ალბათობის თეორია. მოვლენის ალბათობა, შემთხვევითი მოვლენები (ალბათობის თეორია)

თუ მოვლენები H 1, H 2, ..., H n ქმნიან სრულ ჯგუფს, მაშინ თვითნებური მოვლენის ალბათობის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ საერთო ალბათობის ფორმულა:

P(A) = P(A/H 1) P(H 1)+P(A/H 2) P(H 2)

რომლის მიხედვითაც A მოვლენის დადგომის ალბათობა შეიძლება წარმოვიდგინოთ A მოვლენის პირობითი ალბათობების ნამრავლების ჯამი, H i მოვლენების დადგომის მიხედვით, ამ მოვლენების H i უპირობო ალბათობებით. ამ მოვლენებს H i ეწოდება ჰიპოთეზა.

საერთო ალბათობის ფორმულიდან გამომდინარეობს ბეიზის ფორმულა:

H i ჰიპოთეზების ალბათობებს P(H i) ეწოდება აპრიორი ალბათობა – ალბათობა ექსპერიმენტების ჩატარებამდე.
ალბათობებს P(A/H i) ეწოდება უკანა ალბათობები - ჰიპოთეზების H i, გამოცდილების შედეგად დახვეწილი ალბათობები.

მომსახურების მიზანი. ონლაინ კალკულატორი შექმნილია იმისათვის, რომ გამოთვალოს მთლიანი ალბათობა Word ფორმატში დაწერილი გადაწყვეტის მთელი პროცესით (იხ. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები).

მაგალითი No1. მაღაზია ნათურებს ორი ქარხნიდან იღებს, პირველი ქარხნის წილი 25%-ია. ცნობილია, რომ ამ ქარხნებში ხარვეზების პროცენტული მაჩვენებელი უდრის ყველა წარმოებული პროდუქციის, შესაბამისად, 5% და 10%. გამყიდველი შემთხვევით იღებს ერთ ნათურას. რა არის იმის ალბათობა, რომ დეფექტური იყოს?
გამოსავალი: A-ით ავღნიშნოთ მოვლენა - „ნათურა დეფექტური აღმოჩნდება“. შესაძლებელია შემდეგი ჰიპოთეზა ამ ნათურის წარმოშობის შესახებ: H 1- "ნათურა პირველი ქარხნიდან მოვიდა." H 2- "ნათურა მეორე ქარხნიდან მოვიდა." ვინაიდან პირველი მცენარის წილი არის 25%, ამ ჰიპოთეზების ალბათობა შესაბამისად ტოლია. ; .
პირობითი ალბათობა იმისა, რომ დეფექტური ნათურა გამოუშვა პირველმა ქარხანამ არის მეორე მცენარე - p(A/H 2)=ჩვენ ვპოულობთ საჭირო ალბათობას, რომ გამყიდველმა აიღო დეფექტური ნათურა საერთო ალბათობის ფორმულის გამოყენებით
0.25·0.05+0.75·0.10=0.0125+0.075=0.0875
პასუხი: p(A)= 0,0875.

მაგალითი No2. მაღაზიამ მიიღო ორი თანაბარი რაოდენობით ამავე სახელწოდების პროდუქტი. ცნობილია, რომ პირველი პარტიის 25% და მეორე პარტიის 40% პირველი კლასის საქონელია. რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული საქონელი არ იქნება პირველი კლასის?
გამოსავალი:
A-ით ავღნიშნოთ მოვლენა - „პროდუქტი იქნება პირველი კლასის“. შესაძლებელია შემდეგი ჰიპოთეზები ამ პროდუქტის წარმოშობის შესახებ: H 1- "პროდუქტი პირველი პარტიიდან". H 2- "პროდუქტი მეორე პარტიიდან." ვინაიდან პირველი ჯგუფის წილი არის 25%, ამ ჰიპოთეზების ალბათობა შესაბამისად ტოლია. ; .
პირობითი ალბათობა იმისა, რომ პროდუქტი პირველი პარტიიდან არის მეორე პარტიიდან - სასურველი ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული საქონლის ერთეული იქნება პირველი კლასის
p(A) = P(H 1) p(A/H 1)+P(H 2) (A/H 2)= 0.25·0.5+0.4·0.5=0.125+0.2=0.325
მაშინ, ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული საქონლის ერთეული არ იქნება პირველი კლასის ტოლი იქნება: 1- 0,325 = 0,675
პასუხი: .

მაგალითი No3. ცნობილია, რომ მამაკაცების 5% და ქალების 1% დალტონიკია. შემთხვევით არჩეული პირი არ იყო დალტონიკი. რა არის იმის ალბათობა, რომ ეს მამაკაცია (დავუშვათ, რომ ქალებისა და მამაკაცების თანაბარი რაოდენობაა).
გამოსავალი.
მოვლენა A - შემთხვევით არჩეული პირი აღმოჩნდება, რომ არ არის დალტონიკი.
მოდი ვიპოვოთ ამ მოვლენის დადგომის ალბათობა.
P(A) = P(A|H=მამაკაცი) + P(A|H=ქალი) = 0.95*0.5 + 0.99*0.5 = 0.475 + 0.495 = 0.97
მაშინ ალბათობა იმისა, რომ ეს კაცია არის: p = P(A|H=man) / P(A) = 0.475/0.97 = 0.4897

მაგალითი No4. სპორტულ ოლიმპიადაში მონაწილეობს 4 პირველკურსელი, 6 მეორე კურსელი და 5 მესამე კურსელი, ალბათობა იმისა, რომ პირველი, მეორე, მესამე კურსელი მოიგოს ოლიმპიადაში არის 0,9; 0.7 და 0.8.
ა) იპოვნეთ შემთხვევით შერჩეული მონაწილის მოგების ალბათობა.
ბ) ამ პრობლემის პირობებში ოლიმპიადაში გაიმარჯვა ერთმა მოსწავლემ. რომელ ჯგუფს მიეკუთვნება ის დიდი ალბათობით?
გამოსავალი.
ღონისძიება A - შემთხვევით შერჩეული მონაწილის გამარჯვება.
აქ P(H1) = 4/(4+6+5) = 0.267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0.4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0.333,
P(A|H1) = 0.9, P(A|H2) = 0.7, P(A|H3) = 0.8
ა) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.267*0.9 + 0.4*0.7 + 0.333*0.8 = 0.787
ბ) გამოსავლის მიღება შესაძლებელია ამ კალკულატორის გამოყენებით.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
p1, p2, p3-დან აირჩიეთ მაქსიმალური.

მაგალითი No5. კომპანიას აქვს სამი იგივე ტიპის მანქანა. ერთი მათგანი მთლიანი პროდუქციის 20%-ს უზრუნველყოფს, მეორე 30%-ს, მესამეს 50%-ს. ამ შემთხვევაში პირველი მანქანა აწარმოებს დეფექტების 5%-ს, მეორე 4%-ს, მესამეს 2%-ს. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული დეფექტური პროდუქტი წარმოიქმნება პირველი მანქანის მიერ.

