ეს ონლაინ კალკულატორი ითვლის ვექტორების ვექტორულ ნამრავლს. მოცემულია დეტალური გადაწყვეტა. ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის გამოსათვლელად ჩაწერეთ ვექტორების კოორდინატები უჯრედებში და დააჭირეთ ღილაკს "გამოთვლა".

×

გაფრთხილება

გაასუფთავო ყველა უჯრედი?

დახურვა გასუფთავება

მონაცემთა შეყვანის ინსტრუქციები.რიცხვები შეყვანილია როგორც მთელი რიცხვები (მაგალითები: 487, 5, -7623 და ა.შ.), ათწილადები (მაგ. 67., 102.54 და ა.შ.) ან წილადები. წილადი უნდა შეიტანოს a/b სახით, სადაც a და b (b>0) არის მთელი რიცხვები ან ათწილადები. მაგალითები 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 და ა.შ.

ვექტორების ვექტორული ნამრავლი

სანამ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის განსაზღვრებაზე გადავიდოდეთ, განვიხილოთ ცნებები შეკვეთილი ვექტორული სამეული, მარცხენა ვექტორული სამეული, მარჯვენა ვექტორული სამეული.

განმარტება 1. სამი ვექტორი ეწოდება შეუკვეთა სამმაგი(ან სამმაგი), თუ მითითებულია ამ ვექტორებიდან რომელია პირველი, რომელი მეორე და რომელი მესამე.

ჩანაწერი cba- ნიშნავს - პირველი არის ვექტორი გ, მეორე არის ვექტორი ბდა მესამე არის ვექტორი ა.

განმარტება 2. არათანაბრტყელ ვექტორთა სამმაგი abcეწოდება მარჯვენა (მარცხნივ), თუ საერთო საწყისამდე დაყვანისას ეს ვექტორები განლაგებულია ისევე, როგორც განლაგებულია მარჯვენა (მარცხენა) ხელის დიდი, მოუხვევი საჩვენებელი და შუა თითები, შესაბამისად.

განმარტება 2 შეიძლება სხვაგვარად ჩამოყალიბდეს.

განმარტება 2". არათანაბლანარული ვექტორების სამმაგი abcეწოდება მარჯვენა (მარცხნივ), თუ საერთო საწყისამდე დაყვანისას ვექტორი გმდებარეობს ვექტორებით განსაზღვრული სიბრტყის მეორე მხარეს ადა ბ, საიდან არის უმოკლესი შემობრუნება არომ ბშესრულებული საათის ისრის საწინააღმდეგოდ (საათის ისრის მიმართულებით).

ვექტორთა ტროიკა abc, ნაჩვენებია ნახ. 1 მართალია და სამი abcნაჩვენებია ნახ. 2 არის მარცხენა.

თუ ვექტორების ორი სამეული მარჯვნივ ან მარცხნივ არის, მაშინ ამბობენ, რომ ისინი ერთი და იგივე ორიენტაციის არიან. წინააღმდეგ შემთხვევაში ამბობენ, რომ ისინი საპირისპირო ორიენტაციის არიან.

განმარტება 3. დეკარტის ან აფინური კოორდინატთა სისტემას ეწოდება მარჯვენა (მარცხნივ), თუ სამი საბაზისო ვექტორი ქმნის მარჯვენა (მარცხნივ) სამეულს.

დაზუსტებისთვის, შემდეგში განვიხილავთ მხოლოდ მარჯვენა კოორდინატულ სისტემებს.

განმარტება 4. ვექტორული ნამუშევარივექტორი ავექტორამდე ბვექტორად წოდებული თან, აღინიშნება სიმბოლოთი c=[აბ] (ან c=[ა, ბ], ან c=a×b) და აკმაყოფილებს შემდეგ სამ მოთხოვნას:

• ვექტორის სიგრძე თანვექტორული სიგრძის ნამრავლის ტოლი ადა ბკუთხის სინუსით φ მათ შორის:

|გ|=|[აბ]|=|ა||ბ|sinφ;

(1)

• ვექტორი თანორთოგონალური თითოეული ვექტორის მიმართ ადა ბ;
• ვექტორი გმიმართულია ისე, რომ სამი abcმართალია.

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლს აქვს შემდეგი თვისებები:

• [აბ]=−[ბა] (ცვალებადობის საწინააღმდეგოფაქტორები);
• [(λa)ბ]=λ [აბ] (კომბინაციარიცხვით ფაქტორთან შედარებით);
• [(ა+ბ)გ]=[აგ]+[ბგ] (დისტრიბუციულობავექტორთა ჯამთან შედარებით);
• [აა]=0 ნებისმიერი ვექტორისთვის ა.

ვექტორების ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიული თვისებები

თეორემა 1. იმისათვის, რომ ორი ვექტორი იყოს კოლინარული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მათი ვექტორული ნამრავლი იყოს ნულის ტოლი.

მტკიცებულება. აუცილებლობა. მოდით ვექტორები ადა ბკოლინარული. მაშინ მათ შორის კუთხე არის 0 ან 180° და sinφ=sin180=ცოდვა 0=0. ამიტომ, გამოხატვის (1) გათვალისწინებით, ვექტორის სიგრძე გნულის ტოლი. მერე გნულოვანი ვექტორი.

ადეკვატურობა. მოდით ვექტორების ნამრავლი ადა ბაშკარად ნულოვანია :[ აბ]=0. დავამტკიცოთ, რომ ვექტორები ადა ბკოლინარული. თუ რომელიმე ვექტორიდან მაინც ადა ბნულოვანია, მაშინ ეს ვექტორები კოლინარულია (რადგან ნულოვანი ვექტორს აქვს განუსაზღვრელი მიმართულება და შეიძლება ჩაითვალოს ნებისმიერი ვექტორის კოლინარად).

