თეორიული ალბათობის გაანგარიშება. ალბათობის თეორია: პრობლემის გადაჭრის ფორმულები და მაგალითები

„უბედური შემთხვევები არ არის შემთხვევითი“... ჟღერს ფილოსოფოსის ნათქვამი, მაგრამ სინამდვილეში, შემთხვევითობის შესწავლა არის მათემატიკის დიდი მეცნიერების ბედი. მათემატიკაში შანსი განიხილება ალბათობის თეორიით. სტატიაში წარმოდგენილი იქნება ამოცანების ფორმულები და მაგალითები, ასევე ამ მეცნიერების ძირითადი განმარტებები.

რა არის ალბათობის თეორია?

ალბათობის თეორია არის ერთ-ერთი მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც სწავლობს შემთხვევით მოვლენებს.

ცოტა უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, მოვიყვანოთ პატარა მაგალითი: თუ მონეტას ზევით გადააგდებთ, ის შეიძლება მოხვდეს თავებზე ან კუდებზე. სანამ მონეტა ჰაერშია, ორივე ეს ალბათობა შესაძლებელია. ანუ შესაძლო შედეგების ალბათობა არის 1:1. თუ ერთი გათამაშებულია 36 კარტის დასტადან, მაშინ ალბათობა იქნება მითითებული 1:36. როგორც ჩანს, აქ არაფერია გამოსაკვლევი და პროგნოზირება, განსაკუთრებით მათემატიკური ფორმულების დახმარებით. თუმცა, თუ ბევრჯერ გაიმეორებთ გარკვეულ მოქმედებას, შეგიძლიათ განსაზღვროთ გარკვეული ნიმუში და, მასზე დაყრდნობით, იწინასწარმეტყველოთ მოვლენების შედეგი სხვა პირობებში.

ყოველივე ზემოაღნიშნულის შესაჯამებლად, ალბათობის თეორია კლასიკური გაგებით სწავლობს ერთ-ერთი შესაძლო მოვლენის რიცხობრივ მნიშვნელობაში დადგომის შესაძლებლობას.

ისტორიის ფურცლებიდან

ალბათობის თეორია, ფორმულები და პირველი ამოცანების მაგალითები გაჩნდა შორეულ შუა საუკუნეებში, როდესაც პირველად გაჩნდა კარტის თამაშების შედეგის პროგნოზირების მცდელობები.

თავდაპირველად, ალბათობის თეორიას საერთო არაფერი ჰქონდა მათემატიკასთან. იგი გამართლებული იყო ემპირიული ფაქტებით ან მოვლენის თვისებებით, რომლებიც შეიძლება პრაქტიკაში რეპროდუცირდეს. პირველი სამუშაოები ამ სფეროში, როგორც მათემატიკური დისციპლინა, მე-17 საუკუნეში გამოჩნდა. დამფუძნებლები იყვნენ ბლეზ პასკალი და პიერ ფერმა. ისინი დიდხანს სწავლობდნენ აზარტულ თამაშებს და ნახეს გარკვეული ნიმუშები, რის შესახებაც გადაწყვიტეს საზოგადოებას ეთქვათ.

იგივე ტექნიკა გამოიგონა კრისტიან ჰაიგენსმა, თუმცა არ იცნობდა პასკალისა და ფერმას კვლევის შედეგებს. „ალბათობის თეორიის“ ცნება, ფორმულები და მაგალითები, რომლებიც პირველად ითვლება დისციპლინის ისტორიაში, მან შემოიღო.

არცთუ მცირე მნიშვნელობა აქვს იაკობ ბერნულის შრომებს, ლაპლასის და პუასონის თეორემებს. მათ ალბათობის თეორია მათემატიკურ დისციპლინას დაემსგავსა. ალბათობის თეორიამ, ფორმულებმა და ძირითადი ამოცანების მაგალითებმა დღევანდელი ფორმა მიიღო კოლმოგოროვის აქსიომების წყალობით. ყველა ცვლილების შედეგად, ალბათობის თეორია გახდა მათემატიკური ფილიალი.

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები. Ივენთი

ამ დისციპლინის მთავარი კონცეფცია არის "მოვლენა". არსებობს სამი სახის ღონისძიება:

• სანდო.რაც მაინც მოხდება (მონეტა დაეცემა).
• შეუძლებელია.მოვლენები, რომლებიც არავითარ შემთხვევაში არ მოხდება (მონეტა ჰაერში დაკიდებული დარჩება).
• შემთხვევითი.რომლებიც მოხდება ან არ მოხდება. მათზე შეიძლება გავლენა იქონიოს სხვადასხვა ფაქტორმა, რომელთა პროგნოზირება ძალიან რთულია. თუ ვსაუბრობთ მონეტაზე, მაშინ არის შემთხვევითი ფაქტორები, რომლებმაც შეიძლება გავლენა მოახდინონ შედეგზე: მონეტის ფიზიკური მახასიათებლები, მისი ფორმა, მისი თავდაპირველი პოზიცია, სროლის ძალა და ა.შ.

მაგალითებში ყველა მოვლენა მითითებულია დიდი ლათინური ასოებით, გარდა P-ისა, რომელსაც განსხვავებული როლი აქვს. Მაგალითად:

• A = "სტუდენტები მოვიდნენ ლექციაზე."
• Ā = "სტუდენტები არ მოვიდნენ ლექციაზე."

პრაქტიკულ ამოცანებში მოვლენები ჩვეულებრივ იწერება სიტყვებით.

მოვლენების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელია მათი თანაბარი შესაძლებლობა. ანუ, თუ მონეტას გადააგდებთ, საწყისი დაცემის ყველა ვარიანტი შესაძლებელია მის დაცემამდე. მაგრამ მოვლენები ასევე არ არის თანაბრად შესაძლებელი. ეს ხდება მაშინ, როდესაც ვინმე განზრახ ახდენს გავლენას შედეგზე. მაგალითად, „მონიშნული“ სათამაშო კარტები ან კამათელი, რომლებშიც გადატანილია სიმძიმის ცენტრი.

მოვლენები ასევე შეიძლება იყოს თავსებადი და შეუთავსებელი. თავსებადი მოვლენები არ გამორიცხავს ერთმანეთის შემთხვევას. Მაგალითად:

• A = "სტუდენტი მოვიდა ლექციაზე."
• B = "სტუდენტი მოვიდა ლექციაზე."

ეს მოვლენები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია და ერთი მათგანის დადგომა გავლენას არ ახდენს მეორის დადგომაზე. შეუთავსებელი მოვლენები განისაზღვრება იმით, რომ ერთის დადგომა გამორიცხავს მეორის დადგომას. თუ ვსაუბრობთ ერთსა და იმავე მონეტაზე, მაშინ "კუდების" დაკარგვა შეუძლებელს ხდის იმავე ექსპერიმენტში "თავების" გამოჩენას.

მოქმედებები მოვლენებზე

მოვლენები შეიძლება გამრავლდეს და დაემატოს; შესაბამისად, დისციპლინაში შემოტანილია ლოგიკური კავშირები "AND" და "OR".

თანხა განისაზღვრება იმით, რომ მოვლენა A ან B, ან ორი შეიძლება მოხდეს ერთდროულად. თუ ისინი შეუთავსებელია, ბოლო ვარიანტი შეუძლებელია; ან A ან B შემოვიდა.

მოვლენების გამრავლება შედგება A და B-ის ერთდროულად გამოჩენაში.

ახლა შეგვიძლია რამდენიმე მაგალითი მოვიყვანოთ, რომ უკეთ დავიმახსოვროთ საფუძვლები, ალბათობის თეორია და ფორმულები. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები ქვემოთ.

სავარჯიშო 1: კომპანია მონაწილეობს კონკურსში სამი სახის სამუშაოზე ხელშეკრულებების მისაღებად. შესაძლო მოვლენები, რომლებიც შეიძლება მოხდეს:

• A = "ფირმა მიიღებს პირველ კონტრაქტს."
• A 1 = "ფირმა არ მიიღებს პირველ კონტრაქტს."
• B = "ფირმა მიიღებს მეორე კონტრაქტს."
• B 1 = "ფირმა არ მიიღებს მეორე კონტრაქტს"
• C = "ფირმა მიიღებს მესამე კონტრაქტს."
• C 1 = "ფირმა არ მიიღებს მესამე კონტრაქტს."

