Co się stało faktoryzacja? To sposób na przekształcenie niewygodnego i złożonego przykładu w prosty i ładny.) Bardzo potężna technika! Można go znaleźć na każdym kroku, zarówno w matematyce elementarnej, jak i wyższej.
Takie przekształcenia w języku matematycznym nazywane są identycznymi przekształceniami wyrażeń. Dla niewtajemniczonych odsyłam do linku. Jest tam bardzo niewiele, prostego i przydatnego.) Znaczeniem każdej transformacji tożsamości jest zapis wyrażenia w innej formie zachowując jednocześnie jego istotę.
Oznaczający faktoryzacja niezwykle proste i jasne. Już od samej nazwy. Być może zapomniałeś (lub nie wiedziałeś), czym jest mnożnik, ale możesz się domyślić, że to słowo pochodzi od słowa „mnożyć”?) Faktoring oznacza: reprezentować wyrażenie w postaci pomnożenia czegoś przez coś. Niech mi wybaczy matematyka i język rosyjski...) To wszystko.
Na przykład musisz rozwinąć liczbę 12. Możesz bezpiecznie napisać:
Zaprezentowaliśmy więc liczbę 12 jako pomnożenie 3 przez 4. Proszę zwrócić uwagę, że liczby po prawej stronie (3 i 4) są zupełnie inne niż po lewej stronie (1 i 2). Ale doskonale rozumiemy, że 12 i 3 4 To samo. Esencja liczby 12 z transformacji nie uległo zmianie.
Czy można rozłożyć 12 inaczej? Łatwo!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=......
Możliwości rozkładu są nieograniczone.
Faktoring liczb jest przydatną rzeczą. Bardzo pomaga na przykład przy pracy z korzeniami. Ale rozkład wyrażeń algebraicznych na czynniki jest nie tylko użyteczny, ale wręcz niezbędny! Tylko na przykład:
Uproszczać:
Ci, którzy nie wiedzą, jak uwzględnić ekspresję, pozostają na uboczu. Ci, którzy wiedzą, jak - uprościć i uzyskać:
Efekt jest niesamowity, prawda?) Swoją drogą rozwiązanie jest dość proste. Poniżej przekonasz się sam. Lub na przykład to zadanie:
Rozwiązać równanie:
x 5 - x 4 = 0
Nawiasem mówiąc, o tym decyduje się w umyśle. Korzystanie z faktoryzacji. Rozwiążemy ten przykład poniżej. Odpowiedź: x 1 = 0; x2 = 1.
Lub to samo, ale dla starszych):
Rozwiązać równanie:
Na tych przykładach pokazałem główny cel faktoryzacja: upraszczanie wyrażeń ułamkowych i rozwiązywanie niektórych typów równań. Oto praktyczna zasada, którą warto zapamiętać:
Jeśli mamy przed sobą przerażające wyrażenie ułamkowe, możemy spróbować rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. Bardzo często ułamek jest zmniejszany i upraszczany.
Jeśli mamy przed sobą równanie, w którym po prawej stronie jest zero, a po lewej - nie rozumiem co, możemy spróbować rozłożyć na czynniki lewą stronę. Czasem to pomaga).
Podstawowe metody faktoryzacji.
Oto najpopularniejsze metody:
4. Rozwinięcie trójmianu kwadratowego.
O tych metodach trzeba pamiętać. Dokładnie w tej kolejności. Sprawdzane są złożone przykłady dla wszystkich możliwych metod rozkładu. I lepiej sprawdzić po kolei, żeby się nie pomylić... Zacznijmy więc po kolei.)
1. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów.
Prosty i niezawodny sposób. Nie dzieje się od niego nic złego! Dzieje się to albo dobrze, albo wcale.) Dlatego jest na pierwszym miejscu. Rozwiążmy to.
Wszyscy znają (wierzę!) zasadę:
a(b+c) = ab+ac
Lub bardziej ogólnie:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Wszystkie równości działają zarówno od lewej do prawej, jak i odwrotnie, od prawej do lewej. Możesz pisać:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+reklama+.... = a(b+c+d+.....)
O to właśnie chodzi w wyjęciu wspólnego czynnika z nawiasów.
