ამ სტატიაში ჩვენ უფრო დეტალურად განვიხილავთ ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის კონცეფციას. მივცემთ საჭირო განმარტებებს, დავწერთ ფორმულას ვექტორული ნამრავლის კოორდინატების საპოვნელად, ჩამოვთვლით და დავასაბუთებთ მის თვისებებს. ამის შემდეგ, ჩვენ ვისაუბრებთ ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე და განვიხილავთ სხვადასხვა ტიპიური მაგალითების ამონახსნებს.

გვერდის ნავიგაცია.

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება.

ვექტორული პროდუქტის განსაზღვრამდე, მოდით გავიგოთ ვექტორების მოწესრიგებული სამეულის ორიენტაცია სამგანზომილებიან სივრცეში.

დავწეროთ ვექტორები ერთი წერტილიდან. ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე, სამი შეიძლება იყოს მარჯვნივ ან მარცხნივ. ვექტორის ბოლოდან შევხედოთ, თუ როგორ ხდება უმოკლეს ბრუნი ვექტორიდან . თუ უმოკლეს ბრუნვა ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ ვექტორთა სამმაგი ეწოდება უფლება, წინააღმდეგ შემთხვევაში - დატოვა.

ახლა ავიღოთ ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი და . გამოვსახოთ ვექტორები და A წერტილიდან. ავაშენოთ რამდენიმე ვექტორი პერპენდიკულარული ორივეს და და. ცხადია, ვექტორის აგებისას ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ორი რამ, მივცეთ მას ერთი მიმართულება ან საპირისპირო (იხ. ილუსტრაცია).

ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე, ვექტორების მოწესრიგებული სამეული შეიძლება იყოს მემარჯვენე ან მემარცხენე.

ეს გვაახლოებს ვექტორული პროდუქტის განმარტებასთან. იგი მოცემულია ორ ვექტორზე, რომლებიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

განმარტება.

ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლიდა, რომელიც მითითებულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, ეწოდება ისეთი ვექტორი, რომ

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი და აღინიშნება როგორც .

ვექტორული პროდუქტის კოორდინატები.

ახლა ჩვენ მივცემთ ვექტორული პროდუქტის მეორე განმარტებას, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მისი კოორდინატები მოცემული ვექტორების კოორდინატებიდან და.

განმარტება.

სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი და არის ვექტორი, სადაც არის კოორდინატთა ვექტორები.

ეს განსაზღვრება გვაძლევს ჯვარედინი ნამრავლს კოორდინატულ ფორმაში.

მოსახერხებელია ვექტორული ნამრავლის წარმოდგენა, როგორც მესამე რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომლის პირველი რიგი არის ვექტორები, მეორე რიგი შეიცავს ვექტორის კოორდინატებს, ხოლო მესამე შეიცავს მოცემულ ვექტორის კოორდინატებს. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა:

თუ ამ განმსაზღვრელს გავაფართოვებთ პირველი რიგის ელემენტებში, თანასწორობას ვიღებთ კოორდინატებში ვექტორული ნამრავლის განმარტებიდან (საჭიროების შემთხვევაში, იხილეთ სტატია):

უნდა აღინიშნოს, რომ ვექტორული ნამრავლის კოორდინატთა ფორმა სრულად შეესაბამება ამ მუხლის პირველ პუნქტში მოცემულ განმარტებას. უფრო მეტიც, ჯვარედინი პროდუქტის ეს ორი განმარტება ექვივალენტურია. ამ ფაქტის დამადასტურებელი საბუთი შეგიძლიათ იხილოთ სტატიის ბოლოს ჩამოთვლილ წიგნში.

ვექტორული პროდუქტის თვისებები.

ვინაიდან კოორდინატებში ვექტორული ნამრავლი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მატრიცის განმსაზღვრელი, შემდეგი შეიძლება ადვილად დასაბუთდეს საფუძველზე ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები:

მაგალითად, მოდით დავამტკიცოთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტაციური თვისება.

ა-პრიორი და . ჩვენ ვიცით, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობა შეიცვლება, თუ ორი მწკრივი შეიცვლება, შესაბამისად, , რომელიც ადასტურებს ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტაციური თვისებას.

ვექტორული პროდუქტი - მაგალითები და გადაწყვეტილებები.

ძირითადად სამი სახის პრობლემაა.

პირველი ტიპის ამოცანებში მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე და თქვენ უნდა იპოვოთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე. ამ შემთხვევაში, ფორმულა გამოიყენება .

მაგალითი.

იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე და თუ ცნობილია .

გამოსავალი.

განმარტებიდან ვიცით, რომ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე და ტოლია ვექტორების სიგრძის ნამრავლისა და მათ შორის კუთხის სინუსით, შესაბამისად, .

პასუხი:

.

მეორე ტიპის ამოცანები დაკავშირებულია ვექტორების კოორდინატებთან, რომლებშიც ვექტორული ნამრავლი, მისი სიგრძე თუ სხვა რამ იძებნება მოცემული ვექტორების კოორდინატებით. და .

აქ ბევრი სხვადასხვა ვარიანტია შესაძლებელი. მაგალითად, შეიძლება დაზუსტდეს არა ვექტორების კოორდინატები, არამედ მათი გაფართოება ფორმის კოორდინატულ ვექტორებად. და , ან ვექტორები და შეიძლება განისაზღვროს მათი საწყისი და ბოლო წერტილების კოორდინატებით.

მოდით შევხედოთ ტიპურ მაგალითებს.

მაგალითი.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია ორი ვექტორი . იპოვეთ მათი ჯვარედინი პროდუქტი.

გამოსავალი.

მეორე განმარტების მიხედვით, კოორდინატებში ორი ვექტორის ნამრავლი იწერება როგორც:

ჩვენ იმავე შედეგამდე მივიდოდით, თუ ვექტორული ნამრავლი დაწერილი იქნებოდა განმსაზღვრელი სახით

პასუხი:

.

მაგალითი.

იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე და სად არის მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ერთეული ვექტორები.

გამოსავალი.

ჯერ ვპოულობთ ვექტორული ნამრავლის კოორდინატებს მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ვინაიდან ვექტორები და აქვთ კოორდინატები და შესაბამისად (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ ვექტორის კოორდინატები მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში), მაშინ ვექტორული ნამრავლის მეორე განმარტებით გვაქვს

ანუ ვექტორული პროდუქტი აქვს კოორდინატები მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.

ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს ვპოულობთ, როგორც მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი (ვექტორის სიგრძის პოვნის განყოფილებაში მივიღეთ ვექტორის სიგრძის ეს ფორმულა):

პასუხი:

.

