ამ სტატიაში თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა იპოვოთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენებით. პირველად ვხვდებით ასეთი პრობლემის ფორმულირებას უმაღლეს სკოლაში, როცა ახლახან დავასრულეთ განსაზღვრული ინტეგრალების შესწავლა და დროა დავიწყოთ მიღებული ცოდნის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია პრაქტიკაში.

ასე რომ, რა არის საჭირო ინტეგრალების გამოყენებით ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის წარმატებით გადასაჭრელად:

• კომპეტენტური ნახატების გაკეთების უნარი;
• განსაზღვრული ინტეგრალის ამოხსნის უნარი ცნობილი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით;
• უფრო მომგებიანი გადაწყვეტის ვარიანტის „ნახვის“ შესაძლებლობა - ე.ი. გესმით, როგორ იქნება უფრო მოსახერხებელი ინტეგრაციის განხორციელება ამა თუ იმ შემთხვევაში? x-ღერძის გასწვრივ (OX) თუ y-ღერძი (OY)?
• კარგად, სად ვიქნებოდით სწორი გამოთვლების გარეშე?) ეს მოიცავს იმის გაგებას, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ სხვა ტიპის ინტეგრალები და სწორი რიცხვითი გამოთვლები.

ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი:

1. ჩვენ ვაკეთებთ ნახატს. მიზანშეწონილია ამის გაკეთება ქაღალდის ფურცელზე, დიდი მასშტაბით. ჩვენ ვაწერთ ხელს ამ ფუნქციის სახელს ფანქრით თითოეული გრაფიკის ზემოთ. გრაფიკების ხელმოწერა ხდება მხოლოდ შემდგომი გამოთვლების მოხერხებულობისთვის. სასურველი ფიგურის გრაფიკის მიღების შემდეგ, უმეტეს შემთხვევაში, მაშინვე გაირკვევა, ინტეგრაციის რომელი საზღვრები იქნება გამოყენებული. ამრიგად, ჩვენ პრობლემას გრაფიკულად ვხსნით. თუმცა, ეს ხდება, რომ საზღვრების მნიშვნელობები არის წილადი ან ირაციონალური. ამიტომ, შეგიძლიათ გააკეთოთ დამატებითი გამოთვლები, გადადით მეორე ეტაპზე.

2. თუ ინტეგრაციის საზღვრები ცალსახად არ არის მითითებული, მაშინ ვპოულობთ გრაფიკების ერთმანეთთან გადაკვეთის წერტილებს და ვნახავთ ემთხვევა თუ არა ჩვენი გრაფიკული ამოხსნა ანალიტიკურს.

3. შემდეგი, თქვენ უნდა გააანალიზოთ ნახაზი. იმისდა მიხედვით, თუ როგორ არის მოწყობილი ფუნქციის გრაფიკები, არსებობს სხვადასხვა მიდგომა ფიგურის ფართობის მოსაძებნად. მოდით გადავხედოთ ინტეგრალის გამოყენებით ფიგურის ფართობის პოვნის სხვადასხვა მაგალითებს.

3.1. პრობლემის ყველაზე კლასიკური და მარტივი ვერსია არის ის, როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ მოსახვევი ტრაპეციის ფართობი. რა არის მოხრილი ტრაპეცია? ეს არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება x-ღერძით (y = 0), სწორი x = a, x = bდა ნებისმიერი მრუდი უწყვეტი ინტერვალზე აადრე ბ. უფრო მეტიც, ეს მაჩვენებელი არაუარყოფითია და მდებარეობს არა x ღერძის ქვემოთ. ამ შემთხვევაში, მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის გარკვეულ ინტეგრალს, რომელიც გამოითვლება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით:

მაგალითი 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

რა ხაზებით არის შემოსაზღვრული ფიგურა? ჩვენ გვაქვს პარაბოლა y = x2 – 3x + 3, რომელიც მდებარეობს ღერძის ზემოთ ოჰ, არაუარყოფითია, რადგან ამ პარაბოლის ყველა წერტილს აქვს დადებითი მნიშვნელობები. შემდეგი, მოცემულია სწორი ხაზები x = 1და x = 3, რომლებიც გადიან ღერძის პარალელურად OU, არის ფიგურის სასაზღვრო ხაზები მარცხნივ და მარჯვნივ. კარგად y = 0ეს არის ასევე x ღერძი, რომელიც ზღუდავს ფიგურას ქვემოდან. შედეგად მიღებული ფიგურა დაჩრდილულია, როგორც ჩანს მარცხენა ფიგურიდან. ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ დაიწყოთ პრობლემის მოგვარება. ჩვენს წინაშეა მრუდი ტრაპეციის მარტივი მაგალითი, რომელსაც შემდეგ ვხსნით ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით.