თუ ორივე ვექტორი ადა ბნულოვანი, მაშინ | ა|>0, |ბ|>0. შემდეგ [ აბ]=0 და (1)-დან გამომდინარეობს, რომ sinφ=0. ამიტომ ვექტორები ადა ბკოლინარული.

თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 2. ვექტორული ნამრავლის სიგრძე (მოდული) [ აბ] უდრის ფართობს სპარალელოგრამი აგებულია ვექტორებზე საერთო საწყისამდე ადა ბ.

მტკიცებულება. მოგეხსენებათ, პარალელოგრამის ფართობი უდრის ამ პარალელოგრამის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს. აქედან გამომდინარე:

მაშინ ამ ვექტორების ვექტორულ ნამრავლს აქვს ფორმა:

პირველი რიგის ელემენტებზე განმსაზღვრელი გაფართოებით, ვიღებთ ვექტორის დაშლას a×bსაფუძველზე მე, ჯ, კ, რომელიც უდრის ფორმულას (3).

თეორემა 3-ის დადასტურება. შევქმნათ საფუძვლების ვექტორების ყველა შესაძლო წყვილი მე, ჯ, კდა გამოთვალეთ მათი ვექტორული ნამრავლი. გასათვალისწინებელია, რომ საბაზისო ვექტორები ორთოგონალურია, ქმნიან მარჯვენა სამეულს და აქვთ ერთეული სიგრძე (სხვა სიტყვებით, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ მე={1, 0, 0}, ჯ={0, 1, 0}, კ=(0, 0, 1)). მაშინ გვაქვს:

ბოლო თანასწორობიდან და მიმართებებიდან (4) ვიღებთ:

შევქმნათ 3x3 მატრიცა, რომლის პირველი რიგი არის საბაზისო ვექტორები მე, ჯ, კ,ხოლო დარჩენილი ხაზები ივსება ვექტორული ელემენტებით ადა ბ.

7.1. ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

სამი არაერთობლივი ვექტორი a, b და c, აღებული მითითებული თანმიმდევრობით, ქმნის მარჯვენა სამეულს, თუ მესამე ვექტორის ბოლოდან c-ის ბოლოდან ჩანს უმოკლეს ბრუნი პირველი a ვექტორიდან მეორე ვექტორამდე b. იყოს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ხოლო მარცხენა სამეული თუ საათის ისრის მიმართულებით (იხ. სურ. 16).

ვექტორის a და ვექტორის ვექტორულ ნამრავლს ეწოდება c ვექტორი, რომელიც:

1. a და b ვექტორების პერპენდიკულარული, ანუ c ^ a და c ^ ბ ;

2. აქვს სიგრძე რიცხობრივად ტოლი a და ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობისბროგორც გვერდებზე (იხ. სურ. 17), ე.ი.

3. a, b და c ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სამეულს.

ჯვარედინი ნამრავლი აღინიშნება x b ან [a,b]. შემდეგი ურთიერთობები ერთეულ ვექტორებს შორის i პირდაპირ გამომდინარეობს ვექტორული ნამრავლის განმარტებიდან, ჯდა კ(იხ. სურ. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
მოდით დავამტკიცოთ, რომ მაგალითადმე xj =k.

1) კ ^ ი, კ ^ j ;

2) |k |=1, მაგრამ | მე x ჯ| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) ვექტორები i, j და კშექმენით მარჯვენა სამეული (იხ. სურ. 16).

7.2. ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

1. ფაქტორების გადაწყობისას ვექტორული ნამრავლი ცვლის ნიშანს, ე.ი. და xb =(b xa) (იხ. სურ. 19).

ვექტორები a xb და b xa არის კოლინარული, აქვთ იგივე მოდულები (პარალელოგრამის ფართობი უცვლელი რჩება), მაგრამ საპირისპიროა მიმართული (სამმაგი a, b, a xb და a, b, b x a საპირისპირო ორიენტაციის). ანუ axb = -(b xa).

2. ვექტორულ პროდუქტს აქვს კომბინირების თვისება სკალარული ფაქტორის მიმართ, ანუ l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

მოდით l >0. ვექტორი l (a xb) არის a და b ვექტორების პერპენდიკულარული. ვექტორი ( ლნაჯახი ბასევე არის a და ვექტორების პერპენდიკულარული ბ(ვექტორები a, ლმაგრამ დაწექი იმავე სიბრტყეში). ეს ნიშნავს, რომ ვექტორები ლ(a xb) და ( ლნაჯახი ბკოლინარული. აშკარაა, რომ მათი მიმართულებები ერთმანეთს ემთხვევა. მათ აქვთ იგივე სიგრძე:

Ამიტომაც ლ(a xb)= ლ xb. ეს დადასტურებულია მსგავსი გზით ლ<0.

3. ორი არანულოვანი ვექტორი a და ბარიან კოლინარული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, ანუ a ||b<=>და xb =0.

კერძოდ, i *i =j *j =k *k =0 .

4. ვექტორულ პროდუქტს აქვს განაწილების თვისება:

(ა+ბ) xc = a xc + ბ xs.

ჩვენ მივიღებთ მტკიცებულების გარეშე.

7.3. ჯვარედინი ნამრავლის გამოხატვა კოორდინატების მიხედვით

ჩვენ გამოვიყენებთ i ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის ცხრილს, ჯდა კ:

თუ პირველი ვექტორიდან მეორემდე უმოკლესი ბილიკის მიმართულება ემთხვევა ისრის მიმართულებას, მაშინ ნამრავლი უდრის მესამე ვექტორს, თუ არ ემთხვევა, მესამე ვექტორი აღებულია მინუს ნიშნით.