მაგალითი.

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში მოცემულია სამი წერტილის კოორდინატები. იპოვნეთ ვექტორი, რომელიც არის პერპენდიკულარული და ამავე დროს.

გამოსავალი.

ვექტორები და აქვთ კოორდინატები და შესაბამისად (იხილეთ სტატია ვექტორის კოორდინატების პოვნა წერტილების კოორდინატების მეშვეობით). თუ ჩვენ ვიპოვით ვექტორების ვექტორულ ნამრავლს და , მაშინ განსაზღვრებით ის არის ვექტორი პერპენდიკულარული ორივეზე და ზე, ანუ არის ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა. მოდი ვიპოვოთ იგი

პასუხი:

- ერთ-ერთი პერპენდიკულარული ვექტორი.

მესამე ტიპის ამოცანებში შემოწმებულია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენების უნარი. თვისებების გამოყენების შემდეგ გამოიყენება შესაბამისი ფორმულები.

მაგალითი.

და ვექტორები პერპენდიკულარულია და მათი სიგრძეა 3 და 4, შესაბამისად. იპოვეთ ჯვარედინი პროდუქტის სიგრძე .

გამოსავალი.

ვექტორული ნამრავლის გამანაწილებელი თვისებით შეგვიძლია დავწეროთ

კომბინაციის თვისების გამო ვიღებთ რიცხვით კოეფიციენტებს ვექტორული პროდუქციის ნიშნიდან ბოლო გამოსახულებაში:

ვექტორული პროდუქტები და ტოლია ნულის, ვინაიდან და , მაშინ .

ვინაიდან ვექტორული პროდუქტი ანტიკომუტატიულია, მაშინ .

ამრიგად, ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებით, მივედით ტოლობამდე .

პირობით, ვექტორები და არიან პერპენდიკულარული, ანუ მათ შორის კუთხე უდრის . ანუ ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი საჭირო სიგრძის საპოვნელად

პასუხი:

.

ვექტორული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

განმარტებით, ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძეა . და საშუალო სკოლის გეომეტრიის კურსიდან ვიცით, რომ სამკუთხედის ფართობი ტოლია სამკუთხედის ორი გვერდის სიგრძისა და მათ შორის კუთხის სინუსის ნამრავლის ნახევარი. შესაბამისად, ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის სამკუთხედის ფართობის ორჯერ, რომლის გვერდები არის ვექტორები და თუ ისინი გამოსახულია ერთი წერტილიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე და ტოლია პარალელოგრამის ფართობი გვერდებით და მათ შორის კუთხე ტოლია . ეს არის ვექტორული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

სანამ ვექტორული ნამრავლის ცნებას მოვიყვანთ, მივმართოთ საკითხს a →, b →, c → ვექტორების მოწესრიგებული სამეულის ორიენტაციის შესახებ სამგანზომილებიან სივრცეში.

დასაწყისისთვის, ერთი წერტილიდან გამოვყოთ a → , b → , c → ვექტორები. სამმაგი a → , b → , c → ორიენტაცია შეიძლება იყოს მარჯვნივ ან მარცხნივ, რაც დამოკიდებულია თავად c → ვექტორის მიმართულებაზე. სამმაგი a → , b → , c → განისაზღვრება იმ მიმართულებით, რომლითაც უმოკლეს ბრუნი კეთდება a ვექტორიდან b → c → ვექტორის ბოლოდან.

თუ უმოკლეს შემობრუნება ხორციელდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ ვექტორების სამმაგი a → , b → , c → ე.წ. უფლებათუ საათის ისრის მიმართულებით - დატოვა.

შემდეგი, აიღეთ ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი a → და b →. შემდეგ გამოვსახოთ ვექტორები A B → = a → და A C → = b → A წერტილიდან. ავაშენოთ ვექტორი A D → = c →, რომელიც ერთდროულად არის პერპენდიკულარული A B → და A C →. ამრიგად, თავად ვექტორის აგებისას A D → = c →, ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ორი რამ, მივცეთ მას ერთი მიმართულება ან საპირისპირო (იხ. ილუსტრაცია).

ვექტორების მოწესრიგებული სამეული a → , b → , c → შეიძლება იყოს, როგორც გავარკვიეთ, მარჯვნივ ან მარცხნივ, ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე.

ზემოაღნიშნულიდან შეგვიძლია შემოვიტანოთ ვექტორული პროდუქტის განმარტება. ეს განმარტება მოცემულია ორ ვექტორზე, რომლებიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

განმარტება 1

ორი ვექტორის a → და b → ვექტორული ნამრავლი ჩვენ დავარქმევთ ისეთ ვექტორს, რომელიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, რომ:

• თუ a → და b → ვექტორები წრფივია, ის იქნება ნული;
• ის იქნება პერპენდიკულარული როგორც a → ​ ვექტორის, ასევე b ვექტორის მიმართ, ე.ი. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• მისი სიგრძე განისაზღვრება ფორმულით: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → ვექტორების სამეულს იგივე ორიენტაცია აქვს, რაც მოცემულ კოორდინატულ სისტემას.

a → და b → ვექტორების ნამრავლს აქვს შემდეგი აღნიშვნა: a → × b →.

ვექტორული პროდუქტის კოორდინატები

ვინაიდან ნებისმიერ ვექტორს აქვს გარკვეული კოორდინატები კოორდინატთა სისტემაში, შეგვიძლია შემოვიტანოთ ვექტორული პროდუქტის მეორე განმარტება, რომელიც საშუალებას მოგვცემს ვიპოვოთ მისი კოორდინატები ვექტორების მოცემული კოორდინატების გამოყენებით.

განმარტება 2

სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი a → = (a x ; a y ; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) ეწოდება ვექტორი c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , სადაც i → , j → , k → არის კოორდინატული ვექტორები.

ვექტორული ნამრავლი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მესამე რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, სადაც პირველი მწკრივი შეიცავს ვექტორებს i → , j → , k → , მეორე რიგი შეიცავს a → ვექტორის კოორდინატებს, ხოლო მესამე მწკრივს. შეიცავს b → ვექტორის კოორდინატებს მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, ეს არის მატრიცის განმსაზღვრელი ასე გამოიყურება: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

ამ განმსაზღვრელი პირველი რიგის ელემენტებად გაფართოებით მივიღებთ ტოლობას: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x = → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

ცნობილია, რომ ვექტორული ნამრავლი კოორდინატებში წარმოდგენილია როგორც c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z მატრიცის განმსაზღვრელი, შემდეგ საფუძველზე მატრიცის განმსაზღვრელი თვისებებინაჩვენებია შემდეგი ვექტორული პროდუქტის თვისებები:

1. ანტიკომუტატიურობა a → × b → = - b → × a →;
2. განაწილება a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ან a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ასოციაციურობა λ a → × b → = λ a → × b → ან a → × (λ b →) = λ a → × b →, სადაც λ არის თვითნებური რეალური რიცხვი.

ამ თვისებებს აქვს მარტივი მტკიცებულება.

მაგალითად, შეგვიძლია დავამტკიცოთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტაციური თვისება.

ანტიკომუტატიურობის მტკიცებულება

განმარტებით, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z და b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. და თუ მატრიცის ორი ხაზი გადანაწილებულია ადგილებზე, მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს საპირისპიროდ, შესაბამისად, a → → × b → J → K → K → A X A Y A Z B X B Y B Z = - I → K → B Y B Yb Z A X A Y A Z. = - B → × A →, რაც და ადასტურებს, რომ ვექტორული ნამრავლი ანტიკომუტატიულია.

ვექტორული პროდუქტი - მაგალითები და გადაწყვეტილებები

უმეტეს შემთხვევაში, სამი სახის პრობლემაა.

პირველი ტიპის ამოცანებში, როგორც წესი, მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე და თქვენ უნდა იპოვოთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე. ამ შემთხვევაში გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

მაგალითი 1

იპოვეთ a → და b → ვექტორების ნამრავლის სიგრძე, თუ იცით a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

გამოსავალი

a → და b → ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძის განსაზღვრით ვხსნით ამ ამოცანას: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

პასუხი: 15 2 2 .

მეორე ტიპის ამოცანებს აქვს კავშირი ვექტორების კოორდინატებთან, მათში ვექტორულ ნამრავლთან, მის სიგრძესთან და ა.შ. იძებნება მოცემული ვექტორების ცნობილი კოორდინატების მეშვეობით a → = (a x; a y; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) .

ამ ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად შეგიძლიათ ამოცანების მრავალი ვარიანტის გადაჭრა. მაგალითად, შეიძლება მითითებული იყოს არა a → და b → ვექტორების კოორდინატები, არამედ მათი გაფართოება ფორმის კოორდინატ ვექტორებად. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → და c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, ან a → და b → ვექტორები შეიძლება დაზუსტდეს მათი დაწყების კოორდინატებით და ბოლო წერტილები.

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითები.

მაგალითი 2

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია ორი ვექტორი: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). იპოვეთ მათი ჯვარედინი პროდუქტი.

გამოსავალი

მეორე განმარტებით, ჩვენ ვპოულობთ ორი ვექტორის ნამრავლს მოცემულ კოორდინატებში: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

თუ ვექტორულ ნამრავლს ჩავწერთ მატრიცის განმსაზღვრელი საშუალებით, მაშინ ამ მაგალითის ამოხსნა ასე გამოიყურება: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

პასუხი: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

მაგალითი 3

იპოვეთ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორების ნამრავლის სიგრძე, სადაც i →, j →, k → არის მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ერთეული ვექტორები.

გამოსავალი

ჯერ ვიპოვოთ მოცემული ვექტორული ნამრავლის კოორდინატები i → - j → × i → + j → + k → მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ცნობილია, რომ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორებს აქვთ კოორდინატები (1; - 1; 0) და (1; 1; 1). ვიპოვოთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე მატრიცის დეტერმინანტის გამოყენებით, შემდეგ გვაქვს i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

ამიტომ ვექტორულ ნამრავლს i → - j → × i → + j → + k → აქვს კოორდინატები (- 1 ; - 1 ; 2) მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.

ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს ვპოულობთ ფორმულის გამოყენებით (იხ. განყოფილება ვექტორის სიგრძის პოვნის შესახებ): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

პასუხი: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

მაგალითი 4

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია სამი წერტილის A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) კოორდინატები. იპოვნეთ A B → და A C → პერპენდიკულარული ვექტორი ერთდროულად.

გამოსავალი

A B → და A C → ვექტორებს აქვთ შემდეგი კოორდინატები (- 1 ; 2 ; 2) და (0 ; 4 ; 1) შესაბამისად. ვიპოვეთ A B → და A C → ვექტორების ვექტორული ნამრავლი, აშკარაა, რომ ის არის პერპენდიკულარული ვექტორი A B → და A C →, ანუ ეს არის ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა. ვიპოვოთ A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

პასუხი: - 6 i → + j → - 4 k → . - ერთ-ერთი პერპენდიკულარული ვექტორი.

მესამე ტიპის ამოცანები ფოკუსირებულია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებაზე. რომლის გამოყენების შემდეგ ჩვენ მივიღებთ მოცემული პრობლემის გადაწყვეტას.

მაგალითი 5

ვექტორები a → და b → პერპენდიკულურია და მათი სიგრძეა, შესაბამისად, 3 და 4. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

გამოსავალი

ვექტორული ნამრავლის გამანაწილებელი თვისებით შეგვიძლია დავწეროთ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ასოციაციურობის თვისებით ვიღებთ ციფრულ კოეფიციენტებს ბოლო გამოსახულებაში ვექტორული ნამრავლების ნიშნიდან: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

ვექტორული ნამრავლები a → × a → და b → × b → ტოლია 0-ის, ვინაიდან a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 და b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, შემდეგ 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a →. .

ვექტორული ნამრავლის ანტიკომუტატიურობიდან გამომდინარეობს - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ბ → . .

ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებით ვიღებთ ტოლობას 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

პირობით, a → და b → ვექტორები პერპენდიკულარულია, ანუ მათ შორის კუთხე უდრის π 2-ს. ახლა რჩება მხოლოდ ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება შესაბამის ფორმულებში: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

პასუხი: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე განსაზღვრებით უდრის a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . ვინაიდან უკვე ცნობილია (სასკოლო კურსიდან), რომ სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ორი გვერდის სიგრძის ნამრავლის ნახევარს, გამრავლებული ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსზე. ამრიგად, ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის პარალელოგრამის ფართობს - გაორმაგებული სამკუთხედი, კერძოდ, გვერდების ნამრავლი a → და b → ვექტორების სახით, რომლებიც ჩამოყალიბებულია ერთი წერტილიდან, სინუსით. მათ შორის კუთხე sin ∠ a →, b →.

ეს არის ვექტორული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა

მექანიკაში, ფიზიკის ერთ-ერთ ფილიალში, ვექტორული პროდუქტის წყალობით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ძალის მომენტი სივრცის წერტილთან მიმართებაში.