Po lewej stronie A - wspólny mnożnik dla wszystkich terminów. Pomnożone przez wszystko, co istnieje). Po prawej jest najwięcej A już się znajduje poza nawiasami.
Praktyczne zastosowanie metody rozważymy na przykładach. Na początku opcja jest prosta, wręcz prymitywna.) Ale w tej opcji zaznaczę (na zielono) bardzo ważne punkty dla dowolnej faktoryzacji.
Rozkładać na czynniki:
aha+9x
Który ogólny czy mnożnik występuje w obu terminach? X, oczywiście! Wyjmiemy to z nawiasów. Zróbmy to. Natychmiast zapisujemy X poza nawiasami:
topór+9x=x(
W nawiasie podajemy wynik dzielenia co semestr na tym właśnie X. W celu:
To wszystko. Oczywiście nie ma co tego tak szczegółowo opisywać, to się robi w głowie. Ale wskazane jest zrozumienie, co jest co). Zapisujemy w pamięci:
Wspólny czynnik zapisujemy poza nawiasami. W nawiasach piszemy wyniki dzielenia wszystkich wyrazów przez ten wspólny czynnik. W celu.
Dlatego rozszerzyliśmy wyrażenie aha+9x przez mnożniki. Zamieniłem to na pomnożenie x przez (a+9). Zaznaczam, że w oryginalnym wyrażeniu było też mnożenie, nawet dwa: a·x i 9·x. Ale to nie został faktoryzowany! Bo oprócz mnożenia w tym wyrażeniu znajdowało się także dodawanie, czyli znak „+”! I w wyrazie x(a+9) Nie ma nic innego jak mnożenie!
Jak to!? - Słyszę oburzony głos ludu - A w nawiasach!?)
Tak, w nawiasie znajduje się dodatek. Sztuka polega jednak na tym, że chociaż nawiasy nie są otwarte, bierzemy je pod uwagę jak jedna litera. I wszystkie czynności wykonujemy wyłącznie w nawiasach, jak z jedną literą. W tym sensie w wyrażeniu x(a+9) Nie ma nic poza mnożeniem. Na tym właśnie polega cały sens faktoryzacji.
Swoją drogą, czy można w jakiś sposób sprawdzić, czy zrobiliśmy wszystko poprawnie? Łatwo! Wystarczy pomnożyć to, co wystawiłeś (x) przez nawiasy i sprawdzić, czy zadziałało oryginalny wyrażenie? Jeśli to zadziała, wszystko jest świetnie!)
x(a+9)=topór+9x
Stało się.)
W tym prymitywnym przykładzie nie ma żadnych problemów. Ale jeśli jest kilka terminów, a nawet z różnymi znakami... Krótko mówiąc, co trzeci uczeń myli). Dlatego:
Jeśli to konieczne, sprawdź rozkład na czynniki przez odwrotne mnożenie.
Rozkładać na czynniki:
3x+9x
Szukamy wspólnego czynnika. Cóż, z X wszystko jest jasne, można to wyjąć. Czy jest więcej ogólny czynnik? Tak! To jest trójka. Można zapisać takie wyrażenie:
3x+3 3x
Tutaj od razu jest jasne, że wspólnym czynnikiem będzie 3x. Tutaj to wyciągamy:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Rozrzucić.
Co się stanie, jeśli to wyjmiesz tylko x? Nic specjalnego:
3ax+9x=x(3a+9)
Będzie to również faktoryzacja. Ale w tym fascynującym procesie zwyczajowo wystawia się wszystko do granic możliwości, póki jest taka możliwość. Tutaj w nawiasach jest możliwość wystawienia trójki. Okaże się:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
To samo, tylko z jedną dodatkową akcją.) Pamiętaj:
Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów, staramy się wyjąć maksymalny wspólny mnożnik.
Czy możemy kontynuować zabawę?)