მოვლენებზე მოქმედებების გამოყენებით, ჩვენ შევეცდებით გამოვხატოთ შემდეგი სიტუაციები:

• K = "კომპანია მიიღებს ყველა კონტრაქტს."

მათემატიკური ფორმით განტოლებას შემდეგი ფორმა ექნება: K = ABC.

• M = "კომპანია არ მიიღებს არც ერთ კონტრაქტს."

M = A 1 B 1 C 1.

მოდით გავართულოთ დავალება: H = „კომპანია მიიღებს ერთ კონტრაქტს“. ვინაიდან არ არის ცნობილი, რომელ კონტრაქტს მიიღებს კომპანია (პირველი, მეორე თუ მესამე), აუცილებელია ჩაწეროთ შესაძლო მოვლენების მთელი სპექტრი:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

და 1 BC 1 არის მოვლენების სერია, სადაც ფირმა არ იღებს პირველ და მესამე კონტრაქტს, მაგრამ იღებს მეორეს. სხვა შესაძლო მოვლენები დაფიქსირდა შესაბამისი მეთოდის გამოყენებით. სიმბოლო υ დისციპლინაში აღნიშნავს შემაერთებელ "OR". თუ ზემოხსენებულ მაგალითს ადამიანურ ენაზე გადავთარგმნით, კომპანია მიიღებს ან მესამე კონტრაქტს, ან მეორეს, ან პირველს. ანალოგიურად, შეგიძლიათ ჩაწეროთ სხვა პირობები დისციპლინაში "ალბათობის თეორია". ზემოთ წარმოდგენილი პრობლემის გადაჭრის ფორმულები და მაგალითები დაგეხმარებათ ამის გაკეთებაში.

სინამდვილეში, ალბათობა

შესაძლოა, ამ მათემატიკური დისციპლინაში მოვლენის ალბათობა არის ცენტრალური კონცეფცია. არსებობს ალბათობის 3 განმარტება:

• კლასიკური;
• სტატისტიკური;
• გეომეტრიული.

თითოეულს თავისი ადგილი აქვს ალბათობის შესწავლაში. ალბათობის თეორია, ფორმულები და მაგალითები (მე-9 კლასი) ძირითადად იყენებს კლასიკურ განმარტებას, რომელიც ასე ჟღერს:

• A სიტუაციის ალბათობა უდრის იმ შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას, რომლებიც ხელს უწყობენ მის დადგომას ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობასთან.

ფორმულა ასე გამოიყურება: P(A)=m/n.

A რეალურად მოვლენაა. თუ A-ს საპირისპირო შემთხვევა გამოჩნდება, ის შეიძლება დაიწეროს როგორც Ā ან A 1 .

m არის შესაძლო ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა.

n - ყველა მოვლენა, რაც შეიძლება მოხდეს.

მაგალითად, A = "დახატე კარტი გულის სარჩელისგან". სტანდარტულ გემბანში არის 36 კარტი, მათგან 9 არის გულის. შესაბამისად, პრობლემის გადაჭრის ფორმულა ასე გამოიყურება:

P(A)=9/36=0.25.

შედეგად, ალბათობა იმისა, რომ გულის სარჩელის კარტი დაიტანოს გემბანიდან იქნება 0,25.

უმაღლესი მათემატიკისკენ

ახლა ცოტა ცნობილი გახდა, რა არის ალბათობის თეორია, ფორმულები და პრობლემების გადაჭრის მაგალითები, რომლებიც გვხვდება სკოლის სასწავლო გეგმაში. თუმცა ალბათობის თეორია ასევე გვხვდება უმაღლეს მათემატიკაში, რომელიც ისწავლება უნივერსიტეტებში. ყველაზე ხშირად ისინი მოქმედებენ თეორიის გეომეტრიული და სტატისტიკური განმარტებებით და რთული ფორმულებით.

ძალიან საინტერესოა ალბათობის თეორია. უმჯობესია ფორმულებისა და მაგალითების შესწავლა (უმაღლესი მათემატიკა) მცირე - ალბათობის სტატისტიკური (ან სიხშირის) განსაზღვრებით დავიწყოთ.

სტატისტიკური მიდგომა არ ეწინააღმდეგება კლასიკურ მიდგომას, მაგრამ ოდნავ აფართოებს მას. თუ პირველ შემთხვევაში საჭირო იყო იმის დადგენა, თუ რა ალბათობით მოხდება მოვლენა, მაშინ ამ მეთოდით აუცილებელია მიუთითოთ რამდენად ხშირად მოხდება ეს. აქ შემოტანილია „ფარდობითი სიხშირის“ ახალი კონცეფცია, რომელიც შეიძლება აღვნიშნოთ W n-ით (A). ფორმულა არ განსხვავდება კლასიკურისგან:

თუ კლასიკური ფორმულა გამოითვლება პროგნოზირებისთვის, მაშინ სტატისტიკური გამოითვლება ექსპერიმენტის შედეგების მიხედვით. მაგალითად, ავიღოთ პატარა დავალება.

ტექნოლოგიური კონტროლის დეპარტამენტი ამოწმებს პროდუქციის ხარისხს. 100 პროდუქტს შორის 3 უხარისხო აღმოჩნდა. როგორ მოვძებნოთ ხარისხიანი პროდუქტის სიხშირის ალბათობა?

A = "ხარისხიანი პროდუქტის გამოჩენა."

W n (A)=97/100=0.97

ამრიგად, ხარისხიანი პროდუქტის სიხშირე არის 0,97. საიდან მოიტანე 97? შემოწმებული 100 პროდუქტიდან 3 უხარისხო აღმოჩნდა. 100-ს ვაკლებთ 3-ს და ვიღებთ 97-ს, ეს არის ხარისხიანი საქონლის რაოდენობა.

ცოტა რამ კომბინატორიკის შესახებ

ალბათობის თეორიის სხვა მეთოდს კომბინატორიკა ეწოდება. მისი ძირითადი პრინციპია, რომ თუ გარკვეული არჩევანი A შეიძლება გაკეთდეს m სხვადასხვა გზით, და არჩევანი B შეიძლება გაკეთდეს n სხვადასხვა გზით, მაშინ A და B არჩევანი შეიძლება გაკეთდეს გამრავლებით.

მაგალითად, არის 5 გზა, რომელიც მიემართება A ქალაქიდან B ქალაქამდე. B ქალაქიდან C-მდე 4 ბილიკია. რამდენი გზით შეგიძლიათ მოხვდეთ A ქალაქიდან C ქალაქამდე?

ეს მარტივია: 5x4=20, ანუ ოცი სხვადასხვა გზით შეგიძლიათ A წერტილიდან C წერტილამდე მიხვიდეთ.

დავალება გავართულოთ. რამდენი გზა არსებობს ბარათების გასაშლელად სოლიტერში? გემბანზე არის 36 კარტი - ეს არის საწყისი წერტილი. გზების რაოდენობის გასარკვევად, თქვენ უნდა "გამოაკლოთ" თითო ბარათი საწყისი წერტილიდან და გაამრავლოთ.

ანუ 36x35x34x33x32...x2x1= შედეგი არ ჯდება კალკულატორის ეკრანზე, ასე რომ, ის შეიძლება უბრალოდ დანიშნოს 36!. Ნიშანი "!" რიცხვის გვერდით მიუთითებს, რომ რიცხვების მთელი სერია მრავლდება ერთად.

კომბინატორიკაში არსებობს ისეთი ცნებები, როგორიცაა პერმუტაცია, განლაგება და კომბინაცია. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი ფორმულა.

კომპლექტის ელემენტების მოწესრიგებულ კომპლექტს მოწყობა ეწოდება. განთავსება შეიძლება განმეორდეს, ანუ ერთი ელემენტის გამოყენება შეიძლება რამდენჯერმე. და გამეორების გარეშე, როდესაც ელემენტები არ მეორდება. n არის ყველა ელემენტი, m არის ელემენტები, რომლებიც მონაწილეობენ განლაგებაში. განმეორების გარეშე განთავსების ფორმულა ასე გამოიყურება:

A n m =n!/(n-m)!

n ელემენტის კავშირებს, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ განლაგების თანმიმდევრობით, პერმუტაციები ეწოდება. მათემატიკაში ასე გამოიყურება: P n = n!

m-ის n ელემენტის ერთობლიობა არის ის ნაერთები, რომლებშიც მნიშვნელოვანია რა ელემენტები იყვნენ ისინი და რამდენია მათი საერთო რაოდენობა. ფორმულა ასე გამოიყურება:

A n m =n!/m!(n-m)!