ალბათობამოვლენა არის მოცემული მოვლენისთვის ხელსაყრელი ელემენტარული შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა გამოცდილების ყველა თანაბრად შესაძლო შედეგის რაოდენობასთან, რომელშიც ეს მოვლენა შეიძლება გამოჩნდეს. A მოვლენის ალბათობა აღინიშნება P(A)-ით (აქ P არის ფრანგული სიტყვის probabilite - ალბათობის პირველი ასო). განმარტების მიხედვით
(1.2.1)
სად არის A მოვლენისთვის ხელსაყრელი ელემენტარული შედეგების რაოდენობა; - ექსპერიმენტის ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგის რაოდენობა, რომელიც ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს.
ალბათობის ამ განმარტებას კლასიკური ეწოდება. იგი წარმოიშვა ალბათობის თეორიის განვითარების საწყის ეტაპზე.

მოვლენის ალბათობას აქვს შემდეგი თვისებები:
1. სანდო მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს. სანდო მოვლენა ასოთი აღვნიშნოთ. ამიტომ გარკვეული მოვლენისთვის
(1.2.2)
2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია. შეუძლებელი მოვლენა ასოთი აღვნიშნოთ. ამიტომ შეუძლებელი მოვლენისთვის
(1.2.3)
3. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა გამოიხატება ერთზე ნაკლები დადებითი რიცხვით. ვინაიდან შემთხვევითი მოვლენისთვის უტოლობები , ან , დაკმაყოფილებულია, მაშინ
(1.2.4)
4. რაიმე მოვლენის ალბათობა აკმაყოფილებს უტოლობებს
(1.2.5)
ეს გამომდინარეობს ურთიერთობებიდან (1.2.2) - (1.2.4).

მაგალითი 1.ურნა შეიცავს თანაბარი ზომისა და წონის 10 ბურთულას, რომელთაგან 4 წითელია და 6 ლურჯი. ურნადან ერთი ბურთი ამოღებულია. რა არის იმის ალბათობა, რომ დახატული ბურთი ლურჯი იყოს?

გამოსავალი. მოვლენას „გათამაშებული ბურთი ცისფერი აღმოჩნდა“ აღვნიშნავთ ასო A-ით. ამ ტესტს აქვს 10 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი, რომელთაგან 6 უპირატესობას ანიჭებს A მოვლენას. ფორმულის მიხედვით (1.2.1) ვიღებთ.

მაგალითი 2.ყველა ნატურალური რიცხვი 1-დან 30-მდე იწერება იდენტურ ბარათებზე და მოთავსებულია ურნაში. ბარათების საფუძვლიანად შერევის შემდეგ, ერთი კარტი ამოღებულია ურნიდან. რა არის იმის ალბათობა, რომ აღებულ ბარათზე რიცხვი 5-ის ჯერადი იყოს?

გამოსავალი. A-ით ავღნიშნოთ მოვლენა „აღებულ ბარათზე რიცხვი არის 5-ის ნამრავლი“. ამ ტესტში არის 30 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი, რომელთაგან A მოვლენას ხელს უწყობს 6 შედეგი (ნომრები 5, 10, 15, 20, 25, 30). აქედან გამომდინარე,

მაგალითი 3.იყრება ორი კამათელი და გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. იპოვეთ B მოვლენის ალბათობა, რომ კამათლის ზედა ნაწილებს ჰქონდეს სულ 9 ქულა.

გამოსავალი.ამ ტესტში არის მხოლოდ 6 2 = 36 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი. B მოვლენას ხელს უწყობს 4 შედეგი: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), შესაბამისად

მაგალითი 4. შემთხვევით არჩეულია 10-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი.რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი მარტივი იყოს?

გამოსავალი. C ასოთი ავღნიშნოთ მოვლენა „არჩეული რიცხვი მარტივია“. ამ შემთხვევაში, n = 10, m = 4 (პირველი რიცხვები 2, 3, 5, 7). ამიტომ, საჭირო ალბათობა

მაგალითი 5.გადაყრილია ორი სიმეტრიული მონეტა. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ორივე მონეტის ზედა მხარეს არის რიცხვები?

გამოსავალი.ასო D-ით აღვნიშნოთ მოვლენა „თითოეული მონეტის ზედა მხარეს არის რიცხვი“. ამ ტესტში არის 4 თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (აღნიშვნა (G, C) ნიშნავს, რომ პირველ მონეტას აქვს გერბი, მეორეს აქვს ნომერი). მოვლენა D ხელს უწყობს ერთი ელემენტარული შედეგით (C, C). ვინაიდან m = 1, n = 4, მაშინ

მაგალითი 6.რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით არჩეულ ორნიშნა რიცხვს იგივე ციფრები ჰქონდეს?

გამოსავალი.ორნიშნა რიცხვები არის 10-დან 99-მდე რიცხვები; სულ ასეთი რიცხვია 90. 9 რიცხვს აქვს იდენტური ციფრი (ეს არის რიცხვები 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). ვინაიდან ამ შემთხვევაში m = 9, n = 90, მაშინ
,
სადაც A არის „რიცხვი იდენტური ციფრებით“ მოვლენა.

მაგალითი 7.სიტყვის ასოებიდან დიფერენციალურიერთი ასო არჩეულია შემთხვევით. რა არის ალბათობა, რომ ეს ასო იყოს: ა) ხმოვანი, ბ) თანხმოვანი, გ) ასო. თ?

გამოსავალი. სიტყვა დიფერენციალს აქვს 12 ასო, საიდანაც 5 ხმოვანია და 7 თანხმოვანი. წერილები თამ სიტყვაში არ არის. აღვნიშნოთ მოვლენები: A - „ხმოვანი ასო“, B - „თანხმოვანი ასო“, C - „ასო. თ". ხელსაყრელი ელემენტარული შედეგების რაოდენობა: - მოვლენისთვის A, - მოვლენისთვის B, - მოვლენისთვის C. ვინაიდან n = 12, მაშინ
, და .

მაგალითი 8.იყრება ორი კამათელი და აღინიშნება ქულების რაოდენობა თითოეული კამათლის თავზე. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორივე კამათელი აჩვენებდეს ქულების ერთსა და იმავე რაოდენობას.

გამოსავალი.მოდი ავღნიშნოთ ეს მოვლენა A ასოთი. A მოვლენას ხელს უწყობს 6 ელემენტარული შედეგი: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6). ;6). თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგების საერთო რაოდენობა, რომლებიც ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს, ამ შემთხვევაში n=6 2 =36. ეს ნიშნავს, რომ საჭირო ალბათობა

მაგალითი 9.წიგნი 300 გვერდიანია. რა არის იმის ალბათობა, რომ შემთხვევით გახსნილ გვერდს ჰქონდეს სერიული ნომერი, რომელიც იყოფა 5-ზე?

გამოსავალი.პრობლემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგი, რომელიც ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს, იქნება n = 300. აქედან m = 60 ხელს უწყობს მითითებული მოვლენის წარმოქმნას. მართლაც, რიცხვს, რომელიც არის 5-ის ნამრავლი, აქვს 5k ფორმა, სადაც k არის ნატურალური რიცხვი და, საიდანაც . აქედან გამომდინარე,
, სადაც A - "გვერდი" მოვლენას აქვს მიმდევრობის ნომერი, რომელიც არის 5"-ის ჯერადი.

მაგალითი 10. იყრება ორი კამათელი და გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. რა არის უფრო სავარაუდო - სულ 7-ის მიღება თუ 8-ის?

გამოსავალი. ავღნიშნოთ მოვლენები: A - 7 ქულა შემოვიდა, B - 8 ქულა შემოვიდა. მოვლენა A ხელს უწყობს 6 ელემენტარულ შედეგს: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) და მოვლენა B არის უპირატესი 5 შედეგით: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგია n = 6 2 = 36. აქედან გამომდინარე, და .

ასე რომ, P(A)>P(B), ანუ სულ 7 ქულის მიღება უფრო სავარაუდო მოვლენაა, ვიდრე სულ 8 ქულის მიღება.

Დავალებები

1. შემთხვევით არჩეულია ნატურალური რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 30-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს 3-ის ნამრავლი?
2. ურნაში აწითელი და ბლურჯი ბურთები, იდენტური ზომით და წონით. რა არის იმის ალბათობა, რომ ამ ურნადან შემთხვევით გამოყვანილი ბურთი ლურჯი იყოს?
3. შემთხვევით არჩეულია რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 30-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს 30-ის გამყოფი?
4. ურნაში ალურჯი და ბწითელი ბურთები, იდენტური ზომით და წონით. ამ ურნადან იღებენ ერთ ბურთულას და აყენებენ. ეს ბურთი წითელი აღმოჩნდა. ამის შემდეგ, ურნადან კიდევ ერთი ბურთი ამოღებულია. იპოვეთ ალბათობა, რომ მეორე ბურთიც წითელი იყოს.
5. შემთხვევითი წესით არჩეულია ეროვნული რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 50-ს, რა არის ალბათობა, რომ ეს რიცხვი იყოს მარტივი?
6. იყრება სამი კამათელი და გამოითვლება ქულების ჯამი ზედა სახეებზე. რა არის უფრო სავარაუდო - სულ 9 თუ 10 ქულის მიღება?
7. იყრება სამი კამათელი და გამოითვლება გაშვებული ქულების ჯამი. რა არის უფრო სავარაუდო - მიიღოთ სულ 11 (მოვლენა A) თუ 12 ქულა (მოვლენა B)?

პასუხები

1. 1/3. 2 . ბ/(ა+ბ). 3 . 0,2. 4 . (ბ-1)/(ა+ბ-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - საერთო ჯამში 9 ქულის მიღების ალბათობა; p 2 = 27/216 - საერთო ჯამში 10 ქულის მიღების ალბათობა; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

კითხვები

1. რა ჰქვია მოვლენის ალბათობას?
2. რა არის სანდო მოვლენის ალბათობა?
3. რა არის შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა?
4. რა არის შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის საზღვრები?
5. რა არის რაიმე მოვლენის ალბათობის საზღვრები?
6. ალბათობის რომელ განმარტებას ეწოდება კლასიკური?

მოდი დიდხანს არ ვიფიქროთ ამაღლებულებზე - დავიწყოთ მაშინვე განმარტებით.

ბერნულის სქემაა, როდესაც ტარდება ერთი და იგივე ტიპის n დამოუკიდებელი ექსპერიმენტი, რომელთაგან თითოეულში ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა შეიძლება გამოჩნდეს A და ცნობილია ამ მოვლენის ალბათობა P (A) = p. ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ n ცდის შემდეგ A მოვლენა ზუსტად k-ჯერ მოხდება.

პრობლემები, რომელთა გადაჭრაც შესაძლებელია ბერნულის სქემის გამოყენებით, ძალიან მრავალფეროვანია: მარტივიდან (როგორიცაა „იპოვე ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა 10-დან 1-ჯერ დაარტყა“) ძალიან მძიმე (მაგალითად, პროცენტებთან დაკავშირებული პრობლემები ან სათამაშო კარტი) . სინამდვილეში, ეს სქემა ხშირად გამოიყენება პროდუქციის ხარისხის მონიტორინგთან და სხვადასხვა მექანიზმების საიმედოობასთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად, რომელთა ყველა მახასიათებელი უნდა იყოს ცნობილი სამუშაოს დაწყებამდე.

დავუბრუნდეთ განმარტებას. ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ დამოუკიდებელ ცდებზე და თითოეულ ცდაში A მოვლენის ალბათობა იგივეა, შესაძლებელია მხოლოდ ორი შედეგი:

1. A არის A მოვლენის დადგომა p ალბათობით;
2. „არა A“ - მოვლენა A არ გამოჩნდა, რაც ხდება ალბათობით q = 1 − p.

ყველაზე მნიშვნელოვანი პირობა, რომლის გარეშეც ბერნულის სქემა კარგავს თავის მნიშვნელობას, არის მუდმივობა. რამდენი ექსპერიმენტიც არ უნდა ჩავატაროთ, ჩვენ გვაინტერესებს ერთი და იგივე მოვლენა A, რომელიც ხდება იგივე ალბათობით p.

სხვათა შორის, ალბათობის თეორიაში ყველა პრობლემა არ არის დაყვანილი მუდმივ პირობებამდე. ამის შესახებ ნებისმიერი კომპეტენტური უმაღლესი მათემატიკის დამრიგებელი გეტყვით. თუნდაც ისეთი მარტივი, როგორიც არის ფერადი ბურთების ამოღება ყუთიდან, არ არის გამოცდილება მუდმივ პირობებში. კიდევ ერთი ბურთი ამოიღეს - კოლოფში ფერების თანაფარდობა შეიცვალა. შესაბამისად, შეიცვალა ალბათობაც.

თუ პირობები მუდმივია, ჩვენ შეგვიძლია ზუსტად განვსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ A მოვლენა მოხდეს ზუსტად k-ჯერ n-დან. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ეს ფაქტი თეორემის სახით:

ბერნულის თეორემა. დაე, A მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ ექსპერიმენტში იყოს მუდმივი და ტოლი p-ის. მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა A გამოჩნდება ზუსტად k-ჯერ n დამოუკიდებელ ცდაში გამოითვლება ფორმულით:

სადაც C n k არის კომბინაციების რაოდენობა, q = 1 − p.

ამ ფორმულას ბერნულის ფორმულა ეწოდება. საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ქვემოთ მოცემული პრობლემების სრულად გადაჭრა შესაძლებელია ამ ფორმულის გამოყენების გარეშე. მაგალითად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ალბათობების დამატების ფორმულები. თუმცა, გაანგარიშების ოდენობა უბრალოდ არარეალური იქნება.

დავალება. მანქანაზე დეფექტური პროდუქტის წარმოების ალბათობა არის 0,2. დაადგინეთ ალბათობა, რომ ამ მანქანაზე წარმოებული ათი ნაწილისგან შემდგარი პარტიაში ზუსტად k ნაწილი იქნება დეფექტების გარეშე. ამოიღეთ ამოცანა k = 0, 1, 10.

პირობის მიხედვით ჩვენ გვაინტერესებს პროდუქციის დეფექტების გარეშე გამოშვების მოვლენა A, რაც ხდება ყოველ ჯერზე ალბათობით p = 1 − 0.2 = 0.8. ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ ეს მოვლენა მოხდეს k-ჯერ. მოვლენა A უპირისპირდება მოვლენას „არა A“, ე.ი. დეფექტური პროდუქტის გამოშვება.

ამრიგად, გვაქვს: n = 10; p = 0.8; q = 0.2.

ასე რომ, ჩვენ ვპოულობთ ალბათობას, რომ სერიის ყველა ნაწილი დეფექტურია (k = 0), რომ არის მხოლოდ ერთი ნაწილი დეფექტების გარეშე (k = 1) და რომ საერთოდ არ არის დეფექტური ნაწილები (k = 10):

დავალება. მონეტა გადაყრილია 6-ჯერ. გერბისა და თავების დაშვება თანაბრად სავარაუდოა. იპოვეთ ალბათობა, რომ:

1. გერბი სამჯერ გამოჩნდება;
2. გერბი ერთხელ გამოჩნდება;
3. გერბი ორჯერ მაინც გამოჩნდება.

ასე რომ, ჩვენ გვაინტერესებს A მოვლენა, როდესაც გერბი ამოვარდება. ამ მოვლენის ალბათობა არის p = 0.5. მოვლენა A უპირისპირდება მოვლენას „არა A“, როდესაც შედეგი არის თავები, რაც ხდება ალბათობით q = 1 − 0.5 = 0.5. ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ გერბი k-ჯერ გამოჩნდება.

ამრიგად, გვაქვს: n = 6; p = 0.5; q = 0.5.

განვსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ გერბი სამჯერ არის დახატული, ე.ი. k = 3:

ახლა განვსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ გერბი მხოლოდ ერთხელ ამოვიდა, ე.ი. k = 1:

რჩება იმის დადგენა, თუ რა ალბათობით გამოჩნდება გერბი მინიმუმ ორჯერ. მთავარი დაჭერა არის ფრაზაში "არანაკლები". გამოდის, რომ ჩვენ დავკმაყოფილდებით ნებისმიერი k-ით გარდა 0-ისა და 1-ისა, ე.ი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჯამის მნიშვნელობა X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ჯამი ასევე უდრის (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), ე.ი. ყველა შესაძლო ვარიანტიდან საკმარისია „ამოჭრათ“ ის, როდესაც გერბი 1-ჯერ ამოვარდა (k = 1) ან საერთოდ არ გამოჩნდა (k = 0). ვინაიდან ჩვენ უკვე ვიცით P 6 (1), რჩება P 6 (0) პოვნა:

დავალება. ალბათობა იმისა, რომ ტელევიზორს აქვს ფარული დეფექტები არის 0.2. საწყობში მოვიდა 20 ტელევიზორი. რომელი მოვლენაა უფრო სავარაუდო: ამ პარტიაში არის ორი ტელევიზორი ფარული დეფექტებით თუ სამი?

საინტერესო მოვლენა A არის ლატენტური დეფექტის არსებობა. სულ არის n = 20 ტელევიზორი, ფარული დეფექტის ალბათობაა p = 0.2. შესაბამისად, ფარული დეფექტის გარეშე ტელევიზორის მიღების ალბათობაა q = 1 − 0.2 = 0.8.

ჩვენ ვიღებთ სასტარტო პირობებს ბერნულის სქემისთვის: n = 20; p = 0.2; q = 0.8.

მოდით ვიპოვოთ ორი "დეფექტური" ტელევიზორის მიღების ალბათობა (k = 2) და სამი (k = 3):

\[\ დასაწყისი(მასივი)(l)(P_(20))\მარცხენა(2 \მარჯვნივ) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

ცხადია, P 20 (3) > P 20 (2), ე.ი. სამი ფარული დეფექტების მქონე ტელევიზორის მიღების ალბათობა უფრო დიდია, ვიდრე მხოლოდ ორი ასეთი ტელევიზიის მიღების ალბათობა. უფრო მეტიც, განსხვავება არ არის სუსტი.

სწრაფი შენიშვნა ფაქტორების შესახებ. ბევრი ადამიანი განიცდის ბუნდოვან დისკომფორტს, როდესაც ხედავს ჩანაწერს "0!" (წაიკითხეთ „ნულოვანი ფაქტორიალი“). ასე რომ, 0! = 1 განსაზღვრებით.

პ. ს. და ყველაზე დიდი ალბათობა ბოლო ამოცანაში არის ოთხი ტელევიზორის მიღება ფარული დეფექტებით. თავად გამოთვალეთ და თავად დარწმუნდებით.

გვინდა თუ არა, ჩვენი ცხოვრება სავსეა ყველანაირი უბედური შემთხვევით, სასიამოვნოც და არც ისე სასიამოვნო. მაშასადამე, თითოეულ ჩვენგანს არ დააზარალებს იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა მოვძებნოთ კონკრეტული მოვლენის ალბათობა. ეს დაგეხმარებათ მიიღოთ სწორი გადაწყვეტილებები ნებისმიერ ვითარებაში, რომელიც მოიცავს გაურკვევლობას. მაგალითად, ასეთი ცოდნა ძალიან გამოგადგებათ საინვესტიციო ვარიანტების არჩევისას, აქციების ან ლატარიის მოგების შესაძლებლობის შეფასებისას, პირადი მიზნების მიღწევის რეალობის დადგენისას და ა.შ. და ა.შ.

ალბათობის თეორიის ფორმულა

პრინციპში, ამ თემის შესწავლას დიდი დრო არ სჭირდება. იმისათვის, რომ მიიღოთ პასუხი კითხვაზე: "როგორ მოვძებნოთ ფენომენის ალბათობა?", თქვენ უნდა გესმოდეთ ძირითადი ცნებები და გახსოვდეთ ძირითადი პრინციპები, რომლებზეც დაფუძნებულია გაანგარიშება. ასე რომ, სტატისტიკის მიხედვით, შესწავლილი მოვლენები აღინიშნება A1, A2,..., An. თითოეულ მათგანს აქვს როგორც ხელსაყრელი შედეგები (მ) ასევე ელემენტარული შედეგების საერთო რაოდენობა. მაგალითად, ჩვენ გვაინტერესებს როგორ ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ კუბის ზედა მხარეს იქნება ლუწი რაოდენობა. მაშინ A არის m-ის რულონი - 2, 4 ან 6 ქულის გაშვება (სამი ხელსაყრელი ვარიანტი) და n არის ექვსივე შესაძლო ვარიანტი.

თავად გაანგარიშების ფორმულა შემდეგია:

ერთი შედეგით ყველაფერი ძალიან მარტივია. მაგრამ როგორ მოვძებნოთ ალბათობა, თუ მოვლენები ერთმანეთის მიყოლებით ხდება? განვიხილოთ ეს მაგალითი: ერთი კარტი ნაჩვენებია კარტის გემბანიდან (36 ცალი), შემდეგ ის დამალულია ისევ გემბანში და გადარევის შემდეგ, შემდეგი იხსნება. როგორ მოვძებნოთ ალბათობა, რომ ერთ შემთხვევაში მაინც დახატეს ყვავი დედოფალი? არსებობს შემდეგი წესი: თუ განიხილება რთული მოვლენა, რომელიც შეიძლება დაიყოს რამდენიმე შეუთავსებელ მარტივ მოვლენად, მაშინ შეგიძლიათ ჯერ გამოთვალოთ შედეგი თითოეული მათგანისთვის და შემდეგ დაამატოთ ისინი. ჩვენს შემთხვევაში ეს ასე გამოიყურება: 1/36 + 1/36 = 1/18. მაგრამ რა ხდება, როდესაც რამდენიმე ხდება ერთდროულად? შემდეგ ჩვენ გავამრავლებთ შედეგებს! მაგალითად, ალბათობა იმისა, რომ ორი მონეტის ერთდროულად გადაყრისას ორი თავი გამოჩნდება ტოლი იქნება: ½ * ½ = 0,25.

ახლა ავიღოთ კიდევ უფრო რთული მაგალითი. დავუშვათ, ჩვენ შევედით წიგნის გათამაშებაში, რომელშიც ოცდაათი ბილეთიდან ათი მოგებულია. თქვენ უნდა განსაზღვროთ:

1. ალბათობა იმისა, რომ ორივე გამარჯვებული იქნება.
2. ერთი მათგანი მაინც მოიტანს პრიზს.
3. ორივე წაგებული იქნება.

ასე რომ, განვიხილოთ პირველი შემთხვევა. ის შეიძლება დაიყოს ორ მოვლენად: პირველი ბილეთი იქნება იღბლიანი, ხოლო მეორე ასევე იღბლიანი. გავითვალისწინოთ, რომ მოვლენები არის დამოკიდებული, რადგან ყოველი ამოღების შემდეგ ოპციების საერთო რაოდენობა მცირდება. ჩვენ ვიღებთ:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

მეორე შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაადგინოთ ბილეთის დაკარგვის ალბათობა და გაითვალისწინოთ, რომ ეს შეიძლება იყოს პირველი ან მეორე: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.

დაბოლოს, მესამე შემთხვევა, როდესაც ლატარიიდან ვერც ერთი წიგნის მიღებას ვერ შეძლებთ: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.

„უბედური შემთხვევები არ არის შემთხვევითი“... ჟღერს ფილოსოფოსის ნათქვამი, მაგრამ სინამდვილეში, შემთხვევითობის შესწავლა არის მათემატიკის დიდი მეცნიერების ბედი. მათემატიკაში შანსი განიხილება ალბათობის თეორიით. სტატიაში წარმოდგენილი იქნება ამოცანების ფორმულები და მაგალითები, ასევე ამ მეცნიერების ძირითადი განმარტებები.

რა არის ალბათობის თეორია?

ალბათობის თეორია არის ერთ-ერთი მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც სწავლობს შემთხვევით მოვლენებს.

ცოტა უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, მოვიყვანოთ პატარა მაგალითი: თუ მონეტას ზევით გადააგდებთ, ის შეიძლება მოხვდეს თავებზე ან კუდებზე. სანამ მონეტა ჰაერშია, ორივე ეს ალბათობა შესაძლებელია. ანუ შესაძლო შედეგების ალბათობა არის 1:1. თუ ერთი გათამაშებულია 36 კარტის დასტადან, მაშინ ალბათობა იქნება მითითებული 1:36. როგორც ჩანს, აქ არაფერია გამოსაკვლევი და პროგნოზირება, განსაკუთრებით მათემატიკური ფორმულების დახმარებით. თუმცა, თუ ბევრჯერ გაიმეორებთ გარკვეულ მოქმედებას, შეგიძლიათ განსაზღვროთ გარკვეული ნიმუში და, მასზე დაყრდნობით, იწინასწარმეტყველოთ მოვლენების შედეგი სხვა პირობებში.

ყოველივე ზემოაღნიშნულის შესაჯამებლად, ალბათობის თეორია კლასიკური გაგებით სწავლობს ერთ-ერთი შესაძლო მოვლენის რიცხობრივ მნიშვნელობაში დადგომის შესაძლებლობას.

ისტორიის ფურცლებიდან

ალბათობის თეორია, ფორმულები და პირველი ამოცანების მაგალითები გაჩნდა შორეულ შუა საუკუნეებში, როდესაც პირველად გაჩნდა კარტის თამაშების შედეგის პროგნოზირების მცდელობები.

თავდაპირველად, ალბათობის თეორიას საერთო არაფერი ჰქონდა მათემატიკასთან. იგი გამართლებული იყო ემპირიული ფაქტებით ან მოვლენის თვისებებით, რომლებიც შეიძლება პრაქტიკაში რეპროდუცირდეს. პირველი სამუშაოები ამ სფეროში, როგორც მათემატიკური დისციპლინა, მე-17 საუკუნეში გამოჩნდა. დამფუძნებლები იყვნენ ბლეზ პასკალი და პიერ ფერმა. ისინი დიდხანს სწავლობდნენ აზარტულ თამაშებს და ნახეს გარკვეული ნიმუშები, რის შესახებაც გადაწყვიტეს საზოგადოებას ეთქვათ.

იგივე ტექნიკა გამოიგონა კრისტიან ჰაიგენსმა, თუმცა არ იცნობდა პასკალისა და ფერმას კვლევის შედეგებს. „ალბათობის თეორიის“ ცნება, ფორმულები და მაგალითები, რომლებიც პირველად ითვლება დისციპლინის ისტორიაში, მან შემოიღო.

არცთუ მცირე მნიშვნელობა აქვს იაკობ ბერნულის შრომებს, ლაპლასის და პუასონის თეორემებს. მათ ალბათობის თეორია მათემატიკურ დისციპლინას დაემსგავსა. ალბათობის თეორიამ, ფორმულებმა და ძირითადი ამოცანების მაგალითებმა დღევანდელი ფორმა მიიღო კოლმოგოროვის აქსიომების წყალობით. ყველა ცვლილების შედეგად, ალბათობის თეორია გახდა მათემატიკური ფილიალი.

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები. Ივენთი

ამ დისციპლინის მთავარი კონცეფცია არის "მოვლენა". არსებობს სამი სახის ღონისძიება:

• სანდო.რაც მაინც მოხდება (მონეტა დაეცემა).
• შეუძლებელია.მოვლენები, რომლებიც არავითარ შემთხვევაში არ მოხდება (მონეტა ჰაერში დაკიდებული დარჩება).
• შემთხვევითი.რომლებიც მოხდება ან არ მოხდება. მათზე შეიძლება გავლენა იქონიოს სხვადასხვა ფაქტორმა, რომელთა პროგნოზირება ძალიან რთულია. თუ ვსაუბრობთ მონეტაზე, მაშინ არის შემთხვევითი ფაქტორები, რომლებმაც შეიძლება გავლენა მოახდინონ შედეგზე: მონეტის ფიზიკური მახასიათებლები, მისი ფორმა, მისი თავდაპირველი პოზიცია, სროლის ძალა და ა.შ.

მაგალითებში ყველა მოვლენა მითითებულია დიდი ლათინური ასოებით, გარდა P-ისა, რომელსაც განსხვავებული როლი აქვს. Მაგალითად:

• A = "სტუდენტები მოვიდნენ ლექციაზე."
• Ā = "სტუდენტები არ მოვიდნენ ლექციაზე."

პრაქტიკულ ამოცანებში მოვლენები ჩვეულებრივ იწერება სიტყვებით.

მოვლენების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელია მათი თანაბარი შესაძლებლობა. ანუ, თუ მონეტას გადააგდებთ, საწყისი დაცემის ყველა ვარიანტი შესაძლებელია მის დაცემამდე. მაგრამ მოვლენები ასევე არ არის თანაბრად შესაძლებელი. ეს ხდება მაშინ, როდესაც ვინმე განზრახ ახდენს გავლენას შედეგზე. მაგალითად, „მონიშნული“ სათამაშო კარტები ან კამათელი, რომლებშიც გადატანილია სიმძიმის ცენტრი.

მოვლენები ასევე შეიძლება იყოს თავსებადი და შეუთავსებელი. თავსებადი მოვლენები არ გამორიცხავს ერთმანეთის შემთხვევას. Მაგალითად:

• A = "სტუდენტი მოვიდა ლექციაზე."
• B = "სტუდენტი მოვიდა ლექციაზე."

ეს მოვლენები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია და ერთი მათგანის დადგომა გავლენას არ ახდენს მეორის დადგომაზე. შეუთავსებელი მოვლენები განისაზღვრება იმით, რომ ერთის დადგომა გამორიცხავს მეორის დადგომას. თუ ვსაუბრობთ ერთსა და იმავე მონეტაზე, მაშინ "კუდების" დაკარგვა შეუძლებელს ხდის იმავე ექსპერიმენტში "თავების" გამოჩენას.

მოქმედებები მოვლენებზე

მოვლენები შეიძლება გამრავლდეს და დაემატოს; შესაბამისად, დისციპლინაში შემოტანილია ლოგიკური კავშირები "AND" და "OR".

თანხა განისაზღვრება იმით, რომ მოვლენა A ან B, ან ორი შეიძლება მოხდეს ერთდროულად. თუ ისინი შეუთავსებელია, ბოლო ვარიანტი შეუძლებელია; ან A ან B შემოვიდა.

მოვლენების გამრავლება შედგება A და B-ის ერთდროულად გამოჩენაში.

ახლა შეგვიძლია რამდენიმე მაგალითი მოვიყვანოთ, რომ უკეთ დავიმახსოვროთ საფუძვლები, ალბათობის თეორია და ფორმულები. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები ქვემოთ.

სავარჯიშო 1: კომპანია მონაწილეობს კონკურსში სამი სახის სამუშაოზე ხელშეკრულებების მისაღებად. შესაძლო მოვლენები, რომლებიც შეიძლება მოხდეს:

• A = "ფირმა მიიღებს პირველ კონტრაქტს."
• A 1 = "ფირმა არ მიიღებს პირველ კონტრაქტს."
• B = "ფირმა მიიღებს მეორე კონტრაქტს."
• B 1 = "ფირმა არ მიიღებს მეორე კონტრაქტს"
• C = "ფირმა მიიღებს მესამე კონტრაქტს."
• C 1 = "ფირმა არ მიიღებს მესამე კონტრაქტს."

მოვლენებზე მოქმედებების გამოყენებით, ჩვენ შევეცდებით გამოვხატოთ შემდეგი სიტუაციები:

• K = "კომპანია მიიღებს ყველა კონტრაქტს."

მათემატიკური ფორმით განტოლებას შემდეგი ფორმა ექნება: K = ABC.

• M = "კომპანია არ მიიღებს არც ერთ კონტრაქტს."

M = A 1 B 1 C 1.

მოდით გავართულოთ დავალება: H = „კომპანია მიიღებს ერთ კონტრაქტს“. ვინაიდან არ არის ცნობილი, რომელ კონტრაქტს მიიღებს კომპანია (პირველი, მეორე თუ მესამე), აუცილებელია ჩაწეროთ შესაძლო მოვლენების მთელი სერია:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

და 1 BC 1 არის მოვლენების სერია, სადაც ფირმა არ იღებს პირველ და მესამე კონტრაქტს, მაგრამ იღებს მეორეს. სხვა შესაძლო მოვლენები დაფიქსირდა შესაბამისი მეთოდის გამოყენებით. სიმბოლო υ დისციპლინაში აღნიშნავს შემაერთებელ "OR". თუ ზემოხსენებულ მაგალითს ადამიანურ ენაზე გადავთარგმნით, კომპანია მიიღებს ან მესამე კონტრაქტს, ან მეორეს, ან პირველს. ანალოგიურად, შეგიძლიათ ჩაწეროთ სხვა პირობები დისციპლინაში "ალბათობის თეორია". ზემოთ წარმოდგენილი პრობლემის გადაჭრის ფორმულები და მაგალითები დაგეხმარებათ ამის გაკეთებაში.

სინამდვილეში, ალბათობა

შესაძლოა, ამ მათემატიკური დისციპლინაში მოვლენის ალბათობა არის ცენტრალური კონცეფცია. არსებობს ალბათობის 3 განმარტება:

• კლასიკური;
• სტატისტიკური;
• გეომეტრიული.

თითოეულს თავისი ადგილი აქვს ალბათობის შესწავლაში. ალბათობის თეორია, ფორმულები და მაგალითები (მე-9 კლასი) ძირითადად იყენებს კლასიკურ განმარტებას, რომელიც ასე ჟღერს:

• A სიტუაციის ალბათობა უდრის იმ შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას, რომლებიც ხელს უწყობენ მის დადგომას ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობასთან.

ფორმულა ასე გამოიყურება: P(A)=m/n.

A რეალურად მოვლენაა. თუ A-ს საპირისპირო შემთხვევა გამოჩნდება, ის შეიძლება დაიწეროს როგორც Ā ან A 1 .

m არის შესაძლო ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა.

n - ყველა მოვლენა, რაც შეიძლება მოხდეს.

მაგალითად, A = "დახატე კარტი გულის სარჩელისგან". სტანდარტულ გემბანში არის 36 კარტი, მათგან 9 არის გულის. შესაბამისად, პრობლემის გადაჭრის ფორმულა ასე გამოიყურება:

P(A)=9/36=0.25.

შედეგად, ალბათობა იმისა, რომ გულის სარჩელის კარტი დაიტანოს გემბანიდან იქნება 0,25.

უმაღლესი მათემატიკისკენ

ახლა ცოტა ცნობილი გახდა, რა არის ალბათობის თეორია, ფორმულები და პრობლემების გადაჭრის მაგალითები, რომლებიც გვხვდება სკოლის სასწავლო გეგმაში. თუმცა ალბათობის თეორია ასევე გვხვდება უმაღლეს მათემატიკაში, რომელიც ისწავლება უნივერსიტეტებში. ყველაზე ხშირად ისინი მოქმედებენ თეორიის გეომეტრიული და სტატისტიკური განმარტებებით და რთული ფორმულებით.

ძალიან საინტერესოა ალბათობის თეორია. უმჯობესია ფორმულებისა და მაგალითების შესწავლა (უმაღლესი მათემატიკა) მცირე - ალბათობის სტატისტიკური (ან სიხშირის) განსაზღვრებით დავიწყოთ.

სტატისტიკური მიდგომა არ ეწინააღმდეგება კლასიკურ მიდგომას, მაგრამ ოდნავ აფართოებს მას. თუ პირველ შემთხვევაში საჭირო იყო იმის დადგენა, თუ რა ალბათობით მოხდება მოვლენა, მაშინ ამ მეთოდით აუცილებელია მიუთითოთ რამდენად ხშირად მოხდება ეს. აქ შემოტანილია „ფარდობითი სიხშირის“ ახალი კონცეფცია, რომელიც შეიძლება აღვნიშნოთ W n-ით (A). ფორმულა არ განსხვავდება კლასიკურისგან:

თუ კლასიკური ფორმულა გამოითვლება პროგნოზირებისთვის, მაშინ სტატისტიკური გამოითვლება ექსპერიმენტის შედეგების მიხედვით. მაგალითად, ავიღოთ პატარა დავალება.

ტექნოლოგიური კონტროლის დეპარტამენტი ამოწმებს პროდუქციის ხარისხს. 100 პროდუქტს შორის 3 უხარისხო აღმოჩნდა. როგორ მოვძებნოთ ხარისხიანი პროდუქტის სიხშირის ალბათობა?

A = "ხარისხიანი პროდუქტის გამოჩენა."

W n (A)=97/100=0.97

ამრიგად, ხარისხიანი პროდუქტის სიხშირე არის 0,97. საიდან მოიტანე 97? შემოწმებული 100 პროდუქტიდან 3 უხარისხო აღმოჩნდა. 100-ს ვაკლებთ 3-ს და ვიღებთ 97-ს, ეს არის ხარისხიანი საქონლის რაოდენობა.

ცოტა რამ კომბინატორიკის შესახებ

ალბათობის თეორიის სხვა მეთოდს კომბინატორიკა ეწოდება. მისი ძირითადი პრინციპია, რომ თუ გარკვეული არჩევანი A შეიძლება გაკეთდეს m სხვადასხვა გზით, და არჩევანი B შეიძლება გაკეთდეს n სხვადასხვა გზით, მაშინ A და B არჩევანი შეიძლება გაკეთდეს გამრავლებით.

მაგალითად, არის 5 გზა, რომელიც მიემართება A ქალაქიდან B ქალაქამდე. B ქალაქიდან C-მდე 4 ბილიკია. რამდენი გზით შეგიძლიათ მოხვდეთ A ქალაქიდან C ქალაქამდე?

ეს მარტივია: 5x4=20, ანუ ოცი სხვადასხვა გზით შეგიძლიათ A წერტილიდან C წერტილამდე მიხვიდეთ.

დავალება გავართულოთ. რამდენი გზა არსებობს ბარათების გასაშლელად სოლიტერში? გემბანზე არის 36 კარტი - ეს არის საწყისი წერტილი. გზების რაოდენობის გასარკვევად, თქვენ უნდა "გამოაკლოთ" თითო ბარათი საწყისი წერტილიდან და გაამრავლოთ.

ანუ 36x35x34x33x32...x2x1= შედეგი არ ჯდება კალკულატორის ეკრანზე, ასე რომ, ის შეიძლება უბრალოდ დანიშნოს 36!. Ნიშანი "!" რიცხვის გვერდით მიუთითებს, რომ რიცხვების მთელი სერია მრავლდება ერთად.

კომბინატორიკაში არსებობს ისეთი ცნებები, როგორიცაა პერმუტაცია, განლაგება და კომბინაცია. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი ფორმულა.

კომპლექტის ელემენტების მოწესრიგებულ კომპლექტს მოწყობა ეწოდება. განთავსება შეიძლება განმეორდეს, ანუ ერთი ელემენტის გამოყენება შეიძლება რამდენჯერმე. და გამეორების გარეშე, როდესაც ელემენტები არ მეორდება. n არის ყველა ელემენტი, m არის ელემენტები, რომლებიც მონაწილეობენ განლაგებაში. განმეორების გარეშე განთავსების ფორმულა ასე გამოიყურება:

A n m =n!/(n-m)!

n ელემენტის კავშირებს, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ განლაგების თანმიმდევრობით, პერმუტაციები ეწოდება. მათემატიკაში ასე გამოიყურება: P n = n!

m-ის n ელემენტის ერთობლიობა არის ის ნაერთები, რომლებშიც მნიშვნელოვანია რა ელემენტები იყვნენ ისინი და რამდენია მათი საერთო რაოდენობა. ფორმულა ასე გამოიყურება:

A n m =n!/m!(n-m)!

ბერნულის ფორმულა

ალბათობის თეორიაში, როგორც ყველა დისციპლინაში, არის გამოჩენილი მკვლევარების ნამუშევრები თავიანთ სფეროში, რომლებმაც ის ახალ დონეზე აიწიეს. ერთ-ერთი ასეთი ნამუშევარია ბერნულის ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ გარკვეული მოვლენის დამოუკიდებელ პირობებში დადგომის ალბათობა. ეს ვარაუდობს, რომ ექსპერიმენტში A-ს გაჩენა არ არის დამოკიდებული იმავე მოვლენის დადგომაზე ან არ მომხდარზე ადრე ან შემდგომ ცდებში.

ბერნულის განტოლება:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

მოვლენის (A) დადგომის ალბათობა (p) მუდმივია ყოველი საცდელისთვის. ალბათობა იმისა, რომ სიტუაცია მოხდება ზუსტად m-ჯერ n რაოდენობის ექსპერიმენტში გამოითვლება ზემოთ წარმოდგენილი ფორმულით. შესაბამისად, ჩნდება კითხვა, თუ როგორ უნდა გაირკვეს რიცხვი q.

თუ მოვლენა A ხდება p რამდენჯერმე, შესაბამისად, ის შეიძლება არ მოხდეს. ერთეული არის რიცხვი, რომელიც გამოიყენება დისციპლინის სიტუაციის ყველა შედეგის დასადგენად. მაშასადამე, q არის რიცხვი, რომელიც აღნიშნავს მოვლენის შეუსრულებლობის შესაძლებლობას.

ახლა თქვენ იცით ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ქვემოთ განვიხილავთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითებს (პირველი დონე).

დავალება 2:მაღაზიის ვიზიტორი განახორციელებს შეძენას 0.2 ალბათობით. მაღაზიაში 6 ვიზიტორი დამოუკიდებლად შევიდა. რა არის იმის ალბათობა, რომ ვიზიტორი განახორციელებს შესყიდვას?

გამოსავალი: რადგან უცნობია რამდენმა ვიზიტორმა უნდა გააკეთოს შესყიდვა, ერთი ან ექვსივე, აუცილებელია ყველა შესაძლო ალბათობის გამოთვლა ბერნულის ფორმულით.

A = "ვიზიტორი გააკეთებს შეძენას."

ამ შემთხვევაში: p = 0.2 (როგორც მითითებულია ამოცანაში). შესაბამისად, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (რადგან მაღაზიაში 6 მომხმარებელია). რიცხვი m იქნება 0-დან (არც ერთი მომხმარებელი არ გააკეთებს ყიდვას) 6-მდე (მაღაზიის ყველა სტუმარი შეიძენს რაღაცას). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ გამოსავალს:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

არცერთი მყიდველი არ გააკეთებს შესყიდვას 0,2621 ალბათობით.

სხვაგვარად როგორ გამოიყენება ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია)? პრობლემის გადაჭრის მაგალითები (მეორე დონე) ქვემოთ.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითის შემდეგ ჩნდება კითხვები იმის შესახებ, თუ სად წავიდნენ C და r. p-ის მიმართ რიცხვი 0-ის ხარისხში იქნება ერთის ტოლი. რაც შეეხება C-ს, ის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:

C n m = n! /მ!(ნ-მ)!

ვინაიდან პირველ მაგალითში m = 0, შესაბამისად, C = 1, რაც პრინციპში გავლენას არ ახდენს შედეგზე. ახალი ფორმულის გამოყენებით, შევეცადოთ გავარკვიოთ, რა არის ორმა ვიზიტორმა საქონლის შეძენის ალბათობა.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

ალბათობის თეორია არც ისე რთულია. ამის პირდაპირი დასტურია ბერნულის ფორმულა, რომლის მაგალითებიც ზემოთ არის წარმოდგენილი.

პუასონის ფორმულა

პუასონის განტოლება გამოიყენება დაბალი ალბათობის შემთხვევითი სიტუაციების გამოსათვლელად.

ძირითადი ფორმულა:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

ამ შემთხვევაში λ = n x p. აქ არის მარტივი პუასონის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ქვემოთ განვიხილავთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითებს.

დავალება 3: ქარხანა აწარმოებდა 100000 ნაწილს. დეფექტური ნაწილის გაჩენა = 0,0001. რა არის იმის ალბათობა, რომ პარტიაში იქნება 5 დეფექტური ნაწილი?

როგორც ხედავთ, ქორწინება ნაკლებად სავარაუდო მოვლენაა და ამიტომ გამოსათვლელად გამოიყენება პუასონის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ამ ტიპის პრობლემების გადაჭრის მაგალითები არაფრით განსხვავდება დისციპლინის სხვა ამოცანებისაგან; ჩვენ ვანაცვლებთ საჭირო მონაცემებს მოცემულ ფორმულაში:

A = "შემთხვევით შერჩეული ნაწილი იქნება დეფექტური."

p = 0.0001 (დავალების პირობების მიხედვით).

n = 100000 (ნაწილების რაოდენობა).

მ = 5 (დეფექტური ნაწილები). ჩვენ ვანაცვლებთ მონაცემებს ფორმულაში და ვიღებთ:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

ისევე, როგორც ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია), ამონახსნების მაგალითები, რომელთა გამოყენებით ზემოთ არის დაწერილი, პუასონის განტოლებას აქვს უცნობი ე. სინამდვილეში, ის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

თუმცა, არსებობს სპეციალური ცხრილები, რომლებიც შეიცავს e-ის თითქმის ყველა მნიშვნელობას.

დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა

თუ ბერნულის სქემაში ცდების რაოდენობა საკმარისად დიდია და A მოვლენის დადგომის ალბათობა ყველა სქემაში ერთნაირია, მაშინ A მოვლენის დადგომის ალბათობა გარკვეული რაოდენობის ტესტების სერიაში შეიძლება მოიძებნოს ლაპლასის ფორმულა:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

ლაპლასის ფორმულის უკეთ დასამახსოვრებლად (ალბათობის თეორია), ქვემოთ მოცემულია ამოცანების მაგალითები დასახმარებლად.

ჯერ ვიპოვოთ X m, ჩავანაცვლოთ მონაცემები (ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი) ფორმულაში და მივიღოთ 0.025. ცხრილების გამოყენებით ვპოულობთ რიცხვს ϕ(0.025), რომლის ღირებულებაა 0.3988. ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ყველა მონაცემი ფორმულაში:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

ამრიგად, ალბათობა იმისა, რომ ფლაერმა ზუსტად 267-ჯერ იმუშავოს, არის 0,03.

ბეიზის ფორმულა

ბეიზის ფორმულა (ალბათობის თეორია), რომლის დახმარებითაც ქვემოთ იქნება მოცემული პრობლემების გადაჭრის მაგალითები, არის განტოლება, რომელიც აღწერს მოვლენის ალბათობას იმ გარემოებების გათვალისწინებით, რაც შეიძლება დაკავშირებული იყოს მასთან. ძირითადი ფორმულა ასეთია:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A და B არის გარკვეული მოვლენები.

P(A|B) არის პირობითი ალბათობა, ანუ მოვლენა A შეიძლება მოხდეს იმ პირობით, რომ მოვლენა B არის ჭეშმარიტი.

P (B|A) - B მოვლენის პირობითი ალბათობა.

ასე რომ, მოკლე კურსის "ალბათობის თეორიის" დასკვნითი ნაწილი არის ბეიზის ფორმულა, რომელთა ამოხსნის მაგალითები მოცემულია ქვემოთ.

დავალება 5: საწყობში სამი კომპანიის ტელეფონები შემოიტანეს. ამავდროულად, ტელეფონების წილი, რომლებიც პირველ ქარხანაში იწარმოება 25%-ია, მეორეში - 60%, მესამეზე - 15%. ასევე ცნობილია, რომ პირველ ქარხანაში დეფექტური პროდუქციის საშუალო პროცენტი 2%-ია, მეორეში - 4%, ხოლო მესამეში - 1%. თქვენ უნდა იპოვოთ ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული ტელეფონი იყოს დეფექტური.

A = "შემთხვევით შერჩეული ტელეფონი."

B 1 - ტელეფონი, რომელიც აწარმოა პირველმა ქარხანამ. შესაბამისად, გამოჩნდება შესავალი B 2 და B 3 (მეორე და მესამე ქარხნებისთვის).

შედეგად ვიღებთ:

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - ამგვარად ვიპოვეთ თითოეული ვარიანტის ალბათობა.

ახლა თქვენ უნდა იპოვოთ სასურველი მოვლენის პირობითი ალბათობა, ანუ კომპანიებში დეფექტური პროდუქტების ალბათობა:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01.

ახლა მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ბეიზის ფორმულაში და მივიღოთ:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

სტატიაში წარმოდგენილია ალბათობის თეორია, ფორმულები და პრობლემის გადაჭრის მაგალითები, მაგრამ ეს მხოლოდ აისბერგის წვერია უზარმაზარი დისციპლინისა. და ყველაფრის შემდეგ რაც დაიწერა, ლოგიკური იქნება დავსვათ კითხვა, საჭიროა თუ არა ცხოვრებაში ალბათობის თეორია. უბრალო ადამიანს უჭირს პასუხის გაცემა, ჯობია ვინმეს, ვინც ეს გამოიყენა, ჯეკპოტი არაერთხელ მოიგოს.