Uwzględnij wyrażenie:
3akh+9х-8а-24
Co zabierzemy? Trzy, X? Nie... Nie możesz. Przypominam, że można tylko na wynos ogólny mnożnik tzn we wszystkim warunki wyrażenia. Dlatego on ogólny. Tutaj nie ma takiego mnożnika... Co, nie trzeba go rozwijać!? No cóż, byliśmy bardzo szczęśliwi... Poznaj:
2. Grupowanie.
W rzeczywistości grupowanie trudno nazwać niezależną metodą faktoryzacji. Jest to raczej sposób na wyjście ze złożonego przykładu.) Musisz pogrupować terminy, aby wszystko się sprawdziło. Można to pokazać jedynie na przykładzie. Mamy więc wyrażenie:
3akh+9х-8а-24
Można zauważyć, że istnieją pewne wspólne litery i cyfry. Ale... Ogólny nie ma mnożnika pod każdym względem. Nie traćmy ducha i podzielić wyrażenie na kawałki. Grupowanie. Aby każdy element miał wspólny czynnik, jest coś do zabrania. Jak to złamać? Tak, po prostu wstawiliśmy nawiasy.
Przypomnę, że nawiasy można umieszczać gdziekolwiek i jakkolwiek chcemy. Tylko istota przykładu nie uległo zmianie. Możesz na przykład to zrobić:
3akh+9х-8а-24=(3ax+9x)-(8a+24)
Proszę zwrócić uwagę na drugie nawiasy! Są one poprzedzone znakiem minus i 8a I 24 okazało się pozytywne! Jeśli dla sprawdzenia ponownie otworzymy nawiasy, znaki się zmienią i otrzymamy oryginalny wyrażenie. Te. istota wyrażenia z nawiasów nie uległa zmianie.
Ale jeśli właśnie wstawiłeś nawiasy bez uwzględnienia zmiany znaku, na przykład tak:
3akh+9х-8а-24=(3 topór + 9x) -(8a-24 )
byłby to błąd. Po prawej - już Inny wyrażenie. Otwórz nawiasy i wszystko stanie się widoczne. Nie musisz już decydować, tak...)
Wróćmy jednak do faktoryzacji. Spójrzmy na pierwsze nawiasy (3 topór + 9x) i myślimy, czy jest coś, co możemy wyjąć? Cóż, rozwiązaliśmy powyższy przykład, możemy to przyjąć 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Przeanalizujmy drugie nawiasy, możemy tam dodać ósemkę:
(8a+24)=8(a+3)
Całe nasze wyrażenie będzie wyglądało następująco:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Faktoring? NIE. Wynik rozkładu powinien być tylko mnożenie ale u nas znak minus psuje wszystko. Ale... Obydwa terminy mają wspólny czynnik! Ten (za+3). Nie bez powodu powiedziałem, że całe nawiasy to jakby jedna litera. Oznacza to, że te nawiasy można wyjąć z nawiasów. Tak, dokładnie tak to brzmi.)
Postępujemy jak opisano powyżej. Piszemy wspólny czynnik (za+3), w nawiasach drugich zapisujemy wyniki dzielenia wyrazów przez (za+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Wszystko! Po prawej stronie nie ma nic poza mnożeniem! Oznacza to, że faktoryzacja została zakończona pomyślnie!) Oto ona:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Powtórzmy krótko istotę tej grupy.
Jeśli wyrażenie nie ogólny mnożnik dla wszyscy terminy, dzielimy wyrażenie na nawiasy, tak aby w nawiasach znajdował się wspólny czynnik był. Wyciągamy to i zobaczymy, co się stanie. Jeśli masz szczęście i w nawiasach pozostały absolutnie identyczne wyrażenia, usuwamy te nawiasy z nawiasów.
Dodam, że grupowanie to proces twórczy). Nie zawsze to wychodzi za pierwszym razem. W porządku. Czasami musisz zamienić terminy i rozważyć różne opcje grupowania, aż znajdziesz pomyślną. Najważniejsze, żeby nie stracić ducha!)
Przykłady.
Teraz, wzbogaciwszy się wiedzą, możesz rozwiązać trudne przykłady.) Na początku lekcji były trzy takie...
Uproszczać:
Zasadniczo rozwiązaliśmy już ten przykład. Bez naszej wiedzy.) Przypominam: jeśli otrzymamy straszny ułamek, staramy się rozłożyć na czynniki licznik i mianownik. Inne możliwości uproszczenia po prostu nie.
Cóż, mianownik tutaj nie jest rozwinięty, ale licznik... Licznik już rozwinęliśmy podczas lekcji! Lubię to:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Wynik rozwinięcia zapisujemy w liczniku ułamka:
Zgodnie z zasadą redukcji ułamków (główną właściwością ułamka) możemy podzielić (jednocześnie!) licznik i mianownik przez tę samą liczbę, czyli wyrażenie. Ułamek z tego nie zmienia. Zatem dzielimy licznik i mianownik przez wyrażenie (3x-8). I tu i tam je dostaniemy. Ostateczny wynik uproszczenia:
Chciałbym szczególnie podkreślić: skrócenie ułamka jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy w liczniku i mianowniku, oprócz mnożenia wyrażeń tam nic nie ma. Dlatego przekształcenie sumy (różnicy) w mnożenie tak ważne dla uproszczenia. Oczywiście, jeśli wyrażenia różny, wtedy nic nie zostanie zmniejszone. To się stanie. Ale faktoryzacja daje szansę. Tej szansy bez rozkładu po prostu nie ma.
Przykład z równaniem:
Rozwiązać równanie:
x 5 - x 4 = 0
Wyciągamy wspólny czynnik x 4 poza nawiasami. Otrzymujemy:
x 4 (x-1) = 0
Zdajemy sobie sprawę, że iloczyn czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek z nich wynosi zero. W razie wątpliwości znajdź mi kilka liczb niezerowych, które po pomnożeniu dadzą zero.) Zatem piszemy najpierw pierwszy czynnik:
Przy takiej równości drugi czynnik nas nie dotyczy. Każdy może być, ale ostatecznie i tak będzie zero. Jaką liczbę do czwartej potęgi daje zero? Tylko zero! I nikt inny... Dlatego:
Ustaliliśmy pierwszy czynnik i znaleźliśmy jeden pierwiastek. Spójrzmy na drugi czynnik. Teraz nie interesuje nas już pierwszy czynnik.):
Tutaj znaleźliśmy rozwiązanie: x 1 = 0; x2 = 1. Każdy z tych pierwiastków pasuje do naszego równania.
Bardzo ważna uwaga. Zauważ, że rozwiązaliśmy równanie kawałek po kawałku! Każdy czynnik był równy zeru, niezależnie od innych czynników. Nawiasem mówiąc, jeśli w takim równaniu nie ma dwóch czynników, takich jak nasz, ale trzy, pięć, tyle, ile chcesz, rozwiążemy podobny. Kawałek po kawałku. Na przykład:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Każdy, kto otworzy nawias i wszystko pomnoży, utknie w tym równaniu na zawsze.) Prawidłowy uczeń natychmiast zauważy, że po lewej stronie nie ma nic poza mnożeniem, a po prawej zero. I zacznie (w myślach!) zrównywać wszystkie nawiasy do zera. I otrzyma (w 10 sekund!) prawidłowe rozwiązanie: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Fajnie, prawda?) Takie eleganckie rozwiązanie jest możliwe, jeśli lewa strona równania rozłożone na czynniki. Masz podpowiedź?)
No cóż, ostatni przykład dla starszych):
Rozwiązać równanie:
Jest trochę podobny do poprzedniego, nie sądzisz?) Oczywiście. Czas pamiętać, że w algebrze siódmej klasy sinusy, logarytmy i wszystko inne można ukryć pod literami! Faktoring działa w całej matematyce.
Wyciągamy wspólny czynnik LG 4x poza nawiasami. Otrzymujemy:
log 4x=0
To jest jeden korzeń. Spójrzmy na drugi czynnik.
Oto ostateczna odpowiedź: x 1 = 1; x2 = 10.
Mam nadzieję, że zdałeś sobie sprawę z mocy rozkładu na czynniki w upraszczaniu ułamków i rozwiązywaniu równań.)
Na tej lekcji dowiedzieliśmy się o powszechnym faktoringu i grupowaniu. Pozostaje zająć się wzorami na skrócone mnożenie i trójmianem kwadratowym.
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Co powinieneś zrobić, jeśli podczas rozwiązywania zadania z egzaminu państwowego Unified State Exam lub na egzaminie wstępnym z matematyki otrzymałeś wielomian, którego nie można rozłożyć na czynniki standardowymi metodami, których nauczyłeś się w szkole? W tym artykule nauczyciel matematyki opowie Ci o jednej skutecznej metodzie, której poznanie wykracza poza zakres szkolnego programu nauczania, ale za pomocą której rozkład wielomianu na czynniki nie jest trudny. Przeczytaj ten artykuł do końca i obejrzyj załączony samouczek wideo. Zdobyta wiedza przyda Ci się na egzaminie.