მიეცით ორი ვექტორი a =a x i +a y ჯ+a z კდა b =b x მე+b y ჯ+b z კ. ვიპოვოთ ამ ვექტორების ვექტორული ნამრავლი მათი მრავალწევრების გამრავლებით (ვექტორული ნამრავლის თვისებების მიხედვით):

შედეგად მიღებული ფორმულა შეიძლება კიდევ უფრო მოკლედ დაიწეროს:

ვინაიდან ტოლობის მარჯვენა მხარე (7.1) შეესაბამება მესამე რიგის განმსაზღვრელ გაფართოებას პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით.ტოლობა (7.2) ადვილი დასამახსოვრებელია.

7.4. ჯვარედინი პროდუქტის ზოგიერთი გამოყენება

ვექტორების კოლინარობის დადგენა

პარალელოგრამისა და სამკუთხედის ფართობის პოვნა

ვექტორთა ვექტორული ნამრავლის განმარტების მიხედვით ადა ბ |a xb | =|ა | * |b |sin g, ანუ S წყვილი = |a x b |. და, შესაბამისად, D S =1/2|a x b |.

ძალის მომენტის განსაზღვრა წერტილის შესახებ

მიეცით ძალა A წერტილში F =ABგაუშვი შესახებ- რაღაც წერტილი სივრცეში (იხ. სურ. 20).

ფიზიკიდან ცნობილია, რომ ძალის მომენტი ფ პუნქტთან შედარებით შესახებვექტორად წოდებული მ,რომელიც გადის წერტილში შესახებდა:

1) წერტილებში გამავალი სიბრტყის პერპენდიკულარული O, A, B;

2) რიცხობრივად ტოლია ძალის ნამრავლის მკლავზე

3) ქმნის მარჯვენა სამეულს OA და A B ვექტორებით.

ამიტომ, M = OA x F.

წრფივი ბრუნვის სიჩქარის პოვნა

სიჩქარე ვკუთხური სიჩქარით მბრუნავი ხისტი სხეულის წერტილი M ვფიქსირებული ღერძის გარშემო, განისაზღვრება ეილერის ფორმულით v =w xr, სადაც r =OM, სადაც O არის ღერძის ზოგიერთი ფიქსირებული წერტილი (იხ. სურ. 21).

განმარტება. ვექტორის ნამრავლი a (გამრავლება) და არაკოლნეარული ვექტორის (გამრავლება) არის მესამე ვექტორი c (პროდუქტი), რომელიც აგებულია შემდეგნაირად:

1) მისი მოდული რიცხობრივად უდრის პარალელოგრამის ფართობს ნახ. 155), აგებულია ვექტორებზე, ანუ ტოლია აღნიშნული პარალელოგრამის სიბრტყის პერპენდიკულარული მიმართულებისა;

3) ამ შემთხვევაში, c ვექტორის მიმართულება არჩეულია (ორი შესაძლოდან) ისე, რომ ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სისტემას (§ 110).

აღნიშვნა: ან

განმარტების დამატება. თუ ვექტორები კოლინარულია, მაშინ ფიგურის (პირობითად) პარალელოგრამის გათვალისწინებით, ბუნებრივია ნულოვანი ფართობის მინიჭება. მაშასადამე, კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი ითვლება ნულოვანი ვექტორის ტოლად.

ვინაიდან ნულ ვექტორს შეიძლება მიენიჭოს ნებისმიერი მიმართულება, ეს შეთანხმება არ ეწინააღმდეგება განმარტების მე-2 და მე-3 პუნქტებს.

შენიშვნა 1. ტერმინში „ვექტორული ნამრავლი“ პირველი სიტყვა მიუთითებს, რომ მოქმედების შედეგი არის ვექტორი (განსხვავებით სკალარული ნამრავლი; შდრ. § 104, შენიშვნა 1).

მაგალითი 1. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი, სადაც არის სწორი კოორდინატთა სისტემის ძირითადი ვექტორები (სურ. 156).

1. ვინაიდან ძირითადი ვექტორების სიგრძე უდრის ერთი მასშტაბის ერთეულს, პარალელოგრამის (კვადრატის) ფართობი რიცხობრივად ერთის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ ვექტორული ნამრავლის მოდული ერთის ტოლია.

2. ვინაიდან სიბრტყეზე პერპენდიკულარული არის ღერძი, სასურველი ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი k ვექტორის კოლინარული; და რადგან ორივე მათგანს აქვს მოდული 1, სასურველი ვექტორული ნამრავლი უდრის k ან -k.

3. ამ ორი შესაძლო ვექტორიდან უნდა ავირჩიოთ პირველი, ვინაიდან k ვექტორები ქმნიან მემარჯვენე სისტემას (ხოლო ვექტორები მემარცხენე).

მაგალითი 2. იპოვეთ ჯვარედინი ნამრავლი

გამოსავალი. როგორც 1-ელ მაგალითში, დავასკვნათ, რომ ვექტორი ტოლია k ან -k. მაგრამ ახლა ჩვენ უნდა ავირჩიოთ -k, რადგან ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სისტემას (და ვექტორები ქმნიან მარცხენა სისტემას). Ისე,

მაგალითი 3. ვექტორებს აქვთ სიგრძე, შესაბამისად 80 და 50 სმ-ის ტოლი და ქმნიან კუთხეს 30°. მეტრის სიგრძის ერთეულად აიღეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე a

გამოსავალი. ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ტოლია სასურველი ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის

მაგალითი 4. იპოვეთ იგივე ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე, აიღეთ სანტიმეტრი სიგრძის ერთეულით.

გამოსავალი. ვინაიდან ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ტოლია, ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის 2000 სმ, ე.ი.

მე-3 და მე-4 მაგალითების შედარებიდან ირკვევა, რომ ვექტორის სიგრძე დამოკიდებულია არა მხოლოდ ფაქტორების სიგრძეზე, არამედ სიგრძის ერთეულის არჩევანზეც.

ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა.ვექტორული ნამრავლით წარმოდგენილი მრავალი ფიზიკური სიდიდედან განვიხილავთ მხოლოდ ძალის მომენტს.

ვთქვათ A არის ძალის გამოყენების წერტილი. O წერტილთან მიმართებით ძალის მომენტს ეწოდება ვექტორული ნამრავლი. ვინაიდან ამ ვექტორული ნამრავლის მოდული რიცხობრივად უდრის პარალელოგრამის ფართობს (ნახ. 157), მაშინ მომენტის მოდული უდრის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლს, ანუ ძალა გამრავლებული მანძილით O წერტილიდან სწორ ხაზამდე, რომლის გასწვრივაც მოქმედებს ძალა.

მექანიკაში დამტკიცებულია, რომ ხისტი სხეული წონასწორობაში რომ იყოს, აუცილებელია, რომ არა მხოლოდ ვექტორების ჯამი, რომლებიც წარმოადგენენ სხეულზე მიმართულ ძალებს, იყოს ნულის ტოლი, არამედ ძალების მომენტების ჯამიც. იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ძალა პარალელურია ერთი სიბრტყის პარალელურად, ვექტორების დამატება, რომლებიც წარმოადგენენ მომენტებს, შეიძლება შეიცვალოს მათი სიდიდეების შეკრებითა და გამოკლებით. მაგრამ ძალების თვითნებური მიმართულებებით, ასეთი ჩანაცვლება შეუძლებელია. ამის შესაბამისად, ვექტორული ნამრავლი განისაზღვრება ზუსტად როგორც ვექტორი და არა როგორც რიცხვი.

ვექტორული ნამუშევარიარის ორი ფაქტორისგან აგებული სიბრტყის პერპენდიკულარული ფსევდოვექტორი, რომელიც არის ორგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ვექტორებზე ორობითი ოპერაციის „ვექტორის გამრავლების“ შედეგი. ვექტორულ ნამრავლს არ გააჩნია კომუტატიურობის და ასოციაციურობის თვისებები (ის ანტიკომუტატიულია) და ვექტორების სკალარული ნამრავლისაგან განსხვავებით არის ვექტორი. ფართოდ გამოიყენება მრავალ საინჟინრო და ფიზიკურ აპლიკაციებში. მაგალითად, კუთხოვანი იმპულსი და ლორენცის ძალა მათემატიკურად იწერება ვექტორული ნამრავლის სახით. ჯვარედინი ნამრავლი სასარგებლოა ვექტორების პერპენდიკულარობის „გასაზომად“ - ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის მოდული უდრის მათი მოდულების ნამრავლს, თუ ისინი პერპენდიკულარულია და ნულამდე მცირდება, თუ ვექტორები პარალელური ან ანტიპარალელურია.

ვექტორული ნამრავლი შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზით და თეორიულად, ნებისმიერი n განზომილების სივრცეში, შეიძლება გამოვთვალოთ n-1 ვექტორების ნამრავლი, რითაც მივიღოთ ერთი ვექტორი ყველა მათგანზე პერპენდიკულარული. მაგრამ თუ პროდუქტი შემოიფარგლება ვექტორული შედეგებით არატრივიალური ორობითი პროდუქტებით, მაშინ ტრადიციული ვექტორული პროდუქტი განისაზღვრება მხოლოდ სამგანზომილებიან და შვიდგანზომილებიან სივრცეებში. ვექტორული ნამრავლის შედეგი, ისევე როგორც სკალარული ნამრავლი, დამოკიდებულია ევკლიდური სივრცის მეტრიკაზე.

სამგანზომილებიანი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში კოორდინატებისგან სკალარული ნაწარმოების ვექტორების გამოთვლის ფორმულისგან განსხვავებით, ჯვარედინი ნამრავლის ფორმულა დამოკიდებულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ორიენტაციაზე, ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მის „ქირალობაზე“.

განმარტება:
ვექტორის ნამრავლი a და ვექტორი b სივრცეში R3 არის ვექტორი c, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ მოთხოვნებს:
ვექტორის სიგრძე c უდრის a და b ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის φ კუთხის სინუსის ნამრავლს:
|c|=|a||b|sin φ;
ვექტორი c ორთოგონალურია a და b ვექტორების მიმართ;
ვექტორი c არის მიმართული ისე, რომ ვექტორების სამმაგი abc იყოს მემარჯვენე;
R7 სივრცის შემთხვევაში საჭიროა a, b, c ვექტორების სამეულის ასოციაციურობა.
Დანიშნულება:
c===a × b

ბრინჯი. 1. პარალელოგრამის ფართობი ვექტორული ნამრავლის მოდულის ტოლია

ჯვარედინი პროდუქტის გეომეტრიული თვისებები:
ორი არანულოვანი ვექტორის კოლინარობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა მათი ვექტორული ნამრავლი ნულის ტოლი.

ჯვარედინი პროდუქტის მოდული უდრის ფართობს სპარალელოგრამი აგებულია ვექტორებზე საერთო საწყისამდე ადა ბ(იხ. სურ. 1).

თუ ე- ერთეული ვექტორი ვექტორებზე ორთოგონალური ადა ბდა აირჩია ისე, რომ სამი ა, ბ, ე- მართალია და სარის მათზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი (შემცირებულია საერთო საწყისამდე), მაშინ მოქმედებს ვექტორული პროდუქტის ფორმულა:
= ს ე

ნახ.2. პარალელეპიპედის მოცულობა ვექტორების ვექტორისა და სკალარული ნამრავლის გამოყენებით; წერტილოვანი ხაზები აჩვენებს c ვექტორის პროგნოზებს a × b-ზე და ვექტორის a-ზე b × c-ზე, პირველი ნაბიჯი არის სკალარული პროდუქტების პოვნა.

