მიიღეთ საჭირო ზომები და იპოვეთ სამკუთხედის პერიმეტრი. სამკუთხედის პერიმეტრის პოვნა სხვადასხვა გზით

ერთ-ერთი ძირითადი გეომეტრიული ფორმა არის სამკუთხედი. იგი იქმნება, როდესაც სამი ხაზის სეგმენტი იკვეთება. ეს ხაზის სეგმენტები ქმნიან ფიგურის გვერდებს და მათი გადაკვეთის წერტილებს წვეროები ეწოდება. თითოეულმა სტუდენტმა, რომელიც სწავლობს გეომეტრიის კურსს, უნდა შეძლოს ამ ფიგურის პერიმეტრის პოვნა. შეძენილი უნარი ბევრს გამოადგება ზრდასრულ ასაკში, მაგალითად, გამოადგება სტუდენტს, ინჟინერს, მშენებელს,

სამკუთხედის პერიმეტრის პოვნის სხვადასხვა გზა არსებობს. თქვენთვის საჭირო ფორმულის არჩევანი დამოკიდებულია წყაროს ხელმისაწვდომ მონაცემებზე. მათემატიკურ ტერმინოლოგიაში ამ მნიშვნელობის დასაწერად გამოიყენება სპეციალური აღნიშვნა - P. განვიხილოთ რა არის პერიმეტრი, მისი გამოთვლის ძირითადი მეთოდები სხვადასხვა ტიპის სამკუთხა ფიგურებისთვის.

ფორმის პერიმეტრის პოვნა ყველაზე მარტივი გზაა, თუ თქვენ გაქვთ მონაცემები ყველა მხარისთვის. ამ შემთხვევაში გამოიყენება შემდეგი ფორმულა:

ასო "P" აღნიშნავს თავად პერიმეტრის მნიშვნელობას. თავის მხრივ, "a", "b" და "c" არის გვერდების სიგრძე.

სამი სიდიდის ზომის ცოდნა საკმარისი იქნება მათი ჯამის მისაღებად, რომელიც არის პერიმეტრი.

ალტერნატიული ვარიანტი

მათემატიკური ამოცანებში ყველა მოცემული სიგრძე იშვიათად არის ცნობილი. ასეთ შემთხვევებში რეკომენდებულია ალტერნატიული ხერხის გამოყენება სასურველი მნიშვნელობის მოსაძებნად. როდესაც პირობები განსაზღვრავს ორი სწორი ხაზის სიგრძეს, ასევე მათ შორის კუთხეს, გამოთვლა ხდება მესამეს ძიების გზით. ამ რიცხვის საპოვნელად, თქვენ უნდა მიიღოთ კვადრატული ფესვი ფორმულის გამოყენებით:

.

პერიმეტრი ორივე მხრიდან

პერიმეტრის გამოსათვლელად არ არის აუცილებელი გეომეტრიული ფიგურის ყველა მონაცემის ცოდნა. განვიხილოთ გაანგარიშების მეთოდები ორი მხრიდან.

Ტოლფერდა სამკუთხედი

სამკუთხედს ეწოდება ტოლფერდა, თუ მისი ორი გვერდის მაინც ერთნაირი სიგრძეა. მათ უწოდებენ გვერდითი, ხოლო მესამე მხარეს ეწოდება ბაზა. თანაბარი ხაზები ქმნიან წვეროს კუთხეს. ტოლფერდა სამკუთხედში თვისებაა სიმეტრიის ერთი ღერძის არსებობა. ღერძი არის ვერტიკალური ხაზი, რომელიც იწყება ზედა კუთხიდან და მთავრდება ბაზის შუაში. თავის ბირთვში, სიმეტრიის ღერძი მოიცავს შემდეგ ცნებებს:

• წვეროს კუთხის ბისექტორი;
• შუალედური ბაზა;
• სამკუთხედის სიმაღლე;
• მედიანური პერპენდიკულარული.

ტოლფერდა სამკუთხა ფიგურის პერიმეტრის დასადგენად გამოიყენეთ ფორმულა.

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა იცოდეთ მხოლოდ ორი რაოდენობა: საფუძველი და ერთი მხარის სიგრძე. აღნიშვნა "2a" გულისხმობს გვერდის სიგრძის 2-ზე გამრავლებას. მიღებულ ფიგურას, თქვენ უნდა დაამატოთ ბაზის მნიშვნელობა - "b".

გამონაკლის შემთხვევაში, როდესაც ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძის სიგრძე უდრის მის გვერდით ხაზს, შეიძლება უფრო მარტივი მეთოდის გამოყენება. იგი გამოიხატება შემდეგი ფორმულით:

შედეგის მისაღებად საკმარისია ეს რიცხვი გავამრავლოთ სამზე. ეს ფორმულა გამოიყენება რეგულარული სამკუთხედის პერიმეტრის მოსაძებნად.

სასარგებლო ვიდეო: პრობლემები სამკუთხედის პერიმეტრზე

სამკუთხედი მართკუთხა

მთავარი განსხვავება მართკუთხა სამკუთხედსა და ამ კატეგორიის სხვა გეომეტრიულ ფორმებს შორის არის 90 ° კუთხის არსებობა. ამის საფუძველზე განისაზღვრება ფიგურის ტიპი. სანამ განვსაზღვრავთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის პერიმეტრი, უნდა აღინიშნოს, რომ ეს მნიშვნელობა ნებისმიერი ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურისთვის არის ყველა გვერდის ჯამი. ასე რომ, ამ შემთხვევაში, შედეგის გასარკვევად ყველაზე მარტივი გზა სამი მნიშვნელობის შეჯამებაა.

სამეცნიერო ტერმინოლოგიაში იმ გვერდებს, რომლებიც სწორი კუთხის მიმდებარედ არიან, უწოდებენ "ფეხებს", ხოლო 90º კუთხის საპირისპირო არის ჰიპოტენუზა. ამ ფიგურის თავისებურებები შეისწავლა ძველი ბერძენი მეცნიერი პითაგორა. პითაგორას თეორემის მიხედვით, ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს.

.

ამ თეორემიდან გამომდინარე, მიღებულია კიდევ ერთი ფორმულა, რომელიც განმარტავს, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ სამკუთხედის პერიმეტრი ორი ცნობილი გვერდით. თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ პერიმეტრი ფეხების მითითებული სიგრძით შემდეგი მეთოდით.

.

პერიმეტრის გასარკვევად, ერთი ფეხის ზომისა და ჰიპოტენუზის შესახებ ინფორმაციის არსებობისას, თქვენ უნდა განსაზღვროთ მეორე ჰიპოტენუზის სიგრძე. ამ მიზნით გამოიყენება შემდეგი ფორმულები:

.

ასევე, აღწერილი ტიპის ფიგურის პერიმეტრი განისაზღვრება ფეხების ზომების მონაცემების გარეშე.

თქვენ უნდა იცოდეთ ჰიპოტენუზის სიგრძე და მის მიმდებარე კუთხე. ერთი ფეხის სიგრძის ცოდნა, თუ მის მიმდებარედ არის კუთხე, ფიგურის პერიმეტრი გამოითვლება ფორმულით:

.

წინასწარი ინფორმაცია

სიბრტყეში ნებისმიერი ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურის პერიმეტრი განისაზღვრება, როგორც მისი ყველა მხარის სიგრძის ჯამი. სამკუთხედი არ არის გამონაკლისი. პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ სამკუთხედის კონცეფციას, ასევე სამკუთხედების ტიპებს, რომლებიც დამოკიდებულია გვერდებზე.

განმარტება 1

სამკუთხედს დავარქმევთ გეომეტრიულ ფიგურას, რომელიც შედგება სამი წერტილისაგან, რომლებიც დაკავშირებულია სეგმენტებით (ნახ. 1).

განმარტება 2

1-ლი განმარტების წერტილებს ეძახიან სამკუთხედის წვეროებს.

განმარტება 3

განმარტება 1-ის ფარგლებში მოთავსებულ სეგმენტებს სამკუთხედის გვერდები ეწოდება.

ცხადია, ნებისმიერ სამკუთხედს ექნება 3 წვერო და 3 გვერდი.

გვერდების ერთმანეთთან თანაფარდობიდან გამომდინარე, სამკუთხედები იყოფა მასშტაბურ, ტოლგვერდა და ტოლგვერდებად.

განმარტება 4

სამკუთხედს უწოდებენ მასშტაბურს, თუ მისი არცერთი გვერდი არ არის ტოლი სხვა.

განმარტება 5

სამკუთხედს ტოლფერს ვუწოდებთ, თუ მისი ორი გვერდი ერთმანეთის ტოლია, მაგრამ არა მესამე გვერდის.

განმარტება 6

სამკუთხედს ტოლგვერდა ეწოდება, თუ მისი ყველა გვერდი ტოლია ერთმანეთის.

თქვენ შეგიძლიათ იხილოთ ამ სამკუთხედების ყველა ტიპი 2-ში.

როგორ მოვძებნოთ სკალენური სამკუთხედის პერიმეტრი?

მოდით მივცეთ სკალენური სამკუთხედი, რომლის გვერდის სიგრძე უდრის $α$, $β$ და $γ$.

დასკვნა:სკალენური სამკუთხედის პერიმეტრის საპოვნელად, დაამატეთ მისი გვერდების ყველა სიგრძე.

მაგალითი 1

იპოვეთ სკალენური სამკუთხედის პერიმეტრი $34$ სმ, $12$ სმ და $11$ სმ.

$P=34+12+11=57$ სმ

პასუხი: $57 იხილეთ.

მაგალითი 2

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის პერიმეტრი, რომლის ფეხები არის $6$ და $8$ სმ.

პირველ რიგში, ჩვენ ვიპოვით ამ სამკუთხედის ჰიპოტენუსების სიგრძეს პითაგორას თეორემის გამოყენებით. აღნიშნეთ იგი $α$-ით, შემდეგ

$α=10$ სკალენური სამკუთხედის პერიმეტრის გამოთვლის წესის მიხედვით მივიღებთ

$P=10+8+6=24$ სმ

პასუხი: $24 იხილეთ.

როგორ მოვძებნოთ ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრი?

მოგვცეს ტოლფერდა სამკუთხედი, რომლის გვერდის სიგრძე $α$-ის ტოლი იქნება, ხოლო ფუძის სიგრძე $β$-ის ტოლი.

ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურის პერიმეტრის განმარტებით, ჩვენ ვიღებთ ამას

$P=α+α+β=2α+β$

დასკვნა:ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრის საპოვნელად, დაამატეთ მისი გვერდების სიგრძე ორჯერ ფუძის სიგრძეს.

მაგალითი 3

იპოვეთ ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრი, თუ მისი გვერდებია $12$ სმ და ფუძე $11$ სმ.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითიდან ჩვენ ვხედავთ ამას

$P=2\cdot 12+11=35$ სმ

პასუხი: $35 იხილეთ.

მაგალითი 4

იპოვეთ ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრი, თუ მისი სიმაღლე ფუძესთან არის $8$ სმ, ხოლო ფუძე $12$ სმ.

განვიხილოთ ფიგურა პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით:

ვინაიდან სამკუთხედი ტოლფერდაა, $BD$ ასევე არის მედიანა, შესაბამისად $AD=6$ სმ.

პითაგორას თეორემით $ADB$ სამკუთხედიდან ვპოულობთ გვერდს. აღნიშნეთ იგი $α$-ით, შემდეგ

ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრის გამოთვლის წესის მიხედვით ვიღებთ

$P=2\cdot 10+12=32$ სმ

პასუხი: $32 იხილეთ.

როგორ ვიპოვოთ ტოლგვერდა სამკუთხედის პერიმეტრი?

მოდით მივცეთ ტოლგვერდა სამკუთხედი, რომლის სიგრძე ყველა გვერდის ტოლია $α$.

ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურის პერიმეტრის განმარტებით, ჩვენ ვიღებთ ამას

$P=α+α+α=3α$

დასკვნა:ტოლგვერდა სამკუთხედის პერიმეტრის საპოვნელად, სამკუთხედის გვერდის სიგრძე გაამრავლეთ $3$-ზე.

მაგალითი 5

იპოვეთ ტოლგვერდა სამკუთხედის პერიმეტრი, თუ მისი გვერდი არის $12$ სმ.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითიდან ჩვენ ვხედავთ ამას

$P=3\cdot 12=36$ სმ

P=a+b+c როგორ ვიპოვოთ სამკუთხედის პერიმეტრი: ყველამ იცის, რომ პერიმეტრი ადვილი მოსაძებნია - თქვენ უბრალოდ უნდა შეკრიბოთ სამკუთხედის სამივე გვერდი. თუმცა, არსებობს კიდევ რამდენიმე გზა სამკუთხედის გვერდების სიგრძის ჯამის საპოვნელად. ნაბიჯი 1 სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსის და მისი ფართობის გათვალისწინებით, იპოვეთ პერიმეტრი P=2S/r ფორმულით. ნაბიჯი 2 თუ იცით ორი კუთხე, მაგალითად, α და β, გვერდის მიმდებარედ და ამ გვერდის სიგრძე, მაშინ პერიმეტრის საპოვნელად გამოიყენეთ ფორმულა a+sinα∙а/(sin(180°-α- β)) + sinβ∙а /(sin(180°-α-β)). ნაბიჯი 3 თუ პირობა განსაზღვრავს მიმდებარე გვერდებს და მათ შორის β კუთხეს, გაითვალისწინეთ კოსინუსების თეორემა პერიმეტრის პოვნისას. შემდეგ P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), სადაც a^2 და b^2 არის მიმდებარე გვერდების სიგრძის კვადრატები. ფესვის ქვეშ გამოხატული არის მესამე უცნობი მხარის სიგრძე, რომელიც გამოიხატება კოსინუსების თეორემით. ნაბიჯი 4 ტოლფერდა სამკუთხედისთვის პერიმეტრის ფორმულა იღებს ფორმას P=2a+b, სადაც a არის გვერდები და b არის მისი ფუძე. ნაბიჯი 5 გამოთვალეთ რეგულარული სამკუთხედის პერიმეტრი P=3a ფორმულით. ნაბიჯი 6 იპოვეთ პერიმეტრი სამკუთხედში ჩაწერილი ან მის გარშემო შემოხაზული წრეების რადიუსების გამოყენებით. ასე რომ, ტოლგვერდა სამკუთხედისთვის დაიმახსოვრეთ და გამოიყენეთ ფორმულა P=6r√3=3R√3, სადაც r არის შემოხაზული წრის რადიუსი, ხოლო R არის შემოხაზული წრის რადიუსი. ნაბიჯი 7 ტოლფერდა სამკუთხედისთვის გამოიყენეთ ფორმულა P=2R(2sinα+sinβ), სადაც α არის ფუძის კუთხე და β არის ფუძის მოპირდაპირე კუთხე.

ნებისმიერი სამკუთხედი უდრის მისი სამი გვერდის სიგრძის ჯამს. სამკუთხედების პერიმეტრის პოვნის ზოგადი ფორმულა არის:

პ = ა + ბ + გ

სად პარის სამკუთხედის პერიმეტრი ა, ბდა გ- მისი მხარეები.

მისი პოვნა შესაძლებელია მისი გვერდების სიგრძის სერიებში მიმატებით ან გვერდის სიგრძის 2-ზე გამრავლებით და ფუძის სიგრძის ნამრავლის დამატებით. ტოლფერდა სამკუთხედების პერიმეტრის პოვნის ზოგადი ფორმულა ასე გამოიყურება:

პ = 2ა + ბ

სად პარის ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრი, ა- რომელიმე მხარე, ბ- ბაზა.

მისი პოვნა შეგიძლიათ მისი გვერდების სიგრძის თანმიმდევრობით ან მისი რომელიმე გვერდის სიგრძის 3-ზე გამრავლებით. ტოლგვერდა სამკუთხედების პერიმეტრის პოვნის ზოგადი ფორმულა ასე გამოიყურება:

პ = 3ა

სად პარის ტოლგვერდა სამკუთხედის პერიმეტრი, ა- მისი რომელიმე მხარე.

მოედანი

სამკუთხედის ფართობის გასაზომად, შეგიძლიათ შეადაროთ ის პარალელოგრამს. განვიხილოთ სამკუთხედი ABC:

თუ აიღებთ მის ტოლ სამკუთხედს და მიამაგრებთ ისე, რომ მიიღებთ პარალელოგრამს, მიიღებთ პარალელოგრამს იგივე სიმაღლით და ფუძით, როგორც ეს სამკუთხედი:

ამ შემთხვევაში, ერთად დაკეცილი სამკუთხედების საერთო მხარე არის ჩამოყალიბებული პარალელოგრამის დიაგონალი. პარალელოგრამების თვისებიდან ცნობილია, რომ დიაგონალი ყოველთვის ყოფს პარალელოგრამს ორ თანაბარ სამკუთხედად, რაც ნიშნავს, რომ თითოეული სამკუთხედის ფართობი უდრის პარალელოგრამის ფართობის ნახევარს.

ვინაიდან პარალელოგრამის ფართობი უდრის მისი ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლს, სამკუთხედის ფართობი ტოლი იქნება ამ ნამრავლის ნახევარის. ასე რომ Δ ABCფართობი იქნება ტოლი

ახლა განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედი:

ორი თანაბარი მართკუთხა სამკუთხედი შეიძლება დაიკეცოს მართკუთხედად, თუ ისინი ერთმანეთს ეყრდნობიან ჰიპოტენუზაზე. ვინაიდან მართკუთხედის ფართობი უდრის მისი მიმდებარე გვერდების ნამრავლს, მოცემული სამკუთხედის ფართობი არის:

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი უდრის 2-ზე გაყოფილი ფეხების ნამრავლს.

ამ მაგალითებიდან შეიძლება დავასკვნათ, რომ ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობი უდრის ფუძის სიგრძისა და ფუძემდე დავარდნილი სიმაღლის ნამრავლს, გაყოფილი 2-ზე. სამკუთხედების ფართობის პოვნის ზოგადი ფორმულა ასე გამოიყურება:

სად სარის სამკუთხედის ფართობი, ა- მისი საფუძველი სთ ა- სიმაღლე დაშვებულია ძირამდე ა.

ნებისმიერი სამკუთხედის პერიმეტრი არის ხაზის სიგრძე, რომელიც ზღუდავს ფიგურას. მის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ამ მრავალკუთხედის ყველა მხარის ჯამი.

გაანგარიშება გვერდის სიგრძის მოცემული მნიშვნელობებიდან

როდესაც მათი ღირებულებები ცნობილია, მაშინ ამის გაკეთება რთული არ არის. ამ პარამეტრების m, n, k ასოებით და პერიმეტრის P ასოებით აღნიშვნისას მივიღებთ გამოთვლის ფორმულას: P = m + n + k. ამოცანა: ცნობილია, რომ სამკუთხედს აქვს გვერდი 13,5 დეციმეტრი, 12,1 დეციმეტრი და 4,2 დეციმეტრი სიგრძე. გაარკვიეთ პერიმეტრი. ვხსნით: თუ ამ მრავალკუთხედის გვერდები არის a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, მაშინ P = 29,8 dm. პასუხი: P = 29,8 დმ.

სამკუთხედის პერიმეტრი, რომელსაც აქვს ორი თანაბარი გვერდი

ასეთ სამკუთხედს ტოლფერდა სამკუთხედს უწოდებენ. თუ ეს თანაბარი მხარეები სანტიმეტრია, ხოლო მესამე გვერდი არის b სანტიმეტრი, მაშინ პერიმეტრის გარკვევა ადვილია: P \u003d b + 2a. ამოცანა: სამკუთხედს აქვს 10 დეციმეტრის ორი გვერდი, ფუძე არის 12 დეციმეტრი. იპოვეთ P. ამოხსნა: მოდით გვერდი a = c = 10 dm, ფუძე b = 12 dm. გვერდების ჯამი P \u003d 10 dm + 12 dm + 10 dm \u003d 32 dm. პასუხი: P = 32 დეციმეტრი.

ტოლგვერდა სამკუთხედის პერიმეტრი

თუ სამკუთხედის სამივე გვერდს აქვს ერთეულის ერთნაირი რაოდენობა, მას ტოლგვერდა სამკუთხედი ეწოდება. სხვა სახელია სწორი. რეგულარული სამკუთხედის პერიმეტრი ნაპოვნია ფორმულის გამოყენებით: P \u003d a + a + a \u003d 3 a. დავალება: გვაქვს ტოლგვერდა სამკუთხა მიწის ნაკვეთი. ერთი მხარე 6 მეტრია. იპოვეთ ღობის სიგრძე, რომელსაც შეუძლია შემოიფაროს ეს ტერიტორია. ამოხსნა: თუ ამ მრავალკუთხედის გვერდი არის a= 6m, მაშინ ღობის სიგრძეა P = 3 6 = 18 (მ). პასუხი: P = 18 მ.

სამკუთხედი, რომელსაც აქვს 90° კუთხე

მას მართკუთხა ეწოდება. მართი კუთხის არსებობა შესაძლებელს ხდის უცნობი გვერდების პოვნას ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრებისა და პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ყველაზე გრძელ მხარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება და აღინიშნება c. არის კიდევ ორი ​​მხარე, a და b. პითაგორას თეორემის შემდეგ გვაქვს c 2 = a 2 + b 2 . ფეხები a \u003d √ (c 2 - b 2) და b \u003d √ (c 2 - a 2). ორი ფეხის a და b სიგრძის ცოდნა, ჩვენ ვიანგარიშებთ ჰიპოტენუზას. შემდეგ ამ მნიშვნელობების მიმატებით ვპოულობთ ფიგურის გვერდების ჯამს. დავალება: მართკუთხა სამკუთხედის ფეხების სიგრძეა 8,3 სანტიმეტრი და 6,2 სანტიმეტრი. საჭიროა სამკუთხედის პერიმეტრის გამოთვლა. ვხსნით: ავღნიშნოთ ფეხები a = 8,3 სმ, b = 6,2 სმ პითაგორას თეორემის მიხედვით ჰიპოტენუზა c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 0,33 = სმ). P = 24,9 (სმ). ან P \u003d 8.3 + 6.2 + √ (8.3 2 + 6.2 2) \u003d 24.9 (სმ). პასუხი: P = 24,9 სმ. ფესვების მნიშვნელობები აღებულია მეათედის სიზუსტით. თუ ვიცით ჰიპოტენუზისა და ფეხის მნიშვნელობები, მაშინ მივიღებთ P-ს მნიშვნელობას P \u003d √ (c 2 - b 2) + b + c. დავალება 2: მიწის ნაკვეთი, რომელიც მდებარეობს 90 გრადუსიანი კუთხით, 12 კმ, ერთ-ერთი ფეხი - 8 კმ. რამდენი დრო სჭირდება მთელ ტერიტორიას, თუ საათში 4 კილომეტრის სიჩქარით მოძრაობთ? ამოხსნა: თუ უდიდესი სეგმენტი არის 12 კმ, პატარა არის b = 8 კმ, მაშინ მთელი ბილიკის სიგრძე იქნება P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (კმ). იპოვეთ დრო მანძილის სიჩქარეზე გაყოფით. 28.9:4 = 7.225 (სთ). პასუხი: შეგიძლიათ შემოხვიდეთ 7.3 საათში.ვიღებთ კვადრატული ფესვების მნიშვნელობას და პასუხს უახლოეს მეათედში. შესაძლებელია ვიპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების ჯამი, მოცემული ერთ-ერთი გვერდისა და ერთი მახვილი კუთხის მნიშვნელობა. ვიცით b ფეხის სიგრძე და მოპირდაპირე კუთხის β მნიშვნელობა, ვპოულობთ უცნობ მხარეს a = b/ tg β. იპოვეთ ჰიპოტენუზა c = a: sinα. ასეთი ფიგურის პერიმეტრი ნაპოვნია მიღებული მნიშვნელობების დამატებით. P = a + a/ sinα + a/ tg α, ან P = a (1 / sin α+ 1+1 / tg α). ამოცანა: მართკუთხა Δ ABC-ში C მართი კუთხით, ფეხი BC აქვს სიგრძე 10 მ, კუთხე A არის 29 გრადუსი. უნდა ვიპოვოთ Δ ABC გვერდების ჯამი. ამოხსნა: ჩვენ აღვნიშნავთ ცნობილ ფეხს BC = a = 10 მ, მის მოპირდაპირე კუთხეს, ∟А = α = 30°, შემდეგ კიდე AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (მ), ჰიპოტენუზა AB = c = 10. : 0,5 = 20 (მ). P \u003d 10 + 17.2 + 20 \u003d 47.2 (მ). ან P \u003d 10 (1 + 1.72 + 2) \u003d 47.2 მ. გვაქვს: P \u003d 47.2 მ. ვიღებთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობას მეასედის სიზუსტით, ვამრგვალებთ გვერდების სიგრძის მნიშვნელობას და პერიმეტრი მეათედამდე. ქვის α ფეხის მნიშვნელობა და მასში ჩართული β კუთხი, ვხვდებით, თუ რას უდრის მეორე ფეხი: b = a tg β. ჰიპოტენუზა ამ შემთხვევაში ტოლი იქნება β კუთხის კოსინუსზე გაყოფილი ფეხის. პერიმეტრს ვპოულობთ ფორმულით P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β) a. დავალება: 90 გრადუსიანი კუთხით სამკუთხედის ფეხი არის 18 სმ, ჩართული კუთხე 40 გრადუსია. იპოვეთ P. ამოხსნა: აღნიშნეთ ცნობილი ფეხი BC = 18 სმ, ∟β = 40°. შემდეგ უცნობი ფეხი AC = b = 18 0.83 = 14.9 (სმ), ჰიპოტენუზა AB = c = 18: 0.77 = 23.4 (სმ). ფიგურის გვერდების ჯამი არის P = 56,3 (სმ). ან P \u003d (1 + 1.3 + 0.83) * 18 \u003d 56.3 სმ პასუხი: P \u003d 56.3 სმ. თუ ცნობილია c ჰიპოტენუზის სიგრძე და ზოგიერთი კუთხე α, მაშინ ფეხები ტოლი იქნება ნამრავლის ჰიპოტენუზა პირველისთვის - სინუსით და მეორესთვის - ამ კუთხის კოსინუსით. ამ ფიგურის პერიმეტრია P = (sin α + 1+ cos α)*c. ამოცანა: მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა AB = 9,1 სანტიმეტრი, ხოლო კუთხე 50 გრადუსია. იპოვეთ ამ ფიგურის გვერდების ჯამი. ამოხსნა: აღნიშნეთ ჰიპოტენუზა: AB = c = 9,1 სმ, ∟A= α = 50°, მაშინ BC ერთ-ერთ ფეხს აქვს სიგრძე a = 9,1 0,77 = 7 (სმ), ფეხი AC = b = 9 ,1 0,64 = 5.8 (სმ). ასე რომ, ამ მრავალკუთხედის პერიმეტრი არის P = 9.1 + 7 + 5.8 = 21.9 (სმ). ან P = 9.1 (1 + 0.77 + 0.64) = 21.9 (სმ). პასუხი: P = 21,9 სანტიმეტრი.

თვითნებური სამკუთხედი, რომლის ერთი გვერდი უცნობია

თუ გვაქვს ორი გვერდის a და c მნიშვნელობები და კუთხე ამ გვერდებს შორის γ, ვიპოვით მესამეს კოსინუსების თეორემით: b 2 \u003d c 2 + a 2 - 2 ac cos β, სადაც β. არის კუთხე, რომელიც მდებარეობს a და c გვერდებს შორის. შემდეგ ვპოულობთ პერიმეტრს. ამოცანა: Δ ABC-ს აქვს AB სეგმენტი სიგრძით 15 დმ, სეგმენტი AC, რომლის სიგრძეა 30,5 დმ. ამ გვერდებს შორის კუთხის მნიშვნელობა არის 35 გრადუსი. გამოთვალეთ Δ ABC გვერდების ჯამი. ამოხსნა: კოსინუსების თეორემის გამოყენებით ვიანგარიშებთ მესამე მხარის სიგრძეს. BC 2 \u003d 30.5 2 + 15 2 - 2 30.5 15 0.82 \u003d 930.25 + 225 - 750.3 \u003d 404.95. BC = 20,1 სმ P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (დმ) გვაქვს: P = 65,6 დმ.

თვითნებური სამკუთხედის გვერდების ჯამი, რომლის ორი გვერდის სიგრძე უცნობია

როდესაც ჩვენ ვიცით მხოლოდ ერთი სეგმენტის სიგრძე და ორი კუთხის მნიშვნელობა, შეგვიძლია გავარკვიოთ ორი უცნობი გვერდის სიგრძე სინუსების თეორემის გამოყენებით: „სამკუთხედში გვერდები ყოველთვის პროპორციულია სინუსების მნიშვნელობებთან. საპირისპირო კუთხეები." სადაც b = (a * sin β) / sin a. ანალოგიურად, c = (a sin γ): sin a. პერიმეტრი ამ შემთხვევაში იქნება P \u003d a + (ცოდვა β) / sin a + (ცოდვა γ) / sin a. ამოცანა: გვაქვს Δ ABC. მასში BC გვერდის სიგრძეა 8,5 მმ, C კუთხის მნიშვნელობა 47 °, ხოლო კუთხე B 35 გრადუსია. იპოვეთ ამ ფიგურის გვერდების ჯამი. ამოხსნა: აღნიშნეთ გვერდის სიგრძე BC = a = 8,5 მმ, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - (47° + 35° ) = 180° - 82° = 98°. სინუსების თეორემიდან მიღებული თანაფარდობებიდან ვხვდებით AC = b = (8.5 0.57): 0.73= 6.7 (მმ), AB = c = (7 0.99): 0.73 = 9.5 (მმ). აქედან გამომდინარე, ამ მრავალკუთხედის გვერდების ჯამი არის P = 8,5 მმ + 5,5 მმ + 9,5 მმ = 23,5 მმ. პასუხი: P = 23,5 მმ. იმ შემთხვევაში, როდესაც არსებობს მხოლოდ ერთი სეგმენტის სიგრძე და ორი მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობები, ჩვენ ჯერ ვიანგარიშებთ კუთხეს ცნობილი მხარის საპირისპიროდ. ამ ფიგურის ყველა კუთხე ემატება 180 გრადუსს. ამიტომ ∟A = 180° - (∟B + ∟C). შემდეგ ჩვენ ვპოულობთ უცნობ სეგმენტებს სინუსების თეორემის გამოყენებით. ამოცანა: გვაქვს Δ ABC. მას აქვს BC სეგმენტი ტოლი 10 სმ, კუთხე B არის 48 გრადუსი, კუთხე C 56 გრადუსი. იპოვეთ Δ ABC გვერდების ჯამი. ამოხსნა: ჯერ იპოვნეთ A კუთხის მნიშვნელობა BC მოპირდაპირე მხარეს. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. ახლა, სინუსების თეორემით, ჩვენ ვიანგარიშებთ AC გვერდის სიგრძეს \u003d 10 0.74: 0.97 \u003d 7.6 (სმ). AB = BC * sin C / sin A = 8.6. სამკუთხედის პერიმეტრი P \u003d 10 + 8.6 + 7.6 \u003d 26.2 (სმ). შედეგი: P = 26,2 სმ.

სამკუთხედის პერიმეტრის გამოთვლა მასში ჩაწერილი წრის რადიუსის გამოყენებით

ზოგჯერ არც ერთი მხარე არ არის ცნობილი პრობლემის მდგომარეობიდან. მაგრამ არსებობს სამკუთხედის ფართობის მნიშვნელობა და მასში ჩაწერილი წრის რადიუსი. ეს სიდიდეები დაკავშირებულია: S = r p. სამკუთხედის ფართობის მნიშვნელობის ცოდნა, რადიუსი r, შეგვიძლია ვიპოვოთ ნახევარპერიმეტრი p. ვპოულობთ p = S: r. ამოცანა: უბნის ფართობია 24 მ 2, რადიუსი r არის 3 მ. იპოვეთ ხეების რაოდენობა, რომლებიც უნდა დაირგოს თანაბრად იმ ხაზის გასწვრივ, რომელიც მოიცავს ამ ადგილს, თუ ორს შორის უნდა იყოს 2 მეტრი მანძილი. მეზობლები. ამოხსნა: ჩვენ ვპოულობთ ამ ფიგურის გვერდების ჯამს შემდეგნაირად: P \u003d 2 24: 3 \u003d 16 (მ). შემდეგ ვყოფთ ორზე. 16:2= 8. სულ: 8 ხე.

სამკუთხედის გვერდების ჯამი დეკარტის კოორდინატებში

Δ ABC წვეროებს აქვთ კოორდინატები: A (x 1; y 1), B (x 2; y 2), C(x 3; y 3). იპოვეთ თითოეული მხარის კვადრატები AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC 2 \u003d (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 \u003d (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. პერიმეტრის მოსაძებნად, უბრალოდ დაამატეთ ყველა სეგმენტი. ამოცანა: წვეროების კოორდინატები Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). იპოვეთ ამ ფიგურის გვერდების ჯამი. გამოსავალი: შესაბამისი კოორდინატების მნიშვნელობების პერიმეტრის ფორმულაში ჩასვით, მივიღებთ P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3.6 + 5.1 + 8.0 = 16.6. გვაქვს: P = 16.6. თუ ფიგურა არ არის სიბრტყეზე, არამედ სივრცეში, მაშინ თითოეულ წვეროს აქვს სამი კოორდინატი. მაშასადამე, მხარეთა ჯამის ფორმულას კიდევ ერთი წევრი ექნება.

ვექტორული მეთოდი

თუ ფორმა მოცემულია წვეროების კოორდინატებით, პერიმეტრი შეიძლება გამოითვალოს ვექტორული მეთოდით. ვექტორი არის ხაზის სეგმენტი, რომელსაც აქვს მიმართულება. მისი მოდული (სიგრძე) აღინიშნება სიმბოლოთი ǀᾱǀ. წერტილებს შორის მანძილი არის შესაბამისი ვექტორის სიგრძე, ან ვექტორის მოდული. განვიხილოთ სამკუთხედი, რომელიც დევს თვითმფრინავზე. თუ წვეროებს აქვთ კოორდინატები A (x 1; y 1), M (x 2; y 2), T (x 3; y 3), მაშინ თითოეული გვერდის სიგრძეს ვპოულობთ ფორმულებით: ǀAMǀ = √ ( (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3) 2 + ( 1 - 3) 2). ვექტორების სიგრძის მიმატებით ვიღებთ სამკუთხედის პერიმეტრს. ანალოგიურად, იპოვნეთ სამკუთხედის გვერდების ჯამი სივრცეში.