შერეული რიცხვის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების წესი. მოქმედებები წილადებთან

წილადის წილადზე ან წილადის რიცხვზე სწორად გასამრავლებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ მარტივი წესები. ახლა ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ ამ წესებს.

საერთო წილადის გამრავლება წილადზე.

წილადის წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მრიცხველების ნამრავლი და ამ წილადების მნიშვნელების ნამრავლი.

\(\bf \frac(a)(b) \ჯერ \frac(c)(d) = \frac(a \ჯერ c)(b \ჯერ d)\\\)

მოდით შევხედოთ მაგალითს:
პირველი წილადის მრიცხველს ვამრავლებთ მეორე წილადის მრიცხველზე და ასევე ვამრავლებთ პირველი წილადის მნიშვნელს მეორე წილადის მნიშვნელზე.

\(\frac(6)(7) \ჯერ \frac(2)(3) = \frac(6 \ჯერ 2)(7 \ჯერ 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ ჯერ 3)(7 \ჯერ 3) = \frac(4)(7)\\\)

წილადი \(\frac(12)(21) = \frac(4 \ჯერ 3)(7 \ჯერ 3) = \frac(4)(7)\\\) შემცირდა 3-ით.

წილადის რიცხვზე გამრავლება.

ჯერ გავიხსენოთ წესი, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

ეს წესი გამოვიყენოთ გამრავლებისას.

\(5 \ჯერ \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \ჯერ \frac(4)(7) = \frac(5 \ჯერ 4)(1 \ჯერ 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

არასწორი წილადი \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) გარდაიქმნება შერეულ წილადად.

Სხვა სიტყვებით, რიცხვის წილადზე გამრავლებისას რიცხვს ვამრავლებთ მრიცხველზე და მნიშვნელს ვტოვებთ უცვლელად.მაგალითი:

\(\frac(2)(5) \ჯერ 3 = \frac(2 \ჯერ 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \ჯერ c = \frac(a \ჯერ c)(b)\\\)

შერეული წილადების გამრავლება.

შერეული წილადების გასამრავლებლად ჯერ უნდა წარმოადგინოთ თითოეული შერეული წილადი არასწორ წილადად და შემდეგ გამოიყენოთ გამრავლების წესი. ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველს მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელს ვამრავლებთ მნიშვნელზე.

მაგალითი:
\(2\frac(1)(4) \ჯერ 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \ჯერ \frac(23)(6) = \frac(9 \ჯერ 23) (4 \ჯერ 6) = \frac(3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (3) \ჯერ 23)(4 \ჯერ 2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

საპასუხო წილადებისა და რიცხვების გამრავლება.

წილადი \(\bf \frac(a)(b)\) არის წილადის შებრუნებული \(\bf \frac(b)(a)\), გათვალისწინებულია a≠0,b≠0.
წილადებს \(\bf \frac(a)(b)\) და \(\bf \frac(b)(a)\) ორმხრივი წილადები ეწოდება. ორმხრივი წილადების ნამრავლი უდრის 1-ს.
\(\bf \frac(a)(b) \ჯერ \frac(b)(a) = 1 \\\)

მაგალითი:
\(\frac(5)(9) \ჯერ \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

დაკავშირებული კითხვები:
როგორ გავამრავლოთ წილადი წილადზე?
პასუხი: ჩვეულებრივი წილადების ნამრავლი არის მრიცხველის გამრავლება მრიცხველთან, მნიშვნელის მნიშვნელთან. შერეული წილადების ნამრავლის მისაღებად, თქვენ უნდა გადააქციოთ ისინი არასწორ წილადად და გაამრავლოთ წესების მიხედვით.

როგორ გავამრავლოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით?
პასუხი: არ აქვს მნიშვნელობა წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელი აქვთ თუ განსხვავებული, გამრავლება ხდება მრიცხველის ნამრავლის მრიცხველის, მნიშვნელის მნიშვნელით ნამრავლის პოვნის წესის მიხედვით.

როგორ გავამრავლოთ შერეული წილადები?
პასუხი: უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გადააქციოთ შერეული წილადი არასწორ წილადად და შემდეგ იპოვოთ ნამრავლი გამრავლების წესების გამოყენებით.

როგორ გავამრავლოთ რიცხვი წილადზე?
პასუხი: რიცხვს ვამრავლებთ მრიცხველზე, მაგრამ მნიშვნელს იგივე ვტოვებთ.

მაგალითი #1:
გამოთვალეთ ნამრავლი: ა) \(\frac(8)(9) \ჯერ \frac(7)(11)\) ბ) \(\frac(2)(15) \ჯერ \frac(10)(13) \ )

გამოსავალი:
ა) \(\frac(8)(9) \ჯერ \frac(7)(11) = \frac(8 \ჯერ 7)(9 \ჯერ 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
ბ) \(\frac(2)(15) \ჯერ \frac(10)(13) = \frac(2 \ჯერ 10)(15 \ჯერ 13) = \frac(2 \ჯერ 2 \ჯერ \color( წითელი) (5)) (3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5) \ჯერ 13) = \frac (4) (39)\)

მაგალითი #2:
გამოთვალეთ რიცხვისა და წილადის ნამრავლები: ა) \(3 \ჯერ \frac(17)(23)\) ბ) \(\frac(2)(3) \ჯერ 11\)

გამოსავალი:
ა) \(3 \ჯერ \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \ჯერ \frac(17)(23) = \frac(3 \ჯერ 17)(1 \ჯერ 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
ბ) \(\frac(2)(3) \ჯერ 11 = \frac(2)(3) \ჯერ \frac(11)(1) = \frac(2 \ჯერ 11)(3 \ჯერ 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

მაგალითი #3:
დაწერეთ \(\frac(1)(3)\) წილადის ორმხრივი?
პასუხი: \(\frac(3)(1) = 3\)

მაგალითი #4:
გამოთვალეთ ორი ურთიერთშებრუნებული წილადის ნამრავლი: ა) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

გამოსავალი:
ა) \(\frac(104)(215) \ჯერ \frac(215)(104) = 1\)

მაგალითი #5:
ორმხრივი წილადები შეიძლება იყოს:
ა) სწორ წილადებთან ერთდროულად;
ბ) ერთდროულად არასწორი წილადები;
გ) ერთდროულად ნატურალური რიცხვები?

გამოსავალი:
ა) პირველ კითხვაზე პასუხის გასაცემად მოვიყვანოთ მაგალითი. წილადი \(\frac(2)(3)\) სწორია, მისი შებრუნებული წილადი ტოლი იქნება \(\frac(3)(2)\) - არასწორი წილადი. პასუხი: არა.

ბ) წილადების თითქმის ყველა ჩამოთვლაში ეს პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაგრამ არის რამდენიმე რიცხვი, რომლებიც აკმაყოფილებენ ერთდროულად არასწორ წილადად ყოფნის პირობას. მაგალითად, არასწორი წილადი არის \(\frac(3)(3)\), მისი შებრუნებული წილადი უდრის \(\frac(3)(3)\). ვიღებთ ორ არასწორ წილადს. პასუხი: ყოველთვის არა გარკვეულ პირობებში, როდესაც მრიცხველი და მნიშვნელი ტოლია.

გ) ნატურალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებსაც ვიყენებთ დათვლისას, მაგალითად, 1, 2, 3, .... თუ ავიღებთ რიცხვს \(3 = \frac(3)(1)\), მაშინ მისი შებრუნებული წილადი იქნება \(\frac(1)(3)\). წილადი \(\frac(1)(3)\) არ არის ნატურალური რიცხვი. თუ ყველა რიცხვს გადავხედავთ, რიცხვის ორმხრივი ყოველთვის არის წილადი, გარდა 1-ისა. თუ ავიღებთ რიცხვს 1, მაშინ მისი საპასუხო წილადი იქნება \(\frac(1)(1) = \frac(1). )(1) = 1\). ნომერი 1 ბუნებრივი რიცხვია. პასუხი: ისინი ერთდროულად შეიძლება იყვნენ ნატურალური რიცხვები მხოლოდ ერთ შემთხვევაში, თუ ეს არის რიცხვი 1.

მაგალითი #6:
გააკეთეთ შერეული წილადების ნამრავლი: ა) \(4 \ჯერ 2\ფრაკ(4)(5)\) ბ) \(1\ფრაკ(1)(4) \ჯერ 3\ფრაკ(2)(7)\ )

გამოსავალი:
ა) \(4 \ჯერ 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \ჯერ \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 ) (5) \\\\ \)
ბ) \(1\frac(1)(4) \ჯერ 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \ჯერ \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

მაგალითი #7:
შეიძლება თუ არა, რომ ორი საპასუხო რიცხვი ერთდროულად იყოს შერეული?

მოდით შევხედოთ მაგალითს. ავიღოთ შერეული წილადი \(1\frac(1)(2)\), ვიპოვოთ მისი შებრუნებული წილადი, ამისათვის გადავიყვანოთ არასწორ წილადად \(1\frac(1)(2) = \frac(3). )(2) \) . მისი შებრუნებული წილადი ტოლი იქნება \(\frac(2)(3)\) . წილადი \(\frac(2)(3)\) არის სწორი წილადი. პასუხი: ორი წილადი, რომლებიც ურთიერთშებრუნებულია, არ შეიძლება ერთდროულად იყოს შერეული რიცხვები.

ბოლო დროს ვისწავლეთ წილადების შეკრება და გამოკლება (იხ. გაკვეთილი „წილადების შეკრება და გამოკლება“). ამ მოქმედებების ყველაზე რთული ნაწილი იყო წილადების საერთო მნიშვნელამდე მიყვანა.

ახლა დროა გავუმკლავდეთ გამრავლებას და გაყოფას. კარგი ამბავი ის არის, რომ ეს ოპერაციები უფრო მარტივია, ვიდრე შეკრება და გამოკლება. პირველ რიგში, განვიხილოთ უმარტივესი შემთხვევა, როდესაც არის ორი დადებითი წილადი გამოყოფილი მთელი ნაწილის გარეშე.