თუ გ- რაღაც ვექტორი, π - ნებისმიერი სიბრტყე, რომელიც შეიცავს ამ ვექტორს, ე- ერთეული ვექტორი, რომელიც დევს თვითმფრინავში π და ორთოგონალური გ, გ- სიბრტყეზე ორთოგონალური ერთეული ვექტორი π და მიმართულია ისე, რომ ვექტორთა სამმაგი ეკგმართალია, მაშინ თვითმფრინავში ნებისმიერი წოლისთვის π ვექტორი აფორმულა სწორია:
=Pr e a |c|g
სადაც Pr e a არის ვექტორის e პროექცია a-ზე
|გ|-ვექტორის მოდული c

ვექტორული და სკალარული პროდუქტების გამოყენებისას შეგიძლიათ გამოთვალოთ ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობა საერთო საწყისამდე. ა, ბდა გ. სამი ვექტორის ასეთ ნამრავლს შერეული ეწოდება.
V=|a (b×c)|
სურათი გვიჩვენებს, რომ ეს მოცულობა შეიძლება მოიძებნოს ორი გზით: გეომეტრიული შედეგი შენარჩუნებულია მაშინაც კი, როდესაც "სკალარული" და "ვექტორული" პროდუქტები იცვლება:
V=a×b c=a b×c

ჯვარედინი ნამრავლის სიდიდე დამოკიდებულია თავდაპირველ ვექტორებს შორის კუთხის სინუსზე, ამიტომ ჯვარედინი ნამრავლი შეიძლება აღიქმებოდეს როგორც ვექტორების „პერპენდიკულარობის“ ხარისხი, ისევე როგორც სკალარული ნამრავლი შეიძლება ჩაითვალოს „პარალელიზმის ხარისხად“. “. ორი ერთეული ვექტორის ვექტორული ნამრავლი უდრის 1-ს (ერთეული ვექტორი), თუ თავდაპირველი ვექტორები პერპენდიკულარულია და 0-ის (ნულოვანი ვექტორი), თუ ვექტორები პარალელური ან ანტიპარალელურია.

ჯვარედინი ნამრავლის გამოხატვა დეკარტის კოორდინატებში
თუ ორი ვექტორი ადა ბგანისაზღვრება მათი მართკუთხა დეკარტის კოორდინატებით, უფრო ზუსტად, წარმოდგენილი ორთონორმალურ საფუძველზე
a=(a x,a y,a z)
b=(b x,b y,b z)
და კოორდინატთა სისტემა მარჯვენაა, მაშინ მათ ვექტორულ ნამრავლს აქვს ფორმა
=(a y b z -a z b y,a z b x -a x b z,a x b y -a y b x)
ამ ფორმულის დასამახსოვრებლად:
i =∑ε ijk a j b k
სად ε ijk- ლევი-ცივიტას სიმბოლო.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ოპერაციას ვექტორებით: ვექტორების ვექტორული ნამრავლიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი (დაუყოვნებელი ბმული მათთვის, ვისაც ეს სჭირდება). არა უშავს, ზოგჯერ ისეც ხდება, რომ სრული ბედნიერებისთვის, გარდა ამისა ვექტორების სკალარული პროდუქტი, უფრო და უფრო მეტია საჭირო. ეს არის ვექტორული დამოკიდებულება. შეიძლება ჩანდეს, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის ჯუნგლებში შევდივართ. ეს არასწორია. უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილებაში ზოგადად ცოტა ხეა, გარდა შესაძლოა საკმარისი პინოქიოს. სინამდვილეში, მასალა ძალიან გავრცელებული და მარტივია - ძნელად უფრო რთული, ვიდრე იგივე სკალარული პროდუქტი, უფრო ნაკლები ტიპიური დავალებაც კი იქნება. ანალიტიკურ გეომეტრიაში მთავარი, როგორც ბევრი დარწმუნდება ან უკვე დარწმუნდა, არის არ დაუშვათ შეცდომები გამოთვლებში. გაიმეორეთ შელოცვის მსგავსად და ბედნიერი იქნებით =)

თუ ვექტორები ანათებენ სადმე შორს, როგორც ელვა ჰორიზონტზე, არ აქვს მნიშვნელობა, დაიწყეთ გაკვეთილით ვექტორები დუმებისთვისვექტორების შესახებ საბაზისო ცოდნის აღდგენა ან ხელახლა მიღება. უფრო მომზადებულ მკითხველს შეუძლია ინფორმაციის შერჩევით გაცნობა; მე შევეცადე შემეგროვებინა მაგალითების ყველაზე სრულყოფილი კოლექცია, რომლებიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკულ მუშაობაში.

რა გაგაბედნიერებთ მაშინვე? პატარა რომ ვიყავი, ორი ან თუნდაც სამი ბურთის ჟონგლირება შემეძლო. კარგად გამოუვიდა. ახლა თქვენ საერთოდ არ მოგიწევთ ჟონგლირება, რადგან განვიხილავთ მხოლოდ სივრცითი ვექტორები, და ბრტყელი ვექტორები ორი კოორდინატით დარჩება გარეთ. რატომ? ასე დაიბადა ეს მოქმედებები - ვექტორების ვექტორული და შერეული პროდუქტი განისაზღვრება და მუშაობს სამგანზომილებიან სივრცეში. ეს უკვე უფრო ადვილია!

ეს ოპერაცია, ისევე როგორც სკალარული პროდუქტი, მოიცავს ორი ვექტორი. დაე ეს იყოს უხრწნელი ასოები.