ბერნულის ფორმულა

ალბათობის თეორიაში, როგორც ყველა დისციპლინაში, არის გამოჩენილი მკვლევარების ნამუშევრები თავიანთ სფეროში, რომლებმაც ის ახალ დონეზე აიწიეს. ერთ-ერთი ასეთი ნამუშევარია ბერნულის ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ გარკვეული მოვლენის დამოუკიდებელ პირობებში დადგომის ალბათობა. ეს ვარაუდობს, რომ ექსპერიმენტში A-ს გაჩენა არ არის დამოკიდებული იმავე მოვლენის დადგომაზე ან არ მომხდარზე ადრე ან შემდგომ ცდებში.

ბერნულის განტოლება:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

მოვლენის (A) დადგომის ალბათობა (p) მუდმივია ყოველი საცდელისთვის. ალბათობა იმისა, რომ სიტუაცია მოხდება ზუსტად m-ჯერ n რაოდენობის ექსპერიმენტში გამოითვლება ზემოთ წარმოდგენილი ფორმულით. შესაბამისად, ჩნდება კითხვა, თუ როგორ უნდა გაირკვეს რიცხვი q.

თუ მოვლენა A ხდება p რამდენჯერმე, შესაბამისად, ის შეიძლება არ მოხდეს. ერთეული არის რიცხვი, რომელიც გამოიყენება დისციპლინის სიტუაციის ყველა შედეგის დასადგენად. მაშასადამე, q არის რიცხვი, რომელიც აღნიშნავს მოვლენის შეუსრულებლობის შესაძლებლობას.

ახლა თქვენ იცით ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ქვემოთ განვიხილავთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითებს (პირველი დონე).

დავალება 2:მაღაზიის ვიზიტორი განახორციელებს შეძენას 0.2 ალბათობით. მაღაზიაში 6 ვიზიტორი დამოუკიდებლად შევიდა. რა არის იმის ალბათობა, რომ ვიზიტორი განახორციელებს შესყიდვას?

გამოსავალი: რადგან უცნობია რამდენმა ვიზიტორმა უნდა გააკეთოს შესყიდვა, ერთი ან ექვსივე, აუცილებელია ყველა შესაძლო ალბათობის გამოთვლა ბერნულის ფორმულით.

A = "ვიზიტორი გააკეთებს შეძენას."

ამ შემთხვევაში: p = 0.2 (როგორც მითითებულია ამოცანაში). შესაბამისად, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (რადგან მაღაზიაში 6 მომხმარებელია). რიცხვი m იქნება 0-დან (არც ერთი მომხმარებელი არ გააკეთებს ყიდვას) 6-მდე (მაღაზიის ყველა სტუმარი შეიძენს რაღაცას). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ გამოსავალს:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

არცერთი მყიდველი არ გააკეთებს შესყიდვას 0,2621 ალბათობით.

სხვაგვარად როგორ გამოიყენება ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია)? პრობლემის გადაჭრის მაგალითები (მეორე დონე) ქვემოთ.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითის შემდეგ ჩნდება კითხვები იმის შესახებ, თუ სად წავიდნენ C და r. p-ის მიმართ რიცხვი 0-ის ხარისხში იქნება ერთის ტოლი. რაც შეეხება C-ს, ის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:

C n m = n! /მ!(ნ-მ)!

ვინაიდან პირველ მაგალითში m = 0, შესაბამისად, C = 1, რაც პრინციპში გავლენას არ ახდენს შედეგზე. ახალი ფორმულის გამოყენებით, შევეცადოთ გავარკვიოთ, რა არის ორმა ვიზიტორმა საქონლის შეძენის ალბათობა.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

ალბათობის თეორია არც ისე რთულია. ამის პირდაპირი დასტურია ბერნულის ფორმულა, რომლის მაგალითებიც ზემოთ არის წარმოდგენილი.

პუასონის ფორმულა

პუასონის განტოლება გამოიყენება დაბალი ალბათობის შემთხვევითი სიტუაციების გამოსათვლელად.

ძირითადი ფორმულა:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

ამ შემთხვევაში λ = n x p. აქ არის მარტივი პუასონის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ქვემოთ განვიხილავთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითებს.

დავალება 3: ქარხანა აწარმოებდა 100000 ნაწილს. დეფექტური ნაწილის გაჩენა = 0,0001. რა არის იმის ალბათობა, რომ პარტიაში იქნება 5 დეფექტური ნაწილი?

როგორც ხედავთ, ქორწინება ნაკლებად სავარაუდო მოვლენაა და ამიტომ გამოსათვლელად გამოიყენება პუასონის ფორმულა (ალბათობის თეორია). ამ ტიპის პრობლემების გადაჭრის მაგალითები არაფრით განსხვავდება დისციპლინის სხვა ამოცანებისაგან; ჩვენ ვანაცვლებთ საჭირო მონაცემებს მოცემულ ფორმულაში:

A = "შემთხვევით შერჩეული ნაწილი იქნება დეფექტური."

p = 0.0001 (დავალების პირობების მიხედვით).

n = 100000 (ნაწილების რაოდენობა).

მ = 5 (დეფექტური ნაწილები). ჩვენ ვანაცვლებთ მონაცემებს ფორმულაში და ვიღებთ:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

ისევე, როგორც ბერნულის ფორმულა (ალბათობის თეორია), ამონახსნების მაგალითები, რომელთა გამოყენებით ზემოთ არის დაწერილი, პუასონის განტოლებას აქვს უცნობი ე. სინამდვილეში, ის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

თუმცა, არსებობს სპეციალური ცხრილები, რომლებიც შეიცავს e-ის თითქმის ყველა მნიშვნელობას.

დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა

თუ ბერნულის სქემაში ცდების რაოდენობა საკმარისად დიდია და A მოვლენის დადგომის ალბათობა ყველა სქემაში ერთნაირია, მაშინ A მოვლენის დადგომის ალბათობა გარკვეული რაოდენობის ტესტების სერიაში შეიძლება მოიძებნოს ლაპლასის ფორმულა:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

ლაპლასის ფორმულის უკეთ დასამახსოვრებლად (ალბათობის თეორია), ქვემოთ მოცემულია ამოცანების მაგალითები დასახმარებლად.

ჯერ ვიპოვოთ X m, ჩავანაცვლოთ მონაცემები (ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი) ფორმულაში და მივიღოთ 0.025. ცხრილების გამოყენებით ვპოულობთ რიცხვს ϕ(0.025), რომლის ღირებულებაა 0.3988. ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ყველა მონაცემი ფორმულაში:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

ამრიგად, ალბათობა იმისა, რომ ფლაერმა ზუსტად 267-ჯერ იმუშავოს, არის 0,03.

ბეიზის ფორმულა

ბეიზის ფორმულა (ალბათობის თეორია), რომლის დახმარებითაც ქვემოთ იქნება მოცემული პრობლემების გადაჭრის მაგალითები, არის განტოლება, რომელიც აღწერს მოვლენის ალბათობას იმ გარემოებების გათვალისწინებით, რაც შეიძლება დაკავშირებული იყოს მასთან. ძირითადი ფორმულა ასეთია:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A და B არის გარკვეული მოვლენები.

P(A|B) არის პირობითი ალბათობა, ანუ მოვლენა A შეიძლება მოხდეს იმ პირობით, რომ მოვლენა B არის ჭეშმარიტი.

P (B|A) - B მოვლენის პირობითი ალბათობა.

ასე რომ, მოკლე კურსის "ალბათობის თეორიის" დასკვნითი ნაწილი არის ბეიზის ფორმულა, რომელთა ამოხსნის მაგალითები მოცემულია ქვემოთ.

დავალება 5: საწყობში სამი კომპანიის ტელეფონები შემოიტანეს. ამავდროულად, ტელეფონების წილი, რომლებიც პირველ ქარხანაში იწარმოება 25%-ია, მეორეში - 60%, მესამეზე - 15%. ასევე ცნობილია, რომ პირველ ქარხანაში დეფექტური პროდუქციის საშუალო პროცენტი 2%-ია, მეორეში - 4%, ხოლო მესამეში - 1%. თქვენ უნდა იპოვოთ ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული ტელეფონი იყოს დეფექტური.

A = "შემთხვევით შერჩეული ტელეფონი."