ორი წილადის გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები ცალ-ცალკე. პირველი რიცხვი იქნება ახალი წილადის მრიცხველი, ხოლო მეორე იქნება მნიშვნელი.

ორი წილადის გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადი "შებრუნებულ" მეორე წილადზე.

Დანიშნულება:

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ წილადების გაყოფა მცირდება გამრავლებამდე. წილადის „გადაბრუნებისთვის“, უბრალოდ შეცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი. ამიტომ, გაკვეთილის განმავლობაში ძირითადად განვიხილავთ გამრავლებას.

გამრავლების შედეგად შეიძლება წარმოიშვას (და ხშირად წარმოიქმნება) წილადი - ის, რა თქმა უნდა, უნდა შემცირდეს. თუ ყველა შემცირების შემდეგ წილადი არასწორი აღმოჩნდება, მთელი ნაწილი უნდა იყოს ხაზგასმული. მაგრამ ის, რაც ნამდვილად არ მოხდება გამრავლებით, არის შემცირება საერთო მნიშვნელამდე: არ არსებობს ჯვარედინი მეთოდები, უდიდესი ფაქტორები და უმცირესი საერთო ჯერადები.

განმარტებით გვაქვს:

წილადების გამრავლება მთელ ნაწილებთან და უარყოფით წილადებზე

თუ წილადები შეიცავს მთელ ნაწილს, ისინი უნდა გადაკეთდეს არასწორად - და მხოლოდ ამის შემდეგ გამრავლდეს ზემოთ ჩამოთვლილი სქემების მიხედვით.

თუ წილადის მრიცხველში, მნიშვნელში ან მის წინ არის მინუსი, მისი ამოღება გამრავლებიდან ან საერთოდ ამოღება შესაძლებელია შემდეგი წესების მიხედვით:

1. პლუს მინუს იძლევა მინუსს;
2. ორი უარყოფითი ადასტურებს დადებითს.

ამ წესებს აქამდე მხოლოდ უარყოფითი წილადების შეკრება-გამოკლებისას ვხვდებოდით, როცა საჭირო იყო მთლიანი ნაწილის მოშორება. სამუშაოსთვის, ისინი შეიძლება განზოგადდეს, რათა ერთდროულად რამდენიმე უარყოფითი მხარე "დაწვას":

1. ნეგატივებს წყვილ-წყვილად გადავხაზავთ, სანამ ისინი მთლიანად არ გაქრება. უკიდურეს შემთხვევაში, ერთი მინუსი შეიძლება გადარჩეს - ის, რისთვისაც მეწყვილე არ იყო;
2. თუ მინუსები არ დარჩა, ოპერაცია დასრულებულია - შეგიძლიათ დაიწყოთ გამრავლება. თუ ბოლო მინუსი არ არის გადახაზული, რადგან მისთვის წყვილი არ იყო, მას გამრავლების საზღვრებს გარეთ ვიღებთ. შედეგი არის უარყოფითი ფრაქცია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ყველა წილადს ვცვლით არასწორად და შემდეგ ვიღებთ მინუსებს გამრავლებიდან. ჩვეული წესით ვამრავლებთ იმას, რაც დარჩა. ჩვენ ვიღებთ:

კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ მინუსი, რომელიც ვლინდება წილადის წინ მთელი ნაწილის გამოკვეთით, ეხება კონკრეტულად მთელ წილადს და არა მხოლოდ მის მთელ ნაწილს (ეს ეხება ბოლო ორ მაგალითს).

ასევე ყურადღება მიაქციეთ უარყოფით რიცხვებს: გამრავლებისას ისინი ჩასმულია ფრჩხილებში. ეს კეთდება იმისათვის, რომ გამოვყოთ მინუსები გამრავლების ნიშნებიდან და მთელი აღნიშვნა უფრო ზუსტი იყოს.

ფრაქციების შემცირება ფრენისას

გამრავლება ძალიან შრომატევადი ოპერაციაა. რიცხვები აქ საკმაოდ დიდი აღმოჩნდება და პრობლემის გასამარტივებლად შეგიძლიათ სცადოთ წილადის კიდევ უფრო შემცირება გამრავლებამდე. მართლაც, არსებითად, წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები ჩვეულებრივი ფაქტორებია და, შესაბამისად, მათი შემცირება შესაძლებელია წილადის ძირითადი თვისების გამოყენებით. გადახედეთ მაგალითებს:

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

განმარტებით გვაქვს:

ყველა მაგალითში წითლად არის მონიშნული რიცხვები, რომლებიც შემცირდა და რა დარჩა მათგან.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: პირველ შემთხვევაში, მულტიპლიკატორები მთლიანად შემცირდა. მათ ადგილას რჩება ერთეულები, რომლებიც, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ არის საჭირო დაწერილი. მეორე მაგალითში შეუძლებელი იყო სრული შემცირების მიღწევა, მაგრამ გამოთვლების მთლიანი რაოდენობა მაინც შემცირდა.

თუმცა, არასოდეს გამოიყენოთ ეს ტექნიკა წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას! დიახ, ზოგჯერ არის მსგავსი რიცხვები, რომელთა შემცირებაც გსურთ. აი, ნახე:

თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გაკეთება!

შეცდომა ხდება იმიტომ, რომ შეკრებისას წილადის მრიცხველი აწარმოებს ჯამს და არა რიცხვების ნამრავლს. შესაბამისად, შეუძლებელია წილადის ძირითადი თვისების გამოყენება, რადგან ეს თვისება ეხება კონკრეტულად რიცხვების გამრავლებას.

წილადების შემცირების სხვა მიზეზები უბრალოდ არ არსებობს, ამიტომ წინა პრობლემის სწორი გადაწყვეტა ასე გამოიყურება:

სწორი გამოსავალი:

როგორც ხედავთ, სწორი პასუხი არც ისე ლამაზი აღმოჩნდა. ზოგადად, ფრთხილად იყავით.

ჩვეულებრივი წილადი რიცხვები პირველად ხვდებიან მე-5 კლასის მოსწავლეებს და თან ახლავს მათ მთელი ცხოვრების განმავლობაში, რადგან ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხშირად საჭიროა ობიექტის განხილვა ან გამოყენება არა მთლიანობაში, არამედ ცალკეულ ნაწილებად. დაიწყეთ ამ თემის შესწავლა - გააზიარეთ. აქციები თანაბარი ნაწილებია, რომელშიც იყოფა ესა თუ ის ობიექტი. ყოველივე ამის შემდეგ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, მაგალითად, პროდუქტის სიგრძის ან ფასის მთელი რიცხვის გამოხატვა; მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული გარკვეული ზომების ნაწილები ან წილადები. ჩამოყალიბდა ზმნიდან "გაყოფა" - ნაწილებად დაყოფა და არაბული ფესვების მქონე, თავად სიტყვა "ფრაქცია" წარმოიშვა რუსულ ენაში მე -8 საუკუნეში.

წილადი გამონათქვამები დიდი ხანია ითვლებოდა მათემატიკის ყველაზე რთულ დარგად. მე-17 საუკუნეში, როდესაც მათემატიკის პირველი სახელმძღვანელოები გამოჩნდა, მათ „გატეხილი რიცხვები“ უწოდეს, რაც ხალხისთვის ძალიან რთული გასაგები იყო.

მარტივი წილადი ნაშთების თანამედროვე ფორმა, რომლის ნაწილები გამოყოფილია ჰორიზონტალური ხაზით, პირველად ფიბონაჩის - ლეონარდო პიზას მიერ იყო დაწინაურებული. მისი ნამუშევრები 1202 წლით თარიღდება. მაგრამ ამ სტატიის მიზანია უბრალოდ და ნათლად აუხსნას მკითხველს, თუ როგორ მრავლდება სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე შერეული წილადები.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამრავლება

თავდაპირველად ღირს განსაზღვრა წილადების ტიპები:

• სწორი;
• არასწორი;
• შერეული.

შემდეგი, თქვენ უნდა გახსოვდეთ, თუ როგორ მრავლდება წილადი რიცხვები იგივე მნიშვნელებით. ამ პროცესის წესის დამოუკიდებლად ჩამოყალიბება რთული არ არის: მარტივი წილადების იდენტური მნიშვნელებით გამრავლების შედეგი არის წილადი გამონათქვამი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის ამ წილადების მნიშვნელების ნამრავლი. . ანუ, ფაქტობრივად, ახალი მნიშვნელი არის ერთ-ერთი თავდაპირველად არსებულის კვადრატი.

გამრავლებისას მარტივი წილადები სხვადასხვა მნიშვნელითორი ან მეტი ფაქტორისთვის წესი არ იცვლება:

ა/ბ * გ/დ = a*c / ბ*დ.

ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ წილადი წრფის ქვეშ ჩამოყალიბებული რიცხვი იქნება სხვადასხვა რიცხვის ნამრავლი და, ბუნებრივია, მას არ შეიძლება ეწოდოს ერთი რიცხვითი გამოსახულების კვადრატი.

ღირს წილადების გამრავლება სხვადასხვა მნიშვნელით მაგალითების გამოყენებით:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

მაგალითები იყენებენ მეთოდებს წილადური გამონათქვამების შესამცირებლად. მრიცხველის რიცხვების შემცირება შეგიძლიათ მხოლოდ მნიშვნელის რიცხვებით; წილადის ხაზის ზემოთ ან ქვემოთ მიმდებარე ფაქტორები არ შეიძლება შემცირდეს.

მარტივ წილადებთან ერთად არსებობს შერეული წილადების ცნება. შერეული რიცხვი შედგება მთელი რიცხვისა და წილადი ნაწილისგან, ანუ ეს არის ამ რიცხვების ჯამი:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

როგორ მუშაობს გამრავლება?

განსახილველად მოყვანილია რამდენიმე მაგალითი.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

მაგალითი იყენებს რიცხვის გამრავლებას ჩვეულებრივი წილადი ნაწილი, ამ მოქმედების წესი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ა* ბ/გ = a*b /გ.

სინამდვილეში, ასეთი ნამრავლი არის იდენტური წილადი ნაშთების ჯამი და ტერმინების რაოდენობა მიუთითებს ამ ბუნებრივ რიცხვზე. Განსაკუთრებული შემთხვევა:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

არსებობს კიდევ ერთი გამოსავალი რიცხვის წილადის ნაშთით გასამრავლებლად. თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ მნიშვნელი ამ რიცხვზე:

d* ე/ვ = ე/ვ: დ.

ამ ტექნიკის გამოყენება სასარგებლოა, როდესაც მნიშვნელი იყოფა ნატურალურ რიცხვზე ნარჩენის გარეშე ან, როგორც ამბობენ, მთელ რიცხვზე.

გადააკეთეთ შერეული რიცხვები არასწორ წილადებად და მიიღეთ ნამრავლი ადრე აღწერილი გზით:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

ეს მაგალითი მოიცავს შერეული წილადის არასწორ წილადად წარმოჩენის ხერხს და ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ზოგადი ფორმულა:

ა ბგ = a*b+ c/c, სადაც ახალი წილადის მნიშვნელი იქმნება მთელი ნაწილის მნიშვნელთან გამრავლებით და მისი თავდაპირველი წილადი ნაშთის მრიცხველთან მიმატებით, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება.

ეს პროცესი ასევე მუშაობს საპირისპირო მიმართულებით. მთელი ნაწილისა და წილადი ნაშთის გამოსაყოფად, თქვენ უნდა გაყოთ არასწორი წილადის მრიცხველი მის მნიშვნელზე "კუთხის" გამოყენებით.

არასწორი წილადების გამრავლებაწარმოებული ზოგადად მიღებული გზით. ერთი წილადის ხაზის ქვეშ წერისას საჭიროა წილადების შემცირება საჭიროებისამებრ, რათა ამ მეთოდის გამოყენებით შემცირდეს რიცხვები და გაადვილდეს შედეგის გამოთვლა.

ინტერნეტში ბევრი დამხმარეა, რომ გადაჭრას თუნდაც რთული მათემატიკური ამოცანები პროგრამების სხვადასხვა ვარიაციებში. ასეთი სერვისების საკმარისი რაოდენობა გვთავაზობს მათ დახმარებას მნიშვნელებში სხვადასხვა რიცხვით წილადების გამრავლების გამოთვლაში - ე.წ. ონლაინ კალკულატორები წილადების გამოსათვლელად. მათ შეუძლიათ არა მხოლოდ გამრავლება, არამედ ყველა სხვა მარტივი არითმეტიკული მოქმედების შესრულება ჩვეულებრივი წილადებითა და შერეული რიცხვებით. მასთან მუშაობა არ არის რთული, თქვენ ავსებთ შესაბამის ველებს ვებსაიტის გვერდზე, ირჩევთ მათემატიკური მოქმედების ნიშანს და აწკაპუნებთ „გამოთვლა“. პროგრამა ავტომატურად ითვლის.

წილადებთან არითმეტიკული მოქმედებების თემა აქტუალურია საშუალო და საშუალო სკოლის მოსწავლეების განათლების მთელი პერიოდის განმავლობაში. საშუალო სკოლაში უმარტივეს სახეობებს აღარ განიხილავენ, მაგრამ მთელი რიცხვის წილადი გამოსახულებები, მაგრამ ადრე მიღებული ტრანსფორმაციის წესებისა და გამოთვლების ცოდნა გამოიყენება თავდაპირველი სახით. კარგად ათვისებული საბაზისო ცოდნა იძლევა სრულ ნდობას ყველაზე რთული პრობლემების წარმატებით გადაჭრაში.

დასასრულს, აზრი აქვს ლევ ნიკოლაევიჩ ტოლსტოის სიტყვების ციტირებას, რომელიც წერდა: ”ადამიანი არის წილადი. ადამიანის ძალაში არ არის გაზარდოს თავისი მრიცხველი - მისი დამსახურება - მაგრამ ნებისმიერს შეუძლია შეამციროს მისი მნიშვნელი - აზრი საკუთარ თავზე და ამ შემცირებით მიუახლოვდეს მის სრულყოფილებას.

საერთო წილადების გამრავლება

მოდით შევხედოთ მაგალითს.

თეფშზე იყოს $\frac(1)(3)$ ვაშლის ნაწილი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მისი $\frac(1)(2)$ ნაწილი. საჭირო ნაწილი არის $\frac(1)(3)$ და $\frac(1)(2)$ წილადების გამრავლების შედეგი. ორი საერთო წილადის გამრავლების შედეგი არის საერთო წილადი.

ორი ჩვეულებრივი წილადის გამრავლება

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესი:

წილადის წილადზე გამრავლების შედეგი არის წილადი, რომლის მრიცხველი ტოლია გამრავლებული წილადების მრიცხველების ნამრავლის, ხოლო მნიშვნელი ტოლია მნიშვნელების ნამრავლის:

მაგალითი 1

შეასრულეთ $\frac(3)(7)$ და $\frac(5)(11)$ საერთო წილადების გამრავლება.

გამოსავალი.

გამოვიყენოთ წესი ჩვეულებრივი წილადების გასამრავლებლად:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

პასუხი:$\frac(15)(77)$

თუ წილადების გამრავლების შედეგად მიიღება შემცირებადი ან არასწორი წილადი, თქვენ უნდა გაამარტივოთ იგი.

მაგალითი 2

გაამრავლეთ წილადები $\frac(3)(8)$ და $\frac(1)(9)$.

გამოსავალი.

ჩვენ ვიყენებთ წესს ჩვეულებრივი წილადების გასამრავლებლად:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

შედეგად მივიღეთ შემცირებადი წილადი ($3$-ზე გაყოფის საფუძველზე. წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ $3$-ზე, მივიღებთ:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

მოკლე გამოსავალი:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

პასუხი:$\frac(1)(24).$

წილადების გამრავლებისას შეგიძლიათ შეამციროთ მრიცხველები და მნიშვნელები, სანამ არ იპოვით მათ ნამრავლს. ამ შემთხვევაში, წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იშლება მარტივ ფაქტორებად, რის შემდეგაც განმეორებადი ფაქტორები უქმდება და შედეგი ვლინდება.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ $\frac(6)(75)$ და $\frac(15)(24)$ წილადების ნამრავლი.

გამოსავალი.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა ჩვეულებრივი წილადების გასამრავლებლად:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

ცხადია, მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს რიცხვებს, რომლებიც შეიძლება წყვილებში შემცირდეს ნომრებად $2$, $3$ და $5$. მოდით, მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ მარტივ ფაქტორებად და გავაკეთოთ შემცირება:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

პასუხი:$\frac(1)(20).$

წილადების გამრავლებისას, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კომუტაციური კანონი:

საერთო წილადის გამრავლება ნატურალურ რიცხვზე

საერთო წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების წესი:

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების შედეგია წილადი, რომელშიც მრიცხველი ტოლია გამრავლებული წილადის მრიცხველის ნამრავლის ნამრავლზე, ხოლო მნიშვნელი ტოლია გამრავლებული წილადის მნიშვნელის:

სადაც $\frac(a)(b)$ არის ჩვეულებრივი წილადი, $n$ არის ნატურალური რიცხვი.

მაგალითი 4

გაამრავლეთ წილადი $\frac(3)(17)$ $4$-ზე.

გამოსავალი.

გამოვიყენოთ ჩვეულებრივი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების წესი:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

პასუხი:$\frac(12)(17).$

არ დაგავიწყდეთ გამრავლების შედეგის შემოწმება წილადის შემცირებით ან არასწორი წილადით.

მაგალითი 5

გაამრავლეთ წილადი $\frac(7)(15)$ რიცხვით $3$.

გამოსავალი.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასამრავლებლად გამოვიყენოთ ფორმულა:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

$3$ რიცხვზე გაყოფით შეგვიძლია დავადგინოთ, რომ მიღებული წილადი შეიძლება შემცირდეს:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

შედეგი იყო არასწორი წილადი. ავირჩიოთ მთლიანი ნაწილი:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

მოკლე გამოსავალი:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

წილადები ასევე შეიძლება შემცირდეს მრიცხველში და მნიშვნელში რიცხვების ჩანაცვლებით მათი ფაქტორიზაციით მარტივ ფაქტორებად. ამ შემთხვევაში, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

პასუხი:$1\frac(2)(5).$

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ კომუტაციური კანონი:

წილადების გაყოფა

გაყოფის მოქმედება არის გამრავლების ინვერსია და მისი შედეგი არის წილადი, რომლითაც ცნობილი წილადი უნდა გამრავლდეს ორი წილადის ცნობილი ნამრავლის მისაღებად.

ორი ჩვეულებრივი წილადის გაყოფა

ჩვეულებრივი წილადების გაყოფის წესი:ცხადია, მიღებული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გამრავლდეს და შემცირდეს:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

შედეგად, ვიღებთ არასწორ წილადს, საიდანაც ვირჩევთ მთელ ნაწილს:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

პასუხი:$1\frac(5)(9).$

§ 87. წილადების შეკრება.

წილადების შეკრებას ბევრი მსგავსება აქვს მთელი რიცხვების შეკრებასთან. წილადების დამატება არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ რამდენიმე მოცემული რიცხვი (ტერმინი) გაერთიანებულია ერთ რიცხვში (ჯამში), რომელიც შეიცავს ტერმინების ერთეულების ყველა ერთეულს და წილადს.

თანმიმდევრულად განვიხილავთ სამ შემთხვევას:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.
3. შერეული რიცხვების შეკრება.

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრება.

განვიხილოთ მაგალითი: 1/5 + 2/5.

ავიღოთ სეგმენტი AB (ნახ. 17), ავიღოთ როგორც ერთი და გავყოთ 5 ტოლ ნაწილად, მაშინ ამ სეგმენტის AC ნაწილი იქნება AB სეგმენტის 1/5-ის ტოლი, ხოლო იმავე სეგმენტის CD ნაწილი ტოლი იქნება. 2/5 AB.

ნახაზიდან ირკვევა, რომ თუ ავიღებთ AD ​​სეგმენტს, ის უდრის 3/5 AB-ს; მაგრამ სეგმენტი AD არის ზუსტად AC და CD სეგმენტების ჯამი. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

ამ ტერმინებისა და მიღებული ჯამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ჯამის მრიცხველი მიიღეს წევრთა მრიცხველების მიმატებით, ხოლო მნიშვნელი უცვლელი დარჩა.

აქედან ვიღებთ შემდეგ წესს: იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.

მოდით დავამატოთ წილადები: 3 / 4 + 3 / 8 ჯერ ისინი უნდა შევიყვანოთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:

შუალედური ბმული 6/8 + 3/8 ვერ დაიწერა; ჩვენ ეს დავწერეთ აქ სიცხადისთვის.

ამრიგად, სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, ჯერ უნდა შეამციროთ ისინი ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე, დაამატოთ მათი მრიცხველები და დაასახელოთ საერთო მნიშვნელი.

განვიხილოთ მაგალითი (დამატებით ფაქტორებს დავწერთ შესაბამისი წილადების ზემოთ):

3. შერეული რიცხვების შეკრება.

დავამატოთ რიცხვები: 2 3/8 + 3 5/6.

მოდით, ჯერ მივიყვანოთ ჩვენი რიცხვების წილადი ნაწილები საერთო მნიშვნელთან და ხელახლა დავწეროთ ისინი:

ახლა ვამატებთ მთელ და წილად ნაწილებს თანმიმდევრობით:

§ 88. წილადების გამოკლება.

წილადების გამოკლება განისაზღვრება ისევე, როგორც მთელი რიცხვების გამოკლება. ეს არის ქმედება, რომლის დახმარებითაც, ორი წევრისა და ერთი მათგანის ჯამის გათვალისწინებით, გვხვდება მეორე ტერმინი. განვიხილოთ სამი შემთხვევა ზედიზედ:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.
3. შერეული რიცხვების გამოკლება.

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

13 / 15 - 4 / 15

ავიღოთ სეგმენტი AB (სურ. 18), ავიღოთ ერთეული და გავყოთ 15 ტოლ ნაწილად; მაშინ ამ სეგმენტის AC ნაწილი წარმოადგენს AB-ის 1/15-ს, ხოლო ამავე სეგმენტის AD ნაწილი შეესაბამება 13/15 AB-ს. მოდით გამოვყოთ კიდევ ერთი სეგმენტი ED ტოლი 4/15 AB.

13/15-ს უნდა გამოვაკლოთ წილადი 4/15. ნახაზში ეს ნიშნავს, რომ სეგმენტი ED უნდა გამოკლდეს AD სეგმენტს. შედეგად დარჩება სეგმენტი AE, რომელიც არის AB სეგმენტის 9/15. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩვენ მიერ გაკეთებული მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სხვაობის მრიცხველი მიღებული იყო მრიცხველების გამოკლებით, მაგრამ მნიშვნელი იგივე დარჩა.

მაშასადამე, მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლებისთვის, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ქვეტრაენდის მრიცხველი მინუენდის მრიცხველს და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.

2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.

მაგალითი. 3/4 - 5/8

ჯერ ეს წილადები შევამციროთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:

შუალედური 6 / 8 - 5 / 8 აქ არის დაწერილი სიცხადისთვის, მაგრამ შეიძლება მოგვიანებით გამოტოვოთ.

ამრიგად, წილადს რომ გამოვაკლოთ წილადი, ჯერ უნდა შეამციროთ ისინი ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე, შემდეგ გამოაკლოთ წილადის მრიცხველი მრიცხველის მრიცხველს და ხელი მოაწეროთ საერთო მნიშვნელს მათი სხვაობის ქვეშ.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

3. შერეული რიცხვების გამოკლება.

მაგალითი. 10 3/4 - 7 2/3.

მოდით შევამციროთ წილადი ნაწილების minuend და subtrahend ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი:

მთლიანს გამოვაკლეთ მთლიანი და წილადი - წილადი. მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც სუბტრაჰენდის წილადი ნაწილი აღემატება მინუენდის წილად ნაწილს. ასეთ შემთხვევებში, თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ერთეული მინუენდის მთელი ნაწილიდან, გაყოთ ის იმ ნაწილებად, რომლებშიც გამოიხატება წილადი ნაწილი და დაუმატოთ წილადის ნაწილს. და შემდეგ გამოკლება შესრულდება ისევე, როგორც წინა მაგალითში:

§ 89. წილადების გამრავლება.

წილადების გამრავლების შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.
2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.
3. მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლება.
4. წილადის გამრავლება წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გამრავლება.
6. ინტერესის ცნება.
7. მოცემული რიცხვის პროცენტის პოვნა. განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.

1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.

წილადის მთელ რიცხვზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გამრავლებას. წილადის (გამრავლების) გამრავლება მთელ რიცხვზე (ფაქტორზე) ნიშნავს იდენტური წევრთა ჯამის შექმნას, რომელშიც თითოეული წევრი ტოლია ნამრავლის, ხოლო წევრთა რაოდენობა ტოლია გამრავლების.

ეს ნიშნავს, რომ თუ საჭიროა 1/9 7-ზე გამრავლება, მაშინ ეს შეიძლება ასე გაკეთდეს:

ჩვენ ადვილად მივიღეთ შედეგი, რადგან მოქმედება შემცირდა იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების მიმატებამდე. აქედან გამომდინარე,

ამ მოქმედების გათვალისწინება გვიჩვენებს, რომ წილადის მთელ რიცხვზე გამრავლება უდრის ამ წილადის იმდენჯერ გაზრდას, რამდენჯერაც არის ერთეული მთელ რიცხვში. და რადგან წილადის გაზრდა მიიღწევა მისი მრიცხველის გაზრდით

ან მისი მნიშვნელის შემცირებით , მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ან გავამრავლოთ მრიცხველი მთელ რიცხვზე ან გავყოთ მნიშვნელი მასზე, თუ ასეთი გაყოფა შესაძლებელია.

აქედან ვიღებთ წესს:

წილადის მთელ რიცხვზე გასამრავლებლად, თქვენ ამრავლებთ მრიცხველს მთელ რიცხვზე და ტოვებთ მნიშვნელს იგივეს, ან, თუ შესაძლებელია, ყოფთ მნიშვნელს ამ რიცხვზე, მრიცხველი უცვლელი რჩება.

გამრავლებისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.ბევრი პრობლემაა, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ, ან გამოთვალოთ მოცემული რიცხვის ნაწილი. განსხვავება ამ პრობლემებსა და სხვებს შორის არის ის, რომ ისინი იძლევიან ზოგიერთი ობიექტის ან საზომი ერთეულის რაოდენობას და თქვენ უნდა იპოვოთ ამ რიცხვის ნაწილი, რომელიც ასევე მითითებულია აქ გარკვეული წილადით. გაგების გასაადვილებლად ჯერ მოვიყვანთ ასეთი პრობლემების მაგალითებს, შემდეგ კი შემოგთავაზებთ მათი გადაჭრის მეთოდს.

დავალება 1.მე მქონდა 60 მანეთი; ამ თანხის 1/3 დავხარჯე წიგნების შესაძენად. რა დაჯდა წიგნები?

დავალება 2.მატარებელმა A და B ქალაქებს შორის მანძილი უნდა გაიაროს 300 კმ. მან ამ მანძილის 2/3 უკვე დაფარა. ეს რამდენი კილომეტრია?

დავალება 3.სოფელში 400 სახლია, 3/4 აგურისაა, დანარჩენი ხის. რამდენი აგურის სახლია სულ?

ეს არის რამდენიმე პრობლემა, რომელსაც ჩვენ ვაწყდებით მოცემული რიცხვის ნაწილის საპოვნელად. მათ ჩვეულებრივ უწოდებენ პრობლემებს მოცემული რიცხვის წილადის საპოვნელად.

პრობლემის გადაწყვეტა 1. 60 რუბლიდან. 1/3 დავხარჯე წიგნებზე; ეს ნიშნავს, რომ წიგნების ღირებულების საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი 60 3-ზე:

პრობლემის გადაჭრა 2.პრობლემის არსი ის არის, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 300 კმ-ის 2/3. ჯერ გამოვთვალოთ 300-ის 1/3; ეს მიიღწევა 300 კმ 3-ზე გაყოფით:

300: 3 = 100 (ეს არის 300-ის 1/3).

300-ის ორი მესამედის საპოვნელად, თქვენ უნდა გააორმაგოთ მიღებული კოეფიციენტი, ანუ გაამრავლოთ 2-ზე:

100 x 2 = 200 (ეს არის 300-ის 2/3).

პრობლემის გადაჭრა 3.აქ თქვენ უნდა განსაზღვროთ აგურის სახლების რაოდენობა, რომლებიც შეადგენენ 400-დან 3/4-ს. ჯერ ვიპოვოთ 400-დან 1/4.

400: 4 = 100 (ეს არის 400-ის 1/4).

400-ის სამი მეოთხედის გამოსათვლელად მიღებული კოეფიციენტი გასამმაგდება, ანუ გამრავლებული 3-ზე:

100 x 3 = 300 (ეს არის 400-ის 3/4).

ამ პრობლემების გადაჭრის საფუძველზე შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი წესი:

მოცემული რიცხვიდან წილადის მნიშვნელობის საპოვნელად საჭიროა ეს რიცხვი გაყოთ წილადის მნიშვნელზე და მიღებული კოეფიციენტი გაამრავლოთ მის მრიცხველზე.

3. მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლება.

ადრე (§ 26) დადგინდა, რომ მთელი რიცხვების გამრავლება უნდა გავიგოთ, როგორც იდენტური ტერმინების დამატება (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). ამ პუნქტში (პუნქტი 1) დადგინდა, რომ წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე ნიშნავს ამ წილადის ტოლი იდენტური წევრთა ჯამის პოვნას.

ორივე შემთხვევაში გამრავლება შედგებოდა იდენტური ტერმინების ჯამის პოვნაში.

ახლა გადავდივართ მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებაზე. აქ შევხვდებით, მაგალითად, გამრავლებას: 9 2/3. ნათელია, რომ გამრავლების წინა განმარტება ამ შემთხვევაში არ ვრცელდება. ეს აშკარაა იმ ფაქტიდან, რომ ჩვენ ვერ შევცვლით ასეთ გამრავლებას თანაბარი რიცხვების მიმატებით.

ამის გამო მოგვიწევს გამრავლების ახალი განმარტების მიცემა, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვუპასუხოთ კითხვას, თუ რა უნდა გავიგოთ წილადზე გამრავლებით, როგორ უნდა გავიგოთ ეს მოქმედება.

მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლების მნიშვნელობა ნათელია შემდეგი განმარტებიდან: მთელი რიცხვის (გამრავლების) გამრავლება წილადზე (გამრავლება) ნიშნავს გამრავლების ამ წილადის პოვნას.

კერძოდ, 9-ის 2/3-ზე გამრავლება ნიშნავს ცხრა ერთეულის 2/3-ის პოვნას. წინა პუნქტში ასეთი პრობლემები მოგვარდა; ასე რომ, ადვილია იმის გარკვევა, რომ ჩვენ მივიღებთ 6-ს.

მაგრამ ახლა ჩნდება საინტერესო და მნიშვნელოვანი კითხვა: რატომ უწოდებენ არითმეტიკაში ერთი და იგივე სიტყვით „გამრავლება“ ისეთ ერთი შეხედვით განსხვავებულ მოქმედებებს, როგორიცაა ტოლი რიცხვების ჯამის პოვნა და რიცხვის წილადის პოვნა?

ეს იმიტომ ხდება, რომ წინა მოქმედება (რიცხვის გამეორება ტერმინებით რამდენჯერმე) და ახალი მოქმედება (რიცხვის წილადის პოვნა) პასუხობს ერთგვაროვან კითხვებზე. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ აქ გამოვდივართ იმ მოსაზრებებიდან, რომ ერთგვაროვანი კითხვები ან ამოცანები წყდება ერთი და იგივე მოქმედებით.

ამის გასაგებად, განიხილეთ შემდეგი პრობლემა: „1 მ ქსოვილი 50 მანეთი ღირს. რა დაჯდება 4 მ ასეთი ქსოვილი?

ეს პრობლემა მოგვარებულია რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის (4) რაოდენობის გამრავლებით, ანუ 50 x 4 = 200 (რუბლი).

ავიღოთ იგივე პრობლემა, მაგრამ მასში ტანსაცმლის რაოდენობა გამოიხატება წილადად: „1 მ ქსოვილი ღირს 50 მანეთი. რა დაჯდება 3/4 მ ასეთი ქსოვილი?”

ეს პრობლემა ასევე უნდა გადაწყდეს რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის რაოდენობაზე (3/4) გამრავლებით.

თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ რიცხვები მასში კიდევ რამდენჯერმე, პრობლემის მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე, მაგალითად, აიღეთ 9/10 მ ან 2 3/10 მ და ა.შ.

ვინაიდან ამ ამოცანებს ერთი და იგივე შინაარსი აქვთ და მხოლოდ რიცხვებით განსხვავდებიან, მათი ამოხსნისას გამოყენებულ მოქმედებებს ერთსა და იმავე სიტყვას - გამრავლებას ვუწოდებთ.

როგორ გავამრავლოთ მთელი რიცხვი წილადზე?

ავიღოთ ბოლო ამოცანისას შეხვედრილი რიცხვები:

განმარტების მიხედვით უნდა ვიპოვოთ 50-ის 3/4. ჯერ ვიპოვოთ 50-ის 1/4, შემდეგ კი 3/4.

50-დან 1/4 არის 50/4;

50 რიცხვის 3/4 არის .

აქედან გამომდინარე.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 12 5 / 8 =?

12 რიცხვის 1/8 არის 12/8,

12 რიცხვის 5/8 არის .

აქედან გამომდინარე,

აქედან ვიღებთ წესს:

მთელი რიცხვის წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი რიცხვი წილადის მრიცხველზე და ეს ნამრავლი აქციოთ მრიცხველად, ხოლო ამ წილადის მნიშვნელს მოაწეროთ მნიშვნელი.

მოდით დავწეროთ ეს წესი ასოების გამოყენებით:

ამ წესის სრულად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გამრავლების წესთან, რომელიც მოცემულია § 38-ში.

მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ გამრავლების შესრულებამდე უნდა გააკეთოთ (თუ შესაძლებელია) შემცირება, Მაგალითად:

4. წილადის გამრავლება წილადზე.წილადის წილადზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებისას, ანუ წილადზე გამრავლებისას უნდა იპოვო წილადი, რომელიც არის წილადში პირველი წილადიდან (მამრავლი).

კერძოდ, 3/4-ის გამრავლება 1/2-ზე (ნახევარზე) ნიშნავს 3/4-ის ნახევრის პოვნას.

როგორ გავამრავლოთ წილადი წილადზე?

ავიღოთ მაგალითი: 3/4 გამრავლებული 5/7-ზე. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 3/4-ის 5/7. ჯერ ვიპოვოთ 3/4-ის 1/7, შემდეგ კი 5/7

3/4 რიცხვის 1/7 გამოისახება შემდეგნაირად:

5/7 რიცხვები 3/4 გამოისახება შემდეგნაირად:

ამრიგად,

კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8 გამრავლებული 4/9-ზე.

5/8-ის 1/9 არის,

5/8 რიცხვის 4/9 არის .

ამრიგად,

ამ მაგალითებიდან შეიძლება გამოვიდეს შემდეგი წესი:

წილადის წილადზე გასამრავლებლად მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ მრიცხველზე, მნიშვნელი კი მნიშვნელზე და პირველი ნამრავლი მრიცხველად აქციოთ, ხოლო მეორე ნამრავლი ნამრავლის მნიშვნელად.

ეს წესი შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმით შემდეგნაირად:

გამრავლებისას აუცილებელია (თუ შესაძლებელია) შემცირება. მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

5. შერეული რიცხვების გამრავლება.ვინაიდან შერეული რიცხვები ადვილად შეიძლება შეიცვალოს არასწორი წილადებით, ეს გარემოება ჩვეულებრივ გამოიყენება შერეული რიცხვების გამრავლებისას. ეს ნიშნავს, რომ იმ შემთხვევებში, როდესაც მრავლობითი, ან მამრავლი, ან ორივე ფაქტორი გამოიხატება შერეული რიცხვებით, ისინი იცვლება არასწორი წილადებით. გავამრავლოთ, მაგალითად, შერეული რიცხვები: 2 1/2 და 3 1/5. ვაქციოთ თითოეული მათგანი არასწორ წილადად და შემდეგ გავამრავლოთ მიღებული წილადები წილადის წილადზე გამრავლების წესის მიხედვით:

წესი.შერეული რიცხვების გასამრავლებლად ჯერ უნდა გადაიყვანოთ ისინი არასწორ წილადებად და შემდეგ გაამრავლოთ წილადების წილადებზე გამრავლების წესის მიხედვით.

Შენიშვნა.თუ ერთ-ერთი ფაქტორი არის მთელი რიცხვი, მაშინ გამრავლება შეიძლება განხორციელდეს განაწილების კანონის საფუძველზე შემდეგნაირად:

6. ინტერესის ცნება.ამოცანების ამოხსნის და სხვადასხვა პრაქტიკული გამოთვლების შესრულებისას ვიყენებთ ყველა სახის წილადს. მაგრამ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ბევრი რაოდენობა მათ საშუალებას აძლევს არა რომელიმე, არამედ ბუნებრივ დაყოფას. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეასედი (1/100), ეს იქნება კაპიკი, ორი მეასედი არის 2 კაპიკი, სამი მეასედი არის 3 კაპიკი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის 1/10, ეს იქნება "10 კაპიკი, ან ათი კაპიკი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეოთხედი, ანუ 25 კაპიკი, ნახევარი მანეთი, ანუ 50 კაპიკი (ორმოცდაათი კაპიკი). მაგრამ. ისინი პრაქტიკულად არ იღებენ მას, მაგალითად, რუბლის 2/7, რადგან რუბლი არ იყოფა მეშვიდედ.

წონის ერთეული, ანუ კილოგრამი, უპირველეს ყოვლისა იძლევა ათობითი გაყოფის საშუალებას, მაგალითად 1/10 კგ, ან 100 გ. და კილოგრამის ისეთი წილადები, როგორიცაა 1/6, 1/11, 1/13 არ არის გავრცელებული.

ზოგადად, ჩვენი (მეტრული) ზომები არის ათობითი და ათწილადის გაყოფის საშუალებას იძლევა.

თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ უაღრესად სასარგებლო და მოსახერხებელია მრავალფეროვან შემთხვევებში, რაოდენობების დაყოფის იგივე (ერთგვაროვანი) მეთოდის გამოყენება. მრავალწლიანმა გამოცდილებამ აჩვენა, რომ ასეთი კარგად გამართლებული დაყოფა არის "მეასე" განყოფილება. განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც ეხება ადამიანის პრაქტიკის ყველაზე მრავალფეროვან სფეროებს.

1. წიგნების ფასი წინა ფასის 12/100-ით შემცირდა.

მაგალითი. წიგნის წინა ფასი 10 მანეთი იყო. 1 რუბლით შემცირდა. 20 კაპიკი

2. შემნახველი ბანკები მეანაბრეებს უხდიან წლის განმავლობაში დანაზოგად შეტანილი თანხის 2/100-ს.

მაგალითი. 500 რუბლი ირიცხება სალაროში, ამ თანხიდან შემოსავალი წელიწადში 10 რუბლია.

3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა მოსწავლეთა საერთო რაოდენობის 5/100-ს.

მაგალითი სკოლაში მხოლოდ 1200 მოსწავლე იყო, აქედან 60-მა დაამთავრა.

რიცხვის მეასედ ნაწილს პროცენტი ეწოდება.

სიტყვა "პროცენტი" ნასესხებია ლათინურიდან და მისი ძირი "ცენტი" ნიშნავს ასს. წინადადებასთან ერთად (pro centum), ეს სიტყვა ნიშნავს "ასს". ამ გამოთქმის მნიშვნელობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ თავდაპირველად ძველ რომში პროცენტი ეწოდებოდა ფულს, რომელსაც მოვალე უხდიდა გამსესხებელს „ყოველ ასეულზე“. სიტყვა "ცენტი" ისმის ასეთ ნაცნობ სიტყვებში: ცენტნერი (ასი კილოგრამი), სანტიმეტრი (ვთქვათ სანტიმეტრი).

მაგალითად, იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ, რომ გასულ თვეში ქარხანა აწარმოებდა მის მიერ წარმოებული პროდუქციის 1/100-ს, ჩვენ ვიტყვით ასე: გასულ თვეში ქარხანამ წარმოადგინა დეფექტების ერთი პროცენტი. იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ: ქარხანამ დადგენილ გეგმაზე 4/100-ით მეტი პროდუქტი გამოუშვა, ჩვენ ვიტყვით: ქარხანამ გეგმას 4 პროცენტით გადააჭარბა.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითები შეიძლება განსხვავებულად გამოითქვას:

1. წიგნების ფასი წინა ფასის 12 პროცენტით შემცირდა.

2. შემნახველი ბანკები უხდიან მეანაბრეებს შემნახველში შეტანილი თანხის 2 პროცენტს წელიწადში.

3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა ყველა სკოლის მოსწავლეთა 5 პროცენტს.

ასოს შესამცირებლად ჩვეულებრივია სიტყვის „პროცენტის“ ნაცვლად დაწეროთ % სიმბოლო.

ამასთან, უნდა გახსოვდეთ, რომ გამოთვლებში % ნიშანი ჩვეულებრივ არ იწერება; ის შეიძლება ჩაიწეროს პრობლემის განცხადებაში და საბოლოო შედეგში. გამოთვლების შესრულებისას ამ სიმბოლოთი მთელი რიცხვის ნაცვლად უნდა დაწეროთ წილადი 100 მნიშვნელით.

თქვენ უნდა შეგეძლოთ შეცვალოთ მთელი რიცხვი მითითებული ხატით წილადით 100 მნიშვნელით:

პირიქით, თქვენ უნდა მიეჩვიოთ მთელი რიცხვის დაწერას მითითებული სიმბოლოთი წილადის ნაცვლად 100 მნიშვნელით:

7. მოცემული რიცხვის პროცენტის პოვნა.

დავალება 1.სკოლამ მიიღო 200 კუბური მეტრი. მ შეშა, არყის შეშა შეადგენს 30%-ს. რამდენი არყის შეშა იყო?

ამ პრობლემის აზრი ის არის, რომ არყის შეშა შეადგენდა სკოლას მიტანილი შეშის მხოლოდ ნაწილს და ეს ნაწილი გამოიხატება წილადში 30/100. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს დავალება, ვიპოვოთ რიცხვის წილადი. მის ამოსახსნელად 200 უნდა გავამრავლოთ 30/100-ზე (რიცხვის წილადის პოვნის პრობლემები წყდება რიცხვის წილადზე გამრავლებით.).

ეს ნიშნავს, რომ 200-დან 30% უდრის 60-ს.

წილადი 30/100, რომელიც გვხვდება ამ პრობლემაში, შეიძლება შემცირდეს 10-ით. ამ შემცირების გაკეთება თავიდანვე იქნებოდა შესაძლებელი; პრობლემის გადაწყვეტა არ შეიცვლებოდა.

დავალება 2.ბანაკში სხვადასხვა ასაკის 300 ბავშვი იყო. 11 წლის ბავშვები შეადგენდნენ 21%, 12 წლის ბავშვები შეადგენდნენ 61% და ბოლოს 13 წლის ბავშვები შეადგენდნენ 18%. თითოეული ასაკის რამდენი ბავშვი იყო ბანაკში?

ამ პრობლემაში თქვენ უნდა შეასრულოთ სამი გამოთვლა, ანუ თანმიმდევრულად იპოვოთ 11 წლის, შემდეგ 12 წლის და ბოლოს 13 წლის ბავშვების რაოდენობა.

ეს ნიშნავს, რომ აქ თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვის წილადი სამჯერ. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

1) რამდენი 11 წლის ბავშვი იყო?

2) რამდენი 12 წლის ბავშვი იყო?

3) რამდენი 13 წლის ბავშვი იყო?

პრობლემის გადაჭრის შემდეგ სასარგებლოა ნაპოვნი რიცხვების დამატება; მათი ჯამი უნდა იყოს 300:

63 + 183 + 54 = 300

ასევე უნდა აღინიშნოს, რომ პრობლემის დებულებაში მოცემული პროცენტების ჯამი არის 100:

21% + 61% + 18% = 100%

ეს იმაზე მეტყველებს, რომ ბანაკში ბავშვების საერთო რაოდენობა აღებულია 100%.

3 და სთ 3.მუშა თვეში 1200 მანეთს იღებდა. აქედან 65% კვებაზე დახარჯა, 6% ბინებსა და გათბობაზე, 4% გაზზე, ელექტროენერგიასა და რადიოზე, 10% კულტურულ საჭიროებებზე და 15% დაზოგა. რა თანხა დაიხარჯა დავალებაში მითითებულ საჭიროებებზე?

ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭიროა 1200-ის წილადის პოვნა 5-ჯერ.მოდით ასე გავაკეთოთ.

1) რა თანხა დაიხარჯა საკვებზე? პრობლემა ამბობს, რომ ეს ხარჯი არის მთლიანი შემოსავლის 65%, ანუ 1200 რიცხვის 65/100. მოდით გამოვთვალოთ:

2) რა თანხა გადაიხადე გათბობით ბინაში? წინა მსჯელობის მსგავსად, მივდივართ შემდეგ გაანგარიშებამდე:

3) რა თანხა გადაიხადე გაზზე, ელექტროენერგიაში და რადიოში?

4) რა თანხა დაიხარჯა კულტურულ საჭიროებებზე?

5) რა თანხა დაზოგა მუშამ?

შესამოწმებლად, სასარგებლოა ამ 5 კითხვაში ნაპოვნი რიცხვების დამატება. თანხა უნდა იყოს 1200 რუბლი. ყველა შემოსავალი აღებულია როგორც 100%, რისი შემოწმება მარტივია პრობლემურ განცხადებაში მოცემული პროცენტული რიცხვების დამატებით.

სამი პრობლემა მოვაგვარეთ. მიუხედავად იმისა, რომ ეს პრობლემები განსხვავებულ საკითხებს ეხებოდა (სკოლისთვის შეშის მიწოდება, სხვადასხვა ასაკის ბავშვების რაოდენობა, მუშის ხარჯები), ისინი ერთნაირად მოგვარდა. ეს იმიტომ მოხდა, რომ ყველა პრობლემაში საჭირო იყო მოცემული რიცხვების რამდენიმე პროცენტის პოვნა.

§ 90. წილადების დაყოფა.

წილადების დაყოფის შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.
2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე
3. მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფა.
4. წილადის გაყოფა წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გაყოფა.
6. რიცხვის პოვნა მისი მოცემული წილადიდან.
7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.

1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.

როგორც აღინიშნა მთელი რიცხვების განყოფილებაში, გაყოფა არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ ორი ფაქტორის (დივიდენდის) და ამ ფაქტორებიდან ერთის (გამყოფის) ნამრავლის გათვალისწინებით, სხვა ფაქტორი გვხვდება.

ჩვენ შევხედეთ მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე დაყოფას მთელი რიცხვების განყოფილებაში. იქ დაყოფის ორ შემთხვევას შევხვდით: გაყოფა ნარჩენების გარეშე, ან „მთლიანად“ (150: 10 = 15) და გაყოფა ნაშთით (100: 9 = 11 და 1 ნაშთი). ამიტომ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მთელი რიცხვების სფეროში ზუსტი გაყოფა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, რადგან დივიდენდი ყოველთვის არ არის გამყოფის პროდუქტი მთელი რიცხვით. წილადზე გამრავლების შემოღების შემდეგ შეგვიძლია განვიხილოთ მთელი რიცხვების გაყოფის ნებისმიერი შემთხვევა (გამორიცხულია მხოლოდ ნულზე გაყოფა).

მაგალითად, 7-ის 12-ზე გაყოფა ნიშნავს რიცხვის პოვნას, რომლის ნამრავლი 12-ზე იქნება 7-ის ტოლი. ასეთი რიცხვია წილადი 7/12, რადგან 7 / 12 12 = 7. კიდევ ერთი მაგალითი: 14: 25 = 14 / 25, რადგან 14 / 25 25 = 14.

ამრიგად, მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა შექმნათ წილადი, რომლის მრიცხველი დივიდენდის ტოლია, ხოლო მნიშვნელი გამყოფის ტოლია.

2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე.

გაყავით წილადი 6/7 3-ზე. ზემოთ მოცემული გაყოფის განმარტების მიხედვით, აქ გვაქვს ნამრავლი (6/7) და ერთ-ერთი ფაქტორი (3); საჭიროა მეორე კოეფიციენტის პოვნა, რომელიც 3-ზე გამრავლებისას მისცემს მოცემულ ნამრავლს 6/7. ცხადია, ის ამ პროდუქტზე სამჯერ მცირე უნდა იყოს. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ წინაშე დასახული ამოცანა იყო წილადის 6/7-ით 3-ჯერ შემცირება.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ წილადის შემცირება შეიძლება მოხდეს მისი მრიცხველის შემცირებით ან მნიშვნელის გაზრდით. ამიტომ შეგიძლიათ დაწეროთ:

ამ შემთხვევაში მრიცხველი 6 იყოფა 3-ზე, ამიტომ მრიცხველი უნდა შემცირდეს 3-ჯერ.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8 გაყოფილი 2-ზე. აქ მრიცხველი 5 არ იყოფა 2-ზე, რაც ნიშნავს, რომ მნიშვნელი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე:

ამის საფუძველზე შეიძლება დადგინდეს წესი: წილადის მთელ რიცხვზე გასაყოფად საჭიროა წილადის მრიცხველი მთელ რიცხვზე გაყოთ.(თუ შესაძლებელია), დატოვეთ ერთი და იგივე მნიშვნელი, ან გაამრავლეთ წილადის მნიშვნელი ამ რიცხვზე და დატოვეთ იგივე მრიცხველი.

3. მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფა.

დაე, საჭირო იყოს 5-ის 1/2-ზე გაყოფა, ანუ ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 1/2-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 5. ცხადია, ეს რიცხვი 5-ზე მეტი უნდა იყოს, რადგან 1/2 სწორი წილადია. და რიცხვის გამრავლებისას სათანადო წილადის ნამრავლი უნდა იყოს გამრავლებულ ნამრავლზე ნაკლები. ამის გასაგებად, მოდით დავწეროთ ჩვენი მოქმედებები შემდეგნაირად: 5: 1 / 2 = X , რაც ნიშნავს x 1/2 = 5.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი რიცხვი X , რომელიც 1/2-ზე გამრავლების შემთხვევაში მივიღებთ 5-ს. ვინაიდან გარკვეული რიცხვის 1/2-ზე გამრავლება ნიშნავს ამ რიცხვის 1/2-ის პოვნას, მაშასადამე, უცნობი რიცხვის 1/2. X უდრის 5-ს და მთელი რიცხვი X ორჯერ მეტი, ანუ 5 2 = 10.

ასე რომ 5: 1/2 = 5 2 = 10

მოდით შევამოწმოთ:

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. ვთქვათ, გსურთ 6-ის გაყოფა 2/3-ზე. ჯერ ვცადოთ სასურველი შედეგის პოვნა ნახატის გამოყენებით (სურ. 19).

სურ.19

დავხატოთ AB სეგმენტი 6 ერთეულის ტოლი და თითოეული ერთეული გავყოთ 3 ტოლ ნაწილად. თითოეულ ერთეულში, მთელი AB სეგმენტის სამი მესამედი (3/3) 6-ჯერ დიდია, ე.ი. ე. 18/3. მცირე ფრჩხილების გამოყენებით, ჩვენ ვაკავშირებთ 2-ის 18 მიღებულ სეგმენტს; იქნება მხოლოდ 9 სეგმენტი. ეს ნიშნავს, რომ წილადი 2/3 შეიცავს 6 ერთეულში 9-ჯერ, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადი 2/3 9-ჯერ ნაკლებია 6 მთლიან ერთეულზე. აქედან გამომდინარე,

როგორ მივიღოთ ეს შედეგი ნახაზის გარეშე მხოლოდ გამოთვლების გამოყენებით? მოდით ვიმსჯელოთ ასე: უნდა გავყოთ 6 2/3-ზე, ანუ უნდა ვუპასუხოთ კითხვას რამდენჯერ შეიცავს 2/3 6-ში. ჯერ გავარკვიოთ: რამდენჯერ შეიცავს 1/3 6-ში? მთლიან ერთეულში არის 3 მესამედი, ხოლო 6 ერთეულში 6-ჯერ მეტი, ანუ 18 მესამედი; ამ რიცხვის საპოვნელად უნდა გავამრავლოთ 6 3-ზე. ეს ნიშნავს, რომ 1/3 შეიცავს b ერთეულებში 18-ჯერ, ხოლო 2/3 შეიცავს b ერთეულებში არა 18-ჯერ, არამედ იმდენივეჯერ ნახევარზე, ანუ 18: 2 = 9. ამიტომ, 6-ის 2/3-ზე გაყოფისას ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

აქედან ვიღებთ მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფის წესს. მთელი რიცხვის წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს მთელი რიცხვი მოცემული წილადის მნიშვნელზე და ამ ნამრავლის მრიცხველად აქციოთ, გაყოთ იგი მოცემული წილადის მრიცხველზე.

მოდით დავწეროთ წესი ასოების გამოყენებით:

ამ წესის სრულად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გაყოფის წესთან, რომელიც მოცემულია § 38-ში. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ იქაც იგივე ფორმულა იქნა მიღებული.

გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

4. წილადის გაყოფა წილადზე.

ვთქვათ, უნდა გავყოთ 3/4 3/8-ზე. რას ნიშნავს რიცხვი, რომელიც გამოდის გაყოფით? ის უპასუხებს კითხვას რამდენჯერ შეიცავს წილადი 3/8 წილადში 3/4. ამ საკითხის გასაგებად დავხატოთ ნახატი (სურ. 20).

ავიღოთ AB სეგმენტი, ავიღოთ როგორც ერთი, გავყოთ 4 ტოლ ნაწილად და მოვნიშნოთ 3 ასეთი ნაწილი. სეგმენტი AC უდრის AB სეგმენტის 3/4-ს. მოდით, ახლა გავყოთ ოთხი თავდაპირველი სეგმენტიდან თითოეული ნახევრად, შემდეგ AB სეგმენტი დაიყოფა 8 ტოლ ნაწილად და თითოეული ასეთი ნაწილი AB სეგმენტის 1/8-ის ტოლი იქნება. დავუკავშიროთ 3 ასეთი სეგმენტი რკალებით, მაშინ თითოეული სეგმენტი AD და DC იქნება AB სეგმენტის 3/8-ის ტოლი. ნახაზზე ჩანს, რომ 3/8-ის ტოლი სეგმენტი შეიცავს 3/4-ის ტოლ სეგმენტში ზუსტად 2-ჯერ; ეს ნიშნავს, რომ გაყოფის შედეგი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

3 / 4: 3 / 8 = 2

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს. ვთქვათ, უნდა გავყოთ 15/16 3/32-ზე:

შეგვიძლია ასე ვიმსჯელოთ: უნდა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 3/32-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 15/16-ის ტოლი. მოდით დავწეროთ გამოთვლები ასე:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 უცნობი ნომერი X არის 15/16

უცნობი ნომრის 1/32 X არის,

32/32 ნომრები X კოსმეტიკა .

აქედან გამომდინარე,

ამრიგად, წილადის წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორის მნიშვნელზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი გავამრავლოთ მეორის მრიცხველზე და პირველი ნამრავლი გააკეთოთ მრიცხველი. ხოლო მეორე მნიშვნელი.

მოდით დავწეროთ წესი ასოების გამოყენებით:

გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:

5. შერეული რიცხვების გაყოფა.

შერეული რიცხვების გაყოფისას ისინი ჯერ უნდა გადაკეთდეს არასწორ წილადებად, შემდეგ კი მიღებული წილადები უნდა დაიყოს წილადების გაყოფის წესების მიხედვით. მოდით შევხედოთ მაგალითს:

გადავიყვანოთ შერეული რიცხვები არასწორ წილადებად:

ახლა გავყოთ:

ამრიგად, შერეული რიცხვების გასაყოფად, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ ისინი არასწორ წილადებად და შემდეგ გაყოთ წილადების გაყოფის წესის გამოყენებით.

6. რიცხვის პოვნა მისი მოცემული წილადიდან.

წილადის სხვადასხვა ამოცანებს შორის, ზოგჯერ არის ისეთებიც, რომლებშიც მოცემულია უცნობი რიცხვის ზოგიერთი წილადის მნიშვნელობა და თქვენ უნდა იპოვოთ ეს რიცხვი. ამ ტიპის ამოცანები იქნება მოცემული რიცხვის წილადის პოვნის ამოცანის შებრუნებული; იქ იყო მოცემული რიცხვი და საჭირო იყო ამ რიცხვის რაღაც წილადის პოვნა, აქ მოცემულია რიცხვის წილადი და საჭირო იყო თავად ამ რიცხვის პოვნა. ეს იდეა კიდევ უფრო ნათელი გახდება, თუ ამ ტიპის პრობლემის გადაჭრას მივმართავთ.

დავალება 1.პირველ დღეს მინაშენებმა 50 სარკმელი შეამინეს, რაც აშენებული სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ია. რამდენი ფანჯარაა ამ სახლში?

გამოსავალი.პრობლემა ამბობს, რომ 50 მინის ფანჯარა შეადგენს სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ს, რაც ნიშნავს, რომ სულ 3-ჯერ მეტი ფანჯარაა, ე.ი.

სახლს 150 ფანჯარა ჰქონდა.

დავალება 2.მაღაზიაში გაიყიდა 1500 კგ ფქვილი, რაც მაღაზიაში არსებული ფქვილის მთლიანი მარაგის 3/8-ია. როგორი იყო მაღაზიის ფქვილის საწყისი მარაგი?

გამოსავალი.პრობლემის პირობებიდან ირკვევა, რომ გაყიდული 1500 კგ ფქვილი მთლიანი მარაგის 3/8-ს შეადგენს; ეს ნიშნავს, რომ ამ რეზერვის 1/8 იქნება 3-ჯერ ნაკლები, ანუ მისი გამოსათვლელად საჭიროა 1500-ის შემცირება 3-ჯერ:

1500: 3 = 500 (ეს არის რეზერვის 1/8).

ცხადია, მთლიანი მარაგი 8-ჯერ მეტი იქნება. აქედან გამომდინარე,

500 8 = 4000 (კგ).

მაღაზიაში ფქვილის საწყისი მარაგი 4000 კგ იყო.

ამ პრობლემის გათვალისწინებით, შემდეგი წესი შეიძლება გამოვიდეს.

მისი წილადის მოცემული მნიშვნელობიდან რიცხვის საპოვნელად საკმარისია ეს მნიშვნელობა გავყოთ წილადის მრიცხველზე და გავამრავლოთ შედეგი წილადის მნიშვნელზე.

ჩვენ გადავწყვიტეთ ორი ამოცანა რიცხვის პოვნის შესახებ მისი წილადის მიხედვით. ასეთი ამოცანები, როგორც განსაკუთრებით ნათლად ჩანს ბოლოდან, წყდება ორი მოქმედებით: გაყოფით (როდესაც იპოვეს ერთი ნაწილი) და გამრავლებით (როდესაც იპოვეს მთელი რიცხვი).

თუმცა მას შემდეგ რაც ვისწავლეთ წილადების დაყოფა, ზემოაღნიშნული ამოცანების ამოხსნა შესაძლებელია ერთი მოქმედებით, კერძოდ: წილადზე გაყოფა.

მაგალითად, ბოლო დავალება შეიძლება გადაწყდეს ერთი მოქმედებით ასე:

სამომავლოდ მისი წილადიდან რიცხვის პოვნის ამოცანებს ერთი მოქმედებით - გაყოფით მოვაგვარებთ.

7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

ამ პრობლემებში თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც იცის ამ რიცხვის რამდენიმე პროცენტი.

დავალება 1.ამ წლის დასაწყისში შემნახველი ბანკიდან ავიღე 60 მანეთი. შემოსავალი იმ თანხიდან, რომელიც მე ჩავდე დანაზოგში ერთი წლის წინ. რამდენი ფული ჩავდე შემნახველ ბანკში? (სალაროები აძლევენ მეანაბრეებს წელიწადში 2%-იან ანაზღაურებას.)

პრობლემა ის არის, რომ შემნახველ ბანკში ჩავდე გარკვეული თანხა და ერთი წელი დავრჩი. ერთი წლის შემდეგ მისგან 60 მანეთი მივიღე. შემოსავალი, რაც ჩემს მიერ შეტანილი თანხის 2/100-ია. რამდენი ფული ჩავდე?

შესაბამისად, ვიცოდეთ ამ ფულის ნაწილი, ორი გზით გამოხატული (რუბლით და წილადებით), უნდა ვიპოვოთ მთელი, ჯერ უცნობი, თანხა. ეს რიგითი პრობლემაა რიცხვის პოვნისას მისი წილადის მიხედვით. გაყოფით წყდება შემდეგი პრობლემები:

ეს ნიშნავს, რომ შემნახველ ბანკში 3000 მანეთი ჩაირიცხა.

დავალება 2.მეთევზეებმა თვიური გეგმა ორ კვირაში 64%-ით შეასრულეს და 512 ტონა თევზი მოაგროვეს. რა იყო მათი გეგმა?

პრობლემის პირობებიდან ცნობილია, რომ მეთევზეებმა გეგმის ნაწილი დაასრულეს. ეს ნაწილი უდრის 512 ტონას, რაც გეგმის 64%-ია. ჩვენ არ ვიცით რამდენი ტონა თევზი უნდა მომზადდეს გეგმის მიხედვით. ამ ნომრის პოვნა იქნება პრობლემის გადაწყვეტა.

ასეთი პრობლემები წყდება გაყოფით:

ეს ნიშნავს, რომ გეგმის მიხედვით 800 ტონა თევზის მომზადებაა საჭირო.

დავალება 3.მატარებელი რიგადან მოსკოვში წავიდა. როდესაც მან 276-ე კილომეტრი გაიარა, ერთ-ერთმა მგზავრმა გამვლელ კონდუქტორს ჰკითხა, რამდენი გზა გაიარეს. ამაზე კონდუქტორმა უპასუხა: „ჩვენ უკვე დავფარეთ მთელი მოგზაურობის 30%. რა მანძილია რიგადან მოსკოვამდე?

პრობლემური პირობებიდან ირკვევა, რომ რიგიდან მოსკოვამდე მარშრუტის 30% 276 კმ-ია. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მთელი მანძილი ამ ქალაქებს შორის, ანუ ამ ნაწილისთვის ვიპოვოთ მთელი:

§ 91. საპასუხო რიცხვები. გაყოფის შეცვლა გამრავლებით.

ავიღოთ წილადი 2/3 და შევცვალოთ მრიცხველი მნიშვნელის ნაცვლად, მივიღებთ 3/2. მივიღეთ ამ წილადის შებრუნებული.

მოცემული წილადის ინვერსიის მისაღებად, თქვენ უნდა დააყენოთ მისი მრიცხველი მნიშვნელის ნაცვლად, ხოლო მნიშვნელი მრიცხველის ნაცვლად. ამ გზით ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ ნებისმიერი წილადის ორმხრივი. Მაგალითად:

3/4, საპირისპირო 4/3; 5/6, საპირისპირო 6/5

ორ წილადს, რომელსაც აქვს თვისება, რომ პირველის მრიცხველი არის მეორის მნიშვნელი, ხოლო პირველის მნიშვნელი მეორის მრიცხველი, ე.წ. ურთიერთშებრუნებული.

ახლა მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რომელი წილადი იქნება 1/2-ის საპასუხო. ცხადია, ეს იქნება 2/1, ან უბრალოდ 2. მოცემულის შებრუნებული წილადის ძიებით მივიღეთ მთელი რიცხვი. და ეს შემთხვევა არ არის იზოლირებული; პირიქით, ყველა წილადისთვის, რომელთა მრიცხველია 1 (ერთი), საპასუხო რიცხვები იქნება მთელი რიცხვები, მაგალითად:

1/3, საპირისპირო 3; 1/5, საპირისპირო 5

ვინაიდან საპასუხო წილადების პოვნისას ჩვენ ასევე შევხვდით მთელ რიცხვებს, შემდეგში ვისაუბრებთ არა საპასუხო წილადებზე, არამედ საპასუხო რიცხვებზე.

მოდით გავარკვიოთ, როგორ დავწეროთ მთელი რიცხვის ინვერსია. წილადებისთვის, ეს შეიძლება მარტივად გადაწყდეს: მრიცხველის ნაცვლად უნდა დააყენოთ მნიშვნელი. ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ მთელი რიცხვის ინვერსია, ვინაიდან ნებისმიერ მთელ რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელი 1. ეს ნიშნავს, რომ 7-ის შებრუნებული იქნება 1/7, რადგან 7 = 7/1; 10 რიცხვისთვის შებრუნებული იქნება 1/10, ვინაიდან 10 = 10/1

ეს აზრი შეიძლება განსხვავებულად გამოითქვას: მოცემული რიცხვის საპასუხოობა მიიღება ერთის მოცემულ რიცხვზე გაყოფით. ეს განცხადება მართალია არა მხოლოდ მთელი რიცხვებისთვის, არამედ წილადებისთვისაც. ფაქტობრივად, თუ დაგვჭირდება 5/9 წილადის შებრუნებული ჩაწერა, მაშინ შეგვიძლია ავიღოთ 1 და გავყოთ 5/9-ზე, ე.ი.

ახლა ერთი რამ აღვნიშნოთ ქონებასაპასუხო ნომრები, რომლებიც გამოგვადგება: საპასუხო რიცხვების ნამრავლი უდრის ერთს.Ნამდვილად:

ამ თვისების გამოყენებით შეგვიძლია ვიპოვოთ საპასუხო რიცხვები შემდეგი გზით. ვთქვათ, უნდა ვიპოვოთ 8-ის შებრუნებული.

ასოებით აღვნიშნოთ X , შემდეგ 8 X = 1, შესაბამისად X = 1/8. ვიპოვოთ სხვა რიცხვი, რომელიც არის 7/12-ის შებრუნებული და ავღნიშნოთ ასოთი X , შემდეგ 7/12 X = 1, შესაბამისად X = 1: 7 / 12 ან X = 12 / 7 .

ჩვენ აქ შემოვიღეთ საპასუხო რიცხვების კონცეფცია, რათა ოდნავ შევავსოთ ინფორმაცია წილადების გაყოფის შესახებ.

როდესაც 6-ს ვყოფთ 3/5-ზე, ვაკეთებთ შემდეგს:

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ გამოთქმას და შეადარეთ მოცემულს: .

თუ გამოთქმას ცალ-ცალკე ავიღებთ, წინასთან კავშირის გარეშე, მაშინ შეუძლებელია ამოხსნათ კითხვა, საიდან გაჩნდა: 6-ის 3/5-ზე გაყოფით თუ 6-ის 5/3-ზე გამრავლებიდან. ორივე შემთხვევაში ერთი და იგივე ხდება. ამიტომ შეგვიძლია ვთქვათ რომ ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფა შეიძლება შეიცვალოს დივიდენდის გამყოფის შებრუნებულზე გამრავლებით.

ქვემოთ მოყვანილი მაგალითები სრულად ადასტურებს ამ დასკვნას.