თავად მოქმედება აღინიშნებაშემდეგი გზით: . არის სხვა ვარიანტებიც, მაგრამ მე მიჩვეული ვარ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის აღნიშვნას ასე, კვადრატულ ფრჩხილებში ჯვრით.

და მაშინვე კითხვა: თუ შევიდა ვექტორების სკალარული პროდუქტიჩართულია ორი ვექტორი და აქ ორი ვექტორიც მრავლდება, მაშინ რა არის განსხვავება? აშკარა განსხვავებაა, პირველ რიგში, შედეგში:

ვექტორების სკალარული ნამრავლის შედეგია NUMBER:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის შედეგია ვექტორი: , ანუ ვამრავლებთ ვექტორებს და ისევ ვიღებთ ვექტორს. დახურული კლუბი. ფაქტობრივად, სწორედ აქედან მოდის ოპერაციის სახელი. სხვადასხვა საგანმანათლებლო ლიტერატურაში აღნიშვნები ასევე შეიძლება განსხვავდებოდეს; მე გამოვიყენებ ასოს.

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

ჯერ იქნება განმარტება სურათით, შემდეგ კომენტარები.

განმარტება: ვექტორული პროდუქტი არაკოლინარულივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, სახელად ვექტორი, სიგრძერომელიც რიცხობრივად პარალელოგრამის ფართობის ტოლიაამ ვექტორებზე აგებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორების მიმართდა მიმართულია ისე, რომ საფუძველს ჰქონდეს სწორი ორიენტაცია:

მოდით დავამსხვრიოთ განმარტება, აქ ბევრი საინტერესო რამ არის!

ამრიგად, შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი მნიშვნელოვანი პუნქტები:

1) ორიგინალური ვექტორები, რომლებიც მითითებულია წითელი ისრებით, განმარტებით არა კოლინარული. მიზანშეწონილი იქნება კოლინარული ვექტორების შემთხვევა ცოტა მოგვიანებით განვიხილოთ.

2) ვექტორები აღებულია მკაცრად განსაზღვრული თანმიმდევრობით: – "a" მრავლდება "იყოს", არა „იყოს“ „ა“-ით. ვექტორული გამრავლების შედეგიარის VECTOR, რომელიც მითითებულია ლურჯად. თუ ვექტორები მრავლდება საპირისპირო თანმიმდევრობით, მივიღებთ სიგრძით ტოლ და მიმართულებით საპირისპირო ვექტორს (ჟოლოს ფერი). ანუ თანასწორობა მართალია .

3) ახლა გავეცნოთ ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილია! ლურჯი ვექტორის სიგრძე (და, მაშასადამე, ჟოლოსფერი ვექტორის) რიცხობრივად უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს. ფიგურაში ეს პარალელოგრამი შავად არის დაჩრდილული.

შენიშვნა : ნახაზი სქემატურია და, ბუნებრივია, ვექტორული ნამრავლის ნომინალური სიგრძე არ არის პარალელოგრამის ფართობის ტოლი.

გავიხსენოთ ერთ-ერთი გეომეტრიული ფორმულა: პარალელოგრამის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს.. ამიტომ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოქმედებს ვექტორული ნამრავლის სიგრძის გამოთვლის ფორმულა:

ხაზს ვუსვამ, რომ ფორმულა ეხება ვექტორის სიგრძეს და არა თავად ვექტორს. რა არის პრაქტიკული მნიშვნელობა? და მნიშვნელობა ის არის, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში, პარალელოგრამის ფართობი ხშირად გვხვდება ვექტორული პროდუქტის კონცეფციის საშუალებით:

მოდით მივიღოთ მეორე მნიშვნელოვანი ფორმულა. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​ყოფს მას ორ ტოლ სამკუთხედად. ამრიგად, ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი (წითელი დაჩრდილვა) შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

4) თანაბრად მნიშვნელოვანი ფაქტია, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ანუ . რა თქმა უნდა, საპირისპიროდ მიმართული ვექტორი (ჟოლოს ისარი) ასევე ორთოგონალურია თავდაპირველი ვექტორების მიმართ.

5) ვექტორი მიმართულია ისე, რომ საფუძველიᲛას აქვს უფლებაორიენტაცია. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლასაკმარისად დეტალურად ვისაუბრე თვითმფრინავის ორიენტაციადა ახლა ჩვენ გავარკვევთ რა არის სივრცეში ორიენტაცია. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელი. გონებრივად შეაერთეთ საჩვენებელი თითივექტორით და შუა თითივექტორით. ბეჭედი და პატარა თითიდააჭირე მას ხელისგულში. Როგორც შედეგი ცერა თითი– ვექტორული პროდუქტი გამოჩნდება. ეს არის უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველი (ეს არის ფიგურაში). ახლა შეცვალეთ ვექტორები ( საჩვენებელი და შუა თითები) ზოგან, შედეგად ცერა თითი შემობრუნდება და ვექტორული პროდუქტი უკვე ქვემოთ იყურება. ესეც უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველია. შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა: რომელი საფუძველი აქვს მარცხენა ორიენტაციას? იგივე თითებზე "მინიშნება". მარცხენა ხელივექტორები და მიიღეთ სივრცის მარცხენა საფუძველი და მარცხენა ორიენტაცია (ამ შემთხვევაში, ცერა თითი განთავსდება ქვედა ვექტორის მიმართულებით). ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ეს ფუძეები "უხვევს" ან ორიენტირებს სივრცეს სხვადასხვა მიმართულებით. და ეს კონცეფცია არ უნდა ჩაითვალოს რაღაც შორს ან აბსტრაქტულად - მაგალითად, სივრცის ორიენტაცია იცვლება ყველაზე ჩვეულებრივი სარკით და თუ "ასახული საგანი ამოიყვანეთ მინიდან", მაშინ ზოგადად შეუძლებელი იქნება მისი "ორიგინალთან" შერწყმა. სხვათა შორის, სამი თითი მიიტანეთ სარკესთან და გააანალიზეთ ანარეკლი ;-)

