელებს შემთხვევით მოძრაობას: დროის 10% ის დააბრუნებს 5 ერთეულ რესურსს, დანარჩენ დროს მისი ღირებულება კვლავ ტოლი იქნება. -1. თუ ამ ფორმულას გამოვიყენებთ დამატებით უჯრედებზე, მივიღებთ დამატებით რაუნდებს და რომელი უჯრედიც არ უნდა დასრულდეს, მოგცემთ საბოლოო შედეგს (ან -1, თუ ბარათი არ გასულა თამაშიდან ყველა თქვენ მიერ ნათამაშები რაუნდის შემდეგ).

აიღეთ უჯრედების ის მწკრივი, რომელიც წარმოადგენს ამ ბარათის ერთადერთ რაუნდს და დააკოპირეთ და ჩასვით რამდენიმე ასეული (ან ათასი) მწკრივი. ჩვენ შეიძლება ვერ მოვახერხოთ უსასრულო ტესტის გაკეთება Excel-ისთვის (ცხრილში უჯრედების შეზღუდული რაოდენობაა), მაგრამ მაინც შეგვიძლია დავფაროთ შემთხვევების უმეტესობა. შემდეგ აირჩიეთ ერთი უჯრედი, რომელშიც განათავსებთ ყველა რაუნდის შედეგების საშუალოს - Excel ამისთვის სასარგებლოდ იძლევა საშუალო() ფუნქციას.

Windows-ზე შეგიძლიათ მინიმუმ დააჭიროთ F9-ს ყველა შემთხვევითი რიცხვის ხელახლა გამოსათვლელად. როგორც ადრე, გააკეთეთ ეს რამდენჯერმე და ნახეთ თუ მიიღებთ იგივე მნიშვნელობებს. თუ გავრცელება ძალიან დიდია, გააორმაგეთ გაშვებების რაოდენობა და სცადეთ ხელახლა.

გადაუჭრელი პრობლემები

თუ თქვენ გაქვთ ალბათობის თეორიის ხარისხი და ზემოაღნიშნული პრობლემები ძალიან მარტივი მოგეჩვენებათ, აქ არის ორი პრობლემა, რომლებსაც წლების განმავლობაში ვკამათობდი, მაგრამ, სამწუხაროდ, მათემატიკაში არ ვარ საკმარისად კარგი მათი გადასაჭრელად.

გადაუჭრელი პრობლემა #1: სავალუტო ფონდის ლატარია

პირველი გადაუჭრელი პრობლემა წინა საშინაო დავალებაა. მე შემიძლია მარტივად გამოვიყენო მონტე კარლოს მეთოდი (C++ ან Excel-ის გამოყენებით) და დარწმუნებული ვიყო პასუხი კითხვაზე „რამდენ რესურსს მიიღებს მოთამაშე“, მაგრამ ზუსტად არ ვიცი როგორ მივცე მათემატიკურად ზუსტი დასამტკიცებელი პასუხი (ეს არის უსასრულო სერია).

გადაუჭრელი პრობლემა #2: ფიგურების თანმიმდევრობა

ეს პრობლემა (ის ასევე სცილდება იმ ამოცანებს, რომლებიც ამ ბლოგშია გადაჭრილი) მომცა მეგობარმა ათ წელზე მეტი ხნის წინ. ვეგასში ბლექჯეკის თამაშისას მან შეამჩნია ერთი საინტერესო რამ: როდესაც მან ამოიღო ბანქო 8 გემიანი ფეხსაცმლიდან, მან დაინახა ზედიზედ ათი ფიგურა (ფიგურა ან სახის ბარათი არის 10, ჯოკერი, მეფე ან დედოფალი, ასე რომ, 16 საერთო ჯამში სტანდარტულ 52-გემბანიან კარტებში ან 128 416-ბარათიან ფეხსაცმელში).

რა არის ალბათობა, რომ ეს ფეხსაცმელი შეიცავდეს მინიმუმ ათი ან მეტი ფიგურის ერთ თანმიმდევრობას? დავუშვათ, რომ ისინი სამართლიანად, შემთხვევითი თანმიმდევრობით იყო შერეული. ან, თუ გირჩევნიათ, რა არის იმის ალბათობა, რომ ათი ან მეტი ფიგურის თანმიმდევრობა არსად არ გვხვდება?

ჩვენ შეგვიძლია გავამარტივოთ დავალება. აქ არის 416 ნაწილის თანმიმდევრობა. თითოეული ნაწილი არის 0 ან 1. არის 128 ერთი და 288 ნული მიმოფანტული შემთხვევით მთელ მიმდევრობაში. რამდენი გზა არსებობს 128 ერთეულის შემთხვევით გადასარევად 288 ნულთან და რამდენჯერ წარმოიქმნება ათი ან მეტი ერთი ჯგუფი მაინც?

ყოველთვის, როცა ამ პრობლემის გადაჭრას ვაპირებდი, ეს ჩემთვის ადვილი და აშკარა მეჩვენებოდა, მაგრამ როგორც კი დეტალებში ჩავუღრმავდი, უცებ დაიშალა და უბრალოდ შეუძლებელი მეჩვენა.

ასე რომ, ნუ იჩქარებთ პასუხის გარკვევას: დაჯექით, კარგად დაფიქრდით, შეისწავლეთ პირობები, შეეცადეთ ჩართოთ რეალური რიცხვები, რადგან ყველა ადამიანი, ვისთანაც ვესაუბრე ამ პრობლემაზე (მათ შორის, ამ სფეროში მომუშავე რამდენიმე კურსდამთავრებული) გამოეხმაურა. იგივე: ”ეს სრულიად აშკარაა... ოჰ, არა, მოიცადეთ, ეს საერთოდ არ არის აშკარა.” ეს ის შემთხვევაა, როცა ყველა ვარიანტის გამოთვლის მეთოდი არ მაქვს. მე, რა თქმა უნდა, შემეძლო პრობლემის უხეში იძულება კომპიუტერული ალგორითმის საშუალებით, მაგრამ ბევრად უფრო საინტერესო იქნებოდა მათემატიკური ამოხსნის ცოდნა.

ალბათობა- რიცხვი 0-დან 1-მდე, რომელიც ასახავს შემთხვევითი მოვლენის მოხდენის შანსებს, სადაც 0 არის მოვლენის დადგომის ალბათობის სრული არარსებობა, ხოლო 1 ნიშნავს, რომ აღნიშნული მოვლენა აუცილებლად მოხდება.

E მოვლენის ალბათობა არის რიცხვი 1-დან.
ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენების ალბათობების ჯამი 1-ის ტოლია.

ემპირიული ალბათობა- ალბათობა, რომელიც გამოითვლება, როგორც წარსულში მომხდარი მოვლენის ფარდობითი სიხშირე, ამოღებული ისტორიული მონაცემების ანალიზიდან.

ძალიან იშვიათი მოვლენების ალბათობა ემპირიულად ვერ გამოითვლება.

სუბიექტური ალბათობა- მოვლენის პიროვნულ სუბიექტურ შეფასებაზე დაფუძნებული ალბათობა ისტორიული მონაცემების გათვალისწინების გარეშე. ინვესტორები, რომლებიც იღებენ გადაწყვეტილებას აქციების ყიდვა-გაყიდვის შესახებ, ხშირად მოქმედებენ სუბიექტური ალბათობის გათვალისწინებით.

წინასწარი ალბათობა -

შანსი არის 1-ში... (შანსები), რომ მოვლენა მოხდეს ალბათობის კონცეფციის მეშვეობით. მოვლენის დადგომის შანსი გამოიხატება ალბათობით შემდეგნაირად: P/(1-P).

მაგალითად, თუ მოვლენის ალბათობა არის 0.5, მაშინ მოვლენის შანსი არის 1 2-დან, რადგან 0.5/(1-0.5).

შანსი იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდეს, გამოითვლება ფორმულით (1-P)/P

შეუსაბამო ალბათობა- მაგალითად, A კომპანიის აქციების ფასი ითვალისწინებს E შესაძლო მოვლენას 85%-ით, ხოლო B კომპანიის აქციების ფასი ითვალისწინებს მხოლოდ 50%-ს. ამას ეწოდება არათანმიმდევრული ალბათობა. ჰოლანდიური ფსონების თეორემის მიხედვით, არათანმიმდევრული ალბათობა ქმნის მოგების შესაძლებლობებს.

უპირობო ალბათობაარის პასუხი კითხვაზე "რა არის ალბათობა იმისა, რომ მოხდეს მოვლენა?"

პირობითი ალბათობა- ეს არის პასუხი კითხვაზე: "რა არის A მოვლენის ალბათობა, თუ მოვლენა B მოხდება." პირობითი ალბათობა აღინიშნება როგორც P(A|B).

ერთობლივი ალბათობა- ალბათობა იმისა, რომ მოვლენები A და B ერთდროულად მოხდება. აღინიშნება როგორც P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

ალბათობების შეჯამების წესი:

ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა A ან მოვლენა B მოხდეს

P (A ან B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

თუ მოვლენები A და B ურთიერთგამომრიცხავია, მაშინ

P (A ან B) = P(A) + P(B)

დამოუკიდებელი მოვლენები- მოვლენები A და B დამოუკიდებელია, თუ

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

ანუ, ეს არის შედეგების თანმიმდევრობა, სადაც ალბათობის მნიშვნელობა მუდმივია ერთი მოვლენიდან მეორეზე.
მონეტის გადაგდება ასეთი მოვლენის მაგალითია - ყოველი მომდევნო სროლის შედეგი არ არის დამოკიდებული წინას შედეგზე.

დამოკიდებული მოვლენები- ეს ის მოვლენებია, სადაც ერთის დადგომის ალბათობა დამოკიდებულია მეორის დადგომის ალბათობაზე.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გამრავლების წესი:
თუ მოვლენები A და B დამოუკიდებელია, მაშინ

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

საერთო ალბათობის წესი:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S") P(S) + P (A|S") P(S") (4)

S და S" ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენებია

მოსალოდნელი ღირებულებაშემთხვევითი ცვლადი არის შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო შედეგების საშუალო. მოვლენისთვის X, მოლოდინი აღინიშნება როგორც E(X).

ვთქვათ, გვაქვს ურთიერთგამომრიცხავი მოვლენების 5 მნიშვნელობა გარკვეული ალბათობით (მაგალითად, კომპანიის შემოსავალი იყო ასეთი და ასეთი თანხა ასეთი ალბათობით). მოსალოდნელი მნიშვნელობა არის ყველა შედეგის ჯამი, გამრავლებული მათ ალბათობაზე:

შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია არის შემთხვევითი ცვლადის კვადრატული გადახრების მოლოდინი მისი მოლოდინისგან:

s 2 = E( 2 ) (6)

პირობითი მოსალოდნელი მნიშვნელობა არის X შემთხვევითი ცვლადის მოსალოდნელი მნიშვნელობა, იმ პირობით, რომ მოვლენა S უკვე მოხდა.

როგორც ონტოლოგიური კატეგორია ასახავს ნებისმიერი ერთეულის ნებისმიერ პირობებში გაჩენის შესაძლებლობის ხარისხს. ამ კონცეფციის მათემატიკური და ლოგიკური ინტერპრეტაციისგან განსხვავებით, ონტოლოგიური მათემატიკა არ ასოცირდება რაოდენობრივი გამოხატვის ვალდებულებასთან. დეტერმინიზმისა და ზოგადად განვითარების ბუნების გაგების კონტექსტში ვლინდება ვ-ის მნიშვნელობა.

შესანიშნავი განმარტება

არასრული განმარტება ↓

ალბათობა

ცნება, რომელიც ახასიათებს რაოდენობას. გარკვეული მოვლენის გარკვეულ დროს დადგომის შესაძლებლობის საზომი პირობები. სამეცნიეროში ცოდნის არსებობს სამი ინტერპრეტაცია V. კლასიკური კონცეფცია V., რომელიც წარმოიშვა მათემატიკური. აზარტული თამაშების ანალიზი და ყველაზე სრულად შემუშავებული ბ.პასკალის, ჯ. ბერნულის და პ. ლაპლასის მიერ, მოგებას განიხილავს, როგორც ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობის თანაფარდობას ყველა თანაბრად შესაძლო შემთხვევის საერთო რაოდენობასთან. მაგალითად, კამათლის სროლისას, რომელსაც აქვს 6 მხარე, შეიძლება მოსალოდნელია, რომ თითოეული მათგანი დაეშვება 1/6-ის ღირებულებით, რადგან არცერთ მხარეს არ აქვს უპირატესობა მეორეზე. ექსპერიმენტული შედეგების ასეთი სიმეტრია სპეციალურად არის გათვალისწინებული თამაშების ორგანიზებისას, მაგრამ შედარებით იშვიათია ობიექტური მოვლენების შესწავლისას მეცნიერებასა და პრაქტიკაში. კლასიკური ვ-ის ინტერპრეტაციამ ადგილი დაუთმო სტატისტიკას. ვ-ის ცნებები, რომლებიც დაფუძნებულია აქტუალურ გარკვეული მოვლენის დადგომაზე ხანგრძლივი დროის განმავლობაში დაკვირვება. გამოცდილება ზუსტად განსაზღვრულ პირობებში. პრაქტიკა ადასტურებს, რომ რაც უფრო ხშირად ხდება მოვლენა, მით უფრო მაღალია მისი წარმოშობის ობიექტური შესაძლებლობის ხარისხი, ანუ B. მაშასადამე, სტატისტიკური. ვ.-ს ინტერპრეტაცია ეფუძნება ცნებას. სიხშირე, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს ექსპერიმენტულად. V. როგორც თეორიული კონცეფცია არასოდეს ემთხვევა ემპირიულად განსაზღვრულ სიხშირეს, თუმცა მრავლობითში. ზოგიერთ შემთხვევაში, იგი პრაქტიკულად ნაკლებად განსხვავდება შედარებითისაგან. ხანგრძლივობის შედეგად ნაპოვნი სიხშირე. დაკვირვებები. ბევრი სტატისტიკოსი მიიჩნევს, რომ ვ. სიხშირეები, კიდეები განისაზღვრება სტატისტიკურად. დაკვირვების შედეგების შესწავლა

ან ექსპერიმენტები. ნაკლებად რეალისტური იყო V-ს განმარტება, როგორც ლიმიტს ეხება. რ. მიზესის მიერ შემოთავაზებული მასობრივი მოვლენების, ან ჯგუფების სიხშირე. ვ.-ს მიმართ სიხშირის მიდგომის შემდგომ განვითარებად, წამოყენებულია ვ. ამ ინტერპრეტაციის მიხედვით, ვ. ექსპერიმენტი. ინსტალაციები მასიური შემთხვევითი მოვლენების თანმიმდევრობის მისაღებად. სწორედ ეს დამოკიდებულება იძლევა ფიზიკურს დისპოზიციები, ან მიდრეკილებები, V. რომელიც შეიძლება შემოწმდეს ნათესავების გამოყენებით. სიხშირე

სტატისტიკური ვ.-ის ინტერპრეტაცია დომინირებს მეცნიერულ კვლევაში. შემეცნება, რადგან ის ასახავს კონკრეტულს. შემთხვევითი ხასიათის მასობრივი ფენომენების თანდაყოლილი შაბლონების ბუნება. ბევრ ფიზიკურ, ბიოლოგიურ, ეკონომიკურ, დემოგრაფიულში. და სხვა სოციალური პროცესები, აუცილებელია მრავალი შემთხვევითი ფაქტორის მოქმედების გათვალისწინება, რომლებიც ხასიათდება სტაბილური სიხშირით. ამ სტაბილური სიხშირეების და რაოდენობების იდენტიფიცირება. მისი შეფასება ვ-ის დახმარებით შესაძლებელს ხდის გამოავლინოს აუცილებლობა, რომელიც გზას ადგას მრავალი უბედური შემთხვევის კუმულაციური მოქმედებით. სწორედ აქ პოულობს თავის გამოვლინებას შემთხვევითობის აუცილებლობად გარდაქმნის დიალექტიკა (იხ. ფ. ენგელსი, წიგნში: კ. მარქსი და ფ. ენგელსი, შრომები, ტ. 20, გვ. 535-36).

ლოგიკური, ანუ ინდუქციური მსჯელობა ახასიათებს ურთიერთობას წინაპირობებსა და არადემონსტრაციული და, კერძოდ, ინდუქციური მსჯელობის დასკვნას შორის. დედუქციისგან განსხვავებით, ინდუქციის წინაპირობები არ იძლევა დასკვნის ჭეშმარიტების გარანტიას, არამედ მხოლოდ მას მეტ-ნაკლებად დამაჯერებელს ხდის. ეს დამაჯერებლობა, ზუსტად ჩამოყალიბებული წინაპირობებით, ზოგჯერ შეიძლება შეფასდეს V-ის გამოყენებით. ამ V-ს მნიშვნელობა ყველაზე ხშირად განისაზღვრება შედარებით. ცნებები (ზე მეტი, ნაკლები ან ტოლი) და ზოგჯერ რიცხვითი გზით. ლოგიკური ინტერპრეტაცია ხშირად გამოიყენება ინდუქციური მსჯელობის გასაანალიზებლად და სავარაუდო ლოგიკის სხვადასხვა სისტემის ასაგებად (რ. კარნაპი, რ. ჯეფრი). სემანტიკაში ლოგიკური ცნებები V. ხშირად განისაზღვრება, როგორც ერთი დებულების დადასტურების ხარისხი სხვების მიერ (მაგალითად, ჰიპოთეზა მისი ემპირიული მონაცემებით).

გადაწყვეტილების მიღებისა და თამაშების თეორიების განვითარებასთან დაკავშირებით ე.წ V.-ს პერსონალისტური ინტერპრეტაცია მართალია V. ამავდროულად გამოხატავს საგნის რწმენის ხარისხს და გარკვეული მოვლენის დადგომას, თავად V. ისე უნდა იყოს არჩეული, რომ V.-ის კალკულუსის აქსიომები დაკმაყოფილდეს. მაშასადამე, V. ასეთი ინტერპრეტაციით გამოხატავს არა იმდენად სუბიექტური, არამედ გონივრული რწმენის ხარისხს. შესაბამისად, ასეთი ვ-ის საფუძველზე მიღებული გადაწყვეტილებები იქნება რაციონალური, რადგან არ ითვალისწინებენ ფსიქოლოგიურ ფაქტორებს. საგნის მახასიათებლები და მიდრეკილებები.

ეპისტემოლოგიური ტ.ზრ. განსხვავება სტატისტიკურს, ლოგიკურს შორის. და ვ.-ს პერსონალისტური ინტერპრეტაციები არის ის, რომ თუ პირველი ახასიათებს შემთხვევითი ხასიათის მასობრივი ფენომენების ობიექტურ თვისებებსა და ურთიერთობებს, მაშინ ბოლო ორი აანალიზებს სუბიექტური, შემეცნებითი თვისებებს. ადამიანის საქმიანობა გაურკვევლობის პირობებში.

ალბათობა

მეცნიერების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი კონცეფცია, რომელიც ახასიათებს სამყაროს განსაკუთრებულ სისტემურ ხედვას, მის სტრუქტურას, ევოლუციას და ცოდნას. სამყაროს ალბათური ხედვის სპეციფიკა ვლინდება შემთხვევითობის, დამოუკიდებლობისა და იერარქიის ცნებების (სისტემების სტრუქტურასა და განსაზღვრაში დონეების იდეა) არსებობის ძირითად ცნებებს შორის ჩართვით.

იდეები ალბათობის შესახებ წარმოიშვა ძველ დროში და დაკავშირებული იყო ჩვენი ცოდნის მახასიათებლებთან, ხოლო აღიარებული იყო ალბათური ცოდნის არსებობა, რომელიც განსხვავდებოდა სანდო ცოდნისაგან და ცრუ ცოდნისაგან. ალბათობის იდეის გავლენა მეცნიერულ აზროვნებაზე და ცოდნის განვითარებაზე პირდაპირ კავშირშია ალბათობის თეორიის, როგორც მათემატიკური დისციპლინის განვითარებასთან. ალბათობის მათემატიკური დოქტრინის წარმოშობა თარიღდება მე -17 საუკუნით, როდესაც შეიქმნა ცნებების ბირთვი. რაოდენობრივი (რიცხობრივი) მახასიათებლები და სავარაუდო აზრის გამოხატვა.

შემეცნების განვითარებაში ალბათობის ინტენსიური გამოყენება ხდება მე-2 ნახევარში. 19 - 1 სართული მე -20 საუკუნე ალბათობა შევიდა ბუნების ისეთი ფუნდამენტური მეცნიერებების სტრუქტურებში, როგორიცაა კლასიკური სტატისტიკური ფიზიკა, გენეტიკა, კვანტური თეორია და კიბერნეტიკა (ინფორმაციის თეორია). შესაბამისად, ალბათობა ახასიათებს მეცნიერების განვითარების იმ ეტაპს, რომელიც ახლა განისაზღვრა როგორც არაკლასიკური მეცნიერება. ალბათური აზროვნების სიახლისა და თავისებურებების გამოსავლენად, აუცილებელია გავითვალისწინოთ ალბათობის თეორიის საგნისა და მისი მრავალრიცხოვანი გამოყენების საფუძვლების ანალიზი. ალბათობის თეორია ჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც სწავლობს მასობრივი შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს გარკვეულ პირობებში. შემთხვევითობა ნიშნავს, რომ მასობრივი ხასიათის ფარგლებში ყოველი ელემენტარული ფენომენის არსებობა არ არის დამოკიდებული და არ არის განსაზღვრული სხვა ფენომენების არსებობით. ამავდროულად, თავად ფენომენების მასობრივ ბუნებას აქვს სტაბილური სტრუქტურა და შეიცავს გარკვეულ კანონზომიერებებს. მასობრივი ფენომენი საკმაოდ მკაცრად იყოფა ქვესისტემებად და ელემენტარული ფენომენების ფარდობითი რაოდენობა თითოეულ ქვესისტემაში (ფარდობითი სიხშირე) ძალიან სტაბილურია. ეს სტაბილურობა შედარებულია ალბათობასთან. მასობრივი ფენომენი მთლიანობაში ხასიათდება ალბათობის განაწილებით, ანუ ქვესისტემების და მათი შესაბამისი ალბათობების მითითებით. ალბათობის თეორიის ენა არის ალბათობის განაწილების ენა. შესაბამისად, ალბათობის თეორია განისაზღვრება, როგორც აბსტრაქტული მეცნიერება დისტრიბუციებთან მუშაობის შესახებ.

ალბათობამ მეცნიერებაში წარმოშვა იდეები სტატისტიკური შაბლონებისა და სტატისტიკური სისტემების შესახებ. ეს უკანასკნელი არის სისტემები, რომლებიც ჩამოყალიბებულია დამოუკიდებელი ან კვაზი დამოუკიდებელი ერთეულებისგან, მათი სტრუქტურა ხასიათდება ალბათობის განაწილებით. მაგრამ როგორ არის შესაძლებელი დამოუკიდებელი სუბიექტებისგან სისტემების ჩამოყალიბება? ჩვეულებრივ ვარაუდობენ, რომ ინტეგრალური მახასიათებლების მქონე სისტემების ფორმირებისთვის აუცილებელია მათ ელემენტებს შორის არსებობდეს საკმარისად სტაბილური კავშირები, რომლებიც ამაგრებენ სისტემებს. სტატისტიკური სისტემების სტაბილურობა მოცემულია გარე პირობების, გარე გარემოს, გარე და არა შინაგანი ძალების არსებობით. ალბათობის თავად განსაზღვრა ყოველთვის ეფუძნება საწყისი მასის ფენომენის ფორმირების პირობების დაყენებას. კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი იდეა, რომელიც ახასიათებს ალბათურ პარადიგმას, არის იერარქიის (დაქვემდებარების) იდეა. ეს იდეა გამოხატავს ურთიერთობას ცალკეული ელემენტების მახასიათებლებსა და სისტემების ინტეგრალურ მახასიათებლებს შორის: ეს უკანასკნელი, როგორც იქნა, აგებულია პირველზე.

შემეცნებაში ალბათური მეთოდების მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ ისინი შესაძლებელს ხდის საგნების და სისტემების სტრუქტურისა და ქცევის ნიმუშების შესწავლას და თეორიულად გამოხატვას, რომლებსაც აქვთ იერარქიული, „ორდონიანი“ სტრუქტურა.

ალბათობის ბუნების ანალიზი ეფუძნება მის სიხშირეს, სტატისტიკურ ინტერპრეტაციას. ამავდროულად, ძალიან დიდი ხნის განმავლობაში, მეცნიერებაში დომინირებდა ალბათობის ასეთი გაგება, რომელსაც ლოგიკური, ანუ ინდუქციური ალბათობა ეწოდა. ლოგიკური ალბათობა დაინტერესებულია ცალკეული, ინდივიდუალური განსჯის მართებულობის საკითხებით გარკვეულ პირობებში. შესაძლებელია თუ არა ინდუქციური დასკვნის (ჰიპოთეტური დასკვნის) დადასტურების (სანდო, სიმართლე) რაოდენობრივი ფორმით შეფასება? ალბათობის თეორიის შემუშავებისას ასეთი კითხვები არაერთხელ განიხილებოდა და დაიწყეს საუბარი ჰიპოთეტური დასკვნების დადასტურების ხარისხებზე. ალბათობის ეს საზომი განისაზღვრება მოცემული ადამიანის ხელთ არსებული ინფორმაციით, მისი გამოცდილებით, სამყაროს შესახებ შეხედულებებით და ფსიქოლოგიური აზროვნებით. ყველა ასეთ შემთხვევაში, ალბათობის სიდიდე არ ექვემდებარება მკაცრ გაზომვებს და პრაქტიკულად სცილდება ალბათობის თეორიის, როგორც თანმიმდევრული მათემატიკური დისციპლინის კომპეტენციას.

ალბათობის ობიექტური, ხშირი ინტერპრეტაცია მეცნიერებაში მნიშვნელოვანი სირთულეებით დამკვიდრდა. თავდაპირველად, ალბათობის ბუნების გაგებაზე ძლიერი გავლენა იქონია იმ ფილოსოფიურმა და მეთოდოლოგიურმა შეხედულებებმა, რომლებიც დამახასიათებელი იყო კლასიკური მეცნიერებისთვის. ისტორიულად, ფიზიკაში ალბათური მეთოდების განვითარება მოხდა მექანიკის იდეების განმსაზღვრელი გავლენის ქვეშ: სტატისტიკური სისტემები ინტერპრეტირებული იყო უბრალოდ მექანიკურად. ვინაიდან შესაბამისი პრობლემები არ გადაიჭრა მექანიკის მკაცრი მეთოდებით, გაჩნდა მტკიცება, რომ ალბათურ მეთოდებსა და სტატისტიკურ კანონებზე გადასვლა ჩვენი ცოდნის არასრულყოფილების შედეგია. კლასიკური სტატისტიკური ფიზიკის განვითარების ისტორიაში არაერთი მცდელობა გაკეთდა მისი დასაბუთების კლასიკური მექანიკის საფუძველზე, მაგრამ ყველა ვერ მოხერხდა. ალბათობის საფუძველია ის, რომ იგი გამოხატავს გარკვეული კლასის სისტემების სტრუქტურულ მახასიათებლებს, გარდა მექანიკური სისტემებისა: ამ სისტემების ელემენტების მდგომარეობა ხასიათდება არასტაბილურობითა და ურთიერთქმედების განსაკუთრებული (მექანიკისთვის არ შემცირებული) ბუნებით.

ალბათობის შეყვანა ცოდნაში იწვევს მძიმე დეტერმინიზმის ცნების უარყოფას, კლასიკური მეცნიერების ფორმირების პროცესში შემუშავებული ყოფიერების ძირითადი მოდელისა და ცოდნის უარყოფას. სტატისტიკური თეორიებით წარმოდგენილი ძირითადი მოდელები განსხვავებული, უფრო ზოგადი ხასიათისაა: ისინი მოიცავს შემთხვევითობისა და დამოუკიდებლობის იდეებს. ალბათობის იდეა ასოცირდება ობიექტებისა და სისტემების შიდა დინამიკის გამჟღავნებასთან, რაც არ შეიძლება მთლიანად განისაზღვროს გარე პირობებითა და გარემოებებით.

მსოფლიოს ალბათური ხედვის კონცეფცია, რომელიც დაფუძნებულია დამოუკიდებლობის შესახებ იდეების აბსოლუტიზაციაზე (როგორც ადრე ხისტი განსაზღვრის პარადიგმამდე), ახლა გამოავლინა თავისი შეზღუდვები, რაც ყველაზე ძლიერად აისახება თანამედროვე მეცნიერების შესწავლის ანალიტიკურ მეთოდებზე გადასვლაში. რთული სისტემები და თვითორგანიზაციის ფენომენების ფიზიკური და მათემატიკური საფუძვლები.

შესანიშნავი განმარტება

არასრული განმარტება ↓

გსურთ იცოდეთ თქვენი ფსონის წარმატების მათემატიკური შანსები? მაშინ შენთვის ორი კარგი ამბავია. პირველი: ქვეყნების შესაძლებლობების გამოსათვლელად, თქვენ არ გჭირდებათ რთული გამოთვლების ჩატარება და დიდი დროის დახარჯვა. საკმარისია გამოიყენოთ მარტივი ფორმულები, რომლებთან მუშაობას რამდენიმე წუთი დასჭირდება. მეორე: ამ სტატიის წაკითხვის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ თქვენი ნებისმიერი ტრანზაქციის გავლის ალბათობა.

იმისთვის, რომ სწორად განსაზღვროთ ჯვარედინი შესაძლებლობები, თქვენ უნდა გადადგათ სამი ნაბიჯი:

• გამოთვალეთ მოვლენის შედეგის ალბათობის პროცენტი ტოტალიზატორის ოფისის მიხედვით;
• თავად გამოთვალეთ ალბათობა სტატისტიკური მონაცემების გამოყენებით;
• გაარკვიეთ ფსონის ღირებულება ორივე ალბათობის გათვალისწინებით.

მოდით განვიხილოთ თითოეული ნაბიჯი დეტალურად, არა მხოლოდ ფორმულების, არამედ მაგალითების გამოყენებით.

სწრაფი გავლა

ტოტალიზატორის შანსებში შეტანილი ალბათობის გამოთვლა

პირველი ნაბიჯი არის იმის გარკვევა, თუ რა ალბათობით აფასებს თავად ტოტალიზატორი კონკრეტული შედეგის შანსებს. ნათელია, რომ ტოტალიზატორები არ ადგენენ შანსებს ასე. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ ფორმულას:

პბ=(1/K)*100%,

სადაც P B არის შედეგის ალბათობა ტოტალიზატორის ოფისის მიხედვით;

K - ტოტალიზატორის შანსები შედეგისთვის.

ვთქვათ, რომ ლონდონის არსენალის გამარჯვების შანსები მიუნხენის ბაიერნთან მატჩში არის 4. ეს ნიშნავს, რომ მათი გამარჯვების ალბათობა ტოტალიზატორის მიერ ფასდება როგორც (1/4)*100%=25%. ან ჯოკოვიჩი თამაშობს იუჟნის წინააღმდეგ. ნოვაკის გამარჯვების მულტიპლიკატორი არის 1.2, მისი შანსებია (1/1.2)*100%=83%.

ასე აფასებს თავად ტოტალიზატორი თითოეული მოთამაშისა და გუნდის წარმატების შანსებს. პირველი ნაბიჯის დასრულების შემდეგ გადავდივართ მეორეზე.

მოთამაშის მიერ მოვლენის ალბათობის გაანგარიშება

ჩვენი გეგმის მეორე პუნქტი არის მოვლენის ალბათობის ჩვენივე შეფასება. ვინაიდან ჩვენ მათემატიკურად ვერ გავითვალისწინებთ ისეთ პარამეტრებს, როგორიცაა მოტივაცია და თამაშის ტონი, გამოვიყენებთ გამარტივებულ მოდელს და გამოვიყენებთ მხოლოდ წინა შეხვედრების სტატისტიკას. შედეგის სტატისტიკური ალბათობის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას:

პდა=(UM/M)*100%,

სადპდა– მოვლენის ალბათობა მოთამაშის მიხედვით;

UM – წარმატებული მატჩების რაოდენობა, რომლებშიც მოხდა ასეთი მოვლენა;

M - მატჩების საერთო რაოდენობა.

უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, მოვიყვანოთ მაგალითები. ენდი მარეიმ და რაფაელ ნადალმა 14 მატჩი ჩაატარეს. მათგან 6-ში თამაშში ჯამი 21-ზე ნაკლები იყო, 8-ში მეტი იყო. თქვენ უნდა გაარკვიოთ ალბათობა იმისა, რომ შემდეგი მატჩი უფრო მაღალი ჯამით ჩატარდება: (8/14)*100=57%. ვალენსიამ მესტალიაზე ატლეტიკოს წინააღმდეგ 74 მატჩი ჩაატარა, რომელშიც 29 გამარჯვება მოიპოვა. ვალენსიას მოგების ალბათობა: (29/74)*100%=39%.

და ამ ყველაფერს მხოლოდ წინა თამაშების სტატისტიკის წყალობით ვიგებთ! ბუნებრივია, შეუძლებელი იქნება ასეთი ალბათობის გამოთვლა ახალი გუნდისთვის ან მოთამაშისთვის, ამიტომ ფსონების ეს სტრატეგია მხოლოდ შესაფერისია მატჩებისთვის, რომლებშიც ოპონენტები ხვდებიან ერთზე მეტჯერ. ახლა ჩვენ ვიცით, როგორ განვსაზღვროთ ტოტალიზატორის და ჩვენი შედეგების ალბათობა და გვაქვს ყველა ცოდნა ბოლო საფეხურზე გადასასვლელად.

ფსონის ღირებულების განსაზღვრა

ფსონის მნიშვნელობას (ღირებულებას) და გამტარიანობას აქვს პირდაპირი კავშირი: რაც უფრო მაღალია მნიშვნელობა, მით მეტია გავლის შანსი. ღირებულება გამოითვლება შემდეგნაირად:

V=პდა*K-100%,

სადაც V არის მნიშვნელობა;

P I – შედეგის ალბათობა დამდებულის მიხედვით;

K - ტოტალიზატორის შანსები შედეგისთვის.

ვთქვათ, რომასთან მატჩში მილანის გამარჯვებაზე ფსონის დადება გვინდა და ვიანგარიშებთ, რომ "წითელ-შავების" გამარჯვების ალბათობა 45%-ია. ტოტალიზატორი ამ შედეგისთვის 2.5-ის შანსს გვთავაზობს. იქნება ასეთი ფსონი ღირებული? ვაწარმოებთ გამოთვლებს: V=45%*2,5-100%=12,5%. მშვენიერია, ჩვენ გვაქვს ღირებული ფსონი გავლის კარგი შანსებით.

ავიღოთ სხვა შემთხვევა. მარია შარაპოვა პეტრა კვიტოვას წინააღმდეგ თამაშობს. ჩვენ გვსურს მარიამისთვის გარიგების გაკეთება, რომლის ალბათობაც ჩვენი გათვლებით 60%-ია. ტოტალიზატორები გვთავაზობენ 1.5 მულტიპლიკატორს ამ შედეგისთვის. ჩვენ განვსაზღვრავთ მნიშვნელობას: V=60%*1.5-100=-10%. როგორც ხედავთ, ამ ფსონს არანაირი მნიშვნელობა არ აქვს და თავიდან უნდა იქნას აცილებული.