განმარტება 3

ძალის F → გამოყენებული B წერტილზე, A წერტილთან მიმართებაში, ჩვენ გავიგებთ შემდეგ ვექტორულ ნამრავლს A B → × F →.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

7.1. ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

სამი არაერთობლივი ვექტორი a, b და c, აღებული მითითებული თანმიმდევრობით, ქმნის მარჯვენა სამეულს, თუ მესამე ვექტორის ბოლოდან c-ის ბოლოდან ჩანს უმოკლესი ბრუნი პირველი a ვექტორიდან მეორე ვექტორამდე b. იყოს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ხოლო მარცხენა სამეული თუ საათის ისრის მიმართულებით (იხ. სურ. 16).

ვექტორის a და ვექტორის ვექტორულ ნამრავლს ეწოდება c ვექტორი, რომელიც:

1. a და b ვექტორების პერპენდიკულარული, ანუ c ^ a და c ^ ბ ;

2. აქვს სიგრძე რიცხობრივად ტოლი a და ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობისბროგორც გვერდებზე (იხ. სურ. 17), ე.ი.

3. a, b და c ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სამეულს.

ჯვარედინი ნამრავლი აღინიშნება x b ან [a,b]. შემდეგი ურთიერთობები ერთეულ ვექტორებს შორის i პირდაპირ გამომდინარეობს ვექტორული ნამრავლის განმარტებიდან, ჯდა კ(იხ. სურ. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
მოდით დავამტკიცოთ, რომ მაგალითადმე xj =k.

1) კ ^ ი, კ ^ j ;

2) |k |=1, მაგრამ | მე x ჯ| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) ვექტორები i, j და კშექმენით მარჯვენა სამეული (იხ. სურ. 16).

7.2. ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

1. ფაქტორების გადაწყობისას ვექტორული ნამრავლი ცვლის ნიშანს, ე.ი. და xb =(b xa) (იხ. სურ. 19).

ვექტორები a xb და b xa არის კოლინარული, აქვთ იგივე მოდულები (პარალელოგრამის ფართობი უცვლელი რჩება), მაგრამ საპირისპიროა მიმართული (სამმაგი a, b, a xb და a, b, b x a საპირისპირო ორიენტაციის). ანუ axb = -(b xa).

2. ვექტორულ პროდუქტს აქვს კომბინირების თვისება სკალარული ფაქტორის მიმართ, ანუ l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

მოდით l >0. ვექტორი l (a xb) არის a და b ვექტორების პერპენდიკულარული. ვექტორი ( ლნაჯახი ბასევე არის a და ვექტორების პერპენდიკულარული ბ(ვექტორები a, ლმაგრამ დაწექი იმავე სიბრტყეში). ეს ნიშნავს, რომ ვექტორები ლ(a xb) და ( ლნაჯახი ბკოლინარული. აშკარაა, რომ მათი მიმართულებები ერთმანეთს ემთხვევა. მათ აქვთ იგივე სიგრძე:

Ამიტომაც ლ(a xb)= ლ xb. ეს დადასტურებულია მსგავსი გზით ლ<0.

3. ორი არანულოვანი ვექტორი a და ბარიან კოლინარული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, ანუ a ||b<=>და xb =0.

კერძოდ, i *i =j *j =k *k =0 .

4. ვექტორულ პროდუქტს აქვს განაწილების თვისება:

(ა+ბ) xc = a xc + ბ xs.

ჩვენ მივიღებთ მტკიცებულების გარეშე.

7.3. ჯვარედინი ნამრავლის გამოხატვა კოორდინატების მიხედვით

ჩვენ გამოვიყენებთ i ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის ცხრილს, ჯდა კ:

თუ პირველი ვექტორიდან მეორემდე უმოკლესი ბილიკის მიმართულება ემთხვევა ისრის მიმართულებას, მაშინ ნამრავლი უდრის მესამე ვექტორს, თუ არ ემთხვევა, მესამე ვექტორი აღებულია მინუს ნიშნით.

მიეცით ორი ვექტორი a =a x i +a y ჯ+a z კდა b =b x მე+b y ჯ+b z კ. ვიპოვოთ ამ ვექტორების ვექტორული ნამრავლი მათი მრავალწევრების გამრავლებით (ვექტორული ნამრავლის თვისებების მიხედვით):

შედეგად მიღებული ფორმულა შეიძლება კიდევ უფრო მოკლედ დაიწეროს:

ვინაიდან ტოლობის მარჯვენა მხარე (7.1) შეესაბამება მესამე რიგის დეტერმინანტის გაფართოებას პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით.ტოლობა (7.2) ადვილად დასამახსოვრებელია.

7.4. ჯვარედინი პროდუქტის ზოგიერთი გამოყენება

ვექტორების კოლინარობის დადგენა

პარალელოგრამისა და სამკუთხედის ფართობის პოვნა

ვექტორთა ვექტორული ნამრავლის განმარტების მიხედვით ადა ბ |a xb | =|ა | * |b |sin g, ანუ S წყვილი = |a x b |. და, შესაბამისად, D S =1/2|a x b |.

ძალის მომენტის განსაზღვრა წერტილის შესახებ

მიეცით ძალა A წერტილში F =ABგაუშვი შესახებ- რაღაც წერტილი სივრცეში (იხ. სურ. 20).

ფიზიკიდან ცნობილია, რომ ძალის მომენტი ფ პუნქტთან შედარებით შესახებვექტორად წოდებული მ,რომელიც გადის წერტილში შესახებდა:

1) წერტილებში გამავალი სიბრტყის პერპენდიკულარული O, A, B;

2) რიცხობრივად ტოლია ძალის ნამრავლის მკლავზე

3) ქმნის მარჯვენა სამეულს OA და A B ვექტორებით.

ამიტომ, M = OA x F.

წრფივი ბრუნვის სიჩქარის პოვნა

სიჩქარე ვკუთხური სიჩქარით მბრუნავი ხისტი სხეულის წერტილი M ვფიქსირებული ღერძის გარშემო, განისაზღვრება ეილერის ფორმულით v =w xr, სადაც r =OM, სადაც O არის ღერძის ზოგიერთი ფიქსირებული წერტილი (იხ. სურ. 21).

სამი ვექტორის შერეული პროდუქტი და მისი თვისებები

შერეული სამუშაოსამ ვექტორს ეწოდება რიცხვი ტოლი . დანიშნული . აქ პირველი ორი ვექტორი მრავლდება ვექტორულად და შემდეგ მიღებული ვექტორი მრავლდება სკალარულად მესამე ვექტორზე. ცხადია, ასეთი პროდუქტი არის გარკვეული რიცხვი.

განვიხილოთ შერეული პროდუქტის თვისებები.

1. გეომეტრიული მნიშვნელობაშერეული სამუშაო. 3 ვექტორის შერეული ნამრავლი, ნიშანმდე, უდრის ამ ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობას, როგორც კიდეებზე, ე.ი. .

   ამრიგად, და .

   

   მტკიცებულება. გამოვყოთ ვექტორები საერთო საწყისიდან და ავაშენოთ მათზე პარალელეპიპედი. მოდით აღვნიშნოთ და აღვნიშნოთ, რომ. სკალარული პროდუქტის განმარტებით

   ვივარაუდოთ რომ და აღვნიშნოთ თიპოვეთ პარალელეპიპედის სიმაღლე.

   ამრიგად, როდესაც

   თუ, მაშინ ასეა. აქედან გამომდინარე,.

   ამ ორივე შემთხვევის გაერთიანებით მივიღებთ ან .

   ამ თვისების, კერძოდ, მტკიცებულებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ ვექტორთა სამმაგი მემარჯვენეა, მაშინ შერეული ნამრავლი არის , ხოლო თუ ის მარცხენაა, მაშინ .

2. ნებისმიერი ვექტორისთვის , ტოლობა მართალია

   ამ თვისების მტკიცებულება გამომდინარეობს თვისებიდან 1. მართლაც, ადვილია იმის ჩვენება, რომ და . უფრო მეტიც, ნიშნები „+“ და „–“ ერთდროულად მიიღება, რადგან კუთხეები ვექტორებს შორის და და არის ორივე მწვავე და ბლაგვი.

3. როდესაც ნებისმიერი ორი ფაქტორი გადანაწილებულია, შერეული პროდუქტი ცვლის ნიშანს.

   მართლაც, თუ განვიხილავთ შერეულ პროდუქტს, მაშინ, მაგალითად, ან

4. შერეული პროდუქტი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია ან ვექტორები თანაპლანსურია.

   მტკიცებულება.

   ამრიგად, 3 ვექტორის თანაპლენარობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა, რომ მათი შერეული ნამრავლი ნულის ტოლია. გარდა ამისა, აქედან გამომდინარეობს, რომ სამი ვექტორი ქმნის საფუძველს სივრცეში, თუ .

   თუ ვექტორები მოცემულია კოორდინატთა სახით, მაშინ შეიძლება აჩვენოს, რომ მათი შერეული პროდუქტი ნაპოვნია ფორმულით:

   .

   ამრიგად, შერეული ნამრავლი უდრის მესამე რიგის განმსაზღვრელს, რომელსაც აქვს პირველი ვექტორის კოორდინატები პირველ სტრიქონში, მეორე ვექტორის კოორდინატები მეორე სტრიქონში და მესამე ვექტორის კოორდინატები მესამე ხაზში.

   მაგალითები.

ანალიტიკური გეომეტრია სივრცეში

განტოლება F(x, y, z)= 0 განსაზღვრავს სივრცეში ოქსიზირაღაც ზედაპირი, ე.ი. წერტილების ლოკუსი, რომლის კოორდინატები x, y, zდააკმაყოფილეთ ეს განტოლება. ამ განტოლებას ეწოდება ზედაპირის განტოლება და x, y, z- მიმდინარე კოორდინატები.

თუმცა, ხშირად ზედაპირი არ არის განსაზღვრული განტოლებით, არამედ როგორც სივრცეში წერტილების ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ ამა თუ იმ თვისება. ამ შემთხვევაში აუცილებელია ზედაპირის განტოლების პოვნა მისი გეომეტრიული თვისებების მიხედვით.

თვითმფრინავი.

ნორმალური სიბრტყის ვექტორი.

მოცემულ წერტილში გამავალი თვითმფრინავის განტოლება

განვიხილოთ თვითნებური სიბრტყე σ სივრცეში. მისი პოზიცია განისაზღვრება ამ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ვექტორის და გარკვეული ფიქსირებული წერტილის მითითებით M0(x 0, y 0, z 0), წევს σ სიბრტყეში.

σ სიბრტყის პერპენდიკულარულ ვექტორს ეწოდება ნორმალურიამ სიბრტყის ვექტორი. დაე, ვექტორს ჰქონდეს კოორდინატები.

გამოვიტანოთ ამ წერტილში გამავალი σ სიბრტყის განტოლება M0და აქვს ნორმალური ვექტორი. ამისათვის აიღეთ თვითნებური წერტილი σ სიბრტყეზე M(x, y, z)და განიხილეთ ვექტორი.

ნებისმიერი წერტილისთვის მО σ არის ვექტორი.მაშასადამე მათი სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია. ეს თანასწორობა არის ის პირობა, რომ წერტილი მО ს. იგი მოქმედებს ამ სიბრტყის ყველა პუნქტზე და ირღვევა წერტილისთანავე მიქნება σ სიბრტყის გარეთ.

თუ წერტილებს რადიუსის ვექტორით აღვნიშნავთ მ, – წერტილის რადიუსის ვექტორი M0, მაშინ განტოლება შეიძლება დაიწეროს ფორმით

ეს განტოლება ე.წ ვექტორისიბრტყის განტოლება. ჩავწეროთ კოორდინატულად. Მას შემდეგ

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება. ამრიგად, სიბრტყის განტოლების შესაქმნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ნორმალური ვექტორის კოორდინატები და სიბრტყეზე მდებარე რომელიმე წერტილის კოორდინატები.

გაითვალისწინეთ, რომ სიბრტყის განტოლება არის 1-ლი ხარისხის განტოლება მიმდინარე კოორდინატებთან მიმართებაში. x, yდა ზ.

მაგალითები.

სიბრტყის ზოგადი განტოლება

შეიძლება აჩვენოს, რომ ნებისმიერი პირველი ხარისხის განტოლება დეკარტის კოორდინატებთან მიმართებაში x, y, zწარმოადგენს გარკვეული სიბრტყის განტოლებას. ეს განტოლება იწერება როგორც:

Axe+By+Cz+D=0

და ეწოდება ზოგადი განტოლებათვითმფრინავი და კოორდინატები A, B, Cაქ არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

განვიხილოთ ზოგადი განტოლების განსაკუთრებული შემთხვევები. მოდით გავარკვიოთ, როგორ მდებარეობს სიბრტყე კოორდინატთა სისტემის მიმართ, თუ განტოლების ერთი ან მეტი კოეფიციენტი ნული გახდება.

A არის ღერძზე სიბრტყით მოწყვეტილი სეგმენტის სიგრძე ოქსი. ანალოგიურად, შეიძლება იმის ჩვენება, რომ ბდა გ– ღერძებზე განსახილველი სიბრტყით მოწყვეტილი სეგმენტების სიგრძე ოიდა ოზი.

სიბრტყეების ასაგებად მოსახერხებელია სიბრტყის განტოლების გამოყენება სეგმენტებში.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ოპერაციას ვექტორებით: ვექტორების ვექტორული ნამრავლიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი (დაუყოვნებელი ბმული მათთვის, ვისაც ეს სჭირდება). არა უშავს, ზოგჯერ ისეც ხდება, რომ სრული ბედნიერებისთვის, გარდა ამისა ვექტორების სკალარული პროდუქტი, უფრო და უფრო მეტია საჭირო. ეს არის ვექტორული დამოკიდებულება. შეიძლება ჩანდეს, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის ჯუნგლებში შევდივართ. ეს არასწორია. უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილებაში ზოგადად ცოტა ხეა, გარდა შესაძლოა საკმარისი პინოქიოს. სინამდვილეში, მასალა ძალიან გავრცელებული და მარტივია - ძნელად უფრო რთული, ვიდრე იგივე სკალარული პროდუქტი, უფრო ნაკლები ტიპიური დავალებაც კი იქნება. ანალიტიკურ გეომეტრიაში მთავარი, როგორც ბევრი დარწმუნდება ან უკვე დარწმუნდა, არის არ დაუშვათ შეცდომები გამოთვლებში. გაიმეორეთ შელოცვის მსგავსად და ბედნიერი იქნებით =)

თუ ვექტორები ანათებენ სადმე შორს, როგორც ელვა ჰორიზონტზე, არ აქვს მნიშვნელობა, დაიწყეთ გაკვეთილით ვექტორები დუმებისთვისვექტორების შესახებ საბაზისო ცოდნის აღდგენა ან ხელახლა მიღება. უფრო მომზადებულ მკითხველს შეუძლია ინფორმაციის შერჩევით გაცნობა; მე შევეცადე შემეგროვებინა მაგალითების ყველაზე სრულყოფილი კოლექცია, რომლებიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკულ მუშაობაში.

რა გაგაბედნიერებთ მაშინვე? პატარა რომ ვიყავი, ორი ან თუნდაც სამი ბურთის ჟონგლირება შემეძლო. კარგად გამოუვიდა. ახლა თქვენ საერთოდ არ მოგიწევთ ჟონგლირება, რადგან განვიხილავთ მხოლოდ სივრცითი ვექტორები, და ბრტყელი ვექტორები ორი კოორდინატით დარჩება გარეთ. რატომ? ასე დაიბადა ეს მოქმედებები - ვექტორების ვექტორული და შერეული პროდუქტი განისაზღვრება და მუშაობს სამგანზომილებიან სივრცეში. ეს უკვე უფრო ადვილია!

ეს ოპერაცია, ისევე როგორც სკალარული პროდუქტი, მოიცავს ორი ვექტორი. დაე ეს იყოს უხრწნელი ასოები.

თავად მოქმედება აღინიშნებაშემდეგი გზით: . არის სხვა ვარიანტებიც, მაგრამ მე მიჩვეული ვარ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის აღნიშვნას ასე, კვადრატულ ფრჩხილებში ჯვრით.

და მაშინვე კითხვა: თუ შევიდა ვექტორების სკალარული პროდუქტიჩართულია ორი ვექტორი და აქ ორი ვექტორიც მრავლდება, მაშინ რა არის განსხვავება? აშკარა განსხვავებაა, პირველ რიგში, შედეგში:

ვექტორების სკალარული ნამრავლის შედეგია NUMBER:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის შედეგია ვექტორი: , ანუ ვამრავლებთ ვექტორებს და ისევ ვიღებთ ვექტორს. დახურული კლუბი. ფაქტობრივად, სწორედ აქედან მოდის ოპერაციის სახელი. სხვადასხვა საგანმანათლებლო ლიტერატურაში აღნიშვნები ასევე შეიძლება განსხვავდებოდეს; მე გამოვიყენებ ასოს.

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

ჯერ იქნება განმარტება სურათით, შემდეგ კომენტარები.

განმარტება: ვექტორული პროდუქტი არაკოლინარულივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, სახელად ვექტორი, სიგრძერომელიც რიცხობრივად პარალელოგრამის ფართობის ტოლიაამ ვექტორებზე აგებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორების მიმართდა მიმართულია ისე, რომ საფუძველს ჰქონდეს სწორი ორიენტაცია:

მოდით ცალ-ცალკე დავყოთ განმარტება, აქ ბევრი საინტერესო რამ არის!

ამრიგად, შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი მნიშვნელოვანი პუნქტები:

1) ორიგინალური ვექტორები, რომლებიც მითითებულია წითელი ისრებით, განმარტებით არა კოლინარული. მიზანშეწონილი იქნება კოლინარული ვექტორების შემთხვევა ცოტა მოგვიანებით განვიხილოთ.

2) ვექტორები აღებულია მკაცრად განსაზღვრული თანმიმდევრობით: – "a" მრავლდება "იყოს", არა „იყოს“ „ა“-ით. ვექტორული გამრავლების შედეგიარის VECTOR, რომელიც მითითებულია ლურჯად. თუ ვექტორები მრავლდება საპირისპირო თანმიმდევრობით, მივიღებთ სიგრძით ტოლ და მიმართულებით საპირისპირო ვექტორს (ჟოლოს ფერი). ანუ თანასწორობა მართალია .

3) ახლა გავეცნოთ ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილია! ლურჯი ვექტორის სიგრძე (და, მაშასადამე, ჟოლოსფერი ვექტორის) რიცხობრივად უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს. ფიგურაში ეს პარალელოგრამი შავად არის დაჩრდილული.

შენიშვნა : ნახაზი სქემატურია და, ბუნებრივია, ვექტორული ნამრავლის ნომინალური სიგრძე არ არის პარალელოგრამის ფართობის ტოლი.

გავიხსენოთ ერთ-ერთი გეომეტრიული ფორმულა: პარალელოგრამის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს.. ამიტომ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოქმედებს ვექტორული ნამრავლის სიგრძის გამოთვლის ფორმულა:

ხაზს ვუსვამ, რომ ფორმულა ეხება ვექტორის სიგრძეს და არა თავად ვექტორს. რა არის პრაქტიკული მნიშვნელობა? და მნიშვნელობა ის არის, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში, პარალელოგრამის ფართობი ხშირად გვხვდება ვექტორული პროდუქტის კონცეფციის საშუალებით:

მოდით მივიღოთ მეორე მნიშვნელოვანი ფორმულა. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​ყოფს მას ორ ტოლ სამკუთხედად. ამრიგად, ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი (წითელი დაჩრდილვა) შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

4) თანაბრად მნიშვნელოვანი ფაქტია, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ანუ . რა თქმა უნდა, საპირისპიროდ მიმართული ვექტორი (ჟოლოს ისარი) ასევე ორთოგონალურია თავდაპირველი ვექტორების მიმართ.

5) ვექტორი მიმართულია ისე, რომ საფუძველიᲛას აქვს უფლებაორიენტაცია. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლასაკმარისად დეტალურად ვისაუბრე თვითმფრინავის ორიენტაციადა ახლა ჩვენ გავარკვევთ რა არის სივრცეში ორიენტაცია. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელი. გონებრივად შეაერთეთ საჩვენებელი თითივექტორით და შუა თითივექტორით. ბეჭედი და პატარა თითიდააჭირე მას ხელისგულში. Როგორც შედეგი ცერა თითი– ვექტორული პროდუქტი გამოჩნდება. ეს არის უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველი (ეს არის ფიგურაში). ახლა შეცვალეთ ვექტორები ( საჩვენებელი და შუა თითები) ზოგან, შედეგად ცერა თითი შემობრუნდება და ვექტორული პროდუქტი უკვე ქვემოთ იყურება. ესეც უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველია. შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა: რომელი საფუძველი აქვს მარცხენა ორიენტაციას? იგივე თითებზე "მინიშნება". მარცხენა ხელივექტორები და მიიღეთ სივრცის მარცხენა საფუძველი და მარცხენა ორიენტაცია (ამ შემთხვევაში, ცერა თითი განთავსდება ქვედა ვექტორის მიმართულებით). ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ეს ფუძეები "უხვევს" ან ორიენტირებს სივრცეს სხვადასხვა მიმართულებით. და ეს კონცეფცია არ უნდა ჩაითვალოს რაღაც შორს ან აბსტრაქტულად - მაგალითად, სივრცის ორიენტაცია იცვლება ყველაზე ჩვეულებრივი სარკით და თუ "ასახული საგანი ამოიყვანეთ მინიდან", მაშინ ზოგადად შეუძლებელი იქნება მისი "ორიგინალთან" შერწყმა. სხვათა შორის, სამი თითი მიიტანეთ სარკესთან და გააანალიზეთ ანარეკლი ;-)

...რა კარგია, რომ ახლა იცი მარჯვნივ და მარცხნივ ორიენტირებულისაფუძვლები, რადგან ზოგიერთი ლექტორის განცხადება ორიენტაციის ცვლილების შესახებ საშინელია =)

კოლინარული ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი

განმარტება დეტალურად იქნა განხილული, რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ხდება, როდესაც ვექტორები კოლინარულია. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ისინი შეიძლება განთავსდეს ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი ასევე "იკეცოს" ერთ სწორ ხაზზე. ისეთი არეალი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, დეგენერატიპარალელოგრამი ნულის ტოლია. იგივე გამომდინარეობს ფორმულიდან - ნულის ან 180 გრადუსის სინუსი ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ფართობი ნულის ტოლია

ამრიგად, თუ, მაშინ და . გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თავად ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, მაგრამ პრაქტიკაში ეს ხშირად უგულებელყოფილია და წერენ, რომ ის ასევე ნულის ტოლია.

განსაკუთრებული შემთხვევაა ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი თავისთან:

ვექტორული პროდუქტის გამოყენებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ სამგანზომილებიანი ვექტორების კოლინარულობა და ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ ამ პრობლემას, სხვათა შორის.

პრაქტიკული მაგალითების გადასაჭრელად შეიძლება დაგჭირდეთ ტრიგონომეტრიული ცხრილიმისგან სინუსების მნიშვნელობების პოვნა.

აბა, ავანთოთ ცეცხლი:

მაგალითი 1

ა) იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე თუ

ბ) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი თუ

გამოსავალი: არა, ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა, შეგნებულად დავწერე თავდაპირველი მონაცემები პუნქტებში. რადგან გადაწყვეტილებების დიზაინი განსხვავებული იქნება!

ა) პირობის მიხედვით უნდა მოძებნოთ სიგრძევექტორი (ჯვარედინი პროდუქტი). შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე:

თუ გკითხეს სიგრძეზე, მაშინ პასუხში მივუთითებთ განზომილებას - ერთეულებს.

ბ) პირობის მიხედვით უნდა მოძებნოთ კვადრატივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი. ამ პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად უდრის ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს:

უპასუხე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პასუხი საერთოდ არ საუბრობს ვექტორულ ნამრავლზე, ჩვენ გვკითხეს ფიგურის ფართობიშესაბამისად, განზომილება არის კვადრატული ერთეული.

ჩვენ ყოველთვის ვუყურებთ რა უნდა ვიპოვოთ პირობის მიხედვით და ამის საფუძველზე ვაყალიბებთ ნათელიპასუხი. შეიძლება ლიტერალიზმად მოგეჩვენოთ, მაგრამ მასწავლებლებს შორის უამრავი ლიტერალისტია და დავალებას აქვს კარგი შანსი, რომ დაბრუნდეს გადასინჯვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის განსაკუთრებით შორსმჭვრეტელი ყვირილი - თუ პასუხი არასწორია, მაშინ იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ადამიანს არ ესმის მარტივი რაღაცეები და/ან არ ესმის ამოცანის არსი. ეს პუნქტი ყოველთვის უნდა იყოს კონტროლირებადი უმაღლეს მათემატიკაში და სხვა საგნებში ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრისას.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში შეიძლებოდა ხსნარზე დამატებით მიმაგრებულიყო, მაგრამ ჩანაწერის შესამცირებლად ეს არ გამიკეთებია. ვიმედოვნებ, რომ ყველას ესმის ეს და არის იგივე აღნიშვნა.

პოპულარული მაგალითი წვრილმანი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

ვექტორული პროდუქტის მეშვეობით სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა მოცემულია განმარტების კომენტარებში. გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში, ამოცანა მართლაც ძალიან გავრცელებულია; სამკუთხედები ზოგადად შეიძლება გატანჯოთ.

სხვა პრობლემების გადასაჭრელად დაგვჭირდება:

ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ვექტორული პროდუქტის ზოგიერთი თვისება, თუმცა მათ ამ სიაში ჩავრიცხავ.

თვითნებური ვექტორებისთვის და თვითნებური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) ინფორმაციის სხვა წყაროებში ეს პუნქტი, როგორც წესი, არ არის ხაზგასმული თვისებებში, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით. ასე რომ იყოს.

2) – საკუთრებაც ზემოთ არის განხილული, ხანდახან ე.წ ანტიკომუტატიურობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

3) – ასოციაციური ან ასოციაციურივექტორული პროდუქტის კანონები. მუდმივები ადვილად შეიძლება გადავიდეს ვექტორული პროდუქტის გარეთ. მართლა, რა უნდა ქნან იქ?

4) – განაწილება ან გამანაწილებელივექტორული პროდუქტის კანონები. არც სამაგრების გახსნის პრობლემაა.

დემონსტრირებისთვის, მოდით შევხედოთ მოკლე მაგალითს:

მაგალითი 3

იპოვეთ თუ

გამოსავალი:მდგომარეობა კვლავ მოითხოვს ვექტორული პროდუქტის სიგრძის პოვნას. მოდით დავხატოთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ მუდმივებს ვექტორული ნამრავლის ფარგლებს გარეთ.

(2) ჩვენ გადავიტანთ მუდმივას მოდულის გარეთ და მოდული "ჭამს" მინუს ნიშანს. სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) დანარჩენი ნათელია.

უპასუხე:

დროა ცეცხლზე მეტი შეშა დავამატოთ:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

გამოსავალი: იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით . მთავარი ის არის, რომ ვექტორები "ცე" და "დე" თავად არის წარმოდგენილი ვექტორების ჯამებად. ალგორითმი აქ სტანდარტულია და გარკვეულწილად მოგვაგონებს გაკვეთილის მე-3 და მე-4 მაგალითებს ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. სიცხადისთვის, ჩვენ დავყოფთ გამოსავალს სამ ეტაპად:

1) პირველ ეტაპზე ჩვენ ვექტორულ ნამრავლს ვექტორული ნამრავლის საშუალებით გამოვხატავთ, ფაქტობრივად, გამოვხატოთ ვექტორი ვექტორის მიხედვით. სიგრძეზე ჯერ არაფერია ნათქვამი!

(1) ჩაანაცვლეთ ვექტორების გამოსახულებები.

(2) გამანაწილებელი კანონების გამოყენებით ვხსნით ფრჩხილებს მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.

(3) ასოციაციური კანონების გამოყენებით, ჩვენ გადავაადგილებთ ყველა მუდმივას ვექტორული პროდუქტების მიღმა. მცირე გამოცდილებით, მე-2 და მე-3 ნაბიჯების შესრულება შესაძლებელია ერთდროულად.

(4) პირველი და ბოლო წევრი ნულის ტოლია (ნულოვანი ვექტორი) ლამაზი თვისების გამო. მეორე ტერმინში ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურობის თვისებას:

(5) ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

შედეგად, ვექტორი გამოიხატება ვექტორის საშუალებით, რისი მიღწევაც საჭირო იყო:

2) მეორე საფეხურზე ვპოულობთ ჩვენთვის საჭირო ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს. ეს მოქმედება მსგავსია მაგალითი 3-ის:

3) იპოვეთ საჭირო სამკუთხედის ფართობი:

ამოხსნის 2-3 ეტაპები შეიძლებოდა დაეწერა ერთ სტრიქონში.

უპასუხე:

განხილული პრობლემა საკმაოდ გავრცელებულია ტესტებში, აქ არის მაგალითი მისი გადაჭრისთვის:

მაგალითი 5

იპოვეთ თუ

მოკლე გამოსავალი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ვნახოთ, რამდენად ყურადღებიანი იყავით წინა მაგალითების შესწავლისას ;-)

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი კოორდინატებში

, მითითებული ორთონორმალურ საფუძველზე, გამოხატული ფორმულით:

ფორმულა მართლაც მარტივია: დეტერმინანტის ზედა სტრიქონში ვწერთ კოორდინატთა ვექტორებს, მეორე და მესამე სტრიქონებში „ვაყენებთ“ ვექტორების კოორდინატებს და ვსვამთ. მკაცრი წესით– ჯერ “ve” ვექტორის კოორდინატები, შემდეგ “double-ve” ვექტორის კოორდინატები. თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს სხვა თანმიმდევრობით, მაშინ რიგები უნდა შეიცვალოს:

მაგალითი 10

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები კოლინარული:
ა)
ბ)

გამოსავალი: შემოწმება ემყარება ამ გაკვეთილის ერთ-ერთ დებულებას: თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლი ნულის ტოლია (ნულოვანი ვექტორი): .

ა) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

ამრიგად, ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

უპასუხე: ა) არა კოლინარული, ბ)

აქ, ალბათ, არის ყველა ძირითადი ინფორმაცია ვექტორების ვექტორული პროდუქტის შესახებ.

ეს განყოფილება არ იქნება ძალიან დიდი, რადგან ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოყენებისას რამდენიმე პრობლემაა. სინამდვილეში, ყველაფერი დამოკიდებული იქნება განმარტებაზე, გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე და რამდენიმე სამუშაო ფორმულაზე.

ვექტორთა შერეული ნამრავლი არის სამი ვექტორის ნამრავლი:

ასე რომ, ისინი მატარებელივით დადგნენ და ვერ ითმენდნენ, რომ ამოიცნონ.

ჯერ კიდევ, განმარტება და სურათი:

განმარტება: შერეული სამუშაო არათანაბარივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, დაურეკა პარალელეპიპედური მოცულობა, აგებულია ამ ვექტორებზე, აღჭურვილია „+“ ნიშნით, თუ საფუძველი სწორია და „–“ ნიშნით, თუ საფუძველი დარჩა.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი. ჩვენთვის უხილავი ხაზები დახატულია წერტილოვანი ხაზებით:

მოდით ჩავუღრმავდეთ განმარტებას:

2) ვექტორები აღებულია გარკვეული თანმიმდევრობით, ანუ პროდუქტში ვექტორების გადაწყობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, შედეგების გარეშე არ ხდება.

3) სანამ გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე კომენტარს გავაკეთებ, აღვნიშნავ აშკარა ფაქტს: ვექტორების შერეული ნამრავლი არის NUMBER: . საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, დიზაინი შეიძლება ოდნავ განსხვავებული იყოს; მე მიჩვეული ვარ შერეული პროდუქტის აღნიშვნას, ხოლო გამოთვლების შედეგის ასო "პე"-ით.

ა-პრიორი შერეული პროდუქტი არის პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ვექტორებზე (ფიგურა დახატულია წითელი ვექტორებითა და შავი ხაზებით). ანუ რიცხვი უდრის მოცემული პარალელეპიპედის მოცულობას.

შენიშვნა : ნახატი სქემატურია.

4) ისევ ნუ ვიდარდებთ საფუძვლისა და სივრცის ორიენტაციის კონცეფციაზე. ბოლო ნაწილის მნიშვნელობა არის ის, რომ მინუს ნიშანი შეიძლება დაემატოს მოცულობას. მარტივი სიტყვებით, შერეული პროდუქტი შეიძლება იყოს უარყოფითი: .

პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა.