W trygonometrii ważna koncepcja Jest kąt obrotu. Poniżej konsekwentnie przedstawimy pojęcie zwrotu i przedstawimy wszystkie powiązane pojęcia. Zacznijmy główny pomysł o zakręcie, powiedzmy o pełnym obrocie. Następnie przejdźmy do koncepcji kąta obrotu i rozważmy jego główne cechy, takie jak kierunek i wielkość obrotu. Na koniec podajemy definicję obrotu figury wokół punktu. Całość teorii przedstawimy w tekście wraz z objaśniającymi przykładami i ilustracjami graficznymi.
Nawigacja strony.
Jak nazywa się obrót punktu wokół punktu?
Zauważmy od razu, że obok wyrażenia „obrót wokół punktu” będziemy używać także wyrażeń „obrót wokół punktu” i „obrót wokół punktu”, które oznaczają to samo.
Przedstawmy koncepcja obracania punktu wokół punktu.
Najpierw zdefiniujmy środek obrotu.
Definicja.
Punkt, wokół którego następuje obrót, nazywa się środek obrotu.
Teraz powiedzmy, co się stanie w wyniku obrotu punktu.
W wyniku obrotu pewnego punktu A względem środka obrotu O uzyskuje się punkt A 1 (który w przypadku określonej liczby może pokrywać się z A), a punkt A 1 leży na okręgu o środek w punkcie O promienia OA. Innymi słowy, po obróceniu względem punktu O, punkt A przechodzi do punktu A 1 leżącego na okręgu ze środkiem w punkcie O o promieniu OA.
Uważa się, że punkt O, obracając się wokół siebie, zamienia się w siebie. Oznacza to, że w wyniku obrotu wokół środka obrotu O punkt O zamienia się w siebie.
Warto także zaznaczyć, że obrót punktu A wokół punktu O należy traktować jako przemieszczenie w wyniku ruchu punktu A po okręgu o środku w punkcie O o promieniu OA.
Dla jasności przedstawimy ilustrację obrotu punktu A wokół punktu O, na poniższych rysunkach pokażemy ruch punktu A do punktu A 1 za pomocą strzałki.
Pełny obrót
Można obrócić punkt A względem środka obrotu O tak, aby punkt A po minięciu wszystkich punktów okręgu znalazł się w tym samym miejscu. W tym przypadku mówią, że punkt A przesunął się wokół punktu O.
Przedstawmy graficzną ilustrację całkowitej rewolucji.
Jeśli nie zatrzymasz się na jednym obrocie, ale będziesz nadal przesuwał punkt po okręgu, możesz wykonać dwa, trzy i tak dalej pełne obroty. Poniższy rysunek po prawej stronie pokazuje, jak można wyprodukować dwa pełne obroty, a po lewej - trzy obroty.
Koncepcja kąta obrotu
Z koncepcji obrotu punktu wprowadzonej w pierwszym akapicie jasno wynika, że istnieje nieskończona liczba możliwości obracania punktu A wokół punktu O. Rzeczywiście, dowolny punkt na okręgu, którego środek znajduje się w punkcie O o promieniu OA, można uznać za punkt A 1 uzyskany w wyniku obrotu punktu A. Dlatego, aby odróżnić jeden obrót od drugiego, wprowadzamy koncepcja kąta obrotu.
Jedną z cech kąta obrotu jest kierunek rotacji. Kierunek obrotu określa, czy punkt jest obracany zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czy przeciwnie.
Inną cechą kąta obrotu jest jego ogrom. Kąty obrotu mierzone są w tych samych jednostkach, co najczęściej stosowane są stopnie i radiany. Warto w tym miejscu zaznaczyć, że kąt obrotu można wyrazić w stopniach dowolną liczbą rzeczywistą od minus nieskończoności do plus nieskończoności, w przeciwieństwie do kąta w geometrii, którego wartość w stopniach jest dodatnia i nie przekracza 180.
Zwykle używane do wskazywania kątów obrotu małe litery Alfabet grecki: itp. Wskazać duża ilość kątów obrotu, często używana jest jedna litera z indeksami dolnymi, na przykład 
.
Porozmawiajmy teraz bardziej szczegółowo i w kolejności o charakterystyce kąta obrotu.
Kierunek skrętu
Niech punkty A i A 1 zostaną zaznaczone na okręgu ze środkiem w punkcie O. Do punktu A 1 można dostać się z punktu A, obracając się wokół środka O w prawo lub w lewo. Logiczne jest rozważenie tych zwrotów jako różnych.
Zilustrujmy rotacje w kierunku dodatnim i ujemnym. Poniższy rysunek przedstawia obrót w kierunku dodatnim po lewej stronie i w kierunku ujemnym po prawej stronie.
Wartość kąta obrotu, kąt o dowolnej wartości
Kąt obrotu punktu innego niż środek obrotu określa się całkowicie poprzez wskazanie jego wielkości, natomiast po wielkości kąta obrotu można ocenić, w jaki sposób ten obrót został wykonany.
Jak wspomnieliśmy powyżej, kąt obrotu w stopniach wyraża się jako liczbę od −∞ do +∞. W tym przypadku znak plus odpowiada obrotowi w prawo, a znak minus odpowiada obrotowi w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Teraz pozostaje ustalić zgodność między wartością kąta obrotu a obrotem, któremu odpowiada.
Zacznijmy od kąta obrotu wynoszącego zero stopni. Ten kąt obrotu odpowiada ruchowi punktu A do siebie. Innymi słowy, po obróceniu o 0 stopni wokół punktu O, punkt A pozostaje na miejscu.
Przystępujemy do obrotu punktu A wokół punktu O, w którym obrót następuje w zakresie połowy obrotu. Zakładamy, że punkt A prowadzi do punktu A 1. W tym przypadku wartość bezwzględna kąta AOA 1 w stopniach nie przekracza 180. Jeżeli obrót nastąpił w kierunku dodatnim, wówczas uwzględniany jest kąt obrotu równa wartości kąt AOA 1, a jeśli obrót nastąpił w kierunku ujemnym, wówczas jego wartość przyjmuje się za równą wartości kąta AOA 1 ze znakiem minus. Jako przykład, oto zdjęcie przedstawiające kąty obrotu 30, 180 i -150 stopni.
Kąty obrotu większe niż 180 stopni i mniejsze niż -180 stopni są określane na podstawie następujących dość oczywistych faktów właściwości kolejnych zwojów: kilka kolejnych obrotów punktu A wokół środka O jest równoważnych jednemu obrotowi, którego wielkość jest równa sumie wielkości tych obrotów.
Podajmy przykład ilustrujący tę właściwość. Obróćmy punkt A względem punktu O o 45 stopni, a następnie obróćmy ten punkt o 60 stopni, po czym obróćmy ten punkt o -35 stopni. Oznaczmy punkty pośrednie podczas tych obrotów jako A 1, A 2 i A 3. Do tego samego punktu A 3 moglibyśmy dojść wykonując jeden obrót punktu A o kąt 45+60+(−35)=70 stopni.
Zatem kąty obrotu większe niż 180 stopni będziemy reprezentować jako kilka kolejnych obrotów o kąty, których suma daje wartość pierwotnego kąta obrotu. Na przykład kąt obrotu 279 stopni odpowiada kolejnym obrotom o 180 i 99 stopni, czyli 90, 90, 90 i 9 stopni, lub 180, 180 i -81 stopni, czyli 279 kolejnym obrotom o 1 stopień.
W podobny sposób wyznacza się kąty obrotu mniejsze niż -180 stopni. Na przykład kąt obrotu wynoszący -520 stopni można zinterpretować jako kolejne obroty punktu o -180, -180 i -160 stopni.
Podsumować. Wyznaczyliśmy kąt obrotu, którego wartość w stopniach wyraża pewna liczba rzeczywista z przedziału od −∞ do +∞. W trygonometrii będziemy pracować konkretnie z kątami obrotu, chociaż słowo „obrót” jest często pomijane i mówi się po prostu „kąt”. Zatem w trygonometrii będziemy pracować z kątami o dowolnej wielkości, przez co rozumiemy kąty obrotu.
Podsumowując ten punkt, zauważamy, że pełny obrót w kierunku dodatnim odpowiada kątowi obrotu 360 stopni (lub 2 π radianów), a w kierunku ujemnym - kątowi obrotu wynoszącemu -360 stopni (lub -2 π rad) . W tym przypadku wygodnie jest przedstawić duże kąty obrotu jako pewną liczbę pełnych obrotów i kolejny obrót o kąt z zakresu od -180 do 180 stopni. Weźmy na przykład kąt obrotu wynoszący 1340 stopni. Łatwo wyobrazić sobie 1340 jako 360·4+(−100) . Oznacza to, że początkowy kąt obrotu odpowiada 4 pełnym obrotom w kierunku dodatnim i późniejszemu obrotowi o -100 stopni. Inny przykład: kąt obrotu wynoszący -745 stopni można zinterpretować jako dwa obroty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, po których następuje obrót o -25 stopni, ponieważ -745=(-360) 2+(-25) .
Obróć kształt wokół punktu o kąt
Koncepcję obrotu punktu można łatwo rozszerzyć na obrócić dowolny kształt wokół punktu o kąt (mówimy o o taki obrót, aby zarówno punkt, wokół którego dokonuje się obrotu, jak i obracana figura, leżały w tej samej płaszczyźnie).
Przez obrót figury rozumiemy obrót wszystkich punktów figury wokół danego punktu o zadany kąt.
Jako przykład zilustrujmy następującą akcję: obróć odcinek AB o kąt względem punktu O; ten odcinek po obróceniu zamieni się w odcinek A 1 B 1.
Bibliografia.
- Algebra: Podręcznik dla 9 klasy. średnio szkoła/Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; wyd. S. A. Telyakovsky.- M.: Edukacja, 1990.- 272 s.: il.- isbn 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra i początki analizy: Podręcznik. dla klas 10-11. średnio szkoła - wyd. 3. - M.: Edukacja, 1993. - 351 s.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa - wyd. 14 - M.: Edukacja, 2004. - 384 s.: chory - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.
Temat: Obserwacja zjawisk interferencji i dyfrakcji światła.
Cel pracy: eksperymentalnie badać zjawisko interferencji i dyfrakcji.
Sprzęt:
- szklanki z roztworem mydła;
- druciany pierścień z rączką;
- tkanina nylonowa;
- PŁYTA CD;
- lampa żarowa;
- suwmiarka;
- dwie szklane płyty;
- ostrze;
- pinceta;
- tkanina nylonowa.
Część teoretyczna
Zakłócenia są zjawiskiem charakterystycznym dla fal dowolnego rodzaju: mechanicznych, elektromagnetycznych. Interferencja fal to dodanie dwóch (lub kilku) fal w przestrzeni, w wyniku czego powstała fala zostaje wzmocniona lub osłabiona w różnych punktach. Aby utworzyć stabilny wzór interferencji, wymagane są spójne (dopasowane) źródła fal. Fale o tej samej częstotliwości i stałej różnicy faz nazywane są spójnymi.
Maksymalne warunki Δd = ± kλ, minimalne warunki, Δd = ± (2k + 1)λ/2 gdzie k =0; ± 1; ± 2; ± 3;...(różnica w drodze fali jest równa parzystej liczbie półfali
Wzór interferencyjny to regularna przemiana obszarów o zwiększonym i zmniejszonym natężeniu światła. Interferencja świetlna to przestrzenna redystrybucja energii promieniowania świetlnego, gdy nakładają się dwie lub więcej fal świetlnych. W konsekwencji w zjawiskach interferencji i dyfrakcji światła przestrzegane jest prawo zachowania energii. W obszarze interferencji energia świetlna jest jedynie redystrybuowana, bez przekształcania jej w inne rodzaje energii. Wzrost energii w niektórych punktach obrazu interferencyjnego w stosunku do całkowitej energii świetlnej jest kompensowany przez jej spadek w innych punktach (całkowita energia świetlna to energia świetlna dwóch wiązek światła pochodzących z niezależnych źródeł).
Jasne paski odpowiadają maksimom energii, ciemne paski odpowiadają minimom energii.
Dyfrakcja to zjawisko odchylenia fali od prostoliniowej propagacji podczas przechodzenia przez małe otwory i zaginania się wokół małych przeszkód. Warunek manifestacji dyfrakcyjnej: D< λ, Gdzie D– wielkość przeszkody, λ - długość fali. Wymiary przeszkód (otworów) muszą być mniejsze lub porównywalne z długością fali. Istnienie tego zjawiska (dyfrakcji) ogranicza zakres stosowania praw optyki geometrycznej i jest przyczyną ograniczeń rozdzielczości przyrządów optycznych. Siatka dyfrakcyjna jest urządzeniem optycznym będącym strukturą okresową duża liczba regularnie rozmieszczone elementy, na których zachodzi dyfrakcja światła. Pociągnięcia o określonym i stałym profilu dla danej siatki dyfrakcyjnej powtarzają się w tych samych odstępach czasu D(okres sieci). Główną właściwością siatki dyfrakcyjnej jest zdolność rozdzielania padającej na nią wiązki światła w zależności od długości fali. Istnieją odblaskowe i przezroczyste siatki dyfrakcyjne. W nowoczesne urządzenia Stosowane są głównie odblaskowe siatki dyfrakcyjne. Warunek obserwacji maksimum dyfrakcyjnego: d sin(φ) = ± kλ
Instrukcje stosowania
1. Zanurz drucianą ramkę w roztworze mydła. Zaobserwuj i naszkicuj wzór interferencyjny na błonie mydlanej. Gdy film zostanie oświetlony białym światłem (z okna lub lampy), następuje zabarwienie jasne paski: szczyt - Kolor niebieski, poniżej – kolorem czerwonym. Użyj szklanej rurki, aby wydmuchać bańkę mydlaną. Uważaj na niego. Przy oświetleniu światłem białym obserwuje się powstawanie kolorowych pierścieni interferencyjnych. W miarę zmniejszania się grubości warstwy pierścienie rozszerzają się i przesuwają w dół.
Odpowiedz na pytania:
- Dlaczego bańka Czy są w kolorze tęczy?
- Jaki kształt mają tęczowe paski?
- Dlaczego kolor bańki cały czas się zmienia?
2. Dokładnie wytrzyj szklane płytki, złóż je razem i ściśnij palcami. Ze względu na niedoskonały kształt stykających się powierzchni, pomiędzy płytami tworzą się cienkie puste przestrzenie powietrzne, dając jasne opalizujące paski w kształcie pierścienia lub zamknięte paski o nieregularnym kształcie. Kiedy zmienia się siła ściskająca płytki, położenie i kształt pasków zmieniają się zarówno w świetle odbitym, jak i przechodzącym. Naszkicuj obrazy, które widzisz.
Odpowiedz na pytania:
- Dlaczego w niektórych miejscach styku płyt widoczne są jasne, tęczowe paski w kształcie pierścieni lub o nieregularnym kształcie?
- Dlaczego kształt i położenie powstałych prążków interferencyjnych zmienia się wraz ze zmianą ciśnienia?
3. Umieść płytę CD poziomo na wysokości oczu. Co obserwujesz? Wyjaśnij zaobserwowane zjawiska. Opisz wzór interferencji.
4. Przejrzyj tkanina nylonowa na żarnik płonącej lampy. Obracając tkaninę wokół jej osi, uzyskujemy wyraźny obraz dyfrakcyjny w postaci dwóch pasków dyfrakcyjnych skrzyżowanych pod kątem prostym. Naszkicuj obserwowany krzyż dyfrakcyjny.
5. Obserwując żarnik płonącej lampy przez szczelinę utworzoną przez szczęki suwmiarki (o szerokości szczeliny 0,05 mm i 0,8 mm) należy obserwować dwa wzory dyfrakcyjne. Opisz zmianę charakteru obrazu interferencyjnego przy płynnym obrocie suwmiarki wokół osi pionowej (przy szerokości szczeliny 0,8 mm). Powtórz ten eksperyment z dwoma ostrzami, dociskając je do siebie. Opisz naturę wzoru interferencyjnego
Zapisz swoje ustalenia. Wskaż, w którym z przeprowadzonych przez Ciebie eksperymentów zaobserwowano zjawisko interferencji? dyfrakcja?