Rozkładanie wielomianu na czynniki metodą dzielenia
Jeśli otrzymałeś wielomian większy niż drugi stopień i udało Ci się odgadnąć wartość zmiennej, przy której ten wielomian staje się równy zero (na przykład ta wartość jest równa ), wiedz! Ten wielomian można podzielić przez .
Na przykład łatwo zauważyć, że wielomian czwartego stopnia znika w punkcie . Oznacza to, że można go podzielić bez reszty przez , otrzymując w ten sposób wielomian trzeciego stopnia (mniej o jeden). Oznacza to, że przedstaw go w postaci:
Gdzie A, B, C I D- kilka liczb. Rozwińmy nawiasy:
Ponieważ współczynniki dla tych samych stopni muszą być takie same, otrzymujemy:
Mamy więc:
Zacząć robić. Wystarczy przejść przez kilka małych liczb całkowitych, aby zobaczyć, że wielomian trzeciego stopnia jest ponownie podzielny przez . W rezultacie otrzymujemy wielomian drugiego stopnia (mniej o jeden). Następnie przejdź do nowego wpisu:
Gdzie mi, F I G- kilka liczb. Otwieramy ponownie nawiasy i dochodzimy do następującego wyrażenia:
Ponownie z warunku równości współczynników dla tych samych stopni otrzymujemy:
Następnie otrzymujemy:
Oznacza to, że pierwotny wielomian można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:
Zasadniczo, w razie potrzeby, stosując wzór na różnicę kwadratów, wynik można również przedstawić w następującej formie:
Oto prosty i skuteczny sposób rozkładu wielomianów na czynniki. Pamiętaj, może ci się przydać na egzaminie lub konkursie matematycznym. Sprawdź, czy nauczyłeś się korzystać z tej metody. Spróbuj samodzielnie rozwiązać poniższe zadanie.
Rozłóż wielomian na czynniki:
Napisz swoje odpowiedzi w komentarzach.
Materiał przygotowany przez Siergieja Waleriewicza
Podano 8 przykładów rozkładu wielomianów na czynniki. Zawierają przykłady rozwiązywania równań kwadratowych i dwukwadratowych, przykłady wielomianów odwrotności oraz przykłady znajdowania pierwiastków całkowitych wielomianów trzeciego i czwartego stopnia.
1. Przykłady rozwiązywania równania kwadratowego
Przykład 1.1
X 4 + x 3 - 6 x 2.
Rozwiązanie
Wyciągamy x 2
poza nawiasami:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Pierwiastki równania:
, .
.
Odpowiedź
Przykład 1.2
Rozłóż na czynniki wielomian trzeciego stopnia:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.
Rozwiązanie
Wyjmijmy x z nawiasów:
.
Rozwiązanie równania kwadratowego x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jego wyróżnik: .
Ponieważ dyskryminator wynosi zero, pierwiastki równania są wielokrotnościami: ;
.
Stąd otrzymujemy faktoryzację wielomianu:
.
Odpowiedź
Przykład 1.3
Rozłóż na czynniki wielomian piątego stopnia:
X 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Rozwiązanie
Wyciągamy x 3
poza nawiasami:
.
Rozwiązanie równania kwadratowego x 2 - 2 x + 10 = 0.
Jego wyróżnik: .
Ponieważ dyskryminator jest mniejszy od zera, pierwiastki równania są złożone: ;
, .
Rozkład na czynniki wielomianu ma postać:
.
Jeśli interesuje nas faktoryzacja z wykorzystaniem rzeczywistych współczynników, to:
.
Odpowiedź
Przykłady rozkładu wielomianów na czynniki za pomocą wzorów
Przykłady z wielomianami dwukwadratowymi
Przykład 2.1
Rozłóż na czynniki wielomian dwukwadratowy:
X 4 + x 2 - 20.
Rozwiązanie
Zastosujmy formuły:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Odpowiedź
Przykład 2.2
Rozłóż na czynniki wielomian, który redukuje się do dwukwadratowego:
X 8 + x 4 + 1.
