V trigonometrii dôležitý koncept je uhol natočenia. Nižšie dôsledne poskytneme predstavu o obrate a predstavíme všetky súvisiace koncepty. Začnime s Všeobecná myšlienka o obrate, povedzme o úplnej revolúcii. Ďalej prejdime ku konceptu uhla natočenia a zvážme jeho hlavné charakteristiky, ako je smer a veľkosť otáčania. Nakoniec uvádzame definíciu rotácie obrazca okolo bodu. Celú teóriu poskytneme v texte s vysvetľujúcimi príkladmi a grafickými ilustráciami.
Navigácia na stránke.
Čo sa nazýva rotácia bodu okolo bodu?
Okamžite si všimnime, že spolu s frázou „rotácia okolo bodu“ budeme používať aj frázy „rotácia okolo bodu“ a „rotácia okolo bodu“, ktoré znamenajú to isté.
Poďme sa predstaviť koncept otáčania bodu okolo bodu.
Najprv definujme stred otáčania.
Definícia.
Bod, okolo ktorého sa rotácia vykonáva, sa nazýva stred otáčania.
Teraz si povedzme, čo sa stane v dôsledku otáčania bodu.
V dôsledku otáčania určitého bodu A vzhľadom na stred otáčania O sa získa bod A 1 (ktorý sa v prípade určitého čísla môže zhodovať s bodom A) a bod A 1 leží na kružnici s stred v bode O polomeru OA. Inými slovami, pri otáčaní vzhľadom na bod O prechádza bod A do bodu A 1 ležiaceho na kružnici so stredom v bode O s polomerom OA.
Verí sa, že bod O, keď sa otáča okolo seba, sa mení na seba. To znamená, že v dôsledku rotácie okolo stredu otáčania O sa bod O zmení na seba.
Za zmienku tiež stojí, že rotácia bodu A okolo bodu O by sa mala považovať za posun v dôsledku pohybu bodu A v kruhu so stredom v bode O s polomerom OA.
Pre názornosť uvedieme ilustráciu rotácie bodu A okolo bodu O, na obrázkoch nižšie znázorníme pohyb bodu A do bodu A 1 pomocou šípky.
Úplná zákruta
Bod A je možné otočiť vzhľadom na stred otáčania O tak, že bod A, ktorý prejde všetkými bodmi kružnice, bude na rovnakom mieste. V tomto prípade hovoria, že bod A sa pohyboval okolo bodu O.
Uveďme grafickú ilustráciu úplnej revolúcie.
Ak sa nezastavíte pri jednej otáčke, ale pokračujete v pohybe bodu po kružnici, môžete vykonať dve, tri a tak ďalej celé otáčky. Nákres nižšie vpravo ukazuje, ako je možné vyrobiť dva plné revolúcie, a vľavo - tri zákruty.
Koncepcia uhla otáčania
Z konceptu otáčania bodu uvedeného v prvom odseku je zrejmé, že existuje nekonečné množstvo možností otáčania bodu A okolo bodu O. Akýkoľvek bod na kružnici so stredom v bode O s polomerom OA možno považovať za bod A 1 získaný ako výsledok rotácie bodu A. Preto, aby sme rozlíšili jeden obrat od druhého, uvádzame koncepcia uhla natočenia.
Jednou z charakteristík uhla natočenia je smer otáčania. Smer otáčania určuje, či sa bod otáča v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek.
Ďalšou charakteristikou uhla natočenia je jeho rozsah. Rotačné uhly sa merajú v rovnakých jednotkách ako: najčastejšie sú stupne a radiány. Tu stojí za zmienku, že uhol natočenia môže byť vyjadrený v stupňoch akýmkoľvek reálnym číslom od mínus nekonečna do plus nekonečna, na rozdiel od uhla v geometrii, ktorého hodnota v stupňoch je kladná a nepresahuje 180.
Zvyčajne sa používa na označenie uhlov otáčania malými písmenami grécka abeceda: atď. Naznačovať veľká kvantita uhly natočenia, často sa používa jedno písmeno s dolným indexom, napr. 
.
Teraz poďme hovoriť o charakteristikách uhla natočenia podrobnejšie a v poriadku.
Smer otáčania
Nech sú body A a A1 vyznačené na kruhu so stredom v bode O. Do bodu A 1 sa dostanete z bodu A otočením okolo stredu O buď v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek. Je logické považovať tieto odbočky za odlišné.
Znázornime rotácie v pozitívnom a negatívnom smere. Na obrázku nižšie je znázornená rotácia v pozitívnom smere vľavo a v negatívnom smere vpravo.
Hodnota uhla natočenia, uhol ľubovoľnej hodnoty
Uhol natočenia iného bodu ako je stred otáčania je úplne určený uvedením jeho veľkosti, na druhej strane podľa veľkosti uhla natočenia možno posúdiť, ako sa toto otáčanie uskutočnilo.
Ako sme uviedli vyššie, uhol natočenia v stupňoch je vyjadrený ako číslo od -∞ do +∞. V tomto prípade znamienko plus zodpovedá otáčaniu v smere hodinových ručičiek a znamienko mínus otáčaniu proti smeru hodinových ručičiek.
Teraz zostáva stanoviť súlad medzi hodnotou uhla natočenia a otočením, ktorému zodpovedá.
Začnime s uhlom rotácie nula stupňov. Tento uhol natočenia zodpovedá pohybu bodu A smerom k sebe. Inými slovami, pri otočení o 0 stupňov okolo bodu O zostane bod A na mieste.
Pristúpime k rotácii bodu A okolo bodu O, v ktorom k rotácii dôjde do pol otáčky. Predpokladajme, že bod A prechádza do bodu A1. V tomto prípade absolútna hodnota uhla AOA 1 v stupňoch nepresahuje 180. Ak rotácia nastala v kladnom smere, potom sa berie do úvahy uhol rotácie rovná hodnote uhol AOA 1, a ak rotácia nastala v zápornom smere, potom sa jeho hodnota považuje za rovnú hodnote uhla AOA 1 so znamienkom mínus. Ako príklad uvádzame obrázok znázorňujúci uhly otáčania 30, 180 a -150 stupňov.
Uhly rotácie väčšie ako 180 stupňov a menšie ako -180 stupňov sa určujú na základe nasledujúceho celkom zrejmého vlastnosti postupných zákrut: niekoľko po sebe idúcich rotácií bodu A okolo stredu O je ekvivalentných jednej rotácii, ktorej veľkosť sa rovná súčtu veličín týchto rotácií.
Uveďme príklad ilustrujúci túto vlastnosť. Otočme bod A vzhľadom k bodu O o 45 stupňov a potom tento bod otočme o 60 stupňov, potom tento bod otočíme o -35 stupňov. Označme medziľahlé body počas týchto zákrut ako A 1, A 2 a A 3. Do rovnakého bodu A 3 by sme sa mohli dostať vykonaním jednej rotácie bodu A pod uhlom 45+60+(−35)=70 stupňov.
Takže uhly rotácie väčšie ako 180 stupňov budeme reprezentovať ako niekoľko po sebe nasledujúcich otočení uhlami, ktorých súčet dáva hodnotu pôvodného uhla natočenia. Napríklad uhol rotácie 279 stupňov zodpovedá po sebe idúcim rotáciám o 180 a 99 stupňov alebo 90, 90, 90 a 9 stupňov alebo 180, 180 a -81 stupňov alebo 279 po sebe idúcich rotáciách o 1 stupeň.
Uhly rotácie menšie ako -180 stupňov sa určujú podobne. Napríklad uhol otočenia -520 stupňov možno interpretovať ako postupné otočenie bodu o -180, -180 a -160 stupňov.
Zhrnúť. Určili sme uhol natočenia, ktorého hodnotu v stupňoch vyjadruje nejaké reálne číslo z intervalu od −∞ do +∞. V trigonometrii budeme špecificky pracovať s uhlami rotácie, hoci slovo „rotácia“ sa často vynecháva a hovoria jednoducho „uhol“. V trigonometrii teda budeme pracovať s uhlami ľubovoľnej veľkosti, pod ktorými rozumieme uhly natočenia.
Na záver tohto bodu si všimneme, že úplná rotácia v pozitívnom smere zodpovedá uhlu rotácie 360 stupňov (alebo 2 π radiánov) a v negatívnom smere - uhlu rotácie −360 stupňov (alebo −2 π rad) . V tomto prípade je vhodné znázorniť veľké uhly otáčania ako určitý počet plných otáčok a ďalšie otočenie pod uhlom v rozsahu od -180 do 180 stupňov. Vezmime si napríklad uhol natočenia 1 340 stupňov. Je ľahké si predstaviť 1 340 ako 360·4+ (-100) . To znamená, že počiatočný uhol otočenia zodpovedá 4 úplným otáčkam v kladnom smere a následnému otočeniu o -100 stupňov. Ďalší príklad: uhol otočenia −745 stupňov možno interpretovať ako dve otáčky proti smeru hodinových ručičiek, po ktorých nasleduje otočenie o −25 stupňov, pretože −745=(−360) 2+(−25) .
Otočte tvar okolo bodu o uhol
Koncept bodovej rotácie sa dá ľahko rozšíriť na otočte ľubovoľný tvar okolo bodu o uhol (hovoríme o o takej rotácii, že bod, okolo ktorého sa rotácia vykonáva, aj otáčaný obrazec ležia v rovnakej rovine).
Otočením obrazca rozumieme otáčanie všetkých bodov obrazca okolo daného bodu o daný uhol.
Ako príklad si uveďme nasledujúcu akciu: otočte segment AB o uhol vzhľadom na bod O; tento segment sa po otočení zmení na segment A 1 B 1.
Bibliografia.
- Algebra: Učebnica pre 9. ročník. priem. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Vzdelávanie, 1990.- 272 s.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy: Učebnica. pre 10-11 ročníkov. priem. školy - 3. vyd. - M.: Školstvo, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.
Predmet: Pozorovanie javov interferencie a difrakcie svetla.
Cieľ práce: experimentálne študovať fenomén interferencie a difrakcie.
Vybavenie:
- poháre s mydlovým roztokom;
- drôtený krúžok s rukoväťou;
- nylonová tkanina;
- CD;
- žiarovka;
- posuvné meradlá;
- dve sklenené dosky;
- čepeľ;
- pinzety;
- nylonová tkanina.
Teoretická časť
Rušenie je jav charakteristický pre vlny akejkoľvek povahy: mechanické, elektromagnetické. Vlnová interferencia je sčítanie dvoch (alebo viacerých) vĺn v priestore, v ktorom je výsledná vlna zosilnená alebo zoslabená v rôznych bodoch. Na vytvorenie stabilného interferenčného vzoru sú potrebné zdroje koherentných (zhodných) vĺn. Vlny, ktoré majú rovnakú frekvenciu a konštantný fázový rozdiel, sa nazývajú koherentné.
Maximálne podmienky Ad = ± kλ, minimálne podmienky, Ad = ± (2k + 1)A/2 kde k =0; ± 1; ± 2; ± 3;...(rozdiel v dráhe vlny sa rovná párnemu počtu polvĺn
Interferenčný obrazec je pravidelné striedanie oblastí so zvýšenou a zníženou intenzitou svetla. Svetelná interferencia je priestorové prerozdelenie energie svetelného žiarenia pri superponovaní dvoch alebo viacerých svetelných vĺn. V dôsledku toho sa pri javoch interferencie a difrakcie svetla dodržiava zákon zachovania energie. V interferenčnej oblasti sa svetelná energia iba prerozdeľuje bez toho, aby sa premieňala na iné druhy energie. Nárast energie v niektorých bodoch interferenčného obrazca vzhľadom na celkovú svetelnú energiu je kompenzovaný jej poklesom v iných bodoch (celková svetelná energia je svetelná energia dvoch svetelných lúčov z nezávislých zdrojov).
Svetlé pruhy zodpovedajú energetickým maximám, tmavé pruhy energetickým minimám.
Difrakcia je fenomén odchýlky vĺn od priamočiareho šírenia pri prechode cez malé otvory a ohýbaní okolo malých prekážok. Podmienka pre prejav difrakcie: d< λ, Kde d- veľkosť prekážky, λ - vlnová dĺžka. Rozmery prekážok (otvorov) musia byť menšie alebo porovnateľné s vlnovou dĺžkou. Existencia tohto javu (difrakcia) obmedzuje rozsah aplikácie zákonov geometrickej optiky a je dôvodom obmedzenia rozlišovacej schopnosti optických prístrojov. Difrakčná mriežka je optické zariadenie, ktoré má periodickú štruktúru veľké číslo pravidelne usporiadané prvky, na ktorých dochádza k difrakcii svetla. Ťahy so špecifickým a konštantným profilom pre danú difrakčnú mriežku sa opakujú v rovnakom intervale d(mriežkové obdobie). Schopnosť difrakčnej mriežky oddeliť na ňu dopadajúci lúč svetla podľa vlnových dĺžok je jej hlavnou vlastnosťou. K dispozícii sú reflexné a priehľadné difrakčné mriežky. IN moderné zariadenia Používajú sa najmä reflexné difrakčné mriežky. Podmienka pre pozorovanie difrakčného maxima: d sin(φ) = ± kλ
Návod na použitie
1. Ponorte drôtený rám do mydlového roztoku. Pozorujte a načrtnite interferenčný vzor v mydlovej fólii. Keď je film osvetlený bielym svetlom (z okna alebo lampy), dochádza k zafarbeniu svetlé pruhy: hore - Modrá farba, dole – červenou farbou. Pomocou sklenenej trubice vyfúknite mydlovú bublinu. Majte ho na očiach. Pri osvetlení bielym svetlom sa pozoruje tvorba farebných interferenčných krúžkov. Keď sa hrúbka filmu znižuje, krúžky sa rozširujú a pohybujú sa smerom nadol.
Odpovedz na otázku:
- Prečo? bublina Sú dúhovej farby?
- Aký tvar majú dúhové pruhy?
- Prečo sa farba bubliny neustále mení?
2. Sklenené taniere dôkladne poutierajte, priložte k sebe a prstami k sebe stlačte. V dôsledku nedokonalého tvaru kontaktných plôch sa medzi doskami vytvárajú tenké vzduchové medzery, ktoré vytvárajú jasné dúhové prstencové alebo uzavreté pruhy nepravidelného tvaru. Keď sa zmení sila stláčajúca platne, zmení sa umiestnenie a tvar pruhov v odrazenom aj prechádzajúcom svetle. Načrtnite obrázky, ktoré vidíte.
Odpovedz na otázku:
- Prečo sú na určitých miestach, kde sa dosky dotýkajú, pozorované svetlé dúhové prstencové alebo nepravidelne tvarované pruhy?
- Prečo sa tvar a umiestnenie výsledných interferenčných prúžkov mení so zmenou tlaku?
3. Umiestnite CD vodorovne do úrovne očí. čo pozoruješ? Vysvetlite pozorované javy. Opíšte interferenčný vzor.
4. Pozrite sa nylonová tkanina na vlákno horiacej lampy. Otáčaním látky okolo jej osi docielite jasný difrakčný obrazec v podobe dvoch difrakčných prúžkov prekrížených v pravom uhle. Načrtnite pozorovaný difrakčný kríž.
5. Pozorujte dva difrakčné obrazce pri pohľade na vlákno horiacej lampy cez štrbinu tvorenú čeľusťami strmeňa (so šírkou štrbiny 0,05 mm a 0,8 mm). Popíšte zmenu charakteru interferenčného obrazca, keď sa strmeň hladko otáča okolo zvislej osi (so šírkou štrbiny 0,8 mm). Opakujte tento experiment s dvoma čepeľami a pritlačte ich k sebe. Opíšte povahu interferenčného vzoru
Zaznamenajte svoje zistenia. Uveďte, v ktorom z experimentov, ktoré ste vykonali, bol pozorovaný jav interferencie? difrakcia?
