როგორ ამოხსნათ სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამრავლება. ფრაქცია

ჩვეულებრივი წილადი რიცხვები პირველად ხვდებიან მე-5 კლასის მოსწავლეებს და თან ახლავს მათ მთელი ცხოვრების განმავლობაში, რადგან ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხშირად საჭიროა ობიექტის განხილვა ან გამოყენება არა მთლიანობაში, არამედ ცალკეულ ნაწილებად. დაიწყეთ ამ თემის შესწავლა - გაზიარება. აქციები თანაბარი ნაწილებია, რომელშიც იყოფა ესა თუ ის ობიექტი. ყოველივე ამის შემდეგ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, რომ გამოვთვალოთ, მაგალითად, პროდუქტის სიგრძე ან ფასი, როგორც მთელი რიცხვი. ჩამოყალიბდა ზმნიდან "გაყოფა" - ნაწილებად დაყოფა და არაბული ფესვების მქონე, თავად სიტყვა "ფრაქცია" წარმოიშვა რუსულ ენაში მე -8 საუკუნეში.

წილადური გამონათქვამები დიდი ხანია ითვლებოდა მათემატიკის ყველაზე რთულ დარგად. მე-17 საუკუნეში, როდესაც მათემატიკის პირველი სახელმძღვანელოები გამოჩნდა, მათ „გატეხილი რიცხვები“ უწოდეს, რაც ხალხისთვის ძალიან რთული გასაგები იყო.

მარტივი წილადი ნაშთების თანამედროვე ფორმა, რომლის ნაწილები გამოყოფილია ჰორიზონტალური ხაზით, პირველად ფიბონაჩის - ლეონარდო პიზას მიერ იყო დაწინაურებული. მისი ნამუშევრები 1202 წლით თარიღდება. მაგრამ ამ სტატიის მიზანია უბრალოდ და ნათლად აუხსნას მკითხველს, თუ როგორ მრავლდება სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე შერეული წილადები.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამრავლება

თავდაპირველად ღირს განსაზღვრა წილადების ტიპები:

• სწორი;
• არასწორი;
• შერეული.

შემდეგი, თქვენ უნდა გახსოვდეთ, თუ როგორ მრავლდება წილადი რიცხვები იგივე მნიშვნელებით. ამ პროცესის წესის დამოუკიდებლად ჩამოყალიბება რთული არ არის: მარტივი წილადების იდენტური მნიშვნელებით გამრავლების შედეგი არის წილადი გამონათქვამი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის ამ წილადების მნიშვნელების ნამრავლი. . ანუ, ფაქტობრივად, ახალი მნიშვნელი არის ერთ-ერთი თავდაპირველად არსებულის კვადრატი.

გამრავლებისას მარტივი წილადები სხვადასხვა მნიშვნელითორი ან მეტი ფაქტორისთვის წესი არ იცვლება:

ა/ბ * გ/დ = a*c / ბ*დ.

ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ წილადი წრფის ქვეშ ჩამოყალიბებული რიცხვი იქნება სხვადასხვა რიცხვის ნამრავლი და, ბუნებრივია, მას არ შეიძლება ეწოდოს ერთი რიცხვითი გამოსახულების კვადრატი.

ღირს წილადების გამრავლება სხვადასხვა მნიშვნელით მაგალითების გამოყენებით:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

მაგალითები იყენებენ მეთოდებს წილადური გამონათქვამების შესამცირებლად. თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ მრიცხველის რიცხვები მხოლოდ მნიშვნელობით მდებარე ფაქტორებით წილადის ხაზის ზემოთ ან ქვემოთ.

მარტივ წილადებთან ერთად არსებობს შერეული წილადების ცნება. შერეული რიცხვი შედგება მთელი რიცხვისა და წილადი ნაწილისგან, ანუ ეს არის ამ რიცხვების ჯამი:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

როგორ მუშაობს გამრავლება?

განსახილველად მოყვანილია რამდენიმე მაგალითი.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

მაგალითი იყენებს რიცხვის გამრავლებას ჩვეულებრივი წილადი ნაწილი, ამ მოქმედების წესი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ა* ბ/გ = a*b /გ.

სინამდვილეში, ასეთი ნამრავლი არის იდენტური წილადი ნაშთების ჯამი და ტერმინების რაოდენობა მიუთითებს ამ ბუნებრივ რიცხვზე. Განსაკუთრებული შემთხვევა:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

არსებობს კიდევ ერთი გამოსავალი რიცხვის წილადის ნაშთზე გასამრავლებლად. თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ მნიშვნელი ამ რიცხვზე:

d* ე/ვ = ე/ვ: დ.

ამ ტექნიკის გამოყენება სასარგებლოა, როდესაც მნიშვნელი იყოფა ნატურალურ რიცხვზე ნარჩენის გარეშე ან, როგორც ამბობენ, მთელ რიცხვზე.

გადააკეთეთ შერეული რიცხვები არასწორ წილადებად და მიიღეთ ნამრავლი ადრე აღწერილი გზით:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

ეს მაგალითი მოიცავს შერეული წილადის არასწორ წილადად წარმოჩენის ხერხს და ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ზოგადი ფორმულა:

ა ბგ = a*b+ c/c, სადაც ახალი წილადის მნიშვნელი იქმნება მთელი ნაწილის მნიშვნელთან გამრავლებით და მისი თავდაპირველი წილადი ნაშთის მრიცხველთან მიმატებით, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება.

ეს პროცესი ასევე მუშაობს საპირისპირო მიმართულებით. მთელი ნაწილისა და წილადი ნაშთის გამოსაყოფად, თქვენ უნდა გაყოთ არასწორი წილადის მრიცხველი მის მნიშვნელზე "კუთხის" გამოყენებით.

არასწორი წილადების გამრავლებაწარმოებული ზოგადად მიღებული გზით. ერთი წილადის ხაზის ქვეშ წერისას საჭიროა წილადების შემცირება საჭიროებისამებრ, რათა ამ მეთოდის გამოყენებით შემცირდეს რიცხვები და გაადვილდეს შედეგის გამოთვლა.

ინტერნეტში ბევრი დამხმარეა, რომ გადაჭრას თუნდაც რთული მათემატიკური ამოცანები პროგრამების სხვადასხვა ვარიაციებში. ასეთი სერვისების საკმარისი რაოდენობა გვთავაზობს მათ დახმარებას მნიშვნელებში სხვადასხვა რიცხვით წილადების გამრავლების გამოთვლაში - ეგრეთ წოდებული ონლაინ კალკულატორები წილადების გამოსათვლელად. მათ შეუძლიათ არა მხოლოდ გამრავლება, არამედ ყველა სხვა მარტივი არითმეტიკული მოქმედების შესრულება ჩვეულებრივი წილადებითა და შერეული რიცხვებით. ადვილია მუშაობა ვებსაიტის გვერდზე, ირჩევთ მათემატიკური მოქმედების ნიშანს და აწკაპუნებთ "გამოთვლა". პროგრამა ავტომატურად ითვლის.

წილადებთან არითმეტიკული მოქმედებების თემა აქტუალურია საშუალო და საშუალო სკოლის მოსწავლეების განათლების მთელი პერიოდის განმავლობაში. საშუალო სკოლაში უმარტივეს სახეობებს აღარ განიხილავენ, მაგრამ მთელი რიცხვის წილადი გამოსახულებები, მაგრამ ადრე მიღებული ტრანსფორმაციის წესებისა და გამოთვლების ცოდნა გამოიყენება თავდაპირველი სახით. კარგად ათვისებული საბაზისო ცოდნა იძლევა სრულ ნდობას ყველაზე რთული პრობლემების წარმატებით გადაჭრაში.

დასასრულს, აზრი აქვს ლევ ნიკოლაევიჩ ტოლსტოის სიტყვების ციტირებას, რომელიც წერდა: ”ადამიანი არის წილადი. ადამიანის ძალაში არ არის გაზარდოს თავისი მრიცხველი - მისი დამსახურება - მაგრამ ნებისმიერს შეუძლია შეამციროს მისი მნიშვნელი - აზრი საკუთარ თავზე და ამ შემცირებით მიუახლოვდეს მის სრულყოფილებას.

გაკვეთილის შინაარსი

მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატება

წილადების დამატების ორი ტიპი არსებობს:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

ჯერ ვისწავლოთ მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების დამატება. აქ ყველაფერი მარტივია. ერთიდაიგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი. მაგალითად, დავუმატოთ წილადები და . დაამატეთ მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც ოთხ ნაწილად იყოფა. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2.დაამატეთ წილადები და.

პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა. როდესაც დავალების დასასრული მოდის, ჩვეულებრივია არასათანადო წილადებისგან თავის დაღწევა. არასწორი წილადის მოსაშორებლად, თქვენ უნდა აირჩიოთ მისი მთელი ნაწილი. ჩვენს შემთხვევაში, მთელი ნაწილი ადვილად იზოლირებულია - ორი გაყოფილი ორზე უდრის ერთს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ ორ ნაწილად დაყოფილ პიცას. თუ პიცას დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას:

მაგალითი 3. დაამატეთ წილადები და.

ისევ ვამატებთ მრიცხველებს და ვტოვებთ მნიშვნელს უცვლელად:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც სამ ნაწილად იყოფა. თუ პიცას დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 4.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. მრიცხველები უნდა დაემატოს და მნიშვნელი დარჩეს უცვლელი:

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი ნახატის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას და დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ 1 მთლიან პიცას და მეტ პიცას.

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დამატებაში. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად საჭიროა მათი მრიცხველების დამატება და მნიშვნელი უცვლელი დატოვება;

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატება

ახლა ვისწავლოთ როგორ დავამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. წილადების შეკრებისას წილადების მნიშვნელები უნდა იყოს იგივე. მაგრამ ისინი ყოველთვის არ არიან ერთნაირი.

მაგალითად, წილადები შეიძლება დაემატოს, რადგან მათ აქვთ იგივე მნიშვნელები.

მაგრამ წილადების დაუყოვნებლივ დამატება შეუძლებელია, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში წილადები უნდა დაიწიოს ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

წილადების ერთსა და იმავე მნიშვნელზე შემცირების რამდენიმე გზა არსებობს. დღეს ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ერთ მათგანს, რადგან დამწყებთათვის სხვა მეთოდები შეიძლება რთული ჩანდეს.

ამ მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ ჯერ იძებნება ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე, რათა მიიღოთ პირველი დამატებითი ფაქტორი. იგივეს აკეთებენ მეორე წილადთან - LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი კოეფიციენტი.

შემდეგ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცევა წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. და ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1. დავამატოთ წილადები და

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 6.

LCM (2 და 3) = 6

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და . პირველი, გაყავით LCM პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ პირველი დამატებითი ფაქტორი. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 6 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ 2-ს.

შედეგად მიღებული ნომერი 2 არის პირველი დამატებითი მულტიპლიკატორი. ჩავწერთ პირველ წილადამდე. ამისათვის გააკეთეთ პატარა ირიბი ხაზი წილადზე და ჩაწერეთ მის ზემოთ ნაპოვნი დამატებითი ფაქტორი:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM-ს ვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელზე და ვიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. გავყოთ 6 2-ზე, მივიღებთ 3-ს.

შედეგად მიღებული ნომერი 3 არის მეორე დამატებითი მამრავლი. ჩავწერთ მეორე წილადამდე. კვლავ ვაკეთებთ პატარა ირიბ ხაზს მეორე წილადზე და ვწერთ მის ზემოთ ნაპოვნი დამატებით ფაქტორს:

ახლა ჩვენ ყველაფერი მზად გვაქვს დასამატებლად. რჩება წილადების მრიცხველების და მნიშვნელების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

ყურადღებით დააკვირდით რა მივედით. მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. და ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები. ავიღოთ ეს მაგალითი ბოლომდე:

ეს ასრულებს მაგალითს. თურმე დამატება.

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი ნახატის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას და პიცის მეორე მეექვსედს:

წილადების შემცირება ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. წილადების შემცირებით და საერთო მნიშვნელამდე მივიღეთ წილადები და . ეს ორი ფრაქცია წარმოდგენილი იქნება პიცის ერთი და იგივე ნაჭრებით. განსხვავება მხოლოდ ის იქნება, რომ ამჯერად ისინი დაიყოფიან თანაბარ წილებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე).

პირველი ნახაზი წარმოადგენს წილადს (ოთხი ცალი ექვსიდან), ხოლო მეორე ნახაზი წარმოადგენს წილადს (ექვსიდან სამი ცალი). ამ ნაჭრების დამატებით მივიღებთ (შვიდი ცალი ექვსიდან). ეს წილადი არასათანადოა, ამიტომ გამოვყავით მისი მთელი ნაწილი. შედეგად მივიღეთ (ერთი მთლიანი პიცა და მეორე მეექვსე პიცა).

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენ ძალიან დეტალურად აღვწერეთ ეს მაგალითი. საგანმანათლებლო დაწესებულებებში არ არის ჩვეულებრივი წერა ასეთი დეტალურად. თქვენ უნდა შეძლოთ სწრაფად იპოვოთ როგორც მნიშვნელების, ასევე მათზე დამატებითი ფაქტორების LCM, ასევე სწრაფად გაამრავლოთ ნაპოვნი დამატებითი ფაქტორები თქვენს მრიცხველებზე და მნიშვნელებზე. სკოლაში რომ ვიყოთ, ეს მაგალითი შემდეგნაირად მოგვიწევდა დაწერა:

მაგრამ მონეტის მეორე მხარეც არსებობს. თუ მათემატიკის შესწავლის პირველ ეტაპზე არ აკეთებთ დეტალურ შენიშვნებს, მაშინ ჩნდება მსგავსი კითხვები. „საიდან მოდის ეს რიცხვი?“, „რატომ გადაიქცევა წილადები მოულოდნელად სრულიად განსხვავებულ წილადებად? «.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების გასაადვილებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები:

1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM;
2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი კოეფიციენტი თითოეული წილადისთვის;
3. გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მათ დამატებით ფაქტორებზე;
4. დაამატეთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები;
5. თუ პასუხი არასწორი წილადია, მაშინ აირჩიეთ მისი მთელი ნაწილი;

მაგალითი 2.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა .

მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული ინსტრუქციები.

ნაბიჯი 1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM

იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 2, 3 და 4

ნაბიჯი 2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი კოეფიციენტი თითოეული წილადისთვის

LCM გავყოთ პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. გავყოთ 12 2-ზე, მივიღებთ 6. მივიღეთ პირველი დამატებითი ფაქტორი 6. მას ვწერთ პირველი წილადის ზემოთ:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 12 3-ზე, მივიღებთ 4. ვიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს 4. ვწერთ მეორე წილადის ზემოთ:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. მივიღებთ მესამე დამატებით კოეფიციენტს 3. მას ვწერთ მესამე წილადის ზემოთ:

ნაბიჯი 3. გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მათ დამატებით ფაქტორებზე

ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველებს და მნიშვნელებს მათ დამატებით ფაქტორებზე:

ნაბიჯი 4. დაამატეთ წილადები იგივე მნიშვნელებით

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ჰქონდათ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. რჩება მხოლოდ ამ წილადების დამატება. დაამატეთ იგი:

დამატება არ ჯდებოდა ერთ სტრიქონზე, ამიტომ დარჩენილი გამოხატულება გადავიტანეთ შემდეგ სტრიქონზე. ეს ნებადართულია მათემატიკაში. როდესაც გამონათქვამი არ ჯდება ერთ სტრიქონზე, ის გადადის შემდეგ სტრიქონზე და აუცილებელია პირველი სტრიქონის ბოლოს და ახალი სტრიქონის დასაწყისში ტოლობის ნიშანი (=). მეორე სტრიქონზე ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ ეს არის პირველი ხაზის გამოთქმის გაგრძელება.

ნაბიჯი 5. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ აირჩიეთ მისი მთელი ნაწილი

ჩვენი პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა. უნდა გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ:

პასუხი მივიღეთ

მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება

წილადების გამოკლების ორი ტიპი არსებობს:

1. მსგავსი მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

ჯერ ვისწავლოთ როგორ გამოვაკლოთ წილადები მსგავსი მნიშვნელებით. აქ ყველაფერი მარტივია. მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, მეორე წილადის მრიცხველი უნდა გამოვაკლოთ პირველი წილადის მრიცხველს, მაგრამ მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა. ამ მაგალითის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც ოთხ ნაწილად იყოფა. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

ისევ პირველი წილადის მრიცხველს გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი უცვლელი დავტოვოთ:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ გავიხსენებთ პიცას, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 3.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. პირველი წილადის მრიცხველს უნდა გამოკლოთ დარჩენილი წილადების მრიცხველები:

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლებაში. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, უნდა გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი;
2. თუ პასუხი არასათანადო წილადი აღმოჩნდა, მაშინ თქვენ უნდა მონიშნოთ მისი მთელი ნაწილი.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

მაგალითად, შეგიძლიათ გამოკლოთ წილადი წილადს, რადგან წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელები აქვთ. მაგრამ თქვენ არ შეგიძლიათ წილადს გამოკლოთ წილადი, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში წილადები უნდა დაიწიოს ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

საერთო მნიშვნელი გვხვდება იმავე პრინციპით, რომელსაც ვიყენებდით სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისას. პირველ რიგში, იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღება პირველი დამატებითი კოეფიციენტი, რომელიც იწერება პირველი წილადის ზემოთ. ანალოგიურად, LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი ფაქტორი, რომელიც იწერება მეორე წილადის ზემოთ.

შემდეგ წილადები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გარდაიქმნება წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1.იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ თქვენ უნდა შეამციროთ ისინი იმავე (საერთო) მნიშვნელამდე.

ჯერ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM-ს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 12.

LCM (3 და 4) = 12

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. ამისათვის გაყავით LCM პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 12 3-ზე, მივიღებთ 4-ს. დაწერეთ ოთხი პირველი წილადის ზემოთ:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM გავყოთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. მეორე წილადზე დაწერეთ სამი:

ახლა ჩვენ მზად ვართ გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. ავიღოთ ეს მაგალითი ბოლომდე:

პასუხი მივიღეთ

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი ნახატის გამოყენებით. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას

ეს არის გადაწყვეტის დეტალური ვერსია. სკოლაში რომ ვიყოთ, ეს მაგალითი უფრო მოკლედ უნდა ამოგვეხსნა. ასეთი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირება ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. ამ წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირება, მივიღეთ წილადები და . ეს წილადები წარმოდგენილი იქნება ერთი და იგივე პიცის ნაჭრებით, მაგრამ ამჯერად ისინი დაყოფილი იქნება თანაბარ ნაწილებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე):

პირველ სურათზე ნაჩვენებია წილადი (რვა ცალი თორმეტიდან), ხოლო მეორე სურათზე ნაჩვენებია წილადი (სამი ცალი თორმეტიდან). რვა ნაჭრისგან სამი ცალი ამოჭრით, თორმეტიდან ხუთ ნაჭერს ვიღებთ. წილადი აღწერს ამ ხუთ ნაწილს.

მაგალითი 2.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ ჯერ უნდა შეამციროთ ისინი იმავე (საერთო) მნიშვნელამდე.

ვიპოვოთ ამ წილადების მნიშვნელების LCM.

წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 10, 3 და 5. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

ახლა ჩვენ ვპოულობთ დამატებით ფაქტორებს თითოეული წილადისთვის. ამისათვის გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე.

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 10. 30 გავყოთ 10-ზე, მივიღებთ პირველ დამატებით კოეფიციენტს 3. მას ვწერთ პირველი წილადის ზემოთ:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მეორე წილადისთვის. LCM გავყოთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 30 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს 10. მეორე წილადის ზემოთ ვწერთ:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მესამე წილადისთვის. LCM გავყოთ მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 5. 30 გავყოთ 5-ზე, მივიღებთ მესამე დამატებით კოეფიციენტს 6. მესამე წილადის ზემოთ ვწერთ:

ახლა ყველაფერი მზად არის გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ჰქონდათ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. დავასრულოთ ეს მაგალითი.

მაგალითის გაგრძელება არ ჯდება ერთ ხაზზე, ამიტომ გაგრძელებას გადავიტანთ შემდეგ სტრიქონზე. არ დაივიწყოთ ტოლობის ნიშანი (=) ახალ ხაზზე:

პასუხი ჩვეულებრივი წილადი აღმოჩნდა და ყველაფერი, როგორც ჩანს, გვიწყობს, მაგრამ ზედმეტად შრომატევადი და მახინჯია. ჩვენ უნდა გავამარტივოთ. Რა შეიძლება გაკეთდეს? თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ ეს ფრაქცია.

წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი (GCD) 20 და 30 რიცხვებზე.

ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ 20 და 30 რიცხვების gcd-ს:

ახლა ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს მაგალითს და ვყოფთ წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ნაპოვნი gcd-ზე, ანუ 10-ზე.

პასუხი მივიღეთ

წილადის რიცხვზე გამრავლება

წილადის რიცხვზე გასამრავლებლად საჭიროა მოცემული წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე გაამრავლოთ და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

მაგალითი 1. გაამრავლე წილადი 1 რიცხვზე.

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 1 რიცხვზე

ჩანაწერი შეიძლება გავიგოთ, როგორც ნახევარი 1 დრო. მაგალითად, თუ პიცას 1-ჯერ იღებთ, მიიღებთ პიცას

გამრავლების კანონებიდან ვიცით, რომ თუ მრავლობითი და კოეფიციენტი ერთმანეთს შევცვლით, ნამრავლი არ შეიცვლება. თუ გამოთქმა დაიწერება როგორც , მაშინ ნამრავლი მაინც ტოლი იქნება . ისევ მუშაობს მთელი რიცხვისა და წილადის გამრავლების წესი:

ეს აღნიშვნა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ერთის ნახევრის აღება. მაგალითად, თუ არის 1 მთლიანი პიცა და ავიღებთ მის ნახევარს, მაშინ გვექნება პიცა:

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 4-ზე

პასუხი იყო არასწორი ფრაქცია. გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი მეოთხედი 4-ჯერ აღება. მაგალითად, თუ აიღებთ 4 პიცას, მიიღებთ ორ მთლიან პიცას

და თუ გავცვლით მამრავლსა და მულტიპლიკატორს, მივიღებთ გამოხატულებას. ის ასევე იქნება 2-ის ტოლი. ეს გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი პიცის აღება ოთხი მთლიანი პიციდან:

წილადების გამრავლება

წილადების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, თქვენ უნდა მონიშნოთ მისი მთელი ნაწილი.

მაგალითი 1.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

პასუხი მივიღეთ. მიზანშეწონილია ამ ფრაქციის შემცირება. წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით. შემდეგ საბოლოო ამოხსნა მიიღებს შემდეგ ფორმას:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც პიცის აღება ნახევარი პიცისგან. ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

როგორ ავიღოთ ორი მესამედი ამ ნახევრიდან? ჯერ ეს ნახევარი უნდა გაყოთ სამ თანაბარ ნაწილად:

და აიღეთ ორი ამ სამი ნაწილიდან:

პიცას მოვამზადებთ. დაიმახსოვრე როგორ გამოიყურება პიცა, როდესაც იყოფა სამ ნაწილად:

ამ პიცის ერთი ცალი და ჩვენ მიერ აღებული ორი ცალი იგივე ზომები იქნება:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვსაუბრობთ იგივე ზომის პიცაზე. ამიტომ გამოხატვის მნიშვნელობა არის

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი იყო არასწორი ფრაქცია. გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი:

მაგალითი 3.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი ჩვეულებრივი წილადი აღმოჩნდა, მაგრამ კარგი იქნება თუ შემცირდება. ამ წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 105 და 450 რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფზე (GCD).

მაშ ასე, ვიპოვოთ 105 და 450 რიცხვების gcd:

ახლა ჩვენ ვყოფთ ჩვენი პასუხის მრიცხველსა და მნიშვნელს gcd-ზე, რომელიც ახლა ვიპოვეთ, ანუ 15-ზე.

მთელი რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენა

ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. მაგალითად, რიცხვი 5 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც . ეს არ შეცვლის ხუთის მნიშვნელობას, რადგან გამოთქმა ნიშნავს "რიცხვი ხუთი გაყოფილი ერთზე" და ეს, როგორც ვიცით, უდრის ხუთს:

საპასუხო ნომრები

ახლა ჩვენ გავეცნობით ძალიან საინტერესო თემას მათემატიკაში. მას "უკუ რიცხვები" ჰქვია.

განმარტება. რიცხვზე გადაბრუნებაა არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისასა აძლევს ერთს.

მოდით ჩავანაცვლოთ ამ განსაზღვრებაში ცვლადის ნაცვლად ანომერი 5 და შეეცადეთ წაიკითხოთ განმარტება:

რიცხვზე გადაბრუნება 5 არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 5 აძლევს ერთს.

შესაძლებელია თუ არა ისეთი რიცხვის პოვნა, რომელიც 5-ზე გამრავლებისას იძლევა ერთს? თურმე შესაძლებელია. წარმოვიდგინოთ ხუთი წილადად:

შემდეგ გაამრავლეთ ეს წილადი თავისთავად, უბრალოდ შეცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდით გავამრავლოთ წილადი თავისთავად, მხოლოდ თავდაყირა:

რა მოხდება ამის შედეგად? თუ გავაგრძელებთ ამ მაგალითის ამოხსნას, მივიღებთ ერთს:

ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 5-ის შებრუნებული არის რიცხვი, რადგან როცა 5-ს გაამრავლებ, მიიღებთ ერთს.

რიცხვის საპასუხო მაჩვენებელი ასევე შეიძლება მოიძებნოს ნებისმიერი სხვა მთელი რიცხვისთვის.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი სხვა წილადის საპასუხო მოქმედება. ამისათვის უბრალოდ გადაატრიალეთ იგი.

წილადის რიცხვზე გაყოფა

ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

მოდით თანაბრად გავყოთ ორს შორის. რამდენ პიცას მიიღებს თითოეული ადამიანი?

ჩანს, რომ პიცის ნახევრად გაყოფის შემდეგ მიიღეს ორი თანაბარი ნაჭერი, რომელთაგან თითოეული წარმოადგენს პიცას. ასე რომ, ყველა იღებს პიცას.

წილადების დაყოფა ხდება ორმხრივების გამოყენებით. საპასუხო რიცხვები საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ გაყოფა გამრავლებით.

წილადის რიცხვზე გასაყოფად საჭიროა წილადის გამრავლება გამყოფის შებრუნებულზე.

ამ წესის გამოყენებით ჩვენ დავწერთ ჩვენი ნახევრის პიცის ორ ნაწილად დაყოფას.

ასე რომ, თქვენ უნდა გაყოთ წილადი 2 რიცხვზე. აქ დივიდენდი არის წილადი და გამყოფი არის ნომერი 2.

წილადის 2-ზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს წილადი გამყოფი 2-ის საპირისპიროზე. გამყოფი 2-ის ორმხრივი არის წილადი. ასე რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ

წილადის წილადზე ან წილადის რიცხვზე სწორად გასამრავლებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ მარტივი წესები. ახლა ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ ამ წესებს.

საერთო წილადის გამრავლება წილადზე.

წილადის წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მრიცხველების ნამრავლი და ამ წილადების მნიშვნელების ნამრავლი.

\(\bf \frac(a)(b) \ჯერ \frac(c)(d) = \frac(a \ჯერ c)(b \ჯერ d)\\\)

მოდით შევხედოთ მაგალითს:
პირველი წილადის მრიცხველს ვამრავლებთ მეორე წილადის მრიცხველზე და ასევე ვამრავლებთ პირველი წილადის მნიშვნელს მეორე წილადის მნიშვნელზე.

\(\frac(6)(7) \ჯერ \frac(2)(3) = \frac(6 \ჯერ 2)(7 \ჯერ 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ ჯერ 3)(7 \ჯერ 3) = \frac(4)(7)\\\)

წილადი \(\frac(12)(21) = \frac(4 \ჯერ 3)(7 \ჯერ 3) = \frac(4)(7)\\\) შემცირდა 3-ით.

წილადის რიცხვზე გამრავლება.

ჯერ გავიხსენოთ წესი, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

გამრავლებისას გამოვიყენოთ ეს წესი.

\(5 \ჯერ \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \ჯერ \frac(4)(7) = \frac(5 \ჯერ 4)(1 \ჯერ 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

არასწორი წილადი \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) გარდაიქმნება შერეულ წილადად.

Სხვა სიტყვებით, რიცხვის წილადზე გამრავლებისას რიცხვს ვამრავლებთ მრიცხველზე და მნიშვნელს ვტოვებთ უცვლელად.მაგალითი:

\(\frac(2)(5) \ჯერ 3 = \frac(2 \ჯერ 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \ჯერ c = \frac(a \ჯერ c)(b)\\\)

შერეული წილადების გამრავლება.

შერეული წილადების გასამრავლებლად ჯერ უნდა წარმოადგინოთ თითოეული შერეული წილადი არასწორ წილადად და შემდეგ გამოიყენოთ გამრავლების წესი. ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველს მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელს ვამრავლებთ მნიშვნელზე.

მაგალითი:
\(2\frac(1)(4) \ჯერ 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \ჯერ \frac(23)(6) = \frac(9 \ჯერ 23) (4 \ჯერ 6) = \frac(3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (3) \ჯერ 23)(4 \ჯერ 2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

საპასუხო წილადებისა და რიცხვების გამრავლება.

წილადი \(\bf \frac(a)(b)\) არის წილადის შებრუნებული \(\bf \frac(b)(a)\), გათვალისწინებულია a≠0,b≠0.
წილადებს \(\bf \frac(a)(b)\) და \(\bf \frac(b)(a)\) ორმხრივი წილადები ეწოდება. ორმხრივი წილადების ნამრავლი უდრის 1-ს.
\(\bf \frac(a)(b) \ჯერ \frac(b)(a) = 1 \\\)

მაგალითი:
\(\frac(5)(9) \ჯერ \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

კითხვები თემაზე:
როგორ გავამრავლოთ წილადი წილადზე?
პასუხი: ჩვეულებრივი წილადების ნამრავლი არის მრიცხველის გამრავლება მრიცხველთან, მნიშვნელის მნიშვნელთან. შერეული წილადების ნამრავლის მისაღებად, თქვენ უნდა გადააქციოთ ისინი არასწორ წილადად და გაამრავლოთ წესების მიხედვით.

როგორ გავამრავლოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით?
პასუხი: არ აქვს მნიშვნელობა წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელი აქვთ თუ განსხვავებული, გამრავლება ხდება მრიცხველის ნამრავლის მრიცხველის, მნიშვნელის მნიშვნელით ნამრავლის პოვნის წესის მიხედვით.

როგორ გავამრავლოთ შერეული წილადები?
პასუხი: უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გადააქციოთ შერეული წილადი არასწორ წილადად და შემდეგ იპოვოთ ნამრავლი გამრავლების წესების გამოყენებით.

როგორ გავამრავლოთ რიცხვი წილადზე?
პასუხი: რიცხვს ვამრავლებთ მრიცხველზე, მაგრამ მნიშვნელს იგივე ვტოვებთ.

მაგალითი #1:
გამოთვალეთ ნამრავლი: ა) \(\frac(8)(9) \ჯერ \frac(7)(11)\) ბ) \(\frac(2)(15) \ჯერ \frac(10)(13) \ )

გამოსავალი:
ა) \(\frac(8)(9) \ჯერ \frac(7)(11) = \frac(8 \ჯერ 7)(9 \ჯერ 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
ბ) \(\frac(2)(15) \ჯერ \frac(10)(13) = \frac(2 \ჯერ 10)(15 \ჯერ 13) = \frac(2 \ჯერ 2 \ჯერ \color( წითელი) (5)) (3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5) \ჯერ 13) = \frac (4) (39)\)

მაგალითი #2:
გამოთვალეთ რიცხვისა და წილადის ნამრავლები: ა) \(3 \ჯერ \frac(17)(23)\) ბ) \(\frac(2)(3) \ჯერ 11\)

გამოსავალი:
ა) \(3 \ჯერ \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \ჯერ \frac(17)(23) = \frac(3 \ჯერ 17)(1 \ჯერ 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
ბ) \(\frac(2)(3) \ჯერ 11 = \frac(2)(3) \ჯერ \frac(11)(1) = \frac(2 \ჯერ 11)(3 \ჯერ 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

მაგალითი #3:
დაწერეთ \(\frac(1)(3)\) წილადის ორმხრივი?
პასუხი: \(\frac(3)(1) = 3\)

მაგალითი #4:
გამოთვალეთ ორი ურთიერთშებრუნებული წილადის ნამრავლი: ა) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

გამოსავალი:
ა) \(\frac(104)(215) \ჯერ \frac(215)(104) = 1\)

მაგალითი #5:
ორმხრივი წილადები შეიძლება იყოს:
ა) სწორ წილადებთან ერთდროულად;
ბ) ერთდროულად არასწორი წილადები;
გ) ერთდროულად ნატურალური რიცხვები?

გამოსავალი:
ა) პირველ კითხვაზე პასუხის გასაცემად მოვიყვანოთ მაგალითი. წილადი \(\frac(2)(3)\) სწორია, მისი შებრუნებული წილადი ტოლი იქნება \(\frac(3)(2)\) - არასწორი წილადი. პასუხი: არა.

ბ) წილადების თითქმის ყველა ჩამოთვლაში ეს პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაგრამ არის რიცხვები, რომლებიც აკმაყოფილებენ ერთდროულად არასწორ წილადად ყოფნის პირობას. მაგალითად, არასწორი წილადი არის \(\frac(3)(3)\), მისი შებრუნებული წილადი უდრის \(\frac(3)(3)\). ვიღებთ ორ არასწორ წილადს. პასუხი: ყოველთვის არა გარკვეულ პირობებში, როდესაც მრიცხველი და მნიშვნელი ტოლია.

გ) ნატურალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებსაც ვიყენებთ დათვლისას, მაგალითად, 1, 2, 3, .... თუ ავიღებთ რიცხვს \(3 = \frac(3)(1)\), მაშინ მისი შებრუნებული წილადი იქნება \(\frac(1)(3)\). წილადი \(\frac(1)(3)\) არ არის ნატურალური რიცხვი. თუ ყველა რიცხვს გადავხედავთ, რიცხვის ორმხრივი ყოველთვის წილადია, გარდა 1-ისა. თუ ავიღებთ რიცხვს 1, მაშინ მისი საპასუხო წილადი იქნება \(\frac(1)(1) = \frac(1). )(1) = 1\). ნომერი 1 ბუნებრივი რიცხვია. პასუხი: ისინი ერთდროულად შეიძლება იყვნენ ნატურალური რიცხვები მხოლოდ ერთ შემთხვევაში, თუ ეს არის რიცხვი 1.

მაგალითი #6:
გააკეთეთ შერეული წილადების ნამრავლი: ა) \(4 \ჯერ 2\ფრაკ(4)(5)\) ბ) \(1\ფრაკ(1)(4) \ჯერ 3\ფრაკ(2)(7)\ )

გამოსავალი:
ა) \(4 \ჯერ 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \ჯერ \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 ) (5) \\\\ \)
ბ) \(1\frac(1)(4) \ჯერ 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \ჯერ \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

მაგალითი #7:
შეიძლება თუ არა, რომ ორი საპასუხო რიცხვი ერთდროულად იყოს შერეული?

მოდით შევხედოთ მაგალითს. ავიღოთ შერეული წილადი \(1\frac(1)(2)\), ვიპოვოთ მისი შებრუნებული წილადი, ამისათვის გადავიყვანოთ ის არასწორ წილადად \(1\frac(1)(2) = \frac(3). )(2) \) . მისი შებრუნებული წილადი ტოლი იქნება \(\frac(2)(3)\) . წილადი \(\frac(2)(3)\) არის სწორი წილადი. პასუხი: ორი წილადი, რომლებიც ურთიერთშებრუნებულია, არ შეიძლება ერთდროულად იყოს შერეული რიცხვები.

კიდევ ერთი ოპერაცია, რომელიც შეიძლება შესრულდეს ჩვეულებრივი წილადებით, არის გამრავლება. შევეცდებით ავხსნათ მისი ძირითადი წესები ამოცანების ამოხსნისას, ვაჩვენოთ, როგორ მრავლდება ჩვეულებრივი წილადი ნატურალურ რიცხვზე და როგორ სწორად გავამრავლოთ სამი ჩვეულებრივი წილადი ან მეტი.

ჯერ ჩამოვწეროთ ძირითადი წესი:

განმარტება 1

თუ ერთ ჩვეულებრივ წილადს გავამრავლებთ, მაშინ მიღებული წილადის მრიცხველი ტოლი იქნება თავდაპირველი წილადების მრიცხველების ნამრავლის, ხოლო მნიშვნელი მათი მნიშვნელების ნამრავლის ტოლი. პირდაპირი ფორმით, ორი წილადისთვის a / b და c / d, ეს შეიძლება გამოიხატოს როგორც b · c d = a · c b · d.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ სწორად გამოიყენოთ ეს წესი. ვთქვათ, გვაქვს კვადრატი, რომლის გვერდი ტოლია ერთი რიცხვითი ერთეულის. მაშინ ფიგურის ფართობი იქნება 1 კვადრატი. ერთეული. თუ კვადრატს დავყოფთ თანაბარ მართკუთხედებად, რომელთა გვერდები ტოლია 1 4 და 1 8 რიცხვითი ერთეული, მივიღებთ, რომ ის ახლა შედგება 32 მართკუთხედისაგან (რადგან 8 4 = 32). შესაბამისად, თითოეული მათგანის ფართობი ტოლი იქნება მთელი ფიგურის ფართობის 1 32, ე.ი. 1 32 კვ. ერთეულები.

გვაქვს დაჩრდილული ფრაგმენტი, რომლის გვერდები უდრის 5 8 ციფრულ ერთეულს და 3 4 ციფრულ ერთეულს. შესაბამისად, მისი ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი ფრაქცია მეორეზე. ტოლი იქნება 5 8 · 3 4 კვ. ერთეულები. მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ დავთვალოთ რამდენი მართკუთხედი შედის ფრაგმენტში: არის 15 მათგანი, რაც ნიშნავს, რომ მთლიანი ფართობი არის 15 32 კვადრატული ერთეული.

ვინაიდან 5 3 = 15 და 8 4 = 32, შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი ტოლობა:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

ის ადასტურებს ჩვენს მიერ ჩამოყალიბებულ წესს ჩვეულებრივი წილადების გასამრავლებლად, რომელიც გამოიხატება როგორც b · c d = a · c b · d. ის ერთნაირად მუშაობს როგორც სათანადო, ისე არასწორ წილადებზე; მისი გამოყენება შესაძლებელია წილადების გასამრავლებლად როგორც განსხვავებული, ისე იდენტური მნიშვნელებით.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე ამოცანის ამოხსნას, რომლებიც დაკავშირებულია ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებით.

მაგალითი 1

გაამრავლეთ 7 11 9 8-ზე.

გამოსავალი

ჯერ გამოვთვალოთ მითითებული წილადების მრიცხველების ნამრავლი 7-ის 9-ზე გამრავლებით. მივიღეთ 63. შემდეგ ვიანგარიშებთ მნიშვნელების ნამრავლს და ვიღებთ: 11 · 8 = 88. გავაერთიანოთ ორი რიცხვი და პასუხი არის: 63 88.

მთელი გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს ასე:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

პასუხი: 7 11 · 9 8 = 63 88.

თუ ჩვენ მივიღებთ შემცირებულ წილადს ჩვენს პასუხში, უნდა დავასრულოთ გამოთვლა და შევასრულოთ მისი შემცირება. თუ არასწორ წილადს მივიღებთ, მისგან მთელი ნაწილი უნდა გამოვყოთ.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ წილადების ნამრავლი 4 15 და 55 6.

გამოსავალი

ზემოთ შესწავლილი წესის მიხედვით მრიცხველი უნდა გავამრავლოთ მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელი მნიშვნელზე. ამოხსნის ჩანაწერი ასე გამოიყურება:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

მივიღეთ შემცირებადი წილადი, ე.ი. ერთი რომელიც იყოფა 10-ზე.

შევამციროთ წილადი: 220 90 გკდ (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. შედეგად ვიღებთ არასწორ წილადს, საიდანაც ვირჩევთ მთელ ნაწილს და ვიღებთ შერეულ რიცხვს: 22 9 = 2 4 9.

პასუხი: 4 15 55 6 = 2 4 9.

გამოთვლების სიმარტივისთვის, გამრავლების მოქმედების შესრულებამდე შეგვიძლია თავდაპირველი წილადებიც შევამციროთ, რისთვისაც წილადი უნდა შევიყვანოთ a · c b · d ფორმამდე. მოდით დავშალოთ ცვლადების მნიშვნელობები მარტივ ფაქტორებად და შევამციროთ იგივე.

მოდით ავხსნათ, როგორ გამოიყურება ეს კონკრეტული ამოცანის მონაცემების გამოყენებით.

მაგალითი 3

გამოთვალეთ პროდუქტი 4 15 55 6.

გამოსავალი

ჩამოვწეროთ გამოთვლები გამრავლების წესის მიხედვით. ჩვენ მივიღებთ:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

ვინაიდან 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 და 6 = 2 3, მაშინ 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

უპასუხე: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

რიცხვით გამოსახულებას, რომელშიც ჩვეულებრივი წილადები მრავლდება, აქვს კომუტაციური თვისება, ანუ საჭიროების შემთხვევაში შეგვიძლია შევცვალოთ ფაქტორების რიგი:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

როგორ გავამრავლოთ წილადი ნატურალურ რიცხვზე

მოდით, დაუყოვნებლივ ჩამოვწეროთ ძირითადი წესი, შემდეგ კი შევეცადოთ მისი პრაქტიკაში ახსნას.

განმარტება 2

საერთო წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასამრავლებლად საჭიროა ამ წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე გაამრავლოთ. ამ შემთხვევაში, საბოლოო წილადის მნიშვნელი ტოლი იქნება საწყისი ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელის. a b გარკვეული წილადის გამრავლება n ნატურალურ რიცხვზე შეიძლება ჩაიწეროს a b · n = a · n b ფორმულით.

ამ ფორმულის გაგება ადვილია, თუ გახსოვთ, რომ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადი მნიშვნელით ერთის ტოლი, ანუ:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

მოდით ავხსნათ ჩვენი იდეა კონკრეტული მაგალითებით.

მაგალითი 4

გამოთვალეთ პროდუქტი 2 27-ჯერ 5.

გამოსავალი

საწყისი წილადის მრიცხველის მეორე ფაქტორზე გამრავლების შედეგად მივიღებთ 10-ს. ზემოთ ჩამოთვლილი წესის მიხედვით, შედეგად მივიღებთ 10 27-ს. მთელი გამოსავალი მოცემულია ამ პოსტში:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

პასუხი: 2 27 5 = 10 27

როდესაც ნატურალურ რიცხვს ვამრავლებთ წილადზე, ხშირად გვიწევს შედეგის შემოკლება ან შერეული რიცხვის სახით წარმოდგენა.

მაგალითი 5

მდგომარეობა: გამოთვალეთ პროდუქტი 8 5 12-ით.

გამოსავალი

ზემოაღნიშნული წესის მიხედვით, ნატურალურ რიცხვს ვამრავლებთ მრიცხველზე. შედეგად, მივიღებთ, რომ 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. საბოლოო წილადს აქვს 2-ზე გაყოფის ნიშნები, ამიტომ უნდა შევამციროთ:

LCM (40, 12) = 4, ანუ 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

ახლა საკმარისია შევარჩიოთ მთელი ნაწილი და ჩავწეროთ მზა პასუხი: 10 3 = 3 1 3.

ამ ჩანაწერში შეგიძლიათ იხილოთ მთელი ამონახსნი: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

ჩვენ ასევე შეგვეძლო წილადის შემცირება მრიცხველისა და მნიშვნელის მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით და შედეგი ზუსტად იგივე იქნებოდა.

პასუხი: 5 12 8 = 3 1 3.

რიცხვით გამოსახულებას, რომელშიც ნატურალური რიცხვი მრავლდება წილადზე, ასევე აქვს გადაადგილების თვისება, ანუ ფაქტორების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს შედეგზე:

a b · n = n · a b = a · n b

როგორ გავამრავლოთ სამი ან მეტი საერთო წილადი

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების მოქმედებაზე შეგვიძლია გავავრცელოთ იგივე თვისებები, რაც დამახასიათებელია ნატურალური რიცხვების გასამრავლებლად. ეს გამომდინარეობს ამ ცნებების თავად განსაზღვრებიდან.

კომბინირებისა და კომუტაციური თვისებების ცოდნის წყალობით, შეგიძლიათ გაამრავლოთ სამი ან მეტი ჩვეულებრივი წილადი. მისაღებია ფაქტორების გადაწყობა მეტი მოხერხებულობისთვის ან ფრჩხილების დალაგება ისე, რომ გაადვილდეს დათვლა.

მაგალითით ვაჩვენოთ როგორ კეთდება ეს.

მაგალითი 6

გაამრავლეთ ოთხი საერთო წილადი 1 20, 12 5, 3 7 და 5 8.

გამოსავალი: ჯერ ჩავწეროთ ნამუშევარი. ვიღებთ 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . ჩვენ უნდა გავამრავლოთ ყველა მრიცხველი და ყველა მნიშვნელი ერთად: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

სანამ გამრავლებას დავიწყებთ, ჩვენ შეგვიძლია ცოტათი გავუადვილოთ საქმე საკუთარ თავს და გავაქციოთ რამდენიმე რიცხვი პირველ ფაქტორებად შემდგომი შემცირებისთვის. ეს უფრო ადვილი იქნება, ვიდრე მიღებული ფრაქციის შემცირება, რომელიც უკვე მზად არის.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280

პასუხი: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9280.

მაგალითი 7

გაამრავლეთ 5 რიცხვი 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

გამოსავალი

მოხერხებულობისთვის შეგვიძლია წილადი 7 8 დავაჯგუფოთ 8 რიცხვთან, ხოლო 12 რიცხვი წილადით 5 36, რადგან მომავალი აბრევიატურები ჩვენთვის აშკარა იქნება. შედეგად, ჩვენ მივიღებთ:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 103 = 7 5 103 2 3

პასუხი: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ბოლო დროს ვისწავლეთ წილადების შეკრება და გამოკლება (იხ. გაკვეთილი „წილადების შეკრება და გამოკლება“). ამ მოქმედებების ყველაზე რთული ნაწილი იყო წილადების საერთო მნიშვნელამდე მიყვანა.

ახლა დროა გავუმკლავდეთ გამრავლებას და გაყოფას. კარგი ამბავი ის არის, რომ ეს ოპერაციები უფრო მარტივია, ვიდრე შეკრება და გამოკლება. პირველ რიგში, განვიხილოთ უმარტივესი შემთხვევა, როდესაც არის ორი დადებითი წილადი გამოყოფილი მთელი ნაწილის გარეშე.

ორი წილადის გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები ცალ-ცალკე. პირველი რიცხვი იქნება ახალი წილადის მრიცხველი, ხოლო მეორე იქნება მნიშვნელი.

ორი წილადის გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადი "შებრუნებულ" მეორე წილადზე.

Დანიშნულება:

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ წილადების გაყოფა მცირდება გამრავლებამდე. წილადის „გადაბრუნებისთვის“, უბრალოდ შეცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი. ამიტომ, გაკვეთილის განმავლობაში ძირითადად განვიხილავთ გამრავლებას.

გამრავლების შედეგად შეიძლება წარმოიშვას (და ხშირად წარმოიქმნება) წილადი - ის, რა თქმა უნდა, უნდა შემცირდეს. თუ ყველა შემცირების შემდეგ წილადი არასწორი აღმოჩნდება, მთელი ნაწილი უნდა იყოს ხაზგასმული. მაგრამ ის, რაც ნამდვილად არ მოხდება გამრავლებით, არის შემცირება საერთო მნიშვნელამდე: არ არსებობს ჯვარედინი მეთოდები, უდიდესი ფაქტორები და უმცირესი საერთო ჯერადები.

განმარტებით გვაქვს:

წილადების გამრავლება მთელ ნაწილებთან და უარყოფით წილადებზე

თუ წილადები შეიცავს მთელ ნაწილს, ისინი უნდა გადაკეთდეს არასწორად - და მხოლოდ ამის შემდეგ გამრავლდეს ზემოთ ჩამოთვლილი სქემების მიხედვით.

თუ წილადის მრიცხველში, მნიშვნელში ან მის წინ არის მინუსი, მისი ამოღება გამრავლებიდან ან საერთოდ ამოღება შესაძლებელია შემდეგი წესების მიხედვით:

1. პლუს მინუს იძლევა მინუსს;
2. ორი უარყოფითი ადასტურებს დადებითს.

ამ წესებს აქამდე მხოლოდ უარყოფითი წილადების შეკრება-გამოკლებისას ვხვდებოდით, როცა საჭირო იყო მთლიანი ნაწილის მოშორება. სამუშაოსთვის, ისინი შეიძლება განზოგადდეს, რათა ერთდროულად რამდენიმე უარყოფითი მხარე "დაწვას":

1. ნეგატივებს წყვილ-წყვილად გადავხაზავთ, სანამ ისინი მთლიანად არ გაქრება. უკიდურეს შემთხვევაში, ერთი მინუსი შეიძლება გადარჩეს - ის, რისთვისაც მეწყვილე არ იყო;
2. თუ მინუსები არ დარჩა, ოპერაცია დასრულებულია - შეგიძლიათ დაიწყოთ გამრავლება. თუ ბოლო მინუსი არ არის გადახაზული, რადგან მისთვის წყვილი არ იყო, მას გამრავლების საზღვრებს გარეთ ვიღებთ. შედეგი არის უარყოფითი ფრაქცია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ყველა წილადს ვცვლით არასწორად და შემდეგ ვიღებთ მინუსებს გამრავლებიდან. ჩვეული წესით ვამრავლებთ იმას, რაც დარჩა. ჩვენ ვიღებთ:

კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ მინუსი, რომელიც ვლინდება წილადის წინ მთელი ნაწილის გამოკვეთით, ეხება კონკრეტულად მთელ წილადს და არა მხოლოდ მის მთელ ნაწილს (ეს ეხება ბოლო ორ მაგალითს).

ასევე ყურადღება მიაქციეთ უარყოფით რიცხვებს: გამრავლებისას ისინი ჩასმულია ფრჩხილებში. ეს კეთდება იმისათვის, რომ გამოვყოთ მინუსები გამრავლების ნიშნებიდან და მთელი აღნიშვნა უფრო ზუსტი იყოს.

ფრაქციების შემცირება ფრენისას

გამრავლება ძალიან შრომატევადი ოპერაციაა. რიცხვები აქ საკმაოდ დიდი აღმოჩნდება და პრობლემის გასამარტივებლად შეგიძლიათ სცადოთ წილადის კიდევ უფრო შემცირება გამრავლებამდე. მართლაც, არსებითად, წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები ჩვეულებრივი ფაქტორებია და, შესაბამისად, მათი შემცირება შესაძლებელია წილადის ძირითადი თვისების გამოყენებით. გადახედეთ მაგალითებს:

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

განმარტებით გვაქვს:

ყველა მაგალითში წითლად არის მონიშნული რიცხვები, რომლებიც შემცირდა და რა დარჩა მათგან.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: პირველ შემთხვევაში, მულტიპლიკატორები მთლიანად შემცირდა. მათ ადგილზე რჩება ერთეულები, რომლებიც, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ არის საჭირო დაწერილი. მეორე მაგალითში შეუძლებელი იყო სრული შემცირების მიღწევა, მაგრამ გამოთვლების მთლიანი რაოდენობა მაინც შემცირდა.

თუმცა, არასოდეს გამოიყენოთ ეს ტექნიკა წილადების შეკრებისა და გამოკლებისას! დიახ, ზოგჯერ არის მსგავსი რიცხვები, რომელთა შემცირებაც გსურთ. აი, ნახე:

თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გაკეთება!

შეცდომა ხდება იმიტომ, რომ შეკრებისას წილადის მრიცხველი აწარმოებს ჯამს და არა რიცხვების ნამრავლს. შესაბამისად, შეუძლებელია წილადის ძირითადი თვისების გამოყენება, რადგან ეს თვისება ეხება კონკრეტულად რიცხვების გამრავლებას.

წილადების შემცირების სხვა მიზეზები უბრალოდ არ არსებობს, ამიტომ წინა პრობლემის სწორი გადაწყვეტა ასე გამოიყურება:

სწორი გამოსავალი:

როგორც ხედავთ, სწორი პასუხი არც ისე ლამაზი აღმოჩნდა. ზოგადად, ფრთხილად იყავით.