B 1 - ტელეფონი, რომელიც აწარმოა პირველმა ქარხანამ. შესაბამისად, გამოჩნდება შესავალი B 2 და B 3 (მეორე და მესამე ქარხნებისთვის).

შედეგად ვიღებთ:

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - ამგვარად ვიპოვეთ თითოეული ვარიანტის ალბათობა.

ახლა თქვენ უნდა იპოვოთ სასურველი მოვლენის პირობითი ალბათობა, ანუ კომპანიებში დეფექტური პროდუქტების ალბათობა:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01.

ახლა მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ბეიზის ფორმულაში და მივიღოთ:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

სტატიაში წარმოდგენილია ალბათობის თეორია, ფორმულები და პრობლემის გადაჭრის მაგალითები, მაგრამ ეს მხოლოდ აისბერგის წვერია უზარმაზარი დისციპლინისა. და ყველაფრის შემდეგ რაც დაიწერა, ლოგიკური იქნება დავსვათ კითხვა, საჭიროა თუ არა ცხოვრებაში ალბათობის თეორია. უბრალო ადამიანს უჭირს პასუხის გაცემა, ჯობია ვინმეს, ვინც ეს გამოიყენა, ჯეკპოტი არაერთხელ მოიგოს.

როდესაც მონეტა გადააგდებს, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ის მაღლა დაეცემა, ან ალბათობა ეს არის 1/2. რა თქმა უნდა, ეს არ ნიშნავს იმას, რომ თუ მონეტა 10-ჯერ იქნა გადაყრილი, ის აუცილებლად 5-ჯერ დაჯდება თავზე. თუ მონეტა არის "სამართლიანი" და თუ ის ბევრჯერ იქნა გადაყრილი, მაშინ თავები ნახევარ დროს ძალიან ახლოს დაეშვება. ამრიგად, არსებობს ორი სახის ალბათობა: ექსპერიმენტული და თეორიული .

ექსპერიმენტული და თეორიული ალბათობა

თუ მონეტას ბევრჯერ გადავუხვევთ - ვთქვათ 1000-ს - და დავთვლით რამდენჯერ მოხვდება თავზე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ალბათობა, რომ ის მოხვდება თავებზე. თუ თავები 503-ჯერ დააგდეს, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი დაშვების ალბათობა:
503/1000, ანუ 0.503.

ეს ექსპერიმენტული ალბათობის განსაზღვრა. ალბათობის ეს განმარტება მომდინარეობს მონაცემების დაკვირვებისა და შესწავლის შედეგად და საკმაოდ გავრცელებული და ძალიან სასარგებლოა. აი, მაგალითად, რამდენიმე ალბათობა, რომელიც ექსპერიმენტულად იქნა განსაზღვრული:

1. ალბათობა იმისა, რომ ქალს ძუძუს კიბო განუვითარდება არის 1/11.

2. თუ გაციებულს აკოცებ, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ შენც გაცივდე არის 0,07.

3. ციხიდან ახლად გათავისუფლებულს ციხეში დაბრუნების 80%-იანი შანსი აქვს.

თუ გავითვალისწინებთ მონეტის სროლას და გავითვალისწინებთ, რომ იგივე სავარაუდოა, რომ ის ამოვა თავები ან კუდები, შეგვიძლია გამოვთვალოთ თავების მიღების ალბათობა: 1/2. ეს ალბათობის თეორიული განმარტებაა. აქ არის რამდენიმე სხვა ალბათობა, რომლებიც თეორიულად იქნა განსაზღვრული მათემატიკის გამოყენებით:

1. თუ ოთახში 30 ადამიანია, ალბათობა იმისა, რომ მათგან ორს ერთი და იგივე დაბადების დღე აქვს (წლის გამოკლებით) არის 0,706.

2. მოგზაურობის დროს ვინმეს ხვდები და საუბრისას აღმოაჩენ, რომ საერთო მეგობარი გყავს. ტიპიური რეაქცია: "ეს არ შეიძლება!" სინამდვილეში, ეს ფრაზა არ არის შესაფერისი, რადგან ასეთი მოვლენის ალბათობა საკმაოდ მაღალია - მხოლოდ 22% -ზე მეტი.

ამრიგად, ექსპერიმენტული ალბათობები განისაზღვრება დაკვირვებით და მონაცემთა შეგროვებით. თეორიული ალბათობები განისაზღვრება მათემატიკური მსჯელობით. ექსპერიმენტული და თეორიული ალბათობების მაგალითები, როგორიცაა ზემოთ განხილული და განსაკუთრებით ის, რასაც ჩვენ არ ველით, მიგვიყვანს ალბათობის შესწავლის მნიშვნელობამდე. თქვენ შეიძლება იკითხოთ: "რა არის ჭეშმარიტი ალბათობა?" სინამდვილეში, ასეთი რამ არ არსებობს. ალბათობა გარკვეულ საზღვრებში შეიძლება განისაზღვროს ექსპერიმენტულად. ისინი შეიძლება ემთხვეოდეს ან არ ემთხვეოდეს იმ ალბათობას, რომელსაც ჩვენ თეორიულად ვიღებთ. არის სიტუაციები, როდესაც ბევრად უფრო ადვილია ერთი ტიპის ალბათობის დადგენა, ვიდრე სხვა. მაგალითად, საკმარისი იქნებოდა თეორიული ალბათობის გამოყენებით გაციების ალბათობის პოვნა.

ექსპერიმენტული ალბათობების გამოთვლა

ჯერ განვიხილოთ ალბათობის ექსპერიმენტული განმარტება. ძირითადი პრინციპი, რომელსაც ვიყენებთ ასეთი ალბათობების გამოსათვლელად, შემდეგია.

პრინციპი P (ექსპერიმენტული)

თუ ექსპერიმენტში, რომელშიც n დაკვირვება კეთდება, სიტუაცია ან მოვლენა E ხდება m-ჯერ n დაკვირვებაში, მაშინ მოვლენის ექსპერიმენტული ალბათობა არის P (E) = m/n.

მაგალითი 1 სოციოლოგიური გამოკითხვა. ჩატარდა ექსპერიმენტული კვლევა მემარცხენეების, მემარჯვენეების და ორივე ხელის თანაბრად განვითარებული ადამიანების რაოდენობის დასადგენად.შედეგები მოცემულია გრაფიკზე.

ა) დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი მემარჯვენეა.

ბ) დაადგინეთ იმის ალბათობა, რომ ადამიანი მემარცხენეა.

გ) დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი თანაბრად ფლობს ორივე ხელში.

დ) პროფესიონალური ბოულინგ ასოციაციის ტურნირების უმეტესობა შეზღუდულია 120 მოთამაშით. ამ ექსპერიმენტის მონაცემებზე დაყრდნობით, რამდენი მოთამაშე შეიძლება იყოს მემარცხენე?

გამოსავალი

ა) მემარჯვენეების რიცხვი არის 82, მემარცხენეების რაოდენობა 17, ხოლო მათ, ვინც თანაბრად ფლობს ორივე ხელში არის 1. დაკვირვების საერთო რაოდენობა არის 100. ამრიგად, ალბათობა. რომ ადამიანი მემარჯვენეა არის პ
P = 82/100, ან 0.82, ან 82%.

ბ) ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი მემარცხენეა არის P, სადაც
P = 17/100, ან 0.17, ან 17%.

გ) ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი თანაბრად ფლობს ორივე ხელში არის P, სადაც
P = 1/100, ან 0.01, ან 1%.

დ) 120 ბოულერი და (ბ)-დან შეიძლება ველოდოთ, რომ 17% მემარცხენეა. აქედან
17% 120 = 0.17.120 = 20.4,
ანუ შეიძლება ველოდოთ 20-მდე მემარცხენე მოთამაშეს.

მაგალითი 2 Ხარისხის კონტროლი . მწარმოებლისთვის ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ პროდუქციის ხარისხი მაღალ დონეზე იყოს. ფაქტობრივად, კომპანიები ქირაობენ ხარისხის კონტროლის ინსპექტორებს ამ პროცესის უზრუნველსაყოფად. მიზანია დეფექტური პროდუქტების მინიმალური შესაძლო რაოდენობის წარმოება. მაგრამ რადგან კომპანია ყოველდღიურად აწარმოებს ათასობით პროდუქტს, მას არ შეუძლია ყველა პროდუქტის ტესტირება, რათა დადგინდეს, არის თუ არა ის დეფექტური. იმის გასარკვევად, თუ რა პროცენტული პროდუქტია დეფექტური, კომპანია ამოწმებს გაცილებით ნაკლებ პროდუქტს.
USDA მოითხოვს, რომ მწარმოებლების მიერ გაყიდული თესლის 80% უნდა გაღივდეს. სასოფლო-სამეურნეო კომპანიის მიერ წარმოებული თესლის ხარისხის დასადგენად, ირგვება 500 ცალი თესლი. ამის შემდეგ დაითვალეს, რომ 417 თესლი ამოიზარდა.

ა) რა არის იმის ალბათობა, რომ თესლი აღმოცენდეს?

ბ) შეესაბამება თუ არა თესლი სამთავრობო სტანდარტებს?

გამოსავალია) ვიცით, რომ დარგული 500 თესლიდან 417 ამოიზარდა. თესლის გაღივების ალბათობა P, და
P = 417/500 = 0.834, ანუ 83.4%.

ბ) ვინაიდან გაღივებული თესლის პროცენტმა საჭიროებისამებრ 80%-ს გადააჭარბა, თესლი აკმაყოფილებს სახელმწიფო სტანდარტებს.

მაგალითი 3 ტელევიზიის რეიტინგები. სტატისტიკის მიხედვით, ამერიკის შეერთებულ შტატებში ტელევიზორით 105 500 000 ოჯახია. ყოველ კვირას ხდება ინფორმაციის შეგროვება და დამუშავება პროგრამების ნახვის შესახებ. ერთ კვირაში 7,815,000 ოჯახი ადევნებდა თვალყურს ჰიტ-კომედიურ სერიალს "ყველას უყვარს რაიმონდი" CBS-ზე და 8 302 000 ოჯახი ჩაერთო ჰიტ სერიალზე "კანონი და წესრიგი" NBC-ზე (წყარო: Nielsen Media Research). რა არის იმის ალბათობა, რომ ერთი ოჯახის ტელევიზორი მოცემულ კვირაში იყოს დაყენებული „ყველას უყვარს რაიმონდი“? „კანონი და წესრიგი“?

გამოსავალიალბათობა იმისა, რომ ტელევიზორი ერთ ოჯახში დაყენებულია „ყველას უყვარს რაიმონდი“ არის P, და
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
შანსი იმისა, რომ საყოფაცხოვრებო ტელევიზორი იყო დაყენებული Law & Order-ზე არის P და
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
ამ პროცენტებს რეიტინგი ეწოდება.

თეორიული ალბათობა

დავუშვათ, ჩვენ ვატარებთ ექსპერიმენტს, როგორიცაა მონეტის ან ისრების სროლა, გემბანიდან ბარათის ამოღება ან პროდუქციის ხარისხის შესამოწმებლად შეკრების ხაზზე. ასეთი ექსპერიმენტის თითოეულ შესაძლო შედეგს ე.წ გამოსვლა . ყველა შესაძლო შედეგის ნაკრები ეწოდება შედეგის სივრცე . ღონისძიება ეს არის შედეგების ერთობლიობა, ანუ შედეგების სივრცის ქვეჯგუფი.

მაგალითი 4 ისრების სროლა. დავუშვათ, რომ ისრის სროლის ექსპერიმენტში ისარი ხვდება მიზანს. იპოვეთ თითოეული შემდეგი:

ბ) შედეგის სივრცე

გამოსავალი
ა) შედეგებია: დარტყმა შავი (B), დარტყმა წითელი (R) და დარტყმა თეთრი (B).

ბ) შედეგების სივრცეა (დარტყმა შავზე, წითელზე დარტყმა, თეთრზე დარტყმა), რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს უბრალოდ, როგორც (H, K, B).

მაგალითი 5 კამათლის სროლა. კვერი არის კუბი ექვსი გვერდით, თითოეულს მასზე ერთიდან ექვს წერტილამდე.


დავუშვათ, ჩვენ ვაგდებთ სასიძოს. იპოვე
ა) შედეგები
ბ) შედეგის სივრცე

გამოსავალი
ა) შედეგები: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
ბ) შედეგების სივრცე (1, 2, 3, 4, 5, 6).

ჩვენ აღვნიშნავთ ალბათობას, რომ E მოვლენა მოხდეს, როგორც P(E). მაგალითად, „მონეტა თავზე დაეშვება“ შეიძლება აღვნიშნოთ H-ით. მაშინ P(H) წარმოადგენს ალბათობას, რომ მონეტა დაჯდეს თავზე. როდესაც ექსპერიმენტის ყველა შედეგს აქვს ერთი და იგივე ალბათობა, რომ ისინი თანაბრად სავარაუდოა. იმისათვის, რომ ნახოთ განსხვავებები მოვლენებს შორის, რომლებიც თანაბრად სავარაუდოა და მოვლენებს შორის, რომლებიც არ არის, განიხილეთ ქვემოთ ნაჩვენები სამიზნე.

A სამიზნისთვის, შავი, წითელი და თეთრი დარტყმის მოვლენები თანაბრად სავარაუდოა, რადგან შავი, წითელი და თეთრი სექტორები ერთნაირია. თუმცა, სამიზნე B-სთვის, ამ ფერების მქონე ზონები არ არის ერთნაირი, ანუ მათზე დარტყმა თანაბრად სავარაუდო არ არის.

პრინციპი P (თეორიული)

თუ მოვლენა E შეიძლება მოხდეს m გზით n შესაძლო თანაბრად სავარაუდო შედეგიდან S სივრციდან, მაშინ თეორიული ალბათობა მოვლენები, P(E) არის
P(E) = m/n.

მაგალითი 6რა არის ალბათობა 3-ის მისაღებად სამაჯური გადააგოროთ?

გამოსავალიკამათელზე არის 6 თანაბრად სავარაუდო შედეგი და არსებობს მხოლოდ ერთი შესაძლებლობა 3-ის გაშვების. მაშინ ალბათობა P იქნება P(3) = 1/6.

მაგალითი 7რა არის ალბათობა, რომ ლუწი რიცხვი დააბრუნოს კუბიკზე?

გამოსავალიმოვლენა არის ლუწი რიცხვის სროლა. ეს შეიძლება მოხდეს 3 გზით (თუ გააფართოვეთ 2, 4 ან 6). თანაბრად სავარაუდო შედეგების რიცხვი არის 6. მაშინ ალბათობა P(ლუწ) = 3/6, ან 1/2.

ჩვენ გამოვიყენებთ უამრავ მაგალითს, რომელიც მოიცავს სტანდარტული 52 ბარათის გემბანს. ეს გემბანი შედგება ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები ბარათებისგან.

მაგალითი 8რა არის ტუზის გამოყვანის ალბათობა კარგად აურიეთ კარტების დაფიდან?

გამოსავალიარის 52 შედეგი (ბარათების რაოდენობა გემბანზე), ისინი თანაბრად სავარაუდოა (თუ გემბანი კარგად არის შერეული) და არსებობს ტუზის დახატვის 4 გზა, ასე რომ, P პრინციპის მიხედვით, ალბათობა
P (დახაზეთ ტუზი) = 4/52, ან 1/13.

მაგალითი 9დავუშვათ, რომ შევარჩიოთ ერთი ბურთი ჩანთიდან 3 წითელი და 4 მწვანე ბურთით. რამდენია წითელი ბურთის არჩევის ალბათობა?

გამოსავალინებისმიერი ბურთის დახატვის 7 თანაბრად სავარაუდო შედეგია და რადგან წითელი ბურთის დახატვის გზების რაოდენობა არის 3, მივიღებთ
P (წითელი ბურთის შერჩევა) = 3/7.

შემდეგი განცხადებები არის P პრინციპის შედეგი.

ალბათობის თვისებები

ა) თუ მოვლენა E არ შეიძლება მოხდეს, მაშინ P(E) = 0.
ბ) თუ მოვლენა E აუცილებლად მოხდება, მაშინ P(E) = 1.
გ) E მოვლენის დადგომის ალბათობა არის რიცხვი 0-დან 1-მდე: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

მაგალითად, მონეტის გადაგდებისას, იმ მოვლენას, რომ მონეტა მის კიდეზე მოხვდეს, ალბათობა ნულოვანია. ალბათობა იმისა, რომ მონეტა არის თავები ან კუდები, აქვს ალბათობა 1.

მაგალითი 10დავუშვათ, რომ 52-კარტიანი დასტადან 2 კარტი დგება. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე მწვერვალია?

გამოსავალი n ხერხის რიცხვი 2 კარტის გათამაშებისთვის 52 კარტიდან კარგად შერეული გემბანიდან არის 52 C 2 . ვინაიდან 52 კარტიდან 13 არის ყვავი, m გზების რაოდენობა 2 ყველის გასაღებად არის 13 C 2 . მაშინ,
P (2 მწვერვალის გაყვანა) = მ/ნ = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

მაგალითი 11დავუშვათ, 3 ადამიანი შემთხვევით შერჩეულია 6 კაცისა და 4 ქალის ჯგუფიდან. რა არის იმის ალბათობა, რომ 1 კაცი და 2 ქალი შეირჩეს?

გამოსავალი 10 კაციანი ჯგუფიდან სამი ადამიანის არჩევის გზების რაოდენობაა 10 C 3. ერთი მამაკაცის არჩევა შესაძლებელია 6 C 1 გზით, ხოლო 2 ქალის არჩევა 4 C 2 გზით. დათვლის ფუნდამენტური პრინციპის მიხედვით, 1 კაცისა და 2 ქალის არჩევის გზების რაოდენობაა 6 C 1. 4 C 2 . მაშინ, ალბათობა იმისა, რომ 1 კაცი და 2 ქალი შეირჩევა არის
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

მაგალითი 12 კამათლის სროლა. რამდენია ორ კამათელზე სულ 8-ის გაშვების ალბათობა?

გამოსავალითითოეულ კამათელს აქვს 6 შესაძლო შედეგი. შედეგები გაორმაგებულია, რაც ნიშნავს, რომ არსებობს 6.6 ან 36 შესაძლო გზა, რომლითაც შეიძლება გამოჩნდეს ნომრები ორ კამათელზე. (უმჯობესია, თუ კუბურები განსხვავებულია, ვთქვათ ერთი წითელი და მეორე ლურჯი - ეს დაგეხმარებათ შედეგის ვიზუალიზაციაში.)

რიცხვების წყვილი, რომლებიც ჯამდება 8-მდე, ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. არსებობს 8-ის ტოლი ჯამის მისაღებად 5 შესაძლო გზა, შესაბამისად, ალბათობა არის 5/36.

იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა შეაფასოთ მოვლენის ალბათობა შანსების მიხედვით, აუცილებელია სწორი ფსონის არჩევისთვის. თუ არ გესმით, როგორ გადააკეთოთ ტოტალიზატორის შანსები ალბათობად, ვერასოდეს შეძლებთ განსაზღვროთ, როგორ შეედრება ტოტალიზატორის შანსები მოვლენის რეალურ შანსებს. უნდა გესმოდეთ, რომ თუ ტოტალიზატორის მიხედვით მოვლენის ალბათობა დაბალია, ვიდრე იგივე მოვლენის ალბათობა თქვენივე ვერსიით, ამ მოვლენაზე ფსონი ღირებული იქნება. შეგიძლიათ შეადაროთ შანსები სხვადასხვა მოვლენისთვის ვებგვერდზე Odds.ru.

1.1. შანსების ტიპები

ტოტალიზატორები, როგორც წესი, გვთავაზობენ შანსების სამ ტიპს - ათობითი, წილადის და ამერიკულ. მოდით შევხედოთ თითოეულ ჯიშს.

1.2. ათწილადი შანსები

ათწილადი კოეფიციენტები ფსონის ზომაზე გამრავლებისას საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მთელი თანხა, რომელსაც მიიღებთ ხელში მოგების შემთხვევაში. მაგალითად, თუ დადებთ 1$-ს 1,80 შანსზე, თუ მოიგებთ, მიიღებთ $1,80-ს ($1 არის დაბრუნებული ფსონის თანხა, 0,80 არის მოგება ფსონზე, რაც ასევე არის თქვენი წმინდა მოგება).

ანუ შედეგის ალბათობა, ტოტალიზატორის აზრით, 55%-ია.

1.3. წილადის შანსები

ფრაქციული შანსები ყველაზე ტრადიციული ტიპის შანსებია. მრიცხველი აჩვენებს პოტენციურ წმინდა მოგებას. მნიშვნელი არის ფსონის თანხა, რომელიც უნდა გაკეთდეს ამ მოგების მისაღებად. მაგალითად, 7/2 კოეფიციენტი ნიშნავს, რომ 7$-ის მოგების დასამყარებლად, დაგჭირდებათ 2$-ის დადება.

ათწილადის კოეფიციენტზე დაყრდნობით მოვლენის ალბათობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა განახორციელოთ მარტივი გამოთვლები - გაყავით მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის ჯამზე. ზემოთ მოყვანილი 7/2-ის შანსებისთვის, გაანგარიშება იქნება შემდეგი:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

ანუ შედეგის ალბათობა, ტოტალიზატორის აზრით, 22%-ია.

1.4. ამერიკული შანსები

ამ ტიპის შანსები პოპულარულია ჩრდილოეთ ამერიკაში. ერთი შეხედვით, ისინი საკმაოდ რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ არ ინერვიულოთ. ამერიკული შანსების გაგება შეიძლება სასარგებლო იყოს, მაგალითად, ამერიკულ კაზინოებში თამაშისას ჩრდილოეთ ამერიკის სპორტულ მაუწყებლებზე ნაჩვენები ციტატების გასაგებად. მოდით შევხედოთ როგორ შევაფასოთ შედეგის ალბათობა ამერიკული შანსების მიხედვით.

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ ამერიკული შანსები შეიძლება იყოს დადებითი და უარყოფითი. უარყოფითი ამერიკული კოეფიციენტი ყოველთვის მოდის ფორმატში, მაგალითად, "-150". ეს ნიშნავს, რომ იმისათვის, რომ მიიღოთ $100 წმინდა მოგება (მოგება), თქვენ უნდა დადოთ ფსონი $150.

დადებითი ამერიკული კოეფიციენტი გამოითვლება საპირისპიროდ. მაგალითად, ჩვენ გვაქვს კოეფიციენტი "+120". ეს ნიშნავს, რომ იმისათვის, რომ მიიღოთ $120 წმინდა მოგება (მოგება), თქვენ უნდა დადოთ ფსონი $100.

ნეგატიურ ამერიკულ შანსებზე დაფუძნებული ალბათობის გაანგარიშება ხდება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

(-(უარყოფითი ამერიკული კოეფიციენტი)) / ((-(უარყოფითი ამერიკული კოეფიციენტი)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

ანუ, მოვლენის ალბათობა, რომლისთვისაც მოცემულია უარყოფითი ამერიკული კოეფიციენტი "-150", არის 60%.

ახლა განიხილეთ მსგავსი გამოთვლები დადებითი ამერიკული კოეფიციენტისთვის. ამ შემთხვევაში ალბათობა გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

100 / (დადებითი ამერიკული კოეფიციენტი + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

ანუ მოვლენის ალბათობა, რომლისთვისაც მოცემულია დადებითი ამერიკული კოეფიციენტი „+120“, არის 45%.

1.5. როგორ გადაიყვანოთ შანსები ერთი ფორმატიდან მეორეში?

შანსების ერთი ფორმატიდან მეორეში გადაყვანის შესაძლებლობა მოგვიანებით მოგემსახურებათ. უცნაურია, მაგრამ ჯერ კიდევ არის ოფისები, რომლებშიც შანსები არ არის გადაყვანილი და ნაჩვენებია მხოლოდ ჩვენთვის უჩვეულო ფორმატში. მოდით შევხედოთ მაგალითებს, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს. მაგრამ პირველ რიგში, ჩვენ უნდა ვისწავლოთ, როგორ გამოვთვალოთ შედეგის ალბათობა ჩვენთვის მოცემული კოეფიციენტის საფუძველზე.

1.6. როგორ გამოვთვალოთ ათობითი შანსები ალბათობის მიხედვით?

აქ ყველაფერი ძალიან მარტივია. აუცილებელია 100-ის გაყოფა მოვლენის ალბათობაზე პროცენტულად. ანუ, თუ მოვლენის სავარაუდო ალბათობა არის 60%, საჭიროა:

მოვლენის სავარაუდო ალბათობით 60%, ათობითი შანსები იქნება 1.66.

1.7. როგორ გამოვთვალოთ წილადის შანსები ალბათობის მიხედვით?

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაყოთ 100 მოვლენის ალბათობაზე და გამოაკლოთ ერთი მიღებულ შედეგს. მაგალითად, მოვლენის ალბათობა არის 40%:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

ანუ, ვიღებთ წილადის კოეფიციენტს 1,5/1 ან გამოთვლის სიმარტივისთვის 3/2.

1.8. როგორ გამოვთვალოთ ამერიკული შანსები სავარაუდო შედეგის მიხედვით?

აქ ბევრი რამ იქნება დამოკიდებული მოვლენის ალბათობაზე - იქნება ეს 50%-ზე მეტი თუ ნაკლები. თუ მოვლენის ალბათობა 50%-ზე მეტია, მაშინ გამოთვლა მოხდება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

- ((ალბათობა) / (100 - ალბათობა)) * 100

მაგალითად, თუ მოვლენის ალბათობა არის 80%, მაშინ:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

მოვლენის სავარაუდო ალბათობით 80%, მივიღეთ უარყოფითი ამერიკული კოეფიციენტი "-400".

თუ მოვლენის ალბათობა 50 პროცენტზე ნაკლებია, მაშინ ფორმულა იქნება:

((100 - ალბათობა) / ალბათობა) * 100

მაგალითად, თუ მოვლენის ალბათობა არის 40%, მაშინ:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

მოვლენის სავარაუდო ალბათობით 40%, მივიღეთ დადებითი ამერიკული კოეფიციენტი "+150".

ეს გამოთვლები დაგეხმარებათ უკეთ გაიგოთ ფსონების და შანსების კონცეფცია და გაიგოთ, თუ როგორ შეაფასოთ კონკრეტული ფსონის ნამდვილი ღირებულება.

პრაქტიკული თვალსაზრისით, მოვლენის ალბათობაარის იმ დაკვირვებების რაოდენობის თანაფარდობა, რომლებშიც მოხდა ეს მოვლენა დაკვირვებების მთლიან რაოდენობასთან. ეს ინტერპრეტაცია მისაღებია საკმარისად დიდი რაოდენობის დაკვირვების ან ექსპერიმენტის შემთხვევაში. მაგალითად, თუ ქუჩაში შემხვედრი ადამიანების დაახლოებით ნახევარი ქალია, მაშინ შეიძლება ითქვას, რომ ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი, რომელსაც ქუჩაში შეხვდებით, ქალი იქნება 1/2. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოვლენის ალბათობის შეფასება შეიძლება იყოს მისი წარმოშობის სიხშირე შემთხვევითი ექსპერიმენტის დამოუკიდებელი გამეორებების გრძელ სერიაში.

ალბათობა მათემატიკაში

თანამედროვე მათემატიკური მიდგომით, კლასიკური (ანუ, არა კვანტური) ალბათობა მოცემულია კოლმოგოროვის აქსიომატიკით. ალბათობა არის საზომი პ, რომელიც განსაზღვრულია კომპლექტზე X, რომელსაც ეწოდება ალბათობის სივრცე. ამ ზომას უნდა ჰქონდეს შემდეგი თვისებები:

ამ პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ ალბათობის საზომი პასევე აქვს ქონება ადიტიურობა: თუ დაყენებულია ა 1 და ა 2 არ იკვეთება, მაშინ . დასამტკიცებლად, თქვენ უნდა დააყენოთ ყველაფერი ა 3 , ა 4, ... უდრის ცარიელ სიმრავლეს და გამოიყენეთ თვლადი დანამატის თვისება.

ალბათობის ზომა შეიძლება არ იყოს განსაზღვრული სიმრავლის ყველა ქვეჯგუფისთვის X. საკმარისია მისი განსაზღვრა სიგმა ალგებრაზე, რომელიც შედგება სიმრავლის ზოგიერთი ქვესიმრავლისგან X. ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი მოვლენები განისაზღვრება, როგორც სივრცის გაზომვადი ქვეჯგუფები X, ანუ, როგორც სიგმა ალგებრის ელემენტები.

ალბათობის გრძნობა

როდესაც აღმოვაჩენთ, რომ ზოგიერთი შესაძლო ფაქტის მიზეზები რეალურად აჭარბებს საპირისპირო მიზეზებს, ჩვენ განვიხილავთ ამ ფაქტს სავარაუდო, წინააღმდეგ შემთხვევაში - წარმოუდგენელი. დადებითი საფუძვლების ეს უპირატესობა უარყოფითზე და პირიქით, შეიძლება წარმოადგენდეს ხარისხების განუსაზღვრელ კრებულს, რის შედეგადაც ალბათობა(და წარმოუდგენლობა) Ხდება ხოლმე მეტიან ნაკლები .

რთული ინდივიდუალური ფაქტები არ იძლევა მათი ალბათობის ხარისხების ზუსტ გამოთვლას, მაგრამ აქაც მნიშვნელოვანია რამდენიმე დიდი ქვედანაყოფების ჩამოყალიბება. ასე, მაგალითად, სამართლებრივ სფეროში, როცა ჩვენების საფუძველზე დგინდება განსაცდელი პიროვნული ფაქტი, ის ყოველთვის რჩება, მკაცრად რომ ვთქვათ, მხოლოდ სავარაუდო და აუცილებელია ვიცოდეთ, რამდენად მნიშვნელოვანია ეს ალბათობა; რომაულ სამართალში აქ მიღებულ იქნა ოთხმაგი დაყოფა: probatio plena(სადაც ალბათობა პრაქტიკულად იქცევა საიმედოობა), Უფრო - probatio მინუს plena, შემდეგ - probatio semiplena majorდა ბოლოს probatio semiplena minor .

საქმის ალბათობის საკითხთან ერთად, შეიძლება გაჩნდეს კითხვა, როგორც სამართლის, ასევე მორალური თვალსაზრისით (გარკვეული ეთიკური თვალსაზრისით), რამდენად სავარაუდოა, რომ მოცემული კონკრეტული ფაქტი წარმოადგენს ზოგადი კანონის დარღვევა. ამ კითხვამ, რომელიც მთავარი მოტივია თალმუდის რელიგიურ იურისპრუდენციაში, ასევე დასაბამი მისცა რომაულ კათოლიკურ მორალურ თეოლოგიაში (განსაკუთრებით მე-16 საუკუნის ბოლოდან) ძალიან რთულ სისტემატურ კონსტრუქციებს და უზარმაზარ დოგმატურ და პოლემიკურ ლიტერატურას. იხილეთ ალბათობა).

ალბათობის კონცეფცია იძლევა გარკვეული რიცხვითი გამოხატვის საშუალებას, როდესაც გამოიყენება მხოლოდ ისეთ ფაქტებზე, რომლებიც გარკვეული ერთგვაროვანი სერიების ნაწილია. ასე რომ (უმარტივეს მაგალითში), როდესაც ვინმე ზედიზედ ასჯერ ესვრის მონეტას, ჩვენ აქ ვპოულობთ ერთ ზოგად ან დიდ სერიას (მონეტის ყველა დაცემის ჯამი), რომელიც შედგება ორი პირადი ან უფრო მცირე, ამ შემთხვევაში რიცხობრივად. თანაბარი, სერიები (ვარდება "თავები" და ეცემა "კუდები"); ალბათობა იმისა, რომ ამჯერად მონეტა მოხვდება თავებს, ანუ ზოგადი სერიის ეს ახალი წევრი მიეკუთვნება ამ ორ პატარა სერიებს, უდრის წილადს, რომელიც გამოხატავს რიცხვით ურთიერთობას ამ პატარა სერიებსა და უფრო დიდს შორის. კერძოდ, 1/2, ანუ ერთი და იგივე ალბათობა ეკუთვნის ორი კონკრეტული სერიიდან ერთს ან მეორეს. ნაკლებად მარტივ მაგალითებში დასკვნის გამოტანა შეუძლებელია უშუალოდ თავად პრობლემის მონაცემებიდან, მაგრამ მოითხოვს წინასწარ ინდუქციას. მაგალითად, ჩნდება კითხვა: რა არის იმის ალბათობა, რომ მოცემულმა ახალშობილმა იცოცხლოს 80 წლამდე? აქ უნდა არსებობდეს მსგავს პირობებში დაბადებული და სხვადასხვა ასაკში გარდაცვლილი გარკვეული რაოდენობის ადამიანების ზოგადი, ან დიდი სერია (ეს რიცხვი საკმარისად დიდი უნდა იყოს შემთხვევითი გადახრების აღმოსაფხვრელად და საკმარისად მცირე, რომ შეინარჩუნოს სერიის ჰომოგენურობა, ადამიანისთვის, რომელიც დაიბადა, მაგალითად, სანქტ-პეტერბურგში მდიდარ, კულტურულ ოჯახში, ქალაქის მთელი მილიონიანი მოსახლეობა, რომლის მნიშვნელოვანი ნაწილი შედგება სხვადასხვა ჯგუფის ადამიანებისგან, რომლებსაც შეუძლიათ ნაადრევად სიკვდილი - ჯარისკაცები, ჟურნალისტები, სახიფათო პროფესიების მუშები - წარმოადგენს ჯგუფს მეტისმეტად ჰეტეროგენულ ალბათობის რეალური განსაზღვრისთვის); დაე, ეს ზოგადი სერია შედგებოდეს ათი ათასი ადამიანის სიცოცხლისგან; იგი მოიცავს უფრო მცირე სერიებს, რომლებიც წარმოადგენს კონკრეტულ ასაკამდე გადარჩენილი ადამიანების რაოდენობას; ერთ-ერთი ასეთი პატარა სერია წარმოადგენს 80 წლამდე მცხოვრებთა რაოდენობას. მაგრამ ამ მცირე სერიის რაოდენობის დადგენა შეუძლებელია (როგორც ყველა სხვა) აპრიორი; ეს ხდება წმინდა ინდუქციურად, სტატისტიკის საშუალებით. დავუშვათ, სტატისტიკურმა კვლევებმა დაადგინა, რომ 10000 საშუალო კლასის პეტერბურგიდან მხოლოდ 45 ცხოვრობს 80-მდე; ამრიგად, ეს პატარა სერია დაკავშირებულია უფრო დიდთან, რადგან 45 არის 10000-თან, და ალბათობა იმისა, რომ მოცემული ადამიანი მიეკუთვნება ამ პატარა სერიას, ანუ იცოცხლოს 80 წლამდე, გამოიხატება 0,0045 წილადით. ალბათობის შესწავლა მათემატიკური თვალსაზრისით წარმოადგენს განსაკუთრებულ დისციპლინას - ალბათობის თეორიას.

იხილეთ ასევე

შენიშვნები

ლიტერატურა

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

ანტონიმები:

ნახეთ, რა არის "ალბათობა" სხვა ლექსიკონებში:

ზოგადი სამეცნიერო და ფილოსოფიური. კატეგორია, რომელიც აღნიშნავს ფიქსირებულ დაკვირვების პირობებში მასობრივი შემთხვევითი მოვლენების წარმოშობის შესაძლებლობის რაოდენობრივ ხარისხს, რომელიც ახასიათებს მათი ფარდობითი სიხშირეების სტაბილურობას. ლოგიკაში სემანტიკური ხარისხი... ... ფილოსოფიური ენციკლოპედია

ალბათობა, რიცხვი ნულიდან ერთამდე დიაპაზონში, რომელიც წარმოადგენს მოცემული მოვლენის მოხდენის შესაძლებლობას. მოვლენის ალბათობა განისაზღვრება, როგორც მოვლენის მოვლენის შანსების რაოდენობის თანაფარდობა შესაძლო შესაძლო... ... სამეცნიერო და ტექნიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი

დიდი ალბათობით.. რუსული სინონიმებისა და მსგავსი გამოთქმების ლექსიკონი. ქვეშ. რედ. ნ. აბრამოვა, მ.: რუსული ლექსიკონები, 1999. ალბათობა შესაძლებლობა, ალბათობა, შანსი, ობიექტური შესაძლებლობა, მაზა, დასაშვებობა, რისკი. ჭიანჭველა შეუძლებლობა...... სინონიმური ლექსიკონი

ალბათობა- ღონისძიება, რომლის მიხედვითაც შესაძლებელია მოვლენა მოხდეს. შენიშვნა ალბათობის მათემატიკური განმარტება არის: „ნამდვილი რიცხვი 0-დან 1-მდე, რომელიც დაკავშირებულია შემთხვევით მოვლენასთან“. რიცხვი შეიძლება ასახავდეს ფარდობით სიხშირეს დაკვირვებების სერიაში... ... ტექნიკური მთარგმნელის გზამკვლევი

ალბათობა- ”მათემატიკური, რიცხვითი მახასიათებელი გარკვეულ კონკრეტულ პირობებში რაიმე მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ხარისხისა, რომელიც შეიძლება განმეორდეს შეუზღუდავი რაოდენობით.” ამ კლასიკის საფუძველზე...... ეკონომიკური და მათემატიკური ლექსიკონი

- (ალბათობა) მოვლენის ან გარკვეული შედეგის დადგომის შესაძლებლობა. ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სკალის სახით გაყოფით 0-დან 1-მდე. თუ მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია, მისი დადგომა შეუძლებელია. 1-ის ტოლი ალბათობით, იწყება... ბიზნეს ტერმინების ლექსიკონი

სწორი ფსონის არჩევა დამოკიდებულია არა მხოლოდ ინტუიციაზე, სპორტულ ცოდნაზე, ტოტალიზატორის შანსებზე, არამედ მოვლენის ალბათობის კოეფიციენტზეც. ფსონების დროს ასეთი ინდიკატორის გამოთვლის შესაძლებლობა არის წარმატების გასაღები მომავალი მოვლენის წინასწარმეტყველებაში, რომელზედაც უნდა განთავსდეს ფსონი.
ბუკმეიკერებში არსებობს სამი სახის შანსები (დაწვრილებით სტატიაში), რომელთა ტიპი განსაზღვრავს, თუ როგორ გამოვთვალოთ მოვლენის ალბათობა მოთამაშისთვის.

ათწილადი შანსები

ამ შემთხვევაში მოვლენის ალბათობა გამოითვლება ფორმულით: 1/კოეფიციენტი. = v.i, სადაც კოეფიციენტი. არის მოვლენის კოეფიციენტი და v.i არის შედეგის ალბათობა. მაგალითად, ჩვენ ვიღებთ მოვლენას 1,80 კოეფიციენტს ერთი დოლარის ფსონზე, მათემატიკური ოპერაციის ფორმულის მიხედვით, მოთამაშე იღებს, რომ ტოტალიზატორის მიხედვით მოვლენის შედეგის ალბათობა არის 0,55 პროცენტი.

წილადის შანსები

წილადის შანსების გამოყენებისას, ალბათობის გამოთვლის ფორმულა განსხვავებული იქნება. ასე რომ, კოეფიციენტით 7/2, სადაც პირველი ფიგურა ნიშნავს წმინდა მოგების შესაძლო რაოდენობას, ხოლო მეორე - ამ მოგების მისაღებად საჭირო ფსონის ზომას, განტოლება ასე გამოიყურება: zn.od/ ჯამისთვის. zn.od-ისა და chs.od = v.i. აქ zn.coef არის კოეფიციენტის მნიშვნელი, chs.coef არის კოეფიციენტის მრიცხველი, v.i არის შედეგის ალბათობა. ამრიგად, 7/2-ის წილადური შანსებისთვის, განტოლება გამოიყურება 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, შესაბამისად, მოვლენის შედეგის ალბათობა ტოტალიზატორის მიხედვით არის 0,22 პროცენტი.

ამერიკული შანსები

ამერიკული შანსები არ არის ძალიან პოპულარული მოთამაშეებს შორის და, როგორც წესი, გამოიყენება ექსკლუზიურად აშშ-ში, რომელსაც აქვს რთული და დამაბნეველი სტრუქტურა. კითხვაზე: "როგორ გამოვთვალოთ მოვლენის ალბათობა ამ გზით?", თქვენ უნდა იცოდეთ, რომ ასეთი კოეფიციენტები შეიძლება იყოს უარყოფითი და დადებითი.

კოეფიციენტი "-" ნიშნით, მაგალითად -150, გვიჩვენებს, რომ მოთამაშემ უნდა დადოს ფსონი $150, რომ მიიღოს წმინდა მოგება $100. მოვლენის ალბათობა გამოითვლება ფორმულის საფუძველზე, სადაც საჭიროა უარყოფითი კოეფიციენტის გაყოფა უარყოფითი კოეფიციენტისა და 100-ის ჯამზე. ეს ჰგავს -150 ფსონის მაგალითს, ასე რომ (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, სადაც 0,6 მრავლდება 100-ზე და მოვლენის შედეგის ალბათობა არის 60 პროცენტი. იგივე ფორმულა ასევე შესაფერისია დადებითი ამერიკული შანსებისთვის.