...რა კარგია, რომ ახლა იცი მარჯვნივ და მარცხნივ ორიენტირებულისაფუძვლები, რადგან ზოგიერთი ლექტორის განცხადება ორიენტაციის ცვლილების შესახებ საშინელია =)

კოლინარული ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი

განმარტება დეტალურად იქნა განხილული, რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ხდება, როდესაც ვექტორები კოლინარულია. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ისინი შეიძლება განთავსდეს ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი ასევე "იკეცოს" ერთ სწორ ხაზზე. ისეთი არეალი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, დეგენერატიპარალელოგრამი ნულის ტოლია. იგივე გამომდინარეობს ფორმულიდან - ნულის ან 180 გრადუსის სინუსი ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ფართობი ნულის ტოლია

ამრიგად, თუ, მაშინ და . გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თავად ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, მაგრამ პრაქტიკაში ეს ხშირად უგულებელყოფილია და წერენ, რომ ის ასევე ნულის ტოლია.

განსაკუთრებული შემთხვევაა ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი თავისთან:

ვექტორული პროდუქტის გამოყენებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ სამგანზომილებიანი ვექტორების კოლინარულობა და ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ ამ პრობლემას, სხვათა შორის.

პრაქტიკული მაგალითების გადასაჭრელად შეიძლება დაგჭირდეთ ტრიგონომეტრიული ცხრილიმისგან სინუსების მნიშვნელობების პოვნა.

აბა, ავანთოთ ცეცხლი:

მაგალითი 1

ა) იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე თუ

ბ) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი თუ

გამოსავალი: არა, ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა, შეგნებულად დავწერე თავდაპირველი მონაცემები პუნქტებში. რადგან გადაწყვეტილებების დიზაინი განსხვავებული იქნება!

ა) პირობის მიხედვით უნდა მოძებნოთ სიგრძევექტორი (ჯვარედინი პროდუქტი). შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე:

თუ გკითხეს სიგრძეზე, მაშინ პასუხში მივუთითებთ განზომილებას - ერთეულებს.

ბ) პირობის მიხედვით უნდა მოძებნოთ კვადრატივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი. ამ პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად უდრის ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს:

უპასუხე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პასუხი საერთოდ არ საუბრობს ვექტორულ ნამრავლზე, ჩვენ გვკითხეს ფიგურის ფართობიშესაბამისად, განზომილება არის კვადრატული ერთეული.

ჩვენ ყოველთვის ვუყურებთ რა უნდა ვიპოვოთ პირობის მიხედვით და ამის საფუძველზე ვაყალიბებთ ნათელიპასუხი. შეიძლება ლიტერალიზმად მოგეჩვენოთ, მაგრამ მასწავლებლებს შორის უამრავი ლიტერალისტია და დავალებას აქვს კარგი შანსი, რომ დაბრუნდეს გადასინჯვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის განსაკუთრებით შორსმჭვრეტელი ყვირილი - თუ პასუხი არასწორია, მაშინ იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ადამიანს არ ესმის მარტივი რაღაცეები და/ან არ ესმის ამოცანის არსი. ეს პუნქტი ყოველთვის უნდა იყოს კონტროლირებადი უმაღლეს მათემატიკაში და სხვა საგნებში ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრისას.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში შეიძლებოდა ხსნარზე დამატებით მიმაგრებულიყო, მაგრამ ჩანაწერის შესამცირებლად ეს არ გამიკეთებია. ვიმედოვნებ, რომ ყველას ესმის ეს და არის იგივე აღნიშვნა.

პოპულარული მაგალითი წვრილმანი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

ვექტორული პროდუქტის მეშვეობით სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა მოცემულია განმარტების კომენტარებში. გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში, ამოცანა მართლაც ძალიან გავრცელებულია; სამკუთხედები ზოგადად შეიძლება გატანჯოთ.

სხვა პრობლემების გადასაჭრელად დაგვჭირდება:

ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ვექტორული პროდუქტის ზოგიერთი თვისება, თუმცა მათ ამ სიაში ჩავრიცხავ.

თვითნებური ვექტორებისთვის და თვითნებური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) ინფორმაციის სხვა წყაროებში ეს პუნქტი, როგორც წესი, არ არის ხაზგასმული თვისებებში, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით. ასე რომ იყოს.

2) – საკუთრებაც ზემოთ არის განხილული, ხანდახან ე.წ ანტიკომუტატიურობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

3) – ასოციაციური ან ასოციაციურივექტორული პროდუქტის კანონები. მუდმივები ადვილად შეიძლება გადავიდეს ვექტორული პროდუქტის გარეთ. მართლა, რა უნდა ქნან იქ?

4) – განაწილება ან გამანაწილებელივექტორული პროდუქტის კანონები. არც სამაგრების გახსნის პრობლემაა.

დემონსტრირებისთვის, მოდით შევხედოთ მოკლე მაგალითს:

მაგალითი 3

იპოვეთ თუ

გამოსავალი:მდგომარეობა კვლავ მოითხოვს ვექტორული პროდუქტის სიგრძის პოვნას. მოდით დავხატოთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ მუდმივებს ვექტორული ნამრავლის ფარგლებს გარეთ.

(2) ჩვენ ვიღებთ მუდმივას მოდულის გარეთ და მოდული "ჭამს" მინუს ნიშანს. სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) დანარჩენი ნათელია.