Rozwiązanie
Zastosujmy formuły:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Odpowiedź
Przykład 2.3 z powtarzającym się wielomianem
Rozłóż na czynniki wielomian odwrotności:
.
Rozwiązanie
Wielomian odwrotny ma stopień nieparzysty. Dlatego ma pierwiastek x = - 1
. Podziel wielomian przez x - (-1) = x + 1. W rezultacie otrzymujemy:
.
Zróbmy podstawienie:
, ;
;
;
.
Odpowiedź
Przykłady rozkładu wielomianów na czynniki z pierwiastkami całkowitymi
Przykład 3.1
Rozłóż wielomian na czynniki:
.
Rozwiązanie
Załóżmy, że równanie
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Znaleźliśmy więc trzy korzenie:
X 1 = 1
, X 2 = 2
, X 3 = 3
.
Ponieważ pierwotny wielomian jest trzeciego stopnia, ma on nie więcej niż trzy pierwiastki. Ponieważ znaleźliśmy trzy pierwiastki, są one proste. Następnie
.
Odpowiedź
Przykład 3.2
Rozłóż wielomian na czynniki:
.
Rozwiązanie
Załóżmy, że równanie
ma co najmniej jeden cały korzeń. Wtedy jest to dzielnik liczby 2
(członek bez x). Oznacza to, że cały pierwiastek może być jedną z liczb:
-2, -1, 1, 2
.
Zastępujemy te wartości jedna po drugiej:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Jeśli założymy, że to równanie ma pierwiastek całkowity, to jest to dzielnik liczby 2
(członek bez x). Oznacza to, że cały pierwiastek może być jedną z liczb:
1, 2, -1, -2
.
Podstawmy x = -1
:
.
Zatem znaleźliśmy kolejny pierwiastek x 2
= -1
. Byłoby możliwe, podobnie jak w poprzednim przypadku, podzielenie wielomianu przez , ale zgrupujemy wyrazy:
.
Ponieważ równanie x 2 + 2 = 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych, wówczas rozkład na czynniki wielomianu ma postać.
Przyjrzyjmy się konkretnym przykładom rozkładania wielomianu na czynniki.
Będziemy rozwijać wielomiany zgodnie z .
Wielomiany czynnikowe:
Sprawdźmy, czy istnieje wspólny czynnik. tak, jest równe 7cd. Wyjmijmy to z nawiasów:
Wyrażenie w nawiasach składa się z dwóch terminów. Nie ma już wspólnego dzielnika, wyrażenie nie jest wzorem na sumę kostek, co oznacza, że rozkład został zakończony.
Sprawdźmy, czy istnieje wspólny czynnik. NIE. Wielomian składa się z trzech wyrazów, więc sprawdzamy, czy istnieje wzór na pełny kwadrat. Dwa wyrazy są kwadratami wyrażeń: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², trzeci wyraz jest równy podwójnemu iloczynowi tych wyrażeń: 2∙5x∙3y=30xy. Oznacza to, że ten wielomian jest doskonałym kwadratem. Ponieważ iloczyn podwójny ma znak minus, jest to:
Sprawdzamy, czy możliwe jest usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów. Istnieje wspólny czynnik, jest on równy a. Wyjmijmy to z nawiasów:
W nawiasie znajdują się dwa terminy. Sprawdzamy, czy istnieje wzór na różnicę kwadratów lub różnicę sześcianów. a² jest kwadratem a, 1=1². Oznacza to, że wyrażenie w nawiasach można zapisać korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:
Istnieje wspólny dzielnik, który wynosi 5. Wyjmijmy to z nawiasów:
w nawiasach znajdują się trzy terminy. Sprawdzamy, czy wyrażenie jest idealnym kwadratem. Dwa wyrazy to kwadraty: 16=4² i a² - kwadrat a, trzeci wyraz jest równy iloczynowi podwójnemu 4 i a: 2∙4∙a=8a. Jest to zatem kwadrat idealny. Ponieważ wszystkie terminy mają znak „+”, wyrażenie w nawiasach jest idealnym kwadratem sumy:
Z nawiasów pobieramy ogólny mnożnik -2x:
W nawiasach podano sumę dwóch wyrazów. Sprawdzamy, czy to wyrażenie jest sumą sześcianów. 64=4³, x³- sześcian x. Oznacza to, że dwumian można rozwinąć za pomocą wzoru:
Istnieje wspólny mnożnik. Ponieważ jednak wielomian składa się z 4 wyrazów, najpierw i dopiero wtedy usuniemy wspólny czynnik z nawiasów. Połączmy pierwszy termin z czwartym, a drugi z trzecim:
Z pierwszych nawiasów wyciągamy wspólny współczynnik 4a, z drugiego - 8b:
Nie ma jeszcze wspólnego mnożnika. Aby to uzyskać, usuwamy „-” z drugiego nawiasu, a każdy znak w nawiasie zmienia się na przeciwny:
Teraz wyjmijmy wspólny czynnik (1-3a) z nawiasów:
W drugim nawiasie znajduje się wspólny współczynnik 4 (jest to ten sam współczynnik, którego nie usunęliśmy z nawiasów na początku przykładu):
Ponieważ wielomian składa się z czterech wyrazów, przeprowadzamy grupowanie. Połączmy pierwszy wyraz z drugim, trzeci z czwartym:
W pierwszych nawiasach nie ma wspólnego czynnika, ale jest wzór na różnicę kwadratów, w drugich nawiasach wspólny czynnik wynosi -5:
Pojawił się wspólny mnożnik (4m-3n). Wyjmijmy to z równania.
Bardzo często licznik i mianownik ułamka są wyrażeniami algebraicznymi, które należy najpierw rozłożyć na czynniki, a następnie po znalezieniu wśród nich identycznych podzielić przez nie zarówno licznik, jak i mianownik, czyli zmniejszyć ułamek. Cały rozdział podręcznika algebry dla 7. klasy poświęcony jest zadaniu rozkładu wielomianu na czynniki. Można przeprowadzić faktoryzację 3 sposoby, a także kombinację tych metod.
1. Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie
Jak wiadomo, do pomnożyć wielomian przez wielomian, musisz pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu i dodać otrzymane iloczyny. Istnieje co najmniej 7 (siedem) często występujących przypadków mnożenia wielomianów objętych tą koncepcją. Na przykład,
Tabela 1. Faktoryzacja w sposób pierwszy
2. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów
Metoda ta opiera się na zastosowaniu prawa rozdzielności mnożenia. Na przykład,
Każdy wyraz pierwotnego wyrażenia dzielimy przez czynnik, który usuwamy, i otrzymujemy wyrażenie w nawiasach (to znaczy wynik dzielenia tego, co było, przez to, co usuwamy, pozostaje w nawiasach). Przede wszystkim potrzebujesz poprawnie określić mnożnik, który należy wyjąć z nawiasu.
Wspólnym czynnikiem może być również wielomian w nawiasach:
Wykonując zadanie „rozkładania na czynniki”, należy szczególnie uważać na znaki podczas umieszczania współczynnika całkowitego w nawiasach. Aby zmienić znak każdego terminu w nawiasie (b-a), usuńmy wspólny czynnik z nawiasów -1 , a każdy wyraz w nawiasie zostanie podzielony przez -1: (b - a) = - (a - b) .
Jeśli wyrażenie w nawiasach jest podniesione do kwadratu (lub do dowolnej potęgi parzystej), to Liczby w nawiasach można zamieniać całkowicie dowolnie, ponieważ minusy wyjęte z nawiasów nadal po pomnożeniu zamienią się w plus: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 i tak dalej…
3. Metoda grupowania
Czasami nie wszystkie terminy w wyrażeniu mają wspólny czynnik, ale tylko niektóre. Wtedy możesz spróbować terminy grupowe w nawiasach, aby z każdego można było wyciągnąć jakiś czynnik. Metoda grupowania- jest to podwójne usunięcie wspólnych czynników z nawiasów.
4. Stosowanie kilku metod jednocześnie
Czasami trzeba zastosować nie jedną, ale kilka metod rozkładu wielomianu na czynniki na raz.
To jest podsumowanie tematu "Faktoryzacja". Wybierz, co chcesz dalej zrobić:
- Przejdź do następnego podsumowania:
