Një nga format themelore gjeometrike është një trekëndësh. Formohet në kryqëzimin e tre segmenteve të drejta. Këto segmente vijash formojnë anët e figurës dhe pikat e tyre të kryqëzimit quhen kulme. Çdo student që studion një lëndë gjeometrie duhet të jetë në gjendje të gjejë perimetrin e kësaj figure. Aftësia e fituar do të jetë e dobishme për shumë njerëz në jetën e rritur, për shembull, do të jetë e dobishme për një student, inxhinier, ndërtues,
Ka mënyra të ndryshme për të gjetur perimetrin e një trekëndëshi. Zgjedhja e formulës që ju nevojitet varet nga të dhënat e burimit të disponueshëm. Për të shkruar këtë vlerë në terminologjinë matematikore, përdoret një shënim i veçantë - P. Le të shqyrtojmë se cili është perimetri, metodat kryesore të llogaritjes së tij për figurat trekëndore të llojeve të ndryshme.
Mënyra më e lehtë për të gjetur perimetrin e një figure është nëse keni të dhëna nga të gjitha anët. Në këtë rast, përdoret formula e mëposhtme:
Shkronja "P" tregon vetë perimetrin. Nga ana tjetër, "a", "b" dhe "c" janë gjatësitë e anëve.
Duke ditur madhësinë e tre sasive, do të mjaftojë për të marrë shumën e tyre, që është perimetri.
Opsioni alternativ
Në problemet matematikore, të gjitha gjatësitë e dhëna rrallë njihen. Në raste të tilla, rekomandohet përdorimi i një metode alternative për të kërkuar vlerën e kërkuar. Kur kushtet tregojnë gjatësinë e dy vijave të drejta, si dhe këndin ndërmjet tyre, llogaritja bëhet duke kërkuar të tretën. Për të gjetur këtë numër, duhet të gjeni rrënjën katrore duke përdorur formulën:
.
Perimetri në të dyja anët
Për të llogaritur perimetrin, nuk është e nevojshme të njihen të gjitha të dhënat e një figure gjeometrike. Le të shqyrtojmë metodat e llogaritjes nga të dyja anët.
Trekëndëshi dykëndësh
Një trekëndësh dykëndësh është ai në të cilin të paktën dy brinjë kanë të njëjtën gjatësi. Ato quhen anësore, dhe ana e tretë quhet bazë. Vijat e drejta të barabarta formojnë një kënd kulmi. Një tipar i veçantë i një trekëndëshi izosceles është prania e një boshti simetrie. Aksi është një vijë vertikale që shtrihet nga këndi apikal dhe përfundon në mes të bazës. Në thelbin e tij, boshti i simetrisë përfshin konceptet e mëposhtme:
- përgjysmues i këndit të kulmit;
- mesatare në bazë;
- lartësia e trekëndëshit;
- mesatare pingul.
Për të përcaktuar perimetrin e një figure trekëndore dykëndëshe, përdorni formulën.
Në këtë rast, ju duhet të dini vetëm dy sasi: bazën dhe gjatësinë e njërës anë. Emërtimi "2a" nënkupton shumëzimin e gjatësisë së anës me 2. Në figurën që rezulton duhet të shtoni vlerën e bazës - "b".
Në një rast të jashtëzakonshëm, kur gjatësia e bazës së një trekëndëshi dykëndësh është e barabartë me vijën anësore të tij, mund të përdorni një metodë më të thjeshtë. Ai shprehet në formulën e mëposhtme:
Për të marrë rezultatin, mjafton të shumëzosh këtë numër me tre. Kjo formulë përdoret për të gjetur perimetrin e një trekëndëshi barabrinjës.
Video e dobishme: probleme në perimetrin e një trekëndëshi
Trekëndësh kënddrejtë
Dallimi kryesor midis një trekëndëshi kënddrejtë dhe formave të tjera gjeometrike në këtë kategori është prania e një këndi prej 90°. Bazuar në këtë veçori, përcaktohet lloji i figurës. Para se të përcaktoni se si të gjeni perimetrin e një trekëndëshi kënddrejtë, vlen të përmendet se kjo vlerë për çdo figurë gjeometrike të sheshtë është shuma e të gjitha anëve. Pra, në këtë rast, mënyra më e lehtë për të gjetur rezultatin është përmbledhja e tre sasive.
Në terminologjinë shkencore, ato anët që janë ngjitur me këndin e duhur quhen "këmbë", dhe ato të kundërta me këndin 90º quhen hipotenuzë. Tiparet e kësaj figure u studiuan nga shkencëtari i lashtë grek Pitagora. Sipas teoremës së Pitagorës, katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve.
.
Bazuar në këtë teoremë, nxirret një formulë tjetër që shpjegon se si të gjejmë perimetrin e një trekëndëshi duke përdorur dy brinjë të njohura. Ju mund të llogarisni perimetrin për gjatësinë e specifikuar të këmbëve duke përdorur metodën e mëposhtme.
.
Për të zbuluar perimetrin, duke pasur informacion për madhësinë e njërës këmbë dhe hipotenuzën, duhet të përcaktoni gjatësinë e hipotenuzës së dytë. Për këtë qëllim, përdoren formulat e mëposhtme:
.
Gjithashtu, perimetri i llojit të përshkruar të figurës përcaktohet pa të dhëna për dimensionet e këmbëve.
Do t'ju duhet të dini gjatësinë e hipotenuzës, si dhe këndin ngjitur me të. Duke ditur gjatësinë e njërës prej këmbëve, nëse ka një kënd ngjitur me të, perimetri i figurës llogaritet duke përdorur formulën:
.
Informacion paraprak
Perimetri i çdo figure gjeometrike të sheshtë në një plan përcaktohet si shuma e gjatësive të të gjitha anëve të tij. Trekëndëshi nuk bën përjashtim nga kjo. Fillimisht paraqesim konceptin e trekëndëshit, si dhe llojet e trekëndëshave në varësi të brinjëve.
Përkufizimi 1
Trekëndësh do ta quajmë një figurë gjeometrike që përbëhet nga tre pika të lidhura me njëra-tjetrën me segmente (Fig. 1).
Përkufizimi 2
Në kuadër të përkufizimit 1, pikat do t'i quajmë kulme të trekëndëshit.
Përkufizimi 3
Në kuadrin e përkufizimit 1, segmentet do të quhen brinjë të trekëndëshit.
Natyrisht, çdo trekëndësh do të ketë 3 kulme, si dhe tre brinjë.
Në varësi të marrëdhënies së brinjëve me njëra-tjetrën, trekëndëshat ndahen në shkallë, barabrinjës dhe barabrinjës.
Përkufizimi 4
Ne do ta quajmë një trekëndësh skalenë nëse asnjë nga anët e tij nuk është e barabartë me asnjë tjetër.
Përkufizimi 5
Një trekëndësh do ta quajmë izoscelular nëse dy brinjë të tij janë të barabarta me njëra-tjetrën, por jo të barabarta me brinjën e tretë.
Përkufizimi 6
Një trekëndësh do ta quajmë barabrinjës nëse të gjitha brinjët e tij janë të barabarta me njëra-tjetrën.
Ju mund të shihni të gjitha llojet e këtyre trekëndëshave në Figurën 2.
Si të gjeni perimetrin e një trekëndëshi skalen?
Le të na jepet një trekëndësh skalen, gjatësia e brinjëve të të cilit është e barabartë me $α$, $β$ dhe $γ$.
konkluzioni: Për të gjetur perimetrin e një trekëndëshi të shkallëzuar, duhet të shtoni së bashku të gjitha gjatësitë e brinjëve të tij.
Shembulli 1
Gjeni perimetrin e trekëndëshit skalen të barabartë me $34$ cm, $12$ cm dhe $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Përgjigje: $57 $ cm.
Shembulli 2
Gjeni perimetrin e një trekëndëshi kënddrejtë, këmbët e të cilit janë $6$ dhe $8$cm.
Së pari, le të gjejmë gjatësinë e hipotenuseve të këtij trekëndëshi duke përdorur teoremën e Pitagorës. Le ta shënojmë atë me $α$, atëherë
$α=10$ Sipas rregullit për llogaritjen e perimetrit të një trekëndëshi skalen, marrim
$P=10+8+6=24$ cm
Përgjigje: 24$ shih.
Si të gjeni perimetrin e një trekëndëshi dykëndësh?
Le të na jepet një trekëndësh dykëndësh, gjatësia e brinjëve do të jetë e barabartë me $α$ dhe gjatësia e bazës do të jetë e barabartë me $β$.
Duke përcaktuar perimetrin e një figure gjeometrike të sheshtë, marrim atë
$P=α+α+β=2α+β$
konkluzioni: Për të gjetur perimetrin e një trekëndëshi dykëndësh, shtoni dyfishin e gjatësisë së brinjëve të tij në gjatësinë e bazës së tij.
Shembulli 3
Gjeni perimetrin e një trekëndëshi dykëndësh nëse brinjët e tij janë $12 $ cm dhe baza e tij është $11 $ cm.
Nga shembulli i diskutuar më sipër, ne e shohim këtë
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Përgjigje: $35 $ cm.
Shembulli 4
Gjeni perimetrin e një trekëndëshi dykëndësh nëse lartësia e tij e tërhequr nga baza është $8 $ cm, dhe baza është $12 $ cm.
Le të shohim vizatimin sipas kushteve të problemit:
Meqenëse trekëndëshi është dykëndësh, $BD$ është gjithashtu mediana, prandaj $AD=6$ cm.
Duke përdorur teoremën e Pitagorës, nga trekëndëshi $ADB$, gjejmë anën anësore. Le ta shënojmë atë me $α$, atëherë
Sipas rregullit për llogaritjen e perimetrit të një trekëndëshi dykëndësh, marrim
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Përgjigje: 32$ shih.
Si të gjeni perimetrin e një trekëndëshi barabrinjës?
Le të na jepet një trekëndësh barabrinjës gjatësitë e të gjitha brinjëve të të cilit janë të barabarta me $α$.
Duke përcaktuar perimetrin e një figure gjeometrike të sheshtë, marrim atë
$P=α+α+α=3α$
konkluzioni: Për të gjetur perimetrin e një trekëndëshi barabrinjës, shumëzojeni gjatësinë e brinjës së trekëndëshit me 3$.
Shembulli 5
Gjeni perimetrin e një trekëndëshi barabrinjës nëse brinja e tij është $12 $ cm.
Nga shembulli i diskutuar më sipër, ne e shohim këtë
$P=3\cdot 12=36$ cm
P=a+b+c Si të gjeni perimetrin e një trekëndëshi: Të gjithë e dinë se gjetja e perimetrit është po aq e lehtë sa të grisësh dardha - thjesht duhet të mbledhësh të tre anët e trekëndëshit. Megjithatë, ka disa mënyra të tjera në të cilat mund të gjeni shumën e gjatësive të brinjëve të një trekëndëshi. Hapi 1 Duke pasur parasysh rrezen e njohur të rrethit të brendashkruar në trekëndësh dhe sipërfaqen e tij, gjeni perimetrin duke përdorur formulën P=2S/r. 
Hapi 2 Nëse dini dy kënde, për shembull, α dhe β, ngjitur me një anë dhe gjatësinë e kësaj brinjë, atëherë për të gjetur perimetrin përdorni formulën a+sinα∙a/(sin(180°-α-β )) + sinβ∙a /(sin(180°-α-β)). 
Hapi 3 Nëse kushti tregon brinjët ngjitur dhe këndin β ndërmjet tyre, merrni parasysh teoremën e kosinusit kur gjeni perimetrin. Atëherë P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), ku a^2 dhe b^2 janë katrorët e gjatësive të brinjëve ngjitur. Shprehja nën rrënjë është gjatësia e anës së tretë të panjohur, e shprehur përmes teoremës së kosinusit. 
Hapi 4 Për një trekëndësh dykëndësh, formula e perimetrit merr formën P=2a+b, ku a janë brinjët dhe b është baza e tij. Hapi 5 Llogaritni perimetrin e një trekëndëshi të rregullt duke përdorur formulën P=3a. Hapi 6 Gjeni perimetrin duke përdorur rrezet e rrathëve të gdhendur në trekëndësh ose të rrethuar rreth tij. Pra, për një trekëndësh barabrinjës, mbani mend dhe përdorni formulën P=6r√3=3R√3, ku r është rrezja e rrethit të brendashkruar dhe R është rrezja e rrethit të rrethuar. Hapi 7 Për një trekëndësh dykëndësh, zbatoni formulën P=2R(2sinα+sinβ), në të cilën α është këndi në bazë dhe β është këndi i kundërt me bazën.
Çdo trekëndësh është i barabartë me shumën e gjatësive të tre brinjëve të tij. Formula e përgjithshme për gjetjen e perimetrit të trekëndëshave:
P = a + b + c
Ku Pështë perimetri i trekëndëshit, a, b Dhe c- anët e tij.
Mund ta gjeni duke shtuar gjatësitë e anëve të saj në mënyrë sekuenciale ose duke shumëzuar gjatësinë e anës me 2 dhe duke i shtuar gjatësinë e bazës produktit. Formula e përgjithshme për gjetjen e perimetrit të trekëndëshave izosceles do të duket si kjo:
P = 2a + b
Ku Pështë perimetri i një trekëndëshi dykëndësh, a- ndonjë nga palët, b- bazë.
Mund ta gjeni duke i shtuar gjatësitë e brinjëve të tij në mënyrë sekuenciale ose duke shumëzuar gjatësinë e cilësdo brinjë të tij me 3. Formula e përgjithshme për gjetjen e perimetrit të trekëndëshave barabrinjës do të duket si kjo:
P = 3a
Ku Pështë perimetri i një trekëndëshi barabrinjës, a- ndonjë nga anët e tij.
Sheshi
Për të matur sipërfaqen e një trekëndëshi, mund ta krahasoni atë me një paralelogram. Konsideroni një trekëndësh ABC:
Nëse merrni një trekëndësh të barabartë me të dhe e vendosni në mënyrë që të merrni një paralelogram, do të merrni një paralelogram me të njëjtën lartësi dhe bazë si trekëndëshi i dhënë:
Në këtë rast, ana e përbashkët e trekëndëshave të palosur së bashku është diagonalja e paralelogramit të formuar. Nga vetitë e paralelogrameve dihet se diagonalja e ndan gjithmonë paralelogramin në dy trekëndësha të barabartë, që do të thotë se sipërfaqja e secilit trekëndësh është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së paralelogramit.
Meqenëse sipërfaqja e një paralelogrami është e barabartë me produktin e bazës dhe lartësisë së tij, sipërfaqja e trekëndëshit do të jetë e barabartë me gjysmën e këtij produkti. Pra, për Δ ABC sipërfaqja do të jetë e barabartë
Tani merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë:
Dy trekëndësha kënddrejtë të barabartë mund të palosen në një drejtkëndësh duke vendosur hipotenuzën e tyre kundër njëri-tjetrit. Meqenëse sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e anëve të tij ngjitur, sipërfaqja e një trekëndëshi të caktuar është:
Nga kjo mund të konkludojmë se sipërfaqja e çdo trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me produktin e këmbëve të ndarë me 2.
Nga këta shembuj mund të konkludojmë se Sipërfaqja e çdo trekëndëshi është e barabartë me produktin e gjatësisë së bazës dhe lartësisë së bazës, e ndarë me 2. Formula e përgjithshme për gjetjen e sipërfaqes së trekëndëshave do të duket si kjo:
| S = | ah a |
| 2 |
Ku Sështë sipërfaqja e trekëndëshit, a- themeli i saj, h a- lartësia e ulur në bazë a.
Perimetri i çdo trekëndëshi është gjatësia e vijës që kufizon figurën. Për ta llogaritur atë, duhet të zbuloni shumën e të gjitha anëve të këtij shumëkëndëshi.
Llogaritja nga gjatësitë e anëve të dhëna
Pasi të dihen kuptimet e tyre, kjo është e lehtë për t'u bërë. Duke i shënuar këto parametra me shkronjat m, n, k dhe perimetrin me shkronjën P, marrim formulën për llogaritjen: P = m+n+k. Detyra: Dihet se një trekëndësh ka brinjë të gjata 13,5 decimetra, 12,1 decimetra dhe 4,2 decimetra. Gjeni perimetrin. Zgjidhim: Nëse brinjët e këtij shumëkëndëshi janë a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, atëherë P = 29,8 dm. Përgjigje: P = 29,8 dm.
Perimetri i një trekëndëshi që ka dy brinjë të barabarta
Një trekëndësh i tillë quhet dykëndësh. Nëse këto anë të barabarta kanë një gjatësi prej një centimetrash, dhe ana e tretë ka një gjatësi prej b centimetra, atëherë perimetri është i lehtë për t'u gjetur: P = b + 2a. Detyrë: një trekëndësh ka dy brinjë prej 10 decimetrash, një bazë prej 12 decimetrash. Gjeni P. Zgjidhje: Le të jetë brinja a = c = 10 dm, baza b = 12 dm. Shuma e brinjëve P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Përgjigje: P = 32 decimetra.
Perimetri i një trekëndëshi barabrinjës
Nëse të tre brinjët e një trekëndëshi kanë një numër të barabartë njësish matëse, ai quhet barabrinjës. Një emër tjetër është i saktë. Perimetri i një trekëndëshi të rregullt gjendet duke përdorur formulën: P = a+a+a = 3·a. Problemi: Kemi një truall trekëndor barabrinjës. Njëra anë është 6 metra. Gjeni gjatësinë e gardhit që mund të përdoret për të mbyllur këtë zonë. Zgjidhje: Nëse ana e këtij shumëkëndëshi është a = 6 m, atëherë gjatësia e gardhit është P = 3 6 = 18 (m). Përgjigje: P = 18 m.
Një trekëndësh që ka një kënd prej 90°
Ajo quhet drejtkëndëshe. Prania e një këndi të drejtë bën të mundur gjetjen e brinjëve të panjohura duke përdorur përkufizimin e funksioneve trigonometrike dhe teoremës së Pitagorës. Ana më e gjatë quhet hipotenuzë dhe caktohet c. Ka edhe dy anë, a dhe b. Duke ndjekur teoremën me emrin e Pitagorës, kemi c 2 = a 2 + b 2 . Këmbët a = √ (c 2 - b 2) dhe b = √ (c 2 - a 2). Duke ditur gjatësinë e dy këmbëve a dhe b, ne llogarisim hipotenuzën. Më pas gjejmë shumën e anëve të figurës duke i mbledhur këto vlera. Detyrë: Këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë kanë gjatësi 8,3 centimetra dhe 6,2 centimetra. Perimetri i trekëndëshit duhet të llogaritet. Zgjidh: Le të shënojmë këmbët a = 8,3 cm, b = 6,2 cm Duke ndjekur teoremën e Pitagorës, hipotenuza c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 0,33 = cm ). P = 24,9 (cm). Ose P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) = 24,9 (cm). Përgjigje: P = 24,9 cm Vlerat e rrënjëve janë marrë me një saktësi prej të dhjetave. Nëse i dimë vlerat e hipotenuzës dhe këmbës, atëherë e marrim vlerën e P duke llogaritur P = √ (c 2 - b 2) + b + c. Problemi 2: Një pjesë e tokës që shtrihet përballë një këndi prej 90 gradë, 12 km, njëra nga këmbët është 8 km. Sa kohë do të duhet për të ecur në të gjithë zonën nëse lëvizni me një shpejtësi prej 4 kilometrash në orë? Zgjidhja: nëse segmenti më i madh është 12 km, ai më i vogël është b = 8 km, atëherë gjatësia e të gjithë shtegut do të jetë P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8.9 = 28.9 (km). Do ta gjejmë kohën duke e ndarë rrugën me shpejtësinë. 28,9:4 = 7,225 (h). Përgjigje: mund ta rrethoni për 7.3 orë.Ne e marrim vlerën e rrënjëve katrore dhe përgjigjen e saktë në të dhjetat. Ju mund të gjeni shumën e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë nëse jepet njëra nga brinjët dhe vlera e njërit prej këndeve akute. Duke ditur gjatësinë e këmbës b dhe vlerën e këndit β përballë saj, gjejmë anën e panjohur a = b/ tan β. Gjeni hipotenuzën c = a: sinα. Perimetrin e një figure të tillë e gjejmë duke shtuar vlerat që rezultojnë. P = a + a/ sinα + a/ tan α, ose P = a(1 / sin α+ 1+1 / tan α). Detyrë: Në një Δ ABC drejtkëndëshe me kënd të drejtë C, këmba BC ka një gjatësi 10 m, këndi A është 29 gradë. Duhet të gjejmë shumën e brinjëve Δ ABC. Zgjidhje: Le të shënojmë anën e njohur BC = a = 10 m, këndin përballë saj, ∟A = α = 30°, pastaj anën AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), hipotenuzën AB = c = 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (m). Ose P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 m Kemi: P = 47,2 m Vlerën e funksioneve trigonometrike e marrim të saktë në të qindtat, rrumbullakojmë gjatësinë e brinjëve dhe perimetrin në të dhjetat. Duke pasur vlerën e këmbës α dhe këndit të afërt β, zbulojmë se me çfarë është e barabartë këmbëza e dytë: b = a tan β. Hipotenuza në këtë rast do të jetë e barabartë me këmbën e ndarë me kosinusin e këndit β. Perimetrin e gjejmë me formulën P = a + a tan β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. Detyrë: Këmba e një trekëndëshi me kënd 90 gradë është 18 cm, këndi ngjitur është 40 gradë. Gjeni P. Zgjidhje: Të shënojmë anën e njohur BC = 18 cm, ∟β = 40°. Atëherë ana e panjohur AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (cm), hipotenuza AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Shuma e anëve të figurës është P = 56,3 (cm). Ose P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm Përgjigje: P = 56,3 cm Nëse dihet gjatësia e hipotenuzës c dhe një kënd α, atëherë këmbët do të jenë të barabarta me prodhimin e hipotenuzës për i pari - nga sinusi dhe për të dytin - nga kosinusi i këtij këndi. Perimetri i kësaj figure është P = (sin α + 1+ cos α)*c. Detyrë: Hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë AB = 9,1 centimetra dhe këndi është 50 gradë. Gjeni shumën e anëve të kësaj figure. Zgjidhje: Të shënojmë hipotenuzën: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, atëherë njëra nga këmbët BC ka gjatësi a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), këmbën AC = b = 9 . 1 · 0,64 = 5,8 (cm). Kjo do të thotë se perimetri i këtij shumëkëndëshi është P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Ose P = 9,1· (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Përgjigje: P = 21.9 centimetra.
Një trekëndësh arbitrar, njëra nga anët e të cilit është e panjohur
Nëse kemi vlerat e dy brinjëve a dhe c, dhe këndin midis këtyre brinjëve γ, gjejmë të tretën me teoremën e kosinusit: b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β, ku β është këndi. shtrirë midis anëve a dhe c. Pastaj gjejmë perimetrin. Detyrë: Δ ABC ka një segment AB me gjatësi 15 dm dhe një segment AC me gjatësi 30,5 dm. Këndi midis këtyre anëve është 35 gradë. Njehsoni shumën e brinjëve Δ ABC. Zgjidhje: Duke përdorur teoremën e kosinusit, llogarisim gjatësinë e anës së tretë. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm) Kemi: P = 65,6 dm.
Shuma e brinjëve të një trekëndëshi arbitrar në të cilin gjatësitë e dy brinjëve janë të panjohura
Kur dimë gjatësinë e vetëm një segmenti dhe vlerën e dy këndeve, mund të zbulojmë gjatësinë e dy brinjëve të panjohura duke përdorur teoremën e sinusit: "në një trekëndësh, brinjët janë gjithmonë në proporcion me vlerat e sinuseve të kënde të kundërta.” Ku b = (a* mëkat β)/ mëkat a. Në mënyrë të ngjashme c = (a mëkat γ): mëkat a. Perimetri në këtë rast do të jetë P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a. Detyrë: Kemi Δ ABC. Në të, gjatësia e anës BC është 8,5 mm, vlera e këndit C është 47° dhe këndi B është 35 gradë. Gjeni shumën e anëve të kësaj figure. Zgjidhje: Le të shënojmë gjatësitë e brinjëve BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°. Nga marrëdhëniet e marra nga teorema e sinusit gjejmë këmbët AC = b = (8,5 0,57): 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99): 0,73 = 9,5 (mm). Prandaj shuma e brinjëve të këtij shumëkëndëshi është P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Përgjigje: P = 23,5 mm. Në rastin kur ka vetëm gjatësinë e një segmenti dhe vlerat e dy këndeve ngjitur, fillimisht llogarisim këndin përballë anës së njohur. Të gjitha këndet e kësaj figure shtohen deri në 180 gradë. Prandaj ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Më pas, gjejmë segmentet e panjohura duke përdorur teoremën e sinusit. Detyrë: Kemi Δ ABC. Ka një segment BC të barabartë me 10 cm. Vlera e këndit B është 48 gradë, këndi C është 56 gradë. Gjeni shumën e brinjëve Δ ABC. Zgjidhja: Së pari, gjeni vlerën e këndit A të anës së kundërt BC. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Tani, duke përdorur teoremën e sinuseve, llogarisim gjatësinë e anës AC = 10·0,74: 0,97 = 7,6 (cm). AB = BC* sin C/ sin A = 8.6. Perimetri i trekëndëshit është P = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (cm). Rezultati: P = 26,2 cm.
Llogaritja e perimetrit të një trekëndëshi duke përdorur rrezen e rrethit të gdhendur brenda tij
Ndonjëherë asnjëra anë e problemit nuk dihet. Por ka një vlerë për zonën e trekëndëshit dhe rrezen e rrethit të gdhendur në të. Këto madhësi janë të lidhura: S = r p. Duke ditur sipërfaqen e trekëndëshit dhe rreze r, mund të gjejmë gjysmëperimetrin p. Gjejmë p = S: r. Problemi: Parcela ka një sipërfaqe prej 24 m2, rrezja r është 3 m. Gjeni numrin e pemëve që duhet të mbillen në mënyrë të barabartë përgjatë vijës që mbyll këtë parcelë, nëse duhet të ketë një distancë prej 2 metrash midis dy atyre fqinje. . Zgjidhje: Shumën e anëve të kësaj figure e gjejmë si më poshtë: P = 2 · 24: 3 = 16 (m). Më pas ndajeni me dy. 16:2= 8. Gjithsej: 8 pemë.
Shuma e brinjëve të një trekëndëshi në koordinatat karteziane
Kulmet e Δ ABC kanë koordinata: A (x 1 ; y 1), B (x 2 ; y 2), C(x 3 ; y 3). Le të gjejmë katrorët e secilës anë AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC 2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 = (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. Për të gjetur perimetrin, thjesht shtoni të gjitha segmentet. Detyra: Koordinatat e kulmeve Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Gjeni shumën e anëve të kësaj figure. Zgjidhja: duke vendosur vlerat e koordinatave përkatëse në formulën e perimetrit, marrim P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Kemi: P = 16.6. Nëse figura nuk është në një plan, por në hapësirë, atëherë secila nga kulmet ka tre koordinata. Prandaj, formula për shumën e anëve do të ketë një term më shumë.
Metoda vektoriale
Nëse një figurë jepet nga koordinatat e kulmeve të saj, perimetri mund të llogaritet duke përdorur metodën vektoriale. Një vektor është një segment që ka një drejtim. Moduli (gjatësia) i tij tregohet me simbolin ǀᾱǀ. Distanca ndërmjet pikave është gjatësia e vektorit përkatës, ose vlera absolute e vektorit. Konsideroni një trekëndësh të shtrirë në një aeroplan. Nëse kulmet kanë koordinata A (x 1; y 1), M(x 2; y 2), T (x 3; y 3), atëherë gjatësia e secilës anë gjendet duke përdorur formulat: ǀAMǀ = √ ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3 ) 2 + ( y 1 - y 3) 2). Perimetrin e trekëndëshit e marrim duke shtuar gjatësitë e vektorëve. Në mënyrë të ngjashme, gjeni shumën e brinjëve të një trekëndëshi në hapësirë.