3.2. წინა 3.1 პარაგრაფში ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევა, როდესაც მოხრილი ტრაპეცია მდებარეობს x ღერძის ზემოთ. ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც პრობლემის პირობები იგივეა, გარდა იმისა, რომ ფუნქცია x-ღერძის ქვეშ დევს. ნიუტონ-ლაიბნიცის სტანდარტულ ფორმულას ემატება მინუსი. როგორ მოვაგვაროთ ასეთი პრობლემა ქვემოთ განვიხილავთ.

მაგალითი 2 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

ამ მაგალითში გვაქვს პარაბოლა y = x2 + 6x + 2, რომელიც სათავეს იღებს ღერძიდან ოჰ, სწორი x = -4, x = -1, y = 0. Აქ y = 0ზღუდავს სასურველ ფიგურას ზემოდან. პირდაპირი x = -4და x = -1ეს ის საზღვრებია, რომლებშიც გამოითვლება განსაზღვრული ინტეგრალი. ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის გადაჭრის პრინციპი თითქმის მთლიანად ემთხვევა მაგალითს 1. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ მოცემული ფუნქცია არ არის დადებითი და ასევე უწყვეტია ინტერვალზე. [-4; -1] . რას გულისხმობ არადადებითი? როგორც ნახატიდან ჩანს, მოცემულ x-ებში მოცემულ ფიგურას აქვს ექსკლუზიურად „უარყოფითი“ კოორდინატები, რაც უნდა დავინახოთ და დავიმახსოვროთ პრობლემის გადაჭრისას. ჩვენ ვეძებთ ფიგურის ფართობს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით, მხოლოდ დასაწყისში მინუს ნიშნით.

სტატია არ არის დასრულებული.

მოდით გადავიდეთ ინტეგრალური გამოთვლების აპლიკაციების განხილვაზე. ამ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ტიპურ და ყველაზე გავრცელებულ დავალებას სიბრტყის ფიგურის ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. დაბოლოს, ყველამ, ვინც აზრს ეძებს უმაღლეს მათემატიკაში, იპოვნოს იგი. Არასოდეს იცი. რეალურ ცხოვრებაში, თქვენ მოგიწევთ მიახლოებითი დაჩის ნაკვეთი ელემენტარული ფუნქციების გამოყენებით და იპოვოთ მისი ფართობი გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით.

მასალის წარმატებით დასაუფლებლად, თქვენ უნდა:

1) განუსაზღვრელი ინტეგრალის გაგება საშუალო დონეზე მაინც. ამდენად, დუიმებმა ჯერ უნდა წაიკითხონ გაკვეთილი არა.

2) შეძლოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება და განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა. თქვენ შეგიძლიათ დაამყაროთ თბილი მეგობრული ურთიერთობა ცალკეულ ინტეგრალებთან გვერდზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები. ამოცანა „გამოთვალეთ ფართობი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით“ ყოველთვის მოიცავს ნახაზის აგებას, ასე რომ, თქვენი ცოდნა და ხატვის უნარებიც აქტუალური იქნება. მინიმუმ, თქვენ უნდა შეძლოთ სწორი ხაზის, პარაბოლისა და ჰიპერბოლის აგება.

დავიწყოთ მოხრილი ტრაპეციით. მრუდი ტრაპეცია არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია გარკვეული ფუნქციის გრაფიკით წ = ვ(x), ღერძი ოქსიდა ხაზები x = ა; x = ბ.

მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის განსაზღვრულ ინტეგრალს

ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. გაკვეთილზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითებიჩვენ ვთქვით, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი. ახლა კი დროა განვაცხადოთ კიდევ ერთი სასარგებლო ფაქტი. გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA. ანუ განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება გარკვეული ფიგურის ფართობს. განვიხილოთ განსაზღვრული ინტეგრალი

ინტეგრანდ

განსაზღვრავს მრუდს სიბრტყეზე (სურვილის შემთხვევაში მისი დახატვა შესაძლებელია), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

მაგალითი 1

, , , .

ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. გადაწყვეტილების ყველაზე მნიშვნელოვანი წერტილი არის ნახაზის აგება. უფრო მეტიც, ნახაზი უნდა იყოს აგებული უფლება.

ნახატის აგებისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველადუმჯობესია ავაშენოთ ყველა სწორი ხაზი (თუ ისინი არსებობს) და მხოლოდ მერე– პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. წერტილი-პუნქტის მშენებლობის ტექნიკა შეგიძლიათ იხილოთ საცნობარო მასალაში ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. აქ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ძალიან სასარგებლო მასალა ჩვენი გაკვეთილისთვის - როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა.

ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.

მოდით გავაკეთოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება წ= 0 განსაზღვრავს ღერძს ოქსი):

ჩვენ არ დავჩრდილავთ მოხრილ ტრაპეციას, აქ აშკარაა, რომელ არეალზეა საუბარი. გამოსავალი ასე გრძელდება:

სეგმენტზე [-2; 1] ფუნქციის გრაფიკი წ = x 2 + 2 მდებარეობს ღერძის ზემოთოქსი, Ამიტომაც:

პასუხი: .

ვისაც უჭირს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება

,

მიმართეთ ლექციას განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები. დავალების დასრულების შემდეგ, ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას "თვალით" - კარგად, იქნება დაახლოებით 9, როგორც ჩანს, მართალია. აბსოლუტურად გასაგებია, რომ თუ მივიღეთ, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ აშკარაა, რომ სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითია, მაშინ დავალებაც არასწორად გადაწყდა.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი xy = 4, x = 2, x= 4 და ღერძი ოქსი.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მოხრილი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშოქსი?

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი წ = e-x, x= 1 და საკოორდინაციო ღერძები.

გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი:

თუ მოხრილი ტრაპეცია მთლიანად მდებარეობს ღერძის ქვეშ ოქსი , მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

Ამ შემთხვევაში:

.

ყურადღება! ორი ტიპის დავალება არ უნდა იყოს აღრეული:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ უბრალოდ განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ეს შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევრად სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით წ = 2x – x 2 , წ = -x.

გამოსავალი: ჯერ უნდა გააკეთოთ ნახატი. ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები წ = 2x – x 2 და სწორი წ = -x. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი მეთოდი არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი ა= 0, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი ბ= 3. ხშირად უფრო მომგებიანი და სწრაფია ხაზების აგება წერტილი-პუნქტით და ინტეგრაციის საზღვრები ცხადი ხდება „თვითონ“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი მაინც ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან დეტალური კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადი ან ირაციონალური). დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით გავაკეთოთ ნახატი:

გავიმეოროთ, რომ წერტილის აგებისას, ინტეგრაციის საზღვრები ყველაზე ხშირად განისაზღვრება „ავტომატურად“.

ახლა კი სამუშაო ფორმულა:

თუ სეგმენტზე [ ა; ბ] ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია ვ(x) მეტი ან ტოლიგარკვეული უწყვეტი ფუნქცია გ(x), შემდეგ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:

აქ აღარ გჭირდებათ ფიქრი, სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ, მაგრამ მნიშვნელობა აქვს რომელი გრაფიკია უფრო მაღალი(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.

განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, 2-დან x – x 2 უნდა გამოკლდეს - x.

დასრულებული გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით წ = 2x – x 2 ზემოდან და პირდაპირ წ = -xქვევით.

მე-2 სეგმენტზე x – x 2 ≥ -x. შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი: .

ფაქტობრივად, ქვედა ნახევარსიბრტყეში მრუდი ტრაპეციის ფართობის სკოლის ფორმულა (იხ. მაგალითი No3) არის ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა.

.

რადგან ღერძი ოქსიმოცემული განტოლებით წ= 0 და ფუნქციის გრაფიკი გ(x) მდებარეობს ღერძის ქვემოთ ოქსი, ეს

.

ახლა კი რამდენიმე მაგალითი საკუთარი გადაწყვეტისთვის

მაგალითი 5

მაგალითი 6

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ფართობის გამოთვლასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრისას, ზოგჯერ ხდება სასაცილო ინციდენტი. ნახატი სწორად იყო შესრულებული, გათვლები გამართული, მაგრამ დაუდევრობის გამო... ნაპოვნია არასწორი ფიგურის ფართობი.

მაგალითი 7

ჯერ დავხატოთ ნახატი:

ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ადამიანები ხშირად წყვეტენ, რომ მათ უნდა იპოვონ ფიგურის ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია მწვანეში!

ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა, რადგან ის ითვლის ფიგურის ფართობს ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. ნამდვილად:

1) სეგმენტზე [-1; 1] ღერძის ზემოთ ოქსიგრაფიკი პირდაპირ მდებარეობს წ = x+1;

2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე ოქსიმდებარეობს ჰიპერბოლის გრაფიკი წ = (2/x).

აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:

პასუხი:

მაგალითი 8

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

წარმოვადგინოთ განტოლებები "სკოლის" სახით

და გააკეთეთ ნახაზი წერტილი-პუნქტით:

ნახატიდან ირკვევა, რომ ჩვენი ზედა ზღვარი "კარგია": ბ = 1.

მაგრამ რა არის ქვედა ზღვარი?! გასაგებია, რომ ეს არ არის მთელი რიცხვი, მაგრამ რა არის?

Შესაძლოა, ა=(-1/3)? მაგრამ სად არის გარანტია, რომ ნახატი შესრულებულია სრულყოფილი სიზუსტით, შეიძლება აღმოჩნდეს ეს ა=(-1/4). რა მოხდება, თუ გრაფიკი არასწორად ავაშენეთ?

ასეთ შემთხვევებში თქვენ მოგიწევთ დამატებითი დრო დახარჯოთ და ინტეგრაციის საზღვრები ანალიტიკურად დაზუსტოთ.

მოდი ვიპოვოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები

ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

.

აქედან გამომდინარე, ა=(-1/3).

შემდგომი გამოსავალი ტრივიალურია. მთავარია, ჩანაცვლებებსა და ნიშნებში არ დაიბნეთ. აქ გამოთვლები არ არის უმარტივესი. სეგმენტზე

, ,

შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

გაკვეთილის დასასრულებლად გადავხედოთ კიდევ ორ რთულ ამოცანას.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

გამოსავალი: მოდით გამოვსახოთ ეს ფიგურა ნახატზე.

წერტილი-წერტილი ნახაზის ასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ სინუსოიდის გარეგნობა. ზოგადად, სასარგებლოა ყველა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკის, ასევე სინუსების ზოგიერთი მნიშვნელობის ცოდნა. ისინი შეგიძლიათ იხილოთ მნიშვნელობების ცხრილში ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ზოგიერთ შემთხვევაში (მაგალითად, ამ შემთხვევაში) შესაძლებელია სქემატური ნახაზის აგება, რომელზეც ფუნდამენტურად სწორად უნდა იყოს ნაჩვენები გრაფიკები და ინტეგრაციის საზღვრები.

აქ ინტეგრაციის საზღვრებთან დაკავშირებული პრობლემები არ არის; ისინი პირდაპირ გამომდინარეობენ მდგომარეობიდან:

– „x“ იცვლება ნულიდან „pi“-მდე. მოდით მივიღოთ შემდგომი გადაწყვეტილება:

სეგმენტზე, ფუნქციის გრაფიკი წ= ცოდვა 3 xმდებარეობს ღერძის ზემოთ ოქსი, Ამიტომაც:

(1) გაკვეთილზე შეგიძლიათ ნახოთ, როგორ არის ინტეგრირებული სინუსები და კოსინუსები კენტ ძალებში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები. ჩვენ ვჭრით ერთ სინუსს.

(2) ჩვენ ვიყენებთ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობას ფორმაში

(3) შევცვალოთ ცვლადი ტ= cos x, შემდეგ: მდებარეობს ღერძის ზემოთ, ამიტომ:

.

.

Შენიშვნა:გაითვალისწინეთ, როგორ არის აღებული ტანგენტის კუბის ინტეგრალი; აქ გამოყენებულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის დასკვნა

.

სინამდვილეში, ფიგურის ფართობის საპოვნელად, თქვენ არ გჭირდებათ ამდენი ცოდნა განუსაზღვრელი და განსაზღვრული ინტეგრალის შესახებ. ამოცანა „გამოთვალეთ ფართობი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით“ ყოველთვის მოიცავს ნახაზის აგებასასე რომ, თქვენი ცოდნა და ხატვის უნარები ბევრად უფრო აქტუალური საკითხი იქნება. ამ მხრივ, სასარგებლოა თქვენი მეხსიერების განახლება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების შესახებ და, მინიმუმ, შეძლოთ სწორი ხაზის და ჰიპერბოლის აგება.

მრუდი ტრაპეცია არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია ღერძით, სწორი ხაზებით და უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკით სეგმენტზე, რომელიც არ ცვლის ნიშანს ამ ინტერვალზე. მოდით ეს ფიგურა განთავსდეს არანაკლებ x-ღერძი:

მერე მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის განსაზღვრულ ინტეგრალს. ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა.

გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA.

ანუგარკვეული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება გარკვეული ფიგურის ფართობს. მაგალითად, განიხილეთ განსაზღვრული ინტეგრალი. ინტეგრანტი განსაზღვრავს მრუდს ღერძის ზემოთ მდებარე სიბრტყეზე (მსურველებს შეუძლიათ ნახაზის გაკეთება), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

მაგალითი 1

ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. გადაწყვეტილების პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი წერტილი არის ნახაზის აგება. უფრო მეტიც, ნახაზი უნდა იყოს აგებული უფლება.

ნახატის აგებისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველადუმჯობესია ავაშენოთ ყველა სწორი ხაზი (თუ ისინი არსებობს) და მხოლოდ მერე- პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. უფრო მომგებიანია ფუნქციების გრაფიკების აგება წერტილი-პუნქტი.

ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.
მოდით დავხატოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება განსაზღვრავს ღერძს):

სეგმენტზე განთავსებულია ფუნქციის გრაფიკი ღერძის ზემოთ, Ამიტომაც:

პასუხი:

დავალების დასრულების შემდეგ, ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, "თვალით" ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას - კარგად, დაახლოებით 9 იქნება, როგორც ჩანს, მართალია. აბსოლუტურად გასაგებია, რომ თუ მივიღეთ, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ აშკარაა, რომ სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითია, მაშინ დავალებაც არასწორად გადაწყდა.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ხაზებითა და კოორდინატთა ღერძებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი:

თუ მოხრილი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ(ან მინიმუმ არა უფრო მაღალიმოცემული ღერძი), მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

Ამ შემთხვევაში:

ყურადღება! ორი ტიპის დავალება არ უნდა იყოს აღრეული:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ უბრალოდ განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ეს შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევრად სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, .

გამოსავალი: ჯერ უნდა დაასრულოთ ნახაზი. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლისა და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი მეთოდი არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი არის, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი არის.

თუ ეს შესაძლებელია, უმჯობესია არ გამოიყენოთ ეს მეთოდი..

გაცილებით მომგებიანი და სწრაფია ხაზების აგება წერტილი-პუნქტით და ინტეგრაციის საზღვრები ცხადი ხდება „თვითონ“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი მაინც ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან დეტალური კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადი ან ირაციონალური). და ჩვენ ასევე განვიხილავთ ასეთ მაგალითს.

დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით გავაკეთოთ ნახატი:

ახლა კი სამუშაო ფორმულა: თუ არის რაიმე უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე მეტი ან ტოლიზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია, შემდეგ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ამ ფუნქციების გრაფიკებით და ხაზებით, შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

აქ აღარ გჭირდებათ ფიქრი იმაზე, თუ სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ და, უხეშად რომ ვთქვათ, მნიშვნელობა აქვს რომელი გრაფიკია უფრო მაღალი(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.

განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება

დასრულებული გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით ზემოთ და სწორი ხაზით ქვემოთ.
სეგმენტზე, შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ , , , ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გამოსავალი: ჯერ დავხატოთ ნახატი:

ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ხშირად ჩნდება "გაუმართაობა", რომ თქვენ უნდა იპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია მწვანეში!

ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა იმით, რომ ითვლის ფიგურის ფართობს ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით.

მართლა:

1) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის სწორი ხაზის გრაფიკი;

2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის ჰიპერბოლის გრაფიკი.

აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:

პრობლემა 1(მოხრილი ტრაპეციის ფართობის გამოთვლის შესახებ).

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში xOy მოცემულია ფიგურა (იხ. ფიგურა), რომელიც შემოიფარგლება x ღერძით, სწორი ხაზები x = a, x = b (a მრუდი ტრაპეცია. საჭიროა მრუდის ფართობის გამოთვლა. ტრაპეცია.
გამოსავალი.გეომეტრია გვაძლევს მრავალკუთხედების ფართობის და წრის ზოგიერთი ნაწილის (სექტორი, სეგმენტი) გამოთვლის რეცეპტებს. გეომეტრიული მოსაზრებების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მხოლოდ საჭირო ფართობის სავარაუდო მნიშვნელობა, მსჯელობა შემდეგნაირად.

გავყოთ სეგმენტი [a; b] (მრუდი ტრაპეციის ფუძე) n თანაბარ ნაწილად; ეს დანაყოფი ხორციელდება x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 წერტილების გამოყენებით. მოდით გავავლოთ სწორი ხაზები ამ წერტილებში y ღერძის პარალელურად. შემდეგ მოცემული მრუდი ტრაპეცია დაიყოფა n ნაწილად, n ვიწრო სვეტად. მთელი ტრაპეციის ფართობი უდრის სვეტების ფართობების ჯამს.

ცალკე განვიხილოთ k-ე სვეტი, ე.ი. მრუდი ტრაპეცია, რომლის ფუძე არის სეგმენტი. შევცვალოთ ის მართკუთხედით იგივე ფუძით და სიმაღლით f(x k)-ის ტოლი (იხ. სურათი). მართკუთხედის ფართობი უდრის \(f(x_k) \cdot \დელტა x_k \), სადაც \(\დელტა x_k \) არის სეგმენტის სიგრძე; ბუნებრივია მივიჩნიოთ მიღებული პროდუქტი, როგორც kth სვეტის ფართობის მიახლოებითი მნიშვნელობა.

თუ ახლა იგივეს გავაკეთებთ ყველა სხვა სვეტთან ერთად, მივიღებთ შემდეგ შედეგს: მოცემული მრუდი ტრაპეციის ფართობი S უდრის n მართკუთხედისგან შემდგარი საფეხურიანი ფიგურის ფართობის S n (იხ. სურათი):
\(S_n = f(x_0)\დელტა x_0 + \წერტილები + f(x_k)\დელტა x_k + \წერტილები + f(x_(n-1))\დელტა x_(n-1) \)
აქ, აღნიშვნის ერთგვაროვნების მიზნით, ვივარაუდოთ, რომ a = x 0, b = x n; \(\დელტა x_0 \) - სეგმენტის სიგრძე, \(\დელტა x_1 \) - სეგმენტის სიგრძე და ა.შ.; ამ შემთხვევაში, როგორც ზემოთ შევთანხმდით, \(\დელტა x_0 = \წერტილები = \დელტა x_(n-1) \)

ასე რომ, \(S \დაახლოებით S_n \), და ეს სავარაუდო თანასწორობა უფრო ზუსტია, რაც უფრო დიდია n.
განმარტებით, ითვლება, რომ მრუდი ტრაპეციის საჭირო ფართობი უდრის მიმდევრობის ზღვარს (S n):
$$ S = \lim_(n \ to \infty) S_n $$

პრობლემა 2(პუნქტის გადატანის შესახებ)
მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორი ხაზით. სიჩქარის დროზე დამოკიდებულება გამოიხატება ფორმულით v = v(t). იპოვეთ წერტილის მოძრაობა დროის მონაკვეთში [ა; ბ].
გამოსავალი.მოძრაობა ერთგვაროვანი რომ ყოფილიყო, მაშინ პრობლემა ძალიან მარტივად მოგვარდებოდა: s = vt, ე.ი. s = v(b-a). არათანაბარი მოძრაობისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე იდეები, რომლებზეც დაფუძნებული იყო წინა პრობლემის გადაწყვეტა.
1) გაყავით დროის ინტერვალი [a; b] n თანაბარ ნაწილად.
2) განვიხილოთ დროის მონაკვეთი და ჩავთვალოთ, რომ დროის ამ მონაკვეთში სიჩქარე იყო მუდმივი, იგივე, რაც t k დროს. ასე რომ, ჩვენ ვივარაუდოთ, რომ v = v(t k).
3) ვიპოვოთ წერტილის მოძრაობის მიახლოებითი მნიშვნელობა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში; ჩვენ აღვნიშნავთ ამ მიახლოებით მნიშვნელობას როგორც s k
\(s_k = v(t_k) \დელტა t_k \)
4) იპოვეთ s-ის გადაადგილების სავარაუდო მნიშვნელობა:
\(s \დაახლოებით S_n \) სადაც
\(S_n = s_0 + \წერტილები + s_(n-1) = v(t_0)\დელტა t_0 + \წერტილები + v(t_(n-1)) \დელტა t_(n-1) \)
5) საჭირო გადაადგილება უდრის მიმდევრობის ზღვარს (S n):
$$ s = \lim_(n \ to \infty) S_n $$

შევაჯამოთ. სხვადასხვა ამოცანების გადაწყვეტილებები შემცირდა იმავე მათემატიკურ მოდელზე. მრავალი პრობლემა მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგიდან ერთსა და იმავე მოდელამდე მიგვიყვანს გადაჭრის პროცესში. ეს ნიშნავს, რომ ეს მათემატიკური მოდელი სპეციალურად უნდა იყოს შესწავლილი.

განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება

მოდით მივცეთ მოდელის მათემატიკური აღწერა, რომელიც აშენდა სამ განხილულ ამოცანაში ფუნქციისთვის y = f(x), უწყვეტი (მაგრამ არა აუცილებლად არაუარყოფითი, როგორც ეს იყო ნავარაუდევი განხილულ ამოცანებში) ინტერვალზე [a; ბ]:
1) სეგმენტის გაყოფა [a; b] n თანაბარ ნაწილად;
2) შეადგინეთ ჯამი $$ S_n = f(x_0)\დელტა x_0 + f(x_1)\დელტა x_1 + \წერტილები + f(x_(n-1))\დელტა x_(n-1) $$
3) გამოთვალეთ $$ \lim_(n \ to \infty) S_n $$

მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა, რომ ეს ზღვარი არსებობს უწყვეტი (ან ნაწილებად უწყვეტი) ფუნქციის შემთხვევაში. Მას ეწოდება y = f(x) ფუნქციის გარკვეული ინტეგრალი [a; ბ]და აღინიშნა შემდეგნაირად:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
რიცხვებს a და b ეწოდება ინტეგრაციის საზღვრები (ქვედა და ზედა, შესაბამისად).

დავუბრუნდეთ ზემოთ განხილულ ამოცანებს. ამოცანა 1-ში მოცემული ფართობის განმარტება ახლა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
აქ S არის მრგვალი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ ფიგურაში. Ეს არის განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

წერტილის s გადაადგილების განსაზღვრა, რომელიც მოძრაობს სწორი ხაზით სიჩქარით v = v(t) დროის მონაკვეთში t = a-დან t = b-მდე, რომელიც მოცემულია ამოცანა 2-ში, შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა

ჯერ ვუპასუხოთ კითხვას: რა კავშირია განსაზღვრულ ინტეგრალსა და ანტიწარმოებულს შორის?

პასუხი შეგიძლიათ იხილოთ ამოცანა 2-ში. ერთის მხრივ, წერტილის გადაადგილება s, რომელიც მოძრაობს სწორი ხაზით სიჩქარით v = v(t) დროის განმავლობაში t = a-დან t = b-მდე გამოითვლება ფორმულა
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

მეორე მხრივ, მოძრავი წერტილის კოორდინატი სიჩქარის ანტიდერივატია - ავღნიშნოთ ის s(t); ეს ნიშნავს, რომ გადაადგილება s გამოიხატება ფორმულით s = s(b) - s(a). შედეგად ვიღებთ:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
სადაც s(t) არის v(t) ანტიწარმოებული.

შემდეგი თეორემა დადასტურდა მათემატიკური ანალიზის დროს.
თეორემა. თუ ფუნქცია y = f(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე [a; b], მაშინ ფორმულა მოქმედებს
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
სადაც F(x) არის f(x) ანტიწარმოებული.

მოცემულ ფორმულას ჩვეულებრივ უწოდებენ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულაინგლისელი ფიზიკოსის ისააკ ნიუტონის (1643-1727) და გერმანელი ფილოსოფოსის გოტფრიდ ლაიბნიცის (1646-1716) პატივსაცემად, რომლებმაც იგი ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და თითქმის ერთდროულად მიიღეს.

პრაქტიკაში F(b) - F(a) დაწერის ნაცვლად იყენებენ აღნიშვნას \(\left. F(x)\right|_a^b \) (მას ზოგჯერ უწოდებენ ორმაგი ჩანაცვლება) და, შესაბამისად, გადაწერეთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ამ ფორმით:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \მარცხნივ. F(x)\მარჯვნივ|_a^b \)

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლისას ჯერ იპოვნეთ ანტიწარმოებული და შემდეგ განახორციელეთ ორმაგი ჩანაცვლება.

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის საფუძველზე შეგვიძლია მივიღოთ განსაზღვრული ინტეგრალის ორი თვისება.

საკუთრება 1.ფუნქციების ჯამის ინტეგრალი უდრის ინტეგრალების ჯამს:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

სიბრტყე ფიგურების ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით

ინტეგრალის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ არა მხოლოდ მოხრილი ტრაპეციის, არამედ უფრო რთული ტიპის სიბრტყე ფიგურების არეები, მაგალითად, ნახატზე ნაჩვენები. ფიგურა P შემოიფარგლება სწორი ხაზებით x = a, x = b და უწყვეტი ფუნქციების გრაფიკებით y = f(x), y = g(x) და სეგმენტზე [a; b] უტოლობა \(g(x) \leq f(x) \) მოქმედებს. ასეთი ფიგურის S ფართობის გამოსათვლელად ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

ასე რომ, ფიგურის S ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია სწორი ხაზებით x = a, x = b და y = f(x), y = g(x) ფუნქციების გრაფიკები, უწყვეტი სეგმენტზე და ისეთი, რომ მონაკვეთიდან ნებისმიერი x-ისთვის [ა; b] უტოლობა \(g(x) \leq f(x) \) დაკმაყოფილებულია, გამოითვლება ფორმულით
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

ზოგიერთი ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალების (ანტიწარმოებულების) ცხრილი

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \nq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

დავალება No3. გააკეთეთ ნახაზი და გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

ინტეგრალის გამოყენება გამოყენებული ამოცანების გადაწყვეტაში

ფართობის გაანგარიშება

უწყვეტი არაუარყოფითი ფუნქციის f(x) განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად ტოლიამრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მრუდით y = f(x), O x ღერძით და სწორი ხაზებით x = a და x = b. ამის შესაბამისად, ფართობის ფორმულა იწერება შემდეგნაირად:

მოდით შევხედოთ სიბრტყის ფიგურების ფართობების გამოთვლის მაგალითებს.

დავალება No1. გამოთვალეთ y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 წრფეებით შემოსაზღვრული ფართობი.

გამოსავალი.ავაშენოთ ფიგურა, რომლის ფართობის გამოთვლა მოგვიწევს.

y = x 2 + 1 არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, ხოლო პარაბოლა გადაადგილებულია ზემოთ ერთი ერთეულით O y ღერძის მიმართ (სურათი 1).

ნახაზი 1. y = x 2 + 1 ფუნქციის გრაფიკი

დავალება No2. გამოთვალეთ y = x 2 – 1, y = 0 წრფეებით შემოსაზღვრული ფართობი 0-დან 1-მდე დიაპაზონში.

გამოსავალი.ამ ფუნქციის გრაფიკი არის ტოტების პარაბოლა, რომლებიც მიმართულია ზევით, ხოლო პარაბოლა O y ღერძთან შედარებით ერთი ერთეულით ქვემოთ არის გადატანილი (სურათი 2).

ნახაზი 2. y = x 2 – 1 ფუნქციის გრაფიკი

დავალება No3. გააკეთეთ ნახაზი და გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

y = 8 + 2x – x 2 და y = 2x – 4.

გამოსავალი.ამ ორი ხაზიდან პირველი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ქვევით, რადგან x 2 კოეფიციენტი უარყოფითია, ხოლო მეორე ხაზი არის სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს ორივე კოორდინატულ ღერძს.

პარაბოლას ასაგებად ვპოულობთ მისი წვერის კოორდინატებს: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – წვერის აბსციზა; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 არის მისი ორდინატი, N(1;9) არის წვერო.

ახლა ვიპოვოთ პარაბოლისა და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები განტოლებათა სისტემის ამოხსნით:

განტოლების მარჯვენა გვერდების გათანაბრება, რომლის მარცხენა გვერდები ტოლია.

ჩვენ ვიღებთ 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 ან x 2 - 12 = 0, საიდანაც .

ამრიგად, წერტილები არის პარაბოლისა და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები (სურათი 1).

სურათი 3 ფუნქციების გრაფიკები y = 8 + 2x – x 2 და y = 2x – 4

ავაგოთ სწორი ხაზი y = 2x – 4. ის გადის კოორდინატთა ღერძებზე (0;-4), (2;0) წერტილებზე.

პარაბოლის ასაგებად ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ მისი გადაკვეთის წერტილები 0x ღერძთან, ანუ განტოლების ფესვები 8 + 2x – x 2 = 0 ან x 2 – 2x – 8 = 0. ვიეტას თეორემის გამოყენებით, ეს მარტივია. მისი ფესვების საპოვნელად: x 1 = 2, x 2 = 4.

3-ზე ნაჩვენებია ფიგურა (პარაბოლური სეგმენტი M 1 N M 2), რომელიც შემოიფარგლება ამ ხაზებით.

პრობლემის მეორე ნაწილი არის ამ ფიგურის ფართობის პოვნა. მისი ფართობის პოვნა შესაძლებელია ფორმულის მიხედვით განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით .

ამ პირობასთან დაკავშირებით ვიღებთ ინტეგრალს:

2 ბრუნვის სხეულის მოცულობის გამოთვლა

O x ღერძის გარშემო y = f(x) მრუდის ბრუნვის შედეგად მიღებული სხეულის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით:

O y ღერძის გარშემო ბრუნვისას ფორმულა ასე გამოიყურება:

დავალება No4. განსაზღვრეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია მრუდი ტრაპეციის ბრუნვის შედეგად, რომელიც შემოსაზღვრულია სწორი ხაზებით x = 0 x = 3 და მრუდი y = O x ღერძის გარშემო.

გამოსავალი.მოდით დავხატოთ სურათი (სურათი 4).

ნახაზი 4. y = ფუნქციის გრაფიკი

საჭირო მოცულობა არის

დავალება No5. გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია მრუდი ტრაპეციის ბრუნვის შედეგად, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით y = x 2 და სწორი ხაზებით y = 0 და y = 4 O y ღერძის გარშემო.

გამოსავალი.Ჩვენ გვაქვს:

გადახედეთ კითხვებს