უპასუხე:

დროა ცეცხლზე მეტი შეშა დავამატოთ:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

გამოსავალი: იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით . მთავარი ის არის, რომ ვექტორები "ცე" და "დე" თავად არის წარმოდგენილი ვექტორების ჯამებად. ალგორითმი აქ სტანდარტულია და გარკვეულწილად მოგვაგონებს გაკვეთილის მე-3 და მე-4 მაგალითებს ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. სიცხადისთვის, ჩვენ დავყოფთ გამოსავალს სამ ეტაპად:

1) პირველ ეტაპზე ჩვენ ვექტორულ ნამრავლს ვექტორული ნამრავლის საშუალებით გამოვხატავთ, ფაქტობრივად, გამოვხატოთ ვექტორი ვექტორის მიხედვით. სიგრძეზე ჯერ არაფერია ნათქვამი!

(1) ჩაანაცვლეთ ვექტორების გამოსახულებები.

(2) გამანაწილებელი კანონების გამოყენებით ვხსნით ფრჩხილებს მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.

(3) ასოციაციური კანონების გამოყენებით, ჩვენ გადავაადგილებთ ყველა მუდმივას ვექტორული პროდუქტების მიღმა. მცირე გამოცდილებით, მე-2 და მე-3 ნაბიჯების შესრულება შესაძლებელია ერთდროულად.

(4) პირველი და ბოლო წევრი ნულის ტოლია (ნულოვანი ვექტორი) ლამაზი თვისების გამო. მეორე ტერმინში ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურობის თვისებას:

(5) ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

შედეგად, ვექტორი გამოიხატება ვექტორის საშუალებით, რისი მიღწევაც საჭირო იყო:

2) მეორე საფეხურზე ვპოულობთ ჩვენთვის საჭირო ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს. ეს მოქმედება მსგავსია მაგალითი 3-ის:

3) იპოვეთ საჭირო სამკუთხედის ფართობი:

ამოხსნის 2-3 ეტაპები შეიძლებოდა დაეწერა ერთ სტრიქონში.

უპასუხე:

განხილული პრობლემა საკმაოდ გავრცელებულია ტესტებში, აქ არის მაგალითი მისი გადაჭრისთვის:

მაგალითი 5

იპოვეთ თუ

მოკლე გამოსავალი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ვნახოთ, რამდენად ყურადღებიანი იყავით წინა მაგალითების შესწავლისას ;-)

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი კოორდინატებში

, მითითებული ორთონორმალურ საფუძველზე, გამოხატული ფორმულით:

ფორმულა მართლაც მარტივია: დეტერმინანტის ზედა სტრიქონში ვწერთ კოორდინატთა ვექტორებს, მეორე და მესამე სტრიქონებში „ვაყენებთ“ ვექტორების კოორდინატებს და ვსვამთ. მკაცრი წესით– ჯერ “ve” ვექტორის კოორდინატები, შემდეგ “double-ve” ვექტორის კოორდინატები. თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს სხვა თანმიმდევრობით, მაშინ რიგები უნდა შეიცვალოს:

მაგალითი 10

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები კოლინარული:
ა)
ბ)

გამოსავალი: შემოწმება ემყარება ამ გაკვეთილის ერთ-ერთ დებულებას: თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლი ნულის ტოლია (ნულოვანი ვექტორი): .

ა) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

ამრიგად, ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

უპასუხე: ა) არა კოლინარული, ბ)

აქ, ალბათ, არის ყველა ძირითადი ინფორმაცია ვექტორების ვექტორული პროდუქტის შესახებ.

ეს განყოფილება არ იქნება ძალიან დიდი, რადგან ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოყენებისას რამდენიმე პრობლემაა. სინამდვილეში, ყველაფერი დამოკიდებული იქნება განმარტებაზე, გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე და რამდენიმე სამუშაო ფორმულაზე.

ვექტორთა შერეული ნამრავლი არის სამი ვექტორის ნამრავლი:

ასე რომ, ისინი მატარებელივით დადგნენ და ვერ ითმენდნენ, რომ ამოიცნონ.

ჯერ კიდევ, განმარტება და სურათი:

განმარტება: შერეული სამუშაო არათანაბარივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, დაურეკა პარალელეპიპედური მოცულობა, აგებულია ამ ვექტორებზე, აღჭურვილია „+“ ნიშნით, თუ საფუძველი სწორია და „–“ ნიშნით, თუ საფუძველი დარჩა.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი. ჩვენთვის უხილავი ხაზები დახატულია წერტილოვანი ხაზებით:

მოდით ჩავუღრმავდეთ განმარტებას:

2) ვექტორები აღებულია გარკვეული თანმიმდევრობით, ანუ პროდუქტში ვექტორების გადაწყობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, შედეგების გარეშე არ ხდება.

3) სანამ გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე კომენტარს გავაკეთებ, აღვნიშნავ აშკარა ფაქტს: ვექტორების შერეული ნამრავლი არის NUMBER: . საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, დიზაინი შეიძლება ოდნავ განსხვავებული იყოს; მე მიჩვეული ვარ შერეული პროდუქტის აღნიშვნას, ხოლო გამოთვლების შედეგის ასო "პე"-ით.

ა-პრიორიტეტი შერეული პროდუქტი არის პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ვექტორებზე (ფიგურა დახატულია წითელი ვექტორებითა და შავი ხაზებით). ანუ რიცხვი უდრის მოცემული პარალელეპიპედის მოცულობას.

შენიშვნა : ნახატი სქემატურია.

4) ისევ ნუ ვიდარდებთ საფუძვლისა და სივრცის ორიენტაციის კონცეფციაზე. ბოლო ნაწილის მნიშვნელობა არის ის, რომ მინუს ნიშანი შეიძლება დაემატოს მოცულობას. მარტივი სიტყვებით, შერეული პროდუქტი შეიძლება იყოს უარყოფითი: .

პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა.