ტეტრაედრონს ყველა გვერდი თანაბარი აქვს. ტეტრაედონი

ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ ტეტრაედრონს და მის ელემენტებს (ტეტრაედრის კიდე, ზედაპირი, სახეები, წვეროები). და ჩვენ მოვაგვარებთ რამდენიმე პრობლემას ტეტრაედრონში მონაკვეთების აგების შესახებ, სექციების აგების ზოგადი მეთოდის გამოყენებით.

თემა: წრფეებისა და სიბრტყეების პარალელიზმი

გაკვეთილი: ტეტრაედონი. ტეტრაედრონში მონაკვეთების აგების პრობლემები

როგორ ავაშენოთ ტეტრაედონი? ავიღოთ თვითნებური სამკუთხედი ABC. ნებისმიერი წერტილი დ, არ დევს ამ სამკუთხედის სიბრტყეში. ვიღებთ 4 სამკუთხედს. ამ 4 სამკუთხედის მიერ წარმოქმნილ ზედაპირს ტეტრაედონი ეწოდება (ნახ. 1.). ამ ზედაპირით შემოსაზღვრული შიდა წერტილები ასევე ტეტრაედრის ნაწილია.

ბრინჯი. 1. ტეტრაედონი ABCD

ტეტრაედრის ელემენტები
A,ბ, C, დ - ტეტრაედრის წვეროები.
AB, A.C., ახ.წ, ძვ.წ., BD, CD - ტეტრაედრის კიდეები.
ABC, ABD, BDC, ADC - ტეტრაედრონული სახეები.

კომენტარი:შეიძლება ბინის აღება ABCუკან ტეტრაედრული ბაზა, და შემდეგ მიუთითეთ დარის ტეტრაედრის წვერო. ტეტრაედრის თითოეული კიდე არის ორი სიბრტყის კვეთა. მაგალითად, ნეკნი AB- ეს არის თვითმფრინავების კვეთა ABდდა ABC. ტეტრაედრის თითოეული წვერო არის სამი სიბრტყის კვეთა. ვერტექსი ადევს თვითმფრინავებში ABC, ABდ, ადთან. Წერტილი აარის სამი დანიშნული სიბრტყის კვეთა. ეს ფაქტი ასე წერია: ა= ABC ∩ ABდ ∩ ACდ.

ტეტრაედონის განმარტება

Ისე, ტეტრაედონიარის ზედაპირი, რომელიც შედგება ოთხი სამკუთხედისგან.

ტეტრაედრის კიდე- ტეტრაედონის ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი.

6 ასანთიდან გააკეთეთ 4 ტოლი სამკუთხედი. თვითმფრინავში პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. და ეს მარტივია კოსმოსში. ავიღოთ ტეტრაედონი. 6 ასანთი არის მისი კიდეები, ოთხკუთხედის ოთხი სახე და იქნება ოთხი ტოლი სამკუთხედი. პრობლემა მოგვარებულია.

მოცემულია ტეტრაედონი ABCდ. Წერტილი მმიეკუთვნება ტეტრაედრის კიდეს AB, წერტილი ნმიეკუთვნება ტეტრაედრის კიდეს INდდა პერიოდი რზღვარს ეკუთვნის დთან(ნახ. 2.). ააგეთ ტეტრაედრის მონაკვეთი სიბრტყით MNP.

ბრინჯი. 2. ნახაზი მე-2 ამოცანისთვის - ააგეთ ტეტრაედრის მონაკვეთი სიბრტყით

გამოსავალი:
განვიხილოთ ტეტრაედრის სახე დმზე. ამ სახეზე ნდა პსახეებს ეკუთვნის დმზედა შესაბამისად ტეტრაედონი. მაგრამ პუნქტის პირობის მიხედვით ნ, პეკუთვნის ჭრის თვითმფრინავს. ნიშნავს, NP- ეს არის ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი: სახის სიბრტყე დმზედა ჭრის თვითმფრინავი. დავუშვათ, რომ სწორი ხაზები NPდა მზეარა პარალელურად. ისინი იმავე თვითმფრინავში წევენ დმზე.ვიპოვოთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი NPდა მზე. აღვნიშნოთ ე(ნახ. 3.).

ბრინჯი. 3. ნახაზი ამოცანისთვის 2. წერტილი ე

Წერტილი ემიეკუთვნება განყოფილების სიბრტყეს MNP, რადგან ის დევს ხაზზე NPდა სწორი ხაზი NPდევს მთლიანად მონაკვეთის სიბრტყეში MNP.

ასევე მიუთითეთ ეწევს თვითმფრინავში ABC, რადგან ის სწორ ხაზზე დევს მზეთვითმფრინავიდან ABC.

ჩვენ ამას მივიღებთ ჭამე- თვითმფრინავების გადაკვეთის ხაზი ABCდა MNP,ქულებიდან ედა მდაწექი ერთდროულად ორ თვითმფრინავში - ABCდა MNP.მოდით დავაკავშიროთ წერტილები მდა ედა გააგრძელეთ პირდაპირ ჭამეხაზთან კვეთამდე AC. ხაზების გადაკვეთის წერტილი ჭამედა ACაღვნიშნოთ ქ.

ასე რომ ამ შემთხვევაში NPQМ- საჭირო განყოფილება.

ბრინჯი. 4. ნახატი ამოცანის 2. ამოცანის ამოხსნა 2

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც NPპარალელურად ძვ.წ.. თუ სწორი NPზოგიერთი ხაზის პარალელურად, მაგალითად, სწორი ხაზის მზეთვითმფრინავიდან ABC, შემდეგ პირდაპირ NPმთელი სიბრტყის პარალელურად ABC.

სასურველი მონაკვეთის თვითმფრინავი გადის სწორ ხაზზე NP, თვითმფრინავის პარალელურად ABC, და კვეთს სიბრტყეს სწორ ხაზზე MQ. ასე რომ, გადაკვეთის ხაზი MQხაზის პარალელურად NP. ვიღებთ NPQМ- საჭირო განყოფილება.

Წერტილი მგვერდზე წევს ადINტეტრაედონი ABCდ. ააგეთ ტეტრაედრის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის წერტილში მბაზის პარალელურად ABC.

ბრინჯი. 5. ნახაზი 3 ამოცანისთვის ააგეთ ტეტრაედრის მონაკვეთი სიბრტყით

გამოსავალი:
ჭრის თვითმფრინავი φ თვითმფრინავის პარალელურად ABCმდგომარეობის მიხედვით ეს ნიშნავს, რომ ეს თვითმფრინავი φ ხაზების პარალელურად AB, AC, მზე.
Თვითმფრინავში ABდწერტილის მეშვეობით მმოდით პირდაპირ PQპარალელურად AB(ნახ. 5). პირდაპირ PQწევს თვითმფრინავში ABდ. ანალოგიურად თვითმფრინავში ACდწერტილის მეშვეობით რმოდით პირდაპირ პიარიპარალელურად AC. მიიღეთ წერტილი რ. ორი გადამკვეთი ხაზი PQდა პიარითვითმფრინავი PQRშესაბამისად ორი გადამკვეთი ხაზის პარალელურად ABდა ACთვითმფრინავი ABC, რაც ნიშნავს თვითმფრინავებს ABCდა PQRპარალელურად. PQR- საჭირო განყოფილება. პრობლემა მოგვარებულია.

მოცემულია ტეტრაედონი ABCდ. Წერტილი მ- შიდა წერტილი, წერტილი ტეტრაედრის სახეზე ABდ. ნ- სეგმენტის შიდა წერტილი დთან(ნახ. 6.). ააგეთ ხაზის გადაკვეთის წერტილი ნ.მ.და თვითმფრინავები ABC.

ბრინჯი. 6. ნახატი 4 ამოცანისთვის

გამოსავალი:
ამის გადასაჭრელად ჩვენ ავაშენებთ დამხმარე თვითმფრინავს დMN. დაე პირდაპირ იყოს დმკვეთს AB წრფეს წერტილში TO(ნახ. 7.). შემდეგ, SKდ- ეს არის თვითმფრინავის მონაკვეთი დMNდა ტეტრაედონი. Თვითმფრინავში დMNტყუილი და სწორი ნ.მ., და შედეგად სწორი ხაზი SK. ასე რომ, თუ ნ.მ.არა პარალელურად SK, მაშინ ისინი გადაიკვეთებიან რაღაც მომენტში რ. Წერტილი რდა იქნება ხაზის სასურველი გადაკვეთის წერტილი ნ.მ.და თვითმფრინავები ABC.

ბრინჯი. 7. ნახაზი 4 ამოცანისთვის. ამოცანის ამოხსნა 4

მოცემულია ტეტრაედონი ABCდ. მ- სახის შიდა წერტილი ABდ. რ- სახის შიდა წერტილი ABC. ნ- კიდის შიდა წერტილი დთან(ნახ. 8.). ააგეთ ტეტრაედრის მონაკვეთი წერტილებში გამავალი სიბრტყით მ, ნდა რ.

ბრინჯი. 8. ნახაზი 5 ამოცანისთვის ააგეთ ტეტრაედრის მონაკვეთი სიბრტყით

გამოსავალი:
განვიხილოთ პირველი შემთხვევა, როდესაც სწორი ხაზი MNარა თვითმფრინავის პარალელურად ABC. წინა ამოცანაში ვიპოვეთ წრფის გადაკვეთის წერტილი MNდა თვითმფრინავები ABC. ეს არის წერტილი TO, იგი მიიღება დამხმარე სიბრტყის გამოყენებით დMN, ე.ი. ჩვენ ვაკეთებთ დმდა მივიღებთ ქულას ფ. ჩვენ ვახორციელებთ CFდა გზაჯვარედინზე MNჩვენ მივიღებთ ქულას TO.

ბრინჯი. 9. ნახაზი ამოცანისთვის 5. წერტილის კ

მოდით გავაკეთოთ პირდაპირი კრ. პირდაპირ კრდევს როგორც მონაკვეთის სიბრტყეში, ასევე სიბრტყეში ABC. ქულების მიღება P 1და R 2. დაკავშირება P 1და მდა როგორც გაგრძელება მივიღებთ აზრს M 1. წერტილის დაკავშირება R 2და ნ. შედეგად ვიღებთ სასურველ განყოფილებას Р 1 Р 2 NM 1. პირველ შემთხვევაში პრობლემა მოგვარებულია.
განვიხილოთ მეორე შემთხვევა, როდესაც სწორი ხაზია MNთვითმფრინავის პარალელურად ABC. თვითმფრინავი MNPგადის სწორ ხაზზე MNთვითმფრინავის პარალელურად ABCდა კვეთს სიბრტყეს ABCრაღაც სწორი ხაზის გასწვრივ R 1 R 2, შემდეგ პირდაპირ R 1 R 2მოცემული ხაზის პარალელურად MN(ნახ. 10.).

ბრინჯი. 10. ნახაზი ამოცანისთვის 5. საჭირო მონაკვეთი

ახლა დავხატოთ სწორი ხაზი R 1 Mდა მივიღებთ ქულას M 1.Р 1 Р 2 NM 1- საჭირო განყოფილება.

ასე რომ, ჩვენ გადავხედეთ ტეტრაედრონს და გადავწყვიტეთ რამდენიმე ტიპიური ტეტრაედრული პრობლემა. შემდეგ გაკვეთილზე ჩვენ შევხედავთ პარალელეპიპედს.

1. ი.მ.სმირნოვა, ვ.ა.სმირნოვი. - მე-5 გამოცემა, შესწორებული და გაფართოებული - M.: Mnemosyne, 2008. - 288გვ. : ავად. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (საბაზო და სპეციალიზებული საფეხურები)

2. Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 გვ.: ილ. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - მე-6 გამოცემა, სტერეოტიპი. - M.: Bustard, 008. - 233გვ. :ილ. გეომეტრია. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული და სპეციალიზებული შესწავლით

დამატებითი ვებ რესურსები

2. როგორ ავაშენოთ ოთხკუთხედის განივი კვეთა. მათემატიკა ().

3. პედაგოგიური იდეების ფესტივალი ().

შეასრულეთ პრობლემები სახლში თემაზე "ტეტრაედონი", როგორ მოვძებნოთ ტეტრაედრის კიდე, ტეტრაედრის სახეები, წვეროები და ტეტრაედრის ზედაპირი.

1. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (საბაზო და სპეციალიზებული დონეები) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - მე-5 გამოცემა, შესწორებული და გაფართოებული - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 გვ.: ill. ამოცანები 18, 19, 20 გვ 50

2. წერტილი ეშუა ნეკნი MAტეტრაედონი MAVS. ააგეთ ტეტრაედრის მონაკვეთი წერტილებში გამავალი სიბრტყით B, Cდა ე.

3. MABC ტეტრაედრონში M წერტილი ეკუთვნის AMV სახეს, P წერტილი BMC სახეს, K წერტილი ეკუთვნის AC კიდეს. ააგეთ ტეტრაედრის მონაკვეთი წერტილებში გამავალი სიბრტყით M, R, K.

4. რა ფორმები შეიძლება მივიღოთ ტეტრაედრის სიბრტყესთან გადაკვეთის შედეგად?

ტეტრაედრონი, ანუ სამკუთხა პირამიდა, არის უმარტივესი მრავალკუთხედი, ისევე როგორც სამკუთხედი არის უმარტივესი მრავალკუთხედი სიბრტყეზე. სიტყვა "ტეტრაედრონი" წარმოიქმნება ორი ბერძნული სიტყვისგან: ტეტრა - "ოთხი" და ჰედრა - "ფუძე", "სახე". ტეტრაედონი განისაზღვრება მისი ოთხი წვერით – წერტილებით, რომლებიც არ დევს ერთ სიბრტყეში; ტეტრაედრის სახეები ოთხი სამკუთხედია; ტეტრაედრონს ექვსი კიდე აქვს. თვითნებური გონალური პირამიდისგან განსხვავებით (at ) მისი ნებისმიერი სახე შეიძლება აირჩეს ტეტრაედონის ფუძედ.

ტეტრაედრების მრავალი თვისება მსგავსია სამკუთხედების შესაბამისი თვისებების. კერძოდ, მათზე პერპენდიკულარული ტეტრაედრის კიდეების შუა წერტილებში გამოყვანილი 6 სიბრტყე ერთ წერტილში იკვეთება. იმავე წერტილში იკვეთება 4 სწორი ხაზი, რომელიც შემოხაზულია ხაზების სიბრტყეზე პერპენდიკულარულად შემოხაზული წრეების ცენტრებში და ეს არის სფეროს ცენტრი, რომელიც შემოხაზულია ტეტრაედრონთან (ნახ. 1). ანალოგიურად, ტეტრაედრონის 6 ბისექტრული ნახევრად სიბრტყე, ანუ ნახევრად სიბრტყეები, რომლებიც ყოფენ ორმხრივ კუთხეებს ტეტრაედრის კიდეებზე, ასევე იკვეთება ერთ წერტილში - ტეტრაედრონში ჩაწერილი სფეროს ცენტრში - სფერო, რომელიც ეხება ოთხივეს. ტეტრაედრის სახეები. ნებისმიერ სამკუთხედს აქვს, გარდა წრეწირისა, კიდევ 3 წრე (იხ. სამკუთხედი), მაგრამ ტეტრაედრონს შეიძლება ჰქონდეს ნებისმიერი რიცხვი - 4-დან 7-მდე - წრეები, ე.ი. სფეროები, რომლებიც ეხება ტეტრაედონის ოთხივე სახის სიბრტყეს. ჩამოჭრილ სამკუთხედში ყოველთვის არის ჩაწერილი 4 სფერო, რომელთაგან ერთი ნაჩვენებია ნახ. 2, უფლება. კიდევ 3 სფერო შეიძლება ჩაიწეროს (არა ყოველთვის!) ტეტრაედრის კიდეებზე ჩამოჭრილი ორკუთხედის კუთხეებში - ერთი მათგანი ნაჩვენებია ნახ. 2 დარჩა.

ტეტრაედრონისთვის არის სფეროსთან მისი ურთიერთ პოზიციის კიდევ ერთი შესაძლებლობა - შეხება გარკვეულ სფეროსთან მთელი მისი კიდეებით (ნახ. 3). ასეთი სფერო - ზოგჯერ "ნახევრად ჩაწერილს" - არსებობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ტეტრაედრის მოპირდაპირე კიდეების სიგრძის ჯამები ტოლია: (სურ. 3).

ნებისმიერი ტეტრაედრისთვის მოქმედებს თეორემის ანალოგი ერთ წერტილში სამკუთხედის შუალედების გადაკვეთაზე. სახელდობრ, ტეტრაედრის კიდეებზე და მოპირდაპირე კიდეების შუა წერტილებში გამოყვანილი 6 სიბრტყე იკვეთება ერთ წერტილში - ტეტრაედრის ცენტრში (სურ. 4). სამი "შუა ხაზი" ასევე გადის ცენტროიდში - სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებენ სამი წყვილი საპირისპირო კიდეების შუა წერტილებს და ისინი იყოფა ნახევრად წერტილით. დაბოლოს, ტეტრაედრონის 4 „მედიანი“ ასევე გადის - სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებენ წვეროებს საპირისპირო სახეების ცენტროიდებთან და ისინი იყოფა წერტილში 3: 1 თანაფარდობით, წვეროებიდან დათვლა.

სამკუთხედის ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება - თანასწორობა (ან) - არ აქვს გონივრული „ტეტრაედრული“ ანალოგი: ტეტრაედონის 6-ვე დიჰედრული კუთხის ჯამს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა და . (რა თქმა უნდა, ტეტრაედრის 12-ვე პლანშეტური კუთხის ჯამი - 3 თითოეულ წვეროზე - არ არის დამოკიდებული ტეტრაედრონზე და უდრის.)

სამკუთხედები ჩვეულებრივ კლასიფიცირდება მათი სიმეტრიის ხარისხის მიხედვით: რეგულარულ ან ტოლგვერდა სამკუთხედებს აქვთ სიმეტრიის სამი ღერძი, ტოლფერდა სამკუთხედებს აქვთ ერთი. ტეტრაედრების კლასიფიკაცია სიმეტრიის ხარისხით უფრო მდიდარია. ყველაზე სიმეტრიული ტეტრაედონი არის რეგულარული, შემოსაზღვრული ოთხი რეგულარული სამკუთხედით. მას აქვს სიმეტრიის 6 სიბრტყე - ისინი გადიან თითოეულ კიდეს მოპირდაპირე კიდის პერპენდიკულარულად - და სიმეტრიის 3 ღერძი, რომელიც გადის მოპირდაპირე კიდეების შუა წერტილებში (სურ. 5). ნაკლებად სიმეტრიულია რეგულარული სამკუთხა პირამიდები (სიმეტრიის 3 სიბრტყე, სურ. 6) და იზოჰედრული ტეტრაედრები (ანუ ტეტრაედრები თანაბარი სახეებით - სიმეტრიის 3 ღერძი, სურ. 7).

2) ,

სად არის დიედრული კუთხე კიდეზე. არსებობს სხვა ფორმულები ტეტრაედრის მოცულობის გამოსათვლელად.

ტეტრაედონი ბერძნულიდან თარგმნილი ნიშნავს "ტეტრაედრონს". ამ გეომეტრიულ ფიგურას აქვს ოთხი სახე, ოთხი წვერო და ექვსი კიდე. სახეები სამკუთხედია. სინამდვილეში, ტეტრაედონი არის პოლიედრების პირველი ნახსენები, რომელიც პლატონის არსებობამდე დიდი ხნით ადრე გამოჩნდა.

დღეს ჩვენ ვისაუბრებთ ტეტრაედრის ელემენტებზე და თვისებებზე, ასევე ვისწავლით ამ ელემენტების ფართობის, მოცულობის და სხვა პარამეტრების პოვნის ფორმულებს.

ტეტრაედრის ელემენტები

ტეტრაედრის ნებისმიერი წვეროდან გამოყვანილ და მოპირდაპირე სახის მედიანების გადაკვეთის წერტილამდე ჩამოშვებულ სეგმენტს მედიანა ეწოდება.

მრავალკუთხედის სიმაღლე საპირისპირო წვეროდან გამოყვანილი ნორმალური სეგმენტია.

ბიმედიანი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს გადაკვეთის კიდეების ცენტრებს.

ტეტრაედონის თვისებები

1) პარალელური სიბრტყეები, რომლებიც გადიან ორ გადამკვეთ კიდეზე, ქმნიან შემოხაზულ პარალელეპიპედს.

2) ტეტრაედონის განმასხვავებელი თვისება ის არის, რომ ფიგურის მედიანები და ბიმედიანები ხვდებიან ერთ წერტილში. მნიშვნელოვანია, რომ ეს უკანასკნელი ყოფს მედიანებს 3:1 თანაფარდობით, ხოლო ბიმედიანები - შუაზე.

3) სიბრტყე ყოფს ტეტრაედრონს თანაბარი მოცულობის ორ ნაწილად, თუ ის გადის ორი გადამკვეთი კიდეების შუაზე.

ტეტრაედრების ტიპები

ფიგურის სახეობრივი მრავალფეროვნება საკმაოდ ფართოა. ტეტრაედონი შეიძლება იყოს:

• რეგულარული, ანუ ძირში ტოლგვერდა სამკუთხედი;
• იზოჰედრული, რომელშიც ყველა სახე სიგრძით ერთნაირია;
• ორთოცენტრული, როდესაც სიმაღლეებს აქვთ საერთო გადაკვეთის წერტილი;
• მართკუთხა, თუ სიბრტყის კუთხეები წვეროზე ნორმალურია;
• პროპორციული, ყველა ბი სიმაღლე თანაბარია;
• ჩარჩო, თუ არის სფერო, რომელიც ეხება ნეკნებს;
• incentric, ანუ წვეროდან მოპირდაპირე სახის ჩაწერილი წრის ცენტრამდე ჩამოშვებულ სეგმენტებს აქვთ საერთო გადაკვეთის წერტილი; ამ წერტილს ტეტრაედონის სიმძიმის ცენტრს უწოდებენ.

მოდით დეტალურად ვისაუბროთ რეგულარულ ტეტრაედრონზე, რომლის თვისებები პრაქტიკულად ერთნაირია.

სახელიდან გამომდინარე, შეგიძლიათ გაიგოთ, რომ მას ასე უწოდებენ, რადგან სახეები რეგულარული სამკუთხედებია. ამ ფიგურის ყველა კიდე სიგრძით თანმიმდევრულია, ხოლო სახეები თანაბარია ფართობით. რეგულარული ტეტრაედონი არის ხუთი მსგავსი პოლიედრიდან ერთ-ერთი.

ტეტრაედრონული ფორმულები

ტეტრაედრის სიმაღლე უდრის ფესვის ნამრავლს 2/3-ისა და კიდის სიგრძის.

ტეტრაედრის მოცულობა გვხვდება ისევე, როგორც პირამიდის მოცულობა: 2-ის კვადრატული ფესვი გაყოფილი 12-ზე და გამრავლებული კუბის კიდის სიგრძეზე.

დარჩენილი ფორმულები წრეების ფართობისა და რადიუსების გამოსათვლელად წარმოდგენილია ზემოთ.

გაკვეთილის მომზადებისა და ჩატარების გეგმა:

I. მოსამზადებელი ეტაპი:

1. სამკუთხა პირამიდის ცნობილი თვისებების გამეორება.
2. ჰიპოთეზების შეთავაზება ტეტრაედონის შესაძლო, ადრე არ განხილული თვისებების შესახებ.
3. ამ ჰიპოთეზების კვლევის ჩასატარებლად ჯგუფების ჩამოყალიბება.
4. დავალებების განაწილება თითოეული ჯგუფისთვის (სურვილების გათვალისწინებით).
5. დავალების შესრულებისთვის პასუხისმგებლობების განაწილება.

II. Მთავარი სცენა:

1. ჰიპოთეზის გადაწყვეტა.
2. კონსულტაციები მასწავლებელთან.
3. სამუშაოს რეგისტრაცია.

III. დასკვნითი ეტაპი:

1. ჰიპოთეზის პრეზენტაცია და დაცვა.

გაკვეთილის მიზნები:

• მოსწავლეთა ცოდნისა და უნარების განზოგადება და სისტემატიზაცია; ამ თემაზე დამატებითი თეორიული მასალის შესწავლა; ასწავლოს ცოდნის გამოყენება არასტანდარტული პრობლემების გადაჭრისას, მათში მარტივი კომპონენტების დანახვა;
• მოსწავლეებს განუვითაროს დამატებითი ლიტერატურით მუშაობის უნარი, გააუმჯობესოს ანალიზის, განზოგადების, წაკითხულში მთავარის პოვნისა და ახლის დამტკიცების უნარი; განუვითაროს მოსწავლეებს კომუნიკაციის უნარი;
• გრაფიკული კულტურის კულტივირება.

მოსამზადებელი ეტაპი (1 გაკვეთილი):

1. სტუდენტური შეტყობინება "დიდი პირამიდების საიდუმლოებები".
2. მასწავლებლის შესავალი გამოსვლა პირამიდების სახეობების მრავალფეროვნებაზე.
3. კითხვების განხილვა:

• რა კრიტერიუმებით შეიძლება გაერთიანდეს არარეგულარული სამკუთხა პირამიდები?
• რას ვგულისხმობთ სამკუთხედის ორთოცენტრში და რას შეიძლება ეწოდოს ტეტრაედრის ორთოცენტრი
• აქვს თუ არა მართკუთხა ტეტრაედრონს ორთოცენტრი?
• რომელ ტეტრაედს ჰქვია იზოჰედრული რა თვისებები შეიძლება ჰქონდეს მას?

1. სხვადასხვა ტეტრაედრების განხილვისა და მათი თვისებების განხილვის შედეგად, ცნებები ირკვევა და ჩნდება გარკვეული სტრუქტურა:

1. განვიხილოთ რეგულარული ტეტრაედრის თვისებები.(დანართი)

თვისებები 1-4 დადასტურებულია ზეპირად სლაიდ 1-ის გამოყენებით.

თვისება 1: ყველა კიდე ტოლია.

თვისება 2: ყველა სიბრტყის კუთხე ტოლია 60°-ის.

თვისება 3: სიბრტყე კუთხეების ჯამი ტეტრაედრის ნებისმიერ სამ წვეროზე უდრის 180°-ს.

თვისება 4: თუ ტეტრაედონი რეგულარულია, მაშინ მისი რომელიმე წვერო დაპროექტებულია მოპირდაპირე სახის ორთოცენტრში.

მოცემული:

ABCD - რეგულარული ტეტრაედონი

AH - სიმაღლე

დაამტკიცე:

H – ორთოცენტრი

მტკიცებულება:

1) წერტილი H შეიძლება ემთხვეოდეს A, B, C ნებისმიერ წერტილს. მოდით H ?B, H?C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) განვიხილოთ ABH, BCH, ADH

AD – ზოგადი => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB = AC = AD t H – არის ABC-ის ორთოცენტრი

ქ.ე.დ.

1. პირველ გაკვეთილზე თვისებები 5-9 ჩამოყალიბებულია ჰიპოთეზების სახით, რომლებიც საჭიროებენ მტკიცებულებას.

თითოეული ჯგუფი იღებს საკუთარ საშინაო დავალებას:

დაამტკიცეთ ერთ-ერთი თვისება.

მოამზადეთ დასაბუთება პრეზენტაციით.

II. ძირითადი ეტაპი (ერთი კვირის განმავლობაში):

1. ჰიპოთეზის გადაწყვეტა.
2. კონსულტაციები მასწავლებელთან.
3. სამუშაოს რეგისტრაცია.

III. დასკვნითი ეტაპი (1-2 გაკვეთილი):

ჰიპოთეზის წარდგენა და დაცვა პრეზენტაციების გამოყენებით.

დასკვნითი გაკვეთილისთვის მასალის მომზადებისას მოსწავლეები მიდიან დასკვნამდე სიმაღლის გადაკვეთის წერტილის თავისებურების შესახებ, თანახმა ვართ მას ვუწოდოთ "საოცარი" წერტილი.

თვისება 5: შემოხაზული და შემოხაზული სფეროების ცენტრები ემთხვევა ერთმანეთს.

მოცემული:

DABC - რეგულარული ტეტრაედონი

O 1 - აღწერილი სფეროს ცენტრი

O - ჩაწერილი სფეროს ცენტრი

N – ჩაწერილი სფეროს შეხების წერტილი ABC სახესთან

დაამტკიცე: O 1 = O

მტკიცებულება:

მოდით OA = OB =OD = OC – შემოხაზული წრის რადიუსი

მოდით გამოვტოვოთ ON + (ABC)

AON = CON - მართკუთხა, ფეხის გასწვრივ და ჰიპოტენუზა => AN = CN

გამოვტოვოთ OM + (BCD)

COM DOM - მართკუთხა, ფეხის გასწვრივ და ჰიპოტენუზა => CM = DM

1 წერტილიდან CON COM => ON =OM

ON + (ABC) => ON,OM – შემოხაზული წრის რადიუსი.

თეორემა დადასტურდა.

რეგულარული ტეტრაედრისთვის, არსებობს მისი ურთიერთმდებარეობის შესაძლებლობა სფეროსთან - გარკვეულ სფეროსთან შეხება მისი ყველა კიდეებით. ასეთ სფეროს ზოგჯერ "ნახევრად ჩაწერილს" უწოდებენ.

თვისება 6: მოპირდაპირე კიდეების შუა წერტილების დამაკავშირებელი და ამ კიდეების პერპენდიკულარული სეგმენტები არის ნახევრად ჩაწერილი სფეროს რადიუსი.

მოცემული:

ABCD – რეგულარული ტეტრაედონი;

AL=BL, AK=CK, AS=DS,

BP=CP, BM=DM, CN=DN.

დაამტკიცე:

LO = OK = OS = OM = ON = OP

მტკიცებულება.

ტეტრაედონი ABCD – სწორი => AO= BO = CO =DO

განვიხილოთ სამკუთხედები AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – ტოლფერდა =>
OL - მედიანა, სიმაღლე, ბისექტორი
AO=CO=>?AOC– ტოლფერდა =>
OK - მედიანა, სიმაღლე, ბისექტრი
CO=DO=>?COD– ტოლფერდა =>
ON– მედიანა, სიმაღლე, ბისექტორი AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– ტოლფერდა => BOD= BOC= AOD
OM - მედიანა, სიმაღლე, ბისექტორი
AO=DO=>?AOD– ტოლფერდა =>
OS - მედიანა, სიმაღლე, ბისექტორი
BO=CO=>?BOC– ტოლფერდა =>
OP – მედიანა, სიმაღლე, ბისექტორი
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - სიმაღლეები ტოლია OL, OK, ON, OM, OS, OP რადიუსები

ტოლფერდა სამკუთხედები სფეროები

შედეგი:

ნახევრად ჩაწერილი სფერო შეიძლება დახატოს ჩვეულებრივ ტეტრაედრონში.

საკუთრება 7:თუ ტეტრაედონი რეგულარულია, მაშინ ტეტრაედრის ყოველი ორი საპირისპირო კიდე ერთმანეთის პერპენდიკულურია.

მოცემული:

DABC – რეგულარული ტეტრაედონი;

H – ორთოცენტრი

დაამტკიცე:

მტკიცებულება:

DABC – რეგულარული ტეტრაედონი =>?ADB – ტოლგვერდა

(ADB) (EDC) = ED

ED – სიმაღლე ADB => ED +AB,

AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + CD.

ანალოგიურად დასტურდება სხვა კიდეების პერპენდიკულარულობაც.

თვისება 8: სიმეტრიის ექვსი სიბრტყე იკვეთება ერთ წერტილში. O წერტილში იკვეთება ოთხი სწორი ხაზი, რომლებიც გავლებულია სახეების გარშემო შემოხაზული წრეების ცენტრებში, სახეების სიბრტყეზე პერპენდიკულარული, ხოლო O წერტილი არის შემოხაზული სფეროს ცენტრი.

მოცემული:

ABCD - რეგულარული ტეტრაედონი

დაამტკიცე:

O – აღწერილი სფეროს ცენტრი;

O წერტილში 6 სიმეტრიის სიბრტყე იკვეთება;

მტკიცებულება.

CG + BD, რადგან BCD - ტოლგვერდა => GO + BD (სამი GO + BD პერპენდიკულარულის თეორემით)

BG = GD, რადგან AG – მედიანური ABD

ABD (ABD)=> ? BOD - ტოლფერდა => BO=DO

ED + AB, რადგან ABD – ტოლგვერდა => OE + AD (სამი პერპენდიკულარულის თეორემით)

BE = AE, რადგან DE – მედიანა?ABD

ABD (ABD) =>?AOB – ტოლფერდა =>BO=AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (სამი თეორემით

BF + AC, რადგან ABC - ტოლგვერდა პერპენდიკულარები)

AF = FC, რადგან BF – მედიანა?ABC

ABC (ABC) => AOC - ტოლფერდა => AO = CO

(AOC) ?(ABC) = AC

BO = AO =>AO = BO = CO = DO – სფეროს რადიუსი,

AO = CO აღწერილი ტეტრაედრონთან ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

აქედან გამომდინარე:

წერტილი O არის შემოხაზული სფეროს ცენტრი,

O წერტილში 6 სიმეტრიის სიბრტყე იკვეთება.

საკუთრება 9: ბლაგვი კუთხე პერპენდიკულარებს შორის, რომლებიც გადიან ტეტრაედრის წვეროებზე ორთოცენტრებამდე არის 109°28"

მოცემული:

ABCD – რეგულარული ტეტრაედონი;

O – შემოხაზული სფეროს ცენტრი;

დაამტკიცე:

მტკიცებულება:

1)AS – სიმაღლე

ASB = 90 o OSB მართკუთხა

2) (რეგულარული ტეტრაედრის თვისების მიხედვით)

3)AO=BO – შემოხაზული სფეროს რადიუსი

4) 70°32"

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

(რეგულარული ტეტრაედრის თვისებით)

=>AOD=AOC=AOD=COD=BOD=BOC=109°28"

ეს იყო იმის დამტკიცება.

საინტერესო ფაქტია, რომ ზოგიერთ ორგანულ ნივთიერებას აქვს ზუსტად ეს კუთხე: სილიკატები და ნახშირწყალბადები.

რეგულარული ოთხკუთხედის თვისებებზე მუშაობის შედეგად მოსწავლეებს გაუჩნდათ იდეა, რომ ნამუშევარი ეწოდოს „გასაკვირი წერტილი ტეტრაედრონში“. იყო წინადადებები მართკუთხა და იზოჰედრული ტეტრაედრების თვისებების განხილვის შესახებ. ამრიგად, სამუშაო გასცდა გაკვეთილის ფარგლებს.

დასკვნები:

რეგულარულ ტეტრაედრონში "საოცარ" წერტილს აქვს შემდეგი მახასიათებლები:

• არის სიმეტრიის სამი ღერძის გადაკვეთის წერტილი
• არის სიმეტრიის ექვსი სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი
• არის რეგულარული ტეტრაედნის სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილი
• არის ჩაწერილი სფეროს ცენტრი
• არის ნახევრად ჩაწერილი სფეროს ცენტრი
• არის შემოხაზული სფეროს ცენტრი
• არის ტეტრაედრის სიმძიმის ცენტრი
• არის ოთხი თანაბარი რეგულარული სამკუთხა პირამიდის მწვერვალი, რომელთა ფუძეები არის ტეტრაედრის სახეები.

დასკვნა.

(მასწავლებელი და მოსწავლეები აჯამებენ გაკვეთილს. ერთ-ერთი მოსწავლე საუბრობს მოკლე მოხსენებით ტეტრაედრების, როგორც ქიმიური ელემენტების სტრუქტურული ერთეულის შესახებ.)

შესწავლილია რეგულარული ტეტრაედონის თვისებები და მისი "საოცარი" წერტილი.

აღმოჩნდა, რომ მხოლოდ ასეთი ტეტრაედრის ფორმას, რომელსაც აქვს ყველა ზემოაღნიშნული თვისება, ისევე როგორც "იდეალური" წერტილი, შეიძლება ჩამოყალიბდეს სილიკატების და ნახშირწყალბადების მოლეკულებით. ან მოლეკულები შეიძლება შედგებოდეს რამდენიმე რეგულარული ტეტრაჰედრისგან. ამჟამად ტეტრაედონი ცნობილია არა მხოლოდ როგორც უძველესი ცივილიზაციისა და მათემატიკის წარმომადგენელი, არამედ როგორც ნივთიერებების სტრუქტურის საფუძველი.

სილიკატები არის მარილის მსგავსი ნივთიერებები, რომლებიც შეიცავს სილიციუმის და ჟანგბადის ნაერთებს. მათი სახელი მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან "silex" - "კაჟი". სილიკატური მოლეკულების საფუძველია ატომური რადიკალები ტეტრაედრების სახით.

სილიკატებია ქვიშა, თიხა, აგური, მინა, ცემენტი, მინანქარი, ტალკი, აზბესტი, ზურმუხტი და ტოპაზი.

სილიკატები შეადგენენ დედამიწის ქერქის 75%-ზე მეტს (და კვარცთან ერთად დაახლოებით 87%) და ცეცხლოვანი ქანების 95%-ზე მეტს.

სილიკატების მნიშვნელოვანი მახასიათებელია ჟანგბადის საერთო ატომის მეშვეობით ორი ან მეტი სილიკონ-ჟანგბადის ტეტრაჰედრის ურთიერთშეთავსების (პოლიმერიზაციის) უნარი.

გაჯერებულ ნახშირწყალბადებს აქვთ იგივე მოლეკულური ფორმა, მაგრამ, სილიკატებისგან განსხვავებით, ისინი შედგება ნახშირბადისა და წყალბადისგან. მოლეკულების ზოგადი ფორმულა

ნახშირწყალბადებში შედის ბუნებრივი აირი.

განვიხილავთ მართკუთხა და იზოჰედრული ტეტრაედრების თვისებებს.

ლიტერატურა.

• პოტაპოვი V.M., Tatarinchik S.N. "ორგანული ქიმია", მოსკოვი 1976 წ
• ბაბარინი ვ.პ. „დიდი პირამიდების საიდუმლოებები“, სანქტ-პეტერბურგი, 2000 წ.
• შარიგინი I.F. ”პრობლემები გეომეტრიაში”, მოსკოვი, 1984 წ.
• დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი.
• "სკოლის საცნობარო წიგნი", მოსკოვი, 2001 წ.